安徽一模数学试卷2026基本不等式

好，同学们，大家好，今天我们来学习不等式及其基本性质。首先我们要先认识不等式， 在现实生活中，两个量之间的关系不仅说有相等，还有不等，例如倾斜的天平，两边物体的质量不相等， 这就体现了不等关系。我们在表示不等关系的时候，一般采用不等号， 主要包括大于、大于等于小雨、小雨等于和不等雨。那么含有这种不等号的式子，我们把它叫做不等式。 好，我们看一下问题。问题一，要求用适当的式子去表示下列数量关系。第一个， a 与 b 的 差是负数， 所以 a 减 b， 它是负的小于零。第二个， x 的 五倍与一的差大于 x 的 三倍， x 的 五倍是五， x 与一的差减一大于 x 的 三倍，所以大于三 x。 第三个，二 x 与三的和不大于五， 那也就是二 x 加三不大于，说明是小于等于，所以二 x 加三小于等于五。第二个问题，闪电的温度大约是两万八千摄氏度， 比太阳表面温度 t 的 四点五倍还要高，也就是四点五， t 是 小于两万八的。 第三个药品，每片是零点二五克，每日的用量在零点七五到二点二五之间分三次服用， 那么在这种情况下，说明每次的用量大约是零点七五除以三到二点二五除以三之间，也就是零点二五。 x 大 于等于零点二五，小于等于零点七五。 这里面不大宇代表的是小宇或者等宇。用小于等于号表示不小宇代表的是大于或者等于。用大于等于号表示。 第二个，不等式的解与解集能够使不等式成立的未知数的值，我们把它叫做解， 所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。例如二 x 加三小于等于五， 当 x 等于零的时候，左边是等于三的满足，小于等于五，当 x 等于一的时候，左边等于五，同时也满足小于等于五， 当 x 等于二的时候，左边为七，那么在这种情况下，我们知道七是大于五的不成立。 也就是说，对于这个例题来讲， x 等于零和 x 等于一都叫做这个不等式的解。 那我们看一下思考一， 判断下列个数是否为该不等式的解，其中 x 等于负一、零点五、一点五和负二， 那么我们在进行判断的时候，只需要将 x 等于具体的数值代入到原来的不等式，看能否满足小于等于， 如果满足，那就说明是不等于的减，如果不满足，那就说明不是不等于的减。 好，再看第二个思考能不能找到其他减。比如 x 等于负十， x 等于零点九九， x 等于一，那么注意， 只要 x 小 于等于一，那么都是可以满足这个不等式的。那么将这些解在竖轴上面表示出来，可可以发现它们都落在表示一的点及其左侧， 所以该不等式的解集就是 x 小 于等于一。注意，我们在数轴上面去表示解集的时候， 因为我们的解集有两种情况，一种是含有端点的，还有一种是不含端点的。 那含有端点的，我们在竖轴上面表示时，需要将表示一的点画成实心的，如果不含端点，则需要把表示一的点画成空心的圆圈。例如 x 大 于等于二，那么对于这样的一个解集来看的话，我们就需要将表示二的这个点用实心点表示， 大于等于二全部在二的右边。再比如说 x 小 于负一，同样的，我们在用竖轴表示时，需要注意的是它这里面不含负一这个点，所以 应该用空心圆表示，因为 x 小 于负一，所以在负一的左边，也就是这么画 好，接下来我们看第三个不等式的基本性质一、加减性质。 我们看下面第一张图，通过第一张图，我们发现，天平左边的质量为 a， 天平右边的质量为 b， 同时这个天平向左倾斜，所以说明 a 是 大于 b 的。 那么在这种情况下，我们在天平的两端同时加上一个质量为 c 的 砝码， 那天平仍然向左倾斜，同理，同时减去质量为 c 的 砝码，倾斜方向也是不变的。 那么通过这样的一个图，我们可以知道，不等式的两边都加上或减去同一个数或式子不等号的方向是不会发生变化的。 那么用数学语言表达，即如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 仍然大于 b 加 c， a 减 c 仍然大于 b 减 c， 这个性质对于大于等于、小与小与等于同样适用。 比如 x 加二大于五，两边同时减去二，得到 x 大 于三。 不等式的基本性质二、我们回忆一下，如果将刚刚的第一个天平两边质量同时扩大相同的倍数，比如变为原来的二倍，或者同时缩小为原来的几分之一， 我们思考一下这个天平倾斜方向是否会发生变化，那很明显，天平的倾斜方向是不变的。由此我们可以知道，当不等式的两边同时乘以或除以同一个正数 不等号方向不变，用数学语言表示，即若 a 大 于 b， 且 c 大 于零，那么 a 乘 c 大 于 b 乘 c， a 除以 c 大 于 b 除以 c。 例如，三 x 大 于六，那两边同时除以三，得到的是 x 大 于二。再比如，二分之 x 小 于四，两边同时乘以二，得到 x 小 于八。 我们发现同时乘或除以同一个正数，不等号的方向是不会发生变化的。这个点同学们一定要记着，除正数的时候符号不变，那同时乘除负数呢？ 我们来看一下，如果 a 大 于 b， 比较负 a 和负 b 的 大小，他说在竖轴上点 a 在 点 b 的 右侧。好，那么这种情况，我们就画一个竖轴，点 a 在点 b 的 右侧，这是 b 点，这个是 a 点。那么它们关于原点的对称点是表示的数是负 a 和负 b， 我 们对称点，这个表示的数是负 b， a 点的对称点过来，这里表示的是负 a。 那么在这种情况下，我们会发现负 a 在 负 b 的 左侧，所以负 a 小 于负 b。 例如，五大于三，则负五小于负三，零点二大于负一，则负零点二小于一。 也就是说，如果 a 大 于 b， 两边同乘负一，那我得到的应该是负 a 小 于负 b， 那两边同乘负三呢？那就变成了负三。 a 小 于负三 b， 那 我们观察一下，原来的是大于号，当我同时乘以一个负数的时候，我们发现它的符号发生了变化，大于变成了小于， 那由此我们可以归纳出性质三不等式的两边都乘或除以同一个负数不等号方向改变， 用数学语言表示，即如果 a 大 于 b， 且 c 小 于零，那么 a 乘 c 小 于 b 乘 c 小 于 b， 除以 c， 例如 负二， x 大 于六，两边同时除以负二，因为它除以的是一个负数，所以符号改变，大于号变成小于号，也就是 x 小 于负。三、 接下来看不等式的性质四和性质五，性质四，对称性。如果 a 大 于 b， 那 反过来 b 小 于 a， 例如三大于 x， 则 x 小 于三。性质五，传递性。如果 a 大 于 b， b 大 于 c， 那 么 a 一定是大于 c 的。 好，通过这个性质五，我们可以推广至其他的不等式链，例如 角 a 大 于角 b， 角 b 大 于三十度，那么我们可以推导出角 a 一定大于三十度。接下来我们看一下例题， 第一个在下列式子中属于不等式的。注意这个考察不等式的概念，就是说我们一定要有不等号。常见的不等号主要有 大于、大于等于、小于、小于、等于和不等于。那么我们接下来看一下。第一个负三大于零，它有不等号，所以第一个是 三。 x 加四， y 大 于零，有不等号，是的， x 等于三，它这里是等式，所以三不是。 第四个 x 平方加 x， y 加 y 平方，它没有不等号，它是一个代数式，所以四不是。第五个 x 不 等于五有不等号，所以它是的。第六个 x 加二大于 y， 加三 有不等号，所以它也是的。那综合打勾的一共有四个，所以这道题答案选 c。 好， 我们来看一下第二问，已知 a 小 于 b， 则下列不等式成立的式 a 选项。通过观察，我们发现两边同时乘上了负二，那么我们需要编号，所以 a 选项是错的。 b 选项 二减 a 小 于二减 b， 那 因为 a 小 于 b， 所以 这里的负 a 一定是大于负 b 的 两边，再同时加上二，所以最终得到的符号应该是大于号， 所以 b 选项是错的。 c 选项 a 乘上 c 的 平方小于等于 b 乘上 c 的 平方， 那我们现在知道 c 平方是大于等于零的，那么当 c 平方大于零时， 那 a、 c 的 平方是小于 b、 c 的 平方，当 c 平方等于零时， a、 c 的 平方是等于 b、 c 的 平方。所以两个综合一下， 我们可以知道 a、 c 平方一定小于等于 b、 c 平方，所以 c 选项是对的。再看 d 选项， a 除以 c 平方小于等于 b 除以 c 平方，这里的 c 平方在分母，所以一定要求 c 平方 大于零，那我们根据不等式的性质二，可以知道 a 除以 c 平方一定是小于 b 除以 c 平方的，不能有这个等于号，所以 d 选项错误。 好，那我们看一下本节课主要学习的内容是什么？第一个不等式的核心概念，不等式定义用大于、大于、等于、小于、小于、等于或不等于这些符号表示不等关系的式子。 我们把这个不等式而不等式的解，是能够让不等式成立未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解集是能够使不等式成立的未知数的值的全体，我们可以在数轴上表示出来，其中实心的点包含，空心的不包含。 那第二个等式的基本性质，不等式性质一两边同时加上或减去同一个数或式子方向不变，也就是弱。 a 大 于 b， 则 a 加 c 大 于 b 加 c， 第二个两边同时乘或除以同一个正数方向不变。即若 a 大 于 b， c 大 于零， 则 a 乘 c 大 于 b 乘 c， a 除以 c。 不等式性质。三、两边同乘或除以同一个负数方向改变。即若 a 大 于 b， c 小 于零， 则 a 乘 c， a 除以 c 小 于 b 除以 c。 其他性质，若 a 大 于 b， 则 b 小 于 a， 这叫对称性。 若 a 大 于 b， b 大 于 c， 则 a 大 于 c， 这叫传递性。

同学们好，咱们接着讲解咱们不等式的大题的题型串讲。先看第一个题，某农村合作社为了提高蔬菜产量，前面这话没什么用啊，他说初期需要投入固定成本二十万元， 这第一个成本，固定成本。除此之外，建造 x 个蔬菜大棚需另投入成本 d x 万元。 并且 ds 有 两段式子，就是个分段函数，就是 x 在 十以内呢，是这个二次函数，在十以上，是一个类似于对勾函数的一个函数。 呃，初步估计每个蔬菜大棚未来能带来三十万元收入。好，这三十万元是每个大棚，而你有 x 大 棚，那总额收入应该乘以啥？ x 是 三十 x 万元。 第一问，求这个大棚带来的利润 l x 与这个大棚 x 的 个数这个关系吗？来第一问，要分类讨论。当零小于 x 小 于等于十的时候， 明显这个 l x 它是利润，而利润等于啥？总额入减去一个总成本有俩成本，一个固定成本，一个投入成本。那总额入一个大棚是三十万元，那 x 是 三十 x 减掉。呃， 投入成本 d x 减掉一个 s 平方，加上一个十 x， 要加括号，再减掉固定的二十万元。咱化简一下，化简完之后，就等于一个 负 s 平方，加上二十 x， 再减二十，这第一个二次数。第二段，就如果 x 它超过十的时候大于十十， 这个时候咱们这个 l x 它是等于谁？等于一个依然是总额收入，谁三十 x 减掉，呃，第二个依然是个投入成本 d x 四十 x 用的是第二个式子啊，加上一个 x 分 之一四四零，再减三百八，要加一个括号，最后再减固定成本二十万元， 然后去括号一化减，那就是一个负十， x 再减去一个， 减去一个 x 分 之一四四零，就合并一下，是加三百六， 最后写成分段式。综上所述， l x 与 x 的 函数关系式， l x 等于一个大括号，写第一个二次函数，负 x 平方，加上二十 x 再减二十。括号 x 要在零到十之间， 零小于 x 小 于等于十，并且 x 属于谁？属于 n。 第二个是复式 x 减去 x 分 之一四四零，再加上一个三百六十。括号 s 要大于十， 并且 s 属于 n。 好， 这是第一问，第二问就是在第一问的基础上去求这个 l s 的 最大利润，那就分段求最值。第一个是二次函数，配方法是最值就用对准轴， 当零小于 x 小 于等于十的时候，这个 l x 就 等于一个呃，负 s 平方， 加上一个二十倍的 x， 再减去一个二十。我配方配方就是把符号提出来，加括号， s 方减二十， s 加上一个一次项系数一半方加一百，再减一百，后边减二十，倒数 配完方就是个负的 x 减十的平方，再加上一个八十。 那很明显，当 x 等于谁十等于十的时候，这个 l x 有 最大值，然后呢？最大值为八十， 最大值为八十，这是第呃第一种情况，第二种情况，当这个 x 它大于十的时候， 这个 l x 啊，把它抄出来是负十倍的 s 平方，减去 s 分 之 一四四零，再加上一个三百六。前边两个都是负数，而负加负用的是第二个不等式，公式是小于等于负二倍的。根号下可不要用错了啊，负十倍的 s 平方 再乘一个 x 分 之负一四四零，加上三百六，里边抵消是是一万四千四百四十一，要一万四千四百，那开方就是一个一百二一百二乘负二负二百四，一加是一个 一百二十， 当且仅当负十倍的 s 方等于负 s 分 之一四四零零时候， 及解一下，那就是一个 s n 十二及 s n 十二的时候，等号成立。 他问的是最大利润，那我要两段比大小，第一段是八十，第二段是一百二，明显八十小于一百二，所以说最大利润是一百二十万元，此时 s 取十二。所以说当 这个呃 s 谁等于一个十二的时候，怎么着？总利润最大， 最大利润为最大利润 为一百二十万元。这是这个 十二题，这个题目就是一个单纯的一个啥，一个函数与不等式结合问题，他没有涉及到什么含餐问题，难度比较常规，而这个十三题 跟这个十四题，尤其十四题难度稍偏大点点，咱十二十三题他们自己做十四题，咱们讲解一下他用到啥含餐这个横成的问题了。 呃，前边这话就不读了啊，就要建一个啥？建一个长方题的啥？这个仓库，然后呢？这个仓库呢？有一有一侧是靠墙的。 呃，建造的一面高为三，而底面积为十二的一个长方体，长方体形状。一个啥？一个保管室。呃，一个啥？一个这个仓库，一个仓库， 由于这个保管室保管员室啊，就这仓库，虽然这就保管员室吗？呃，这后背靠墙，没错，就是后背，就不用他管了，他靠墙，墙通当了。然后可以减少成本吗？减少成本吧，无需建造费用， 因此假工程队给出报价是如，呃，是这样说的，污渍前面圈起来，前面的这个墙体造价为每平方米四百元，左右两面这个啥，这个报价为每平方米 每平方米一百五十元。屋顶跟地面整体就是花了七千二百元，就是这是个定值。设屋子的左右两面墙的长度为 s， 这个长方体，这个，呃，保管员室啊，就是这个啥，这个仓库 啊，这个包裹原式，包裹原式啊。然后他的啥这个高，题目给他是三，他的长跟宽没有给这个底，面积是十二，看见没？底面十二，他说这个，呃，左右那个啥，那个 墙的长度，啥是 x 就 宽是 x， s 在 二到六之间，说明啥？这个长就出来了，长就是那宽，有了面积除以宽好这么多啥这么多里这么多米， 这是长长宽高都有了，来看，求啥？当左右两面墙的这个长度，就问你 s 为多少时，这个总费用最低，咱第一位。咱设这个假工程队， 他的总总报价，总报价为外外外啥？外元吧，为外元，总报价为外元。 呃，一题的，来，咱们把这个啊总费用给求一下。 y 就 等于首先，呃，先看一下这个左右两个面，它这啥，它这宽是 x， 它高是一个三，那一个面就是三 x 左右两面要乘以二，这是两面面积，而单价是四百乘以四百即可。这是左右两个面 啊，看错了，左右报价啥是一百五，应该乘以一百五，这是左右两边的做报价，加上这个前边这个面，后边那面靠墙，不需要费用。前面这面他是啥高是三，他是啥？长是一个 s， 分 之十二，刚说过了，好，长乘一个高是三乘以报价是四百元每平方米。 好，再加上下面的总报价是七千二百元。把知识的化简一下，一化简完之后，它就是一个 九百 x 加上一个 x 分 之一四四零，一四四零零， 再加七千二。其实这三个数都能啥提出来，九百九百是一个公因数啊，我都，我都不提了，他说让我求一下这个啥最低，那基本不能是他要大于等于二倍根号下 九百 s 乘以 s 分 之一四四零零，再加七二零零， 那么 s 一 销，呃，九百开出来三十，呃，一四四开出来一个一百二，那三十乘一百是三千六加乘以二七千二，但是一四四零零好，这么多，这么多钱。当且简单。 第一问，没有难度，而你要说难点的话，就是一定要把这式子列对，这个很重要。好，剩下就是一个基本不倒数问题了。当且简单九百 x 等于一个 x 分 之一四四零零的时候， 题解一下， x 等于谁？ s 等于一个四 等号成立，然后答一下即可。答，我简写了啊。答，就是说当左右两面墙的长度啥为四米时，假工程的啥这个报价最低，报价最低 啊。第二问，他说现在以工程队啊，也开始参加啥这个啥，建造这个保保保安室这个呃，保安室这个竞标了，其给出报价是这么多元里边还有啥？还有一个参数 a， 还有个参数 a， 他问，你，无论左右两面墙长度有多，就 s， 不 管娶谁，乙对都能够竞标成功，乙对都能够竞标成功。也就说不管你 s 取二到六的任何一个值， 以工程队的费用都比假工程队要低，所以他就真比较成功了。费用比较低，那就有有有选我老师那个，这个第一问，哦，我求过了，这个假工程队最低谁是一四四零零？不好意思，不能用。同学们，为啥？因为你取一四四零零是 s， 取的是四， 而你应该是一个二到六，一个任意一个值，所以应该是一个啥变了，跟前面就没有啥关联的，所以你不能取一四四零零，咱做一下。也就是说，既然乙工程队胜出了，就意味着甲的费用要高于乙，乙乙要小于甲， 那甲的费用呢？咱们全求过了，由第问得啊。第二位啊，也就说一提一得 假的费用前面有，就是一个九百，呃，九百 x 加上一个 x 分 之一四四零零，再加七千二，这个费用，它要比谁大？要比 e 大， 而 e 是 x 分 之 九百倍的 a， 再乘一个一加 x。 好， 那么题目翻译完就这个意思，它怎么着？它在哪？它在 x 属于一个二到六上， s 属于二到六上 横成立，我变个形， 前边这个式子能提出九百啊，我提一下兄弟们，九百啊，那就是九百倍的 x 加上一个 x 分 之，提个九百之后剩个谁？剩个十六再加八，他要大于一个 x 分 之 x 分 之 九百 a 倍的一加 x。 所以 说两边同时除以九百，这个左边 s 分 之上面通分，那就是一个 s 平方 加上一个八 s 加，哦，完全平方公式，我把它给擦掉，变成完全平方公式，那就是一个 x 加四的平方，它要大于一个 x 分 之 a 倍的一加 x， 它横成立， s 为正，两边同时去分母，那就是，呃，变成了 x 加四 的平方要大于 a 倍的一加 x， 所以 说，那么同时除以一加 s， 那 就是这个 a 要小于 x 加四的平方除以一个 一加 s。 哎呀，小于它小于它在哪？在这个二到六上 横成里，在二到六上横成里。那所以说 a 永远比后边小，比后边最所有值都小，比它最小值还要小， 比它最小值还要小，那就是一个分数线。 x 加四的平方除以一个一加 s， 比它最小值 还要小，想求最小值，所以说拉出来 y 就 等于一个 x 加四，除以它的平方除以一个一加 s。 啊，那么把这给拆开，那就是一个啊。或者说，咱直接考虑啥？考虑换元都是可以的。那就是一个 s 平方加上一个八， x 加上一个十六，除以一个 s 加一换元。我令 x 加一等于 t， 因为你不换元素不好拆分嘛。那则这个 x 就是 t 减一，然后呢，得到新的变量 t 范围。呃， x 是 二到二到六，而 t 是 谁？ t 是 s 加一，那就是一个三到七。 好，三到七是三到七之后，所以说这个 y 就 成分母是 t， t 分 之，把所有 s 换成 t 减一， t 减一平方，加上一个八倍的 t 减一，再加十六，那么拆分一下， t 分 之 t 方， t 方，然后呢？加上一个，加上一个六， t 再加九，就等于 t 加 t 分 之九再加六，基本不等式大于等于二倍的根号下求最小值了吧。 呃， t 乘以 t 分 之九再加六，也可以用对勾函数来做啊，那一算就是一个。呃，根号九是十三六，那就是一个十二。当前仅当 t 等于 t 分 之九的时候，即 t 等于三十，那就 s 等于谁， t 是 三了，那 x 必然就是一个，就是一个二，因为 s 等于 t 减一等于二十，等号成立， 等号成立了，所以说这个 a， 它的这个 y 的 最小值就是十二，那 a 就 要小于十二，那 a 又大于零， a 听我说 a 大 于零了，同学们， a 大 于零在这呢， 所以说最终这个零小于 a 就 小于十二，零小于 a 小 于十二，所以说 这个 a 就 属于一个零到十二就是 a 的 范围。用到一个啥横长的问题，横长的参变分离 啊，这是这个第十字题，十字题稍微难度的大铁们知道，他不仅仅考察不等式求醉了，把他放第一问了，而第二问又一个啥更加啥，稍加偏偏偏难的一个题目来进行考察了。记住啊，这个假的最小值啊，记住啊，不能取一四四零零，知道吧？应该 重新去求看一下第十五题，十五题，这就出很好，它是一个横乘力加啥横乘力，两种类型，一个是点塔问题，一个是参变分离问题。 对于横乘，咱总结一下对吧？对于横乘力问题啊，对于横乘力问题，首先含参数叫含参二次不等式横乘力问题。 二次不等式 横乘的问题，有两个思路，第一个思路就是，如果是在 r 上横乘利， 咱就找的它。如果是在一个区间上，比如它是 r 的 一个子区间，在区间上 横乘利，咱就找啥？找参变分离， 找参变分离。记住啊，一个找 derart， 找参变分离，不要找错了。而找 derart 时候呢，要掌握两个图， 第一个，第二个，一个图是开口往上时，要掌握这三个图。前面咱已经讲集合时候已经有所涉及，往下时要掌握，要掌握这三个图啊。 这个是得它大于零，得它等于零，跟得它小于零。好，这是 s 轴，这是 s 轴。做第一题， 对任意的 s 属于啥？属于 r？ 首先啊，这个二次函数，它过一个定点，谁以零把它给我带进去，用来找到啥 ab 的 关系啊。那我一带入之后就是 呃， s 取一，那就是 a， a 加 b 再加二等于零，即 一下 b 就 等于一个负 a 减二， b 等于负， a 减二。那胶原把第二个这个第一问的这个这个式子给啥？把 b 给消掉，消掉之后就是，所以说这个 a x 平方， 就把 b 换成啥，换成这个负一减二，那是减去括号 a 加二，把符号提出来的 s 再加二就小于三减二 s 它是横成立的，它极 a， s 平方，把右边挪左边一挪，一抵消，就是一个负 a s 啊，三挪过来减一小于零，它在这个 r 上 是横成立的，这个 r 上横成立，它符合啥？这个圈一，所以说找得儿它，但是呢，找之前这个 a 这个系数 a， 它可能是零，是零的时候呢，就没有得它是个，就不是一元二次了。所以要分类讨论，当 a 等于零时， a 等于零的时候呢，变成负一小于零，这必然是横成立的，所以 a 等于零，没有问题，一定成立。再当 a 如果不为零时候，这是一个妥妥的啥二次函数，二次不等式，你想永远让 y 小 于零，你想让 y 小 于零，那就应该啥？开口是应该是往下的，往下的话 这个 a 就 要小于零，而且永远小于零，它不能接触 s 轴，但是它应该也要小于零，即带进去 a 是 小于零的，但是它 b 方减 c， c， 这个 b 是 负 a， 那 是 a 方减 c， c 加上一个 c， 它也应该要小于零。最终解出来， 这个 a 是 大于负四小于零的。那么最终取啥？取并集？取 a 等于零，跟这个并到一块，所以说 负四小于 a 就 小于等于零，最终答案就搞定。所以说 a 的 取值范围， 取值范围，它就为前开后闭，它就是一个负四 到零。前开后闭也可以行集合啊，都是可以的。这是第一题，第二题就考圈啊，就是在区间是横成立，因为他是，他是二到五，参变分离。好，代入一下，依然是一样的。咱把啥，咱把这个 这个 b 换掉，那就是 a s 平方加 b， 换成啥？换成这个负 a 减二，减去括号 a 加二的 x， 再加二大于负 x， 变形一下， a x 平方，把右边挪到左边，变成了负的括号 a 加一的 s， 再加二打零，好，成这式子了。呃， a 的 方减去一个括号 a 加一的 s 加二打零，它横成立。在哪？它在这个， 它在这个零到谁？零二到五上，它在二到五上横成立。 我把这个式子变形，进行参变分离，咱一块儿分离一下。同学们啊，首先把括号展开，那就是 a s 平方 减 a， s 再减 s， 再加二就大于零。所以说提出来啥，这个 a a 倍的 s 方减 s 大 于一个一，一项 s 减二，由于 s 属于啥？属于二到五，那平方肯定比 s 要大， 所以说这个 a 就 大于一个 x 减二，除以一个平方减 s。 好， 它也就下边这个式子，两个蓝色，这个啥，这个曲线，它俩是等价的。这个式子在二到五上 是横成立的，所以说 a 比后边大，比它所有的大，比它最大值还要大， a 要大于好，括号 s 减二除以一个 s 平方减 s 的 max， 求最大值好，零， y 等于一个 s 平方减 s， 分 之 s 减二。好，那么换元令 t 等于。这个题跟上面的题那个啥，那个保安式题是很像的，很像的。 t 等于 s 减二，则 x 就 等于 t 加二，并且这个 t 是 谁写的？ t 是 s 减二，那二到五减个二，就是一个零到三， t 除以零到三， 然后呢？开始变形，所以说这个 y 就 等于上边是 t， t 除以零到三，然后呢？开始变形，所以说这个 y 就 等于上边是 t， t 除一个，下面把 s 换成啥？换成这个 t 加二， t 加二，方减去括号 t 加二，展开 t 除以一个 t 方 加三， t 再加二， t 方加三， t 再加二，然后呢，上下同时除以，谁同时除以 t 一 除以一个 t 加 t， 分 之二，再加三。 那么想求外的这个最啥最大值，就求这个分母的最啥最小值，而分母最小值，这是个基本不等式。 t 加 t 分 之二加三，它大于等于二倍的根号下， t 乘 t 分 之二加个三，就是一个二倍。根号加三，就是分母的最啥最小值。当前简单， t 等于 t 分 之二的时候，即 t 等于根号二， t 等于根号二时，等号是成立的。 t d 根号二，即 t 是 根号二的 s 是 多少， s 是 啥？是 t 加二，那就这个根号二加个二， 这个带进去，最小值是，那就那他这个就应该怎么一最小值给了，那么你的不等式方向就要改成小于等于分母越小值反而越大吗？那就这个三加上一个二倍根号二 分之一。油理化上下都成啥？三加三减二倍根号三减二根二分之。 下面是三加二根号二乘以三减二根号二，下面是平方乘。公式一，算是一，就三减去一个二倍根号二，所以它最大值就是三减二倍根号二。最终答案，所以说这个 a 他 比最大值还大， a 就 大于一个三 减二倍，所以说 a 就 属于一个三减二倍根号二到正无穷， 三减二倍根号二到整数。好，这是这个一二问，所以对于横长利在 r 上找着它，在区间找啥？参变分离，找参变分离，参变分离往往需要涉及到啥？这个分式啥求值？求对值问题，需要换元，换元，为了简化这个结构， 看一下最后道题，十六题啊。这个题考的也比较多，是一个分类讨论的问题。第一位依然是一个在谁在实数 r 上的一个横乘的问题，那就是常规题啦，比较简单，先把它化简一下，那就是因为 y 是 大点，谁负二的极， 那就是一个 a， x 平方加上一个一减二就大于等于负二，两边负二抵消， 所以说变成了 a， s 平方加上一个一减 a 倍的 s 再加 a， 它大于等于零，在 r 上横成力， 那跟刚才第一位是一样的，就是找着它，但是找之前要注意这个二项系数，它可能是零，所以要单独分类讨论。当 a 等于零的时候，这个时候呢？代入等于零中呢？这个式就成啥乘 x 就 大于等于零，因为 a 是 零了。同学们， s 大 于等于零了，那么肯定要舍去，因为它大于 g， 这 g 啥？ g 不 等式？ y 大 于等于负二，它仅对谁，它仅对 x 大 于等于零的时候成立， 那就意味着你小于零是不成立的。而我要求是 r 都成立，那就违背提议了，这是要舍去的。 不合提议要舍去。那讨论，当 a 不 为零， a 如果不为零时，这是个二四不等式，它要求你的 y 都大于等于零，必然你开口向往 上，而且得儿它要小于等于零， 因为你因为点它，你如果大零时候，它会有负值出现。要求大点零一定是不能啥有俩小点，要有一个，或者没有小点点，它应该小点零。及，咱再进去，就是 a 要大于零，再来点它就是 b 方，就是一减 a 的 平方减 c， c 减 c 方需要小点零。咱解一下，解完之后呢，就是 a 要大于等于三分之一。 a 呀，大于等于三分之一，最终的答案就是， a 属于三分之一的正无穷， a 属于三分之一的正无穷。所以说 a 属于三分之一的正无穷。不等式。同学们自己去解啊，自己去解好吧，认真解，不要，千万不要解错了啊，千万不要解错了。 好，看一下这个第二问，第二问就是一个常考题目了，他说这个不等式小于零等于几？这个 a 是 属于 r 的 啊，正负零都有可能取。首先这个 a 倍的 s 平方加上一个一减 a 倍的 s 再减一，它小于零， 这个 a 可能为零。单独讨论，当 a 等于零的时候，那就代入就是一个 x 减一就小于零，即 x 就 小于一。哦，这等于零时候，解集为小于一，那如果 a 不 为零， 当 a 不 为零的时候，这个时候呢？这个式子可以因式分解， a s 方加一减 a 倍的 s， 再减一小零啊，即 拆成 a， x 和 s 拆成一跟一，由于中间是负 x， 所以 符号给给下边，那就是一个，拆开就是一个 a， x 加一乘以个 x 减一，它需要小零。 好，这解完了，那很明显，那俩根能得到一个根，是一个负 a 分 之一，一个根是个啥？是个一。那现在呢？ a 可以 为正，可以为负，我讨论，当 a 为正时， a 为正的时候呢？那则这个负 a 分 之一，它一定是要比一小的。比一小，由于你 a 为正了，就意味着啥？同学们，这个二次不等式，它 a 为正，开口是往上的，往上的话，图是长成这个样子的。 往上两根，一个是负， a 分 之一，一个是一，你要求不等式小于零，应该取啥？取两根之间在负 a 分 之一和一之间，那接着 负 a 分 之一小于 s 小 于一。好，这是第二个情况。先先讨论啥，当啥？当 a 小 于零时，如果 a 小 于零时候，则这个负 a 分 之一跟这个一，它们两个都是正的，是正的，那咋办？那就找邻界值，让它俩一样，一样的话，就解得 a 就 等于负一，此时此刻。好，如果 a 等于负一了，把 a 等于负一，代入因式分解的式子，让 h 负一，那就是一个负 x 加一乘以 x 减一就小于零，即 两边同时除以一个啥？除一个符号变成 s 减一的平方就编号大零。平方是大于等于零的，那既然大零，只要不为零， s 可以 随便取，那就是只要 s 不 取一，它横成力， 所以 s 就 不能为一。好，这是 a 为负数， a 为负一首角。啥情况？再讨论。 a 小 于零，同学们， a 小 于零， a 等于负一，你研究过了，那就还有就是负一到零跟啥跟负一到正无穷。当零小于 a， 当 a 小 于零啊，写错了， a 小 于零，那就小于负一， 当 a 小 于零，这是 a 等于等于负一吗？铁们，但是当啥？当这个负一小于 a 小 于零时，这个时候还有最后种情况，啥是 a 小 于负一的时候， a 小 于负一十，那负一到零的时候，那么同学们，是负 a 分 之一跟一谁大？如果你不知道，你们可以取个值，你可以让 a 取一个负二分之一，你倒过来，那必然是个二，那就是负 a 分 之一比较大， 那这种情况，那必然是负 a 分 之就比较小了。这解的。 由于 a 是 负的，这两种情况下， a 都是一个负值，所以说开口是啥？是往下的，开口是往下的， 划一下你要的是啥？ y 应该啥小于零，所以你应该缺啥？缺是两边，两边这样断，现在问题是看谁谁左谁右了。第一种情况是，这个负 a 分 之一在左边，负 a 分 之一在这， 一在这那取两边解到 s 要比负一分之一还要小。负啊，看错了，不要急，擦掉 的负一到零时候，是负一分之一比较大，比较浓火的是负一分，这就是一个一，这是负一分之一，好取两边解到啊， s 就 小于一或 s 就 大于一个 负一分之一，那第下种情况，那必然就是这个位置是负一分之一，这个位置是一，那就是解得 s 就 小于负一分之一或 s 就 大于一。就来个综上所述， 综上所述，当 a 等于零时，一个一个写，不要漏掉了。不等式解锥尾 找第一个等于零时候，小于负一小于一， s 杠 s 九小于一。再来，当 a 大 于零的时候，不等式解锥， 不等式的解集 为 s 杠。找大零大于零的时候，那就是一个呃，负 a 分 之一可倒它到一之间，负 a 分 之一 小于 s 小 于一之间。好，这是这个范围再找。 当 a 等于负一时，当负一小于 a 小 于零时，这种情况，当 a 小 于负一时。好，不等式的 解集等于负一时，是 s 不 能为一， s 不 能为一。直接写下来， s 杠 s 不 能为一， s 不 能为一。好，再来，这种情况是倒插。第二种不等式的解集 为 s 杠 s 要小于一或 s 要大于负 a 分 之一。最后最后一种情况是反过来写即可。不等式的 解集为 s 杠 s 要小于负 a 分 之一 或 s 要大于 e。 好， 讨论完即可。这就是这题答案。记住，一定不要写串了。那么一定要分类，要分类啥？分类明确，然后呢？对不确定的情况都要进行分类讨论。这种题也是期末考试容易考到啥大题。第三题，那个左右位置， 一定要把它搞会。这是咱们讲解不等式的大题常考题型，咱们下一讲跟他们讲函数问题。

通过这个非常简单的问题，大家其实已经能看出来了，基本不等式用来干嘛的？它就是用来求最大值或者最小值。求最值用的基本不等式来源于一个我们非常熟悉的式子，这个式子叫完全平方式，那这很显然，这玩意平方肯定大于等于零啊。那如果把它展开嘞，它方加它方， x 加 y 减去二倍两者乘积，那根号乘号应该是根号下 x y 它大于等于的话，那么如果我把这一项移到右边去，那么我们就会得到今天要讲的基本不等式， x y 大 于等于二倍根号下它们两个的乘积。 这个式子是不是永远成立的呢？它成立有没有前提条件是有的，因为我们在推导的过程当中，我把 x y 是 不是放在了根号里边，所以很显然，根号下面的数 x y 得大于等于零，意味着只有两个数是非负数的时候，这个式子才成立。这个式子看起来好像并不难，它无非就建立起来一个两个数的和和两个数的积之间的关系。但是大家可千万不要小看这个式子， 在真正的考试里面，基本不等式，它会怎么考呢？难道人家真的给你啊， x 乘 y 等于一问你 x 加 y 的 最小值吗？这个太简单了，那基本不等式直接用起来， x 加 y 大 于等于二倍根号下两者乘积，那因为题目中说 x y 相乘等于一，所以它就相当于是二倍根号一，二倍根号一，那不就是二吗？所以我们就直接得到了。哦，原来 x y 大 于等于二，那你说 x y 最小值是几啊？那显然就是二倍。 通过这个非常简单的问题，大家其实已经能看出来了，基本不等式用来干嘛的？他就是用来求最大值或者最小值求最值用的。但是考试有可能考这道题吗？那绝对不可能，因为这题太简单了，这式子长得太人畜无害了，真正的考试会怎么考？ 他会给你各种各样千奇百怪的式子来难为大家。他会问一大坨式子，他的最大值或者最小值是多少？那主体人是怎么通过一个小小的基本不等式把题变得这么难的呢？这就是我们今天重点要讲的内容，基本不等式怎么用？怎么考？

基本不等式，老师有这几个想法啊。第一个比较简单的就是不带系数的啊，你看都没有带系数， x y 有 和有， g 有 g 有 和看就不带系数的时候怎么办啊？不带系数的时候就用镜像相等法。 什么意思呢？就是让两个未知数相等且符合题意的。那你说 x y 相等，而且相加等于四，那你说 x y 都等于多少？那只有二加二等于四吗？能懂了吧？这就是镜像相等啊，就是我俩相等，而且还能等于你这个已知条件。那也就是 x 二 y 二，那 x 乘 y 呢？二乘二四，那就四分之一，最小的就是选二 b。 就 这么简单来看啊，那俩数既相等相乘还等于九，那只有三三了吗？三三得九吗？所以三加三 a b 都三了，三加三六吗？二 b 结束 俩相等，相加等于一，那只有二分之一了，是不是二分之一加二分之一等于几？那 x 等于二分之一分之一等于二了呗， y 分 之一也是二了呗。那二加二等于四 b 秒了啊。

停留一分钟突破一道题了，今天我们看一个公大刚刚考过的一个初三的一模考试的一个填空的最后一个小压轴啊，这个题考了一个陀罗密啊，陀罗密四边形中陀罗密定律的一个拓展应用，这个我们刚刚讲过了，这个这个定律咱们你可以构造相似去做啊，用陀罗密更简单一些。我们看这个题目啊， 它这个四边形里面这个 a、 d、 c 啊，这个 ab 是 个六， ab 是 六， bc 是 个五绕 a、 d、 c 这个角是九十度，这个很关键，绕 a、 d 等于二倍的 cd， 哎，是直角边是二倍关系，所以这个也应该是个特殊的直角三角形，高重要学，我们可以说它是 a， 它是一个二 a， 这就是根号五 a， 那 很明显这个直角三角形的三边是一比根号二啊，一比二比根号五， 我们常常见的应该是一比一比根号二，还有一比根号三比二，分别是三十度、六十度的直角三角形和四十五度等腰直角，那这个考的是个一比二比根号五，它其实也是个特殊的直角三角形。好 d 等于 b d， 也就说这个 d 点是 b 的 中点啊，就这个意思，相当于求 a 一 的一个最大值。那这个题我们首先要怎么了？要去把这个 a 一 给它转换一下，这就是个难点， 就是你要去应求的话，不好求，我们要转化，其实转化它也有突破口，这个切入点是什么呢？就是这个，你看 b、 e 和这个 a、 d、 a、 d 点，它是这个 b、 e 的 终点，那很容易想到，我们把这个 a、 e 如果能把它勾勒成一个平行四边形，不就转化出来了吗？换句话说，把这个 a、 e 平移过去， 我们这次就不要平移了，因为这里已经有体影了，有这切入点，就是这个 b、 e、 d 点是中点 a、 d， 它刚好就是个对角线的引分。那我们知道平行四边形判定里面有一个很重要的，就是对角线互相平分的四边形，它也是平行四边形。那就是这个时候我们只需要延长 a、 d 啊，延长 a、 d 到这个 d、 f 吧 d、 f 使这个 d、 f 的 场与什么与这个 a、 d 的 场相等。换句话说，也就说这个 a、 f 与这个什么 b、 e， 它们是互相平分的。那我们知道 对角线互相平分的四边形，他也是一个平行四边形，这不太像啊，就是 a、 b、 f、 e 是 个平行四边形，对边是平行且相等的。那你说你要取 a、 e 的 最大值呢？现在只需要去取 b、 f 的 最大值就 ok 了 啊。现在我们用一个透了密境里啊，四边形中透了密境里头就很简单。那我们说在一个四边形里面，就跟我们讲过的，随便画个四边形 a、 b、 c、 d 把对角线连起来， a、 c 跟 b、 d， 那 对角线的乘积就是 a、 c 乘 b、 d， 它一定要小于等于 对边乘积相加，小于等于 ab 乘 cd， 加上 ab 乘 bc。 那什么时候取等号呢？那就当前紧当当这四点共圆的时候啊，比如说这个四边形，这个四点是共圆的， 取什么号？取等号，取等号，这是什么？这就是我们的四边形里面的一个陀螺臂定律啊，非常简单，也非常好记。这个拓展的知识点，那这个你如果这样去做，我们要求这个 b、 f 的 最大值就非常简单了，那很明显我们把 c、 f 连起来， 那这个时候你看 a、 b、 c、 f， 它就是个四边形啊。 a、 b、 c、 f 对 角线分别是 a、 c 和 b、 f， 我 们发现一个问题，好，这是个二 a， 这肯定是二 a， 这个是垂直的，这个也是垂直的，这是 a， 这是二 a， 这也是跟它五 a， 哎，我们就发现一个很非常非常 能用这个东西，得一个东西，对不对？你看对角线 a、 c、 b、 f， 我 们就写了 a、 c 是 多少？根号五 a， 那 就根号五 a 乘以 b、 f 不知道 小于等于对边平啊？对边相乘相加，那就四 a 乘以五，加上根号五 a 乘以六，六倍，根号五倍，哎，出来了。所以 b、 f 这些小于等于 根号五分之 a 等于多少吧？二十加六倍，根号五，所以出来的结果就是一个四倍根号五加六，哎！小于等于四倍，根号五加六，所以说最大值就是四倍根号五加六， 加括号。 ok。 希望同学们下去以后一定要把这个透了密，四边形中透了密定零，但理解清楚 他的证明我就不说，用相似去证明就好了，你把结论记下来也非常有用。到高中以后有时候也需要用这个东西啊。在我们在立体几何里面转化为平面图形去解决立体问题啊。 ok。

在学习基本不等式的时候，肯定有很多人觉得书上教的老师讲的跟考试考的不是一回事，练习册上的题目我是一道题都不会做。那么今天我们将进行基本不等式必会解题技巧的全面梳理大总结。那接下来我们来看第二个，凑齐四式。 为什么我们要凑棋子式？刚才其实已经说明白了，就是因为棋子式它本身有一个消圆的作用，看着是两个变量，但是最后化简完啊，居然能变成一个变量，非常的简单。但是题目中有可能直接把这棋子式特别明显的给你们，他一定会进行一定的变形，所以这种对式子的变形能力非常重要。 比如说大家来看，他给你 a 加 b 等于一问，你这一大坨啊，这一大坨显然是一个分式，那这个分式太复杂了，我们会的什么？我们会什么呀？我们如果他问我 a 分 之一加 b 分 之一就好了哦，那这样我就直接就能一的代换成了一， a 加 b 乘个一，然后再来做，多简单。但是这题他考的不是 a 分 之一加 b 考的是这一大坨，那这一大坨得变形吧。那怎么变形？咱先观察， 我发现很明显哦，他的分子复杂，分母简单，讲过太多次了，那我赶紧拆分子呗，把它写成他除他 加他除他。所以原式等于 a 方比 a 加上四比 a， 后面也一样， b 方比 b 加上一比 b。 那 你说接下来该干嘛了呢？啊？题目中都告诉你 a 加 b 等于两，这有 a， 这有 b， 那 干嘛？ a 加 b 等于一呗， 剩余的这个分数不动，所以大家自己来看这题咋出的，出题人很狡猾，别的好心的出题人都直接给你这个形式，但是这个出题觉得啊，给这个形式太简单，我加个一，谁是一呢？哎，我告诉你， a 加 b 等于，然后把它把这个常数，哎，我给你变成 a 加 b， 变成这样好多宝贝就不会了。但是这题真的有那么难吗？ 我觉得还是可以接受的。接下来他给的我是一次式，让我求的是一个分式，分式是负一次，一次负一次，干嘛凑？其次式用一的代换来做 成了这个一，整个的值是不变的。然后两项乘，两项乘出来，四项做太多次了，我就直接写了，最后肯定出来其次式，两者的和大于等于一加四，加一是六二倍，根号下两者乘积 a， a 遇到 b， b 遇到剩个四，最后答案等于是完美。第一题，呃，这个一的代换我觉得还算是比较明显， 那有的时候人家给你出上一个大分数，出现这种分子分母特复杂的，有两变量的，大家可要看好了。对于道基本不等式的题，他无非就考三个形式，他要么考合机式，要么考非其次式， 要么考其次式。你说你想让他考出来别的东西，不可能。所以给大家讲清楚他的出题思路之后，我们做题就按这个思路来做，大家想想，这道题有可能考合机式吗？这是合，这是基吗？这这么复杂，怎么可能是基， 他肯定不是合集式。那再问大家，他是非其次是吗？非其次是强调的是什么？大家看好了，非其次是要么是一个整式加上一个分式，次数不一样，要么他跟你通分完你会发现他是一个什么？他上面是二次，下面是一次。分子分母次数不一样，二次比一次，这种才叫非其次式。因此，如果大家在题目中遇见分子分母 最高次数不一致，上面是二次，下面是一次，或者上面一次，下面二次，那你就往非奇次式上去凑。那如果反过来，你发现一道题目分子分母最高次，听好了，是最高次，次数是一样的，都是二次，或者都是三次，或者都是四次，那你往哪上凑？你就往奇次式上去凑。所以接下来我们来回到刚才那道题，大家自己观察这个十字，我们是往奇次上凑还是往非奇次上凑？两秒钟时间自己思考一下， 咱就看最高次的次数，它分子的最高次是二次分母， x 一 次， y 一 次乘一次，应该是二次，都是二次密。那你说这道题考的是其次还是非其次？当然考的是凑其次，试非其次，你想都不要想， 但是它现在真的那么其次吗？哦，画两个红圈的是二次了，但是这是啥？这还是一次？这是啥？这是长数，长数像是零次密，所以我们需要把这个式子稍微变变形，怎么变？往其次上去凑呗。它分母是我们想要的一个二次密， 一项也是我们想要的二次密，它俩次数已经一样了，如果这个 x 它也是二次密就好了。怎么猜一样才能让它也是二次密呢？它乘个一，乘个 x， y 一 次乘一次，这是一次，这也是一次。乘完不就是二次密了？这用一次一的代换还不够，后面还有个一呢， 加一。哎，别不管了，谁是一题目中说 x， y 是 一，把它换成 x y， 但是换成 x， y 加 y 够不够呢？它是我想要的二次密吗？人家刚才别的都是二次密了，就你不是，所以怎么办？我把它换成一的平方，那每一项就都是二次密了，咱就你不是。所以你看，划箭一下，分母不动， 分子给它拆开，加 x 方加 x y。 第三项是个完全平方式， x 方加 y 方加二 x y 合并同类项，然后变成啥题了？神奇，它变成了刚才我们在第一开始给大家讲过的一道题目，上下都是二次密。这题比刚才还简单，它这分母都已经是单项式了。分母都是单项式，能直接干嘛？拆分子，它除它加它除它，它除它直接就能做，都不用上下同除东西。第一项一比的话， x x 没有了。 四 x 比 y， 第二项 y 方比 y 啊，剩么？剩一个 y 比 x 加上三， x， y 比 x， y 加上三。你自己看。最后是不是凑成其次式了吗？太是了，人出题就这么出的，你这么做肯定能做的出来。所以两式的和大于等于二倍，根号下两者乘积省个四。答案是七，舒服，太舒服了。以上就是我们讲的第二个解例技巧，凑其次。

某双曲线 c 的 方程为， x 方减 x， y 加 y 方等于四。下列说法正确的是 a 选项曲线 c 关于 y 等于 x 对 称， 这个去验证一下，它就是原来上面有一点任意一点坐标是 x y。 然后我们验证一下关于 x， y 等于 x 对 称的点。这个屁撇儿是 y 等于 x， 它可在这个式子中就是代入以后可等于四了。 好，咱们给它代入一下，横坐标就是 x， 给它变成 y， 就 y 方减去 那 y， x 加上就是 x 方了，它和原来是一样的，也是 x 方加 y 方减减 x， y， 它依然等于四。所以说点 p。 关于 y 等于 x 对 称的点 也在圆函数的图像上，那么因此是它的图像呢？曲线 c 是 关于 y 等于 x 对 称的，就是验证一下 b 选项曲线 c 上的点的纵坐标的最大值为二，那么纵坐标的绝对值就是看 y 的 范围。 那么这个式子呢？我们可以给它整理成关于 x 的 一二次方程减 x， y 加上 y 方减四等于零 啊。 delta 大 于零， delta 等于 b 方，负，外方减四 a c s 一 c 是 外方减四， 外方减去四，外方加十六，负三，外方加十六大于零，所以外方呢，它小于等于三分之十六 啊。三分之十六，我们求的是它的最大值，所以 y 它是小于等于根号三分之四， 大于等于负的根号三分之四，这个最大值呢，就是根号三分之四，也就是三分之四被根号三。 好，这是 b 选项啊，就给它这个，把 x 看作关于 x 的 原函数方程 c 选项。曲线 c 与直线交于 ab 两点，则 ab 等于根号十。我们把这个直线和曲线 c 方程给它连立， y 等于负， x 加一， 代入 c 中， x 方减 x， y 是 负， x 加一 加上负 x 加一的平方减四等于零， x 方加 x 方减 x 加 x 方减二， x 加一减四等于零。 三 x 方减三， x 减三等于零，即 x 方减 x 减一等于零，所以 x 一 加 x 二等于负， f 分 之， b 等于一， x 一 乘以 x 二等于 f 分 之， c 是 负一， 所以 a b 等于根号下。一加 k 方， x 一 加 x 二的平方减去四倍的 x 一 x 二， 这个 k 呢，是负一，所以这根号二根号下啊，这一加四等于根号。十、 d 选项点 x y 在 曲线 c 上，则 x 方加 x， y 加外方的曲线。为使它 d 选项 x 方加 x， y 加外方，我们往这个接，往这上面就靠拢，等于 x 方减 x， y 加外方加上二 x y， 这一项是个四啊。 来，这个点在双曲线上 c 上，那么这个不就是四吗？加上二 x y， 那 么因此我们求它的范围就是求 x 乘 y 的 范围 啊，就是求 x 乘 y 的 范围啊。那么由于 x 方，由于 x 方加外方大于等于二 x y 啊，大于等于这个二 x y， 这个 x 方加 y 方又等于谁呢？ 又等于四加 x y 啊， 那么因此就是四加 x， y 大 于等于二 x y， 所以呢， x y 呢？小一点。四、什么时候取等号？当前仅当 x 等于 y， 嗯，它的嗯， x 等于 y 等于正负二的时候取等号。对这个取等号成立的条件不就 x y 吗？把 x y 以外代入 x 等于 y 了，你看它俩不抵消了吗？还有一个 y 方等于四， y 等于正负二，所以 x 也是对应的，等于正负二是取等号啊。 x y 小 于等于四， 那么还有 x 方加 y 方是大于等于负二 x y 的。 还有这个式，也就是四加 x， y 大 于等于负二 x y， 所以，呃， x y 呢？大于等于负的三分之四， 这里 x y 就是 啊，就，就就是当前仅当就是它俩 x 等于负外的时候，它取取取等号，这个可以看作，呃，可以看作什么呀？其实这个式子可以看作 x 方加负外的平方啊， 就 a 方加平方大于等于，嗯，二倍的 x 负外，这样去看待它 啊，可以这样去看待它啊， 也就是 x 和 y， 它会 x 等于负 y 时，取等号， x 等于负 y， 然后我们把它代入啊，代入算一下啊，都可以算出来，等于正负三分之二。百根号三十可以取这个。呃，取到等号啊，这 x y 的 范围 好， u， x 范围 x， y 的 范围就是 x， y 大 于等于负三分之四，小于等于四，哎，小于等于四，乘个二 小于等于八，大于等于负的三分之八，然后再加个四， 哎，小于等于十二，大于等于三四一，十二，三分之四啊， 好，三分之四到十二，哎，这个也对的。 这题主要就是一个计算啊， i 选项就验证一下， b 选项就给它用这个。呃，把 x 看到主圆， 哎，主圆看到有主圆啊。关于 x 的 y 方向，你跟它判别式，算出 y 的 范围。 c 选项非常简单了，就是直线和曲线连立一下，用一下弦长公式。 d 选项呢，就用一下这个基本不等式啊， 用一下基本不等式。 成立的条件要注意啊。

好，大家好啊，本期视频我们一起来看一下这样的一个题目，若实数 x 大 于零， y 小 于零，并且满足这样的一个式子，让我们去求一下 x 加上一减 y 分 之二的最小值为多少。首先，我们肯定要通过这个式子去找出 x 和 y 的 一个关系。首先，根据他俩相乘得一， 不难看出， y 加上根号下 x 的 平方加一 分之一。看到分母有根时，我们就要想到有理化啊，分子分母同时乘以根号下 x 的 平方加一 减去 x， 那 么分母其实就会变成一。于是我们就得出了 y 加上根号下 y 方加一，会等于根号下 x 的 平方加一再减去 x。 那 么同样的道理啊， x 加上根号下 x 的 平方加一，是不是也会等于根号下 y 方加一 减去 y 啊？紧接着，我们再把等式两侧呢交换一下位置，得到了这样的一组式子。那么该如何根据这两个式子去找出 x 和 y 的 关系呢？其实就很明显了啊，一式减去二式，可得左边减左边，这 根式呢就被减掉了， y 减去负 y， 其实就是二 y， 同样的道理，右边减去右边呢就是负二 x， 所以 说 y 呢会等于负 x。 找出它俩的关系过后，我们的所求也就是它其实也就相当于是 x 加上一加 x 分 之二，要求它的最小值。很简单啊，把前面的 x 呢写成一加 x， 然后在尾巴呢减去一进行还原， 他俩相加会大于等于二倍。根号下他俩相乘其实就是二，再减去尾巴上的一，什么时候去等啊？应该是当且仅当这一坨等于这坨，也就是一加 x 等于根号二， x 等于根号二减一的时候去等能够取到这里的等号呢？那么二倍根号二减一也就是这个式子的最小值了，我们选第二个也就可以了。那我们本期视频呢？就到这里。

hello， 大家好，我们来看一下十四题，十四题呢，是一道基本不等式的压轴题，那这道题呢，是稍微比较难一点， 他说 f x 的 函数表达是给我们了，然后告诉我们 f a 加上 f b 等于二，让我们求 a 分 之一加 b 分 之二的最小值。那做这种题目呢，我们肯定要找到 a 和 b 的 关系，对不对？那可能是要从这个式入手，那我们不妨先把 f a 跟 f b 给它表示出来， 那 f a 它是不是就等于 lo in a 再减去 a 加一分之二，再加上二，那 f b 它是不是就等于 lo in b 再减去 b 加一分之二，再加上一个二？ 好，那这样我们就可以得到 f a 加上一个 f b， 他 是不是就等于罗隐 a 加上罗隐 b， 再 减去一个两倍的 a 加一分之一，再加上 b 加一分之一，然后二加二是四，然后等于 再加上一个四，对不对？好，这个整体它是等于一个二的，对不对？好，那我们给它整理一下之后，我们就可以得到摞引 a 乘 b， 再加上两倍的一， 因为把四移到右边去，那就是否嘛？然后，呃，不对，你可以把二移到左边来，那就是四减二就是二， 那把二条前面去就是一，再减去 a 加一分之一，再减去 b 加一分之一，它是不是等于一个零？好，那我们再给他整理一下，那就是裸引 ab 再加上二乘以 a 加一分之一，然后是 b 加一分之一，分母是这个分子上是 a， b 加 a 加 b 再加一，再减去 a 加减去一，减去 b 再减去一。好，最后我们整理出来之后，是裸引 a b 再加上 分母，还是 a 加一，再乘以 b 加一，好，分子上是两倍的 a， b 再减去一个一好，它要等于一个零。好。 化简成这个之后呢，我们现在要对它进行讨论了，因为我们都知道它是个对数函数，那我们首先可以得到第一个有用的条件，那第一个条件是什么？ 第一个 a 要大于零， b 要大于零，这是你必须要满足的。好，假如说我们 ab 它大于一，再除以一个 a 加一，再乘以 b 加一，它是不是一定要大于零？因为你 a 加一， b 加一，肯定是个正数嘛。然后你分子分子大于零，那整体是大于零，所以那你 a b 大 于一，那 rolling a b 是 不是也要大于零？ 好，既然裸引 a b 也要大于零的话，那你这个整体相加是不是一定要大于零？所以说他就不可能等于零？好，那我们再来看第二种情况，假如说这个 a 乘 b， 他 小于一小于一，会出现什么情况？那首先裸引 a b 肯定是要小于零的，对不对？好， 那两倍的 ab 减一，再除以一个 a 加一，再乘以一个 b 加一，它是不是也一定要小于零？因为你分子小于零，分母大于零，它整体是不是小于零？那两个小于零的数相加，它还是小于零，所以说它是不可能等于零的。所以只有一种情况，就是 ab 只能等于一个一。好，那现在 ab 的 关系是不是有了？那我们再来看这道题目， a 分 之一加 b 分 之二，那 a 分 之一加 b 分 之二， 它是不是大于等于两倍？根号下 a 分 之一，再乘以 b 分 之二，好，它就等于两倍。根号下 ab 分 之二好， 下 ab 是 不是就等于一？所以它就等于两倍根号二。好，大家别忘了取等条件，当前仅当 a 分 之一等于 b 分 之二十取等， 其中这个 ab 是 要等于一，然后 a 要大于零， b 要大于零，那我们可以算一下，这里就是 b 等于二， a 对 不对？然后就是那就是二， a 方式等于一，那就是 a 要等于二分之根号二， a 等于二分之根号二，那 b 就 等于根号二。 所以当前紧当 a 等于二分之根号二， b 等于二十去等那道题答案就是两倍根号二。

首先来看不等式的性质，那么对不等式的性质，我们的要求是掌握两个实数大小关系的比较， 以及不等式的基本性质的有关内容。从考察内容来看，他就是在考察学生是否会比较两个实数大小或代数式大小以及不等式的有关性质。 从考型来看，这几年都有考察，其中二零二一年考察的是用做插法来比较代数式的大小， 二零二二年、二零二零一八年、二零一七年考察的都是不等式的基本性质和运用。我们来看比较实数大小的方法。首先我们介绍的是一种方法，叫做插法。 做差法是我们最常用的一种方法，因为它对 a、 b 没有要求，只要 a 减 b 大 于零，一定可以知道 a 大 于 b， 那 同样，如果 a 大 于 b， a 减 b 呢，一定呢是大于零的，它们两个是等价的，那当然小于零等于零，我们可以类似的得到它们之间的关系 啊，所以同样可以比较的得到一 x 平方加一和二 x 减一的关系。当然我们做差是最方便的，我们知道做差得到 x 减一的括号平方加一， 因为 x 加一的括号平方呢大于零，所以这个是大于零，那么 a 减 b 大 于零， a 就 大于 b， 因此 a 呢是正确的，我们不难验证， b、 c、 d 啊，都是无法确定的。 如果 a 小 于零， a 方加一与 a 方加 a 加一的大小关系是什么？我们知道作差把前面一个式子减去，后面一个式子，就得到一个负 a， 那 么 a 小 于零，负 a 大 于零，所以答案是 a。 第二个比较他们两个的关系，同样的方法，我们还要给他定作叉法，它的展开是 x 的 四次方，加上二倍的 x 的 平方，加一作叉之后呢？得到的是 x 的 平方，它是大于等于的，因此大于 b。

高中数学最难的基本不等式，就这十七种题型全部吃透，考试稳上一百四十加。高中数学基本不等式十七种题型，基础型配凑法一的代换同除法、合积互消构造分母分离分子型、 音式分解型、消元法、分母换元压轴小题完整版可分享！

高中数学最难的基本不等于十七种题型全部背熟，稳进班级前三基本不等于十七种题型，基础型配凑法一的代换，其他代换，同除法、合积互消 构造分母分离分子型、因式分解型、三角换圆完整版分享！

期末专题讲解，咱们今天看的是基本不能是利用一的凑配来进行秒杀。看一下题目， x 加 y 等于三，求 x 分 之一加 y 加一分之一。那这题 看到以后，核心的关注点我觉得应该是 y 加一，怎么进行一个转换或者变形？那如果这题变成 x 分 之一，加上一个 y 分 之一，我相信很多同学都应该会写，为什么？直接利用一的妙用，乘上一个 x 加 y 不 就可以了吗？再乘上一个三分之一。 为什么乘三分之一？因为它乘了一个三，扩大了三倍，乘三分之一就变成了一，那就是一的妙用。那现在接下来这里是 y 加一怎么办呢？ 其实很简单，这里如果是 y 加一的话，那我们只需要把这个式进行一个变形不就可以了吗？怎么变呢？就是 x 加上一个 y， 我 后面配上个一不就可以了吗？ 等下左边加了个一，右边也要加一，就变成了四。那接下来我们把它看这一个整体，把它看这个整体不就 结束了吗？我们假设它为 a， 它为 b， 相当于是 a 加 b 等于是求什么？求 a 分 之一加 b 分 之一的最小值，直接乘上一个 a 加 b 算完以后，等于它两相乘，就等于一，再加上一个 a 分 之 b， 加上一个 b 分 之 a， 再加上一个一，就变成了二。我们要大于等于二，加上一个二，被的根号约掉，约掉，约掉就 约掉等于一了，大于等于四，那结果就是四吗？不是的，我们还要注意一点，因为我们乘上一个 a 加 b 以后，相当于是乘上一个 x 加 y 加一等于四的，乘上一个四，要让这个四的能够不发生改变，我们还要乘上一个四分之一，所以最后的结果还要乘上一个四分之一。答案就等于一了，写到最小值就等于一。当然做大题还要写 当前紧当，当前紧当什么呢？ a 分 之 b 等于 b 分 之 a 的 时候，那就是 x 分 之 y 加一等于 y 加一分之 x。 那 一个等式怎么去解两个未知数呢？还有一个等式啊， x 加 y 是 等于三的，那这里 x 和 y 都能解出来， x 解的是二， y 是 等于一， 明显是满足题的。我们用基本不等式的时候，一定要考虑到一正二定三相等啊，一步不能少。那这题你听懂了吗？

期末提分专题讲解，今天我们看的是基本不等式，那基本不等式在高一上学期非常非常重要，以至于整个高中也会出现的非常频繁。后面我们学习 求对称的问题，经常会涉及到利用基本不等式来进行求解，那我们来看一下这题应该如何进行操作的。告诉我们 x 加二， y 等于二，求 x 乘 y 的 最小值，那我们可以利用 基本不等式，这里面 x 是 大于零， y 是 大于零。用基本公式之前一定要满足一正二定，对吧？一正二定三相等，然后 x 加上一个二 y 大 于等于二倍的根号， x 乘上一个二 y， 那知道 x 加二， y 是 等于二的，所以根号二倍的 x， y 要小于等于一，那 x 乘 y 的 范围就出来了。 a 选项是错的，它算的应该是等于二分之一的， 所以并且还要满足当前仅当 x 等于二， y 等于一的时候取等于号，这是 a 选项啊。其实 a 选项就是对于一个基本不等式的一个 最基本的考察， x 的 平方加 y 的 平方最小的，那这个可以进行一个销源处理， 告诉我们 x 加二， y 是 等于二的，那么我们可以利用 y 去表示 x， 那 这里面我们就能得到 x 是 等于二减二 y 的。 往里面代入这个二减二， y 括号的平方加上一个外方，那这是典型的一个二次函数的形式，再利用配方最后算的答案，最小值就是五分之四， b 是 对了啊，这个算完以后就等于五倍的外减五分之四，括号的平方加上一个五分之四， 这是一个二次函数的形式嘛，开口是向上的，最小值就是五分之四，这是 b 选项。再来看 c 选项， c 选项是二的 x 次方加四的外次方，就是两个密的相加的形式，那这里面我们可以把 四给拆成二的平方，就变成了二的 x 次方加上一个二的二外次方，它是大于等于二倍的根号。二的同底数密相乘，底数相加就是二的 x 加上一个二 y， 那 题目告诉我们， x 加二， y 是 等于二的，往里一带取二乘二就等于四，它的最小值是等于四， c 选项也是没问题。当然还有个当前仅当啊，写大题的时候一定要写啊，当前仅当 d 选项， x 分 之一加 y 分 之二最小值。那这个典型的我们能想到什么？想到一的妙用在这里是二。 怎么才能运用一的妙用呢？直接把它乘个二分之一不就行了吗？所以我们先把直，我们先直接相乘，然后最后结果乘一个二分之一就可以了，就是 x 分 之一加上一个 y 分 之二乘上一个 x 加二 y， 那 这里面 他是不是把这个式子扩大了两倍啊？我们是不是前面乘上一个二分之一就可以了？那后面我们来算一下，是一加上一个 x 分 之二， y 加上一个 y 分 之二 x 再加上一个 y 和 y 抵消掉四，结果就是五加上一个 大于等于五加它一个二倍的根号，消掉，消掉，消掉，消掉。二乘二等于四的开出来就等于二，那这个二乘二等于四，所以大于等于九。前面还有一个二分之一，就是二分之九，最小值应该是 二分之九，并不是五，所以 d 选项是错的，那这就是利用基本不等式来进行求解决的答案。选择 b 和 c， 你 听懂了吗？