绵阳二诊数学2026立体几何压轴

前几天考完的绵阳高三二卷 a 卷立体几何创新题，压轴难度大，计算量大，应该是今年新两卷考的最难的立体几何题，难道这是今年高考新两卷的风向标？看看后两问的详细解析，你还有其他解法吗？

与绵阳一整类似，绵阳二整依旧是新两卷地区模拟卷的天花板。本次更创新立体几何难题压轴，而且是真的立体几何五星难题，只是这道题交卷前十五分钟才通知进行勘误定正，所以这次考试想上一百三十实属不易。填空难度不大。包括第八题在内都是基础题， 多选的第十题和第十一题都出得很漂亮，最后一个选项都有难度，其中第十题 d 可转化为两个函数焦点问题处理，第十一题 d 选项涉及三角换元。第十四题不难，但要善于运用空间向量解决问题。 解答题最后两道压轴题难度较大，第十八题有点反常规，第三问使用中点弦比第二问简单，第二问是仿设变换背景题，直取连力计算可能要算得哭。第十九题估计是本届例题几何压轴题天花板，难度和新意均非常足，计算量要上天了。

立体几何压轴大题竟然隐藏了抛物线，妙不可言！这是昨天才考的二零二六绵阳奥体的最后一个大题，十九题居然是立体几何压轴，很多考生 在被这个创新，然后位置不一样，然后阅读量不一样，那条件很多，但怎么整合在一起，哎，就吃亏了，甚至第一问就蒙了。其实第一问不难的，我们来看一下题目 如图，已知三菱锥 p a、 b， c 点 d 在 平面 a、 b、 c 上，且 abcd 任意三点不共线。这是优化版的题目，一开始我们不他说的是四菱锥，后来考场上改了， p c 垂直于底面 a、 b、 c d 线面垂直点 e 为 p a 的 中点，点 e 为 p a 的 中点。这你看，再告诉锤子，则也告诉锤子，这个锤子拿来干嘛呢？其实这个锤子后面还告诉数据，这个锤子是拿来正等腰的， 很多人想不到哎，想到线面锤子要找两个锤子，就深入拿这个锤子去想，就掉进去了。好，我们来看一下为什么等腰？我们要标数据， p c 等于二 二倍根啊，一半就是根号二，根号二，你看垂直这个 e， f 等于 e， 等腰直角三 a， 这个也为 e， 你 看是不是就则也为 e 了吗？所以要证明的是什么？ pa 垂直于 f g， pa 是 这个 f g， g 是 这两个等腰，等腰一般就取它的终点 m 连起来，是不是两个垂直就出来了？很简单的定位，但如果你想偏了，就 利用不了条件整合在一起，那么你就做不出来。所以我们快速写一下第一问的解析检验，证明 好证明我们在怎么写呢？已经一体有因为或者 e f 垂直于 p b， 然后个 p a 等于二倍根号，描述一下，还有哪个 e 为 p a 中点， 所以 p e 等于根号二，所以就可以得到。呃， p f 等于根号下， p e 方减去 e f 的 平方就等于一，同理 可得这个 p g 也等于一，所以等于 p f 了嘛。所以我们只要只需要取中点连接起来，因为就解决了，所以取这个 g f 中点为 m， 对 吧？连接 连接 p m e m。 在 因为描述下，因为 e f 等于 e g， 所以 就得到 e m 垂直于这个 f g。 同样又因为 p f 等于 p g， 所以就得到 p m 垂直于 f g。 两个锤子是不是在标上嘛？不会的话，两个锤子是不是要找交线了？我们找呃，知道的话就不写。而 e m 交上 pm 等于 m， 且在要描述在面内，且 e m pm 都在平面， 这个 e m p m 都在平面， p e m p m 都在平面，就 p e m 上， 所以就可以得到 g f 垂直于平面， p e m。 在 描述下，又因为 p a 在 平面 p e m 上，所以就得到 p a 垂直于 f g。 你 看是不是第一问解决了？ 下面我们继续来看第二问的解析。它隐藏了一个抛物线，很经典的，我们就来操作一下为什么隐藏抛物线。首先我们要间隙， 这是 x 轴，这个拉过来是 y 轴，这个拉上去为 z 轴，是不是拉出来了？这边找找。二，这是间隙，你自己描述，这是间隙的描述，所以 a 的 坐标是二零零， p 的 坐标是零零二，我们设 b 的 坐标是 x 一 y 一 逗零， d 的 坐标是 x 二逗零，对吧？然后如果熟悉与这个圆锥曲线截出来曲线的问题的话， 嗯，曲线问题的话，咱就圆锥截曲线，截出圆锥曲线来的话，这就是一个圆锥曲线，而这刚好四十五度，就是一个抛物线，为什么呢？我们来证明一下， 就是现在是不得到它了，我们找个括号省找是由。先把向量写出来，有个 p a， 有 个 pb， 所以 pa 向量就等于二零负二， pb 向量就等于 pb 的 话，是 x 一 y e 负二，对吧？而因为这角 a p b 等于四分之派，所以就得到 cos 四分之派就等于 pa 和 p b 的 数量级，再除以 pa 的 模，再乘以 p b 的 模。化简下， pa 和 p b 的 数量级就是二 x 一 加上四，再除以根号下，这是二的四。四加四等于八， 则就变成 x 一 平方加上 y 一 的平方加上四，把它化解一下就行了，它等于二分之根号二，对吧？二分之根号化解下，则首先 根号八十二倍，根号约去个二根号，乘根号等于二，再和它约掉，就推出 x 一 加上二，就等于根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方加上四，则肯定大于等于零了嘛。所以 x 一 加大于等于零的就 平方，就可以推出 x 一 的平方，或者直接写 x 一 平方抵消掉，在四抵消掉，就得到 y 一 的平方等于四 x 一。 你看，这就经典的抛物线是不是经典的抛物线了？好，得到它之后呢，我们又来写下，同理 可得到 y 二的平等于四 x 二，是吧？四 x 二了。所以这就调一开始解决后面怎么翻译这个条件？ p c 线面平行，则线与交线平行，我们设这个交点为 o 点，对吧？首先设 a c 交上 b d 等于 o， 是 不是 b， d 等于 o 了？因为在下面平行，这交线其实就是 o e， 所以 我们再写下，因为 p c 平行于平面 e， b， d， 是 不是 p c 平行于平面 e， b， d 啊？而我们再来看一下，而平面 p a c 加上平面 e， b， d， 就 等于这个是 e o， 所以 就可以得到 pc 平行于 e o， 是 不是 pc 平行于 e o 了，所以得到这个条件，所以 o 的 坐标我们现在是知道的。 然得到 o 的 坐标， o 的 坐标就是在终点了嘛。当然这个我们后面间隙的话可以用，这样我们用传统方法来做一下，要求的是这个二面角 b a p d， b a， p d 的 大小是不是 b a p b 的 大小，而 b a p 是 f p e。 同样的另外一个就是 g p e 去做函数，因为上面的数据知道的这是一，这是一，这是一，这是一的在，并且是四十五度，我们这些都知道，所以去转换一下， 所以就是而这个二面角的平面角为 c 塔，而二面角这就我们目标 b a， p d， g 为二面角， 二面角这是 f e p g f e p g 而我们这是等腰直角三角形，所以只需要做一条高线就行了， 所以做一条高 h 连接它，对吧？我们这就是折过 f 点做 f h 垂直于，这个是 p e 角 p e 与点 h 连接 连接 h g， 对 吧？所以我们这很明显第一位告诉垂直，这就是啊直角面角了。哦，这就是不是直角面角，这就二面角，所以这个角 f h g， 所以角 f h g 即为二面角，即为 c 塔，就等于 c 塔了嘛，所以我们知道等于 c 塔，这就余弦定理，你看，这是。呃，余弦定理，这不是一勾股定理。等腰直角三角形二分之根号，而 f h 等于， 而 h g 是， 等于，对吧？ h g 对 了，就等于二分之根号二的。所以我们由余弦的理，再由余弦的理得，就不用描述了。咱就由 余弦定理得，由于余弦的理得，就得到。 cosine theta 就 等于， 这是二倍 f h 乘以 h g 分 之 f h 的 平方加上 h g 的 平方减去 f g 的 平方，代减二分之二的平方就二分之一，二分之一刚好约掉， 就没有分母了。一，这是二分之一加二分之一减 f g 的 平方。所以二面角与 f g 的 大小有关，而 f g 的 大小，我们刚刚是把 p b d 算，它是为了算这个面了吗？所以这 p f， p g 的 大小是不是就可以转换出来了？这就可以转换成这个角的关系，而这个角又可以转换成 p b p d， 所以 就相应的转换，就等于 e 减去。在这个三角形中， f g 又等于 p f 吗？ 加上 p g 方减去二，被 p f 乘以 p g 乘以扩散。我们要设一个角度设角，这个是 f p g f p g 等于 alpha， 就 等于扩散 alpha 化解一下，这是一，这是一没了。那一减一，一个没了吗？这就变成二扩减一。所以就推出 扩整数，它就等于二倍扩整数二法减一，是不是要求扩整数的关系？就要求扩整数二法啦。另一方面， 扩整数二法就等于就可以转换成 p b 和 p d 就 等于 p b 和 p d 的 模，对吧？ p b 我 们刚刚记得表示过，就 x y e 反，另外一个就相应的表示嘛。所以就 x 一 x y 一 y 二就等于， 咦，就等于 x 一 x 加上 y 一， y 二，再加上负的平方等于四。就根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方，再加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上 y 二的平方加上四，是不是加上四了？好，我们找 刚好说了这个交点， o 哦，刚好证明中点这个是 o 的 坐标，则交叉，所以则平行，则平行，我们写哪去了？所以 o 的 坐标刚好是一零零，刚好是下面的交点，这是 y 方等于四， s 刚好为交点， 刚好为抛物线交点， 是不是刚好为抛物线交点了？既然为抛物线交点，这儿就是性质，我们这儿就可以这儿在下面连立，这儿设直线， 在平面上设直线， b d 方程为大体。稍微证明一下， x 等于 m， y 加 e 反射直线了嘛。所以就连立， x 等于 m， y 加上一和 y 方等于四， x 咱就推出，这就是 y 方减四， m y 咱就减四，等于零，对吧？所以我们咱就可以得到 y 一 加上 y 二， y 一 乘 y 二就行了。 y 一 乘以 y 二就等于 y 一 乘 y 二，这就我看一下，等于负四，那么就是 x 一 乘 x， 其实是四分之平方，就等于一了嘛。所以这就是一个负四，一个是一，是不得到它了，所以带进去，所以就可以得到 函数幺法，就等于这是一，刚好为一了。下面就是化简， x 一 平方， y 一 方是四， x 一 加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上四， x 加上四，就等于刚好是 x 一 加二的平方， x 一 加好， x 一 加二， x 一 加二乘以 x 二加二分之一，对吧？化简一下就变成了 x 一， x 加上二倍的 x 一 加上 x 二，再加上四分之一，基本不等式。大于等于，在分母上小于等于。我看一下两个。对了，小于等于 x e x x e x 是 知道的。一一加四就等于五，加上二乘以二倍根号 x e x 二分之一，这就等于一，五加四九九分之一。所以代入我们的目标，括号乘以 c， 它就等于二倍括号乘以 r 减一 小的九分之一，九二九分之二减一负的九分之七。所以就打一下，就像 go 这个 cosine， 它的最大值为负的九分之七。

二六届绵阳二卷的压轴，这个是 b 卷的压轴题哈，因为绵阳二卷分 a、 b 两卷， a 卷是针对本地的考生， b 卷是针对外地考生。呃，也称作这个原三维。我觉得 b 卷这个难度系数其实也是蛮大的。我们进来看一下，因为同学跟我提到说写函数题写多了，写那个圆锥曲线写多了，一看立体几何，有点懵， 我们先来看一下哈。先读题，如图，一直三棱锥 a、 b、 c， 然后 d、 e、 f 的 底面是边长为二的一个等边三角形，且 a、 d 是 等于四的，然后图二所是一个多面体。多面体是怎么来的？是把这个 d、 e、 f 的 平面绕其中心，逆时针旋转六十度。怎么回事？我们来画一下哈。 就是一个这样的一个等边三角形，它本来是这个 a、 b、 c 的， 然后它的中心是什么？中心其实就是做垂线，然后这里连接这个点，就是它的中心。我们设为 o 嘛，这个 o、 a 是 等于 o， b 是 等于这个 o、 c 的。 那这个是怎么旋转呢？是不是就是旋转到 我用另一个颜色哈，绿色吧，就成这个样子，中心还是不变的。所以说 o a 等于 o， b 等于 o， c 是 等于多少？因为 bc 是 等于二的。那我们的 o 这个设为 o、 h 嘛， o、 h 是 不是等于 一？除以根号三，那就是三分之根号三，那 o、 b 是 不是 o、 a 就 等于三分之二倍根号三啊？那 o、 h 又等于 这个我们设为 b、 e 吧，然后就是 a， e 就是 c、 e、 o、 h 是 不等于这个 b、 o， 因为它是一定是在一条线上的，这里 b、 o 就是 三分之根号二倍根号三。减去三分之根号三，那 b、 e、 h 是 不是也知道了？好，我们先放在这里，然后往下继续读，就重新连接，就得到了这个对应题。然后先看第一小问，第一小问，正什么 正？四点共面，一般来说，我们立体几何是怎么正？四点共面是不是从这个线线平行要正到他的一个四点共面？在这道题中，老师推荐大家我们来一起复习一下，用向量法来正他的四点共面怎么正？如果是用向量法的话，是不是一个平面内有四个点， o、 a、 b、 c 有 四个点，如何来证明啊？是不是这个 o、 b 是 可以表示我们的 x、 o、 a， 加上我们的 y、 o、 c 能这样表示，就说明这个 o、 a、 b、 c 一定在 一个平面内。我们来画一下，那我们要如何用向量法证明这个 a、 e、 b、 c、 c 在 四个四个点在一个平面内是不是同样的表达式呢？涉及到什么建作表怎么来建呢？老师直接使用的就这个 b、 c 为 x 轴，那这个 b、 e 肯定是它的一个 z 九了，是不是？而 y 九呢？是在这个方向上，但如果说在我们这样刚才画的，嗯，这里如果用这个图来表示它的一个 y 九是怎么样的？用这个来表示哈，线是它的一个 x 轴， y 九是在 这个线上的，就是 y 轴，那就就可以更好来表示它的一个点坐标，我们来试一下哈。首先我们的 b 点是不是最好表示的？它就是零到零到零，对不对？那同样在一个平面内，我们先把 a、 b、 c 表示出来，那 a 点呢？ a 点是不是就是首先 x 九？看我们的这个，呃，荧光率的一个部分哈，它是不就是 e 到 根号三逗零啊？那 c 点坐标是不是有了？就是我们的二逗零逗零。好，我们来看一下这个 b 一 a 一 c 一 的坐标是怎么表示的？首先还是 b 一 b 一 坐标是不是就到了这个地方？怎么办？是不是就是首先是一一逗，刚才是不是已经算出来就是 负三分之根号三啊？而它的一个 a d 是 四，所以它的一个 z 的 一个坐标就是四。好，我们来看一下 a、 e、 a 的 表达是不是异曲同工啊？它的 x 就是 零，而刚才算的是三分之二倍根号三到四 c 点坐标呢？二到 还是三分之二倍根号三等四啊？四个点的坐标都已经出来了，那我们可以证明他的一个四点共变了，可以以什么为他的一个公共点？是不是 b 点原点最好算啊？那我们来看一下哈，那就是我们的 a、 e， b 是等于多少？是等于我们的 a， e 直接是零逗三倍，根号三逗四，而我们的和为 a e， b， 能否表示出一个 x， c， b 加上我们的 y， c， e、 b 的 情况啊？看一下嘛，首先 c 是 不是直接是二 x 啊？而 y y， c， e 直接是二 y， 然后逗我们的 x 后面都是零，那只有 y 的 事情呢？就是三分之二倍，根号三倍 y， 逗上我们的四 y 怎么办？ y 是 可以等于一的呀，因为 y 等于一的时候，它才是相等的，而 x 能不能取到值，是不是可以的呀？当 x 等于负一的时候，它是满足这个表达式的，就是我们的这样一个式子， a e， b 等于 x， c， b 加上 y， c， e， b 是 成立的，说明 即正得我们的 a， e， b， c， c， e 四点共面， 用向量法是如此正的，大家再熟悉一下哈。嗯，然后我们来看第二题，第二题是求这个多面体的体积怎么办？有同学也是卡在这里了。第二题说，老师，我不知道用红笔来标注一下多面体的体积， 他的 v 要怎么修？是不是只有两个方法，一个是补成一个，比如说一个正方体，或者补成一个棱柱，再切割他多余的部分。第二个是直接切割。那这道题怎么用？ 直接用切割法为什么和我们的第一小问要联动啊？第一小问告诉你，什么 a， e， b， c， c 是 共面的，它是一个我们既可以求到 c， e， a 垂直于我们的 y、 o， z 这样一个平面的，它是一个矩形。 我们首先来看一下哈，首先 a， e， b， c， c， e 是 矩形，其次呢，其次我们的侧面，我们可以观察一下它侧面是什么， 是不是横为三角形啊？而他的顶点是不是只有一个顶点，要么是我们的 b， e， 要么是我们的 a 呀？如果说从第一小问，这个 a， e， b， c， c， e 来切割，是不是可以完美的切割成两个 轮锥呀？而轮锥的体积公式我们是不是知道是三分之一 s， d 再乘以它的搞 s， d 是 不是知道，因为 a， b， c， c 它一个矩形直接是这个二乘以一个，我们一会算一下这个值是不就是点 到平面的距离？这个公式记不记得非常关键，考的就是这个公式啊，我们换个颜色写清楚一点哈，点到距离的公式是什么？是不是 d 等于我们的任意，比如说任意一个 o 吧，那就是 o o b 向量乘以它的一个法向量，再除以它法向量的一个模。啊，好，那我们来算一下，是不是就求这个平面四面矩形平面的一个法向量就可以了？令平面 a e b c c e 法向量是 m 吧，它是 x e y e z e 怎么办？首先我们还是以 b 吧，就是 a e b 乘以 m 是 等于零的，然后 c b 乘以 m 也是等于零的。好，我们首先是 a 一 哈 a 一 是零逗三分之二倍，根号三逗四，那就是三三分之 二倍，根号三逗乘以 y 一， 加上四倍的 z 一 等于零。然后是我们的 c， c 是 二逗零逗零就是二 x 等于零，可以得出我们的 m 的 一个法向量了，是不是零逗负二倍，根号三逗 一。同样，我们知道 m 的 一个法向量，我们是不是只用知道我们的任意点还是肯定取 b 的， 因为它是圆点，就是这个。嗯， b b 一 和这个 b a 怎么求？那是不是就是我们的 b e b 向量乘以我们的法向量，再除以我们的一个模长，然后法向量的模长，然后再乘以我们的就是就是 a a b 大 小向量乘以我们的 m 向量，除以我们的大小的周长，直接代入计算就可以了，对不对？首先是 b 一， b 一 是一的，那就是零，加上负三分之根号三倍的乘以二倍根号三，然后再加上 这里是四的绝对值，这里是负负的正的哈。要再除以我们的周长是根号十三等于我们的 a a 点坐标是一逗根号三一逗根号三的话，就是相当于就是根号二倍根号三乘以根号三的绝对值，除以根号十三，这里算出来，其实上面算出来是 约掉了三就是六六除以根号十三，下面其实也是六，除以根号十三。 好，我们来算一下它的一个底面积哈， s 底等于多少？首先我们的 a 一 是不是就是 a c e 啊？ a c e 乘以我们的 a b， a c 是 等于我们的二的，而 a e b 呢？ a e b 是 不是直接是我们的 a e 呀？ a e 就是 三分之二倍，根号三 就是根号下三分之四，加上十六，对不对？那等于我们的三分之三乘以十六，四十八加四五十二就是二倍，根号下三分之五十二。那它的体积呢？ 好，我们最后来算一下它这个体积哈是多少啊？是不是就三分之一乘以它的底面就是二，乘以根号下三分之五十二，然后再乘以都同意乘以它同一个数，是不是他们俩相加，就是根号是三分之十二，我们来约一下。首先这个，嗯，三可以和这个约了，是 四，然后这个五十二是可以表示成五多少十三乘以四的呀，所以这个根号十三可以约掉和它，它整体上面就变成了一个二，那所以整体下去就是 二得四十六。除以下面还有个根号三，整体就是三分之十六倍根号三，这个多面的题的体积就已经算出来了。好，我们来看这道题弱点， p 是 在这个棱的 b b e 上， 在棱这个上，那这个 p 是 不可以表示出来啊？ p 是 可以直接表示多少，是不是就和这个 b 有 关？就是 t 乘以我们的负根号根号三 t， 然后再逗四 t， p 是 属于零逗一的，为什么？因为 b 是 原点啊，最好表示的。 再往下读，求 a p 和这个平面 a， e， b， c 所成角的正弦值。好观察一下， a e， b c 和这个 a e， b c， c e 是 什么关系啊？这个 a e， b c 就是 这个 a e， b b c， c e 啊。所以说 a e， b c 它的一个法向量是什么？ 就是刚才求到的 m， 要明白这点，不然你还要重复计算，那我们先来写一下哈。嗯，第三题，因为平面，我们刚才 a， e， b c 是 属于平面 a e， b c c e， 所以 a e， b c 平面法向量 为 m， 就是 刚才求到的零度负二倍根号三。逗一，让我们求什么？ ap 和这个法向量 ap 和这个平面的角的正弦值。首先先把 ap 表示出来嘛， ap 多少？ p 已经表示出来了，那 a 呢？ a 是 一逗，根号三，那就是 t 减一逗，这个刚才是负根号三倍 t 减去根号三。逗四， t， a p 表示出来了，法向量也有了正。先用什么？很多同学直接用的是这个 cosine 哈， cosine， 然后再用这个 e 减 cosine 的 平方的根号，麻烦了。同学们这个时候考的是对公式的应用程度，掌握程度的熟悉，这里考的是我们的 sine， sine 它是等于我们的 cosine， 绝对只是等于我们的 a p 乘以 m 再除以 a p 的 模长，再除以法向量的模长呀， 我们来看一下哈，还差哪些值？我们来计算哪些值。首先，法向量有了呢？法向量的模差是不是根号十三啊？第二题，这些也算过，那重点是不是就是这个 a p 的 模差，因为它看起来比较复杂，我们先平方吧，是不就等于 t 方减去二， t 加上一， 然后再加上，这下面是不是可以提个负三分之根号三出来？因为有平方，所以直接是三分之一，再乘以中间是不是 t 加上三就是 t 方加上六， t 加上九，再加上十六 t 方，是等于？我们来看一下，这个 t 和这个十六 t 现在可以提在一起，这里还有个三分之一 t， 那就是十七 t 方加上三分之一 t 方，然后这是减二 t， 这是不是有加二 t 直接抵消掉了，那只有一个加四了，就变成了我们的三分之 五十五，十二 t 方加上四，这就是我们的三分之五十二 t 方加上十二，对不对？那直接代入这个扩散是多少？往后继续算，用绿色笔吧， 是不是直接是我们的一个？因为 t 乘零就是零，那就是再乘一个负二倍根号三，那就是二加上，然后再加上四 t 就是 二 t 绝对值除以下面就是刚才求到的，就是根号下 三分之五十二倍 t 方加十二，然后再乘以根号十三。下一步呢，是不是就是把常数先提出来？分子上的常数是六啊？ 六 t 加一的绝对值，其实可以把绝对值直接拆解，为什么？因为 t 是 属于零到一的，而下面呢，是不是可以提一个三分之十三出来啊？根号下三分之三，要里面就是根号下五十二倍， t 方加上十二了。到这一步我们要求 sine theta 的 最大值，是不是就是要求这个？ 我们用这个画一下哈，它和它的一个最大值啊？怎么办？令我们的 g t 是 等于多少要平方？因为我们的根号不好算啊，这个平方就是五十二倍 t 方加上十二，下一步呢？运用到我们的导函数啊，它是一个五十二倍 t 方加十二分之，直接上面求导就是二倍 t 加一，然后再减去多少？下面如果求导的话，首先加要变减，然后下面是有一个 平方，因为是负二啊，然后上面就是 t 加一不变方，再乘以一个，它求导中间的东西，求导就是幺零四 t 整体就变成了五十二倍 t 方加上十二分之， 下面需要平方，然后就是二 t 加一乘以五十二倍 t 方加上十二，然后再减去 t 加一的平方乘以幺零四 t 是 不是可以提一个出来？五十二 t 方加上， 嗯，十二的平方分之，是不是提一个二乘以 t 加一出来就是五十二倍的 t 方加上十二，再减去 提了个 t 加又提了个二，是不是只有一个减去五十二倍的 t 方减去五十二 t 啊？那整体是变成多少？是不是五十二倍的 t 方加上十二分之二，其实这里是不是可以提一个负二出来？负二 t 加一就是五十二倍的 t 减去十二， 它 t 是 属于零逗一的，而它整体是一个一元次函数，这里是负一，而这里是 负二十。五十二分之十二，看到了吗？所以他在零到五十二分之十二的时候整体是单增的，而五十二分之十二的时候是单减的，所以最大值就是在 t 等于五十二分之十二，是取到，是不是 好的来了最后一步了，好到这一步之后我们怎么办呀？ t 是 不是还可以再约个四啊？其实 t 等于十三分之三的时候，取的最大值是不是有了呀？就是我们的 六乘以十三分之十六，再除以根号三分之十三乘以，这里下面有一个相当于十三的平方，分之三个平方就九九乘以五十二，然后再加上十二乘以十三的平方，对不对？可以约掉吗？可以啊，这里一个根号十三，是不是可以约掉啊？ 然后这里约一个十三，就这个平方约了，然后这里是刚才是不是有一个十三乘以四是等于五十二，所以这里就是四，那整体就变成了一个 六乘以十六除以十三，再除以根号三分之一，然后再乘以，下面已经全约掉了，上面就变成了一个三十六，加上十二乘以十三。 看到了吗？我再来看一下能不能更简易的算，这里是不是十二乘以十六，然后再开根，是不是？那直接可以变成了六乘以十三分之十六，再除以根号三分之一再乘以。是不是就是提一个这个十六出来就四倍根号十二，再提一个二四出来就是 八倍根号三啊？这里直接可以约掉，那下面就变成了一个十三分之乘以八，然后再乘以六乘以十六， 然后这里直接约掉这是二，所以就变成了十三分之十二。那答案就是，当我们的 t 是 代表什么？是，就是我们的 b p 除以我们的 bb 一， 那 b p 除以 bb 等于三比十三的时候，那整体是不就是 p 在 b p 比上 p， b e 等于三比十的时候啊？对，当 b p 比上 p b e 等于三比十时，我们的 sine c 它取最大值为 十三分之十二，这道题我们就完全做出来了，我们回顾一下考点是不是比较多呀？第一道题，如果你用几何法算，其实也非常快，但如果用向量法，其实比较和后面的接轨，能节约你的时间 呃，而且也可以复习一下向量法，在这里也跟大家讲一下嘛。第二题，求体积的时候一定要想到要么是补极，要么是切割，最好和第一小问联动，这样你就可以完美的得到两个轮锥，你更好算。这里还有个隐藏考点，就是这个 d， 这个 d 的 这个公式啊，一定要记牢，不记牢的话你这道题做不出来，或者没有那么快的做出来。到我们第三问 这个塞塞，他的公式也要记住了，如果用扩塞算，你又绕了一大圈，本来这个计算其实就很复杂，一直到这个最后塞最大值的一个取值的时候，他计算也很复杂，如果再把这个公式再绕多了之后很难出结果， 那这道题大家已经明白他的一个思路了，下来再自己好好计算一下，多练多练。那今天我们就讲到这里哦，如果还有问题，记得留言，老师会进行回复的，我们下次再见。

理科题沙蒙考圣知道逆题就和压轴真的很难吗？昨天考场上这是绵阳二诊的 b 卷，然 b 卷 a 卷是给绵阳本市考的， b 卷是 其他市的有的买来考的，对吧？所以这个题真的很难吗？我做完之后评价是难度不是特别大，它属于中偏上难度，中偏上的难度， 但是真正的难点在于你坐标的旋曲就如果你坐标选择不好，后面找点会很复杂，对吧？但如果你坐标找准了，那么后面找点就直接算，就是常规的套路题就行了。所以这个题的难点在于多思少算， 你看完视频你就会知道哦！其实这个题也是这么好玩的，也是不难的嘛。我们就来看一下题目，如图一，在直角零处， a， b， c， d， e、 f 的 底面是边长为二的等边三， a、 d 等于四。这图二是一个多面体，这个 t 可试作将图一中的三角形绕其 中心，这个值把它标注上，非常关键，这就是我们这题最简化的关键，要坐标，圆点就是中心，如果你建在其他位置，就不好去算坐标了，理论上可以， 这个就是非常关键的，逆时针旋转六十度记它为三角形， a， e， b， c， c， e 就 得连接就得到这个图形了嘛。所以第一位证明 a， e， b， c， e 四点共面，是吧？证明四点共面了，这是 a， e， b， c， c。 很 明显证明我们一直是平行直线油且只有一条啊，两条平行直线油且只有一个平面，平行于 b、 c 就 行了，对吧？ 好，这就是我们的第一问的思路。第二问求多面体它的体积，多面体体积你就分成两个四零锥就行了。所以这第一问这思路有了吗？我们还是写下 a 一 c 一 平行于 bc。 第二问要转换成二倍 v b a c b e a e， 对 吧？三分之一 s h 锥体体积就往下套就行了吗？只要进第一问，间隙出来了，我们后面只要距离啊，那些都可以 算就行了，所以就是常规题。第三位是点在线上动求 a p 与平面，它所成角线面角的正弦的最大值还是套公式，无非就是带一个 number 就 可以设，比如 b p 向量等于朗普达被 b b 一 项与朗普达有关。代数转化成函数问题，这就转化为函数问题，你看是不是就很常规的了？所以你觉得难，并不是因为你难就难在你早点上这个题的，是难在早点关， 找点关，找点关是否难与你的间隙关有关，所以我们找是关关都要过，平常我们就是做题一定要多思考一下。好，下面就不多说了，开始来操作， 因为下面是中性，再找这个是既为 o， 上面就是 o 一 嘛，所以我们找间隙，就这样，见 x 走，平行拉过来， y 走竖直拉上去 z 走，对吧？介意你自己描述了，我们介在最开始，因为三个问都可以用到嘛，所以我们找解， 听闻只要间隙自行描述，是不是间晚系啊？间晚系我们画一个图，因为这是一个单位元， a b c o 是 它的外基元，外基元元原型了嘛，所以这就相当于是它的方程是 x 方。我们先来算半径，好 挣钱定律早就变成了二比上赛赢六十度等于二， r 就 推出 r 等于三，我看一下二分之二三根号三分之二二约掉了吗？就等于三分之二被根号三，所以它的方程是 x 方加上或者任何一个点。就是找角度了吗？是 阿尔贝克森斯达、阿尔贝塞宁塞特，那就是高度 h 的 问题，这下面就是零，这上面就是四，你看是不是就差了？下面找角度，画个图形，在草稿纸上辅助分析就行了。 x 走 o 点， y 走 是不是圆了？好，我们开始来找 b 是 不是在 x 轴上，所以 b 的 位置在这个位置就是零度， b 对 应的是零度，然后它对应上面就是一个 e 点的坐标，也对应的是 零度。下面我们来看一下 a， a 是 不是在，呃，是后面了嘛？ x 轴往顺时针方向绕，所以这儿是负的，然后这儿是一百二十度，所以这儿就负的一百二十度，所以 a 在 这对应的是 d， d 对 应的是负的一百二十度，所以 c 对 应的就是正的一百二十度。 c， c 对 应的是 f， f 对 应的是一百 二十度，你看是不是找到这些坐标了？好，我们就继续来开始旋转了，因为它是逆时针，逆时针，所以首先这个是 e， e 逆时针，我看一下，逆时针是这样绕，对吧？所以 e 点就绕到 b 一 的位置， e 点现在是在这个位置，绕到 b 一， 是不是在这个位置了？换个图像， 换个颜色，所以这就变成了 b， e 对 应的就是六十度，所以这一百二十度绕过来，这就 c 逆时针。我看一下啊，这是 f， f 逆时针是这样， f 逆时针绕过去是 c e， 所以 这就是 c， e 对 应的是一百 二十度，然后一百八十度，另外一个就负一百二十度，负的六十度，另外一个就剩的是 a e 负的六十度。角度知道了，就可以直接写坐标了嘛，你看，就这么简单，所以开始来写坐标，所以就可以得到，先写 b 的 坐标， b 的 坐标肯定是，这个是 r， 库存零度就是 r， r 零零，对吧？ r 零零，那么这个是 r， 可以 带点，也可以不带，因为第一位用不到 r， 可以 不带第二位体积，最后也可以带第三位，因为还会增加一个参数，所以第三位。具体一点好一点，这就是我们不同的题目用的不一样。好， b 的 坐标找到了，再来找 a 的 坐标，一百 啊， a 是 负的，一百二十度是负二分之一，所以就变成负二分之二，是二分之杠三，但是第三项也是负的，负二分之根号三， r 零。好， c 的 坐标就变成了，因为是 c 是 一百二十度，则变变成负二分之二，正的二分之根号三而 零。你看找 a， b， c， 找到了，下面又开始来写 a e， b， e， c。 顺着线先写 b e， b， e 对 应六十度啊，可得六十度，二分之二就变成了二分之二，这个对应的是二分之根号三而 零。好， a 一 a 一 对应的是负六十度，括号也是正的，但是剩余是负的，负二分之根号三。啊。哦，这是不好意思，高中我们这上面是四， 要改过来，对吧？我们不能在这些地方犯错，这是二分之，这改过来了， a 一 是二分之二，对了，然后还有个 c 一 c 一， 对应是一百八十度，括号一是负二零 是。你看坐标全部找到了，后面你还觉得难吗？就这么简单。我说了，这就一个单位，三角圆，我就简称三角函数中用的单位圆。 这就是我们转化与化归声，你学过的，但是你没有想到你间歇常规的就会把自己陷入早点的困难去。后面其实都没必要写了吧，所以我们开始来写定位，所以定位， 因为是不是 a 一， 我们目标是 a 一 c 一 向量， a 一 c 一 向量就顺着写了嘛。 a c 负二减二分之二，负的二分之三好 走了，这有点水，二分之三好，那这个是零，减它二分之根号三好，四点四等于零。还有个 bc 向量， bc 向量是 还是负二分之三 r， 然后再是还是二分之根号三 r 零，所以就得到 a e c e 向量等于 b c 向量，所以就得出 a e， c e 平行于 b c， 所以 就 打，你自己打就行了。你看定位就解决，难吗？不难，但定位我们还可以用纯几何初中的知识。两直线平行，内错角相等，所以我们找下定位。还有法，比如两直线平行，内错角相等，用内错错是哪个错，这个内错角 相等则划出去分析也可以做，也可以用这个四点攻面的方法了嘛。后面还有法，三向量中四点攻面， 四点共面的向量表示，但我则优先直接写它，平行则更快一点。好，第一位坐标都出来了，我们第二位也可以顺着写啊。第二位我们一直涉及到 b 道，它的高，先设一下。 好，所以我们第二位写在这个位置嘛，等会，等会这些坐标要用到了，我们复制一下算了，一会再写，我们就拉，因为拉下来不好看呢，坐标 就写在这个位置，我画一个格子翻下去不好看，对吧？好，我们来看第二问，它是不要求这个体积啦，所以我们体积是三分之一， s h 两个。首先我们在设点， b 到平面， a， c b e 的 距离为 d， 是 不是点到面的距离公式可以去算它嘛？所以我们要求这个面积，所以先把 c a 向量写出来。 c a 向量刚刚写的 c a a 减 c 的， 这就变成了零，然后它减它负负，首先是负的根号三，好，怎么写成那么大，有个地方， 那么呢，我们要在后面才用到的，这是书写的问题，书写错了，改过来，负根号三二零，对吧？ c 向量是不是就得到它了？然后就变成了零，负根号三二零，还有个 c b 一 向量，我们先写出来 c b 一 向量， b 一 减 c 的 b 在 这， c 的 在这二分之二减负二分之二就是正的好，然后它就是零四，对吧？二零四，所以很明显，你看零，零中间也是零，很明显数量级为零，就垂直了嘛，所以就得到 c a 乘以 c b 一， 数量级为零，所以 c a 垂直于 c b 一， 所以就得到 s 四边形的面积。 s 四边形，这个是哪个四边形？哈，我看一下， a c b e a c b e a e， 它就是一个矩形了嘛，就等于 c a 的 模乘以 c b e 的 模， c b e 的 模，再算减就变成根号三 r 才乘以根号下 r 的 平方加上十六，我们这就不用带它，可能后面还约分呢，所以这就是不带的一个好处， 可能会用到约分好四边形出来。我们要算点到面的距离公式就要求它的法向量套路了，当然你自己去算，因为这很明显的，它的法向量 c c b 一， 这是不是中间为零了嘛？所以这就是交叉复制吧，一个是四，一个就是法，对吧？这就一只，我直接写了 一只平面，平面 a c b 一 的一个法向量 m， 等于在交叉复制二，这是四零负二，是不是就四零负二了？这就是我们常见的交叉复制法，当然这个你要补充过程， 用套路去用法向量也可以。是不是得到它的法向量？我找到 q 三了，因为很简单。 好，这妹子要求点到面的距离就写一个 b c 向量 b c， 我 们刚刚写过的，所以就可以得到套距离公式， 先缩小点，所以这就 d 就 等于根号下这个 bc 向量乘以法向量的数量级，再除以法向量的模，对吧？法向量的模刚好你看就是 十六，加上 r 的 平方，是不是就有约？等于，所以它乘以它三四十二十二除以二等于六负六 r， 然后后面是零零负六， r 的 绝对值就是六 r 了吗？我们就得到它，所以就可以得到，所以 v 这个的体积等于二倍 v b， 这个就是 b 到 a c b 一， 我们看一下这个完整的写啊， a c b a 一 a c b 一 a 一 就是二，乘以 三分之一 s s 四边形，我就直接写啊，三分之一乘以根号三 r， 再乘以根号下 r 的 平方加上十六，再乘以这个 d， 根号下十六，加上 r 的 平方分之六 r， 看着就可以约掉，就不要了，是不是约掉他了，然后这个约掉他还剩一个二，随着二的四四倍，根号三二的平就等于四倍，根号三二的平二二四等于根号三分之二，根号三分之二就三分之四，三分之十六倍根号三，所以第二位再打一下 是个答就行了。我们下面来看第三位，第三位一样的就是计算的问题了，所以我说难点其实在解析关第三位我们找不妨设 a b p 等于朗不达贝 b b、 e 向量，不妨设 b p 向量等于朗普达被 b b、 e 向量，其中朗普达属于，看一下，它包括端点门哈，说明的是朗普达在在 b、 b、 e 上运动，它没有描述，我们一般就包括端点嘛，所以就属于零到 一，拿不拿是不是属于零到一了？所以后面要求这个是哪个线是 a p， 准备先把 a p 向量写出来，所以就得到 a p 向量，就等于 a b 向量加上 b p 向量，就变成了 ab 向量， 加上朗不达贝 b b 一 向量，是吧？朗不达贝 b b 向量， ab 向量带进来 ab 我 们前面算过 ab 没？没有算过就重新算一下嘛。 ab b 减 a 的 二分之三二，二分之根号三好，对吧？我看一下，二分之三，二分之根号三好， 二分之三好，二分之根号三好零，再加上朗不达贝 b b 一 b b e b e 减这负二分之二，二分之根号三 r 四负二分之二，二分之根号三， r 四是不得到它了。然 r 等于根号三分之二带进来，三分之二被根号三了嘛，所以这儿化简，三分之二被根号三乘以二分之三就是根号三，然后这就变成了只要是 r。 是 啊，三分之四不杠三除以二就等于负的三分之二倍根号三啊，不是三分之四，三分之二倍根号三，我看下是三分之四还是三分之二哈， 三分之二倍根号三朗普达，然后这二分之根号三，这就是一了嘛，这就是朗普达，这就是四朗普达，所以化简就变成了根号三，减去三分之根号三朗普达一加上朗普达四 那么大，是不是得到 ap 向量了？然后再求这个的反向量是哪个面了？我们就来看一下。是 a e b c， 我 们一直还有 b c b c 写过的，就腾下来负二分之三，二分之杠三零， 而 bc 相当等于负二分之三 r 二分之根号三 r 零，对吧？然后我们找下代减， r 等于三分之二，根三就等于负的根号三，然后再就变成了正一零， 找代减了嘛，还有个，除了 bc 项链，再找一个 b a 一 项链嘛， b a 一 或 c a 一 都可以，我看前面找过没哈， b a 一 a 一 b 没找过，我们就重新找一下 b a 一 项链就变成了二分 啊，我看一下 b a e 是 不是 b a e 啊？对的， b a e 二分之二减二，负二分之负二分之一，负二分之二。三四负二分之一，负二分之二。四 b a e 向量等于负二分之一，二二分之啊，是负的， 负的二分之根号三二四，所以在二代减三分之就变成负的 三分之根号三，这既然肯定是负一了吗？四，你看是不是得到他了，说要求他的法向量，同样我们其实可以口算的，因为咱就交叉负值了吗？我们咱就你自己补充过程我自己 我可以口算了，这个的法向量 n 向量就等于再就交叉负值。首先因为这个好算吗？是一根号 三，对吧？交叉负值填个方就刚好乘起来就刚好等于它了吗？所以是不是一根号三了？代减就变成了负的三分之二，三减去根号三减三分之一，这就正的三分之。根号三是不是在优化为，所以没找是草稿上，所以就得到。嗯，同时乘以根号三啊。 对的嘛，同时乘根号三，因为有分式，所以就变成了根号三三一。是不是根号三三一了？所以妹子题目有 c 塔没？没有 c 塔，我们要设角度，则设线面角的角度， 设直线 a p 与平面，这个是平面，是 b c a e 的 线面角为 c 塔啊， 则 sine theta 等于 cosine 现于法向量 的绝对值的余弦值，余弦值的绝对值嘛。所以代减就变成了 a p 向量的模，乘以 n 向量的模，分之 a p 和 n 向量数量级的绝对值，下面就计算了。所以代减计算就等于 a p 是 在这了嘛。所以 a p 乘以它，我们先来算这个法项，根号三乘杠三，就等于三减去，然后就变成了减 number 达，再加上三，加上三 number 达，再加上四 number 达的绝对值，再除以 a p 的 模， 根号下这个有点长的，我们只要把等号拉下来一点，就等于根号下面， 对吧。这个的平方，根号三的平方等于三减二倍，首尾则是阿尔朗姆达再加上三分之九分之三，三分之一朗姆达的平方，再加上这个的平方，然后把平方加上阿尔朗姆达加上一，再加上十六朗姆达的平方，这个打长一点，还差一个， 再乘以根号下面。根号下面这是九加一十，十加三十三，是不是得到它了？所以就推出塞盈塞塔就等于根号下面 就计算了吗？十六十六加一，十七十七就三分之五十一，三分之五十二朗姆达平方，三分之五十二朗姆达平方，再加上正负抵消了，刚好是四，上面七六六，朗姆达加上六，提出个六来，就是朗姆达加一， 再乘以根号十三，是不是得到他了？得到他之后呢？我们其实有多种方法来做他用这根号十三写出来了吗？根号十三分之六，再乘以根号下 三分之五十二，朗姆达平方，加上四分之朗姆达加一。我们有多种方法则会衍生出，主要是两种。第一步，换元法令朗姆达加一等于一个心元 t， 对 吧？朗姆达加一等于心元 t， 代言就可以转换成二次函数，问题转为 二次函数，二次函数。当然第二种思路则是法一 还有我们的反而直接暴力求到。但这题我推荐的是用第一种说明，主要就是先令 number 加上一等于 t， 其中 t 属于一到二的，是不是？ t 属于一到二了，就可以推出 number 等于 t 减一，说明就单独写它，所以 f t 的 函数就等于不写其他的了，就变成了根号下 三分之五十二。那么呢，就是 t 减一的平方再加上四，是不是加四啊？然后分之 t 是 不是得到它了，然后把它打开除下来，就变成根号下三分之五十二， t 方减去二， t 就 变成了三分之五十二乘以 我看下是五十一，我三十七，三七二十一对五十一，五十二对的三分之五十二乘以二，再乘以 t， 再加上三分之五十二，再加上四，再除以 t， 是 不是除以 t 了？得到它我们来化解下，就等于根号下， 把这个 t 挪开，就是根号下 t 方了嘛。所以 t 方 t 方除，这就常数，这就变成了五十二加十二就变成了六十四，所以就变成三分之六十四乘以 t 方分之一，是不是乘以 t 方分之一啊？再减去这个是 三，怎么，怎么变成五了？嘿嘿，咋就变成了三分之五十二乘以二，再乘以七分之一，再加上三分之五十二分之 一，是不是得到它了？咱们算一下七分之一的对称轴。好，这个七分之一的对称轴，这是关于七分之一的 r 整数吗？对称轴是负二 a 分 之 b， 所以 就变成了负以，我这怎么又写成五了？ 这就是负二 a 分 之 b， 三分之六十四乘以二分之三分之五十二乘以二，负的正了嘛。所以化解就变成六十四分之五十二，就变成了。我看下这同时除以个四十六分之十三三四十二， 是，是不是十六分之十三了？得到它，所以就对应了 t 就 等于十三分之十六，就推出朗姆达就等于十三分之三，所以朗姆达是不是就出来了？朗姆达就是我们的求的目标，所以最终它的位置就是得到这个比值，但人家还要求最大值，所以我们要把这个朗姆达带进去。 带入哪个？简单，我们带入圆式，所以 c 一 c， 它此时 sin c， 它就等于我们把十三分之三带进去就行了嘛。 c 是 它带入这个值就变成了 根号，十三分之六再乘以十三分之三加十三分之十六再乘以根号下三分之五十乘以，这是十三分之三乘以三，再加上四，对吧？好，化解一下。 十三，先约掉一个，这就变成一个三与刚好。是哦，这是三四，这是四三和三约掉，所以这就变成十三分之十二，十三再沉进来，所以四提出来了嘛，说明这就变成了六。 我们抄个纸，上六乘以十三分之十六，再乘以根号下十三，再提出个四来，就是二倍根号，这提了四，还剩三加一等于四有刚好四。我看一下，还有个十三，糟了，写错了， 先不提根号，下面这就变成了十三，分之十二，再加上四， 这个十三分之十二加四了。然后这个十三先摞进来，就变成了，这就变成根号十二，再加上五十二，这就变成了六十四。六，十四就是八，对吧？所以八约掉，这就是二，就变成了十三。二六十二，十三分之十二。好，没超过十三算出来了， 所以直接写答案就得到，此时剩一，剩的等于十三分之十，最后你再整合一下答就行了。所以你看这题后面就是计算量，计算量的问题是常规的套路题，关键前面找点上是你值得学习的地方。好，这个就跟大家讲到这，拜拜。

当大家以为绵阳二卷 a 卷的空间几何压轴题就是天花板，温州刚考完的一点五模又考一道空间几何压轴题，温州这个才是王炸！立体几何为表，不等式和导数为理，综合性和创新性超级大， 对着解析好好研究吧，搞不好今年真的立体几何压轴。

好，下面我们来看一下二零二六绵阳二镇的例题集合。压轴题的第三位，考察一个外接球问题，并且它和这个三个可能值有关，与相当于零点交点个数有关。这个题还是比较巧的， 所以我们找到第二位已经间歇了，所以第三位也可以间歇来算。咱们先来分析一下题目给了什么。 b d 平行于 f g， b d 平行于 f g， 而我们前面平行是不是就相似了？而 p f 是 等于 p g 的， 所以很明显 p b 等于 p d， 因为 p c 垂直。下面这个面勾股定律 c d 也等于 c b， 是 不是 c d 等于 c p 则首先得到一个关系， 得到关系之后呢，我们再来看一下。而 a p b 和 a p d 也容易证明， 因为角相等，边边角边是不全对啦，所以 ab 也等于 a d， 是 不是 ab 也等于 a d 啦，所以很明显这个焦点我们前面设为 o 的 话，很明显就可以证明它是中点并且垂直啊，所以这就是先翻译条件，得到垂直我们就可以好设定来见效 解。第三位，因为 b d 平行于 f g， 且有前面的这个是 e f 和 p f 有 前面之 p f 等于 p g 等于 e， 所以 就可以到了 p b 等于 p d， 进步就可以推出 c d 等于 c b， 有 规律了嘛。好，然后又有一只 三角形， a， p b 全等于三角形，这个是 a p d， 所以 也可以得到 a d 等于 ab 是 吧？ a d 等于 ab 了，所以你看两个相等了，这个是所以它的交线，所以很明显因为这个 p f 我 看一下啊， p f 等于 p g 没问题，所以就可以得到 ab 等于 ab， 所以 进一步就得到 o b， 所以 就可以推出 o b 等于 o d， o b 等于 o d， 所以 这就可以证明垂直了。这就是呃，中点了嘛，所以就可以得到 c o 垂直于 b d。 是 不是 c o 垂直于 b d 啊？而我们找的是垂直的话，这就是中垂线。巧设圆形，所以 b、 d 的 中垂线就是 x 轴，所以故可设 库克色。下面这个是什么？ a b d 平面，不是平面，我们再描述成三角形，三角形 a b、 d 的 呃，外接圆圆心为， 外接圆圆心为。这是比如我们手随便设个字母 t 零零，因为这是 p c 垂直于它的，所以球心 球心 o r， 我 们这记为 o e， 所以 球心 o r 记为 t 零 h 是 不是 t 零 h 啦？这就叫中垂线。巧设圆心。好写下，因为 这个是 o e 嘛。因为 o e a 等于 o e b， 我 们把 a 的 坐标再顺便写下，虽然之前我们写过了 a 的 坐标二零零，然后这是 b 的 坐标，是 x e y e 零，是不是 x e y e 零了？然后我看一下，对了，所以就可以推出。咱就得到 o e a 平方了嘛，它就变成了 t 减二的平方，就等于 o e b 就是 t 减 x 一 的平方，加上 y 一 的平方，就可以得到 t 和 x 一 y 一 的关系。先把它化解，超格上打开 t 方消掉，再就个负四， t 加上四， 是不是负四？ t 加四四了，再 t 方消掉，就负二 t x 一 加上 x 一 的平方，而 y 一 平方是等于四 x 一 的，所以 把它花掉一怪就推出四 t 就 等于 x 一 的平减，去加上二 t x 一， 或者还有个 t， 要把它合在一起， 先合在一起，然后这一怪就我看哪个一怪，这个一怪吗？二、 t 减二， x 一 减四。 错了，二 x 一 减四乘以 t 就 等于 x 一 的平方加上四， x 一 减四，是吧？ x 一 平方加四， x 一 减四了，所以咱进一步就推出 t。 好， 咱来描述一下 x 一 是不等于二的，很明显吗？显然， 因为免得再除以，我们严谨点， x 一 不等于二，所以就推出 t 就 等于二， x 一 减四分之， x 一 的平方加上四， x 一 减四，其中 x 一 大于零，且 x 一 不等于二。简单描述一下， x 一 不等于二，这是操作，这样操作你看是不是得到 t 的 关系啊？我们在标为一个四，子标为一，四 为了好算吗？我们又继续往下得得到这个 t 和 x 一 的关系，下面找这个还有个 t h 的 关系，所以要找 t h a 的 坐标，知道 p 的 坐标，知道我们就写，因为 p o r a 等于 o r p 就 可以推出 o r a 就 变成 t 减二的平方，加上 h 的 平方就等于 o r p p 的 坐标，我们则是零零零零二了嘛，所以就变成了 t 方加上 h 减二的平方。这个打开很明显， t 方 t 方削掉， h 方削到四，约掉，就可以得到 t 等于 h， 是 不是 t 等于 h 啊？现在得到球心，下面为又继续得到 t 等于 h 之后呢？我们再来算一个 r， 我 们 y 求角半径 r， 而大 r 的 平方又可以表示乘以，这就是 o r。 等我看一下 o r 哪个好算哈， o r a 就 自己再来算一下代减了嘛，所以就得到 o r a 的 平方，这个代减 t 等于 h， 就 变成 h 方加 h 方， r h 方或者 r t 方嘛， r t 方减四， t 加上四，是不是就得到 r 的 平方，等于二 t 方减四， t 加上四啊？你看，这是关于一个 t 的 函数，我们记为 f， t 相当于这个 t 一 元二乘方的可能有两个减，可能有一个减，可能没有减，下面还要减 x 就 相当于是它的体积。我们先来分析一下体积，而 v p b c d v p b c， d 的 面积，我们只要刚刚写了嘛，就这个是锥体底，三分之一 s， 三角形 b， c， d 再乘以高，高就是 p 到 b， c， d 的 面积就 p c， p， c 就 乘以二， 对吧？所以这就变成了三分之二乘以 b， c， d 的 面积。因为这垂直了嘛，所以就是 b d 的 长度， b， d 的 长度，因为这是对称的，所以就是二倍 o b o， b 的 话，我看一下， b 的 坐标在了 x 一 y 一 逗零，这是 x 之上，就是直接上 y 一 二 y 一 二 y 一， 再乘以，加个绝对值嘛，就二 y 一 再乘以。乘以什么？我看一下。 嗯，这是二 y e， 这是 y e 嘞。那再乘以我看一下啊。乘以这个高，高是 c o c o 就是 x e， 我 看一下，这是 x e， 这是 y e， 再乘以 x x e 底乘以高除以二分之一，这写错了，面积是二分之一，底乘以高除以二， 就是二分之一乘以底色，这是横坐标，这中着二倍 y 一 的绝对值，再乘以高 x 一， 肯定是正的，对吧？所以化简就变成了三分之二倍 x 一 乘以 y 一 的绝对值，而前面 x， 呃，我看一下， y 一 方是等于四 x 一 的，所以 x 一 就等于四分之 y 一 的平方，或者 y 一 消掉，我们找它取一个正的补方子，设 a y 一 大于零嘛，找对称性找它就可以得到，就等于三分之二乘以这个 y 一， 就是根号 二倍。根号 x 一 再乘以 x 一， 所以就变成了三分之四倍。 x 一 乘以根号 x 一， 这很明显单调递增，所以要有三个可零值，就是 x 一 要有三个减，对吧？是吧？ x 一 要有三个减了。所以 这题目说的是三菱锥的体积就有三个可零值，则三菱锥 体积有三个可能值， 则 x e 有 三个。正解，我们刚刚分析过它大于零，是不是三个正解？而 x e 是 由这个函数决定的，则我们是 f t， 则就 t o 是 这个函数。两个函数类似于嵌套函数。我们就重新定一个 g e x e g x 了嘛。 积 x 一 就等于二，被 x 一 减四，分之 x 一 的平方加上四， x 一 减四，换个圆。另分母提出来， x x 一 减二等于，这个是我 看下等于零，另外一个线直接等于 x 了，所以因为 x 一 是大于零且不等于二的，所以 x 是 大于负二，且 x 不 等于零大于 f， 是 不是不等于零啊？所以就可以转换成 g x 的 函数，再就变成二 x， 然后 x 等于 x 加二，所以就是 x 加二的平方加上四倍， x 加二 减四，就 x 平方加上四， x 加上四，再加上四， x 加上八减四。在化简就是 x 平方加上八， x 加上八， x 平方加上八， x 加上八。或者打开就类似于对勾函数平移了嘛，所以就等于 二分之 x 再加上 x 分 之四，再加上四，是吧？二分之 x 加 x， 分 之四加四啊。二分之 x 加 x， 分 之四加四。好，这很明显它是一个对勾函数，所以由对勾函数性质之 函数性质之 g x 在 这个是负二到在 x 平方等于八， x 等于二平方，负在负二到零上单调对勾函数是这样 的，是这样和这样吗？负二在这负二到零上单调递减上，我用箭头了 上单调递减，然后是零到二倍根号二，这是八二倍根号。零到二倍根号上单调递减二倍根号二到正无穷大。上单调 递增是不对勾函数，图像得到它了，所以现在对勾函数它要有三减在，这就相当于有 a 上面肯定 m 有 两个减了吗？两个减就可能是二加一，我们只要先把图像或者我们重新画图像只有一半，为了让大家更好理解，点 x 走， o 点 y 走，再有个负二负二代减是负三四正一，是不是单调递减啊？图像是这样的， 然后减下来又增上去，在这个地方是二倍根号处取的，他是二倍根号加四，二倍根号加上四，这个是正一，所以你看要有 是吧？二加一的问题。二加一可能是则，也可能是则，这是一了嘛？所以我们先讨论这种相等的情况下，所以我们现在是还有个 m 的 函数跑哪去了？ 你看下这是不是 m 是 t 的 函数，而 f t 我 们写下来，而 f t 是 等于 二， t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 加上四的，所以要有三个解，则 f t 要有两个 g， 是 吧？ f t 要有两个解了，且我们回答例例，且 两个减 t 一 t 二吗？显示有两个减 t 一 t 二，则 t 一 加上 t 二是要等于啊。 a 分 之 b 负， a 分 之 b 负，负的正等于二， t 乘以 t 二也要等于二的，是不也要等于二的了，所以我们只要就得到。当 t 一 等于刚好是二倍根号，加上四十，带进去， t 二就是负的。咦，好像又没墨了，该死，该死， 等一下，我看一下，好像真没墨，你看，我们现在先来分析一下思路嘛。 t 等于二倍根号带点，是不是 t 二就是负的了？二倍根号一个一个，所以此时只有两个不满足，所以只能是 t 一 大于二倍根号加四，这上面有两个跳小于一，是不是就跳小于一啊？再结合这个二次函数的图像去分析。所以我们在结合二次函数图像，找了百分之一，还不够， 咱是去分析了。那咱先写一点，听一点嘛。所以就得到，此时 t 二是等于负等于二，一个就是负，二减二倍根号二，此时只有两个焦点，此时则只有两个 焦点，这种情况一个在这，一个在这两个焦点，所以不满足， 不满足写快点，所以当，所以这就要有 t 一 要大于二倍根号加上四，然后还有个 t 二要小于一，我们就画这个二函数的图像。对称轴是这样， 快，说话快，没对称轴是一开口向上零的时候是四，是不是这样了？所以我们的 t 一 要小于一， t 一 在这，对吧？一在这，所以只要就得到这个的函数，我们是 t f 一， 所以就可以推出 f 一 肯定要小于零，当然 t r 要大于二倍根号，所以这是 t r， f 二倍根号加上四就要大于零，带进去就可以推出 f 一 小零。我们再去算一下， f 一 小于零，就变成了二减四加四就二。 咦，怎么好像咋都不对了， f 一 我们是要小于零了吗？ f 一 代减是等于它，它大于零了嘞，我是不是来分析错了哈，看一下 f 一 小于零， f 一 是我们是不是这个函数读错了。 m 幺减四， t 加四啊？ f 一 f 一。 哦，这个讲错了，这我们函数图像就出问题了，这还有个 r 的 平方，说明这个有问题，咱不能直接这是一个整体的零点问题了嘛，说明咱应该是在这个地方令 令 f t 等于二 t 方减四， t 加上四，再减去二的平方，这是吧？二 t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 还要减去二的平方，这才行，要不然刚刚出问题了，所以在 f 一 这就推错。 f 一 刚刚算出来，因为是正的嘛，所以出问题了，就检查这是一代点就是二减二，平方小于二的平方大于二 就推错，二的平方要大于二。再第二个就是二倍根号加四大于零，所以代点就是二倍根号。二 加上四的平方减去四，乘以二倍根号加上四，然后再加上四减二的平方要大于零，减一下就可以推出。 那就是二乘一，它是八，加上十六加上二的是十六倍根号啊。再减去八倍根号减十六，加上四大于二的平方是不是大于二的平方？这是二十四， 二十四打开就是四十八加上三十二倍根号，二 三十二倍根号减八倍根号减十六，加上四大于二的平方，就推出二的平方小于，这个是四十八加四，五十二，五十二减十六，就变成了四十三十六，三十六，再加上二十四倍根号是三十 六加二十四倍根号了，就推出 r 的 平方要小于这个值一是小于还是大于？哈，我们这是小于零，那这方向都弄错，嘿嘿，因为我们方向这还是 小于零，所以小于。下面检测是大于 r 的 平方就大于它了嘛，所以就推出 r 的 平 方是大于。大于啥？我不应该差的，大于三十六加二十四倍根号。 r 的 平方大于三十六加上二十四倍根号，是不是三十六加二十四倍根号了？ 关键这个我们要怎么因式分解呢？其实我们这就求开根号了嘛，所以就推出小于，肯定 r 要大于根号下三十六加二十四倍根号，肯定可以提出个四来就是 r 倍根号下九加上 六倍根号，是不是九加六倍根号了？三十六，这是四十六，二十四没问题，但提出这个来我们好像还不行，我们这九这个拆分成是二倍首位，二乘以三乘以根号，这平方就是九啊，不行。然后这是 不能拆分成，这个要用别的音色分解方法。我看一下这个都是六的倍数了吗？提出个根号根号六来试一下，就变成了根号下六加上四倍根号。哦，好像这个可以了，因为四倍根号可以写成二乘一， 根号二乘以二，对吧？这个的平方等于二，这个平方的四就可以开出来了，所以大家就可以写成根号六乘以根号下根号二加上二的平方，是不是根号加二的平方了，所以这样就可以开出来， 就推出二是大于根号乘以根号六，就是二倍根号三，再加上二倍 根号六，是吧？二倍根号三加二倍根号六了。所以我们只要最得到最终答案去打一下，所以它的曲值范围是二倍根号三，加上二倍根号六到正无穷大，所以我们这就做完了。

二零二六绵羊二整解析几何压轴大题，考生基本上都是折腰，在暴力计算的过程中，因为暴力计算真的很容易卡在，我们可以用拉格朗日恒等式来简化。我们具体来看题目 在已知椭圆 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一经过，这就相当于是 a 等于二倍根号， a 方等于八， 八分之二是不是就等于八了？八分之这个代减八分之四就二分之一，所以则 b 方也等于二，就得到 d 位的方程，八分之 x 方加上二分之 y 方等于一。因为特别简单，我就不写具体过程了，我们来看第二位， 直线 l y 等于 k， x 加 t 交 c 于 ab 两点，若 c 上存在异于 ab， 当然我们再来简单介绍一下拉格朗日恒等式。在前年我看一下，二零二四年的时候，我录制一个清华标准学术能力测试， 标准学术能力测试，其中录制一个填空压轴题的时候，就当时就介绍过这个拉格朗日横列式，然后后面，然后去年的一个武汉还是武汉几调的时候， 武汉几调一个例题集合，大题例题集合，当时间隙暴力，算了，咱没有平移了嘛，咱后面也会用到哪个呢？是很类似，所以这个题这个的第二位，我们往下做的时候就会利用这个可以简化计算，在我们就是对 接触的多，所以我们这题目做起来就要快点，如果接触的少，暴力计算这题呃，咱大家可以去算一下，真的会容易卡的。我们继续往下 分析一下思路嘛。直线和它连力是常见的，只要若 c 上存在存在异于 a， b 的 一点 p 满足二倍 a p 等于 ob。 当然我们这个题第二位还有的用仿色变换，但我们说了仿色变换，我在一般我也不太会，对吧？因为我觉得他用大题用的很少，对吧？所以我们咋没有去 研究过他？所以我们咱也有很这种面积问题了吗？咱一般可能想到仿色，这是思路，但我说了我个人 不是喜，很喜欢去学它，所以我就不介绍仿色变化的方法了。来满足二倍 a p 等于 o b a b 有 关系的，对吧？维达定律了吗？然后这个 p 点代减就可以得到。呃， 就相当于我们比如是 a p 点 x 零， y 就是 x 零和 x 一 x 二有关系， y 零和 y 一 y 二有关系，但 带入椭圆去进步，就得到 x 一 x y 一 y 二的关系。就问后面的藻儿探球面积是否为定值做准备了，这就是我们的常规思路，但是暴力计算比较难，我们后面有个技巧，后面再说藻儿弱势求出该值了吗？而第三 第二问第二小问的，第二问的第二小问 q m a q b p 交于第一两点，相当于我们的有点像蝴蝶 模型了，对吧？我们只要高考考过一个类似的，那 d e 平行于 a b， 若 k 等于负二分之一，求 m n 满足的关系。既然这个平行，我是从这儿入手， 怎么写成人手了？人是怎么写？入字入字写错了，哈哈哈，不好意思，只要入手就是我们这儿就得到。 因为斜率相等了嘛，咱就可以设 a b 是 不是 k x 加 t 了，所以在 d e 的 方程就可以设成 l， d y 等于 k x 加上另外一个体积，再利用这关系整体消元，我们找整体思想，整体 十项，我们往下操作，但都有计算的，对吧？好，我们开始来操作。第二问的，第一小问了好一，首先肯定是连的， 只要是 x 方加上四 y 方，同时乘个八了嘛，减八等于零就等于八，还有 y 等于 k， x 加上 t， 只要是消 y 的， 其实咱很好算的，平方 k 方乘以四，四 k 方加一，所以就变成四 k 方加一乘以 x 方，再加上再平二 k t 乘以四，八 k t x 再加这个 t 方，四 t 方减八，四 t 方减八等于零，对吧？我们要什么硬解定理嘛？我们这我也很少用什么硬解定理，或者都是算的多好。我们这不能先设点，要先判断得它，虽然我们用用用得到再回来具体算，用不到就直接写， 再减就变成六十四 k 方， t 方减去四乘以四 k 方，加上一乘以四， t 方减八 大于零，因为肯定有两个交点了嘛。就可以设点啊，设 a 点为 x 一 y 一， b 点为 x 二 y 二，然后顺便设 p 点为 x 零 y 零，是吧？ x 零 y 零啊，好，我们找到很明显显然写一下 显然就可以得到几个，比如四，我们写成这个好点， 就变成 x 一 的平方加上，或者我们直接写零幺。嘿，我可以这样写。再就是 x a 的 平方加上四倍 y， a 的 平方等于八，其中 a 等于零，一 二是不就可以写了，得到这个方程了。好，我们再利用这个向量得到关系，我们要写二倍 a p 向量，二倍 a p 向量等于 o b 向量，就可以推出二倍 a p， x 零减 x 一， y 零减去 y 一 等于 o b， 就 变成了 x r y 二，对吧？ x r y 这个遗传就得到二倍 x 零，减二倍 x 一 等于 x r 二倍 y 零，减二倍 y 一 等于 y 二。进而就可以推出 x 零等于二分之二倍 x 一 加上 x y 零等于二分之二倍 y 一， 加上 y 二，对吧？所以代入前面的 x 零，所以代入。我们再标为一四，这个标为二四 二四，代入一四，就可以推出。这就 x 零的平方就变成了四分之。 我们直接打开了四分之四， x 一 的平方，加上二倍十位二的四。四倍 x 一 x 二加上 x 的 平方，再加上四乘以 y a 的 平方，再就变成四分之四倍 y 一 的平方，加上四倍 y e y 二，再加上 y 二的平方，就等于八，对吧？然后同时乘个四了嘛？我们再同时乘一个四，就四八三十二是不同时乘以四就得到它了。好，得到它之后呢，我们又继续往下算，这我们 打个括号，好拆开分组，它和它分为一组，就提出个四来，就变成 x 一 平方，加上四倍 y 一 的 平方，对吧？提出来个四，再加上它和它为一组，就变成 x r 的 平方，加上四倍 y 二的平方，再加上它和它为组。提出个四来，就是 x 一 x 二加上四倍 y 一 y 二等于 三十。刚刚说这个是等于八，这个也等于八，所以在前面就是五八四十了嘛。所以就相当于是五乘以八加上四乘以 x 一 x 加上四倍 y 一 y 二，是不等于三十了。同时出个四，这就变成 这同时出个是十了嘛？这就是八。发移过去就是 x 一 x 加上四倍 y 一 y 二，等于发，这是一个经典的关系，不管用哪种发这个关系肯定 要用它的，对吧？好，我们找常规思路就是把直线 y 一 写成 k， x 一 加 t， y 写成 k， x 二加 t 代减进步就得到 k 和 t 的 关系，再代入面积公式，底层高垂啊，则就简化，但我们面积则。上海高考题 和当时好像，这个我才在多选择题讲过，对吧？证明你自己去看当时那个上海真题的证明，证明自行补充， 自行补充就是 x 三角形 o a b， 它最终面积是二分之一倍 x y 二减去 x r y e 的 绝对值的。所以既然有 x y， 有 x r y e， 你 看这个等于八， 对吧？这个也等于八，这就。我们拉格朗是恒等式方，科西不等式是方和积 方和极大于等于集合方。我们这拉格朗是写一个两个的，简单的嘛，再写个简单形式， 简单形式为什么是大于等于呢？所以取等号，这就会加一个余量，加个平方，这就是我们的这个拉格朗任意式方和极。所以我们只要写出来，就变成了 x 一 的平方，加上 四 y 一 的平方，你看方和再乘以几 x 二的平方，加上四 y 二的平方。好，我们写一下，就等于这个是集合方，就是 x 一 x 二加上 是二 y 一乘以二， y 二就是四倍 y 一 y 二的平方，再加上，这就变成了交叉，就变成了 x 一 x 二 x 一乘以二倍 y 二就是二倍 x 一 y 二，再加上二倍 x y 一，交叉相乘相知，差了，差点写错 的平方，这就是我们简化的哪个朗日，肯定是。为什么简化呢？因为我们来分析一下嘛， 现在这个是目标，这个是我们已知值，这也是一个值，这我们刚刚算出来也是一个值。哎，面积是不是就出来了？所以知道这个拉格朗是很等式，就做起来很快， 所以就可以得到，这就是八乘以八就等于这刚刚算出来是发发的平方等于四，再加上这个二的平方拿出来就四倍，我们目标的平方就变成了 x 一 y 二减 x 二 y 一 绝对值的平方，再就推出 x 一 y 二减 x 二 y 一 的绝对值就等于 这是同时出个四，这就是二八十六十六减一十五，十五就根号十五，所以我们最终面积 s 三角形 o a b 就 等于二分之根号十五。这是不是第二位 就为定值简化出来吗？但如果你不知道折，你就自行补充，你自己暴力计算就不是从折就从折带进去，得到这个关系之后带入销远， 再暴力计算，我们再最好念一下考核了嘛。暴力计算来看，你会卡在了，卡了，我们这就可以把它优化过来，这就是我们的第二位。下面我们来看还有第三位。咳 咳，第三位，我们连立的方程要用到，我们这就把它挪下来 拷贝粘贴，对吧？好，我们就来看一下第三问怎么操作啊？第二问的第二小问由 一至然后就得到零的方程为就变成 k 等于 five 分 之一， five 分 之一 k 方就等于四分之一，就刚好是二 x 平方，加上再 k 等于 five 分 之一，就变成了 四 t x 负的看一下，负二分之一对的，再加上四 t 方减八等于零是不等于零了。好，回答，第一，咱就可以得到 x 一 加上 x 就 等于。呃，我看一下是等于正， 这是正的还是负的？不要弄错了哈，它是负二分之一除以八除以负二分之一，负四就是负四的 x 一 加 x 等于负 a 分 之 b 负负的正四。 t 除以二就是二 t， 是 吧？二 t 啊，说明咱同底我们这儿就可以得到。先写伟大的例例，然后 x 一 乘以 x 就 等于， 这是十二 t 方减四。好，我们再标为前面标过几十啊，前面标过三四，我记得。好，我们再标为四， 因为它平行了嘛？因为 d e 平行于 a b， 故可设直线 d e 的 方程为，假设 y 等于 k x 加上 t e， 对 吧？所以就可以得到 x 三。那么同样设假设交于 d e 两点了嘛？ d 点坐标 x 三 y 三 e 的 坐标 x 四 y 四，是吧？ x 四 y 四，所以就得到 x 三加上 x 四就等于二 t 一 x 三乘以 x 四等于二 t 一的平安静 四是不是就得到五十啊？咱们关键怎么利用他，其实就是贡献运转，是不是 q 点延长了，所以 a q d 是不是三点贡献啊？而因为 a q d a q d 三点共线，三点共线是不是就斜了啊？本来咱我们有的讲它是不连力，有结论的不连力咱直接用结论，直接 直接用结论，但是我还是本质就是连例，我们就连例也不是特别难，我们记，反正念一下计算量吧。点前面那个题都还没有帮你计算，我们只要就用。嗯，常规的写，不用结论直接写，只要就得到 k a q 等于 k d q 就 推出 a q 的 弦律， a 是 y， e 减去 q， n 除以 x， e 减 m， 就 等于这个就变成了 y， 这个是我们看一下啊， d 的 坐标是 x 三，就是 y 三减 n， 除以 x 三减 m， 我 们就暴力计算，就推出 y e x 三减去 m 倍， y e 加上 m n， 就 等于 x e y 三减去 n 倍， x e 减去 m 倍， y 三加上 m n。 你 看无非就是结论就是一般过程它， 嗯，当结论来做，本质就是连力，这是连力三点共线是个直线连力啊，后面还会带进来，再带住。这个结论是不就是之前连力椭圆的了？本质肯定是要连力的，好，得到它。这我们一下， 这就变成 y 一， 是二，我们用 k 来表示吗？是 k x 一 加上 t 乘以 x 三减去，这个移过来，就变成 y 三，就是 k x 三加上 t 一 乘以 x 一， 就等于这个 m 被移过来，就是 y 一 减 y 三，然后这个 n 我 看一下，前面好像少了，我看哪个？我少了一个，哈。这是 y e x 三减 m， y 三减去，前面还有个减去 n x 三补上，这漏了 没？漏了把它补上嘛，所以我们把它移个位置， 漏的。减 n 倍，减去 n 倍 x 三漏了把它补上，所以这 n 一过来就是 n 倍 x 三减 x 一，是不是得到 n 倍 x 三减 x 一了？我看这有问题没？哈，好，没有问题， n 倍，这个 m 一 是消掉的 n 倍 x 三减 x 一。 好，继续把 y 带成 k， 对 吧？所以就变成了，你看再乘进去 k x 一， x 三负的是不就抵消掉？所以这就还剩一个 t x 三减去 t 一 x 一， 就等于 m 倍 y 一， 就变成了。我们都不用括号了，直接打开 y 一 是 k x 一 加上 t 减去 k x 三减 t 一， 后面是 t， 再加上 n 倍 x 三减 x 一， 是不是得到它了？好，我们找右化简，就推出 t x 三减去 t x 一， 就等于 m 倍，这个 k 提出来就 m k， m k 乘以，这是 x 一 减 x 三，对吧？再加上 m 倍 t 减 t 一， 再加上 n 倍 x 三减 x 一， 对吧？所以你看，这两个可以合并的，这是 x 一 x 三是不可以合并了，我就 挪过来一起写啦。则是因为是负的，这是 x 一 减 x 三，这是 x 三减 x 一， 就是 m k 减乘以 x 一 减 x 三乘以 x 一 减 x 三，是不就得到它了？这个挪过来，则就把它擦掉 好，是不是就得到它？好，一向得到它之后，我们只要标为，管它标为几式，还是要看一下四式、五式，只要标为六式，因为 x 三和 x 二 x 四等效， x 一 和 x 二等效。好，我们描述一下。又因为 则是则是 a q d 贡献，那么我们则就是 b q e 贡献， b q e 贡献， 同理可得，就变成 t x 四减去 t e x r， 就 等于 m k 减 n 倍， x r 减 x 四，再加上 m 倍 t 减， 契机，这是不是七四啊？那么维达利你是不是两边之和了？你看这，所以用函相加，整体去转换就行了。所以我们这就直接写六四加七四，就推出七倍的 x 三加上 x 四，减去 七倍 x 一， x 加 x 二加上 x， 就等于 m k 减 n 乘出来，这就有个 x 一加 x 二了。 x 一 加上 x 二减去 x 三加上 x 四，再加上两个相加，就是 r m 被 t 减 t 一， 是吧？ r m 被 t 减 t 一 啊。所以再将维达定律维达定律，我们标的是几式？将四五代入 将，我们再标为八四，将四五带入八四就推出，对吧？所以你看，只要带点 x 三加 x 四，是不等于 x 三加 x 四，四等于二 t 一， 所以这就变成了二 t 乘以 t 一， 同样再就二 t 乘以 t 刚好为零，对吧？就变成了 m 可以 减乘以 x 一 加 x 是 二 t 减去二 t 一， 再加上二 m， 其实二可以提出来二 m 被 t 减 t 一 好，只要进一步化简，基本上就成了，就推出零等于这个二拿出来就是 t 减 t 一， t 减 t 一， 这就有个 r m k 减二 n， 但这是 t 减 t， 也是加 r m， 对 吧？所以因为我们在设的时候则描述下， 直线跑哪去啊？则可是其中则补充上，其中 t e 不 等于 t 是不 t 一 不等于 t 了。好，因为 t 一 不等于 t， 所以 就得到二。约掉 m k 减 n 加上 m 等于零，就推出 k 是 等于负二分之一，负二分之一代减就变成一减，负二分之一就等于二分之一 m 等于 n， 就 推出 m 等于 二 n， 这就是本题的关系式，所以 m a 满足的关系式为这稍微打一下，所以 m a 满足的关系式为 m 等于二 n， 你 看是不是就解决了？所以这个题我们只要其实很多考生容易卡在 第二问的第一小问，他计算量还是建议你下去先练一下。咱们优化其实就是一个接触的问题，拉个冷热很等式，这你可以看我之前录制的视频吗？所以这个题目第二问 用放射变化应该可以，但我不擅长，对吧？没找第三问呢。这还是用斜率看入手，这个斜率相等，只需要换一个 t 和 t， 在 整体 思想，两个加减消元法函数与方程式样，转化与化规式样一个难题也可以迎刃而解。好，这个题目就给大家讲着，我讲的还是 怜悯本质的方法，咱并没有用啊。当然这个用到了拉格朗日恒定是简化，因为这个那个算底 的确很难算，所以咱该优化我们可以学一下，但常规年龄咱我就后面没有用，结论就顺着往下写，大家可以稍微看一下。这个结论呢，也可以大体用的话我们高考用过，只要有时间稍微证明一下，没时间你就这样写， 只要结论对了，基本上问题也不大的。所以你看，咱就给大家讲到这，拜拜。

绵阳二诊数学测测你的解析肌肉这套卷子的精髓不在于你会不会，而在于你的时间分配和取舍。刷它重点是练考场上的决策力。

同志们大家好，我们来看一道刚考完的二零二六届绵阳二诊解答十八题。这是一道圆锥曲线压轴的一个题目，整体难度呢，不是很大。好，我们一起来看一下啊！第一问，求椭圆的标准方程，这里二 b 是 吧，等于二倍根号二， 所以解出 b 等于根号二，离心率等于根号下一减 a 方分之 b 方就是二，等于二分之根号三， 所以解出 a 等 a 方等于八，因此椭圆方程就是八分之 x 八 加二分之 y 方等于 c。 好， 第一问比较简单，我们主要来看第二问啊。 p 点在椭圆上，位于第一象限，然后 m n 两点正负二的零连接 pm， 将椭圆与另一点 a 连接 p b， p n 交椭圆于点 b， 叫我们求 ab 的 斜率，那么这里要求 ab 的 斜率，得先求 ab 的 坐标。不妨先假设 p 点坐标 x 零 y， 设 p 点的坐标 x 零 y， 那 么 p 点在椭圆上，所以 x 零的平方加四倍 y 零的平方等于八啊。把这个椭圆绕的两边同乘以八好，然后 pm 向量 等于五倍 m a 的 向量好，把向量换成坐标 pm 的 坐标就是负二减 x 零，负 y 零等于 a， m a 向量就是 x， a 加负二加二， y， a 减零，所以 负二减 x 零就等于 a， x a 加四，负 y 零重坐标等于五倍 y a， 所以解出 x， a 等于负十二减 x 零除以五 y a 等于五分之负的 y 零。因为 a 点在椭圆上，所以代入椭圆的方程，五分之负十二减 x 零，括号的平方 加四倍 y， a 的 平方就是五分之负 y 平方一个八，所以两边同乘以二十五，然后化解啊，就是 x 零的平方加四倍 y 零的平方 再加二十四倍 x 零再加一百四十四，等于八乘二十五两百，所以 x 零方加四倍 y 零方就等于我们的八啊，这个是八， 所以八加二十四， x 零的平方等于两百，减一百四十四十六，所以这个 x 零减出来等于二，因此我们推出这个 p 点坐标是二 o， 对 吧？ p 点的横坐标就是二， 那么重坐标，我们就把横坐标二带入这个椭圆的方程，带入这个椭圆方程就行了啊，所以就是四加四倍， y 等于二，此 y 零方等于七。这个因为在一项线啊，所以 y 零等于一。 好，现在 p n 横坐标是一样的，对吧？所以 p n 就 在垂直啊，这里 p n 一个垂直 x， 因此 p 点和 b 点就得关于 x 对 称，所以 b 点的坐标那就应该是二的负一，那么 a 点的话， 我们就把 x 零等于二带入，带入 a 点，这里坐标把二带进来就是负的分之十四， y 零等于一带进来就是负的分之一 啊，所以 k a b 等于 负五分之一，减负一就是加一负的五分之四，减一个二，所以这里算出来等于负六分之一。

下面咱们来看解答题，前三道都比较基础，咱们就快点讲。那先看十五题解三角形，已知 c 等于二 a， 且散 c 等于 cosine a， 这道题本身非常简单啊，但是这个条件我还是要多说一句， 如果大家基础足够扎实的话，看到这个条件应该立刻就反映出这个三角形，它一定不是锐角三角形。因为我们知道，在锐角三角形中， 任意散 a 都是大于扩散 b 的， 而这里是等于，那么它只可能是直角或者钝角三角形。当然，这不一定在解这道题的过程中用到，只是看到这个条件，咱们顺便提一嘴。 好，那咱们看问题。第一问，求散 c， 那 由 c 等于二 a， 我 们使用一下正弦定理，应该就差不多。由正弦定理， a 比三 a 等于 c 比上三 c， 那 么现在 c 等于二 a， 那 也即 a 比三 a 等于二 a， 除以三 c， 那 我们自然可以得到三 c 应当等于二倍的 二倍的三 a。 然后题目中又说三 c 等于 cos， 对 吧？那也即 二倍的三 a 等于扩散 a， 此时我们两边同除以扩散 a 可以 得到，则 tan 值 a 应当等于二分之一， 那既然 a 是 三角形的内角，所以现在 a 一定是一个锐角，对吧？贪婪 a 是 一个正数，那 a 肯定是锐角，所以我们也可同时可以得到三 a 应该等于五分之 根号五。 cosine a 等于五分之二倍的根号五。 那三角函数知道其中一个求另外两个，即使在解答题，你也不需要交代是怎么算的，但事实上我们一般都选择画三角形，对吧？这里我就不再赘述。那到这是不是这个题就结束了？因为 sin c 是 等于 cosine a 的， 故 sin c 等于 cosine a 等于五分之二倍根号五。第二问， 若 b 等于根号五求 a， 那 目前我们已经知道了 cosine a， 而 a 跟 c 知道一个关系，那直接使用余弦定律就可以得出。由于弦定律， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 扩散 a 将 c 等于二， a 和 b 等于根号五，代入 a 方等于根号五的平方五加上四 a 方减去二倍，根号五乘以 c 是 二 a， 然后再乘以扩散 a 五分之二倍根号五。 简单整理一下，我们可以得到，三 a 方减八， a 加五等于零。很明显，这个可以进行因式分解。三 a 减五乘以 a 减一等于零，那也即 a 等于一或 a 等于三分之五。事实上， a 等于一和 a 等于三分之五，这两种情况就是三角形为直角三角形和钝角三角形。那这道题到这就已经结束了，大家可以去验证一下刚刚我说的关于三角形形状的内容。 接下来咱们来看十六题，已知等比数列 a 一， 那么 s 十比 s 五等于三十二分之三十一。 这道题本身也是比较简单的哈，但是到对于这个数还是跟大家提一嘴，这个数是不是很明显应该是一减三十二分之一啊，而三十二分之一是不恰好又是二分之一的五次方， 因此这个题的公比多少应该跟二分之一沾点关系。那我们开始设 a， n 公比为 q， 显然 q 不 能与一。 这个道理很简单，如果 q 等于一的话， s 十除以 s 五显然不可能等于三十二分之三十一，那么 s 十比 s 五等于。根据等比数列的前根项和公式，一减 q 分 之 a， 一 是一，就不写了。一减 q 的 十次方。 比上下面是一减 q 分 之一减 q 的 五次方，那也即一减 q 的 十次方除以一减 q 的 五次方。这里注意，分子是可以因式分解的平方差公式，一减 q 的 五次方乘以一加 q 的 五次方，再除以一减 q 的 五次方。 由于刚刚已经铺垫过 q 不 等于一，所以这里一减 q 的 五次方可以直接约掉，它就是一加 q 的 五次方。然后等于三十二分之三十一，那显然 q 的 五次方应该等于负的三十二分之一，那也即 q 等于负二分之一。 那既然 q 已经有了通项，公式就有了，对吧？ a n 等于 a 一 乘以 q 的 n 减一次方，等于一乘以负二分之一的 n 减一次方。 第二问求使得 s n 大 于二 a n 成立的 n 的 取值范围，那我们先把 s n 写出来吧， s n 应当等于一减 q， q 就是 负二分之一，那也即这样，我先写一下公式啊， 一减 q 的 n 次方，然后咱们把具体的数值代入，一加上二分之一 a 一 是一，咱不管，一减去负二分之一的 n 次方。简单整理一下，分母是二分之三，那除除完就是三分之二乘以一减负二分之一的 n 次方。 这是 s n， 那 么由 s n 大 于二 a n， 那 我们可以得到。 这里我先把 s n 给乘出来，三分之二减去三分之二乘以负二分之一的 n 次方。大于二 a n， a n 是 负二分之一的 n 减一次方，所以它是二乘以负二分之一的 n 减一次方， 那现在有一个问题，就是你这是 n 次方，这是 n 减一次方，是不是不太好算？所以我们需要先凑一个 n 次方，这边咱们保持不动三分之二乘以负二分之一的 n 次方大于， 我现在需要一个负二分之一的 n 次方，那现在还差个负二分之一，所以我把它写成负四乘以负二分之一的 n 次方，这个大家能理解吧？就是把负四乘以，相当于就是把二写成负四乘以负二分之一，然后 负二分之一乘以后面的负二分之一的 n 减一次方，等于负二分之一的 n 次方。那下面就是移项的事情，将它移到左边，那我们可以得到 三分之十乘以负二分之一的 n 次方大于负的三分之二，然后两边再同时乘以十分之三，也即负二分之一的 n 次方大于负的五分之一， 那我们看等号不等号右边它是一个负数，所以 n 对 于所有的偶数，是不是它一定都是成立的呀？就是 二、四、六、八这些，因为偶数四方，它是一个正数，对吧？那我们再看基数，基数的话， n 等于一显然是不成立的，但是 n 等于三，它是。我们先旁边写一下，负二分之一的三四方是不是也是大于负的五分之一？ 那因此如果比三更大的话，比如五啊，七啊，九啊，是不是显然也是大于负的五分之一的？因此由这个式子我们可以得到 n 对 于任意正偶数 和大于三的基数 均满足该不等式，或者直接说均合提议就可以。均合提议， ok， 那 既然都合提议，所以咱们直接下结论就可以了。所以故 n 的 咱们看一下它是怎么问的。呃，使这个不等式成立的 n 的 取值范围，故咱们直接写 n 的 取值范围。 取值范围咱们还是严谨一点，把它写成集合。 n 的 取值范围是 n， n 大 于等于二，且 n 属于 n 星。 ok， 这是十六题，这道题本身也并没有太多难度，大家注意不要计算错误就可以。 下面咱们来看看十七题。十七题是一道导数的题目。第一问，求切线方程。这没啥说的，就按部就班求就可以，来吧， 求切线方程，我们需要先求下导数，当 a 等于一时， f x 等于 e， x 乘以二， x 减一，减 x 再加一，那此时 导数等于前面是一个鸡的导数，一 x 二 x 减一，加上 后，导前不导就是二倍的 ex， 然后再减去一，简单化简一下，就是 ex 乘以二， x 加一，然后再减一。求的是在 ef 一 处的切方程。那我们先算一下， 在一处的导数应该是 e 的 一次方乘以三，再减一，那也即三 e 减一，再计算一下， f 一 f 一， 此时应该等于 e 的 一次方乘以一，减一，再加一，也就是 e。 ok， 下面咱们直接使用点斜式即可。 y 减 y 零等于 k 乘以 x 减 x 零。 这里我们想化简就化简一下，如果你实在不想化简，你就写成 y 等于三， e 减一，乘以 x 减一，再加 e 也是没有问题的。当然你把它成开，把它整理成呃，就是斜截式也是 ok 的。 下面看第二问。第二问说，若 f x 大 于等于 e， 求实数 a 的 值。 这里我们需要先简单分析一下函数的造型，我们看啊，这个造型其实并不算简单，对吧？相当于是一个指数乘以 m， 然后 再加上密函数这样一个形式，并不算特别特别简单。那么他最后让我们求的就是 a 的 值，而并非 a 的 取值范围。所以我们应该先研究什么呢？ 对于这种有点复杂，最后让我们求值的，而且还带超越函数的， 我们通常要先考虑特殊值，就是看一下能不能在 x 取某些特殊值的时候发现一些内容。那比如说，这里目前可能的特殊值有哪些呢？就是让超越函数消失的，比如说 x 等于零， 此时 e 的 零次方等于一，对吧？超越可以消失。此外， x 等于二分之一，等于二分之一的时候，虽然有 e 的 二分之一次方，但是 它后面乘的那个二 x 减一，此时为零，那超越也可以消失，或者 x 等于一，因为 x 等于一的话，可以让参数消失。 好，那我们看啊，现在是 f x 大 于等于 e， 那 也就是说它其实并没有让 e 的 x 本身完全消失，对吧？因为它还有 e 存在。 因此这三个数，我们目前来看，取 x 等于一是一个比较好的尝试。那我们先试一下 f 一， 简单计算一下， f 一 等于 e 的 一次方，乘以二减一，也就是乘以一再减去零，也就是说 f 一 恰好等于 e， 那 也即 f x 大 于等于 e 是 不？事实上就是 f x 大 于等于 f 一 啊，那也就是说 f 一 它肯定是函数的一个最小值。 这个定义域内到底有几个等于一的地方？等于 e 的 地方不好说，但是至少 f 一 它一定是等于 e 的， 因此它肯定是一个局部的最小值，或者说它就应该是极值， 这个大家应该能理解吧。那因此 f 一 已经等于了 e， 所以 我直接可以推出 它是必须等于零的，否则将不合其。那我们求下倒再来看一下 f 漂移等于零能得出啥来？ 那么带着 a 求导，前面部分还是不变，等于 e x 乘以二 x 加一，然后再减 a。 刚刚咱们已经说过了，此时的 f 撇一是必须要等于零的，故 等于 e 的 一次方乘以二加一， 再减 a 等于零，此时 a 等于三 e。 ok， 但是我们要注意啊，并不是说到这里这个题就结束了，因为你现在只是证明了必要性，就是说如果 f x 大 于等于 e， 那 么 a 必须等于三 e， 但是你还没有证明充分性，因此我们现在还需要证明充分性。下证 a 等于三 e 时符合题。 那当 a 等于三 e 时， 此时的 f 撇 x 等于 e 的 x 次方乘以二 x 加一减三 e， 它的单调性其实目前还并不是特别容易看，所以我们可以再求一次的，令 g x 等于 e x， 则它应当等于 e x 乘以二 x 加三。那么显而易见， 前面的 e x 是 横正的，那么二 x 加三，是不是将决定 f 漂 x 或者说 f 撇 x 的 单调性？那由 g 撇 x 移至 f 撇 x， 在 富无穷到 负二分之三单调递减。在负二分之三到正无穷单调递增。好，到此，我们离证明这道题目就只差最后一步了。我们来观察一下 l p x 的 符号， 具体来说啥意思呢？当 x 小 于等于负二分之一时， 它是不是一定小于零？因为你看，当 x 小 于等于负二分之一时，这部分是负数，而 e 的 x 字方本身又是正数，那负的乘以正的是负的，再减三， e 是 不是一定是负的， 所以此时它的导数一定是小于零的？当 x 属于 负二分之一到一时，因为此时 f 漂 f 撇 x 是 单调递增的，所以 f 撇 x， 它一定小于 f 撇一等于零， 对吧？当 x 属于一到正无穷时， f 撇 x 大 于它等于零。那么综上， x 等于一为 f， x 为一 极小值点，故 f x 大 于等于 f 一 等于 e， 这样我们这道题就证明完毕了。 故 a 等于三 e 这道题本身在导数里面肯定不算特别难的题，因为大家看它的位置就比较靠前，对吧？是十七题。嗯，第二问也算中规中矩。跟，如果我没记错的话，跟成都一诊十九题的我在下面写一下。跟成都 一整十九题的第二问是非常像的，大家可以两套呃，两道题目相互参照来解一下这道题。

单选压轴很简单，顺着写出答案。这是今天下午才考的二零二六绵羊二整的 a 卷的单选第八题。 这个题目则考察抛物线，因为都具体了他，他说顶点在圆点，交点在 x 轴上，其实就相当于是则左右至 y 方等于二 p x， 然且经过这个点代减就行了嘛。 y 方等于二 p x， 待定系数就推出八等于四 p 就 推出这个 p 等于二。随抛物线方程， y 方等于四 x 交点坐标，这就是一逗零。 直线 a f 交 c 于另一点 b， 直线 a o 交 c 的 准线于点 d， 则 b d 的 坐标。我们稍微画个图，其实这儿都不用画图的，只是为了讲起来更方便点，我自己做这个都没必要画图了。 是不是这样，这有个交点，这是 f 一 勾零，这个 a 的 坐标是二二倍根哈。然后这个 b 的 坐标现在不知道，但它还有一条直线 a o 再交于一个点 d d 的 横坐标是负一准线上了嘛？重坐标我们不知道，设为 h， 说明咱要怎么算呢？有的是设直线，直接用斜率相等就行了，所以关系式就是斜率相等， 都不用设直线的。当然也可以设直线去连立也行嘛。好比如就来先看一个 k o 等于 k， 这个是 a d， 对吧？ k 或者 d o 了嘛。 k a o 等于 k d o， 二被根号二除以二就是根号，二比一就等于 h 比上负一，就推出 h 等于负的根号，所以 d 的 坐标就是负一负的根号。我们同样的设 这个 b 的 坐标参数方程嘛，这是四 x， 就是 t 方和二 t， 是 不是 t 方和二 t 啊？同样利用斜率相对 k a f 等于 k a b， 这我们用 k、 a、 b 要快一点，这可以连立的。这我们说了这常规思路法，这思路啊， 思路二还可以设直线连立，但我们则直接用斜率相等就行了嘛。所以就是二倍根号二比上二减一就是一，就等于这个是二， t 减去二倍根号二比上 t 方减二。下面很明显是一个平方差公式。因为上面提出 t 减根号二来了嘛，做实练就是 t 加根号二乘以 t 减根号啊。然 t 肯定不等于根号的，否则它就是垂直了，很明显不垂直了嘛。所以咱约掉就推出，咱就变成二倍根号，就等于二除以 t 加根号就推出 t 加根号，就等于根号二分之一。二约掉就二分之根号，就推出 t 等于负的二分之根号。所以我们找 d 的 坐标写出来负一负根号， b 的 坐标梯方就是二分之一，也是负根号， 对吧？也是负根号，所以重坐标相同的情况下，它的距离，所以 b、 d 的 长度就等于横坐标之差二分之三。二分之三是 a， 答案是不就出来了吗？所以这个题比较简单的。

填空压轴也不难，公式是记还是推？这是我们这个题目要跟大家讲的一个东西。这个题是今天下午参考的二零二六绵阳二诊的填空十四题。 在直三棱柱 a b c a e b e c e 中角 a c b 等于一百二十度， a c 等于 b， c 等于 a， a 一 等于二，只要有个等幺三就行了。 m 为 a a 一 的中点，若平面 b c m 与平面 b e， c， e m 的 交线为 l。 其实读道题目，你看这 b， c， b， e， c， e 是 不是有个线线平行？线线平行可以推线面平行，而没有个经典的这个心之定律， 线面平行则线与交线平行，就相当于。读完题目小题码向上要翻译出 l 平行于 b， c 是把 l 平行于 bc 的， 首先要翻译出它来，才好找出交线来，然后面则点 b 到直线 l 的 距离公式。这就是我们不常见的空间中 点到直线的距离公式。平面上这个点到直线的距离公式大家背的滚瓜烂熟，但这个空间中点到直线的距离公式是新高考加的，在刚学的时候高，我看一下，可能是高，有的是高要学的，有的 高一级学的吧。呃，看情况一般是立体九和那学的，然就书上也有公式，但我推荐的还是要学会推导 更佳，因为这不是很常见，学会推导你记忆可以模糊，稍微一推就出来了嘛。我们等一会讲到后面再说。来画个图子，三零柱 一百二十度等腰三角形， 这是 c a b c e a e b e 对 吧？然后它边长为 r 二，然后这个是一百二十度。继续往下刚说了 m 是 a a 一 的中点，换个颜色， m 是 不是在这了？来根据是不是要平行于 bc 了？要做平行的话，我们只要用割补法把它 延长到一个点到 d 点，那么这中线就出来了嘛，再把它延长下，这是 d 点，这是上面的 d 一， 所以只需要取这的中点 n 点，那么交线 l 就是 m a， 所以 这就是因为线面平行，则线与 交线平行，所以交线 l 就是 我们本题的直线 m n。 好 得到直线 m n， 你 看现在直线 m n 知道了，而这个数据又具体了，所以不妨间隙做 间隙，间隙的话，下面一百二十度，我们就要拉出九十度 x 轴，这个只拉三十度，这就是五 y 轴，这个是 z 轴。我们再来就径下径系开始来找坐标，要找 m、 n 和 b 的 坐标，我们先找要找 m 的 坐标，先找 a 的 坐标嘛， a 的 坐标就是二零零， 所以 m 的 坐标就是二零 e 高度的一半 e 是 吧？ m 的 坐标找到了，同样要要找 n 的 坐标，又要找 d 的 坐标，我们先找 c 的 坐标零零零，再找 b 的 坐标。找坐标其实就做垂直嘛，看折做过来，折垂直三十度，所对的边是斜边的一半，斜边为二，所以折就为一，但是它是反方向，所以折就是负一 负一，另外一个肯定就是根号三零，对吧？所以你看 a、 b、 c 的 坐标找到，而 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 c、 d 加起来， c 加 d 的 坐标就等于 a 加 b 的 坐标。我在减写啊， 减写，因为两个向量中点对角线，这相交于一点是中点了嘛。所以我们再就是 c 加 d 的 坐标，就直接用 a 加 b 减 c 的 a 加对的， a 加 b 减 c 二负一，这就变成了 一零，根号三零。你看 d 的 坐标找到了，所以 n 的 坐标拉上去，就像一根号三一 m 的 坐标在这， n 的 坐标在这， b 的 坐标在这，所以我们找就这三个的坐标画出来。要求点到直线，直线就是 m n 了嘛。所以我们找画一个平面， 管他空间还是平面，不影响了，这是我们的 b， 这是 m， 这是 n， 对 吧？这是 b， 这是 m， 这是 n， 所以 要求距离就是求这段 做一个 h。 关键我们在空间中就是 h， 不好求，所以不能直接套点到线的平面上。点到线的距离公式，那是平面上， 空间中怎么办呢？其实就是推导，看好了教大家。推导就是一个距离，就是勾股定律了嘛，勾股定律就转换，说明咱距离看怎么推导的。 点到线的距离公式推导，这是 d， 我 们标为 d， d 等于勾股定律。根号下 n b 向量的平方，长度的平方嘛，减去本来要减去 n h 向量的平方。哎，我们因为 h 不好找，所以 n h 要转换。转换成什么？我们在向量中学过的 n h 就是 n b 向量投到 n m 上的投影， n h 代表的是 n b 投到 n m 上的投影， 是不是投影啊？所以投影公式则投影向量后面加平行向量就行了。所以这样就可以等于根号下 n b 的 平方减去，投影上面就变成了数量级， n b 和 n m 的 数量级，下面再除以 n m 向量的 膜，但这是平方给固定平方，这就是空间中点到线的距离公式的一个推导过程。你看不难的，我们都不用单位向量，只用投影，一转换就出来了，所以就顺着写就行了。 好，下面我们来操作。干嘛？ n b 向量在我们加个向量的箭头， n b 向量就是 b 减 n 的， b 减 n 的 话我看一下，负一减一就变成了负二，根号三减根号三，零负一暂时不要哈，你先拿过去哈。 嗯，你不要的话我就好嘞。好的，还有 n m 向量， n m 向量就是 m 减 n 的 二减一就等于一，对吧。零减根号三，负根号三，一减一等于零，所以代减就等于根号下 好像没墨了，嘿嘿嘿，稍等一下，应该没墨了，咱们只要只需要带点其实就行了。 n b 我 们只要其实都可以口算的。 n b 算量级，二的平方加零的平方，加一的平方就五了嘛。 五减去这个 n b 和 n m 的 呃膜就是一根号三二，然后在上面数量级对应相等的和二分之二就是一，一的平方等于一，五减一等于四，开根号就等于二，最终答案是二，对吧？这是我们因为没墨了，所以我们找 快速写一下。就刚刚代建了嘛，就根号下 n b 的 平方四加一等于五，减去 n m 的 模就是二，然后上面数量级是负二的绝对值也是二了嘛，负二的绝对值的平方，所以上面刚刚应该加绝对值，因为啊，但有平方为则而不影响，但严格来说再就变成了五减 一就等于五减一等于四，开头就等于二，所以最终答案填二。 这就是我们的填空压轴，它其实真不难，只要就有个经典的性质定律，线面平行则线与 交线平行，所以交线割不发，只要为了好找这个交线， m a m a， 我 们就间隙，间隙后面就转换成空间中三个点，知道怎么去点到线的距离呢？我们找就是 一个线推，其实就是一个勾勾定律转换成一个距离，转换成投影，投影我们限量那学过，但是你能不能用起来就是一回事。

同学们，大家好，我们来看一道刚考完的二零二六届绵阳二诊多选第十题，这是一道考察函数性质与零点的题目， 整体难度不是很大，但是需要同学们对基础知识要比较扎实才可以啊。嗯，好，我们来看 a 选项， 它说这个函数是偶函数，那么显然这里面有 non x 有 对数，对吧？这个 x 到大于零才有意义。那么定域域不关于原点对称，它就不具有基性，嗯，所以这个 a 应该是错的啊。 f x 不 具有基性。 b 选项 a 等于零时，函数 f x 就 等于绝对值零 x， 那 么它的图像我们给它画一下， 我们先画里面这个零 x， 那 么对函数偏绝对值啊， x 则上方不动，把 x 下方翻折到 x 上方， 所以图像画出来，我们长这个样子。然后 f x 一 等于 f x 二，我们画一条水平线，这个焦点横坐标 x 一， 这个焦点横坐标 x 二，所以 f x 一 等于 f x 二的啊，那么代进去， f x 一 就是绝对值小于 x 等于绝对值小于 x 二，因为 x 一 属于零到一之间，所以小于 x 一 是个负数，因此就是负的。小于 x 一 等于 x 二大于一，所以小于 x 二大于零。大于零的绝对值等于本身小于 x 二，因此小于 x 一 乘以 x 二等于零， 所以 x 一 乘以 x 二等于七。好，这个 b 选项啊，说明是对的啊！好，我们再来看 c 选项，存在 a， 使得函数为减函数，对吧？是整个函数为减函数。 好，那么这个 c 选项的话，嗯，我们就分分段进行讨论啊。嗯，因为里面有绝对值，所以我们想办法去掉绝对值。当 x 属于零到一时， 函数 f x 就 等于负的零， x 加 a x， 是 吧？因为是要使得函数为减函数，我们这个函数给它求个导函数，就该等于 x 分 之负一加 a 就该小于等于零。嗯，在 x 属于零到一横乘以啊，所以 a 就 小于 x 分 之一，在 x 属于零到一横乘以，那么 a 就 该小于等于它的最小值，那么 x 分 之一在 零到一些呢？是个减函数，所以 x 分 之一就该是属于一到三位数，对吧？把一带进来是最小的，一分之一等于一是最小。嗯，好，所以这个 a 就 该小于等于七。那么当 x 属于一到整数时，嗯， f x 就 等于什么呢？ 就等于零 x 加 a x， 所以， 那么导函数就等于 x 分 之一加 a， 因为整整个函数要是减函数啊，那么一到正无穷也是个减函数。在 x 属于一到正无穷要横成立，所以 a 就 该小于负 x 分 之一，对 x 属于一到正无穷横成立，那么 a 的 话还是要小也要小等于最小值 负 x 分 之一在一到这个数，它是个整数，所以负 x 分 之一在一，这里就开始最小值负一到零，对吧？所以 a 就 该小于负一，对吧？好， 前面是 a 小 等于一，这里是 a 小 零负一，那么两个条件都要满足啊。他说函数是减函数，那么负零到一要减一到正无穷也也得是减，所以 两者去交集，这个 a 就 应该是小零负一。 ok， 因此 c 选项它是正确的啊，是存在 a， 且 a 的 范围是 a 小 于负一，使得函数为减数。好， d 选项， 这个 d 选项。当 a 等于负一分之一时，函数有两个零点啊，我们就带进去 f x 等于绝对值零 x 减 e 分 之 x， 它有，对吧？问题是它有多少个零点啊，就令函数等于零，那么就等价于这个方程 绝对值等于一分之 x。 哇，这两个函数图像啊，左右两个函数图像有几个焦点，所以我们要画函数图像，画出函数图像， 好，这里是绝对值的零 x， 那 e 分 之 x 是 过圆点的子线，那么问题是过圆点这个子线，它与这个对数啊，绝对值零 x 是 相切，那还是这样子相交 啊，所以我们这里需要去判断一下啊，需要去判断一下啊，才能够画出来，才能准确的画出来 是不是相切。我们在这个对数函数图像上啊，任取一个点啊，在 x 大 于一的时候，任取一个点，横坐标叫 x 零，重坐标，我们就叫 n x 零，对吧？好， 那么我们在这个点处求切线方程，那么求切线方程，我们先求出什么呢？先求出切线的斜率啊，切线的斜率，那么 no x 求的导数就等于 x 分 之一，所以斜率就是 x 零分之一，因此切线方程就是 y 减去。嗯， log x 零等于斜率的话，就是 x 零分之一乘以 x 减 x， 对 吧？所以什么呢？在 x 零处啊，切线，切线方程，对吧？切线方程又因为什么呢？ 我们这个题啊，这个直线过圆点的这个直线啊，它的斜率要求是一分之一，所以我们立 x 零分之一等于一分之一，因此减去 x 零等于一， 所以我们带进去的话，就是 y 减一等于一分之一乘以 x 减一，所以化简出来正好是 y 等于一分之 x 减一，所以化简出来正好是什么呀？过圆点的直线 y 等于 e 分 之 x， 正好跟这个对数函数啊，是相切的啊。没问题，正值在这里相切，因此一共是两个焦点，就是两个零点，所以这个 d 也是对的啊。所以这个题答案我们选 b c d。