苏北四市一模数学几何

刚考完的徐州、淮安、宿迁、连云港高三一模质量比较高，难度和分值分布很符合近几年的新高考模式，真正有点难度，考题只有三道，而且让人有做高考真题的感受。基础较好的同学正常发挥应该比较容易突破。一百二十分以下考题值得没考过的同学做一做。第七题是很好的基础题。 第八题以往较少遇到，考场上压力会比较大。第十一题含餐分段数列就更陌生了，要沉着冷静。第十四题比较平常，属于高一函数压轴题，明显用来检测一轮复习成果。大题难度在最后两道压轴题，两题都很综合。第十八题虽新颖，但难度并不大， 觉得难的同学大多是平时只会死刷题不思考。第十九题是高考水准，倒数压轴题，前两位就有计算量，第三位融入三角函数和必要性探路，有一定区分度。

苏北四式一模数学绝对会考崩很多孩子，比预想的要难很多。这套卷子含金量非常足，是典型的难而不怪。压轴题不超纲但考得深，中档题不偏题，但考得活，比去年苏北高三期末考试的难度高了一大截。 单选题前六题呢，比较简单，一分都不能丢。第七题呢，不太容易想到对角线互相平分的运用。第八题，这个题型从二十四年 t 八零考之后就一直在考，之前练过这个题的孩子会觉得很简单，但没有见过的就有难度了，考场上估计做不出来 多选题前两题难度不大，但第十一题熟练，难度很高，想拿个全分比较难。填空题第十四题有个陷阱，虽然考的是单调性与极有性的综合运用，但很多同学会忽略。定义域，不太容易算对。 解答题前三题相对简单，要尽量拿满分。第十七题概率可能会卡住一部分同学，但只要你能够区分二项分布和抄几何分布解析就比较容易了。第十八、十九题，这一次出的很残暴，只有第一问比较简单，第二问第三问难度直接拉升，这就是典型的筛选天赋的题目，不会做，不要强求。 总的来说，苏北四十一模这一次难度很大，我估计整体平均分不会太高，能够考到一百二十分以上的，那就算高手了。

下面咱们来看十八题。十八题我认为是一道出的非常好的解析几何题目，比那些多条直线相互交叉，然后疯狂堆砌计算量的题目要高到不知道哪里去。那我们先看一下题干和第一问， 有一个圆 s 方加 y 方等于四，那半径为二。抛物线跟抛物线的准线和这个圆交于 m n 两点，且告诉我们 m 的 长度。第一问求抛物线的方程，那我们 简单画个图，这个图事实上根本就不需要画抛物线，画一个圆，假设这里是抛物线的准线，那上面是 m， 下面是 n， 这里是圆点。 假设 m n 和 x 轴的交点是 a， 那 么如图所示，应该有 o a 的 长度等于二分之屁， o m 等于圆的半径二，然后 am 应该等于 m n 的 一半，也就是二分之根号十五。在 r t 三角形中，咱们使用勾股定律即可。 四分之 p 方加上四分之十五，应该等于四，那这里不难解出， p 方应该等于一，那也即 p 等于一。所以第一问， y 方等于二， x 咱们不再多说，看第二问，已知圆心在 x 轴上，半径为二 n 的 圆 o n 与圆 o n 减一外且且圆 o n 与抛物线 c 有 且仅有两个公共点。第一问证明竖列，二 n 为等差竖列。 那这道题我们就得好好分析一下了。这个题本身计算量其实真的不大，它主要是思维量大。首先你能不能先正确的把相应的图画出来，然后如何翻译圆与抛物线有且仅有两个公点这样一个条件， 那这里我画了一个图，咱们来简单看一下， o 零就是那 x 方加 y 方等于四，那也就是说这块的长度应该是二，对吧？ o 一 跟 o 零外切，并且跟抛物线尤其仅有两个交点，那后面的 o 二跟 o 一 外切，然后跟抛物线有两个交点，这样一直往下走。 这里面有一个非常核心的问题，就是有且仅有两个公点，这个条件我们怎么翻译？因为我们想啊，正常来说，一个圆跟抛物线，是不是他有可能有两个焦点，他有可能没有焦点，或者有四个焦点，这都是有可能的。那么这两个焦点到底应该怎么翻译呢？这个时候我们对 对称性的理解就发挥了重要作用。这套试卷不止在这道题中涉及到圆锥曲线对称性，在单选的第七题 是不是也涉及到对称性啊？同时在填空的十四题也是涉及到函数图像的对称性，对几何性质的考察是比较深刻的。那我们想抛物线 y 方等于二， x， 它本身是不是 c 本身关于 x 轴对称， 同样这个圆 o n， 因为它的圆心在 x 轴上，所以它本身也要关于 x 轴对称， 那么两个都关于 x 轴对称的曲线，如果有且仅有两个交点，那是不是只可能在 第一项线就在这个图中啊？只可能在第一项线有一个，第四项线有一个，并且这两个点还要关于 x 轴对称，这样才能符合题意。 你想想，他绝对不可能说是在第一项线有两个焦点，然后在第四项线没有，这是绝对不可能出现的情况，对吧？ 所以那这个问题就相对好办一些了，我们只需要连立圆和抛物线的方程，然后通过德塔来控制焦点的个数即可。那我们开始研究 设 o n 这个圆， o n 它的圆心 我们不妨设成 x n 零。那么我们应当如何表达 o n 的 方程？ 此时方程应该比较明确，就是 x 减 x n 的 平方加上 y 方等于二 n 的 平方。 好，那么我们将圆跟抛物线方程连立，可以得到 x 减 x n 的 平方，加上 y 方等于二 n 方，然后是 y 方等于二 x， 那这里有一个 y 方，这有一个 y 方，咱们直接替换过去，可以得到 x 方加上二减 x n x， 再加上 x n 方，减去二 n 方等于零。 刚刚已经说过，由对称性，是不是？显然它们的焦点只可能是第一象限一个，然后对称到第四象限也有一个，对吧？所以咱们交代一下这句话。因为 o n 与 c 有 且仅有 结合 o n 与 c 对 称性 一只，这两个焦点，或者说公共点 关于 x 轴对称，那既然关于 x 轴对称， 你这个连立之后的一元二次方程是不是就只可能有一个解？因为你 x 只有等于一个数值，然后对称下来，这样才有两个交点，对吧？那所以 它等于二减 x n 的 平方，减去四倍的 x n 方，减 r n 方，它是不是就只能等于零啊？ 当 r 等于零，意味着有违解，然后对称过来就是第二个焦点，那么当 r 等于零，我们简单整理一下可以得到。 好，那我们下面怎么处理二倍的 x n 等于 r n 的 平方加一，这时候我们看它的问题是啥？问题是证明 r n 是 等差除列，那也就是说我这个数字中我要把 x n 给消掉，对吧？ 那么竖列中 x n 二 n 是 不是有点类似于 s n 跟 a n 的 意思啊？ 那我们在一个式子中，如果既有 s n 又有 a n， 是 不是我们要想办法消掉 s n 啊？那这里最常见的方法是不是构造一个 s n 减一？因此我们这里应该是比较容易想到的。那么当 n 大 于等于二十 二倍的 x n 减一，是不是应该等于二 n 减一的平方再加一， 那么我们由一减二，可以得到二倍的 x n 减去， x n 减一，应该等于二 n 的 平方减去二， n 减一的平方，那右边显然是个平方差公式。那如果要是我们想 得到我们的目标， 我们的目标是 r n 是 等差数列，那也就是这部分它得是定值，对不对？这部分既然是定值，那也就意味着它和它是不是必须得能约掉， 或者说约完之后剩一个常数才能符合？奇异啊？这时候我们再看 x n 减 x n 减一，到底是个啥东西？ 咱们看这个图就可以来，这是 x 二，这是 x 一， 对吧？它们的圆心坐标，它俩相减，是不恰好是它们的半径之合？因为外切嘛，是不是应该是二一加二二， 那不难理解， x n 减 x n 减一，是不？其实它就是半径之和， r n 加上 r n 减一，然后等于右边的 r n 减 r n 减一，再乘以 r n 加上 r n 加一， 那由于 r 是 半径，半径显然不可能是负数或者为零，对吧？那么 r n 加 r n 加一，肯定是可以消掉的。两边约掉之后，可以得到 r n 减去， r n 减一等于二，那后一项减前一项等于一个固定的常数，自然就可以得知，故 r n 为等差数列。 这是第一小问，下面咱们来看最后一问， 他说过点 o n 作斜率为一的直线， l 交抛物线于 ab 两点，且 ab 的 长度等于二十二倍，根号六，求 n 的 值。那最后这道题，它的思路其实比较清晰的，相当于告诉我们了 直线的斜率，也就是直线的方程，当然要有，要有 x n 作为未知数，同时告诉我们弦长，那我们肯定要用弦长公式去把 ab 算出来，这样应该能解得 o n 的 横坐标，也就是 x n， 再根据前面的等差数列来求得最后答案。 我们这道题，甚至我们不用画图，直接写就可以， 尤其 那我们设 ab 的 方程，由于它是过 x 轴上一点，所以咱们反射直线即可。 x 等于 y， 加上 x n， 斜率为一，那本来我们设 y 等于 k， x 加 m 和 y 等于 m， y 加 n， 这里面的 k 跟 m 是 不是应该是互为倒数的关系啊？但是因为斜率为一，它的倒数也是一，所以直接写 x 等于 y 加 x n 即可。那么然后咱们连立 这条直线和抛物线， y 方等于二， x， 方程非常简单， y 方等减二， y 减去二， x， n 等于零。那伟大定律， y 一 加 y 二等于二， y 一， y 二等于负二 x n。 然后我们来表达 ab 的 长度， ab 根据弦长公式，根号下，一加上一的平方乘以 y 二减 y 一。 那最常见的伟大定律处理方法，根号下， 这里我们简单整理一下，应该是四加上八倍的 x n， 然后它应该等于其干的条件二十二倍，根号六，那这里不难解得，故 x n 应该等于一百八十一， 那我们解得了原新的坐标之后，现在问我们 n 的 值，那肯定要用到前面的竖列，对吧？目前我们第二问已经证明了 它是一个公差为二的等差数列，但是它的首项是几我们还不知道，对吧？所以肯定要求一下手项，这样就可以求得整个等差数列的通项公式，然后再来研究 x n 的 事情。 那么我们知道元 o 一 o 一， 它的元心坐标是不是这块是二，这块是二一啊？所以它的元心坐标应该是二加上 r 一， 对吧？那我们先来用 o 一 跟抛物线，单差等于零，算一下二一等于几？ x 减去二，加上二一的平方， 加上 y 方等于二一方，然后 y 方等于二。 x 连立下，我们可以得到 x 方减去二，加上二倍的二一， x 加四，再加上四倍的二一等于零，那由单数等于零， 我们可以得到二一应该等于三。再结合 上一问，公差为二，我们可以直接得到 r n， 应该等于 r n 加一。好，那么得到它的图像公式之后，咱们再来看这个 x n， 它到底等于个啥东西？ 其实我们在做上一问的时候已经帮大家分析过了，先看 o 一 啊， o 一 就等于 r 加上二一二加上 r 一， 对吧。 然后从 o 一 到 o 二，是不是相当于又加了一个 r 一 和 r， 那 相应的从 o 二到 o 三，是不是相当于再加一个 r 二加 r 三，那这样一直加下去，是不是应该加到 r n 减一，再加上 r n？ 这时候咱们简单整理合并一下，那你会发现手相的这个二是没法动的， 这里面是不是两倍的 r 一， 两倍的 r 二，这个 r n 减一的前面是不是应该还有一个 r n 减二加 r n 减一，所以它是一个两倍的 r 一 加上 r 二，一直加加加加到 r n 减一，最后再加上 r n， 那这个东西是不是就相当于是竖列 r n 的 前 n 减一项和，那我们是不是直接可以套用等差竖列的前 n 项公式啊？来二加上二倍的，这个咱们就用首项乘末项啊。首项加末项，乘项数除以二即可。二分之 首项阿，一刚刚已经算出来，等于三加上末项，末项是二， n 减一，相当于这个式子中的把 n 换成 n 减一 以及二 n 减一，对吧？首项加末项，然后乘以项数，注意，这是 n 减一项，不是 n 项再除以二，然后加上二 n 二 n 刚刚算过二 n 加一， 那这里简单计算整理一下，应该是二加上二， n 加二，再乘以 n 减一，加上二， n 加一，应该等于二， n 方加上二， n 加一， 那这样我们前面已经求出了 x n 等于幺八幺，现在 x n 又等于它，所以 二 n 方加上二， n 加一等于一百八十一。简单化简一下，就是 n 方加 n 减九十等于零，那这个式子非常容易因式分解， 显然 n 只能等于九，不可能等于负十，对吧？这样这道题就结束了。 我强烈建议同学们把这道题好好的总结整理一下。这道题目是非常符合新高考趋势的计算量，其实大家看来 这两问都不是非常大，对吧？主要是考察思维量，就是你能不能想到要这么做，同时要利用对称性等一些几何图形的基本性质去建立一些等量关系。

下面咱们来看解答题，解答题的前三道都还是比较基础的，咱们先看十五题，已知函数 f x 等于的最小正周期为二派。低问求欧米伽，那很明显这里有一个撒一方，所以我们用一下降密公式，最后再使用辅助角，应该就能把 f x 解出来。 f x 等于根号三 sin 二欧米伽 x 这个照抄减去二乘以 sin 方，应该写成将密的话是二分之一减 cosine 二倍的 omega x， 简单化简一下，就是根号三 二欧米伽 x 加上 cosine 二欧米伽 x， 然后再减一。 前面使用辅助角公式二倍的 sine 二 omega x 加上六分之 pi， 然后再减一。 题目中说最小正周期为二 pi， 那 t 应该等于二 pi 除以。这里要注意，我们平常记的是 t 等于二 pi 除以 omega， 但事实上应该是这里 x 前面的系数，因此这里要除以二 omega， 而不能除以 omega。 那简单计算一下，等于二派，所以欧米伽应该等于二分之一。 第二问给了我们两个条件，一个是解三角形的常见条件，还有一个 f a 等于一，那么这两个条件应该能求出关于三角形的两个参数，然后再把面积表达一下，应该就结束了。 先看我们画线这个式子，这个式子大家观察一下根号三 c cos b 跟根号三 b cos c， 那 它是不是正弦定里之后，事实上再把它移到右边，就是根号三倍的散远 b 加 c， 那 也就是根号三倍的散 a， 而左边恰好就是散 a， 是 不是就应该已经结束了？ 尤其 先用一部正弦定理，然后把那个括号打开，就是二倍的 sine a cosine b 减去根号三倍的 sine c cosine b 等于根号三倍的 sine b cosine c。 之后我们选择一项二倍的 sine a cosine b 等于根号三倍的 sine c 扩散 b， 那 很明显，右边应该是根号三倍的散 b 加 c， 也即根号三倍的散 a。 在 三角形中，显然散 a 不 等于零，因此我两边可以同时除掉散 a， 那 也即二倍的扩散 b 等于根号三 cosine b 等于二分之，根号三，所以 b 等于六分之派，这是这个条件的转化。还有一个条件是 f a 等于一，那我们计算一下即可， f a 应该等于二倍的 sine。 当 omega 等于二分之一的时候，实质上就是 x 加六分之派，对吧？那就是 a 加上六分之派，再减一，它现在应该等于一，那简单计算一下，就是 六分之派等于二。 sine a 加六分之派 等于一，那我们知道，在三角形范围内，这个三二分之派是等于一的，所以我们可以解得， a 加六分之派应当等于二分之派，所以 a 等于三分之派。 此时我们观察一下， a 等于六十度， b 等于三十度，那 c 是 不是应该等于九十度啊？也就是说，这个三角形是个 r t 三角形，对吧？故 c 等于二分之派，那它既然是 r t 三角形，我们旁边简单画个图， a b 这是六十，这是三十， 那它的面积是不是其实就应该等于二分之一 ab， 而由于三十、六十、九十的关系，所以 a 应该等于根号三 b， 对 吧？因此 s 三角形 abc 应该等于 a b c， 而 a 又等于根号三 b， 所以 应该是二分之根号三 b 方乘以 sin 二分之派。题目中说这个面积等于二分之，根号三， 那我们可以直接解得 b 等于一。好，这是十五题。总的来说，这道题是比较基础的一道题目，大家只要正常做，应该都能拿到满分。 下面咱们看十六题说在三棱锥 a、 杠 b、 c、 d 中， abd 是 边长为二的等边三角形，那我们先标一下 e 是 b、 d 的 中点，那 a、 e 就 应该是三线合一， bc 等于根号二， ac 等于二角， dbc 等于四十五度， 那这个四十五度这个条件给的就略微有点明显，因为 b、 d 本身就是二，对吧？那 b、 c 又是根号，这又是四十五度，所以应该是一个直角三角形。第一问，让我们证明 a、 e 垂直于 bc， 现在 a、 e 本身就已经垂直于 bc 了，由于等腰三角形三线合一，它要再垂直于 bc， 那 就说明 a、 e 是 垂直于底面的， 而 a、 e 垂直于底面，这里看起来好像应该通过证明 a、 e 垂直于 c、 e 来实现，那因此我们现在需要知道 c、 e 的 长度，从而我们就有了解这道题的思路。 首先我们先用四十五度加根号二加二，也就是 b、 c、 b、 d 和角 d， b、 c 用一下域线定律来解一下 c、 d 的 长度，因为这个题的数值，我们猜测 b、 c、 d， 它应该是个直角三角形，对吧？所以在 三角形 b、 c、 d 中，由域线定律 我们可以得到， cd 的 平方应该等于 bc 方，加上 bd 方，再减去二倍的 bc 乘以 bd 以及 cosine 角 dbc。 只有咱们把数值代入 bc 的 平方二， bd 的 平方四减去， 那这里我们算一下二加四十六，然后根号跟根号跟下面那个二约掉，那也即等于二，那既然 c、 d 平方等于二，所以 c、 d 应该等于根号， 那此时 bc 方加 c、 d 方，当然等于 b、 d 的 平方，因此这就是一个直角三角形。 那然后其实这个题就已经结束了，因为 e 是 b、 d 的 中点，那 c、 e 相当于是直角三角形斜边上的中线，对吧？所以 e 为 b， d 中点，所以 c、 e 等于二分之一， b、 d 等于一， 那此时 c、 e 等于一， a、 e 又是正三角形的高，它应该等于根号三，那一根号三二显然是一个直角三角形，对吧？那么已知 a、 e 等于根号三，故 c、 e 方加上 a， e 方等于 a， c 方，即 a、 e 垂直于 c、 e， 那 因为 a、 e 垂直于 c， e， a， e 垂直于 b， d， c、 e 交 b、 d 等于 e， 那 我们可以推知 a、 e 垂直于底面 b、 c、 d， 那自然 a、 e 就 垂直于 bc。 好， 这是第一问，那我们看一下第二问，第二问，说点 f 在 c、 d 上二面角 d 杠 a， b 杠 f 的 正切值是五分之二倍，根号三，让我们求点 f 到平面 abc 的 距离。 这个题我们总的来说有两个思路，第一个思路就是用空间向量， 这是再常见不过的思路，这个题因为非常的周正，而且间隙是非常好建的，对吧？咱们就以 e、 a、 e、 d 和 e、 c 分 别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，然后 e 是 圆点， 点 f 在 棱 c、 d 上，所以我们可以选择射，比如说 d、 f 向量等于朗姆大倍的 d、 c 向量 分别表示出点的坐标，然后利用二面角的正切值解除朗姆大，最后再用点到平面的距离，用向量的方式把它算出来没有问题， 但是这个方法有点过于老生常谈了，相信大家做每道立体几何集的时候都是这个样子，所以这里我还是给大家 讲一下思路。二，就是用二面角的平面角来做二面角的平面角。 这个方法我觉得可能用的同学不会太多，但在有些题目中还是非常好用的。那我把项链这些箭头先擦一下，咱们重新来画一下图。 好，我们想二面角的平面角，那你是不是得先去找这个二面角的公共的棱啊？那具体到这个题是不是就是 ab 啊？ 然后我们是不是想办法在这两个平面内，就是 abd 和 abf 都往 ab 做垂线，然后就可以形成二面角的平面角。 那么具体应该怎么做呢？我们尝试一下，比如说过 f 做 f g， 这我红笔写的更醒悟一点，比如说做 f g 垂直于 b d 于点 g， 然后再做 g h 垂直于 ab 于点 h， 这时候咱们来看一下能不能确定二面角的平面角到底是哪一个。 好，我们先写一下，做 f g 垂直于 b d 交， b d 于 g， 做 g h 垂直于 ab 交。 那么我们来简单证明一下，这个证明还是比较好证的，因为经过第一问， 由已知 a e 垂直于平面 b c d， 故 a e 是 垂直于 f g 的， 那又因为 f g 本身垂直于 b d， 这里我就稍微写的快点，所以我们可以直接垂直 f g 是 垂直于平面 a b d 的， 因为有 b d 和 a e 两条相交直线，对吧？那因此我们可以得知 f g， 它就垂直于直线 ab， 那既然 f g 垂直于 ab， gh 也垂直于 ab， 那 所以 f g f h g 是 不就是这个二面角的平面角？因此故角 f h g 即为 那个角是 d 杠 ab 杠 f d 杠 ab 的 平面角。 那么接下来咱们要解决的问题就是这些个边的比例， 此时我们看到它说这个角的正切值是五分之二倍，根号三。那我们看啊， f h g 它本身就是一个直角三角形，对吧？就是这里是一个直角， 那因此它的正切直角 f h g 的 正切是不是事实上就是 f g 比上 g h 啊？因为相当于是对比邻，对吧？ f g 比上 g h， 故 f g 比上 g h 应该等于二倍，根号三比五。 那现在我们来设一下线段的长度，因为现在已经知道了比值，所以我们设 f g 等于二倍，根号三 x， g h 等于五 x。 现在我们需要解一下对应的 x 等于几。那我们再看图。 首先 d g 是 不是应该等于 f g 啊？因为这个角是四十五度，而这里又是直角，对吧？ d g 等于 f g， 这是一个建立呃关系式的条件。 与此同时，题目是等边三角形，所以这个角应该是六十度，对吧？就是角 h b g 应该是六十度，而 h g 的 长度我们现在是设出来的是五 x， 所以 根据三角函数的关系，我们也可以表示出 b g， 那因此我们可以得到 b g 应该是等于 h。 我 这里把字母写的统一一点，等于 g h 比上三六十度。 简单计算一下，就是十 x 除以根号三。而 g d 是 不是应该等于 f g 等于二倍，根号三 x， 那 由于 b g 跟 g d 它们的相加应该等于 b d 等于二，对不对？故 b d 等于 b g 加上 g， d 等于二，等于根号三分之十 x 加上二倍根号三 x， 那 这样我们可以解得 x 等于八分之根号三。那在解出 x 之后，下面我们是不是就要去算点到平面的距离？ 那我们看一下 f 到 abc 的 距离，直接算的话，其实在几何上并不算特别好算。但是我们是不是可以使用最经典的等体积法？因为 f abc 作为一个三棱锥的体积，它是不是还可以写成 a 杠 bcf 啊？而 a 杠 bcf 这个体积是不是非常好求啊？它的高就是 a e， 而 bcf 显然是可以通过底面三角形来表示出来的，因此我们使用一下等体积法。 那么使用等体积法的话，最终还是需要求 f 杠 abc 的 体积，也就是说需要求三角形 abc 的 面积，对吧？而 abc 的 三条边长我们是知道的，分别是二、二和根号二，可以使用预先定义，先求一下嗯，角度，然后再求它的面积即可。 好的，我们看啊，解到 x 等于八分之根号三之后，我们先求一下三角形 abc 的 面积。在三角形 abc 中， bc 方等于 ab 方，加上 ac 方，减去二倍的 ab 乘以 ac， 再乘以扩散 a。 将具体的数值代入，我们可以解得 扩散 a 应该等于四分之三，那相应的三 a 就 等于四分之根号七。所以 s 三角形 a、 b、 c 应该等于 二分之一，乘以 ab， 乘以 ac， 再乘以三 a。 简单计算一下，应该等于二分之根号七。 那么有了三角形 a、 b、 c 的 面积之后，下面是不是还要求一下三角形 b、 c、 f 的 面积？那由 x 等于八分之根号三，一只 d f 比上 d c 应该等于四分之三，那因此三角形 b c f s 三角形 bcf 是 不是应该等于四分之一倍的 s 三角形 bcd？ 因为我们可以看到 bcf 跟 bcd 它们的呃，如果把 cd 看成底的话， cd 和 cf 看成底，是不是它们高是一样的呀？因此它们的面积之比是不是就等于底边之比啊？而整个三角形 bcd 的 面积是 cd 也是根号，那二分之一乘根号乘根号是不等于一啊，因此这里它就等于四分之一。那么接下来咱们使用等体积法， v a 杠 b c f 是 不是应该等于 v f 杠 abc， 对于 v a 杠 b c f， 我 们应该等于三分之一乘以 s 三角形 b c f 咱们刚刚算过等于四分之一，高应该就是 a e， 对 吧？根号三， 而 f 杠 abc 应该是三分之一乘以底。面积刚刚算过，等于二分之根号七， 再乘以我们现在要求的 f 到 abc 的 距离 d， 那 这样我们可以解得 d 应该等于十四分之，根号二十一，这样这道题就结束了。 这个方法跟空间向量的方法相比，我们来说他们的优势和劣势。对于空间向量来说，它的优势就是思考量比较小， 或者说直白点就是大家无脑见戏计算即可，本身做的过程中比较枯燥，嗯，但是它的好处就是你不需要去绞尽脑汁的想这个题该怎么做，因为这道题本身见戏是非常容易的，题目中有现成的三垂直，见完戏之后坐标也是比较好写的， 那么它的麻烦之处可能就是计算量要稍微大一些，而我们用几何的方法，它计算量相对于空间向量可能会小一点，但是需要一些思考量。那么在具体做题当中使用哪种方法，请同学们根据自己的实际情况酌情选择。 下面咱们看十七题。现有除颜色外都相同的三个红球，三个白球随机取三个球放入不透明的袋子中，那么相当于是六取三，六取三的话，这显然应该是个抄几个分布，对吧？相当于红球跟白球，就是正品跟次品的意思， 即带中红球个数为 x 零，然后从带中随机摸出一球，并换入另一种颜色。那也就是说，如果你摸的是红的，相当于就是红球数量减一，然后白球数量要加一，反之亦然。经过 n 次魔幻，带中红球数即为 x n。 那 我们先看第一问， 求 ps 零等于零和 ps 零等于二。嗯， ps 零等于零的意思就是说，我从三红三白中随机摸三个，然后现在一个红球都没有，那说实在点，是不就是三个都是白球啊？标准的抄几个分布咱们直接写就可以。 p x 零等于零，应该是 c 六三分之，那既然没有红，相当于三个都是白，也即 c 三三。 c 六三，我们知道等于二十， c 三三是一，然后 p x 零等于二。那同样的方法， c 六三分之 两个红球，那就是 c 三二乘以 c 三一分母还是二十分子的话， c 三二跟 c 三一一样都是三，所以等于九。 这里要注意啊，如果你算出来那个答案可以约分的话，千万不要就这样写，那这里因为是不能约分，所以咱们保留二十分之九即可。 好，这是第一问，因为如果他本身是完整的一个问题，就像这道题，第一问他就是求两个数，如果你的答案没有约分，那是肯定要扣分的。 如果说，比如说你算这个 ps 零等于二，他仅仅是解这道题的一个过程，而并非最终答案，那么你没约分是没有问题，但是这里是必须要约分的。好，接下来咱们看第二问。 说求 p x 一 等于一。 x 一 等于一的意思就是说我现在已经取完三个球了，然后要经过一次摸换，摸换完之后 袋中有一个红球，那我们来分析一下是怎么样能做到袋中有一个红球？由于摸换之后，相当于是必然要减一和加一，对不对？那我们举个例子啊，比如说如果你本来是三白， 此时你选择摸换，那是不是百分之百摸到白球，然后要放入另一个颜色的球，就放一个红球，那此时就会变成两白一红， 那么显然三白是符合提议的，对吧？那还有什么可能呢？那如果要是你摸到了是红球，再换成白球，是不是同样也会有可能 x 一 等于一， 那么摸红球换白球，结果要求红球是一个，那是不是本身红球要有两个？所以是不是有一种可能是两红一白？ 此时如果你摸了红球，再换回白球，是不是就会有一红两白，这也是一红的可能，除此之外，是不是没有其他可能了？ 那因此咱们来计算，这个 p x 等于一， p x 一 等于一，应该等于 先从三白开始，如果是三白的话，那首先是不是得他本身是三白，而三白的概率我们会发现，第一问，是不是已经算了，所以他应该等于 p x 零等于零，本身是三白，然后再抽，那么 三白的情况下，你是不是百分之百可以摸到白球？因此这种情况下，他的概率就是一， 然后再加上还有种可能就是本身是两红一白，那你会发现两红一白的概率是不是刚才也算过了，所以他直接就是 p x 零等于二，再乘以 两红一白。如果想变成一红两白，是不是这次必须要摸到红球，那么两红一白中摸到红球概率是不是应该是三分之二？那么简单计算一下，二十分之一加上 二十分之九乘以三分之二，简单计算一下，答案是二十分之七。 这个第二问，由于它比较明显，所以我这里并没有摆全概率公式，当然事实上，如果要是严谨来说的话，需要把全概率公式摆在上面。第三问，当 x 零等于一时，求随机变量 x 二的数学期望， 那我们要求 x 二，首先得考虑 x 一， 对吧？当 x 零等于一时， 我用红笔写一下啊， x 零等于一，此时是不是意味着一红两白？那么我们想象一下， x 一 是个什么情况？ x 一， 如果你摸到了红球，那 x 一 是不是就是三白啊？或者说这个此时是三白，那三白的话， x 一 是不是应该等于零啊？那如果你摸到了白球，那此时是不是再放进去一个红球，就是两红一白，那对应的 x 一 是不是应该等于二？ 那其实我们可以发现，是不是给定一个 x 零，或者说 x 一， 那么他的下一次是不是的数字只可能是当前数字加一或者减一，因为你摸到了红球，那就减一。如果摸到了白球，是不是加一啊？那也就是零或二， 那相应的 x 二，它应该等于几呢？零加一是不就是一？二减一也是一，也就是说，一个可能是一，还有一个可能是二加一，也即三。并且概率也是比较好计算的。 p x 一 等于零 来 x 一 等于零，是不意味着一红两白中我摸到了红球，那概率是不？当然是三分之一。 p x 一 如果等于二，那就是一红两白中我摸到了白球，应该是三分之二。那接下来咱们来计算 p x 二。 如果 p x 二等于一，那它是不是应该分两种情况，就是是从 x 一 等于零变成 x 二等于一，以及 x 一 等于二变成 x 二等于一。 因为零根二，零加一是一，二减一是一，零和二，它都有可能变成一。所以要分两种情况，还是用最基本的全概公式，它应该等于 p x 一 等于零，再乘以， 如果 x 一 等于零的话，是不是他百分之百， x 二一定等于一？因为三百你肯定只能摸到白球，所以此时 x 二必然为一。 再加上，如果 x 一 等于二，现在二减一等于一，也就是说他是两个红球，一个白球中你摸到了红球，所以概率应该是三分之二， 那将对应的数值代入三分之一乘以一，加上三分之二乘以三分之二，等于九分之七。 p x 二等于三，因为 x 二总共就两种可能，要么是一或者是三，那所以直接就写成一减。 p x 二等于一等于一，减九分之七， 那相应的 e x 二就应该等于一乘以九分之七，加上三乘以九分之二等于九分之十三。 我认为这道题其实难度还是说实话比较低的。嗯，跟上一道利息几何题相比，我觉得可能把它们俩顺序调换一下会更好。 上道利息几何，如果我们使用向量法的话，它还是有一些计算量的，而如果我们使用几何法的话，它还是有一些思维量，所以这两道题调换一下可能会更加合适。

现在是二零二六年一月三十号，距离二六年高考仅剩一百二十七天九小时，没想到吧，我也要去参加高考，看到没有 高某，然后看这个时间突然有点紧张，然后赶紧搞套模拟卷写一写，看一下苏北四式的硬核卷子啊。然后我们简要分析一下， 首先写完之后啊，前六题还是正儿八经的一些常规题目啊，集合复述，梳理充分，必要条件、信性相关，以及基本不等式跟 正在分布的一个结合。我觉得就是这个第五题可以选项更精进一点，残差到底是真减假还是假减真，搞个复数选项来恶心一下大家啊，所以前面三十分还是平铺指数啊，相对比较简单一点。然后从第七题啊， 如果说对答案就说，哎，第七题中档题我们只要把它算出来就可以了。第八题三小函数带你去算一算得了呗，好，但是写完之后的真实感受是什么？第七题比较烦人， 其实你把这个正方形啊，就是找出来，在没写出来之前其实不太好找，因为你这个正方形正常很多，会陷入一个误区啊，就是这种学的越多越容易翻车， 或是写了一半这种半尴尬的状态才是最烦人的。有人说啊，这个有没有可能参数方程好，请知道的选手把椭圆参数方程的 c 大 小的几何意义 发在评论区给我看一看。瞧这个题啊，你正儿八经去写完之后，你才发现，其实就是一个一元二元一次方程组啊。你可以把这个 a 点坐标跟 c 点坐标这个算出来，算完之后通过向量，哎，把这个 b 点坐标写出来之后，正好这个点也在椭圆上面就可以了。是，这东西是嘴炮啊，那感觉上说起来就很轻松。但是正儿八经写的时候，很多人对于这个 x 平方除以 a 方 等于一，跟 y 平方除以 a 方加上 x 平方除以 b 方等于一，其实大家不太喜欢，想去把它算出来，好，算完这里发现，哎，这个图形椭圆上下对称啊，对不？它又不是关于圆点完全对称，说白了你可以知道 a c 两个点， 哎，不就关于上下 x 轴对称吗，对吧，你直接把这个正方形给画出来也可以的。所以有些时候吧，写完之后发现，哦，其实可以投机取巧，考试的时候不一定要完全玩出来取巧，搞出个答案出来就可以了。就好比你看这个单选题，你说这答案一定对啊，你上下对称啊， 另外一个点正好在这个曲线上面，得了吗？因为求的是离心率，不就是什么，你看哪个形状椭圆符合不就可以了吗？好，第八题啊，这个题干条件其实入眼可见啊，苦三除以一减三跟一加三除以苦三啊，质量相等的对吧，以及 前半节可以化成弹性的二分之九相关，跟四十五度经结合一下啊，然后怎么就把这个数字带进去算？这个题目我感觉 七跟八对调一下可能会更友好一点。第八题还是可以操作的啊，第一眼也知道这个绊脚公式其实也可以称之为万能公式。 第二个的话就是，反正是带进去算的话，就相差二分之派吧，对吧？有个二分，呃，有个四分之派，然后他添加在相等，对吧。你可以相差 k 派啊。那你可以同时乘二啊，这样子的话，单选择题的话七个应该是能操作的 啊。七个题目可以操作出来，然后第八个就是这个第七题啊，我心目中应该是把第七题放在最后一个对吧。可能不太好想，但是换而言之是什么？这个会人 上下对称，直接把它算出来。这第七题还不如个第六题呢，对吧。所以说会者不难，难者不会好。下面就是多选题啊，九根十比较常规，第十题的倒数选项头一法 就比较轻松的。外界球经典题型啊，吸引全军变的模型吗？这一定要去背模型啊。第十一题感受一下，反正倒角形啊。呃，懒得写了， abc 还是非常好理解的。 说白就什么就前二 m 项是分基友的，后面直接往前搞周期就可以了，再写这么多废话，就这么个意思啊，就倒角形如果在考试的时候可以暂时先不搞呃，往后看也行的，这样子多一题。呃，扣个两分呗， 只要熟练工扣两分就可以了，加上到我学校不该学不读呗，考试就选上两分得了啊。十二跟十三十二题平行，轻松。十三题这种投影向量问题很多都会默公式，但你默公式会忘记这个 b 向量，不知道原来上面是个 b 向量 m n 如果是容易写的比较复杂。其实什么这边有一个跟 b 向量投影相是什么跟它平行啊。所以说 b 向量可以更精进一点。好奇都好奇。十字题啊，就是说不能把它当成高一题啊。这个题没有那么轻松，第一要考虑定域，这样才能把 b 给他算出来， 然后再去把 a 给他算出来啊，算完之后他是分布在同左同右还是一左一右 啊，就把它去理一理。像这个题目十字题就要去稍微耐心一点，很容易写，一写就，哎，另外一半写错了，你看好定语到底分布在左右两侧啊。好，这就是选填啊。然后大题的话第一个 轻松十六题经典的动点在线上运动啊，据说我们一般这个有个什么小技巧呢？就是说，呃，你可以把法线上除一下，比方说大家都有个一减两除一下，把它一减两百分之二加两百，看下整体啊这一类操作。那之前我看到一个二十九人有个题目啊，还挺搞人心态的， 他正好还是个零界值，一个是零还是一来着，他除完之后的方程就无解，对吧？所以说愿意除其实就奔着单变量去，不愿意除代值算也可以啊。然后十七题看着很唬人啊，实质就是一个简单的概率题。然后十八题这个竖列跟 抛物线进行结合的题。老项目的，以前什么书店里面放一个。呃，什么抛物线里面搞了一个等腰三角形吧，好像等等边三角形。我们现在去搞一下地推公式，就有点马可夫线这个感觉啊。其实找地推呗 啊，一个是 x r n 加一跟 r n 找一个梯形公式就可以了啊。然后十九题除了最后一万不好搞之外，我觉得前两万还是比较轻松的。一个极小知识点要单独讨论一下啊。极小，先增后减为极大， 先减后增为极小。第二个是什么？就是说三次函数零点问题嘛，其实它可以一次分解，一次分解之后，因为 k 一 比零， k 二都不等于零， 那意味着二一定是什么？就是 x 二呗，对吧？所以这个题一二两还是比较轻松啊。第三问不会写。拉倒呗，没什么影响啊。所以这个卷子啊，就是小题 稍微有点恶心人，就大家写的时候比较烦躁，有的时候吧，要稍微平息静气的去给他去写一写吧，你会发现后面反而会稍微轻松一点。还有就是该跳就跳，跳完之后回去再收拾一些让你比较烦躁的题目就可以了。好，希望大家扣上上，一起有一个好的发挥。

与苏北四市同步开考的还有南通一模，泰州、镇江和盐城也一起考。难题分布上也是完全与新高考一卷类似，一轮复习较好的同学完全可以冲刺一百四十。全卷都有点侧重考察多思少算，尤 其是压轴难题，都未堆计算量，这一点非常好。选填题中第八题的例题几何压轴小题难度较大，但比较传统多选。第十一题虽然是数列新定义题，但实质上还是常规的数列增减问题，递选项区分度较大，计算量较大。 填空的第十四题是传统江苏卷爱考的向量压轴题，涉及阿是圆，难度较大，但套路也比较明显。解答题前三题中中下成绩，考生要重视。第十七题，近几年的真题也都在增加三角函数的比重， 两道压轴大题都有新颖度。其中第十八题难度可控，主要考察对称在解析几何中的计算。第十九题是一道很优质的导数与数列结合题，第三问区分度较大。

昨天有私信，有人私信我，让我做一下苏北四式的这个这个高三的这个一模卷子，这个好像是江苏那边的卷子， 他说这样卷子比较难，今天我们来看一下我这张试卷，其实时间已经超时了，多花了五分钟，相当于我花了两个小时零五分钟也没有做完，反正是把那个到最后一题的第二步了，所以说我就给自己延时了五分钟，并没有在规定时间内完成。 好，我们来看一下这样实验怎么样。其实这样实验呢，感觉就挺难的呢，没有很多基础都都在感觉在叠计算量呀。 b， b， a， d 前四题对的， a， c， d， c 好 像单元里面全对的，其实这个单选花的时间有点长，其实这个第八题我感觉 以前感觉在哪见过，但是现在一第感觉再次接触，感觉做了很长时间啊，这得花的时间比较长。我看多远题好，第一题好像全错。 a， c， a， c， d， b， c， d 第一题第一题怎么选？ a， c 啊，这 我 r 六啊，这各项系数看着二项二项式系数啊，这看错了。 a， c， d， b， c， d 这个十一题第一页上没看啊，题目都没看，其实压根就没看，我感觉很复杂，就没选了，没敢写了，估计也写不出来。 这个十一题我感觉会有点抽象啊，感觉不是很常考呀，第一次见这种题，也花时间比较长， 负二分之一五零到二分之一三到正无穷，这是对的。哇，这个十三题真的很恶心，我真的，我从来没有见过这样这样考的，我从来没有见过，就相当于第一次见这种题。这道题写的时间挺长的，下面我都都在写这道题。其实十三题花时间比十四题还长，主要是我没见过。然后第一次做吗？就 快一点，做的快，快一点破房的感觉。选年花时间比较长，将近花了快一个小时了，所以导致后面大题时间也不太够了，也很紧，当然后面大体也没有很多送分的， 尤其这个立体几何啊。这个立体几何感觉我做的太麻烦了。间质有点大有点大了。可能是我间质的问题导致的。间质有点太大了，可能间隙间的不是很好就是。嗯？ 怎么没有那个答案呀？我打打印错了，怎么打印都是两份。这个 在这 这个好像没有。十六题。这个这个什么第一大题答案好像没有了。没看到第一大题在哪。 哦，在在这里看错了这个，然后二分之一。这个是一啊。这个第一题还好，十五题还好，比较松分。其实十六题我感觉我写麻烦了， 因为我间歇啊。果然间歇间麻烦了，他这个间歇应该很简单，我看答案写的很少，你先算出来。但是我写这个间歇写很半天啊，间间量很大了，间间错掉了。 这个是多少？十四分之高二一。哇，这个单很不友好写，有点不敢写的感觉。哇，这个概率题有一点。我不考概率啊，因为他们考概率范围有点大了。这上没有的，就这一张 概率是这个九分之三，这个期望是九分之三，二分之一啊，这好像都对的，其实这个概率也不是很好做。感觉感觉这概率有点难啊。偏难啊。哇，这个十八十九级才是真的， 我前两天上次我才做的，跟那个差不多的，跟这个圆，但是那个那圆稍微好做。这个感觉就有点，就感觉比上次那张之前做的稍微难了一点。看一下这个答案， 这个 r n 是 整数列，是公差为二的整数列，第三位是九。这个写对了。这还得找思路写，找半天啊，找的时间快不够了，到后面只是留了十几。就留了十几分钟呀，时间不是很多了，这是对的。 这个十六题感觉他把这个三个函数放在压轴了。一开始以为很简单，其实我感觉一点都不简单啊，见量有点大，有点大了，开大了放一气，放到最后一道题前面的见量就已经很大了，倒到后面算的心很烦，知道吧。 看下这个答案怎么讲的。他这个答案怎么这么复杂呀。因为我写这么简单，他的答案怎么还画表格了，还这么麻烦。 他这个答案有点麻烦了，但写的比较严谨，但是我可能写不太严谨。果然他上面讲了，不检验单项信扣一分。我没有检单项信，我是直接来的，因为然后再看第二文八要舍去没舍去扣一分。 妈呀，总共就几分，还扣我一分。前两分就九分是吗？就得七分了。其实得七分，扣了十分。其实做完最后感觉吧，就像这样子， 真的有点难，其实记性有点大了。第三个我也没看，而且第二个还超时了，是两个小多，花了五分钟做，相当于这样时间花了两个小时零五分钟做完。 然后在这这样情况下，第三题题目都没看呀，因为考的时候肯定来，肯定是直接没时间看了。还有这个十一题的四眼，第一眼我也没看啊，看都没看就接下一题了。其实这样是整段时间给我感觉就是 简单题变少了，中等题有点多。中等题啊，难题既然那个太大了，又难又既然。那个大题目有些题目怪新颖的，从来没见过啊。最后大概这边扣六分， 这边还扣两分，八分加后面的十八分，这样是我这段时间做，其实这段时间肯定不是一百三，应该是一百二十多，其实因为后面超时了，超时了其实。

江苏各地一模数学卷的含金量都太高了，处理老师都非常的用心。我们今天做一期难度大横评，提前声明啊！题难不代表质量好！先说结论，南通考的最难，苏北第二，扬州第三，常州第四，南京盐城是最基础的。 南通卷绝对是难度天花板，没有一道题能让你直接套公式拿分，对死记硬背的同学来说，简直就是毁灭性的打击。苏北四式是典型的难而不怪，压轴题不超纲，但考的很深，但考的很活，你能考到一百二十分以上就算高手了。 扬州卷的综合性很强，接近二十三年高考的水平。物理老师把计算量超大的椭圆题放在了解答题的第二道，很多同学被这道题吓住了，影响了后面的发挥。 常州卷除了很有水平，它更像是一份一轮复习的阶段性检测卷，能让你清楚的看到孩子一轮复习的问题在哪。南京盐城卷是最基础的，基础不扎实的同学考完会感觉一看就会，一做都废。这张卷子很适合检验基础漏洞。 这五张卷子出的都很好，但是和对象是不一样的，中低分数段的孩子可以刷南京盐城和常州卷。尖子生一定要做一做南通卷和苏北卷！

大家好，我们来分析一下这一次苏北四市高三数学一模试卷。首先看一下单选择题，那么单选择题第一题考察集合的基础知识，第二题， 复硕的运算，第三题，硕略的基础知识，第四题常用逻辑英语，第五题，计算的先行回归方程的残差的运算。 那么前五题相对来说是比较基础性的数学知识。第六题 首先要求出来 a 的 值，那么 a 的 值可以根据 随机变量的数学期望均值三可以得到 a 是 等于一的。然后在这里主要考察去求它的最值，需要可以利用全方和不等式进行求解啊，如果你掌握了全方和不等式，那么很容易就求出来，应该选 c。 第七题主要考察椭圆，根据椭圆的对称性，把这个四边四边形，正方形 o， a， b， c 给画出来， 关于 x 轴对称就可以得到它的离心率。那么第八题单线题的压轴题 给了你两个等式，那么要可以想到利用正切的半角公式 time， 二分之二法等于 sine 比上一加 cosine 等于一减 cosine 比上 sine。 然后将这个式子和这个式子用诱导公式进行转化， 就可以求出来啊，就可以求出来阿尔法和贝塔之间需要满足的关系，从而可以求出来阿尔法和贝塔可以分别是多少度，那么不可能的就是 c， 这是八题多选啊，八题，单选择题，八题，单选择题，就最后一题，第八题 稍微复杂一点，如果基础知识掌握的比较好的话，那么单选择题的得分至少应该在三十分或者三十五分， 那么第二项多选择题第九题啊，可以直接将二项式给它展开，从而判断出 i c 选项是正确的。那么第十题 立体几何 a 是 一定正确的， b 它的体积一定是一个定值，所以说 b 不 对。那么 c 外接球的表面积需要找外接球的球心，那么这个外球的球心比较好找，就在 o 一 o 二的中点处， 然后可以算出半径，从而求出表面积。那么直线 p b 平面 abc 所成角的最小值相当于去求这个角的正切值的最小值，那么这个角的正切值最小值。它的 高式定值只需要求圆上点到 b 点的最大值，当圆上点到 b 点为直径的时候，最大可以求出这个角的最小值是四分之派。所以说第二题是选 a、 c、 d 这一题作为多选择题的压轴，相对来说较为复杂，那么实际上通过 去列取列取法就可以证明出来 b 是 对的啊，然后再 多列取几下，就可以证出来存在。 n 是 使得 s n 小 于零的，这时候 m 一定要大于等于十六，哎，这个缩列，它是一个以二 m 为周期循环的一个缩列， 哎，这个缩列是以二 m 为周期循环的一个缩列，随着 m 值取值不同，它的周期也不一样，那么可以通过简单的列局法去判断出来相对较简单的 b 选项， 那么正确选正确选项是 b、 c、 d 啊，如果你不能选全，把一个正确的第二项选出来就可以了， 也多选题这一块，那么如果你想把 d 选项选出来，他就需要花费比较多的时间，但是啊，在这里花费太多的时间去围了这一个选项，也就是两分，有点得不偿失，所以考虑可以先放弃 d 选项的选择啊，那么 b 选项是可以选出来的， 这是多选择题。那么多选择题啊，如果你对数学基础知识掌握比较好的话，至少第九题第十题是可以做对的，也就是十二分，这是多选择题 第三项填空题。那么填空题第一题十二题很简单，实数挨的值为负负二分之一。 第十三题去算投影向量，键坐标系算投影向量，可以算出来 a 向量的模长是等于五的。十四题作为填空题的压轴，稍为复杂， f s 为奇函数，那么既然为奇函数，它的定义域一定是关于圆点对称的，从而可以 很轻松的得出来 b 一定要等于一，而且只能等于一，然后再通过 f x 等于 f 负 x， 从而求出来 a 是 等于二的啊，或者你利用 f 二 啊，加上 f 负二是等于零，也可以求出来 a 的 值啊。这里是 f x 加上 f 负 x 等于零， g 函数两个是相反的，相反的， 从而求出了 f x 的 表达式。求出 f x 的 表达式之后，对它进行求导，求导，判断它的单调性 和它的极限值，去画出来它的大体图像，就可以解出来这它的解集，它的解集应该是零到二分之一，并上三到正无穷。 这是前面的单选择题，多选择题还有填空题，总共分数在七十三分，那么正常我们数学基础知识掌握的比较扎实的话， 应该是可以得到五十五分左右。下面我们来看一下解答题。那么解答题第一题考察的是三角函数和解三角形的结合比较简单，比较简单，十三分可以得到。 十六题考察的是立体几何的证明。第一位以及第二位去建立坐标系，通过空间向量去找 f 点在什么位置的时候，可以求出它的正切值是这个值，那我可以通过去设设 c、 f 向量和 cd 向量之间的关系， cf 向量和 cd 向量之间的倍数关系，从而求出来这个 f 点的坐标。 那么 f 点的坐标求出来之后，我可以通过等体积法去求 f 点到 a、 b、 c 平面的距离，也就是 a 到 bcf， 以 i 为顶点， bcf 为底面的这个三楞锥的体积应该是等于以 f 为顶点， a、 b、 c 为底面的三楞锥的体积，从而就可以求出来 f 到 a、 b、 c 的 距离，也就是 v f 杠 a、 b、 c 的 高， 那么这个距离可以求出来四分之根号下二十一、十七题是一个条件、概率以及分布列的问题。 那么从六个球中选出三个，放到一个透明袋中，然后袋中的红球的个数记为 x 零，那么肯定啊，我选三个球，有可能三个都是红球啊，有可能两个红球，一个白球，也可能一个红球两个白球，也有可能是三个都是白球 啊，也就是我红球的个数可以是零，可以是一，可以是二，也可以是三，那么当红球个数是零的时候，它的概率就等于二十分之一，红球的个数是二的时候，它的概率就是二十分之九。 那么第二位球第一次替换之后，红球的个数为一的概率，那么这个时候有两种情况啊，如果想 进行一次替换之后，红球的个数是一啊，那么第一种情况我有可能原来的红球个数就是零啊，这时候我摸到的白球换一个红球进去，这时候满足红球个数是一，那么第二种情况，也就是我原来 这个里面有两个红球啊，我摸出来一个红球换一个白球进去，这时候啊也满足啊，红球个数是一，也就分这两种情况去计算这两种情况的概率，然后相加。 那么第三问，在盖中有一个红球个数的数也期望，那么进行两次摸换之后，红球的个数有可能是几个啊，那么第一次 你可以是摸红换白，那么这个时候第二次就只能是摸白换红了，这时候这种情况最后里面有一个红球， 那么还有一种情况就是第一次我摸白换红，那么这个时候 里面有两个红球，那么有两个红球，那么第二次我就可以摸红换白，那么这个时候里面就变成了一个红球， 那么还有一种情况就是我摸白换红，那么这个时候里面就变成了三个红球，也就是 x 二，在 x 零等于一的时候，他的红球的个数只能有两种情况，一个是一个红球，一个是三个红球， 然后分别算出来一个红球的概率和三个红球的情况的概率，算出他的数学期望等于九分之十三、解答题的第十八题是 抛物线与受力结合的问题，难度不大，主要是找到受力之间的地推关系。这题我们在下一个视频中做一个详细的解答。 十九题考，它是导数的问题，那么作为压轴题，也是本章实卷中最难的一题，那么它第一问比较简单，第二问也可以求出来 这个爱的值，那么第重点是第三问，第三问比较复杂，那么第三问我们主要是可以采用比较用探路， 标性探路啊，其中采用取点特殊点， 取特殊点，先确定 i 的 取值范围，确定 i 小 于等于三大于一，这样给取值范围，然后再去证明这个范围在 x 大 于等于二的时候是成立的。然后我们十九题的压轴题 也在下一个视频中做一个详细的解答。那么这次一模试卷整张试卷的难度 相对来说较难的应该还是多选题的第十一题压轴和十九题问答题的压轴，这两题相比较，其他题是比较难的一个， 那如果你对书本上的这个基础知识以及适当的拓展这些知识都是掌握的话，那么在前面的选择填空总共七十三分当中，你是可以得到五十五分左右的 十分。在单选题的十一题，填空题的十四题，也就是十六分，那么问答题这一块， 前三题四十五分经过仔细的分析是可以得到的，那如果十七题你的概率掌握的不太好的情况下， 是可以得到，至少可以得到部分分。哎。第一问第二问这个分数是可以得到的，而四十五分你在掌握不好的情况下是可以得到四十分左右的，四十分左右的， 那么加上前面的选择题的五十五分左右，也就是在九十五分左右。 那么最后两题问答题十八题的第一问，十九题的第一问，这两问是可以得到六分的，那第一问都比较简单，也就说你的成绩在 知识掌握的比较扎实，比较好情况下，是可以得到一百分的，如果你的分数没有到一百分，那么你需要把基础知识这一部分以及适当的拓展，要继续去抓紧时间查漏补缺。 那么如果你的成绩在一百二十分，那么实际上这个时候你可能你的错误只能是在 十八题的第二问，十九题的第三问以及多项选择题这一块，那么这个时候如果你只错在这三个部分，那么你的成绩应该在一百二十分以上。 这是 这是我们对这张试卷的一个简单的分析， 希望对我们高三的同学接下来的学习及备考有所帮助，谢谢大家。

江苏这一次各地一模的数学卷含金量太高了，出题老师都非常的用心。今天我们就做一个难度大横屏，提前声明一下，题难不代表质量好。先说结论，南通考的最难，苏北第二，扬州第三，常州第四，南京盐城的最基础。 南通卷绝对是难度的天花板，没有一道题能让你直接套公式拿分，对死记硬背学数学的孩子来讲，是一个毁灭性的打击。苏北四式是典型的难，但是不怪， 压轴题不超纲但考得深，中档题不偏，但考得活，你能考到一百二十分以上，那就算高手了。扬州卷的综合性很强，接近二十三年的高考水平。出题老师把计算量超大的椭圆题放到了解答题的第二问，很多孩子被这一道题吓住了，影响后面的发挥。 常州卷呢，出的很有水平，他更像是一份一轮复习的阶段性检测卷，能让你看清楚孩子在一轮复习期间，问题到底出在哪。 南京盐城是最基础的，基础不扎实的孩子考完之后的感受就是，一看全都会，一做全都废。这一套卷子很适合检查基础漏洞。这五张卷子出的都很好，但适合的对象不一样。中低分段的孩子可以去刷南京盐城和常州卷，尖子生一定要去做一做南通卷和苏北卷。

苏北四十一模数学卷很经典，特别值得大家练习的是第八题属于经典永流传，第十四题有很多陷阱，第十八题和十九题选拔尖子生不会就不用强求。 那么晶晶老师呢？整理好了所有试卷和答案，需要的家长可以私信我，我分享给你。我是晶晶老师，在江苏金榜题名找晶晶。

南通一模和苏北四十一模结束了，这次整体科目有难有易，部分科目比去年简单一些，预估分数线和去年相比不会差多少。我们这边第一时间整理了两套全科的试卷和答案，很多科目都是高度模仿二零二五年的江苏省高考去出的。 这次南通一模的数学、英语和化学，苏北四十一模的数学含金量都还可以，很值得去做一做哦。

朋友们好啊，今天我们讲一下这个苏北四市的这个一模卷啊，这张卷子整体而言难度应该是适中的，适合一模复习之后的学生做一下啊。这边几道题目重点讲一下，其他题目我稍微讲的快一点。 好，第一题关键词，飞船与空间站对接新的组合体，那么这组合体呢，质量肯定增加的，和之前的空间站比啊， 那还在圆轨道上做圆周运动，圆轨道说明速度大小不变 啊， omega 不 变，它的半径不变啊，所以呢，对接前后相比的话，新组合体它的动能肯定增加，用 m 增加， 周期不变，限速大小不变啊，加速度呢？不变。答案选 dog。 第二题，他说的是加速，匀速，再加速，那么答案只能选择 c 了。 第三题，第三题，这个时刻呢？ b 点呢？加速度朝下， d 点加速度朝上，指向平衡位置。 c 点呢，加速度为零，速度最大， 平衡位置速度最大。 c 和 e 的 速度方向是不一样的， e 点速度方向朝下啊， c 点速度方向呢？朝上， 所以速度相同是错的。 b， d 加速相同是错的，方向不同啊， c 点的加速度为零是对的。当然选择 boy 前三题相对比较容易。然后第四题，第四题呢？ 核反应方程，质量数守恒，然后扦合数守恒啊，所以上面三十八，二百三十八，二百零六，这边三十二，你加起来正好是一样的，所以这边应该是零，而这边呢， 应该是九十二，八十二，这边应该是十，现在十六，所以应该是负六，那六的话，这边就负一乘以六，负六正好。 那这个粒子呢，很明显是个电子，也比较容易。然后第五题，第五题分子势能最小，那么一样的，将两个分子 甲固定，以从无穷远处靠近甲，那么无穷远处呢，它是受一个引力，引力靠近的过程， 让速度朝这引力做正功，势能减小，当引力为零的时候，势能肯定最小的，所以这个图画出来就应该这样子的，引力为零的时候，势能最小， 然后过了这点呢，就变成了势力啊，过了这点变成势力，势力做负功，势能增加，所以在 r 的 地方势能最小。 第六题，第六题这题目呢，难度不是很大，电视最高，那在这的话，电视的表达式可以写一下， k q 除以二啊，所以呢，这一点就是 k q 除以二，这边呢，加起来的话就是 k 乘以二， q 除以二。嗯，这边呢，抵消一下，就是一个的 啊，所以呢，这边就是 k q 除以 r， 那 这边呢，注意一下， 这两个在这边抵消，这两个在这边抵消就是零啊，所以答案呢，选择 boy。 第七题，难度也不大，大摆锤，我重新画一下啊， 这是 o 点，然后往下摆的过程呢，它还在做圆周运动。那么很明显， a 点呢， omega r， 同时呢，它往下摆动，也有个速度 v， 那 b 点呢，是 omega 乘以这个 r， 然后这点呢，有个 v 一 撇啊，因为同时往下摆动，那么 o 点呢，就往下运动 v 两撇，所以 o 点做的是圆周运动，以这个点，也就是这个位置， 所以的这个轴这个位置啊，做圆周运动。 a 点呢，做的是不是圆周运动？是两个圆周运动的合成，一个是随着这个摆臂往下做圆周运动，同时呢，他还要绕 o 点做圆周运动，所以他是两个圆周运动的合成， 那么 a 点的速度已经大于 b 点的，那这个地方是不对的， a 点的速度呢？有可能是小，应该是小于 b 点的速度啊，从图上能看得出来，那么 a 点的速度已经大于 o 点的速度。这个也不对啊，应该是小于 o 点的速度。 也有可能啊，所以呢，不对。所以答案选择 a， 然后第八题。第八题，这个题目呢，也不难啊，书上的题型啊，书后题型，当不导电溶液页面上升的时候，进入这个两个极板间的电界质呢，实际上是变多的，所以呢， c 是 变大的。错的， c 变大了，它的 t 等于二派根号下 l c， 所以 t 呢，是减小的，那么它的频率呢？ f 等于 t 分 之一就会增大啊，写错了，不好意思， c 是 大呢， t 是 大的啊，所以 t 增大， t 分 之一就减小，所以频率减小。对的， 那么开关拨到 b 之后，电磁能一直增加，这肯定有错的。拨到 b 之后呢，电场能转化为电磁，转化为这个磁场能，然后，然后接下来磁场能再转化为电场能，这个时候是一个 l c 正荡回路，电磁场能和电场能呢，是交替变化的，所以它不对。那 a 波到 b 的 瞬间，这个时候电容器呢？放电，电容器放电，那电流呢？是逐渐增大的，是这样一个过程啊， 放电电流逐渐增大，所以它不对。答案，选择 dog。 然后第九题，这道题出的是非常漂亮的一道题目，很多人都不知道选什么，那这道题目呢，选的应该是 a， 他的出动门，因为出动门他是一个完全不确定的物理量，这个大小呢，在零到最大出动门之间，那最大出动门呢， 等于 h u 减 w 零，这 w 呢，就是溢出功 啊。这个溢出功呢， 和应该说只和它的金属有关 啊，纸和它金属有关啊，纸和它的金属有关。 ok， 那 么溢出功呢，和截值频率的关系就是 w 零等于 h u 零。 好，那所以不同金属呢，这个 w 零不同， h 六是一样，因为同一频率的光，那它的这个注意一下，是不同的， 所以最大出动能不同，一出功不同，截水频率不同，他的出动能呢？有可能相同啊。第十题，第十题，这道题出的也不错，他把这个内能 u 拎出来了，还告诉你和 t 成正比，说白了，把这图改一下，改成 t 的 图就可以了。 所以这个过程呢，就是一个 p v 等于 n r t， 那 么 t 除以 v 就 等于 p， 除以 n r， 它的斜率和 p 成正比，斜率不变，所以 p 不 变。 那这个过程呢，它的体积呢？在变大，体积变大意味着什么呢？它要膨胀，对外做工，它叫吸热，才能保证它的温度升高，内能增大。因为它的内能呢，是增加的 啊，所以他对外做功的同时要吸热，而且吸的热呢，要大于做的功，所以要吸热。选 c。 第十一题，这道题目就出的非常漂亮了啊，这题实际上是改编的，呃，高考题啊，他那道题目呢，是让你证明 从 b 到 q， 这是个椭圆。 那么这个问题实际上在湖南的高考题里面考了，然后在之前其他省份的高考题也在考，特别是北京的也在考这个问题啊，椭圆，那么 a 是 不做减前运动呢？那很明显， a 做的肯定不是减前运动，为什么呢？ 因为你要证明减弦运动， f 等于负的 k， x 证明力的大小和 x 要成正比。那你就判断一下就行了啊。那你判断一下，一开始 a 受到力，一开始绳子拉力呢，应该是为零的 啊，为什么为零呢？因为这个时候 b 的 速度为零啊， b 的 速度是为零的，所以开始绳子拉力呢，等于零的好了。然后 当 b 在 最低点的时候，沿着 a 的 运动方向， a 的 速度方向注意 力也为零，因为这时候力是垂直于杆的，沿着 a 的 运动方向，力也为零，那么到达这个所谓的最高点的时候， 绳子拉力也为零，那意味着什么呢？意味着 a 的 加速度一定是从零到零再到零的过程。那么 a 的 运动图像就画出来了， a 的 运动一定是加速度，从是零一开始加速度先变大再变小， 变成了零，然后再变成零，也是先变大再变小的过程。那这一定不是减去运动，减去运动，它的速度时间关系呢？应该是 这样的一个正弦函数的关系，所以肯定错。那这个是比较难的啊，自己注意一下。那么 ab 系统动量守恒肯定错，应该是水平方向 动量守恒， a 的 质量大于 b 的 质量，这也是错的。那原因其实很容易，你只要把这个位置画出来就 ok 了， 也就是 b 在 最低点的时候，他轨迹画好了，对吧，所以你直接可以画。那这个时候呢， b 走的位置是 x b， a 走的位置呢？是 x a， 那 么 m a， x a 等于 mb x b， 这是一个人传模型 啊，水平方向是个人传模型，所以呢， x b 大 于 x a， m a 呢，就大于 mb， 自己来看一下，这个东西并不复杂，也是经常判断的，所以 a 的 质量大于 b 的 质量是对的，那么仅增大 b 的 质量， b 能够打到 q 点的右侧，那这个同样也是去画图完成的，注意，图是非常重要的， 那么在这这个图该怎么去画？请你一定要关注， 就是我增大 b 的 质量之后会导致什么结果呢？自己注意看，在动量守恒这一块，本质上， 动量守恒它不受外力的，对吧？不受外力，那么就说明了，原来 a b 都禁止的，对吧？那就意味着这个系统 水平方向 啊，水平方向动荡折痕，水平方向不受外力， 耐用着水平方向，它的至新位置，这个系统的至新位置是不会变的 啊，水平方向，他的至心位置是不会变的啊，至心只在数值方向变化。那么这个思路如果明确的话，那我就清楚了，他的至心肯定在什么位置呢？注意在这个位置， 因为 a 跑到这个位置时的 b 在 最下面，重心肯定在这条线上啊，至心在这条线上，所以我知道水平方向，他的至心呢，肯定在 这个位置。好，这个理解了的话，那你就清楚了，这个表达式本质上就是你在初中所学的杠杆的表达式 啊。 m a g 乘以 x a 等于 m b， g 乘以 x b， 不 就是相当于这边是个支点吗？ 对吧？它平衡嘛，对不对？所以这个清楚了的话，那么如果增大 b 的 质量，那意味着什么呢？意味着这个志心往哪跑呢？ 志心往这个位置跑，如果往这个位置跑的话，那意味着 a 跑到这边来的时候， b 呢，应该跑到这一点，那么 b 的 轨迹将这么变化 啊，将这么变化，所以呢，必将跑不到 q 点的右侧，而到 q 点左侧，想到想要到 q 点右侧，也很简单啊，只要让他的志心往哪跑呢？往后面跑，比如在这 啊，在这那，这个时候呢，他的轨迹画好之后，就到了 q 的 右侧，所以 增大 b 的 质量是到不了右侧的，只能到左侧。这题出的是非常漂亮的，考的是学生对这一块究竟懂不懂，也就是牛顿第一定律和动量守恒定律，本质上他讲的东西是完全一样的啊。 好，然后第十二题，第十二题考的这样的一个实验，实验难度呢，是不高的。首先第一个读书，读书的话，这边读六或者六点零都行，乘一千之后六千。 然后第二个，为了精确的测量，什么叫精确测量呢？首先第一个数据多，因为我要的就是通过数据来研究，那数据多必然意味着它的数据，也就是电压 变化范围大，电压变化范围大，所以这应该是一个分压法，所以接一下分压法，然后呢，题目中告诉了你电流表的那组， 然后电压表那组呢，约为多少？不能直接用，而这个可以直接用，所以我可以直接将 这个导线接到这。我测的呢，实际上是这一块的总电阻只要减掉这个五百就 ok 了，所以呢，最后 算一下，六除以这个一毫，安定的是六千欧，再减掉这个五百，所以是五千五百欧。 那 b 和前呢，这个滑片应该处在 a 端啊，处在 a 端，那这个时候呢，上面呢，实际上是被一条线短路的， 看一下啊，这样就比较安全了，这样子， 嗯，然后北一条线把它接在了一起，它的两点应该这么讲，应该是和同一个点连在一起，是等式的啊，或者说电视是为零的啊，没有电视插的啊，上面就比较安全。嗯，好， 然后搞定，然后看一下第四题。第四题这个地方问电阻与浓度有关，他直接向里面添加，这纯粹扯了，因为这个里面原本就有溶液， 我如果直接添加水的话，那意味着什么？意味着里面的溶液会变多，变多了之后，这个横截面积将会变大啊，再测它的电阻，那肯定是不行的，它没有控制变量， 控制横截面积。 那如果这道题目呢，说探求它的电阻率， 那这道是可以的啊，探求它电阻率啊，因为最后会把面积把它除掉啊，所以在这一个字之差，就可能导致答案不同，大家要注意一下啊。 好，然后我们来看一下后面的计算，后面计算呢，第十三题是属于送分题，但这道题呢，字母比较多，对学生而言也是个难点。 第一个， e， e 等于 n， 得到否？比得到 t， 在 这注意一下它的考点。第一个是 n， 很多人会漏掉单杂线圈， n 是 一得到否呢？就是 得到 b 零啊，说错了，得到 b 除以得到 t， 乘以个 s， s 呢，是 pi 方，就等于 b 零，除以 t 零，再乘以 pi 方，好。然后第二个呢， 角 r 就 等于 i 方 r， 对 吧？乘以一个 t 零，就等于电动势除以总电阻，总电阻呢，就是大 r， 它的平方乘以 r， 再乘以 t 零，所以得到 pi r 方 b 零 除以 t 零。好，这个难度呢，不大。 第十四题，这个难度呢，也不大啊，四十五度的时候，恰好 m n 上只出现了一个光斑，那么非常明显，只能是全反射了啊，全反射，所以这个时候呢，四十五度是它的临界角， 等于根号二，那么当入射角改为三十度的时候，这三十度， 那么这个角假设是 theta 的 话， sin theta 比上 sin 三十度等于根号二，所以得到 theta 等于四十五度。同时它还有一个反射 啊，反射这个角三十度，这个角三十度，这边是 r 的 话，这边是根号三个 r， 那这个角是四十五度的话，这是 r， 这个也是 r， 所以 这个距离呢，就出来了，等于根号三 r 加上 r 好。 然后第十五题和第十六题呢，是一个看似比较麻烦，实际上非常简单的一个问题。第十五题，这种多次 呃，周期性的这种问题呢，实际上是非常容易的，拿到题之后，只需要你画好图就 ok 了。我们先来看一下这个第十五题的第一问。第一问，就是纯粹的一个轨迹，画好之后呢，你可以得到 啊，这是 r， 这边是二 h， 这边是九十度，所以呢，它的 r 应该等于根号二个 h， r 呢，还等于 m v 除以 b q， 所以 连列就可以得到 m v 零，除以 b q， 连列可以得到它的 b 呢，等于 二 q h， 根号二个 m v 零啊。第一问， 第二问，从 p 点入射，是第二次经过虚线所用的时间 t， 那 轨迹画好，他说了，在电场中运动，恰好不通过 x 轴，说明这个过程呢，和 x 轴应该是相切的。 好了，既然相切的话，那这个就简单了，我一定要把这条非常非常重要的线把它画出来，过它的中点，嗯，假设这是 a 点的话， b 点是 a o 的 中点，把这画出来之后，那这道题目基本上就迎刃而解，不需要计算了， 记住啊，做题的时候少算是最好的，那么告诉你，这个入射角呢，是四十五度， 四十五度的话，这是 h， 这是 h， 那 所以这一段呢，就有了 r h， 然后 这边是对称的，也是 r h， 所以 这道题结束了，第二次经过的时间直接可以算出来，等于什么呢？等于这边的弧长是什么呢？是 二分之派，角度二分之派乘以它的半径，根号二 h， 所以 二分之根号二派 h 除以一个 v 零，加上什么呢？这边是四 h， 除以它的水平方向速度二分之根号二为零 啊，所以答案就出来了，非常的简单，二为零，根号二个派， h， 加上一个 二分之八，根号二个 h， 一 步计算。然后第三问，第五次经过虚线位置锁定的横坐标，那接下来就是画图了，纯粹画图啊， 把这个图画的稍微小一点啊，从第五次经过他的横坐标，所以呢，这边开始画了啊，这是第一次， 第五次经过虚线位置，这虚线位置啊，看一下 啊，上去， 因为过程都是重复的，所以直接画就可以了。好了，那么底下这一段几个 h 呢？是四个 h， 看一下 上面这边几个 h 呢？二 h， 你 看一下，所以四 h， 二 h， 二 h， 所以 接下来找点就可以了。 第一次经过，第二次经过，第三次经过，第四次经过，第五次经过，所以对应的就应该是多少个 h 呢？ x 等于十二个 h 口算，所以这道题也是非常考你的这种素养，而不是你的死算能力， 你千万不要像答案那样子死算啊，计算量又大，而且算的呢，又非常的 不确信啊。像我这么做的话，答案是很简单的。然后第十六题，第十六题，它是一个非常经典的题目啊，今年的去年的高考 的一个题目，改编，他的难度呢，不大，关键呢，就是过程分析，特别是 n 个的问题， 我们来看一下。好，我们先看一下这个问题。题目中说的很清楚，与传胎共速之后， 与物块一发生碰撞，所以第一次碰撞呢，是 m 以 v 零和 r m 发生碰撞，那这个碰撞过程呢？它说了弹性碰撞，所以 m v 零就等于撞完之后呢， m 要反弹的 v 一 r m 呢？ v 二，所以 mv 零等于 mv 二， mv 二减去 mv 一 二分之一 mv 零方呢，等于二分之一 mv 一 方加二分之一 mv 二的平方。这个时候呢，你可以把 v 一 求出来三分之一个 v 零， v 二求出来三分之二个 v 零 啊，这个过程呢，你用图来做会更快一点，就免得死算了，或者被公式了啊，这是为零，它的共速的速度呢，是三分之一为零， 所以呢，它的每个物体的出没速度都和共速的速度呢对称，所以原来是零的二 m， 它的速度肯定是变成三分之二为零，原来速度是 v 零的，它的速度肯定变成负的三分之一为零， 和我上面的推导过程是一样的，但这么做呢，会更快，所以我一般推荐学生公式正常写，但是呢，用这方法来做会快一点 好。然后呢，就是第一个第一个二 m 和第二个二 m 碰撞， 那么碰撞过程呢，是一个弹性碰撞，所以撞完之后呢，一的速度是零，二的速度呢，变成了 v 二，那一次碰撞下去，第 n 个的速度呢？ 第 n 个的速度，第 n 匀速的速度呢，就是 v 二，等于三分之二个 v 零，那么这个时候留在这个面上的呢，应该还有 n 减一个， n 减一个五块。然后第二问一，发生第二次碰撞过程中， p 和传送带产生的热量， 那这个过程比较容易的看一下过程啊。做题主要是过程要会去列式子，要会去写。第一个过程呢，加速，传送带呢，速度是 v 零，匀速它加到 v 零，假设加速度是 a 的 话 啊，然后和它发生碰撞，返回，返回的速度呢，注意 是负的，三分之一为零，那他在传送带上呢，就是传送带速度，这么走，他的速度呢，三分之一为零， 它受了阻力，所以呢，它将减速到零，然后呢，再反向的加速啊，再加速，所以它离开传感器的速度呢，应该也是三分之一为零。因为加速减速的路程是一样的，所以呢， 三分之一为零，那么热量就出来了，热量等于摩擦力 乘以相对运动的路程，注意，是相对运动的路程，不是未移啊，很多辅导书上都是错的，摩擦力做功跟未移为无关，只跟路程有关啊， 相对运动的路程，那算这路程的时候一定要注意了。首先这边呢是 v 零除以 a， 时间 s 一 s 二， s 一 等于什么呢？ v 零乘以 v 零除以 a， 再除以个二啊，然后 s 二呢，等于 三分之一 v 零，这边是 v 零，那这段呢？三分之四这段呢？三分之二， 所以三分之四为零，加三分之二为零乘以时间，时间它的速度变化量呢？注意是三分之二为零，再除以一个 a， 再除以一个二梯形面积，所以这个等于二 a 分 之为零方，这个等于 这个上面是二 v 零， 三 a 分 至二 v 零方，所以这边代入就是 m g， 说白了就是 m a， 因为 m g 等于 m a， m a 乘以一个 v 零方，加上三分之二个 v 零方，除以 a， 约掉之后呢，就得到了它等于六分之七个 m v 零方啊，这问出的还是非常不错的啊，个人认为，因为他喵记啊，喵没给你，其实是想你往里面带的，带完之后可以消掉。出题上还还是很有想法的， 然后最后一问，最后一问呢是拉分题，那实际上难度并不大，他说全过程中碰撞次数，你把这过程走一遍就可以了啊。先看一下 以 v 零过来碰撞几次呢？第一个，第二个，第三个以及第 n 个和第一个碰撞一次，一碰撞二又是一次，第二次，二， 二碰撞三，第三次，三碰撞四，第四次。所以这个过程呢，一共碰撞 n 次， 然后这边还有 n 减一个， 同样以三分之一为零过来撞， 那转完之后呢，就是按前一次，那到最后 只剩下一的时候呢，还要碰上一次，所以总次数就等于首项加尾项乘以项数除以二。 那五块一的最终速度大小呢？应该也没什么问题，就看出来了。第一次， 嗯，这个五块一的最终速度大小啊， 这点是三分之一的，因为 第一次碰撞之后呢，它速度变成三分之一为零。啊，变成三分之一为零，然后这边碰撞完之后，它的速度呢，应该是三分之一为零的 n 减一次方。自己看一下啊， 因为这边是三分之一为零嘛，然后再碰撞三分之一为零的 n 减， 应该是写的不好，三分之一的 n 减一次方为零。啊，写错了，一次方为零。啊，好，那么这个速度呢？再和一碰撞，那根据上面的这样的一个关系，所以 v n 应该等于什么呢？应该等于三分之二， 三分之二再乘以来的这个速度，也就是三分之一的 n 减一次方为零，就等于二乘以三分之一的 n 次方为零。好，这个问题我们就想到这。啊， 讲的比较快啊，因为时间也不早了，大家好，早点休息。好，拜拜。