初中几个题型大全

初中数学拉开差距的就是函数，如果你能让孩子每天练习一页函数题，到了考试你就知道他有多优秀。这本书把初中三年要考的函数题型都给你整理好了，你比如常考的一次函数、反比例函数、二次函数等等，考试必考的八十八个函数题型，这本书全都覆盖了每种函数。 先给你梳理基础知识，然后通过例题教你解析思路，学会以后再去做后面的专项训练。全都是近三年的中考真题，不会的扫码就有录制视频讲解，还是自己就能学。这些都是考试要考的拉分题，数学想冲高分一定不要错过，快给孩子准备上吧！

要回到春末的五月，这就是中考必考的八十八个函数题型知识点。函数是初中数学的重点，也是难点，这本初中函数题型大全都给你整理好了。从考试常考的函数基础题到压轴题，都分类整理的清清楚楚。比如一次函数，从基础的概念公式到典型例题， 再到答题步骤，重点是还有详细的答题思路分析，让孩子一步一步攻克函数。所有题型还精选了各地中考真题，即学即练，这些都是考试要考的拉分题，想冲刺高分的孩子一定不要错过，全国通用！

一条视频搞定，期末必考二元一次方程组，五大题型同时满分练习一并帮孩子领取，期末轻松拿分取件码六六七 求解这样的一个系数比较复杂的二元一次方程组，那首先对于这种复杂的计算，一定要先观察里面的特殊地方，那这里特殊地方是在于二十三 x， 二十三 y， 十七 x 和十七 y， 那 对于这个地方会发现咱们的系数是交换了的，那我也把这类方程称之为系数对称型方程。我们的解题方法只有一个口诀叫一加一减，那于是我们标一式和二式，那第一个步骤就是将两个式子相加， 一式加二式，我们可以得到的是四十 x 加四十 y 是 等于一百二十的， 该进行化简就是 x 加 y 等于三，那么接下来一加后还要一减一式减二式是六， x 减六， y 等于六。进行化简是 x 减 y 等于一。那么对于三式和四式，求解就太简单了， 三式和四式两个式子相加以后， y 就 可以被削圆，所以得到的是二， x 等于四， x 就 等于二，那将 x 等于二带入任意一个式子，我们都可以求解出来， y 乘以一定。 我们一起来看下这道题，已知这个方程组的解为 x 等于四， y 等于负二，问底下这个方程组的解为多少？这种题没点技巧肯定做不出，那我们来观察一下这两个方程组，会发现 它的系数里头都含有 a 一 b 一， 它的常数里头都含有 c 一 c 二，那我们把这类型的题其实称之为同共方程。 要解决这类题型，方法很简单，就是将要求解的方程组的系数和常数项和已知的方程组的系数和常数项画成一致，这样使得两个方程组的结构一致， 那他们所代表的结应该也是相同的。那现在首先先看常数，常数这里是 c 一 和 c 二， 那这里是 a 一 加 c 二。那于是我要将二式中的 a 一 a 二先 移到等式左边，就变成了三， a 一 x 减 a 一 加二， b 一 y 等于 c 一。 那第二个式子移过来是三 a 二 x 减 a 二加二， b 二， y 等于 c 二。那么接下来我们再来观察一下系数，这个系数是 a 一 b 一 a 二 b 二， 那我要让这个方程的系数也变成它，那怎么办呢？首先先来看这个地方的 a 一， 我们是可以给他提出来的，那提出来以后，我就摆在这个地方，然后 b 一 我可以也摆在这个地方，那我把剩下的东西拼凑进去就可以。常数先摆上，那摆上了以后， a 一 提出来以后，三 x 减一，加上 b 一， 摆到前面以后，里面剩个二 y 等于 c 一。 那第二个式子同样将 a 二摆到前面以后，里面剩三 x 减一，然后将 b 二摆在前面以后，里面剩二 y 等于 c 二。那么接下来我们来看细数、细数、长数、细数、细数、长数都和已知方程一样，那也就意味着它们的解 定是相同的。那这里我们要把解用整体表示出来，和它相同，也就意味着三 x 减一等于四二， y 等于负二。那这里我不能解出 x 等于三分之五， y 等于负一。搞定， 我们一起来看一下这道题关于 x y 的 方程组。正确的解是它因为看错 t， 所以解得了一个错误的解出来问 i， m 加 n 加 t 的 值是多少？那么这是一道非常典型的错解问题。错解问题的核心解题关键点，在任何方程中都叫做对号入座，什么是对号入座呢？就是正确的解带到方程中，咱们得到的一定 是正确的参数，那么错误的解带到方程中，咱们得到的也是错误的参数。那这个时候我们就先将正确的解带进去，可以得到，三 m 减二， n 等于二， 三 t 加十四等于八，那这个时候其实我们已经可以解出来 t 是 等于负二了。那么接下来我们说这里我们不能求出 m 和 n 分 别为多少，别忘了咱 错解依然可以带进去。那接下来解题的核心关键点就来了，咱们看错的是 t， 所以 这里的解带进去得到的是错误的 t， 而会发现 t 和第一个式子是 无关的，所以我不妨将 x y 带到第一个式子里头，对 m、 n 是 没有影响的。那么这里我又要得到一个 m 和 n 的 关系是，负， m 加二， n 等于二， 那么现在这两个式子我们可以结合起来，分别求出 m 和 n， 那 将它们相加以后，二 n 抵消得到的是二， m 等于四，那 m 就 等于二， m 等于二。代入进去以后， n 也等于二，所以 m 加 n 加 t 的 值就为二的定。 我们一起来看下这道题。若关于 x y 的 方程组有正整数解，其中 k 为整数，问 k 方减一等于多少，那么这是一道非常典型的整数解问题。要解决整数解问题，第一个步骤就是 表示解，那我们就把解用参数表示出来，那解的时候会观察正外负外，于是我可以用加法消元消 y， 一 加二可以得到的是 k， x 加三， x 等于七，那也就意味着是 k 加三倍的 x 等于七，那 x 被表示为 k 加三分之七，那解被表示出来了以后，第二个步骤就去讨论 这个东西为整数，那在讨论它的时候，其实只需要知道 k 加三是七的因素就可以了。但是题目有一个要求是正整数，所以 k 加三为七的正因素，那么 k 加三可以等于一，或者可以等于七，那此时我们可以解出来 k 可以 等于负，二， 或者可以等于四。坐到这儿又来了一个易错点，很多同学容易在这个地方出错，我们现在只讨论了 x 为整数，而我们说方程组由整数解， 一定是 x 和 y 都是整数，所以我们一定要去检验。当 x 为整数的时候， y 为不为整数，那我就把 y 又含有 x 的 式子先表示出来观察一下。那么由二式我们会发现 y 是 等于三 x 的， 那么当 x 为一个正整数，那么三 x 一定是一个正整数，所以没有问题。那所以 k 可以 取的值为二和四，那么带进去以后， k 方减一的值等于三或十五。搞定， 我们一起来看下这道题，已知方程组的解满足不等式组的解求 k 的 取值范围是多少，那这个时候很多同学拿到题以后，要求减方程组的解满足他，于是就把 x 和 y 给他解出来了。这里你不仅耗时多，而且计算量比较的大， 那这道题如果你清楚这三个技能，一分钟即可解决。首先观察这个方程组，会发现它是一个非常典型的系数 对称型的方程，那对于这种系数对称型的方程，咱们的解题方法一般都是两个式子相加和两个式子相减去化解咱们的方程组，两个式子相加得到四， x 加四， y 等于 k 加四。再来观察一下， 咱们要的是 x 加 y 大 于零，这里是四， x 加四 y， 那 其实第二个技能就是整体思想，我可以把 x 加 y 这个整体表示出来，两边同时除以四为四分之 k 加四，那 所以这个地方就可以被转化为四分之 k 加四大于六，那其中的一个不等式就被转化了。那接下来我们再来看一下两个式子作差作差，我选择用二式减一式，因为这样减出来，我们的 x 的 系数为正， y 的 系数为负，比较符合咱们这 这个不等式，那我们来试一下，二 x 减二， y 等于 k 减二，那这里是 x 减 y， 这里是二， x 减二 y， 所以 我又用整体思想把 x 减 y 表示成二分之 k 减二， 那所以这里二分之 k 减二就小于零，那于是乎这个不等式组就被转化成了这样的一个关于 k 的 不等式组，那现在第三个技能，你只要会解不等式就可以了。 那第一个我们解出来应该是 k 减二小于零。第二个是 k 加四大于零，那所以我们可以得到 k 小 于二， k 大 于负四，那所以 k 的 值是大于负四小于二的定。

好消息来了，今天一条视频带你彻底搞懂将军印码的六大模型。将军印码呢，是初中几何动点最值问题当中啊，最常考最重要的一类题目了，在各种大大小小的考试当中啊，基本上都是必考的。 今天呀，就把将军印马的最常考的六大变形全部总结起来了，一定要点赞、收藏、关注起来，我们一起来啊，把这些题型的应用方法，答题思路梳理下来，以后遇到这类问题咱们就能轻松搞定了啊。首先呢，明确两件事情， 如何来识别将军一马模型？你看题干，如果题干都问的是这种线段之和的最值问题，那百分之百就是将军一马模型了， 那如果识别出来是军一马，马上要想到两个字叫做对称，他们是双胞胎啊，是一起的来。第二个， 别看是六大模型，但是底层的原理非常简单，你求线段的最值对不对？两大最值原理几何当中 两点之间线段最短以及垂线段最短。好清楚之后呢，我们首先来看今天的第一个模型，两定一动模型 什么意思呢？ a 和 b 是 两个定点点， p 呢是一个动点，如果 a 和 b 是 在直线的两侧的，求线段的最小值，原理是什么？两点之间线段最短，直接连接线段 a， b， a 是 定点， b 是 定点，那么线段 a、 b 即为所求的最小值。那如果说这个 a 和 b 呢，是在直线的同一侧的，那怎么办呀？ 做对称，让点 a。 关于这条定直线做一对称是 a 撇，那 pa 和 pa 撇就是相等的，我们要求的是这条线段加上这条线段 之和的最小值，那这个圈一呢，就变到这里来了，对不对？那么 a 撇是定点，点， b 是 定点，两点之间线段最短，那我们的 a 撇 b 即为所求。当然了，你去做点 b， 关于直线的对称点，连接 a b 撇也是没有问题的啊，这是两定一动模型，我们再来看一下，一定两动模型 是什么意思呢？ m n 为动点，点 a 呢为定点，两个动点一个定点，求三条线断合的最小值问题，怎么办呢？ 我们做对称啊，一定是定点，关于定直线去做对称点， a 是 个定点， l 一 l 二呢，是两个定直线，所以呢，我们让 a 关于这做对称，记做 a 一， 让 a 关于 l 二做对称，这个呢，我们记做 a 二。 我们所求的是什么啊？三条线段，我们分别标做一号、二号、 三号，这三条线段和的最小值，根据我们的对称呢，那我们的一号线段呢，就转化到这里来了，根据我们的对称呢，这二号线段呢，就转化到这里来了，对不对？现在呢，一号线段， 三号线段，二号线段，求这三条线段和的最小值。问题，而我们的 a 一 a 二是什么？是定点，对不对？ m n 的是动点。好，那就转化成什么呀？两点之间线段最短，连接我们的 a 一 a 二即为所求的最小值。连接之后呢，与 l 一 l 二有两个交点，这个交点就是 n 的 位置，这个交点呢，就是 m 的 位置啊，当取这两个位置的时候呢，我们就知道了线段和是最短的。 所以呢，在这再多说一句，想要求最值问题，有的时候呢，是问你的最值是什么，有的时候呢，是问你两个动点在什么位置？你不是先确定位置再去求最值的，而是说呢，先确定他的最值，再去确定位置的，能不能明白 它们一定是最小的，连接它与焦点，所以这两个点呢，就是我们 m n 所在的位置，先定最值，再定位置，明白了吧？好，这是一定两动模型，我们接着再来看一下， 一定两动，它稍微变了一下， m n 呢？为动点还是两个动点？ a 为定点，它让我们求的是 am 加 m n， 这个和上一个题区别在了哪里呢？上一个是不是要求三条线段和的最小值，这个呢，是两条线段和的最小值，问题还是做对称让定点。关于定直线去做对称， a 呢？关于 l 二去做对称，对称点呢？咱们记做 a， e， a， m， m， n 分 别记作一号线段和二号线段。现在呢，根据对称进行了线段的转化，一号线段呢，就转化到了这里来了。 那一号加二号是谁呀？就是这一条加上这一条的最小值。那这也太简单了，根据什么呀？两点之间线段最短，你去连接 a p n， 那 a p n 是 不是所求的最小值呢？ 这个关键就在于 a 撇，它是一个定点，但是这个 n 呢，它不是个定点， n 是 个什么？ n 是 一个动点呀， 所以说你直接连接两点之间，能求出它最值吗？也就意味着连接 a e n 之后，这个 n 呢，还是在这个上面动的。那我们想象一下， n 在 这个上面动的过程当中，我们的 a e n 什么情况下会取得最小值呀？ 是不是转变成了点到直线的垂线段最短？当 a e n 垂直于 l e 的 时候，我们这个玩意儿会取得最小值，其实最终呢，就转化成什么呀？点到直线的垂线段最短啊，好，当它垂直的时候， 也就说当这个点 n 啊，在这个位置的时候，他们所求的是最小值，而这条垂线段既为所求， a、 e、 n 既为所求的最小值。 好，这个也是一定两动，这两个呢，要放到一块总结对比着来学习。好，我们继续来看一下两定两动模型，什么意思呢？ m、 n 是 动点在 l、 e、 l 上的动点， a 和 b 是 定点，两个定点，两个动点求的是一二、三、四 四条线段和最小值，你看起来很夸张，对吧？你三个都有点迷糊了，又变成了四个，你别着急，你看一下，既然 a 和 b 为定点，那这四条线段当中，说明 ab 就 为定长， 它既然长度是定的，那它的最大值也好，最小值也好，和你定长有关系吗？没关系。所以说呢，这个 ab 呢，你就不用考虑了， 对不对？你在这个思路旅的过程当中呢，就可以不用管 ab 的 值，你最终把它的长度给他加上就可以了。现在呢，就是求这三条线段和的最小值，我们标为圈一、圈二和圈三。 am 一号线段 m、 n 呢，是二号线段， b， n 呢是三号线段，怎么做还是定点？关于定直线去做对称，让这个 a 撇呢？关于 l 二去做对称，那就是 a 一， 让这个 b 呢？关于 l 一 去做对称，那这块呢，就是 b 一， 那我们的线段圈一就转化成了是这里，它就是我们的一号线段，那我们的 b、 n 呢，就转化成了 b、 e、 n， 这就是我们的三号线段， 那一号加二号加三号，就是这条线段，加上这条线段，加上这条线段，对吧？一二三好，加起来之后， a 一 是定点， b 一 呢是定点，因为定点关于定直线做对称，它也是定点的， m n 呢是动点，那你知道了没有？什么时候 三条线断合取得最小值啊？来想我给你的两大原理当中的其中第一个，两点之间线断最短，所以我们连接 a 一 b 一， 那这种 a 一 b e 即为三条线段的最小值，然后再加上 a b， 它既为所求，对吧？很神奇吧？哈，那我们的 m n 在 哪里呢？ m 就是 在这个位置的时候， n 就是 在这个位置的时候，就你先定最值，再定位置，那你就知道 m n 分 别是在这里的时候，它是取得最小值的哈，这个是我们的原理，你结合具体的题目去做计算。好，再来看一下下一个造桥选址， m n 呢为动点， a 和 b 呢为定点，两直线是平行的， m n 垂直 l 一， m n 垂直 l 二，那说明什么了？它是垂直的，它是垂直的， 那你可以把 m n 想象成啊，它可以在这个上面，对吧？它，它可以是这个位置，这个位置，这个位置，这个位置都可以的。所以 m n 是 一种 长度固定的动线段。那就虽然看起来是两个动点啊，但实际上呢，应该把这两个动点看成一个动点，因为什么呀？因为它们是伴随运动的， m 在 动导致了 n 在 动， 或者呢？ n 在 动导致了 m 在 动，外表上是两个定点，但实际上呢，这两个动点呀，可以呢，合二为一，看成一个定点的，明白了吧？这就是这个造桥选址的神奇之处， 那我们怎么来做呢？来， a m m n 加 b n， m n 的 长度是固定的，所以说呢，暂且先不考虑，它 只要管 a m 加上 b n 一 号线段，二号线段它们两个和的最小值就可以了。借助了一个神奇的一步，就是 平移这两个动点，你看成了一个动点，把这两个 m n 呢？什么意思呢？看成一个，你看它们长度是固定的，要记住一个平移的技巧， 你想象一下啊，你把这个二号线段呢向上平移到这里来，平移嘛， 平行且相等，那你这再一连接这个位置，这就是什么呀？平行四边形，对吧？这条线段呢，你就给他平移到这个位置来了，好吧，这个就是这个做，这种造桥选址就这么来整的， 那这个二号线段呢，根据你的平移就变到了这里，所以这个造桥选址不再是通过对称去做了，而是通过平移来做啊。 那一加二这个点是不是一个定点呀？咱们记做哦， b 一 对不对？一号线段加二号线段， a 是 个定点， b 是 个定点，连接两点之间线段最短。所以呢，我们的 a b e 就是 am 加 b n 的 最小值，然后再加上 m n， 这个即为所求的线段的最小值，明白了吧？来，我们再来看最后一个，就接近胜利了，今天是不是收获很大呀，来自己点赞收藏啊，都是满满的干货啊，看好了，最后一个坚持一下啊。 然后呢， m n 是 l 上的动点，但是给了我们 m n 的 长呢，是个定长，它的长度是固定的啊，那让我们来求 a m 加 m n 的 最小值，它是个定长，所以呢，你求最值就先不管它就好了。遇到啊，不管是造桥选址 还是像这种将军六码，当你在求线段最值问当中看见了定长的时候， 你要想到做平移，知道了吗？你像让让 am 呢，让它向右平移 m n 个单位长度，什么意思呢？ am 整个向右平移，就这记作 a 撇就可以了， 对不对？那平移之后呢？这条线段还是相等的，咱们这记作一号线段，咱们这也是记作一号线段，所以你记住这个方法了，没有？看见等线段想到用平移，不管是将军六马还是造球选址都是一样的。 平移过来，这一号线段加二号线段，它的最值问题， a 撇是一个定点， b 是 一个定点，再次转化成了你最熟悉的最一开始的两定一动模型，让这个 b 往下做个垂直记做 b 一 二号线段呢，就转化成了这里了，所以我们的 a 一 b 一， 然后再加上 m n， 即为我们所求的最小值。好，这个就是我们本节课的所有内容了，你学会了吗？

八下数学十四大期末必考压轴题型，每道题都有解析思路，规范解析，规范总结，多学一道，多长五分。我们直接开始。 同学你好，我们一起来看这道题。这是一道平面几何题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， a、 d 等于三 点 e 在 折线 b、 c、 d 上运动点 e 关于 a、 c 的 对称点为 f， 连接 b f。 在点 e 从点 b 运动到点 d 的 过程中， b、 f 的 最小值为多少？点 f 是 点 e 关于 a、 c 的 对称点，点 f 会随着点 e 的 移动而移动， 但是呢，确定点 f 的 运动轨迹比较困难，所以可以换一种思路，取点 b 关于 a、 c 的 对称点，将它标志为点记，连接 e 记， 由此就可以得到线段 b、 f 和线段 g、 e。 关于直线 a、 c 成轴对称，那么这两条线段等长，点 b 的 位置固定，那么点 g 的 位置也是固定的。 g、 e 始终等于 b、 f。 求 b、 f 的 最小值就转化为求 g、 e 的 最小值。点 e 在 折线 b、 c、 d 上运动，它有可能在线段 b、 c、 d 上，也有可能在线段 c、 d 上。这个问题就可以叙出为，当点 e 运动到什么位置时， g、 e 的 长度最小。点 e 在 线段 b、 c 上时，可以发现，当点 e 与点 c 重合时，它到点 g 的 距离最近，连接 c g。 也就是说，当点 e 在 线段 b、 c 上时，它到点 g 的 最短距离就等于线段 c、 g 的 长。 而当点 e 运动到线段 c、 d 上时，点到直线的所有连线中，垂线段最短。当 g、 e 垂直于 c、 d 时， e 取得最小值。在直角三角形 c、 e、 g 中，斜边 c、 g 的 长度一定大于直角边 g、 e 的 长度。这意味着， 综合来看，当点 e 运动到线段 c、 d 上，并且使得 g、 e 垂直于 c d 时， g、 e 的 长度最小，那么 b、 f 的 长度也就最小。读一下，当 g e 垂直于 c d 时， g、 e 的 长度， 这个长度就是 b f 的 最小值。将 b g 与 a、 c 的 交点标注为点， o 与 c、 d 的 交点标注为点 h 分 分钟给到 ab 等于四， ad 等于三。根据矩形的四个内角都是直角，可以得到角 abc 等于九十度。 由矩形对边等长可以得到 bc 就 等于 ab 与 bc 的 平方。和的算术，平方根求得 ac 等于五 点 b 和点 g。 关于 a、 c 对 称，根据对称轴是对称点，连线的垂直平分线可以得到 a、 c 垂直平分线段 b g， 那 么点 o 就是 b g 的 中点 o b 垂直于 a c， 那 么 o b 就 可以看作是三角形 a b c a c 边上的高，这个三角形的面积就可以表示为二分之一乘 a c 乘 o b。 直角三角形的两条直角边可以作为一组底和高， 它的面积还等于二分之一。乘 ab 乘 bc， 由此就可以得到 o b 等于 ab 与 bc 的 乘积。除以 ac 求得 o b 等于五分之十二。在直角三角形 b、 o、 c 中，根据勾股定律， o c 就 等于 bc 的 平方与 o b 的 平方的差的算数，平方根 求得 o c 等于五分之九。 o、 c 同时是直角三角形 o、 c h 的 直角边，设这个直角三角形的另外一条直角边 o h 长度为 x， 那 么 b h 就 等于 o b 加 o h 等于五分之十二加 x。 在 直角三角形 o、 c、 h 中，根据勾股定律，斜边 c h 的 平方就等于 o c 与 o h 的 平方和 c h 同时还是直角的角形。 b c h 的 直角边。在这个直角的角形中， c h 的 平方就等于 b h 的 平方。减 b， c 的 平方。将 o c 等于五分之九， o h 等于 x， b h 等于五分之十二。加 x bc 等于三。代入 得到一个关于 x 的 方程，可以求出 x 等于二十分之二十七，也就是说， o h 等于二十分之二十七。 由对称可知， o g 等于 o， b 等于五分之十二。用 o g 减去 o h， 就 可以求得 g h 等于二十分之二十一。 c h 等于 o c 与 o h 的 平方。和的算数平方根 求得 c h 等于四分之九。由于 g e 垂直于 c d， 那 么 g e 可以 看作是三角形。 c h g c h 边上的高， 这个三角形的面积就可以表示为二分之一。乘 c h 乘 g e， 而 o c 垂直于 og， 那 么 o c 就 可以看作是三角形。 c h g h g 边上的高， 这个三角形的面积还可以表示为二分之一，乘 g h 乘 o c， 由此就可以得到 g e 等于 g h 与 o c 的 乘积。除以 c h 就 得 e 等于二十五分之二十一，这说明 b f 的 最小值为二十五分之二十一。 具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下，总结一下。要知道，点到直线的所有连线中，垂线段最短。 这道题目利用轴对称的性质，将求 b f 的 最小值转化为求 g e 的 最小值，还要掌握句型的基本性质以及勾股定律，并且要会利用等面积法求线段的长。这道题就讲解到这里，同学们再见！ 同学你好，我们一起来看下这道题，这是一道关于线段最直的一个问题，我们一起来看一下。如图，点 p 是 矩形 a， b， c， d 对 角线 b、 d 上的一个点，然后点 m、 n 呢？分别是 ab 的 这样的一个中点啊，那也就说 m n 其实也是定点，对吧？然后连接 p m p n， 若 ab 等于三， b， d 等于六啊， b， d 指的是这个对角线等于六啊， 然后他说则 p m 加 p n 的 这个最小值为多少？那可以看到这道题 m， n 是 定点， p 呢？是动点，动点呢，是在这个直线上运动的，对吧？线段上运动啊，那这个题其实就是一个将军一马问题，标准的将军一马问题，两定一动，那咱们是不要做对称， 然后连接 n 和这个对称点，那交的这个点其实就是会使得这个两个线段之和值最小值的对应的 p 点，对吧？那接下来其实就主要是求解的这个过程，那咱们一般去求这个 n 点 和这个对称点距离的时候，那一般是要建立直角三角形的，那咱们可以先做一下，我们做 m 关于这个 b、 d 的 一个对称点， 哎，我们记为 m 撇，然后呢，咱们可以将这里去补齐成一个直角三角形啊，因为可能一会还涉及到对应的这个具体的一个求解，我们记这呢为 e。 然后咱们要想去求这个最小值，是不得连接下 m 撇和 n， 对 吧？ 哎，也就是这样的 m 撇和 n， 此时咱们要算 m 撇 n 的 长度，对应的其实就是这个最小值。想算 m 撇 n 还要建立直角三角形，那咱们还要在这做垂线 a， 那 这块呢，既为 f。 好 的啊，那对应的其实就是这样的一个情况，这是一些基础的这个辅助线，当然一会呢，咱们也要去描述一下。好的，那咱们写一个解， 首先我们做 m 关于 b、 d 对 称点 m 撇，然后我们过 m 撇去做 m 撇， e 垂直于 ab， 然后交 ab 延长线 于 e 点，然后我们过 m 撇去做 m 撇， f 垂直于 a， d 于 f 点，对吧？然后我们还要连接 m 撇 n 连接 m 撇和 n， 然后交 b d 于 p 撇点啊，那此时这个点其实就是 p 撇。好的，然后我们还要连接一下这个 p 撇 m 和这个 p m 撇啊， p 撇 m 在 这 还有 p m 撇啊，应该在这边。好的，那这个呢，就是咱们所有的辅助线，其实最基础的就是做这个对称，然后以左边的这个直角三角形和上面这个直角三角形，好吧？ 好，然后那咱们书写一下，那所以基于上面这个角 a， f m 撇是不是就应该等于九十度？还有角 e 是 不是也是九十度啊？那所以啊，又因为四边形 a， b， c， d 为矩形，那所以角 a 是 不是就等于九十度了？所以四边形 a， e m 撇 f 啊，也就是这个狭长的这样的一个图形，它也是矩形， 那所以 a f 是 不等于 e m 撇， a e 等于 f m 撇，对吧？然后由对称，哎，我们知道 b d 对 应的 b， d 应该垂直平分 mm 撇， 垂直平分 m m 撇， 那所以我们对应的 m p 是 不是就等于 m 撇 p 啊？那所以咱们就转换了， m p 加 p n 应该等于 m p 加 n， p 是 不要大于等于 m p n 啊，其实对应的这个最小值就是 m p n 这样的一个长度，那也就是当 m 撇 n 还有 p 三点共线， 哎，三点共线的时候，那对应的 m p 加 n p 去最小 啊，然后那接下来就是求解了，因为 a b 是 等于三的， b d 等于六，对吧？那所以对应的 a d 啊，先把这个长求出来， a d 应该是等于根号下六方减三方，那应该是一个三倍的根号三， 好，然后咱们再看，接下来呢，我们要求一下这个 m m 撇，那咱们可以先求这个 m m 撇的这个一半，对吧？那可以看到这应该呢是一个直角，我们要确定一下这个角度，那这是 三啊，然后这边呢是 b d 是 六，这是三倍根号三，这应该是一个三十度啊，六十度，那当然咱们也可以啊，就是连接 a c 交这个点为 o 点，证明这是一个等边，其实也是可以的，对吧？啊，我们连接 这个 a c 交 b d 与 o 啊，那当然这个图就会看上去比较复杂，其实你可以重新画一个图，也是 ok 的。 哎，我们这样连接一下之后，这个为 o 啊，我们就可以去证明这个是等边，从而证明这个是六十度。 哎，其实这里也是比较好证的啊，就我们可以得到这个 o b 应该是等于 o d 等于 o a 啊，等于 o c 的 啊，然后又因为这个 a b 是 等于二分之一的 b d 的， 对吧？所以 a b 就 等于 o b 等于 o a 了， 那所以三角形 a o b 就 为等边三角形。 哎，所以咱就推出了角 a b d， 这个比较关键呢，它是一个六十度，对吧？也就说这个 b m 到这个点，这个三角形是一个三十、六十、九十的一个三角形啊，所以就说角 b m m 撇 是等于三十度的，然后又因为 m 为 ab 的 这个中点， 对吧？这个 m 是 ab 的 这个中点。那我们对应的 m m 撇是不应该等于二分之三乘以二分之根号三，然后再乘以二，所以是二分之三倍的根号三。那所以 em 撇呢？ e m 撇应该就是一个四分之三倍根号三，那所以 m e 就 应该是二分之三倍根号三。乘以二分之根号三，等于四分之九。哎，其实就是在反复的去导边，对吧？那对应的 m e 咱们也就求出来了。然后又因 n 为 a d 中点啊，那所以对应的 a n 应该等于二分之三倍的根号三， 所以对应的 f n 应该就等于二分之三倍根号三。减去四分之三倍根号三，所以应该是一个四分之三倍根号三。其实最终呢，就是要放在这个 fm 撇 n 这个直角三角形，因为最终要求的是 m 撇 n 嘛，对吧？那所以 m 撇 n 是 不应该等于 f n 的 平方加 fm 撇的平方，它应该等于根号下 四分之三倍根号三的平方。加上四分之十五的平方，它应该等于二分之三倍的根号七。那所以对应的 pm 加 p n 这个最小值，咱们也就求出来了，应该是二分之三倍根号七。咱们将答案写在这里， 具体的解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 接着我们归纳总结下这道题，那这道题考察的是线段最值问题和这个将军印码问题啊。我们本题为将军印码问题啊。那处理此类问题，咱们依据常规的这个模型，其实做其中一定点，关于这个直线的一个对称点，然后连接另一定定点和这个对称点。 和直线的这个焦点呢，其实就是对应的这个线段值和最小值对应的这个位置啊，然后咱们进一步再建立直角三角形，就可以帮助我们完成求结了。 那结合刚才我们的这个总结，我们也拓展延伸一下，那这道题其实考察的主要就是这个轴对称的一个最值啊，其实他有一个名字叫将军印马模型啊，大家要把这个模型记住。然后这个模型呢，其实也是在咱们中考中 经常容易考到的一个知识点。那这个将军印马模型咱们刚才在总结的地方也总结了，他是有标准的这个处理步骤的， 也说咱们要先做对称，然后再去连接啊，那一般利用这个模型，咱们就都可以转换这个对应的这个线段啊，最终求解这个最值。所以在这个过程中呢，咱们也用到了这个等量转化的这个思维啊，咱们是借助对称的这个性质进行的一个转化。 这块呢，大家也可以再去把对应的将军密码模型啊，再去熟悉一下这道题，就讲解到这里，同学们再见。

初中道法六本书，其实主观题归根结底就是那八大体型，今天我把最简单最好用的满分公式一次性直接教给你。第一类，原因类，如果问你取得某项成就背后的原因，密码、经验，那都是为什么能我们就直接回答如何做。 有一类是为什么要类型，我们要记得回答是什么家有利于。第二类，意义类，他有可能会直接问你，请你说明开展某项活动的意义，或者说他的时代价值，再或者是他的积极影响， 他本质都是属于意义类的。主观题，记住意义题我们就回答有利于，然后分析都会对谁产生好处，以及会产生啥好处。 对于公民来讲，会对我们公民的思想、权益、行为都会产生何种好处？对于国家来讲，对于我们国家的政策目标，综合国力产生何种好处？对于社会来讲，又会对社会的秩序、风气和发展方面产生哪些好处？ 所以意义类的主观题一看见记得写上有利于加主体加角度。第三类，启示类就答是什么加如何做，就是说我们要写出来上述材料所体现的道理是什么，以及我们作为青少年应该如何做。第四类，做法类，盯住题目的设问，看看他有没有限制主体， 如果没有限制主体的话，我们要记得自己分主体去写上公民如何做，社会如何做，国家如何做，企业如何做，再去看一看材料里面有没有其他的像是家庭、学校这样的主体， 如果有出现，也要额外去写上这些主体的组合做哦。第五类，说明体现类，考试里面经常会问你说上述材料体现了什么道理，那我们就记得一个公式，谁做了什么事，体现了什么知识点，能带来什么好处。这个说明体现类里面还会包括一个小类，就是图表分析题。 我们记得第一步先看图说话，第二步紧接着去写出来，这个看图说话所得到的数据信息，到底体现了哪些本质的知识点？第六类，平息类，大的逻辑按照是什么，为什么，如何做来进行，但要记住中间的细节， 如果让你评价观点上来先判断对错，如果观点错误，记得去纠正，紧接着再去写出来为什么观点对，为什么观点错，还有我们应该如何做。如果让你评价人物行为，记得从道德和法律两个方面来进行评价，评价完以后再去说这个行为好好在哪里，有利于什么 不好不好在哪里，他会有什么样的不利影响，最后再去写上，那我们作为青少年应该如何做？记得要结合着材料的情景写出来具体举错哦。第七类，活动探讨类。 这种题型在考场上面出现都是比较开放型，又可以细分为注意事项类、转写任务类、完成调查类等等。 那这种题型一定要在前期就积累好对应的术语，考场上千万不能瞎编，必须要把这种开放的体系变成不开放。 第八类，小作文、小论文、史政述评类。大的逻辑一定是按照是什么，为什么，如何做出发。首先开头的是什么，先点出来你的论点，也就是整个材料体现的核心观点， 第二段和第三段分别去写他的论句，也就是要紧密结合材料信息，通过材料当中的谁做了什么事情，去仔细思考，都能够体现的满分术语。 最后一定要回归到我们青少年的自身，写上如何做，还要记得要升华，将我们青少年从个人逐渐升华到民族到国家，到整个世界。所以就这八套公式记牢主观题，再也不瞎写，如果还想掌握更多道法干货抓紧来找我。

期末数学十一大期末必考押注题型，每道题都有解析思路，规范解析，规范总结，多学一道，多长五分。我们直接开始。 同学你好，我们一起来看这道题。如图， ab 平行于 cd， f 呢，是为 ab 上的一点 f， d 呢？又平行于 e h， 然后切 f 一 平分角 a， f g 过点 f 作 f g 垂直于点 g， 切角 a， f g 等于二倍的角 d， 则下列结论其中正确的是哪一个？好，那么我们先来看一下这个一结论啊，一结论，他说这个角 d 是 等于三十度哎，这个角 d 是 三十度。好，那么我们来看一下。 那在这里我们知道 f d 平行于 h， f g 呢？有垂直于 e h， 所以 说明这个 f g 有 垂直于这个 f d， 所以 说明这个角它是不是就是九十度啊？说明角 d f g， 它呢就是九十度。那此时角 a f g 再加上角 b、 f d， 我 们标一个，给它标一个角一，再加上角一，是不是就九十度？而角一是不是又等于角 d， 而这个角 a f a f g， 它呢有等于二倍的角 d， 那 所以这个时候我们就能够去求出角 d， 它是三十度。我们写一下这个 e 因为 f g 垂直于 e h， 而 f d 又平行于 e h， 所以 说明 f g 垂直于 f d， 所以角角 dfg dfg 就 等于九十度，所以说明这个角 afg， 它再加上角一就等于一百八十度。再减去角，再减去角 dfg， 所以就等于九十度。然后又因为又因为 ab 平行于 cd， 所以 说明角 e 等于角 d 因为两直线平行内错角相等。而题目的已知条件，因为这个角 afg， 他是等于二倍的角 d， 对 吧？所以二倍的角 d 再加上角一，就等于九十度。角一又等于角 d， 那 么也就是二倍的角 d 再加上角 d， 就 等于九十度，所以就可以求出角 d 等于三十度， 所以显然这个一它是正确的。好，再来看二，二呢，它说二倍的角 d 再加上角 e， h， c， 等于九十度。二倍的角 d 再加上角 e， h c 是 等于九十度， 那显然也是正确的。是不是？你看二倍的角 d， 也就是角 a f g 嘛？然后它再加上角 e， h c， 角 e h c 显然等于角 d， 所以 它是正确的。然后二，我们来看，我们有哎，有一可知 由一可知，角 d 呢是等于三十度，所以说明角 a， f g， 它呢是等于二倍的角 d， 也就等于等于六十度啊，等于六十度。然后呢，又因为这里 e h 哎，因为 e h 平行于 f d， 所以两直线平行，同位角相等， e h 平行于 f d， 所以 说明这个角 e， h c， 它呢就等于角 d， 也就等于 等于三十度。所以我们就可以得出二倍的角 d， 再加上角 e， h c， 那 确实是等于九十度的，所以说明二它也是正确的。 好，那么再来看三吧。三的话，他说 f d 平分角 h f b 四，我们也看一下 f h 平分，角 g f d， 那 显然这个三和四我们都是证明不出来的啊。你看，我们简单的写一下， 因为这个角一，它呢是等于角 d 的，是等于三十度，这个我们刚才已经得出来了，对吧？角一等于角 d 是 三十度， 而这个角 g， f d， 它呢是等于九十度，等于九十度。但但角但角 h f d， 它不一定等于三十度， 不一定等于三十度，而且如果说这个 f h 平分角 g f d 的 话，那说明角，说明角 h f d， 它是等于四十五度，对吧？它也不一定也不一定等于四十五度， 也不一定不一定等于等于四十五度。所以说明这个 f d 平分 平分角 h f b 以及 f h 平分平分角 g f d， 它呢都不一定正确，都不一定正确， 那所以说明这个，所以三四都是错的，三四都是错的，那么这道题只有一二是正确的，应该是选 a 选项。好，那么下面呢，我们来看一下这道题它的规范解析， 我们可以将这一页呢暂停一下，然后给他截个图好好的看一下。下面我们总结一下这道题，这道题呢，它其实主要就是根据这个角的和差，角的和差以及以及角平分线的定义， 角平分线的定义，还有就是这个平角的定义，平角的定义以及平行线的性质， 平行线的性质还有就是等量代换， 等量代换，从而我们去证明出，证明出一二是正确的，而三和四的话，我们是没有办法去证明出来的，所以三和四都是错的。 好，这道题呢，就讲解到这里，同学们再见，同学你好，我们一起来看这道题，这是一道平行线性质以及旋转角度的题目，我们先来看题干， 如图所示的是激光位于初始位置时的平面视图，其中 p q 是 直线 m n 上的两个激光灯， 角 a p q 等于角 b q p 等于六十度。现激光 pa 绕点 p 以每秒五度的速度逆时针旋转，同时激光 q b 绕点 q 以每秒三度的速度顺时针旋转， 旋转时间为 t 秒。当 pa 平行于 b q 时， t 的 值为多少？由于激光灯是旋转的，那么我们需要分情况讨论。我们来看第一种情况，当 pa q b 在 直线 m n 上方时，如图一所示。 我们知道当 pa 平行于 q b 时，那么我们根据平行线性质可知，角 a p q 这一个角 加上角 b q p 这一个角等于一百八十度， 那么此时则等于出使时角 a p q 的 度数六十度， 加上 a p 的 旋转度数五度，乘以 t， 再加上角 b q p 的 初十角度六十度，再加上 b q 的 旋转角度三度 t 等于一百八十度，那么我们就得到八度 t 则等于六十度。接着我们解方程可得 t 等于七点五。 我们来看第二种情况，当 pa 在 直线 m n 下方， q b 在 直线 m n 上方时，如图二所示。 我们知道 p a 平行于 q b， 那 么此时我们由两直线平行内错角相等可知角 a p q 这一个角等于角 b q p 这一个角， 那么此时角 a p q 则为圆周角三百六十度，减去初十角度六十度，加上旋转角度五度 t， 那 么等于角 b q p 的 度数则为初十角度六十度，加上 b q 的 旋转角度三度 t， 那么我们整理得到八度 t 等于二百四十度。接下来我们解方程得到 t 等于三十。 我们来看第三种情况，当 p a q b 在 直线 m n 下方时，如图三所示。我们知道当 p a 平行于 q b 时，那么此时我们由平行线圈至可知角 a p q 这一个角等于 角 b q n 这一个角。我们是根据两只线平行同位角相等得到。对于角 ap， q 则是三百六十度，减去初十角度六十度，加上 ap 的 旋转角度五度 t， 那么就等于角 b q， n 的 度数则为初时角度六十度，加上 b q 的 旋转角度三度 t， 再减去平角一百八十度， 我们整理得到八度 t， 则等于四百二十度。接下来我们解方程可得 t 等于五十二点五。 我们来看第四种情况，当 pa 在 直线 m n 上方， q b 在 直线 m n 下方时，如图四所示。我们知道 pa 是 要平行于 q b 的， 那么我们根据平行线性质知道角 a p q 这一个角等于角 b q p 这一个角， 那么角 a p、 q 则为初十角度六十度，加上 a p 的 旋转角度五度 t， 再减去旋转一周的角度三百六十度，则等于角 b q、 p 则等于周角三百六十度，减去初十角度六十度，加上 b q 的 旋转角度三度 t， 我们整理得到八度 t 等于六百度。接着我们解方程可得 t 等于七十五。我们知道 t 的 取值范围是 t 大 于零，小于六十，那么这种情况不存在，所以我们要舍去。 综上可知， t 的 值为七点五秒或三十秒或五十二点五秒。 具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 最后我们一起总结一下吧。这道题目考察的是平行线性质，我们用到两直线平行同旁内角互补，二两直线平行，内错角相等，三两直线平行同位角相等。这道题就讲解到这里，同学们再见！

八下数学十四大期末必考压轴题型，每道题都有解析思路，规范解析，规范总结，多学一道，多长五分。我们直接开始。 同学你好，我们一起来看这道题。这是一道平面几何题，如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于四角， b、 c、 d 等于六十度， e 是 线段 a、 e、 b 沿 b、 e 翻折点 a 落在点 f 处， b、 f 垂直于 a、 d。 垂足为点积连接 d、 f、 c、 f， 则三角形 e、 f、 g 的 周长多少？三角形 c、 d、 f 的 面积是多少？先来看三角形 e、 f、 g 的 周长， 它的周长就等于 e、 f 加 e g 加 f g。 根据翻折前后的两个图形形状大小完全相同，可以得到三角形 a、 b、 e 和三角形 f、 b、 e 形状大小完全相同，是全等的。那么 e、 f 就 等于 e， a 加 e、 g 就 等于 a g。 所以 三角形 e、 g 面积就等于 a、 g 加 f、 g。 可以 看到 a、 g 就是 直角三角形 a、 b、 g 的 一条直角边。 在这个直角三角形中，角 b、 a、 g 等于六十度。因为题目中给到角 b、 c、 d 等于六十度，而菱形的对角相等，所以角 b、 a、 g 等于角 b、 c、 d 等于六十度。 直角三角形两锐角互余，那么角 ab、 g 就 等于三十度。在直角三角形中，三十度角所对直角边是斜边，长度的一半已经给到 ab 等于四，那么 a、 g 就 等于 ab 的 一半，等于二。接着只要求得 f、 g 的 长，就可以求得三角形 e、 f、 g 的 周长。可以看到 f、 g 就 等于 b、 f 减 b、 g 由反折可值 b、 f 等于 ab 等于四，求得 b、 g 的 长就可以。 勾股定律 b、 g 就 等于 ab 的 平方与 ab 的 平方的差的算数平方根求得 b、 g 等于二倍的根号三。用 b、 f 减去 b、 g 就 可以求得 f、 g 等于四减二倍的根号三。 a、 g 加 f、 g 就 等于二加四减二倍的根号三，等于六减二倍的根号三。把结果写到横线上，三角形 e、 f、 g 的 周长等于六减二倍的根号三。 接着来求三角形 cdf 的 面积。可以看到三角形 cdf 不 论以任何一条边为底，它们的高都不容易求得，所以我们可以利用整体减部分的思想来求这个三角形的面积。三角形 cdf 的 面积就等于四边形 bcdf 的 面积减去 直角三角形 bcf 的 面积。为什么三角形 bcf 是 直角三角形呢？因为 bf 垂直于 a、 d， 而菱形的对边互相平行， bc 是 平行于 a、 d 的， 所以 bf 也垂直于 bc。 而四边形 bcf 的 面积该怎么来求呢？可以看到这个四边形的形状并不规则， 可以利用分割法连接 b、 d 得到四边形 b、 c、 d、 f 的 面积等于三角形 b、 c、 d 与三角形 b、 f、 d 的 面积之和。那么角形 c、 d、 f 的 面积也就等于三角形 b、 c、 d 与三角形 b、 f、 d 的 面积之和。减三角形 b、 c、 f 的 面积。来看一下三角形 b、 c、 d 的 面积。 菱形的一条对角线会将菱形分为完全相同的两部分，所以三角形 b、 c、 d 的 面积就占到菱形 a、 b、 c、 d 的 一半。菱形 a、 b、 c、 d 的 面积就等于 a、 d 乘 b、 g 等于 四乘二倍的根号三，等于八倍的根号三。那么三角形 b、 c、 d 的 面积就等于四倍的根号三。再来看三角形 b、 f、 d 的 面积，这个三角形以 b、 f 为底的话， b、 f 边上的高就是 d， g 已经得到 b、 f 等于 ab 等于四， a、 g 等于二，而菱形四边等长， a、 d 等于 ab 等于四。用 a、 d 减去 a、 g 可以 求得 d， g 等于二，那么三角形 b、 f、 d 的 面积等于二分之一，乘四乘二等于四。最后来看直角三角形 b、 c、 f 的 面积，这个直角三角形两条直角边可以作为一组底和高。 菱形四边等长，所以 bc 等于 ab 等于四，所以这个三角形的面积等于二分之一乘四乘四等于八。 带入到上面这个十字中，就可以得到三角形 c、 d、 f 的 面积。等于四倍的根号三加四 减八，也就等于四倍的根号三减四。把结果写到横线上，具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下，总结一下。要知道菱形的基本性质，菱形四边等长， 对边平行对角相等，菱角互补。还要知道折叠的性质，折叠前后的两个图形形状大小完全相同，并且要知道直角的角形中，三十度角所对直角边是斜边长度的一半，还要掌握勾股定律，也就是直角的角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方， 最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方，最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方。最后要掌握利用整体减部分的平方的平方。最后要掌握利用整体减部分的题， 这是一道平面几何题。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o 角 b、 a、 c 的 平分线交 b、 c 于点。一、连接 o、 e， 已知 o、 e 等于根号十。角 a、 e、 o 等于四十五度，则 a、 b 等于多少 a、 b 与 o、 e 并没有直接的联系。先看一下题目中的条件能够推得怎样的结论。四、边形 a、 b、 c、 d 是 矩形， 而矩形的两条对角线等长且互相平分，所以 o a 等于 o， b 等于 o， c 等于 o、 d。 又给到 a、 e 平分角 b、 a、 c。 看到角平分线就要想到它的性质， 角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点 e 做 e、 h 垂直于 a、 c 与点 h。 由于矩形的四个内角都是直角角 a、 b、 e 等于九十度，所以 e、 b 垂直于 a、 b， 由此就可以得到 e、 h 等于 e、 b。 题目中还给到 角 a、 e、 o 等于四十五度，我们知道有一个内角为四十五度的直角的绕行，是等腰直角的绕行，所以故点 o 作 o p 垂直于 a、 e 于点 p， 那么三角形 o、 e、 p 就是 一个等腰直角的角形，并且它的斜边 o、 e 长度为根号十。根据勾股定律，可以推出等腰直角的角形斜边是直角边长度的根号二倍，所以 o、 p 等于 p， e 等于 o e 除以根号二，等于根号五。接着该如何和 a、 b 的 长度联系起来呢？既然 o、 a 等于 oc， 那么点 o 是 a、 c 的 中点，过点 o 作 o， f 垂直于 b、 c 与点 f， 那 么 o、 f 就是 三角形 a、 b、 c 的 一条中位线。根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半， 可以得到 o， f 就 等于 ab 的 一半。不妨设 o， f 等于 a， 那 么 ab 就 等于二。 a a、 e 平分角 b a c。 那 么角 b a、 e 就 等于角 c a、 e。 不 妨设这两个角都等于。阿尔法可以看到角 c、 o、 e 是 三角形 a、 o、 e 的 外角，三角形的外角等于三角形中与它不相邻的两内角的和。所以角 c、 o、 e 就 等于角 c a、 e 加角 a e、 o 等于二法加四十五度。在直角形 a、 b、 e 中，角 b a、 e 和角 a e、 b 互余随角 a、 e、 b 就 等于九十度减二法， 那么角 c、 e、 o 就 等于一百八十度减角 a、 e、 o 再减角 a、 e、 o 等于一百八十度减九十度加二法减四十五度求得角 c、 o、 e 等于角 c、 o， e 等于角 c e、 o。 这意味着三角形 c、 o、 e 是 一个等腰三角形， 它的两腰长度相等。由于 e、 h 垂直于 o， c o f 垂直于 e c。 根据等腰三角形两腰上的高等长，就可以得到 e h 等于 o， f 等于 a r， e 等于 e h 也等于 a a， b 等于二 a。 在 直角梯形 a、 b、 e 中，根据勾股定律，斜边 a、 e 就 等于 a b 与 b e 的 平方和的算术，平方根等于根号五。 a、 a、 e 是 三角形 a、 o、 e 的 一条边，并且这条边上的高是 o p， o、 p 的 长度已经求得，等于根号五，那么三角形 a、 o、 e 的 面积就等于二分之一乘 a， e 乘 o p 等于二分之一乘根号五。 a 乘根号五。同时 e、 h 垂直于 a c， 所以 e、 h 是 三角形 a、 o、 e a、 o 边上的高，这个三角形的面积还等于 二分之一乘 a o 乘 e、 h 也就等于二分之一乘 a， o 乘 a。 同一个三角形的面积是相等的， 就得到二分之一乘根号五乘 a 乘根号五等于二分之一乘 a， o 乘 a。 两边的二分之一乘 a， 可以 约去得到 a、 o 就 等于根号五乘根号五等于五。 a、 o 同时是直角的绕行 a、 o、 p 的 斜边。 根据勾股定律，直角边 ap 就 等于斜边 a、 o 的 平方与直角边 o、 p 的 平方的差的算数。平方根 求得 a p 等于二倍的根号五，而 p e 等于根号五。用 a p 加 p e 求得 a， e 等于三倍的根号五。前面已经得到 a， e 等于根号五乘 a， 这意味着根号五乘 a 等于三倍的根号五。所以 a 就 等于三， ab 等于二， a 也就等于二乘三等于六。具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 总结一下。这道题目用到的知识点比较多，要知道矩形对边平行且相等，四个内角都是直角，他的两条对角线等长且互相平分， 还要掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。有一个内角为四十五度的直角三角形，是等腰直角三角形。根据勾股定律，可以推出 等腰直角的角形，斜边是直角边长度的根号二倍。当看到四十五度角时，就要想到构造等腰直角的角形，并且要知道三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半。题目中还用到等面积法来求线端的长度，这道题就讲解到这里，同学们再见！

必修会考最后两周，如何在最短的时间内拿到全 a？ 李老师地理一线教学经验十一年，非常负责任的告诉你，只要咱家孩子把这四类题型掌握，即使之前只能考三四十分，在最后这十几天依然可以逆风翻盘。今天李老师用一条视频把这四类题型的方法一次性教给你， 考完记得回来感谢我。同时我也整理了一份会考最后十五天必备攻略，包括常见涉问高频考点题型技巧，想临时抱佛脚的写下十五天老家长都知道怎么来主页找我。那么首先第一类叫做地图判读题，因为我们绝大多数同学其实地理扣分， 不是说他基础概念不知道，而是说他材料压根看不懂。那么我们拿到不同的题型，拿到不同的图片，他在分析，在判断的时候，他的思路和方法是完全不一样的。比如说咱们第一个等高线地形图，咱们在拿到以后要看什么？第一个需要看他的等高距，或者说叫 等值距，不管是咱们说的等温线也好，等高线也好，等压线也好，都是一样的。什么叫等值距？就是先要找相邻两条等高线的差，比如这现在是一百，这个地方是一百五， 那么他们中间隔了几条？一条、两条、三条、四条，那说明咱们等值距对应的就是一百。第一步，找到等值距了以后，第二个咱们再来看他的等值线的一个疏密，就比如在这张图上， 咱们中间这相对来说比较稀疏，那说明他的地势起伏比较小，而在两侧这比较密集，说明他的地势起伏相对来说要大一些，那么第三看咱们要看的就是极值，要看这张图上 他的最高点和最低点分别在哪个位置。这有一个小的方法啊，就是如果题目里边看到有河流，那么一般情况下河流所处的位置都是咱们这个地方地势最低的， 并且河流与咱们等高线之间的关系是啥？流向与等高线的弯曲方向是完全相反的，比如说他现在的弯曲方向是向咱们的右上方，那我们的河流流向呢？就是反过来来流就 ok 了。那么我们来看第二个就是咱们的地图，地图我们在判断的时候要看什么？第一个需要看他的精度纬度， 咱们在判断这种经纬度的时候，大家一定要记住，就记住六个字就可以了，哪六个字呢？叫做找方向，第二个叫做看变大， 第一步先找方向，第二步咱们看变大，在这张图上他如果给咱标方向了，那我们按照他的方向来标就好了，如果没有标方向呢，我们就默认上北下南，左西右东。那么下一步咱们看变大，怎么看变大向哪个位置变大他就是谁，比如上边是 二十度十五分，底下是二十度三十分，相当于往下往南越来越大了，所以他们对应的就是南纬，因为往南边增大就是南纬， 这现在是五十七度三十分，这是五十七度四十五分。往咱们右手边变大了，右手边对应的是东，所以他们对应的就是东京五十七度三十分和东京五十七度四十五分。那第三个 咱再来看他的气候图，这种气候图我们在判断的时候大家也注意。首先第一看，我们需要看他最热月出现在几月份， 因为最热月出现几月份，我们可以直接通过这个东西来确定他的半球。比如在这张图上，他最热月是几月份，是一月份，那他对应的就是南半球，因为北半球最热月是在七月份。 那第二看，咱们需要看最冷月均温，最冷月均温也有几个判断标准，如果在零度以下就是温带，如果是零到十五度就是亚热带，如果是十五度以上就是热带，那这张图上它是十五度以上，所以热带。那么第三看呢？我们主要看它的一个降水和我们温度之间的关系。 在这张图上它的降水量基本上都已经画满了，说明降水量非常大。那在热带地区降水量非常大，所以它对应什么气候呢？对应的是咱们说的雨林气候就可以了。那我们来看下一个有关于咱们区域特征题目。 这个区域特征题大家要注意，我们初中在写主观题的时候，非常非常爱考咱们特征，比如这个地方的气候特征是什么？地形特征是什么？咱们不同的特征题在判断的时候，它也是完全不一样的。 比如说像这道题判断意大利北部，他的地势特征是什么？在这我们要注意一个点啊，对于我们中学阶段，不管是我们地形也好还是地势也好，其实他俩都是同样一种东西，这也可以说是咱们中学阶段最大的一个 bug， 也就是说题目里边虽然问的是地势，但是咱们地势和地形都需要写出来， 我们写这种题他也有规则。首先第一步我们需要去说他的地形类型，比如他到底是以平原为主，山地为主，高原为主还是丘陵为主？咱们需要说他的类型，并且这个类型咱们尽量要找两个。为什么要找两个呢？因为我们第二步要描述他的方位， 比如说这个地方他是以山地和平原为主。那下一步山地在哪，平原在哪我们都需要说，那在这张图上我们可以看啊， 在上边给咱们画了阿尔卑斯山，那么在旁边呢？是我没有给咱们标注山脉，所以我们第一步类型他就是以山地和平原为主。第二步出他的方位，在这张图上 他的山地位于西侧，平原呢位于东侧。第三步咱们要说地势高低，那他哪个地方高，哪个地方低啊？这不就是山在哪个地方哪个地方高，也就是这张图上他是西高东低的。那么我们来看第三种类型，叫做气候农业题，因为我们现在很多同学不会写题，对吧？特别是不会写主观题， 就是因为咱们没有办法在材料里边提取信息。那你像第一道题，该地区种植水稻还有哪些有利的气候条件，那么水稻他在生长的时候需要什么条件呢？我们一般情况下是不知道的，所以出题老师他既怕咱们写不出来，又怕咱们那么容易的写出来，他就会在材料里边给咱们都标出来。 首先水稻喜欢高温，最适宜的温度是在二十八到三十二度，洗湿蓄水量大，适宜年降水量在七百五十毫米 左右的地方，那你像后边什么平坦的地形，有利于他的种植和农田管理，但是这个题他问的是气候条件呀，那我们在写的时候就不能直接抄材料，也不能说该地区的温度和降水，他适应这个水稻的生长， 相当于说了跟没说一样，所以我们需要去给他拆分，比如这个地方他现在高温，那为啥高温呢？我们就可以说该地区纬度低，气温高，对吧？热量条件充足，满足水稻生长，那下一个他启示呢？该地区气候湿润，降水较多，对吧？为水稻生长提供大量水源， 所以我们在写的时候需要在材料里边先把重要的点找出来，找出来以后呢，我们在下一步再去进行翻译，这样子我们才能得到一个高分答案。那我们来看下一种叫做材料分析题，这种材料分析题他的难度是非常非常高的， 因为如果题目里边考这块内容了，那么说明他跟咱们所学的内容他是脱节的，也就是说我们在课本上学过，比如像这个题啊，说什么发展钢铁工业， 我们学过我们国家的一个工艺，但是不会具体到某一个省份，不会具体到某一个城市，他是需要我们同学根据材料里边来提取信息。在这有一个点要注意，我们分析的时候不光要分析文字材料，还需要结合我们的图片材料，因为不管是文字也好，图片也好， 他都是出题老师给我们的一些信息，那我们看叫做图中反映了哪些有利于山东省发展钢铁工业的区域条件，大家就记住啊，我们越是大型的考试，他的图例一般来说不会给咱们去出一些用不着的东西，像文字、材料也一样，每一句话他都是可以用到的。 那么在这我们看，首先第一个在这画的有河流，有钢铁的话，咱们可以咋说，该地区交通便利，对吧？满足咱们的原料运进和产品运出， 那么下一个河流呢？有河流流经，为钢铁工业生产提供大量的水源。再下一个这有煤炭，煤炭是什么东西？ 原料对吧？这个地方原料充足，你看咱们从材料里边把这些点挨个找出来，我们需要去额外背那些东西吗？是压根不需要的，所以这是咱们现在学地理的非常重要的一个思路。 那么临近会考，孩子的时间非常宝贵，复习必须要学会抓重点，抓题型，抓方法。如果咱们家孩子想高效学习初中地理的，都可以来主页找我聊聊， 每年跟我学的同学百分之九十五以上的都拿到了全 a， 该学什么，该练什么，没有人比我更清楚。先用三个小时把经纬度、地球运动等高线，气候、气象，包括农业、工业、交通这些高频的题型过一遍， 再用四节直播押题课，把图标题、自然要素分析、元音义类、大题、特征影响类再集中练一遍，方法不对，努力白费，跟对老师才能有好的成绩。

我李逍遥可以对天发誓，从今以后绝不让你一人孤苦伶仃。

七项数学的期末考，想要冲高分，只要搞定不等式，这张你就稳了。不等式是七项数学里面最重要也最拉分的单元，很多孩子一开始没有学好，导致后面越学越懵。 参数范围不会，求应用题呢，又列不出式子来，越学越没有信心。但其实，不等式根本就没有那么难。你首先得知道有哪些必考的题型，我给你举个例子你就知道了。 常考的题型有整数解、求参数范围、有解无解问题、最值问题、 新定义问题、绝对值问题等等等等，一共有八大必考题型。好消息是，我已经把这八类题型全部整理好了，都在这里， 从基础到压轴全面覆盖，每一种题型都配备了解题大招。只要孩子把这八类题目彻底吃透，期末考试弯道超车不是问题。

二次函数这样画，若有符号倒过来，整体加二往上 乘。二要变瘦，整体图二要变胖。真正的学霸一定会早早吃透函数，因为他清楚的知道，函数题就是拉开分数的关键。有了这本函数题型大全，家长再也不用到处给孩子找题做了。 从考试常考的函数基础题到压轴题，都分类整理好了每个章节，从基础的概念公式到典型例题，再到解析步骤，重点是还有详细的解析思路分析， 让孩子一步一步攻克函数。所有题型还精选了各地中考真题，即学即练，这些都是考试要考的拉分题，适合想冲刺高分的孩子，全国通用。

同学们好，今天我们来学习二次函数中的线段最值问题主要有以下四种类型，分别是求竖线段、横线段、斜线段以及线段比值的最值。 只要熟练掌握这四种题型，那么其他的有关线段和面积的综合题型我们基本上都能解决。 先来看第一种类型求数值线段的最值，如图，点 p， 在 第一项线的抛物线上过点 p 做 x 轴，垂线交这个依次函数与地点，然后求线段 p d 的 最大值。 我们知道要求坐标系中的线段的值，那我们得知道这个线段的端点的坐标，也就是这里的 p 和 d 的 坐标， 而这里的 p 点呢，它是一个动点，所以它的坐标呢，我们可以去设出来。设 p 的 横坐标是 m， 那 么纵坐标就代入到这个二次函数中，是负 m 方加二， m 加三， 而这个 d 点呢，它和 p 的 横坐标是一样的，所以也是为 m， 那 么纵坐标就代入到这个一次函数中，也就是负 m 加三，那么这时候线段长度我们就能表示出来了， p d 的 长度就等于 p 的 纵坐标 y， p 减去 d 的 纵坐标 y d 一般是用上面的点的纵坐标减下面点的纵坐标，这样得出来的一定是正值，就是这个线段的长度，所以这里面就是负 m 方加三 m。 因为这个 p 点是在第一项线的，所以这里的 m 它是有一个取值范围的，第一项线是从这个零三这个点到三零这个点，所以 m 的 范围就是 大于零小于三。那么这个式子我们要求它的最大值的话，就是去配方啊，配成顶点式，也就是负的括号 m 减二分之三的平方加四分之九，所以当 m 等于二分之三时，这个 p d 的 最大值就是四分之九。 第二种类型是求横线段，也就是水平线段的最值，如图点 p， 在 第一象限的抛物线上，我们过 p 点做一条平行与 x 轴的直线交，这个依次函数与 e， 求 p e 的 最大值。 那么和第一种类型一样，我们要先知道 p 和 e 的 坐标，才能表示出 p e 的 长度，所以这里也是去设坐标，那么这里我们设 p 的 坐标是 m， 逗号负 m 平方加二， m 加三， 然后一点的坐标就要注意了，它这时候和 p 的 纵坐标是一样的，是负 m 方加二， m 加三，然后要求它的横坐标，所以这里是将这个纵坐标代入到这个依次函数中，就是负 m 平方加二， m 加三，等于负 x 加三， 那么这里的 x 就 等于 m 平方减二 m。 那么这里还有个易错的地方提醒一下大家，就是有的同学在设坐标的时候，他习惯设横坐标是 x， 那 么纵坐标是负 x 方加二， x 加三，那么在代入的这一步就变成负 x 方加二， x 加三，等于负 x 加三，两边都是 x， 那 这时候就容易误导，我们 就会不自觉地去解这个方程了。所以这里面我们设坐标就是尽量不要用 x 这个未知数。 好，那么接下来 p e 的 长度呢？我们就可以用 p 的 横坐标 x， p 减去 e 的 横坐标 x e， 用这个右边点的横坐标减左边点的横坐标，也就是大的减小的，这样减出来一定是正的，一定是这个线段的长度，所以就是 m 减去 m 平方减二 m， 也就是负 m 平方加三 m， 同样的要注意 m 的 范围也是在零到三之间，然后配方去求出它的最大值，也就是 m 减二分之三的平方加四分之九，所以最大值就是四分之九。 第三种类型是求斜线段的最值，如图点 p， 在 第一项线的抛物线上，我们过 p 点做 p f 垂直，这个一次函数垂足是 f， 然后让我们求线段 p f 的 最大值。 那么如果沿用前面两种思路的话，我们先设出 p 的 坐标是 m 逗号负 m 平方加二， m 加三，然后再表示 f 的 坐标，那这时候你会发现这个 f 的 坐标它表示不出来， 那我们怎么去解呢？其实还是去联系我们刚才求的这个竖线段或者是横线段，我们这时候还是可以去过 p 点做 x 轴的垂线，然后交这个一次函数与 d， 那 么这个 p d 呢，就是我们刚才求出来的负 m 平方加三 m， 而我们要求的是 p f， 所以 接下来就要找一下 p d 和 p f 的 关系就行了。 那么下面大家来看图像，这里的 p f 和 p d 是 这个直角三角形 pdf 中的两条边 pdf 呢，它是角 pdf 的 对边， pd 呢是斜边， 那么根据三角函数的定义，算角 pdf 它就等于 pdf 比 pd， 那 我们只要知道算角 pdf 的 值就行了。而角 pdf 呢，它在图上是等于这个角的，我们标个字母， 也就是角 pdf 等于角 oab， 而我们知道 o a 和 o b 的 长度都是三，所以角 o a b 就是 四十五度，那么算一角 pdf 就是 算一四十五度，所以相当于是二分之根号二，等于 pdf 比 pd， 然后那么 pdf 就 等于二分之根号二的 pd， 也就等于二分之根号二，乘以一个负 m 方加三 m， 那 么得到的也是一个二次函数的一个解析式。 然后这里的 m 的 取值范围是零到三之间，所以接下来就是配方去求最大值。 第四种类型是求线段比值的最值。如图 p 在 第一项线的抛物线上，然后 a 点呢，是抛物线和 x 轴的交点，也就是负一零，然后我们连接 pa 和这个一次函数交于 h 点，求 p h 比 a h 的 最大值。 那么看到线段的比值，我们同学们肯定会想到相似，这里的 p h 和 a h 都是这种斜着的线段啊，不太好表示，所以我们可以通过相似把它转换成这种竖直的或者是横着的线段， 再去求这个呃，线段的长度，那就比较好求了。那我们就看这个图形中我们怎么去构造相似。其实这里呢，有这个交叉线出现的话，它就很像这个八字形的相似， 所以只要这两边平行的话，它就是一个八字形了。所以我们可以过 p 点去做 x 轴的垂线，交一次函数与 d， 然后再过 a 点做这个 x 轴的垂线，交这个一次函数与 m 点， 那么 p h 比 a h 就 等于这个 p d 比 am， 那这里的 p d 呢？就是我们第一种情况下数值线段的长度，那我们只要设出 p 的 坐标，然后 d 的 坐标用 p 的 纵坐标减 d 的 纵坐标就可以得到了，那么也就是第一种类型，我们算出来的负 m 方加 再 m， 然后比上 am 的 长度，我们看 a 点，它是负一零 m 点呢，它和 a 点的横坐标是一样的，是负一，然后纵坐标就代入到这个一次函数中，是四，所以这个 am 的 长度就是四， 那么 p h 比 a h 啊，转换成了一个这个四分之负 m 方加三 m 这样的一个式子， 然后 m 的 范围是零到三，所以接下来就是配方去求这个式子的最大值就可以了。 好，那么以上就是我们讲的四种类型，接下来我们来总结一下。第一种类型，竖线段的最值呢，这个竖线段 p d 的 表示方法呢，就是用 p 的 纵坐标减去 d 的 纵坐标， 然后横线段 p e 的 表示呢，就是用 p 的 横坐标 x p， 然后减去 e 的 横坐标 x e 啊，注意数值的话是上面减下面，然后水平的线段是右边的，减左边的。 三种斜线段的最值呢，就是过这个 p 点，我们去做 x 轴的垂线，交一次函数于 d， 然后找到这个 p f 和 pd 的 关系，那这里就是通过这里的锐角角 pdf， 塞角 pdf， 它是等于对边 pdf 比斜边 pd 好。最后一种线段的比值问题呢，是通过相似转换的。总的来说，这四种题型呢，我们就可以用三个字来概括这个解题方法。第一步呢是先设出这个动点的坐标，然后第二步是表示出这个线段的长度， 第三步呢就是配方求最值了，然后这一步要注意字变量的取值范围是什么？好，那么今天的分享就到这了。

接下语文的期末考试，阅读理解板块是丢分的重灾区，要想在期末取得好成绩，阅读理解要做到一分也不丢，小老师今天通过一条视频带你梳理清楚接下期末考试阅读理解板块必考的四大类题型，掌握了这四大类题型的答题技巧之后， 再结合着老师跟你汇总的所有阅读理解答题模板去完成复习，那么阅读理解板块也可以轻松得满分。 首先我们来看必考的题型，第一类，人物形象的分析题，结合着我们的一二单元的阅读要素。第二类，表现手法的赏析题，三次单元可能会重点考察 标题含义的作用题，环境描写的作用题，在各类考试当中都会频繁出现，小老师给你汇总了这些题目的答题技巧。首先我们来看人物形象的分析题，我们可以从哪些角度分析人物呢？ 人物概括职业，身份或者是地位？描写方法，比如说外貌，语言、动作，心理、神态，或者是正面描写，侧面描写主要的事件，人物做了什么样的事件，以及关键的词句和人物所处的环境。 那我们来看答题的公式，先打出关键的内容，再加上形象的特点，答题的模板，从文章当中什么什么可以看出哪一个人物，他是一个怎样的人，注意答题的完整性。 第二类题型会考到表现手法的赏析题，最高频考到的就是欲扬先抑以及托物言志，那么这类题目的答题公式，表现手法加效果，加上具体的表现内容以及情感。 我们记住答题的模板句子运用了什么，什么样的表现手法突出强调了什么，起到了什么样的作用，表现出了事物或者是人物什么样的特点或者是情感。 第三类题型会考到标题的含义，或者是标题的作用题。答题的模板。如果考含义要打出深层含义，那么考到标题的作用，按照老师给你梳理的标题的几种作用来回答 某一个标题深层含义是什么，他有什么什么样的作用，那么作用这七点一定要牢牢记住。新概念锁主对手，新颖独特，吸引读者。 概括主要内容，设置悬念，引起读者的阅读兴趣。文章的线索贯穿全书，揭示文章的主旨，交代写作的对象或背景，运用了什么样的手法，生动形象的表达了什么。 最后一类题型，环境描写的作用题。那么这类题目我们要先打出具体描写了什么，什么样的景色，交代了时间地点，营造了一种什么样的气氛，烘托了人物，什么样的情感，预示着什么，什么样的命运推动了故事情节的发展，以及为下文做铺垫。 我们还需要记住环境描写的作用，娇气发电主三人交代了事件的背景，渲染了什么，什么气氛推动了情节发展，为下文做铺垫。 主暗示了文章的主旨，人分为三方面，烘托了人物心情，表现了人物性格，预示了人物的命运。 肖老师给你梳理了旗下期末考试所有阅读理解常考题型的答题模板、答题公式，结合这些内容去完成复习，期末的阅读理解也可以轻松拿满分。

同学们好，我是彭老师，今天我们要讲的是中考必考，也是我们稳稳要拿住的八分题，解直角三角形的应用。 那么在正式开讲前，我也想问大家一个问题，到底为什么叫直角三角形？ 只要把这个底层逻辑弄透了，你才真正懂了这一类题，所以这八分我们必须拿下。为什么呢？因为他自始至终就是我们生活中能见到的模型， 可能有时候你觉得他比较难是吧？根本想不出来，就是在于我们根本就没见过这个模型，你像那之前样卷一上面的垃圾桶是吧？那么接下来我也会带大家一起来做一下我挑选的这六道模拟题， 只要大家跟着我的思路看完，你就会发现，原来这类题就是真正的送分题。那么好，在做题之前，我们要做三个准备，第一个准备就是公式准备， 三角函数的正弦、移弦、正切 这三个东西是我们一定要去记住的，三十三十度，四十五度，六十度，其实大家记这第一排就够了， 二分之一，二分之根号二，二分之根号三，如果你实在记不住，你就二分之根号，一开始记好吗？余弦的话就是跟它倒着走，倒着走，然后正切的话呢，就是正弦 除余弦，所以我们只需要记住第一排就够了。那么什么叫正弦？正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边， 正切是对边比零边好。可能又有同学比较疑惑了，什么叫对边？什么叫斜边？什么又叫零边呢？好，我这里随便画一个三角形， 这里所有的对斜零都是相对我们 这个角而言，比如说题目给出了这个角，是吧？然后他题目下面会给一点点小提示，说某某角的正弦等于多少度，余弦等于多少度。那我们就来看这个角，这个角对面的这条边 跟你看东西一样，对面的这条边叫做对边，相邻的这条直角边叫做邻边，相邻的这条斜边叫做斜边。 啊，不要搞错了，对边邻边都是直角边，斜边就是斜边，这是公式准备。那么第二个准备我们要有一个概念 解，直角三角形，顾名思义，这是一个围绕直角三角形来说的问题， 所以它一定会涉及到什么平行、垂直、 互补这四个概念， 这个我们接下来再说。那最后一个我们要做好计算的准备， 可能有时候这一类题目会涉及到复杂计算， 那还是一个道理，我一直讲的列而不求，求而不算。 好，接下来我们就来看题目。 好，同学们，我们来看到这一道安徽省的模考题，在考场中我们拿到这样一个题目之后，我们第一步要去看它的实物图 啊，你去想一下我现实生活中或者我曾经有没有见过这样一个图，如果见过的话，我就身临其境的去想，我当时在这个环境中我是一个什么样的感觉， 是吧？是不是有这个屋顶啊？有这个柱子啊？啊？有这个桌子，然后我再去把这个实物跟这个什么结构图去一一对应，比如说 这里面有屋顶，那这个 a、 b、 c 就是 它的屋顶啊。 c m， b， n 也不是 b， n 这个点 m 这一条，这个点 n 这一条也就是它的柱子，然后中间这个 e、 d 这一块，那就是它的中间的小桌子，也就是我们下象棋的地方。 好，看完示意图之后，我们再去看它的小括号， 它小括号里面会有限定条件，会有提示东西。比如说这道题，他说精确到零点零一，我们看到就圈起来， 因为有些题目说精确到零点零一，他说精确到零点一，这点要注意。另外一个参考数据，我们看这里，三一五十三， cosine 五十三、 k 九五十三，这里的所有都是围绕五十三来展开的，所以说这一题的主角是五十三度，我们要去找 那最后一个根号三，等于一点七三，也就是说如果我们最后的解答过程中没有出现根号三，那我们大概率是做错了。 好，看完这第二步，我们第三步是去看它的问题，求梁平顶点 a 到地面的距离，先看问题， 再去看条件。好，我这里用绿色的线画出来顶点 a 到地面的距离，也就是要我们来求 a、 d 这一条 线段的距，线段的长度，对吧？求 a、 d， 一 般要我们求一条线段，它不会让我们求完整，它会给出其中的一小段，然后让我们求另一小段。 好，我们来看题目的条件，已知 b、 a、 c 等于一百二十度，这个角等于一百二十度， a、 b 等于 a、 c， 也就是说这个三角形叫做等腰三角形，然后 b、 c 两点到地面的距离相等，说明这个屋顶是平的，不是弯的， 然后 b、 c 两点间的距离为二点八。好，第一个条件，第一个长度条件，也就是我们要做的辅助线水平辅助线，我们要把 b、 c 连起来， 然后太阳光恰好能照在点一处，先不用管它。此时桌面与太阳光桌面形成的夹角为五十三度。好，第二条过一点做平行于水平的线，这是第二条， 然后三点共线，然后要我们去求什么？求 a 的 长，另外还告诉了 d 的 长，对吧？告诉了一段，让我们求 a。 一， 告诉了 e、 d， 让我们求 a。 好， 我们现在来分析 整个一条线段， a、 d 其实被切成了三段。然后题目这个关键角，关键角是在这里，太阳光与桌面形成的夹角是三度， 所以这一题的关键在哪里？点的是 bc， 我 们这个 a d 一定是垂直 bc 的 吧，因为所有的辅助线就是水平和数值，所以这个角一定是垂直。 那垂直，我们知道 b c 这个角叫做 h， 那 就知道 b h 和 c h 的 长，然后开始辐射，通过 b h 的 长， 我们能得出 a h 的 长，通过 b h 的 长，我们也能得出 h e 的 长。那最后 a h 加 h e， 再加上 e d， 就 把 a d 算出来， 那整个过程就是这样。我们来算， 首先是 a h， 这里一百二十度角肯定是被平分成了两个三十度，两个六十度， 一边六十度，一边六十度， b c 被分成了两个一点四，我们要求的是 a h， 我 们已知的是 b h， 我 们可以看到这两条边相对六十度这个角而言，是邻边和对边的存在，所以我们这里要用到 t 角 hundred 六十度。我再回忆一下， hundred 等于对边比零边，也就是这里面的 对边相对面的对面的 b h， 零边旁边的 a h， 所以 我们最后要求的 a h 会等于 b h 去除一个 hundred 六十度，也就是 b h 是 多少？一点四除以六十度。好，这里我为什么不先写成根号三？ 因为我这里写成根号三的话，我就要把它划出来，就是我写成根号三，我就要把分母化简， 然后就要把它算出来，如果在这一步就把它算出来的话，会失去一个精准度。我们先保留好第二个，第二个我们要找到 h 一 同样的道理，这个五十三度是主角，我们一个内错甩上来，是不是甩到这里来？ 我们已知 b h， 我 们要求 h e 这两个角相对这个五十三度角而言，也是对边和邻边的存在。所以我们再来一个 tanger， 五十三度会等于对边比邻边，也就是 h e 比上 b h， 那 最后我们要求的 h e 就 等于 b h 乘以千卷五十三度， d e 知道吧？ d e 它给我们了，等于零点五。那最后我们要求的 a d 就 等于 a h 加 h 一， 再加 d e 就 会等于一点四除以天角六十度，加上 b h 是 多少呢？ b h 也是一点四嘛，一点四乘以一点三三加上 零点五，最后会等于三点二，约等于三点二米。 好吧，这是第一题，我讲的比较细，那我们接着往下看， 同样的道理，拿到这个题目啊，这个题目并没有那么抽象，我们可以直接看问题， 求北门门楼 a。 好，第二个题目，这个图只有一个，那我们直接看参考数据，结果取整数圈起来，参考数据，五十三，五十三，五十三，根号三还是一样。 那我们直接看问题，求北门门楼 a 到古井 d 的 中轴线，这里一个中轴线保持一位中轴线的长度，那我们来看一下中轴线到底是什么呢？ 啊？乱七八糟。从北门 a 出发，先往位于 a 南偏西三十度，他这里直接标了，然后再沿南偏西五十三度， 已知 b 到 c 的 距离为四百长度条件， c 到 d 的 长度为八百长度条件，角度条件。要求 a 到估计 d， 也就是直接是 a、 d 这条的长吧。好，我们依然画出来要求这一条。 我们说所有的辅助线都是横平竖直，对吧？那过 b 点做水平，过 b 点做竖直。 要求 a、 d， 我 们就要把它分成 a h， 把这里分成 c p。 首先我们可以通过这个五十三度，通过 b c 得到 b p， 也就是这里的 h d 这一条。那我们还剩下一条 a h， a h 怎么求？ 减了这个八百，我们能不能先把 c p 求出来，然后用八百去减这个 c p， 得出 p d p d 其实就是 b h 的 长，我们再通过这个三十度的角，通过 b h 再求出 a h 的 长，所以最后 a d 等于 a h 加上 h、 d， 分 为两个步骤。 好，现在开始实施。在这个三角形 b c p 内 点到我们的是一条斜边，相对五十三度角而言，我们要求的是对边和邻边。点斜边求对边，邻边我们要分别用到 sine 和 cosine。 好， 现在来写。 三、以五十三度等于对边比斜边，也就是 c p 比上 b c， 那 我们要求的 c p 就是 b c 乘以三亿五十三度。一样的，先不要去算它，只是把这个数据先给它补齐，也就是四百乘以三亿五十三度。好，第二个 cosine 五十三度会等于零边比斜边， 零边就叫做 b p， 斜边就叫做 b c， 那 么我们要的 b p 就 会等于 b c 乘以 cosine 五十三度， b c 是 多少？也是四百四百乘以 cosine 五十三度。好，准备完毕，可以开始初步计算。 c p 四百乘以三亿五十三度，就是乘以零点八等于三百二十， d p 等于四百乘以 cosine 五十三度，乘以零点六，等于两百四。好，我们来看这里 cp 三百二，总共八百，那给到 p d 是 不是四百八十？那 p d 四百八十， b h 是 不是四百八十？ 好，我们乘胜追击。那这里有一个三十度，我们要求的 a h 是 作为三十度这个角的邻边，我们已知的条件是作为这个三十度角的对边，所以这里我们要用到一个 tangent 三十度 k 卷，三十度等于对边比邻边，也就是 b h 比上 a h， 我 们要求的 a h 就是 等于 b h 除以 ten 三十度，那就是四百八十。去除一个三分之根号三 会等于四百八十。乘以根号三， 那就是四百八十乘以一点七，三会等于多少呢？我们来算一下，四八零一七三 等于八百三十点四， 这是 a h 的 长，那 h d 的 长呢？ h d 的 长就是 b p 的 长， b p 是 二百四，那 h d 也是二百四， 那最后就给了八百三十点四，去加上二百四十会等于一零七零点四， 一零七零点四，我们要的是什么？要的是整数，那就取到一零七零。好吧，那我们接着往下看， 这是一道安徽省的恶魔题，乍一看只有一张图， 另外精确到一米，参考数据，三十三，三十三，三十三，五十三点一，五十三点一，五十，三点一。还是一样，我们直接来看问题 b、 c 两点间的距离为多少米？好，我看到问题，我先把问题勾勒出来，我要求的是这一条好，画完之后我再去找条件。 无人机 a a 处的高度为两百米，那我就想到了第一条辅助线，是从 a 往水平做一条数值垂直线。好，这条代表两百米，那这个点叫 h 点，这条是两百， 在无人机镜头下观测主舞台 b 处的俯角。啊，它这里标了，所以你不用去纠结。当无人机先上升三十米，然后再后退四十米到达低处，也就是说 这一段等于三十，也就是它们的高度差，这一段等于四十，也就是它后退的四十，对吧？四十三十， 观测到 c 处的角为五十三点一度。好，没了，问这一段等于多少度？我们来研究一下。 要求这一段这题大概率去做一个减法， 我干脆把低点这条线给它延的再长一点， 我延到水平来， 也就是说 我们可以通过这个五十三点一角和这个三十三度角分别做两个内错，就得到了这两个角。 得到这两个角之后呢， 我首先有两百，这条边两百是不是跟这个 m n 一 样长了？所以 m n 也是两百，我可以通过五这个五十三点一 度这个角，然后通过这个三十加两百、两百、三十这条边去求出我们的 c n， 然后我又可以通过这个三十三度角和这个两百这条边，我去求出 bh 了， 然后我再通过 c n 去减这一条 h n， 也就是 a m 会求出 c n c h 了，我求出 c h， 我 再用 b h 去减 c h， 是 不是求出 bc 了？ 好，理论，没问题，现在开始实践。 首先第一个我们要求出 c n 来， 相对于这个五十三点一度角而言， c n 是 作为一条零边存在，然后给的条件， d n 是 作为一条对边存在，所以我们要用到 tangent 五十三点一度会等于对边比零边， 也就是 d n 去比上 c n， 所以 c n 会等于 d n 除以天角。五十三点一度， 我们给到这个三十三度角，我们要去求 b h 的 长， b h 是 作为这个角的一条零边，然后给也是给了我们对边， 所以这里同样我们要怎么去做？ tangent 三十三度会等于对边比零边， 也就是 a h 比上 b h， 所以 我们要求的 b h 会等于 a h 除以 tangent 三十三度。 好，现在把它们都求出来。 d n 是 多少？ d n 我 们说 d n 等于 d m 加 m m， 也就是等于三十加两百等于两百三十， 也就是两百三十去除一个 tangent 五十三点一度，也就是一点三三， b h 会等于 a h 除以 h 是 两百除以 tangent 三十三度。 tangent 三十三度零点六五。 好，到这里我们基本上这个题目就已经做出来了，那剩下的就是计算问题，我也不浪费大家太多的时间。我最后再来给大家捋一下，我们要求的是 b c 是 通过 b h 去减掉 c h 得到的， 那其中的 bh 我 们通过这里已经求出来了，我们求 c h 就是 用 c n 去减掉 h n h n 对 我们来说是已知的，给到了四十 c n 呢？我们这里也求出来了。所以最后就是一个计算问题，一定要注意保留精确到米，也就是不要小数。好，我们接着往下面看，加快进度。 好，我们来看到第四题，也是一模题，我们来测试一下刚才的方法啊。我先拿到这个图，我直接开始画辅助线，我要怎么画？来找点竖直，竖直好 水平，水平还有什么需要画的吗？无非就是这几条，然后再来看问题，求点一离地面的高度。点一离地面的高度是哪一条呢？就是这一条，这条绿色的， 它要我们求这一整条，一定会给出其中的一小段啊，不信我们来看 一个矩形， a、 b、 c、 d 表示后备箱，说明这个是后备箱，它可以往下盖，盖下去的话就是 a、 d、 e 翻起来就是 a 一 撇 d、 e 如果翻盖下去，它就能完全吻合，所以 a、 d 是 和 a、 d 一 撇相等的， d 一 撇 e 一 撇是和 d 一 相等的。另外它们这个角度一定都是直角，对吧？来条件角七十度 是谁？ d 一 撇 a、 d 七十度好，而且参考数据里面的也都是七十度，七十度是主角，然后 a、 d 等于一百，那 a、 d 等于一百，是不是告诉我们 a、 d 一 撇也会等于一百呢？ 它们只是位置不一样。条件边 d、 e 长为四十， 第一常为四十，是不是告诉我们第一撇一一撇也等于四十呢？那就这条四十 好，所有条件都给出来了。另外还有个关键的点滴，到地面的距离为一百一，说明要我们求这一整条。 其实已经告诉了下面这一条，要我们去求 e 一 撇 d， 求 e 一 撇 d， 来找到条件边 一百和四十。我们没去用这个一百一，我们待会直接可以加在后面。好，先看到一百，我们能通过这个一百和这个七十去求出谁来 求出谁。你主要要去找的是数值方向的，因为我们要去算数值方向的边，那是不是这一条， 但是我们想最后我们要用到一一撇 d， 其实没有这么长，所以还要去算到这一条。 好，现在来给它们标点，这个叫 h， 这个叫 p， 那 这个叫做， 这个叫 m， 这个叫 n， 要用到四个点， 通过 a d 这里我们先求出 d 一 撇 p 来，再用 d 一 撇 p 去减掉 d 一 撇 h 是 不是就是 ed 的 长， e， d 的 长，我们求的是离地面的高度， e 一 撇 n， 它会等于 e 一 撇 d， 加上这一个一百一。好，我们再来看这里 第一撇 p 怎么去求它在这个三角形内，相对于这个七十度的角是作为一个对边的存在，另外给了我们的条件是斜边，所以会用到 side 七十度等于对边比斜边， 也就是这里的 d 一 撇 p 比上 d 一 撇 a， 对 边比斜边好， d 一 撇 p 处理掉了，我们来看一下 d 一 撇 h 怎么去处理， 那现在就要用到我们刚讲的概念里面的什么互语， 那平行、内错、同旁、同位这些东西，我们知道这个角一定会等于直角，并且我们做的辅助线之间一定是互相垂直的，所以这个等于七十度， 那这个是不是七十度，他加他九十度，他加他等于九十度，所以这个一定是七十度。好，给到七十度是主角，然后来找关系，在这里 d 一 撇 h 是作为七十度的一个零边存在，然后已知的条件四十是作为斜边的存在，所以这里会用到一个 cosine 七十度等于零边，比斜边 零边第一撇 h 斜边第一撇一撇好，最后第一撇 p 就 会等于第一撇 a 塞以七十度 d 一 撇 h 等于 d 一 撇 e 一 撇 cosine 七十度 d 一 撇 a 是 多少？ d 一 撇是一百。 cosine 七十度呢？零点九四 d 一 撇 e 一 撇是多少？四十 cosine 七十度是多少？零点三十好，给它算出来， 算出来之后呢， 用 d 一 撇 p 去减掉 d 一 撇 h， 就 得到了 hp， hp， 也就是我们这里的 e 一 撇 d， hp 也就是 e 一 撇 d， 然后再用 e 一 撇 d 去加上 d n， d n 是 已知的，也就是一百一，那就得到了最后的结果。 好吧，这种题目就是这样，就是这么点东西。好，我们来看第五题， 先看这个图啊，一眼就能看懂这个图，然后参考数据， 参考数据是，二十七，五十五，二十七，五十五，二十七，五十五，两个主角二十七度，五十五度。 问什么桂花树 df 的 长好，问的是 df 的 长，我先把它画出来， df 的 长是这里，我们要求的是这里 来做辅助线。怎么辅助？无非就是找点嘛，一点水平过 f 点水平， 对吧？过一点垂直向下没有了，就这三条啊，已经做不出第四条了是吧？方方正正的，相当于把它框在框子里面一样，等着我们去做。然后来看条件， 负角二十二度，对吧？负角二十七度， f 点的负角二十七度， 然后呢？ c 点的负角。什么叫做负角？什么叫做负角？我想问一下， 如果你这里理解不了，你先理解这个竖顶 f 恰好在一条直线上，且俯角二十七度，这里的二十七是给到这里 说明是从水平往上抬二十七度，叫做它的俯角， 是吧？因为它是在哪里观察，它是在 b 点观察这个角二十七，所以这个角是五十五，放在下面内，错，就是这个角五十五度。 好，条件角，那我们来看条件边 a b 的 总长 二十五， c d 间的距离为八，总共就这两个条件。我要来求 f d， 那 怎么去求呢？ 首先我们来找到第一条条件边二十五， 条件角五十五度，我们可以通过这个五十五度和这个二十五去求到 ca 的 长， 然后再通过 ca 去加上另一个条件边，得到了 d a 的 长， d a 的 长其实就是 e h 的 长， 我们知道了 fh 的 长， 就会得到 bh 的 长，我们知道了 bh 的 长，就能知道 h a 的 长，知道 h a 的 长，就知道了 f d 的 长。好，来，理一遍思路， 先求出 c a 来，好不？这样写，换一种方式表来一个逆推， f d， 它是不是等于这个点叫做 h 啊？它是不等于 h a h a 是 不是等于 b a 减掉 b h b a 已知 b h 这一条，我们是不是通过二十七度的角 和这个 f h 来算？ f h 是 不是就等于 d a？ d a 是 不是又等于 dc 加 c a？ dc 是 已知的， 那最后就是去盯着这个 c a 来求， 好来， c a 在 这个三角形 a b c 内啊，相对于这个五十五度角而言， c a 是 作为一个零边的存在，然后给了条件二十五是作为一个对边的存在，所以这里要用到一个 t 角五十五度等于 对边比上零边，也就是 b a 比上 c a， 那 么我们的 c a 会等于 b a 去除以偏角五十五度。好， c a 求出来了，那 c a 加上 dc 也求出来了， 对吧？那 d a 求出来了， f h 就 知道了， f h 知道了， f h 知道了，那我们怎么去求？ b h 的 长在三角形 b f h 内，相对于这个二十七度角而言， f h 是 邻边的存在， b h 是 对边的存在，所以这里又用到了一个天角二十七度。 填卷二十七度等于对边比邻边等于多少啊？ b h 比上 f h， 所以， 所以 b h 会等于 f h 乘以一个填卷二十七度， 对吧？知道天角二十七度， b a 又是已知的， b a 已知多少呢？ b a 就是 ab 嘛，就是二十五，是不是一下子就出来？那主要是一个，你计算一定要细心，一定要细心。好， 好，我们来看到最后一个山东省泰安市新泰市恶魔又给了我们一个画面啊，依旧忙化吧 依旧忙化。哎，谁可以忙化，无非就是点 b 一 切，点 a 一 切，那还能怎么去切 我，再切我，我无非就是把它延长，把这里补补齐嘛。已经把它框死了，没其他辅助线可做了。来看题目问题，直接看问题，求什么？ 哦，在这里，问题在这，求 c d， 然后求 a， 看数据精确到零点一，二十二，二十二，主角二十二，根号三没用到根号三就错了。好，来看条件， a b 等于四， 斜坡的坡角。坡角是啥玩意？坡角就是给你一个平面，你往上多少度，你这个，你这个边往上多少度，你这个坡就多少度，这叫做坡角，这个叫做坡角，也就是斜坡的坡角。说的其实就是这个角 啊，这个角我同位角同到这里，我同位角内错角再内到这里，对吧？那这些绿色的角都叫做三十度，绿色的角叫三十度，那我那我那我，那我黄色的角是不是叫六十度， 对吧？黄色的角叫做六十度。 来， b、 c 长一点五，这一条边给到我们一点五， 较长数值立柱，然后 c、 e 以水平 c、 d 假角为二十二度，那就说明这个角是二十二度。 好，所有条件摆在这里。我现在要求 cd 的 长，我到底怎么求？那我问你， cd 是 不是等于 bh 啊？ 是吧？因为我做辅助线的时候，我就是如图，过 b 点 平行于水平面的线，过 a 点垂直水平面的线， 是吧？我画的就是方方正正的图形 c、 d 就 等于 b h， 那 b、 h 怎么去求？ b、 h 放在下面这个三角形内是非常好求的。这个绿色的角是三十度，三十度左右直角变为斜边的一半，那这条等于二，那这条等于多少啊？二倍根号三吗？是吧？那 c、 d 不 就是二倍根号三吗？ 这是第一位， 那第二问呢？ a 一 的长，好一样的道理，它给你一条长，它不会让你全部求，它只会让你求一点点。我们要求 a 一 的长， 其实 a、 h 我 们已经知道等于二百，哎，包括什么？ d、 h 不 就是 c、 b 吗？那剩下谁呢？剩下 e、 d， 那 e、 d 的 话，我们所有的目光向它看齐，向三角形 a、 d 看齐。 好在这个三角形内，我们是不是已经知道 c、 d 的 长，已经知道 c、 d 已知 c、 d 求 e、 d， 那 么它们两条边分别作为邻边的存在，所以我们用到 ten 二十二度，等于对边比邻边 等于 e、 d 比上 c、 d 吧。那我们要求的 e、 d， 如果 c、 d 乘以天角二十二度，求出来了， e、 d， 知道我最后 a、 e 是 多少呢？ a、 e 就 等于 a、 h 加 h， d 加上 e、 d 嘛， a、 h 是 多少算出来了？二啊， h、 d 是 多少就是 c、 b 嘛，就是一点五嘛， e、 d 是 多少？ e、 d 你 自己去算一下， c、 d 是 二倍根号二，乘以一个天角二十二度，天角二十二度是多少？ 天角二十二度零点四， 是吧？所以最后就是这么个事，哦，这是二倍根号三，二倍根号三。 好，所以我们通过这六套题的讲解啊，主要是给同学们吃一颗定型丸，这个题目我们一定能够拿满分。 好吧，按照这个步骤来，第一步干嘛啊？有时候出现这种实物图，就去想一想，到底怎么个 是啊，这种实物图怎么个是？然后再来通过它的示意图啊，结构图来去看一看啊，想一想生活中是不是有这种例子。 那第二种呢？没有十亿图 直接给到我们什么？直接给到我们一个这个图，那就简单，是吧？这是第一步。 第二步，我们去看他的参考数据，看他有什么限定条件啊，或者说精确到多少位数，然后看他给的一个三角函数，他给的是什么？多少度多少度，那就是谁是主角嘛，那给的根号三，没出现根号三，那就有问题了 啊，包括有同学会说，哎，老师，最后一题你没写更好三，那这不是更好三， 我只是这里没用那个政权去做嘛。啊？第三步，第三步，我建议同学们先去看问题，先看问题，先看他问的什么？你先去啊， 你先去把那个问题给画出来，你画出来，我说了你他要你求这一条，他一定不会让你全部求，他会让你分成几步去求啊？求几段，然后你去通过那个条件角条件边去延伸扩散，把它求出来 啊，一定要注意计算，特别要注意的是计算问题啊，包括可能会出现一些我们看不懂的东西啊，这时候我们就要去构思了， 那对于之后的一个考点，我有四个方向。 那首先这是第一个，一个机械臂模型啊，我在每个图里面都给同学们 打上了搜图关键词，如果你们想去了解的话，可以去根据这些关键词去搜索啊，这些东西到底长什么样？去过一过眼看一看就行。 好，这是第二个摩天轮啊，我，我不知道他会不会跟这个圆结合在一起，如果他跟圆结合在一起的话，可能会上点难度，他主要是一个动态观测点的一个模型。 那第三个呢？就是高铁座椅小桌板，就是空间折叠，空间折叠的话我们也可以想一想我们平时生活中 我们教室里的空调，空调他有那个夜扇，对吧？那第四个就是连杆运动，连杆运动阅读架，那个折叠台灯 等等等等。好，今天的内容就讲到这里，感谢大家。

七年级的数学压轴题，其实就考这四个题型，如果你在期末前这一个月搞定了，那你考满分都有可能。 第一，相交线与平行线、平面直角坐标系、二元一次方程，还有不等式与不等式组，根本不用怕自己学不懂，因为他每一个题型他都有视频讲解，跟着视频讲解，把这个例题弄懂之后，再把这种题型的方法给学会。 最后呢，学会举一反三的针对性练习，不管是选择题还是填空题，还是这种大题啊，都不会错了。最主要的是呢，是掌握这些题型的方法，你掌握一个方法，就能解出这一类型的题。从七年级开始啊，很多人其实就在开始念压轴题了，去培养解难题的思维，不会难。

初中化学最难的计算题，十大题型，就这五张图背完稳拿前三！中考化学计算常考十大题型题型一，有关化学式计算题型二、有关化学方程式的简单 计算题型四，有关溶液溶质质量分数的计算题型五，溶液的稀释与浓缩问题计算 题型六，化学反应与溶液溶质质量分数综合计算题型七，根据质量守恒定律的计算 题型八、有关混合物成分的计算题型九、有关图像分析的计算 题型十，有关表格数据分析的计算完整版八幺二。