辽宁单招立体几何练习题

同学们大家晚上好，今天晚上给大家更新一期立体几何的内容，那么今天的这两问呢？第一问是意面直线所成角啊，第二个是一个线面垂直。好，首先来看第一问， 那么异面直线所成角，我们去找角的时候，是要对这两条异面直线进行一个，哎，找平行线，哎，找到他们相交形成的一个夹角，是不是再去求值啊？好，那现在咱们来看一下啊，要求的是这个 e、 f 与 bc 一， 那很显然，他们两个现在是一个异面的状态啊，没有形成交点，所以我们要进行一个平移， 那么需要平移的啊，是我们的 b、 c 一 啊，这里可以做一条对角线连接对角线 a、 d 一 好，连接 a、 d 一 之后，这个 a、 d 一 和 aed 是 不是刚好相交于点 e 啊？ 所以这个时候我的 a、 d、 e 就 和 e、 f 相交，产生了一个夹角，也就是我们的这个 d、 e、 f 啊，那在这里呢，你要对它进行一个说明。第一问，连接 a、 d e， a， d e 与 a e、 d 相交与点 e， 那 么这个时候呢，因为 d e、 c e 啊，它是平行于我们的 ab 的， 并且 d、 e、 c、 e 还相等于 ab， 所以 我们的 ab， c、 d、 e 为平行四边形， 那么它的另外一组对边就是一个平行的关系啊，所以 b、 c、 e 啊，它就平行于我们的 ad。 一 则 题目中，让你求的 e、 f 与 b、 c、 e 所成角就转变成了，哎，我们的这个角 d、 e、 f。 好， 现在重点是我要来求一下这个假角，那么求这个角的话，呃，用眼睛来看，它好像很像一个等边三角形，对不对？但是我们要进行一个严格的证明，那我们要去求一下它们之间的边长关系。首先这个 e、 d、 e， 它肯定是等于二分之一倍的 a、 d、 e 的 啊，那么因为这个是正方体，它的棱长我们是不是可以射一下？嗯，射棱长 为一啊，如果能长为一的话，那我的这个 a、 d 一 是不是就等于根号下一加一，也就是根二啊，也就是二分之一乘以根二，等于二分之根二啊，这是一 d 一 已经有了。好，那同理，我的这个 d、 e、 f， 它是不是也是对角线的一半啊？ 啊？ d e、 f 啊，也等于二分之一 d， e、 c 等于二分之根二，那这两个都有了，那 e、 f 啊，还差一个 e、 f， 你 看这个 e 点和 f 点，是不是现在都是中点啊？所以我再连接一下。我这个 a、 c， 那 是不是三角形的一条中线？嗯，又因为 e、 f 为中点， 所以 e、 f 啊，它就等于二分之一倍的 a、 c， 这个 a、 c 是 不是也是一条对角线，所以它也等于二分之根二啊？所以啊，我们这个三角形 d、 e、 f 为等边， 那么我们的所乘九九 d e、 f 是 不是就等于六十度？那这个题是不就证明完了？好，这是第一问，咱们接下来来看一下第二问啊。第二问是一个线面垂直好， e、 f 要证明它垂直于 b， b， d、 d， 它在这里。然后呢， e、 f 要好， e 点和 f 点啊，非常的特殊，它都是中点在三角形 a、 c d e f 是 不是相当于一条中微线啊？所以我们有 e、 f， 它是平行于 a、 c 的， 嗯，那么这个 a、 c 好 像更容易证明它垂直于这个平面是不是？那么对于线面垂直，我们有一个性质定律， 大家还记得吗？ 性质定律啊，是怎么说的呢？如果我已经知道一个线和一个面垂直，那么和它平行的线同样也会垂直于这个平面，所以我只要能够证明 a、 c 垂直于这个平面是不就足够了？嗯，好，那我们一起来证明一下啊，因为 a、 c 它是垂直于 b、 d 的 啊，这个很明显是不是一条了？嗯，那还需要找第二条。又因为 我是一个正常体，所以我的棱是不是都垂直于地面 b、 b 一 啊，就垂直于我的 a、 b、 c、 d。 根据线面垂直的定义，我垂直于这个面，就要垂直于这个面内的任意一条直线啊， a、 c 包含于平面 a、 b、 c、 d， 所以 我的 b、 b、 e 就 垂直于 a、 c。 好， 你看，现在我已经有 a、 c 垂直于 b、 d， a、 c 还垂直于 b、 b、 e。 哎，所以啊，又因为 b、 d 和 b、 b、 e 它们两个都包含于平面 b、 b、 e、 d、 e、 d。 并且 b、 d 啊，交上 b、 b、 e 是 不是有一个点 b 啊，它俩是相交的，所以我就证明了啊， a、 c 它是垂直于我这个蓝色的面 b、 b、 e、 d、 e、 d 的 啊，没有，根据我们刚才的这个 e、 f 平行于 a、 c 啊，根据 线面垂直性质定律， 我们就有 e、 f 啊，它也是垂直于 b、 b 一 d， e、 d 这个平面的啊，那这个题是不就已经证明完啦？

哈喽，艾瑞巴蒂，大家好，我是老王。那么今天我们来分享一下关于高三一模啊，沈阳一模这个第十七题， 这道题呢，有很多宝贝们呢，在这个栏的这个位置算错了啊，就是这个栏的算的时候有问题，那么如果你现在的这个成绩啊，如果说在一百分以上，并且做这个题很丝滑，没有任何问题，那你现在可以划走了 啊，但这个视频你可以不用听了，这个哈哈，如果，但如果你是一个艺考生，或者是单招，或者说说你的成绩这次考试没到一百分， 那么并且这道题还错过啊，比如说第一问的立体几何那么平垂直这块可能真的有的时候有问题，包括在这个第二问做的时候挺麻烦，然后第三问呢，我们懒得没算出来。 那老王强烈建议你听一听这个视频，这个视频我会详细的去给大家解答一下这种立体几何题过程应该如何写，什么地方写的好，什么地方应该不用太去详细写，然后呢？什么地方必须要写，然后最后我们还会在这个呃，这个题就稍微大家看的给大家讲一下怎么算 这里边呢，我讲的方法呢，跟答案稍有区别啊，比答案稍微简单一些，然后还有一些细节东西，相信你听完会收获满满。好话不多说，我们现在来看这道题啊，这个题首先第一问呢， 我们只说注意事项啊，至于具体的思路，我们说答案上面都有啊，我们来看第一问正那个 p 也平行于 b 的 e， 对 吧？那很多同学都会写的，那接下来我们来看这道题它怎么写啊？它说连 a c 交 b 的 o， 然后四边形 abc 的是菱形， a o 等于 c o， 这首先来说这个辅线上边呢，怎么去说呢？就连完之后呢？在前面全写完，然后接下来这个地方呢， a o 等于 c o 之后啊， pe 等于 c e， 所以 说呢，这个 o e 就 平行于 p a 了。 接下来大家也不要忘了什么这个线不在面内和线在面内，然后所以说这个线就平行于这个面了，所以说这个地方的小细节啊，大家一定要特别注意。 好，那这个第一问呢，我们也就完事了，接下来我们来看一下这个第二问啊，这第二问呢，说这个求三棱锥 p b 的 e 的 这个体积 啊，我们看答案的方法其实比较麻烦，如果说按老王的方法来说的话，其实咱们在做这种 p b 的 e 的 时候，我们应该先干什么呀？先把这个 p b 的 e 给他，把顶点换一下对不对？换成以 b 的 e 分 别算， 看看是以 b 为顶点， p 的 e 好 算，还是以得为顶点好算，还是以 e 为顶点好算。通常不会是 p 为顶点好算，因为题中给的是 p 为顶点嘛，所以说这个式子呢，就是这三个中的某一个，那么这个呢，我们来说是比较好算的，大家有没有看出来以 b 为顶点， p 的 e 比较好算？看一下， 先看思路啊， b 为顶点， p 的 e 为底面，你看在这那由于这个底面呢，它是一个面面垂直的，那 p c 的 和这个 a b c 的 它俩垂直的，所以其实 b 到这个 c 的 距离 这段长，实际上就是它的高，就是 b 到面 p 的 e 的 高，然后接下来结合 p 的 e 的 面积， 三分之一底面乘以高，那这个式子就应该算完了。在这里边呢，在老王说一下，就是首先来说你看这道题其实体现了一个什么，就是像这种体积的问题很少考，对吧？以前我们准备的时候都是以这个空间向量间隙为主， 但是你看他这个式子呢，他现在放在的第十七题之后呢，他变成三个问了，所以说他可能会考一些关于这个立体几何中其他的东西，比如说下回可能会考你表面积 体积，还可能考考什么棱台或者是内切球的，或者外接球的这个半径什么的，这都有可能在这个题中考啊。那这里边呢，咱们说他这个题主要就是说什么时候 把它换顶点，换底面做，什么时候割补呢？通常一个三棱锥啊，主要还是以换顶点换底面做会比较好。那么在这里边，这个点到这平面的距离哪个高好求？一般就是用 b 为作为顶点，就是因为 b 到这个 p 七的这个距离的个高，就这段上的高好求， 所以才是基于这样一个逻辑。然后 p 得 e 这个式子呢，我们在做的时候不要去只是局限于 p 的 e， 你 应该把眼光放长远一点， 那 p 的 e 和 p c 的 它俩不在一个面内吗？对不对？所以这样的话，你如果看成是 b 到 p c 的 距离，这样的话，这个点 b 到 p c 的 距离，你就能比较容易的看出来，是啊， b 到 c 的 距离了。 好，接下来我们来看一下这个第二个的过程啊，我们首先来说可以取一下 c 的 的终点 m 啊，那我们取完终点 m 之后呢，我们可以连接一下这个 bm， 连接一下 b m 啊，这条线连完之后呢，那么因为这个四边形 abc 的是菱形，你注意我写的这个过程啊，如果你写的没有我写的详细，我建议还是以我写的为准啊，因为你的过程可能会扣分，你可能说这次没扣，那下次不一定扣不扣了，所以以老王写的为准啊。四边形 abc 的 菱形，然后它是等边， 然后 bm 的 高三， bm 垂直于希得， bm 垂直于希得了之后呢，因为 p 的 垂直面也被希得，哎，这都得去描述去证明啊， p 的 垂直面也被希得，所以 p 的 垂直于 bm， p 的 垂直于 bm， 对 吧？然后所以说 p 的 还希得小于 d 了，所以这个 bm 垂直两条相交线，那 bm 垂直于 p， 希得。 接下来呢，我们说 p 的 垂直于希得，然后 p 的 等于希得等于二，所以说 d e 呢，这是在求三角形 p 的 面积， 那这样的话呢，我们说三角形 p 得 e 的 面积二分之一，底乘高就等于了一，这样的话，三棱锥 p b 得 e 的 体积就可以变成三分之一，底面乘以高，变成 b， p 得 e 的 体积， 然后就三分之一乘 b m 乘 p e， 然后等于三分之高三。这题就搞定了啊，大家可以看一看，这个过程呢，比这个标准答案给的过程呢，要简单一些， 而且呢，这边拓展一下思维啊，大家一定要注意，这个体积好不好求，主要看高好不好求，这是第一个，第二个，咱们在做底面积的时候呢，一定要眼光放长远一点，可以把这个底面积给它延长，这样的话看起来可能会更容易能看得出来。 ok， 这是我们说的第三，嗯，第二问。 好，接下来我们看第三问啊，说这个呃，棱 a p 上是否存在一点 f， 使得 f b 得 e 的 这个正弦值是十四分之三倍到二十一，这个很多同学啊，都没做出来， 原因呢，就是因为大家见的细啊，可能跟答案见的细不太一样，在这里边老王需要去提示一下啊，我们见细的时候呢，尽可能的要以这个底面的这个垂直为出发点， 就是说在这道题的时候，它这个 a b c 的是个菱形，对吧？所以你应该把 a c 给它连上，然后以这个点为圆点做，会相对比较好做。有很多的宝贝们是这么做的啊，是这个得 a 为为这个 l 轴完了之后，这个线 过了这个终点啊，为他为 y 轴，然后去建的一个系。这样做的方法呢，倒不是不行，但是如果说这个数啊，相对比较麻烦的时候，他可能会不太好做。而且呢，建议大家，如果说要是想更好的间隙的话，尽量找底面的垂直啊，找底面中的垂直。 所以这道题呢，我们就可以把这个 a c 的 连上，然后呢终点就可以设为 o， 这个 o a 呢是 l 轴，然后 o b 呢是 y 轴，然后接下来你经过点 o 呢，自己往上去做一条线，是 z 轴，这个怎么说？这个话来看，我给你写，已经很写的很详细了，大家可以看一看啊，以 o 为圆点过 o 作 o n， 垂直于平面为奇的啊，那你就考试的时候，你在这上面标个 n 呗， 然后以 o a， o b， o n 为 s， y， z 轴解析，然后接下来就开始写点坐标啊，写点坐标，点坐标呢？正常情况来说，先需要什么点坐标就写什么点坐标，然后在你找二面角的时候，尽量用一个必得，因为这样的话，这个必得可以用两遍，求 f， b 的 反向量可以用一遍，求 b 的 e 反向量也可以用一遍，对吧？ 然后接下来看我们的做法啊，你看我怎么做的？我是先求的是这个栏的，因为这个 f 点呢，他肯定是用栏的表示，对吧？这里边一定要特别注意一个小细节，就是这位置一定要去看啊，这个位置， 这个位置，阿拉伯一定要加范围，因为这个题问的是什么？问的是是否存在，所以说阿拉伯算完之后，如果在这个零到一范围内，他就存在，不在零到一范围内，他就不存在啊，一定要加一个范围，这是小细节啊。然后接下来呢，我们来说一顿算，算完之后， f 表示出来了， l 表示出来之后呢，接下来就求向量乘，它也相乘得零。在做这种向量相乘得零的时候呢，也希望大家要注意。先去做什么？你看我做怎么做的，我先去做必得 e， 为什么？我为什么不先去做 f b、 d 呀？因为我怕做 f b d 的 时候挂了，因为 f 不 带喇嘛的嘛， 他不好算。这样的话呢，我先求必得 e 的 反向量，如果说我这个后边这个式子没算出来的话，老师给我判卷的时候，你看这对对对对对对，哎，到这也对，好，他就得分了，对不对？那你说，你如果说不先去做这个，然后你先去做这个的话， 那你这个过程如果说挂掉了，错了，比如说，哎，这个，这个跟答案写的不一样，完了之后呢？那这个地方人家老师可能就不会给你看了，所以你会少得两分，一定要注意啊，这都是细节，你让老师天天给你扣，扣着你的题去给你找分啊，对不对？不可能老师十秒钟就趴完这张卷了啊， 不是说错了，十秒钟就趴完这道题了。好了，回到这道题啊，那向量 n 呢？那我们来说就正常做呗，向量 m 先去做 必得一的反向量，这就不多说了啊，求出这个反向量，令其中一个为一，对吧？那我们说答案的方法呢？其实它更丝滑一些。答案的方法呢，是不是令它为一？是应该令它为二或怎么样的？这样的话，它算的这个反向量是一个，呃，整数，而不是分数。 这块呢，我们给你的建议是什么呢？如果说你平时就习惯令谁为一，那你就尽量就还是令谁为一，因为这个东西不是说在于简单不简单的问题，主要在于说你的这个过程是不是熟练， 你别今天令他为一，明天令他为二，后天令他为高三啥的，你说，哎呀，这个别人算，算的简单，别人算的简单并不一定会适合你啊， 一定要注意，因为你的这个数学呢，并不是特别好，一定要认这个事。所以说什么时候才能让自己准确率高呢？就是你做的熟练，你才能高啊。一定要注意，不是说答案做的方法就一定好，也不是说别人的方法就一定适合你，一定要找到适合自己的方法。 好，那个向量 m 求完这个反向量之后啊，然后向量 n， 向量 n 呢？那么这个是 n 乘 b 的 n 乘 n 乘的 f 的 零。其实这个我在做的时候也会有考虑的，就是你在做这个得 b 的 f， 你 要看一下这两个 这个向量选择谁会比较简单，一定要特别注意啊，那么这个得 b 比较简单，然后得 f 比较简单啊，所以说这个向量 n 才算的相对简单。你在做任何一个向量的题的时候，这种东西都需要有考量的啊， 不是说你随便找 b 得也行，得 f 也行， lp 也行，随便找，你随便找的话很容易错啊，或者说很容易算的时候会很麻烦， 所以说在你找点坐标，找这个啊向量的时候也都要特别注意。好了，那接下来我们来看令 z 二的一呢？然后接下来这个 c 特是它的二面角。看这道题还有一个细节，这道题中呢，求的是题中给的是正弦值， 你一定要先干什么？先去做出他的余弦值，用正弦值去做出余弦值。那话说回来了，如果说这个后边又挂了前面，后边这个计算又又错了，那最起码你这么写还给分呢，对不对？哎，这有一分那有一分，加起来也不少分。 好，那接下来这个口算其的算完之后就变成这样了，就下来 m 乘以下来 n 等于他乘他比他末乘他末。接下来我来给大家实际操作一下，这道题应该怎么算啊？如果大家在算这个篮子没算出来的宝贝们啊，应该仔细看一看，看看老王怎么去算，可能会给你一些灵感和收获啊。 好，我们来观察，你就记着啊，这种比较麻烦的题一定要多观察。我们先去从谁入手呢啊？我们来观察一下上边呢，其实也没有什么好方法了，上面我就正常做了。那就是横成横，纵成纵呗，是不是？嗯， 二栏减二比乘根号三栏的啊，加上二分之根号三就得得这个了，下边注意看这个东西有点意思啊，这个东西它得什么呢？等于根号下一加上四分之三，对不对？它是不是等于二分之根号七啊？ 那这个是，你看它是二分之根号七，你看这是不是也有个根号七？所以说啊，你可以先把这个二分之根号七给它乘到 等式的右侧，就让它乘个二分之根号七，你可以把它划了，然后把二分之根号七乘到这边来。那你看这个上面是不是变成了二分之七了？比成十四对不对？然后七和它约成二，是不得四分之一啊， 所以说这样的话这个根号三，讨厌的根号三就没了，这边变成四分之一了，然后这有个根号，对吧？照抄根号三栏的。那这个其实你也可以在这个位置，你一看好像没有什么太好的方法，到这你就只能硬算了， 三 l 的 方，然后四 l 的 方减去八 l 的 加上四，然后再加上一个一， ok， 当你坐在这之后再来再看，下一步再观察，你能观察出什么？这个东西你就去想，我要不要通分呢啊？通分简不简单呢？如果简单你就通，不简单就不通呗，对不对？ 然后你去给他通个分，看一看他通分之后应该等于什么，你发现他好像还行，所以说你通个分， 那就二倍高三栏杆上面是四，栏杆减四，然后加上三栏杆，哎，你会发现它等于二倍高三栏杆的分之七栏杆减四，对吧？哎，这些东西你在答案中你是看不出来的啊，这都是一些小细节啊。好，那接下来我们来说，它就是 二倍根号，三栏的上面是七栏的减四不动，然后接下来呢，我们来说下边下面是根号下，你看下边根号下也没有什么好方法了，就通分呗。 所以把底下通个分啊，底下通个分就是三栏的方分之，那就是七栏的方减去八栏的加上四， 等于多少呢？等于四分之一，哎，然后接下来你发现一个什么问题啊？你发现这个柿子他这边底下是不是有个二， 然后这有个四，对不对？所以说你把这个二和四他俩可以成在一起。好，那接下来呢，我就观察，你看啊，就是所有的过程，你说那你怎么能看出来？ 多看呗，我也不是一眼就看出来了，对吧？你要一定要继续做这个题的时候你做这个，呃，你现在，你看你现在这个数学不太，不太难，不太难的话，那就谁算的好，谁就是王道呗，对不对？你别到时候你挂这道题了，这道题你挂了的话，及格就很难了啊。 好了，那这道题做到这之后呢？接下来再来看，那么这个二和这个四，他俩可以约剩个二，对吧？然后接下来你看他应该怎么去化简呢？你发现一个什么问题？看这看这， 这是不是有个三栏的房开出来是什么？开出来是不是高三栏的，对不对？开出来是不是高三栏的，那这是不是有高三栏的？他俩是不可以 划掉了，对不对？哎，所以说你可以把这个和这个给它划掉，你说那我能，我能，那我哪能看出来，你多观察肯定也能看出来啊。把二把这个二给它乘到分子上，就是十四篮子减八， 然后等于刚下啊，就是七栏的方，然后减八栏的加四啊，然后接下来呢？平分，那这个没没办法了，那就是一千一百九十六栏的方加六十四，这就说命运让我们必须得这么算了啊，那我们只能这么算，二十八乘以八，八百六十四，八百六十四，二百二十四，二百二十四栏的 等于七朗的方减八朗加四， ok， 嗯，得到这个之后呢，然后接下来求这个朗的一百九十六朗的方减去七朗的方啊，那就等于呢，这个一百八十九 l m 的 方，然后减去二百二十四，加加上八，是二百一十六啊，然后加上六十等于零， ok， 接下来我们两边同时出个三来，变成六十三 l m 的 方减去七十二 l m 的 加上二十等于零。 有很多同学也会挂到这啊，比如说，哎，坐到这之后发现这个十字相乘啊，不会怎么试也试不出来啊，有可能这个试十字相乘确实有点麻烦，如果实在实在不行，那你只能求用公式了 啊，就是二百分之负 b 加减 b 方减 c， 因为你想啊，这题不能落在这，是不是你，就你，你想想，你做到这之后，你要是空了的话，那扣你四分，五分啥的都很有可能，那就有点不合适， 所以说我们说尽可能的就这道题就是这么设计的，因为其他题比较简单吗？所以说这道题可能算起来就会比较这个难一点啊，所以说你不要觉得说都简单或者都难，嗯， 这道题啊，它是三和二十一，当然我也不是一下就想到的啊，我也是去试了一下啊，那这个呢，应该是就是负二和负十啊， 那么所以说就是三栏呢减二乘上二十一，栏呢减十的零啊，所以栏呢等于三分之二或者二十一分之十。那有同学说，那你这个跟答案不一样啊 啊，因为我这个呢跟答案设的栏的也不一样那，但是最后的结果是一样的啊，所以说大家不用担心，你看答案，答案应该是三分之一和二十一分之十一，他跟我这个不是正好是一减的关系吗？所以说他的意思是没有毛病的啊， 好了，那栏得这俩之后，他都在零到一之间，所以栏的算的就是他了，然后接下来让你求什么？让你求这个啊， a f 的 长度，那两点间距离公式，这样就搞定了。 所以说老王去要去给大家去总结一下，大家这个时间会比较长啊，那么你在听的时候呢，尽可能听一些细节啊， 因为这道题你想做对的话，它的过程是很重要的。然后还有就是计算一定要总结一个事，就是如果你对于这种比较麻烦的计算的时候，多做多注意多观察啊，老王手动给你做这块，大家可以看一看是不是 以观察为主，对吧？你如果什么东西都硬算，不是说都能算出来的啊？好，那希望大家通过这只视频呢，能对这道题有一些灵感啊。那么好，今天的分享就到这里，祝你的数学越来越好，拜拜。

呃，这道题是一道单招的例题，几何，我们可以来看一下。这个他告诉我。第一问我，首先我们要读题，他说在棱柱 abc 杠 abc 一 中，他告诉我 a、 a、 e 垂直于底面， abc 能住吗？如果我的 a、 a 一 垂直于里面 abc， 其实也就是说我的呃，什么 c、 c 一， b、 b 一 都会垂直于 abc， 对 吧？这个其实对我们间隙是有帮助的。然后第二个，他告诉我， a、 c 等于三， bc 等于四， ab 等于五。 告诉我 a、 c 等于三， bc 等于四， ab 等于五。那么三四五直角三角形吗？勾股定律对吧？也就是说从这个条件里我们能得到的一个结论就是，我们的 a、 c 肯定是垂直于谁的， 垂直于 bc 的 吗？能理解吗？是因为你的 a、 c 方加 bc 方 是不是等于你的 ab 方，这个应该很好理解啊，十六加九二十五吗？对吧？然后 a、 a 一 是四。所以说这道题当我们读到这里的时候，基本上就这道题应该一点问题都没有了， 最麻烦最啊，那个最快最快的结果就我就间隙吗？间隙肯定是没问题的，他说让我们 d 是 ab 的 中点， d 是 a、 b 的 中点，它让我们正的是 a、 c、 e， a， c、 e 平行于 c， d， b， a， c、 e 平行于 c， d、 b 平行的话，我们是不是只需要在 c、 d、 b 里面找到一条直线和 a、 c、 e 平行就行了，对吧？ 那我们找的话，因为 d 已经是终点了嘛，我们如果不傻的话，一定要去想终点，那我们就把 c、 b、 e 给连接起来， c、 b、 e 两连接起来，它和 b、 c、 b、 e、 c 是 不是一定有一个交点？是 o， 我 们连接 d， o， 我 们连接 d、 o， 这样的话，我们的 d o， 我们的 d o 是 不是一定是平行于 a、 c、 e 的 中位线？ ok， 这就是我们整体第一问的一个思路，我们写下连接，第一问，连接谁？连接 c e， b 连接 c， e， b 交 b， e， c 于点 o 对 吧？交点 o 连 c， d o， 对 吧？我的 d o 就 平行于 c， d o 是 平行于 a、 c、 e 对 吧？ d o 平行于 a、 c、 e 三角形中位线吗？如果你不放心的话，其实你还可以写一句话叫做终点吗？终点，终点，因为 d 是 ab 终点，终点，对吧？然后这个证出来以后，其实下面就是非常套路的一句话，叫做 d o 咋了？ d o 属于这个平面 c、 d、 b 一 对吧？ d o 属于平面 c、 d、 b 一 很明显吗？ a、 c 一 不属于平面 c、 d、 b 一 对吧？ 所以说你的 a、 c 一 就是平行于平面 c、 d、 b 一 的平行于平面 c 的 b 一 对吧？非常套路啊，非常套路的一个写法。然后我们看一下第二文，第二文它是让我们求正切值，求 ab 一 和 b b， e， c、 c、 e 的 正切值，其实这个正切值，其实，呃，本质上就是线面角呗，让我们求线面角的正切值。我们 这道题标准答案上给的是用几何法做的，我们就间隙吧，因为它的条件非常非常好，间隙，我们就用间隙的方法做一下 x 轴 y 轴 z 种，你看我们用间隙的方法去做的，我们用间隙的方法去做的。然后我们写坐标 a 点子坐标 a 点子坐标肯定是 三斗零斗零，对吧？ b 一 的坐标 b 一 b 一， 这坐标，那肯定就是零斗四斗四喽，零斗四斗四，因为它告诉你 a、 a 一 是四嘛？然后我们， 然后我们 a b 一 就 a b 一 的坐标就写出来了，是不是 b 一 减 a 一， 零减三，负三， 四减零四，四减零四， ok， 然后他让我们写的是 bb bb 一 cc 一 的， bb 一 cc 一 的，我们现在要写的是 bb 一 cc 一 的发向量， 其实我们是要用法向量的，这个发向量的话， bb 一 cc 的 发向量其实是能看出来的，是不是其实就是我们 ac 啊？ ac 就是 我们的发向量 ac， 所以 说它的发向量五可以写成 一斗零斗零，我的法向量是可以写成一斗零斗零的，它的法向量就是 a c e， 我 们用法向量来表示，用 n 来表示， 嗯，很明显啊，因为原因是法向量一定要和这个平面垂直嘛？根据条件其实我们能看出来它为啥是因为你的 a c 是 不是是垂直于 bc 的？ bc 垂直于 bc， 又因为你的 a a 一 a a 一 a a 一 垂直于底面，谁？ a a 一 垂直于底面 abc 实际是不是你的 a a 一 是平行于 c c 一 的，所以说你的 c c 也是垂直于底面 abc， 所以 说 c c 一 是垂直于 c， c 一 是垂直于 bc 的， 对吧？ c c 一 垂直于 bc， 然后我们就能得到我们的 c c 一 垂直于 bc， 所以 说我们最终我们挣出来其实就是 a c， 这个是垂直于我们的，垂直于我们的谁？ bc c 一 b 一， 其实这一这一对也可以不用写，不用写，然后然后把向量，我们是 cosine c 塔，其实这个值算出来应该是 cosine c 塔。值啊，但是你是用 cosine c 塔去算的，我们说 你先写一下 cosine c， 它是不是？我们套公式是 a b 一 法项， a b 一 向量乘以法向量比上 a b 一 的模，乘以法向量的模，然后我们这个的话，乘一下，上面就是负三了， 对吧？ ab 乘以负三下，呃，下面你叫根号下，呃，十六加十六，三十二，对吧？这应该十六加四四以十六嘛，十六加十六，三十二，三十二的话加九十，十一，四十一、 九十九十一、四十一，然后再乘以个一，这个是不是就是根号四十一分之，根号四十一分之 三，对吧？根号四十一，其实要打绝对值的，打绝对值， 其实真正的这个值算出来，三 e、 c， 它是等于根号四十一分之三， ok， 三 e、 c， 它是等于四十一分，根号四十一分之三。那我们就稍微画一下三角形，因为我们要求这些值嘛， 我就令这个角为 c， 它 c， 它角叫做对边比斜边，对边比斜边，对吧？这个叫对边比斜边。现在然后我们要求邻边，邻边的话就是这个的平方四十一减去九， 呃呃，十一减九，九十十一二，对吧？三呢？写出了个二，你这个就是三，其实斜边就刚好三十二 有三十二加九十十一，四十一， ok， 没问题，那我们正切它按求的是 tan 的 c， 它正切值。正切值是不是叫个对边比邻边 正切这角对边比零边，对边比零边。这个开出来的话，三十二十六乘以二四倍根号二四倍，根号二乘以三，对吧？分之三，分子分母同时乘以根号二，嗯， 对，同乘以根号二，八分之三倍，根号二，对吧？八分之三倍根号。 ok， 这个就是我们用那个用间隙的方法去想的，间隙的方法去想的，然后这个就应该 应该没啥问题。这一块的话稍微我再写严谨一点吧。这一块的话是因为你的 a c 垂直于 bc， 然后 a c 垂直于谁？ c c e， 对 吧？ c c e， 所以 说你的又因为我的 bc 交谁交 c c e 于点 c， 所以 说就是 a c 垂直于 bc c e b 嘛？ bc c e b， 所以说你 a c 就是 法向量，法向量对吧？法向量的定义就是它会垂直一呃，一个平面内两条相交的直线，所以说这道题最终的答案正确值就是八分之三倍。根号二，这道题你要用间隙的方法做的话，唯一需要特别去注意一个点，就是这个值， 这个我们是用 cosine theta 去算的，算出呃，算的时候用这个，但是算出来这角其实是 cosine theta 值，它俩是互余的，它俩是互余的关系，这个要稍微注意一下，然后这道题就没啥问题。

高中立体几何，你们最怕什么？不好，间隙外接球翻折动点。今天给大家来一道题，这些问题全都有，要不要挑战一下十七的特别狂野？你们先把题目读一下，这道题我今天讲了十几分钟才把它讲完，真的复杂， 疑问超简单，题目说 a b 等于 a， c 等于 p， c 等于一，这个垂直这个角度一百二十度，要你证明 p a c 垂直于 abc 啊。若两个面垂直，要你证明 p c 垂直 ab， 我 直接就写下了啊。这个题的疑问很简单，但 第二问，特别是第三问，往死里来，我就直接大字写过程了， a b 是 不是垂直 a c 的？ 这题目给的。然后呢，两个平面垂直是不是垂直于交线的？直线垂直 a c， 所以 ab 是 垂直于交线的，它就垂直平面 p a c 垂直平面 p a c， 那 么呢，它就垂直平面里面任何一条直线， p c 又包含于我。今天我的有个学生就问我老师，这个包含到底有没有下面这个横线呢？你们说有没有？ 我跟他回复了一下，我说如果在集合里面包含余，是有横线的，在立体几何里面，这个包含余下面是没有横线的啊，你们就看课本上就可以了。好吧， 一问很简单，第二问，第二问难度就稍微大一点了啊，所有同学啊，这个题我给我们的正式卷是用了两种方法讲的，第一种是几何法，第二种是空间向量的方法，我在这里面就直接用空间向量去做了。好吧，那么怎么样做个题呢？间隙以 a 点为圆点， ab 为 x 轴，这个 y 轴 z 则 x y z， 那 么呢， a 点的坐标好，表示零零零，引着标零零零， b 点的坐标就是一零零， c 点的坐标 零一零，这是 x 轴，这是 y 轴，这是 z 轴。 a、 b、 c 都搞定了， p 点的坐标怎么表示呢？各位，两个平面是垂直的 p 点坐标怎么表示？回答一下，是不是应该过这个点 p 直接做这个 y 轴的垂线 就可以了，其中呢，这个长度是一，你看这长是一，这个角度是六十度，这角三十度，这垂直三十度所的咱们的斜面半。所以呢，我们假设这个垂足是个 m 点，这个就是二分之一，这个就是二分之根三。所以 p 点的 x 轴上是零，在外轴上呢，就是二分之三，在这轴上呢，就是二分之根号三，球心 o 点坐标 x y z 啊，那么那我们是不是就有 o a 等于 o b？ 二零二五年新高考的那个立体几何也是求它的球心啊， 等于 o d， 那 么 o a 等于 o b 是 不是平方就行了？所以就是 x 方加外方， 然后再加上这方等于 x 减一的平方，加上 y 的 平方，加上 z 的 平方，然后这个呢，就是 x 方加上 y 方加上 z 方，然后 o c 呢，就是 加上 y 减一的平方，加上 z 的 平方，这个呢，就是 x 方 加上 y 方，再加 x 的 平方，就等于 o d 呢，就是 x 方加上 y 减去二分之三的平方，加上 z 减去二分之根三的平方。那我们就解它呀，这外方、外方，这方，这方都相等，那么 x 方对 x 减一的平方，这个 x 等于几呢？ x 等于 二分之一，同样， x 方 x 方， z 方， z 方消掉， y 等于几呢？ y 也等于二分之一，是 o p， 不是 o d， 哎， o p 啊， sorry o p。 那 么呢，我们现在再把二分之一这个 x 方这个一消掉，那么呢，我们就可以得到外方就等于四分之一 加上 z 的 平方，这边呢，一加上 z 减去二分之根三 括号的平方。好吧，然后呢，我们把这个括号一打开，所以呢，就是四分之一加上 z 的 平方等于一加上 z 的 平方 减去根三， z 加上四分之三，所以呢，就等于我们把根三 z 提过来，一加四，三减去四分之一，一加二分之一就等于二分之三，那么 z 就 等于二分之根号三，所以我们 o 点的坐标就是二分之一， 二分之一，二分之根号三。来，各位能不能听懂这题最难的是第三问啊，都给你们分享一下 o 点坐标，知道了要你求 o a 与 abc 加角的正弦值，这是 a 点， 这是 o 点。下面就是 abc 平面，要求这个角度的正弦值， abc 的 法向量 n 等于几 零零一。其中这个题目我们要求的是上引 c 塔，上引 c 塔就等于扩散 a o 向量和这个法向量的加角的余弦值，加个九的值搞定了。 为什么要加绝对值？因为线面加角的取值方一定是零度到九数之间，它不可能是负数，所以加绝对值啊。于是呢，我们这个地方， a o 向量就等于 a o 乘以 n， 再除以 a o 的 模， n 的 模， a o 乘以等于什么东西呢？ a o 乘以就等于二分之根号三，二分之根号三。然后再来 a o 的 魔就等于根号下四分之一，加上四分之一，加上四分之三，加四分之三， 再乘一，也就是四分之五，二分之根号五，答案就是根号五分之根号三，就等于五分之根号十五。几何法咋做 几何法呢？就是需要找到它的球心，球心就在任何一个面外接圆的圆心的垂线上，垂在这个地方，然后这里面是 圆形的垂线， ok， 大家看能不能懂？这个是 o 一， o 一 就是 abc 的 外接的圆心，这个是 o 二，这个是 a、 c p 的 外径圆心，它们的做垂线 才刚好是一个点。 o 啊，这个点是个 n 点吧， n 点刚好是 a c 的 中点。然后呢，我们就可以算出这个 sin theta 等于什么东西呢？ o o e 比上 a o 就 行了，比上 a o， 其中我只要把 o、 o e 算出来就可以了，为什么呢？因为 a、 o、 e， 这才是好算的，这就等于多少？这是根号二， 它乘以二分之二，我只要算出这个来就行了。那么这个怎么算呢？这个就等于 o 二 n， 于是呢，一百二十度的等腰三角形，它的外心在什么地方？就是 o 二，实际上要形成个菱形， o 二就在这个地方，然后做垂线就行了啊，做垂线就行了。好了，这个 就是 o 二，这个就是 a， 这个是 c， 这是 p。 所以呢，我们做垂线，这个点就是 n 点， 这个是二分之一，那么这个长度是二分之根三，也就是什么东西呢？ o 一 就等于 o 二， n 等于二分之根号三， 这个上面就等于二分之根号三。其实如果几何法会更简单一下啊，我觉得，然后这个 a、 o 的 长度等于什么呢？ a o 的 长度，这个就等于根号下二分之根号三括号的平方，再加上 二分之根号二括号的平方，因为这个二分之根号三，这个二分之根二勾股定律啊，所以呢，就等于二分之根号五，二分之根号五，所以就是二分之根号三。 比上二分之根号五，就是五分之根号十五，蓝色比的就是我们的几何法。但这个题还没做完啊，这个题最难的是这一问，哎呀，这问难的要死。二面角， 首先这个题目这就用不了了啊，这就用不了了，好吧，因为这个弱是在第一问的这个地方，二面角的正切值为根号二 a 杠 p c 杠 b， 求 b p 的 长。这题真的非常复杂，为什么？因为 p 点坐标你没办法表示，我来跟大家讲一下啊，这题看能不能给你们讲懂啊，这题估价大费周章。 x y 我 想问一下大家，只通过这几句话，你们觉得 p 点的轨迹是什么？ ab 等于 ac， p， c 也等于一，这个角度一百二十度，你们说 p 点的轨迹是什么？只通过这句话， p 点轨迹什么？有没有能说出来？你们想到没有？这就像是一个棍子，然后这有个三角尺，这个三角尺呢，是固定的，现在绕着这个 a、 c 去旋转，那么 p 点的轨迹就应该是 一个圆，一个圆是以什么为圆心呢？过点 p 做它的垂线啊，做这个外折的垂线，这个垂足是 m， 就是 以 m 为圆心，这个是二分之一，这个是二分之根三，二分之根三为 半径的圆。现在 abc 的 坐标我们还是依旧表示出来，零零零 b 点的坐标一零零 c 点坐标 零一零， p 点坐标呢？在 x 上不知道，在外轴上肯定是二分之三，在 z 轴上不知道，你可以设这个为 x z， 但是我是怎么样去做的呢？为了减少未知量啊，为了减少未知量在个圆上的点，我们是不是可以设成二分之根三扩散 c 塔，然后二分之根三散 c 塔。 为什么这样设呢？因为它是这个圆上运动，这个圆面，它是平行于 x、 o、 z 的， 所以它的 x 和 z 半径是二分之根三，二分之根三扩展 c 塔，二分之根三散散 c 塔。说白了，你就看它的左视图，它的左视图是一个这样子的图，我跟大家分享一下啊。有同学有点懵哈，它的左视图，这是 x 轴，这是 z 轴， p 点呢？它的左视图 是这个样子的，其实这个半径是多少呢？半径，这个半径就是二分之根号三。所以呢，我们设这个角，如果 c 塔的话，那么这个 p 点在 x 轴上就是二分之根三乘扩展 c 塔，二分之根三乘三 c 塔。 只不过就是你们以前的话，大家都学参数方程，这个就好理解一点，现在没学参数，大家会觉得很陌生，在你们学三角函数，也学单位圆上一点扩展 c 到 c 点 c 塔，这只不过半径是二分之根三的嘛，这不是半径是二分之根三的对不对？是不是就仅此而已？当然你们实在不会啊，你就设 x z 得了 x， 然后呢， p 点满足什么东西呢？它的 y 的 距离是二分之二三，就是 x 平方，加上 z 的 平方等于二分之三的平方，但这样子会更简单，我觉得它至少是一个未知数，会好一些啊。这个计算量大到吓人，我们来看一下啊。现在题目说 a、 p、 c、 b 的 正确值，我们空间直角坐标系都建好了，现在是不是把这个 a c a c a c 向量零一零，然后呢？ a p 向量 就是二分之根三扩散 c 塔二分之三，还有一个二分之根三散散塔。然后呢，我们去看一下这个法向量啊，就是 a p c 的 法向量，我们设为 x 一 y 一 z 一， 然后一相乘，就是 y 一 要等于零，然后就是一个二分之三 y 一 加上二分之根三扩散 c 塔乘以 x 一， 加上二分之根三散散塔 乘以 z 一 等于零。两个一连立起来，其中 y 一 等于零都已知了，就不用管了，现在我就是要把这两个给算出来。所有同学啊，就是你们说你 x 一 等于几会比较好，往往很多老啊，你看它等于等于等于，你不要总觉得等于一等于就比较好， 一定不要出现分式好不好，不要出现分式。所以念 x 一 等于几呢？念 x 一 等于 sin theta， 那 么我们的 z 一 就等于负的扩展 theta， 于是呢，我们这个法向量 m 就 等于 散析塔零，负的扩散塔，好，这是我们 a p c 的 发向量。我们再来啊， b p c b p c， 我 就搞一个 b c 了啊， b c 向量 c 减 b 就是 负一一零 c p 向量 就等于二分之根三扩散 c 塔，然后二分之一，二分之根三散析塔，好，我们设 这个平面 m 向量 n 向量的这个法向量是 n 向量，就是 x 二 y 二 z 二，于是呢，就是负的 x 二加上 y 二等于零，这是第一个，是指第二个呢，就是二分之根三倍的 扩散塞塔乘以 x 二，再加上二分之一的 y 二，再加上二分之根三的散散塞塔 z 二就等于好，这个实验难度比较高的啊，第十七题就这么狂压更加，比如说十八十九了， 这个式子我们就可以知道，什么呢？ x 二是等于 y 二的，那我们另可以把这个式两边同乘以二啊，同乘二就是根三倍的扩散系数，乘一个 x 二，再加上 y 二，再加上根三倍的散系数，乘 z 二等于零，我们可以另 x 二 等于几呢？令 x 二直接等于 sin theta， 则 y 二也等于 sin theta。 然后呢，我们把这两个都带到下面这个式里面，就可以得到根三倍的 cos theta， sin theta 加上 sin theta， 再加上根三倍的 sin theta， 乘以 z 二等于零。于是呢，我们算出来 z 二等于多少呢？ sin sin 全部消掉，负的一项过去都是负号，负的根三分之根三 扩散 theta 加上一，所以 n 向量就等于我们的 sin theta， sin theta 负的我们直接分裂参数负的扩散 theta 减去三分之根号三。做了这步以后， 告诉你，正切值等于二，所以这个角你们看一下，明显是个锐角，对不对？你们观察这个图像，明显是个锐角，也就是探子 c 塔等于根号二，你们可以这个时候干嘛呢？在旁边画一个这样的三角形，一根号二，根号三，这个就是 c 塔， 探子 c 塔就这么多。所以呢，我们看一下图，扩散下是零比斜一比根号三，一比上根号三， 所以扩散 m n 的 绝对值，你们说等于几？这个就等于我们的根三分之一，或者是三分之根三啊，都可以，那么就是 m 乘以 n， 所以 m 的 模， n 的 模。你们说这个题做一个第十七列是不是有点吓人？这么写，上面加绝对值等于 根三分之一， m 乘 n 等于什么东西呢？ m 我 们已经知道，在这 n 的， 在这我们看两个相乘就等于三 c 塔的平方，再加上负扩展，乘以负负得正扩展 c 塔的平方再加上三分之根，三扩展 c 塔绝对值，然后再 除以 m 的 模，就是 m 模等于几？ m 的 模等于几？ m 模是不是等于一，对吧？ n 的 模根号下三 c 塔的平方加上三 c 塔的平方，减去 去就是变加号，因为这个符号取了个符号出来啊，一平方无所谓了啊，三分之二的根，三扩散 c 塔，再加上三分之一，这个等于几呢？等于三分之一。写到这份上了以后呢，继续啊，只需要把这个方程解出来就可以了啊。上面呢，就是一 加上三分之根，三扩散 c 塔的绝对值，然后我两边直接一平方，两边平方得了啊，这边一平方，其中散的平方加扩散平方就等于一，所以呢，就是下面一平方就散 c 的 平方加上三分之二倍的根号，三倍的扩散 c 塔 加上一加上三分之一倍的扩散， c 的 平方加上 三分之二倍的根，三倍的扩散 theta 就 等于这个，这个是怎么办呢？既有散，有扩散，全部变化成扩散得了有散的平方，就可以把它改变一下，再加上三分之二倍的根，三扩散 theta 加上三分之四。于是呢，我们这个地方 就是扩散的平方，这里面又有个扩散的平方，把它拿过来，这三乘三是不是一说是两倍的扩散 c 它的平方，然后这个乘这个呢？二倍的根三扩散 c， 它再将这个再减去，这个二减去，它加上二倍的根三， 就三分之六，三分之六减三分之二，三分之四，三分之四倍的根三扩散 c， 然后常数下呢，这个是一个三三把一减就是二二，再减三分之四，就是加上三分之二等于零。两边同乘三六倍的扩散 c 的 平方加上 四倍根三扩散 c 塔，加上二等于零，同时再除以高二三倍的扩散平方。这没有一个强大的计算能力和自信算这个题绝对会放弃的啊。这个平方就等于零， 所以扩散 c 塔等于负的三分之高三。那么呢，散 c 塔，散 c 塔呢，就等于正负三分之 根号六，所以呢，屁点的坐标啊。负的三分之根号三，乘以二分之根号三，就等于负的二分之一，这个呢是二分之三，这个呢是正负二分之根号二，我看对不对二，留着三和他约掉 搞定。现在要求 b p 的 长 b 点知道这个知道，所以就是一减，就是二分之三的平方加上二分之三的平方，加上正负二分之根二的平方开根号，所以就等于根号下四分之九， 加上四分之九，加上四分之二，于是四分之二十，四分之二十五。 觉得这道题可以鼓掌了啊，可以鼓掌了，这个版书和计算能力和思维。这主要是计算能力啊，这个计算是不对一般的学生来说，这是真的要吓人的要死啊。这在高考题里面绝对是一个比较狂野的，比那个二零二五年的新高考的第十期就难多了。跟着勇哥跑数学一定好。

各位朋友大家好，今天呢给大家带来一道这个立体几何，一个立体，下面呢请同学们读下题。他说在一个金字塔造型里面，这个底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形的铸造件，内部挖空一个圆柱，然后呢现在沿铸造件顶点 a 向这个垂直底面方向切开，切开后的界面如这个二图， 然后已知的 e g f 为圆柱的高，然后他说这个 bc 等于四倍杠二，就这个三角形，这个底边是四倍杠二，也就是说这个矩形这个边长也是四倍杠二，然后的 e 是 二， a o 是 四， 那么我们现在呢就知道了，那这个 e 点其实和 f 点就分别是 b o 和 c o 的 一个中点，然后我们可以先求一下这个锥体，这个金字塔整个这个的一个中点，然后我们可以先求一下这个棱锥，棱锥的这个 体积等于什么呢？是不等于三分之一的这个棱柱，那么我们现在就求一下这个棱柱是多少，它这个底边是多少？底边是不是四倍根号二，那它是不是就是四倍根号二的平方，也就是它的这个底面积，它的高是多少？高是 a o 也就是乘以四，然后它的三分之一就是这个金字塔的面积，那它是多少呢？ 四倍根号二的平方，也就是三十二，那他这个也就等于三分之一百二十八。那其实到这我们就已经能看出来答案了，就应该是 b 选项，因为只有 b 选项是三分之一百二十八，减一个什么东西。然后呢我们其实可以这个继续来算这个，呃， 这个要去扒掉的这个柱体的这个面积，那这个体积刚才说了 e、 f 分 别是这个 b、 o 和 c o 的 终点，那 e、 o 应该是多少？ b o、 c b 是 四倍根号二， b、 o 就 应该是二倍根号二，那 e、 o 就 应该是根号二。也就是说这个圆柱它的这个半径是底面，半径是根号二，那 pi r 方等于多少？是不是 pi 乘以根号二的平方，然后它这个圆柱的高是多少？是不是得得 e？ 得 e 是 一半吗？这是两分米乘以二，那它是不就应该等于四 pi？ 正好就是后面这个四 pi， 也就等于三分之一百二十八减四 pi。

家长和孩子们，二零二六年辽宁单招题库大变更！上岸！关键信息浓缩版来了！聊机电大纲不变，提量加码，选择题加三十五道，填空题加二十五道，大题加十五道，搭配大连职校题库刷题更稳！二十多个好就业的专业！ 丹东宜居今年招六百人，名额紧张那盘锦的辽河石油数学大改观，几何代数缩减，侧重点集合不等式。那语文阅读全换原题率百分之七十 啊！四百多分稳上岸！男同学超级适配！干货来了哈！各院校题库有关联的辽吉电旧题与辽宁野金的新题高度相似，十六所院校已经发放资料，我整理了二二年到二六年全套的资料。避坑指南，题库认准官方下载，非官方可能出错哦，那捡漏来了啊！ 抚顺职业，抚顺师范、辽宁野金、阜新高专、辽宁民族关注度非常低，竞争压力小啊！备考别盲目选对题库冲就完了！评论区扣单招领题库！

距离二零二六年单交春考最后一个多月，是你逆风翻盘的终极窗口期，如果此前的时光都被虚度，那这次机会你必须攥紧在手里，它直接决定了你能否拿到名校的入场券。 为什么说二月是最后的逆袭时机？因为一轮复习已经修委，你所有的知识漏洞、学习弱点都会在这个阶段暴露的淋漓尽致， 而剩余的时间刚好够你集中全部火力打一场精准的歼灭战。那些觉得单挑称考大局已定的人，早已提前弃局退场。但真正读懂考戏规则的人都清楚，现在才是实现弯道超车、彻底翻新的黄金习客。 正戏开讲前，闭上眼睛默念三遍，我必逆袭！永远相信相信的力量， 如果你此刻想发奋学习，却不机从何下手，或许拼尽全力却琪琪看不到想要的效果，那就去看我的置顶视频，加我粉粉群，我会亲自帮你分析成绩单，量身定计专属学习计划。好了，话不多说，直接开讲 啊，这个题呢，是一个这个解析，呃，这个 v t 几何啊 v t 几何的一个关于呃垂直啊垂直呢，咱首先咱呃做一个思路的分析。那这类题呢，一个思路分析呢，它是这样的 啊，我要去种线线垂直啊，我要种 l 和呃这个 m 垂直啊，那么我这个时候呢，就会去干嘛想到一个思路是什么？是说我要把这个 m 给它放到一个面当中，那我去想法去种 l 垂直一个面这个 r 吧。 那要垂直这个面的话，就需要垂直他这个面当中的两条线啊，这个两条线，那两条线的话，那这个时候呢，可能就要去正这个面，属于面当中的两条线，比如说一个 n 啊，然后呢？他呢？比如说，呃，垂直一个他的一个屁， 对不对？那垂直了这两条线，那我就垂直这个面，垂直这个面了，那我就自然而然就垂直这个面当中所有的线，那我就垂直了这个 m。 所以说整个的在你的立体几何当中啊，所有的思想都是这样，就说我要中线线垂直或者线面垂直，他的一个思想就说我必须得中线线垂直，那线线垂直的话怎么办？ 把这个线，把其中一条线给他放到一个面当中，然后呢？呃，往往是这条这条线直接中，是没法中的，那我就呃，这个 换个思路，就说，我去正这个面，线垂直这个面啊，线垂直这个面，那这个时候呢，我就从这个面当中找两条我方便能求的啊，这个线啊，那就得出来这个线面垂直。好，那咱解一下这个题， 好，咱们看一下，刚才还有还有几个人说好来看一下。呃，那这个，呃， p a， b， c， d 啊， p a 垂直这个面啊， p a 垂直这个面， a， b， c， d 啊，然后呢？ ab 垂直 ad r a b 垂直 a d， r a， b 和 a d 垂直 a c， a， c 和我的这个 c d 是 垂直的啊，然后呢？呃，角 a， b， c 等于个六十度， a， b， c 等于六十度。好， pa 等于 pb， 等于 ab， 等于 p， 等于 bc 啊，意思呢？是啊， pc 的 终点啊，那咱看一下这个 d 啊，咱正 啊，第一个，我要正这个 c d 垂直 a e， 那 c， d 垂直 a e 的 话，那我就正什么？呃，我这个 c d 啊，垂直这个，把 a e 给它放到这个面里边来啊，把这个这个 a e 给它放到面里来，那所以说我就想法去正，呃，它垂直这个面 啊，垂直个面啊， p a c 啊，垂直面 p a c， 那 我就要去正垂直这个面 p a c， 那 我就得去找它两条相交的线，那我就正什么 c d 啊， c d 垂直于 a c 啊，然后呢，再一个，我去正 c d 垂直于 pa 啊，那咱分析一下，咱刚才说了，题目当中告诉我 pa 是 垂直面的，那我的这个啊， cd 垂直 pa， 那 这个是已知的，那下边一个问题就说什么，我去想法啊，种这个 cd 垂直 ac 就 可以了啊， cd， 呃，和我的这个 ac 啊，那这个 垂直啊，那也是已知的。好，那所以说我就分析下，因为啊，这个 p a 垂直面儿面儿 a b c d 啊，呃， c d 呢，是属于这个面儿 a b c d 的 a b c d 啊，所以呢，那我就中出来我的 c d 啊，垂直于 p a 啊，这个第一个条件中出来了啊，然后下边又因为 又因为题目当中 c d 啊，垂直于 ac cd 垂直于 ac 啊，那你的等会说了，这个 a c 和你的 pa， 它都是属于面 p a c 的 p a c 的 啊，那而且呢，这里边 a c 啊，它交 ap 交 ap 于 a 点，也就是说呢，它是两条相交的线段啊，那所以， 所以我就能得出来 c d 垂直于面，垂直于面啊，这个 p a c 啊， p a c 啊，垂直面面 p a c 那 下面呢，我通过了线垂直面了，又因为又因为 a e 属于这个 p a c 面 p a c 啊，垂直这个面，那就垂直面当中所有的线，所以呢，我的 c d 就 垂直 a e 了。 好，通过这个题呢，咱就知道说我要去种线线垂直它直接去种是不好种的， a e 在 这， c、 d 在 这，它两个是不好种的，那我就转过来是什么？把这个线放到面当中来去种。好，然后再看第二个 这样问，他说让中 p d 啊， p d 垂直面 a， b， e 啊， p d 这条线垂直面 a， b， e 啊，这个面。好，那，呃，跟分享 啊，我要去中 p d 啊，垂直面 a， b， e 垂直面 a， b， e。 那 我就得找我的 p d 垂直于谁垂直于我找两条线垂直于 a、 b 而那我的 p d 而 p d 垂直于 a e 啊，我要正它这个面垂直它，那我就去找两条线段。好，那我去找 p d 和 a e 垂直，那我的 p d 和我的 ab 垂直。好，那然后呢？那下边我要正 呃它这个地方垂直啊，那我就想我怎么去去种它呢？那我就想到了把 p d 给它放到一个面，因为它现在你看到没有，就说这个 p d 啊和 ab 它两个现在 根本不是。呃，在一起没法去种，那我就转过来，我去种什么？我去种你的，把 p d 放到这个面里边来，那我就转过来，我去种啊， a、 b 垂直于面， 垂直面 p a d 啊，把 p d 呢放到这个面当中啊，那我就只需要用 ab 垂直面这个 p a d 就 可以了啊，那面垂直 p a d， 那 咱分析一下，那我看这里边 ab， a， b 是 垂直于 a、 d 的 啊，这个是已知，对不对？然后呢？ a， b 是 垂直于 p a 的 啊，那那个那个，所以说，那我种出它两个来。好，那然后呢？你就说，呃我，我要去呃种 啊，我要去种它那个，呃下边一个，我要种它 p d 垂直 a e。 那 也是一样的思想，我就是干嘛把这个时候它两个也是直接去种 a e。 在 这啊， a e 和 p d 不好种，对不对？那我就想法转过来，我去种什么？我把这个 呃 p d 给它放到一个面来，我去种 a e 垂直这个面 啊，垂直个面 p c d 垂直个面 p c d。 好， 我要正。呃，这个 a e 垂直个面 p c d。 那 好了，咱看一下，那这里边 我的 a e a e 垂直什么？垂直 cd， 我 去想法种这个啊， a e 垂直 cd 就 可以了，那然后呢，我下边再种什么 a e 垂直于 pc 啊，那我去想法种这几个问题啊，也说呢，你看人的整个的分析的思路是这样的， 我要种它垂直这个面，那我就得垂直它里边两条香蕉的线那但是这两条香蕉的线呢？又不好种， 这两条香蕉的线不好种，我就转过来，我去把它这个线给它放上面当中 啊，我把这个 p d 呢放到这个面 p a d 当中，我去中 a b 去这个面啊，然后呢，找两条相交的线啊，这两条相交的线啊，然后这个也是一样道理，不好中，放到这个面当中，然后找两条相交的线。好，那然后呢，咱们看一下 下边儿 啊，我这边呃，证明一下。因为啊，我的 a b 等于个 pa 啊，等于个 b c 等于个 b c。 而且呢，这个角 b 角 abc 角 abc 呢？等于什么？等于六十度等于六十度啊，所以 我的 a c a c 就 等于个 pa ac 等于 pa 啊，又因为 e 呢，它是中点 啊， e 是 中点啊， e 是 中点之后呢，所以说我就能得正。所以说我的 a e a e 垂直 pc 啊，然后呢？呃，又因为 我这个这个 a e 啊，垂直于 cd 啊， a e 垂直 cd 啊，那我的，而且呢？ p c， p c 好， 我的 pd， cd 它都是属于这个面 p c， d 的， 都属于这个面 p c， d 那 么 p c 呢？而且呢？ p c 呢？交 cd 交 cd 等于 c 啊，那所以说，所以说我就能得出来，我的 a 垂直面 p c， d 面 p c， d 啊，垂直面 p c， d 那 又因为呢？我的 p d 因为 p d 啊，属于这个面 p c， d 好，所以说我的 d 用这个想要的这个边我就得中了，我就得出来说我的 p d 和我的 a e 啊，它是垂直的。 好，那等等，这个就解决了，也说呢，我要中它垂直，我中它两条相交的线线的话，那这个线我通过这个线放到这个面里边来，然后中 另外的两个键啊，那 p d 就 和 a e 垂直。好，那然后在上边重一下下边这个问题，然后写这。啊，因为啊，又因为。呃，这个 p a， p a 垂直于面 a， b， c， d 啊，那 ab 属于这个面 a， b， c， d 好， 所以所以说呢，呃，我这边就能得出来 ab 和 pa 垂直。 好，这是这个，那下边有问题，我要正它的这个这个垂直。呃，那 又因为啊，又因为这个 a b 垂直于 p d， a， b 呢？垂直于 p d 啊，那 p d 交 p a， 它交于 p 点啊，两条相交的线段那，呃，而且呢，我的 p d 和 p a 呢？呃，它都属于个。呃， p d 和 p a， p d， p a 呢，是属于这个面儿， 属于这个都是面当中两条相交的线，对吧？面 p a d 啊，那所以我就得证这个 ab， 这个 ab， 那 就垂直面面 p a， d 啊，它垂直面 p a d 之后呢？然后呢？呃，又因为你的这个，又因为我的 p d 是 属于这个面， p a d 的 啊，它属于这个面，那所以说呢，呃，我这个时候呢，我就能得出来，所以啊，我这个时候我就得出来 p d 垂直于 ab 啊，也说呢，呃，这个题啊， p d 是 属于这个面，那所以说我就得 p d 垂 ab。 那 所以说到这我的这两个条件就已经得正了，那我就直接可以下结论了啊，所以 啊，我这个 p d， 那 就垂直于面， p d 就 垂直面 ab 一 啊，所以说你看这个题，这个题他考察的一点是什么？就说我要中线，你看咱的刚才这个，这两个的这个思路分析啊，这两个这个思路分析啊，这两个这个思路分析是很重要的一个思想，他的一个思想是什么？就是你看，呃，我要中线垂直 直接种，比如我这个 c d 和 a e 不好种，不好种的话，那我怎么办？给它放到面当中，我把 a e 呢？给给它放到面当中，我比如说呢，我把这个地方给它放到面当中，那我去场花种什么？我 c d 和 和我的 p a c 垂直啊， cd 和 p a c。 那 这么说呢，我本来需要去种 a e 的，是本来是要去种 a e 的， 但是我的问题就给你转化了，我不需要关心 a e 了，因为那个 a e 也是属于 p a c 当一个面，那所以说，哎，我只需要去种 它垂直于 ac， 它垂直于 pa 就 可以了，我的问题就本来由它，我就给它转化成了 求这个啊，那求这个的话，那这个时候这两个是简单的啊，很能简单的中出来，我中出来它垂直这个面了，那你是这个线是属于这个面当中的，我就得中了啊，那你看这个题的思路也是一样哎，我要中这个 p d 垂直的面 这个面儿，那我得重换把 p d 垂直染成线啊，垂直它好，垂直它不好重，直接重是没法重的，对不对？那我就转过来，把 p d 呢给它放到一个面儿当中。你看，我把 p d 给它放到了这个面儿 p a d 当中 啊，就我不再去关心你 p d 是 怎么样了，我只关心你这个面儿了啊。你看，我把这个 p d 给它放到面儿 p c d 当中。 好，然后呢？我一转化之后，那我就干嘛？你看，我就只需要找到在 p a d 当中，我转化了，我不需要关心 p d 了，因为 p d 它不好用嘛，我就转化成了和 a d 和我的 pa 它们这两个之间的关系。那我这个呢？ p c， d 我 也不需要关心 p d 了，我只需要关心 cd 和 pc 啊这两个的条件就可以了。那么我就通过种了叉了，我就种出这个面来了。好，他这个面成立了，那我自然而然就垂直个面当中的所有的线了，那我自然而然就得到这个这个结论了。 你看，这个也是我垂直这个面了，那我自然而然就垂直面当中所有的线了，那我就能得出我的想要的结论来 啊。所以说呢，这类题在解析几何当中，包括你的这个一体几何这种证明题当中， 在垂直关系当中，它用的是非常多的。一个问题就是，我一旦让你去中线线垂直，你看线线垂直不好中，我干嘛把这个线给它扔到一个面里边来，然后呢？找这个面当中另外两条相交的线啊？好，这个题就讲这线。

跟着少格组数学幺二九，今天我们要讲到的是四省联考里面非常重要的一道立体几何的压轴题。好，那我们来看一下这道干蒙很多人的压轴题到底长什么样子？ 好，那我们一起来审一下这道题。他说已知四面体 a、 b、 c、 d 满足角， abc 等于角， b、 c、 d 等九十度，且这两个三角形都是等腰。啥？是不是直角三角形， 且 a、 c 等于二倍根二，若 a、 d、 b、 c 假角为六十度，则四面体的外接球的表面积。 好，那么很多同学啊，看到这样的问题，他说，哎，这个老师没有讲过这样类似的模型，那我们怎么处理呢？那么正常遇到这么多垂直，我们首先考虑到的其实就是补偿长方体， 但是因为他给了个六十度的角，所以你补一个长方体，你发现处理不了，那我们这个时候才会想到要补啥呢？值三棱柱。 好，那么为什么要补一个直三棱柱呢？因为我们知道直三棱柱外接球它的表面积啊，它是有公式的，也就是 r 方等于二分之 h 的 平方加上小 r 方， h 指的是它的高，小 r 指的是底面的外接圆的半径。 那我们现在就非常明确，我就干两个事情，第一个事情我求出来它的高，第二个导出来它底面 外接圆的半径是不就可以了？好，那么接下来我们看一下我们补成的这个值三棱柱，那么在这个值三棱柱里面，他告诉你 a、 c 的 长度是二变 k 二，那我就知道 ab 是 不是等于二， bc 是 不是等于二？哎，然后 cd 是 不是也等于二， 那么我们就可以得到 h 是 不是等于二？ ok， 一个条件，我们现在要搞这个底面三角形 a、 c、 d， 那 么这个三角形我们知道 a、 e、 c， 它也等于二，那么这个假角 a、 e、 c、 d， 这个假角是多少度呢？那我们还有一个条件没有用啊，也就是 a、 d 和 b、 c 的 假角是六十度，那我们把 b、 c 经平移放到 a、 a、 e 这个位置， 哦，那么红颜色，也就是我们画出来这坨，咱知道它是不是就是六十度了？那它是六十度，那我们是不是也就知道 a、 e、 d 等于多少呢？ 是二倍根三啊？利用 tan 值。好，那它等于二倍根三，那我们放到这个三角形 a、 e、 c、 d， 你 会发现一比一比根三，那意味着这个角是多少度呢？ 是一百二十度，然后我们用正弦定二二等于二倍根三，比上二分之根三，我们得到二等于几？是等于二，把我们求出来这两个量全部扔到公式里边，咱 r 方是不是有了？那么 r 方等于五， 那外接除了表面积，直接套公式嘛。 s 表等于四， pi r 方数出来了，等于二十倍。那么这道题不知道大家学会了没有？好，那么这种补偿方体补能助的这种思想啊，我觉得非常重要，希望大家学起来，谢谢大家记得点赞关注哦！

尝试下能不能解析，如果你真想的话啊， if you want 对 吧？哎，懂的， want 是 吧，有马斯的 want 啊你，你必须 want 一下啊，哈哈哈。如果你听了我的课程呢，就知道这个题勇哥肯定是有方法解析的呀。这个挨个走， 这个 y 轴，这个 z 轴 x y z， 然后下面是个六十度，你把它俯视图给画出来啊。俯视给画出来，这个是一， 然后二 六十度， 这个是 a， 这个是 b， 这个 c， 这个 d a b， c， d 的 坐标超号表示，那么这个题的关键还是要求 a 一。 我跟你把方法说一下吧。同样设 a 一 的坐标 x y， z， 然后知道这个长度等于二，知道这个长度等于几，来着 这个长度是等于二的，再知道这个长度是等于一个，我看一个一，一个二，根号三，是不是一个二，一个二，一个根号三到三个已知点的距离都知道，能不能三个未知数，三个方程结束， 没办法去见细，怎么求二面角啊？我关键讲 d 选项吧，因为这个这个 a b， c 都是用 g d 法去表示，没啥意思啊，就看 d 选项。如果你遇到一道题目没办法见细，又要你去求二面角的，你就可以 最常见的方法。干嘛呢？直接用定义去做，直用定义去做啊，如果定义还做不出来的，再去做垂线，做垂线这么之类的啊，好定义怎么做的呢？定义是不是在我们的这个两个面的，这个公共的，这个这个叫什么？ 这个也不叫项链，这叫叫什么呢？交线啊，叫交线。那有的时候这年纪大了，总说中一顿，我错，到底叫公共弦还是叫什么叫交线？在交线上找一个点，然后呢分别做这个的垂线就可以了，把这个二面角转换成一个平面角就可以了， 懂吗？好，我们看一下这个东西，二面角 a 杠 aed 杠 b， 它们的交线是什么呀？交线是不是就是 aed？ ok， 那 么这个长度是二，这个长度是二，这个三角形是一个什么三角形？是不是等腰三角形？要想找垂线，这不是砍瓜切菜吗？直接找到它的中点， 比如说中点就是 h 点，好吧，这个 a h 就 垂直于 aed， 没毛病。 然后再怎么办呢？然后是不是应该过这个，这个平面里面就是 aed， b 里面也是做这个，做这个垂线怎么做呢？跟大家分享一下啊。 你看一下这个长度相不相等呢？思考一下，相不相等， 相等还是不相等？ b d 啊？ b d 和 ab 是 否相等？肯定是相等的，为什么这个三角形跟这个三角形是全等的？边角边，边角边全等的，所以这跟这个也相等，于是 h 点是中点，它也是垂直的， 这一点就行了。所以呢，这个题目实际上要求二面角的余弦值，就是要求扩散等会啊，就是要求什么？哎，这个 扩散角 a h b h b， 于是我们把它们长度都求对就行了呀。好，我们来先看一下先求什么东西？先求这个 a h 吧，这是一个什么三角形？这是一个等边三角形，这个是二，这个是二，这个六十度，于是这个也是二，于是这个是一，这个 a h 就 等于根号三高三啊。 好了，刚刚呢？还有你们说这是个什么三角形？有个一，有个二，还有个六十度，有个一，有个二，有个六十度，那直接画呀，这是一个，嗯，这是个二，然后六十度是个一。再来再来 a、 b、 d， 这个长度是一，这个长度是二，这个呢，就是根号三，那是不是根号三？一比二比根号三嘛？ 同理，这数也是根号三，也是根号三，对吧？一个根号三，一个根号三， a、 e、 d 呢？还是一个二？所以呢，我们的三角形好， 这个是根号三，这个是根号三，能看到吧？这个是一个二，这个就是 b， 然后做垂线，这还不简单吗？这就是一，一根号三，这就是根号二。所以呢，我们可以知道 b h 等于根号二，然后再加上 ab， 再加上 ab 等于几啊？ ab 等于一，好家伙，一个一，一个根号，一个根号三，这是个什么函数？又是一个 直角三角形，对吧？直角三角形，而且是以这个角 b 为直角的啊。要算 a h b 扩散 h b 零边比斜边，就等于 b h 比上 a h， b h 根号二比上根号三，所以就等于三分之根号六正确。 好了，我顺便跟大家说下， b、 c 我 没讲，但是呢，因为我没什么，没讲，就是基底直接去表示，没有什么巧妙的地方，我就直接过了啊，我就只讲了 d 选项。现在问大家个问题啊，这个你们觉得能不能间隙？

听着好头疼啊，怎么这么乱套？哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。在证明平行跟垂直的时候，我们经常需要大家去主动的连接一些辅助线，帮助我们证明，那这些辅助线究竟如何做？正法究竟有哪些嘞？今天咱用一个视频帮大家解决平行问题，快点开始吧！ 无论是平行还是垂直，研究的无非是线线、线面跟面面这三种情况。咱先给大家讲线面平行，因为它的考法最多，考试频率也最高。 那如何证明线面平行嘞？咱有两个方法，一个是线线正，一个是面面正。哎，听着好头疼啊，怎么这么乱套。我给大家画个图，我想证明这条线跟线之外的一个面， 想说明这俩平行，我只要在面上找到一条合适的线，如果这俩线线是平行的，那不用说线面必然平行， 这是第一个方法。第二个方法想证明线和面平行，咱找到一个合适的经过那条线的面，如果上下两个面面面平行，那根据面面平行的性质，面上任何一条线，我无论怎么画这几条红线都跟底面是平行关系，自然就包括面上我想正的这条线。 那有的同学想到了啊，你说的挺简单的，找条线或者找个面，这咋找啊？这全都是套路，我要给大家讲清楚，如何找到面上跟它平行的这条线嘞？两个方法，第一个方法叫神奇的小眼睛， 在真正题目里面，这条直线呢，必然是以一个线段的形式来出现的，那有的时候你会发现，在咱想要证明的这个面上，他可以出现跟你要正的那条线段 大小、长度完全相等，方向还一模一样，你用你的目光一下就能锁定到这面上的一条线跟它能构成平行四边形，或者有可能眼睛不好使，没事，你拿着你那个直尺，看看这条直线大约有多长， 然后你让这尺子方向不能动，把它往那面上去推，推着推着推着，你发现在某一个地方，在这面内真的出现跟它长度大小完全一样的另外一条线段了，那这线就找到了。 好，那问题是我这线找是找到了，我如何证明他俩真的平行嘞？这里面一定要注意，我们连辅助线，一定要把这平行四边形另外两条边连起来。想证明这两条边平不平行，你不能直接证，你得证明他这另外两条黄色的边平行且相等，这就是套路。 因为我初中学过啊，你这两条边平行且相等了。好，那它就是平行四边形，那另外两条边就平行，线，面就平行。当然有的时候吧，他光会这一个方法还不行， 因为啥呢？有的时候出题特损，他把这个线段啊，搞的特长，相应的那个面吧，他搞的特短。结果吧，你在平移的过程当中，咱好好的啊，把这条线段往这面上移，我一移动发现，哎呦，这面太小了，根本就装不下。我这平行四边形我找不到， 找中卫线，这是我要挣的线，这是我要挣的面。大家在这线跟面之外的另外一个地方取一个点，一般来说这个点都非常非常明显，然后接下来都是常规操作，把 g 点跟两个线段的端点分别连接， 连接一条线，两条线，那我姥爷能看出来，这两条线肯定得跟我这面是不有交点呀，一个两个，我把这交点连起来啊，你这两点都在这绿面上，那你说这条线在不在绿面上？也在，而且你一定会发现，这焦点的连线就是你想找的线线平行， 那如何？正线也平行？大概率百分之八十的情况，你会发现这焦点正好捷德整个线段是一个中点，它是一个一比一的中位线， 当然偶尔也有可能不是重点啊，比如说它是一比二的三等分点啊，一比三的四等分点，理论上都行，只要两边的比例是一样的，这边是一比三，你那边也得是一比三，保证是相似图形，那两条线就一定平行。那接下来我们来找面面平行的方法就是啊，你要过这个线找到 一个面，那这面咋找啊？有的宝贝可不会了，我教大家如何做平行面。第一步，就像刚才说的这条直线呢，一定是一个线段的形式，在立体几何当中出现的，所以意味着吧，他必然有两个端点，想做平行面就从这俩端点入手。 第一步，先从其中一个端点做那面上某条线的平行线，一定非常好找。我这做完之后，哎，是不是支棱出来另外一个端点了？我记为端点 g， 那 宝宝们自己看， m、 n、 g 是 三个不同点，三点本身就能确定一个面对不对，所以我们做辅助线的方法特别清晰， 就过其中一个端点做条平行线出来，连接一下，形成一个面，结束。我记下来过两个端点当中的任何一个做平行线。好，面是做完了，那我如何证明面面真的平行啊？小傻瓜，面面想平行，我们一会会讲啊，咱得找到两对线面平行， 咱得说明这两条红线，第一个跟底面平行，第二条红线也跟底面平行。如果两条红线都跟底面平行了，那面面就平行了。面面一旦平行，那第三条边 m n 就 一定跟底面也平行。 因此大家会做完辅助线之后，你还得会证明，你就找两对线面平行，哪两对？这面一共就仨边， m n 是 你最后要正的，你不能用，你一定用 m n 之外的另外两条边。 你去说啊，这蓝的跟蓝的线线平行，那线面就平行了。一对找到，然后再换一个啊，这个粉的跟面上的某条粉线，他也线线平行，线线一平行，线面就平行了。第二对也找到。 所以大家有没有发现我解释一大痛最后的根本是什么？就是你过两个端点做这面上某两条线的平行线和平行线。如果觉得乱，刚才啥也没听懂，没关系，你就记住一句话，过端点做线线平行结束。

哈喽，各位同学们，今天小王老师来给大家梳理一下聊铁单招数学立体几何的核心考点，咱们来看一下吧， 它主要考察两大板块内容，一、各类几何体的表面积与体积的计算，例如棱柱、棱锥、棱台的侧面积表面积体积的计算。圆柱、圆锥、圆台这类旋转体的侧面积表面积体积的计算。二、空间位置关系证明。 例如直线与平面的平行垂直的判定定理和性质定理的应用。平面与平面平行垂直的判定定理和性质定理的应用。 同时还要掌握三、棱锥体积的核心解析方法等体积法。以上就是了解单招数学立体几何的核心考点，如果说大家还有想了解的内容，可以在后台私信老师。

话不多说，直接改整，只要遇到直线的平行，记住改长竖为那么大。比如第道题，我只需要设直线为二， x 加上三， y 加上那么大等于零，这就是你要求的直线。因为平行前面部分保持一致， 让你求的这个直线经过这个点带进来不就完了吗？带入零一，这是 x， 这是 y， 那 么所以就是零加三再加那么大等于零那么大是等于负三再往回带，所以答案就是二 x 加上三， y 减去三等于零。答案是不选择 a。 第二题，又是平行改一位 number， x 加二， y 加上 number 等于零。带入二到二，二再加二乘二四再加 number 等于零，这个 number 口算是等于负六再带回去，所以直线就是 x 加二， y 减去六等于零。选择 c。 第四题仍然可以这样做，平行改常数为那么大就是二， x 减去 y 加上那么大等于零。带入负一到六，这是 x， 这是 y， 那 就是负二减去六加上那么大等于零，那么大是不等于八再带回来， 所以答案就是，二 x 减去 y 加上八等于零。第五题，第六题留给大家自己做吧！

各位同学大家好，今天给大家带来的是一个这个立体几何的这么一个例题。呃，下面请同学们看下题。他说一个圆柱体零件高为一，其底面积上的内接正方形，边长正好也为一。先将圆柱体零件切割四次，得到一个棱长为一的一个正方体， 问切去的总表面积为多少？其实我们可以简单的画一个图，假如说这是一个圆柱，他说这个相当于他这上面有一个内接的一个正方形正方体，然后把它切掉， 然后其实呢我们可以想啊，那他的这个上底和下底，那他实际应该是一个什么形？他这不是一个圆形，然后切掉一个内切正方，一个内切的一个正方形。那么我们可以想啊，他这个面切去的表面积是不是应该是一个圆减去一个正方形， 然后呢？切条题我们可以秒杀一下，我们这么想，我们现在能想象的到它切去部分的总表面积是不是圆柱的一个侧面，圆柱的一个侧面，然后加上 上下的两个，两个圆，然后减去一个内切的这么正方形，因为上下也是两个，也得乘二，然后他是不切完之后，他这个面是增加的，像这上面有四个，再加四个正方形，那这个地方其实减俩再加四个是不就变成加两个正方形了？ 那其实这个时候就可以选择我们这个 c 选项了，因为他加的是直接加的是两个正方形，这个是我们可以大胆的一点选，这样的话我们选 c 选项，然后下面我们可以具体算一下啊，先算一下圆柱的侧面积， 圆柱的侧面积是不是圆的周长乘以高，这圆的周长是多少？它正方形内切是一，那这个是不应该是根号二，那是不应该是根号二， 这是它啥？这是它直径派 d， 根号二派，这是这个圆的这个周长乘以它的这个圆柱的高一，这是圆柱的侧面积面积，圆的面积是多少？ 是不是二分之根号二，这是它多少？是 r pi r 方乘以二，它这是根号二派， 这个是加上一个派，然后后面就像咱说的，它减去一个二，再加上一个四，所以说加上一个二，把它一化简，就对应到我们 c 选项，这种题其实可以秒杀的， 像这种的立体几何题，大家最好上来先不要硬算，先看一下，尤其带圆的正方形的，他肯定是把圆放在一边，正方形放在一边，我们可以通过后面这个加减来判断出来他的这个具体的数，这样的话可以算的快一点。

好学习，天天向上，我是你们帅气的浩哥。我们这个视频呢，我们这个视频呢，开始讲解我们单招数学的做题篇，小题狂练，练小题题分快，一路刷到底， 因为呢，练小题提分更快，让我们一路刷到底。 ok， 我 们来看哈，我们小题狂练的话呢，主要总共的话是由我们的一个三十四列概括的，就是我们常见的 考试的基本题型，集合函数数列，然后我们的三角函数，平面向量，平面解析，几何概率等等。 ok， 我 们 第一个视频的话呢，就讲解我们的第一念集合的运算，那我们来看题，他说下列语句中能构成集合的是 a 本校全体，我们的一个女教师，那这个很明显就是可以构成我们的集合， 因为像我们的文字版的话呢，主要考察的就是我们的一个确定性，什么叫确定性呢？就是你这句话能够不让人产生争议，那么就是所谓的确定的，也就是能够构成我们的集合。像我们的 b 选项呢，他说数学书中所有的难题，那这个就 很很能够让人产生争议了，因为多难算难呢？对吧？对于好学生来说，难 难题可能是比较难的，但是对于差生来说，那些难题呢，相对于好学生来说就不算难题了。然后 c 选项，本班中学习成绩较好的学生，那这个也是的多好算作较好呢？ 就比如说，如果说一个班最高分只有六十分，那六十分算较好了，但是呢，如果说在一个我们的尖子班，对吧，可能他们最低分都有六十分，那六十分就不算较好了。 ok， 然后看了第一选项，他说接近一的全体实数，那这个也是能够让人产生争议，因为多接近算接近呢？就比如说我们的一个十跟一百比起来，十算接近一了，但是十跟一比起来呢，他又不算接近一了，所以他也是错误的。 然后我们来看第二个，他说下列关系中正确的是，那这个我们知道哈，后面是集合，前面是没有括号呢，就叫做元素，然后呢这个符号叫做子集符号，它只用于集合跟集合之间的关系， 然后属于符号呢，才适用于元素跟集合之间的关系。所以我们就知道 a 选项是错的， b 选项呢也是错的，因为它是元素跟集合之间，那元素跟集合之间，所以就只能在 c、 d 里面去选了， 那我们就知道只能选择我们的一个 d 选项，因为空集指的是里面没有元素， ok。 然后呢来看我们的第三题，他说已知集合 a 是 abc， 他 说则 a 的 非空真子集是的个数是多少， 那所以首先呢，我们需要知道的一个点，就是说如果说集合它里面有 n 个元素，对吧？那它就会有二的 n 次个子集，然后呢会有二的 n 减一次个真子集， 以及但是这一题说的是非空贞子集，也就是说我们需要在它的贞子集里面再减掉空集，也就是说它会有二的 n 次减二个非空贞子集。 那这一题里面呢，它是拥有三个元素，所以就是二的三次减二个，也就是要等于八减二，也就是有六个，所以选择 b 选项。 然后再来看第四个，他说若集合 a 是 属于这么一个东西，他说则集合 a 是 为什么？那我们来看哈， a 选项空集，空集呢，指的是括号里面要不成立 a， 它刚好是成立的，对吧？那所以 a 就 错了。 b 呢，是有限级和有限级呢，指的是里面的元素个数是有限的，就是你可以数出来它是多少个的，那很明显它给的是个范围，范围就意味着里面的个数是无限的，所以 b 选项就是错误的。 然后 c 选项呢，它说是无限极，那很明显就只能是我们的一个 c 选项了，因为它是范围，范围呢，确实就是无限的。 然后 d 选上整数集，也就是说里面的元素必须得是整数，那和明显里面呢，它不一定全是整数，对吧？它也有我们的一个小数，或者说我们的一些分数， ok， 然后我们来看第五题，他说集合 a 等于 a 一 斗四，集合 b 等于负三斗四，他说 a 并 b， 那 相上是并集，并集指的是把集合 a 跟集合 b 的 元素全部都写上， 那所以我们就知道哈，这个负三呢，来自集合 b， 这个四呢，可以是 b， 也可以是 a， 对 吧？那这个二呢？我们发现集合 b 里面没有二，所以它就只能来自集合 a， 那 所以，但是呢，集合 a 里面，它还有一个元素叫做小 a， 所以 我们就知道小 a 呢，就只能等于我们的一个二，所以选择我们的一个 b 选项。 ok， 然后再来看第六题，他说下列关系中，正确的是，那大 n 呢，指的是我们的一个自然数， z 呢，是我们的整数积，所以两个是不一样的。自然数呢，也叫做零和正整数，或者说叫非负整数。 而我们的大 z 里面呢，它是有我们的一个负整数的， ok， 然后再来看 b 选项， q 呢？大 q 呢是我们的一个，叫做 四啊，有理数，大呢是全体实数。 ok， 那 很明显两个是不一样的，因为全体实数里面还有我们的无理数。 然后再来看 c 选项，他说 z 属于我们的一个，而是我们的 q 的 子集，那这个很明显就是正确了， ok， 因为整所有的整数都是有理数， ok， 但是有理数不，不仅仅只是整数，还有我们的一些分数。 然后我们再来看第一选项，他说那这个很明显就错了，因为这个符号是我们的元素跟集合之间的关系的。 然后看第七题，他说集合关系表达式中正确的个数式，那 第一个很明显就是错误的，因为集合里面他的元素是具有无序性的，也就是说他们的位置是可以互换的，只要元素相等，那么就是相等，他们里面很明显元素是相等的。 ok， 然后第二个那就错了，因为我们在上一题就已经说过了。第三个，他说我们的正方形是矩形的子集，那这个很明显就是正确的，因为正方形是特殊的矩形。 ok， 然后再来看第四个，他说空集交零等于空集，那这个就是正确的，因为空集本质上面就是大括号，里面什么都没有。 ok， 所以 他跟后面这个集合他们相同的就只有我们的大括号，所以就等于空集。 然后那第五个就是错了，因为 a 交 b， 他 得到的是一个集合，集合跟集合之间不能用属于符号，所以他唯独正确的就只有我们的一个 b 选项。 然后再来看第八题，他说加，若集合有且只有一个元素，只有一个元素，就说明这个方程只有一个解，一个根，那所以就说明如果说它是个二次函数，也就是说当 a 不 等于零的时候，就说明它的得它就要等于零， 也就四减去四， a 乘以我们的一个负一就要等于零，所以就得到 a 等于负一， 然后呢， a 还有可能等于零，因为刚刚我们是把它当成二次函数去做，它有可能是一次函数，对吧？当 a 等于零的时候，就是 二， x 减一等于零， x 等于二分之一， a 这个方程它刚好也只有一个元素，所以 a 就是 零或者负一，所以选择我们的一个低选项。 然后再来看第九题，他说已知集合 m 是 这个点，这个点呢？符合 y 等于四， x 减一， 集合呢也是一个点，这个点呢是二， y 等于我们的一个 x 加五，他说 m 交 n 等于多少，那这是两个点集，两个点集得到了呢？这应该也要是点。所以我们就首先可以排除掉 ab， 因为 a 是 一些数， b 呢是数积，只有 c， d 才是点积，那所以我们来看 c、 d 点积。其实我们不需要具体去算，我们只需要随便带入一个 x 到里面去就可以了。比如说我们看把 d 选项的 x 等于一带进去，带到几和 m 里面，它就四减一，刚好就是三， 然后再把它带到第二个里面去，就是二， y 就 要等于一加五，所以就二， y 等于六，所以 y 也是等于三，所以也就说明一逗三。这个点同时在两个集合里面，所以选择 d 选项， 那我们把三带进去，带到 m 里面，就发现它是四乘三减一，也就是等于十一，它的 y 值不是一，所以一样的你就可以知道 c 选项是错误的， ok， 然后我们继续来看下一个，他说集合 m 是 四， x 减一大于零，集合 n 呢？是这样子，那所以我们首先来求解不等式，那就四 x 大 于一，所以同时除个四就变成了 x 大 于四分之一， 集合呢，取决于的值，就是 x 小 于二大于负二，然后我们要做的就是画上一个竖轴就可以了，那四分之一往右和负二到二之间，对吧？ 那所以呢，它说是向上，向上呢，是并集的意思，也就是说它们两个的范围全部都要写上，那全部都写上，我们就知道这是负二，右边的数就全部都有了，所以它应该是 x 大 于负二，所以选择 b 选项， 然后再来看第十一题，他说若全集 u 等于这么一个东西，然后呢，它是集合 a 呢，是负二到一，它这么一个东西，那所以我们就知道哈，它这个符号表的是 a 在 u 里面的补集，对吧？也就是说你剔除掉集合 a 的 元素， 然后我们就发现还剩下三个元素，也就是说它其实就是集合负一到零到二，那里面有三个元素，所以它的子集的个数就是二的三四个，前面讲过了，对吧？那所以就等于八，所以选择我们的一个 a 选项， ok， 然后再来看我们的第十二题，那这个呢，也是一样的，我们就是负二到二，前面是实心，后面是空心，对吧？ 那补集就是写剩下，它是在 r 里面剩下，那所以就是负二的左侧和二的实心右侧，那所以空心左侧叫做 x 小 于负二，实心右侧叫做 x 大 于等于二。所以呢，这一题就选择我们的一个 c 选项。 然后继续来看第十三题，他说已知集合 a 是 这么一个东西，然后他说则下列关系中正确的是， 那我们知道哈， a 是 等于四的，所以四呢，是根号一十六，所以我们就知道根号一十六是大于根号一十三的，那也就说明小 a 它是不属于集合 a 的， 所以就直接选择我们的一个 a 选项。 ok， 然后再来看第十四题，他说集合 m 要等于集合 n， 他 说则 x 的 值为多少，那所以首先它们相同的呢，就都有一，那所以就说明负 x 的， 要么就负 x 等于零，然后 x 平方减去一等于负一， 那这里我们可以得到哈，就是 x 等于零，那所以它是满足的，对吧？但是呢，它还有第二种情况，就是有可能负 x 是 等于负一，然后 x 平方减一等于零， 那所以我们来看，如果说是负 x 等于负一，那就得到 x 等于一，下面呢，就得到 x 平方等于一，也就是 x 等于正负一，对吧？ 那又因为 x 这两者必须要同时满足，所以就说明 x 只能是一，那所以就说明我们 x 要么呢就是我们的一个一，要么就是我们的一个零，所以就选择我们的一个 b 选项。 然后再来看第十五题，那也是一样的，我们就是画一下数轴，它就负三到二都是空心的集合 n 呢是小于零，那这零往左和大于等于一以及一往右， 那它是向下，向下呢，是交集，交集的话是全取相同，对吧？那相同也就是在负三到零是相同的，一到二是相同的，对吧？所以就选择我们的一个 d 选项。 然后再来看第十六题，它说已知奇和 a 是 等于这么一个东西，它说 x 呢，要属于 n， 也就是说 x 必须得是我们的一个自然数，也就是说它必须得要是零或者整数。 然后他说 x 呢，是要比负三要大，但是又比五要小，所以就说明集合 a 表达的意思其实就是比负三大，然后又比五小的自然数， 那所以比负三大，比五小的自然数就只有零一二三四， ok。 然后来看第十七题，他说集合 a， 那 我们可以看到哈，集合 a 呢，它刚好全部都是属于我们的一个偶数，对吧？ 那所以如果用描述法来表示，那就是有一个 x， 这个 x 呢，它必须得要是我们的一个自然数， 然后呢， x 有 什么限制条件呢？它就只要是偶数就可以了，也就是说 x 只要是等于二 n 就 可以了，然后呢， n 也是属于整数就可以， ok。 当然描述法它有多种写法哈，写成其他的也是可以的。 然后我们继续来看下一个，他说集合 b 要满足负二逗四是它的子集，并且呢，它要是零逗一逗二逗三逗四的真子集，那所以我们来看哈，这个符号，其实我们就是写成小于，但是不等于号就可以了，对吧？ 那所以呢，二逗四是它的子集，所以呢，首先集合 b， 它有可能是两个元素，如果是两个元素，刚好二四就可以， 如果它是原三个元素呢，就是二四，可以配个零，然后可以配个一，可以配个三，可以配个五，对吧？所以呢上面是一种三个元素呢，它就有一二三四种， ok， 然后如果它是四个元素的话，也就说在二四的基础上面可以配零一，可以配零三，可以配零五，然后呢可以配一三，可以配一五，然后还可以配三五， ok， 所以 就有一二三四五六，所以就有六种。然后再来如果说是五个元素的话呢，就说明是二四，然后就可能就是零一二三， 然后呢也可能是零一五，对吧？然后可能是一三五，然后呢还可能是零三五，所以我们可以知道这里总共有一二三四种， ok， 所以 它总共呢就有一加四，加六，加四，也就有我们的一个一十五个，所以满足它的条件就是有十五个， ok， 然后再来他说要写出他所有的子集，子集，那首首先我们就是没有元素，这是空集，一个元素就是一，然后有零，然后有我们的一个负一，然后呢有两个元素就说明是一零一负一，然后还有我们的零负一， 如果说是我们的一个三个元素，就是说明是一零负一，所以总共有一二三四五六七八个， ok。 然后再来看我们的第二十 底，他说已知集合 m 是 这样子，集合 n 是 这个，他说若 m 加 n 不 等于空集，不等于空集，就说明他们一定要重合部分，对吧？所以来先把集合 n 写写出来，那这里就是 a， 这是零到 a， 前面是空心，后面是实心， 后面呢它是集合 m 是 大于等于我们的一个二，那他们要有重叠部分，所以就说明我们的二就必须得在 a 的 左侧了，所以就说明 a 只要大于等于二就可以了，所以 a 的 范围就是大于等于二。 ok， 那 这就是我们的第一念，那我们这一念就到这了，我们下一念见，拜拜了您嘞。

我们今天来讲一道例题集合的问题。首先看题，如图，在三棱锥 p abc 中， d 是 bc 的 中点， ab 等于 bc 等于四， bc 垂直于底面 abc。 第一问，让我们证明 ab 垂直于平面 pbc， 我 们看图， ab 等于 abc 的 中点，那么我们可以知道，直线 ab 是 垂直于 bc 的， 又因为 pc 是 垂直于底面 abc 的， ad 又在底面 abc 之间，那么 pc 就是 垂直 ad 的， 那么 ad 垂直于 bc， 又垂直于 pc， 然后 bc 交 pc 等于点 c， 然后 bc， bc 又在 平面 p b c 中，那么可以证得直线 a d 是 垂直于平面 p a b 的， 那我们的问就整完了，我们看一下。二、若点 e 为三角形， p c b 含包含边界的一点，且 a e 垂直于 c e， 求点 e 的 轨迹的长度， 那么在平面 p b c 内找一点 e， 假如说这也是点 e， 那 么连接 a e 和 c e， 我 们知道的是嗯 a e 是 垂直于 c e 的， 然后呢， 我们 d 问，知道 a d 是 垂直于平面 p b c 的， 那么 a d 也是垂直于 c e 的， 那么 c e 垂直于平面 呃， a e d， 那 么可以知道 c e 是 垂直于 d e 的， 那么无论点 e 在 平面哪里都满足 d e 是 垂直于 c e 的， 那么这里是直角，然后 dc 长度又不变，那我们可以知道，定义的轨迹是以 dc 为直径的圆，那么嗯， bc 等于二， d 是 bc 的 终点，那么 dc 为直径，那半径就为一，那么它的轨迹就是一个圆周，就是嗯，派 就是一个圆周，然后求出这个圆的周长就行了。 然后我们看小三，若 a b 垂直于 a c 二面角 c a p d 的 大小为六十度，求 a c 平面 a d p 做成角度相值，我们知道嗯 a， b 垂直于 a、 c， 然后又知道 p， c 垂直于底面 a， b， c， 那 么可以找到一个墙角模型，我们过点 a 做 p， c 的 平行线，当 z 轴，然后 ab 为 y 轴，我们知道 ab 垂直于 a、 c， 然后 bc 等于四， 那么可以得到 a， c 等于 ab 等于二倍根号二。那么我们可以把点 a 的 坐标，点 d 的 坐标和点 c 的 坐标表示出来，那么点 p 的 坐标我们设 p， c 等于 a， 那 么点 p 的 坐标就是零二倍根号二 a， 然后我们根据二面角 c， a， p， d 的 大小为六十度，然后我们求平面 a， p， d 的 大小为六十度，然后他们两个发向量的余弦值 嗯为六十度。让我们可以解的 a 是 等于解的， a 是 等于二的，那么就可以得到，嗯，平面 ap 的 法向量是等于 法向量 n 是 等于嗯，二，负二倍根号二，然后平面 apc 的 法向量是二，负二，二倍根号二，那么向量 ac 像 a， c 是 零，二倍根号二零，那么他们两个的余弦值就等于嗯， 都对应相乘，除以各自模的乘积，那么就等于。然后就是负四倍根号的绝对值比上各自模的成绩就是四倍根号，比上二倍根号二 乘以四，也就是等于二分之一，所以 a， c 于平面 a， d， p 所乘角的正弦值就是等于二分之一。然后这道题就完了。