江西中考数学大题评分标准2026年

二零二六年江西中考数学命题呢，有三大变化，我现在用大白话跟大家说，听完呢，就知道该如何去帮助孩子抓重点了。第一大变化呢，是百分之八十的题， 都是紧盯着核心的知识点出啊，以前靠刷题就能蒙高分的，甚至说考一百一十分的日子真的是属于过去式了。 现在呢，更注重的是孩子实打实的能力。就说二零二十年中考，好多孩子平时考试呢，都是七八十分， 中考能冲到一百分以上甚至更高，这种极端的现象呢，以后不会再有了。不过也不要慌，能力弱一点的孩子呢，只要把核心的知识吃透，能考到九十多分甚至一百分完全是没有问题的。重点在哪，不用我多强调了吧。第二大变化呢，就是命题不只是看孩子会不会知识点了， 更看重孩子的综合素养。具体就四个小变化，一是呢，新增了综合以实践的题型，往年呢，都是代数、几何、函数、概率等等，今年呢，多了第四个板块，叫做综合以实践题， 还特别贴近生活，死记硬背的呢，几乎都没有了。二是情境化题目就越来越多了，你看二零二五年的古法酿酒工艺解析，这类型的题目呢，会越来越多。 好多孩子呢，数学逻辑挺好的，但一碰到这种题就容易丢分。说白了呢，就是不会审题，或者是审不清，不会提起有用有价值的信息。三是题目会更偏向开放性和探讨性， 大多数呢，是二次函数新定义题，考验孩子独立思考，平时呢，得让他多自己去琢磨。第四是初升高的衔接更深入了，计算量会增加，二次函数的内容呢也会变多， 几何占比呢，可能会下降一点。为了孩子上高中能跟得上第三个变化呢，就是更注重答题的过程。 因为是高中老师面题跟高考一样，特别注重答题的细节和逻辑，步骤不连贯不严谨肯定会扣分，千万不要因小失大。我是向阳老师，关注我带大家了解更多的升学资讯和最新政策。

二零二六年江西中考的数学有大调整了，新增的考点已经正式加入了命题的范围，各位考生和家长们有没有留意到这个重要的变化呢？那么结合最新发布的二零二六年江西中考数学命题大纲，给大家梳理的四个核心的要点， 这些内容对复习方向和考试的成绩都影响很大，二零二六届考生一定要一条一条的认真看，特别是第二点， 关于新增知识领域的说明，得重点标记，好好理解，这样呢，复习才能够更有针对性，更高效。第一，难题的结构有明确的规定，数学卷面总分一百二十分， 其中呢，基础题有九十分，占百分之七十五，主要考教材里的核心概念和基础的运算。中档题二十四分，占百分之二十，侧重考知识的综合运用和解析技巧。 难题呢，只有六分，占百分之五，主要是为了区分顶尖的学生的思维能力。命题大纲特别说了，今年呢，绝对不会出偏题、怪题和超纲的题， 所有的题呢，都在课程标准范围内，所以把课本知识掌握的扎实就是得分的关键。第二，知识领域考察的体系呢？有大的更新，原来有三个知识板块，现在呢，新增了综合与实践领域， 变成了四个考察体系了。具体分值分布是，数与代数，四十五分，占了百分之三十七点五。 图形与几何呢，四十分，占了百分之三十三点三。统计与概率呢，十五分，占了百分之十二点五。新增的综合与实践领域呢，占了五到十二分，大概占到百分之四点二到百分之十。 这个领域主要考学生在跨学科真实情境中解决问题的能力。命题素材可能会结合江西的红色文化、生态经济、科技发展等本地的特色， 还有呢，环境保护、人工智能的社会热点，这就要求考生呢，能够把数学的知识和实际的生活很好的结合起来运用。第三，评分标准有人性化改。 今年呢，首次明确要实行分布复分，就是不光答案对了，能得满分，解析过程中的关键步骤也会按点给分， 就算是最后结果错了，只要公式用对了，思路清晰，也能够得到一部分的分。第二是结果呢，接近于正确答案，只是计算有点小错误，也会酌情给点分。这个改革能够降低因为粗心失误而丢分的风险， 能够更科学的评价学生的思维过程。第四，命题失误呢，有衔接性的调整。今年数学题会适当的借鉴高中的知识竞赛的命题思路，在综合题里呢，融入逻辑推理、创新思维等高中阶段必须具备的能力考察。 所以呢，考生复习的时候，除了巩固四大知识领域的基础内容，还可以适当的接触一下 初中数学竞赛里的经典题型，培养呢多角度的分析问题的能力，尤其要注意综合与实践领域和其他知识板块的交叉运用，通过针对性的训练呢，提高解决复杂问题的能力，为上高中做好咱们的思维衔接。

来，中考样卷第六套，在这里统一和大家说一下。我讲的所有试卷的电子版 都发在群里面，大家可以自己进群，然后找到群收藏，里面都分类好了，自取 好来看第一题， x 等于负二，代数是 x， 分 之二就等于负一，选 a。 第二问同类项，同类项是什么东西？同类项就是除掉它的系数之外是一模一样的东西，那只有低保 三个既是轴对称，又是中心对称， a 仅仅是轴对称， b 既是轴对称，也中心对称， d 是 轴对称， c 也是轴对称，所以选择 b。 同一束轴表示 x 大 于等于一 二， x 大 于等于四， x 大 于等于二，这不是大于等于大于一，大一就是空心，大一等于就是实心。选 a， 错错错！ 现在说法正确的是，当温度为 t 二时，找到 t 二，这时候 a、 b 两种固体物质溶解度相同，相同吗？有焦点那肯定相同，所以 a 一 是对的， 那 c 不要了，那都有二，三个都有二，二也不用看了，直接看三。 哎，一二，那就那肯定选 b 嘛。我们接着往下看，看下三，固体物质 a 的 溶解度一直高于固体 c， 固体 a 在 这里一直高于吗？错， 在这个点之前， a 是 比 c、 d 的， 过完这个点之后， a 才比 c 高，所以三是错的。三不要三不要选 b 吧。 下列比例式中不成立的时候，我们来看三条线，平行直线， c、 d 分 别相交，然后三点之间的距离相等。另外另外说 e、 o 等于 o， c 距离相等，那么假设这个 e、 o 等于 o， c 等于 x， 那 我问 e、 d 等于多少？这一条和这一条不应该是相等的吗？ e、 d 就是 x， 二 x 好， e、 d 等于两倍。 x 包括什么？包括这两个三角形是会全等的。 a、 c、 o， e、 f、 o， 因为它们有一条边相等啊，三个角度相等，加上一条边就是全的。那 a， a、 c 比 d b， a， c 比 d b， 那我们不看 a、 c， 我 们直接看 e、 f， 它其实就是 e f 比 db， e， f 比 db， 因为这 o、 e、 f、 o， e、 f 和 o db 是 相似的，它们的相似比是 x 比上三 x 一 比三 是吧？ e、 f 比 d、 b， 那 就是一比三了，好，哎，对了， o c 比 d c、 o c， 那 我们依然不要 o c， 我 们直接把它换过来，换成 o 一。 其实换不换都一样啊。 o c 是 占到了一个 x， dc 是 占到四个 x， 一 比四没问题， o c 一个 x， d， o， d， o 是 这么大，是二 x 加 x 三 x 减掉 o， c 减掉一个 x 二分之一吧。被 c 错了。 ef 比 a， c 加 d b， a， c 加 d b 啊，我现在设 e f 为 y， a， c 是 不是 e、 f 相等，对吧？ d b， e f 和 d b 的 相似比是一比三啊，三 y 一 比四了，好，没问题，所以这一题选到 c 好。 科学计数法，一到十之间切一刀，一二三四五六七，那就是三点五七九乘以十的七次方 算平均数啊。最后五枪平均数，大家会怎么去算啊？我一看这个数据， 我会怎么算呢？我会以十为标准，以十为基准来看它们的波动。十点六是不是往前波动了零点六，十点三，往前波动了零点三 啊。九点七，往后波动了零点三，九点九，往后波动零点一，九点六，往后波动零点四， 是吧？往前总共是加零点九，往后总共是减零点八，那最后实际上是 五个，他们五个是加了零点一，那分到每一个就是零点零二。好，我再把这个积分加上，这零点零二就是十点零二。 好，下一题在等边三角形边上。哦，这个因式分解差点把它漏掉了。因式分解，提出一个 a 来吧，二 a 减一， 在等边三角形。画规律，圆点找规律的题目啊，一二三三个，一二三四五五一二三四五六七七个啊。不用看了，基数，但是基数它不是从一开始的啊。我们以前说从一开始的基数叫二 n 减一 啊，从一开始的偶数叫做二 n， 但是它不是从一开始的，它是从三开始的。那是不是我们原有的基础上往后推了两个， 往后推了两个，所以就是它加上一个二就行，它总体加上一个，因为它所有的数实际上是往后推了一位的，推了一位，是不是数字就相差了？二，那就是二 n 加一。 好，往前走，直接看大意。几个人合伙买东西，每个人出八块钱，会多出三钱，每人出七钱，少四钱。 好，合伙人数为 x， 那 每人出八八钱，那 x 人就是八 x 钱， 对吧？会多出三，三钱，会多，那说明八 x 减 y 等于三吧？会多啊， 那每人出七钱，还是七 x？ 出了这么多，还少？那少，那它这时候是一个小的状态，它是大的状态，那就是 y 减七， x 等于四了。 那方程组就是八 x 减 y 等于三， y 减七， x 等于四百，好吗？好，最后一题 如图，点 h 在 a d 上， a， d 等于根号三加一， d h 等于根号三减一。什么东西啊，这么复杂 使得。哦，我现在把 a h 绕点 a 顺时针旋转，而法度使点 h 落在这个点 f 上，则点 f 到 b、 c 的 距离为好。这个题目 a、 h 是 我们的讨论对象吗？ 所以我们要把 a、 h 的 边求出来，它给这么复杂，其实是一个纸老虎，你看我 a h 是 不是根号三加一减掉，根号三减一，是吧？其实就是二了，那 a h 是 二，那就看着舒服一点。 那我们来看，可能有几种情况呢？落在三角形，只要落在 a、 d、 b 上都行，是吧？我大大概观察了一下，它到这里可能就 那这里可能有一种，另外一种呢？是它落在 a、 b 边上，这里有一种，对吧？总共有三种，那这三种我们怎么来求呢？ 而且这两个点一定是关于对角线对称的，它实际上就是一个圆嘛，就是以 h 为半径，给它转动，给它转起来。 那我们现在要求的是点 f 到 b、 c 的 距离，就这么长吧？ b c 的 距离， 那我现在唯一知道的叫做 a f， 它是二，其他边都不知道了， 大家还记得吗？只要它是在角平分线上，它到角两边的距离就相等，所以我这里过 f 点做一个垂线，这两条会相等，也就是我们说的要求的 x 会相等， 我们把这个距离设为 x， 是 吧？有了二，有了 x， 我 这一段我需要知道，我肯定要知道，因为 a b 我是 知道的，它是正方形， a b 其实就等于 a d， a b 等于 a d， 那 我要的是这一段，我为什么要这一段？因为我要构造一个勾股定律，我要用勾股定律来求解，对吧？这一段跟这一段是相同的，是 x， 那这一段就是 a d 减掉 x， a d 减掉 x， 就是 根号三加一减 x 就是 这一段。好，现在大间隔固定 斜边是二，二的平方就是四，四会等于 x 平方加根号三加一，减掉 x 的 平方 来四等于 x 平方加根号三加一平方，减掉二倍根号三。写错 二倍根号三加一， x 加上 x 平方。好，整理一下两个 x 的 平方减两倍的根号三加一， x 平方 要加这么多，然后减四我们另算。根号三加一的平方是三加一加二倍，根号三还要减掉一个四，三加一减四没了就是 加二倍，根号三等于，那都有一个二，二不要了。好，现在来英式分解 它，最后是减根号三减一，那我这里就构造一个负根号三负一就好了，所以它得出来是 x 减根号三乘以 x 减一等于零，那解有两个解啊， x 一 等于根号三， x 二等于一，是吧？你这时候会发现那两个解不就是这两种状态的两个解吗？ 因为我这两种状态都满足这个公式，都满足这个公式，即使我到下面来，我求的也是这一条吧，我求的也是这一条，那同样的道理，这里 x， 这里 x， 这一段还是根号三加一减 x， 所以 一样的一下把两个两个解求出来了，根号三或者一，或者什么 或者它，最后这里了，直接搭到这上面了，直接搭到这上面的话，我的 x 就 会等于 根号三加一就直接等于 d h 了，直接是根号三减一了，直接搭在上面的话。 好，第一部分先讲到这里，大家需要资料自己去群里面找哈，找不到的就问。

二零二六年江西中考数学呈现三大变化趋势，大家一定要点赞收藏给孩子看。第一大变化趋势就是百分之八十聚焦于核心知识，以人力利用。什么意思啊？以往靠加餐拿到高分的日子，一上一百一甚至满分的日子，一切不复返， 更注重你孩子本身的能力。像二四年中考数学，很多孩子平时可能在临摹里面六十分都得不到的孩子，中高考一百一十多分，这样的日子一切不复返。 当然我能力差一点的孩子也没关系，因为百分之八十聚焦于核心知识，把核心知识掌握牢，同样可以考到九十分以上。大家明白了这个道理吧，所以说你是哪块料，应该怎样做，应该很清楚了。第二大变化，就是以往从知识利益 到现在啊，素养导向转型，什么意思啊？具体有四个变化。第一个，新增了这个综合以实践的题型， 往年我们都是代数几何概率统计，那今年有第四个板块，就是综合以实践，什么意思啊？跟实际生活结合的比较紧密。第二点，情境化的题目啊，增强增多。 那么什么意思呢？像二零二五年情境化的题目，无法酿酒啊。很多孩子数学本身学的很好，但是这个题目就扣分，甚至拿不到分，原因就是 他要去审题，他要去结合题目的意思啊，把题目中的有效信息提出来，再用数学啊知识去解决问题。是很多孩子数学知识没问题，前面那个部分不行，所以这种题目考察的是孩子对啊，这个题目的理解能力的应用。 那么第三点的话，就是开放性，探索性的题目啊，会增强，那么像集中表现在二十二题，二十三题，二十二题，一般来讲二次函数啊，新定义或者自定义的题型，对不对？给你一个新定义让你理解，第一问可能比较容易，第二问，哎，应用，第三问拓展， 对不对？考察的是你的孩子对这个新概念的理解，以及你的能力，你的思考能力，所以说平时要注重独立啊，思考能力的培养。 那么二十三题一般来讲就是啊，探索性的题目可能有一定的规律性，对吧？让你从这个特殊到一般的规律去归纳总结，对吧？这个其实也对接高中的一个思维，对不对？高中我们很多题目也是这样的啊，你发现规律，然后用规律去解决问题， 当然这个压轴题的最后一问肯定是比较难的，用这个规律去拓展应用，那么体现了孩子啊，超强的思维能力。 那么第四大变化就是初高衔接啊，渗透的比较深。往年可能你看我们中考数学计算都是很简单，那么今年计算量肯定会增加，二次函数的部分肯定会增加，几何部分可能有所降，因为这个就是 啊，渗透嘛，初高衔接渗透的比较好，跟高中更加接轨嘛，这个是非常好的啊，所以大家注意这个啊。第二点里面的四大变化，那么最后一个大变化就是啊，更注重答题的过程， 所以说今年来讲的话，你答题过程要规范啊。往年我们就是，哎数学，你这个大里面作文，比如说他是结果等于二的，你结果是二，过程少一眼，过去没什么问题，可能就是满分。那么今年的话，哎，他会扣这个过程。细节为什么要扣啊？就高中老师命题啊， 对不对？因为高考的话我们肯定是非常注重细节逻辑性的呀。你不能说啊，后面这一步跟前面那一步衔接不了对不对？这个毫无逻辑性，一点都不严密，这不是数学对不对？数学一定是严谨严密的，所以从细节方面去扣你的过程。

江西中考填空十二题评分细则详解多解填空题始于二零一三年，距今已经有十三年历史。答案 一般来说是三个，规则是写对一个给一分，多写到扣分。假设答案是一二三，学生写一写一四五都是一分，写一二四，写二三五都是两分。但是如果写四个答案 一二三四，那么倒扣一分。如果写一二三四五，那么只有一分。所以一般说了，如果写了三个答案，不要再加了，会倒扣分。但是三个及其以内，对几个给几分？

二零二六年江西中考数学新增了一个知识板块，不知道同学们是否清楚，那么在这里呢，我也把二零二六年江西中考数学考题大纲整理成四个板块 分享给同学们，也希望同学们在后面的复习过程当中有地方时目标更加清晰，特别是第二点，请同学们一定要留意。那么第一点呢，指的是我们今年的江西中考数学难度分级，分为基础题、九十分， 中等题呢，占了二十五分左右，那么难题呢，只占五分左右，希望同学们对这个要了解掌握好。 那么第二个板块指的是我们江西中考数学的学生必须掌握好四大知识领域。那第一个呢，指的是我们数与代数部分，这部分分值会占到四十五分左右。那第二个呢， 是同学们必须要掌握好几何部分，那今年的几何会占到四十分左右。第三个板块指的是这个统计与概率， 这部分的分值会在十五分左右。还有一部分呢，是指的是我们今年的创新题，这部分题型会跟我们社会热点以及江西特色的一些这个民生热点会相挂钩， 所以这部分同学们也要在平时生活当中多去了解一下我们的人文情怀，包括一些社会特色， 甚至是我们江西一些特色风景等等之类的，都要关注起来了。第三个板块指的是我们今年的评分成绩会有所改变，那么今年的江西中考数学重过程，轻结论。 所以如果我们一道题过程写对了，这个答案写错了，也是会给分的，而且分值占比会很大，同学们要留意一下，那第四个板块指的是我们今年的江西中考，这个出卷 是由初中老师和高中老师联合来这个出卷。那么今年的江西中考数学也明确要求今年不考难题怪题，也不考超纲的题型，所以请同学们也放心，我们今年的中考数学题型不会超纲。 好吧，所有的高中老师出完的试卷是由我们最后初中老师来审题阅卷的。

二零二六届中考生可以称为幸运兼具挑战性的一届。为什么这么说呢？原因有三，第一， 今年中考试卷百分之七十五的题目都是基础题、简单题，这对中等生和低分段的同学来说非常友好，只要你的基本功扎实，你中考就可以考一个不错的分数。第二，今年是首次有高中老师参与命题，把控出高中知识点的衔接，不会出现偏题、怪题。 同时的话，试卷题目趋向于新颖灵活，筛选性更强。第三，今年中考试卷的难度系数是零点七，一、中等偏容易，同时很多高中扩招了，意味着有更多同学可以进入高中阶段学习。最后，预祝所有中考生们金榜题名！

好，同学们，我们看一下白卷啊，呃，讲之前大家如果觉得我所讲的跟对大家有帮助的话啊，可以麻烦点个赞收藏，然后加个关注，关注，关键是加个关注啊，谢谢啊。然后我们就开始了， 那我们把这个白卷的话，呃，比我们中考的难度稍微难那么一点点啊，有几个题目出的也不错，但我们可以一起看一下啊。前面比较简单，我们就对一下答案， a 第一个呢，负六相反数，相反数你就选 b 吧，对吧，导数你就选 d 啊，这是相反数， 还有可能考它的绝对值吧，绝对值还是选 b 啊。第二题，中心对称的哦，既是轴对称，又是中心对称，那所以应该选 c 吧， a 是 轴对称啊，对称轴啊， b 啥也不是啊，这个是个轴对称嘛，所以我们可以看一下啊。第三题呢， a 选项，这应该是 a 的 六次方， 这里应该，你看这个符号在括号里面看到吗？所以它应该是四 a 的 平方， c 的 话，这里不是同类项啊，不能这样合并 d， 负 a 乘以 a 负 a 方吗？负 a 乘以负 b ab 吧，所以这个题目选 d 啊。第四题呢， 这里考察三角形的基础的性质啊，我们绕三角形三边的关系是两边之和大于第三边的， 那你截的这一段是两边之和大于第三边的，那你只能选 b。 第五题了，判断错误的我们看啊，假的跳绳成绩高于了班级平均分，你看假的所有的都高于班级的平均分啊，所以这个是对的。 b， 乙的成绩与他平均分接近啊，这个是对的吧， 和班级平均分就是在这在这里吗？接近了 c 呢，平均分在七十和八十之间，这个也是对的吗？ 你看这里所有的分数啊，都在七十和八十之间，那所以应该选 d 嘛？ d 的 话，他说乙的成绩没有甲稳定，那我们在这里看一下啊，乙的浮动的话，只在七十和八十之间嘛，大致的是对吧？而甲呢， 最高的和最低的相差就比较大，所以甲的波动性会比乙要强，那么呢，乙就更稳定嘛，乙就更稳定啊。所以这个题目答案选 d。 如果要计算的话，我们第一步要先算一下它的平均分数啊，比如我们甲， 比如我们假，你就可以把这六次六次成绩，我们用 x 表示 六次成绩全部求出来吧，然后乘以六分之一或除以六，得到了它的平均成绩， 然后它的方差的话，我们应该用了第一次减去平均的平方，加上了第二次减去平均数的平方一次吧，加到第六次减去平均数的平方，然后也是一样的，你要乘个六分之一或者除以六，那你就可以求出它的方差吧。我们用 s 平方来表示，那么标准差就是我们这里得到的这个数的 标准差，就是我们这里得到这个方差的算数平方根， s 就 应该等于根号 s 平方，算数平方根啊，所以我们这个题目选 d 啊。第六题呢，这里应该等于全天的平均 总的单量除以全天的总时长。呃，这里配送横坐标是配送时长啊，我们举举个例子来看吧，它 m 一 应该是呢， 假设横坐标为 x 一 了，纵坐标为 y 一 嘛， n 一 呢，应该是 x 二， y 二都是假的嘛。那么全天的总单量应该等于 y 一 加 y 二嘛？全天的总时长应该等于了 x 一 加 x 二嘛，对吧？那这个其实就等于什么，你看大家要比较敏感的， x 一 加 x 二， y 加 y 二，你可以联系到它的这个终点嘛，比如 m 一 m 一 终点的坐标就应该等于了二分之 x 一 加 x 二嘛，二分之 y 影响嘛，所以我们就看它终点对应的位置，要使得这个越小嘛，横坐标越小，纵坐标呢？越大嘛， 对吧？那样的话，它这个配送效率就最大嘛。所以我们先去找一下啊，这几个的终点，比如 m 和 m 延移，它终点应该在这里吧， 这里假设为 p 一 了，换一个颜色， m 二 n 二，终点应该在这里嘛？ p 二 m 三 n 三，终点大致在这里嘛， p 三你要选是吧？横坐标又小，纵坐标又大的，所以这里比较符合题目意思，应该是 p 一 吧，也就是了，甲的配送效率应该是最大的，所以我们这个题目应该选 a 呀。 第七题，有意义，这是个根，是有意义啊，根是有意义的话，你要使得它里面的被开方数二次根是有意义啊。二 x 减二大于等于零就可以了，所以你这里可以解出来， x 应该大于等于一吧。 你比如三次根式的话啊，它里面的 x 就 可以取任意数嘛。那涉及到我们初中，涉及到有意义的，还有一个分母，比如 x 分 之一， x 不 能等于零吗？分母不为零， 然后还有个 x 的 零次方，这里的话一个数的零次方啊，这里 x 也不能等于零，所以这个要注意一下啊。 第八题，科学计数法，这个就好简单了，这里有个万吗？十的四次方，把小点点在这里，所以他应该是呢，一点二八零九，这里全部要写出来啊，乘以十的，这里还有三次吧，所以应该是七次方。 好，第九题，这也很简单的，系数看一下啊，系数就是基数，基数我们用二 n 看一下，基数一般可以用二 n 加一或者二 n 减一来表示它，这里第一个数，你验证一下，第一个数带进去要等于一嘛，所以就用二 n 减一比较合适一点。然后就是 a 的 n 次方嘛， 那我们这个题目就表示出来。第十题，就我们中考比较常考的那个，求根公式了啊，不对，根与系数关系，根与系数关系，伟大定律啊，这个基本上都会考。那我们这个题目的话，这里出现了 a 的 平方，但是又没有 b 的 平方的话，一般要考虑整体代入，整体代入， 对吧？所以怎么带呢？我们可以看啊，我们先可以把 a， 因为这个 a 方嘛， a 方先带进来， a 方减去四， a 减二等于零嘛，所以你看，这里会出现 a 方减四 a 吧，它应该等于二吧。我们把这个式子拎出来， a 方减六， a 减二 b， 我 们先把它拆一下啊，它是 a 方减四， a 再减二， a 减二 b 吧， 这里啊，就有吧，所以这里应该是二嘛，减去两边的 a 加 b， 那 我们再用用一下伟大定律啊， a x 方加 b， x 加 c 等于零吗？这里注一下啊，这是二次函数，所以 a 不 能等于零啊。第二个，我们伟大定律存在的前提，它能使用的前提啊， 这个一定要注意一下啊，虽然我们考的比较少，但大家一定要知道，伟大典礼使用的前提应该是呢，他有，他得有十根嘛，所以他的德才应该呢， 应该大于等于零啊。当然了，这里已经说了啊，所以这里不用去验算啊，听到吗？不用去验算，他都说了两根嘛。所以这种往往这这一步我们很多同学是不考虑， 在实际的过程中，我们应该要考虑。然后就是 a 啊，这里不用 a 了啊，只是用 x 一 加 x 二，两根之合等于了负的 a 分 之 b， 然后两根之积等于了 a 分 之 c 了。那我们这个题目的话是 a 加 b， a 加 b， 就 应该等于 负的 a 分 之 b 啊，负的 a 分 之 b， 它应该等于负的一分之负四，所以等于四了，那我们把四带进去，它应该等于二减二乘四，等于了负六，所以这个题目答案就出来了，负六。所以伟大定律啊，这个还是比较重要的，特别是到高中之后，这里 大家一定要着重了解一下，清楚的认识一下啊。然后十一题，我们看一下 十一体，乍眼看，这个题目好像不知道在讲什么呀，我们可以看啊， a， 他 先告诉了 a， c 等于四， b， c 等于三，又是直角 a， b 等于五，对吧？ 然后边长分别为 abc， 这个为 a， 这个为 b， 这个为 c。 哦，那这里的话，你就我们看一下啊，尝试用比例来做一下。你这里涉及到 a 比上 b 加 c 嘛，我们看 abc 有 什么关系？呃，在这里很明显啊，你看，我们先看三角形 abc， 它的三边之比是等于什么？三比四比五，所以它长的边 a c 比上了 bc 等于了四比三呢？那同理，你看下和三角形 a、 c、 b 相似的三角形有哪些？你比如三角形 a、 g、 h， 还有了三角形 a、 d、 e 吧，还有了三角形 e、 f、 b， 还有了三角形 k、 l、 b， 这些三角形都和我们三角形 a、 c、 b 相似吧，这个一眼就能看出来啊。 那也就是说，我们这几个三角形，它这个比如三角形 a、 g、 h， 它的 a、 g 比上 g、 h 应该等于 a、 c 比 a、 bc 等于三比四吧。我们写这里啊，它这个 a、 g 比上了 g、 h 吧， 对吧？那么也就是说我们可以把 a、 g 表出来啊， a、 g 应该等于了，因为 g、 g、 h 等于 b 嘛， g、 h 等于 b， 那 你就可以把 a、 g 表出来嘛，所以 a、 g 就 等于了。呃，三分之四 b， 对吧？同理啊， a、 d 应该等于了三分之四 d 一 d 一 等于 a 嘛？ d 等于 a， 所以 a、 d 等于三分之四 a 呀。哦， a、 d 又可以等于 a g 加 a d g， a， g 等于三分之四 b 嘛？ a、 g， d， g 等于 b 嘛？哦，那你就可以把 a 和 b 的 关系找出来。三分之四 a 等于了三分之七 b 吧？嗯，三分之七 b， 所以 b 就 等于了 七分之四 a 嘛，那么 b 和 a 的 关系就出来了。那同你这边的 c 和 a 的 关系，你可以同样的方法去找一下。这是 a 吧， 对吧？ e、 f 也是 a 吧，这也是 a， 所以 我们先看啊，你这里是 c， 你 先放到三角形 e、 j、 k 里面去看。哦，哦，这个三角形 e、 j、 k 也是和我们三角形 a、 c、 b 相似的，那么你在这个三角形去看的话， e、 j 它也应该等于多少？三分之四 c 吧， 对吧？那，那，那，那所以呢，你可以看啊， e、 f 它是等于 a 的， 它应该等于了 e， j 加上了 j， f， e， j 等于三分之四 c， 对 吧？ j f 又等于 c 加 c 等于了三分之七 c， 所以 c 就 等于七分之三 a， 那 所以我们这里的 a 比 b 加 c 就 等于 a 比上了七分之四 a 加上了 这个七分七分之三 a 等于 a， b， a 等于一。十一题啊，答案就出来了， 好，这是我们这个题目，就好好同学站一眼，看这里，没有思路啊，对吧？没有思路嘛，但，但中考的时候可以拿个尺子量一量，量一量， 所以我们这个题目其实主要考虑的是相似啊。但这个相似怎么用？就看就看，就看一下。我就觉得这里做这种题目的思路应该是替换的，比如 b 加 c， 用 a 来换掉，就是找到了 a 和 b， a 和 c 之间的关系来替换，那我们这个题目解决起来就不是很难。 十二题，边长为八，对角线交于 o， 然后 dm 等于一， dm 等于一。这正方形啊，正方形。一般来说，我们先过 o 做个垂线下来再说。那你想想，假设这是 m 吗？ o n 就 应该等于四吧， o n 等于四，你想啊， dm 的 话应该原本等于四，所以 dm 应该等于三嘛。那我们现在只需要分三种情况，第一种呢， 呃， o p 等于了 o m 的 时候， o p 等于 o m， 这可以算了啊， m n 等于三， o m 等于四，所以 o m 等于五，此时它应该等于五，所以第一个答案就出来了，第一个答案就是五，把这个擦了。 第二种情况呢，比如以以 p 为定点了， p o 等于 pm， p o 等于 pm， 那这里的话，我们可以不妨去设 p o 等于 x 啊，那么 pm 就是 x 吧， pm 等于 x， 所以 pm 是 x 减去三呢？那我们现在可以放到了 r t 三角形 p n o 中去看到，它应该满足了 pm 的 平方， x 减三的平方加上了 o n 的 平方等于了 o p 的 平方，所以我们可以看一下啊，完全平方公式展开一下， x 方减六， x 加九。 哦，这里 p n 的 平方多写一下啊，这是 x 减三的平方加四的平方 等于 x 方嘛。然后展开一下，这是 x 方减六， x 加九，加上十六等于 x 方。这里大家不要不要慌啊，这么一元二次方式我没学过嘛，对吧，但是这里约掉之后更是一元一次方式，所以这里六 x 应该等于二十五， x 等于六分之二十五，看看能不能约分啊。这里不能，所以第二个答案就是六分之二十五。第三个呢，第三种情况，第三种情况写这里嘛，我们去讨论呢。这个 m m p 等于了 m o 的 时候， 我们知道 m o 等于几？ m p 等于 m o 等于五的时候，你看啊，此时呢， p n 就 应该等于了五减三等于二吧。然后我们用个勾丁零 p 还是放到了三角形 p n o 中去看呢，只不过此时 p o 的 平方应该是等于 p n 的 平方加上了 o n 的 平方。 p n 现在是二的平方吗？ o n 呢，等于四的平方，所以 p o 就 应该等于了。这是根号二十吧，等于二倍根号五。 所以这个题目三个答案就出来了啊，这个题目不是很难啊，在众多的我们填空题的压轴题当中啊，这个题目的话应该算比较清楚的。 答案比较清楚啊，因为它的思路很很简单，第二个它计算也不复杂，是三， 这个就直接写下答案了，负二的绝对值二加零次方是等于一啊，三乘以三是等于二分之一吧。所以你这里的特殊角的三角函数值那九个一定要记下来啊，他在计算这里可能会用的上啊，减去二乘二分之一吧，这就一啊。所以这个题目答案哪个？然后这又涉及到一个了化简的问题， 这里应该等于分母一样，又是分母一样的，那就是二 x 减三 y， 上面就是四 x 减六 y 嘛，没做完呢，分分子可以提个二出来，二倍的二 x 减三 y 除以了二 x 减三 y， 这两个可以约掉，所以等于二。 第十四，看一下啊， 平行四边形 a， b， c， d， 对 吧？然后过中点 o 做垂线，那相当于 e f 垂直平分 b， d 啊，垂直平分 b， d， 对 吧？不仅如此吧， e f 应该还垂直平分了 m n， 这我们的思路，但这要说明了。另外呢， 你让我们看啊，这里现在还说了 b m 等于 dm， 所以 说它也平分了 mm。 然后我们现在看啊，你要正它的四四边形是菱形啊，我们上次刚复习过了啊，你要正它是四边形，是菱形的话，你可以从什么？嗯，从四边形直接推菱形的话，可以从对角线 垂直且平分嘛。 for 呢？呃，也可以去正四边相等。 for， 你 先正它是平行四边形，再去加一个条件嘛，一组邻边相等或者对角线垂直，对角线垂直，这里一致哦，一致，对吧？ 所以如果你能证出它是平行四边形的话，这个题目也能证出来正平行四边形 哦。我们就先从从上面来看吧。从你就这里，对啊，先垂直且平分，我们来看啊，那我们这里的话，垂直已经说了啊，你现在只需要证一下， o m 等于 o n， o e 等于 o f， o m 等于 o n 倒是比较简单啊，因为大大的四边形 a、 b、 c、 d 已经是平行四边形，所以 o、 b 等于 o d 嘛， 对啊，先平分嘛，对吧？现在又说了 bm 等于 dn， 所以 o m 等于 o n， 那 现在还要说一下 o 一 等于 o f 吧， o 一 等于 o f， 所以 我们可以干可以咋整呢？其实这个题目你也可以去连一下 b 一 吧， 我就不用虚线了，但不连也可以，这个题目不连辅助线，不做辅助线也能做出来啊， 比如我们去说明一下啊，四、四边形 b， e、 d、 f 为平行四边形，那这个题目答案就出来了，怎么说明呢？嗯，你因为这里说了 o、 e、 e、 f 垂直平分了 b、 d 嘛， 垂直于 b、 d 嘛，对吧？那么 b、 d， b、 o、 b， o， b 等于了 o、 d， 对 吧？ o e 等于 o、 f 是 我们要减的嘛？呃，垂直， 然后你就可以得到 a、 d 平行于 bc， 根据大的平行四边形推出啊， a、 b， a、 d 平行于 bc， 得到这两个角相等吗？对，顶角在甲乙左边相等。那你就可以证出来我们这个 b、 f 平行且等于了 d 一 吧， 平行于 d 一 嘛，平行于 d 一 啊，然后三角形 d， o e 和三角形 b， o、 f 全等，所以我们就思路就可以就很明确啊，所以我们可以写一下， 因为呢，四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形， 所以你看我们这里要用到是 a、 d 平行于 b、 c 嘛，而且呢，要要用到了 o， b 等于 o d 啊，所以我把这两个条件写一下， o， b 等于 o d， 然后就是 a， d 平行于 b c 嘛， a， d 平行于 b c， 你 就可以得到了角 e， d， o 等于了角 f， b o 吧， 这两直线平行内错角相等的，那所以我们现在就可以说了啊，能，对吧？ 在三角形 e， o， d 和三角形 b， o， f 中， 对吧？把三个条件说一下，这个角 d， o， e 等于了角 b， o， f， 然后 b， o 等于了 d， o。 角 e， o， d 等 e， d， o 等于角 fbo， 我 们就说明了三角形 e， o， d 全等于了三角形 b， o， f 这里是利用了，你看一个三角形中啊，角边角，这里应该是用了角边角 a， s， a 这里完了之后呢，我们现在就可以得到， 因为我们这里要用的就是 o， e 等于 o f 嘛，所以你就可以得到了 o， e 等于 o f 嘛，对吧？然后又因为呢， 我们现在还要求证一下， o m 等于 o m， o， b m 等于 d n， 然后呢， e f 垂直于 b d 嘛，所以你就可以得到 o m 等于了。这里写一下， o m 等于 b o 减 b m， o， n 呢，等于 o d 减 d n， 所以 就可以得到 o m 等于 o m 吗？那我们现在可以看啊，这个吧，这个吧，垂直吧，所以你通过这三个条件就可以得到了 四边形 e， m， f， n 为菱形吗？ 那你也可以用四边相等去证啊，四边相等的话，你就可以去证你，比方三角形 b， e， m， 三角形 d， e， n， 三角形 b， f， m。 三角形呢， d， f， n 这四个三角形全等全等的话，那么它对应的 e， n， e， m， f， m， f， n 就 应该相等嘛，正起来也比较简单了，可以去正一下， 因为这里比较特殊啊， e、 f 是 垂直平分了 b、 d 嘛，你你，你是可以证出这四个三角形全等的啊，好吧，或者说你可以去证出了四边形 b、 e、 d、 f 先去证出啊，它是一个菱形，然后再去说明， 那留给你们自己去挣了啊。十五十五题看一下啊，他这里说小明小花参加了讲解活动，讲解员准备了这四个看下啊， 四个文创产品说明呢？呃， a、 b、 c、 d 分 别只有一个吧，然后第一个小华最想要的是他抽到的，你比如他先抽的话，他抽到这个小夜灯的概率应该是四个里面的一个吧，所以应该是四分之一吧，那这里就应该相当于是放回啊，不放回的问题嘛。那所以我们可以开始写一下啊， 假设小明先抽 a、 b、 c、 d 吧，然后小华吧 a 抽完没有了， b、 c， d， a， c， d， a， b， c。 好， 大家说看一下计算抽到了八一记忆和军旗升起树立的概率， 没写分别哈，如果写了分别的话，你这里还要对应起来啊，这里是 b 吧，这里是 c 呀， 如果这里没写的话，应该说他两个只要抽到了 b 和 c 就 应该可以吧，所以就不用考虑这个了，那也就是说他们两个里面有 b 有 c 就 可以了，那比如这里是一个吧，这里也是一组吧，所以他们的概率 p 就 应该等于了。 这里总共是十二种，十二种，十二分里面的两种应该等于六分之一，所以他六分之一应该就这么来的。哦， 那明面上这个题目好像挺简单的啊，所以大家读题的时候还读读仔细了啊，第一个，你要判断他是不是放回的，对吧？这里的话说了，他就这四个吧，所以他应该是一个不放回的问题，然后这里估计这里还会挖个坑在这里，这里我感觉有点疑问啊， 对吧？如果这里是说小明和小华对应起来的话啊，那你这里概率应该是十二分之一，那有答案的同学对照答案看一下了，十六了，我们看一下啊。 第一个做 cd 的 中点， e， cd 的 中点这里你看啊， a、 d 角 a 等于角， d 等于九十， cd 又是 ab 的 两倍， 所以呢，你这个你可以，你这里的话关键要找点嘛，对吧？我们可以尝试的把 c、 b 连起来， c、 b 延长， d， a 延长，这里可以得到一个新的三角形， 那你想这个三角形你看啊， b、 a 相当于呢，三角形 m， c、 d 的 中线嘛，对吧？那你现在要找 c、 d 的 终点，你可以咋找啊？ 我们可以结合重心的思路来做啊。重心？什么叫重心呢？比如 b 点是这个 c、 c、 m、 d 的 中点嘛，所以 b、 d 就是 了三角形 c、 d， m 的 中线嘛，同理呢， c、 a 也是他的一条中线了，那么我们这里的焦点就是了三角形 c、 d、 m 的 重心嘛，那现在只需要把 m 和这个重心连起来，对应的这个焦点就是一的位置嘛，所以你就可以说啊，如图 如图一，既为所求吧。好，第二问呢，做边 b、 d 的 四等分点，那你这里的话，你一般来说也要先把 c、 d 的 中间找出来吧，对吧？我们在这个图上去找一找看喽， 你先要找 c、 d 的 中点，你可以看啊，三角形 a， b， c、 e 啊，四边形 a， b， c， e 是 一个这个平行四边形嘛，对吧？平行四边形， 那我们只要把这个平行四边形的终点找出来就好了，连接一下 b、 e， 这个就是它终点嘛， 而 a、 b 的 终点就是 a、 b 的 终点嘛。那你把这两个中点连起来， 得到的肯定是 c、 e 的 终点嘛。我们刚说了，四边形 a、 b、 c、 e 是 一个平行四边形嘛，对不对？所以我们，所以我们这个题目答案就出来了，所以你做第二个题目的时候，可以沿着第一问的第一个图的思路啊，去做一下，所以我们可以做一下啊，延长， 那你这里的话一定要用尺子去做啊，一定要用尺子做，然后好像这个是中点，连接一下这两个，这是中点，把这两个连起来，对应的这个点就是 f 吧。 好，然后打一下啊， f 基维索求吧，然后保留作图痕迹。十七题， 这个应该也比较简单嘛，看一下啊，第一个售价十二点八万，新车售价的百分之十二，那你这个 你看他补贴多少，你先算一下十二点八嘛，乘以百分之十二算一下。拿个计算器算一下啊，十二点八乘以零点一二，这里等于了一点五三六， 就一万吧，他这里的话对应的应该是多少？一万五千三百六十元。好，第二个呢，还没算完呢，你看他说购买谁的价格更低，你还把他的价格算一下吧，所以应该用十二点八减去一点五三六，我们算一下 十一点二六四吧， 这是第一。第一个啊，第二个他是十三， 他是乘以百分之十吧，等于了一点三万元了，等于一万三千元也在他的补贴范围内啊。那我们现在用十三减去一点三，等于了十一点七万嘛，所以肯定是 c、 d、 e 吧，这就是个送分题啊。第二个呢，乘用车 a 和 b 选择一样计算，发现了购买任意辆且补贴后的实际花费相等，那么 a 车的售价比 b 车高三千。 我们不妨假设啊， b 车的售价为 x 吧，那么 a 车的售价就 x 加零点三， 则 a 车售价为 x 加零点三，我们用万计算，稍微小一点了万元。 所以我们现在算一下啊，这里的话， b 车他说最后实际的花费相等嘛，那也就是说你这里的 x 就 乘以多少 b， b 是 这个燃油车，那就是一减百分之十八把补贴扣下来， a 呢， x 加零点三就乘以一减百分之十二吧。所以我们把这个方程解一下就可以啊，草稿纸上解一下，但你要写的这个在它的范围内啊，等一下我们可以验证一下就可以了。 这里的话，零点九 x 草稿纸上写啊，这是零点八八 x 加零点三，零点八八 x 加上零点八八乘以零点三，也就是零点零二， x 等于零点八八乘以零点三吗？ x 就 等于这两个约掉了 这两个月掉八十八除以二四十四，四十四乘以零点三，十三点二，十三点二，对吧？那所以呢，你现在中间的就不用了， 所以 a 车的 b 车的售价就是十三点二嘛，那么 a 车的就是多少就呃，十三点二加上了 零点三嘛，等于十三点五万元嘛。打一下打就出来了， 打一下十八题， 圆 o 是 三角形， abc 的 外角圆 ab 为直径啊，所以角 a、 c、 b 为直角吧，直径对应的圆周角为直角嘛。然后呢，这个 cd 又是它的切线，你把 o、 c 连起来啊， 那么角 o、 c、 d 也是直角吧？好，现在过 c 做了它的这个垂线。第一问，正角 a 等于角 b c， 角 a 等于角 b、 c。 这个比较简单的看啊。首先我们刚刚说了啊，这个角等于直角吧， 对吧？所以你放到 r、 t 三角形 a、 c、 b， 中角 a 加上角 a、 b、 c 就 应该等于九度啊。然后你再去放到 r、 t 三角形 c、 e、 b， 中 角 b c、 e 加上了角 a、 b、 c 等于九十度嘛，从而你就可以说明这两个角相等嘛。当然，你这里要说一下啊，因为 ab 为直径，所以角 c， 角 a、 c、 b 等于九度啊， 因为 c 垂直于 ab 吧，所以角 b、 e、 c 等于。来取角吧，你把这个稍微说明一下，然后你说一下这个，你就可以得到了，对应的角 a 等于角 b、 c。 这个步骤比较简单，我就不写了啊。第二个呢， 若 ac 等于 cd 等于二倍根号三， ac 等于 cd 等于二倍根号三，求 bc 弧，那求 bc 弧的话，你要知道它的半径和圆形角嘛。所以说，你这里的 o、 o、 c 一定要连吗？连接 oc， 那 不出意外，这应该是六十度， 我们看一下吧，我们把这个题目思路讲一下啊，这里好简单，这是二倍根号三，二倍根号三，我们先验证一下，这是不是我们由刚刚知道啊，对吧？呃，首先这两个边相等，得到了角 a 等于角 d， 角又等于角 d 啊，然后 ac 又等于这个角吧。哦， ac c， a 又等于 c、 d， 我 们刚刚说了啊，你这个角 a、 c、 b 等于直角吧，由于 c、 d 是 它的切线吗？所以你这个角 o、 c、 d 也是直角吧，从而你就可以得到这个角和这个角。假设 这个角 a、 c、 o 吧，它就应该等于这个角吧，因为为啥你这个直角 两个直角把中间的这个角 o、 c、 b 剪下来的话，那么剩下两个角应该相等吗？从而就可以验证出三角形 a、 c、 o 和三角形了。 b、 c、 d 应该是了，全等的吧，全等的就可以说明 o、 c 等于 bc 吧， o、 c 等于 bc 对不对？ o、 c 又等于 o、 b 啊，它直径嘛，所以你就证出了三角形 o、 c、 b 是 一个来等边三角形，从而得到它圆形角等于六十度，这个角等于六十度。你现在来看啊，我们先擦掉这一部分。 c、 d 又等于二倍根号三吗？你不妨假设 o、 c 为 x 吗？假设它半径为 r 了，你根据啊，三十度角所对的直角边为斜边的一半，你就可以得到了 o、 d 应该等于 r 吧， 对吧？那你可以把 r 解出来嘛？根据勾股定律， r 方加上了二倍根号三的平方，等于了二 r 的 平方， 对吧？这只是象征性的写一下啊，解得了 r 就 应该等于二吧。我们根据含三十度角三边关系嘛，它是一比根号三比二呀，那所以从长的交角边到短的交角边，你就除以 根号三就等于了二嘛，所以半径就等于二嘛。那所以它的这个弧长， b、 c 的 弧长就应该等于了六十度，除以了三百六十度，乘以了这个二派 r， 那 你就可以把它求出来了。好吧，那我们这个题目十八题我步骤就不写了，今天我我我这个等一下还有事情，我们就看到这里，然后计算的话你自己算一下啊，这个保留派就可以了，不用三点一四带进去啊，我们都初三快毕业了。然后十九 点 a b 分 别在反比这个函数， y 等于 x 分 之 k 和它上面啊， b 是 在上面啊，那我们把这个题目分析一下啊， 具体的过程的话大家自己写一下，如果要需要详细的步骤的话，我回头有时回头找时间我详细的写一下啊，然后我们把这个思路找讲一下啊。首先这个 b 点呢？ b 点重做变为啊， 纵坐标为二，它又在了 y 等于了 x 分 之四上嘛，你把这个这个 y 用二带进去，可以把 x 算出来也等于二嘛。然后题目中又说了吧，你这个 a b， c 应该是平行于 x 轴吧， ab 平行于 x 轴嘛。然后又说了 a， c 等于 ab， 说明 a， c 等于 ab， 说明 c， a 就是 bc 的 中点嘛。那你这几个点的纵坐标都应该是二， a 点也是二， 对吧？ a 又是 bc 的 中点， c 的 横坐标为零吗？ b 的 横坐标二，所以 a 点的横坐标应该是一吗？总览就可以推出， y 等于 x 分 之 k， 它的 k 就 应该等于了这个一乘以二等于二吧， 对吧？第一问答案就应该等于二， a 就 应该等于了这个一二吧，坐标的话，对吧？答案就出来了。 呃，大家也可以把你们的步骤如果你不确定的话，可以把步骤私自发给我啊，然后帮你看一下，好吧。呃，然后 o a 可以 看一下 o a 啊，不对 ad 的 解释啊， ad 解释。首先 a 点坐标已经知道了啊， a 点坐标是一二， 对吧？这里的话，像这种题目一般是考相似啊，你要把地点的坐标表出来，对吧？但这里还有其他方法，你可以稍微抄一点纲。这里写了 o a 和 o a， d 是 垂直的吧，我们可以把 o a 的 这个 k 算出来。 o a 的 k 和 ad 的 k 呢？ 它相乘的积应该等于了负一啊，你可以把它当一个结论记一下，当这两条线垂直的时候，你就可以它们两个的斜率的乘积应该等于负一。 o a 的 斜率就比较好算哦，它应该是在正比的函数 y 等于 k， o a 这个 x 上，把 e， r 带进去， e， r 带入， 是吧？二等于 k 乘以一吗？所以 k k 就 等于二了，你再带带到上面去，二乘以多少等于负一，所以就可以得到了。这个 k， a， d 就 应该等于了负的二分之一。那所以 a、 d， l， a、 d 的 直线方程就可以设为 y 等于了负的二分之一， x 加 b 吧，再把 a 点的坐标带入啊，一二带进去，负二分之一乘以一，加 b 等于了二， b 就 应该等于 二分之五。所以我们这个 a、 d 的 直线方程就是 y 等于了负的二分之一， x 加二分之五。 那算到这里的话，其实还要去算 d 点的坐标啊，还要去算 d 点的坐标，看到了吧，对吧？因为你第二个要求它的面积嘛，所以说你算到这里啊，你后面可以把这个方程和 我们这个反比函数的 a， d 所在的这个反比函数方程联立一下。可以把地点的坐标求出来啊， x 分 之， x 分 之二。哈，那联立的话，你可以消一下啊，我们写在这里， 你可以把 y 等于 y 嘛，也就是负二分之一， x 加二分之五，等于了 x 分 之二。那我们把这个式子整理一下，两边同时乘以 x 负的二分之一， x 方加二分之五， x 等于二吧，在两边同时乘一个这个这个负二，所以这是 x 方减五， x 乘以负二，负四加四吧，等于零吧。你再用个十字相乘法吧，这 x 这个配一下，这是 x， x 一 四负一负四吧， x 一 等于一， x 二等于四吧，那你就可以解出来对应的 y 一， 你把它带入到这个式子里面嘛，带入到这个式子里面，或者上面这个式子都可以啊，把一带进去， y 就是 二吧，这里把 x 等于四，单选 y 二就可以算成二，它应该等于二分之一，这是 a 点的吗？这就是 d 点的坐标吗？所以 a 点的是 e 二， d 点的坐标就是四二分之一。那你可以把 d 点坐标求出来， d 点坐标求出来之后呢？那你现在要求它的面积吧，这求它面积的话啊， a， o， a， b， d。 啊，那你你可以以 d 啊过 d 做一个垂线过来， x 轴垂线，然后延长 a， b， 假设这个焦点为 p， 来想一下我们求的这个四边形的面积啊， o， a 就应该等于了矩形 o， c， p， d 的 面积减去了三角形 e， 就 o， a， c， 三角形 b， p， d， 对 吧？ 哦，你假设这个交点还一个 r 了，这是 d， 这是 r， 那 你再去减去了三角形 o， d， r 的 面积，这几个面积都很好求啊， d 点坐标我们已经求出来了，它应该是四二分之一吧。 那么 p 点的纵坐标，横坐标应该是和 d 一 样的四纵坐标和 b 点一样的是二吧， r 就是 四零吧，对吧？所以你想一下， a c， a c 我 刚算出来吧， a c 等于一啊，这是它纵坐标等于二吧，所以 b p b 点的坐标是二二吧， b 点我们刚刚算出来应该是二二，对吧？呃，所以呢， b p 就 应该等于四减二等于二吧。 p d 呢，等于二减去二分之一，等于二分之三， dr 就是 二分之一吧，对吧？ dr 就是 二分之一， o r 就是 四吧，那你这个面积就应该等于了四乘以二，减去二分之一，乘以二乘一，减去了二分之一，乘以二乘以二分之三，减去二分之一，乘以四乘以二分之一，然后把这个结果算出来，这个题目答，你出来了啊， 当然了，我们求这个四边形的面积的话，我们大致的可以按这个思路来做啊，如果有一些三角形的面积的话，呃，你你也可以用割补啊，如果有那种对角线垂直的四边形的话，我们可以用两条对角线乘积的一半来求它的面积啊。 好吧，那我们把这个题目看完啊，本来要，本来今天要讲到二十题，对吧？我，我先把这个题目看完，这个题目的话，刚刚用到了一个超纲的知识啊，就这里我们这边的话，因为这没讲，但一般我们上课的时候会提到啊， 那这个题目的话啊，他出题人的思路啊，应该是去考相似，我们可以把这个当做一个检查的手段来做，就是 k a d 等于负的，你把它当做一个检查的手段。另外一个补充的就是呢，你比如我们刚刚算 o a 斜率的时候，两点的斜率啊，你比如这里 a a x 一 y 一 吧， b 呢？ x 二 y 二，那么 ab 的 斜率就应该等于 y 二减 y 一 除以 x 二减 x 一， 你可以把这个当做一个检查的手段。好吧，那我们这个题目肯定不这么考啊，他出出题人应该不是这么，他的意思肯定不是这么出的啊， 对吧？那他的意思是什么？我们第一问，他是刚一样的啊。第二问，我们看一下啊。第二问，因为这里是个直角，所以他的意思应该是先做一个，先延长一下 a b 啊，过地做他一个垂线，假设这位 p 就 刚刚那个 p， 对 吧？你，你可以先把这个弧线做出来，因为这直角吗？这里的直角吗？所以你就可以得出了。三角形一线三直角啊，这两个角互余，这个角，这个角，这个互余，就可以得出了。我们这个角 a o c 等于角 p a d， 从而得出三角形 o a c 相似于那三角形 o a c b o a c 哈 b 啊，不对， a d p 吧，这两三也相似，对吧？那所以呢，我们你看一下啊，那你既然相似的话，这里是一，这是二吗？ 这是一，这是二的话啊，所以我们现在可以去设啊，怎么设呢？设 d p 为 a 吧，那么 a p 就 应该是二 a 吧，因为它这两边之比等于一比二嘛，那我们按这个比来设，那设了之后，你现在要把 d 点的坐标表出来，所以 d 点， d 点坐标，现在应该是来，我们可以从 b 点的坐标来推， a 点的坐标来推啊， a 点的坐标是一二，对吧？那它的横坐标没有 p 点，你应该加二 a 上来吧，它就一加二 a 吧，重坐标呢？它应该是在二的计算，减 a 吧，二减 a 吧，对吧？然后 d 点又在 a 点所在的这个这个 反比函数上，它是 y 等于 x 分 之二，这上面嘛，我们把它带进来，所以你推出 x 乘以 y 等于二嘛，也就是 d 点的横坐标，一加二 a 二减 a 应该等于二吧， 懂一下。然后解这个一元二次方程啊，解出来应该也有两个值啊，两个值，一个零，一个。我们算一下吧，这是二减 a 加四 a 减二， a 方等于二吧，这个又掉了吧，对吧？ 你这相当于是二 a 方减三， a 等于零吗？ a 一 等于零吗？你要舍得这个等于零或者这个等于零吗？所以 a 二就等于了二分之三吗？和我们刚算的是不一样的，你就可以把地点坐标表出来啊，表出来应该是一样的四 二分之一吧，对吧？所以地点坐标就是了四二分之一，好吧，那后面的过程和我们刚刚所讲的是一样的，那我们这个题目，你就要站在我们初中的中考的这个 这个要求来看啊，他应该是利用相似来解这个题目。好吧，那我们题目的话就先看到这里啊， 题目的话我们先看到这里啊，后面的题目我，我下一次就再给大家录一下啊，今天的话我们先看到这里，拜拜。

同学们，今天我们来讲天心密卷的 b 卷啊，从今天开始，距离六月十七号也只有二十七天的时间了，时间很紧，我讲课的节奏呢，也会稍微放快一点，不会耽误大家备考的时间。 然后我讲题，主要是快速梳理知识点，简单题过一遍就行，中档题呢，给大家拓展一下思路。那难题呢，我会着重的教大家一个考试的方法以及技巧，也就是我们说的实在不行怎么去蒙。 还有话说在拳头哈，像那种简单的题目，如果说你实在听不懂，那我也没有办法，这是你自己基础的问题，马上中考 啊，别来跟我讲听不懂，你听不懂其实跟我也没有关系，是吧，你听呢？能听就听，不听就划走。好，我话不多说，接下来我们直接看题目 啊。第一题，各下列各实数中是正数的是高三吧，选 a， 然后下列图形中是中心对称图形，中心对称图形是关于某个点对称，那这里被熊猫破坏掉了，这里是轴对称，这个才是中心对称，这个不是，所以选到了 c， 计算不正确。这里一定要注意，很多时候它出现否定答案的时候，选否定答案，它都会点三个点，但是很多同学还是会选错啊，一定要看清考试的时候 同底数密相除，底数不变，指数相减，底数不变，指数相加一个 b 加两个 b 平方不会等于三个。好，所以选到了三 c， 那 它有两个实数根，两个实数根，我们会想到用德塔去做，德塔是干嘛？德塔是大于等于零，如果它说两个相同的就是等于零，两个不同的就是大于零，它这里没有说明，所以就直接大于等于零，也就是我们说的 m 平方， b 平方减四， a、 c 减八大于等于零， m 平方大于等于八，那么 m 大 于等于二倍根号二，或者 m 小 于等于负二倍根号二，所以放在这里，那我选一个最保险的 d 吧。好，第五题将异伏含 三十度四十五度的直角三角板如图摆放，则阿尔法加北塔等于。 关于这个题目，我要教给同学们的一个技巧，就是你没说，你没说不行，那就是行，没说不行，那就是行，什么意思呢？他说如图摆放，那如图摆放，我怎么摆？是不是看我自己的心情，那我肯定会让这条线 和这一条线去平行，可以这样摆吧？他没说不可以，那就是可以，对吧？ 我只需要满足我的条件啊，是两个三角板就行了，两个直角三角板就行了。所以你这里给到阿尔法，阿尔法就直接是四十五度加九十度， 一百三十五度，那这里给到北塔，北塔是多少度啊？直接就九十度了，九十度加一百三十五度等于多少？二百二十五度，所以选到了 d 答案好吗？这是应用技巧， 包括第六题，我们来看，在正六边形 a、 b、 c、 d 中点 o 为它的中心点， p、 q 分 别在 f、 a、 b 上，且角 b、 o、 q 等于六十度，那说明这个角是六十度。 那三角形 a、 b、 q 的 面积有 s 一 o p q s 一 o p q s 二，则 s 一 比 s 二的最大值好，这里提到了最大值，我们就会想到它是一个特殊值， 特殊值特，我们就要对应到特殊状态，是吧？放在整个图里面，它要出现一种特殊状态，无疑就是 o a 平分， o a 平分它也就是说它刚刚好在这边的内容会等于在这边的内容，所以我们现在不管它，我把它甩在这边来也是一样的，去算吧， 甩在这边来，这时候你会发现我刚好在中间的时候，我这边两个角会分成各分成三十度，然后它由于它是正六边形，正六边形的内角和是多少度？ n 减二乘以一百八十度，四乘以一百八，七百二， 七百二除以六，那说明每个角的度数是一百二十度，那这里也平分，这里是六十度，所以它这里是垂直的，那垂直的话，我们说这个焦点我给他取名叫做 h。 我们要比较两个三角形的面积，其实它们属于是一个等底不等高的三角形，那我们只需要比底就好了。 s 一 是谁？ s 一 是 a p q， 也就是小三角形的，那我们用 d h 就 行了。 那另外呢？大三角形的是啥？大三角形的是 o p q， o p q， 那 我们就用 o h， 那我们现在唯一要处理的就是这两条边长好，我们斗胆假设，现在假设，假设谁呢？换种颜色，假设我的这一段为一， 那么斜边是不是二三十度所对？直角边为斜边一半，那说明 o d 等于二， o d 等于二。 我最需要知道的是谁的肠，我最需要知道的是 d h 或者 o h， 我 能知道一条，我就能知道第二条，对吧？那现在的处理方法是什么？这个角，这个角也是三十度，那三十度我们会用到三 三引，三十度等于对边比斜边，也就是 d h 比上一，那 d h 等于多少呢？二分之一， d h 等于二分之一的话， o h 等于多少？二减二分之一，二分之三，那么结果就是三分之一，所以选到了 b 答案，你不需要纠结那么多，也不需要说把它变成一个代数问题来去处理，没必要我们直接找特殊状态就可以。 好，继续往下走，像这种计算题，说都不想说吧。三分之二化简。首，首先通分 a 分 之一 a 平方，它会去减掉 a 乘以 a 加一，对吧？因为分母都添了一个 a 加一嘛，那就是 a 加一分之 a 平方减 a 平方。借一 a 平方减 a 平方，那就是负 a 加一分之一， 好，继续往下走。做一个整数，能表示成 a 平方加 b 平方的形式。二元平方和数已知五十是二元平方和数。将五十写成 a 平方加 b 平方的形式，五十等于。 那一个简单的道理，一平方加几平方，对吧？那包括什么呢？包括它，它讲，它有讲 a b 要相等吗？它既然没讲没讲要相等，那就是可以相等， 是吧？五十对半砍，那是不是二十五加二十五？那所以有一另一种答案说是五平方加五平方都是可以的。 好，某兴趣小组选出了二十长株长势一致的绿萝，然后 a 组每天光照四小时， b 组每天光照八小时。其他环境相同，且是以三十天测量后生长高度，已知平均数都为这个，则生长高度更稳定更稳定，无疑就是一个方差问题。方差问题就转换成波动 啊，波动波动小，方差小更稳定。波动小波动小谁波动小？你就看最大值跟最小值相差最小的，那肯定是这个含圆圈的东西，含圆圈找到它，那就是 a 组。 好，继续往下走。井冈山是中国革命的摇篮，某校与井冈山相距四百五十千米， 原计划这么多千米匀速行驶，图中有三分之一的路程，三分之一是多少？一百五十千米，因大物减速百分之二十。好，这个东西很容易搞混 啊。减速百分之二十五，不是说我们用零点二五的 x 去走，而我们用的是百分之七十五的速度去，因为减了百分之二十五，结果比原计划晚到一小时 啊。说明这里整体一看，我们要构造的是一个含时间的等式。时间等式，那时间等式，我们就要把这个给它摊开来。他们有一个 结果比原计划晚到。我问你晚到是多用时间还是少用时间？肯定是多用时间，原计划是少，一定要标这个东西，因为很多时候有人容易搞混，对吧？特别是考试的时候急，越急越出错。 那你说多减少等于一还是少减多等于一呢？那肯定是多减少嘛。也就是说 t 现在去减掉 t 原来会等于一，对吧？一个等式构造完毕，那我们再去细划，现在的时间是不是有两段啊？其中一段是三百，也就是这里说的三分之二， 那三百它用的速度还是 x， 那 另外一段是一百五，用的速度反而是零点七五 x 减去什么？原来的原来的时间，它是用总路程去除原来的速度才会等于一。好，我们把它整理一下， 整理完毕是指零点七五 x 分 之 x， x 分 之什么？零点七五 x 分 之一百五十去减掉 x 分 之一百五十会等于一，对吧？对账公正 好。在平面直角坐标系中，已知点 q 的 坐标为六二，好，这里啥也别说，直接新建。一看这个题目就比较麻烦。 点 q 坐标六二，点 q 坐标六二，然后什么 y 等于 a， x 加 b， 对 称点在对称轴上，且绝对值 a 等于一，求 b， y 等于 a， x 加 b， 然后绝对值 a 等于一，求 b。 关键点是对称轴 好，这里有两个可以讨论的点，因为是第二题，也是分多情况的一种讨论题，我们讨论的点主要在这两方面，那对称轴有 x 轴，有到 y 轴，那 a 等于一，可以给到 a 等于一， a 等于负一，所以它最后是二乘二等于四种情况，我们要进行四种讨论。 好，首先来，我们来给他画一个还是一样，我们要画草图，不画草图我们不知道在做什么东西， 给他构造一个草图啊。大概读懂题目的意思，一二三四五六一二，给的点是，这里六二， 好。第一种情况，第一种情况我先分个大类， a 等于一的时候，这是第一种。 a 等于一的时候，我们可以看到 a 其实就是这条直线的一个什么斜率 赋予的斜率，那整体是走上坡的，也就是说它会呈这种趋势，那这种趋势的话，它作为一个对称轴，它作为一个对称轴， 这里是坐标轴，它作为一个对称轴。我们想再来替换第一种的第一小种。 第一种的第一小种，我们是对称到 x 的 轴上，好吧，对称到 x 轴上，它是不是大概长这样？对称到 x 轴上，那我们可以知道的是 对称点和它初始的这个点相连的话，会和它们的对称轴干嘛？垂直，这是一定的事情。垂直的话，我们就会想到斜率相乘，也就是 k 一 乘以 k 二会等于负一， 所以说如果，如果 a 等于一的话，我们给到题目中的 q q 一 所在的这条直线，它的斜率反而是 什么？负一，那负一的话，我知道 q 点是六二，我能不能快速推出 q 一 这个点来？ 因为它的负一，它的横坐标变化和纵坐标的变化量是一样的，所以我们能够显而易的看到它纵坐标的变化是二，所以它横坐标变化必须是二，所以它是八零， 对吧？包括这个点，这个点 qq 一 这条直线和和 l 一 l 一 的交点，一定是 q 和 q 一 中间的这个点，也就是六到八之间， 六到八之间的七和二到零之间的一，所以我们怕可以把这个点带到带回去。也就是说一等于七， 它原本就是 y 等于 y 等于 s 一 嘛。 x 加 b， 那 一等于七加 b， b 是 不是就等于负六了？ b 等于负六是第一种情况，而第二种情，第二种小情况， 它是投到哪里？投到 y 轴上去，投到 y 轴上去了，大概画一下，应该是这样，对吧？投到 y 轴上去，那同样的道理，我们还是用这个垂直的理念去做，那这时候它的斜率还是 就是 q 和 q 二，它的斜率还是说是负一，所以它横重变化量还是一样？在这里我们可以显而易见的看到，它横坐标的变化量是六，横坐标的变化量是六，说明它重坐标变化量这一段也要是六，那它就是在 六二的基础上，它一定是给到了八零八，它坐标一定是零八 坐标一定是点到零八，所以还是找中间这个点，他们的焦点，他们的焦点一定是零到六之间的 横坐标零到六之间的三重坐标八到二之间的几啊？八减二等于六等于三，好到二之间的五，所以再把它带进去， 那就是五等于三加 b， 所以 这时候的 b 给到了二好，这是第一种大类，那第二种大类就是给到了 a 等于负一，那这时候的 k 反而会等于一，是吧？等于一，其实它是一个 a 等于负一这种状态，它是走一个下坡， 好，它本身是走一个下坡，那我们来看，那另外再细滑，再细滑，它的第一种也是投到 x 轴上，那投到 x 轴上的话，出实点是这里，投到 x 轴，然后要走的是走的是下坡， 那大概是这这个样子吧，大概是这个样子吧，那我们还是一样去找它的一个垂直。好，相同的道理，我不管 a 等于负一，哈， a 等于负一还是等于什么， 我现在 q 和 q 三，它所在的直线斜率一定是一，那一的话还是一样。横坐标和纵坐标的一个数量的变化量一定是相等的，我们可以看到， 显而易见，横坐标不好去判断，但是纵坐标变化一定是二，所以他这里横坐标变化也一定是二，一定是二的话，那就是六减二，六减掉一个二，他坐标是四 四零好，四零跟六二之间，还是去找这个焦点， 那四到六之间给到的是五，零到二之间给到的是一，那一样的，因为这时候的是 y 等于负 x 加 b 嘛， y 等于负 x 加 b， 带进去算出来，那就是一等于负五加 b， 那 这时候的 b 就 给到了多少 b， 就 给到了六， 好，这是第三种。那么还有第四种，第四种叫做它的对称点，对称在了 y 轴，对称在了 y 轴，那我们大概来看一下，这里 大概是这个样子。 那对称到 y 轴的时候，我们就是用 他的横坐标的变化量去衡量了。横坐标变化量是六，所以这一段变化量要是六，那就是二减六，他就会退成负四，也就是我们说的零负四，零负四。我们同样找这个焦点，那就是零到六之间给到的是三， 零到六之间给到的是三，然后负四到二之间给到的是负一， 所以我们这时候拿到的是三，负一去带入它三，负一带入，那就是负一等于负三加 b， b 是 多少？ b 是 二， 所以最后有四个结果，但是有两个是重复的， b 等于二， b 等于负六， b 等于六， b 等于二，那最后二只用取一个了，也就是说 b 等于 负六，六或二，是吧？负六六或二，好，这是这一题 负六六或二，好。计算题，计算题 负三分之一的绝对值，三分之一减，减就是加一，那就是减三分之一等于一。好。往下走。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 平分角 b、 s、 e， 那 这两个角相等，然后加三角形 a、 b、 c 连 b、 c 平移， 使得移到点 d， 移到点 c 的 位置。那求证，我们现在要求证角一等于角 a、 c、 e。 好， 这四个角我也直接给它标上了一个序号，一、二、三、四。那么从从 a、 d 平分 b、 a、 c、 e， 我 们可以得到的一个东西是角一会等于角二，另外呢， 他是平移。平移一定是，干嘛？一定是全等？全等，那我就会得到角一等于角三，另外平移之后会涉及到一个平行，平行又会涉及到什么？涉，涉及到角二等于角四，这是一组，这是一组内错，角， 角二等于角四是一种内错。好，这种情况下，那我通过这两个我会得到角二等于角三，那我通过这两个我会得到角三等于角四，那也就是我要算的这个东西好，往下走 解不等式。 x 加二大于等于二， x 大 于等于四， x 减一小于四， x 小 于五，那一个是大于等于。哦，搞错搞错搞错了搞错了，不好意思。 哎，又有同学会说了，哎，是这里写错了。 x 加二大于等于二， x 大 于等于零， x 减一小于四， 那 x 小 于五，一个是大于等于零取到了实心，一个是小于取取到了空心。那么一锁一锁。好吧，往下走， 在弘扬中华优秀传统的文化活动中啊，九九张周什么东西？额合还倒算， 随机选两种作为进行课堂的展示，恰好选到孙子算经的啊。这里一定要注意这种坑， 因为我上次自己也犯了一次，上次我记得那个题目说给了甲乙丙丁，然后他问选到甲木的情况，因为根本就没有这个东西，对吧？所以是不可能啊。 那像我，如果我要我出题目，你看这里是问什么？这里是几何原本还是几何？什么东西？那我会给你们出个题目，出个额和原本， 那赢不赢啊？几何给几何，我出额和就是玩文字游戏。那跟雪碧雷碧有什么区别？是吧？所以现在我们看第二题，用列表或画树状法 酒庄上座概率。那这里这种情况的话，同学们说不想写太多的字，那我们就要给他去编号， 编号的话呢，就给到他 a， 给到他 b， 给到 c、 d， 记住一次选两步，选两步，一次选两步，说明它是一个什么不放回的问题，不放回的问题，我们就可以排序 a、 b、 c、 d， 那没 a 了，那是 b、 c、 d， 那 就是 a、 c、 d， 那 它就是 a、 b、 d， 那 它就是 a、 b、 c。 好 连连连连连连连连连连连连。那总共有十二种情况，符合我们的要求的是九张算数，是 a， 我 们要的是 a、 d， 同时出现 a 和 d 的 一种， 没有，没有两种，那给到的就是二分之二，也就是六分之一，好往下走， 在菱形内部，好给到 d， a、 b 等于一百二十度，然后告诉我们这是一个菱形， d、 e 垂直， 叫我们去用无刻度直尺在内部做出一条以第一相等的线段，是吧？以第一相等，我们要么说过 a 点垂直 cd， 要么说过 c 点垂直 ab， 但是这种垂线我们是无法去做出来的，是 吧？所以包括它是一个菱形，我们肯定会去把它的对角线连一连，取到它的一个焦点就是 这也是最后的增长，对吧？你不知道，你就把这个连一下，连一下的话，你会发现，哎，惊喜就出来了，因为它是一个菱形，菱形对角线，它是互相垂直的，那互相垂直，包括它的对角线会平分对角， 那这个角这个是不是六十度，这个是不是六十度啊？所以这两个三角形是全等的，所以你要找一条和 d 相等的线，其实就是这一条， 对吧？好。第二位，以菱形 a、 b、 c、 d 的 端点，顶点为端点， a、 b、 c、 d 的 顶点为端点，在其外部做出一条以 d。 好， 现在在外部做了， 那在外部做的话，我，我大概定一个东西啊，我大概定一个方向，我猜测是画在这里，画在这里的话，我要画在这里，我就要干嘛？我就要找到这个点，我要找到这个点，我至少要两条线去把它插出来， 那两条线，那就乱连大法可以吗？我直接我肯定这个 dc， 我 要去插它，另外我还差一条线，我去插它， 那还是一样菱形，不管是菱形还是正方形还是矩形，我们的对角线是必须要去把它连起来的，因为他太好了，这个东西太好用了。连起来之后我要找 c， 其实就是要找到 c 的 一个对点， 那无非就是拿一啊，找到一的一个对点，拿一去穿，它，一穿不就穿过来了？最后穿过来之后我们再连接这个点，是吧？那就是以它相等的点，而且这个答案也经得起我们去验证， 对吧？包括这里垂直啊，相等、相等、相等相等， 处处经得起推敲啊。第十七题，如图，矩形 a、 b、 c、 d 中 a， b， a、 b， 这里，这里是 b 哈，哎，没办法，倒满东西三十二， b、 c 等于一十四 啊，四边形 a、 e、 f、 d 的 形状。为什么？那我干脆一点，矩形行吗？ 啊？矩形、长方形都可以，那为什么不是正方形？那一眼就不是正方形。我们来看这个东西，这个其实是叫做它的底底盖，因为它要拼成一个这个长方体嘛，这个是它的顶盖， 对吧？底盖和顶盖，所以包括这个是它的侧栏，侧边栏，这个也是它的侧边栏，也就是这一块和对面的这一块，那侧边栏，所以我们可以知道，其实中间是平分了的， 那就是每边分到了一十六，一十六、一十四，那它不就是一个长方形或者说矩形吗？啊？现在为 a 一 的长，那么直接秒了。若折叠成包装盒，底底面积为一百八， 底面积为一百八，也就是我们图的这个其中一块为一百八，其中一块为一百八，那么我们要解决的一个东西啊，他说阴影部分为两个小正方形，那我们要解决的是这个，那我给它假设成 x， 那我们就可以用一个代数的方法把它表示出来，它的这条长，也就是我们说的一十四，减掉两个 x 去乘以它的这条宽，管它长还是宽，那都一样，这一条就是反而是一十六去减掉 x， 它会等于一百八十， 好，来减来减一十四乘一十六， 二百二十四减，减掉一十四个 x， 再减掉三十二个 x， 就是 减掉四十六个 x， 加二， x 平方等于一百八十， 好做调整。二 x 平方减四十六， x 减四十四等于零， x 平方减二十三， x 减二十二等于零。啊，是不是有错误呢？ 哎，加加加，加四十四，加二十二，那就是 x 减二十二，包括 x 减一，对吧？等于零，那么 x 等于二十二或 x 等于一， x 等于二十二，合理吗？ 不符合提议，它是一个不符合提议的东西。为什么说不符合提议呢？你看它总共才长一十六，你总共才长一十四，你，你还结出二十二来，这不扯淡吗？ 好往下走啊。如图，反比例函数 y 等于 k， x， 图像经过矩形 a， b， c， d 的 顶点 a， b 平行 y 走 啊。一个反比例函数跟一个矩形，若矩形是正方形，那就很有意思了。反比例函数图像经过顶点 a， s 一 三一三啊，求点 c 的 坐标。咳，那我假设它的边长为， 为什么东西啊？假设它边长为 b 嘛？ y， a 嘛？为 a 嘛？那 c 点坐标是不是横坐标加了 a， 纵坐标减了 a， 那 又是一个方程啊。 e 加 a 乘以三减 a， 而且我们可以通过 a 点把它的 k 算出来了吧。 k 就是 三呢， x 乘 y， 那 这里也等于三呢？解一下就可以三减 a 加三， a 就是 加二， a 减 a 的 平方等于三，三不要二， a 等于 a 平方。首先 a 要等于一个零， a 要等于零的话，这种结果可以舍去它扯乱是吧？所以二等于 a， a 也就等于二，所以 c 点坐标就是 二加一三，三减三减二，一三一和 c 点的坐标。 那如图，二点 o， b、 d 在 同一条直线上，判断点元是否在反比例函数上。哦，这个东西比较熟悉啊，就是 扩散一样，病毒扩散一样，你要从 b 点扩散到 c 点，再扩散到 d 点，再扩散到 a 点，是这样扩，所以我们现在要假设的是两个东西，因为最后反正最后可以消掉。我们要假设一个 b 点的坐标 啊，我们斗胆假设 b 点横坐标为 b， 那 横坐标为 b 的 话，包括我们，因为这 b、 d 要用两次， 它们在同一条直线上，所以我们包括要设到一个斜率啊，它们这条直线的斜率是 k 一， 那所以这时候它的横坐标就是 b k 一， 对吧？ b k 一， 那 c 点的什么变了？ c 点的什么变了？ c 点的什么没变？ c 点的横啊，中坐标肯定没变嘛，所以 c 点是肯定是什么东西？ b k 一， 那 b k 一， 我再带回这个反比例函数里面，那把它逼出来， 把它横坐标逼出来，那就是 b k 一， b k 一， 哦， k 除以 b k 一， 对吧？那再传到 d 点，它的横坐标反而没变？ b k 一 分之 k， 重坐标是啥呢？重坐标就是它再去乘以一个 k 一 嘛， 那就是 b 分 之 k。 好， 到目前为止， a 点横坐标有了，因为它是跟 b 同一位置，那动作标也有了，横着吃 b 的， 纵着吃 b 的 啊，真会吃。那最后一看，这个东西是不是一目了然呢？对吧？ b 乘以 b 分 之 k， 它就会等于 k， 所以 它再反比例函数上来， 没毛病吧？好，往下走 好。第十九题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， o 是 o 是 a， b 上的一点以 o， a 为半径 的圆 o 交于这三个点，且角 f e、 c 会等于一个 a f c。 好， 现在它要我们证明的是什么？证明半径，证明是切线，正切线，我们要干嘛？半径正切线连半径 好，因为我们要正切线，最终走的是一个垂直的路，垂直的路，或者说是九十度的路。那要去就是要去找九十度，那要找到九十度，我们起码要在这个题目里面知道九十度到底是什么样的一个结构。 那所以这里有一条线的直径，我会把这条直线连起来，大概先知道九十度长这个样。另外呢，我会把这里相同的角都给它描上一样的颜色，就是这个红角会等于这个红角， 这个绿角会等于这个绿角。所以这就是我们说的九十度长什么样？九十度就长成一个红加一个绿这个样，知道了样子之后呢， 我再来去研究，对吧？啊？包括这里，我们现在已经发现了端泥了，要是这下面这个角也要为绿色的话，是不是可以证明它是垂直的啊？包括现在这里有一个东西叫做圆的内接四边形， 不知道大家是否还记得这个东西时不时会拿出来烤两下，圆的内接四边形会有一个性质叫做对角互补， 那对角互补给到这个题目就是这样，我们 a d a d f e 这个四边形， d d 这个角和这个角其实是互补的，和这个角其实是互补的，和这个角互补，那这个角也和这个角互补，所以这个角可以直接涂成绿色，下面这个角可以直接涂成绿色，好吧？ 这个角可以涂，直接涂成绿色，那这个角可以涂成绿色的话，那这个角也可以涂成绿色了。为什么？题目告诉你了，相等，那不直接涂吗？好，第二问喽。所以红加绿等于九十度喽。啊，不用说太多吧。好，第二问， 若它的半径为六， c e 等于五分之一十二，则 e f 的 长啊。上一题说证明它是垂直之后，那我们这个角是不是也是红角，对吧？我为什么要特意来说这一点？ 因为这两个角相等的话，我就会得出一个东西，叫做 d f 这条弧会等于 f 一 这条弧，因为同弧所谓的圆周角相等，那同弧那就是同弦了， d f 会等于 f 一 了。 好， d f 等于 f 一， 那我们要求 e f 的 长， e f 的 长，那我们无非就是用什么去做啊，放在这里， 那啥也不说了，就是相似三角形，但是相似三角形的话，我们一组肯定是怼不出来的，因为它的半径在这里，我们要求的是这里 啊，包括给的条件是 c e， 所以 要用到两手相似三角形。第一手相似三角形，我们可以在题目中找是三角形 a d f 和三角形 a f c。 第二种相似三角形是叠到了 a f c 和三角形 f e c 好， 我们从两个中来得出信息。 首先重点在这里，因为大部分消息在这里， a f c， 那 我们肯定要用到斜边 a f 比上 e f， 因为 e f 就是 我们要求的主角啊，倒不如直接反过来把主角放在上面好一点。 e f 比上 a f 会等于斜边，那我们再来个 e c 吧。 c e c e 是 送的已知的 c e， 也就是短直角边，比上一个， 比上一个 c f 好 吧？ 嗯，比上一个 c f， 然后放到这边的话，那同样我们要解决的 a f 是 要解决一个 a f， 要解决一个， 要解决一个 c f 好， 那这边就是 a d 比上 af， 它会等于 a d 比 af 比上 c f 好。 所有的东西我们来整理一下，把已知的铺进去，那先铺它，因为它半径是六，那说明这一条 a d 是 一十二，那就是一十二。除以 a f f 不知道，那可能是用来过度的东西， 会等于 df， df 也不知道， d f 也不知道， d f 也不知道啊， c f 知道吗？ c f 也不知道，但是我这两边都有 c f， 那 可不可以先拱出一个 c f 来，再带到另一个的 c f 里面去？好，所以 c f 会等于 a f 好。 放第一个关系式里面，就是 a f 乘以 d f 除以一十二，那第二个关系式里面的 c f 会等于 a f 乘以 c e 去 除一个 e f， 所以 又勾到了一个等式，叫做 a f 可以 约掉，那么 d f 知道吗？ df 不知道啊，但是 df 和谁是相等的？ df 和 e f 是 相等的，包括 c e 是 给的我们， 我们直接令它等于 x 好 吗？那么十二分之 x， 它是 x， 分 之 c 一 就是五分之一十二，这两个东西会相等，那么再次交叉相乘， x 平方会等于五分之一十二，乘以一十二，就是 五分之一四四，那么 x 就 等于 x 就 等于 五分之一十二倍，根号五。好吧，往下走，五分之一十二倍，根号五。倒立肌，它是什么东西啊？放松腰背，直接把人 一百八十度倒过来，那抽象其中 o b 等于 o c 这两条相等。另外呢，背板第一可以绕 o 一 等于零点七这一段，零点七使用倒立积时，头在这，角在这，然后这一段是可调的。 经测量， b c 等于一点二， o c b 等于五十九度。好，来看题目，参考数据是我们要提前看的东西，所以我们最终围绕啊，计算一定是围绕五十九度这个角去做的。 那完全倒立的时候，完全倒立，是不是啊？这里与它垂直啊，它也说了，而且它是一个等腰三角形，等腰三角形的垂直线就是平分线，所以它要求一到水平面，一到水平面 b、 c 的 距 离，一到水平面 b、 c 的 距离，也就是我说的 e h e h， 它会等于 o h 减掉 o e， 对 吧？包括 o e 是 题目已经给清楚了的，所以我们只需要求 o h 就 行了。 o h 怎么去求啊？给了水，给了 b c 等于一点二啊？我说了它刚好平分嘛，那就零点六， 所以这里用会用到一个 tangent， tangent 五十九度。 tangent 等于什么？对边比零边，也就是 o h 比上零边 h c， 所以 o h 就 会结到 h c 乘以 tangent 五十九度， h c 是 零点六，零点六乘以 一点六六会等于到多少？算一下，一六六， 零点零点九九六， 所以 e h 就 等于 o h， o h 给了 o h， 没给 o e， 给了零点九九六，减掉零点七，就会等于零点二九六。 零点二九六，它最后说精确到零点一，精确到零点一的话，那就是约等于零点三了。 好，这是第一问，第二问。如图，若使用者身高一米七，身高一米七，那调的肯定是这一段，这一段是调的，这一段不变零点七，所以这一段剩下 e 调成了 e， 当旋转到以 o c 垂直，那就是说这里垂直。垂直的话，包括我们说始终围绕着五十九度去做，所以呢，五十九，那我给他做一条平行线， 这里传到五十九，再通过一点做一个垂线，这里传到五十九。好，五十九跑不了， 五十九还在这里，那五十九在这里的话，那我要求点 d 到水平面 b c 的 距离就是这一条，这一条我可不可以依然移到中间来去处理？ 依然移到中间处理，就是这一条，对吧？这一条我们把它叫做啊，这个点还是 h， 因为它还是垂直的，这个点就叫做 p 吧。 那我们要求的是 p h， p h 就 会等于 o h 去减掉 o p， 因为 o h 我 们第一位已经求出来了，所以我们现在，我们现在要求的是 o p， o p， 那 这两条是平行的，五十九度要传在这里的，五十九度在这里的， 这个红色的，所以现在用到的是一个什么？用到的是一个 cosine 五十九度。 cosine 五十九度等于零边比斜边，也就是 o p 比上斜边是一，那 o p 就 直接等于 cosine 五十九度了，零点五二了，那这个， 那最后就是零点九九六去减零点五二会等于到一个零点零点四七六，零点四七六，他取的是一位小数，就是零点五，好吗？往下走， 某班公开竞选，全班对四十名同学进行投票，每必投，且只能投啊，补全完整。我们可以看到这里政治计数法十六，那么十的时候就是两个证了， n 的 值为多少？五六七八为八。好，总人数，总人数。我们刚说这里是八，那总共占了多少个人呢？二十六，三十四个人。 三，哎，二十六，二十六加八，三十四个人， 三十四个人。我们可以看到这里给了 a 百分之 a， 但是我们知道总共的 b、 c、 d， 总共 b c、 d 是 占到了六十八，百分之六十八，它是给到了三十四个人，那么 a 百分之三十二，它一定要给到一半，也就是十六个人， 对吧？所以他的票数是十六票，十六票，那总共有多少人？百分之多少他就有一半的人，那百分之百他就有到五十人，百分之多少就砍半嘛。 好，经过一人投票之后， a、 c 两个同学入围，需要进行第二人的评价啊。从三个维度去进行评分， 请从执行能力这一维度分析， a、 c 两位同学谁更有优势？执行能力，执行能力的话，他们平均数是相等的，中位数更高肯定是更好了，那肯定 a 同学更有优势。那为什么 你就这样说嘛？他们两个人得的平均数相等，平均数相等，但是他 a 的 中位数更高，说明他拿到的啊，拿到的更高分的成绩得到了更高，对吧？ 好，若从三个维度百分之呃，三四三的比例，最终得分得分高的人当班长，对吧？那就是展开，八点四乘以零点三 加上八点八乘以零点四，加上八点二乘以零点三，这是 a 的， 那 b 的 就是八点四乘以零点三加九乘以啊。九点一， 八点四是用平均数吗？这一六跟这一六九点一乘以零点四加八点一乘以零点三，那一看都知道是 b 高嘛。 因为它们这这一坨都是相等的，前面这一坨相等，后面这个多的多的有这么多，少的就这么少。好，但是我们要算一下，三四一十二， 三四一十二，三八二十四，二点五二加上四八三十二，四八三十二，三十五，三点五二加上二三得六三八二十四，二点四六会等于零啊。零进一个一三五一十五，一 七八，八点五，八点五分，他是拿到了八点五分，那 c 同学是三四一十二一三八二，二点五二加上一四得四就三十六，三点六十一三得三三八二十四，二点四三，那就会等于三加四等于九 九，然后就是九，就没进十十五，那就是这里进一个五，进一个五，八点五九，一个叫八点五，一个叫八点五九，所以说八点五小于八点五九，也就是说 a 小 于 b， 那 所以谁当 b 当 b， 该当吗？该当。 哦，不是 b， 不是 b。 我 真的是服了，这里是 c 同学啊，服了我自己。 sit down， sit down， sit down， please sit down 好 吗？好，往下走。 如图，我国西北荒漠中有众多抛物线，沙丘一比宽， a， b 等于六的，可以看中一条抛物线，那太好了，以 a、 b 的 中点为圆点，那也太好了。 而建立直角坐标器，如图，沙丘顶点在 y 轴上啊，到 a、 b 的 距离为十，那我可以写出三个坐标来，三零负三零，然后给到它就是十零十喽。 啊，求抛物线的值解析是，那抛物线的 b 肯定是零的，因为它左右并没有移动，对吧？ b 肯定是零的， 包括它的 c 一定是十啊，我们只需要求 a 就 行了。 y 等于 a， x 平方加十， 那直接注入三零，注入三零九， a 加十等于零，那么 a 就 会等于负九分之十，所以给到它的解析式是， y 等于负九分之十， x 平方加十好， 负九分之十， x 平方加十好。第二位，在沙漠之底中草方格杀仗是一件常见固杀方法， 技术人员在距离该刹车最高点，距离该刹车最高点啊，这里有个疑问，我先不说，拉一条水平固定在 cd， 用于固定方程，其中 cd 平行 a、 b， 且 cd 在 抛物线上。哦，我刚才是什么疑问呢？我想着 这个 c、 d 到底是在 p 点以上还是 p 点以下吧，因为它距它四米，它就有两种情况，但是后面说明了 c、 d 在 抛物线上，说明它只能在它下面，那在抛物线上的时候，它是，那这条线不就瘪了吗？就瘪了吗？ y 等于六啊， 啊，下下光下方四米，那就 y 等于六，而且 c、 d 在 这是吧？包括对称轴，抛物线，它是具有一个对称性的，它还来了一个对称性的话，那么就是说 我求出 c 点来，或者我求出 d 点来，我另一个取一个负数，取一个相反数就得了啊，或者说我乘以二就是 c、 d 的 长，所以我我会选择求 d， 因为 d 是 正的， 那 y 等于六的时候带进去，六等于负九分之十， x 平方加十，那我这时候来求谁来求 x 是 多少是吧？负四等于负九分之十， x 平方， 那么三十六除以十会等于 x 平方， x 就 会等于十分之六倍根号十，也就是五分之三倍根号十， 所以什么？所以 c、 d 的 长度就是乘以二五分之六倍根号十 三位是什么？米，这是第二好，第三位，点一是该抛物线上的一点，从点一向沙丘顶点 p 铺设一条固定带，若这条固定带在水平方向的跨度与数值高度差比为一比二啊。 求一点坐标还是一样，它可能是在左边，也可能是在右边，但是我求出一个，我就能求出另一个，因为它有对称性，那我肯定求正 的，是吧？它的意思就是说 固定带在水平方向的跨度，那固定带那肯定是这样去拉嘛？竖直方向呢？就是二 a 是吧？那这时候我们同样可以推出一点的坐标来，一点坐标，它就是在零的基础上往左加了一个 a， 那 就是 a 在 数字方向上在十的基础上往下降了一个二， a， 是 吧？这个东西我把它带进它的解析式里面，是不是可以求出 a 的 值来？ 来，我们来看把它带到解析式里面，看一下难不难算十减二， a 会等于负九分之十， a 平方去加上一个十啊，两边都有一个十，不要， 那首先 a 会等于零，它是有个东西的，那要舍去的， a 会等于零，那我这时候才可以说是因为负二 a 等于负九分之十 a 平方嘛，我这时候才可以大胆的去把 a 约掉一个， 那么负二就等于负九分之十， a， a 会等于多少呢？ a 会等于一十八除以十啊，也就是九分九除以五吧， a 会等于九除以五，也就是说一点的横坐标是五分之九， 那横坐标五分之九，那另一个肯定是负五分之九，那我们要把它的纵坐标求出来，就是十去减掉一个五分之九十，减五分之九的话，就是五分之五十去减五分之九，那会得到一个什么 五分之五十去减五分之一十八，因为是减二， a 减五分之一十八，那就会等于五分之三十二，所以它坐标五分之九，五分之三十二五，负五分之九，负五分之三十二啊，五分之三十二，它重坐标是不会变的，只是说横坐标。关于这个对称，好吧，最后是两种结果， 所以是一个一个货吧。好，最后一题我们直接来看，如图一， d 是 a， b 的 中点相等角， a， e， d 等于角 b， c， d 啊，公共边。 当减一和减 c 重合时， 重合时， a、 e 和 b、 c 的 关系。 想说为什么东西吗？他想说什么？ a、 e、 d， a、 e、 d 等于 b、 c、 d， 哎，看都不想看，相等就行好吗？ 这还不想等，想干嘛？在一的条件上，而且这里一定是什么，一定是你要做的话，肯定是反反方向的去拉，是吧？像一个环之类的东西，那叫什么模型来的？反方向的去拉嘛？ 八侧环一样是吧？我做一条 a、 a、 h， 它去平行 c、 b， 那 这个角就会等于这个角，那这两个角相等，那不就是等边三等腰三角形吗？有时间会相等。 那在一的条件下，当点 e 在 d、 c 上时，结论仍然成立吗？是否仍然成立，那还是一样哦，还是一样哦。我过点 a 做一条平行 b、 c 的 线， 那就是反方向的拉， 对吧？这时候这这个角还是会给它拉过来，因为这里永远是相等，也就是说这两个东西一定会平行，一定会去平行，是吧？这顶角有边 角，角边也好，角边角也好，对吧？一定相等的话，那这个这个红角就会传到这边来，那传到这边来，又因为它说了，它唯一的条件就是这两个角相等，这两个角相等，又会给到它是一个等腰三角形， 是吧？所以 a、 e 和 b、 c 成立吗？仍然成立， 就说这条辅助线的做法是怎么去做吧？过 a 点做一条平行 bc 的 线，是吧？然后延长 c、 d， 这两条线的交点叫做 h、 e 就 行了。 如图三，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 b、 d， a、 c 相交于点 o， 点 e 在 c、 d 的 上方， 点 e 在 cd 上方交于点。好，现在告诉我们， a、 f、 o 等于 ceo， 那 不一样的模型，还是一样的模型， 是吧？倍长还是什么？若点 e 在 b、 c 的 延长线上，点 e 在 b、 c 的 延长线上，说明什么？说明它们是一条直线，这是一条直线。而且 dm dm 等于啊，比 c m 等于三比二， a d 等于二， a、 f 的 长，求 a、 f 的 长， 那这里无非还是用老套路吧，用 e 二的老套路，那我首先是要去干嘛呢？ 我肯定是要去延长它，包括 da 跟它这里有一个现成的东西， da 和 c b 它是平行的，因为它是平行四边形，也就是说我们做辅助线并没有那么多说的，直接说延长两条线，延长两条线就行了， 给它们延长就行了，延长这个叫梯形，对吧？不用说刻意去做平行 啊，包括这里有一个很特征的东西，很明显的提示啊，说 dm 比 cm 等于三比二，所以我们这里用的一定是什么？一定用的是相似去做 dm 比上 cm 等于三比二， 是吧？包括我们说用这个模型去处理问题的话，我们关键信息是会 船边这条边和这条边是相等，因为这两个三角形是相等，这两个角相等的话，那这两个角又会传到它们是一个等腰三角形。等腰三角形的话， 所以我们可以假设一个东西，假设 a p 为 x， 这里也叫做 x， 那 为 x 的 话，我们相似比就可以用起来了，因为三角形 p d、 m 会相似于三角形 e、 m、 c 为什么找这？找这个比例关系所在的两个三角形嘛，对吧？因为它们有角，还有对顶角，那还说啥？所以会用到 d m 去比 c m 会等于 dp， dp 去比上 e c， dm 比 c m 等于三比二， dp 比 e c 会等于 二加 x 去比上 e c 是 x， 那 一个交叉相乘三 x 等于四加二 x， 那 么 x 就 等于四了。所以 a f 的 长，也就是等于。 因为 f 会等于 a， p 会等于 e c 的 等于 x， 所以 f 就是 四嘛，懂吧？ f 就是 四嘛。那第二小问，若 e c 垂直， e c 垂直 啊，这里涂也只有三个，所以必须要把它涂掉， e c 垂直 c a 啊，当四个 e， 四个 c e 四个 c， e 会等于五个 a c， 当四边形平行四边形 a b c d， 它的边长以及内角大小发生变化的时候，角 f a c f a c 在 哪？ f a c 在 这。好，我们的主角在这里，主角在这里要去干嘛？ 他现在是一个研究角是否发生变化的问题，那这种百分之百分之九十九是不会发生变化的，你可以先写上去，写上去有分吗？ 我跟你讲，写上去肯定是有一分的， 那大小是否发生变化？那肯定不是发生变化。而且这种情况我们大概率是用什么去做？用正切去做，也就是三角函数里面的正切去做， 也就是 tangent x， tangent 角 f a c， 那 tangent 角 f a c 的 话，我们就要去想到构造一个直角三角形。 好，放在这个图里面，直角三角形它有几条路可走？有几条路可走？好？第一条路我无非就是延长 a f， 因为它有一个现成的直角，我延长 a f， 但是延长 a f 之后，我们会发现一个大麻烦，也就是说延长的这一段好像非常难处理。 那所以我们选择现在会选择第二条路。第二条路，也就是说在 o 点这里去做一个处理，因为因为 o 点是对角线的交点，我们取 a o 其实跟取 a c 是 一样的，方便快捷。所以我这里第二个给到的是 我用，我用 o 点延长啊，往这边去做，做一条垂直 a c 的 垂线，那我这个焦点叫做 m 点，对吧？那我做这条线， 我要处理的一个东西是什么？我无非就是要去处理我现在 a o 和 o m 吧， 是吧？我做了垂直，我做了垂直，就会有一个什么东西，就会有平行啊， m o 平行 e c。 我 这里最我觉得最好的一个点是什么？是这个角 和这个角是内错角，它包括题目，自始至终都说这两个角相等， 所以这里很好的一个东西就是告诉我们三角形 mfo 是 一个等腰三角形，就是我们现在最难处理的一个问题，我们把它拎出来了， 对吧？最难处理的求求正切，无非就是两条边， a o 已经不用管了，我们要管的是 m o， 而且 m o 它是会等于 m f 的， 对吧？ m o 等于 m f， 我 们可以把它假设成啊，设为一个，设为一个什么呢？ 哎， x 设了，我设为一个 y 吧，设为一个 y， 对 吧？包括还要假设什么？这里给的这个条件还没有四个 e， c e 等于五个 a， 那 我就令 c e 等于五个 a 好 了， 那我 a c 就 等于四个 a 啊，为什么要设这种奇奇怪怪的数字？因为我不想出现分数，我不想做分数题啊，四乘五二十个 a 等于五乘四二十个 a。 所以 按照我们的老套路啊，一二三前面做过每一个题目的套路，我们可以得到，我们可以得到 a f， 它其实是会等于 c 的， 至于这个模型叫什么模型，大家可以在评论区打出来 啊，因为它很多人的叫法不一样，有人说它是这个，有人说它是那个，看看大家到底怎么说。 a f 等于 c e， 那 是不是等于五 a 啊？ 好，那还有啥我这个正切要用到的东西啊？我先把它展出来，正切要用到，我，正切要用到谁呢？正切要 要用的三 m o 还运用到 a o， 所以 我们现在要看一下 a o 等于多少 a o 它刚刚好就是 a o 就是 谁呀？ a o 就是 二分之一的 a c， a o 是 二分之一的 a c， 那 不就是两个 a 吗？ 两个 a。 所以 现在我们可以把这三条边都表示出来，通过一个勾股定力去提前探求它们之间的一个倍数关系， 对吧？勾股定力，也就是说 a m 的 平方会等于 a o 的 平方去加上 o m 的 平方。 a m 的 平方是什么啊？自始至终没有出现，我们要不要写？要写 a m 会等于 a f 去减掉 m f， 也就是五 a 去减掉 y。 好，五 a 减 y 的 完全平方等于 a， o 的 平方，就是四 a 的 平方去加上 o m 的 平方， o m 的 平方就是 y 的 平方。其实我们可以看到 y 肯定是约掉的啊，包括这里，二十五个 a 平方去减掉十个 a， y 加 y 平方， 等于四个 a 平方加 y 平方， y 平方。不要 啊， a 可能等于零吗？ a 不 能等于零，那我可以写 a 等于零，舍要舍，因为舍去这个情况，我才可以大胆的约掉一个 a， 大 胆约掉一个 a。 好， 它们都变成了啥？变成了二十五个 a， 减十个 y 等于四个 a， 那 也就是说二十一个 a 会等于十个 y， 所以 a 跟 y 的 关系我们是探求出来了，那么 y 就 等于十分之二十一个 a， 对 吧？好，万事俱备，我们现在把这个正切给它写出来， m o 给到多少？我们要的 m o 是 给到 y， a o 给到多少？ a， o 给到二 a y 带入肖云，十分之 二十一个 a 除以两个 a， 最后会等于二十分之二十一， a 是 约掉了，所以它叫做什么？ 角 f a c 为定值，为定值，也就是说它大小不发生变化。 好，整张卷子一敬到底，讲到这里为止，那么后续还要讲什么试卷？大家给我提点。

江西中考的同学们注意了，今天带大家逐题精讲二零二六年万为黑白卷的江西黑卷， 含金量也是非常高，全是中考高频的必考题型，贴合咱们江西的本地考题。跟着我把每道题的考点解法、易错点一次性吃透， 考前精准的查漏补缺，拿下中考，稳稳上分！好，咱们话不多说，直接开始负四的倒数，倒数负四分之一吧。第一题选到 c， 第二题分母相同，直接相加二分之一的三加三 a， 三加三 a 可以 提出一个三来，就是三的 a 加一除以 a 加一约掉剩下一个三，所以选掉 e a。 第三题俯视图为俯视图，是从上往下看，是不是这四条边都可以看到啊？包括下面的四条边都可以看到吧，是吧， 那这条边能不能看到呢？当然可以，因为上面更小，下面更大，所以选到了 c。 答案 表中的数据长得又快又稳。什么叫又快又稳？稳，它是涉及到我们的方差，方差越小越稳定，那肯定是零点四最小吧， 长得更快说明是什么？平均数？平均数越大，它就长得越快，所以上面挑最大，下面挑最小，就选到了三 c。 一个三角板，若角一等于二十度， 那么角二的度数是。角一等于二十度，那么这个角就是一百八十度。减二十度，再减四十五度就是一百八十度。减六十五度等于一百一十五度。又因为这两条线平行，所以同位角相等，角二也等于一百一十五度，那么选到 b， 答案 好，选择压轴。 随着温度的升高，该电池的充电效率逐渐下降。错，它是先增后降的，当温度为零时，充电效率为百分之九十八。 好，未知未知，因为这要算，先不管它，该电池在夏季 x 大 于等于三十度，大于等于三十度，充电效率小于二十七度， 优于优于吗？并不优于吧，充电效率反而更低吧。你算错了， 该电池在温度二十七度的时候充电效率最高。那当然，顶点谁选到 d？ 答案，像这种 b 这个选项哈。要算的东西我们先不要去管它放在最后来 单向是负拍 x 平方的系数负拍吧。 分解因式，首先我能看到有二是二，我们可以先提出一个二来是二倍的 x 平方减二 x， y 加 y 平方是什么？那就等于二倍的 x 减 y 的 平方，完全平方差公式吧。 好，往下走。 假以两个施工队， 甲施工改造五千平方米与乙施工改造三千平方米所用的时间相同， 甲平均每天比乙平均每天多改造二十平方米。好，现在说什么甲每天改造 x， 好， 写到甲旁边，每天比乙多二十，那乙就是 x 减二十，因为它们时间相同，所以我们要构造一个时间的等式， 那时间的等式，那我就用甲的总量去除以甲的速度或者说效率会等于乙的施工总量除以乙的一个效率。 好，往下走，燕子小燕子 tanger 角 a d 角 a d 我 们直接找是这个角吧，那这个角我们就要找到一个直角三角形来体现这个正切值，是吧？正切等于什么？对边比邻边， 那放在这个图二中，它的对边就是一这个三角块的直角边，我们就来用 l 一 表示，可以吧， 那零边零边它是用了二的一条直角边和五的一条边，那就叫做 l 二加 l 五，可以吧？好，我们怎么去找它们的关系呢？我们要回到图一去找关系。那图一中 一的边长和二的直角边长是不是一样的？所以这个二可以替换成一，那五的边长呢？ 我们从图二中又可以发现，五的边长和六的直角边是一样的，所以你这里五的边长和六的边长应该各占了二直角边长的二分之一，所以叫做 二分之一的 l 一， 对吧？好， l 一 全部不要了，灭掉了，那就是一分，除以一加二分之一就是一，除以二分之三就是三分之二。 这种题目就是来回去看来回去看这边看完看这边，这边看完看这边，反复去看。好，十二题。在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， a、 d 等于六。 好，是对称点， a 撇是 a 关于 b 的 对称点 连接 a 一 撇 b， a 一 撇一，距离为一时， a 的 长为多少？嗯，这个东西我们先来画图， a、 b 为三，大概这么长， a、 d 为六，两个三，一个三，两个三， 这是选择题，这是填空题的最后一题。那肯定涉及多情况讨论，是吧？那情况在哪里？讨论的方向在哪里？关键点就在这里。点 a 到矩形长边的距离为一， 那长边的距离为一。首先我们就有三个方向，第一个方向是它与上长边的距离为一，第二个方向它与下长边的距离为一， 那与下层面的距离为一。还有第三个方向就是它在下面的时候，对吧？好，现在我们来逐一分析， a、 b 等于三等于三， a、 d 等于六，是吧？我这两条绿线就是刚好把它们切割了哈，每一份切割成一。现在第一种情况，它离上长边，离上长边为一的时候，说明， 说明我们现在点 a 的 对称点，点 a 一 撇，它是在 l 一 上的，对吧？ l 一 上我们大概画一下，就是在这里吧， 然后画一个 b 一 过来，那我连接这里，这就是 a 一 撇，那这个时候我们要去求 a 一 的长，怎么去求？ 首先我们可以知道，既然 a 点的对称点是 a 一 撇，那么我们这时候连接 b 跟 a 一 撇，这两个图形是不是应该要全等，对吧？ 应该要全等了，填空题直接不用想那么多，反正就是全等。好吧，全等的话，我这时候这一条就变成三了， 变成三，包括点 a 一 撇到长边的距离为一，那这条是一，那下面剩下的这一条呢？是二吧， 它为一，它为二。那么现在有一个问题，我分别把这两个点标做 h 和 g， 那现在 a、 e、 h 和 a、 b、 g 这两个三角形是否相似呢？ 首先它们都有一个角，叫做什么？叫做直角。另外这两个三角形全等，那这个直角是不是翻过来了，传过来了？ 这两个角相加等于九十度，这两个角相加等于九十度，那么这个角和这个角是相等的，所以这两个角相似，那这个时候我们用相似的方法来做，是最快的 相似，就有一比二，会等它的边比这条边是它是这条边吗？不是，我们要看好了，这个角对应的是这个角， 这个角对应的是这个角，所以什么呢？所以 小三角形的斜边比上大三角形的斜边，会等于小三角形的 这条直角边，就是一比大三角形的这条 b g， 对 吧？ b g 是 多少？我们勾股定律来算一下，三三得九，二二得四，那 b g 就是 根号五， 应该是这样的，是吧？这有点像我们之前学的什么一线三垂直，一线三垂直，他说一个经典的问题，就是你一定不要搞错了， 一线三垂直是用，是用来做全等的，那全等的时候，我们左边躺着的边要对应右边站着的边，左边站着的边对应右边躺着的边，大家一定要注意， 那这时候我们就把它算出来， a 一 就会等于交叉相乘删除以根号五吧，就是五倍的五，三根号五，五分之三，根号五五分之三，根号五 a 一 撇一，哈，那么 a 一 撇一其实就是 a 一 了，对吧？这就是第一个答案。好，往下走第二个答案，第二个答案， a 点是在哪里？ a 点是在 l 二上， a 点在 l 二上的时候呢？ 它大概是这样的，是吧？那这样投影点大概在这里， 那同样我们依然连接 h， a 一 撇，还有 b， a 一 撇， 还是一样的吧。这两个三角形全等，那这个角是直角，这个角是直角，那这两个三角形仍然相似，对吧？依然标 h， 可以 吗？ a 一， 现在的一在这里， a 一 撇 e h 和 a 一 撇 b g 仍然相似，仍然相似的话，那我这条边还是三咯，但是下面变成了一， 这条边是三，下面变成了一，那我们要的 b g 就 成了多少啊？就成了根号吧， 对吧？上面成了二，那我们现在求 a 一 撇一，依然是小三角形的斜边比，大三角形的 斜边会等于上面躺着的边比上下面站着的边根号八，对吧？ a 一 撇一就等于六，除以根号八就等于 六倍，它本是二倍根号二，那就是根号二分之三，那就是根号二分之三，那就是二分之三倍根号二吧， 二分之三倍根号二。这是第二个答案，那第三种情况呢？是吧？它可以在下面，那这里有同学就会问，为什么它不可以出现在上面呢？你既然可以在下面，为什么不可以在上面？为什么不可以在上面？ 比如说在这一条直线上，它也是距离长边距离为一啊。大家想，你如果要以 b 一 为，为什么为这个对称轴，你做对称点，你可能飞到上面去吗？ 肯定是不可能飞到上面，他只能说往下走啊，往 a 的 右下走啊，不可能往 a 的 上面走，对吧？所以这种情况不存在，所以他要往下走， 那往下走怎么走呢？大概是走到这个位置，走到这个位置， 走到这个位置的话，那这时候我们的投影点大概在这里了， 投影点大概在这里，那这时候我们仍然连接，仍然连接， 把它画标准一点，好吧，连接完之后，直角还是跟过来吧。直角跟过来，我们依然要干嘛？依然要去找相似三角形，找相似三角形， 这时候的相似三角形怎么去走？这个加这个等于九十度，这个加这个等于九十度，那还是一样的吧。好，那这时候的这条边， 这条蓝色的边，上面这一条斜边大三角形的斜边是三， 这一条边是跨了一个三，再往下走的一四， 那这一条边是一，我们现在可以来求这条边，对吧？好，给了我们 这边左边三角形的斜边和短直角边，我们能不能求出长直角边一个勾股定为根号三的平方，减一的平方是不是根号八？ 为什么要算，算出长直角边呢？因为我们右边这个三角形只只得到长直角边，短直角边不好求啊，对吧？所以这时候这个点叫什么？这个点叫 e 点，这个点叫 a 一 撇， 这个时候 a 一 撇一去，比上左边三角形的斜边，左边三角形的斜边，我们说了跟 a b 永远是一样，就是三会等于 右边三角形的长直角边比上左边三角形的长直角边比上根号八，根号八就是二倍根号二，八等于根号二分之二就是根号二， 那么 a 一 撇一就是三倍，根号二百。好，所以最后有三个答案， 五分之三倍根号五，二分之三倍根号二，三倍根号二。好吧，至于为什么不能往上面走，刚给大家解释了，它投影不可能投在上面，它只能往右下走。 好，接着往下走。计算任何数的零次方都为一负一加三负四的绝对值，加四等于七减一 等于六吧。 已知实数满足 a 加 b 等于二，求 a 平方减 b 平方加四 b 的 值。 那你这里既然有个 a 加 b， 我 这里一眼看到了平方差。公式， a 加 b 乘以 a 减 b 加四， b 直接把二倒进带进去先 两倍的 a 减 b 加四， b 会等于两倍的 a 减两倍的 b 加四个 b 会等于两个 a 加两个 b 等于两倍的 a 加 b 等于二乘二等于四。好，往下走 解不等式。二 x 大 于负一加三等于二，那么 x 大 于一， x 减二乘以三小于 x 加二，那么三 x 减六小于 x 加二，那么二 x 小 于八， x 小 于四，最后取一个交集， x 大 于一，小于四， 往下走，巴拉巴拉 开展啊。随机，他都说了随机，那不就是随机吗？啊？都说随机，那不随机。树状图或者列状图 均为算经啊。看一下，算经，一个算经，两个算经，一个中，统统中 啊，说明三个里面有两个算计呢，一个桶中。那我们先来分一下，先写七年级的，再写八年级的。七年级他可能选选择周什么什么，对吧？也可能选择孙什么什么，也可能选择算什么什么。 那八年级呢？也有三种啊，周孙算是吧？周孙算，他也选周孙算 哪两个是算经？周和孙是算经， 他要七八年级都为算精。那首先你七年级先满足算精先吧。那周孙、周孙加周孙 总共有几种？周孙加周孙总共有四种吧。好，满足条件的有四种。一共有多少种？一共是有到了九种，所以它是九分之四。 无刻度直尺啊，无刻度直尺，我后面会花一节课的时间来给大家专门讲解这个内容。无刻度直尺，因为这个题目是必考的。 把无刻度直尺分为两种，一种是没有网格线的，一种是像这种有网格线的。你像这种做 a、 c 的 高高，那就是做垂线嘛，做垂直嘛？ 做垂直有个原理，比如说你做 a、 c 的 垂线，你做 a、 c 的 垂线，你要做它的垂线，你就要想 a、 c， 它横跨了三，横跨了三，竖跨了四，你要做它的垂线，你就反着来， 它是横三横跨三，竖跨四，横跨三好吗？ 但是它是高 b、 d 已经给了我们一个点，那么我们所有的出发点都从 b 开始啊。 b 横跨四， 横跨四，跨到这里吧，竖跨三，跨到这里吧。好，把这个矩形给它补齐，补齐之后连接这个对角线，这个对角线就是垂直了，就是垂直了。这个点是 d 吧， 那就是垂直啊，垂直。哦，这个点不是 d， 交点才是 d， o 交点才是 d。 第二问，做角 c、 a、 b 的 角平分线，你要做角平分线是吧？做角平分线，我能想到什么？ 我能想到菱形，因为菱形的对角线会平分角，但是我看这个图，我要画一个菱形， 并画不下，画不下，所以我可不可以补一半的菱形，是吧？补一半的菱形， 看这条边等于三，这条等于四，那这条是不是五，那这边是五，那我把 a、 b 延长，把 a、 b 延长，延长到五，它已经有三了，我再延长二就到五了。 到五的情况下，那我现在是不是相当于画了一半的菱形？因为菱形的特性嘛。画了一半的菱形，我是不是可以先连接对角线？ 连接对角线，我们可以一眼看出来，这个点叫做 c、 h 的 中点，是吧？都是横一竖二。 那好，那我现在又可以替换成垂直平分线来考虑了。垂直平分线 a、 c 等于 a、 h 啊，等腰三角形，等腰三角形的平分线就是垂直线，那我直接一连是角平分线吧。好吧，往下走， 反比例函数经过 e、 a 和 b， c 的 中点， d 点 d 的 坐标为什么用含 a 的 代数式来表示？哦，那 c 点是 e、 a， 说明 c 点的重坐标是 a， 那 么 b 点的重坐标是零， d 为 b， c 的 中点，所以我们可以知道 d 点的重坐标为二分之 a， 这个没问题吧？ 好，它的重坐标为二分之 a， 那 它横坐标为多少呢？我可不可以先用它带进去，把 k 表示出来？ a 等于一分之 k， 那 么 k 就 等于 a 八，它的解析式就是， y 等于 a 除以 x， 那 我再把二分之 a 反套进去， 二分之 a 等于 a 除以 x， 那 这时候 x 就是 二，所以它的横坐标就是二，重坐标就是二分之 a， 好 吧， 那就是二，二分之 a， 若 o， c 等于三，它要等于三， 那等于三，那我的 a 不 就直接出来了吗？是吧？勾股定律，根号一的平方加 a 的 平方会等于根号三的平方， 那么 a 平方是不是八？ a 就是 根号八了，那 a 是 根号八，我把它补上去，好吗？ 那我求 k 的 值，那我就是把一二倍根号二这个点带进去，好吧？二倍根号二等于一除以 k， 那 k 不 就是二倍根号二吗？那 k 是 二倍根号二，那我这个反比的函数就是 y 等于二倍根号二除以 x 了。你又要求 b 的 坐标，求 b 的 坐标， b 的 坐标，它横坐标其实已经知道了， 包括我们的 a 也知道了。 a 等于根号八，那我还要还要去套吗？ a 等于根号八，等于二倍根号二，那 d 的 坐标不就是二二倍根号二除以二，二二根号二吗？是吧？ 哦，我这求的是 d 的 坐标，我要求 b 的 坐标，不好意思，求 b 的 坐标，那我们就要来做一个依次函数喽， 二根号二，一，二倍根号二啊。要做一个一次函数，一次函数的话， y 等于 k， x 加 b 来一个方程组。 二倍根号二等于啊，前面出现了 k， 我 们这时候就来个 k 一 好吗？ y 等于 k 一 加 b， 根号二等于二。 k 一 加 b， 那 我一二方程组都会解吧？用二去减一可以吗？二减一 是不是负根号二等于 k 一 啊？好， k 一 算出来了，我随便套一个套到这里去， 那 k 一 就是二倍根号二等于负根号二加 b， 那 b 就 等于三倍根号二。好，它解析式就出来了，就出来了，就是 y 等于 k 是 多少？负根号二 x 加三倍根号二，对吧？它这时候要干嘛？要到 b 点， b 点的重坐标是零，那它直接等于零，那说明 x 是 不等于三呢？好，所以 b 点坐标就是三零，好，往下走。 某天早晨啊，像这种东西完全可以不用去读，不要浪费时间，直接看问题，先看问题再去找。 某天早晨，它恰好摄入了七百千焦的能量和一十一点九克蛋白质，我们可以一眼扫一下这个图， 能量只有一个来源，蛋白质也只有一个来源，说明我们只用看前两个就行了。只用看这两个就行了，是吧？那也是一个典型的方程组 啊。求早餐牛奶及坚果的数量。那我们牛奶 x 坚果 y， 牛奶 x 坚果 y 两个方程组啊。二百八十， x 加二百一十， y 会等于七百，直接给它化解好吗？ 直接不要，直接除以一个十加二十一， y 等于七十，那第二个是什么？ 三点五 x 加四点二， y 等于一十一点九，大家看着也不舒服，我直接给它扩大四倍三十五 x 加四十二， y 等于一百一十九。我们可以很自然地发现 这里存在一个倍数关系，二十一和四十二，所以我们要把第一，要把一四乘以二，一四乘以二就是五十六， x 加四十二， y 等于一百四十，好，然后用三去减掉啊。五十六减三十五等于二十一， x 等于 二十一，那么 x 就 等于一， x 等于一， x 等于一的话，随便套哪个就套套这个。好吧，二百八加多少啊？等于七百加四百二吧，那说明 y 等于二好， y 等于二，所以这里 摄入牛奶，一盒坚果呢？一、什么？一袋？ 初中生，每日脂肪摄入量啊，那他从其他食物中又摄入了四十克脂肪，但这天是否超标呢？又摄入四十克， 那我们来找脂肪，脂肪是第三行，我们只用看第三行，因为他喝了一盒牛奶就是三点五克脂肪，两袋坚果就是加二乘以，我们看一下能等于多少啊？三点五加上八 六二，二十六点八会等于八，加五等于十三，三十点三会等于三十点三， 三十点三，又从其他东西里面吃了四十个，那就是七十点三，七十点三，是不是大于五十五，小于七十三呢？那没，没少，也没多啊，没超标，非常好，非常好。 好往下看，等腰直角三角形 a、 b、 c 啊，动点要干嘛？ 角 b、 a、 c 等于九十度，等于九十度。等腰直角三角形呢？九十度，四十五度， 四十五度。第一个问，什么叫 a、 d、 c、 a、 d、 c 啊？我们直接一看， a、 b、 c、 d， 它是什么？内接四边形，内接四边形， 内接四边形。干嘛？它的对角会互补啊，对角互补啊，什么叫对角？你对面的角啊，就是 a、 d、 c 啊，你是四十五度，那么它不就是一百三十五度啊，这叫对角互补。好吧。啊，这里有度数，不用度数了， 这叫做对角互补。好，正切线连半径，正切线连半径，是吧？都缩烂了。正切线连半径，这是谁呀？嗯，图二， 正切线连半径给了什么条件？ a、 d 等于 dc， a、 d 等于 dc， 然后呢？ d、 e 垂直啊，又给了一个垂直，就要我们求正切线，那我们是不是要求这个角是直角？ 方法有很多，对吧？你可以证明这两条线平行， 那要证明这两条线平行的话，我就要证明这两个角相等，同位角相等。好，我们来看到底怎么去做？ 因为它是等腰直角三角形是吧？所以它有垂直平分线。那我连接 l， 那 我连接 l， 这里是不是垂直的啊？包括这个角四十五度，四十五度，那这个角， 这个角也是四十五度吧，这个角也是四十五度。另外它告诉我们什么 a、 d 等于 d， c 啊， a、 d 等于 d， c， 那 o， a 等不等于 o、 c 啊？ 都是半径呢？肯定等于啊。那 o、 d 等不等于 o、 d 啊？那不废话，公共边的。那说明什么？ 三角形 a、 o、 d 会全等于三角形 c、 o、 d， 它就是这么硬，边边边啊。三 s， 那说明这两个角相的这两个角分九十度，是不是各分四十五度？那四十五度，四十五度，四十五度四十五度，那是不是同位角相的两只线平行，所以 a、 b 它要平行， d、 o 它要平行。 d、 o， 那 我同旁内角是不是互补啊？那互补，互补它就成直角了，互补它就有直角了，所以它就是切线了。好吧，就这样做 好，若半径为二，半径为二，他想干嘛？求图中阴影部分的面积 求阴影部分的面积，那我们肯定要连这里，是吧？先求一个四分之一圆的面积，然后减掉这两个三角形的面积。 那四分之一圆的面积，那我先算圆的面积喽。 pi r 的 平方等于四倍，但是我要的是四分之一，那我要的就是 pi， 是 吧？要四分之一啊，这不四分之一的圆吗？ 那 pi， 然后呢？ 然后我们要干嘛？这个三角形面积反而好求一点，因为它等于二，等于二，二得四四除二等于二，减个二先再减谁呢？减这个三角形面积，这个三角形面积。我们刚说了， 刚说了这两个三角形全等，这两个三角形全等，那， 那这两个三角形全不全等？那肯定全等边，公共边角是吧？都四十五度。那么咱们就是说 我要求的 a c 这条边是不等于二倍，根号二等腰直角三角形的斜边等于一直角边的根号二倍。记住， 那根号二，那我这里平分了，那每一半，哦，不用算，根本就不用算，我们要算的是这样， 我们要算啊，这个焦点我们叫做 h 点，好吧，方便大家辨认。我们现在要算的，我们要的 是吧？要算的是 s 三角形 a d c s 三角形 a， d c， 它我们需要底和高，底和高，其实底我们已经知道了，底是 a c， 我 们要的是高 h d 要求 h d， 我 们就要求什么，我们就要求 o h， 因为 o d 减 o h 会等于 h d， 知道吧？ o d 之间就是半径，那 o h 怎么求呢？ o h 我 直接用个等面积法好吗？等面积法， 二分之一乘二乘二会等于？我先用这个当底 o c 当底 o a 当高，我再用 ac 当底， o h 当高， ac 知道吗？二倍的根号二， o h 知道吗？不知道啊，就是我要求的，那么 o h 就 等于啊，这里还有个二分之一，别漏它， 二分之一不要了，二不要了，那 o h 是 不是根号二？根号二乘根号二等于二， o h 等于根号二，那么 r 等于二，所以 h d 是 不是二减根号二？ h d 等于二减根号二， 那它的面积好求了吧？二分之一呀，乘以 a， c 是 多长？ a、 c 是 二倍根号二，乘以二倍根号二， 再乘以谁呀？ h d 是 二减根号二，这里二不要了，那就是二倍的根号二减二。好，放上来就是减二倍，根号二减二，那最后就是最后，就是 最后，就是拍减二减二倍根号二加二，减二，加二没了，就是拍减二倍根号二。好吧，还是比较好处理的， 我们接着往下走， 好，要求 cbn， 要求 cbn 的 度数，我们就要求 铁的这个角的度数是六十五度，所以我们知道他的零补角是一百一十五度，包括这个 这个多边形是一、二、三、四、五边形、五边形，他的内角和就是三乘一百八，等于五百四十度。现在他已经有了三个九十度，就是二百七十度，那就减二百七十度，再减掉一百一十五度，会等于 等于二百七减一百一十五等于一百五十五度，一百五十五度是这个角，所以它的零角就是二十五度。好，没问题。那第二问，为什么？若 bc 等于一点五， b、 c 等于一点五，要求正方形的边长，要求正方形的边长。我们给到了 a、 b 给到了 b、 c， 还给到了一些六十五度，所以我们要把六十五度用起来，六十五度在这里，那我给它延长，是不是有个对顶角延伸过来呀？ 延伸过来。其实我们这时候这个点叫做 h 点，我们这时候把 h b 求出来就行了，因为把 h b 求出来就行，因为 h b 加 b， c 就是 什么？就是它的边。那 h b 怎么求呢？ h b 不 就等于 ab 乘以 三亿六十五度吗？就是二点九乘以九十一啊，一五， 二点二七五吧，二点二七五，加上 b c 一 点五，那就是三点七七五了。那最后保留一位小数，就是三点八，边长为三点八。三点八，什么三点八米呀？三点八米呀， 好吗？三点八米了，它现在要求最大高度，最大高度的话就是低点的到 m n 的 距离。因为所有的都是六十五度，所以我们尽量往六十五度， 尽量往六十五度这边去靠。好吧，我会选择这样去做，先算这一段长，因为这个可以通过这个正弦算出来， 然后再把这边补齐，做个直角过来，因为这一条可以通过它的余选择出来，这一条可以通过它的正选择出来。所以我们现在是不是关键点要算什么？关键点？要算出 e a 来，要算出 e a 来。 其实你要算 e a， 你 就要算 a h， 因为边长减掉 a h 就 等于 e n， 那 a h 怎么算？ a h 其实就是 a b 的 边就是 b 乘以 cosine 六十五度了，对吧？ ab 乘以 cosine 六十五度，是不是 a h， 那 ab 是 多少呢？ ab 是 二点五， cosine 六十五度是零点四二， 那零点四二乘以二点五， 零点四二乘以， 那就是一点零五吧，一点零五多少减一点零五，记住哈，这里我们不能用三点八去算它，要不然偏差会越来越大，我们要直接用第一步的精确数值去算 三点七七五，减掉它。是不是二点七二五啊？这是谁的长？这是 e a 的 长，二点七二五，是 e a 的 长。 既然二点七二五， e a 求出来了，那 e m 是 不是二点七二五，再乘以它的正弦零点九一啊？对吧？这时候就是一五得五， 那就是二点四七九七五，这是 em 的 长， em 的 长等于这么多，我们还要知道 eg 的 长， eg 的 长，那就好求了，直接用边长乘以一个零点四二就行了。边长是这么多，乘以一个零点四二， 那就是 八，那就是一点五八零吧，是什么？ g e 的 长，那总体的高度是不是两个相加？两个相加的话是五七， 整个相加的话是二四七九七五，加 八 一十五，一十六，一十四，四点零六五二五，四点零六五二五， 四点零六五二五，那么就是精确到零点一，那就四点一，好吧，四点一，这就是高度。四点一好，往下走， 直接看问题好吗？直接看问题， a 的 值为多少？ a 的 值啊。行动前，行动后，那人数，肯定总数是不会变的，我们看总数，三十四，十一， 五十，总共有五十个人，五十个人，那人数肯定不会变喽。二十三十六，四十五，那么它就是五了，剩下五个人， 那护眼前中位数在哪？中位数在哪呢？我直接切这一半，这一半到了二十四，二十四，再走一个，走到二十五，所以选 c。 那 行动后呢？行动后，我直接切这里一半，这边是来到了二十七，所以他一定在 d 组，对吧？中位数在哪？那肯定是二十五，这里头二十五，你看二十五在哪边你就选哪边嘛。 啊，谈谈哇，画直线图画直线图。行动前， 行动前的人数是 a 的 话，它是八人， a 是 八人， b 是 十六人， c 是 十二人， d 是 九人，九人在这里， 九人在八到十之间，到五人就在四到六中间。好，这是这是他的直线， 然后呢？是谁的？是行动后的，行动后的就是三 六一十四，一十六，还有一十一是十到十二之间，看这里吧，好，看好了，他自己用虚线连的。虚线连的好吗？大家一定要用尺子量哈，不要跟他像我一样，我是没有尺子。 八百名学生不少于一点五不少于一点五，那就是大一等于一点五。那一点五是谁啊？一点五是一点五，大一等于五的五是一跟一，一跟一他是谁啊？他是日经货啊。行动后的结果行动后，哎， 行动后啊行动后，那就看这个图啊，这个图，行动后，那就是第一，第一占了二十七，二十七就是五十分之二十七，那总数是多少？八百乘以五十分之二十七就等于 二十七，去乘以一个一十六，二十七乘以一十六等于多少？来算一下吧。六七，四十二，二六一十二，一十六，一十一，二 四百三十二。那最后要四百三十二个人是吧？四百三十二个人就行了。好，往下走， 往下走。 弹力球，一个弹力球，弹弹弹。 如图，出手点 p 与水平面的垂直高度说明它是什么一点七呢？什么一点七？ 那于出手点点 a， 以出手点的水平距离为零点五，水平距离为零点五，说明点 p 就是 负零点五， 那说明 a 就是 零。什么东西比出手点垂直高度高？零点八就是一点七加零点八，它就是二点五，这是 a 的 坐标。 那么再与出手点啊，它的顶点与出手点 差一点五，那就是负零点五，它就是一。什么东西？那距地面三，那就是一三。 然后说 l 一 的函数解析式是 y 一， 这是顶点式哈，顶点式，顶点式就是 h k， 这个就叫做顶点好吗？那对应一跟三，那 h 就是 一， k 就是 三了 啊。所以我们可以补齐一下，那 y 一 就等于 a 倍的 x 减一平方加三，随便带一个点吧。带零二点五好吗？ 但零二点五肯定好啊，那零的时候就是 a 加三等于二点五，那 a 不 就是负二分之一吗？ 那 l e 的 解析式 y e 等于负二分之一的 x 减一的平方加上三，好吧，这是第二位 狡猾。在弹力球的方向点 c 放着一个垂直于地面的平台，弹力球落在平台上的点 b 后，向出手方向以。呃，它弹到这里反弹了，往下弹 好。 b 点距离地面高度为一，那说明它的动作表是一喽。什么一呢？什么一？我直接套回去可以吗？那说明 这一部分要等于一，减三要等于负二，这一部分等于负二，那说明 x 减一的平方要等于 都乘一个二，好吧，乘一个负二，那就等于四，那么 x 减一等于。 这你一眼看上去， x 就是 正的吧？那 x 就 等于 x 减一等于二就行了。不是等于负二，那 x 就 等于三好吗？ x 等于三，那么它就是三一好。这个点算出来了， 开口大小和方向相同，那么就是 a 一 样，说白了，所以我们点 l 二的解析式啊，还说了，在距离出手点， 距离出手点的二点五米处，达到最高出手点水平二点五，那就是负零点五加二点五，那这个点的坐标我们知道了，是二什么东西吧？二什么东西？ 那既然 a 知道了 l 二的解析式，我们可以写出一部分来， a 还是一样负二分之一， x 减什么顶点坐标知道了二，但是不知道 k 是 吧？那我们带进一个三一去吧，把三一带进去。好吧好吧，带进去，三减一， 三减二等于一，一的平方就是一嘛，负二分之一加 k 要等于一，那么 k 二就等于 什么二分之三了，所以它的解析式可以写出来了，然后可以完整的写出来了，等于负二分之一， x 减二的平方加上二分之三，对吧？最大高度，而顶点是最大高度，不就是二分之三吗？ 对吧？那现在说半径为零点二的圆形篮子，高度忽略不计，那就是左手零点二，右手零点二吗？就是这么大字，这，这个篮子摆在这里，你反弹过去能不能进篮子？所以我们的关键点就在哪，关键点就是 这个抛物线与 x 轴的交点会在哪里，对吧？因为它已经我们已经知道了这个解析式，所以我们直接令它等于零，是不是可以求出它与 x 的 交点？它等于零的话，那负二分之一 x 减二的平方等于负二分之三， 那所以呢？都乘以一个负二好吗？ x 减二的平方就等于三， x 减二等于正负根号三，那么 x 等于 二加根号三，或者 x 等于二减根号三。这一眼看过去，我们要考虑的肯定是左边这个点了，左边这个点应该就是这个吧？这个不用考虑这个，这个是在这边的这个点， 这个才是这边的这个点。好，我们就现在来比较。二减根号三到底有多大？到底有多大？我们知道根号三，它是小于一点八的， 对吧？小于一点八，那么二减小于一点八的数是不是大于零点二？是不是大于零点二？ 它总共才有零点二，你这个只要大于零点二，是不是在框子的外面？大于零点二要在框子的外面。所以它会不会落，落入篮子内呀？不会落入篮子内呀？不会的，不会的，不会落入篮子内好吗？ 好，最后一题。 最后一题。 一是移动点啊，角 e、 a、 d 等于角 b、 a、 c， 那 说白了，我们就这两个角相等，因为中间是公共角， a、 d 比 a， 一 会等于 a、 c 比 a、 b， 当角等于六十度， m 等于一是 m 等于一，说明整边三角形呢？六十度嘛，等于六十度，六十度 说明这两条也相等。那 a、 c、 d 不 就是 a、 b 一 吗？不就是六十度？ 就这如图二，当阿尔法等于九十度时，阿尔法是什么东西？这个角等于九十度的时候， m 等于 m 又等于一，那它还是等于三角形四十五度吧。啊，四十五度吧， 求谁的度数呢？求 a、 c、 d 的 度数，那这两个不还是全等三角形吗？啊，全等三角形啊，角边边对吧？角边边的，所以这儿还是四十五度。 这么简单。求证四边形， g、 e、 c、 d 是 矩形，那我求证你是矩形，矩形我就要有直角了，我要找直角，我来找直角吧，因为这个角 和这个角是相等的，因为这两个三角形。哪两个三角形？我写一下，好吧， a、 b、 e 啊，会全等于三角形 a、 c、 d 啊，所以这两个角都是四十五度，包括这个角等腰直角。三角形四十五度，所以这个角垂直了， 这个角垂直的话，有什么用呢？这个角垂直，我们继续找，我们说这条边 是不是会等于这条边全等的，包括什么这条边呢？三角形 b、 g、 e， 它是一个等腰直角。三角形， 两个直角出来了，这两个不平行吗？ 平行且相等，那说明它是平行四边形。 平行四边形，那么加一个直角就行了，加一个直角就行了， 对吧？那没必要去找第三个直角。平行四边形，加一个直角，那它就可以蔓延，蔓延，蔓延，四个角都是直角，所以它就成矩形了。好吧，我们直接看第三问， 在图三中，落角 a、 b、 c 等于四十五度，好，一个四十五度，然后一个垂直，那这也是四十五度，那根据题意，这也是四十五度，是吧？相差了这么多， 求证。 h、 d 乘 a、 b 等于根号二 h 乘 a、 b。 这种东西一看就是相似，对吧？一看就是正相似的了。乘积等于乘积， 我们把它打回原形就是什么？打回原形就是 h、 d 等于除以什么等于 什么？除以 ab 了。那具体根号二 a、 h 放这里还是放这里？我们不知道，我们先这么摆，先这么摆着看，让我们有个方向是吧？我们的方向是用相似三角形去做。 那刚说了一下，解出了这么多个角，那我们题目还接着用了 a、 d 比 a、 e 等于 a、 c 比 ab， 它们这个成比例关系。这些东西成比例关系，那说明什么？ 说明它们相似啊，说明它们相似吗？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 是 相似的， 会两两两组边成成比例关系。相等，那说明这个角也是直角， 这个角也是四十五度，哎，对吧？也是四十五度。 那这两个相似的话，还有其他的东西相似吗？当然有啊， 这两个角各加一个公共角，是不是三角形 abc 也和三角形 a、 e、 d 相似，这两个三角形也相似。 好，那，那说到这里还有没有其他相似的东西？或者说我们能从前面两个相似得到什么结论吗？第一个相似，我们能得到角相等。第二个 a、 b、 c 和 a、 e、 d 相似，我们可以知道 这个角等于四十五度。好，我现在把所有的四十五度角涂成绿色，四十五度，四十五度，四十五度，四十五度，四十五度， 四十五度， 对吧？那是不是我们最后可以发现，其实角 d、 a、 c 这个角是和角 b 相等， 这个角是和它相等，所以最后我们可以得出另一个相似三角形 a、 d、 h。 为什么要找这个三角形？因为这个这个等式里面涉及到了 a、 d、 h 这个三角形里面关键的两条边呢？一个 h、 d， 一个 h， 所以 我们我们要往这边去靠， 所以我们可以发现 a、 d、 h 它其实是和三角形 b、 c、 a 也相似的， 是吧？和 b、 c、 a 也相似。 a、 d、 h 和 b、 c、 a 为什么相似呢？有角啊，有边呐。角是什么角？ d、 a、 h 和 abc 一个角，是吧？是不是相似？ 所以它们两个三角形相似。之后， a、 d、 h 和 b、 c、 a 这两个三角形相似。首先有什么我再讲一遍，我讲清楚一点，大家肯定比较模糊，听到这里 再讲一遍啊，你要相似，其实你找到两直角相似就行。首先这个角和这个角都是四十五度吧，没问题吧？ 另外我们刚证明这里是垂直，这个角也是四十五度，这个角四十五度，没问题吧？这个角四十五度，那这个角也是四十五度吧， 这个角也是四十五度，所以你这时候会发现四十五度加这个角 会等于四十五度加这个角，为什么？因为它们剩下一个对顶角，所以这两个角我们不知道等于多少度，但是我们知道它们相等，我们知道它们会相等这两个角， 这两个角会相等。那四十五度加这个红色的圈圈角是不等于一百八十度减它，那同样的四十五加圈圈角是不是也等于 一百八十度减它，所以这两个角也相等。 所以最后就说 a、 d、 h 等于 b、 b、 c、 l， 因为它们一个角相等，两个角相等，三个角相等， 对吧？所以它们相似啊。相似我们就可以找到最终的 b。 什么？ a、 b？ 大三角形的 a、 b 比上大三角形的 a、 c 会等于小三角形的 h， a 比上小三角形的 h、 d， 对 吧？除了 a、 c 没用，所有东西都有用。 那我们再看一下 a、 c 和 d、 c 到底是什么关系？ 这个角是直角啊，这个角是四十五度啊。三角形 a、 d、 c， 它就是一个等腰直角三角形， 是吧？等腰直角三角形，它的什么？它的什么？它的斜边等于直角边的根号二倍。那好，那 a b 就 除以一个根号二倍的 dc 是 不是等于 h a 除以 h d 啊？好，现在所有的东西都出来了， ab 有 了， h d 有 了， h a 有 了，根号二有了， dc 有 了，那答案不就出来了吗？我们再把它交叉相乘， ab 乘以 h d 不 数是等于根号二的 dc 乘以 h a 吗？ 好吧，好，结束。

哎，我们继续讲江西中考天星预测卷第一份试卷的第二部分， 继续哈。现在这个我们先从第十三题开始简简答题。 这个计算等于负二的绝对值是二，对吧？ 二减去二乘以三个三十度是二分之一哈，然后再加上什么什么的零次方，那任何数的零次方是一，对吧？所以就是二减一加上一，这个结果就等于二。 这是第十三题的第一问，第二问，已知直线 a 平行于 b 啊，角一是六十五度，换个颜色，角一是六十五度， 这个角一是六十五度，角二是六十五度。让我们证明，直线 c 平行于 d， 这个几乎等于数分题，是吧？因为 a 平行于 b， 这个是不是同为角也是六十五度啊？ 然后这个这个角跟这个角二，我们说是角三吧，角二角三相等，是不是同为角相等，又反过来两条直线平行啊？ 啊，所以我们可以写，因为 a 平行于 b， 所以 角三等于角一等于六十五度啊，这是同位角相等啊， 那六十五度是不是又等于角二啊？那所以 c 平行于 d， 如果写得更详细一点的话，那这个就是两条直线平行，同位角相等啊，同位角相等啊，又有两条直线平行，对吧？这是第十三题。 接下来我们讲第十四题 解不等式组，并且将其解集在如图所示的数轴上表示出来。 好，那我们来解一下哈，来解一下这个解不等式组啊，一个一个解是吧？第一个是 x 加四 大于等于零，那么 x 是 不是就大于等于负四啊？啊，这是第一个是吧？第二个，三 x 减二小于二 x 二 x 移过来 去减二 x 负二移过去，对吧？你要把一边呢搞成这种，带 x 一， 另外一边全是数字啊， 然后就是 x 小 于二，这是第二个哈，我们讲啊，数学，你要这种计算题不出错的话，就是每一步步骤啊，你都写上去，就不容易出错 啊。有的人可能用眼睛去看，比如三二 x 移的移过来就是负二 x， 那 三 x 减二 x 不 就是 x 吗？那直接就变成 x， 但，但是呢，你要是想不出错，而且方便后续检查的话，尽量就是每一步你都写出来啊，你看这一步，再到这一步，是吧？一步一步写出来， 好，我们再看，那他取这个交集，对吧？大于等于负四小于二，我们取它的交集， 取它的交集，它的解集是什么呢？就是一跟二合并在一起，是不是就是大于等于负四小于二，这就是这个答案吧，是解集哈，然后大于等于，如果等的话，我们记住啊，这要画一个实心的， 然后往右边是比他大的，对吧？这是往右边比他大小于二，那这个地方要画一个空心的，因为那没有等啊，千万啊，这个实心空心要分清楚，那这个竖轴上是不就是这个这一部分呢 啊？这就是第十四节， 接下来我们看第十五题，这一题是一个化简过程，我们看其实它第三步，你看就是不是在第三步，它直接跳成这个东西了， 肯定就不对吧，因为你至少是一个 x 平方减九，是吧？分母是一样的，然后上面是二 x 减减， x 减三，对吧？应该是这样写吧， 对吧？然后是不是那我们就我，我们，我们不把所有的都写出来哈，节省时间的话，我们就直接写这个 x 平方减九分之， x 减三，然后这个下面是不是可以一直分解啊？ 因为 x a 的 平方减 b 的 平方，对吧？等于 a 加 b 乘以 a 减 b 分 之， x 减三，这样的话就等于 x 加上三 分之一啊，它化简出来是这个东西，它说这个值可以为六分之一，我们去检查一下，那当 x 加上三分之一等于六分之一时， x 等于三啊， x 等于三，但是啊，代入原式，是吧？这个是，是这个，这个属于增根吧，对吧？属于增根， 它属于增根啊，会分母，分母啊，比如这个 x 和减九，还有这个三减 x 为零了啊，所以是不行。 they， 所以， 所以啊，这个它的值不可以为六分之一，是吧？不可以为六分之一，这是第十五题哈。嗯， 我们看第十六题， 第十六题是概率题哈。四种茶， a 读成 b， 物源 c。 井冈 t 狗谷啊，相同外观相同的茶罐， 那恰好是上饶白梅的茶叶的事件。那我们仔细看啊，上饶白梅这四种茶， a、 b、 c、 d 里面有上饶白梅吗？没有啊， 那这事件就不可能了，对吧？它四个茶罐都是装别的茶，没有上饶白梅啊，就不可能第二问，井冈翠绿和冈上饶白梅啊，就不可能第二问，井冈翠绿和冈上饶 产地是同一地区的概率。那就画这个树状图呗。啊，开始它是任取，两关不同，那我们看第一关的话， 第一罐它里面已经给了我们 a、 b、 c、 d， 开始第一罐是不是可以拿 a、 b、 c、 d， 第二罐 任选两罐不同的茶叶，那你拿了 a 以后，第二次有可能是 b， 有 可能是 c， 有 可能 d， 对 吧？ b 的 话也有可能 a， c， d， 这个 c 的 话是 a， b， d， d 的 话是 a， b， c 啊，那我们看一共是 十二种可能，对吧？ 三乘四，十二种可能哈。一共 十二种可能，产地是同一地区的产地同一地区的有，我看啊， 井冈翠绿和狗脑脑茶。井冈翠绿 c， d 吧， c 跟 d 是 可以，是吧？ 所以同一地区的必须是这个，你看产地都是吉啊，必须是井冈翠绿和葛公脑茶吧，井冈翠绿是 c， 葛公脑茶是 d， 你 看这，而这个庐山跟这个婺源，它产地是九江和上饶，这个，这个都不一样啊，所以必须是 c 跟 d， 而 d， c 两种，对吧？两种可能啊， 所以它的那个概率，同一地区的概率，所以我就不把每一句话都写出来，所以同意地 区概率就为总共是十二，是吧？上面是两种，所以这个概率就是六分之一，是吧？这是第十六题，我们接下来看第十七题哈。 第十七题画图题。 第十七题的第一问，做等腰直角三角形， a， b、 c 且满足 b， c 等于 b， a， b， a 已经在这了，还要 b， c 要等于 b a， 我 们看哈它，因为它是格子，那么 b、 a 是 多少啊？其实是两格，两格，这个竖的，三格，这个横的吧，所以就是二的平方加三的平方。嗯，开根号就行了。那我们也去找离这个 b 点， 比如竖的地方差两个，横的地方差三个，我们找看点都在哪，这是一个点，还有我们横的地方就给他差两个，竖的地方给他差三个，在这，这两个点，我们看看是哪个点。他是等腰直角三角形，我们现在是找到了这两个点哈，是， 如果是 c 的 话哈，他是等于 b、 a 的， 但我们还要让他做直角三角形，直角的话，你必须满足勾股定律啊。 我们其实你，你从直观上，你用眼睛看应该也能看出来是这儿，这儿直接就这样连着起来。我们验证一下，这个 a、 b 是， 我们看 ab 的 平，我们说这是 c 的 话， ab 的 平方是二的平方加三的平方， bc 的 平方是一样的，也是二的平方加三的平方是不是等于这个 ac 的 平方？来看一下 ac 是 一的平方，加上一二三四五格哈，五的平方，看看能不能等， 能等的话，这个点就是我们要找的点啊，四加上九加上四加上九，一加上二十五， 嗯，这本来上面有个问号，我们一看哈，哎，左边是二十六，右边是二十六，所以这个点就是这个点，因为它满足过固定。我们验证了一下，验算了一下啊，我们看第二问，做线段 a、 b 的 垂直平分线， 垂直平分线，我们根据第一问哈，我们已经有了这个 你，我们看这里面是个矩形，所以这个地方肯定是中点，这个没问题啊，这个没问题吧？因为对角线这个矩形，它对角线互相平分呢，那这样的话，中间这个肯定是个中点，这个没问题啊。 然后我们第一问，你们知道这个 b、 c 是 这个地方啊？ b、 c 我 们已经知道它是平行了，所以我们知道平行。而而 b、 c 这个地方是个直角， 这地方是个直角，他要做垂直平分线，那我们就做一条跟这个线平行的就可以了，做一条跟这个线平行的，然后看是不是这个往这边移，就是其实就是把这根虚线往这边移，那移多少呢？ 移多少？那我们就沿着这个方向移吧，沿着这个 b a 这个方向移，也就是移移这个 b a 这个方向，然后移一半，也就相当于一格移到一半， 或者说在这个方向上是一格一格半。那看看能不能也在这边画一根这样的线呢？我们就画一个跟 ab 平行的线，对吧？ ab 平行的线我们看，嗯，这边我们找一个点啊， ab 平行的 平行的线， 那么另一个点我们看，比如说这个点是 d 的 话哈，这个 d 也是这个中间的这个小格的中点， 那么我们看，我们就移这个点，找一下这，因为这个点正好在焦点上，对吧？往这边移，它是往左下左下方移， 移到这个点中点哈，我们找，那就找到这个点的中点就可以了。这个点的中点怎么找呢？就是把这个是吧画一根虚线 这样的交点，它就是中点，相当于这个 c 啊，移到这儿来，这样的话，这个 b c 它就平行的， c 移到 c 一 撇这个，那么这个这个 c、 d 这个连起来就是个平行的哈， 再把这个 c 一 撇，跟 d 这样连，这样连起来应该是平行的 啊，因为我们只要找一根跟这个 b、 c 平行的线就行了。我们看这个 b 往沿这个方向上往这儿移，这个地方正好是个中点，你看这正好是，这是一个两格吧，两格正方形，那这，那把这个 c 点也是往这儿移， 也是移到这个两格里面，在这个左边这格取中点就行了，取中点的话，这个 c 一 撇啊，这样跟这个点连的话，应该是平行的，对吧？所以这样的话，这个地方就肯定也是个直角，对吧？好，这是第十七题， 我们看第十八题。 十八题， 第十八题是一个反比例函数的题啊。第一问， a b 两点同时落在这个反比例函数的图像上，求 k 和 a 的 值。 a 这个中间这三个都是正方形啊。那我们先已经有 a 了吧，我们就带进去就可以了吧，是不是这个纵坐标六就 等于十二啊？也就这个解出式，是不是 y 等于 x 分 之十二啊，是吧？然后我们再把这个 b 点的坐标，我们把这个 a 也带进去，因为这个 这个 a 它是二六，我们说这个边长它是 a 的 话，那它它往右是两个 a 吧，这是 a， 这是 a， 那 这个 b 点它的横坐标是不是就二加上一个二 a 啊？它的纵坐标是不是六减二 a 啊？ 因为它往下又移了两个单位，你看，又移了两个这个变长的单位，所以这个 b 点它的这个坐标是不是就是横坐标二加二 a 和六减二 a。 然后我们也带到这个反比的函数里面去吧，也就是纵坐标是六减二 a 要等于一个 二加上一个二 a 分 之十二，这样我们就去把这个 a 来解一下吧， 减一下哈，六减二 a 括号， 这个约一下，这个约一下哈，这是一，这是六，就把这个下面再乘过来，乘到等号左边来，就这样吧。然后， 嗯，其实还能再约一个三，三减 a， 一 加 a， 两边都除以二哈，这样等于三，这就是 三加上三， a 减 a 减 a 的 平方等于三哦，两边的三又约掉了啊， 也就是我们都把这个符号都移到右边来吧。 a 的 平方，这个是个二， a， 哈，那就减二， a 等于零，所以 a 一 等于零，这个我们可以舍了哈， a 二就等于二啊，这个 a 就 可以取这个，其实我这是省了一步， 我把每一步都写出来吧，对吧？你一是分解成这两个相乘等于零，那一，那肯定是里面的某一个是零，这样就直接解出来，是吧？所以这个 a 就 等于二，这是第一问。嗯，我们看一下第二问， 第二问呢？呃，其实也是要把那个坐标求出来，然后带到反比例函数里面去，就能把这个 m n 解出来吧？啊， 而且是两个方程都要带进去。我们看，我们先说 a， 我 们把这个擦了，把右边擦了，它现在改了，改了，现在说 a 是 m n， a 是 m n 啊，然后那个 a 是 一，就是正正方形的边长是一，那么 b 点坐标就是多少，它 a 等于一，把这个图形往右平移两个长度单位以后，点 a b 同时对应的点。哦，那还要平移，那平移后，我们说平移后啊， a 点的坐标，它是向右平移，对吧？向右平移，那就是它的横坐标加上一个二，纵坐标没变吧，因为它水平方向，它那个纵坐标就不变。然后 b 点，我们先说一开始的这个 b 点啊，一开始的这个 b 点是 横坐标加二，纵坐标减二，那平移以后， b 点的坐标 我们还是一个，我一个一个写出来哈， m 本来是 m， 加上一个二，这是 b 点的横坐标吧，它又往右平移了两个单位，那是不是又加二啊？这个加二是边长 啊？它在 a 的 基础上， m 的 基础上加了二，在这儿一加一就是二，又往右平移两个单位，所以又加了个二，它纵坐标是不是没变？纵坐标是，原来是 n， 它是在 a 点的下面两个单位吧， n 减二吧，也积积 b 点是 m 加上四， n 减二，然后这两个点是不是都在反比的函数上？那我们是不是就把这个都列出来？纵坐标等于横坐标，加上二分之三十五啊？ n 减二等于 m 加上四分之 三十五啊，我们用带入胶原法来试一下， n 等于这个数， n 等于这个注意数，我们就把这个带到这下面来哈。一式带到二式里面来，也就是 m 加上二分之三十五， 减去一个二等于 m 加上四分之三十五， 这样的话，我们把这个方程解一下哈， 换成减一下， 稍微化减一下吧。 m 加上二分之三十五减二， m 减四 等于 m 加上四分之三十五， 这右边就是三十一减二， m 除以 m 加上二等于 三十五，除以 m 加上四，这就就是一个分式方程了。我两边都乘以分母的公倍数，都乘乘完了以后是三十一减二， m， m 加上四等于三十五， m 加上七十， 这样一步一步化减哈，我们可以得出， m 是 等于三，我们再把这带到这个这个一式里面来，那么 n 就 等于三十五，除以一个三 加上二， 也就三十五除以五，也就等于七啊，所以这是那个答案， 这中间有一个根要舍，因为这是个一元二次方程，我就全部写出来了。一元二次方程，它有个解出来是个负数，一个负数，我们就把它舍掉啊，因为这个 a 它是在第一象限，对吧？ m 大 于零， n 大 于零啊，所以有一个根是舍的啊。嗯，所以这是第十八题， 我们接下来看第十九题。 十九题是个统计题、 总结题。第十九题啊， 把这个往这边拉一点啊，它分成了调查了 a、 b、 c、 d 是 每个礼拜锻炼的时间， 看图哈，左边这个柱状图，这个条条状图，这个少了一个 d， 然后这个地方参加扇形图，这个 b 是 占百分之二十，我们看 b 是 多少人呢？ b 是 二十个人，对吧？ 二十个人，然后这里面是百分之二十，我们算总人数的话，应该二十个人，占百分之二十，就二十，除以百分之二十就是总人数吧。啊，那就是一百人吧，所以这个参加调查的总人数是一百人， 然后问 a 所在的圆心角， a 是 十五个人吧？十五个人，所以这个地方是百分之十五，这个圆哈，圆心角一圈是三百六十度，然后你乘以一个百分之十五， 对吧？这是它所占的比例啊，对吧？你要用三百六十度乘以它所占的比例，是不是就是它的圆心角啊，对吧？这样约一下零哈，再约一下 五，这是约了十二，这约的是二哈，在这个五跟这个有约一下，这是三，就全都约了十八乘以三，那就是是五十四度吧。啊， 第二文补全条形统计图，总共人数是一百啊，我们看已经有十五、二十四十，加起来是多少啊？三十五，三十五加四十 七十五，那么 d 这里面就是多少人呢？也就二十五人吧，一百减七十五，那我们就取这个纵坐标，就是人数啊，我们就取这个二十五，大概是这个虚线哈，二十五可以可以，在这画根虚线， 就是在这个二十跟三十中间呢，这，这个是二十五，对吧？然后在这我们把这个补全，对吧？这是 d， 这就是 d 吧啊，它的人数，这个地方你也可以标一下，这是二十五啊， c 啊。第三问，该校八百名出租车，每天体育锻炼的时间不少于一点五小时，不少于一点五小时，我们看是不是。这个我们要选 c 组，还有 d 组啊？ c 是 一点五到两小时， d 是 大约两小时，我们就选 c 跟 d 组，我们看 c 跟 d 大 概占百分之多少？ 其实你不看，你不用看这个右边的扇形图，你，你看这个条条形图也行，条形图四十二十五，一共是一百啊， 那我们这个不少。第三问，是不是就直接用这个八百乘以这个 c、 d 所占的比例啊？四十加上二十五除以总人数一百上面就是就是，我们算出来的话， 这个就是应该是五百二十个人哈。嗯，第四问，根据问卷调查结果，我们看一下这个题， 根据问卷调查结果它它统计啊，它问大家，呃，想增设哪个，然后投乒乓球的是百三十八， 想加跳绳的是百分之二十五，然后另外两个没给，那我们去选哪一个，增加哪一个项目呢？在这四个项目里面选一个，其实是因为它只增加一项吗？那这是写了只增加一项，那我们来看乒乓球占百分之三十八， 我们要增设肯定要增设这个选的人最多的呀。我们其实这个地方我可以把篮球跟排球也能也能那个算出来吧，就是这个选篮球、排球 学生占比， 对吧？应该是百分之百减去百分之三十八，再减去百分之二十五吧，就是剩下的人吧，那么他们其实全部加一起 也就是百分之三十七啊，对吧？这个还要小于百分之三十八，也就是说不管你这个篮球、排球有多少人选，总归乒乓球的人数是最多的，是乒乓球的人数最多的，所以我们就要选这个乒乓球 啊，我们要增设乒乓球，因为它的人数，因为建议它，是因为建议增加它的人数最多 啊，这是第，这是统计题第十九题，我们继续往后看哈。 第二十题， 第二十题是一个三角函数题， 这个题啊， a、 b 等于 b， c 等于二十， c、 d 等于二十四角， b、 c、 d 等于一百四十度。第一问啊， 相对比较简单啊，问扇面 a、 p 和 d、 e 垂直的时候，电风扇的高度是等于还是大于四十四还是小于四？你看四十四怎么来的？其实就是二十跟二十四来的吧，那这个 c、 d 是 二十四， 也就是说你这个它旋转到垂直的时候，是不是这个 a、 p 面正好要是这样竖的，是吧？那你还是这样逆时针旋转吧。逆时针旋转，那现在这是 o、 c 这个点，你逆时针旋转，那是不是 c 点就会转到这来啊？ 啊？我们单独画个图哈，单独画个图，这个第一问就非常简单了，我们看 这地方有一个点，对吧？这个 c、 b 一 开始是这样的 啊，一开始是这样，那这个是二十，这个是二十四，他说转到垂直的时候， 垂直的时候是不是就是个 b 点啊？还有这个 a 点它要转到这个，它这个上方就是要跟这个平了，你看这样啊，就 a 转到这了， b 转到这了， a p 啊，这是 p a p， 你 看 a p 要跟 d e 垂直啊，这是一，这是 d 要这样完全转到竖直的时候，你看这是不是逆时针旋转？ b 到 b 一 撇是逆时针旋转，那这个 c 他是不是也是这样要逆要绕着这个点逆时针旋转呀？而且这个旋转角跟他是一样大的话，可能 c 就， 反正不管怎么说是往上转的，对吧？ 那 c 就 到这了。 bc 这个地方是二十，这个下面这个 cd 这个地方是二十四， 这个 c， 你 看比如 c 在 这逆时针转，是不是往上转呢？转到这，然后这上面是这个二十，这原来这个 c 这个地方下面这个是二十四。 所以你要往往这个逆时针旋转的话，它就会怎么样，它这个到地面的高度，风上的高度怎么样？中间就会增长这一部分，对不对？所以这个这个第一问我们就理解它就可以哈，所以第一问我们直接选 b， 我们看第二问，在图二的状态下，点 a 到 d， e 的 距离，点 a 到 d， e 的 距离啊，我们把这个擦了吧，它图二就是在这个状态下，就是在这个状态下， 然后它里面还给了一个 sin 四十度。其实这个三角函数的题啊，做辅助线挺简单，你就是做横线、做竖线，做横线、做竖线，把这些线都画出来就行啊。 他说 a 到 d 一 的距离，那就是从这个最顶上到最下面的距离呗，是吧？我们看 做横的辅助线啊，对吧？ 把每个点做竖的辅助线啊，都做出来，你要不知道的时候啊，你就，你就做出来把，就相当于把这个打上做标格一样。哎呀，我罗老师教的是万能方法，因为有时候在考场上你去想这个思路啊， 啊，挺难想的，你把每一个点的横横的，竖的，你把这个线都画出来啊，然后你再去看呢，找角度就行了，你看这样看上去是比较麻烦啊，我们不是一下就把它那个弄出来，但是呢，哎， 他这个到地面的高度，那我们是不是能分成好几段呢？啊？我们在这个竖的这个竖线这下面是不是， 你看这样横着画画一条线过来，这是一段哈，这是一段，这中间这又是一段吧，那我们是不是有三段呢？啊？您就把这个辅助线这个横竖打出来，你就很容易看啊，我们算先算第一段， a、 b 等于 b， c 等于二十， 这个地方 c、 d 是 二十四，我们都可以标出来这是二十四。然后这一段呢，因为这个地方它说 b、 c、 d 是 一百四十度，这是个直角，所以这个地方就是 b、 c、 d 是 一百四十度哈，所以这个地方就是就是， 那用这儿还不行，那就用那边啊，用另外一边，这个是五十度， 五十度，但是这个数据没给，没给，但是你跟这个上面这个地方我换个颜色，这个地方是五十度呀，你看这，这个是四十度啊，这个是四十度啊，四十度，这个角， 这个是四十度，嗯，然后这个 b、 c 是 给了，我们是二十，所以你要求你看这个边还有这个角，还有这条边，他们是什么关系啊？ 这个是这个角的相邻的直角边吧，这个是它的斜边吧，所以这个我们说这个 h 一 吧，这个 h 一 是不是就等于 bc 乘以一个 cosine 四十度啊？ 啊？我这个是直接把它写出来的哈，你看这个 h 一 除以一个 bc， 是 不是那个角四十度的相邻的直角边除以斜边呢？啊？ 所以 h 一 直接可以这样写，就是等于二十乘以 cosine 四十度时，零点七六六，哈， 这个是十五点三二厘米。我们再来看上面这个地方， 上面这个这个地方我们换个颜色吧， 放个绿色啊。上面这个三角形是不是要解一下这个 h 二啊？这个 h 二是不是要在这个三角形解？这是个直角，我们看本来这是个矩形啊，本来这是个矩形，差一点，差一点好看一点， 那本来这是个矩形，所以这个角本身也是九十度，对吧？这个角本身是九十度，刚才这是一百四十度至九十度，所以这是五十度，这是四十度，那么这个地方是不是就是五十度，然后这个上面这个角，那是不就能得出它是四十度啊？ 是吧？那么 h 二跟 a b 什么关系啊？ h 二除以 ab 是 不是等于就等于 si 四十多啊？所以 h 二就等于 a b 乘以 si 四十多啊？ 也就等于 a b 是 二十乘以一个 sin 四十度是零点六四三，那这个就等于 十二点八六厘米，那它那个这个状态下， a 到 d， e 的 距离是不是就 h 一 加 h 二，再加这个 c， d 乘以二十四啊？也就这个高度，我们就说这个高度哈， 所以这个高度 h 是 不是等于 h 一 加上 h 二，再加上这个 c、 d 的 高度，是不是就等于 十五点三二加上十二点八六，再加上 c、 d 是 二十四？ 所以这个答案就是五十二点二厘米，它是精确到零点一厘米，那我们就取五十二点二厘米，这是第二十题。第二十题 来，我们接下来看二十一题哈， a、 b 在 圆上，然后 a、 o、 b 是 一百二十度，然后 b、 d 平行于 o、 a、 c、 d 等于二分之 d、 b。 第一问，判断四边形 o、 a、 d、 b 的 形状，这个应该我们目测哈， o、 a 等于 o、 b 啊，而且目测它是平行于四边形，目测它是菱形。那我们怎么正呢？你看它给的这个条件呢？我们就写进去了，因为这个是一百二十度， 那因为两边半径相等啊，所以这也是三十度啊，这也三十度。然后呢，因为 o、 a 平行于 b、 c 啊，所以这也是三十度，对吧？然后这个角， 你看这个角，它是它所对的弧，它是圆周角所对的弧，是这段啊，而这个 a、 o、 b， 它是一百二十度，也就是 a、 b 弧所对的那个圆心角七百二十度，那么它所对的圆周角就是 二百四十度，然后 圆形角是六十度，那它反过来这边对的，那就是一百二十度，也是一百二十度啊，也是一百二十度。 然后根据这个内角相等，内角和是一百八十度，所以这也是三十度。我们就可以得出两条，就是就是 o、 b 是 不是要平行于 a、 d 啊？所以这就是一个菱形啊，这是一种证明方式，可能方式方法有很多种，我们就第一问，是吧？是菱形 啊，因为角 a、 o、 b 等于一百二十度，然后又 o， a 等于 o b， 那 所以角 o、 a、 b 等于角， o， b， a 等于角， 我们再加上这个平行吧，又 b、 d 平行于 o a， 所以 这个角就等于啊，内错角啊， a、 b、 d 都是三十度， 都是三十度， 右角 a、 o、 b 等于一百二十度，那么 a、 b 弧啊，所对 圆周角 是它的半吧，是六十度， 那么那么所以呢？我们说这是 c 吧，那就，所以呢， a、 c、 b 弧，它所对的圆周角所对 圆周角为一百八，减六十度吧，就是一百二十度，即角 a、 d、 b 等于一百二十度，那所以角 b、 a、 d 也就等于一百八十度，减一百二十度，再减一个三十度，是不是就等于三十度啊？ 也就等于了角 o、 b、 a 吧，然后内错角相等，我们就可以得出这条线平行吧， a、 d 平行于 o、 b 吧，那又是吧， o， a 平行于 b、 d， 还有这个一组邻边相等 o、 b， 所以 o、 a、 d、 b 为 菱形，对吧？嗯，这是第一问哈， 我们再看第二问，他说要求证啊，这个 o、 a 是 他的切线，那就证明这个角是九十度。呃，现在看我们，他给了我们条件，我们看哪个条件没用上。 c、 d 等于二分之一的 d， b， 那相当于 c、 d， 也就等于二分之 a、 d 呗， 我看看画画一根辅助线，看，他说等于二分之一，那我们就在这取个点呗。啊，我们把这取一个 q， 我 们刚才已经知道了哈，这边是一百二十度，所以这是六十度，对吧？然后你说它是二分之一，就是 c、 d 等于二分之一的 a、 d， 我 们取这个中点，取这个中点 q， 哈， 那所以这个边就等于这个边，所以这是个等边。三角形，这是也是六十度，那这边就是一百二十度。然后又因为这个这个这个等边，所以这个 c q 就 等于 d q， 也就等于 a q 吧，所以这又是个等幺，所以这边也是个三十度， 然后这边刚才说它三十、三十、三十度，三十度，所以这个是不是加起就是九十度啦？好， 对，就是这样。做辅助线，我们就其实几何题难就难在你不知道怎么做辅助线，那我们就它，因为它给了我们这个 c 的 二分之 d， b， 其实就是 a、 d， 把我们取 a、 d 的 终点在这取啊，取这个 g， 嗯，我们第二，我们写在这， 很多都步骤，我们，呃，因为在讲解，我就不全部写下来哈。这样的话，你看取 a、 d 中点 g 连接 c， g， 那么所以啊，因为上一文我们已经已经知道，因为这个角 a、 d、 b 一 百二十度，所以角 g、 d， c 等于六十度，因为它是互补的嘛，在一根线上互补啊。所以这个 又因为哈，又因为 c、 d 等于二分之一的 d， b， d， b， 刚才我们说是菱形，对吧？菱形，那么也就等于二分之一的 a， d， 也就等于 g、 d 吧，也就 c， d 等于 g、 d， 又加上这个有一个六十度，所以它为等边，所以三角形 g、 d， c 为 等边三角形，那所以角 c、 g、 d 就 等于六十度，那所以角 a、 g、 c 是 不是就等于一百二十度啊？ u， 因为这个， 又因为 c、 g， 它等于 g、 d， 因为是等边嘛，然后又因为它是中点，又等于 a、 g， 那 所以这个 三角形 a、 g、 c 也是个等腰啊，等腰，然后又又 a、 g c 角 a， g， c 是 等于一百二十度，所以角 g a， c 是 不是等于一百八减一百二除以二啊？ 也就等于三十度啊。右角 o a， b， 这是我们前一位已经知道了哈。 b， a， d 等于三十度，所以角 o， a， c 是 不是等于三十度？加三十度，加三十度就等于九十度， 也就所以这个 a c 为圆 o 切线啊，主要是这个辅助线做做出来啊。 那看第三问，连接 o c， 连接 o c， 交 ab 于 m 点， ab 于 m 点，把这个先擦了。 若 o a 等于二，也就是这个半径是二呗。它求 a m 的 长。 a， b， o 连接 o， c， 连接 o， c， 这地方是个 m， 然后让我们求一下这个 a m 的 长度 啊。 j t m m 还不是这个点。我们来看一下， m 是 这个交于 a b 这个点，交于 a b 这个点， 这个地方是 m， 因为这是九十度啊，这是个九十度，这是一，这是二，这是括号三， 我们就放在这个直角三角形里来解它嘛。因为你你这个，我们这个地方，我们可以做一个直角出来，我们简化一下哈，放到下面这个图里来，放到下面在这哈，我们把它简化成一个，一个 简化一下，这样，这是个菱形， 然后这里三十度，这样延长过来，这是一，这是二，这是二，这是二，还是把这个地方连一下，然后这个地方连一下，问这个 m a m 等于多少？ a b c d o 哈，嗯，你看这是一，这是二，这是一直角三角形，对吧？所以这是根号三，这也是个直角三角形，因为切线我们已经证明了。 嗯，他问的是 a m， 问的是这一段，那就是在直角三角形里来解它呗。 我们做在这儿做个辅助线哈。假设这是 x 的 话，假设这是 x 的 话，哈，因为刚才已经知道这三十度吧，所以这个就是二 x， 哈，这个是根号三 x， 这是三十度的那个特殊边呢？一比根号三比二，哈，这根号三 x， 那 这一段呢？是不是就是二减根号三 x， 然后又因为这个角啊？你看这个 x 跟二减根号三 x 是 这个角的什么正切吧。这个正切是多少？正好是根号三除以这个 a o 是 二吧。我们可以列个方程，就是 x 除以一个二减根号三 x 等于 tangent 的 角 a o c 也等于 a c 除以 a o， 对 吧？因为放在这个大直角三角形底下，这是个直角的，它所对的直角边是 a c， 相邻的直角边是 a o， a c 除 a o 是 根号三除以二。我们就把这个 x 解一下吧。啊，二 x 等于二倍的根号， 就是交叉相乘，二 x 等于根号二倍，根号三，再减一个三 x， 那 么 x 就 等于一个 五分之二倍的根号三。这个 x 我 们刚才忘写了，就是设这个是 h 吧，设 m h 为 x， 那好，因为它是 a m， 是 不是那个三十度所对的那个直角边的那个直角三角形里的斜边呢？所以 a m 等于两倍的 h m 也就等于五分之四倍。这地方我们写一下。又因为角 h a m 等于三十度啊，这个角 a h m， 角 a h m 等于九十度，这是个直角三角形，对吧？所以直角三角形以三十度所在的直角边是斜边的一半， 所以斜边就是那个所对直角边的两倍，也就是五分之四倍的根号差。嗯，这是第二十题哈，这是第二十一题。接下来看第二十二题， 他说这么定义，然后说这个是平衡点， 然后一定存在平点，也就你看是不是横坐标跟纵坐标相等啊，也就是 x 等于 y 啊，那我们就看 x 等于 y， 这个 a 是 ok 的， b， 你 看 x 如果等于 y 的 话，你就是 x， 是 不是等于负 x 分 之二，也就是 x 平方又等于负二，这个就误解呀，是吧？还有这个是 一元二次方程，对吧？因为 x 等于 x 平方加一 x 平方减 x 加上一等于零。这个东西没解呀，因为它得它也就等于 b 的 平方减四 a， c 等于一，减四等于负三呢，小于零五解呀啊，五解，所以这个肯定也不行，所以这个不存在平方减。 第二问，若抛物线这个存在平衡点，求 m 的 范围是不是？是不是我们也是把那个 x， 把把 x 等于 y 带进去，然后再用那个让它有解，就是得它要大于等于零啊，去解它的范围就行了啊，我们来写一下哈。第二问， 我就不写得那么详细哈，也就是 x 要等于 x 减 m 的 平方，对吧？如果有平衡点哈，那么 是不是 x 平方减二倍的 m， x 加上 m 的 平方等于 x， 你 再把 x 移过来哈，先放平方向再。嗯，减 或者加吧，减二 m 减 x 减二 m， x 减 x 加上一个 m 的 平方等于零，然后再把这个，那就减二 m 加上一 x 加上 m 的 平方等于零。要有它有解的话，这样就必须是得，而它等于 b d 平方减四 a c。 我 们直接写了啊，二 m 加上一的平方，因为这个负哈，负负得正，我们就不用再写了。 b d 平方减四， a， c 减四， a 是 一，对吧？ c 是 这个东西，也就等于 四 m 的 平方加上一个四 m 加上一个一，减四 m 平方，也就等于四 m 加上一，它必须要怎么样？大于等于零吧。那这样的话，我们得出 m 的 范围是不是大于等于负的四分之一，对吧？ 第三问哈，说它焦点中存在平衡点，焦点啊，两两个那个函数的焦点的话，我们是不是要连力啊？啊？涉及到焦点都是要连力，对吧？连力哈，连力一下来。第三问，连力， 连力一下，也就是 a x 平方减二， a x 加上三， a 等于 a， x 加上一个 a， 连累它哈， 存在平衡点， 存在平衡点。嗯， a x 平方 减三， a x 加上一个二， a 等于零。 嗯，我看是不是解出来这个提一个 a 在 前面的话， x 减一， x 减二是不等于零啊？我们导出 x 一 就等于一， x 二等于二。哦，也就是说你要解出这样的话，要让它存在平衡点，那要不就是 x 一 等于一的话，那么必须 y 也要等于一吧。 那我们就带到带到这个带，这个简单一点哈。带后面这个简单一点，也就是 a 乘以一个一，加上一个 a， 这样的话， a 是 不是等于二分之一啊？ 弱弱 x 等于二为平衡点， 平衡点的话，那就是横坐标，纵坐标相等嘛，那这个纵坐标也必须是二万，那就是 y 二是不是也必须等于二？我们也去看这个 y 二在这，也就是是不是等于 a 乘以横坐标是 二，是吧？二加上了个 a， 那 么这个 a 二是不是就等于三分之二？所以这题就有两个答案，一个两个 a 一 a 二，哈， 我看第三问，若抛物线这个存在两个平衡点，且这个两个平衡点之间的距离是三倍的根号二，然后让我们求一下 m 的 值，这个两个平衡点，其实平衡点就是 x 等于 y， 其实你可以把它看作什么， 是不是可以把它看作那个跟那个的交点呢？也就是第四个，实际上就是跟这个两个交点。你看这个抛物线哈， x 等于，我们把这个图像辅助图像画出来，它是 x 减 m， 那 它就是 当 x 等于 m 是 y 等于零， 然后它的开口是向上的，所以我们画个图辅助一下，假设这个点是 m， 是 吧？然后它与这个 y 等于 x， 其实就是这么一根线，换个颜色吧， 其实就是与与这根线，它的这个焦点，也就是这个地方，其实这个地方是四十五度啊，他说这个地方是三倍的根号二， 那这个是 x 一， 这个是 x 二，两个平衡点，对吧？这个距离是三倍的根号二，那是不是我们可以这样 我看看，因为它，它这个 y 等于 x， 它这个角啊，因为它是平分象限的嘛，一个象限九十度，它平分它呀，所以这是四十五度，所以这是三倍根号二的，其实就相当于是 x 二减 x 一 的绝对值就等于三倍的根号二，乘以个三 x 四十五度吧，也就是等于三吧，对吧？其实它要说的就是这个意思啊， 那我就先连立一下，先连立一下，就是 y 等于 x 减 m 的 平方， y 等于 x， 这样的话就是 x 减 m， 二的平方等于 x。 再整理一下哈， x 平方减二 m， x 减 x 加上 m 的 平方等于零，这里要用到一个技巧，我们有一个 x 平方， x 减 x 二减 x 一 的绝对值，这个它等于啊， 其实等于根号下 x 一 加上 x 二的平方减四倍的 x 一 乘以 x 二，我们要用两根和两根积啊，我们这个地方就把 m 带进去 这个东西，它等于三，然后两根和是负 a 分 之 b， 对 吧？负 a 分 之 b， 负二 m 减一， 这是平方两根七是 a 分 之 c 是 一分之 m 的 平方，这个等于三，也就是等于根号下二 m 加上一符号的平方减四倍的 m 的 平方等于三， 下面就是根号四 m 加上一等于三，那么四 m 加上一等于九，这样的话， m 是 不是就等于二啊？啊，这是第四问的答案，这是稍微用了一个这个技巧啊，所以这个是第二十二题。 m 等于二，这是第四问。