深圳初三一模2026数学题过程

同学们好，我是教高中数学的付老师。今天我们来讲一下高中沈阳一模的最后一道题，第十九题。首先我们看题，它是已知随机变量 cosine 的 取值为非负整数，它的概率为 p 零， p 一 p 二，一直到 p n， 他说 p i 属于零到一，然后呢？且从零开始到 n 的 p 的 总和为一，这就说明了这整个事件其实是一个完整的事件。 那它是由可赛生成的函数呢？ f x， 它等于 i 等于零，从 i 等于零起， p i 乘以 x 的 i 次幂。也就是说，我的 f x， 它等于的是 p e， x 的 呃， p 零， x 的 零加上 p e， x 的 一，加上 p 二， x 的 二，一直加加到 p n x 的 n。 好， 那我们看第一题，他说若可赛生成的函数为 f x 等于十分之一加五分之一， x 加五分之二， x 立方加上十分之三 x 的 五次密， 这说明什么意思？说明我们的 p 零等于的是，你看 s 的 零次密不得一吗？所以我们的 p 零等于十分之一，我们的 p 一 等于五分之一，我们的 p 二等于啊， p 三 等于五分之三，而我的 p 五，它等于十分之三。 哎，所以我的 pa 呢，它就等于 ps 一 加上 p 啊，就 p 一 吧， p 一 加 p 三加 p 五就等于十分之九。 看第一问，读明白题就很简单，而第二问才是我们出现疑义的地方。首先他说线有一个编号为一和二的两个盒子，在合一中有一个红球，合二中有两个篮球，四个绿球， 颜色不同，其他完全相同。他说随机选两个盒子中的一个盒，再取出一个球，他看他的行为是干嘛了？他分为两步，他的行为首先要先去选盒， 选完和之后再去选球。然后呢，他说我要用这个可 c， 呃，生成的函数，它是从挨得零开始，一直到三，也就是说挨得零一二三。 那他又问你他，他，然后又没有说了，他把这个分别对应的是红蓝绿的概率，也就是说 p 一 等于的是红球， p 二等于的是篮球，而 p 三呢，等于的是绿球。 好，那我们的 p 一 它是不是等于红球啊？是不是得先在两盒中选一个？那我如果要选择红球，是不是一定要选择合一？所以首先我有个七分之一合一的概率， 成完合的概率之后呢，我还要选球，那我这个一个，这一个盒里就这一个红球，所以选择红球的概率一定为一，所以它的答案是七分之一， 而 p 二呢，是绿球的概率。绿球的概率我得选的是什么？我是不是选的是和二？那和一和二是不是构成了一个完美的时间，一个完整的时间，所以是一减七分之一，那乘以，那我一共六个球， 我有篮球有两个，那是不是六分之二啊？或者我们再严谨一点写，就是一减七分之一，再乘以 c 六，一乘以 c 二，一等于的是七分之六。呃，七分之二 或者 p 三呢，是绿数的概率，那就一减七分之一乘以 c 六一乘以 c 四一等于七分之六，乘以六分之四等于七分之四。 那我的整体事件是从零到三，那我现在有 p 一、 p 二、 p 三了，那我的 p 零是不是等于一减 p 一 减 p 二减 p 三等于七分之七等于零？ 所以我的方程可赛形成的函数是不是就列出来了？我的 f x 应该就等于七分之一 x 加上七分之二 x 方加上七分之四 x 的 立方。 然后我们再看， 那他说我要求出的可赛的的可赛是什么意思？是从 i 从零起一直到 n i 减去期望的平方，再乘以 pi， 对 不对？所以我的的可赛，它应该等于的是 零减去七分之啊。对，我先，我得先把我们的期望算出来哈。 那先写下期望。期望怎么说？还记不记得？期望等于零乘以零加上七分之一乘一，加上七分之二乘二加上七分之四乘三，等于七分之十七。 所以 d 可赛，也就是我的方差，它等于的应该是 零减七分之十七的平方乘以零加上一减去七分之十七的平方乘以一加上二减去十七分之十七的平方乘以二加上三减去七分之十七的平方乘以三 啊。他就等于我给你挪一下，他就等于零加上七分之十。起负的也是七分之十的平方加上七分之三的平方再乘以二， 再加上七分之四的平方乘以三，最后应该等于的是三七。 现在四十九分之二十六。好，那我们再算一下这个，它是 f 倒倒一，那 f x 已经求出来了，对不对？那 f x 倒呢？它是不是等于七分之一加上七分之四 x 加上七分之十二 x 方， 而 f 倒的倒呢？就等于七分之四加上七分之二十四 x。 所以 f 一 的倒就等于的是， 呃， f 一 的导就应该把一代入，一代入的话应该是一加七分之一加七分之五七分之十二，七分之十七。 f 一 的导导，它就等于 f 一 的导导，它等于就是七分之二十八。 哎，所以 f 一 的导导加上 f 一 的导，减去 f 一 的导的平方， 就等于七分之二十八，加上七分之十七，减去七分之 十三，减去四十九分之十七乘十七，等于四十九分之二十六。 所以 d 是 一个码，而 d 的 a 就 等于 f 一 的导导加上 f 一 的导，再减去 f 一 的导的平方，这就是一二问的这道题。嗯， 然后我们看下第三题， 第三题说什么？第三题说已知方程。 x 加 y 加 c 等于九， x 加 y 加 c 等于 n。 哎，这是一个典型的排列组合整数解问题。 整数解问题？啥？啥叫做排列组合整数解问题呢？你看 x 加 y 加 c 等于九， 你正常来说做这个数，你会很懵，那么我们这么想，我把九给它变成九个一，一二三四五六七八九九个一，那它有几个空啊？是不是有八个空啊？ 哎，我把这个 x、 y、 z 当成三个盒，插入一个盒，插入俩盒， 我是不是就把它改成三份了？这就是假，这是 x 是 二， e 是 二， y 是 五，哎，它就给它转换成什么问题了，它就转化为 红球一和问题。 隔板法。 那 x 属于 n 呢？它是非负整数， 就代表着隔板法的可控问题。 x 属于 n， 正呢？ n 星或 n 正呢？它就属于正整数就是不可控问题。 然后我们再看题，他说用克赛表示一组解中最小的数，那克赛可以为几啊？那克赛是不是就可以为零一二三，还能更大不？不能了，对不对？ 这我们就需要讨论呐，我们需要讨论什么啊？我们需要当那再等于零时， 那在取零时，那我得看我得有几个零吧，对不对？那我如果说我有一个零，那就是 x y 是 有的， z 没 z 为零，或者是 x y 没有啊， x y z 有 y 的 零，或者 x y z 有， 所以是不是得有个 c 三一啊， 对不对？我得先在 c 里面选一个，它是空的，那剩下的呢？九个数是不是分给他们俩？那九个数是不是有八个空？八空里是不是得产一个，对不对？ 好了，那如果说有两个零呢？ 如果有两个零，是不是就九零零零零九和零九零，那是不是就三个里面选一个就行了？不需要讨论了，或者是在或者这么也说， x y z 三个数里面选出来两个坑放零也可以。这是 c 个么等于零的情况， 那当，哎呀，把这习个默契了，当克赛，那当克赛等于一时呢？我最小值是不是为一，那是不是变成了不可控问题了？那不可控问题了的话，那这是一，那这是可以是一，可以是七， 也可以是一二几，一三几。所以还是讨论有一个一和有两个一，有一个一的话，那就是还是三个里面选一个是一，对不对？拿走， 剩下八个数，两个人分，一共有几个空啊？ 啊？不对，八数两人分，你得需要啊，一二三四五六七八， 一二三四五，哎，五个空，五个空里选一个，为什么五空里选一个？因为我不能再有一了，再有一的话就变成第二个情况了，所以说我这两个空得，哎，不用，这是一共五空，这五空里选一个，那有两个一呢？ 那是不就是也是 c 三二 x y z 里三个里面选两个出来放一，剩的就是七， 同理，可赛等于二时呢？那就得考虑有一个二，或者有两个二，如果他有一个二， 那么我是不还是在三个里面选出来一个放二？那刨出去二，是不是还有七个？ 一二三四五六七，那一共几个空啊？正常来说六个空，但是我是不是最小值为二，还且有一个二，所以起身就得起三个，起身起三个的情况下，我是不是得跑去 几个空？是不是得刨去五个呀？相当于三个里面插俩板，也就是有两个空，两空里选一个， 那如果有两个二呢？那就是他两个二已经出来了，所以说三个里面选俩方块二就结束了。嗯， 那当 cosine 等于三时呢？那就很简单，那就是三到三到三，那就有一种，哎，所以呢， 我的 p cosine 等于零，那就等于我的总总选项，总选项是一个九个球的可控问题，就是 c 十二，呃， c 十一， c 十一二， 这一个里面抽俩嘛，对不对？然后是 c 三一乘 c 八一，加上 c 三二，它等于五十五分之三八二十四，二十七。 而 p 可赛等于一，也是 c 十一二，然后 c 三一， c 五一加 c 三二，等于十，五十五分之十八。 p 可赛等于二， c 十二， c 三一乘 c 二一乘以加 c 三二等于 九，五十五分之九。那最后那个呢？ p 再等于三，等于五十五分之一，哎，所以我的 t x 就 等于五十五分之二十七，加上五十五分之十八倍的 x， 加上五十五分之九倍的 x 方，加上五十五分之一倍的 x 的 立方，所以 g x 就 等于 t x 的 导， 就等于，嗯， 呃，五十五分之二十七，加上五十，哎，不对不对，没有这个了，这个长项没了啊。五十五分之十八，加上五十五分之十八， x 加上五十五分之三 x 方， 那它就除 g x 的 极小之点，我是不得对它求导啊。所以 g x 导就等于五十五分之十八，加上五十五分之六， g x 导大于零， 呃，就是五十五分之十八大于负的五十五分之六 x， x 就 大于负三， 然后 g s 倒小于零， x 就 小于负三，所以我的 g x 就是 倒啊， 在负无穷到负三是递减，负三到正无穷是递增， 所以 x 等于负三为极小之点。 好，我们这道题就说到这里了，这道题呢，其实除了第三问是跟导数相关的问题之外，剩下的一二三把，包括第三问，前面的分析都是我们的排列组合，我们的概率问题。 这次的一模呢，没有考马尔科夫列，而是考了一个这这样式的更更简单一些，但是他偏推理，偏分析，你分析的不透，这道题你读不明白，那么这道题你的分读的就比较低，你分析的透，这道题读明白了，你这道题能得分满分，因为它难度真的不是很大。 好，今天我们就讲到这里，后面大家想听关于哪套卷子的题，可以私信发给我，我会给你进行一一讲解，再见！

拿到黄埔一模卷，孩子们，不只是你们心慌气短，你学校老师估计也短了，他的整体题量变少了，少了两道填空题，那多出来这八分呢？评分到了原来的二十一、二十二、二十三、二四题上面，所以现在整个卷子是二十三道题，六个选择，十个填空，七个解答。黄埔呢？他一直是引领中考变化趋势的， 难道我们中考数学要这样改吗？有点可怕，那题量和分值的改变带来的最大变化是什么呢？就是解答题的分值变大了，你们是需要写更详细的过程的， 那相对的失分点就会更多，更不容易得高分。连带着你考试的时间分配，复习的时候的复习方法，侧重点都是要变的。这就是为什么我一开始说老师要跟着心慌气短的原因，因为他们也得变，这样才能教出成绩来。 旗帜的大石老师说了，从题型上来看，有几点变化。第一个函数综合类的题目和几何操作类的问题颠倒了一个顺序，就是强化了我们原来试卷上二十二题的几何操作题的位置的。这个二十二题你们做过的应该知道吧？哭爹喊娘，这个文字题阅读量也太大了， 我一看有两页纸，他非常的强调同学们的建模能力，那这道二十二题完全可以跟杨浦一模的二十五题的黄金矩形有的一比了。或者我们可以去看一下二零二一年黄浦一模的第二十三题，其实已经有迹可循了， 那还有一个前后压轴题，这一道十六题，他不是常规的图形运动背景下的几何计算题，而是一个函数型的阅读理解题，他的目的其实是很明显的，就是要提高函数知识在考试中的一个地位，是为我们后面高中学习提前铺垫的。 这道题其实我们可以参考一下二零二四年上海中考的第十八题，开口大小的那道函数型的阅读理解题，那道中考题一直是我们大师老师比较欣赏的，他其实是经常和同学们提到这道题目的。 第一道题目的难度已经是传统易蒙卷的十到十二的位置了，第三题的这个向量的坐标平面内的表示也是有创新的。第五题，这个俯角多个角度的比较是从来没有出现的。 填空题部分，第八题、第九题、第十三题、第十四题的难度都比往年的一模填空略高一些，十五和十六作为填空的小压轴，难度和以往还是一致的。总结一下这张一模卷的一些变化，体现了命题者对于数学中考的一些思考。点个赞啊，那前面说过，黄埔一般都是引领上海中考数学变化趋势的，这张试卷体现出来的这所有的特点 有可能会出现在将来的中考试卷上，不过别怕，是将来我们二六届应该是赶不上了，鼓掌吧！

各位朋友大家好，我是陈哥，跟着陈哥走，数学满分有好，今天我们来解决一下初三同学非常头疼的耻归做徒压轴问题。 好，这种题呢，最主要的其实就是思考啊，当然呢，你得有一些所学的知识，对吧？包括像相似的一些模型啊，相似一些结论啊，圆密定力等等的，对吧？香蕉弦啊，切割弦啊，这个，呃，割线定力啊，包括陀螺密定力等等这些啊，需要有很多的这种知识储备， 但有这些知识背以后呢，其实，呃，还需要更多的是你读题思考的能力，以及他每个题目之间这种联系的这种能力。 好，所以呢，我们拿这一道非常经典的二年联合体一模的这一道压轴题啊，来讲一下这种题怎么去思考 好。首先对于各位同学来说呢，这个第一问呢，应该非常简单的啊，这个就是一个很标准的两个三角形相似，对吧？这个我就不写了啊，三角形 a 博 e， 相似于三角形 a 到个 c， 所以 相似完以后可以得到对面乘比例，就是 ab， a d， a e， a， c， 这个就不再写了。 好，然后你想想看，就是这种第一问为什么那么简单呢？当然呢，他有送分的因素。那大家想想看，为什么我不会让大家这个第一问为什么那么简单呢？那一加一等于二不是也送分吗？ 啊，所以一加一等于二为什么不出呢？因为他跟这个题没有关。那我为什么出这个问呢？说明他跟下面的问是有关的 啊，所以这个第一张图非常重要。好，第二题呢，这是一道开放型命题，它呢，有不同的方法去做，对吧？啊，这个方法当然有很多啊，很多朋友呢，可以能想到的，就第一个，第一个就画一个三角形，对吧？这个三角形我主要使的什么呢？就这个三角形 啊，他的一个边是 a， 一个边是 c， 那 这个三角形这个边是 b。 好， b 的 话，那我只要跟他画一个相似三角形，相似的话怎么办？就是这个边随便啊，这个边随便的，所以你只要画个跟他角一样的，这个，这个最后这个角画完以后画个简单画个痕迹啊。啊， 这个一连，对吧？这个角画完以后画个简单画个痕迹啊。啊，这个一连好，这个线长自动就是 d。 好吧，因为 a， b 乘 b 等于 c， b 乘 d 嘛，好，注意，第一个是画三角形，第二个呢，我也可以画一个什么呢？画一个平行线啊，画平行线，就我只要使得这个，这个我也是直接画出结果了啊，就这一段 是 a， 这一段是 b， 对 吧？好，那你这个地方划一条，截一条线段，就这个地方截一个线段，这个叫 b， 这个是 b 啊，不是这个是这个 c， c 啊， c， 这个叫 c， 那 自动这个就是 d， ok 吗？好，这个也很简单。那用图一的方法怎么画？哎，图一的方法是这样的，呃，大家呢？首先有同学可能这样想说，老师，根据这个图一呢啊，这个是 a， 对 吧？这个是 ab 是 a， 那 ad 就是 b， 那 a， e 是 c， 那 ac 就是 d。 好，这个思路没问题啊，是 ok 的， 但是你要注意下这个题他给的 abc 三个线段哎，他是有长有短的，所以从图中来看的话，我这个你这样写是不行的哦，所以你要注意啊，所以应该是最短的 a， d 应该是 a。 好， 最短的 a， d 是 a， 然后呢？ b 跟 c 跟 c， 其实 ab 和 ac， 它这个东西呢，其实没办法定义啊，所以呢，我们，呃，就是这个叫 a 比上 b， 这个叫 b 吧，这个叫 c， 那 这个就应该我们需要的 d。 好， 所以这个啊，这个，这个，这个应该是要写一下，这个是 a 比上 b 嘛，对吧？这个是 c， 这个就是 d 啊，这个是 d 啊，当然你画的时候呢，是这样的，我说一下啊，你画的时候呢，相当于，呃，就是这个，这个，这个点呢？往这边偏一点点，这个是 a， 这样的话就使得这个就是 c 了，这个就是 c 了，这个没问题啊，这个就是 c， 显得要稍微长一点，所以我们实际画的时候没什么问题啊，我就按实际画，所以这时候呢，应该怎么弄？ 这个叫 b 啊？好，首先我应该怎么办？你看，相当于我现在是以已知 a b， 哎，然后呢？ abc， 然后呢？这个三角形中他有 b 有 c， 然后还有个高 a， 怎么去画这个 abc 的 外接圆？ 那首先我是不是要把 abc 的 三角形画出来，对吧？那怎么画？这是一个很关键的点啊，这个垂直啊，所以怎么办？首先先随便画一条这个线，在这个线上截一段长度是 b 的，是 b 的 长度，那这一段就是 b 的 长度， b 的 长度。好，然后怎么办？以 a b 啊，以这个 b 为直径，画一个圆， 好，所以这个圆的直径就是 b， 然后你注意一下，这个 a 跟它什么关系？ a 跟它垂直啊，哎，那我只要以这个端点，相当于这个就是 a， 这个是 b 啊，以 a 这个端点， a 为圆形，然后小 a 为半径，哎，我画一个 弧啊，这个这个长度就是小 a 好 一年，这应该是不是就是直角， ok 吗？啊，然后呢，再以 a 点为圆心， c 为半径，截一段长度，这个叫 c， 好， 这个是 c 好， 然后我画 a， b， c 的 外径圆 好， a， b， c 的 外径圆呢？这个我就直接画了啊，反正你做的是 a b c 三角垂直平面交点好，我就直接做外径圆了 啊，然后这个画的呢，稍微有一点瑕疵啊，这样差不多好，然后最后他的这个东西呢，应该是什么？这个他的直径，哎，对吧， 连接一个圆心并延长这个直径叫 e， 这就是我们要的地点， ok 吗？ ok 吧，好，所以此时呢，这个叫 c 啊，此时叫这个，所以此时你用的是这个，这个一年啊，这个三角形和这个三角形 相似啊，所以应该 a 比上 b， 等于 c 比上 d， ok 吗？这个啊，这个这个这个，这这这， sorry 啊，这个标错了，这个是 d 啊，这个是 d 啊，看差了， ok， 所以 我说了，这个这个长度， bc 长度，其实无所谓，你这画出来肯定是对的啊， 好，所以这个还挺关键，就这道题，他的这个线段长度是不一样的，所以他的方法可能不太一样啊，所以你要看清楚，线段长度好，最难的其实是第三问， 第三问呢，我们先看一下题目，他说呢，已知线段 abab 是 圆， o 的 弦就给定一个圆，这个圆，其实直径什么都不知道哎，然后呢，有一个线段 a 和 b， 然后让你在个圆上找一个 c， 使的 c 乘 c， b 的 a 乘 b。 很多人拿到这个这个题目以后呢，一筹莫展啊。那陈哥呢，提醒一下大家，你看像这种式子怎么办？首先还原成相似啊，所以我需要得到一个 a 和 b 是 对角线的，那 c 和 c b 是 对角线的。 好，那这个式子怎么弄呢？所以这其实是这道题的难点，所以这道题难点其实是在把这个等号两边呢，在这两边呢，都去搞一个跟他们相等的式子作为桥梁。什么意思？我搞一个 a 比上一个东西，等于这个东西比上 b 好， 我再另一个搞一个 c a 比上方方框，等于一个方框比上 c b 啊，我只要使得这个两个画圈的相乘和两个画画方框的相乘相等，那 a 乘 b 是 不是等于 c c a 乘 c b， 所以 这个题在这个地方其实很难。 好，那下面呢，我们就来思考一下怎么去构造啊，怎么弄一个 a 比上圈等于圈比上 b 呢？那我第一个想的就是相似，哎，相似，我只要搞个三角形相似是不就可以了， 哎，然后呢，你要注意下 c 和这个 c b c 呢？我觉得这个 c c b 怎么弄啊？我觉得应该是要放在这个第一张图的，第一张图不是有这个什么 c c b 这种东西，这种东西线段吗？对吧？我觉得可能放这上面，但是，但是啊，但是这个 a 和 b 可能我没想好，那我现在就用一个三角形相似来搞，所以呢，你要注意下，这个题最主要的有个桥梁是直径啊，所以我首先以直径 画出这个圆的直径，然后这个圆直径上呢，我们截取一段，这个叫 d， 这个叫 n。 好， 截取一段，这个叫 n， 比如说叫 n m 吧， n m 长，它是等于小 a 啊，就是 a 的 线段长， ok 吧？ 好， n m 等于 a， 那 n m 等于 a 了，以后呢？那我再在外面啊，我这个地方，我以 b 为直径，哎，我随便画一个，就 a， 以 n 为圆心，以 n 为圆心啊，然后呢？ b 为直径，然后画一个弧，然后上面随便点个点，叫作 q 点好，连接 n q， 这 n q 这段长就是 b， 能看懂吧？好，所以这时候呢，我把 d q 一 连，哎，就会有个三角形叫 d n q， 其中呢，它有个小的长叫 n m 是 a 啊，这个 n m 是 a， 那 n q 是 b， 哎，那根据这个情况，就是 a 比上什么呢？ a 比上 n d 等于什么？比上 b， 那 就是以过 m 点做一个 d q 的 平行线，过 m 点做 d q 平行线，我就不画了啊，这个叫做 h 点好。此时是不是会有这样，这两个线是平行的啊， 所以 a 通过相似 a 比上 n d， 这个是直径，等于 n h 比上 b， 哎，也就是 a 乘 b 等于 n， d 乘 n h 啊，其中 n h 是 这个我截的线段长，对吧？就是这个画平行线截的线段长，然后 n d 是 这个圆的直径， 好，然后下一个就是。我现在在想，哎，怎么再把这个方框弄出来，那方框就是 c 比上一个什么东西等于什么东西？比上 c b， 对 吧？那，那 c 比上啥等于什么东西比上 c b， 那 我觉得我能想到就是，哎，能不能构造一个这个， 就是这段长叫 c c 比上一个什么呢？比上一个这个东西 a d， 对吧？等于，哎，什么长比上 c b 等于，呃，这个东西比上这个叫 c b， 哎，那这样的话， c a c b 是 不是出来了？ c a 比上一个 a， d 等于直径比上 c b， 能看懂吧？就搞搞这样一个东西。好，所以我就想到，哎，那我这样子弄的话，哎，其实我现在我会发现，直径不就是这一条线段长吗？ 那就是我这样写一个啊，叫 c a 比上 c b 等于，嗯，这个叫，这个叫， 所以这个乘 m， 这个吧， m 乘 n 好， m 是 这样吧，我写个 m 是 这个直径啊， n 呢？是这个蓝色的线，嗯，那你会发现 m 不 就是跟 n d 一 样吗？不是直径吗？ 对不对？那我只要截一段，什么，哎，我只要截一段，这个跟 n h 是 不是一样长就行了。所以这个题最终的方法是在 a b 上面怎么办？我随便取一个点，然后做一条垂直， 好，然后在这个垂线上截一段跟这个题目 n h 一 样长的，这个叫 a b， c 啊，叫做 c d， e e 吧， e 没有，对吧？截一段就叫 e f 有 吗？啊，没有， f 截一段 e f 长是等于 n h 好， 然后呢？把这个过 f 点做一个平行线， 把这个截出来的 e f 挪到圆的边缘上面来，就这个这样子，因为我需要的是这样子做过圆吗？你看我要的这样子过圆，是不是做过垂直，对吧？好，所以得到这个点，哎，其实就是我要的 c 点 啊，这一段，这一段和 n a 是 一样长啊，这一段和 n a 是 一样长。好，所以我们把 c 一 连， c b 一 连啊，然后再把这个直径一连， 这个 c a， c， b， c， d， e， f， g， g 点啊，这个叫 g 好， 所以这个地方我们会比较的好一点啊，写一下元音就是啊，结元音就是三角形，叫 e f， g， h i， 这个叫 i 吧，字母可能比较乱啊，这个叫 i， 所以 我会有个三角形 c a g。 相似于三角形叫 c i b， 所以 这边就会有 c a 比上 c i 等于 c g 比上 c b， 即 c a 乘 c b 等于 c， i 乘 c g， 好，然后因为 c i 是 不是等于 n h， 然后呢？ c g 是 直径是等于 d n 的， 所以最后得到上面这个这个尺子跟这个东西应该是一样的解， a 乘 b 等于 c， a 乘 cb， 好，所以这道题还是非常有难度的题。这是尺规对照中压轴的压轴好，你需要怎么去联想？你看，我一直是紧扣着第一张图去联想，这个非常关键。 好，那这道题讲完以后呢，大家可能还需要去好好揣摩揣摩，去二次回顾，去再琢磨琢磨。好吧。好，我是陈哥，我们下一个专题再见。拜拜。

刚结束了福田区期末考试，各位家长同学考的怎么样？福田区九年级期末考试试卷总体难度并不大，但是比较考察计算量，这也许就是明年中考的风向标，可能会加大计算量的考察。我们这里着重分析一下压轴题。 先看第八题，第八题数学思维好的同学取特殊值可以很快做出来，严格证明需要塑形结合。再看第十三题，这道题和二三年试一性考试第十五题很类似，注意题目有垂直有四十五度的角，考虑做垂线构造平行 以及等腰三角形，用相似和等腰三角形的性质找数量关系。第十九题最后一空，使用等面积法勾股定律建立两条对角线的方程，求解，有一定计算量。二十题最后两问，首先是平行平分出等腰，找出相等的线段，然后根据相似勾股定律列方程求解。未知数 也有一定计算量。其他题目都是常规题，考察常规知识点，部分题目注意计算就不会出错。这些知识点在何老师的培优课程中可以说是讲过很多遍了。有想领取福田区九年级数学试卷答案的家长可以私信何老师领取。关注何老师，深圳中考数学不迷路！

a、 b、 c、 d、 c 边形啊 d， a、 b 是 九殊度 d， a、 b、 c 这里是九殊度 a、 b、 c 是 六殊度 a、 b、 c 是 六殊度 a、 b 等于 b c a、 b 等于 b c 的 话，那就是等边三角形，对不对？六十度，所以它这里是等边三角形，对吧？如果你连一下的话， 那么 a、 b、 c 应该是等边三角形 e、 f 分 别在边上，如果 c e 垂直 b f c e 垂直 b f 这里有个垂直的话。嗯，我们都得到什么嘞？他让我们求什么？让我们求 c e 比上 b f， c e 比上 b f 啊。这里的话，它是 这样子，跟李永云应该有个相似啊，但是的相似在哪里的？又不好找哈，不是很好找。嗯，不是很好找。这题我们只需要做个辅助线就行了啊，做个垂线就好了。 只需要这里做个垂线，我并能发现了啊，翻译什么了呢？就这个角啊，和它弧于，对吧？嗯，它又和它弧于，对不对？所以这里有个相似啊，三角形 c、 e、 h 相随三角形 c、 h 等于对的，应该是二啊。 b f， a 对 吧？ c e、 h 对 应 b f a， c e 比上 b f， 那 应该等于谁啊？ c e 比上 b f， c e 比上 b f， 那 应该就等于这个 c h， c h 比上 ab 啊，它其实就等于 c h 比上 ab 啊， 对吧？它其实就以 c h 比让 a b， 那 c h 比让 a b， 我 们一定会算到的呗。 c h 比让 a b 啊，你看这等边嘛，它这里是一，这里是二，这里定好定好，它比二嘛，所以这天定好，它比二 啊。这里它其实就有一个相似，但是也需要天的辅助线，要不然人的相似找不到啊，要不然人的相似找不到。非常的提。

好了，孩子们看啊，来，看到这道拉开差距题，呃，今年道法其实不难，我觉得就前面刚刚老师讲过的题，我对我的学生都比较有信心，大家应该就是这个拉开差距的是个十五分， 就是老师讲过这种大分值的题目，他不仅有知识点的分数，大家知道吗？他甚至有语文分，你看没有，他这有知识点分，他还有框架分，框架分也就是你老师讲过的逻辑分， 就是你答题你要有逻辑，对不对？然后完了之后你还有表达分，那么当然那质点的分数是占大头，嗯，他会占到八到十分，然后这个框架分呢？会有三分左右，表达分可能会有两到三分， 就大概的这样的一个情况啊。来，首先跟老师来去看题啊，关于 ai 助学的困惑。首先你要明白老师讲过这是一个什么困惑，你要概括困惑，你要你要写，这是一个什么概括？先结合自身的经验，你自身经验就是做法，自身经验就是你怎么做，明白吗？就是在最后一步听我说 这个题目，自身经验就是你的做法。还记一道之前讲过 n 道这种题，比如说关于情书，书的手和劲呢？还有关于慢和快呀，关于这种生态，是发展生态呢？还是？呃，发展经济啊， 对不对？老师讲，讲过至少五六道这种题啊，在这个我们考试之前对不对？所以首先这是一个什么现象？然后针对现象， 观点一平息，他不是两种观点吗？你看谈谈对以上两种观点的看法。观点二，平息他就是按照我们正常老师讲过的平息的题目。第三个，那这是第一个，这是一个什么困惑？ 第二个，对于这种现象，你要概括这个现象，两种不同的观点。第三，你的自身经历，你的做法，你认为应该怎么做？ 听懂李老师讲什么没有？你看这个逻辑分是不是就出来了，对不对？来读题，初三三班的李明习惯使用 ai 来辅助写作业，效率就突飞猛进了。临近期末考，他发现自己已经依赖 ai， 很 难独自构思一篇完整的文章。 李明，关于 ai 数学的困惑，有的同学认为以上两种观点，你要对两种观点要找出来。观点一， 那有同学会认为善用工具是未来核心能力， ai 就 像技术计算器，用了不代表我们不会算数，而是解放大脑去思考更高级的东西。女同学反对，那比如说这是支持，你要分析他为什么支持，要用道法理由去分析他为什么支持的原因。 然后第二个观点还说，学习的过程就是思维爬坡的过程，超近到直直达山顶，会让我们错过沿途最重要的思考能力，最终会丧失判断的人呢？就是反对者。 那你要写为什么反对？你要就是要，我讲过语文也好，道法也好，历史啊，就是你要用学科知识解释去陈述人家为什么这么说， 对不对？ ok， 好， 所以明白了吗？所以第一步，你要对以上两种观点进行看法， 你可以总分，对了，老师讲过啊，总分总的结构，所以来跟老师来看到。所以你第一句话可以说，我们应该辨正看待 ai 助学，辨正看待这个京剧。老师讲过， n 变了， ai 助学对不对？就跟去年就不是一个一样的，对不对？我们要辨正看待 ai 助学记， 还记得那个京剧班老师讲过记积极，然后关键词啊记积极，那那个京剧老师讲过记积极的，然后这个利用 ai 提升效率，然后又怎么样？也要警惕过度依赖。 这个老师不讲过那种情书上那道题吗？有印象吗？还有那个过度依赖老师讲过 n 道这种题了， 对不对？那这是总的观点悟了没有？然后就开始分析啊，观点一的合力性来跟老师来看到观点一啊，然后只要写，然后你可以说 ai 在 哪些方面它提高了我们效率？说 ai 对 于那种重复性的、基础性的工作效率，我们可以用 ai， 就是你看，那你说观点一的同学认为然后上用 ai 是 未来的核心能力，然后呢？呃，我们确实要积极地利用 ai， 然后你要用 ai 要做什么呢？为什么呢？以及怎么做，对不对？ 那 ai 确实是我们啊，上用 ai 确实是我们的未来的核心啊。这个。呃 a， 这个观点一同学认为上用工具是未来的核心能力啊，为什么？因为我们现在是科技社会，是创新社会， 对不对？ ai 在 一定程度上确实能够解放啊，人们的大脑解放能够促进生产力的提高，能够养成孩子们这个使用，合理使用这个啊，人工智能的能力就是你先说它的这个好处 啊，先说它的好处对不对？然后再说。但是我们不能够万事依赖 ai， 过度依赖 ai， 我 们应该用 ai 去解决一些简单的、重复性的、技术性的工作。 你要再讲吗？就是先肯定他正确的部分，然后再说他不能够过度依赖他，然后观点二是一样的。观点二认为学习的过程就是思维爬坡的过程，超劲道，然后直抵山顶的能够破坏，这个就说他为什么这么说，你要说确实啊，然后能够 要写到独立思考能力下降啊，比如说材料里里面难以完成这个文章呀，对不对？然后学习过程中挫折与探索是培养我们解决问题的关键呀， 对不对？完了之后你再跟他说，然后这个对不对？然后就是写他的，就是你要分析人家的理性对不对？所以真正的能力需要什么？实践需要实践，需要反思，是不是？所以观点二然后有一定的理性， ok， 好， 就平息他， 明白吗？最后第三个他不是让你结合自身经验吗？你说在我的学习生活中，然后我会适度的，然后借用 ai， 然后去解决问题，然后比如说我在查找资料，比如说我在学习语文的时候学习岳阳楼记，我查找岳阳楼记的这个啊，背景啊，然后比如说某个单词我不认识，然后我借助 ai 去寻找单词，意思你要写实际啊，对不对？然后去解决一些，就是 啊，知识，把 ai 当做我的知识储备库，然后去进行解锁啊，但是呢，我没有过度的依赖它，比如说一道数学题，我如果不会做，我会先独立思考， 完了之后呢，把尽量独立思考，然后实在不会的情况之下呢，我用 ai 去看一下它的思维过程，看一下它的这个答案的一个过程，然后再把这个 ai 关了，然后自己再独立的去完成它啊，然后在这个 ai 的 基础上，然后自己再独立的复盘去完成它， 就是， ok， 这就是你的做法呀，对不对？好在总结全书，对不对？所以啊，对待 ai 啊，这个助学的这个问题，我们啊看到它的我们继继续要积极利用 ai 来提升我们的效率，用 ai 去 啊，这个不是查答案，而是用 ai 去解锁我们的这个知识库，同时也要警惕过度依赖 ai， 然后从而丧失了独立学习能力啊，丧失了批判性思维啊，丧失了真正的学习能力。 ok， 那 么这个答案不就完成了吗？ 孩子们，你搞定了没有？好。然后那个详细答案，老师等一下啊，就是会出一个手脚旁给大家，好不好？ ok， 好。

好，我们一起看一下工大二零二六年中考工大一模的大压轴。 呃，这道题呢，考了个什么呢？考了一个定角定定角定边啊，就是考了个引援 来，考了一个平行当中的一个辅助线的做法啊，可以说是等积变形。看，第一问四边形 a、 b、 c、 d， a、 d 平行于 b c， a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 然后 a、 b、 d 的 a、 b、 c、 d 的 面积是九， 那么求 a、 b、 c、 d 的 面积，那么这两个三角形呢？等底等高，所以说呢，答案也是九。 第二个半圆 o 的 直径为 ab， 然后点 c 是 在半圆上动。问，三角形面积的最值，那么这个三角形呢？它的底边是 ab， 是 个定值，高呢？是过 c 去垂 a、 b， 那 这个 c 啊，这，这个垂线段什么时候能最大呢啊？比如说我们做一个垂线段是 c h， 那 很显然 c 越向上走 高度越高，那么这个 c h 越大，那 c 点什么时候能达到最高点呢？过 o 点做上 ab 的 垂线， 然后也就发现 c 点应该是在弧 ab 的 中点中间，那此时呢，这个高是最大值，高是最大的，面积就是最大的，那他考的就是一个什么？就是一个定角定边的时候面积最大值啊，也就是说，当这个呃角 c 是 定角的时候啊，当他的 a、 c 两条边 a、 c 等于 bc 的 时候，面积最大值。那么关于定角定边，除了考面积大值，还有可能考什么呢？可能考 a、 c 加上 bc 的 最大值啊，就是这两个两个腰和的最大值。还有可能考下加权的，比如说考下 a、 c 加上根三倍的 bc 的 最大值啊，那么这两种情况呢？感兴趣同学去研究一下啊。呃，我们来看一下第三问， 第三问是某公园有一个三角形， a b c， a b 是 二十角， a c b 是 九十， 那这个三角形 a b c 呢？是三边可解的啊，它一条边是二十，然后一个角是六十，还有一个角是六，呃，是九十啊，那三边比是一比二比根三。在演艺广场上， a b 发射灯发出的这个射线啊，射灯发出光线啊，会交于点 m 啊， amd 是 个四十五度，那么我过 a 点呢，去做个 am 啊，这应该图中原来是画好的啊，这个角呢，是四十五度 啊，那么我第一反应呢，这也是一个引圆啊，因为这个这个角是四十五度，然后这条边呢，是个定值，定角定边嘛，它的位置也是个引圆，那么它的圆心呢？就是以 ab 为斜边啊，做一个等值 啊，做个等值，那这个圆 o 呢？这个点 o 就是 这个圆心啊，就是大概是个这么情况，但是我们先不要着急去画，看后面什么要求啊。呃， a 啊，得到哪了？ 好该这了，点 c 射出的光线与 a m 交于点 n， 那 么 c 大 概要向下发射一条线，且 c n 与 b m 平行哦，那么这两个是平行的，也就是说 c n b m 应该是个梯形啊，这似乎跟第一问要就能靠上去了啊，跟第一问就能靠上去了哦。接下来是让我们求这个这个四边形，就刚才画的这个梯形的最面积最大值 哦，那求这面积大值，求这面面积大值呢，我们很容易发现啊，这个 b c 是 个定值， 所以呢，就比较容易去想到这个四边形呢，拆成两个三角形，一个是过 m 点做垂线，一个是过 n 点做垂线， 然后两个我们先要求的就是这两个绿色线段的和的最大值，因为底边是 bc 是 已知的了，但是这个和的最大值呢，似乎不是很好求。 那么这个题型用别的办法呢？比如说我用上底加下底乘以高呢？上底 c n 和下底 b m 呢，也都是一个不知道的，而且这个高呢也是不知道的，比较难处理。那这两个绿色的把它两个要统一放在一起去研究，怎么样能把这两个绿色的放在一起去研究呢？ 或者有没有一个，有没有一个其他的一个办法呢？那么这这里呢，有一种梯形当中，必要我们就要去考虑到梯形当中比较常见的辅助线啊，从两个角度去理解，一个就是，呃，四边形的面积去变成 三角形的面积，这个是在什么里边考的呢？是在平分四边形面积的里边会经常用到这个思想，平分四边形面积 啊。另外一个就是我们要看一下梯形当中常见的辅助线啊。梯形当中常见辅助线有哪些呢？ 有一种辅助线呢是就是过梯形的上底向下做两条垂线段，这样呢我们就能把梯形的上底 a d 呢给它转化到下底上来了， 就可以继续研究了啊，这是一个非常常见的辅助线。另外一种情况呢，就是我们通过平移的方法，把 a c 这个对角线呢向右平移平移到这来 啊，那本来两个对角线是相交的，就 b d 和 a c 是 相交的，平移之后呢，这两个对角线就构成了一个三角形， 我们就通过三边关系可以处理一些问题，那平移之后还有个什么好处呢？假设交 b、 c 与点 e 吧，那上边的这个 a、 d 也转化到了底边上来啊，就是上底和下底就共线了啊，也是可以解决一些问题的。 那这里我们来看一下，在梯形的等级变形里边， a、 b、 d 的 面积会等于 a、 c、 d 的 面积，也会等于 这个图形的面积哦，因为这两个图形呢，是等底等高的，虽然说它没有共用一个底，但通过刚才的平移，我们也表述了，上底呢，被移到下底来了，接在下底上面了， 所以说这两个图形是等底的，然后也是等高的啊，这是一个啊，比较高级的一个等底等高他没有共用底，也没有共用高。 那除了这个角度去理解这个问题啊，如果梯形当中的辅助线呢，我们比较常见，辅助线比较熟练的话，那梯形面积转化成三角形面积呢，是比较熟练的。呃，还有种情况就是一般四边形在这里边，我们除了这道题呢，还是要稍微的说一下 啊，假如是一般四边形转化成三角形啊，比如说这有个四边形是 a、 b、 c、 d 啊，我想把它转化成三角形，比如说我想求的是过 a 点的一条直线，把四边形给平分一下，那么我先把这个四边形转化成三角形，连接 a、 c， a、 c 呢，用绿线来表示过 d 点呢，去做 a、 c 的 平行线， 交 b、 c 的 延长线，与点 e 连接对角线 a、 e， 最后发现这一号面积呢，就转化到二号上了，因为呢，这个这个一号加三号的面积 应该等于的是二号加三号的面积，因为它们是等底等高的，因为两个绿色是平行嘛， 所以原来四边形的面积是一号、二号、一号、三号和四号。现在三角形的面积呢，是二号、三号和四号啊，一号和二号是相等的，所以呢，我就把四边形转化成了三角形的面积。 那么在梯形当中会也可也可以从这个角度去理解，就从刚才四边形这个角度去理解，只不过梯形呢，是一个有一组对边是平行的这么一个四边形啊， a、 b、 c、 d， 那 我按照刚才的思路连接 a、 c， 然后呢做 a、 c 的 平行线，其实这时候我做出来的这个图形啊，这个刚才做出来的这个 a、 c、 e、 d 呢，它是个梯形，而在这个图形当中呢， a、 c、 e、 d 呢，是个平四， 那么这个梯形面积再再去连接 a、 e， 刚才这个一号同样会转转转，转移到二号来，也就是说我把梯形的面积最后变成了 a、 b、 c 这个三角形的面积 来。回到这道题当中，那么我们看一下这个现在的 c、 n、 b、 m 呢，就是一个三角形， c， n、 b、 m 就是 个梯形啊，那根据刚才这个梯形那个辅助线啊，我可以把一条对角线呢向一端去平移，那么这个里边呢，我可以把这个 b、 c 啊平移到这个位置上来， 那整个这个图形就是就是这个梯形的面积，我同时也可以把 c、 b， 把 b， 这把 n、 m 向上平移啊，那此此时这个面积 就是原来梯形的面积啊，梯形地角线的平移构造了一个平次，这是梯形当中非常啊，这个非常经典的几个几种弧线吧。呃，我们向上平移吧，向下平移，这会有交线，会麻烦一点。呃，这条线绿线 向上平移，平移到 n 点，平移到 c， 然后交 b m 的 延长线于点 p 吧，那根据刚才那个图形就会发现这个面积被转移到这来了， 那此时也就能看出来，我们现在要求求这个四边形的面积呢，其实就是在求这个三角形 pcb 的 面积的最大值，那 pcb 的 面积最大值呢？这边有个已已经有个定弦了 啊，根据第二个那个提示，那么定角在哪呢？这个是不是定角呢？那很显然这也是个定角，因为这两个是同位角，所以上面这个角 p 呢，也是个四十五度， 也是个四十五度，那就找它的圆心，以 b c 呢为斜边，找一个等值， 然后 p 的 轨迹呢，就是一个以 o 为圆心啊，大概一个这么样的一个圆， 使用垂径定里，先过 o 点呢，做 c b 垂足是 h， 然后 p 点什么时候最大呢？反延 o h， 反延 h o 啊，这点就是我们 p 的 就是这个 p o 最大值的位置， p 点最高点啊， p 点在此时是最高点，那么三角形这个 p c b 的 最大值 会等于底是 b c 是 个定值，高啊，高就是 o h 加上 p o， 也就是说这个 p o 就是 半径啊。那么来看一下，这个是十倍跟三，那这个应该是五倍跟三，这应该是五倍跟六啊，但是标一下，这是 o h 是 五倍跟三，而这个半径 c o 呢，是五倍跟六， 往里一代数二分之一。 b c 是 十倍跟三，乘以的五倍跟三，加上五倍跟六 啊，算下可以了，这样相乘等于一百五二分之一是七十五，再加上这两个相乘是五十乘以三，一百五十倍杠二啊，七十五倍杠二好结束。那么这道题来稍微总结下，第一个考的就是 啊，定角定弦系列啊，定角定弦系列，定角定弦系列，第一个是定角定弦，那么今天这个考的是个面积问题啊，也可以考什么呢？也可以考 ac 加上 bc， 或者是考 ac 加上个加权倍的，比如说是根三倍的 bc 啊，这是一个问题。第二个问题是考梯形中的辅助线啊，这道题我觉得定角定弦考的并不是很难啊，定角定弦这部分其实挺容易的，关键是梯形的这个辅常见辅助线啊，梯形长的辅助线。再来说一下，我再拿这个就这个梯形来表述一下啊。第一种情况是，我们经常是 通过做双垂构造一个矩形，构造矩形其实在圆当中，在倒数第三题圆当中也经常有这样的辅助线，通过构造双垂构造矩形，我就能把这个上底 a d 给转化到下底上来 啊，如果再结合这个角是多少度，那就可以做很多事情。第二种辅助线就是梯形对角线的平移啊，把这个 a c， 本来 a c 和 b d 是 交叉的，我把 a c 平移到这来， 那就构成了一个对角线，组成这个三角形，同时还能把上底给转移到下面，转移到下底上来，上底和下底两个数据呢，也就可以拼凑拼接在一起了 啊。这题型当中两种非常常见的对角线，那么稍微拓展一下就是啊，平衡面积啊，四边形平衡面积，我们我在这构造的也是一个梯形的蝴蝶定底啊，就是一号和二号是相等的，把一号面积转化成二号上 啊。然后刚才那个如果是平分面积的话，我最后再找到 b 点和 e 点的中点即可啊，中点假设在这，那假设是 m 连接 am， am 会平分 a、 b， e， am 这条线会平分 a、 b， e， 那 么 am 这条线也会平分四边形 a、 b、 c、 d。 好 了，这道题就说到这里。

如图，矩形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于八， b、 c 等于十五， p 为线段 b、 c 上一度点， 以 b p 为斜边，向矩形 a、 b、 c、 d 内部做等腰直角三角形 b p、 q 前角 b q p 等于九十度连剪 b p。 当 dp 加 p q 有 最小值时，求点 q 到直线 b、 c 的 距离。首先我们做点 d 关于 b、 c 的 对称点 d 撇 连接 c d 撇 p d 撇。根据对称性可知，线段 c、 d 等于 c、 d 撇，线段 p d 等于线段 p d 撇接， 即可将线段 d p 加 p q 转化为线段 d p 加 p q。 接着我们做过点 d p 做 d p e 垂直于 b q 所在的直线于点 e。 根据点到线垂线段最短，我们可得 p 呃 p d 撇加 p q 大 于等于 d 撇 e。 当前就到 d 撇 p q 三点共线时， p d 撇加 p q 的 和最小 要求点 q 到 b c 的 距离，我们过点 q 作 q f 垂直于 b p 于点 f， 即此时 q、 f 的 线段长度就为点 q 到 b c 的 距离。 接着我们计算，因为三角形 b p q 为等腰直角三角形，所以角 b p q 等于四十五度， 所以角 c p d 撇等于四十五度。又因为角 p c、 d 撇等于九十度，所以三角形 p c、 d 撇为等腰直角三角形，所以 p c 等于 c， d 撇等于八， 所以 b p 等于 bc 减去 bc 等于十五减八等于七。 在三角形 b p、 q 中，呃 q f 垂直于 b p， 所以 根据等腰三角形的三线合一性质，可得 呃 b f 等于 p f 且角 b p q 等于四十五度，所以线段 q f 等于 b p 的 一半，等于二分之七， 即当 d p 加 p q 有 最小值时，点 q 到这些彼此的距离为二分之七。

好，再来看一下工大一模的小压轴，这个小压轴呢，难度不是很大 啊，讲了，这是一考了一个刮豆啊，考了两次，运用刮豆原理，题目当中告诉我们， ab 等于六，然后 bc 等于五，这是一个九十度，然后 a、 d， c 是 个定型三角形啊，这是一比二比根五。 那么这里边我们要把 ab 和 bc 这个事情来理解一下， ab 和 bc 呢，它是两条定长线段，我们把其中一条呢看成是个定线段，就是位置是定的，那么 ab 是 一个水平的，所以我把 ab 看成是个定的， ab 是 个定的，那么 c 点就是绕着 d 点在转啊，因为 bc 这个长度是一个定值嘛，动点绕着定点，动点到定点的这个距离不变，说明动点绕着定点在转这个长度数，所以 c 的 轨迹就是一个圆， 那 c 的 轨迹是圆的话， ab 是 两个定点。我大致写一下， ab 是 两个定的， c 是 动的， d 呢也是个动的，随着 c 的 变化， d 也会发会发生变化。所以说我们观察出了第一个 bug， 就是 说这个 c， a 比上 d， a 等于的是根五比二 啊。第二个是角拮定从也是角， c， a， d 呢，等于的是不知道多少角，等于 alpha 吧，这个弹性的 alpha 呢，等于的是二分之一， 所以这两可以判定它是一个主从联动。那么 c 点的轨迹是圆， d 点的轨迹呢？也就是圆。第二步呢，是找圆心，怎么去找圆心呢？呃， c 怎么去变化到 d 的， 然后 c 的 圆心就怎么会变化成到 d 的 圆心？来，我们设看一下 c 怎么到 d 的， c 呢？是绕 a， 然后逆时针转了个 r， 然后变成了根五分之二， 那么 c 的 圆心 b 也要进行同样操作，就会变成 d 的 圆心，是 o， 逆时针转个 alpha， 然后变成根五分之二 啊，那这个如果是 alpha 的 话，那就说明这个是直角，这点就是 o， 也就是我构造了一个三角形，构造了一个谁呢？构造了一个三角形 o a b 啊，使得三边比呢？是，呃，这个一比二比根五的，那我就顺便把这个 o b 算出来， o b 呢，等于的是六除以根五， o a 呢，会等于他的两倍，等于十二除以根五。 先不画简单我再说啊。那具体写过程呢？我先构造了一个这样的三角形，然后和刚才的这个三角形和刚才的这个三角形进行左拉左，右拉右，是一个手拉手的相似， 左拉左呢，拉出来的是 d a o d a o， 所以 这时候我要把这个 o d 也连一下啊，会得到这个三角形 d a o 是 相似于三角形这个 c a b 的。 然后我重点要求的是 d o 嘛，对，我已经猜出来这个地点是绕着 o 转的，所以我要证明一下，那我就要证明 d o 它是个定值，因为 o 是 个定点哦， o 也是个定点， d o 比上谁呢？比上它对应边是 c b 啊，会等于 哦， ad 比上 ac， ad 比 ac 呢，等于的是二比根五，而 c b 呢，又等于的是五，所以说 d o 就 算出来，它应该等于的是十去一根五等于二比根五。 好，算出来了啊，我们就证明了，地点的轨迹是个圆，因为它绕着定点，它到定点 o 的 长度呢，是二倍，根五不变，动点到定点长度不变，这个动点就是个圆。接下来看 e e 也是随着 d 在 动，那我们又判断出了第二种，第二个刮度，双刮度啊。第二种刮度是什么呢？是这个 d b 比上 e b 也是两个动点到定点的比值不变，并且只要主定从是零度角， d b e 呢？等于的是零度啊。那么再找圆心，圆心怎么办呢？ d 点的圆心是 o o 到 b 点和 e 的 圆心，假设是 m， m 到 b 点应该等于是一比二， 所以我只要去把 o b 延长一下啊，把这个 b o 延长一下，就会得到 m， 那 这个位置就是 m， 来观察一下， o 刚才是个定点， b o 延长一个定长， m m 肯定也是个定点。 呃，再连接 em， 那 么 em 就 求出来， em 应该等于的是二倍的 d o 啊。这里边你可以用相似去理解，你可以用三角形。 呃， d o b 相似于三角形 e m b， 这是一个 a 字。相似，你也可以理解成个中微线啊。这个 d o 是 个中微线，它平行且等于二分之一的。这个 e m 啊，其实中微线啊，中微线这个事情啊， 它最后结果是个中微线，但它构造周围线的思路呢，其实用的是半路。呃， em 出来了，是个定值，然后呢，这个 am 呢，也是个定值， am 会等于谁啊？啊？在这看一下这个三角形 哦，这个 a o 呢，是三线合一，它既是中线又是高线，所以三线合一，那它是个等腰，所以我就能得出来， am 应该等于的是 ab 等于六。 呃， e b e m 呢，是个定值啊。那其实这道题就是，我把 a e 呢放在了一个什么当中，我把 a e 放在了一个两边为定值的三角形当中， 它的两边分别是 e m 等于的 e m。 刚才写到哪去了啊？ e m 没算呢，刚才 e m 应该等于的是二倍的 d o 啊，二倍的 d o 会等于 d o。 刚才算出是二倍跟五啊，它等于四倍跟五。另外一条边是 a m 啊，它等于的是六啊。那三角形当中呢， a e 会始终小于。 好，这道题求最大值，那就小于两边之和啊，小于的是四倍根五加六。那当这个三角当这个 a e m 啊，这是这这种情况呢，是 a e m 不 共线， 不贡献的时候，就说明 a e m。 能构成一个三角形，那么一边肯定会小于两边之和，当 e m。 贡献的时候，那就会得到 a e 会等于四倍根加六。好，这中上所述这两点合并在一起呢，这个 a e 就 求出来了。 那么总结下这道题第一大点呢，用的是一个刮斗啊，这个 a e 就 求出来了。那么总结下这道题第一大点呢，用的是构造的一个手拉手相似。 我们思想是哪是是挂斗，但是我们的具体的手段是手拉手相似啊。第二步呢，也思想也是个挂斗，但是手段呢，可以理解成是个中立线 啊。第三步呢，就是一个单线段的最值问题。单线段的最值问题啊，就两种，大概两种情况把它除了。这道题，我们还要总结一下，第一种情况，就是比如说 a e。 就 拿这个题给的字母来举例子啊，那么它应该是一定移动， 那一定一动的话，这个动就分两种情况，这个动分一种是直线，另外一种情况，这个动呢，是个圆。如果是直线的话啊，把它往这写啊，那就是定点到直线，点到直线 应该是垂线段最短，如果是圆的话，那就用三角形三边关系。 还有一种情况是两度，如果是 a、 e， 它都是动点两度，那么我们要通过转化，通过三角形的三边关系，或者相似，或者全等，把它转化成一定移动， 转化成一定移动呢？再回到这种情况。呃，这道题难度不是很大，坐水从心应该比较多。好，说到这里。