安徽单招数学正弦函数图像

今天带大家来学习一下中值数学任意角的三角函数如何运用，也就是说如何来做题，我们一起来看一下啊。 已知我们在之前有学过我的三样， r 等于的是五， y 比上 r， cosine 等于的是 x， 比上 r， 太阳等于的是 y 比上 x， x 不 等于零。那么在这种考题中的第一种情况有可能会出现的是 已知角阿尔法的中边上一点 p 的 坐标如下，让你求正弦，余弦和正弦，也就是说在考题中会告诉你中边明确的一 p 点中边上的一个 p 点 x， 一 p 点逗号嘛。四，四逗号三，也就是 x， 也就是说 x 逗号 y， 那 么在本在本个坐标里面，我们可知道的是 x 等于谁， y 等于谁。那么通过它， r 也就等于根号底下 x 的 方加上我的 y 方，所以说通过它来看的话，也就是我的 r 就等于根号底下四的平方。十六加上九，也就是还出来为五，那么同样我的 sin 阿尔法就等于的是五分之三， cosine 阿尔法就等于的是我的 五分之四，那相应的我的太阳阿尔法就等于它是四分之三，这个能理解吧？那我们紧接着来看第二个，我换个颜色啊， 那我们来看第二个二逗号零，告诉你的坐标是二，逗号零，那么 r 就 等于的是根号底下二的平方四，四加零等于四，开出来 r 等于二。那么在已知里面，三样 r 法等于谁呀？三样 r 等于谁？ y， y 是 零，也就是三样 r 法等于零。扣三样 r 法呢？ cosine 法等于 x， 比上 r 也就二分之二，也就等于。此时 tan 阿尔法等于的是 y， 零分之二，也就是等于 零，他说的是 x 不 等于零，那此时是 y 等于零了，明白吧？所以说 tan 是 存在的，等于零。同样的，第三个 负的十二和五，也就说 r 就 等于根号底下十二的平方一百四十四，加上五的平方二十五，也就是根号底下一百 六十九，也就是开出来是十三，那相应的三样 r 法，我把这算一算啊，相应的三样 r 法就等于的是 等于那是十三，相应三样而法等于谁呀？等于我的 y， y 它为 y 五分之五，比上十三 cosine 就 等于它是负的 十二分。十三 tan 就 等于那是负的十二分之 五。也就是说，在告诉你已知的坐标点的情况下，已知的坐标点的情况下，你通过它来求 r， 再紧跟着求出来相应的 y 比 r 正弦与弦和正弦，也就是说三四五。比较常见的啊，三角函数三个数会同时出的三四五， b 为五，明白吧？然后第二个六八十，如果出现了六八，第三个数斜边 b 为十，第三个 五十二十三，这是比较常用的几个数啊。那我们接着来，往下看，然后紧跟着第二题就学到了。已知我角 r 法中间经过 a 逗号负一猜应等于的是负的二分之一，求 a， 那 么写上几，这是解答题，写上几有题可值 又提一可知。我的 tan 尔法等于负的二分之一又等于什么呀？等于它是我 y 比上我的 x 次是 y 等于谁？次是 y 等于负一， x 等于 a， 也就等于负的 二分之一，算出来我的 a 应该等于的是二。所以说这道题比较简单啊，这是公式往回用这是公式 往回用。在刚才两道题，我们都用的是告诉你坐标 x， 逗号 y， 然后让你求三幺二八，此时是告诉你三幺二八，让你求 x， 逗号 y， 这叫公式往回用啊。那我们接下来往下看第三题。第三题也是一个比较典型的类型的题啊，也就是说，我角 r 法的中边，在我射线 y 等于负三， x 上求你的射线，求你的正弦、余弦和正弦。那么写解 由奇异可知， 也就是说在这条射线上，当你的 x， 他 说了必须要大于等于零嘛？等于零我们不好求吧，我们取它比它大一个数，也就当你的 x 等于一，你的 y 等于的是谁负三。所以说坐标点就应该是一等号 复三，也就意味着我的角 r 法的中间必然要经过的是一逗号复三，通过它可求 r 等于根号底下一的平方，加上三的平方，就也就等于根号 是 x， 有 y， 有 那么相应的正弦值。三样 r 法就等于的是 y 比上 r， r 是 根号，是 y 是 负三。又因为什么根号不能为不崩，根号不能做分母，也就是十分之负的 三倍的方，因为为什么乘以三位乘以根号十，上下同时乘以根号十，根号乘以根号十，就消掉了根号三负三乘根号十等于负的三分之，根号十。第二个扣三等于 x 比上 r， 也就是根号 十分之一，也就等于十分之根号。是最后它要写到这里，它要而法等于它是 y 比上 x， y 是 负三， x 乘以，也就得到的是 负三。这就是整个这种题啊，这叫一类型的题。比如说中边落在射线谁谁谁上面，也就是当你的 x 等于多少，把你的 x 带进去，求出来的是你的 y， 所以 可得到的就是一个坐标点，有了坐标求 r， r 有 了以后，三影空，三影胎影就都有了。 那我们接着来往下看啊，往下看就到了单位元，单位元啊，也就是说，一权证， 二正弦，三正切四余弦，三应阿尔法等于 y， cosine， 阿尔法等于 x， tan， 阿尔法等于 y。 比上 x 这种类型的题怎么做啊？几种题型啊？第一个是判断符号，这种怎么判断？先看括号里面， 先看里面的角度， 这是 cosine， 先看里面的角度。负的三百二十五我们先来看啊，负的三百二十五负角，说明它是顺时针在旋转，顺时针旋转，第一项线为九，第四项线九十一百八、二百七，也就意味着它要转到的是 第一项线。三用在第一项线，它为正的，也就说，所以 说明三影负的三百二十五度要大于零。因为什么 写上？因为负的三百二十五度在第一向前是第一向前减二，那么来看第二个负的六分之五 pi， 六分之五 pi 是 多少度呀？ 一百五，也就是说他在第二象限转到大概率这个位置，因为六分之五判先看角度再看象限啊，六分之五判是第二象限角， 又因为我的 cosine 在 第二项线是小于零的吧，所以说 cosine 六分之五拍小于零。第三个 tan 也是一样的啊， tan， 只不过不一样的在于它的角度多了四百二十五，逆折转的三百六， 三百六十度加九十度等于三百六，加上九十四百五，也就意味着他在第一象限太影在第一象限线上，因为四百二十五度为第一象限角， 所以太影四百二十 五度大于零，明白吧？这叫第一类型的题啊。来，我们来看第二个。第二个，也就是说，已知 cosine a 大 于零，太阳 a 小 于零，是指问你角 a 是 第几项项？那我们来看啊， 也就是说写上几。因为 cosine a 大 于零，所以说我的角 a 勾三幺啊，我们来画出来勾三幺在第底向下一四一四大于零嘛。所以说我的角，哎，要不就为第一向下第一第四， 以及说 x 轴的正反轴。第二个，又因为我的胎影小于零。胎影 a 小 于零，那么说明我的角 a 必须是要 二和四吧，因为一三它为正的嘛，二和第二 第四。 也就是说，既要满足 cos 小 于 a 大 于零，又要满足太阳 a 小 于零，只能相交的是第几啊？第四，所以角 a 是 第四。向下角取的是交集啊， 取的是交集，既要大于它，又要小于它，取的是两者的交集。这是一类型的题啊。我们接着来往下看，这是第三 类型的题啊，这，这道题相对来说要难一点啊。我们来看第一个，求出你角 六分之五派的正弦与弦和正切。在这种解答题啊，这是解答题，如果把它放在解答题的步骤上，就应该写上，在平面直角坐标系中做出角， 我就不写了啊，我就说了啊，角 a o p 六分之五牌一百五吗？在这个位置 o a， 这是 p 的 a o p， 这是六分之五牌 作出与角 a o p 一 百六分之五配合。单位圆，我画上单位圆啊，画的不标准啊。就这样看，这是单位圆负一，这是一，这是单位圆。 单位圆，看清楚了吧？如图所示，写上如图所示。所示什么角？如图所示，可看出来角，这写个往下做一垂线啊。 m 角 p o m 就 等于，那是三十度，那么相应的角 o p m 就 等于六十，他六分之五拍一百五吗？他就是三十度，他就是六十度。 o p 看见没有？ o p 单位圆， o p 为一，又因为什么三十度所对的直角边是你斜边的一半，这是直角边。 pm 的长度就等于的是二分之一，所以 这是 r a t 啊，这是个直角三角形。往下做出一下，这是个直角三角形啊。 r t 三角形 p m o 中角，它等于它等于它，所以你的 pm 就 等于二分之一。所以说 om 的 长度就应该等于的。是谁呀？ 二分等于根号底下一减去四分之一，也就等于二分之根号三，又因为什么在第四相？又因为他在第四相减，所以说我的 o m 就 应该等于的是负的二分之 刚好三，我的 p 点坐标 x， 逗号 y， 它又有另一个，因为放在单位圆里，又有另一个，叫做什么？ p 点叫做 cosine 六分之五排，逗号 sin 六分之五 pi， 所以 说明我的 sin 六分之五 pi 等于 y， 我 的 y 等于谁呀？是吧？二分之 cosine 六分之五 pi 等于 x， x 等于负的二分之根号三。此时 tan 六分之五排就等于，那是我的 y 比上 x， 也就是二分之一，比上负的二分之根号三，乘以它，也就乘以它的倒数嘛，约掉就等于三分之， 负的三分之，刚好三。所以说这一类型的题啊，也就是先说什么，把你的图画的这幅图把它说清楚了，也就是在你是在你平面直角坐标系中 做出角， a、 o， p 为六分之五派和单位圆，单位圆看见没有？ p 点经过它们单位圆，且如图所示，设你的 p 点为 x， 逗号 y 与单位圆与角六分之五派单位圆的交点， 其坐标可以表示为 cos 影六分之五派和三影六分之五派。在 r t， 也就直角三角形中，这是直角三角形中吧。 p， o， m， 它为三十度，它为六十度，三十度所对的直角边是斜边的一半，也就说 p m 为二分之一， o， m 的 长，也就是二分之 根号三。又因为它是丁号相线，所以 o m 就 应该是负的二分之根号三，所以说三影又等于 y， y 是 二分之一。 b 点坐标是不是就有了？是二分之一， y 是谁呀？是二分之负的二分之根号三，逗号二分之一 y， y 等于二分之一， cosine 等于 x， x 等于负的二分之三， tan 等于它。所以说这是在你 直角，这是在你三角函数里面常用的几个考点啊，单位元几个考点，所以说 比较难一点的，也就是说例三前面的都是基础类型的题啊，所以说今天的课程就到这里了，大家再见。

哈喽，同学们大家晚上好，今天晚上是第四期正弦型函数大题的内容，今天咱们来讲啊，这个值等于一个固定的数，或者是大于等于固定的数，怎么去做？先来看辨识训练啊，那么我们需要对这个式子先进行一个整理啊， f x， 将它进行展开，二倍的 cosine x， 括号里，根据 cosine 的 减法公式，它等于 cosine x， cosine 六分之派，再加上 cosine x， cosine 六分之派好，括起来，减去根三三方，加上 cosine x， cosine x， 好，我们对前面进行整理啊，这个等于根三口乘 x 的 平方，然后加上口乘 x 乘 x， 那 这样的话是不是和后面的这个乘口乘凑成了二倍的乘？口三， 加上二倍的乘 x 乘 x 好， 再减去根三乘方 x， 哎，那么这个口乘和方和乘方我们明显可以把它整理到一起，那么二倍的乘口乘等于乘 二 x， 好， 再加上根三倍的括号里，口三方减去三方，哎，这不刚好是口三的二倍角公式啊，所以它就等于三二 x 加上根三 好，三二 x， 那 么根据我们的辅助角公式，它就等于二倍的三二 x， 再加上咱们的三分之 pi， 这是对式子进行了一个整理，那么第一位让你求的是它的最小值，这是不是前边几期内容讲到过的，如果你忘了，大家可以看一下前面的内容啊，求最值那一块的 内容好，那很明显它的最小值就是没有限制条件的啊，这是一个无限制条件的，所以最小值为负二 啊。那这个是第一问问的答案呢，就是负二啊，我们把这个 f x 写到这里， f x 等于二倍的三，二 x 加上三分之派啊，那为了不占用地方，我们把这一部分就擦掉了。好，那接下来来看第二问。 第二问呢，也就是今天咱们重点要讲的内容啊，他说我这个 f x 的 值二等于一啊，那么我们就把它代入就可以了。现在要解的就是， f x 等于二倍的三， 二 x 加上三分之派啊，它等于一啊，那同时除以二三二 x 加上三分之派，是不是就等于二分之一啊？好，现在呢，你需要把这个二 x 加三分之派看成是一个整体， 在三角函数，嗯，角它这个求值的时候我们讲过，三等于二分之一，是有两种答案的， 第一个它等于六分之派加二派派。第二个是不等于六分之五派加二派派。那现在我们就要要求这个橙色的整体的部分是不是分别去等于这两个答案啊？好，那么第一种情况，二 x 加上三分之派，哎，它就要等于六分之派加上二派派 好。对这种情况进行整理，二 x 就 等于六分之派减三分之派，负的六分之派加二派派好，那 x 就 等于负的十二分之派加上派派。嗯，又因为 x， 哎，他题目中告诉你了，是属于零到派的，那么我们就可以令 k 等于多少等于一，那，那这个时候 x 就 等于十二分之十一派， 好，这是第一种情况，那么咱们来看第二种情况啊，现在是二 x 加上三分之派，他就等于六分之五派加上二派派好。一项二 x 就 等于六分之五派，减去六分之二派派加二派派 好。除以二等于四分之派加上开派好，那么又因为 x 属于零到派，所以我们令 k 等于几啊？令 k 是 不等于零就可以了， x 等于四分之派，那么因此这个题有两个答案啊，分别是四分之派或者是十二分之十一派。 好，那这是咱们讲的第一种啊，是它等于一个值的时候，那如果是换一种说法，它是大于等于一个数，那应该如何去做呢？第二题作为举例， 同样我们还是要先对这个题的第一问进行求解，那么这个函数图像，它的最高点对应的是二，所以咱们的 a 它就是二啊， a 等于二。 提问， a 等于二好，再来看一下它的周期，从六分之派到十二分之五派，是不是占了四分之一个周期啊？那也就是说，四分之 t 就 等于 十二分之五派，减去六分之派，那也就是十二分之五减十二分之二等于十二分之三啊！四分之派。由此我们解得 t 就 等于派，所以这个 t 等于二派，比上 omega 解得 omega 是 不是就等于二啊？ 好，现在这些都有了，还差一个范啊。我们知道这个呢，是一个整体，要去看他对应五点作图法的哪一点。那十二分之五派所对应的这个点是我们五点作图法中的二分之派，所以将它代入啊，也就是二乘以十二分之五派，再加上范 好，那它就等于二分之派，好对它进行化解啊。六分之五派加上派，二分之派可以写成六分之三派，而派等于负的六分之二派，就是负的三分之派啊，负的三分之派 好，所以我们这个 f x 的 解析式就有了啊， f x 就 等于二倍的三，二 x 减去三分之派啊，这是我们的第一问好，擦掉了， 那么接下来来看第二本啊，也就是咱们的重点内容。现在是已经知道 f x 要大于等于一啊，所以我们还是和刚才一样，把这个式子写上 二倍的三二 x 减去三分之派啊，它是大于等于一的，这个时候数没有 x 的 限制了，你就正常做就可以了哈。三二 x 减去三分之派要大于等于二分之一，那这个题怎么做呢？我们有一个固定的做法，就是把中间的这个角啊，就是这个角写到正中间的位置， 二 x 减去三分之派。好，左右两边分别去写它等于这个值啊。这个题是二分之一，你就写等于二分之一的两个 解集就可以了。等于二分之一呢，分别是六分之派加上二派派，对不对？哎，这边是六分之五派加上二派派，然后呢，一层一层的把它推倒至只含有 x 的 情况，那下一层二 x 啊，同时加了三分之派，所以这边是二分之派加上二派派， 这边是六分之五加六分之二啊，六分之七派加二派派。好在同时除以二 x 大 于等于四分之派加派派，这边小于等于十二分之七派加上 派派啊。那这个题是不是实际上跟咱们之前求单调递增区间单调递减区间的时候有点类似啊，都是一层一层化成了只含有 x 的 这个样子啊。所以 x 的 取值范围啊， x 属于方括号，四分之派加派派， 逗号十二分之七派加派派，反符号扩起来， k 属于 c 就 可以了。 那同理啊，如果说这个题我换一个数值，我说让它大于等于二分之根三的话，是不也很简单？那我只需要把中间写二 x 减去三分之派。哎，左右两侧这边写什么三分之派的时候是三分之派加二派派。 好，那这边就是什么三分之二派加二开派，然后是不是也是一层一层的去画成一个 x 的 这样的形式就可以了？嗯，那今天呢，这就是两种啊求值的方法，一个是直接等于 a 的， 那我们就带入去求解，找到在 x 范围内合适的解就可以了。 那么大于等于 a 的， 就是把角写到中间两边去写，等于它的两个根一层一层找到 x 就 没有问题了。

hello， 各位同学，大家好，我是 tomas 小 火车。这个视频我们来讲一讲高考必考的一个知识点，正弦型函数，也就是 y 等于 a 倍的 sine， omega 加 f 这样的函数。 那咱们必须掌握的包括如何进行平移伸缩变换，呃，如何进行精准的作图，呃，如何研究这类函数的性质，以及给我一个图像，我能不能完整写出它的解析式来， 这些都是高考当中重点考察的内容。 ok， 废话不多说，咱准备开始。 首先我们要搞清楚正弦型函数当中 a， omega， five 这三个参数，它们是如何影响函数图像的。那先说这个 a， 原本啊，我们这个 sin 值只能在正一到负一之间取， 比如说这个样子，那如果成了一个 a 之后，你正负一这种点是不是就被拉到正负 a 这种地方了？但是前提是 a 是 一个正数啊，所以这个 a 字母啊，其实它起到的作用就是把函数图像进行一个纵向的伸缩。 第二个参数 omega， 它影响的是函数的周期，周期的表达式非常非常重要，是二派除以 omega 的 绝对值。当然一般情况下，咱们这个 omega 都是正数啊，如果 omega 绝对值越大，那么周期就会越小，整个这个函数啊，就会长的越紧。 如果 omega 越小呢，周期就会越大，整个这个函数呢，就会长得这么越松散一些。所以 omega 这个参数，它在图像上面造成的影响就是把函数图像进行了一个横向的伸缩。 那第三个参数，这个 f， 咱们之前学过左加右减这么一个说法，你看这个 f 啊，是不是加在了这个 x 这一坨东西的身上啊，所以这其实就是在把函数图像进行一个左右的平移， 呃，这就是三个参数的作用，把原本一个好好的 sin x， 通过上下左右平移伸缩之后，最终得成了一个新的形状，那这个过程光靠我说肯定很抽象，所以啊，这里面咱们得借助一些手段来更直观的去感受。 这里面呢，给大家介绍两个特别好用的画图 app， 一个叫做 mesmos， 一个叫做 geogebra， 这两个都可以在手机里面免费去下载，它们用来画函数图像啊，就特别方便。比如说，我给大家演示一下这个 mesmos， 大家看这个左上角我写了一个函数 a 倍的 sine omega x 加 t 啊，没有 f 我 就用 t 表示了。首先呢，我把这个 a 进行一个变化，你看 a 变大的时候，是不是整个图像就进行了一个纵向的伸缩呀，对吧？ a 变小它就缩起来， a 变大它就伸长了。 那第二个 omega， 如果我把它变大的话，整个图像是不是横向就被压缩了？如果 omega 减小呢，整个这个图像啊，横向就会伸长，周期就变大了。 第三个呢，这个 t， 也就是这个 f 啊，它的变化是不是就会影响到函数图像一个左右的平移啊，所以这就是这三个参数啊产生的影响。那大家如果有条件的话呢，我是推荐大家平时可以用一用这种软件的，因为对于你理解函数的话，会有一个特别大的帮助。 好，回过头来，我们做两道有关平移伸缩的小题。第一个说已知 f x 等于 sin 二 x 加三分之 pi 的 图像，有如下的两种办法， 第一个是先把这个图像向左平移多少，再把横坐标做一个变化。第二种呢，是先把横坐标做一个变化，再去向左平移。这两个呢，前后顺序不太一样，那他们的结果一不一样呢？那肯定不一样，要不然不能让你做两遍重复的呀 这类的问题啊，大家要记住核心的一句话，那就是所有的操作要针对 x 去进行。 那比如说第一种方法，原来是 sin x， 我 最终呢想加出一个新的三分之派来，那我左加右减，是不是向左平移三分之派，就可以得到 sin x 加三分之派这样的结果了？你看我这个三分之派是不是确确实实的加在了 x 身上呀？ 那第二步，我把横坐标要变为多少呢？这里的 omega 是 二，我们说 omega 越大，其实是把函数图像进行了一个压缩，所以这里边啊，要变成原来的 omega 分 之一倍，也就是二分之一倍，这样的话就能得到 sine 二 x 加三分之 pi 了。 你看这里边横坐标变为二分之一，也就是 omega 变成二这件事，我也是作用在了 x 的 身上，跟这个三分之派啊，没有半毛钱关系，这就叫做所有的操作都针对 x， 那 这个还比较好理解。我们再看第二种情况， 原本呢，它是 sin x， 我 现在想先把这个横坐标做一个变化，也就说我想先变成 sin 二 x 呗。那这个操作啊，跟刚才是一样的，横坐标变为原来的 omega 分 之一呗，也就是二分之一。 那接下来这一步就是最容易出错的点，我该向左平移多少才能从 sin 二 x 加三分之派的样子呢？我应该平移三分之派吗？ 你看，如果说我真的向左平移三分之派，根据咱们这个要求，你的操作呀，要针对 x 进行。也就是说这里边这个三分之派啊，你是加在了 x 的 身上，跟二没有关系， 所以你得到的东西并不是在二 x 身上加三分之派，而是在 x 的 身上去加，所以这样你就会得到一个塞二 x 加上三分之二派，这样是不是就不对了呀？ 所以这里边啊，我们该进行的操作应该是这样的一个想法，就是 x 加上某一个数之后，哎，我们打开完括号啊，变成了在二 x 加三分之派，那这个地方的值，其实你稍微算一算就知道应该是六分之派， 所以真正的操作应该是向左平移六分之派，这样的话，就在 x 身上添了六分之派上去，整理完就是我们最终的结果。所以这个呀，就是咱们在这种平移伸缩的题目里边最容易出错的环节。 好，下面第二道小题说，将这个函数 f x 等于二倍这一堆图像向右平移四分之派之后，得到一个奇函数问 omega 的 角值， 那他让咱们向右平移，那我就移吧。所以这个东西向右平移四分之派之后得到的样子应该是二倍的 size omega， 跟刚才一样，这个左加右减减四分之派，一定要减到 x 身上去，不要给 omega x 减四分之派啊。然后最终呢，还有一个减六分之派，应该是这样的一个样子， 也就是说这个 g x， 我 们打开括号之后，应该是二倍的 sine omega x 减去四分之 omega pi， 再减六分之 pi 这样的一个形式，哎呦，这么复杂，它可如何能成为奇函数呢？ 其实呢，道理很简单，你甭管这里边多复杂，这不还是 omega x 加 f 的 样子吗？所以这个东西啊，最终的图像呢，还是一个正弦型的样子，也就是说它是这种波浪线的形状。 既然你是一个波浪线，要想成为奇函数的话，是不是只要让它能过原点就可以了？这样的话，它一定是关于原点中心对称的图形。所以这里面啊，我们只要保证一件事，就是 g 零等于零，哎，就完事了， 那我们就把 g 零带进去呗，那 x 就 取成零了，这一堆就消掉了，就成了二倍的 size， 里边是负的四分之 omega pi， 再减去六分之 pi， 这个形式的东西等于零。哎呦，这该怎么去解呢？那还是刚才的道理啊，你甭管里面多复杂，这不还是一个 side 吗？ 作为一个 side， 我 们把这里边一大坨呀，当成是一个角阿尔法，其实就类似于换元的想法了。那 side 阿尔法等于零这事咱知道呀，哎，我可以随手画出一个正弦来， 它能够等于零的地方应该是零，呃， pi， 然后二 pi， 三 pi 等等等等等这些数对吧？也就是 pi 的 整数倍，所以里边这个 alpha 只要能够等于 pi 的 整数倍，那整个这个值不就成零了吗？ 所以我们列出来的式子就是让里边的这一大坨东西等于一个 pi 的 整数倍，哎，也就是 k pi 啊， k 属于 z， 这样的话，我是不是就可以解出这个 omega 具体的一个表达式了？那算出来应该是五四 k 减三分之二这样的一个结果，其中别忘了 k 属于 z， 那 题目当中又告诉我们说 omega 是 一个大于零的东西，那咱们就调一调这个 k 的 值，让它变成一个大于零的值就好了呗。呃，你可以取零的话，不行，这是负的值， 如果 k 取一的话，不行，更负了，所以 k 应该取个负值，那如果 k 取负一的话呢，这一部分就是四四，减去三分之二，这个值应该是等于三分之十，那应该没有比它更小的正数了，所以最终啊，这题我们选的就是三分之十。 那这个题啊，有的时候呢，人家也会问你说得到偶函数怎么办？那道理其实是一模一样的，作为一个塞， 你要想成为一个偶函数，那一定是经过平移之后啊，你这图像长成这个样子，呃，或者说呢，你这个图像呢，是长成这个样子，也就是说你在零处啊，一定是能取得最大值或者最小值的，所以我们依然对着零处的值去分析就好了。 那具体怎么求呢？等待会咱们说完换元的思路之后，你求起来会更加的顺利一些。好，那除了刚才说的这种比较简单的平移伸缩之外，近几年高考里面呢，又出现了这种让你精准画图的题。 比如说二四年一卷这道题，说 x 属于零，到二派的时候，让你去分析 y 等于 sine， x 和 y 等于这个东西，它的焦点个数。 哎，说起这题还挺有意思啊，二十四年呢，我也去考场上面考了吧。然后这道题其实第一遍做的时候就把我拦住了，我以为是要通过什么复杂的变形手段把这个焦点给算出来， 哎，一直卡到最后，交卷前剩五分钟，我说算了，要不然就画个图试试吧。哎，结果画完图瞬间就出来了，所以这个题啊，就是考的，你能不能把他俩完整的给他画出来？ 好，那我们怎么画呢？首先啊，这个散 x 非常的好画，零到二派正好是它的一个周期，那我先把它画出来， 那咱们先搞个坐标轴，然后零到二派的话呢，我分成两份，比如说这个地方是派，然后这个地方差不多是二派啊，考场上面吧，咱作图只能是草图，那散的图像大概就是，哎，上来这个样子，这边呢，哎，大概就是这样一个形状啊，这是零到二派了。 好，那接下来其实难点就在于这个破东西他该怎么画？其实当年在考场上面啊，我也是在这个地方卡了一下，后来呢，我想了一种办法，如果说你用五点法之类的作图，你会发现算出来的那个横坐标呀，都是一些特别烂的数，不太好往这个坐标轴上去标。 所以呢，我就采取了平移的思想，这个东西我不好画，我是不可以先画一个 sin 三 x 呀，然后呢，我把它平移成这个形状，这个呀，其实是比较好操作的。 那你看，我先把它整理一下，把这个 x 呢，给它提一下啊，变成三倍的 x， 减去十八分之派，哎，它其实就是它了。所以呢，这个东西啊，其实就是把二倍的三 a 三 x 左加向右平移了十八分之派之后，它的图像， 那十八分之派这个东西呢，这个数很小，所以啊，你只要把 sin 三 x 图先画出来，然后稍微往右挪那么一点点，哎，就成了它的图像了，这样的话，其实就可以看出来焦点的个数。好，那我们先画这个二倍的 sin 三 x， 嗯， sin 三 x 的 话，它的周期应该是二派除以三，也就是说在二派这里边啊，它是经过了三个周期的。好，那我们先画一下这个三分之二派的位置，那把这个派呢，分成三份，这个地方就是三分之二派，这里边呢，也分三份，这个地方是三分之四派。 所以到这啊，就是经过了一个周期，再到这个地方是经过第二个周期，然后呢，他的纵坐标是这个能到二啊，所以我们大概画出来应该是类似于这种感觉，那就是这是四分之一周期。上来，然后下去， 然后再下来，再上去，这里边上来再下去，下来再上去，上来再下去，下来再上去。哎，这就画好了，那接下来啊，把它往右挪那么一丢丢，哎，就能够得到结果了。所以这个东西你再往右挪一点点啊，那就是类似的 这样的一个形状。哎，我给大家重复画一下啊，稍微的往右挪一点点就够了。所以最终啊，你这样一画的话，这里边的焦点个数就能数出来了。 来，我们放大看一看，找这个蓝色和红色的焦点，这是第一个、第二个、第三个、第四个、第五个、第六个。哦，一共有六个焦点， 所以最终这题咱们选的就是六个。这个方法啊，我觉得是比较好处理，在考场上面也比较好执行的一种思路。那我们也可以和真实的这个图对比一下，你看咱画的是不是几乎一模一样呀，所以你看平移这个事还是很重要的。 好，接下来我们再看二三年假卷，他也出了一个这种画图的题，他说啊， f x 是 这样的一个函数向左平移六分之派之后得到的样子。那我们先给他移一下啊，这个 f x 呢，就应该等于 cosine 二倍的 在 x 身上左加一个六分之派，然后原本还有一个六分之派，应该是这样的一个形式，打开括号之后，这是 cosine 二 x 加上一个二分之派。 这个东西我们可以用诱导公式，首先既变偶不变，它肯定得变成一个 send 二 x， 然后把二 x 当成锐角去处理，加了它之后就成钝角了。 cosine 钝角，那应该是一个负值，所以最终啊， f x 的 表达式应该是负的 send 二 x。 好，接下来啊，他就问说负的 sine 二 x 和这样的一根直线，他俩有几个焦点？那这没办法，你不可能让他俩相等去算焦点吧，所以肯定还是得靠画图。那先搞一个坐标系出来， 这个直线呢比较好画，我们先留着，咱先把不太好画的线先给他画出来。这个负的 sine 二 x， 它的周期应该是 pi。 那说实在的，我也不知道应该画几个周期，咱就先在这个圆点左右各画一个周期出来吧，如果不够的话呢，我们再去延长， 所以我在右边找差不多，这是派，这是二分之派，左边呢，大概这是负的二分之派，然后这个地方是负的派。好，我们先把它画出来，由于它是一个负值，所以应该把 sin 的 图像上下颠倒一下， 他应该出门就是朝下的，对吧？应该是这个形状，然后这边呢是上来，左边呢应该是先上来，然后呢再这样一个形状，哎，大概是这么一个感觉啊， 接下来再去画这根直线，画直线的话，我们就去找一找和 x y 轴的交点就可以了。那如果让 x 等于零的话， y 的 值就是负二分之一，大概在这， 如果让 y 去等于零，那 x 的 值应该是取成正一，这个一大概在哪呢？而这是二分之派，这是一点五七，这个位置应该是，呃，四分之派，对吧，那就是零点几了，所以一的位置是不是应该比四分之派稍微靠右一点啊？ 大概可能在这么一个位置啊，所以呢，我们这根直线啊，大致画出来应该是长成这种感觉， 那如果我这么一画的话，结果就是三个焦点，非常显然，哎，直接就选 c 了，对吧？嗯，但是这真的靠谱吗？那可不好说啊，咱这画的都是草图，你怎么就保证这根直线真的是这么穿过来的呢？ 那可能有些同学这个正弦啊，画的比较矮，那你这根直线啊，就会在正弦上边飘过去，你就没有那么多焦点了。 那还有的时候呢，你可能这个正弦啊画的比较高，所以就会导致你左边还产生新的焦点来呢。 所以啊，像这种题，咱是不能说大概画一个草图就去决定最终的焦点个数了，这事必须得严格去算一算。那怎么算呢？哎，根据正弦的一个值域去想， 你看正弦这个东西，他是不是最多到正一，然后最少到负一啊？ 咱们这个直线呀，超过正一和超过负一的部分，那肯定是没焦点的，所以咱们关心的其实就是这根直线在正负一之间的这部分，会不会和他产生焦点， 那我们就去算一算，这根直线啥时候能取正一呢？哎，所以啊，我们在这里，如果说我让 y 等于一，那就是二分之一 x 减二分之一，让它等于一，这个 x 算出来应该是等于三。哦，也就说 x 等于三的时候， y 就 等于一了，这个三应该在哪啊？ 这个派是三点一四，所以三是不是就比他稍微小这么一点点，这就是三啊，所以他应该过三一这样的一个点。哎，这就好确定了。 你看啊，这个东西啊，他在很久之前就已经到一了，但是我们这根直线呢，在这个位置才取到一，所以你要画出来的话，那肯定是在这个正弦下边这样穿过去的，所以这样我们就能确定这肯定是有焦点的。 那同样左边也是一样的道理啊，我们去算一算，这根直线什么时候能取负一，所以我让这个二分之一 x 减二分之一等于负一，那 x 算出来就应该正好等于负一，对吧？ 那负一在哪呢？呃，这是正一来的，对吧？左边对称的地方啊，大概这就是负一，所以呢，他应该是过这样一个点，所以我们这根线画出来啊，大概应该是这样一个形状， 那负一这个地方，他就已经取得负一了，后边这些肯定比负一小，那就不可能和这边再产生新的焦点了。这样的话啊，我这个图像才算是比较标准的，那最终呢，你去数一数，一个，两个、三个，是不是这就有三个焦点啊， 所以结果呢，肯定就是选三了。那我们也可以把这个和标准的图像去对比一下，你会发现，哎，咱画的还挺像那么一回事的，确实是三个焦点，所以这类的画图需要我们考虑非常周全才行，不能说纯凭感觉去找。 哎呀，通过这俩题，大家可以发现，画图这个事啊，实在是没那么简单，比较费劲。那如果每个题咱们都靠画图去做，哇塞，那这卷子是不可能做完了，所以有没有什么更方便的能够研究这种正弦型函数性质的办法呢？哎，有的啊，兄弟，肯定是有的， 那就有请换元法登场这个东西，那可太好用了，要想学会换元法，咱们要做的第一件事就是必须要把 sin x 这个图像呀，牢牢的印在你的脑子里面，包括搭这些特殊的位置。 我们来快速复习一下，对于 sin x 来说，它的对称轴应该是这个，这个这类的地方，这是二分之派，这是二分之三派，这是二分之五派，也就是说它的对称轴啊，应该是在二分之派的基础上， 加上若干个整数倍的派，你看，这不就二分之派加一个派，加两个派，加三个派加四个派嘛，对吧？所以它表达出来应该是这样的一个形式。 第二个， sin x 对 称中心，那对称中心指的应该是零呀，然后派呀，二派呀，三派等等这些地方，换句话说就是派的整数倍，所以它的对称中心应该是 k 倍的派，然后这个纵坐标是零，这里边的 k 呢，也是属于 z 的。 第三个， sin x 的 单调增区间，那我们先找他的一个增区间啊，比如说我可以找到这个从负二分之派到正二分之派，这是他一段完整的增区间， 在这个基础上啊，我从这个点加上一个周期就到这了，从这个点呢加上一个周期就到这了，这样的话就会形成一个新的一段增区间。所以要想表示增区间的话啊，咱们最简单的办法就是从负二分之派和二分之派这个地方出发， 只要你左右两边同时加上一个若干个整周期，就会得到一组新的增区间。当然别忘了这里面的 k 也是属于 z 的， 这个都是咱们在前面学正弦的时候啊，所推导出来的一些结论。 那么我该如何去研究这种正弦型函数呢？其实道理是一模一样的，他呀，无非就是把正弦进行了一些伸缩平移之后得到的图像，所以这个波浪线里边，你要找他的对称轴，是不是依然是这些能够取得最值的地方呀？ 那好，请问这个东西什么时候能取得这些正负一呢？哎，我们就把里边这一大坨呀，当成是一个新的圆，相当于我去研究一个 c t， 请问 sin t 什么时候能取最值呢？那不就是相当于问你 sin x 什么时候能取最值吗？哎， x 呀，等于这些数 sin 就 能取最值了，那换句话说就是 t 只要能取这些数的话， sin t 不 就也取最值了吗？ t 是 啥呀？ t 就是 二 x 加三分之派，所以就是让二 x 加三分之派等于这样的数，那么你这个塞值就能取到最值。取到最值的地方就是我要找的对称轴， 所以这里边如果你要求对称轴的话，就是让二 x 加三分之派，这个整体啊去等于左边这个，呃，二分之派加 k 派这样的一个结果，这样的话，我可以解出来 x 的 值应该是二分之派加十二分之派这样的一个数， 那这个东西就是我们这个函数的对称轴了啊，这就是换元这个思路啊，最关键的一个地方，你只要把 sin x 的 东西记清楚啊，这个里边啊，你就让它去等于这些数就完事了。比如说你要求对称中心， 它的对称中心，那不就是这些能够取零的地方吗？那好，请问 sin 这一坨啥时候能取零啊？那不就是 t 等于 kpi 的 时候吗？ 也就是让这一坨东西去等于 k 派，那你这个塞就能取零了。所以我们要算的话，就是让二 x 加三分之派，让它去等于 k 派， 那解出来的这个 x 呢，应该是等于二分之 k 派减六分之派，所以它的对称中心就是二分之 k 派减六分之派，纵坐标是零，然后 k 属于 z 这样的一个结果了。 那第三个单调增区间也是一样的道理，这个 x 如果在这样的区间里边整体就会逆增，所以换到它之后啊，我就让这一坨东西属于这样一个区间，那就是这个东西的单调增区间了。 所以我们可以列出一个不等式，让二 x 加三分之派夹在这个区间里边，那把它解出来之后，应该是这样的一个结果，这个就是这个函数它的单调增区间，当然不要忘了 k 属于 z， 所以 这就是咱们换元法最基本的一个逻辑，你把散 x 这些值记下来，不管他让你求什么样的这个正弦函数啊。当然咱们前提是这个 omega 和这个 a 都得是正数，一般情况下也都是正的啊， 你只要把里边这一坨当做这里边的 x， 哎，给它换进去，就能够得到关于这个函数的信息了。 好，那我们就用这个方法来快速做一道小题，说 f x 等于 sine， 二 x 减六分之 pi， 让我们判断下边这些东西都对不对，那咱们就是换元啊，你甭管什么这里边是啥东西，我们就把这个东西当成 t， 所有的 x 怎么怎么样啊，咱都把它换成 t 怎么怎么样，然后你就研究 sin t 就 完事了。那 sin t 咱们是最熟悉的了， 所以对于 a 选项来说啊，他问的是 x 等于十二分之派， ok， 那 我们就换成 t 嘛， t 的 话是二 x 减六分之派，你把它带进去，这是二乘十二分之派，就是六分之派，减六分之派呢？哎，就等于零， 所以就相当于问你啊， t 等于零是不是 sin t 的 对称轴？那肯定不是啊，对不对？你画出来一个 sin t， 它是不是长这样啊？是不是在这啊？这是零啊，所以这肯定不是对称轴。那 a 选项就错了， 同样 b 选项，它说呀，六分之五派零是不是一个对称中心？那 x 如果是六分之五派的话，就相当于这个 t 值，此时此刻应该是多少啊？ 把六分之五派带进来，这是六分之十减六分之一就六分之九，六分之九的话就是二分之三派，那同样，我们画一个塞替的图像，这个二分之三派是不应该在这个位置啊？那这个点是对称中心吗？啊，不是啊，所以 b 选项也不对， 那 c 选项呢？换成了区间也是一样的道理。说 x 的 区间啊，是六分之派到这个四分之三派，同样，我们把它换成这个 t， t 的 范围，把这两头带进去，六分之派带进来，应该还是六分之派。把四分之三派带进来，这是二乘四分之三 就是二分之三派，减六分之派，这个二分之三就是六分之九，减六分之一就是六分之八，六分之八的话就是三分之四。哎，所以就是 t 属于六分之派到三分之四派之间， 也就说散 t 在 这个区间上是不是单调递减的呢？那你这个画一个图嘛，都是一样的道理啊，我们画的都是散 t 这个东西，六分之派在这个地方，三分之四派大概应该在这， 那这个区间上并不是一个单调递减的东西啊，所以就说明 c 选项也不对呗。那这么着肯定是选 d 了啊， d 选项呢？我们也来算一算，他说啊，在这个区间上最大值是二分之一，那我同样我给他带进去，说 x 呀，是属于负的四分之派到六分之派的，那我们来看看这个 t 属于啥呢？ 把负四分之派带进去，这是负的二分之派，再减去一个，它应该是负的三分之二派啊，这么一个数， 然后六分之派带进来呢，应该还是一个六分之派哦，也就是说呀，这个三 e t， 它在这个区间上边最大值， 那负的三分之二派大概是在这个位置，然后六分之派呢，大概是在这在这个区间里边问我们最大值，那就是六分之派，这取得，所以你把六分之派带进来， sin 六分之派啊，这不就是等于二分之一吗？所以这样的话呢， d 选项啊，确实是没问题的。 你看，这就是我们面对一个正弦型函数，你甭管它里面多复杂，你也甭管它问什么东西，咱们就把所有问的这些关于 x 的 事情，全都转化成这个整体关于 t 的 问题， 然后一切的问题，我们都在研究 sin t 这个函数，因为 sin t 实在是太简单了，实在是太熟悉了，所以根据这个方法，不管它出什么样的函数，咱都是同样的一套处理逻辑。 ok， 那 我们再看一个稍微复杂一点点的说， f x 啊，等于这么一个形式，把这个图像向左平移这么多，再向下平移这么多，能得到一个 g x， 那 我先把 g x 给算出来嘛， g x 根据左加右减，它应该是在 x 的 身上向左啊，也就是加上一个十二分之派，然后后面呢，还有一个六分之派在这啊，这么一个东西， 然后呢向下平移一个单位，那上加下减，所以整体这个函数啊，再给它减个一，这应该是 g x 的 形式，那我们把它整理出来，就是二倍的，在内边是二， x 加上一个六分之派，加六分之派，那就是三分之派，然后再减一 说，这个 g x 一 和 g x 二这么俩数啊，乘起来正好等于九，然后 x 一 x 二的范围告诉我们，让我们去求这样一个式子的最大值，咱一句话一句话来，这两个东西乘积等于九，这能告诉我们什么情况呢？ 这两个数分别是多少呢？呃，感觉好像看不出来，那我们研究一下这个 g x 啊，这个东西啊，咱可以看一看它的值域。你看 sin 原本的值，应该是负一到正一之间，成了一个二，就变成了负二到正二， 那负二到正二，如果我再减掉一个一呢？负二减一就是负三，正二减一就是正一，所以它的值域啊，应该是在负三到正一之间。 哎，现在啊，说有这么两个函数值，正好乘起来等于九，你说这俩数分别是多少呢？你想一想，这里边你要挑出俩数来，能够乘出来等于九的， 好像没别的路子，只能是负三乘负三吧，正的这边最多只能到一，你不可能乘出个九来啊。 那所以由此呀，通过这个条件，结合这个 g x 的 值域，咱可以推出来一个很重要的事，就这个式子，要想实现，那么 g x 一 和 g x 二的值啊，必须得是负三，没有任何其他的情况。 哎，这个条件呢，可有用了。你看啊，说这么一个式子啊，要想等于负三，那就是它取到了最小值。这个式子什么时候能取最小值呢？ 其实就是让里边的这个 sin 能取到最小值负一吧，对不对？它如果取负一，整体就能取负三了，只有这一种情况， 所以由这两个东西等于负三，我们就知道了。这个 x 一 啊，带到这个 sin 里边来， sin 二 x 一 加三分之派和这个 x 二带进来 sin 二， x 加三分之派，它俩实际上都是等于负一的， 这样的话，实际上 x 一 和 x 二的值我们就能求出来了。为什么这么说呢？你看还是换元的想法，咱先别管这么多啊，你就当成是 t 一， 当成是 t 二，请问一个 sin t 啥时候才能等于负一呢？ 你看啊，我们画一个这个 sin t 的 图像吧，对不对？画一个草图啊，要想等于负一，那就是这种位置，这种位置， 那这种最小值的位置怎么表示啊？左边这个是负二分之派，右边这个是二分之三派，其实就是在负二分之派的基础上，只要你加上二派，只要你加上一个二派，就能得到一个新的最小值。 所以这类的东西我们要表示出来，就是在负二分之派的基础上，加上若干个二派，就表达的是正弦能够取得负一的值。 那我们要想解这俩东西是不是就让它去等于这样的一个数，哎，就能让三 a 取负一了，哎，所以这样的话，我们就可以把这种 x 的 值算出来了，也就是说我让二 x 加三分之派去等于负的二分之派，加上二 k 派， 从这里面呀，把这种 x 的 值给它算出来，那算出来的结果应该是 x 等于 k 派减十二分之五派这样的数。 那接下来啊，他说 x 一 x 二呢，都在这个范围里，那咱们就在这个范围里找一找能满足这种式子的数不就可以了吗？那接下来就是把 k 取不同的整数，然后看一看谁能在这个范围里， 比如说 k 取零的话，这是负的十二分之五 pi， k 取一的话，就是在他的基础上是不是多了一个 pi 啊？ 随你往上加派就行了，这个东西加上一个派应该变成十二分之七派，再加一个派就是十二分之十九派，再加一个派呢，就是十二分之三十一派，这个就已经超出这个区间了啊，所以他就不要了啊。那我们再往左取啊，把这个东西剪掉一些派， 那就是负的十二分之十七派，呃，还没超，再减一个就是负的十二分之二十九派，这个东西是不是也超出负二派了？所以他就不要了啊？那就说明这种 x 一 和 x 二值啊，就是从这几个数里面去挑， 那我们要想让这个式子尽可能大的话，你就让前边尽可能大一些，这个东西尽可能小一些，这样的话，你减出来的不就是最大值了吗？ 所以啊，我们就把 x 一 弄成最大值，把这个 x 二弄成里边的最小值，这样的话，一算这个式子就好了，那二倍的它应该十二分之三十八，减去它就是加上一个十七啊，三十八加十七应该是五十五，所以最终应该是十二分之五十五派，哎，就选 a 了。 那这道题首先你得会函数的平移、伸缩这些变换，得到正确的 g、 x 的 式子，根据这样一个特殊的值，然后判断出来，这里边这两个函数值啊，都等于负三， 那函数等于负三，对应的就是散移值取最小值的时候，所以根据换元的这种想法，我们找到最小值这种位置，然后让里边的这一坨东西去等于这种能够取最小值的地方， 所以求出来的 x 值，再去这个区间里边找符合条件的数，然后就可以得到最终的结果了。 ok， 关于换元这部分，咱就先说这么多， 那接下来这类题各位一定不陌生，在你的卷子里边，练习册里边应该不少见，就是给我一部分函数的图像，让我们去写它的解析式。 我们以这俩题为例，跟大家说一说怎么样去做啊？说这个 f x 呢，等于 a 倍的 sine， 我 们 x 加 f 加 b， 然后呢，让我们去求解式，然后给了一个这样的图。首先咱们要看的就是这里边函数的最值， 这里面最大能取到三，最小能取到负一。好观察这个函数，请问它如何才能取到最大值呢？ 这个 a 和 b 都是定死的， a 又是一个正数，所以整体是不是当 sin 值能取到最大的一的时候，这整体就会最大？ sin 值如果取到最小的负一的时候，整体就会最小了。 所以啊，这个三的值其实就是 sin 取一，那就是 a 加 b， 这个负一的值呢，就是 sin 取负一，也就是负 a 加 b， 这样的话， a 和 b 的 值应该是等于二， b 的 值就等于一了。 接下来第二步，我们来找这个 omega， omega 咱知道它是和函数周期密切相连的，所以从这里面找一找周期，那周期的话，比如说从一个最大值到下一个最大值，这应该是一个完整的周期，但是这个地方我们不知道是几，所以啊，咱得利用题目当中给的这些数， 这个十二分之五派的地方对应的是最小值，那么从一个最小值到他下一个最大值之间，这个距离应该是半个周期。 哎，也就是说啊，这两段之间的长度就是半周期了。那由此我们就可以得到一个关于 omega 的 表达式。首先如何表示长度呢？永远是竖轴，右边的减去左边的数， 所以这里边就是十二分之十一派。减去十二分之五派，这个东西应该是十二分之六派就是二分之派。这个数啊，就是我们要找的二分之周期， 那周期的值啊，我们知道应该是二派除以 omega， 所以 由此呢，你就可以解出 omega 的 值了。这两个二约掉那二分之派等于 omega 分 之派，所以是不是 omega 的 值就正好等于二啊？ 那现在啊，关于这个函数，咱就已经求出很多东西来了，你可以写出来看一看，应该是二倍的 sine， 里边是二 x 加 f， 再加上一个一，最后呢，还剩下一个这个 f 值，咱们得去求一求。从哪求呢？找这种特殊点。 比如说我用这个十二分之五 pi 这个地方呀，整个函数取了最小值，就是因为里边这个 sin 值取了最小值负一， 那也就是说我把这个十二分之五派带进去呗，那就是塞二乘十二分之五派再加派，这个地方是不是应该正好等于负一啊？ 那这不就是咱刚才讲的换元的思路吗？你把这一大坨呀当成一个 t， 然后呢，你悄悄画一个 sin t 的 图像，请问作为一个 sin t， 他 啥时候能取负一呢？ 是不应该是二分之三派呀？或者是左边的这种负二分之派这种地方呀？哎，也就是说，这种负二分之派加上若干个整周期的地方， 所以里边这一坨呀，就应该等于这样的值，那我们把它写出来，就是二乘十二分之五派加派， 它的值就应该等于负二分之派加上一个整周期啊，若干个整周期，那由此呀，你就可以得到一个派的表达式，那我们算出来之后，应该是等于二 k 派减去一个三分之四派，当然这里边的 k 要属于 z。 那题目当中啊，给我们限定了这个斐的值呢，就是零到派之间，所以你就找一找啊，这个值啊，如何给它弄到零到派之间呢？那这个派的值啊，这个 k 的 值是不是取一就行了？当 k 取一的时候，这是二派，减三分之四派，那就等于三分之二派，这个数啊，就卡在这里了。 所以当 k 等于一的时候，我们让 f 取成三分之二 pi， 这样的话就是最终的结果了。这就是这类看图说话的题目最基本的一个方法， 通过最值去看里边的 ab， 通过周期，或者说通过周期的一部分去看这个 omega， 最后通过一些特殊点来计算这个 f 值。那我们再看后边的这道题，说这里边没有 b 了，就是 a 倍的 sine， omega， sine 加 f， 他的图像呢，长成这个样子。首先看最值，这里边的话，最小值是负三，那是不是说明 a 的 值肯定就是正三呀？哎，因为 a 是 大于零的嘛，所以由此直接就求出来了， a 等于三。 接下来呢，再来找周期，这里边的话，我们能给的条件，一个是这个地方叫负的三分之二派， 一个是这里叫做三分之七派，那我们换一换啊，从一个对称中心到下一个对称中心，这应该是半个周期，再从这呢又到了一个最小值，这一段长度是不应该是四分之一个周期啊？ 所以这是四分之一个周期，这是二分之一个周期，他俩加起来是不就是四分之三个周期啊？ 所以这两个数之间就包含了四分之三个周期，由此我们就可以列式了，右边的三分之七派，减去左边的注意符号啊，减去负的三分之二派，这个数应该是等于三分之九派，也就是三派 它的值啊，应该是等于四分之三个周期，那周期的表达式应该是二派除以 omega， 所以 由此我们就可以算出这个 omega 的 值来，应该等于二分之一。 那好，有了 omega 之后，我要想求派的话，是不是找一个特殊值带进去就好了？比如说我还是找这个最小值三分之七派，这， 那也就是说啊，我们把三分之七派带进去，因为 omega 已经等于二分之一了嘛，所以就是 sine 二分之一乘三分之七派，再加 f， 这个值对应的应该是负一，那跟刚才一样，等于负一的这种点，咱刚才写出来表达式是不是这个样子呀？ 所以就让里边这一坨去等于它就可以了。那你展开之后，应该是六分之七派加上派，正好等于负的二分之派加上二 k 派。由此我们可以解出一个派的表达式应该是二 k 派，减去一个三分之五派，其中 k 是 属于 z 的。 那题目当中又给我们限定了 f 的 绝对值是小于二分之派的，那这个数我们算一算，让 k 取正一的话，是不就可以了？就等于二派减三分之五派，那就等于三分之一派了，这个是能够满足他的要求的。 所以这样的话啊，我们让 k 取一 f 的 值，就是三分之派，那整个解析式也就确定了，怎么样这类的题还是比较简单的啊， 但是这个题到这还没完，哎，我还有一个小小的问题，各位，你看啊，咱们刚才在求这个斐的时候呢，用的是这个特数值带进来，然后再取负一，把这种值给他算出来了， 那有没有可能我用这个数去求呢？我觉得肯定会有同学是这么做的，因为你看，负三分之二派这个地方带进来等于零，也就是说啊，我写出来表达式就是在二分之二派再加派 这个东西啊，等于零嘛。 ok， 那 我还是用换元的想法，对于一个 side t 来说，它能等于零的地方，我也会写呀，那不就是零啊，派呀，二派三派四派这种地方嘛。 所以啊，我就让这一堆东西呢，去等于 k 派，对吧，整数倍的派。由此我也能解出来一个派的表达式，那得到的结果应该是， k 派加上三分之派，其中 k 属于 z， 哎，你看我让 k 取零，是不是也能得到三分之派的值啊？ 来，各位同学有没有这么做的，如果有的话，可以在弹幕里扣个一，我看一看啊，那这俩答案咱们仔细看一看啊， 好像有点儿区别，不知道你有没有发现。比如说，你看上面这个式子里边，我让 k 取零，它就能得到三分之派， k 取一，它就是三分之四派， k 取二，它就是三分之七派。 那下边这个答案呢？如果 k 取一的话，他是三分之派，哎，你看，对上了，如果 k 取二的话，这个地方就是四派，四派减他应该等于三分之七派，哎，能跟他对上，但是好像中间并没有三分之四派这个答案呀， 哎，为什么上面这种方法能得出一个三分之四派，而下边这个方法却没有这个数呢？这俩东西到底谁对谁错呀？ 那我告诉大家，上边这个答案是错的，下边这个应该是对的。哎，怎么回事呢？我这个式子我感觉没有任何毛病啊。 size 取零，能取零的地方就是对称中心嘛，对称中心不就是 kpi 吗？那我为什么求出来的不对呢？ 好，大家认真听啊，为什么这个不对？因为这个地方并不是一个简单的对称中心，他是一个增区间上边的对称中心， 所以这个点呀，他应该对应塞应 t 上的这些位置，也就是零呀，二派呀，四派之类的这种点才是增区间上的对称中心。所以你直接让他等于 k 派，这是不对的。 这些增区间上对称中心，我们要想表示应该是偶数倍的派，也就是让他去等于二 k 派，这才是正确的结果。 所以你刚才用 k 派求出来那个值，是不是有一个三分之四派来着？如果你把三分之四派带进去，你会发现他的图像啊，其实就长成了这样的一个形状， 和咱们题干里给的这个东西正好是上下颠倒的。因为三分之四派对应的是这种点，这种点是减去减等对称中心。 所以这道题里边啊，大家一定要小心，当你在求外角的时候，如果你用的不是这种最大值或者最小值的位置，如果你用的是这种对称中心的位置，你一定要区分清这个点到底对应的是什么样的对称中心， 可能是增的，也可能是减的，比如说这个题里面给了我们这个点的坐标，那你带进去之后，应该让他去等于这种减区间上的对称中心，也就是一个派啊，三个派啊，五个派之类的，所以他对应的点啊，应该叫做二 k 派，加上一个派， 也就是基数倍的派。所以对于这类题而言，要想求这个派值，给大家的建议就是，有最值你就用最值， 因为最值这个东西，最大值和最小值，这你一定不会混，对不对？但是对称中心这个东西，一定要区分清到底是什么样的对称中心，它是有两类不同的对称中心的， 这就是关于这一类题目里边很多同学会迷惑的一个点。哎，为什么我用对称中心算出来的答案不对呢？就是这样的原因。 好，那最后再给大家介绍一个秘籍，就是利用图像伸缩的想法，直接去求 omega。 这是二三年的一道填空题，我们来看，他说 f x 呀，等于这么一个塞，说 ab 俩点呢，是这个直线 y 等于二分之一和函数的俩交点，告诉我们 ab 这一段的长度是六分之派，让我们去求 f 派的值， 这里边咱 omega 和 f 都不知道，如果我能求出来，周期就能算 omega 了，有了 omega， 再利用这个点，是不就能求出 f 值来了？那关键就是这周期咋求呢？ 这个方法不为一，我就给大家介绍一个最简单的方法，你看啊，对于它而言，我并不知道到底咋回事，但是假如给我一个普普通通的三 x， 大家想一想， 它和 y 等于二分之一的两焦点，呃，你会不会算呢？那你肯定会算呀，你看我们画一下啊，三 x， 这是二派嘛，那么 y 等于二分之一呢，就是在这 这里边这个点肯定就是三三十度啊，六分之派，这边这个点呢，应该是六分之五派，那此时此刻呀，你是不是能算出来，这一段的长度应该是六分之五派，减去六分之派，也就等于六分之四派。 好，大家想一想啊，这个斐值会影响这个东西吗？并不会，因为斐值啊，就是把这个图像进行左右平移了，你这个图像不管平移到哪去，这一段的长度是不是始终都是六分之四派啊？ 所以这个斐值啊，对于我这段的长度是没有影响的。那谁有影响呢？当然是 omega 了， 我们说 omega 这个数，它的作用是把原来的这个图像进行一个横向的伸缩，呃， x 身上乘一个 omega， 就 会把整个的图像变成原来的 omega 分 之一倍，对不对？哎呦，你说这一段啊，它之前长度是六分之四派， 变了一下之后，就成了现在的这个六分之派了，请问它是变成了几分之一呢？哎呦，好难猜呀，六分之四派变成六分之派，当然是变成原来的四分之一了呗。 所以这样的话，是不是直接就把 omega 等于四这件事算出来了？不需要任何其他额外的计算了，我们就从图像伸缩这一个角度就可以得到这个 omega 的 值了。 那有了 omega 之后，这题可就太简单了，现在的函数呢，就等于 sine 四 x 加上一个 f， 那 我们再根据这个三分之二 pi 去求解就行了， 这个正好是咱们刚才说的这种增区间上的对称中心，对吧？所以呢，我把这个三分之二 pi 带进来，它对应的这种点啊，零呀，二 pi 呀，四 pi 啊六 pi 之类的，也就是二 k pi 的 值， 所以这样我们就能求出斐的值来，可以写成二 k pi 减去一个三分之八 pi， 那 这里边由于对 pi 没有限制，所以你随便取一个值就行了，比如说我们就取一个数稍微小一点的，让 k 取成一个一， 那这样的话就是二 pi 减它，那就可以等于一个这个斐的值，就是负的三分之二 pi， 哎，这个数还可以，所以最终呢，咱们这个 f x 的 值啊，就是 sin 四 x 减去三分之二 pi， 那他让我们求 fpi 的 值，你把 pi 垫起来，四 pi 减去三分之二 pi， 这应该是多少啊？这个四 pi 是 不是整周期啊，直接删掉就是 sum。 负的三分之二 pi， 那 这个值应该是等于负的二分之根号三，对吧？所以最终的结果啊，负的二分之根号三。 那这个题呢，你可能会在参考书里面看到很多其他的解法，那我这个解法呀，一定是里边最简单的一种，哎呀，多么美丽的图像伸缩呀。 好，最后我们来做一个简单的总结，首先关于这种正弦型函数，咱必须要掌握的就是他平移伸缩的一个规则，咱们需要注意所有的平移伸缩操作都要针对这个 x 去进行。 然后就是涉及到画图的题目，我们需要去比较精准的做图，那这里面呢，可以用这种平移的想法去画， 在涉及到和其他曲线的焦点的时候，必须要注意这些特殊值的位置。然后就是最重要的利用换元法去研究这种正弦型函数的特点， 只要你把 sin 的 图像装在脑子里边，那时时刻刻把这一坨东西当成这里边的 sin 去处理就 ok 了。 那最后呢，是关于这种看图说话的题目，整体来说还是比较简单的，大家需要注意的一个易错点就是有最直，优先用最直这种对称中心，我们得区分清它到底是增区间的还是减区间的，否则就会出现这种类似的错误。 ok， 那 关于更复杂的是一道求 omega 范围之类的问题，咱们后边的视频再给大家去详细讲解，这个视频的内容到这就没了，拜拜。

今天带大家来学习一下中指数学三角函数的诱导公式。那么在诱导公式这里啊，什么时候会用到它呢？第一个中边相同角什么时候会用到中边相同角啊？比如说 只要你的中边一样就可以用它啊，它用的是同一个三角函数值，比如说这是三十度吧，那我如果再转一圈，我顺时针转一圈，转到这个位置，它是不是就是三百九十度？ 三百九十度和我的三十度是不是用的是同一条中边？所以就说明我的三影三百九十度是不是就可以写成的是我的三影多少呀？三影三百六十度， 加上谁加上我的三十度是不是就等于我的三影三十度？因为三百九十度的话，我们不知道他的正弦值吗？但是我们知道的是三影三十度的正弦值吧， 所以往外拿的中间相同角，往外拿的是整圈啊，看清楚了，是整圈，那同样扣三影也是一样的啊。那么你扣三影 三百九十度是不是就等于 cosine 三百六十度，加上三十度也就等于 cosine 三十度吗？这个能理解吧，然后最后写出它的正弦值啊， sine 三十度等于二分之 一，扣三样三十度等于二分之根号三胎影也是一样的啊，所以要记清楚，在中边相同角里面，往外拿的是整圈三百六十度，或者是二派，因为三百六十度 等于二派，所以要往外拿拿整圈能理解吧？那我们接着来看中边关于我 x 轴对称，同意啊，我把这擦掉啊， 中边关于 x 轴对称，也就是说这是还是三十度，还来看它为三十度，这是逆着转的吧，那相应的底下它为多少度？负的 三十度，但是相应的啊。 sine 负二法，这个没有等于号啊。 三影负而法等于谁呀？因为第一项线吗？三影在第一项线它为正的，第四项线它为负的。现在问你，负的也就是三影负的三十度和我的 要想等于我三影三十度的话，应该怎么办？负的吗？它本身是负的，要想等于正的，在它前面加一个符号，所以也就是说它是一四象限的关系。扣三影也是一样的啊，胎影也是一样的，优先把你的负角换正角。胎影负而法 在你的第一项线第四项加它是不是负的，但第一项加它为正的，所以让它折回去，它就是变负的。扣三影不一样的在于扣三影依次为正，所以说明你扣三影负二法等于你的扣三影二法啊。然后第三个就学到的是中边， 中边相同角啊，他就学到的是中边相同角。我们还来看第四这个题啊，中边相同角， 中边关于我的圆点，中边关于我的圆点对称了，这是二八上的中边关于我的圆点对称了。比如说这是三十度啊，与他圆点对称这个角度是不是在他的基础上他多了多少 拍？这是多少？一百八加三十这个大角啊，换个颜色啊，现在我想要知道这个大角绿色的这个大角它为多少度啊？是不二百 一百八，加三十是不二百一十度，也就说明我的三影二百一十度等于多少？他是不是超过了九十？他是超过了 一百八，但是没有超过三百六吧，也就是说他可以变成的是我的一百八十度，加上 三十，又因为什么？他是不本身第三项线他为负的，第一项线他为正的，所以去掉他以后就变成负的 sin 三十度，明白吧？ cosine 也是一样的啊，因为第一项向它为正的，第三项向它为负的去掉以后还是负的。但是 tan 不 一样的在于它一三它为正，所以会用到它，也就等于它 tan 本身。那我们接着来看一下啊。第四个，中边，关于 中边，关于我的 y 轴对称，也就是说明，如果给你的是我的 side 一 百五十度，这是一百五十度啊，这是一百五十度，那么这个角度就为三十度吧。它如果折过来 和它的中边和三十度的中边是关于我的 y 轴对称了，那相应的，你的 side 一百五十度是不就可以换成的是三影一百八十度减去三十度，因为它的中边关于 y 轴对称了吗？又因为我的三影一二相切它为正的，所以得到的就应该是我的三影三十度。但是抠三影假设说换成抠三影一百五，是不是变成的是抠三影一百八十度减去三十度，但是抠三影第二象限 是负的，它这是正的，所以应该等于它是负的 cosine 三十度。 tan 也是一样的啊，那什么时候会用到它？中边相同角是超过了三百六 角度，超过三百六十度会用到它，并且往外拿整圈出来。第二个，什么时候会用它？负角出现负角的时候 出现负角，可以优先把它换成正的。第三个，什么时候会用到它，也就意味着我的阿尔法大于了多少呀？一百八十度，但是小于了， 大于了一百八十度，但是小于的三百六十度，这个什么时候用？中边惯用 y 轴，也就是说我的阿尔法大于了九十度，但是小于的是 一百八十度，这是四个啊，这是四个诱导公式，什么时候会用？第一个超过三百六，整圈整圈往外拿，也就是整圈整圈往外拿。第二个是负角，出现了负角，优先把它换成正角。第三个中边关于圆点对称，也就意味着我的阿尔法大于一百八，但是他 小于三百六。第四个也就是说他大于了九十，小于了一百八十度啊，让他这么来，因为要把他最后的角度换到零到九十之间，他的函数值是能背下来的啊。那我们接着来往下看， 往下看，就选到了函数周期。这句话的意思是，一般对于函数 f 等 f 括号 x 加 t 等于 f x， 如果存在一个非零的常数 t， 使得当 x 在 定义域内取任意一只时，都有 f x 加 t 等于 f x， 则称为 y 等于我， f x 为周期，函数非零，常数 t 则是它其中的一个周期。这怎么看啊？比如说我们来看星期啊， 星期，也就是说我如果说我的 x 三加七等于 f 三，也就是说一周有几天啊？是不是一周有七天？那第十天 是不是新一周七天？周一周一一直到周日，周日过完了，再周一到周日，再周一到周日，这是不是在循环，也就是说我的 t 是 循环 循环。三加七等于多少？七是不是十七，是不是一个周期一周七天嘛？三加七十，也就是说 f 十，也就意味着我的 f 十是等于 f 三，也就说这道题是什么意思啊？问你第三天，如果说第三天为周三， 一到十天啊，说的是一到十天， 说的是一到十天，并且告诉你，且第三天为 周三。问你第十天是周几， 第十天是周几，那一周几天是不是七天？是不是按七天以轮换轮的，并且告诉你 f 三等于七了吧？ f 三等于三，第三天是周三，那相应的十就可以拆成的是三加七吗？ 三加七是不就等于 f 十？又因为七是循环，所以说明他也等于 f 三，说明第十天也是 周三啊。那么底下的这个说，如果周期函数 y 等于 f x， 存在一个最小的正数 t 零 t 一 啊，我这写的是 t， 那 么这个最小的正数 t 一 就是我 f x 的 最小正周期。我是不是可以在一年之中，我是不是可以七天七天的再轮换？ 一年里我是不是可以七天七天的再轮换？那么一年里我是不是还可以一月一月的再轮换， 对吧？还可以一季度一季度的轮换吧。那么在他们一循环的过程中，是不是都是以周一到周日，再周一到周日最小的是不是就是七天，然后就是一个月一个月的一轮换，或者一季度一季度的这样轮换，一季度一季的轮换。所以七天就是你一年之中的最小 正数 t 零，最小正数 t 零，明白吧？这就是函数周期啊。我们来接着往下看，就学到了正弦函数的图像及其性质。在他这一张里面啊，这是比较重要的几个点，第一个五点，五个特殊的点，第一个是零 零零度零弧度，也就是三影零度，零度，二分之派派，二分之三派以及二派为什么会用到它？因为这五个角度得到的函数值均为整数。 整数啊，均为整数，所以在你的图像上会比较好找到。第一个点，零，逗号零。第二个二分之派，逗号一。第二个派逗号零。第三个二分之三派，逗号负一。第四个二派，逗号零。五个点， 同样定义域，定义域是指 x 吧，三影。什么是三影？ y 等于我的三影 x 啊，把这擦掉。 它应该是这么写的啊， sine y 等于我的 sine x， 并且你的 x 属于的是 r， 也就整个横坐标上面角度都可以用啊，所以定义为 r。 值域是最大值和最小值，一个最大值取一，最小值取负一，所以值域为负一等于。那么当你的最大值 就是 y， 要想取最大值，也就是说当 x 等于多少时， y 取最大值。当 x 等于二分之派，是不是可以用再加二分之派？加上三百六十度是不是也可以用？ 减去三百六十度是不是也可以？也就是说是你二分之派的中边相同角是你的 y 取到的最大值为一。同样的，当你的 x 取到的是负的 二分之派的时候，以及以及与他的中边相同角的时候，他取最小值，赋以同样周期。 这是不是从起点一直走走走到这中了吧，然后又开始起点一直走走走中他是循环的。所以最小的周期为 二排啊，周期一般用正数来说啊。然后同样基有性，它关于谁对称是不是一三向线在这，它关于原点中心对称为基。函数同样单调性啊，单调性就说了，为什么我不往前 哪半个呢？它的单调性这里啊写的，这是负的二分之派到二分之派，这是二分之派到二分之 三派。为什么我要用二分之派，负的二分之派，而不用零到二派之间，它不也是一个周期吗？为什么来看这里是不是上升了，递增了？ 在你二分之派到你二分之三派，是不是整个都是递减了？但是在你二分之派，二分之三派到二派之间是不是又递增了？这是一半增减又一半增。那如果我把他往前拿半个， 拿到这个位置，我不用他了，他是不是也代表的是一个周期？二派只是他整体整体往前挪了半个吗？挪了九十度，能明白吗？所以就说在负的二分之派到二分之派上， 是不是他是全增了？同样在二分之派到二分之三派，他是不全减，所以这个能理解了吧。在正弦里面增减性的地方啊，把他提前往外拿了半个，往前挪了半个啊， 这是增减函数啊，这是正弦函数。那我们接着来往下看看余弦，余弦和它是一样的啊，余弦也是五个特殊的点，不一样的是五个特殊的点取的值不一样， 但是特殊的角度都是一样的。零度，二分之派派，二分之三派以及 二派，这几个角度都是一样，你看零度九十一百八，二百七，三百六嘛，五个点，他得到的整个数啊，然后同样。什么是余弦啊？这个没写上，我把这写上啊。余弦 与显示我的 y 等于我 cosine x x 代表的是角度，所以定义域取的是 x 角度， y 取的是值域最大值和最小值，它总 x 可以 取任意数，但是你的 y 是 不是只取一到负一之间的数？同样当取最大值，是不是当你的 x 等于多少？等于零 以及与零的中边相同角吧。 x 取它的时候， y 取最大值，一同样取最小值，是不是等于 pi 以及 pi 的 中边相同角？是取最小值？负一同样周期也是二。 pi 吗？ 起，他先录起，到这又开始录起，一样啊，所以最小周期都为二派。他是什么函数？偶函数？因为他关于我的 y 轴对称了，单调性里面也是一样。他此时还用不用像刚才的余弦， 像刚才的正弦一样往前打？不用。为什么？因为在他整个零到二派之间，是不是一半增一半减，也就是零？ 零到 pi 它是不是减了？那同样这个位置是不是也是减？也就是零加二 k pi 到你 pi 加二 k pi 为减 pi 加二 k pi 到你二 pi 加二 k pi， 它为 增，这个能理解了吧？所以说啊，在它里面两个图像混着记比较好记啊。两个图像一起记，那么接着来看啊，也就是说在里面还会在考试中有可能会遇到的事啊。你的正弦和你的余弦图像 怎么来的？也就是我的 sine alpha， 黑色的是 sine， 蓝色的是 cosine 啊， cosine alpha 怎么得到我的 cosine alpha？ 来？先看 cosine alpha 是 黑色的制高点， cosine alpha 蓝色的制高点。我先向左移移多少？ 从这个制高点？像这个制高点是不是挪的九十度？是不平移，向左移九十度，也就二分九十度，或者是或者是二分之派个单位是不是挪二分之派？同样他向右， 此时是不是向右，这是制高点，向右是不是挪到这里？挪一个九十够不够？不够两个呢？也不够，要挪三个九十，也就是要向右挪二分之三派，或者挪二百 七十度，这是你的三影，得到你的扣三影，同时你的扣三影如果得到你的三影呢？扣三影的制高点是不是在这？向左挪一个九十，两个九十三个，是不是要挪二分之 三派或者是二百七十度？那同样他向右呢？挪九十是不是就够了， 或者二分之派啊？所以说明三影和扣三影两个是相反的，三影要想得到扣三影，向左移 二分之派，向右移二分之三派或者二百七十度，那么扣三影要想得到三影向左移二分之派，二分之三派，向右移二分之派。单位啊，那在整个今天的课程过程中啊，比较难一点的啊，也就是你的诱导公式， 也就是说你的诱导公式如何来运用诱导公式呢？记住这几个什么时候会用到中边相同超过三百六，什么时候会用到 x 轴出现负角的时候，什么时候会用到圆点 大于一百八，小于三百六，什么时候会用到 y 轴大于九十小于一百八，那紧跟着就是函数的周期，周期 t 是指循环，明白吧？最小的也就是你在你的循环里面以谁为最小？一遍一遍的在轮啊，同样就是正弦和余弦，函数的图像，这都是比较重要的考试内容啊。那么今天的课程就到这里了，大家再见。

今天带大家来学习一下中值数学第四章三角函数的基础知识点如何快速学习，那我们本 本次的话一共会从以下几个方面来讲解一下三角函数中有可能会出现的基础知识点。第一个就是角的概念，你所要知道什么是任意角， 界线角以及象限角，还有中边相同角。第二个就是我们所学到的弧度至一弧度的角是什么，以及什么是弧度至，以及角度至和弧度至的转化，还有弧长及扇形的面积公式。然后第三个的话就是任意角的三角函数， 第一个是他的定义以及他的特殊值，第二个就是单位元。第三个第四张我们就学到了同角三角函数的基本关系式，正弦函数、 余弦函数平方的关系，以及正弦余弦正切商的关系。还有四点，还有学到的就是诱导公式，以及正弦和余弦函数的图像及其性质。 那我们接着来往下看啊。第一个学到的是角的概念，什么是角？任意角？什么是任意角？是通过旋转得到的角，通过旋转啊，我们之前有学过零到三百六十度吧， 他是不是在这个区间范围里，但是任意角的话，他就会不是这个区间范围里啊，他可以无限大，也可以无限小，那么相当于我如果把它放当成矢边，这是 a 当成矢边，我的中边 可以落在这里，我的中间也可以落在这里，对吧？也就是通过旋转也通过旋转得来的角。第二个什么是正角？正角就是说把它放在了十字坐标系里面啊，十字坐标系里面 逆时针，十字坐标系里面得到的角，逆时针，也就是我的矢边会放在原点，我的顶点放在原点，矢边放在 x 轴的正半轴，那么中边逆时针 得到的角，比如说得到的这个角吧，他就为正角，那么顺时针旋转得到的角，他就为负角，那你的零角是说明他没有旋转，也就给你一条是零 o a 为菱角，能明白吧？一条直线它就为菱角啊，因为它没有经过旋转，叫菱角。第二，然后就学到了什么是象限角。象限角，也就是刚才学的矢边放在了 x 轴的正半轴，顶点放在圆点，那么中边落在几就是第几象限。那同样 中边如果落在一，就是第二象限，中边如果落在三， 就是第三象限。同样中边如果落在四，就是第四象限啊，也就是说他的顶点和他的始边不动，中边落在几就是第几象限。什么是界线角呢？也就是说我的中边落在了哪里？ 界线角啊，也就说明我的中边此时落在始边不动，看见没有，顶点还是在原点， 矢边还是在 x 轴的非负半轴，也就是正半轴，顶点和矢边不变，中边变了，中边落在坐标轴上，你可以落在 y 轴的正半轴， x 轴的负半轴，甚至于说你可以落在 y 轴的负半轴以及 x 轴的正半轴，都可以啊，它叫界限角，然后第四，然后还会学到的是中边相同角。 也就是说，如果说我们按顺逆时针旋转得到的角度为三十度的角，那与他中间相同的角，他是不是转一圈可以得到？这里转一圈是不是在三十度的基础上加了三百六，这是不是转在第一圈？那么你转两圈是不是也可以？是不是加上三百六，还得再加 三百六？也就是说中边相同角是你三百六的整数倍，也就是你 k 是 一圈两圈，三圈四圈就是你 k 的 整数倍啊，也就这叫中边相同角。那么遇到了，如果问你三十度的中边相同角 是多少？如果问你三十度的中边相同角是多少？别的不用动，动谁贝纳不用动，动谁，把你的阿尔法换成三十度，就可以加上你的 k 乘三百六十度，并且 k 幺 属于最，这个能理解吧？这就是角的概念。第一个，正角、负角、负角、菱角、象限角、界限角以及中边相同角比较常考到答案，中边相同角，象限角，正角、负角， 然后接着往下看啊，接着往下看就会学到的是弧度至。什么是弧度至啊？然后这句话第一句话是要记清楚的，我圆心角所对的弧长与半径之比 只和圆心角，只和角的大小有关系。假如说，我给你的这个角 擦一下，给你的这个角 画一个圆，这是圆心角，弧长此时半径为一，弧长也为一，那我再画一个， 半径为二，弧长也为二，那再画一个 半径为五，弧长也为五。也就说明都问你这个圆心角 这个位置啊，角一角一的位置啊，是多少？那么圆心角怎么求？弧长比上半径，那么此时弧长为多少？弧长比上半径，弧长为一，一比一是不还是一弧度？二比二还是一弧度？ 五比五还是一弧度。也就说明我圆心角所对的弧长与半径之比无关，只和谁有关系。 之笔无关，只和我圆心角的大小有关系。第二个要记清楚什么是一弧度的角，一弧度的角就说明了弧长等于半径，看见没有，弧长等于半径，也就是 l 比上 r 等于一所对的圆弧所对的圆心角记作 e r a、 d， 这叫单位 读作一弧度。然后也就是说，什么是弧度制，以弧度为单位来度量角的制度，称为弧度制。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为弧负数，菱角的弧度数为。 那么在底下啊，会用到的阿尔法的绝对值，也就是你圆心角的弧度值，也就是你半径。告诉你半径，告诉你弧长长度，半径啊，也就这个图应该是这么画， 这是 l， 这是 r。 然后问你角 r 法的弧度值，也就角 r 法的弧度值等于你弧长，这是弧长。弧长。圆弧所对的圆心角的大小， r 法 r 法就等于你弧长比上你半径，那么你的 l 是 指 弧长，弧长就等于你阿尔法的绝对值乘以你的半径阿尔法要记住啊，它是角度的，角的弧度值必须要是弧度值才能求弧长啊。 同样，你的半径等于的是你 l 比上你阿尔法的绝对值。为什么要带绝对值？因为弧长比半径， 因为弧长比半径得到的均为正的啊，所以说他戴上了绝对值，那么在他里面，这是比较重要的一个公式啊，这个公式是 比较重要的啊，由他得到的一举一反三提，那么在他里面，你还要记住一弧度的角，也就弧长等于半径为一弧度至以弧度为度量啊。 那我们接着来看啊，往下弧度值，弧度换角度，这是一个比较简单的公式，弧度换角度，如果优先出来的派， 弧度值是优先出派啊，比如说二分之派，三分之派优先出来派，那么让你的派做分母， 乘以你的一百八派分之一百八十度，那如果给你的角度是三十度，让你转化为弧度值，就是一百八作分母派作分子，乘以一百八十分之派。在这里要记清楚的啊，弧度值也就是一二 a d r a d 可以 省略，可以写成一，但是角度值一度不能等于一，比如说给你角 r 法等于一，你要知道后面默认省略了 r a d 能明白吧。 相应在它里面，你也要记清楚的是，一百八十度等于 pi， 三百六十度等于二 pi， 那 么一度等于一百八十分之 pi r i d 约等于零点度，那么一弧度就等于 pi 分 之一百八十度，约等于五十七点三，那么相应的，它考的会比较多一点。 它会用的啊，它会用的，同样你弧度换角度也会用的。紧跟着你的扇形面积公式也会用的，比如说问你扇形 面积公式，这是弧长，它为半径，那么相应它的面积就等于二分之一。被 l 比上 r， l 是 弧度，弧长， r 是 半径，这个能明白啊，那我们来接着往下看啊，到这里就学到了，任意角的三角函数，正弦 三样等于谁？等于我的对边比上斜边那么三样而法，这是而法没写啊，写上这是三样而法，那么也就这个图上的而法等于你的对边 比上斜边，此时对边为 y， 斜边为 r， 也就 y 比上 r， 第二个 cosine 就 等于我的邻边， 这是邻边比上我的斜边，也就是 x 比上 r， 相应的 tan， 就 等于你的对边。比上你的邻边 y 比 x， 同样 x 在 分母上，分母要不等于， 那么在这里啊，比如说告诉你一个 p 点， p 点为 三等号四，也就是说角这道题啊，角 r 法的中边经过三等号四，问你 sin 二法 等于多少， cosine 二法等于多少，以及我的 tan 二法等于多少。这时候就会说了啊， p 点是不是有 x？ 都号 y 得来的，那么 x 有 了， y 有 了，那么 r 怎么来？这是不是一个直角三角形？斜边等于我两条直角边的平方相加，也就开出来为三四， b 为五，也就三的平方加上四的平方 等于五的平方，开出来也就是五，也就三样等于我的对边 x， r 等于五， y 是四，五分之四， x 是 三，五分之三，太阳是四，三分之四，这应该能理解了吧，它比较简单一点啊，在任意角的三角函数里面，它比较简单啊，那我们来接着往下看啊， 接着往下看就会学到的是单位圆，你要明白什么是单位圆，单位圆是半径为一，圆点为圆心，也就是这个圆，谁为圆点？圆点 o 为圆心，也就是说圆点 o 到圆上的任意一 点均为半径，这个位置圆， x 轴的焦点， y 轴的焦点均为一。那同样中边角 r 法的中边与我单位圆的焦点 p 是不是可以写成 x？ 逗号 y 同样三引 x 怎么来？上章里面三引 x 是 不是等于我的 y 比上 r 求来的？此时 r 是 不是等于一，也就是一分 之 y， 也就是三引 r 法就等于我的 y， 同样扣三引，也就 r， x 比上 r， r 此时等于一，为什么等于？ 因为这是圆心到圆上的任意一点均为半径，半径为一，称为单位圆。也就等于 x 太硬，就等于 y。 比上 x， x 又不等于零，相应的 y 换成了三 x 三样 r 法， x 换成了 cosine r 法，他能明白吧？同样再来往下看啊，往下看就会学到的是三影。 cosine 和 tan 在 第几项线为正，也就是说在第一项线，三影为正。三影怎么来 看 y 吧？三影是不是看 y， 因为 r b 为大，因为 r 肯定是要换个颜色， r 肯定是要 大于零的吧。那么三影又等于什么？等于我二分之 y， 所以 此时如果我的 y 大 于零，说明我整个三影大于零， y 小 于零，说明我三影小于零，也就是在第一项线， y 取的是正的，所以说三影在第一项线为正。 q 三影不一样的是，我的 x 比上 r， x 如果小于零，我整个 q 三影就要小于零。在第一四项线， x 大 于零，所以 cos 在 一四为正，二三为负。 tan 就 不一样了， tan 看谁？我的 y 比上 x 同号吧， x 大 于零， y 大 于零，整个式子大于零。如果小于零，整个式子小于零。一大一小 小于零啊。也就是说在第一和第三项前，他们同号，二四，他们不同号，也就一二一三大于零，二四小于零。也就是说，可以有一个比较简单的公式是，一全正， 二 正弦，知道是谁吧？三样二法为正，然后三 正切正切是谁？胎影四鱼弦，鱼弦为正，只有第四项线，只有鱼弦是正的，明白吧？一权正，也就在第一项线，三影空，三影胎影均为正，二正弦 二正弦，也就是说 三影为正，三正切胎影为正，四鱼弦扣，三影为正。这也就是说你单位元与你的三角函数，这个能理解吧？那么同样啊， 会学到的是同角三角函数的基本关系，它就来说相对简单一点了啊。第一个就是你平方相加可得一。为什么平方相加可得一？ 如果我把它放在单位圆里面，这是 p 点 x， 逗号 y， 同样它有另一个名字，是我的什么呀？ cosine， 阿尔法以及我的 三样 r 法吧。同样这个位置等于谁？这个位置为 x， 这个为 y， 那 么 r 等于谁？ r 是 不是就等于根号底下 x 的 平方加上 y 方，又因为 x 是 不是等于 q 三样？ x 也就等于 q 三样方法，那么这是 r 是 几吧？ r 次值等于几？ 一，一的平方平方一的平方还是一，也就等于了是 sine 加上 cosine 得一，那么在这里 tan 等于我的 y 比上 x， 是 不是 sine 比上 cosine？ 同样二分之派 加上 k 派，也就是九十度以及二百七十度的中边相同角没有意义，明白吧？以九十度以及二百七十度的中边相同角没有意义，刨开它以后， 整个式子才可以有意义，能理解啊。所以说，只有说你的阿尔法不能等于九十度和二百七十度的中边相同角时，你整个胎影阿尔法才可以等于的是三影比上扣三影，这个能理解吧。那么相应的啊，在它里面会有几个比较常用到的 三角函数值，比较特殊的几个三角函数值啊，那我们一起来看一看啊，也就是零度 弧度为，这是角度啊，我就写在这，这是角度，它为弧度，这是三影。 cosine 太影零度，弧度为零，三影零 度等于零， cosine 零度等于一， tan 零度等于零。第二个就会用到的是三十度， 弧度值为六分之派， sine 为二分之一， cosine 为二分之根号三， tan 为 三分之根号三，然后也就是四十五度，四十五度，四分之二， 四分之二，然后就是二分之二，根号二，口才也是二分之根号二，相应的就是一，那么相应六十度， 六十度等于多少啊？六十度是三分之配，然后紧跟着是二分之根号三，二分之一根号三，然后就是九十度。 九十度是二分之派，零等于一，三样零三样九十度等于一，扣三样九十度等于零，太阳九十度，不存在。我把这边擦一擦啊，写到这边， 那么还会用到的是谁啊？一百八十度，一百八十度， pi 负一 pi 三幺零三幺一百八等于零，勾三幺一百八等于负一，太阳一百八等于零。二百七 二百七十度为二分之 三拍三影为负，一扣三影为零，胎影为不存在。 三百六十度，二拍三影，零扣三影，以胎影为零。那么在它之中还有哪几个会用到啊？还会有一百二十度，一百五十度，还有一百三十五度， 它和三十四十五，六十都会一块用啊，那么下一节我们就会讲到的是诱导公式，所以说这几个是你比较常要记住的啊，因为底下的可以通过诱导公式来推断出来啊，这就是我们本次的课程，大家再见。

大家好，今天咱们来讲一讲高中数学高频考点正弦型函数。那么关于这个正弦型函数的话，咱们先讲讲正弦函数。 正弦函数之前已经讲过了，咱们复习一下图象，看到了吧，它的周期可以看出来最小正周期是多少啊？每一个波谷，或者说每相邻的两个波峰之间，它都是完整的一个最小正周期。二派 或者每相邻的两个零点之间，它距离是多少？都是呃，周最小正周期的一半吧，都是派，这个都能跟上啊。那么看了，那么现在它的值域呢？值域当然是负一到正一之间了，根据正弦函数它的定义就可以得出来。 那对称轴怎么找？其实很简单，你只需要考虑此时比如说 x 零所对应的，它就是对称轴啊， 它等于正一还是负一，那此时 x 零不就它的中边是在外轴上吗？那就写多少，那就写二分之派，再加上整数倍的派就行了。 k 是 整数，任意的整数， 那么对称中心的话，肯定每一个零点跟 x 轴的交点啊，它都是对称中心， 那么此时我们只需要让三 x 等于零，得这个 x 的 值就行，此时 x 在 哪？它当然是在 x 轴上了，这个中边，所以就是 k 倍的派，这个都好说。 函数当然是奇函数了，因为根据诱导公式，咱们也可以得出来，这个负号是可以提出来的呀，那就变成了负的三 x 自变量相反，函数值也相反，那当然就是奇函数了。 那至于这个单调增区间，单调减区间的话，咱们其实可以结合什么？可以结合三角函数的定义这样一个单位圆来做 看，从外周负半轴到外周正半轴，此时你看点 p 的 什么？ d m p 的 纵坐标变大，那不就是 sin 变大吗？所以你看二 k pi 减二分之 pi， 这是外周负半轴吧，后边是外周正半轴吧，这就是正区间，那减区间的话，当然就是外轴正半轴，再转到外轴负半轴了，这样一个逆时针方向为正啊，这个都是好得的。 那么现在我们来看看什么正弦型函数，这个正弦型函数的话，主要是有三个，三个量啊，你看 a 一个， omega 一个，然后 f 一个， 这个 a 的 话主要是影响什么？影响值域的，比如说咱们在图中画一个一开始的图像，是谁啊？一开始的图像，咱们看一下这个黑色的图像呢，那就是 y 等于三 x， 我 们可以发现它的值域是在负一到正一之间的， 那如果在原来基础上，咱们乘了一个 a， a 变成二呢？乘了一个二倍呢？那此时值域就所有横坐标其实都没有改变，但是对应的纵坐标都变成了原来的二倍，乘了一个系数二，对不对？所以它的值域就变成了 正二，就是负二到正二之间了。原来是这么回事，那么如果是乘一个二分之一呢？看图中虚线，看这个蓝笔部分啊， 蓝笔部分是谁？ y 等于二分之一，三 x 横坐标不变，然后呢， 跟 y 等于三 x 相比，纵坐标变成原来的二分之一。就这条图像看到了吧，它的值域就是负二分之一到哪到正二分之一之间。所以这个 a 主要是影响了什么？影响了函数的值域。 那所以啊，如果他这个 a 怎么样？如果这个 a 是 大于一的话，那这种情况下咱们就是乘原来的 a 倍，那如果小于一呢？啊，那就是压缩呗，压缩就可以了啊， 那么继续来看斐斐的话，主要是左右影响啊，比如还是一开始呢，咱们这个函数，我画了一个完整周期内的这样一个正弦函数，那现在先看红色部分的图像吧，红色部分的话，咱们是谁能看出来吧，减去二分之派，为什么左加右减 吗？哎，我们只需要把原来黑色的图像向右平移二分之派了， 那么另外看虚线，看蓝笔，蓝色部分的话，那肯定向左左加嘛，向左平几个单位，向左平一 pad 单位。所以总结的话就是，如果 five 大 于零， 那当然了，加嘛，左加向左平移，如果 far 小 于零，这不就是 far 等于负二分之派吗？那就是向右平移。原来 far 影响的是什么？影响的是左右平移。那么另外这个 omega 影响什么呢？这个 omega 的 话，咱们还是画一个图看好了啊， 它影响的是横向伸缩变化，那最初时的图像，咱们还是画一个完整的零到二派之间的 y 等于三 x 正弦函数的完整图像给画出来。这个呢，之前呢，可能讲过，都很熟悉了， 现在请大家告诉我一个点，那很多同学就说了，老师，红色的图像你不用说了，我们横坐标压缩为原来的啊，一半啊，那我们只需要怎么样？ 只需要把所有的 x 写成二分之一 x 好， 错了，大错特错了，我告诉你啊，应该是乘个二的正好，逻辑上是反过来的。左加右减是不是逻辑上反过来的？跟 x 有 关的都得反过来。 那为什么是这样呢？并不是说让你硬背的啊。咱们仔细来观察一下图中的黑色图像的 x 和红色图像的它这个 x， 红色的 x 和黑色的 x 肯定不是一回事啊，怎么回事呢？这两个画圈部分是一回事 因因为你红色 x 前头乘了一个是多少？不是二分之一，咱们是乘了一个二吧。所以说，这两个圈既然是一回事的话，红色的 x 只需要通过付出黑色 x 一 半的努力， 对吧？一半的努力就可以了啊，就可以达到原来相同的跟黑色 x 达到相同的效果了，能懂我的意思吗？乘个二，那反而这个红色的 x 只需要一半的努力，那如果乘的是个二分之一呢？ 哎，那此时红色的 x 就 需要付出原来二倍的努力了。所以，接下来如果让你看，现在 请你告诉我图中的红色的第二个图啊，他的图像应该是什么？他的图像，你看，应该就是你刚刚写的三二分之一 x， 懂了吧？因为这两个圈是一回事，是一个整体。 我这个红色的 x 因为前头负了一个系数二分之一，我需要付出二倍的努力，所以是横向拉伸为原来的二倍，逻辑上是反过来的， 你说对不对啊？ omega 大 于一的时候反而是压缩到原来的 omega 分 之一， omega 小 于一的时候反而是多少拉长，伸长，横向伸缩变化。原来是这么回事，逻辑上正好反过来，千万不要记错了。 那么学完了这些之后的话，接下来大家自己都可以总结出来吗？周期，周期正好是反过来的吧，原来的最小正周期乘 omega 分 之一，横向伸缩变化是 omega 的 倒数，正好反过来的 omega 是 二，反而是二分之一， omega 是 二分之一，反而是乘二，所以周期就是横向伸缩变换。理解 omega 的 影响 值域不用多说了吧？ a 影响的就是值域，原来的负一正一，这样一个值域相当成了一个 a 的 系数，那当然就变成了负 a 到正 a 之间了。那单调性的话，我们只需要结合复合函数同增异减。后边会有这样的题目，这个呢，咱一会遇到题目再说。 其实我也可以现在说一说，什么意思啊？你比如说举一个非常简单的例子啊，外头的话，比如说来一个三倍的 三多少三，二分之一 x 减去三分之 pi， 就 觉得还是挺复杂的，是吧？对于这样一个正弦函数，比如说我们求它的增区间， 嗯，那么如何求它的所有的增区间呢？其实很好说，我们只需要把这个函数分成内层函数和外层函数， 这个外层函数 y 等于三倍的三 t， 大家都知道没什么问题，它有的时候是单项递增，有的时候单项递减，跟 t 的 取值范围有关，这个很容易判断，对吧？那内层函数就是 t 等于二分之一 x 减三分之 pi， t 关于 x 是 一个单调递增的函数，因为二分之一斜率是个正数，所以我们只需要让外层单调递增就可以了吧？外层是个增，内层也是个，那外层什么时候增呢？那肯定是从负半轴，从这样一个外轴的负半轴 转到了多少？转到了 y 轴的正半轴位置啊。但是毕竟我们求的不是 t， 求的是什么？求的是 x， 所以 你写成二分之一 x 减三分之 pi 就 行了。所以其实单调性并不难的，你就只要知道负函数怎么判断。呃，这个单调性你就知道怎么来解决这种问题。 对称轴不用多说了吧？对称轴我们只需要，比如说 x 零，我们只需要让 omega x 零加 five， 这个整体落在哪？落在 y 轴上，那不就是 kpi 加上二分之 pi 吗？是不是？对啊，你把它理解成 t 嘛，当这个 t 在 哪的时候， t 在 外轴上的时候，此时三点 t 才等于正一或者等于负一啊，没问题，对称中心也不用多说了吧，只需要让画圈部分等于零就可以了。对称中心写成坐标点的形式。那么了解了这些之后，接下来咱们就先来做这个例一吧， 都非常简单啊。呃，来吧，请告诉最小正序多少 t 等于二派？除 omega omega 等于二，二派除二 多少派？最小正周期是派。看对称轴对称轴的话，我们让二 x 减去四分之派，等于在外周正半轴上吧。那 k 派 k 属于 z 啊，可以任意的整数。 k 派加上二分之派，那咱们算一下不就可以了吗？ 那此时 x 算出来是多少啊？那就是二分之 k 派对 k 是 任意的整数，再加上多少八分之三派。好，后边别忘了标 k 是 任意的整数哈，这个就是它的什么？它的对称轴 x 等于它是一条直线吗？ 那么对称中心的话，我们只需要让二 x 减四分之派等于多少等于 k 派就行了吧，没问题吧？那最后求出来这个 x 是 多少呢？是二分之 k 派再加上八分之派，这个很简单，但是对称中心的话，毕竟是坐标点，咱们写成坐标点的形式啊。 那单调区间，单调区间的话，我求一个增区间，然后减区间我就直接写了啊。增区间很好说呀，我们只需要让二 x 减四分之派，其实也就是那个 t 在 什么范围内？在二 k 派就外周负半周， 一直转到了二 k 派加二分之派。对啊，然后你顺便把 x 的 范围写出来不就行了吗？那 x 的 范围求出来的话，应该是一个。呃，一个是 k 派减八分之派，另外一个是 k 派加上八分之三派。但是毕竟我们要写成区间的形式嘛，那就写成 k 派减八分之派到 k 派加八分之三派，这样一个 b 区间就可以了。后面标上 k 属于 z， 行了吧。 那单调减区间我就不写过程了，我直接说。那减区间呢？单调减区间的话，那就是在 k 派加八分之三派，然后一直到 k 派加八分之七派之间， k 属于 z， 行了吧。这个是例一，很简单。 那么接下来还有这个五点作图法。怎么来作图呢？这样的啊，列表秒点连线，咱一步都不要少。 首先干嘛？你先把这个表格你得填出来吧。那具体这个表格怎么填，其实还是跟这个内层函数外层函数有关的，咱们分成两层， 内层函数，外层函数的话就是 y 等于三倍的三 t， 内层函数就是 t 等于二分之一， x 减去六分之派，那 t 怎么取？ t 的 话，我的建议就是，这就是 t 啊。那取什么？取零二分之派派二分之三派，二派正好转了完整的一圈不就可以了吗？完整的一周， 那 t 的 范围有了呢？对应的求出，当它等于零的时候， a x 等于它，当这个整体 t 等于二分之派时候， x 等于它。然后把这五个点求出来， 那对称的好说吧，三倍的三零，那不就是零吗？三倍的三二分之派，哎，那不就是三乘一对。那么接下来就是第一个点，注意啊，横坐标是它，纵坐标是它，三分之派都好，零。第二个点，三分之七派， 逗号零啊，三分之四派啊，那接下来这个呢？然后三分之七派逗号零，还有什么？那还有三分之十派逗号负三，行了吧，你都写上 这个是三分之十派，最后一个是三分之十三派逗号零。然后呢，你把这些一 二三四五，你把完整的一个周期内的图像用平滑的曲线连接起来，这不就结束了吗？因为他让你画的是一个周期内 b 曲线上的完整的图像，行了吧。 那么接下来他要说的是，请你复述一下，请你说一说，如何能从 y 等于三 x 经过怎样的图像变换，能变成 y 等于三倍的三二分之 x 减去六分之派，就是如何从最简单的正弦函数变成这样一个复杂的正弦型函数。 两种方法吧，你用哪种都行，看你先想怎么办嘛。那首先，我可以先平移，我先变出这个负的六分之派，可以吧？对啊，减六分之派。那你看左加右减向右平移六分之派的单位。 其次呢？其次，他接下来 x， 你 得变成二分之 x 吧。反过来的啊，横向拉伸为原来的二倍，就什么纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍。 那再接下来，前头还有个三吧。哎，对，前头乘个三，那就很简单了嘛，前头乘个三的话，这个三什么影响？直域，也就是横坐标无边，纵坐标伸长为原来的三倍，这是一种。那另外一种的话，咱们也可以先伸缩 x 变成二分之一哦，纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍吧。其次呢，其次的话，你一定要注意啊，咱这个东西其实是这样看出来的，你把二分之一先提出来，括号里头会变成 x 减去三分之派，懂了吗？ 也就是说原来 x 变成 x 减三派，是向右平移了负的三分之派的单位，这个地方是容易出错的， 就出血的。同学，懂了啊，这个地方一定要搞清楚，是吧？ x 这个逻辑位置变成了 x 减三分之派，是平移了三分之派个单位，后边就好说了啊，还是横坐标不变，纵坐标乘个三嘛。 那接下来看 b 三，它只给了一部分的图像。首先这个图像呢，比较核心的点就是，其实你九求出解数来，其他都有了，有个十二分之五派都号零吧。 对，还有个三分之二派逗号，负二吧，也没问题。所以你在做这个题的时候，咱们看哎，他的什么，他值域是负二，那这个地方肯定是负二到正二之间，我们首先可以得出来， a 就是 等于二的。对啊，横向 没有变，那纵向拉升原来的二百万 a 肯定是二，影响的是值域。那么继续吧，我问你一个问题啊，请你告诉我。 呃，就这两个点，十二分之五派和三分之二派之间，他的距离是几个周期？ 是四分之一个周期对不对？这个才是完整的一个周期吗？所以你画圈这一部分横向距离他是四分之一个周期， 那所以根据周期可以求什么？四分之一个周期，那不就是三分之二 pi 减去十二分之五 pi 吗？所以咱们求出来， t 等于 pi， t 等于 pi 相当于原来的最小正序二 pi 比乘 omega， 所以 咱们 omega 是 等于二的，你看 a 等于二， omega 等于二， 咱一下就把谁求出来了，一下就把解析式里头两个参数求出来了，对不对？二倍的 x 再加上 f， 那 最后就只剩下这个 f 了， 注意啊，怎么求派啊？求派的话肯定是要带这样的，多少？肯定是要带这样的特殊值的。我的建议什么呢？你带哪个都行，你带十二分之五派都好，零也行，带他也行。我的建议是带最小的那个值吗？那行， y 等于二倍的三二 x 加上 f， 那 三分之二的话，那，那带入哪个点？带入三分之二 pi， 然后逗号负二，对吧？那我们就得出来了，三二乘三，那就是三分之四派，再加派，他算出来是等于负一的。那你要这么写的话，那不就是三分之四派再加上派 等于多少？负半轴吧，外周负半轴上三才能等于一吧。他这个整体是这样，一个中边是在外周负半轴上。二 k 派 减去二分之派。注意， k 是 任意的整数啊。那好了，嗯，写到这儿以后的话，咱们还需要整理整理，那就是 five 等于二 k 派 减去二分之派，那就是六分之三派，再减去六分之八派，六分之十一派啊，所以它是二 k 派减去六分之十一派，你 k 的 话是取任意的整数， k 取哪个整数可以让斐的绝对值在？ 嗯，也就是说在 f 在 什么范围内？在负派到正派之间吗？那只能是当 k 等于一的时候，咱们算出来 f 正好是等于六分之派，符合要求吧？对，所以到现在为止，咱们算出来了什么？根据 值域算出来 a 等于二，根据周期算出来 omega 等于二，根据特殊的点，也就是三分之二 pi， 逗号负二算出来，咱们的 pi 是 等于六分之 pi， 所以 它的解析式应该是什么？所以它的解析式应该是 多少呢？呃，应该是二倍的三啊 x， 三二倍的 x 不是 减啊，是加上六分之 pi， 懂了吧？所以 a 就是 错了， b 呢？ b 也错了呀，最小正周期是 pi 吗？ c 呢？ c 是 对的，为什么？哎呀，你对称中心的话，你只需要带入里头，你试试带入啊， 代入负的十二分之派 x 啊。 x 等于负的十二分之派，那就变成了二乘负的十二分之派，咱们看一下啊，再加上六分之派等于零吧。零啊，此时零，你说三个零是不是等于零？对，所以它是对称中心啊。对，跟 x 的 交点就是对称中心， c 是 对的。 那么再来看另外求 omega 的 范围，或者说求 omega 最值，这个是比较难的。嗯，怎么办呢？将函数图像向左平移三分之派单位，得到了曲线 c， 那 行吧， 向左平移的话，咱们看曲线 c， 咱们就写成 g， x 啊，它是三 omega， 这个 x 的 话左加，那就加上三分之派，对吧。 把所有的把这个 x 变成 x 加三分之派，这就是向左平的三分之派的单位。那么经过处理之后呢，就是 omega， x 加上三分之， omega 再加上三分之派，目前就是这样。 他说 g x 这个函数呢，它是关于外轴对称的，如果说关于外轴对称，那么我们这样一个整体 对不对？这样一个整体，它呢？当 x 等于零的时候，对不对？当 x 等于零的时候，此时 它要么等于正一，要么等于负一，那这样的话， sine 这个值， 你把 x 等于零带入吗？要么等于正一，要么等于负一，那你要这样来的话，它等于正一或者负一。那此时的三分之 omega pi 再加上三分之 pi， 它这个中边位于哪个啊？位于 y 轴上吧。那此时不就把最后结果求出来了吗？经过运算，它等于 k 乘三三， k 再加上二分之一啊， 对了吧，那 k 的 范围是什么？ k 的 范围，注意啊，你要注意的是，虽然 k 是 任意的整数，但是 omega 人家是正数的啊， k 去零吧， k 去负一肯定不行。 k 去零的时候，此时 omega 最小的整数，它是等于二分之一的，所以 omega 的 最小的值就是二分之一。对啊， 没问题了吧。那好啊，那么来看力五，力五的话，他说零到一之间至少出现了五十次最大值， 那你要注意它这个 omega 是 干嘛的？横向压缩变化或者横向拉伸变化，是吧？那纵坐标是不变的，它这个直域的话，那，那，那不用多说什么，肯定都是正一啊，负一到正一之间，我们主要是看横坐标。 我画了不到五十个啊，不到五十个你就假装有五十个吗？中间是有省略号就行了对不对？来，注意，每一个相邻的波峰之间是不是都是完整的一个周期啊？一个周期，一个周期。那既然如此的话，咱假装你看到了五十个波峰，那么就是看了啊。 首先零到四分之派之间，这是从零点到了离他最近的波峰吧。五十次最大值吗？五十最大值，哎，这是第一次， 第二次，第三次，第四次，他巴拉巴拉巴拉，一直到第五十次，那中间出现了多少次周期啊？一个周期，两个周期， 三个周期，四个周期，吧啦吧啦，一直到多少？一直到四十九个周期。所以人家是完整的四十九个周期啊。四十九个周期，再加上最左边这一段，你别忘了人家还有四分之一个周期呢。四十九又四分之一个周期， 懂了吧？比如说最极端的情况，这就是一啊，这就是原点啊。零到一中间正好包含了五十次最大值，这是最简单的情况，所以此时四十九又四分之一个周期， 他必须是小于等于一的吧？对啊，你至少包含五十次吗？那咱们就写吧， 那不就是四十九又四分之一，那就是四分之一百九十七，这是括号里头算出来的啊。周期的话，你还记得用原来的二 pi 比上 omega 这个正数吧， 然后小于等于一，于是我们就算出来了， omega 大 于等于二分之一九七派，所以横线上的值最小值不就是二分之一百九十七派了吗？那么这节课大家应该学会了正弦型函数了吧？分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

单数函数定律，不会的，赶紧收藏起来看。第一个，咱们知道分式的分母呢，也就是说这个框分之一，这个框它是不能为零的，也就是说这个 x 减一，它是不能等于零的， x 是 不能等于一的。第二题， 根式下这个都这个方块，这个方块天生下来必须要大于等于零，也就是说这个二 x 加一要大于等于零，二 x 要大于等于负，一 x 要大于等于负的二分之一。 第三题，咱们知道根式下这个东西要大于等于零。做分母呢，它不能等于零，所以说这个 x 减一呢，它只能是大于零了，所以说 x 就是 大于一的。 看第四个，咱们知道零的零次方，它是没有意义的，所以说这个 x 减一，下边这个数它是不能等于零的， x 是 不能等于一的。第五个， 对数的真数部位 log 以 a 为底，我不管他后边这个真数部位是谁来了，他都得大于零，也就是说这个七 x 减五大于零，七 x 大 于五， x 大 于七分之五。第六个，对数的这个底数呢？ 这个底数，这个 a 它必须要大于零，且不等于一，也就是说这个二 x 减一，它要大于零。二 x 减一，还要怎么样？不能等于一。所以说解出来， 二 x 大 于一， x 就 大于二分之一，这个呢？二 x 不 能等于二， x 就 不能等于一。所以说 x 必须大于二分之一，不能等于一。看第七题， 他的定域，根式下这个东西 log 以六为底， x 减五的对数，他必须得是大于等于零。咱们知道 log 以 a 为底，一的对数是等于零的，不管他这个底数是几，只要这是一，他都等于零。所以说我把现在把这个零替换了，给他替，替换成 log， 以六为底，一的对数，反而他等于零嘛？ 这一划一划， x 减五就大于等于一， x 就 大于等于六，完了吗？没有，一定要注意，因为它的真数部位要大于零，所以说 x 减五要大于零， x 要大于五， 两大取最大。所以说它的结果就是 x 大 于等于六。分母呢？它是不能等于零的，也就是说一减三 x 它不能等于零，那这个三 x 它就不能等于一了。三 x 什么时候等于一呢？ 看他的图像啊，拿图像给大家讲一下，因为他是一个无限的这样的一个波浪形。举个例子，你找一个点就行了，二分之派，他二分之派的时候是不是等于一？所以说 这这个点，这这个点，这这所以说有很多个，所以说他就是 x， x 不 能等于二分之派，加上二 k 派，其中 k 取整数 z， 这就是最后的答案。学会了吗？宝贝。

高数学来了，我们看这一题，函数 f x 等于三倍的 tangent 六分之 pi 减四分之 x 的 单调递减区间是什么？那我们看， 那我们看的话，这里说这个函数的单调递减区间，但如果是正常的 f x 等于 tangent x 的 话，它应该是整体都是单调递增的， 那为什么会变成单调递减呢？那我们可以在这边提出来个负号，负号之后提到，因为是 tangent 嘛，所以会提出来，那这个符号提到前面之后，这样的话就可以解释单调递增变成单调递减了，那所以呢，我们就必须得提一个负号， 从里面提个放，就那这个 f x 就 等于负三倍的 tangent 四分之 x 减九分之 pi， 那 此时呢，那这边呢，负三就可以从单调递增变成单调减，那这样的话，然后 那这边的话，这里需要满足和正常的本来应该有的 f x 等于 tangent x 的 单调递增区间应该是要相同的，所以呢，它应该是不无自由。 四分之 x 减去六分之 pi， 它应该要大于 k pi 减去二分之 pi， 小 于 k pi 减去 二分之哦，加上二分之 pi， 那 就是这样。当这个式子的时候，那我们看接下来两边同时乘以十二，它就得到了三 x 减去二 pi， 这边是 这样 把这个移过去，这边呢就是加上八 pi， 这边是减去四 pi， 那 所以呢，我们知道 x 它要大于这边是四 x， 四 k pi 再减去三分之四 pi， 这边的话是四 k 帕，然后再加上三分之八帕，那所以呢， k 就是 x 的 区域范围在单调递减的区间，那所以呢，我们换形式写，则我们就有则单调递减区间。单调递减区间 是是什么呢？那就是这里吗？那我们换个形式写，是这样，它就是四 k 派减三分之四派到四 k 派 到四 k 派加上三分之八派的开区间内。那这里讲了在这里呢，首先我们看到这边让我们求单调递减，那正常的 f x 等于 tangent x， 它应该是整个图像单调递增的，那为什么会单调递减呢？那我们在里面提出个负号，因为因为是 tangent 提出来之后就是个负号变成这样， 然后这个负三的解是为什么从单调递增变成单调递减，然后呢？要满足这个式子得到就是这样，则它的单调递减区间就是这个是四 k 派减三分之四派到四 k 派加三分之八派的开除点。那这里就讲了下个视频，再见。

平移变换，举个例子，我们从 sin x 变到二倍的 sin 二 x 加三分之派，后面我们再来一个加二啊， 我们看，首先我们可以先变一下 a 啊，即横坐标不变，纵坐标，我们以 y 来代替了啊，扩大为原来的二倍，那么我们就得到了二倍的三 x， 接下来我们变一下 omega， omega 就是 纵坐标不变，横坐标我们以 x 来代替，缩小为原来的二分之一， 那此时我们就得到了二倍的 sine 二 x， 接下来我们来变 sine， 思考一下啊，那么我们要得到的是加三分之派，也就是说我们一定是左加右减，那这里有个强调啊，我们的加减只在 x 上进行啊，什么意思？也就说我们在平移的时候，需要把 x 前头的这个二啊给提出去。 哎，我们的加减要这么进行啊，我括号里只写加了啊，因为我们要加三分之派是结果， 那么我们来想一想，二乘谁能得到三分之派啊，是不是六分之派？所以说我们需要往左平移六分之派 哎，那么我们就能得到二倍的 sine 二 x 加三分之 pi 啊，把括号打开就能得到了。 那么最后啊，我们发现还有一个加二，所以说相当于是什么 整体又往上平移了两个单位长度啊，虽说我们可以，其实搁这啊，可以再补个加 b 啊，这个加 b 在 考对称中心的时候就是一个 效考点了啊，那么我们看除了这种走法，还有没有其他的走法，我们可以选择在这个位置啊，我们可以选择先变一个反 啊，把二倍的 sine x 要变 f 的 话，是不是就写成二倍的 sine x 加三分之 pi 了， 也就说我只需要向左平移三分之 pi 即可啊。那平移完 f 之后呢？我们干嘛再去平移 omega， 再去变我们一个？那我们一个还是从一变到减一啦，变到二啦。所以说还是纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 二分之一。那我们还是能得到二倍的 sine 二 x 加三分之 pi 啊，然后再往上变。 好两种方法都可以啊，都希望大家熟练掌握。

重点来了，今天我们正式来讲三角函数领域最核心的知识，我们正弦函数的图像的性质，那么大家拿做好笔记，跟着老师一起上课， ok， 同学们，那么我们学正弦函数，顾名思义，正弦，正弦嘛，它是由我们的正弦塞 引导出来的函数 y， y 等于 sin x， 那 么这个 sin 呢？是什么意思呢？老师在刚讲三角函数定义的时候，就给大家强调过，什么叫 sin， 什么叫 cosine， 大家的思维要往哪方面靠呢？要往平面直角坐标系上的横纵上去靠， 准确点说，要往我们单位圆里的坐标的横纵坐标上靠，那么 sin 就 应该是纵向的坐标， cosine 就是 横向的坐标， 那么也就是说，随着角的变化，他的纵坐标在单位圆上有什么样的变化呢？哎，就是这样的一个函数，我们要去学习，所以说大家学习函数一定要明白他怎么来的，以及他的图像的细节。那么老师带大家一起来画三角函数的正弦函数的图像。大家来看， 我们在画图之前，我们必须得有一个单位圆，大家来看，必须得有一个单位圆啊啊，老师随手画一个圆，大家用圆规好好打出一个圆来， ok， 那 么我们可以把这个横给他延长延长一些，然后呢，我们的纵坐标呢，可以在这 y x， 也就是我们的平面直角坐标系圆点在这啊，在这在这，我们的图像往右画，但是呢，我们借助这个圆去画，这个圆是单位圆，边长是一，半径是一。 ok， 那么我们 x 扮演了一个自变量，也就是这里边的角的自变量，那么他的起点应该是零，从零开始，沿着逆时针方向为正去旋转，对不对？那么从零增加到九十，增加到一百八，增加到二百七，增加到三百六，在这旋转。那么图像是什么样呢？我们关注的是什么来的？大家想关注的是 纵坐标，哎，大家注意， side 就是 纵坐标，那么我们以后要学鱼线函数呢，那我们的重点就是横坐标，大家注意一定要明白这个点，那么请问大家起点这个点的纵坐标是多少呢？ ok， 这个点众坐标，谁都知道，他应该等零，所以说零对应的众坐标是零，他过圆点，第一个零是指横坐标的零，也就是这个角就是零，那么零度对应的众坐标是零，也就是他的正弦值的零，大家能明白吧？零度对应的正弦值的零，也就是三点零的零啊。继续我们往上抬， 大家看我抬到某一个点的时候，他的纵坐标是不是在变大呀？对不对？所以这个图像很明显是增函数在上升，那么怎么个上升法呢？大家跟上他在这走，我们学过物理更好了，这个走的什么运动呢？这个叫匀速圆周运动， ok 吧？匀速圆周运动有什么？有角速度？ omega， 它以一个均匀的 omega 在 这，它不快，不，它不，不是嗖，哎，变慢了，嗖，变慢了，不是这样跑的，它是均匀的在这跑。大家想象时钟，时钟给它反过来，时钟再转，均匀的再转， ok 吧？那么大家想均匀的再转，我们把这一套给它平分成三个系列， 哎，相当于一个披萨，我给它切成三等份啊，切成十二等份啊，这个，这四分之一份切成三个等份，那么大家说这一个多少度？ 是不是应该三十度啊？对不对？三十度，三十度，三十度，那么从他转圈的角度来讲，是不是路程是一样的，对不对？这个路程和这个路程和这路程一样，那么速度还一样，路程还一样，说明时间是一样的。大家想横坐标是什么？横坐标我们就可以给他想象成一个时间 不同的时间，他的纵坐标的位置的图，对不对？那么一个时间他来到了这啊，又来一个时间，他来到了 这，又来一个时间，他来到了饼，哎，大家看这个图是不是应该这样式的？有时候老师你这图为啥不是直的呢？为什么是一个这样的弯曲的呢？ 大家看啊，同样的时间，他的嘚了 y 也是 y 值的变化，一样吗？他的 y 值变化了这些， y 值变化了这些， y 值变化了这些。 那么大家都学过三十度的正弦是多少？三十度算正弦，是不是二分之一啊？大家看二分，这是不是一啊？二分之一是不是占一的一半啊？对不对？所以说这个点是二分之一，也就是三分之一的时间走了二分之一的路程， 大家看这就是三角函数正弦函数的特点，一定要学会。再走三分之一的时间，他又走了一个路程，那么这个路程还有那么多吗？注意，没有那么多了， 六十度的正弦是二分之根号三，那大家注意二分之根号三，约等于多少呢？约等于这个是一点七除以二，约到一点七除以二，零点八六左右，零点八五，零点八六点，对吧？零点八六几， 那么零点八六还没到一呢，对不对？也就是说这个从零点五走到零点八六，这个长度他并没有这么长度，那么大，他变小了，所以这个图像是这么走的，大家看能理解吧？那么第三个时间呢？从零点八六变成一就走了，这么不点 走了零点一几，对不对？所以说他是有个大中小的一个变化，同理，那怎么上来的他就得怎么下去， 下来，下来是不是有一百二，一百五、一百八呀，对不对？所以说下来大家看，又来一个时间，走到了二分之二，又来个时间，走到了二分之一，又来个时间走到了零，大家看上上上下下，对不对？ 那么下边也是一样的，我们把这个线都给他延长出去，这个应该是二百一十度，这个应该是二百四十度，这是二百七十度，这个呢？应该是三百三，这个呢？应该是三百二百七，三百三百三，对不对？那么他下来从这往下来负二分之一，对不对？这不正二分之一吗？这不负二分之一吗？都是对称的，大家注意。来，再来一个，再来一个，我们把横轴标伸长， 把横着不要伸长， ok， 两个、三个、四个、五个、六个。第一个来到了负二分之一，负二分之一，大家看啊，负二分之一，老师在这画出来，负二分之根号三。哎，老师搁这画出来 啊，负一啊，老师说这个手画可能是存在的一点小误差，大家去感受，你们可以用格尺去挡啊，自己争取画出一个完整的图像来。负二分之一，负二分之三，负一也就二百七十度，二分之三派对应负二分之三，那么这个呢？应该是三分之四派，这个是六分之七派，派六分之五派， 三分之二派，二分之派，三分之派，六分之派，他们分别对应哪个点？大家都要把它记住来，这个往上来，哎，这个是负二分之二三，这应该是三分之五派， 哎，再往这来应该是这个角，应该是这个角了吧？刚才三分之五派在这，这个应该是这个角了，负二分之一，这个角六分之十。一派最后回上来二派，大家看一个完整的正弦图像出现在你的眼前， 那当然了，他还可以继续转，所以说这边图像还可以继续延伸，他可以往回转，这边图像也可以延伸，所以说这个图像是一个无限的延展的图像。但是老师画出来了一个圆，出现的一个图像，也就是一个周期，一个周期 啊，我们管这个叫最小正周期，最小正周期等于二派，大家看周期函数最小正周期，二派在零到二派上一个完整的周期，我们可以清晰的感受到正弦函数的一个一些特点，比如有最大值一，谁对应的呢？最大值 是二分之派，那如果我们带上周期呢？就是加上二 k 派对应的来看，最小值是不是二分之三派？最小值是二分之三派加二 k 派对应的。那么我们往这边延展的时候，我们会发现它过圆点，所以它是一个奇函数 积函数，那么他在，他在这二分之派就用最大值，那这边的最小值应该负二分之派，对不对？所以说这个上是增的，这上是减的，所以说他是一增一减，一增一减，一共是二派，所以说它的增区间长度是派， 减区间长度也是派，所以说这就是单调性、基调性以及最大值、最小值以及一些零点。那么大家注意，零点老师也写上零点， 得零的点都有哪些呢？零派、二派、三派，所以说我们写成 k 派啊等等。那么所以说我们对于正弦函数，老师觉得这些东西都是附属产品，不是很重要，我们要自己独立的将这些二分之一、二分之二、三一下降上升这些点位把它掌握好。

安徽单招的数学，当你掌握了这些必拿分的这个考点之后，对于有一定基础的同学来说，这些一般难度的考点知识你看一下有没有重点掌握。第一个，指数函数与对数函数的图像与性质。第二个，三角函数的和差公式。二， b 角公式。那第三个，正弦定律和余弦定律。 那第四个，等差竖列等比竖列的通向公式和前 n 向的这个求和公式。那第五个，平面向量的向量及其坐标的表示。 那第六个，平面向量的平行与垂直及其坐标的表示。第七个，判断两直线平行或垂直。第八个，点到直线的距离公式。第九个，圆的方程。第十个，频率分布直方途中平数和频率的计算。那我讲到的这些公式你有没有都在脑海中有记起来呢？ 那大家可以针对于这些知识点重点的来进行复习，你网上也可以搜一搜，有对应的这个视频或者知识点里面都有点个关注，下一期和大家分享拉开差距的这十个考点。

立足学生认知，把握数学规律。本节课呢，我们来讲正选函数的图像和性质，当堂目标有两个，首先要熟练五点做图法，其次会通过图像来研究三角函数的性质。 那么对于传统的这一个五点做图法呢？我们可以看到课本上它是利用列表的方式来让大家掌握这一个画图的方法，但是呢，学生不愿意用 啊，究其原因呢，就是因为它的速度太慢了，那么我们来进行一个优化。首先我们需要知道 y 等于 c， x 的 图像，在一个周期内的图像， 它是一个看上去像一个横着的 s， 这是零，这是二分之派， 这是派，这是二分之三派，这是二派。它最高点呢，因为 c 影的最高大指是一，最小指是负一，所以就最大一，最小负一，这就是 c 的 图像。 那我们来画这一个下面这个正弦型的函数怎么画呢？我们一样的把这个看作一个整体，令二 x 减三分之派等于零，算的 x 是 六分之派，我们来标这个六分之派， 六分之派带进去会让这个括号整体为零， c 零是零，所以第一个点应该就是 在 x 轴上的，它对标的其实就应该是上面的第一个点。然后呢，我们知道 c 的 图像是一个横着的 s， 所以 我们就直接画一个横着的 s 就 行了。然后接下来干嘛呢？我们去求它周期，周期等于二派除二， 但是这个式子不好看，我们把它调整一下，调整成是六派除六， 那这样呢，他们分母相同，六分之派到六分之六派，那进，呃，这一个 他这里就应该是六分之七派，相当于是加了一个周期过来，然后下一个点呢，我们去求中间这一个点，用它加它除二就得到了，那也 就是六分之五派，除二就十二分之五派， 然后再利用他和他相加除二来得到中间这一个点，就是十二分之十一派。哎，我们可以看到像这样去做图呢，我们就 一分钟都不用，就可以把剩余的图像画出来了。我们再来看一下怎么做图的。首先第一步应该是求出第一个点来，然后第二一步呢，把图像大致特征画出来， 第三一步去求周期，然后来确定这一个六分之七派这个点，然后最后呢就利用中点，中点，中点的去叠代，把所有剩余的特殊位置的点的横坐标把它标出来了， 然后我们脑袋要清楚，因为 c 前面的系数是三，所以最高点的纵坐标应该是三，最低点的纵坐标应该是负三，但是我们就不再画出来了。好了，我们来看下一个题，带着大家念一下， 呃， y 等于二倍乘以三 x 加六分之派，那么第一步令三 x 加六分之派等于零，那 x 就 应该是等于负的十八分之派，所以除第一个点的坐标， 负的十八分之派，它是一个横着的 s。 看，然后呢看周期，周期是二派除以欧米伽三，但是这个式子不好看，给它写成十八分之二六一十二派，二六一十二派，十八分之十二派， 那么在这里他到最后一个点加一个周期，那就是十八分之十一派，然后再确定中间这个点， 第一个加第，最后一个是十八分之十派，除二就应该是十八分之五派，然后呢，再来确定这个点，负十八分之派到十八分之四派除二就是十八分之二派。 在这里呢，我们不要记约分，高中数学只要最后答案是最简的就行了。中间过程我觉得这个时候不化简反而方便。我们 十八分之五派加十八分之一派是十八分之十六派，那除个二就是十八分之八派，这样我们就可以看到一个周期内的图像就画出来了 啊。要注意的是，在最后一道题这里，二 x 前面的系数是负数，那画图的时候就要小心了，就不能用刚刚的做法去做了，因为刚刚的做法有个要求，他的那个 x 前面的系数必须为正，就是 x 前 系数，它要为正。那对于这个怎么办呢？我们可以给他调一下，比如说可以写成 y 等于三倍的增减中括号负的二 x 减六分之派。 然后呢，把这个东西看作 r 法，看作 r 法增减，负 r 法，按照诱导公式，它就是负的增减 r， x 减去六分之派。 好了，画图令二 x 减六分之派等于零，得到 x 等于这一个十二分之派。第一个点就是十二分之派在这个位置。然后呢，我们本来应该画的是这样一个图像， 但是前面有个符号，所以我们画图的时候应该把这个图颠倒一下，应该画成这个样子，哎，这才是对的。 同样道理，周期出来二派除二，结果是十二分之十二派，那么十二分之派到他经历过一个周期，他就十二分之十三派，他加他除二，这里十二分之七派，他加他，他加他除二，这里是十二分之四派， 他加他除二，这里是十二分之十派。我们可以看到五点做图法，速度非常快，这就是本节课的内容。