长沙市一模数学立体几何

好，我们现在来拿一道例题解答一道例题给大家展示一下，因为有一些同学他会问说，老师你平时上课那个讲题方式是什么样的啊？不知道适不适合啊？我们首先给大家拿一道题来讲一下，这个题简单，你不要管它难度，我们主要是感受了这个做题的思路和这个过程。好吧，啊，不要觉得简单就不要理它 啊，其实像这种中上啊或难一点的题目的思考方式都差不多了，比如说拿一道线垂直面啊，线垂直面，线垂直面的话，我是不是要找到这条线这个面的两条小直线，那也就是说我把它写好 啊，就是我的什么 a、 o 要垂直这个面里面两条相交直线，对不对啊？首先我把这个空给填上去，就选垂直这个面两条相交直线，那我看这个 b、 c、 d 这个面里面有几条线呢？你看它是不是有一条？ b、 d 这里是不是有一条直线？ b、 d 还有一条直线是吧？ dc 还有一条， dc 还有一条是吧？啊？是不是我的那个 o、 c， 对 不对啊？那我一般是垂直我面哪两条直线呢？我读题嘛，对不对啊？你看一下 ab 是 不等 a d， a、 d 等于 a d 什么造型？等腰三角形，等腰三角形的中点啊， o 是 中点啊， o 是 中点啊，把它连起来是不是垂直了？哎，是不是有一条了啊？所以这个 a、 o 是 不是垂直 c、 d？ 记得这个 c、 d 是 在我的目标这个面里面的啊，所以说是有用的线，然后 a、 o 再垂直哪条线呢？ a、 o 垂直哪条线呢？ 垂直我的 b、 c 啊， c、 d 啊？还是 o c？ 他 肯定垂直对不对？他肯定垂直，只不过哪一条更容易正一点啊？你看他是不是跟我的 o c 是 连在一块的， a o 和我的 o c 连在一块的啊？我们说过，如果两条线连到一块， a o 和 o c 是 不是连到一块？然后我想要正他垂直，我可以用什么 啊？股股定底，为什么？因为他编的个数给的比较多啊，这是我们一个小小的做题经验哈。如果编的个数给的比较多啊，如果编编的个数给的比较多，那基本来讲都是用我的股股定底。 好吧，只要它编的个数给的比较多啊，那基本绝大多数都离不开我们的勾股定力来。正垂直。那勾股定力正垂直吧，你看，我想要正它，垂直它， 我是不是只需要把 a o 算出来和 o c 算出来？如果它的方加它的方等于我的 a c 方，那是不是 ok 了？那也就说如果我这三条边能够求出来就 ok 了，对不对？你看我这三条边能不能求出来这么多，一样肯定能求出来。我老标上去， c a c b c d b d c a 的 话等于什么？ c a 等于二， 对不对？ c a 求出来了啊？那个然后呢？我的 a b 等于 a d， a b 等于 a d 都等于二，然后我的 b d 等于什么啊？等于我的二，所以这个是一的，这中点，这是一，这是一的 啊，由于这个垂直啊，它 a o 垂直这个 b d 啊，对不对？这垂直，这是一，这刚好这也是一的。 so， a o 也求出来了， a o 是 一了，那我 a c 是 吧？ a c 是 等于二了，是不是啊？他告诉我了嘛。然后呢？我的 o c 点多少？我看一下喽，他说 c b 也等于二 啊， cd 也等于二，这个是个等边三角形，对不对？等边三角形，你看一下，我把这个三角形画出来给你，对吧？如果你不习惯看的话，你可以画出来，对不对？ o 是 中点，你看一下，这是二，这是一，这一，这垂直，这多少？这是刚好三吗？啊？所以说 o c 我 是不是也求出来了？你看 o c 的 平方是不是等于什么三，对不对？你看这个加这个是不是等于这个？所以说吧。啊，我的 a o 就 除以值，什么 啊？我的 a o 就 除以 o c 啊，所以就正出来了，是不是啊？只要找这两条线出来就 ok 了啊？你看线垂直面两条相交直线就行了， 是不是？这是我们的做题思路啊？然后我们讲了做题思路之后，后面再拿大量的题目来训练他，对吧？讲之前我们是拿简单的题目来讲解这个定义啊，然后呢？讲这个方法，然后我们就再拿这个题目来不断的刷刷刷刷，你刷个几十道上百道，我跟你说，这种垂直的题目你真的是很轻松的，很轻松了。

高中立体几何，你们最怕什么？不好，间隙外接球翻折动点。今天给大家来一道题，这些问题全都有，要不要挑战一下十七的特别狂野？你们先把题目读一下，这道题我今天讲了十几分钟才把它讲完，真的复杂， 疑问超简单，题目说 a b 等于 a， c 等于 p， c 等于一，这个垂直这个角度一百二十度，要你证明 p a c 垂直于 abc 啊。若两个面垂直，要你证明 p c 垂直 ab， 我 直接就写下了啊。这个题的疑问很简单，但 第二问，特别是第三问，往死里来，我就直接大字写过程了， a b 是 不是垂直 a c 的？ 这题目给的。然后呢，两个平面垂直是不是垂直于交线的？直线垂直 a c， 所以 ab 是 垂直于交线的，它就垂直平面 p a c 垂直平面 p a c， 那 么呢，它就垂直平面里面任何一条直线， p c 又包含于我。今天我的有个学生就问我老师，这个包含到底有没有下面这个横线呢？你们说有没有？ 我跟他回复了一下，我说如果在集合里面包含余，是有横线的，在立体几何里面，这个包含余下面是没有横线的啊，你们就看课本上就可以了。好吧， 一问很简单，第二问，第二问难度就稍微大一点了啊，所有同学啊，这个题我给我们的正式卷是用了两种方法讲的，第一种是几何法，第二种是空间向量的方法，我在这里面就直接用空间向量去做了。好吧，那么怎么样做个题呢？间隙以 a 点为圆点， ab 为 x 轴，这个 y 轴 z 则 x y z， 那 么呢， a 点的坐标好，表示零零零，引着标零零零， b 点的坐标就是一零零， c 点的坐标 零一零，这是 x 轴，这是 y 轴，这是 z 轴。 a、 b、 c 都搞定了， p 点的坐标怎么表示呢？各位，两个平面是垂直的 p 点坐标怎么表示？回答一下，是不是应该过这个点 p 直接做这个 y 轴的垂线 就可以了，其中呢，这个长度是一，你看这长是一，这个角度是六十度，这角三十度，这垂直三十度所的咱们的斜面半。所以呢，我们假设这个垂足是个 m 点，这个就是二分之一，这个就是二分之根三。所以 p 点的 x 轴上是零，在外轴上呢，就是二分之三，在这轴上呢，就是二分之根号三，球心 o 点坐标 x y z 啊，那么那我们是不是就有 o a 等于 o b？ 二零二五年新高考的那个立体几何也是求它的球心啊， 等于 o d， 那 么 o a 等于 o b 是 不是平方就行了？所以就是 x 方加外方， 然后再加上这方等于 x 减一的平方，加上 y 的 平方，加上 z 的 平方，然后这个呢，就是 x 方加上 y 方加上 z 方，然后 o c 呢，就是 加上 y 减一的平方，加上 z 的 平方，这个呢，就是 x 方 加上 y 方，再加 x 的 平方，就等于 o d 呢，就是 x 方加上 y 减去二分之三的平方，加上 z 减去二分之根三的平方。那我们就解它呀，这外方、外方，这方，这方都相等，那么 x 方对 x 减一的平方，这个 x 等于几呢？ x 等于 二分之一，同样， x 方 x 方， z 方， z 方消掉， y 等于几呢？ y 也等于二分之一，是 o p， 不是 o d， 哎， o p 啊， sorry o p。 那 么呢，我们现在再把二分之一这个 x 方这个一消掉，那么呢，我们就可以得到外方就等于四分之一 加上 z 的 平方，这边呢，一加上 z 减去二分之根三 括号的平方。好吧，然后呢，我们把这个括号一打开，所以呢，就是四分之一加上 z 的 平方等于一加上 z 的 平方 减去根三， z 加上四分之三，所以呢，就等于我们把根三 z 提过来，一加四，三减去四分之一，一加二分之一就等于二分之三，那么 z 就 等于二分之根号三，所以我们 o 点的坐标就是二分之一， 二分之一，二分之根号三。来，各位能不能听懂这题最难的是第三问啊，都给你们分享一下 o 点坐标，知道了要你求 o a 与 abc 加角的正弦值，这是 a 点， 这是 o 点。下面就是 abc 平面，要求这个角度的正弦值， abc 的 法向量 n 等于几 零零一。其中这个题目我们要求的是上引 c 塔，上引 c 塔就等于扩散 a o 向量和这个法向量的加角的余弦值，加个九的值搞定了。 为什么要加绝对值？因为线面加角的取值方一定是零度到九数之间，它不可能是负数，所以加绝对值啊。于是呢，我们这个地方， a o 向量就等于 a o 乘以 n， 再除以 a o 的 模， n 的 模， a o 乘以等于什么东西呢？ a o 乘以就等于二分之根号三，二分之根号三。然后再来 a o 的 魔就等于根号下四分之一，加上四分之一，加上四分之三，加四分之三， 再乘一，也就是四分之五，二分之根号五，答案就是根号五分之根号三，就等于五分之根号十五。几何法咋做 几何法呢？就是需要找到它的球心，球心就在任何一个面外接圆的圆心的垂线上，垂在这个地方，然后这里面是 圆形的垂线， ok， 大家看能不能懂？这个是 o 一， o 一 就是 abc 的 外接的圆心，这个是 o 二，这个是 a、 c p 的 外径圆心，它们的做垂线 才刚好是一个点。 o 啊，这个点是个 n 点吧， n 点刚好是 a c 的 中点。然后呢，我们就可以算出这个 sin theta 等于什么东西呢？ o o e 比上 a o 就 行了，比上 a o， 其中我只要把 o、 o e 算出来就可以了，为什么呢？因为 a、 o、 e， 这才是好算的，这就等于多少？这是根号二， 它乘以二分之二，我只要算出这个来就行了。那么这个怎么算呢？这个就等于 o 二 n， 于是呢，一百二十度的等腰三角形，它的外心在什么地方？就是 o 二，实际上要形成个菱形， o 二就在这个地方，然后做垂线就行了啊，做垂线就行了。好了，这个 就是 o 二，这个就是 a， 这个是 c， 这是 p。 所以呢，我们做垂线，这个点就是 n 点， 这个是二分之一，那么这个长度是二分之根三，也就是什么东西呢？ o 一 就等于 o 二， n 等于二分之根号三， 这个上面就等于二分之根号三。其实如果几何法会更简单一下啊，我觉得，然后这个 a、 o 的 长度等于什么呢？ a o 的 长度，这个就等于根号下二分之根号三括号的平方，再加上 二分之根号二括号的平方，因为这个二分之根号三，这个二分之根二勾股定律啊，所以呢，就等于二分之根号五，二分之根号五，所以就是二分之根号三。 比上二分之根号五，就是五分之根号十五，蓝色比的就是我们的几何法。但这个题还没做完啊，这个题最难的是这一问，哎呀，这问难的要死。二面角， 首先这个题目这就用不了了啊，这就用不了了，好吧，因为这个弱是在第一问的这个地方，二面角的正切值为根号二 a 杠 p c 杠 b， 求 b p 的 长。这题真的非常复杂，为什么？因为 p 点坐标你没办法表示，我来跟大家讲一下啊，这题看能不能给你们讲懂啊，这题估价大费周章。 x y 我 想问一下大家，只通过这几句话，你们觉得 p 点的轨迹是什么？ ab 等于 ac， p， c 也等于一，这个角度一百二十度，你们说 p 点的轨迹是什么？只通过这句话， p 点轨迹什么？有没有能说出来？你们想到没有？这就像是一个棍子，然后这有个三角尺，这个三角尺呢，是固定的，现在绕着这个 a、 c 去旋转，那么 p 点的轨迹就应该是 一个圆，一个圆是以什么为圆心呢？过点 p 做它的垂线啊，做这个外折的垂线，这个垂足是 m， 就是 以 m 为圆心，这个是二分之一，这个是二分之根三，二分之根三为 半径的圆。现在 abc 的 坐标我们还是依旧表示出来，零零零 b 点的坐标一零零 c 点坐标 零一零， p 点坐标呢？在 x 上不知道，在外轴上肯定是二分之三，在 z 轴上不知道，你可以设这个为 x z， 但是我是怎么样去做的呢？为了减少未知量啊，为了减少未知量在个圆上的点，我们是不是可以设成二分之根三扩散 c 塔，然后二分之根三散 c 塔。 为什么这样设呢？因为它是这个圆上运动，这个圆面，它是平行于 x、 o、 z 的， 所以它的 x 和 z 半径是二分之根三，二分之根三扩展 c 塔，二分之根三散散 c 塔。说白了，你就看它的左视图，它的左视图是一个这样子的图，我跟大家分享一下啊。有同学有点懵哈，它的左视图，这是 x 轴，这是 z 轴， p 点呢？它的左视图 是这个样子的，其实这个半径是多少呢？半径，这个半径就是二分之根号三。所以呢，我们设这个角，如果 c 塔的话，那么这个 p 点在 x 轴上就是二分之根三乘扩展 c 塔，二分之根三乘三 c 塔。 只不过就是你们以前的话，大家都学参数方程，这个就好理解一点，现在没学参数，大家会觉得很陌生，在你们学三角函数，也学单位圆上一点扩展 c 到 c 点 c 塔，这只不过半径是二分之根三的嘛，这不是半径是二分之根三的对不对？是不是就仅此而已？当然你们实在不会啊，你就设 x z 得了 x， 然后呢， p 点满足什么东西呢？它的 y 的 距离是二分之二三，就是 x 平方，加上 z 的 平方等于二分之三的平方，但这样子会更简单，我觉得它至少是一个未知数，会好一些啊。这个计算量大到吓人，我们来看一下啊。现在题目说 a、 p、 c、 b 的 正确值，我们空间直角坐标系都建好了，现在是不是把这个 a c a c a c 向量零一零，然后呢？ a p 向量 就是二分之根三扩散 c 塔二分之三，还有一个二分之根三散散塔。然后呢，我们去看一下这个法向量啊，就是 a p c 的 法向量，我们设为 x 一 y 一 z 一， 然后一相乘，就是 y 一 要等于零，然后就是一个二分之三 y 一 加上二分之根三扩散 c 塔乘以 x 一， 加上二分之根三散散塔 乘以 z 一 等于零。两个一连立起来，其中 y 一 等于零都已知了，就不用管了，现在我就是要把这两个给算出来。所有同学啊，就是你们说你 x 一 等于几会比较好，往往很多老啊，你看它等于等于等于，你不要总觉得等于一等于就比较好， 一定不要出现分式好不好，不要出现分式。所以念 x 一 等于几呢？念 x 一 等于 sin theta， 那 么我们的 z 一 就等于负的扩展 theta， 于是呢，我们这个法向量 m 就 等于 散析塔零，负的扩散塔，好，这是我们 a p c 的 发向量。我们再来啊， b p c b p c， 我 就搞一个 b c 了啊， b c 向量 c 减 b 就是 负一一零 c p 向量 就等于二分之根三扩散 c 塔，然后二分之一，二分之根三散析塔，好，我们设 这个平面 m 向量 n 向量的这个法向量是 n 向量，就是 x 二 y 二 z 二，于是呢，就是负的 x 二加上 y 二等于零，这是第一个，是指第二个呢，就是二分之根三倍的 扩散塞塔乘以 x 二，再加上二分之一的 y 二，再加上二分之根三的散散塞塔 z 二就等于好，这个实验难度比较高的啊，第十七题就这么狂压更加，比如说十八十九了， 这个式子我们就可以知道，什么呢？ x 二是等于 y 二的，那我们另可以把这个式两边同乘以二啊，同乘二就是根三倍的扩散系数，乘一个 x 二，再加上 y 二，再加上根三倍的散系数，乘 z 二等于零，我们可以另 x 二 等于几呢？令 x 二直接等于 sin theta， 则 y 二也等于 sin theta。 然后呢，我们把这两个都带到下面这个式里面，就可以得到根三倍的 cos theta， sin theta 加上 sin theta， 再加上根三倍的 sin theta， 乘以 z 二等于零。于是呢，我们算出来 z 二等于多少呢？ sin sin 全部消掉，负的一项过去都是负号，负的根三分之根三 扩散 theta 加上一，所以 n 向量就等于我们的 sin theta， sin theta 负的我们直接分裂参数负的扩散 theta 减去三分之根号三。做了这步以后， 告诉你，正切值等于二，所以这个角你们看一下，明显是个锐角，对不对？你们观察这个图像，明显是个锐角，也就是探子 c 塔等于根号二，你们可以这个时候干嘛呢？在旁边画一个这样的三角形，一根号二，根号三，这个就是 c 塔， 探子 c 塔就这么多。所以呢，我们看一下图，扩散下是零比斜一比根号三，一比上根号三， 所以扩散 m n 的 绝对值，你们说等于几？这个就等于我们的根三分之一，或者是三分之根三啊，都可以，那么就是 m 乘以 n， 所以 m 的 模， n 的 模。你们说这个题做一个第十七列是不是有点吓人？这么写，上面加绝对值等于 根三分之一， m 乘 n 等于什么东西呢？ m 我 们已经知道，在这 n 的， 在这我们看两个相乘就等于三 c 塔的平方，再加上负扩展，乘以负负得正扩展 c 塔的平方再加上三分之根，三扩展 c 塔绝对值，然后再 除以 m 的 模，就是 m 模等于几？ m 的 模等于几？ m 模是不是等于一，对吧？ n 的 模根号下三 c 塔的平方加上三 c 塔的平方，减去 去就是变加号，因为这个符号取了个符号出来啊，一平方无所谓了啊，三分之二的根，三扩散 c 塔，再加上三分之一，这个等于几呢？等于三分之一。写到这份上了以后呢，继续啊，只需要把这个方程解出来就可以了啊。上面呢，就是一 加上三分之根，三扩散 c 塔的绝对值，然后我两边直接一平方，两边平方得了啊，这边一平方，其中散的平方加扩散平方就等于一，所以呢，就是下面一平方就散 c 的 平方加上三分之二倍的根号，三倍的扩散 c 塔 加上一加上三分之一倍的扩散， c 的 平方加上 三分之二倍的根，三倍的扩散 theta 就 等于这个，这个是怎么办呢？既有散，有扩散，全部变化成扩散得了有散的平方，就可以把它改变一下，再加上三分之二倍的根，三扩散 theta 加上三分之四。于是呢，我们这个地方 就是扩散的平方，这里面又有个扩散的平方，把它拿过来，这三乘三是不是一说是两倍的扩散 c 它的平方，然后这个乘这个呢？二倍的根三扩散 c， 它再将这个再减去，这个二减去，它加上二倍的根三， 就三分之六，三分之六减三分之二，三分之四，三分之四倍的根三扩散 c， 然后常数下呢，这个是一个三三把一减就是二二，再减三分之四，就是加上三分之二等于零。两边同乘三六倍的扩散 c 的 平方加上 四倍根三扩散 c 塔，加上二等于零，同时再除以高二三倍的扩散平方。这没有一个强大的计算能力和自信算这个题绝对会放弃的啊。这个平方就等于零， 所以扩散 c 塔等于负的三分之高三。那么呢，散 c 塔，散 c 塔呢，就等于正负三分之 根号六，所以呢，屁点的坐标啊。负的三分之根号三，乘以二分之根号三，就等于负的二分之一，这个呢是二分之三，这个呢是正负二分之根号二，我看对不对二，留着三和他约掉 搞定。现在要求 b p 的 长 b 点知道这个知道，所以就是一减，就是二分之三的平方加上二分之三的平方，加上正负二分之根二的平方开根号，所以就等于根号下四分之九， 加上四分之九，加上四分之二，于是四分之二十，四分之二十五。 觉得这道题可以鼓掌了啊，可以鼓掌了，这个版书和计算能力和思维。这主要是计算能力啊，这个计算是不对一般的学生来说，这是真的要吓人的要死啊。这在高考题里面绝对是一个比较狂野的，比那个二零二五年的新高考的第十期就难多了。跟着勇哥跑数学一定好。

很多高三学生在我们做高考题的时候，遇到这种不规则几何题算体积的问题的时候，感觉特别的困难，总觉得没有什么思路。像这种不规则几何题，我们算它体积，通常选的思路呢就是割补法，要么割成几何规则的几何题呢？去算题之后，要么是补成规则几何题， 把大的减小的，这样算出来它的体积。那么今天我带大家看一道题呢，就非常巧妙的利用补形补成一个规则的结合题，这样能算它体积啊，特别的方便。那题目呢，给的是一个三根锥， p a， b， c， 然后 p a 等于六， pp 等于八， p c 等于 bc 等于八倍根号，然后给出两个角度， 如果我们观察一下题目条件，我们去大致分析一下，如果我们以 p 为顶点， a、 b， c 为底面算这个三等锥呢，其实是有很多困难的。首先它的底面 a、 b， c 这个三角形，它的面积其实却有很多条件呢，只知道一个边长， b， c 长，因此呢，面积是很难求出来的，进而我们求它的体积呢，也是很困难的。那么想着能不能转换一下顶点和底面呢？我们试着以 c 为顶点，然后 p， a、 b 为底面，我们看一下它这样的个三点锥是否好求呢？这样的话，底面其实是边长 是知道的，嗯，有个 pa 长度是六， pa 长度是八，然后有个角呢，是六十度。这样的话，我们很容易利用高中学的三角形面积公式，能算出来底面的面积。但是高还是有个问题的，就是有 c 向底面做垂线垂住的时候， 所处的位置很难确定，那我们想一想题目还给了些哪些条件呢？还给了这个 p c 和 b， c 是 两条测棱长是相等的，是八位根号的，然后还给了一个角度 a， p c 是 四十五度， 这些条件怎么和你用上呢？那么从底面这个三角形 a、 p b 入手，我们知道底面这个三角形的给的是六十度，来给我们有点启发，我们能不能合理的构造成一个特殊的三角形呢？那么可以试着把这个 p n 呢延长，延长多少呢？延长两个单位，使得它的 长度呢跟这个嗯， p b 的 长度一样，也就是说我们需需要把 pa 延长两个单位，得到 p d， 然后连接 c d 和 b d， 当底面呢就得到一个等边三角形 p b， d 了啊，我们知道原先这个三三角形 p b、 d， 它的面积呢，就是现在这个等边三角形 p b、 d 面积的四分之三。好，原先这个要求的这个三三锥呢？ c， p a、 b， 它的体积呢，也就是现在 这个三分之一 c， p b、 d， 它体积的四分之三，因为它们的高是一样的，对吧？好，那么再关注现在我们说的这个， 呃，三分之一 c， p b、 d， 它的底面积呢是非常好求的，等边三角形的面积四分之二三，它的边长的平方，那它高怎么确定呢？因此呢，我们可以这样去看一下，我们根据图我们大胆的猜测一下， c， d 有 没有可能是高呢？那么看一下 c， d， 它是否满足垂直底面 啊？首先我们在这个 p c、 d 这个三角形中去看这个三角形呢，我们知道它其实有个四十五度， 然后 p d 长度呢是八，然后 p c 长度是二八倍根号，那通过这些边角关系，我们很容易确定 c、 d 长度呢，其实也是八。因此呢，三角形 c、 d， c、 p、 d 其实是一个等腰直角三角形， 嗯，那就是 c、 d 垂直 p、 d。 同样的，我们在三角形 c、 d、 b 中利用这个边角关系，我们知道 b、 d 长度 它是八，然后 c、 d 呢是八好， bc 呢是八倍根号，满足我们这个等腰直角三角形中三边之比，一比一比根号，因此呢，我们可以知道，嗯，三角形 c、 d、 b 呢，也是一个等腰直角三角形，因此呢，我们可以知道 c、 d 呢也是垂直 b 极的， 这样我们可以知道 c、 d 其实垂直底面的，因此呢，这个三分之一 c、 p、 b、 d， 它的体积就非常好算的，就是三分之一乘以四分之二三乘以八的平方，再乘以八，三分之一百二十八倍 角。三角形 c、 p、 a、 b， 它的题就是四分之三乘以三分之一百二十八角，三十二倍角，三 好，这个就比较巧妙，就是我们当我们构造出里面是个等边三角形的时候，我们会发现连出来这条线呢，刚好是我们这个新，嗯，新构造出来的三锥，它的高啊，当这个需要大家利用这个，嗯， 边角关系啊，得出它是两个等腰直角三角形。嗯，这种题目呢，需要大家补行法，因此呢，补行法和割补法是作为我们计算不规则的几何题最常用的思路啊，希望大家能够掌握这两种思想。

听着好头疼啊，怎么这么乱套？哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。在证明平行跟垂直的时候，我们经常需要大家去主动的连接一些辅助线，帮助我们证明，那这些辅助线究竟如何做？正法究竟有哪些嘞？今天咱用一个视频帮大家解决平行问题，快点开始吧！ 无论是平行还是垂直，研究的无非是线线、线面跟面面这三种情况。咱先给大家讲线面平行，因为它的考法最多，考试频率也最高。 那如何证明线面平行嘞？咱有两个方法，一个是线线正，一个是面面正。哎，听着好头疼啊，怎么这么乱套。我给大家画个图，我想证明这条线跟线之外的一个面， 想说明这俩平行，我只要在面上找到一条合适的线，如果这俩线线是平行的，那不用说线面必然平行， 这是第一个方法。第二个方法想证明线和面平行，咱找到一个合适的经过那条线的面，如果上下两个面面面平行，那根据面面平行的性质，面上任何一条线，我无论怎么画这几条红线都跟底面是平行关系，自然就包括面上我想正的这条线。 那有的同学想到了啊，你说的挺简单的，找条线或者找个面，这咋找啊？这全都是套路，我要给大家讲清楚，如何找到面上跟它平行的这条线嘞？两个方法，第一个方法叫神奇的小眼睛， 在真正题目里面，这条直线呢，必然是以一个线段的形式来出现的，那有的时候你会发现，在咱想要证明的这个面上，他可以出现跟你要正的那条线段 大小、长度完全相等，方向还一模一样，你用你的目光一下就能锁定到这面上的一条线跟它能构成平行四边形，或者有可能眼睛不好使，没事，你拿着你那个直尺，看看这条直线大约有多长， 然后你让这尺子方向不能动，把它往那面上去推，推着推着推着，你发现在某一个地方，在这面内真的出现跟它长度大小完全一样的另外一条线段了，那这线就找到了。 好，那问题是我这线找是找到了，我如何证明他俩真的平行嘞？这里面一定要注意，我们连辅助线，一定要把这平行四边形另外两条边连起来。想证明这两条边平不平行，你不能直接证，你得证明他这另外两条黄色的边平行且相等，这就是套路。 因为我初中学过啊，你这两条边平行且相等了。好，那它就是平行四边形，那另外两条边就平行，线，面就平行。当然有的时候吧，他光会这一个方法还不行， 因为啥呢？有的时候出题特损，他把这个线段啊，搞的特长，相应的那个面吧，他搞的特短。结果吧，你在平移的过程当中，咱好好的啊，把这条线段往这面上移，我一移动发现，哎呦，这面太小了，根本就装不下。我这平行四边形我找不到， 找中卫线，这是我要挣的线，这是我要挣的面。大家在这线跟面之外的另外一个地方取一个点，一般来说这个点都非常非常明显，然后接下来都是常规操作，把 g 点跟两个线段的端点分别连接， 连接一条线，两条线，那我姥爷能看出来，这两条线肯定得跟我这面是不有交点呀，一个两个，我把这交点连起来啊，你这两点都在这绿面上，那你说这条线在不在绿面上？也在，而且你一定会发现，这焦点的连线就是你想找的线线平行， 那如何？正线也平行？大概率百分之八十的情况，你会发现这焦点正好捷德整个线段是一个中点，它是一个一比一的中位线， 当然偶尔也有可能不是重点啊，比如说它是一比二的三等分点啊，一比三的四等分点，理论上都行，只要两边的比例是一样的，这边是一比三，你那边也得是一比三，保证是相似图形，那两条线就一定平行。那接下来我们来找面面平行的方法就是啊，你要过这个线找到 一个面，那这面咋找啊？有的宝贝可不会了，我教大家如何做平行面。第一步，就像刚才说的这条直线呢，一定是一个线段的形式，在立体几何当中出现的，所以意味着吧，他必然有两个端点，想做平行面就从这俩端点入手。 第一步，先从其中一个端点做那面上某条线的平行线，一定非常好找。我这做完之后，哎，是不是支棱出来另外一个端点了？我记为端点 g， 那 宝宝们自己看， m、 n、 g 是 三个不同点，三点本身就能确定一个面对不对，所以我们做辅助线的方法特别清晰， 就过其中一个端点做条平行线出来，连接一下，形成一个面，结束。我记下来过两个端点当中的任何一个做平行线。好，面是做完了，那我如何证明面面真的平行啊？小傻瓜，面面想平行，我们一会会讲啊，咱得找到两对线面平行， 咱得说明这两条红线，第一个跟底面平行，第二条红线也跟底面平行。如果两条红线都跟底面平行了，那面面就平行了。面面一旦平行，那第三条边 m n 就 一定跟底面也平行。 因此大家会做完辅助线之后，你还得会证明，你就找两对线面平行，哪两对？这面一共就仨边， m n 是 你最后要正的，你不能用，你一定用 m n 之外的另外两条边。 你去说啊，这蓝的跟蓝的线线平行，那线面就平行了。一对找到，然后再换一个啊，这个粉的跟面上的某条粉线，他也线线平行，线线一平行，线面就平行了。第二对也找到。 所以大家有没有发现我解释一大痛最后的根本是什么？就是你过两个端点做这面上某两条线的平行线和平行线。如果觉得乱，刚才啥也没听懂，没关系，你就记住一句话，过端点做线线平行结束。

停留一分钟突破一道题了，今天我们看一个公大刚刚考过的一个初三的一模考试的一个填空的最后一个小压轴啊，这个题考了一个陀罗密啊，陀罗密四边形中陀罗密定律的一个拓展应用，这个我们刚刚讲过了，这个这个定律咱们你可以构造相似去做啊，用陀罗密更简单一些。我们看这个题目啊， 它这个四边形里面这个 a、 d、 c 啊，这个 ab 是 个六， ab 是 六， bc 是 个五绕 a、 d、 c 这个角是九十度，这个很关键，绕 a、 d 等于二倍的 cd， 哎，是直角边是二倍关系，所以这个也应该是个特殊的直角三角形，高重要学，我们可以说它是 a， 它是一个二 a， 这就是根号五 a， 那 很明显这个直角三角形的三边是一比根号二啊，一比二比根号五， 我们常常见的应该是一比一比根号二，还有一比根号三比二，分别是三十度、六十度的直角三角形和四十五度等腰直角，那这个考的是个一比二比根号五，它其实也是个特殊的直角三角形。好 d 等于 b d， 也就说这个 d 点是 b 的 中点啊，就这个意思，相当于求 a 一 的一个最大值。那这个题我们首先要怎么了？要去把这个 a 一 给它转换一下，这就是个难点， 就是你要去应求的话，不好求，我们要转化，其实转化它也有突破口，这个切入点是什么呢？就是这个，你看 b、 e 和这个 a、 d、 a、 d 点，它是这个 b、 e 的 终点，那很容易想到，我们把这个 a、 e 如果能把它勾勒成一个平行四边形，不就转化出来了吗？换句话说，把这个 a、 e 平移过去， 我们这次就不要平移了，因为这里已经有体影了，有这切入点，就是这个 b、 e、 d 点是中点 a、 d， 它刚好就是个对角线的引分。那我们知道平行四边形判定里面有一个很重要的，就是对角线互相平分的四边形，它也是平行四边形。那就是这个时候我们只需要延长 a、 d 啊，延长 a、 d 到这个 d、 f 吧 d、 f 使这个 d、 f 的 场与什么与这个 a、 d 的 场相等。换句话说，也就说这个 a、 f 与这个什么 b、 e， 它们是互相平分的。那我们知道 对角线互相平分的四边形，他也是一个平行四边形，这不太像啊，就是 a、 b、 f、 e 是 个平行四边形，对边是平行且相等的。那你说你要取 a、 e 的 最大值呢？现在只需要去取 b、 f 的 最大值就 ok 了 啊。现在我们用一个透了密境里啊，四边形中透了密境里头就很简单。那我们说在一个四边形里面，就跟我们讲过的，随便画个四边形 a、 b、 c、 d 把对角线连起来， a、 c 跟 b、 d， 那 对角线的乘积就是 a、 c 乘 b、 d， 它一定要小于等于 对边乘积相加，小于等于 ab 乘 cd， 加上 ab 乘 bc。 那什么时候取等号呢？那就当前紧当当这四点共圆的时候啊，比如说这个四边形，这个四点是共圆的， 取什么号？取等号，取等号，这是什么？这就是我们的四边形里面的一个陀螺臂定律啊，非常简单，也非常好记。这个拓展的知识点，那这个你如果这样去做，我们要求这个 b、 f 的 最大值就非常简单了，那很明显我们把 c、 f 连起来， 那这个时候你看 a、 b、 c、 f， 它就是个四边形啊。 a、 b、 c、 f 对 角线分别是 a、 c 和 b、 f， 我 们发现一个问题，好，这是个二 a， 这肯定是二 a， 这个是垂直的，这个也是垂直的，这是 a， 这是二 a， 这也是跟它五 a， 哎，我们就发现一个很非常非常 能用这个东西，得一个东西，对不对？你看对角线 a、 c、 b、 f， 我 们就写了 a、 c 是 多少？根号五 a， 那 就根号五 a 乘以 b、 f 不知道 小于等于对边平啊？对边相乘相加，那就四 a 乘以五，加上根号五 a 乘以六，六倍，根号五倍，哎，出来了。所以 b、 f 这些小于等于 根号五分之 a 等于多少吧？二十加六倍，根号五，所以出来的结果就是一个四倍根号五加六，哎！小于等于四倍，根号五加六，所以说最大值就是四倍根号五加六， 加括号。 ok。 希望同学们下去以后一定要把这个透了密，四边形中透了密定零，但理解清楚 他的证明我就不说，用相似去证明就好了，你把结论记下来也非常有用。到高中以后有时候也需要用这个东西啊。在我们在立体几何里面转化为平面图形去解决立体问题啊。 ok。

尝试下能不能解析，如果你真想的话啊， if you want 对 吧？哎，懂的， want 是 吧，有马斯的 want 啊你，你必须 want 一下啊，哈哈哈。如果你听了我的课程呢，就知道这个题勇哥肯定是有方法解析的呀。这个挨个走， 这个 y 轴，这个 z 轴 x y z， 然后下面是个六十度，你把它俯视图给画出来啊。俯视给画出来，这个是一， 然后二 六十度， 这个是 a， 这个是 b， 这个 c， 这个 d a b， c， d 的 坐标超号表示，那么这个题的关键还是要求 a 一。 我跟你把方法说一下吧。同样设 a 一 的坐标 x y， z， 然后知道这个长度等于二，知道这个长度等于几，来着 这个长度是等于二的，再知道这个长度是等于一个，我看一个一，一个二，根号三，是不是一个二，一个二，一个根号三到三个已知点的距离都知道，能不能三个未知数，三个方程结束， 没办法去见细，怎么求二面角啊？我关键讲 d 选项吧，因为这个这个 a b， c 都是用 g d 法去表示，没啥意思啊，就看 d 选项。如果你遇到一道题目没办法见细，又要你去求二面角的，你就可以 最常见的方法。干嘛呢？直接用定义去做，直用定义去做啊，如果定义还做不出来的，再去做垂线，做垂线这么之类的啊，好定义怎么做的呢？定义是不是在我们的这个两个面的，这个公共的，这个这个叫什么？ 这个也不叫项链，这叫叫什么呢？交线啊，叫交线。那有的时候这年纪大了，总说中一顿，我错，到底叫公共弦还是叫什么叫交线？在交线上找一个点，然后呢分别做这个的垂线就可以了，把这个二面角转换成一个平面角就可以了， 懂吗？好，我们看一下这个东西，二面角 a 杠 aed 杠 b， 它们的交线是什么呀？交线是不是就是 aed？ ok， 那 么这个长度是二，这个长度是二，这个三角形是一个什么三角形？是不是等腰三角形？要想找垂线，这不是砍瓜切菜吗？直接找到它的中点， 比如说中点就是 h 点，好吧，这个 a h 就 垂直于 aed， 没毛病。 然后再怎么办呢？然后是不是应该过这个，这个平面里面就是 aed， b 里面也是做这个，做这个垂线怎么做呢？跟大家分享一下啊。 你看一下这个长度相不相等呢？思考一下，相不相等， 相等还是不相等？ b d 啊？ b d 和 ab 是 否相等？肯定是相等的，为什么这个三角形跟这个三角形是全等的？边角边，边角边全等的，所以这跟这个也相等，于是 h 点是中点，它也是垂直的， 这一点就行了。所以呢，这个题目实际上要求二面角的余弦值，就是要求扩散等会啊，就是要求什么？哎，这个 扩散角 a h b h b， 于是我们把它们长度都求对就行了呀。好，我们来先看一下先求什么东西？先求这个 a h 吧，这是一个什么三角形？这是一个等边三角形，这个是二，这个是二，这个六十度，于是这个也是二，于是这个是一，这个 a h 就 等于根号三高三啊。 好了，刚刚呢？还有你们说这是个什么三角形？有个一，有个二，还有个六十度，有个一，有个二，有个六十度，那直接画呀，这是一个，嗯，这是个二，然后六十度是个一。再来再来 a、 b、 d， 这个长度是一，这个长度是二，这个呢，就是根号三，那是不是根号三？一比二比根号三嘛？ 同理，这数也是根号三，也是根号三，对吧？一个根号三，一个根号三， a、 e、 d 呢？还是一个二？所以呢，我们的三角形好， 这个是根号三，这个是根号三，能看到吧？这个是一个二，这个就是 b， 然后做垂线，这还不简单吗？这就是一，一根号三，这就是根号二。所以呢，我们可以知道 b h 等于根号二，然后再加上 ab， 再加上 ab 等于几啊？ ab 等于一，好家伙，一个一，一个根号，一个根号三，这是个什么函数？又是一个 直角三角形，对吧？直角三角形，而且是以这个角 b 为直角的啊。要算 a h b 扩散 h b 零边比斜边，就等于 b h 比上 a h， b h 根号二比上根号三，所以就等于三分之根号六正确。 好了，我顺便跟大家说下， b、 c 我 没讲，但是呢，因为我没什么，没讲，就是基底直接去表示，没有什么巧妙的地方，我就直接过了啊，我就只讲了 d 选项。现在问大家个问题啊，这个你们觉得能不能间隙？

数学课竟然有人敢迟到，那就让你们几个人单独喊一下口号，越学越王，坚决问题，谁敢来啊？你们听见了？不行，不行，俺没听见，没听见，再来一遍吧， 我爱周杰，我爱周杰，月圆月华，千里万里谁敢来？高好坐。 对，为什么我们说过，大哥说的什么我都不知道。宝宝不要再说话了啊。好，接下来的话，我们马上节课写的这个东西来进行一个复习啊， 一会就擦了，听见没？好，首先第一个，线线平行对不对？好，我们线线平行有几种方法， 三种，第一种是构造平行四边形。好，第二种的话是构造。第三个的话是利用线面垂直的性质，对不对？就说如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线就互相平行。然后如果这个题干中 出现了终点的，遇事不决，再找一个终点对不对？对，是不是？两个终点是不是才能构成三角形的中位线？ 对，也就是说这是不是就是我这里的第二条就构造三角形中位线，对不对？对，就说。所以说遇到终点，遇事不决，再找一个中点啊。好，这是他。好，这样的话我们再回顾一下线面平行啊。

我们今天来讲一道例题集合的问题。首先看题，如图，在三棱锥 p abc 中， d 是 bc 的 中点， ab 等于 bc 等于四， bc 垂直于底面 abc。 第一问，让我们证明 ab 垂直于平面 pbc， 我 们看图， ab 等于 abc 的 中点，那么我们可以知道，直线 ab 是 垂直于 bc 的， 又因为 pc 是 垂直于底面 abc 的， ad 又在底面 abc 之间，那么 pc 就是 垂直 ad 的， 那么 ad 垂直于 bc， 又垂直于 pc， 然后 bc 交 pc 等于点 c， 然后 bc， bc 又在 平面 p b c 中，那么可以证得直线 a d 是 垂直于平面 p a b 的， 那我们的问就整完了，我们看一下。二、若点 e 为三角形， p c b 含包含边界的一点，且 a e 垂直于 c e， 求点 e 的 轨迹的长度， 那么在平面 p b c 内找一点 e， 假如说这也是点 e， 那 么连接 a e 和 c e， 我 们知道的是嗯 a e 是 垂直于 c e 的， 然后呢， 我们 d 问，知道 a d 是 垂直于平面 p b c 的， 那么 a d 也是垂直于 c e 的， 那么 c e 垂直于平面 呃， a e d， 那 么可以知道 c e 是 垂直于 d e 的， 那么无论点 e 在 平面哪里都满足 d e 是 垂直于 c e 的， 那么这里是直角，然后 dc 长度又不变，那我们可以知道，定义的轨迹是以 dc 为直径的圆，那么嗯， bc 等于二， d 是 bc 的 终点，那么 dc 为直径，那半径就为一，那么它的轨迹就是一个圆周，就是嗯，派 就是一个圆周，然后求出这个圆的周长就行了。 然后我们看小三，若 a b 垂直于 a c 二面角 c a p d 的 大小为六十度，求 a c 平面 a d p 做成角度相值，我们知道嗯 a， b 垂直于 a、 c， 然后又知道 p， c 垂直于底面 a， b， c， 那 么可以找到一个墙角模型，我们过点 a 做 p， c 的 平行线，当 z 轴，然后 ab 为 y 轴，我们知道 ab 垂直于 a、 c， 然后 bc 等于四， 那么可以得到 a， c 等于 ab 等于二倍根号二。那么我们可以把点 a 的 坐标，点 d 的 坐标和点 c 的 坐标表示出来，那么点 p 的 坐标我们设 p， c 等于 a， 那 么点 p 的 坐标就是零二倍根号二 a， 然后我们根据二面角 c， a， p， d 的 大小为六十度，然后我们求平面 a， p， d 的 大小为六十度，然后他们两个发向量的余弦值 嗯为六十度。让我们可以解的 a 是 等于解的， a 是 等于二的，那么就可以得到，嗯，平面 ap 的 法向量是等于 法向量 n 是 等于嗯，二，负二倍根号二，然后平面 apc 的 法向量是二，负二，二倍根号二，那么向量 ac 像 a， c 是 零，二倍根号二零，那么他们两个的余弦值就等于嗯， 都对应相乘，除以各自模的乘积，那么就等于。然后就是负四倍根号的绝对值比上各自模的成绩就是四倍根号，比上二倍根号二 乘以四，也就是等于二分之一，所以 a， c 于平面 a， d， p 所乘角的正弦值就是等于二分之一。然后这道题就完了。

hello， everybody， 大家好，我是老王，那么今天我们来分享一下关于高一的这个不不， 哈喽， everybody， 大家好，我是老王。那么今天我们来分享关于高三异模准备中立体几何部分的这个内容。 首先我们说对于一个空间向量啊，基本上大家都已经学的差不多了啊，也相对来说会比较熟练， 这里边啊，老王另辟径啊，给大家这个提醒一下，关于这种不能间隙的， 或者是说用一些空间向量肌底法来做这个空间向量几何题的这种做法。我们来看现在这道题啊，说这个平面六面体啊，平行六面体给了一个这个，然后底面 b c 的是一个菱形， 然后题中告诉我们说角 c e c b， 哎，这个角还有角 c e c 的 啊，就是这个角还有角 bc 的， 这三角呢，都是六十度， 然后呢，我们来说这个 c 的 等于 c c e 啊，题中给了一个 c 的 等于 c c e， 标一下都是六十度啊，这角六十度，这角六十度，然后呢，上面这个角啊，也是六十度，这大角有六十度， 那这种情况下哈，我们来说，那么他说让你求证 c a 一 垂直这个平面，那我们知道，我们想证这个 c a 一 垂直这个平面，我们需要正它垂直这平面内的两条相交直线，对吧？ 但是呢，这道题你会发现啊，如果说你用这个常规方法平行垂直的定力公里正的话，你会发现它很难正啊，当然也能正出来，不是不能正， 但是呢，你可以自己试试，我估计啊，七分钟之内你应该是挣不出来，你可以试一试啊，从从现在我开始说到这个话的时候，你可以开始计时，然后你自己挣一挣，看你挣出来花几分钟啊，你可以把你的挣的这个时间留在你的评论，留在我的评论区。 好，那话不多说啊，在这里边老王需要大家准备的就是不仅要会那种普通的间隙啊，或者说包括这种平行垂直的方法，我们一定也要去会这种用 空间相量的方法来做题的方法就是找基底啊，好，那么什么意思啊？你看这道题呢，是我们想要正这个 c a e 垂直于一个平面的两条相交直线，那你就把这个 c a e 可以 给它看成是以 c c e、 c b 和 c 的 这三个向量为基底来表示，因为空间中的任何一个向量都可以表示成三个不共面的向量嘛，对不对？这三个向量我标一下啊，就是一个是 c b， 一个是 c d， 一个是 c c e， ok， 那 这样的话，你看我这个过程，看我怎么写啊？上面上来之后我就可以说证明啊，那么向量 c a e， 我 先用它表示一下， c a e， 这是一个体的小线，那显然就是 c 的 加上 c b 加上 c c e， 对 不对啊？有看不懂的小宝贝来，我给你讲一讲啊， c a e， 它是不是等于 c a 加上 a a e， 对 不对 啊？ c a 一 等于 c a 加上 a a e， 对 吧？而这个 c a 的 什么 c a 是 不是等于 c 的 加上的 a， 然后再加上 a a e 啊，对吧？而的等于谁的 a 是 不是就是 c b 啊？所以它就等于 c 的 加 c b 加上 c c e 啊？ c c e 不 就是 a a e 吗？对吧？ ok 吧，这是我们说向量 c 一， 哎，我就可以表示出来了，那接下来呢，我们再来看，那题中有 c 一 必得，随便 c 一 必得，找两条，找两个向量就可以了，比如说 b 的 吧，那我是不是可以写成 c 的 减去 c b 啊？一定要注意啊，我们都是以这三个点，三个向量为出发点去转化向量，所以 b 的 等于 c 的 减去 c b， ok 吧，再来一个，比如说这个 c e b， 那 c e b 等于什么呢？ 再看一下，是不是等于向量 c b 减去向量 c c e， 对 吧？所以说呢，现在这两个，这几个向量，你看是不是都被我转化成了以 c 的 c b， c c e 来表示的向量了？ ok， 那 接下来我可以说了，所以向量 c a 一 乘上下量 b 的 等于什么呢？等于 c 的 加上 c b 加上 c， c 一 乘上 c 的 减去 c b， ok， 那 接下来我乘一乘啊，其实坐到这之后，如果你着急啊，你直接写零，其实也可以啊，如果说你要是不着急呢，你硬算一下，是吧？那么我们硬算一下 c 的 乘以 c 的 边长。不知道啊，那这个 c 的 边长，我们可以设成是二吧， 然后那个 c c e 的 边长呢？它也是二，对吧？然后这道题还是一个 a b， c d 还是一个菱形，所以说 c b 呢，肯定也是二了，那 c d 方，那 c d 方是不就是四？然后啊，我，我这么写吧， c d 方 减去啊，这样吧，如果说你要是想要让你的过程相对比较简单一点啊，你可以在你的槽纸上，你可以先把这个 c b 乘 c 的 啊，写卷面上也行，你就把 c b 乘 c 的 可以在旁边先给算出来，是不是磨磨口加角，二乘二乘口三六十度等于二，对吧？然后你再把向量 c b 乘向量 c c 一 磨磨口加角 口算六十度，哎，也得二，对吧？然后你再把这个相乘 c c 一 乘，相乘 c 的 也是摩摩口加角啊，它也得二，对不对？ 然后这样的话，你往里带的时候，这就其实这就好带多了，你看它俩相乘的谁啊？是不是等于四啊，对不对？这就是四，然后减去 c 的 乘 c b 啊， c 的 乘 c b 的 多少？ 显然是二嘛，对不对？那就减去二，然后加上 c b 乘 c 的 二减去 c b 方四加上 c c 一 乘 c 的是谁啊？是不还是二减去 c c 一 乘 c b 啊？ c c 乘 c b 是 什么？是不还是二？ 哎，所以说你看它是不是得零啊？哎，那么接下来我们再来说，你再拿向量 c e 乘上向量 c e b， 哎，也是一个套路啊，那就是 c 的 加 c b 加上 c c e 乘上一个，呃， c b 减去 c c e， 那这样的话，我们来说还是挨个乘啊。先来 c 的 乘 c b， 是 吧？那应该等于二减去 c 的 乘 c c 一 还是二，加上 c b 方四减去 c b 乘 c c， 二 加上 c c 一 乘 c b， 二减去 c c 一 方就是四，你看它是不是？哎，也得零了。所以你就可以说 c a 一 垂直于 必得，然后 c e 还垂直于 c e b， 然后再说一下，又因为必得交 c e 啊，必得交 c e b 于 b， 所以 说这样的话，那么 c e 就 垂直于平面 c e b 的 了， ok 不 ok？ 大家可以看一看啊，这个方法是老王在高一高三啊，那么一模之前给大家 提个醒啊，这种向量肌底法的问题不要忘了。 ok， 这是我们今天复习的主要内容，祝你的数学越来越好，拜拜。