山东青岛高三检测立体几何

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的这个题目呢，是山东实验中学高三一月诊断的第十八题。 这套试卷啊，十八十九题我都看了一眼，都挺不错的。我今天呢，先讲一下这个立体几何问题，然后有时间的话，我再讲一讲这个圆锥曲线的解答题。 这个第十八题是什么样的题呢？我们看一下，这是一个三棱锥， a、 b、 c、 d 角， a、 c、 d 是 个直角，这是垂直的 b、 d、 c 也是个直角，是二分之派。然后 a、 c、 b、 d 都等于一， c、 d 是 个 x， 二面角 a、 c、 d 这个面和 b、 c、 d 这个面所成的大小为 c 的， 然后 m、 n 呢，分别是 a、 d、 b、 c 的 中点。我们看第一问，证明 c、 d 垂直， m、 n 证明这个一面直线垂直。常用的方法呢，就是构造线面平面垂直。怎么构造呢？这里边要注意到，这个中点，一出现这样的中点，我们想的最多的应该就是中位线，怎么连呢？ 连垂直观察一下，显然我们把这个 c、 d， 你 看这样连上这个 c、 d 和这条线就垂直，因为这条线就是 a、 c、 d 中位线。 同样道理，我要把这个中点和 n 点连上，那这个也是 c、 d、 b 这个面三角形的中位线， 所以这样的话，你看 a、 c 和这个面三角形的中位线，所以这样的话，你看 a、 c、 d 和 c、 d 垂直，所以这个和 c、 d 就 垂直了。 同理，这条线我连上一下吧，这个点记作 e 吧，连接。那这个 n、 e 是 三角形 c、 d、 b 的 中位线， 那么这个 n、 e 呢？也平行于 b、 d、 b、 d 和 c、 d 垂直，那 n、 e 也和 c、 d 垂直，这样的话，这个 m、 e 垂直 c、 d 这两线又相交，那 c d 就 垂直于平面 m n e， 所以 cd 呢，就和这个线垂直好了。第一问比较简单，我就说一下思路，过程我就不再写了，下面我们来分析这个第二问。 x 等于二分之根，三 set 的 三分之派，这个长度给了二面角的大小，也给了求直线 m n 于平面 abd 所成角的正弦。 这个问题有点难受，因为这个图呢，对于很多同学来说可能费点劲，因为你要找线面角，我们想到的就是建坐标系法吧，因为这个是一个通法了现在，那么你这个坐标系怎么建？里边垂直关系有吗？ 这个呀，如果想的通的话就剪的，想不通的话，这个坐标系都不好剪。这里边我给大家画一个正方体，哎呀，来我们看一下这个三棱锥到底是个什么样的三棱锥啊？我画一这样一个正方体， 好，这个正方体里边，我把这个点记作 d， 这个点记作 c， 这个点记作 b。 因为题中给了 b d 垂直 c d， 那 这个 b d 就 垂直于这个 c d， 然后 a， c 也垂直 c d， 你 说 a 点在哪？那我说 a 点在后边这个平面上， a 点在后边这个平面上，也就是说这个 a 点在正方体的后边这个面上，这样的话， a c 垂直 cd， b， d 也垂直于 cd， 所以 是这个样子的。你这个图形是这个样子的话，你想想建坐标器怎么建？ 所以我的想法，见坐标系就是以 d 为原点去见坐标系，以 d 为原点，这个就是竖轴，这个就是 x 轴。这边呢， dc 的 方向为 y 轴， 见坐标系，所以在这个图形里边就是以 d 为原点，这个方向为 z 轴 d， b 方向为 x 轴，这个方向为 y 轴，建立空间直角坐标系， 这样的话，坐标系建立完以后，下面我们要找这个线面角。首先我们先分析一下，找直线与平面所成角，就是找这个直线 m、 n 所在的方向向量与平面 abd 法向量加角， 对吧？找这个角去，那么我们再来找 m、 n 这个向量和平面的法向量，那我们想一想它需要找哪些点呢？你要找平面 a、 b、 d 的 法向量， a 点、 b 点、 d 点，再找吧。 然后要找 m、 n 这个向量， m 是 a、 d 的 中点，那 a 点、 d 点有了， m 点也有了吧，你要找 n 点， n 是 bc 中点，你要找你得找 b 点和 c 点，所以我们要找这个线面角，只需要找 a 点、 c 点、 d 点和 b 点这四个点就够了， 没问题吧？好，下面我们就开始简，我简要的写一下这个第二问，见坐标心呢？我也话也不说了，那这个 b 点坐标啊， b 点坐标就在这了，这里边长度显示这是 e， 是 吧？所以 b 点坐标就是 e 零零， 然后 c 点坐标，注意这个 dc 是 二分之根散，所以 c 点坐标是零，二分之根散零， 然后就是那个 a 点坐标不太好找， a 点是什么样的 a 点？首先你得注意到这个二面角，二面角是三分之八，实际上这个二面角就是 a、 c 这个角， 对不对？你这个 a、 c 的 长又是一，这个角又是六十度，你可以这样做个垂线呢？你这个角不就是三十度吗？这个长就是 a、 c 的 一半， 对不对？这个长就是二分之一，这个长是二分之一的话，这就是二分之根三，这就是横坐标和竖坐标， 所以这样的话，这个 a 点也就出来了，它的横坐标是二分之一啊。黄色横坐标是二分之一，竖坐标呢，是二分之根三。然后纵坐标就是这个 c、 d 的 长， c、 d 的 长还是二分之根三。 好， a 点有了，那这 d 点呢？就是零零零，我就不再写了。这些点有了以后，我们下边找这个 m 点， m 点是 a、 d 的 中点，所以 m 点就是 a 点，坐标除以二就行了，因为 d 是 零零零，四分之一四分之根三，还有这个四分之根三 n 点是 bc 的 中点，所以这个 n 点坐标就是二分之一四分之根三零。好，这些点的坐标找齐了，下面我们找向量坐标， 一个是找向量 m， n， 向量 m， n 向量 m， n 呢，就是 n 点减 m 点就应该是四分之一零，负的也四分之根三。 然后我要找平面 d， a， a、 b， d 的 法向量，所以我得找向量 d， a 和 d， b 这两个 d 是 原点， d， a 的 坐标就是二分之一二分之根三和二分之根三 d、 b 的 向量，这个坐标也是一零零。 那么我们设法向量 m 为 x， y， c 的 话，我这个画我这不写了啊。法向量就是平面 a， b， d 的 向量 m， x， y， c 的 话，那么这个 m 乘以 d， a 应该得零， m 乘 d， a 得零，那就是二分之一 x 加二分之根三， y 加二分之根三， z 得零，然后 m 乘以 d、 b， 它也得零，那就是 x 得零。显然这时候我令 x 得零啊， x 肯定是零，那这个，呃，二分之根三 y 加二分之根三， z 得零，那 y 得一的话， z 就 得负一，所以这就是零一负一， 这样的话，你看思路不就很清晰了吗？对于立体几何而言，我们只需要完成我刚才说的这些过程，剩下就是酸了，我要找线面角的正弦值，我们不发射线面角的正弦等于三， a c 的， 它就等于这个法向量 m 与斜向量 m n 加角余弦的绝对值就等于 m 向量乘以 m n 的 模，乘以 m n 的 模， 所以这个往下就是千篇一律的，就是算就行了。 m n 这个乘积的加绝对值，我们下边算一下。这两向量相乘，就是这个和 m 在 哪呢？和这个乘，这个和这个乘，我们看看是多少 这个和这个乘。哎呀，不对劲啊啊，放错了， m n 在 这了， m 乘 m n， 我 们算一下啊，这个上面我们看一下啊，零乘零尾了，就等于四分之三， 对吧？ m 的 膜呢？ m 的 膜是根号二， m n 的 膜呢？ m n 的 膜是它的膜根号加 x 方加 y 方加 z 方，这是十六分之一，这是十六分之三。加一块是十六分之四，十六分之四，也就是四分之一，所以这个膜就是二分之一， 所以 m n 膜就是二，这样的话，二，消掉 这乘个二上下的长，根号二是四分之，根号六，所以这个线面角的正确也就出来了。好了，这个题你看，咱们不着急，不着慌，一会就能算完，很简单，下面我们再看这个第三小问这个呢，就开始有点难度了。 设三棱锥， a、 b、 c、 d 内有一个半径为二的球， a、 b、 c、 d 里边有一个半径为二的球，那么 x 大 于零，小于等于二， set 等于 x 啊，二面角的大小也等于这个 x 的 长，等于这个 c d 的 长， 证明二小于四分之一，这是啥意思呢？有一个半径为二的球，那球显然最大的时候就是内切球啊，球最大就是内切球，也就是说你要让证明二小于四分之一，证什么呀？证内切球的半径是比四分之一小呗。 所以这个题的第三问实际上是一个内切球问题，内切球的半径又怎么处理呢？这个三棱锥，显然他还是不是一个固定的三棱锥，因为这个边长啊，这是 x， 这个二面角还是 x 都不知道。 所以这个三棱锥的内切球，我们就不能说找球进去了。用什么呢？用体积法啊，我们三棱，我这个猜一下啊， 怎么用体积法呢？我们可以想象一下，这个三棱锥，我要把它分割起来的话，嗯，你看这一个三棱锥， 如果那一切球的话，那一切球的球线到四个面的距离都相等，对不对？所以那一切球的这不是三棱锥的体积就等于啥呢？等于四个小三棱锥的和啊，是四个小三棱锥体积的和，这个大家都知道吧， 四个小三棱锥的体积就等于四 m 分 之一，表面积乘以内切球的半径， 所以这样的话，你要求内切球的半径二就等于什么呢？就等于三倍的位比成表三棱锥的表面积，这就是内切球的半径。 所以对于这个内切球的半径的处理方法，我们就用这个公式就可以了啊，然后呢，这个公式二肯定用 x 来表达。 好了，我们下面写在这，这个二就等于三倍的体积啊，啊，不，写错了，三倍的体积为比上这个表面积 s， 那 么下面我们就开始计算这个三棱锥的体积和表面积，我们看能算吗？显然这个难度不大，为啥难不的难度不大呢？你看我们有第二个的基础了，我这个正方体里边是看得很清楚，底面积我们可以表达这时候这个 cd 的 长，这是 x 底面积啊，三角形 b、 c、 d 的 面积就等于二分之一乘以 x 乘以 e， 那 我们能不能求出这个三棱锥的高呢？显然就是 a 点到底面的距离，你这个二面角是 x， 也就是说这个角就是 x， 那 么你要求这个直角三角形的这个对边， 而且这个斜边是一，那这个对边是不是有了？所以这时候这个点 a 到底面的距离，我们就可以表达出来点 a 到平面 b、 c、 d 距离，嗯，到这个的距离距离是多少呢？就是塞阴 x， 他就等于三 x， 因为这个三 x 等于对边比斜边，而这个斜边是 e， 所以 对边就是三 x， 这样的话这个体积就等于三分之一底面积乘这个高就可以了。 好，这个我们就体积就解决了。我们下面求了个表面积，这个表面积，这个立方，这个正方体里边不带太看，我们看这个，这个 a、 c、 d 和 b、 c、 d， 那 显然是两个全等的直角三角形，所以 a、 c、 d 和 b、 c、 d 的 面积都是它， 所以这个三角形 a、 c、 d 的 面积也是这个二分之一 x。 那 么我们下边难点就在哪呢？求这个 a、 b、 a、 b、 d 的 面积和 abc 的 面积，这两个三角形不太好求， 不太好求是因为这个图形不太得看，你如果要放到右边这个图里边呢？那 abd 的 面积你看好求吗？ 我要表达这个三角形的面积，我可以怎么办呢？我可以这样去处理，把 a 点向底面做个垂线， 再有这个点向这个 b、 d 做个垂线，你想想，我要把这个连上，这不就是三角形 a、 b、 d 这个三角形高线了吗？这就是高线。而这时候这个这个长和这个长我们能表达吗？这个长就是这个 c、 d 的 长，就是 x， 这个呢？不就是 a 点的这个，刚才说了这个高吗？就是三 x， 所以 这个 a 点到 b、 d 的 距离就是根号下三 x 的 平方加上 x 的 平方 啊，我，我就简单分析 si 了，过程我就不写了，这个 a 点到直线 b、 d 的 距离 啊，直线 b、 d 的 距离，这个就是根号下 x 放加塞，沿 x 的 平放， 那 a 点到直线 b、 d 的 距离有了，那么三角形 a、 b、 d 的 面积我就可以表达了。 a、 b、 d 的 面积就等于二分之一， b、 d 乘以这个距离， b、 d 呢？就是 e， 我 就直接写吧，所以就是二分之一乘以根号下 x 放加塞，沿 x 的 平放。 好了，这个表达完以后还缺哪个三角形？还缺 a、 b、 c 这个三角形，这个咋办呢？你仔细观察一下这个 a、 b、 c 这个图形和 a、 b、 d 这个图形有啥特点？显然这个里边这个 b、 d 和这个 ac 是 相等的， 对不对？然后 ab 是 公共边，对吧？然后这个 ad 和这个 bc 也是相等的，所以这两个三角形它是全等的，对吧？所以三角形，呃，三角形， 三角形，这个 abc 和这个三角形 abd 它是全等关系，这样的话这两个三角形面积也相等， 经过我们刚才的分析，这个整个四三棱锥四个面是不是都有了呀？整个四个面，那也就是说这个表面积 s 就 等于这两个三角形面积加上这两个三角形面积，这两个三角形面积加一起就是 x， 这个就是 x 加上这个三角形，这两个三角形的面积呢？这两面积是一样的呀，所以这个面积就是根号下 x 方加三 x 方 好，表面积有了。根据刚才咱分析的外界球的半径的这个体，这个半径的一个公式就等于三倍的体积比乘表面积 啊，体积我们还没写呢，这个体积为呢，我写这吧，这个体积为他等于这个三角形 b c d b c d 为底 a 到这个面距离为高，就在这，所以就是二分之一 x 乘以三 x， 这就是体积 v， 这样的话，我们把它带入这个表体积公式就可以了。表面积就是啊，三倍的二分之一 v 吧，三分之二乘二分之一倍的 x 乘三 x， 比上这个 x， 我看一下啊，哎，乘以这个加上这个根号下 x 方加塞沿 x 的 平方，我看一下， 咱这写错了吧，三分之一啊，这写错了啊，刚才咱推导这个体积公式啊，是三 v， 是 等于什么呢？等于三分之一 s 表，嗯， 啊，这个这个 v 写错了，我说不得劲了呢，这个 v 写错了，没错，这个 v 呢，是三分之一底面积乘高啊，这是底面积，这是高， 所以这样的话，这个三倍的 v 实际上这个三就消掉了，因为你三倍的 v v 这里边还有个三分之一呢，所以这个三是消掉的，所以这时候是就是二分之一 x 乘三 x， 所以我们最后就把这个内切球的半径给表达出来了，就是这样一个式子，我们要证明的呢，就是这个二小于四分之一， 这个这个东西小于四分之一从哪下手呢？我们呢先整理一下看看啊，这个二它是等于二分之一倍的，你看上面是 x 乘赛因 x， 下面是 x 加上根号加 x 方加赛因 x 的 平放， 这里边有个二分之一，你要证明它小于四分之一，实际上就是证明这一坨小于二分之一就可以。这个从哪下手呢？ 我，我首先想到的呀，是下边这个是不是能用这个基本不等式链呢？就是这个公式，就是二分之 a 加 b 的 完全平放，是小于等于二分之 a 放加 b 放的， 但是我经过计算以后，这个是解决不了的啊，这就是我的想法，因为这样一转化的话，就能把这个根号给去掉，就变成 x 方加 x 方加三 x 方，但是上下它还用，基本不能是，还是不太好使。所以啊，这个就得考虑其他的一些方法，这个常规导数是解决不了的， 用什么方法呢？这个呀，实际上最简单的就是一个方数是解决不了的，用什么方法呢？这个呀，实际上最简单的就是一个方数是放大，怎么缩小呢？ 我呀，就把这个三根 x， 你 看 x 是 大于零，小于等圆的，所以这个三根 x 最小值是零，所以三根 x 放小的话，整个值不就放大了吗？我就直接把三根 x 给它放成零， 三根 x 给它放成零的话，里边就是根号加 x 放加 x 那 里边。你看我，我多写一步这个 x， 这个后面不就是根号加 x 放了吗？肯定小于它呀。 上面是 x 乘三 x， 你 这个 x 加根号 x 放，这不也是 x 吗？所以下面这是个二 x， 二 x 又消掉，那这个不就等于二分之一乘以二分之三 x 了吗？ 你看这个二分之一，这也有个二分之一，这不就是四分之一吗？那算一， x 是 小于，小于等于一的，所以这个一定是小于等于四分之一，我们这就缩出来了，所以呢，这个二的半径一定是小于四分之一，因为前面这是小于二，所以整个是小于的关系。 好了，这个题目啊，出的真是非常精彩啊，不管是几何图形的构想，以及这个呃，那些曲半径的处理手法以及不等式的方数，都是有一定难度的。好了，今天咱就讲到这里。

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的是一道立体几何的题目， 近期讲的导数题角度啊，未适应不同层次的学生的需要。我今天讲一下这个第十八题次要素题，这个立体几何。好，我们来看一下。这个题目呢，也是相当有难度的， 三棱锥 p a， b， c， d， e 分 别是中点，我们看好了 d， e 是 中点， f 是 ab 上一点，然后呢， b f 等于二倍的 af， 也就是说 f 是 一个三等分点。 第一问，证明 pe 平行于平面， cdf 证明线面平行，肯定是想到的线面平行的判定定律，得从平面内找一条线和这个 pe 平行，找哪条线呢？ 这个呀，我们可以从问题的反方面去考虑，如果这个线面平行，这肯定是对的，因为要证明他吗？我们从这个以这这个结论上，如果这个线和这个面要平行， 那么我们知道根据线面平行的性质定离过这个线的平面与这个平面相交的话，那这条线和交线平行， 那显然这里边这个 p a， e 这个线，这个面是过 p e 的 吧？它与 c、 d， f 是 不是应该有交线呢？这个交线，你看我们把 a e 和 c、 f 的 交点，比如记作 g， 那这个 g， d 不 就是 pa e 与平面 c， d， f 的 交线吗？所以我要证明这个 p p e 平行于 c， d， f 的 话，肯定就是证明 p e 平行于 g、 d 就 可以， 对吧？而这里边我们在分析，我要证明 pe 平行于 g， d， d 是 a pa 的 终点，那显然这个 g 就 应该是 a， e 的 终点， 所以我要能够证明 g 是 a， e 的 终点，那不就得到了这个 g、 d 就 平行于 pe 了吗？ 那么怎么证明既是 a e 的 终点？这就是我们首先要解决的问题。这个图形中啊，我们不太得看，可以这样去考虑。你比如说我把这个三角形给它拿出来啊，随意一个三角形，它没说是等边的啊。第一问，用不上 f 是 一个三等分点，你这个 e 呢？它是一个中点，如何证明这里边这个焦点记是 a e 的 中点呢？这就是一个纯粹的平面几何问题。 证明终点，终点有什么结论呢？终点就得想到一些中位线呢，我们这样的话，就得利用平面几何知识，我们可以考虑什么呢？做平行线，你比方说这个 e 是 终点，我要做一个 c， 呃，做一个 e h 要平行于 ab 呢？ e h 要平行于 ab 的 话，那么 e 是 bc 终点，那 h 就 应该是 e c 终点，对吧？这样的话，这个 e h 就 应该是一个也是中位线，所以这个 e h 它就得啥呢？等于二分之一倍的 e b 对不对？而这个 e 啊，这是 f b 啊，写错了，这是 f b， 这个 f b 又是什么呢？ f b 又等于二倍的 f b 又等于二倍的这个 af， 所以 二分之一 f b 不 就等于 af 了吗？所以这样的话， e h 就 等于 af， 而 e h 又和 af 又是平行的呀，所以这个 a g 就 等于 g e， 这就出来了，所以 g 就 一定是 a e 的 终点，从而 g d 就 平行于 p e。 好 了，找到了线线平行，就有了线面平行。这个详细的过程呢，我就不再写了，我们重点来分析这个第二问。第二问呢，我们看是个什么样的题？ 底面 a b c 是 边乘为七的等边三角形，下面说了，这是个等边的， p 点到底面的距离是二分之七， p 点到底面的距离我们先记着，这是二分之七点， p 在 底面 a、 b、 c 上的摄影恰好在线段 c、 f 上， p 点在底面的摄影在线段 c、 f 上，而且 p 点到底面距离是二分之七，你想象这是个什么样的点？ 这个点显然是一个动点，因为 p 点到底面的距离虽说固定，但是 p 点到底面的摄影是在 c f 这个线段上，也就是说 p 点可以动，所以这个三棱锥，这个 p 点呢，它可以在这个横线上随便动。 好了，第一问，让我们求二面角 p c f d 它的正切值， p c f 这个面正切值 这样的问题怎么处理？我们做的最多的现在就是空间向量坐标法，我这个题还是讲坐标法， 因为这几年的高考趋向于用向量问题来解决立体几何问题，所以呢，我们就提倡用坐标法了吧。首先用坐标法的话，第一个要考虑的就是如何建坐标系， 如何建坐标系，这里边虽说有 pfc 啊， p 点在底面的摄影当然说在 cf 上，那这 pfc 肯定是垂直于底面的，那你竖轴能建在这吗？ 不合适，因为你竖轴建在这的话，你将来这个横坐标纵坐标不太好找，对不对？你竖轴建哪啊？你建这 建在 c f 的 中点显然不合适，所以这里面没有我们所谓的竖轴的位置，而且横轴纵轴呢，也没有太明显的这个垂直关系。所以这个题啊，坐标系我们就可以大胆的这样去建。怎么建呢？我就以 a 为顶点， 这个 a 这底面是一个等边三角形，我就以 a 为圆点，这样为 y 轴，这样为 z 轴去建立空间直角坐标系， 这样的话，这个 x 轴就和这个 b 点，哎，这这个高线它现在是平行的啊。 b 点在 a、 c 上的高线是平行的，我们就这样去建。 这样建完坐标系以后，下边我们要想的任务就是干什么呢？找点子坐标。所以这个这样的题啊，你一定要思路清洗，先建坐标系，你如何建？做题更方便。第二一个如何找坐标？ 我们要找先想一想找哪些点，我要找 p、 c、 f、 d 这四个点，哎呀，找这个二面角的正确，我得找这四个点的坐标。这四个点首先我们看看好不好找。 首先 c 点和 f 点，这是好找的，为啥？因为它底面是一个等边三角形，我们可以给它画成一个等边三角形，这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点。 f 点是一个三等分点啊， f 点是一个三等分点，我们看一下，这样剪完坐标系以后，过程我就略写了啊。 首先第一个要找的 c 点坐标，这就好办了， c 点在 y 轴上，横坐标是零，边长是七，所以 c 点的纵坐标是七，数字标还是零，我先把好找的找出来。然后这个 f 点呢？ f 点也不难找，因为啥呢？你看我如果用 b 点这样做个垂线的话， 你这是 x 轴，我们先写一下，这是 y 轴，你 b 点做一个垂线的话，这个高线我们是好找的。这个高线就是边长的二分之根号三倍，二分之根三乘七，而这个 f 点到外轴的这段距离就应该是这个高的三分之一， 这样的话， f 点的这样的横坐标就出来了，所以 f 点的横坐标就是六分之七倍，根三， 就这个数六分之七被杠上，然后这个纵坐标呢？纵坐标就是这一段的长度，这一段长度是多少呢？是整个这个这一段的三分之一，是整个 a c 的 六分之一，所以这个纵坐标就是六分之七，竖坐标是零。 好， c 点、 f 点找到了，下面我们就得找这个 p 点和 d 点，这个 p 点又怎么分析？ 首先我们要明确一点，你看 p 点是怎么个事啊？ p 点到底面的距离是二分之根七， p 点到底面距离是二分之根七，是不是 p 点的竖坐标就确定了呀？ p 点在底面的摄影恰好在线段 c、 f 上，也就意味着 p 点的横坐标、纵坐标与它在地面的摄影的横坐标、纵坐标是一样的。所以我们就哎，我们再把这个整边三角形再画出来，我们还得找这个 c f 上的点 a 点 b 点 c 点这个 c f 上的点他的横坐标。你比如这就是屁撇，就是那摄影你把屁撇点的横坐标、纵坐标确定了，那屁点的横坐标、纵坐标也就确定了。但是屁撇点是一个动点呢？你怎么求？ 这个动点的话，我们就可以采用设未知数的方式来表达。这个屁点坐标怎么设呢？ 这个如果看成平面直角坐标系的话，当然可以求出直线 c f 的 方程来，但这样的话，这个题预算量稍大一点，我就不采用那个范了，我采用什么呢？我采用这个，你比方说我把 p 点一个坐标，横坐标、矮横坐标给它设出来，那纵坐标显然跟这个横坐标是相关的， 怎么表达呢？我可以求这个角 a、 c、 f 的 正切，哎，我们先算一下 a、 c、 f 的 正切， a、 c、 f 的 正切，我们可以用这个 f 点来表达。那不就是这段长比上这段长，这段长就是 f 点的横坐标， f 点的横坐标就是六分之七倍根三。然后这段长呢？这段长，这段长就是这个 a、 c 的 长减去这段长，这段长就是 f 的 纵坐标， a、 c 的 长是七，所以减去六分之七， 那就是他的中作表。我们算一下，七减六分之七，七十六，七四十二，四十二减七，下边分母上，所以是六分之三十五，六分之三十五，上面还有个六分之七倍根三，你除以他等于乘以他一倒数，你把六的消掉了，这个五消掉个七，是，所以这个等于五分之根三。 好，正切值有了以后干啥呢？我可以设这个屁撇点，我就直接设屁点吧。这个屁点，比方说横坐标设成 a， 这个屁撇点的横坐标就是 a， 也就是这段长就是这个横坐标，因为这是 x 轴，这个横坐标是 a 的 话，横坐标比上这段不就是 正切值吗？所以这个正切值我们先在这计算一下啊，这个 a 比上这一段是多少呢？这一段就是七减去啊，你看这段是 a， 这段是。呃，纵坐标这段，比如说设成 x 吧，哎，七减 x， 哎，不对不对，这个屁撇点的纵坐标，屁撇点的纵坐标应该设成 x， 所以 这段就是七减 x， 所以 这个 a 比上七减 x， 就 等于五分之三，五分之根三。所以我们把这个我看啊，屁撇点 啊，对，我们把这个 x 解出来，哎，不不不，就这个，咱就设成 y 啊，因为这个涉及到的是这个纵作表，这个 y 七减 y， 这段就是那个 y 屁点屁撇点的纵作表啊，这个是横作表，这是 x， 那 么这个七减 y 就是 这个这段长，这段长，所以 a 比上它就是正切值。下边我们写这个 y， 那 这个七减 y 给它除过，乘过来，也就乘以根三分之五吧，根三分之五， 然后这个 y 呢，就等于七减去根三分之五位的 a， 所以 这个纵坐标也就有了，所以 p 点的纵坐标就是七减去根三分之根，根三， 根三分之五 a， 我 这个就这么带着根号了啊，根三分之五 a， 这就是 p 点的横坐标和纵坐标，那么它的竖坐标是多少呢？就是二分之七，因为 p 点到底面的距离是固定的， 这就是二分之七。好了， p 点有了以后，这个 d 点实际上也就出来了，因为 d 是 p， a 的 中点，而 a 是 原点，所以 d 点应该是 p 点的纵，这个坐标除二， 所以这个地点坐标我们也就跟着出来了，也就是二分之 a， 二分之七减去二倍，根三分之五 a， 然后那个就是四分之七，这块我擦一下吧，这块我擦一下， 这个就是四分之七。好， d 点有了以后，那么下面我们看，四个点我们都找到了，我要找二面角，是不是开始找发向量了？好，我们先找这个 c、 f、 c、 d， c、 d 这个面的发向量， 那么先找这个 c、 d， f 面的发向量，我先找 c、 f、 c、 d 这两个向量，那就是 f 点减 c 点， f 点呢？这个是在这了， f 点减 c， 我 就直接写了，它就是六分之七倍根三，然后六分之七减七，六分之七减七是六分之四十二，所以这是负的六分之三十五， 然后呢，这个纵坐标就是零，然后再找这个 c、 d 这个向量， c、 d 这个向量呢，就是 d 点减 c 点，那这个就是二分之 a， 然后这个是二分之七减七就是负的 啊，负二分之七呗，减去二倍根三分之五 a， 然后四分之七再减零，这就是 c、 d、 c、 f 这两向量。下边我们就可以设平面，设平面 c、 d、 f 的 法向量 啊，我们就可以给它设成 m 坐标呢，记作 x、 y、 z， 这个取呢误差率有点大，我们看一下啊。那么根据 c、 f 乘以 m 应该得零， 那就是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五倍的 y 应该得零， 对吧？然后呢， c、 d 乘以 m 也应该得零，那就是二分之 a 倍的 x 减去二分之七，我加个小括号吧，加上二倍跟三分之五倍的 a 倍的 y， 加上四分之七倍的 z 等于零。 好，下面我们就开始取这个坐标，一个是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五 y 下面分母上正好等于都有这个啥都有六，我比方说我就令这个 x 得一吧，我们看这个 x 要得一的话， 那这个就等他了，对不对？等于他的话六，消掉你这个三十五和这个七，可以消掉个七，这是个五，所以这个 y 就 等于五分之根散 好， x 得 y 得五分之根三，我们在下边带住下边，这是二分之 a 减去二分之七，加上二倍根三分之五倍的 a， 这个得乘以五分之根三， 对等，加上四分之七倍的 z 等于零，我们去解这个 z， 把这个算一下，这个二分之 a 减去这个乘一下，是十分之七倍根三， 这俩一乘的话，根三消掉五，消掉这个正好减二分之 a， 加四分之七倍的 z 等于零，这两个都消掉了，所以就是四分之七 z 就 等于这坨，然后七消掉四，消掉个二，这个应该是 z 等于五分之二的根三， 嗯，这是等于五分之二倍根号三好， x y z 我 们都求出来以后，法向量也就有了。下面呢，我们再找另一个平面，这里边啊，就得讲究一个技巧了，这个法向量 m 先写出来，就是 e， 五分之根三，五分之二倍根三， 那么另一个面的法向量，你如果再求这个 p c f 面的法向量的话，这个运算量就超大了，因为你这个 p 点也不是个好数，是吧？ 所以这个题考虑啥呢？因为这个 p 点在底面的摄影在 c f 上，也就是 p f c 和底面是垂直的，所以这个 p f c 这个面和 d f c 这个面的夹角与这个 d f c 与 a f c 夹角正好是互余，所以我找 d f c a 这个二面角里 这个大小就可以了。所以我下面呢，找平面 abc 的 法向量。平面 abc 法向量， 那平面 abc 的 法向量肯定，这，这就可就是零零 e 呗。我们设成 n， 它就是零零 e， 因为它就是树轴啊，在底面上，所以我求这个 m n 的 夹角的余弦。 好，这个 m n 加角的余弦。我们算一下，上面这两个 m 乘 n 的 话，乘零就没了，就等于五分之二倍根三。下面就是算它俩的模， n 的 模就是 e， 主要是算这个 m 的 模， m 的 模就是 e， 加上二十五分之三，这个 e 平方是二十五分之二，得四三四一十二。好，我们算一下，下面是二十五分之二十五加三，再加十二， 这是十五加二十五，四十二十五分之四十，就是五分之八。所以下边这个分母就是根号下五分之八，根号下五分之八。我们算一下，五分之二倍根三除以根号下五分之八，也就是乘以根号八分之五， 根号八分之根号五，这个根号八就是二倍根号二，所以我把这个二可以约掉，这个根号五和这个根号五能约掉，所以这个剩的根号五乘根号二分之三，也就是根号十分之根号三，我们就找到了这个余弦值。 而这个题大家再注意，他求的是正切值，所以下一步我们还得算一下正切，这个就好办了。 这个角，比方说这个角 c， 它的余弦值是根号三比根号十，我这个是根三，这个是根号十，那这个对边就是根号七，所以这个 tangent， 这个角 m、 n 加角的余弦值，呃，正切值就等于根号七比根号三。 好了，这个角的正切值有了，那就说明啥呢？说明，哎，根据这个角 p， 呃，也就是 p、 f、 c、 d 正切值，它是根号三分之，根号 c 啊，不，不，那个 d、 f、 c、 a 啊， 这会因为这个角二面角啊，这个 d、 f、 c、 a 与哪个呢？ 这个 p、 f、 c、 d 是 互余啊，所以就说明这个，这，这，这个，这是哪根的角啊？这个 p、 f、 c、 d， 它的 这个角的正切值啊，正切值就应该是啥呢？就应该是这个正切值的倒数啊，它的正切值就等于根号七分之根号三，也就是七分之根号角二十 e 吧。 好了，我这个就简单说到这，这个题啊，预存量有点大啊，这只是第二小问，第二小问的第一小问，我们下边看这个第二小问， 这个第二小问呢？他就模仿了今年的新高考一卷的高考题， p a c e 所有顶点在一个球面上，求该球表面积的最小值。 p a c e 这个外接球，我们要找球的表面积，肯定得找球心，因为有了球心才能找到半径，有了半径才能去计算这个表面积，才能要你的最小值。 这个外接球问题其实十几年前就一直在考，只不过从去年，从二零二五年新高考一卷，把它搬到了解答题上，又引起了一个新的重视，解答题的出现了，其实这个东西并不难， 你想一想， p a c e 三棱锥的外接球怎么找？这个 a e c 显然这是一个直角三角形，因为它是个等边三角形，所以这个 a e 是 垂直于 b c 的。 这个直角三角形的外心肯定是 a c 的 中点，那么球心与这个外心的连线一定垂直于 a e c， 所以球心肯定在这条线上，对不对？那么我们只需要把这个球心给它设出来就行了。这个 a c 的 中点，显然这个横坐标是零，纵坐标是二分之七，所以这个球心它的竖坐标给它设出来就可以了。 好了，这里边过程我就不严格的写了，简单说一下，那么这个球心呢，我们就可以给它设成什么呢？设成零二分之七， 然后就是 t 球心给它记作 o 吧，然后我们要表达这个半径，那怎么才能表达这是球心呢？因为这个球心 o 肯定到 a 点， c 点， e 点，一定距离相等了，所以只要保证球心到 p 点，距离也跟它们相等，所以只需要 o p 等于 o a 就 可以， 对不对？好，下步我们就分析，你要想这个是球心，那只需要满足 o a 等于 o p 就 可以，而这个 a 是 原点好表达， o a 等于 o p 的 话，我们下边啊计算这个这个平放就行了，因为这个代的根号不好算， o a 方等于 o p 放 o a 方，那就是 这就是二分之七的平方，四分之四十九加上梯放，而这个 o p 放呢？我们看这个 p 点是啥？ p 点在这是 a 七分之根三减五，我先把 p 点写上是 a 七减根三分之五 a， 我 看啊，然后是二分之七， 好了，这个那个是二分之七，那么 p o 的 平方，那就是 a 方，然后减去纵坐标，是七减二分之七还是，嗯，二分之，还是 这个七减二分之七，二分之四，也就是二分之七减去根三分之五倍的 a 的 平放，然后再加上二分之七减 t 的 平放。好了，我们就看到 我们继续往下算，这个题确实蕴算力有点大，好了，下面我们给它算一下右边这个平方展开 a 一 方，这个就是七七二二得四七七四十九， 然后减去二 a b， 这个就是根号下三分之五七三十五 a， 然后加上根三分之五 a 的 平方，就是三分之二十五 a 放后边这个二分之七的平方，还是四分之四十九，然后减二 a b 就是 减七 t 加上 t 放。 这样一展开以后，我们看左右两边就开始笑，这个四分之四十九跟他相于一起，这个 t 方跟他也笑掉，所以右边就出现了个七 t， 我 们把它写出来，写到左边来。七 t， 我 们看整理右边，这有个 a 方，这有个三分之二十五 a 方，这就是三分之二十八倍的 a 方， 然后减去一个根三分之，这是三十五 a， 再加上一个四分之四十九。 好，我们就可以把这个 t 变成一个关于 a 的 二次函数。这个 t 呢，大家可以想象一下， t 是 这个 o 点的数值表，你要想 o a 这个 半径最小，面积最小，半径最小，那个 t 就 有最小值，对不对？所以要这个 t 最小，我们就找这个二次函数的最小值就行了呗。二次函数最小值肯定先想到的就是这个对称轴，这里边啊，有一个需要说明一下，这个 a 的 值是有个方位的，因为这个 a 的 值 线点 p 在 底面的投影恰好在线段 c f 上，所以这个 a 的 取值范围它不能超过这个 f 点的竖坐标那个横坐标。所以这里面我们设的这个 a 呀，刚开始没有说这个 a 呢，它是小于等于，嗯，这个 f 点的 横坐标是六分之七倍，根散应该是大于等于零的，因为这个 a 这个 p 点的投影在这个 c 点的话，横坐标就是零了。 好，也就意味着个对称轴必须在这个范围内，我们看这个对称轴是 a 等于负的二， a 分 之 b， 负负为正，就是二乘三分之二十八，上面是根三分之三十五。我们算一下这个对称轴是不是在范围内 上下把三翻上去，那就是二乘二十八，上面是根三分之三十五乘以三，这个根三消掉，这个省个根三三十五和这个能约个七，省个四，这省个五，所以应该是八分之五倍根三， 这个对称轴是八分之五倍根三。我看一下啊，我算的结果是这个八分之五倍根三，他正好是小于六分之七倍根三的，小于六分之七倍根三，所以这时候他这个对称轴是能取到的， 也就是 a 得它的话，这个七 t 应该有最小值。我们下面就是一系列运算，三分之二十八乘以 a 放， a 放就是八分之五倍根三，这个直接平放吧， 八分之五倍根三，就是六十四分之二十五乘三，然后再减去根三分之三十五乘 a， a 是 八分之五倍根三，再加上个四分之九。 我们先算一下这个三和三消掉，这个根三和根三消掉，下边是六十四和，这个能学个四七，上面剩个七，所以下面是十六分之，上面是七乘二十五，减去 这个是八分之三十五乘五。咱先别着急算，它加上四分之四十九，下面我给他通分，这个就是十六分之七乘二十五，减去三十五乘五，再乘个二，也就是乘十吧， 再加上这个是剩个四，四十九乘四。那这个数咋算呢？这个数啊，我教给大家，可以先提供因数，你比方说这个七乘二十五，这个里边三十五乘十，我可以提出一个二十五去 这个生个七，后边提出个二十五，这个生个七，这个生个二，所以这个是负七。七减十四不是负七吗？所以前面这个就是二十五乘负七就是负的二十五乘七，再加上四十九乘四， 这个七和四十九又可以提出个七，提出七以后前面成个负二十五，后边呢？四乘七是二十八，二十八啊啊？四四乘七是二十八，是不是？四乘七？二十八减二十五就是三，所以三七二十一，所以这就是十六分之二十一， 那么这样的话，七 t 等于十六分之二十一，那这个 t 就 等于十六分之几， t 就 等于十六分之三，所以 t 的 七十六分之三时，这个外接球应该有个半径是最小的，面积最小， 懂了吧？所以七 t 等于七分十六分之三的话，我们再求这个半径就可以了。这个 r 放呢？刚才咱们算了，上面在哪呢？在这呢？这个就是 r 放，四分之四十九加 t 放， 所以这个就是四分之四十九，加上十六分之三的平方，这个数字太大了，我就不算了，我找一找啊，我算的结果，这个结果最后 最后的结果是二十二百五十六是三，二百五十六分之三一四五 啊，二百五十六分之三一四五，这个没错，所以这个球的表面就是四派二放在成个四派就中了啊，四派二放在成个四派就应该等于六十四分之三一四五派。好了，咱们今天这个题就讲到这里。

欢迎收看零一年高三数学老师全天监考加阅卷的考试周又阅立体几何。今天他们开始考试了，然后我一整天的监考 弄头发换衣服我就可以出发了。 天都没亮。嗯哈哈哈哈我要是抓小三我一定是赢的那个他也就只能吵吵我的头发了。哈哈哈哈我把两个一起弄死。 我的战斗力走领试卷啊。想喝口水了。 他没礼貌他笑话我袜子我穿这么辛苦的袜子算了这会看不见哈哈哈。 早上监考了整整一早上，现在已经吃完饭了。你在办公室吃了饭我提垃圾箱子。这是下午，这是冰城。我说这是冰城补课我下午不去学校其他老师都已经约了不少了，不知道你们能不能看见。看 大家都已经约了，只有我才要开始 睡醒了。反正都是约卷子，我就在家约吧。去办公室也没上班，平板也在家里呢，就在家里约吧。约的差不多了我再去上晚自习 非常好，外面太阳也非常好， 我的阅卷进度已经变成最慢的，所以我得赶紧阅，但是不着急。我今天晚上有晚自习，然后明天或者后天阅完应该就可以 到现在真的有人相信写个几字老师就会愿意给你分吗？我上晚自习的时间差不多到了，我要去上晚自习，然后还差点卷子没阅完。今天晚自习的时候阅完吧拜拜。我一直觉得我是一个比较喜欢用大包的人，但是我刚才发现我大部分包都装不下我平板。 我到校门口了，还有六六分钟上晚自习去上晚自习，把答案拿上平板，拿上阅卷子拿个笔。这节晚自习我阅了一百八十九分。好饿呀，晚上没吃饭。 我下班了。我本来没课的，但是有老师去培训了，所以说我明天早上起来上两节课。我现在骑个电动车充电。我买了辣条，呵呵。

虚拟背景，我们看这个是一个正方题， a， b， c， d， a， e， b c， d， e 是 一个正方题。呃，它的棱长等于一， 它的棱长等于一。现在呢，有三个平面，将正方题截掉了一部分，那么还剩掉了一个多面体，这个多面体是什么多面体呢？我们看，呃，首先 就是说 a， e， b， c， d， e 这个平面，它这个平面结完之后呢？呃，它一定经过正方体的中心 o， 它一定经过这个，那么这样的话呢？呃，我们结完之后呢，我们看得到的这个，这就是一个三棱锥。 b， c， e， a， 这个以 b， e 为顶点，这样的三楞锥，那么它的背面也是一个三楞锥，这个背面呢，它的顶点呢就是 o， 呃，其中呢？ o， a， e， b 是其中的一部分。呃，因为这三个结面他不平行，但他都过 o 点，所以以 o 点为顶点的一个三楞锥，那么这个三楞锥我们看是什么样子呢？呃，其中的一个面就是 a， e， b， e， o 是 他的一个面， 这样一个面，那同浪道理在这边呢，它还有一个一个面，它也过 o 点， o， b， c， e， 这又是一个底面， 那么同浪道理这面肯定还有一个 o， c， e， a 这样一个，就是说相当于一个什么呢？相当于一个宝石一样的，上面是三棱锥，呃，后面背对背又是一个三棱锥， 那这样我们这个题要求的它的表面积，这个表面积呢？呃，我们看，呃，就是说在判得到的 b、 c， e， a， b 这个三棱锥当中，其中有一个面，呃，叫 b e， b， c， 那 么它正是这个侧面的一半，就是它的面积呢，就等于二分之一， 那么这三个就有二分之三，那么剩下的我们就要求背面的那个三棱锥的三个侧面的面积。我们首先看 a、 e、 b o 正面，因为 o 过正方形的中心，而 a、 e、 b 这样的中点，那么这个距离实际上就是 bc 的 一半， bc 的 一半， bc 的 一半是二分之一，而 a 一 b 等于多少呢？因为这个是一，这个是一，这个就是根二，所以这个面积 s o， b a 一， 它等于多少呢？它就等于二分之一，底是根二，高是二分之一， 那么它应该等于四分之根二，这一个的四分之根二。根据对称性，这三个都是这样的，这样的话呢，它的总的表面积 s 应该等于多少呢？一个是二分之三， 呃，这上面这一个的三个侧面，下面这个侧面呢？就是三倍的四分之根二，那就四分之三根二， 所以最终呢？呃，这就是它的表面积，所以这个题还是有些难。

听着好头疼啊，怎么这么乱套？哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。在证明平行跟垂直的时候，我们经常需要大家去主动的连接一些辅助线，帮助我们证明，那这些辅助线究竟如何做？正法究竟有哪些嘞？今天咱用一个视频帮大家解决平行问题，快点开始吧！ 无论是平行还是垂直，研究的无非是线线、线面跟面面这三种情况。咱先给大家讲线面平行，因为它的考法最多，考试频率也最高。 那如何证明线面平行嘞？咱有两个方法，一个是线线正，一个是面面正。哎，听着好头疼啊，怎么这么乱套。我给大家画个图，我想证明这条线跟线之外的一个面， 想说明这俩平行，我只要在面上找到一条合适的线，如果这俩线线是平行的，那不用说线面必然平行， 这是第一个方法。第二个方法想证明线和面平行，咱找到一个合适的经过那条线的面，如果上下两个面面面平行，那根据面面平行的性质，面上任何一条线，我无论怎么画这几条红线都跟底面是平行关系，自然就包括面上我想正的这条线。 那有的同学想到了啊，你说的挺简单的，找条线或者找个面，这咋找啊？这全都是套路，我要给大家讲清楚，如何找到面上跟它平行的这条线嘞？两个方法，第一个方法叫神奇的小眼睛， 在真正题目里面，这条直线呢，必然是以一个线段的形式来出现的，那有的时候你会发现，在咱想要证明的这个面上，他可以出现跟你要正的那条线段 大小、长度完全相等，方向还一模一样，你用你的目光一下就能锁定到这面上的一条线跟它能构成平行四边形，或者有可能眼睛不好使，没事，你拿着你那个直尺，看看这条直线大约有多长， 然后你让这尺子方向不能动，把它往那面上去推，推着推着推着，你发现在某一个地方，在这面内真的出现跟它长度大小完全一样的另外一条线段了，那这线就找到了。 好，那问题是我这线找是找到了，我如何证明他俩真的平行嘞？这里面一定要注意，我们连辅助线，一定要把这平行四边形另外两条边连起来。想证明这两条边平不平行，你不能直接证，你得证明他这另外两条黄色的边平行且相等，这就是套路。 因为我初中学过啊，你这两条边平行且相等了。好，那它就是平行四边形，那另外两条边就平行，线，面就平行。当然有的时候吧，他光会这一个方法还不行， 因为啥呢？有的时候出题特损，他把这个线段啊，搞的特长，相应的那个面吧，他搞的特短。结果吧，你在平移的过程当中，咱好好的啊，把这条线段往这面上移，我一移动发现，哎呦，这面太小了，根本就装不下。我这平行四边形我找不到， 找中卫线，这是我要挣的线，这是我要挣的面。大家在这线跟面之外的另外一个地方取一个点，一般来说这个点都非常非常明显，然后接下来都是常规操作，把 g 点跟两个线段的端点分别连接， 连接一条线，两条线，那我姥爷能看出来，这两条线肯定得跟我这面是不有交点呀，一个两个，我把这交点连起来啊，你这两点都在这绿面上，那你说这条线在不在绿面上？也在，而且你一定会发现，这焦点的连线就是你想找的线线平行， 那如何？正线也平行？大概率百分之八十的情况，你会发现这焦点正好捷德整个线段是一个中点，它是一个一比一的中位线， 当然偶尔也有可能不是重点啊，比如说它是一比二的三等分点啊，一比三的四等分点，理论上都行，只要两边的比例是一样的，这边是一比三，你那边也得是一比三，保证是相似图形，那两条线就一定平行。那接下来我们来找面面平行的方法就是啊，你要过这个线找到 一个面，那这面咋找啊？有的宝贝可不会了，我教大家如何做平行面。第一步，就像刚才说的这条直线呢，一定是一个线段的形式，在立体几何当中出现的，所以意味着吧，他必然有两个端点，想做平行面就从这俩端点入手。 第一步，先从其中一个端点做那面上某条线的平行线，一定非常好找。我这做完之后，哎，是不是支棱出来另外一个端点了？我记为端点 g， 那 宝宝们自己看， m、 n、 g 是 三个不同点，三点本身就能确定一个面对不对，所以我们做辅助线的方法特别清晰， 就过其中一个端点做条平行线出来，连接一下，形成一个面，结束。我记下来过两个端点当中的任何一个做平行线。好，面是做完了，那我如何证明面面真的平行啊？小傻瓜，面面想平行，我们一会会讲啊，咱得找到两对线面平行， 咱得说明这两条红线，第一个跟底面平行，第二条红线也跟底面平行。如果两条红线都跟底面平行了，那面面就平行了。面面一旦平行，那第三条边 m n 就 一定跟底面也平行。 因此大家会做完辅助线之后，你还得会证明，你就找两对线面平行，哪两对？这面一共就仨边， m n 是 你最后要正的，你不能用，你一定用 m n 之外的另外两条边。 你去说啊，这蓝的跟蓝的线线平行，那线面就平行了。一对找到，然后再换一个啊，这个粉的跟面上的某条粉线，他也线线平行，线线一平行，线面就平行了。第二对也找到。 所以大家有没有发现我解释一大痛最后的根本是什么？就是你过两个端点做这面上某两条线的平行线和平行线。如果觉得乱，刚才啥也没听懂，没关系，你就记住一句话，过端点做线线平行结束。

那么接下来呢，请同学们一起来处理一下这样的一个问题啊，那这个题目呢，我们能看到他是在一个正三棱柱当中给出的一切的图形关系和性质，在这个里面我们要注意一下啊，正三棱柱 a、 b、 c、 a、 e、 b、 e、 c， e 以及呢？ d 呢是 bc 这个棱相应的中点，那么接下来同学们可以根据 a、 b、 c、 d 四个选项做下简单的判断。 好的啊，相信同学们呢，应该已经对这个问题进行了思考，那我们接下来对这个题目做一做说明了，那这个问题呢，他是把所有的这个目光啊，都集中在了一个正三棱柱当中，那在这想强调一下正三棱柱两个方面，第一，他底面一定是一个正多边形，与此同时他还有一个很大的前提，他是一个什么呀？直棱柱对吧？他一定是一个直棱柱。在这个地方我经常会说一句话，正直是不分家的 啊，这个里面一定要去注意这里面相应的一些垂直的关系等等。那么此时此刻呢，我们要去着手处理 a、 b、 c、 d 四个选项。之前，我希望大家先对这个整个的几何体当中的图形关系有一个充分的理解，比方说在这他有哪些是垂直的，在这他有哪些是平行的，这种关系我们是要清楚的，我们常见的有这种正三棱柱，包括正四棱柱，包括一些立方体等等啊，这些基本的几何图形是同学们要清楚的。 那接下来呢，我们来看一看这个问题，那题目格外强调了， d 呢是 bc 的 中点，如果 d 是 bc 的 中点，在这我们先来看第一个选项，对于 a 选项，那对于 a 选项而言，他说 a、 d 是 要垂直于 a、 e、 c 的， 我们把这个稍微连一下，这是我们看到的 a、 d， 然后紧接着这个地方呢是 a、 e、 c， 那现在我们看到的是两个异面直线，它让我们去判定一些空间当中的关系，那这种关系怎么去判断？有些同学可能拿到这我见过一些比较愣的解法啊，他就开始间隙了，这个地方我也明确说一下，间隙可不可以啊？可以，绝对是可以的，但是我个人认为没必要，因为这个里面它核心的任务是干嘛呢？判断，对吧？那这异面的这种关系啊， 对于异面的直线，它的一些加小的处理，我们很多时候利用的是什么呢？其实利用的是等角定律吧，我们可以通过平移直线去解决这样的一个问题，那在这比较好的一种处理手段，我可以在 b 一、 c 一 上，我再取一个什么点呢？ 我也取一个中点，没错吧？嗯，那在这我们取完了之后，我们很清楚啊，这会 a、 e、 d、 e 是 不是一定平行于谁的呢？ a d 平行于 a d， 那 我想去判断 a、 e、 c 和 a d 的 关系，那是不是就可以去判断 a、 e、 c 和谁啊？ a e、 d、 e， 哎，和这个 a、 e、 d、 e， 我 是不是判断他们两个的关系就可以了？那这两个东西你觉得它垂直吗？ 不垂，那这个东西其实肉眼可见的不垂直啊，那你你给我个道理啊，这其实可以这么来看，注意，因为这个是一个正三角， a 一、 d 一， 它是不是肯定垂直于 b 一、 c 一 的，嗯，对吧？那么如果它垂直于 b 一 c 一， 大家注意了，那么上面这个底面 a 一 b 一 c 一 和侧面 bcc 一 b 一 是不是有面面垂直？垂直，面面垂直，它会有一条交线，是不是 b 一 c 一 啊？那现在 a 一 d 一 垂直于交线，那能说明什么呢？ a 一 d 一 是不是垂直于平面？ b c、 c、 e、 d 是。 如果有了这个垂直，那好，那我把这个连一下，我连接的谁呢？我连接这个 c、 d、 e， 那 我们来看，那这会是不是就一定会有一个直角三角形？ a， e， d， e、 c、 c 那 在这直角是谁啊？ a e、 d e 是 a e d， e c 吧，那我们现在要去研究的这个角是谁啊？ 我们要去研究的这个 a 一 d 和 a 一 c 的 这个夹角，绝对不可能是直角吧，那这种是可以直接看的，这是一个具体的说明，当然我更希望大家能直接通过这个图就看出来，那么这个里面呢，我只是说明了更完善一些。那我们处理完 a 选项之后，接下来我们来看一下 b 选项啊，在这个地方呢，他强调的是 b 一 c 一 和平面。 a， a、 e、 d 这个东西他是要去垂直的，那在这我们把这个面来画一下啊？ 还是把这连一下，再把这连一下？那这个地方连完了之后，其实我们能看得出来，这感觉上很垂直，那么一样的，其实和 a 选项类似，很多时候我们在判断这种关系的时候，是可以利用一些这种平行关系去做条件转化的。 那 b、 c 一 他和谁平行呢？ b c 和 b c， 那 么和 b、 c 平行之后，按照我们刚才说的， a、 b、 c 他 是一个正三角，那在这第一他肯定会有 a d 垂直于 b c 了，这是我们看到一个关系，那么与此同时呢，我们也知道，对于这样的一个面啊，就是我们要去判断这个线面垂直的这样一个面， a e a d， 在 这个里面我们是不是有这么一个关系， a a 一 垂直 b c， 他 是不是垂直于平面 a b c 的？ 然后进而我们就可以知道 b c 是 a b c 平面内的一条直线， 那么 a a e 它也就是垂直于 bc 的 了。嗯，那现在我们就会发现 bc 分 别和谁垂直啊？ a d a a e 和 a a e 垂直，那么按照我们的最细致的逻辑来说，那么这两根线都垂直了，而且这两根线是不是有交点的，对吧？它相交于点 a， 然后同时在这样一个面里，我们就能推出 bc 应该垂直于平面 a a e d a a e d， 那 么在这我们就知道 b 选项应该是正确的了。嗯，那接下来呢，我们再来看一下 c 选项，那 c 选项它说的是什么呢？ a d 要平行于 a e b e， 那 我们先把 a d 连一下， 然后这个地方呢？ a 一 b 一 在这个位置，老样子还是我们说的啊，如果是平行，那我两条线通过移动的话，他只可能出现两种情况， 平行或平行或重合吧。大家来思考一下，两根线如果是平行的，拿我这个遥控器和这根笔来看，对吧？我平移，我不管怎么移，要不然是平行的，要不然我是不是重合， 那此时此刻在这就真就太明显了啊，我只要把这个 a 一、 b 一 和 ab， 他 是平行的，在这他们的夹角是多少度？三十三十度，是不是这存在夹角了，他就不可能平行了？那此时此刻我们就知道在这 c 选项也是错误的了，那作为一个多选择题呢，大家在考场上也要应该机灵一点啊，你现在细想一想啊，一共四个选项，对吧？我现在知道错了， 错了，多选至少得选俩选项，其实这会 d 选项你看不看吧，他肯定是对，是在考场上大家应该有这样的想法，但是呢，平常解决问题的时候，还是希望大家能踏踏实实的去看一眼。 那我们来看一下 d 选项，他说 c c 一 要平行于平面， a a e d， 那 这个里面的平行也很明显了，想去证明线面平行，我们的思路就两条，要不然找面面平行，要不然找线线平行吧。嗯，那这个里面呢，哪个是比较明显的呀？线线线平行这玩意基本上就放在脸上的，因为我们会看到 a a e， 它是平行于 c c e 的， 有的这样一个平行的关系，我们会知道 c c e 不 在这个平面内， a a e 在 这个平面内，那这样的话是不是就会有对应的线面平行关系了？那在这自然而然选择就是 b、 d 选项了。 那像对于我们这种啊，在几何体当中啊，去判断一些平行垂直的这种关系的，我希望大家可以灵活的通过图形当中一些平行关系啊，垂直关系啊，对几何体的这个问题进行一些转化。与此同时，在抓住我们刚才强调的这种几何体自身的一些特征特点，比如说每个侧能都是平行的，比如说侧能和底面垂直等等这样一些的关联， 那么像这样的一种思路呢？就是我们在几何体当中去判定线面位置关系的一种常见思路啊，希望同学们可以灵活的应用起来，加油考生点个关注。

这张试卷你要能找到泄题的人举报他，你能得两千块钱。这种级别的老师，大部分人读三十辈子的书，你都见不到一个活人，因为他在整个中国教育体系内只占万分之五。二零二六年高考数学立体几何这道题的题号一定比解析几何更好后，我们可以立铁为证， 所有高三的同学请注意，抓紧时间去做这张中的校内魔号。这张试卷的电子版讲，以及官方阅卷版的表达，包括一个小时的视频讲解，我都全部录制好了，上传在了咱们二零二六新题速递的第七期专栏当中，现在你就可以专业直接下载去看。 推荐这张试卷两个原因，第一，他是一张保密试卷，这张试卷的题头人家有严正声明说严禁传播这张试卷，如果发现对首位举报者核实，奖励两千块钱。所以你要是能够揪出来谁把这套题目给卸出来了，你举报他能得两千块。但是你不用拿着我们的这条视频去举报，因为这套试卷不是我泄露的，我也是从别的老师那拿到的这套题。 那这套题目为什么保密这么严格呢？因为这张试卷的命题老师是一个在教育领域里非常有影响力的专家，他是一个高中特级教师，这就不用说了，他身上最重要的一个头衔是 教育局授予的全国优秀教师，这个称号比特级教师这种职称都更牛，因为它是教育局官方授予的一个国家级荣誉头衔，大家可以网上去查，这个头衔五年授予一次， 它的评选比例在全国范围内就是万分之五，所以我经常跟同学们开玩笑，大多数人活三十辈子，你都不是三十年啊，三十辈子你都不可能见到一个活着的这样的老师。 从你小学算起，到高中毕业，中间十二年的时间，我算你每年六科老师换一遍，你一辈子也就是见到七十二个老师。而全国优秀教师头衔教育体系内只有万分之五，你要见两千个老师才能够碰见一个。那你想想，是不是三十辈子才能见一次？而这种级别的老师， 他在高考当中会承担什么样的工作，大家稍后可以自己去查，但无论如何，这张试卷你一定要认真去做，做完之后你就会发现，整张试卷非常符合我们新高考的命题特征。比方说，我们来举两道题目做例子，看这道第十七题，这是整 整张试卷的第三道大题，它是一道解析几何的题目。我之前一直跟大家说，新高考当中解析几何的题目就是整张试卷一百二十分的赛点。那你想想啊，这道解析几何的题目是整张试卷的第十七题，他后边还有十八十九题，如果第十七题你直接做错，那么一百二十分基本上是没戏了。如果后边的第十八题再有闪失，整张试卷你很难上一百分。 而这道解析几何的题目，现实情况就是很多同学考场上没做出来，为什么呢？因为呢？这是一道常规但不高频的题。什么叫做常规但不高频呢？就是这道题目不， 不用连力。我们大多数情况下，遇到了解析几何的题目，全部都得是设限连力回答定里的，但是这道题目它里边的每一个点的坐标都是可以表达，是直接写出来的。而如果你听过我们的高考数学最后十八分搞定解析几何压轴题的话，在内门课的最开始，我就讲了这种类型的题目。 当时我还告诉过大家，这种类型的题目在高考当中算是简单题。但是如果你去纵览中国过去十年五十套高考真题的话，大题小题把解析几何算到一块，这种类型的问题只占百分之十三， 剩下百分之八十七，全部都要连立回答定理。所以相对来说，这是一种小众题型。但是它比较简单，很多同学就是连立回答定理学多了之后，这道题目一上来反应不过来。但是这道题目给了你一个非常好的提示。那好，第十七题大部分同学没做出来啊！来看看 第十八题，这道题目，它给了一个四棱锥第二问去求解一个线面夹角。很多同学一看到这道题目，发现这个侧面 p a b 是 一个等边三角形，马上灵机一动，就以 a b 的 中点为坐标，原点直接开始间隙。它的第二问，你直接就得零分啊，因为稍后你去看一下答案就会知道啊，这个 p a b 它并不和我们的里面 a b、 c、 d 垂直，这个点 p 的 投影根本就不在 a b 那 条线上。 事实上呢，这道题目的标答建议我们以 c 为原点进行间隙。那经常参加老高考的同学一定知道，以前的立体几何题目全部都是中心间隙，你的坐标原点要么是在一条线的中点上，要么是在整个图像的中点上。但是现在我们新高考的题型几乎全部都是这样的边缘间隙， 不信你去看一下我们新提速递前七期里边有四道大题，全部都是这样见的，因此这就是我们立体几何的一个命题趋势。而且我再多说一句， 二零二六年高考数学的立体几何这道大题，他的题号大概率是要比解析几何更耗厚的。换句话来说，以前你觉得解析几何是道压轴题，但现在立体几何可能比解析几何更难。这一张试卷的十九道题目主题精讲我都全部录制好了，讲解放在了我们新题速递的第七期专栏里边，大家现在就可以抓紧时间下载去看。老规矩本 本条视频点赞过千，我会专门再录一期视频来讲讲这张试卷当中压轴的第八、十一和十九题。如果你是第一次刷到老师的视频，关注老师十三年高中一线校学，我会在接下来每一周向你推荐最能够反映高考命题趋势和改革风向的新高考区官方电影院与名校联盟卷新题速递，咱们下周再见！

高中数学最难的立体几何新版二十一个母题全部背熟，稳进班级前三！高二一轮数学立体几何新版二十一个母题题型一，空间一面直 线夹角的求解题型三，空间平面与平面夹角的求解题型四，空间点线面间的距离求解 题型六，空间几何体的翻折问题完整版分享！

高中数学最难的立体几何全部吃透，稳进班级前三！高二一轮复习数学立体几何二十一个母题题型一，空间意面直线夹角的求解 题型二，空间直线与平面夹角的求解题型三，空间平面与平面夹角的求解 题型四，空间点线面间的距离求解题型六，空间几何体的三折问题完整版分享！

尝试下能不能解析，如果你真想的话啊， if you want 对 吧？哎，懂的， want 是 吧，有马斯的 want 啊你，你必须 want 一下啊，哈哈哈。如果你听了我的课程呢，就知道这个题勇哥肯定是有方法解析的呀。这个挨个走， 这个 y 轴，这个 z 轴 x y z， 然后下面是个六十度，你把它俯视图给画出来啊。俯视给画出来，这个是一， 然后二 六十度， 这个是 a， 这个是 b， 这个 c， 这个 d a b， c， d 的 坐标超号表示，那么这个题的关键还是要求 a 一。 我跟你把方法说一下吧。同样设 a 一 的坐标 x y， z， 然后知道这个长度等于二，知道这个长度等于几，来着 这个长度是等于二的，再知道这个长度是等于一个，我看一个一，一个二，根号三，是不是一个二，一个二，一个根号三到三个已知点的距离都知道，能不能三个未知数，三个方程结束， 没办法去见细，怎么求二面角啊？我关键讲 d 选项吧，因为这个这个 a b， c 都是用 g d 法去表示，没啥意思啊，就看 d 选项。如果你遇到一道题目没办法见细，又要你去求二面角的，你就可以 最常见的方法。干嘛呢？直接用定义去做，直用定义去做啊，如果定义还做不出来的，再去做垂线，做垂线这么之类的啊，好定义怎么做的呢？定义是不是在我们的这个两个面的，这个公共的，这个这个叫什么？ 这个也不叫项链，这叫叫什么呢？交线啊，叫交线。那有的时候这年纪大了，总说中一顿，我错，到底叫公共弦还是叫什么叫交线？在交线上找一个点，然后呢分别做这个的垂线就可以了，把这个二面角转换成一个平面角就可以了， 懂吗？好，我们看一下这个东西，二面角 a 杠 aed 杠 b， 它们的交线是什么呀？交线是不是就是 aed？ ok， 那 么这个长度是二，这个长度是二，这个三角形是一个什么三角形？是不是等腰三角形？要想找垂线，这不是砍瓜切菜吗？直接找到它的中点， 比如说中点就是 h 点，好吧，这个 a h 就 垂直于 aed， 没毛病。 然后再怎么办呢？然后是不是应该过这个，这个平面里面就是 aed， b 里面也是做这个，做这个垂线怎么做呢？跟大家分享一下啊。 你看一下这个长度相不相等呢？思考一下，相不相等， 相等还是不相等？ b d 啊？ b d 和 ab 是 否相等？肯定是相等的，为什么这个三角形跟这个三角形是全等的？边角边，边角边全等的，所以这跟这个也相等，于是 h 点是中点，它也是垂直的， 这一点就行了。所以呢，这个题目实际上要求二面角的余弦值，就是要求扩散等会啊，就是要求什么？哎，这个 扩散角 a h b h b， 于是我们把它们长度都求对就行了呀。好，我们来先看一下先求什么东西？先求这个 a h 吧，这是一个什么三角形？这是一个等边三角形，这个是二，这个是二，这个六十度，于是这个也是二，于是这个是一，这个 a h 就 等于根号三高三啊。 好了，刚刚呢？还有你们说这是个什么三角形？有个一，有个二，还有个六十度，有个一，有个二，有个六十度，那直接画呀，这是一个，嗯，这是个二，然后六十度是个一。再来再来 a、 b、 d， 这个长度是一，这个长度是二，这个呢，就是根号三，那是不是根号三？一比二比根号三嘛？ 同理，这数也是根号三，也是根号三，对吧？一个根号三，一个根号三， a、 e、 d 呢？还是一个二？所以呢，我们的三角形好， 这个是根号三，这个是根号三，能看到吧？这个是一个二，这个就是 b， 然后做垂线，这还不简单吗？这就是一，一根号三，这就是根号二。所以呢，我们可以知道 b h 等于根号二，然后再加上 ab， 再加上 ab 等于几啊？ ab 等于一，好家伙，一个一，一个根号，一个根号三，这是个什么函数？又是一个 直角三角形，对吧？直角三角形，而且是以这个角 b 为直角的啊。要算 a h b 扩散 h b 零边比斜边，就等于 b h 比上 a h， b h 根号二比上根号三，所以就等于三分之根号六正确。 好了，我顺便跟大家说下， b、 c 我 没讲，但是呢，因为我没什么，没讲，就是基底直接去表示，没有什么巧妙的地方，我就直接过了啊，我就只讲了 d 选项。现在问大家个问题啊，这个你们觉得能不能间隙？