济南一模数学答案步骤分

好，把这个步骤我也写了一下啊，哎，你看咱是如何猜出这个答案来之后，然后如何快速的去写写步骤的啊？然后我就设 啊，因为 k a n 加 k e m， 它是等于五的，是吧？然后我设这个 m n 的 方程啊，为 y 等于 k x 减加 m 啊，然后给它写成一般式，写成这样子啊，然后把 双曲线啊也写出来，他两个去连的啊，我用硬硬结定律啊，你用用，如果会用硬结定律的话，这个地方会非常快啊，然后把 x 一 加 x 二， x 一 乘 x 二， y 一 加 y 二， y 一 乘 y 二，还有这个麻花公式啊，也给他写出来， 写出来之后，然后再把 k e m 加 k e n 啊，给他带入啊，他说等于五吗？然后给他整理。就管于关于 x e x 啊， x 一 y 二啊，就给答案往上套一通分，上面写成这种形式，粉母变成了 x 一 x 二，减去两倍的 x 一 加 x 二，再加上个四，分母呢，变成一个麻花， x 一 y 二加上一个 x 二， y 一， 再减去两倍的 y 一 加 y 二啊，然后把咱写出来的这些式子，然后往上往上往上追一下， 对一下之后啊，写出来的这么一个很大的一个式子，那虽然这个式子很大啊，你需要算吗？你不需要算，因为我已经算出他的 y 等于二斗一来了哎， y 等于 k x 加 m， 然后我又等，哎，他如果过二斗一的话，这个 k 和 m 一定有什么关系啊，一定是由 m 等于一减二 k， 所以 说这里地方直接就写啊，整理得就这么三个字就完事了啊， m 等于一减二 k 这个式子根本不用算。这个，这个庞大的式子不用算啊， 哎，这整理得它就完事了。所以 m 那 方程啊，就是 y 点 k x 加 m， 然后一整理就变成这样一个式子，所以它就是过二度一这个点，是吧？哎，你看似复杂啊，你会了这些技巧之后很快啊，很快就写就就就给它搞出来了， 是吧？嗯。

大家好，这里是龙虎七队这期视频，咱们来讲解一下二零二六届济南市高三一模数学。在讲解之前，容我先说一句，终于讲到咱山东的卷子了，我的心情是无比的激动啊！好，那咱们看第一题。第一题答案显然选 a 对 吧？ 因为在集合 a 中只有一跟二，那 a 交 b， 所以 选择 a， 这个不再赘述。第二题负数 z 满足一个式子求 z 的 魔长。这类问题，我们的通用方法是不是就是将 z 表示出来？ 那这里给大家介绍两种方法。第一种就是把 z 算出来，那么将分母的 z 加一乘过去，就是 z 减一， 等于 z， i 加上 i， 然后我们把 z 移到一边，就是 z 减 z， i 等于一加上 i， 那 也即 等于一加 i。 到这里我们只需要将一减 i 除过去，然后把 z 算出来就可以了。 z 等于一减 a 分 之一加 a， 上下同乘以分母的公和负数。一减 a 方上面是一加 a 括号的平方，也就是一加上二 a 再加上 a 方。 简单化简一下，上面一加 a 方是零二 a 下面的话一减 a 方是二，所以它等于 a， 那 因此 z 的 魔长显而易见等于一， 这是法一。那再简单介绍一下，法二法二的话，就是你算到这里，其实就没有必要再继续往下算了，我们直接两边取模就可以，就是 z 的 模长，再乘以一减 i 的 模长等于一加 i 的 模长，那这两个显然是相等的，所以 z 的 模长等于一。 我之前给大家讲过，复数魔对于乘法可交换，乘法可交换，共恶 对于加乘均可交换， 所以第二题答案选 b。 下面第三题在直角坐标系中角阿尔法、贝塔均以 o、 x 为矢边，已知阿尔法始终在第一象限，且 cosine 阿尔法等于三分之一， 那这是一个比较大的锐角，对吧？我们知道鱼弦在第一象限单调递减，然后 cos 六十度是等于二分之一，三分之一比二分之一还要小，所以它是一个比较大的锐角，然后将阿尔法按照逆时针旋转六十度，则贝塔得到贝塔的中间，问我们散贝塔等于多少？那先简单画个图吧， 相当于这里是阿尔法，然后逆时针方向旋转六十度，大概 相当于。这假设这是六十度，那你要求的贝塔是不相当于就是阿尔法加六十度，那么由 cosine 阿尔法等于三分之一，且它是锐角，显然可以得到 cosine 阿尔法应该等于三分之二倍根号二，那么 cosine 贝塔等于 阿尔法加六十度，也即三阿尔法 cosine 六十，加上 cosine 阿尔法，再乘以 cosine 六十， 那简单计算一下，六分之二倍根号二加根号三、选 c 第四题，圆跟抛物线的准线相切，则 c 的 焦点坐标为这个圆的圆心非常明确，是一零，半径等于二，那我们直接画出圆的图像 是以一零为圆心，以二为半径， 大概是这样一个圆，那跟抛物线的准线相切，那显而易见，这条线就是准线，而它的方程显然是 x， 等于负一，对吧？那这个题也即 二分之屁等于一，所以 c 的 交点坐标显然选 b， 那 事实上其实也就是圆的圆心坐标，对吧？ 下面第五题，这个图看起来很复杂，我们重点看条件说，这是一个建立的宪性回归方程，并且 y 等于一百三十二点五， t 加上 a， 预测我国二零二五年它的收入是多少？那么这个题如果要是我们自己算的话，是不是需要去算样本点的中心啊？样本点的中心， 那也即这题是 t 的 话，就是 t 八 y 八 t 八是非常好算的，显然等于五， y 八自己算有点麻烦，所以题目中告诉我们了是六百四十八点四，那因此 将 t 八外八这个点带入到回归方程中，我们就可以解得 a， 也即六百四十八点四等于一百三十二点五乘以五，然后再加上 a 键，这样我们可以解得应该等于负的十四点一。 现在让我们预测二零二五年，那也就是他的下一年，他的下一年对应 t 应该等于十，所以此时应该等于幺三二点五乘以十，再减去十四点一，那算出来答案应该选 b。 第六题已知 f x 一个三次函数的图像上存在不同的两点，关于 y 轴对称，这里要注意是存在不同的两点，关于 y 轴对称，则 a 的 取值范围是。 这个题我们关键是怎么翻译题干，那我们想象一下，如果要是它图像上每一个点都关于，每两个点都关于 y 轴对称，是不是其实就是咱们说的偶函数啊？就是任意一个点和它的对称点， 和它的关于 y 轴对称点都在函数图像上，那它就是偶函数，对吧？对定域内任何一个 x 都成立，即是偶函数，现在是存在不同的两个点，那换言之是不？其实可以理解为就是这个东西它有解， 只要我有一个 x 满足提议，是不是就符合这道题目的要求？ 那这个事就相对更简单了，对吧？我们直接把这个式子写出来即可。 f 负 x 等于 负 x 三次方，加上 x 的 平方，再加上 a 减一乘以负 x， 然后它等于 f x。 咱们照抄一下， x 三次方加 x 方，加上 a 减一 x， 只有我们简单整理一下，将 x 三次方移到右边，就是二 x 的 三次方，然后 x 平方是消掉的。这里的话咱们稍微写慢一点，把它写开，减 ax 加 x， 这里的话是加 ax 减 x， 那 也就是加上二 ax 再减二 x 等于零。 这是一个三次函数，似乎不好解，但是不要忘记，是不是说了不同两点，那 x 等于零是不是显然不合提议啊？因此，我们这个式子是不可以两边同时除以 x， 就 把它转换成了二 x 的 平方，当然也可以再除个二，对吧？ 除以 x， 再除个二，也就是 x 的 平方加上 a 再减一等于零， 那到这里就有很多方法了，比如说你可以让单他大于等于零，对吧？只要有解就可以，还可以写成 x 平方等于一减 a， 那 按理说 x 平方是大于等于零，对吧？但是这里你不能写成大于等于零，因为如果等于零的话，就不满足这个不同的要求了，所以这里只能大于零，那可以推知 a 应该是小于一的，所以答案选 d。 下面看第七题，已知椭圆左右焦点分别为 f、 e、 f 二 a 是 左顶点， p 为 c 所在平面内一点。这里要注意， p 并非是 c 上一点，而是所在平面内一点，且 f e、 f 二 p 等于六十度。 如果三角形均为等腰，则 c 的 离心率。那这里我们的第一反应肯定是，这个角是六十度，你现在它是等腰，那是不是事实上就是等边？那我们简单画个图， 既然 f 一 f 二 p 是 等边三角形，那我们不妨就让它在中间吧，这样看的更舒坦一点，比如说点 p 在 这里好了， 此时它是等边三角形，由于角 p f e f 二，就这个角，它是六十度，那么 p f e a 如果是等腰三角形，那是不是只能 p f e 等于 af e 啊？ 就是在三角形 p f e a 中，只能是 p f e 等于 af e， 因为这个角已经一百二十度了，它不可能是其他的等腰的情况。 那么显而易见， a f 一， 它的长度应该是 a 减 c， 而 p f 一 的长度 跟 f 一 f 二的长度是一样的，它是二 c， 那 也即 a 减 c 等于二 c a 等于三 c e 等于 c b a 那自然等于三分之一，所以答案选 d。 接下来咱们看最后一道， 最后一道看起来有点吓人，但是其实还好存在 a 大 于零，对任意 x 属于零，到正无穷都有这么一个式子成立，则 b 的 最大值为多少？ 那么这个题看到可能会有两种想法，比如说你会发现 ax 加 b 是 不是其实是一条直线啊？ 而这个 x log x 是 一个我们非常熟悉的函数，然后相当于把它向上平移了二 a 个单位，这是一种思路。或者我干脆不管三七二十一，你不是求 b 的 最大值吗？这里的 b 能不能分离出来？ 是不是可以啊？ b 是 小于等于 x long x 加上二 a 再减 ax 的， 而右边这个函数看起来并不是很复杂，我直接令它是 f x 求导，研究下它单调性应该不难作出。那我们令 f x 等于 x， long x 加上二 a 再减 ax， 求一下导数 x long x 的 导数估计大家都已经背过了。 long x 加一，然后再减 a， 那 很明显，这个函数自身是不是单调递增的呀？因为 long x 单增加长数对单调性没有影响。此时我们令导数等于零， 那可以得到 long x 等于 a 减一，也即 x 等于 e 的 a 减一次方。有导数的单调性，那我们可以得知，这个 fe 的 a 减一，事实上应该是 f x 的 最。什么值啊？ 最大值还是最小值啊？是不是最小值？那么 b 要小于等于它，那是不是 b 首先得小于等于它的最小值啊？那也即 b 小 于等于 f， e 的 a 减一次方。咱们带进去计算一下，它等于 lone e 的 a 减一次方，它就是 a 减一，然后再加上 二 a 减去 a 乘以 e 的 a 减一次方。这里简单化解一下，应该等于二， a 减去 e 的 a 减一次方。 好，现在我们得出了 b 应该小于等于它。接下来我们再看条件说存在 a 大 于零，然后问的问题是 b 的 最大值，那是不是其实就是想求一下，这个东西的最大值是多少？就是当 a 减 e 的 a 减一次方，最大值是多大？ 那就再设一个函数呗，利用 g x 等于二，这里我们用 ga 吧， ga 等于二， a 减去 e 的 a 减一次方。那么 这个事实上我们单调性也还得需要判断一下，对吧？因为它本身是个增的，后面这个相当于是增减增，所以单调性需要判断一下，还是要求到等于二减去 e 的 a 减一字方，那这就没问题了。我们令 等于零，那可以得到相当于就是 e 的 a 减一字方，要等于二，也即 a 等于 long 二加一。那简单验证一下单调性，会发现，这显然就是当 a 等于 long 二加一的时候， g a 取到最大值，那么 g a 应该小于等于既 long 二加一，咱们代入可以得到二倍的 long 二加一，再减去 e 的 long 二加一，再减一就是二， 那算一下，应该是二倍的 long 二，所以这个题 b 的 最大值就是二倍的 long 二。单选就给大家讲到这里。

下面咱们来看多选择题第九题已知实数 a、 b、 c， a 小 于 b 小 于 c， 且 ac 小 于零，那由题义就是， a 必然是一个负数， c 必然是一个正数，而 b 是 不知道的。好，那我们看选项 a 选项说 a、 b 小 于等于 bc， 那 由于 b 的 正负是不确定的，对吧？那如果假设 b 是 一个负数， 那此时 ab 是 不是应该大于零啊，而 bc 却小于零，所以 ab 小 于等于 bc 是 错误的。 b 选项 a 加 c 的 绝对值小于 a 减 c 的 绝对值， 因为 a 加 c 和 a 减 c 的 绝对值都是正数，我们比较的话，可以考虑去掉绝对值，而去掉绝对值最好的方法就是平方，对吧？ 所以我们考虑用 a 加 c 的 绝对值的平方去减一下 a 减 c 绝对值的平方，看看这个数是不是小于零。如果是的话，那 b 选项就是正确的。那 a 加 c 绝对值的平方实际上就是 a 加 c 括号的平方，对吧？那简单计算一下，是 等于四倍的 a、 c， 那 尤其 a、 c 小 于零，所以它俩的平方相减小于零，那也即 a 加 c 的 绝对值是小于 a 减 c 的 绝对值，没问题。 c 选项 c 减 a 分 之一，小于 c 减 b 分 之一，那我们先确定 c 减 a 肯定是一个正数， 而 c 减 b 肯定也是个正数，并且 c 减 a 应该大于 c 减 b， 这个是显而易见的，对吧？然后他们现在又取了一个倒数，那我们知道 f x 等于 x 分 之一， 是这样的图像在第一项线，它是单调递减的，对吧？那目前 c 减 a 大 于 c 减 b， 所以 c 减 a 分 之一就要小于 c 减 b 分 之一， c 选项没问题。 最后一个 d 选项 c 分 之 a 大 于等于 c 加 b 分 之 a 加 b， 那 这个选项错误的就比较显而易见了。因为 c 分 之 a 肯定是一个负数，而右边的 a 加 b 除以 c 加 b 是 不显然有可能是正数。 比如说当 b 是 一个比较大的正数的时候， c 加 b 分 之 a 加 b 是 不是可以 为正啊？那说负数大于等于正数肯定是错误的，所以第九题答案选择 b c。 当然，我这是相对严格的来讲这道题目。正常来说，我们做这道题，在考场上，我个人建议你负值就可以了，比如说令 c 等于五， b 等于，比如说负一， c 等于负二， 或者是你给 b 换个值嘛，比如说 b 等于三也是可以的，对吧？用负值的方法来做，可能会更快一些。下面咱们看第十题。 第十题说已知 f x 等于 a， sin 二 x 加 b 位的 cosine 二 x ab 不 等于零，那是显而易见的，如果有一个等于零的话，它不可能。关于 x 等于六分之派对称，那我们先对 f x 处理一下吧。 等于用辅助角公式根号 a 方加 b 方乘以 sin 二 x 加上 f， 其中贪婪的 f 题目中说它关于直线 x 等于六分之派对称，那我们将 x 等于六分之派代入就是 f。 六分之派等于 a 方加 b 方乘以 三分之派加派。这时候我们应该能得出三分之派加派等于二分之派加 k 派。 道理非常简单，对于正弦，当然也包括余弦函数在内，我们知道它的对称轴和图像的焦点是不是在最值处啊，最高点或者最低点，那么它就代表了最高点和最低点， ok， 那 我们简单把它整理一下。现在的 f x， 它实质上就是 乘以 sine 二 x 加上，这里我们计算一下， sine 应该等于六分之派加 k 派，对吧？六分之派加 k 派， 那由于 k 的 取值不同，这个时候 f x 它事实上就会有两种可能的情况，如果 k 是 偶数， 那么 f x 根据导公式， k 是 偶数的话，是不是可以直接杠掉？所以它就直接等于 a 方加 b 方乘以 sine 二 x 加六分之派。 相应的，那如果 k 是 基数呢？这时候我还是用 f x 表示啊。 f x 是 不是它就可就应该是负的？ a 方加 b 方乘以 sin 二 x 加六分之 pi， 因为如果是基数的话，根据诱导公式，他应该先消掉一个 k 减一的偶数，然后再由 sin 派加阿尔法等于负的 sin 阿尔法来得出这个函数的解析式。好了，那我们就看看选项吧。首先， a 选项， 那不管 f x 是 哪种情况， a 选项肯定是对的，这是毫无疑问的。对于 b 选项， 他说 f x 加十二分之五 pi 为奇函数，那你前面到底是正的还是负的，是不是不会影响奇函数？所以我们还是只关注括号里面就可以了。 f x 加十二分之五 pi， 我 前面估且就认为它是正的， 那此时把十二分之五 pi 带进去，应该是，二乘以十二分之五 pi， 六分之五 pi， 六分之五 pi 再加上 pi， 二 x 加上 pi， 那 在这种情况下应该是负的。根号下， a 方加 b 方乘以三以二 x， 这显然是个奇函数，没有问题。那如果你前面取的是负号，那此时就是一个正的，这同样也是奇函数，对奇函数是不会有影响的。 b 选项正确。 c 选项 f x 在 负三分之派到六分之派单调递增。那这需要看一下，当 x 属于负三分之派到六分之派的时候， 这个括号二 x 加上六分之派，应该属于零到，呃，不对， 应该属于负二分之派到二分之派，那我们一看，这好像恰好就是正弦函数的单调增区间， 所以 c 选项好像是对的。但是事实不然，这种情况下他能对，是因为前面是正号的情况下，如果现在前面是负号，那他就并不是单调增区间了，对吧？而是与之相反。而这个题前面到底是正号和负号是不确定的，所以 c 选项是错的。 最后一个选项在负十二分之派到三分之五派内有三个零点，那我们也算一下， x 属于负十二分之派到三分之五派的时候，同样还是计算一下这个括号二 x 加六分之派，它应该属于零到 三分之十派加六分之派就是六分之二十派。六分之二十一，再除个三就是二分之七派。那么画个图， 这里是二派，这里是三派，那么二分之七派，它是比三派还要大的，对吧？是在这里， 二分之七派，那相当于它的有效部分就是在从这里到这里， 此时我们看一下这个图像是不是确实有三个零点，而且即使你这里前面是负的，你只需要把这个图像朝 x 轴对称一下， 对吧？关于 x 轴对称一下，它同样与 x 轴的焦点还是三个，所以这两种情况下，它都是有三个零点是没有问题的。这道题答案应当选择 abd。 下面咱们看十一题。十一题是一道出的非常好的题目，你既可以用传统的概率的方法去做，也可以用嗯，比较好的思想，可以直接一步把答案算出来。那我们先看常规的方法， 这个题我就不读了，相信大家都已经看过了， a 选项说 p 九等于十分之一， 那我们想象一下如何能发生 p 九？或者说，呃， p 九表示的是数字九被选到的概率，对吧？那数字九被选到总共有几种可能啊？是不是有可能你一次性上来第一个就选中的是九， 那此时概率是不是就十分之一啊？因为十个数随便选一个，对吧？除此之外，是不是还有一种可能，就是第一次选的是十，然后第二次从一到九中开始选，并且选到了九， 那第一次选到十的概率是十分之一。第二次从一到九中选九的概率是不是九分之一啊？ 那么 p 九应该等于这两个相加，也即九，十分之十等于九分之一，所以 a 选项是错误的， b 选项 p 八等于十分之一加九分之一 p 十，再加八分之一 p 九。 那这是个啥意思呢？我相信各位应该都能看清看懂。十分之一的意思是不就是我上来直接就选中八，对吧？从十个数中我直接选中八，概率是十分之一， 然后九分之一乘以 p 十。意思就是我一上来先选中的是十，在选中十之后，下一步是不是应该从九个数中选啊？那九个数中选到八的概率是不是九分之一啊？ 然后还要乘以选中十的概率没问题，以及我如果要是第一次选中的是九，或者说我已经选中了九，那么是不是接下来要从一到八中这几个数来选？那选中八的概率是不是就是八分之一？ 所以这是没有问题的，因此 b 选项是正确的，那我们顺带把这个数算一下，十分之一乘以 p 十，显然是十分之一，而 p 九刚刚已经算过了，它等于九分之一，那这里计算一下，它应该等于八分之一。 然后还有一个咱们没写的， p 十是不等于十分之一啊？所以看起来好像这个题 p 十是十分之一， p 九九分之一， p 八八分之一，那么 p i 是 不是就应该是 i 分 之一啊？ 当然这是一个猜想，我们传统的方法就到此为止，还是猜到这里就可以了，咱们继续往下说。 c 选项， pa 八杠 a 九等于 pa 八杠 a 十，那就是个条件概率，对吧？条件概率咱们就用条件概率公式来进行计算， pa 八杠 a 九，是不是应该等于 pa 八 a 九，再除以 pa 九， 而 p a 九咱们刚刚已经算过了，它就是 p 九等于九分之一。 p a 八 a 九，也就是说 a 八跟 a 九同时发生，也即八和九这两个数字被同时选中，那我们想一下，有几种可能， 是不是应该有两种可能啊？第一种可能就是我上来第一个数就选的是九，概率是十分之一，然后第二个数选的就是八。 除此之外，是不是还有一种可能是，我第一个数选的是十，第二个数选的是九，然后第三个数选的是八，这样保证 a 八 a 九同时发生，那这样我们来计算一下，发现它是八分之一。 同样的方法，我们来算一下， pa 八杠 a 十，它应该是 pa 十分之 a 十，那来 pa 十还是一样十分之一？ pa 八 a 十，它又分？为什么情况？ 那 a 十跟 a 八要同时出现，也就是说十跟八要同时选中，对吧？那首先是不是还是有一种可能啊？就是我先第一次选中了 a 十，第一次选中了十，概率十分之一，然后第二次我选中了 八，那相当于就是从一到九中选中了八，概率是九分之一。还有种可能就是十九八，这样选，对吧？ 那么简单计算一下，发现概率还是八分之一，那也就是说 p a 八杠 a 九和 p a 八杠 a 十，它们俩是一样的，因此 c 选项就正确。但是这并不是 c 选项的全部价值， c 选项一个更大的价值是看 八分之一。八分之一，而 p 八本身是不就等于八分之一啊？那这意味着什么呢？也就是说有没有 a 九和 a 十这些条件， p a 八，它发生的概率是不是都不变呢？那这是个啥意思啊？ u c， 其实你就不需要再多算了。 u c 选项它其实就是在给我们提示 d 选项应该怎么操作。 u c e 得 ai aj 相互独立， 也就是说每个数字被选到的概率跟你之前选到什么数字，它之间是相互独立的。那所以根据相互独立事件的概率公式， pi 乘以它就应该等于 p i 乘以 p j， 所以 d 选项它也是对的。因此这道题答案选择 b c d， 那 这是法一，就是一个最传统最普通的方法。法二， 那就是如果我没有比较强的概率直觉的话，可以发现这个题是一个典型的无记忆性， 而且 pi 就 等于 i 分 之一，且 ai、 aj 之间是相互独立的， 咱们直接带入来验证即可。那 p 九显然应该等于九分之一，所以 a 是 错的， p 八带入数字验证等于八分之一没有问题。 那 c 选项既然是相互独立的，那是不是说明这个条件实际上就当不存在 pa 八杠 a 九和 pa 八杠 a 十事实上就等于 pa 八，因此 c 是 正确的。同样最后一个选项，那本身就是条件概率的定义，对吧？所以 如果有比较好的概率直觉的话，这个题其实可以直接快速得出答案，但是我个人建议咱们同学还是去夯实概率的基础知识，所以我个人更推荐用法一来做这道题目。

难得一见如此优美的题。这个题我在竞赛书中等数学里面看过，原题可以说命题人是手下留情了，但对于普通高考生没搞过竞赛的来说，依然很困难。听完之后，你可能会感慨，就是这么一个简简单单的式子，居然包含无穷无 尽，而且考的这一点极其综合，什么夹逼不弄点背景不完全规范法，反正划这边的技巧通通包含， 虽然说改变痕迹明显，但绝对是百里挑一的顶尖好题。这个题没做过，那人生是白活了。我们这次开始，这是一道看着很简洁，但信息量极大的题， 他说递增数列啊，各项均为整数，且满足 a 下标 a n 等于三 n， 好， 则判断下面的命题。这道题所有的精髓都在理解这个上面， a a n 是 什么意思呢？很简单，我把它看成函数，你就好理解了。 a n， 假如说它是 f n， 那 么 a， a n 就是 f n， 对 吧？ a n 它又是 f n， 所以 就是 f f n 啊， f n 就 这么简单。所以这个题啊，就等价于告诉你啊， f n 啊，这个值域都都是属于正整数的。 然后呢，这个东西等于三 n， 叫你解决这个问题。好，这有利于帮你快速理解啊，什么叫做 a a， 对 吧？但是和题目关系不大。题目这个不好理解，哪怕你没看懂也没关系，毕竟是高考题，不是竞赛题。他有梯度，比如说 a， 他 就给了个梯度，对吧？ 让理解一下 a， a 是 什么呢？哦，这里是 n， 这里就是 n 嘛，所以这个一就是三，乘一就是三，所以快速的把 a 搞出来。好，如果你成绩差的话，选 a 走人就行了。再看 b， a n 大 于 n， 实际上他弄出这个 b 啊，就把这个题目难度大大降低了，这个才是真正的突破口，对吧？怎么想到的？好，我先讲 b 是 为什么？以及如果他没有提示这个 b， 怎么想到他？ 首先， a n 大 于 n， 我 要碰到它对错是不是很简单？你看，我就把注意力都放在这个式子就行了吧。我代入验证一下。第一种情况，假如说 啊，这个弱 a n 大 于成立，那么 a a n 是 不是就大于 a n， 对 吧？因为它递增 这个下标比这个 n 大， 那，那，那这个也也比它大，对吧？这样一来，它的 a n 是 不是大于 n， 对吧？这是不是显然成立的？这显然成立的，因为显然是吻合的，因为他这个东西本来就三 n， 对 吧？好，所以这个大于号我们是不用看了，那么我要真正的证明他对错， 肯定是要反着看，用反正法思维，对吧？如果 a n 小 于等于 n， 会不会有什么不对呢？ 这就是我们思考的重点。如果 a n 小 于等于 n， 还是套在这个式子，利用递增的这个性质， a a n， 它是不是小于等于 a n 了？好， a n 它不是小于等于 n 吗？好，它是小于等于 n， 这样一来，显然矛盾。为啥？ 这样一来，是不是推出 a a n 就是 这个东西小于 n 了，而它是大，它是等于三 n 的？ 所以这样一来，带进去三根，是不是就显等于 n， n 是 正整数啊，对吧？这显示矛盾哦，反正怕他是矛盾，所以这就是对的。 所以 n 大 于 n， 好， 他提示了要你正，当然简单，但如果没有提示， 你怎么想到要证 a n 大 于 n 呢？假如说这是个竞赛题，我上来就教你判断这个 d 选项，对不对啊？ c d 选项对不对？你没有 b 的 提示，怎么，怎么想到要考虑这个 b 呢？很简单， a a n 等于三，刚才说了，它等价于 f， f n 等于三 n， 对 吧？这个是不是像不动点，对吧？不动点的几何意义呢？就是一个函数 f x， 它等于 x， 也就是说一个函数，它与 y 的 x 个直线的交点，对吧？但是这里不同，这里是 f n 的， 这里的 n 对 应的是三 n， 但是我还是要考虑不动点，这个背景肯定要考虑的好。既然他说是正整数了，我就要想， 有没有一种情况，就是这个 f n 和三 n 是 一样的呢？就是不动点呢？就是 f n， f n 等于 n 呢？有没有这种情况呢？那就是三 n 等于 n 嘛，对吧？既然我这个 f n 等于 n 了，那就三 n 等于 n 等于零了，所以几何意义上，这个几何意义上，它就是 f n 啊，就 f n 这个图像和这里有一个交点， 对吧？他说这个是递增的，而且往后就是 n 大 于的一的时候，他始终是大于 n 了， 对吧？所以他肯定不能再啊，再也不可能 s 图像往后啊，再也不可能和这个 y 的 x 有 交点了。 好，那么递增，那无非就两种情况吧，一种是这种，一种是这种，哪种呢？哎，你知道这 a n 到到底是大人还是小人？是这样想到的好，这个对于高考生来说是题外化，但是对于搞竞赛的学生是很重要的。思维 好，言归正传，看 c c 说 a 五是不是等于六啊？这个就上升到这个求值了。首先我们必须要有这个意思，高考题里面这个肯定是乘以济的，肯定有提示的。 a 五等于六，那我就要想到 b 选项能不能用上 b 选项是 a n 和 n 的 关系，而这里他的六值比五大了一啊，所以我就不得不想到一个正整数的一个不等式。 一般来说，我已经知道了， a 五大于五，如果 a 五不是正整数，整数什么的就算了，就大于五算了。但是就因为 a 五是正整数，所以可以推出一个更具体的式子是什么？ a 五大于等于六，因为你大于五吧，大于五，那就是大于等于六，因为它是整数，对吧？好，所以任何一个整数啊，比如说这个 x， 它整数了，它大于，比如说 n， n 也是整数，那就是 x 大 于等于 n 加一的意思。好，他说 a 五是不是等于六啊？他说 a 五是不是等于六， 他要说是等于，那就不得不让我们思考，如果 a 五等于六了，那我是不是还有一个条件，就是 a 五小于等于六，这样一夹 b， 对 吧？这就是我们开口提到的夹 b， 那 怎么夹呢？ 没关系，不着急，从第一下慢慢开始看，因为再怎么样都是 ab 选项退出 c 嘛，我把 ab 选项再研究一下就行了。好， b 选项是重点，重中之重， b 选项是 a， n 大 于 n， 对 吧？刚才说了 a n 大 于 n， 我 们要带到这个式子里面看， a n 大 于 n， 因为它递增，所以呢，下标变小了，它也变小，它是大于 a n 的。 这样一来，结合这个 b， 我 们看它有什么条件。 n 小 于 a n， 这是 b 选项，对吧？再结合这个， 就是任何人 a n 都是 n 到三个之间，所以这样一来，是不是就可以每一下都试一下，对吧？比如说令 n 等于一， 一小于 a 一 小于三，对吧？那 a 一 只能是多少？只能是二，对吧？刚才说了，它是整数，所以 a 一 大于一， 他就可以推出 a 大 于二， a 一 小于三呢，就可以推出 a 一 小于等于二，对吧？所以那这样一来， a 一 就是二好， a 一 是二，推出来了还可以搞出什么， 就是 a a 一 对 𠲎 a a 一， a 一 是二呢，所以它是 a 二， a 二是多少？说了 a， 想象说了 a a 一 就三嘛，所以 a 二就是三，这样一来， a a 二也可以求了。哎，恰好又是 a 三， a a 二 a 三，这恰好是一二三这样上去的，你说巧不巧？那这个 a 三是多少呢？ a 三就是三，乘以二就是六，好，这样一来， c 是 不是错了？他是递增的， a 五肯定比 a 三要大， 不是大于等于是大于，所以你这等于六了，这怎么可能等于六？ c 错好，然后再看计算上，他问 a 二零二五是不是等于八十一 a 二十五？ 首先他这个数字很大，对吧？你可以想着去啊，求同样公式什么的。这个思路也没错，因为我看过这个题啊，改编过来的那个原题，他有同样公式可以求，但是命题人显然把这个题改简单了。 你如果要考同样公式的话，为什么考那么特殊数字呢？二零二五八十一二十五本来就有内在关系， 我一眼就看出来八十一是多少，三个四次方，对吧？题目里面有三这个东西，所以你这个三个四次方肯定要注意好，这是第一个关系，第二个关系，二零二五和二十五有什么关系？ 很显然，二零二五，我们知道有个知识积累，就是四十五的平方，五九四十五，对吧？所以他是有两个九，两个五的，两个五就是二十五嘛，对吧？所以他就是这样的关系， 也就说不仅这里有三十四方了，而且这里也有三十四方，那所以大概率这个地铁上是对的， 对吧？如果你蒙的话，可以这样蒙。好，那么怎么做呢？既然二零二五和二十五有如此特殊的关系，而且通向公司还是三， 那毫无疑问嘛，就是通向公司这个带出来的，首先他是这个 a 二十五搞出来，再搞出这个 a a 二十五，然后呢，再嵌套一层，再嵌套一层，嵌套无数层搞出来，对吧？你多试几下就行了。好，首先 a 二十五， 我不知道他是谁，先放这，那么 a a a 二十五，也就是 a 七十五， 怎么求呢？好，你这里有三个 a， 对 吧？而通项公式是 a a n 等于三，所以我必须知道 a a 二十五，它是 a 几，对吧？好，所以这样一来，有一个需求是什么？我必须要知道 a 二十五是多少？ a 二十五，它题目没给啊，怎么办？设它为 t 嘛，对吧？所以 a 二十五从此以后就等于 a t 了，所以这样一来，它就等于多少 a a t 等于三 t， 对 吧？好，继续。这个 a a a a 二十五，套四层，对吧？套四层其实也不用那么复杂了，因为你这个东西就是 a 七十五啊，所以我就继续下一步呢，就是 a a 七十五了。好， a a 七十五，就是三层七十五。好，初见端倪了，你看， 我隔一下就是欠套两下的，我隔一下是不是乘三倍，你这也是乘三倍，对吧？而三乘七十五，他是不是就是三乘三乘二十五啊？他是不是九乘二十五啊？对吧？所以是不是我再欠套， 隔两下再隔两下是不是就再乘个三？再乘个三是不是就是九乘二十五就好了？所以这个题显然是对的。第一条是对的。 好，你还没看出来？没关系，我写详细一点啊，他这个东西啊，三乘七十五，我估且算一下，他是两百二十五，对吧？两百二十五， 所以这样一来啊， a 七十五， a 七十五，这个我我 a 七十五，他是三 t， 所以 他是 a 三 t。 好， 继续 a a 三 t 等于多少？九 t 好， a 三 t， 他 是多少？ a 二百二十五，对吧？继续， a， a 二百二十五等于多少？等于三乘二百二十五，你看 二百二十五，他就这个，你看，又又又又又又乘了三倍，所以你再乘三，是不是也是显然的？继续，他这个 a 二十五，他就是 a 九 t。 继续。然后呢？ a a 九 t 等于二十七 t， 你 看又乘三 a 九 t， 他 是这个东西六百七十五， 继续。 a， a 六百七十五，他是不是就是二零二五， 对吧？而这个等于多少？等于 a， 这个这个二十七 t。 再继续。我再套一层， a a 二十七 t， 他 是不是就是这个三乘二十七 t， 而 a 二十七是二零二五啊，他就是 a 二零二五嘛，所以 a 二零二五是不是就是三乘二十七 t 了？三乘二十七 t 就是 五十四 t 嘛？而 a 二十五 等于 t 啊，啊，这这这，这里写错，三乘二十 t 是 八十一 t a， 二十五是 t 嘛，所以就是八十一 a 二十五嘛。这 b 这个题就做完了， d 选项是对的，所以答案选 a、 b、 d。 好， 这是这个题，但是这个题呢？命题人显然把原题那个二十题改简单了。我把你更深的规律我都揭露一下。首先二零二五的特殊性 你必须要了解，因为今年是二零二五年，而二零二五这个数字非常特殊，如果你刷抖音刷多了，你肯定会知道二零二五特殊在哪呢？他不仅是完全平方数这么简单了。二零二五等于四十五的平方。好，我这里在提嘴，不要觉得 这个东西很不显然啊。如果你觉得二零二五等于四十五的平方不显然的话，那你知识积累就有问题。我初中老师，如果你初中老师好的话，就会讲过，二十五的平方，三十五的平方，四十五的平方，五十 五的平方呢？是一二二五，四十五的平方是二零二五，五十五的平方是三零二五，有什么规律呢？ 首先二位数某某五的平方，你后面肯定是二十五，对吧？后两位。这这个好，我一问，五五二十五嘛？好，那前面呢？六是什么？二三得六，因为前面是二，所以呢， 就是二乘三等于六，对吧？然后六加二十五，这是个规律。这里也一样的，三四十二嘛，所以三十五的平方啊，我先，我先写出十二，然后二十五， 四十五的平方呢？四五二十码，然后二五，这是规律啊。这个你要严谨证明的话，你也别管什么严谨证明，因为高考不考速论，你咋知道？知道这个结论就行了。同理， 六十五的平方等于多少？六七四十二码，所以四二二五七十五的平方等于多少？七八五十六码，所以五六二五八十五的平方。八九七十二七二二五九十五的平方。九乘九乘十九十，所以是九零二五， 以此类推。好，首先，二零二五他的是完全平方数，这个是没有什么争议的，但是巧就巧在， 四十五又恰好等于二零加二五平方，也就是说任何一个四位数啊。 abcd， 二零二五他是满足这个条件的， 就说你两个数，这个四位数 p 成两半，你，你这个加起来括号平方也还是等于它。凡是具有这个性质的人呢，叫雷劈数 就是。唉，就很形象，我，我雷打雷了，把一个树劈成两半，你平方恰好还是等于原来那个树，对吧？这是形象的。但是如果按数学家命名的话，呃，命名的话，因为有个数学家叫卡布利特，他发现这个树，那叫卡布利特树也行。总之，二零二五是 总共也就三位，三三个四位数能满足这个条件，二零二五是第一个满足这个条件的。二零二五年是人类首次跨入雷劈数年， 其他雷劈数是什么呢？再举个例子，三零二五，三零二五是不等于五十五的平方，哎，五十五的平方恰好是 三十加二五跨平方。再下一个呢，九八零一九八零一是九十九的平方，对吧？九十九的平方恰好呢，就是九十八加零一跨平方，零一就是一，对吧？但是这里零一，这有点不完美了，真正完美呢，还是三零二五和二零二五 好，不仅如此，不仅如此，特殊，二零二五还有一个特殊性质，因为四十五他就是一加到九啊，所以他是一加二加到九，括号平方，对吧？不仅如此，他还等于一的立方加二的立方加加到九的立方。为啥？ 这个肯定是等于这个，为啥？看，好啊，不要连这个都不知道。一加二加加到 n 等差数的求和公式是多少？二分之 n， n 加一，对吧，而一的立方加二的立方加加到 n 的 立方，它等于多少？等于二分之 n， n 加一 比方。所以，你既然等于这个了，那就，那就等于这个，这就是二零二五全部的特殊性。好，这个题不仅是考了二零二五的特殊性，还考了他更加深层的通向公式。 好，这个就一百，如果你没有一百四以上，那就划走吧。啊，看到这里就行了，一百四以上的呢？继续听。要想知道这个拖延公式啊，你肯定要沿着这个 c， 他 一个个复制，一个个来找，对吧？首先有一个毫无疑问的 啊，我们从最开始的 b 来推起， a n 大 于 n， 对 吧？所以呢， a a n 它是等于三， n 它是大于 a n 的。 所以，既然这样一来， a n 是 不是这个大于小于三？ n， 好， 刚才呢， 令 n 等于一，得到了一小于 a 一 小于三，先得到了 a 一 等于二，然后推这个 a a 一， a a 一 恰好就是 a 二嘛， a 二它等于三，乘一等于三。好，继续，这个 a 三呢？ a 三恰好就是 a a 二， a a 二，它就是 a 三嘛，对吧？好， a 二等于多少等于六。好，继续 a a 三推这个 a a 三，这样一来，他是 a 六了。也就是说，我这样一来呢，从这里开始我就不联系了，我不是说一下子从 a 三就推到 a a 四，是先 a 六，对吧？好，真正巧的地方来了， a 三等于多少？哎， a 六等于多少？三乘三等于九，好看到没有？ a 三十六， a 六是九，他都是正整数数列，对吧？我下标 差三，中间啊，这个值也差三，而他必须是整数，那么 a 三和 a 六之间那个 a 四 a 五是不是必须挤在一起的？必须只能是七和八吗？六七八九吗？对吧？所以这样一来，我就可以推出 a 四 a 五了， 这个 a 四等于七， a 五等于八，好，注意啊，这个就是关键了。 继续，我要求 a 七了，对吧？ a 七它是 a 四等于七嘛，所以我要求的就是 a a 四， a 四就是十二，好，又来了， 然后呢，继续，我要求 a 八， a a 五，它就是 a 八就是十五。继续 a a 六，它就是 a 九等于十八。继续 a a 七，它就是 a 十二，好。因为前面啊， 这是六七八九连续的，所以呢，我就可以连续的求七八九，但是呢，后来九和十二断层了，所以我这里也断层，对吧？断层了，没关系，他等于二十一架。好的， a 十二和 a 九下边叉三，这个值也叉三，这是不是又同理？ a 十 a 十一是不是可以挤在一起了，对吧？所以我就写在中间，写在中间，他是这个 a 十啊，他只能是十九， a 十一只能是二十，然后二十一 继续下去，然后呢，继续推，按照刚才那个相同操作，我一直推到 s 九，你自己亲自去推一遍，就会注意到一个规律，他总是啊，很巧合的啊，十八十九，二十二十一，这样，连续，连续，连续，哎，突然断了， 对吧？前面也一样，二三，哎，突然断了，然后呢？啊，这个六七八九，哎，又突然断了，这个中间就别管了。好，我要注意的无非就是他这个断与不断。 我先看连续的几个点，首先，六七八九，对吧？他是从 a 三开始的，他这个这个断的点也是 a 三，继续，他这里断点是多少？ a 六，好，继续。接上来，他是 a 九，一直到 a 十八， 他这个三六九十八都是和三有关的，不仅和三有关，而且 三，他是三的一次方。二啊，不是这个六，他是二乘三的一次方，恰好九是三的二次方，十八是二乘三的二次方，对吧？不仅如此，还有一个，恰好 a 三，你开始必须是六， 对吧？ a 三，也就是说 a 三的一次方，他是这个二乘三的一次方开始。然后呢，一直加加加到 这个九，对吧？不仅如此， a 九也是一样， a 三的二次方也恰好是二乘三的二次方，一直加加加加到这个地方。所以这样一来，我不得不思考，因为我已经观察到这个现象了，我要用不完全规范法的思维来看一下，是不是有这个性质，就是当 这个 n 啊，他是在这个范围，就是三的 k 值方，小于等于 n， 小 于等于二乘三的 k 值方，是不是有这个性质？第一，他都是连续的，第二，他开始的点是这个， 也就是说，在这个区间内， a n， 它是等差数列，而且满足这样的公式， a n， 它等于。首先，第一项是二乘三的 k 次方，对吧？然后呢，隔一项加一，隔一项加一，就加 n 减 k， 这个意思是不是有这个公式呢？我就要觉察这个这一点了，是有的。 为什么？第一，我要思考这个 a 三的 k 次方与 a 二乘三的 k 次方，这两者之间 是不是都是紧密分布的？因为我们之前搞了吗？ a 三你搞出来是六，然后呢， a 六搞出来是九，中间只有三项，而且你只差三啊，那都是整数的话，那只能是六七八九挤在一起了， 那是不是严格的证明呢？那我就用数规来搞吧，我先证这个 a 三的 k 次方，是否他是否就是这个二乘三的 k 次方，以及 它这个 a 二乘三的 cos 方是否就是这个这个二乘三的 cos 方？加三的 cos 方， 对吧？因为你看六和九之间相差了三，对吧？然后呢，十八和二十七相差了九，对吧？是不是又要加三的 cos 方呢？我就要思考这个。首先看结论一， 结论一肯定好证。首先用数规证啊，第一种情况， k 等于一的时候， a 三一次方等于二乘三的一次方，这个先成立好，然后假设， 假设这个 a 三的 k 次方，它等于二乘三的 k 次方对 k 成立，然后我要证 a 三的 k 加一等于二乘三的 k 加一，对不对？先别着急，我带一下这个公式，就是 a 三的 啊， a a 三 k， 对 吧？他是不是就是三的 k 加一次方，他是不是也就是 a 二乘三的 k 次方，对吧？好在这里第二个结论已经能证明是对了，为啥？你这里相差三的 k 次方啊，这里也相差三的 k 次方，对吧？那只能挤在一起啊，所以这个结论是不是就正 b 了， 对吧？所以你要挣，你要挣这个 a 三的 k 加一次方等于二乘三的 k 方，是不是也小他一碟了？因为你这个东西，他三的 k 加一次方，他就是这个东西啊，也就是 a 二乘三的 k k k 什么？而你这这里啊，这里是 k 加一，你这里是不是带个拖延公式就行了 啊？我这里这里这这里写的有点快啊。 a 重新讲， a 三的 k 加 a 次方，它就是 a a 二乘三的 k 次方，对吧？然后同样公式是不是就等于三乘这个，所以是不是等于这个，所以正 b 了，对吧？所以这两者都成立，所以当 n 在 这个范围的时候，同样公式是知道的， 对吧？好判断，公司知道，那什么都可以求了。这就是这个题的全部背景。这个题是一个比较好的题，他这个具有亲温度，一般学生啊，他是选 ab 就 走了，但是 d 选项呢？ 一般来说就是 d 选项重要题他是最难的，考一下区分度，对吧？胆子大的话，你看出二零二五和二十五有关系了，凭直觉选 d 也行，对吧？但是如果是一般的同学，我还是建议只选 ab 走人。好，这个题非常好，非常优美，非常简洁，值得巩固下课。

淄博高三的同学和家长，昨天济南一模考完了的数学语文原卷和答案整理出来了，那么济南市教育局出题要有水平，题型、命题思路、考题范围都贴合新高考的趋势，是复习的好抓手，大家可以进主页公开群拿。那么周末呢？孩子放了学，让孩子过一过，祝你高考加油！

同学们，每年山东各地高三模拟考里济南的卷子那一直是拔尖的存在。二零二五届济南一模整体结构跟新一卷真题那是超级相似，质量特别高，妥妥是近期新高考一卷地区超棒的模拟卷之一。咱来瞧瞧各题型 选择题的中后段，还有解答题的压轴题，对思维能力要求可高了，想考一百二十分可不太容易。那八道单选择题延续了新高考一卷的风格，基本是基础题和个别中档题，几乎没难题。前五道纯送分，第六题和第七题是稍有计算的中档题， 第八题虽说涉及三角函数和构造函数，但也是以前考过的题，就中上难度罢了。成绩好的同学，单选择题基本拉不开啥差距， 主要是用来区分有没有好基础的。再说到三道多选择题，第九题是基础题，第十题是椭圆几何性质综合题，中上难度得好好积累， 里面涉及椭圆定义、终点性质、内切圆和外切圆啥的，综合性可强了。重点得关注后两个选项。 c 选项得通过三角形面积和内切圆半径公式求最大值，还得结合几何对称性。 d 选项要通过外切圆半径和角度关系分析最小值。第十一题是数列压轴题， a 和 b 选项好判断，一个代入检验，一个用反正法推导，主要难在 d 选项，得构建地推规律。 再看三道填空题，第十二题是送分题，第十三题是含绝对值的三角函数最值问题，以前的真题和模拟题都考过，关键是要留意分析函数的周期，还有对临界点的验证，可是易错题。第十四题是一道超优质的中上难度立体几何题，正四面体动点轨迹 洁面面积通过几何补形转化成正方体内部洁面来计算，把两者关系体现得超到位，这也是高考常考的点， 那五道大题里没一道是轻易能送分的。第十五题和第十六题从计算量来说都该是中档题，就是思路不难。 第十七题是圆锥曲线的经典题，常规的定点和面积题，考察大家一轮复习时对这些核心题型熟不熟练。不过放到大题第三题的位置，计算量还是挺大的。第十八题是传统的导数压轴大题，中上难度有计算量呢， 涉及函数及值还有零点存在性问题。第一问是送分的，第二问被构造函数。第三问有创新得利用几何意义距离公式还有不等式放缩来证明结论。第十九题是几何构造与递推的数列创新压轴题， 难度超级大。第一问通过等腰三角形性质推导外界元半径。第二问结合几何对称性还有外界元包含关系，分析顶点位置。第三问通过极限条件求赛塔的余弦值范围，跟二零二二年的北京卷压轴题类似，这题超值得咱积累！

试卷分享，高三一模济南市二零二六届高三第一次模拟考试济南一模试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要其他学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

大家好，我是舒瑶学姐，今天带大家看一下这张济南市二零二六届高三第一次模拟考试数学卷， 既注重基础知识点的考察，又通过解答题等题型设置综合性、探讨性问题，着重检测学生的逻辑推理、运算求解、数学建模及综合应用能力，符合高三模拟考试对学业水平与应试能力的考察要求。需要这张试卷可以给我留言。

那接下来咱看一下这次一模考试的啊，第十一题啊，咱先进行如下实验，从一二三啊一直到十当中任选一个数。如果 a 一 等于一啊，即为 a 一 啊， 如果 a 一 等于一，让实验结束，否则再从啊一二一直到 a 一 减一当中任选一个数，即为 a 二。哎，如果 a 二等于一呢，则实验结束， 否则再从一二一直到 a 二减一当中任选一个数，依次类推，直到选中一为止。哎，这句话你明白啥意思吧？啊，你得先明白讲啥意思啊，比如说我第一次我从一到十里面啊，我去选一个数，比如说我选出五来吧，我选出五来，那 a 一 就等于五，那 a 一 他就不等于一，那我这是第一次，然后我第二次再去选 第二次，我就需要从一二三，一直到谁啊？一直到五减一，我就是一直到四，从这四个当中去选，然后再去选，比如说我，哎，进行第三次选第三次，比如说我就选了个三， 我选出来了三，那我我再进行选第四次，第四次选，然后从一二三里，从一二的啊， 从一二的，然后再去选，直到把这个一选中为止。那他是这样一个过程，是吧？哎， 那继续看题啊，他的记事件， ai 是 实验过程当中，数字 i 被选到， ai 是 数字 i 被选到 pi， 表示 ai 发生的概率 啊， p a i 发生，这句话也得明白啊，这个 p， 你 说这个 ai ai 是 个事件，那 p a i 发生的概率，有的同学他可能和和这个混了，和 p i 混了， 那他俩一样吗？他俩是不是一回事的啊？你说 p p p a 九吧， p a 九是什么意思啊？ p a 九它表示数字九倍选择的概率， 比如说我从一到十里面去选，去选这个，去选出这个九这个数来，那它的概率就是十分，就是十分之一，是吧？但 p 九呢？ p 九是，它意思是最终我要选到，最终我要把这个 p 九选到，它的概率是多少 啊？就是这个 a 九发生的概率，表示事件 a 发生的概率啊， 明白意思吧？ a 九是仅仅是被选到，哎，这个 p 九呢？是这个事件最终要发生，这个事件最终要发生，我用 p 九去表示。所以他两个是不一回事的啊，他两个是不相等的啊。那接下来咱去，咱去看题啊，你看 a 选项， 他说 p 九等于谁啊？那问的就是 p 九， p 九就是最终这个 a 九要发生， a 九要发生， a 九要发生，他得怎么发生？那你看我第一次有可能， 我是不是有可能第一次从一到十里，直接就把这个谁啊？把这个九给选出来了，那这时候他的概率是不是就是十分之一啊？那还有可能，怎么着？哎，我从一到十里，然后我第一次，我选到了十， 然后选到十之后不合要求，我需要第二次进行选，第二次选，那我选到十的概率是不是也是十分之一啊？然后，那我再从哪呢？再从一到九里面去选，从一到九里面去选，需要把谁选出来？需要把这个 九再给他选出来，那这时候他的概率是不是成了九分之一了？那这个 p 九 应该等于谁啊？当然你也可以按第三种情况去看。呃，我，我先给他选择一到十里边，我如果把第一次，把把把这个八给选出来了，把八选出来了，下一次你是不是从一到七里面去选啊？从一到七里面去选，他有可能选到八吗？他概率就成零了是吧？这种情况他就不合题 啊，哎，所以说，哎，你要选出这个数来，你第一次选择选择那个数，一定是大于等于这个数的，是吧？一定大于等于这个数啊。那我给你全概率公式， p 九等于谁？ p 九等于第一次它发生的概率， 直接写十分之一加上一个第二次咱用公式去写吧。那这个 p 九它就等于，哎， p a 九直接被选中的概率，是吧？哎。然后再加上一个 p a 十，再乘一个 p a 十条件下， a 九发生的概率应该这样写啊，那 p a 九等于十分之一，加上一个 p a 十是十分之一， 在 a 式条件下，它发生的概率一个是九分之一，你算出来它一个是等于九分之一啊。所以 a 选项是错误的啊。再看 b 选项啊，他说求 p 八等于谁，是吧？哎， p 八，也就是说最终 a 八的发生， a 八发生的概率， a 八发生的现象，它是不是受多种因素影响啊？我有可能第一种情况啊，第一种情况，有可能我从第一次， 第一次我直接就选到了，直接就把把八给选到了，那这样它概率是不是十分之一？也有可能是我第一次 我从一到十里面我选出来了九，是吧？选出来九，那我需要继续继续去选，那我需要从一到八里面去选，那他选出概率是多少？那再把这个八给选出来，是吧？他的概率是有八分之一， 这时候剩下就是谁啊？就是九倍选中，然后再乘上一个谁啊？ 再乘以八，八分之一，九比选中，那不就是 p 九吗？乘八分之一是吧？还有可能我第一次，我从一到十里面，我把十给选到了，那我在这种条件下，哎，我最终我再从一到九里面，我再去选，把八给选出来， 那他就是九分之一，那这时候选到十的概率就是 p 十啊，这种情况就是 p 九，在最终我用全概率事件 p 九，他应该等于， 应该等于第一种情况，十分之一加上一个。第二种情况啊，就是他八分之一乘一个 p 九，加上第三种情况啊，九分之一乘一个 p 十 啊，哎，这是这个，这个 b 选项是对的，你看啊，再看 c 选项， c 选项他说是 p a， 八调天下 a， 九调天下 a， 八发生的概率啊，和这个 p a 八杠 a 十， 来，咱分别去算一下就可以了啊，你看他等于谁？ a 九天下 a， 八发行的概率。就说已经选中九的情况下，你能选中九的九的情况下，你不就从一到八里面再去选吗？是吧？然后把八再选出来，他的概率谁啊？不就八分之一吗？ 是吧？哎，再看他，他就是，我是不是从一到九里面去选啊？ 然后最终又要把八给它选出来，那它是不是又分两种情况？我从一到九里面去选的话，我有可能第一次就选到了这个八， 那它的概率是不是就是九分之一？也有可能我第一次选到了九，这是直接选到八啊，有可能直接选到了九，选到了九，它的概率就是 九分之一。然后这种情况下是不是继续进行选，然后再从一到八里面去选，一到八里面把八给选出来，那他的概率是八分之一，那这种情况他的概率是多少？他的概率是不是就是九分之一？全概率公式，加上一个九分之一乘以八分之一， 它应该等于九分之一，加上个七十二分之一，它就等于八分之一。哎，你发现它两个是不是相等啊？啊？它俩是不是相等啊？都是八分之一， 也就是说，所以这个 c 选项是对的啊，也就是说，什么你看这个 a 八 p a 八，它发生的概率就等于谁啊？ 它是不是就等于 p 八，而这个呢，是不是也是等于 p 八，对吧？哎， 也就是说，这个 a 八发生啊，与这个 a 九和 a 十的这两个这两个条件，哎，它有，有有影响吗？它没有影响是吧？ 你就说 a 九条件下， a 八发生的概率就等于 a 八，就等于 a 八独立发生的概率，是吧？哎，等于它独立发生的概率啊， 也就说 a 八 p 八，它是独立的，它就等于 p a i 条件下 a 八发生的概率 a i。 确定下啊，这个 i， 这个 i 当然得大于等于八才行，它商是独立的，它商是独立的啊，它既然是独立的话，那后面你看这个 d 选项， d 选项就是对的，是吧？这不是乘法的公式吗？啊？如果独立的话， 如果是独立的话，那 p a b 就 等于 p a 乘以 p b， 你 可以算一下啊，你看这个 p 十等于谁啊？这个 p 十算就等于十分之一， p 八呢？ p 九呢？再算出来等于九分之一， p 八呢？等于八分之一， 所以这个 pi 三就等于 i 分 之一，对吧？哎，这个 c 选项给它整明白了这个 d 选项啊，自然它就也就对了。好的，听明白了吗？

二零二六年济南一模划线出来了一段线，也就是本科线四百零八分，位次是两万八千名贪空线，也就是一本线是四百九十一点五分，位次是一万三千九百三十五。这次济南一模一共有四万四千四百八十二个同学参加。你的娃考了多少分？

看同样一个题，豆包给的不同的答案啊。第一次给他这道题的时候，他给的正确答案是 a b， 当我又一次问他正确答案的时候，他给我的是 a 又错了， b 对， c 也错， d 也错。然后我又问他，我说，豆包你同意道题？第一次你给我的答案是 a b， 这次你给我的答案只有 b， 但是这道题正确答案是 bc， 为什么呀？他然后又开始分析， 所以 c 又正确了，重新选 a， 结果最后正确答案是 bc， 所以 豆包给的答案也未必是正确的， 千问就给的非常详细的解答。哇，这数学题忘的干干净净，这当初我大学数学学的多好。

济南各位高三的家长们大家好啊，刚直播完了，到家出了这个划线了啊。呃，济南这回一摸参加的人数大概是在四万四千多个人，考生啊。呃，一段线是划到四百零八 啊，然后是两万八千米那个地方啊，然后特招线是划到四百九十一点五啊，划到是将近一万四那个地方。呃，双一流线是五百八十一点五，强极线是五百九十七点五， c 九线六百三十八点五， 青白线是六百七十一啊，大家明天估计就能查到成绩了啊，明天晚上咱们直播的时候可以详细的聊聊啊。