苏教版数学六下基础脸

公式先行做题，你能行！今天我们学习了圆柱的表面积，圆柱的表面就等于侧面，就加上两个底面积的和 看这道实际应用题目，一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长十米，横截面是一个直径为四米的半圆， 覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？来，请看草图， 这就是一个简易的塑料薄膜的草图，这是半圆，这是半圆，这是一个 半圆珠，要求薄膜的表面积就是求这个半圆珠的表面积。好，求表面积，先想公式呀，我们先来求半个侧面积，好想公式， s 测 已知直径和高，求侧面积等于 pi d h 半个快速除以二。 接着代公式，三点一，四乘四乘十除以二。注意，计算的时候我们要用减变算法啊，实心除以二就是五，五乘四就是二，十三点一，四乘二十 直接写六十二点八平方米。看，这就是 半个侧面积，哎！接着看底面积，快看，这是半圆， 这是半圆，两个半圆正好能拼成一个圆来。已知了直径，求一个圆的面积。先想公式， s d 等于 pi 小 括号， d 除以二，小括号的平方 来。直接带在这个公式的下面，就是三点一四乘小括号，四除以二，小括号的平方 等于三点一，四乘四等于十二点五六平方米。 看底面积有了，侧面积有了，我们是不是该求表面积啦？好用，我们算来的侧面积加上底面积就是 薄膜的表面积。六十二点八加十二点五六等于七十五点三六平方米。公式先行做题，你能行！

首先我们刚才看下这个实验，你实验了吗？实验平不平衡？平衡也是平衡的，对吧？这边放两个，这边放四个，这边放八个，中间放一个，到一距离是一放八个也可以平衡。那我们看一下刚才的这个实验呢， 左边在第四个孔画了三个勾码，那我要在右边刻图一的时候画几个勾码，十二刻图二的时候放六个，三个刻图四是放三个，刻图四是放三个，刻图六是放二个。那我们观察一下 左边是什么呀？你弄得飞的是发现一条规律吗？ 能不能发现这规律？能不能。那左边是在第四个孔放三个钩嘛？看看你能不能发现什么规律啊？写这边 有没有什么规律啊？思考一下小组的语言，你可以考虑一下小组的语言非常有什么规律 好。发现规律了吗？有人发现了啊，流畅。左侧勾码数乘到中心点的距离，等于右侧勾码数乘到中心点的距离。哎呀，说的太好了，他直接把这规律给大家总结出来了，其实我让你发现他一个数字间的规律，他直接把我们的规律总结出来，太棒了。 那我们来看一下规律，我们来看这边三乘四等于什么？ 十二，这边等于十二，那我们看这边也都等于什么？十二乘积都是十二，这边也是十二，两边乘积是一样。那我们刚才啊，有场给我们总结一个规律，是勾码数作测的 乘到中间点的距离就等于右侧的中码数乘到中间的距离。 看看我们刚才根据第二个总结，我们看第一个是不是这样的规律，二乘四是不是等于四乘二？是，是，对吧？这规律说明可能是真的。那我们先把这个规律给读一遍， 左侧通拿处横到中心点的距离等于右侧通拿处横到中心点的距离。好，那我们又发现一个规律，是不是说你发现了就可以用这个规律啊？ 行不行？不行，我就用一条规律，就用一个现象去验证这个规律，行不行啊？不行，我要多发现一个验证一下，是不是啊？到底是不是这样？如果要是这样的话我就可以用，如果不是这样的话，我还不一定能用，是吧？验证一下， 这是我们刚刚发现的规律，你就是从刚才流畅总结的这个公式，对吧？ 那我们现在看看这个，这个是在哪地方放的？左左左侧六上面放了几个？两个。 好，左侧六上面放了两个。刚才我们总结的规律是这样的，我们来看。那我们右侧应该怎么放呢？自己动手实践一下。

这节课我们一起来学习一下第六单元，正比例和反比例的第一课时正比例的意义，请同学们看一下。例一， 一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表，请同学们观察一下表内的内容，表中列出了哪两个数量啊？是时间和路程。 观察一下表中的数据，哪一种量的变化引起了另一种量的变化？你是怎样看出来的呢？ 我们可以得出，应该是行驶的路程随着时间的变化而变化。发现行驶的时间越长，行驶的路程就越多。相反，行驶的时间越短，那行驶的路程就越少， 行驶的时间变化，路程也随着变化。我们就说路程和时间是两种相关联的量。 什么叫相关联的量？就是一个量的变化随着另一个量的变化而变化， 就叫做两个相关联的量。我们已经知道了路程和时间是两种相关联的量。接着我们要进一步观察研究这两种量是怎样变化的，变化中有什么规律。大家观察比较一下表里的数据，对数量变化你有什么发现呢？ 我们发现八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，行驶的速度是不变的。那请同学们写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值，看看你能发现什么。 我们可以得到，八十比一等于八十，一百六十比二等于八十，二百四十比三等于八十，三百二十比四等于八十，以此类推。四百比五等于八十，四百八十比六等于八十，五百六十比七也等于八十。 这个比值八十表示的是什么呢？你能用一个数量关系式来表示这样的规律吗？我们可以用下面这个式子来表示这几个量之间的关系。路程除以时间等于速度，我们发现这个速度是不变的，都是八十，所以我们说速度是一定的。 像这种路程和时间是两种相关联的量，时间变化路程也随着变化。路程和相对应的时间的比的比值是一定的，也就是速度一定时， 行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量，这就是我们今天所要学习的正比例。

本节课我们一起来学习一下第二单元，圆柱和圆锥的。第二课时圆柱的侧面积和表面积来看一下例题， 一种圆柱形的罐头，底面直径是十一厘米，高是十五厘米，它的侧面有一张商标纸，如右图，问商标纸的面积大约是多少平方厘米？街头处忽略不计。 请同学们思考一下，要求商标纸的面积大约是多少？其实就是求圆柱哪个面的面积啊？是不是就是它侧面的面积啊，对吧？ 圆柱的侧面是个曲面，那我们该怎样计算商标纸的面积呢？哦，我们可以把商标纸给它剪开看一看剪开后是一个什么图形，然后再计算面积是不是就可以了呀？ 那我们在剪的时候一定要注意去沿着接缝来剪，如果同学们手中有这种圆珠形的啊，这种物品，可以按照这个操作一起来剪开，沿着接缝也可以理解为，其实这个接缝就是沿着高。 把商标纸剪开看一看展开以后是什么形状，应该都发现了吧，是一个长方形， 展开后的长方形的长和宽与圆柱有什么关系？我们可以看到这条是不是就是宽呀？其实它就是相当于我们原来圆柱的高。 再来看一下这个长与这个圆柱有什么关系哦，是不是这一周的长度，所以其实它的长就是我们圆柱的底面周长。 我们知道长方形的面积是等于长乘宽，又因为我们的长是等于底面周长， 宽是等于高，所以我们去求圆柱的侧面积，是不是用底面周长乘高就可以了呀？

这节课我们一起来学习一下第六单元，正比例和反比例的第三课时反比例的意义。首先我们先来回顾一下，怎样判断两种相关联的量是否能够组成正比例呢？ 我们可以得出两个相关联的量，如果它们的比值一定的话，那我们就说这两个量是成正比例关系的。如果我们用字母来表示的话，就应该是 y 比 x 等于 k， 比值一定， 那么就可以说这两个量是成正比例关系。我们来看一下现在题中两种量是否能够成正比例。当时间一定的时候，行驶的路程和速度，我们应该拿行驶的路程去除，以速度 等于的是时间，那我们发现时间一定，所以是比值一定是成正比例关系的。当除数一定的时候，被除数和商是成成，是否成正比例关系。我们知道除数应该是等于被除数 去除以商，那除数又是一定的，所以是出现了比值一定，那被除数和商是成正比例关系的。 如果总价一订，单价和数量的变化有什么规律？这两种量又存在什么关系呢？今天我们就来一起研究和认识这种变化规律。让我们来看一下例题，用六十元购买笔记本购买笔记本的单价和数量如下表， 从用六十元购买笔记本这句话中，你懂得了什么？在单价、数量、总价这三个量中，哪个量没变，哪个量变了呢？ 我们知道六十元是这批笔记本的总价，笔记本的数量和单价发生变化，但是笔记本的总价是固定的，始终都是六十元。那表格中单价和数量这两个量是怎么样变化的呢？两个量的变化又有怎样的规律呢？ 买笔记本的数量随着单价的变化而变化，笔记本的单价越低，购买的数量就越多。购买笔记本的数量随着单价的变化而变化，笔记本的单价越高，购买的数量就越少。 根据表格中数据的规律，我们可以用一个式子来表示这几个量之间的关系，单价乘数量 等于总价，这个总价是固定不变是一定的。好，那单价和数量是两种相关联的量，单价变化数量也随着变化。 当单价和数量的基总是一定，也就是总价一定时，笔记本的单价和数量的数和购买的数量是呈反比例关系的。 笔记本的单价和购买的数量是乘反比例的量。那我们一起来看一下怎样的两个量是乘反比例关系呢？首先必须要是两个相关联的量， 你看这里两个相关联的量就是单价和数量，你的单价越高，那你的数量就越少，单价越高，数量就越少。那第二个呢？我们一定要是表示是乘积一定， 和正比例关系不一样，正比例是比值一定，反比例是乘积一定。满足这两个条件的话，我们就说这两个量是成反比例关系的，接下来我们一起来看一。

第一位同学，利用测量上下两个底面的直径。第二个同学，利用几何图画图，把上面的这个圆的底面，把上面的这个圆柱体的底面和 下面的底面怎么样剪下来，看这两个圆是否一样大小的，如果完全重合，就说明他们是一样大小的。第三位同学，是用上下两个圆 画图对比，是不是先把一个底面画好，画在纸上，然后把另外一个底面进行对比，一遍下来看他 画完全重合。第三、第四位同学，通过指尺量什么用滚一圈的方法，是不是？是老师觉得同学们的方法都很巧妙，我们得到了圆柱体有 两个完全相同的底面，这两个底面是完全相同的圆，对，完全相同的圆。好，那关于这个圆柱体你还有什么发现？大胆说， 你来说。我发现圆柱这侧边有点凹陷，那我们可以把它叫做是 曲面，那围绕着这个圆柱的曲面就是我们圆柱体的侧面，请坐。并且我们圆柱体的侧面是一个曲面，还有吗？ 你来说有吧。既然同学们都谈到了高，那我们就来学习一下圆柱的高 是怎样的？请学习学习单上面的模块。一学好的同学拿着圆柱的学具和你的同桌说一说，好，自学结束，让同学们学到什么叫做圆柱体的高。哪位同学想分享一下你的学习成果？好来，男生， 我知道了，就是圆柱的这两个底面之间的直线就是高直线。请坐。你来说，两个底面之间的距离就是圆柱的高，请坐。说的很完整，两个底面之间的 距离就是圆柱的高。那请问同学们，这个是不是有个洞？是这一条，是，这一条，是。我把它继续移动，是。现在移动到了边上，是不是？我是出现了不同的答案了？来， 哪位同学想说一说你自己的看法？来，你可以来吃他，他这条边上的这个也是他两个体面的距离，所以我认为这个应该是一条的。 同学们，你们觉得他的表达怎么样？掌声送给他，你现在还有不同的意见吗？那现在我继续移动他这条是，这条是。同学们， 你们有没有什么想说的？来，女生圆柱有无数条高，你们同意吗？同意，我们继续往下画，能画的完吗？画的完，所以圆柱有无数条高， 这些高他们的长度又有怎样的关系？来说，我们今天研究的是圆柱两个里面的之间的距离是不会变的，在一个圆柱中是不会变动的，我们要讲究严谨性，所以圆柱的 这些高是怎么样的？长度是一般的。同学们，刚刚我们认识了圆柱的底面、侧面和高，今天我们还有一个任务， 你认识这些图形吗？它们的形状是怎样的？你来说。呃，我认识这些图形，这是我们以前学过的圆锥体，是吗？请坐。圆锥体是我们在小学中第一次在课本中接触到， 那我们今天所研究的圆锥体也是直圆锥。想一想，生活中你还见过哪些物体的形状是圆锥呢？来，看来在玩中也能发现数学。还有吗？ 冰激凌蛋筒是吗？也是圆锥的，还有吗？请坐。看来生活中圆锥体这个形状的物体也很多，是不是？那我们现在就来研究它。 请同学们拿出你的学具，像我们研究圆柱的这些方面一样，看一看圆柱的这些方面有哪些特征。先摸一摸，然后和你的同桌说一说，看来大部分同学都已经做好了， 那现在谁来向我们分享一下你的发现呢？好，来男生到这里向同学们分享。我发现这个圆锥底，我只有一个底面，都会叫他的名字了。底面继续说。还有我摸这个圆柱的曲，这个圆锥的曲面也是弯曲的，我旁边也是弯曲的。好， 你先请回。谁还想说一说？来，你来说，还有一个尖尖的地方，我们把它叫做顶点，那个顶点我们班同学太棒了，我发现了圆锥有 一个底面，一个底面是什么样子的？来，你来说，它的底面也是一个圆形，也是一个圆形，摸起来怎么样？摸起来也是平平的，所以圆锥有一个底面，这个底面是 圆。那刚刚同学还说到了，圆锥这旁边还有一个弯曲的面，我们叫它是曲面。曲面，那根据我们圆柱的知识迁移过来，我们把这个曲面叫做是圆锥的侧面，是一个。好，刚刚还说到了 圆锥还有一个圆。那刚刚还有同学提到圆锥的高高是不是圆锥的高，到底是怎样定义的呢？现在请自学，我们学习单的模块二， 学完之后，同样的还和你的旁桌说一说，指一指。好了，那现在谁来向大家介绍一下，找一下这边的女生有不同的意见吗？我认为圆锥应该 也是像圆锥那样，有无数条高的，怎么讲？你来介绍一下，因为他的有问题了。那同桌你向他介绍一下圆锥的高的定义好吗？ 因为这个模块上面说圆锥的高从底面圆圈，圆锥的底顶点，从底面圆心的之间的距离是一条高，他这里只有一个顶点，所以我认为他是只有一条高的。嗯， 但是我觉得我没有听懂，那为什么有一个顶点他就只有一条高？一个，所以谁能完整的说一说？好，来，你来 到这圆锥只有一条高，那是因为圆锥只有一个顶点，并且他说从圆锥顶点到 底面圆心之间的距离有点高，因为一个圆中一个圆的圆心只有一个，也就是说，所以顶点到圆心之间距离是它的高，所以它圆锥只有一条高。同学们，这下听懂了没有？听懂了，好，你还有疑问吗？我没有。好，来，请回，请坐。 我们知道了，圆锥的高是圆锥的顶点到地面圆心之间的距离，叫做圆锥的高。刚刚通过同学们的这样一问一答，我们还知道了圆锥的 高有一体型，请问这条高在哪里？在边上还是在哪里？来，你来说。好。面向同学们，我相同圆柱和圆锥的相同点，就是他们都有一个侧面，他有一个侧面，该他了， 圆锥也有一个侧面，圆柱的底面是一个圆，圆锥的底面也是一个圆。 圆柱他有，他有高。嗯，圆锥他也有高。好，我们这一组同学表现其实还挺好的，不过现在你们两个还有继续说的吗？我想说不同点， 那两位同学说出了不同点，但是老师还想再请两位同学顺利完整的说一说，圆锥有几面？圆柱有区别，圆柱也有区别， 圆锥有一条，圆锥有高，圆柱也有高。同学们，还有要补充的吗？啊，这位同学，女同学要给男生补充了。来， 我认为他不应该说曲面，他们两圆锥和圆柱曲面的名名称应该叫做侧面，同意吗？同意，他们两个说曲面其实也对，只按照名称说，是不是？是。好，请坐，你们两个同意吗？ 好，请回。我们得到了圆柱和圆锥，他们两个都有底面，并且底面都是圆形，他们都有侧面，并且侧面都是曲面，并且他们两位都有高。 现在它们具有什么样的不同点？好来，这两个圆锥有一条高，而圆柱有无数条高。圆锥只有一个底，而圆柱有两个底面。圆锥有一个顶点，而圆柱没有顶点。还有补充的吗？圆柱有三个面，还有 圆锥，它，圆锥，它从顶点连上这个圆的周长，这一任何一个点都不是它的高，而圆柱从这个边长连到这个边长也是它的高。 同学们，你们同意吗？同意，对，不同点。那刚刚我的疑问是，刚才有同学说从圆柱的上面一点到下面一点连起来就是他的勾， 立马就有同学要举手了。来，你来说应该相对应的点，同意吗？同意，你现在清楚了吗？清，不能是随便一点是吗？对，如果从这一点到后面的这一点连起来的线 是他的高吗？不是，因为从这一点到这一点不是直线。圆，两个底面， 对，不是两个底面之间的非常好。好了，看来同学们对于圆柱和圆锥有哪些特点都已经非常清楚了。 现在睁开你们的火眼金睛，判断一下，哪些物体的形状是圆柱，哪些物体的形状是圆锥？ 先想一想。好，你可以上去指面向同学们，现在把圆柱的找全了，好，你先请回。老师，有个疑问，为什么同学们不说这个是圆柱？你来上错，我们上下圆柱的上面和底面是两个完全相同的圆，所以圆柱是上下怎么样的？ 一样粗细的是不是什么？这个一样上下哪些物体的形状是圆锥？嗯，来 圆锥，对呀，是圆锥。好了，那同学们，你们的火眼金睛真不错，那现在 锻炼你们的时候到来，请一位同学读一读题目。同学们按照题目的要求，在我们作业学习单的反面，如果觉得直接连线有困难，我们可以先看看自己手中的绝句。 先来介绍一下怎么练。好，来，你来告诉我怎么练圆柱的上面，因为我们从它上面看看到的是圆形，从正面去看是一个长方形。刚刚那位同学说，从这个圆柱的正面和侧面看到的都是长方形，是一样的。为什么从正面看到的是一个长方 形，从侧面看到的还是和它完全一样的长方形？你还说我们可以看到圆柱，如果要是平平行的看着它，我们会发现它其实是一个 长方形。如果我们换到它的右面来看，它还是一个长方形，所以从正面和右面看，它都是一个长方形。但是刚刚这位同学还说了是一样的长方形，怎么就能看到是一样的长方形？这是为什么？ 男生，因为这点不是很明白，是不是有的时候我可以讲来毛遂自荐的女生，因为我们看到圆柱有无数条高，而且他们的高都是一样的，那么这一条和这一条都是他的高，而且他们的高的距离是一样的，所以就是他们的， 他们这个长方形的长，那么他们的宽就是这个圆的直径，那么圆的面积是一样的，那么他们的直径也是一样的， 你们听明白了没有？听明白了，我觉得我们是不是要掌声送给他？他都发现了，我们从正面看的时候看到的是一个长方形，看到这个长方形的长 是这个圆柱的高，看到这个长方形的宽是这个圆柱上下两个底面的直径。由于每条高 我只能够动向的镜头，上下两个底面直接眼向上的，所以我们无论是从正面看还是从侧面看，还是从某一个面面看，别的侧面去看，对不对？看到的都是朝朝夕夕，并且看到的都是 同样的超级好。那圆锥来连线好，但是他说从正面和侧面看圆都是一个三角形，从上面看是一个圆形。老师立马就看到有同学举手了， 来，你来说，因为这圆锥上面是有一个顶点的，所以说从上面看还会看到一个点， 你们同意吗？同意，请做。我们从圆锥的上面去看的时候，不止看到了一个，还看到了一个点，这个 点是圆点，圆锥的顶点。那现在请思考，为什么从圆锥的正面和侧面都能看到一样的三角形？

对于直线、射线、线段三者之间的关系领悟的很好。直线分为线，分为直线、射线，还有线段。来 看线的世界，看看这是一条什么线？直线下面，我说我想在这个直线上，我想看到线段，你想个什么办法？萌萌，点什么点？端点，同意吗？同意，也就是说这样是不是坐下来？那 我现在看到线段了，可是我看不见直线了，我既想看到直线，我又想看到线段，能换一种方法吗？ 去掉就看到什么线了。射，射线，我想看到直线和线断，必须用这种断点的方法吗？还有别的方法吗？往下两头都延长，如果采用加点的方法，还是以这条直线 下面，我既不想让直线消失，又想在里面看到线段，再思考一下啊。王祥宇，他说在哪加点中间，我可以不在两边加点，直线就消失了，也就是说我可以这样，是不是？是这样？我的线段在哪里？ 在里面，在里面。什么里面？线，直线里面，直线的中间，谁的两边中间，你看是不是这一段？ 那也就是说线段其实是直线的，一步一步说的好直，也可以说直线上两点间的 一段叫做线段，看来直线和线段的缘分还挺深的。好，那我们再看射线，看看上面这条线段，我想在这个线段上面看到射线怎么办？其实刚刚有人说过了，对不对？对。好，黎明人 去掉一个断点，那我不想去掉点，我想把点留着，我可以怎么做？你说 在线段一端延长对吗？可以，也就是把线段一端延长就能得到什么射线。那刚刚我把右边也延长，左边延长，右边也可以延长，当我两端都延长时，这时候那就可以说 把线端两端都延长就能找到一条直线。是这样的，他们三者之间是很有密切的关系。那对于线我们以下也了解了一下，下面我们走进点与线的世界， 这两大主角平时在活动的时候经常会有一些摩擦，我们看看他们会摩擦出什么精彩的剧情。首先考考你们，我给你一个点，你思考一下， 我要经过这一点画一条线，你能画出哪一种线？直线，你直线线， 你说直线，除了直线和射线，你说线段可以吗？可以吗？可以，可以。再加什么点？短点难题在后面，请问可以画几条直线？不加无数条，无数条。同意同意同意。请问可以画几条射线，同意吗？同意，棒棒的。请问可以画几条线段？ 高高的手举起来了，你说无数条，你觉得潘玮发觉得无数条？无数条，赵成，说说看，为什么是无数条？因为可以画无数条射线和直线， 如果是画设计可以在射线的另一端画上端点，这样就有无限条线段了。无数条线段，说得很好，那这个我们都了解，我难度加深了。刚才是经过几个点， 一个，现在我给你来了两个，请问你能画出什么样的线？线段可以吗？可以，这是小问题，难题在后。请问可以画出 几条射线？无数条射线，射线只能画一条，那就只能画两条是吗？嗯，是吗？嗯，我让你经过这两个点，有没有长度要一样啊？ 没有。射线有长度可以测量的吗？没有，所以你说我能画多少条？五六条。那再问，请问你能画出几条线段？一条真干脆，一条 同意吗？同意同意。我让你经过这两个点，有没有说不让你再加点了？没有？可以画多少条？无数条。再加一个，因为线段是有长度的，是不是？我只要长度不一样，就是另外一条线段。那我说那在最后一个问题，请问可以画几条直线？ 是不是无数？不是一条还是无数一条？就这一条直线，你还可以画出无数吗？不可以哦，直线可以无限延伸。哎，那再伸一下。不可以，那还是这条线，我再伸一下，还是一条，它最特别， 是不是？这就是我们常说的两点，可以确定一条直线，唯一的一条在我们生活中也有经常的运用。比如说我要在墙上钉一根木条，你觉得我最少得钉几个钉子？ 一个钉子？那木条哇，最少几个？两个。我带你们走入他的生活篇，看看你熟不熟悉。比如说我们早上从家去学校，可以把两者看作两个点。 从家到学校有三条路，知道我要问什么吗？那哪条路最近？中间？因为它是线段，而且是直的，对不对？哎？对，是线段。那也可以说两点之间线段最短， 同样也可以说连接两点线段的长度叫做两点之间的距离，是距离。好，我们熟悉。再来一个我们熟悉的生活篇。 这是一条马路，马路旁边有两个村庄 a 和村庄 b， 这两个村庄都想取马路。 你说有多少种修法？无数条，但你知道。我肯定要问你什么哪条最近？因为最节省什么原材料？对，我可以有无数条。那你觉得哪条最近最两点？这可不是两点垂。然后你说点和直线 之间什么最短？垂直，说的好，坐下来，垂直的线段是最短，这边也是好。 那点和线的事件摩擦，我们走完了，下面我们再回到线，线说，我刚刚和你有点小摩擦，可是你还没有对我， 我还有三大小主角在这下面轮到谁了？直线，我们走进直线的世界，看看直线给我们带来什么样的句型考验也时候到了。两条直线 左边那个怎么说的？我为什么要强调同一平面内无法出去了就无法怎么样，你说对不对？他们直接无法活动，如果一条线在黑板上，另一条线在地面，那就不行了，是吧？那好，两条直线在同一平面内， 他们会发生一些故事，这里面会演绎很多的剧情，你觉得有几种剧情可以演绎？第一种，第一种张静怡平行的线，第二种 好圆心人相交的线，同意吗？同意。还有是吧？张静怡垂直的线，也就是说当两条线在同一平面内出现的时候，第一种情况它会 互相平行，第二个他会怎么样？香蕉他是不是没香蕉？是的，还有一种是，以及香蕉，那刚刚他说的那垂直是 属于哪个里面的？香蕉成一个什么情况的时候？直角，是的，这样我们就诞生了互相垂直。好的，那平行我们 叫垂直，叫互相垂直。为什么有互相两个线？两条线一条线可以吗？不可以。所以我们把互相平行会 成一组平行线啊，互相垂直会形成一组垂线，也就是一组，这个意思是吧？那平行线和垂线在我们生活中应用非常广泛，那我们走进生活看看，找一找，你看到了吗？ 看我们的房屋建设好，看到平行垂，这边我们的道路还有也有平行，平行和垂直给我们生活带来了秩序，让我们变得有秩序，也给我们生活带来了丰富多彩。那下面我就要考考你的动手能力了，他现在还没动手。好，我要 考你们自己动手画一组垂线和一组平行线，垂线就是垂线，请问需要什么工具？尺的范围可广了，三尺和尺。好的，那你们开始行动，我就随便的捕捉一下。你画好了吗？ 有没有给我来一个现场直播，不是要为师以吗？我们来现场直播教学。平行线垂线怎么画的？谁愿意？ 好，我开通了，谁愿意跟我说一下。好， c 一 神，你说说看你都用哪些工具？好，那你跟我们说一下你是怎么做的？首先怎么做？先在纸上画一条线。好， c 一 神的想法你们同意吗？同意，好，同意，是他画的是什么垂线？那谁给我展示一下平行线，谁给我画平行线？主角，好，来，你说 利用直尺放在这，用三角尺的直角放在直尺的靠直线的旁边，这条线现场直播了这条线。小鼓掌，画一条线，将三角尺往上推一下再画，这叫推一下，叫什么？平移，这样就可以。 怎么样画出一组平行线，同意吗？同意，好的，演说非常成功。那我们直线的世界里面呢？会产生出我们的平行，还有什么垂？好， 那垂直其实属于什么？香蕉？对，是属于香蕉，我们是不是要把这两个词要把它怎么样？换一下 香蕉到什么垂直？因为垂直属于香蕉里面的特殊的情况。 好，我们用动手的形式画出了一组垂线和一组什么平行线。好，那直线的世界我们了解了，下面我们该走进谁的世界？对，到进入射线的世界了。在同一平面内，如果两条射线出现了，你说他们会演变成什么样的故事？ 会形成一个什么图形？看看他们发生改变怎么样了？成了一个什么角？当射线的两个顶点怎么样重合，它就形成了角。那我们角看看，其实也可以看作是由一个顶点出发，向两边怎么样延伸，那这是什么线？ 射线？两条射线从一点引出两条射线，那我们再看看角的顶点和边。那问题来了，角的大小靠谁影响？跟谁有关系？你说 和角度谁影响角度？两条边的距离，也就是说两条边的夹角是吧？开口是吗？跟他的边有没有关系？跟他的边没有关系。好，他的边虽然是射线，可能跟他没有关系。那我们再看， 通常脚用这个符号用什么？做单位？用度做单位。那既然聊到了脚，我们想想看脚有几种分类，你们觉得脚可以分为几？大家可以说坠脚脚和坠脚三类是吗？对了，还有补充的吗？ 还有补充平角，平角与特殊的角还有好密度。豆角同意吗？同意，对，其实还有有分五类。好，下面来看看锐角的条件是什么？抢答，你说小于九十度？是的，那后面一个直角 张欣怡，小于九十度，下面到什么角了？钝角，彭建华，钝角，钝角有两个条件，下面到什么角了？平角 来。刘伟媛，可以一百八十度，同意吗？同意，不同意，平角就是一百八十平角，没有范围的对不对？好，后面看一下最后什么角？周角看看。好，你说等于三百六十度，那这五种角都是有度数限制的，那也就是说我们角 世界里面跟度数有关系，那还有很多普普通通的角，我们不知道它的度数，那这个时候我们就需要什么了，需要两角器来测量，需要两角器测量之前老师要问一下这些特殊的角他们之间有没有联系？我准备了一个题目给你们，谁会填这个空？ 好，所以说你说两个直角等于一个平，是的，零点五个，对，他临时用二分之一个，对不对？那为什么 卡住了？那如果我不用二分之一，我一开始的模式可以变成什么样的？这么的好，可以，四个直角等于两个平角，两个平角等于一个周角，对吗？对，也是对的，对不对？好，下面看看，我们认识一下两角器这个工具上面 怎么样？密密麻麻都有度数，那我们看一下它的度数，有两角。首先我们看一下这叫什么？外科度线，那对应的还有一组内外科线， 还有一个很重要的部分是在叫什么？中心点，这个点是用来干嘛？对齐对角的点，还有这个什么零刻度线好，那两角却是用来两角的，是吧？那我们先把书翻开，翻到刚刚我们的八十七页。好，看到第五题了吗？ 我们先来估计一下第五题，第五题上面有角。看到了，你看看第一个角大概是什么角？是锐角，第二个角，第二个角是钝角，直角是直角。下面开始测量谁先跟我说一说张玉萍来说，先怎么说？ 直播一下，先估计他有测量的时候怎么做测量？先把这一条线对准零刻度线对准脚的边是吧？之后在这上面看，最后看一看他有多少度，要从哪个边上面看另一条边是吗？ 它是多少度？五十度，五十度。看看徐强已经到最后一个角了，这个角测量需要把两角器怎么样？可以，徐强可以用把书移动的方法，我们可以转动两角器，是吧？这样一百四十五度，根据角的 形状不一样，我们可以好了吗？第一个角多少度？五十度，五十度。第二个角一百四十五度，第三个角九十度。很好， 那既然这个可以测量出角的度数。好的，下面看看。这边我们来挑战一下高难度的，我给你们带来三道闯关题，第一道，一颗星判断题，抢答题准备好了没？

在这里你又是如何理解二比一的？想一想朱笑哲，二比一就是把每长方形每条边放大到原来的两倍， 放大到原来的两倍，或者我们还可以怎样理解？范锦州，那么这里的比指的是现在的长度与原来长度的比， 所以这个二指的是现在的长度是原来长度的两倍，所以写在比的前项，而原来的长度我们就写在比的后项。 继续来看图一，也是原图放大后的照片，这时候请你仔细观察，放大后的长与原来的长的比是几比几， 放大后的宽与原来的宽的比又是几比几呢？就认可放大后的长与原来长的比是三比一， 放大后的宽与原来宽的比是三比二，这时候他们对应边长的比怎么样了？不相同对不对？所以我们能不能说是按几比几的比放大的，不能形状发生改变。 继续来看图三，也是原图放大后的照片，这时候请你看一看，放大后的长和宽与原来的长和宽又有怎样的关系呢？李瑞， 放大后的长与原来长的比是三比二，放大后的宽与原来宽的比是四比一。 对应边长的笔不相同。所以我们能不能说是按几比几的笔放大的，不能，说好的形状发生了改变， 只有按照几比几的笔放大，形状才不变。现在你知道要使得形状不变就要怎么办了吗？对应边的笔要相同。好的，请坐，我们继续来看。 如果王老师要把图一按比例放大，使得形状不变，当他的长是六十厘米的时候，那他的宽应该是多少呢？宽应该是三十厘米，说说你是怎么想的？ 那我基本上听明白你的意思了。谁再来说一说？高建，那我们放大后的宽也应该是原来宽的三倍，时乘三等于三十厘米，说的非常棒，听明白了吗？听明白了， 性的放大就是把将其把原来的长方形按三比一的比放大。好的，那么这个三比一我们是怎么得到的？或者我们还可以怎么想？圆心 把长方形放大到原来三倍，非常好。既然我们能把一个图形按一定的比进行放大，那我们也能把一个图形按一定的比进行缩小。你会把原来这个长方形按一比二的比缩小吗？ 和你的同桌说一说，你是怎样理解这句话的？话请你说。张玲，把长方形的每条边缩小 到原来的二分之一，谁再来说一说慧宇涵，缩小到原来的二分之一，我们一起来看一下。一比二指的是现在与原来的比是一比二，所以现在的长度应该是原来的二分之一， 因此缩小后的长方形的每条边都是原来的二分之一。 现在你知道缩小后的长和宽分别是多少了吗？流星雨缩小后的长是十厘米，宽是五厘米。在这里我们又是如何理解一比二的？用折 按一比二的比缩小，就是把长方形的每条边缩小到原来的二分之一。 或者我们还可以怎么理解，原来缩小后的长方形和原来长方形对应边上的比是一比二。我们来看一下，刚才我们学习了把一张照片按二比一的比放大和按一比二的比缩小，我们来比一比， 不管是放大还是缩小，他们有什么相同的地方？齐相娟，他们都形状不变，对应边的笔相同。好的，那么也就是说要使得形状不变，就要使得他们对应边的笔是相同的。 我们再来观察这两组笔，他们又有什么不同的？微圈，那为什么放大前向大于后向，而缩小前向小于后向呢？ 因为放大是现在比原来大，所以前向大与后向。缩小是现在比原来小，所以前向小与后向。你说的真好，请坐！那接下来老师就要来考考大家了，抢答，仔细读题啊，帮他哈哈哈！所以完前向大与后向， 继续前向小与后向，前向大与后向。说小变放大， 我们一起来看一下。放大四比一，放大到原来的四倍，五比二放大到原来的二分之五倍，所以放大前向大于后向，但放大的不一定是指数倍。 缩小一比一千缩小到原来的一千分之一，二比三缩小到原来的三分之二，所以缩小前项小于后项，但是前项不一定为一。 接下来请同学们练一练，打开书本三十六页，完成练习。六的第一题，那好的，我们一起来看一下。第一问，谁来圆中五号图形是一号图，长方形，放大后的图形，它是按二比一的比放大的。这样的 张敏，图中三号图形是一号长方形，缩小后的图形，它是按一比二的比缩小。 老师，这还有一些题目想考考大家，你们敢挑战吗？敢什么耶？把长方形的每条边放大到原来三倍，放大后的长方形与原来长方形 对应边长的比是三比一，反应很快，会员把正方形按一比四的比缩小，正方形边长是原来的四分之一，对的，对的，对。 二二比一的米放大后，长方形的长是六厘米，宽是二，宽是四厘米。叔叔你是怎么思考的？二二比一的米放大，就是把长方形的每条边放大到原来的两倍。三乘二等于六， 长是长是六厘米，二乘二等于四，宽是四厘米，你们听明白了吗？明白了，思路很清楚。三角形底九厘米，高六厘米，把这个三角形按一比三的比缩小后，三角形的底是三厘米，高是二厘米， 这是为什么？把三角形的每条边缩小到原来的三分之一。 六乘三分之一等于二厘米。请做，接下来请同学们动手操作，画一画放大或缩小后的图形。请看例题。原来的长和宽分 标卫星标数据已经成为了我们的习惯，放大后的长是几，宽是几呢？可以问，放大后的长是十二，宽是六，你是怎么计算的？按三比一的放大，就是把长方形每条边放大到原来三倍。 四乘三等于十二就是长方形的长，二乘三等于六就是长长方形的宽。很好， 我们来看一下这个长方形是不是按三比一的比放大的呢？是是长比长，三比一，宽比宽，三比一，不错，是正确的。我们再来看 再按一比二的比，画出原来长方形缩小后的图形。缩小的是哪个图形？原来的长方形你们会画了吗？ 会动手试一试，画好后和你的同桌说一说你是怎么画的？谁愿意来和大家说一说你是怎么想的？方一涵，站好，你的指长方形，长是四，宽是二，按一比二的比缩小， 就是把长方形缩小到原来的二分之一，四乘二分之一等于二，二乘二分之一等于一，所以缩小或长方形长是二，宽是一，到了吗？最慢了。我们来看一下放大后的图形与原来的图形， 缩小后的图形与原来的图形相比，你们有什么发现？张玲，他们的形状都没有发生改变，对一边的笔相同， 那有什么变化了吗？他们的大小发生了变化，我们来看一下，为了看的更加清楚，王老师把这三张图放到了一起。 放大或者缩小后的图形与原来图形相比，虽然大小变了，但 他们的形状没有发生改变，他们对应边的笔是相同的。长方形的放大与缩小我们会画了，把长方形换成正方形，请看要求你们会画吗？ 动手试一试，谁愿意？来和大家说一说你是怎么画的？画进来试一下吧。按一比二比缩小，就是把原来长方形 缩小到原来的二分之一，原来正方形的边长是四，所以四乘二分之一等于二，四乘二分之一等于二，所以它的边长是二，画对了吗？ 这些是关于长方形或者正方形的放大与缩小。我们再来看直角三角形，按二比例的比放大，你们会画吗？你们找了谁做对应边？坐下，我找两条直角边做对应边， 所以说为什么？因为这两条直角边都在线上，这样子更容易画出放大后的图形。那么这条直角边放大后是多少？李晓玲，这条直角边放大后是二，你你放大是八， 所以说理由按二比一放到，就是把长方形的每条边放大到原来的两倍，所以二乘一等于二，二乘四等于八。好的，我们只要把这条斜边连起来就可以了。我们来看一下 这条斜边放大后究竟是不是原来的两倍呢？请同学们动手量一量验证一下是吗？是 量出来原来是几厘米，现在是六厘米，六厘米， 所以是原来的两倍。那我们一起来也来看一下。原来的鞋边是由四个方格连在一起的对角线，现在这条鞋边是有两个这样的对角线连在一起，所以长度是原来的两倍。 因此我们在画直角三角形的时候，只要把两条直角边放大或缩小就可以了。直角三角形的放大与缩小我们会画了，请看大屏幕平行四边形按二比一的比放大，你们会画了吗？

现在我来找个同学问一下陈振华，你找到了求测面积的方法是什么？长乘宽长，你是看到了五什么 长方形，这个长方形这条边就叫什么长长，这条边是宽。大家都知道的长方形的面积等于还用长乘宽，不过这是长方形里面。 现在我要考考你这个床在圆柱里面它是什么呢？这个床你看看在圆柱里面它是什么面？面是什么？圆的周长，圆的周长，哪个圆？ 底面圆的周长，这是也就是叫圆柱的底面。什么？原来长方形的这条长就是圆柱的底面周长，那再想想刚才我是研究什么解开的啊？圆柱的长 长方形的宽就是什么呢？圆圈，圆柱的高高用 h 表示那高，这个长方形的面积我们用长乘宽 没错，但是我们要进行转化。怎么转？转成你说一遍高的圆的底面周长，大家想一想这句话里面有没有什么纠正的地方？圆柱的底面周长乘 它的高，乘圆柱的高高，那么这就是我们求圆柱的侧面积的公式讲很。那我先问一下，你们 在自己的做圆柱的时候，你里面周长你做了多少啊？你联系过了，你的里面周长是多少？十八点八四，十八点八四，我很聪明的，是有目的的高做了多少？八八， 那么他做的那个圆柱侧面起，你们能帮他算出来？好了，这么快，那我问一个洪欣欣，你最先做出来，你算出多少？一百五十点七二平方厘米，怎么算出来的？ 十八点八四乘以八，那么十八点八四就相当于这个圆柱的底面周长， 八就是什么圆柱的高，请坐，我想问一问其他同学，算的结果是不是这么多？是坐下，刚才我们已经通过了什么思想转换到转换的思想？八、什么 圆柱体侧面积转换成长方形面积，因为长方形面积等于长，那么圆柱体的侧面积那就等于。你看，我没有讲之前，他就很聪明，通过自己的 剪开就已经把这个推出来了。今天我还想，这里看到你们剪的都是长方形，这里我老师就做了一个另外一个圆柱，首先我把底剪了，这个圆柱的侧面 看到，我现在怕等一下眼睛看花了，先把这个底面周长，你看，用一条实心线画出来了，看到吧，把高用一条虚线 画出来了，同时也标出来。现在我不沿着高来剪，我斜着一条线来剪，随意的剪，仔细看要变了，是什么？ 平行四边形，我看到了一个平行四边形，那这个平行四边形我如果剪成这个样子，是不是就 做不出来了？这是什么？里面就长，这是高，那你看这个平行四边形的面积，也就是 圆圆柱体的面积。对，这平行四边形面积还是圆柱体侧面积，那这侧面积你看能不能够仍然达到这个公式的目的？能，平行四边形面积等于 一层高，那这个底高好说，底面高，长长就是圆柱的高。还有这里我也可以告诉你们，还可以用转化的思想， 你们想想，他能转换成那个长方形样子吗？能，怎么转？谁告诉我怎么转？杨梅新同学，你说这个三角形切下来怎样？你移到右边来，那么又变成一个什么长方形，那就是说，请坐啊，非常好， 我们仍然可以又把它转化成这个长方形。那就是你去想，你想随便怎么剪都能怎样转化成。所以我们转化的思想有用吗？有用，很有用的利用这个转化的思想。我们已经把这个圆柱体的侧面体 公司找到了，不过刚才我发现了李连新同学，他里面周场量十八点八十，实在太辛苦了，现我有一个，我没量里面周场， 我量了他的底面直径六厘米，那是不是我们就求不出测面积了？那谁告诉我，你如果知道底面直径和高，怎么求测面积？郭正东同学，你说了，拿底面直径乘派 再乘高，你们听懂了吗？听懂了，底面直径乘派是什么意思？那就是说，你不告诉我底面周长，我就用直径来乘以， 快求出底面收多少，很好，坐下。那如果我不告诉你直径，我说这个底面半径三厘米怎么办？飞升半径乘二，乘派再乘高， 那你们想到了犯进惩恶得到直进，直进，惩派得到底面周长，那仍然最后还是底面周长来长高。所以你看，我们求圆柱的侧面积，可以知道 底面周长和高，也可以知道底面直径和高。 好，请坐，那这样我们都能够求出圆柱的侧面积。好，那么圆柱的侧面积记读记得了吗？记得了，为什么用你们手上撑腰？自己在心里想一想，展开的长方形的长，这样一下就记住了。 那大家如果知道了，接下来了我就考考大家了，你们的学问上面我已经给你把题目打出来了， 你现在就用刚才学到的知识去做，每个同学手里有一份，就是这个学案上面的，现在要做的是第二第二题，那你很多同学就在那里忙着，已经做动起来了， 如果没看懂的同学，我还给你机会，你看我把它侧面剪开了它吗？我把它侧面剪开了， 你看看。哎呦，清楚。好了，现在我问一下，你有五百一十八点一平方厘米，那我们看看老师答案。大家看到了第一个式子， 用十一派乘十五十一派是什么呢？底面周长，十一派是底面周长十一是什么？ 直径对直径成派等于圆面周长。那么用上面这种方式表示呢？是准确值。 下面我们把派取三点一四呢，是大约等于七十一。一般情况下，在生活中我们都把派取三点一四，求出结果，五百一十八点一平方厘米。那现在我要问一下是这个结果的同学，算对的同学 有多少？统计一下，那么请同学们继续加油。这个题比刚才那个看看有什么区别。又有人做出来了，做好了就把手举起来， 很好，这行你举手比较早，你告诉我是多少？二百五十一点二平方厘米，怎么列式？二乘三减一四乘以十 四乘二乘三点一四，大姐你知道了吧？这是什么底面？周长乘十是乘高，那没算错的话，应该是对的，你们定的结果怎样？相同，那就对了，坐下， 二百五十一点二平方厘米。那下面再来一个拷孔，一个圆柱，高二十米，他的侧面展开是一个正方形，那么这里的侧面展开是正方形，我做了一个小小的侧面展开正方形的，怎么就举手了？ 我还没给你们看，太容易了是吧？这说明什么问题？大家说面面都长成刀削面是，那怎么成？二十乘二 十等于四百平方米，那太容易了，这个我就不问了，肯定都对， 我们刚才已经学了圆柱的侧面积，那现在我们来看，在一个圆柱里面有三个面围成的有侧面积，还有什么呢？还有上下两个里面。 那我们要求一个圆柱的表面就要怎样求用你的两个底面积。嗯，那现在任务来了，你们学院上面这里我有一个圆柱，侧面要沿着高展开， 来到长方形，长和宽多少？下面这里有一个圆柱，这圆柱告诉你里面直径 包边，求出长方形展开，长方形的长和宽写在你这个血案上面表格的右边或者左边，你写，先求出 侧面展开的长和宽。李欣叶长是多少？六点二八厘米，六点二八厘米点二。

长，把圆柱的侧面沿一条高展开以后是这个形状。什么形状？长方形，那这两个面是什么？上面面。你先告诉我下面下面张建明，什么是上下两个的底面？谁的 圆柱的？把它收完成，怎么说？他们两个是圆柱的上下两个底，对的很好。那刚才同学们猜测圆柱的侧面展开以后是长方形， 还有个同学猜的是正方形，那么究竟是不是呢？老师，这里也有一个圆柱，我沿它的高把侧把侧面，把圆柱的侧面打开，那我的好。 什么形？正方形 是不是正方形？是那熊猫语猜对了没有？猜对了，那也就是说有一种特殊情况，当圆柱的侧面展开以后是正方形，这种情况是怎么特殊呢？是圆柱的 底面的底，圆柱底面 的周长等于高的时候，圆柱的侧面展开是正方形。好，同学们他们非常爱动脑筋，那么这个我们知道了，圆柱有上下两个面面，什么面面？正确？ 圆柱有上下两个底面，它有一个弯曲的侧面， 那么我们知道圆柱上下两个里面是完全相同的圆。提到了圆，我们可以画出它的直径，标出它的圆心，一起告诉我。八厘米，观察很仔细。那我应该在几厘米的地方标上圆心呢？ 四厘米，太棒了，是在四厘米的地方标出圆心的位置， 那同样的道理，我也画出上面这条直径。

那孩子们，接下来我们来梳理一下刚才这四个图形，那么他都用到了什么策略来？那个男孩子说都用了转化的策略，在想在转化的过程中变了的是什么？来，那个男孩子说变了的是形状。好了， 在数学上我们给他叫做变形。好了，那变形是转化过程中的一个非常重要的技巧。那再想想看，我变 变现的目的是什么？想好了来，你说对了，变现的目的就是把未知的给它变成已知的，把复杂的给它变成简单的。好了，那接下来我们再来看一道计算题， 观察看，这是一道复杂的分数加法题，仔细观察这四个加数的排列，看它有什么特点，它的排列有什么特点？ 来，你说坐下谁谁能说的更清楚？来，你说这回清楚了没？清楚了。看后一个分数，四是是二的两位，八是四的两位，十六是八的两位。还有再观察来，你说一个一个再增大看， 二分之一是四分之一的几倍，两倍，四分之一是八分之一的，那就前一个加数是后一个加数的两倍。好了，再看这个加法题，如果按照常规的做法，我们应该怎么做？常规的做法 我们通常应该怎么做？你说那就是给他通风。那孩子们，今天我们学了转化的策略，有没有更简，变得更巧妙的办法？为了便于大家思考，张老师在这画了一个图，请同学看图。好了， 我现在这是一个什么正方形，我可以看做单位一。好了，接下来我把单位一对折对折，找到它的二分之一，空白地方也是二分之一。好了，我把空白地方再对折 好了，那么剩下了四分之一，四分之一再对折八分之一好了，那么剩下的也是八八分之一，再对折十六分之一。好了，到这以后大家思考一下，我有没有更简 巧妙的办法？你有意见？十六分之一肯定有他想法了。来，你说你们大家听明白了没？听起来讲的更明白一些。来，你上来说， 这个空白处和上面如果把一个正方形平均分成了两份，一份就是他的二分之一，这是他的两个四分之一，加起来等于二分之一。再把这个四分之一平均分成两份，就是两个八分之一等于四分之一。 再把这个八分之一平均分成两份，这两个十六分之一等于八分之一。还有这个空白处的大小刚好跟上面这个十六分之一大小相等，所以这个这边的空白就是十六分之一，就是一减十六分之一等于十六分之五。坐下，张雨洁， 你的想法是不是这样？是的，好，那我们来回顾下刚才我们同学做的，他意思就说把一个正方形 看作单位，一平均分成两份，这是他的再对折一次四分，再对折一次八分，再对折一次十六分。我们来看他把算式转化成了求一有误，把求 加法的和转化成了求阴影部分的面积。好了，那求阴影部分的面积二分之 一加四分之一加八分之一。加时候我还是不知道对不对？未知的他从空白处入手，空白处我知道多少，一减十六分之一对不对？我从一里面把十六分之一减掉阴影部分的面积真不错，我们大家是把先把算式 转化成求加法的和转化成求阴影部分的面积，那求阴影部分的面我又从空白处入手，最后就把这个问题给解决了。所以最后就等于一减去 十六分之一，等于十六分之十五。那孩子们，照这样下去，我再加个三十二分之一，再加三上来，你说一减三十二分之一等于多少？三十二分之三十一来， 再加六十四分之一来，你说不错，那我再加一百二十八分之一来。你说好了，那孩子们，从这个题我们可以发现，我们做一道题不光要变形，有的时候我们还得画个图， 孩子们还得画个图，让树与形结合，解决起来是不就更直观，更方便？是不是画图了以后我们正面解决不了，我们还可以从反面入手，也就说我们还可以换个角度， 从反面入手，问题也能把复杂的变成简单的，这样问题也能够迎刃而解了。那么也就正如我们薛之谦的数学家路沙彼得曾经说过这样一句话，他说数学 往往不是对问题进行正面攻击，而是不断的将它变醒，甚至把它转化为已经得到解决的问题。那孩子们，接下来我们再 做几道练习题，进一步体会转化这个策略的价值。好了，看看这个题，好，独立思考。好了，那现在看黑板上有两种方案，底下处理两种方案，还有没有别的做法？ 还有没有来，你说只有三减十六分之三，三减十六分之三。好，三种方案。好了， 现在看，我们看这两种方案，我们大家来看第一种，那看这一种它采用的什么办法？通分，通分， 把一分母的分数给它转化成了通分，也在变形，对不对？对。好了，通过变形最后得到四十六、十六分之四十五。这种方案大家来看来，你起来说这种比较新颖，以前我们没见过，是吧？ 你学我们只会怎么样？通风常规做法。你上来给大家讲你这个题你是怎么想的？因为这道题全部它的分子都是三，所以我就用用了乘法分配律的方法，他们把这个算式化成了三乘二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一的停，有没有道理？ 有好，所以这个算式得出来就是十六分之四十五，那么二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一。刚才还是位置的，那等到现在我们解这个题的时候，就已经变成了 这个非常善于运用我们转化的策略。那在上课之前他还是未知的，马上运用刚才学过的一致的东西看。第一步他转化成了三成，我们刚刚学过的二分之一加四分之一，加八分之一加十六分， 这是我们刚学过的对不对？对。他能够把我们这个复杂的分数加法题转化成我们刚刚学过的三乘二分之一加四分之一，那么这样直接三乘十六分之一，你说他简单不简单？简单 真好，这个办法真妙。那孩子们，这个题尽管大家也用了变形，对不对？变形的结果是大小没有变，但是孩子们我如果后面再继续加，加那么多，你说通风 你做起来感觉麻烦，这种方案你觉得无论有多少我都可以，怎么样一步怎么样算出来？好了，再看，我们来梳理一下这个解决过程。在这个题，这个同学他用了几步好了，这四步哪一步最关键？第一步最关键。为什么第一步最关键？ 为什么第一步最关键？来，你说对了，把未知的变成了已知的，所以变形非常重要，一定要把未知的给他变成已知的，当然问题就变得简单了。好了，那接下来我们再来看一道题， 这道题他说巧用分数表示阴影部分的面积。解决这个题的时候，孩子们是有一定技巧的。现在四人一组合作，我们来讨论讨论这个题究竟怎么算。 大家讨论有结果了吗？有结果可能还不止一种方法，是吧？对，来，你起来说，你们组最后头，你们组把这个给他旋转，那你上来转，你看大家看他们组的方案，你转正的目的是什么？把它放到数格子，数个格子，你数几个子？ 数，整个一二三四五六七八九。所以就用哪个分数来表示？十六分之九，十六分之九？说他就用十六分之九来表示好了，同意的举手， 那不同也举手。为什么？你说孩子们是整蛊吗？不是，看下边多出来了没有？多出来了，左边多出来了没有？多出来了，右边也多出来了。我们断定他一定比十六分之九多还是少多，所以他绝对不是十六分之 九九。那哪个组方案和他不一样？来，你说我们小组讨论的结果是这样的，我们从反面入手，从空白部分入手，这一共是三格，这是 一二三三大格。好，这块他就变成了一点五格，因为对角线一连就变成了四点五格，那么我把这个变成了一点五格，大家同意不同意？同意，有道理。我们把这个空白部分挪过来凑， 这发现这块也是一点五格，那我们就可以相拼，现在一起拼成了三个，两两相拼，拼成三个整格，这个可以用同样的方法，也把它拼成 三个整格，它一共有十六个格子，这回我们一共把它拼白部分拼成了六个整格，所以我们就可以用十六分之，用十六减去六，等于十六分之十来表示阴影部分的面积。 十六分之十在一页分多少？八分之五，他这反面入手，你们走，你起来，不说你们为什么要用反面入手，反面的是非常直观的，对不对？对，非常简单。好了，说的方法和他还不一样， 我们方法不一样。来，你们走，你上来说说。首先是我看他中间部分是有四个整格子， 就是说他中间部分就可以占十六分之四。接着再看，这里有来，你只说中间有四个整格，就是十六分之四，整格就十六分之四，旁边这还有三个被分成了一半的小 整格。那我就可以想这两个直角三角形可以这样把它分成三个整格，拼成了一个整格，上面还可以跟下面这个拼成一个整格，这个是三个，这个加起来就是六格，再加上这四个也就是十个。 找到岳飞之后，也就是八分之五个。孩子们经过这么一变形，全部都是整格。阴影部分，他说一共几个十格，那么占整个的八分之五，一共多少个？ 十六分，那么十六分之十约分以后八分之五、八分之五。好了，刚才我们解决了一些问题，来研究了在解决问题的策略转化。解决问题的策略转化这节课大家有什么收获？

来看考题六，圆柱表面积的增减变化问题，这个题目熟不熟？是不是你在学习长方体正方体的时候，也天天做表面积增减变化？题型都是一样的，它就是由一个直愣愣的长方体正方体变成了一个圆不隆咚的圆柱和圆锥了啊，都一样。 来看第一题，一个圆柱形木料的底面半径是零点五米，长是两米，如图所示， 把它，把它啊结成四段，这些木料的表面积之合，比原来原木料的表面积增加了多少平方米？熟不熟？结四段结几刀？是不是结了三刀，一刀增加几个面，一刀增加两个面， 对吧？那三刀就是三乘二，等于六个面。好了，这道题目就很清晰了，你通过它的结法，你可以看到它增加的是什么面，是不是它的底面，也就是增加几个圆，就是增加六个圆， 六个圆的面积还不好求啊。 pi 二的平方吧，也就是零点五的平方，去乘我们的 pi 几个六个，然后再乘六， 直接等于一点五， pi 或者是四点七一平方米就出来了，简单吧，和我们前面做题目都是一样的啊。

子们都有逛过超市吗？逛过哎，我们看到了一些物品的包装， 哎，这些物品为什么是这种样式进行包装呢？ 你说这样包装好看美观，哎，包装好看美观，真好，请坐。好，你说运输方便啊运输方便。好， 你来节省材料。哎，节省材料，看来呀，这里边还藏着一定的奥秘，想不想揭开它？想好，那么我们就先从这些小正方体开始好，仔细观察， 两个一立方厘米的正方体拼成一个长方形，表面积有没有变化呢？ 思考一下，你说有，哎，有，怎么变了？两个面拼成一个面，两个面拼成一个面了，减少了两个面。好的，请坐。谁再说一遍？ 说表面积有变化，少了两个面，少了两个面。哎，我们来看一下， 就是重合了左右两个面，就是上下两个面，重合了上下两个面， 它们共同的是都少了两个面，都少了两个面，少了。原来两个正方形面的面积分别是多少呢？ 你说是一平方，是两个一平方厘米的正方形的面积，所以他就减少了二平方厘米。哎，这个回答呀，可真是啊，完整了，好， 都减少了二平方厘米，减少的位置心里边清楚了吗？清楚了，好，那么三个这样的正方体拼成一个长方体，它的表面积又是怎样的呢？ 哎，真不错了，好，你来拼一次就减少了两个面，用三个这样的正方体拼成一个长方体，就会拼两次，所以就一共减少了四个面， 表面积就会比原来减少了四个正方形的面积。好，请坐。那么谁能用具体的数字或者通过图形的对比，再把你的想法说给同伴们听一听。 好，你通过计算，一个正方体有六个面，三个正方体有十八个面，三乘六等于十八，而拼起来用三乘四加二，总共呢就只有十四个面， 十八减十四，就等于藏在里面的面藏了四个面。对这个回答，你满意吗？满意。 刚才呀，我们通过计算和图形的对比，我们都发现他减少了两个面。哎，我们知道了，三个正方形，他要拼几次呢？两次，哎，拼的次数比他的个数 少。那么每拼一次呀，每重合一次，他的表面积就怎么样 减少两个面，对，每重合一次，它的表面积就减少两个面，非常厉害。好，孩子们，那么四个这样的正方题啊，思考一下，是不是也是这样的呢？ 好，你说拼一次就减少两个面，然后四个正方形拼四个，四个正方形拼在一起要拼三次，三次就减少了六个面。好，有不同的想法吗？ 有没有？你说四个一个正方体的总共有两六个面，然后四个正方体就有二十四个面，它拼起来之后就有四乘四，再加二就是 十八个面，然后二十四减十八，也就等于六个面，他就减少了六个正方形面的面积。嗯，他是通过计算我们来验证了，每天一次就减少两个面。回答非常好。孩子们，那么 四个正方形，五个正方形，六个，七个 n 个正方形拼成一个长方体，又会有怎样的变化呢？我们一起练，三个正方形就一共有十八个面， 拼成后减，每拼一次就减少两个面，三个正方形要拼两次就减少四个面， 四个四个正方形有二十四个面，用四乘以六减少了六个面， 五个正方形，一共有三十个面，减少了八个面， n 个正方体，每个正方体有六个面， n 个正方体就有六， n 个面减少了每拼， 嗯，他拼的，他总共的个数，拼的次数总比正方体的个数少一，所以就用二乘，就用括号 n 减一，括号乘以二， 是这样子对吗？好，同学们，他的他组里边的回答你们满意吗？满意， 老师看着同学们疑惑的眼神啊，想在一起，哪位同学来说说这儿的 n 表示什么？ 你来这儿的 n 表示正方体的个数。哎，那么 n 减一呢？ n 减一是求的，它就是 n 是 个数，减一是求它拼的次数，拼的次数， 正方体的个数比他拼的次数少一点。我们用 n 减一来表示啊，然后，然后拼一次，减少两个面，所以就用 n 减一就是求的拼的次数，然后再乘以二，求他减少的面。 请坐，同意不同意？同意。 那么五二班的同学就是厉害，想到了用 n 来表示正方体的个数，那么他拼的复数就是用 n 减一来表示 减少面的面数，就是用二括号 n 减一括号，也就是 这个是他拼的复数，然后乘二就是他前面念的念的，我们可以写成 二括号， n 减一括号，对吧？对，好的，真厉害，还有什么想说的吗？ 哎，徐老师，长方体里面有没有这样的对应？哎，哎，请坐。孩子啊，你真是老师的知音， 好像就是老师的托儿一样，说到徐老师心里边的心坎里边去了。那么现在我们来看看，把两个长方体拼成一个大长方体，思考一下，有几种拼法呢？ 你说有三种，第一个是两个，是左右两个拼的，第二种是上下，第三个就是前后拼。好的，请坐他的英语可以吗？ 它的意思就是重合上下面，还有呢？重合左后面，最好的重合左右面，我们一起看重合上下面，它减少的面积怎么表示？ 你说用五乘以四乘以二，五乘四乘二，那么共同的特点是都怎么样？减少了两面，减少了两面面积。好，我们来看一下。那么第二个长方体， 你说用五乘以三乘以二，五乘三乘二，重合在那两面面积非常好，请做。哎，重合左右面的面积减少在哪呢？好，你来三乘四乘三乘四乘二，确定一下。 哪种听法的？有念经是吧？哎，说说你是怎么考虑的？为什么是第一种啊？哎， 这里因为它减少的面积最大。减少的面积怎么样？最大？好的，非常好，因为我们知道了重合面越大，表面积就怎么样了，越小。哎，对了，重合面越大，表面积越小。 现在呀，老师问你，原来一个正方体的表面积怎么求呢？ 原来一个正方形的角面积怎么求？你说用长乘以宽乘以二，加长乘以高乘以二，加宽乘以高乘以二。哎，好的，你能具体的列一个三十四吗？ 列个括号，五乘以三、乘以二加五乘以四乘以二加三乘以四乘以二， 我们快速的来一起来运算一下，九十四。好的，请坐，是九十四平方厘米，对吧？那么两个这样的长方体，它的表面积合起来是多少呢？你 用九十四乘以二，等于等于一百八十八平方厘米。一百八十八平方厘米，对不对啊？对，好的， 孩子们，你能快速的算出一号天成的新长方体的表面积和方长吗？ 好，你来用一百八十八平方厘米减去五乘以四乘以二，等于得等于一百四十八平方厘米。好，一个。好耶，好耶，接下来第二个。好，你说第二个，就用 一百八十八平方厘米减去重合的两个面，就是五乘以三乘以二，算出来就等于一百 五十八。欢迎欢迎，你说这三个面就用那个重合的两个面相，那个乘就是用三乘以四乘以二等于二十四立方厘米，再用二十四 平方厘米，哎，非常好，一百八十八平方厘米减二十四平方厘米。同意不？答应， 前事不忘后事之知。好，我们来看一下，现在你知道了吗？为什么这些商品是这种样式进行包装呢？ 你能说出为什么了吗？啊，女孩子为了节省这个包装的材料。哎，好的，请坐，还有不同的观点吗？好，你说。加好计算表面积和体积，哎，好的，请坐，更注重于它重合的面怎么样 最大，那么包装的材料就会怎么样，哎，对了，非常好，节约是我们中华民族的一种美德。好的，孩子们，我们继续来看啊。用第五个正方形 来拼成一个长方体。好，念一下有几种拼法， 怎么拼？有几种拼法，你说可以有两种不同的拼法。好，第一，第一种是 横着拼，横着排，排成一个长。望景床是六排成一排，床是六厘米，宽是一厘米，高是一厘米，同意吗？同意 啊，你说排排两排，排 排两排，每排排三个，排两排，每排排三个，也就是长是二，二是二，那么我们也可以把它排成 排成两层，是不是一样的呀？是，我们看看这一个 和我们旋转九十度以后啊，拍摄两排是不是一样的呀？是好的，现在老师增加难度，想想他们的表面积谁大大多少 考虑一下。好，你说 第一号的，一号的长方体的表面积最大，因为一号的长方体他 拼了，拼了五次，然后每拼一次就减少两个面，所以一号就减少十十个面。二号呢？他拼了七次，相当于拼了七次，孩子们看清楚了吗？ 拼了七七次，一拼一次就减少两个面，所以二号就拼了十四个面，然后他是用十四减去十，也就等于四个面，所以二号长一，一号的长方体的表面积最大。

今天还是考多少分就吃多少钱。九年义务教育的漏网之鱼，挑战速教版六年级数学试卷，看看能考多少分。 上次考人教版的六年级数学只够吃个早饭，这次学聪明了，早上不那么奢侈了，早餐就三个包子，就花了四块五，连豆浆都舍不得配，我就不信四分半都考不到。哈哈哈， 上次考完人教版我复盘的时候才想起来我根本没上过六年级。我小学是在山东上的，山东那边是五加四，然后小学五年级毕业我就回安徽这边上学了。安徽这边是六加三，所以我小学是五加三。我都没想过我是九年义务教育的漏网之鱼，哈哈哈哈。 九十分钟满分一百分，现在是早上九点十二分。三分之二的导数与四分之三的和的二分之一是，上次考完我就恶补了一下导数四分之六加四分之三等于四分之九的一半，四分之 四点五什么的，五分之三比他的四分之一多二十八。这，这给我一把刀的特效啊，圆锥的体验。天呐，熬不住的人放在一起就不懂哈哈哈。过一件商品按定价的百分之八十出售，可获利百分之二十。 论定价出售和获利，那肯定是更赚钱。你这不是废话吗，多赚多少来，哈哈哈，多赚多少啊。就这题，我朋友圈所有做生意的有几个会的？观察规律，二四八四六三二一三五七九。终于有个会的了，哈哈。两百五十， 又是二十七分钟，能写的都写了，填空题填了六个。哈哈哈哈，遇到我最爱的会乱写的选择题，时速提高了用了多少分钟？时速提高不是物理题吗？真分数一题都不会了。嗯， 算了算了算了。多选 b， 少选 c， 尽量不选 a 和 d， 全选 b。 这个我会啊，二分之五，这个就算了。画出图形， a 绕点屁逆时针旋转九十度厚的图形 我给你三百六十度后空翻降玄武十八掌加七八十度托马斯回旋踢。我教你哇我哇你个嘚哇！甲乙两车同时从 a 开往 b， 假设到达 b 后立即返回，在 b 地二十公里处与乙车相遇。 已知乙车的乙啊，哔哔叭， 算了算了，我跟自己合减，再做下去，我觉得我的头发都保不住了。用时一个小时，一共写出来十五题， 还包括全选 b 的 选择题。哈哈哈，我也不想批改了，我想说的就是，马上就要考试了，对娃一定要好一点，就这题，月薪三十万的人不一定能考三十分。我就把卷子放在视频最后，不信你们做做看，下期见！下期见！晚上实在考不住了， 肯定还够吃个包子的，幸亏早上没配豆浆。 the next day 你 瞧，给饿的。

时光在流逝，风起云涌，阴晴圆缺，城市在面前，万事万物都处于千变万化之中。人也是这样。 这是一个孩子刚出生时的样子，三岁， 六岁，九岁，慢慢长大。从数学的角度看，你能找到变化的量吗？请你来， 他的身高一直在增长，是的，身高是一个变化的量，还有吗？你来。女生， 他的年龄也在增长，是的，年龄也是一个变化的量。数学中我们就把这样变化的量叫做变量。我们一起来看。九岁前，年龄在不断 增长，身高呢也在增长，也随着在增加。我们就说 晨光随着年龄的变化而变化。是啊，这一组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先收给你的同桌听一听。你来， 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看。高度在不断变化，增加体积呢， 也太重要，如果高度减少，体积也减少。高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度体积你来， 没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米，体积就随着增加 立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五，一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现，首先我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值？是啊，体积与高度的比值十五是不变的。今天这节课，我们就一起来研究变量之间的数量关系， 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 一点五厘米，二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这的阶梯就越来越 牛，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一， 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多哦，是的，还要窄，还要多。想象一下，如果间隔无限细分下去，会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象，无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看造果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬，你们越来越会想象了，你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样统一变化的。变化中我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的？ 高度与体积的比，是的，体积和高度的比值是不变的，我们就说体积与高度是成 正比量，正比的量，它们的关系就是成正比量的关系。今天这节课，咱们就一起来认识正比，回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？ 首先，然后，最后 你来。 首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化。之后得出了结论，体积与高度是成正比的量，成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。首先我们要先找到一组 变量变量，然后通过算一算，发现它们的比值是变了。最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系。 加油，我们也很熟悉了，这会不会成正比关系的量呢？ 一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？能吗？能，完成作业纸 不愁入，你们也是这么想的吗？是来说说看， 你来对女生，金额随着油量的变化而变化， 因为他第一个金额是七十七点六，然后除以有量就等于他单价是七点七六，然后后面用一百五十五点二除以二十也等于七点七六，后面两百三十二点八除以三十等于七点七六， 三百一，十点四除以四十也等于七点七六，他们的比值都是一样的，所以金格和油量成正比例关系。你说的真好，女生已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。这儿呢，你会说了吗？ 你来，身高随着年龄的变化而变化，五十比一等于五十， 九十七比三约等于三十二点三，你发现比值不想，所以它们就不成正比关系。是啊，看来不是所有的变量都成正比关系。 这儿是两辆汽车的行驶情况，哪一辆汽车行驶的路程和时间成正比关系呢？先看一看， 有答案了吗？大声说，哪一辆？甲戳你戳呢？为什么你戳的路程和时间不成正比关系呢？你来， 因为以车它的比值不一样啊，它它时间和路程的比值不一样。快速看一看，是这样吗？是啊，刚才你们说打车的路程和时间成正比关系，你来说说看呢？ 你来，因为一百，没关系，因为一百。嗯， 是的，笔直找到了不变量，还要找到变，会补充了吗？你来， 路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长。是的，刚才女生还说到他们的比值是相等，所以路程和时间就成正比关系，这样的时间还能继续变吗？可以，五小时 五百铅笔，六小时六百铅笔，七小时七百铅笔。说得完吗？说不完。那想象一下，表示路程和时间的图像会是怎么样的呢？用你们的手势比划一下。 哦，接收到信号了，是不是这样呢？ 可你们想的一样，越来越有感觉了，现在速度是一百就长这样，如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？想好满足你们。现在速度想变成多少？随便说 随便说，你说三百。好的，来看看。 巧，它就长这样。现在速度慢一点可以变成多少？你说三十五？好的，来 看，你看爬成这样。现在我们再大胆一点，如果不是汽车速度开快一点，你放上直接喊 一千。好的，在看之前先想象一下会是怎么样的，用你们的手势比划一下。 哇，是这样吗？看他来了怎么样？ 果然和你们想的是的，只要速度一定，路程和时间就成。

今天我们学习了圆柱的侧面积，请看圆柱的侧面积等于地面周长乘高， s 测等于 pi d h， s 测等于二 pi r h。 这是求侧面积的三种情况。已知周长和高，用 s 测等于 c h。 那 如果已知半径和高呢？ 用 s 等于二拍 r h 来根据题中的条件自由选择合适的公式。请看第一道题目， a 节圆柱形通风管的横截面半径是五厘米。读题，先看单位， 长是一米，单位不同，他的横截面周长是多少厘米？向问题看齐，先画单位，哎，所以一米等于一百厘米。 好，画完之后，我们来看圆柱形的通风管。看，这就是一个圆柱形的通风管。第一问，要求他的横截面周长。来，快看，横截面在哪呢？在这， 这就是横截面，我们要求它的周长就是求圆的周长。快看条件，已知半径，求周长，相公是 c 等于二倍儿。 代代公式，二乘三点一，四乘五，快看！在计算这个的时候，我们要用到减法，先算二乘五，二乘五就是十，十乘三点一四等于三十一点四厘米。 好，我就求出了，避免中长来。接着看，做这样一节通风管至少需要多少平方厘米的铁皮。 哎，快看，做通风管我们只需要做他的什么面呢？对，侧面，所以球体皮的面积，也就是求圆柱的侧面积。快想公式，圆柱的侧面积等于地面周长成高， s 测就等于 c h。 哎，我们的周长是三十一点四，三十一点四乘高一百 就等于三千一百四十平方厘米。好，这道题的两个问题就全部解决了，点个赞吧！

说教版六下数学小升初提优必练十七大母题打向突破，开学稳赢！说教版六下数学小升初提优必练十七大母题重点考点要求，掌握专项一、认识扇形统计图二、选择合适的统计图 三、圆柱和圆锥的认识四、圆柱的侧面积和表面积五、圆柱的体积六、圆锥的认识七、整理与练习八、解决问题的策略十七、描述行走路线有完整版。