东营中考几何大题题目

今天我们来看一道中考模拟卷的压轴题，那么这道题是运用了全等和相似的知识。我们先读一下题。在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于四十五度， ac 等于 ab， c、 f 垂直 c、 e 那 么我们第一问，要求证角 d、 c、 f 等于角 a、 c、 e， 那么因为这是一个平行四边形，所以 ab 是 平行 c、 d 的 角 b、 c、 d 是 一百三十五度，那么这个角是九十度，所以说角 ecb 加上角 fcd 就是 四十五度。 那么因为 ab 等于 ac， 那 么角 a、 c、 b 也是四十五度，所以角 e、 c、 b 加上角 a、 c、 e 也是四十五度。那么我们就能证出角 d， c、 f 等于角 a、 c、 e 那 么我们再看第二问 p 在 a、 d 上， a， p 等于 d f， p h 平行 c、 f 然后我们要找出与 a、 e 相等的线段并证明。这时我们可以先进行一个倒角。 那么因为第一问，我们证出角 a、 c、 e 等于角 d、 c、 f， 那 么我们就设它为而法，那么这个角就是九十减而法。因为平行，所以角 p g， a 也是九十减而法。 那么这时又因为 a、 c 等于 cd， 我 就看到了一边一角，想到了构造在 q、 d， 呃，在这个三角形里面做 q、 d 垂直 cd， 那么因为角三角形 a、 c、 e 和三角形 q、 c、 d 中，呃，已经有一个等角和一个等边，我们又做了一个垂直，所以说这两个三角形就全等了。 a、 e 就 等于 d q， 那么因为角 q、 d、 c 是 九十度，角 a， d， c 是 四十五度，所以角 q、 d， a 也是四十五度。那么这时又有一组等边， 通过我们之前的倒角又能得出角 a、 j、 p 等于角 c、 q、 d 所以 在三角形 a p j 和三角形 q f、 d 中，呃有一组边相等，两个角相等，那么它们就全等了。 q d 就 等于 a h 等于 a e， 那 么我们就能证出 a e 等于 a h。 第三问，在二的条件下， b c 等于五倍的 p f， 我 们要求 c e 比上 c f 的 值， 那么我们可以设 p f e x， 那 么 bc 就是 五 x， ad 就是 五 x， 因为 ap 等于 f d， 所以 它们就是二 x。 那 么这时因为第二问，我们证出 c e 等于 c q， c e 比上 c f 的 值就转化为 c q 比上 c f 的 值。 这时我们发现三角形 q、 f、 d 和三角形 a、 f、 c 是 相似的，因为 d、 q 是 平行 ac 的， 那么我们就能证出 a、 f 比上 f d， 也就是它们的相似。比是三比二， 那么 c f 比上 f q 就是 三比二， c f 占三分， f q 占两分，那么如果要求 c q 比上 c f 就是 五比三，那么第三分的答案就是五比三。

一分钟学会一道几何压轴题，这是一道填空题，不需要写解析过程，求 b、 d 的 长度，我教你秒出答案。先来学习一个结论，他按二法等于二分之一，他按贝塔等于三分之一，那么二法加贝塔的和就等于四十五度。这就是经典的一二三四五模型。 如果设这个角为二法，这个角为贝塔，那二法加贝塔的核就等于三角形的内角核。一百八十度减去九十度，再减去四十五度，我们发现二法加贝塔的核正好等于四十五度，那也就说明他满足一二三四五模型的这个条件。 放在这个直角三角形 a、 d、 c 中，探二法就等于对边比上邻边，也就是一比二，也就是二分之一。满足这样一个条件，那也就说明探贝塔是等于三分之一的。放在这个大三角形中，探贝塔就等于对边比上 邻边，这样我们就可以算出 a、 b 的 长度是六，那从 a、 b 里面减去 a、 d， 就 可以得到 b、 d 的 长度为五。

半角模型的四大经典场景模型一，正方形半角模型二，直角三角形半角模型三，等边三角形半角四平行四边形半角大角含半角，两边相等，就用半角模型旋转三步出答案，轻松拿下中考几何 半角模型你知道为什么直角三角形的边有神奇关系吗？以模型一和模型二为例子进行证明。 模型一，正方形中的半角模型，正方形 a、 b、 c、 d、 e 在 b、 c 边上， f 在 c、 d 边上，连接 a、 e 和 a f。 角 e、 a、 f 等于四十五度，正好是直角的一半，这就是半角 连接 e、 f。 现在把三角形 a、 b、 e 绕点 a 逆时针旋转九十度，使 a、 b 与 a、 d 重合， e 点旋转到 e 撇的位置，因为 a、 e 等于 a、 e 撇， a、 f 等于 a、 f。 角 e， a、 f 等于角 e、 f 等于角 e 撇， a、 f 都是四十五度，所以三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 f。 结论， e、 f 等于 d e 撇加 d f， 也就是 d e 加 d f， 这就是线段和差的半角模型。 模型二，直角三角形中的半角模型直角三角形 a、 b、 c、 a 在 上方，角 b、 a、 c 等于九十度， b 和 f 在 b、 c 边上， 连接 a、 e 和 a f。 角 e， a、 f 等于四十五度，正好是直角的一半，连接 e、 f。 现在把三角形 a、 b、 e 绕点 a 逆时针旋转九十度，使 a、 b 与 a、 c 重合一点，旋转到一贴的位置。 因为 a、 e 等于 a、 e 撇 af 等于 af， 角 e、 af 等于角 e、 af 都是四十五度， 所以三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 f、 e、 f 等于 e、 f。 又因为角 a、 c、 b 等于角 a、 b、 e 旋转后，角 e、 c、 f 等于九十度。三角形 e e 的 平方加 c， f 等于 e f 的 平方。 总结半角模型的两大经典场景，正方形半角和直角三角形半角核心就是一个角，是另一个角的一半。 口诀，遇到半角模型旋转至相等边重合找全等线段间关系分析线。评论区扣半角领模型习题，点赞关注解锁一百二十度，含六十度辨识！

看一下这个二十四题，首先第一个啊，他要去证这个 p c 等于 p e， 是 吧？那他条件你告诉你了， p a 是 不等于 p e， 那 也就是说证 p a 等于 p c 就 行了。但咱知道是不是要证这两个三角形全等就可以了，对吧？那你还去找条件了，正方形 a， b， c， d， 对 吧？对，角线呢？相等，这这个四十五度 互相平分了，在四十五度，对吧？那 ab 又等于 bc， 那 b p 是 不是一个？ 嗯，公共边那边角边是不是能做出全等全等来？之后，那 pa 等于 pa， 又因为 pa 等于 pe， 那 所以说，那 pa， 那 pa c 是 不等 pe 了啊？这是，这是第一题啊，来看第二题。第二题，让你去证这个 cpe 的 一个度数，是吧？ 那首先你要反着推啊，那度数，那肯定，咱一看哈，是不是感觉像垂直啊？那垂直的话是不是九十度啊？ 那九十度的话可能就是这就是，那这个角加这个角是不是等于一个？嗯，九十度了，那咱先看啊，通过全等能得出这个角和这个角是不相等，对吧？那你看哈， 那它与角，那这个角和这个 p c、 d 是 不相等，对吧？ 那所以，那你看 pa 又等于 pe， 是 吧？那角 pa e 是 不等于角 e 了， 对吧？嗯，又因为你看这个角是不和这个角是不是一个相等？那所以说这个角和这个角是不是也相等了？ 那这个 d f e 和这个 p f c 是 不是对顶角？那你看 c、 d， e 是， 这个是不是九十度？因为它是它这个外角一百八减九十九十度，这个角加这个九十度，那这个角和这个角相等，这个又是对顶角，那角 p f c 加角 p c f， 那 是不是九十度了？一百八，在三角形 p c、 f 中，一百八减去一个角 p c、 f， 再减去一个角 p f、 c， 这个不就九十度啊？这是第二问，第三问来看哈，第三问，他让你去证这个 a、 p 和这个 c、 e 的 一个关系，是吧？那你知道这个又等于这个 p c、 e， 是 吧？ 那是不是你要证出三角形为等边，这个 p c、 e 为等边三角形就可以了，对吧？ 那首先来看，那你是不是先得正去正这个正，这两个三角形全等，那这两个三角形全等，你看能不能正出来啊？也是一样的，一百八，菱形对角方向平分六十度，边角边边角边是不能正出来，那 p a 等于 p c 吧？那 p a 等于 p c， 对吧？ p a 等于 p c， 那 p e 是 不是又等于 p c 了，对吧？那你知道是不是这两两条边相等了？那你来再继续看啊， 这个角是不是也等于这个角？因为是等腰三角形，那这个角和这个角是不是也相等了，对吧？这两个是不是一个对角？跟刚才刚才正这个九十度的是不是一模一样？那你再继续看，那这个 a、 d、 c 是 不是一百二？因为 a、 b、 c 一 百二对角 对角相等吧，那这个是不是六十度了？也就是说你再看六百八十度，减去一个角 d， 这是 f、 e 减去一个角 d、 e、 f 是 不等于一个六百八十度？减去一个， 减去一个角 p c、 f 减去加上减去一个角 p f、 c 了，是不是相等？相等，那这个角是六十度，那是不等于六十度了？那所以角 e、 p c 是 不等于六十度？知道这六十度又知道 p e 等于 p c 这不等变等变三角形了，对吧？等变三角形， p e 等于 c e 又等于 p c， 那 所以说那又 a p， 那 等于一个 c p， 对 吧？ a p 那 不等于 c e 了吗？

各位初中家长，今天为大家讲一讲这个东营的二字函数压轴题啊。我们看一下，抛物线交于 a、 b 两点，外头交于 c， 其中 a、 c 的 表达式已经给我们了， a、 c 的 两点坐标给我们了，直接代入， 把 a 代入零等于负一减 b 加 c， 因为这个 a 这里带负一啊，旁边这个地方啊，是负 b 啊，这是五等于零加零加 c 等于五， c 点五到，我们把它带进去啊，这个 b 等于负一加五就是等于四啊， c 等于五这道表达式啊， y 等于负 x 光加四， x 加五， 这是第一位啊，我们二分，二分到了，你再看第二位，他说 p 值对折一点， 让我们求周长最小的时候 p 的 坐标。这个题在这面没有 p 啊，这边这个 p 呢，你可以任意点 就到这里吧，这里是 p 点啊，我们把这个三角形给它连连起来， 就是说让我们求周长最小三角形， a、 c， p 这个边加 c， p 这个边， 因为这个 a、 c 这两个点是动，是定点，这两点是固定的， p 是 动点，这个长度就已经固定了。所以只要让他们两个最小啊，最小，这个周长呢，就会最小啊，就最小，那他们两个什么时候最小？ 这两个是折线，当他们两个合成一条直线的时候，就会最小，化折为直，这是典型的将军引马问题 啊，做什么？他这是 a 点 b 点，我们做个对对点就可以了，对完对点之后嘛， a 撇点再连线啊，这个点就是嘛，我们找到 p 点洞里，在这里的时候就是最短啊，这两个折线里面一直一条直线， ab， ab， a 撇 b， 就是 这个它加它的最短距离啊，这是我们当中将近一码的问题啊， 所以呢，我们只要找到什么 a 点或 c 点的对称点再连接就可以了，就很通过这个图，很明显 a p 关于这个对称轴对称，所以 a 的 对称点就是 b 点， b 点我们连接 bc。 好， 我们换个颜色连接 bc 这个焦点这个地方，就是我们找什么 p 点啊， p 点就是 p， 在 这个的时候 c p 加上 ap 是 最小的。好，因为其实这个顿轴就相当于吗？就是 ab 的 垂直平分线， ap 就 等于什么 ac 加 ap 就 等于 b p 加 cd 啊，我们可以看到他们两个加啊，就是 bc 啊，就等于 a c 加 b， e c 就是 它的周长，它没让我们求周长啊，如果让求出周长的话，这里就出来了啊，将近一码问题啊，那 p 点做这怎么求呢啊？我们可以看到这个 p 呢，我们可以看到这个 p 在 bc 的 什么 与外轴的这个交点上，所以我们只要把 bc 的 直线，把 bc 的 这个 呃，这个直线表达式就出来啊，因为这个 p 点的后面我们已经知道了，就是个对折啊，对折的话，我们可以通过这个表达式把它换成对点式。 y 等于负的啊， x 方减四，我们把它换成对点式啊， 呃，再加上四啊，还要减，减个四，减这个负的正加四，这边加九， y 等于负的 x 啊，减二的方再加九啊，其实这个零点坐标就是二到九啊，二到九，然后这个 p 点的后边出来了， p 点的后边就是二啊， p 点后边就是二，就是 x， p 九等于二， 等于二，我们再把这个求 p 点坐标坐标。好，我们把这个 p 的 直线表达出来就可以了，好，我们把它擦掉， 将这一码，这个问题啊，就是不算，很难啊，就别点了，就记住做对定点再连线就可以了。我们求下这个 b c 的 直线表达式， 这个 b 点坐标他没有给到，我们没有给到，我们只要求 b 点坐标呢，我们可以看一下 b 就是 这个二次函数与 x 的 交点啊，就是在在 y 等于负， x 方加四， x 减五度啊，我们另， 我们另这个另 y 等于零就可以了啊，另 y 等于零， y 等于零，带进去啊，变成 x， x 方我给它挪的挪过去啊， x 方减四， x 加五等于零啊， x 减减一， x 减二，这样的话是加好，所以 x 一 等于一等于负一， x 二等于五啊，所以这个这个 b 呢，它的坐标就是五等于零， b 就是 五零， b 是 五零， 这个是零的五啊，很明显 y 等于 x 加，嗯啊，负 x 加五，负 x 加五 啊，因为这是五，这也是五，它的 k 就是 负一啊， k 是 负一。但我教大家一个知识点，也可以就说这样，就说这个这个直线，当它得成四十五度角的时候，它的这个 k 呢，就等于一， 反过来，这个这个地方是，这个地方是一百三十五度啊，它的 k 呢，就是负一，就是负一。 然后我们就可以求来它的这个 b c 的 表达式， b c 的 表达式，这个 n 的 x 等于二代数就可以了啊， y 等于负二加五啊，所以 p 呢？ y p 呢就等于三啊，所以 p 的 呢？横的标就是二度三啊，二度三。 这样我们把第二本就求出来了。我们看一下这个第三题，他说这个点 m 是 对应轴上一点， m 的 对应轴上在这里， n 在 抛物线上，它说 n 在 这里， 那这里，而它们这个这个四边形呢，是一个平行四边形，就说这个四边形是一个平行四边形啊，请写出 n 的 左边这个题，这是两个，这里有两个动点，然后呢，情况肯定就不是在是一种情况啊，我们把大家你只要做这种，就教给你一个简单的方法，你就什么随便画，随便画一个平行四边形 啊，先画一个平行四边形，我用红色吧，红色比较明显啊，就是说画一个平行四边形， 加这个地方是 a 啊，这个地方是 c， 用上 c， 因为这个 c 啊，你注意啊， a c 这个边有可能当对角线，有可能当当边啊，假如 a c， 我 让它当当边，而这是 m， 这是 d， 这种情况，当 a m 为对角线，对角线， a m 是 对角线，那肯定就在那这个地方就这样了。这个图你注意啊，这个图它不是说 就是我们真实的那个图，它是什么？它就是一种来表达这种关系的图。 好，如果是真的，要是这种情况，这种情况，那这个这个 m 会很长啊，很长，我只用它来什么来表达？ am 是 对角线 啊，这里你能不能搞懂？就这个图不是真实的真实，它这个形状不是这个形状，但是确实 am 也是个对角线 啊，这样的话，你写完之后啊，我们肯定能很好分析了。 x m 减 x n， 它就等于什么？ x c 减 x a， 能不能搞搞懂？因为这个的水水平距离就等于这个的水平距离啊，代代用就可以了啊，因为 m 的 横横着就是二呀， 啊，它这个这个线就是 x 等于二，看见没啊？带就行了。二减去 x， a 等于什么？这个 a， 这里是零，不是 c， 这里是零， a 这里是负一啊，啊，负一啊，所以 x a 等于什么？等一啊？ n 等于一的话，我们带到这个解答式里面去， y 等于负， x 加四， x 加五，带进去就行了。 y 等于负一加四加五， y 等于八，所以这个 n 点就是一逗八， 这是第一种情况啊，这是第一种情况，然后呢？还有什么第二种情况？第二种情况，第二种情况。那我让什么？我让 c 当对角线，我让 c 当对角线。同学们，我画了一个平行四边形， 这是 a， 这是 c， c 当对角线。那 m a， 那 我们就需要考虑考虑， 那这个肯定是 m 在 右边吧， a 跑了，是吗？左边 啊， c 刀掉掉掉， c 刀掉线了，肯定是 m 在 在右边吧，啊，这样就， 所以，对吧？ x c 减 x m 就 等于 x n 减 x c 啊，你心里一定要记住，这个图只是反映了它们四个点的位置关系，它不是真正的那个图啊，我们要的什么是关系？ 就像我们生活当中，可能我们嘛，可能会什么，不会太多的关注这个过程，我们要的是结果 啊，就这个这个图啊，考试当中是什么？你再画在答卷上就行，你不要画在那个答题卡上啊， 带进去就可以了。所以这是零啊，零减去什么？零减去这个 m 啊， m 的 话就是二，就等于 x a 带进去，再减去什么？减负一啊，这样的话， x n 就 等于什么？加一等于负三 负三，所以这个 n 点的横坐标就是负三负三，嗯，负九减十二加五啊，负二一分啊，负二一，这是十六负十六，这是第二种情况啊，第二种情况， 那我们第三种情况是什么样的呢？为大家写写这里吧，写写在这里。第三种情况，第三种情况啊， 这个什么它这个 am 当对角线了， ac 也当对角线，是不该换什么？换 n 了吧 啊？风水轮轮流做吗？三十年河东，三十年河西，该 n 了吧啊， 哎，那这两个关系有什么呢？ c 肯定在这里吧， m 肯定在这吧，因为 m 得掉右边 c， 掉 c 和 m， 你 肯定这个关系，你要搞懂它啊。 然后的话我们就写了， x n 减 x m 就 等于 x c 减去 x c， a 等于 x 啊，这个 a 不知道代就是赖了一个这个 x m 啊，就是二，等于 c 是 零减负一， x c 正一把挪解三啊三，所以这个 a 的 坐标呢？后头标是三啊，我们把三代去负九加十二再加五， 这个是三，三加五十八啊，三个八，这是 n 的 三种情况啊，它是三种情况， a， a 大 为对角线， a m 大 为对角线， a c 大 为对角线啊，也就只有这三种情况啊，但是你要克服的是什么？就这个 这个形状，他不一定是不是真实的形状啊，但他的反应的关系是对的啊，过程可能没那么重要，我们要看马上是结果 啊，所以这个 c 打有三个答案啊，一八负三度，负十六，三个八 啊，这个题就讲完了啊，你可以就是利用我这个方法来来做一做啊，来做做，只要是这种动能问题，绝对不会是一种答案啊，你可以再去思考思考就可以了啊。好的。

这个视频为师要跟你讲一道与六十度菱形有关的几何综合题。所谓六十度菱形，是指有一个角是六十度的菱形，这种菱形非常特别，如果我们连接这条对角线，就能得到两个三角形，不难发现，这道三角形都是等边，有了等边就会有很多特殊的性质，你懂的。 正是由于它具有这样的特性，所以在中考中我们经常可以看到它的身影。下面就来看一个例子，这是广西省的一道中考题，如图，已知菱形 a、 b、 c、 d 边长是四角， b 等于六十度，角 e、 a、 f 也等于六十度。条件就这些，咱先看第一问，求证 b 等于 c、 f， 下面就来分析一下，这是个菱形，角 b 又等于六十度。看到这种菱形你会干嘛呢？嘿嘿，刚刚讲过得连接 a、 c， 这样一来就能得到两个等边。好了，先分析到这，现在要证 b、 e 等于 c、 f， 你 有什么思路吗？ 哎，这俩挺像的，如果它们全等，那 b 当然就等于 c、 f 啦。下面就来正全等，观察一下这俩三角形都有哪些条件呢？对了，已知三角形 a、 b、 c 是 个等边，所以 a、 b 等于 a、 c， 这已经有一组边啦。再看看角， 不难发现，角 b 是 六十度，角 a、 c、 f 也是六十度，所以这俩角相等。除了这组角，还有没有其他角呢？ 不妨观察一下角一和角二，角一加上中间这个角等于六十度，角二加上中间这个角也等于六十度。既然都是六十度，那角一就等于角二。好了，现在三个条件齐了，利用角边角就能判定全等，有了全等， b 就 等于 c、 f 了。 第一问搞定了，接着再来看第二问，如图二，点 e 在 线段 c、 b 的 延长线上，并且角 e、 a、 b 等于十五度，求点 f 到 bc 的 距离， 这些条件对应到图中，就是这样，角 e、 a、 b 等于十五度。然后找到点 f， 过点 f 做 b、 c 的 垂线，要求的就是 f h 的 长度。 观察一下 f h， 它刚好在三角形 f、 h、 c 中，这个三角形很特别，角 f、 h、 c 等于九十度。另外，很容易证明角 f、 c 等于六十度，所以 f h 就 等于 f c 乘以二分之根号三。那么 f、 c 怎么求呢？ 嘿嘿，观察一下这俩三角形，它们是全等的。这个全等与第一问的类似，都是与等边有关的旋转全等。至于具体证明，为师就不细说了，我就简单说一下思路。由题目条件可知，这俩角相等，这俩边相等，这俩角也相等。利用角边角就能判定三角形全等了。 有了前等， c、 f 就 等于 b、 e， 接下来求出 b、 e 就 可以了，这得咋求呢？你看 b、 e， 在 三角形 a、 b、 e 中，一只角 b a、 e 等于十五度，角 a、 b、 c 等于六十度，所以角 a、 e、 b 就 等于四十五度。看到这一堆特殊角要求长度，你又会怎么想呢？ 对了，可以过点 a 做 b、 c 的 垂线，这样就能得到两个特殊的直角三角形。先看三角形 a、 b、 g。 一 只角 a、 b、 g 等于六十度， ab 等于四，所以 b g 等于二， a、 g 就 等于二倍，根号三。 再看三角形 a、 e g。 角 a g 等于四十五度，所以它显然是个等腰直角三角形。这样， e、 g 就 等于 a g 等于二倍根号三 e 之一。确定了， e、 b 就 能求了，它等于 e 之一减 b g 也就是二倍根号三减二， e b 求出来了， c f 也就知道了。已知 c f 就 能求出 f h， f h 等于 c f 乘以二分之根号三写出来就是这样，化简一下等于三减根号三。搞定 好了。最后来总结一下，以后看到这种短的对角线，这样就能得到两个等边。 对于这题，你还要注意两点，首先你得发现这俩三角形全等，其次，你得由特殊角想到做垂线来构造特殊的直角三角形。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧刷题去吧！

针对二零二五年东营中考数学题，我们六月一日的数学押题班类型押中命中率约百分之九十一，共二十五道题，我们类型押中了二十二点五道题， 其中填空题有一道原题，大题有两道原题，字母都没有发生变化的。接下来我针对这个中考数学情况和我们的押题班的 题进行一个对比分析。屏幕右下角是我们当时二零二五年六月一日参加数学押题班的一个讲义，上面有一部分题，还有我们的一些笔记啊。接下来我就针对每一道中考题和我们的押题进行一个对比分析。 嗯，第一题考察的中考题考察了倒数，第二题是整式的运算，第三题是猪蹄模型，第四题是中心对称，第五题是概率，和我们的押题顺序是一模一样的题型。你看我们的这个第一题， 第一题也是考察了倒数啊，然后第二题是整式的预算，第三题中心对称，我们当时还是还有个轴对称，也有中心对称。第四题，猪蹄模型啊，猪蹄模型 当时特意讲了一下他的结论，猪蹄模型的结论是上下两个角的和正好等于中间拐角就是角一加角三等于中间的角二。嗯，第四题 是概率题啊，我这地方出了两个概率题，第四、第五个都是概率的题，跟咱们中考题的顺序是一样的 好，然后中考题的第六题，第六题考察了韦达定律，韦达定律的一个应用，然后我们在这个选择题的 补充的第十道题上，在第十题上也是当时讲了一个韦达定律的题，跟中考题的类型是一模一样的，也是 其中一个根的平方啊。你看中考题的原题是 x 一 的平方， 然后减去二倍、二十四倍的 x 一， 再加上一个 x 二，它的解析思路是什么？当时我讲过，但凡是出现其中一个根的平方，那么第一步运算肯定是把这一个根先带到原方程里，整理出 x 一 的平方等于什么？再带到 原式进行一个未达定律的应用啊。我们当时在讲义里头也是出了一个这个类型题啊， 这个地方写了只要出现单独的一个根的平方就代入圆方程， 所以这两个类型题是一模一样的。然后中考的第七题考了一个圆锥的三式图，通过三式图来求。

这个视频为时要跟你讲一道与相似有关的几何综合题。相似是初中数学中的一个难点，相比于全等，相似往往更隐蔽，考察的方式也更灵活。下面就来看一个例子，这是安徽省的一道中考题，如图， 已知四边形 a、 b、 c、 d， e 是 ab 的 中点， e、 g 垂直 ab 的 中点 f、 g 垂直 c、 d。 角 ajd 等于角 b、 g、 c。 条件就这些，咱先看第一问，求证 a、 d 等于 bc。 下面就来分析一下， e 是 ab 的 终点， e、 g 还垂直 ab， 所以 e、 g 是 ab 的 垂直平分线。看到垂直平分线，你会想到什么呢？ 对了， ga 会等于 g、 b。 接着分析， f 是 c、 d 的 终点， f、 g 垂直 c、 d， 那 f、 g 就是 c、 d 的 垂直平分线，这样一来， g、 d 就 等于 g、 c。 好了，观察一下这俩三角形，这俩边相等，这俩角相等，这俩边也相等，那这俩三角形是什么关系呢？嘿嘿，利用边角边可以判定这俩是全等的。有了全等， a、 d 就 等于 p、 c。 那 第一问咱们就搞定了，再来看第二问， 求证三角形 a、 g、 d 相似于三角形 e、 g、 f 对 应到图中就是这俩相似。观察一下这俩三角形，它们其实是一种类似于旋转的关系。对于这种旋转相似，你还有印象吗？我看有些同学有点迷茫，为师还是帮你回顾一下吧。 旋转相似模型其实就是这样的，如果三角形 abc 和三角形 a、 d、 e 相似，那三角形 a、 c、 e 也和三角形 a、 b、 d 相似。当然，反过来也是成立的。已知 a、 b、 d 和 a、 c、 e 相似，也能得到 abc 和 a、 d、 e 相似。这个模型的证明老师就不细说了，如果你不记得了，就去看看之前的视频吧。 好了，明白了这个，我们再来看这道题。你看，这是个旋转相似模型，现在要证这俩瘦瘦的三角形相似，那就可以先证这俩直角三角形相似。不难发现， a、 e、 g 其实是 a、 b、 g 的 一半， d、 f、 g 是 d、 c、 g 的 一半，那就可以先证这俩相似。它们相似好证吗？ 挺好证的，你看，这也是个旋转相似模型，这俩扁扁的三角形全等，而全等其实是一种特殊的相似，所以这俩等幺也相似。好了，由这俩等幺相似，就能得到这俩直角三角形相似，进而可以得到三角形 a、 g、 d 相似于三角形 e、 g、 f。 好 了，明白了这个题的解析思路，咱们还得再把细节来落实一下，毕竟考试的时候不能这么写啊。先看这俩等幺怎么证明它俩相似呢？ 这个简单，我就直接说了，已知这俩角相等，所以角 a、 g、 b 等于角 d、 g、 c。 另外， a g 比 d g 显然是等于 b g 比 c g 的， 所以这俩等腰相似。 既然这俩等腰相似，那这俩直角三角形也相似。证明同样很简单，首先这俩直角相等，其次这俩角也相等，所以它们就相似啦。有了这个，再来看这俩瘦瘦的三角形，怎么证明它们相似呢？ 这种旋转相似的证明是有套路的。首先，由角 a、 g、 e 等角 d、 g、 f。 可得角 a、 g、 d 等角 e、 g、 f。 另外，刚才已经说明了这两直角三角形相似，所以 a、 g 比 e、 g 显然等于 d g 比 f g。 有 了这些三角形就相似啦！搞定 好了，最后来总结一下，这题其实就是考察旋转相似，这个图中有两个旋转相似模型。首先看这个图，这是个旋转相似模型，由这俩全等可以证明这俩等腰相似，进而证明这俩直角三角形相似。 然后看这个，这也是个旋转相似模型，由这俩相似就能证明这俩相似。怎么样，明白了吧？明白的话就赶紧刷题去吧！

这个视频为时要讲一道与等腰直角三角形有关的几何综合题。这种问题在中考中通常以解答题的形式出现，题目一般都有好几问，而且很长，所以很多同学还没看题就已经吓得不敢动笔了。 其实这种题一般都不是特别难，只要你耐心一点，还是有可能做出来的。下面就来看一个例子。这是黑龙江的一道中考题，有三问，咱不妨先来看第一问。 如图，已知三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角 m、 n 过点 a， 而且平行于 b、 c， 角 b、 d 等于九十度， d 交 a、 c 于点 p， 求证 d、 b 等于 d p， 下面就来具体分析一下。要证线段相等，你会想到什么呢？ 对了，三角形全等，现在与 d、 p 有 关的三角形是，而 d、 p、 a 与 d、 p 有 关的三角形是 d、 b、 a 这俩全等吗？它们显然不全等，那得怎么办呢？ 做辅助线构造呗。这个辅助线你可能不容易想到，为师还是先给你一点提示，过点 d 做 m、 n 的 垂线，假设这个交点是 f， 然后观察这个图形，现在你能发现全等了吗？ 嘿嘿，这个简单，就是这俩全等，下面咱们来找找条件，已知角 b、 d、 e 等于角 f， d、 a 等于九十度，所以角 b、 d、 f 就 等于角 p、 d、 a 已知有一组角，那咱们来试着正一下。 已知三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角，所以角 a、 b、 c 等于四十五度， m、 n 又平行于 b、 c， 所以 角 a、 b、 c 等于角 m、 a、 b 等于四十五度。另外角 a、 d、 f 也是九十度，所以三角形 a、 d、 f 的 确是等腰直角。有了这个条件，全等就好挣了， 一方面 a、 d 等于 d、 f， 另外这两个角是四十五度，所以角 d、 a、 p 等于角 d、 f、 b 等于一百三十五度。 好了，三个条件齐了，利用角边角就能判定这俩三角形全等。有了全等， db 就 等于 dp。 先来简单总结一下，对于这个小问题，证明的关键就是辅助线，然后只要发现这是个等腰直角，那全等就好办了。明白了第一问，再来看第二问， 三角形 a、 b、 c 还是等腰直角 m、 n 依然平行于 b、 c， 只是三角形 b、 d、 e 的 位置发生了一些变化，结论还是一样，要证明 d、 b 等于 d、 p， 你 看，除了图形有些小差别，第二问和第一问其实是一样的，那会不会做法也一样呢？ 不妨先来试一试，先过点 d 做垂线，假设这个焦点是 f， 观察一下这个图形，你会发现什么呢？嘿嘿！三角形 a、 d、 f 是 个等腰直角，这个证明很简单，那为师就不细说了，有了这个就能证明这俩三角形全等了，那为师要考考你了，这个全等咋证呢？ 这个应该不难，由于三角形 a、 d、 f 是 等腰直角，所以 a、 d 等于 d、 f， 角 f 等于四十五度，不难发现角 d、 a、 b 也是四十五度，所以这两个角相等。另外，角 b、 d、 e 等于角 a、 d、 f 等于九十度，所以这两个角也相等。 好了，三个条件齐了，利用角边角就能判定这俩三角形全等。有了全等，就能证明 d、 b 等于 d、 p。 第二问也搞定了，还是来总结一下，第二问的做法和第一问非常类似，也是过点 d 做垂线，然后构造等腰直角，接着再证明全等。那最后咱们再来看第三问， 其他条件依然没变，只是三角形 b d e 变到了这个位置，结论没变，还是证明 d b 等于 d p。 根据前两。

第一题，前边这些话都是废话，它基本上都没有什么用， 只有说什么八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，就有很高的辨识度。请问 n 这个八边形的内角和度数其实就有用的，就这一句，我们说多边形的内角和，也就是 n 边形 的内角和公式就是 n 减二括号乘以上个一百八，那我们说八边形的话，就八减二乘以上一百八，也就是六乘以一百八， 就是幺零八零度，所以答案选 c。 接下来看第二题，他说 a d 是 而高 a， d 是 这个三角形的，而高这个地方，然后 a e 呢和 b f 都是角平分线。一说角平分线的话，我说他肯定平分角， 那我们接下来看角 b， a、 c 是 五十度，那所以平分以后，这是个二十五度，这个地方这边是二十五度，然后要告诉我们说角 c 等于上七十度，那很显然这个 d a、 c 就是 二十度，那我们接下来角 e、 a、 d 就是 二十五度，这是二十度。 因为，哎，这儿直讲嘛，这和这一个互语，所以剩下这个小蔫蔫，它就是一个啊，五度， 那我们接下来看啊，它让啊，我们选择错误的是它说 b、 a、 c， 就 说 abc 这个是多少度，我们算一下，你这个是五十，这七十加起来一百二，由三角形内角和，那我们说这个就是个六十度，所以他是对的。 bfc， 他 让我们求这这个角度，因为这是个角平分线嘛，所以这是个三十度，三十加七十，然后是一百，那这就是八十度，所以这也是对的。 boa， 他 问我们说是多少度，那啊，你这边三十， 然后这是一个二十五，加起来是五十五，一百减一百八，减去五十五，一百二十五度，所以这也是对的。那答案选四 d， 肯定四 d 错了， 所以答案选四 d。 因为我们说 d a、 e， 我 们刚才算这个 d a、 e， 这这个小角角，它是等于五度，所以它错了啊。 然后接下来看第三题，他说两个正方形，一个正方形边长是这个大的是 a， 这个小的呢是 b。 然后呢，就是说从这样做一下啊，就这有两个阴影的部分，这个阴影部分剪下来对折在一起，最后问阴影部分的面积，那首先我们看一下 ab 是 多少？ ab 是 ab 是 这么长吗？ 这么长它对应的啊，就是这这个 a。 然后哦， f， h， f， h 是 在这呢，它对应的是这个 这 c， 它对应的是我们的 b。 然后再看 h、 b， h， b 在 哪呢？ h d 啊？ h d 啊，在这也就是我们的 a 减 b， 那 所以这是 a 减 b。 那 最后硬部的面，硬部分的面积就是长的话，这不就是 a 加 b 吗？宽的话是 a 减 b， 长乘宽就等于什么呢？就等于你这个大的这个正方形的面积，减去这个小的正方形的面积，大的正方形 边长是 a， 那 它面积是 a 方，小的正方形的面积就是边长是 b， 那 面积是 b 方，那哪个符合呢？ a？ 答案，所以选 a 来看第四题， 他说小明同学只用两把完全相同的长方形，记住啊，是相同的长方形，直角就可以做出一个角平分线， 一个角的平分线。一把直尺按压住射线 o b， 那 就是说这个地方按压住射线 o b， 另一 把直尺呢，就是按压住射线 o a， 就是 要跟这儿去对应上，并且呢把第一把的直尺交与就是，并且就是说你这个第二把啊， 往这放的时候和第一把恰好他会卡在一个，就是他俩会交在这个 p 点，然后小明就说射线 o p 是 b o a， 你 看啊， b o a 的 角平分线，他就是说这个啊， o p 就是 角平分线，他的依据是什么？那我们说都长方形的直尺了，那你这个地方他是不是垂直呀？ 这垂直，那我们说这个地方到这这个距离也是直角的宽度，就是说这个直角和这个直角的这些宽度是一样的。那么说到角两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上，所以我们说 o p， 而是平分你这个角的， 那也就能说明你的 o 撇是角 b o a 的 角平分线，那我们看它依据在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ok， a 答案是对的， 我们看一下 b 答案 b 答案，它是角平分线上，点到角两边距离相等。肯定你会有疑问，就是为什么不是 b 呢？确实是角平分线上点到角两边距离相等呢？为什么不选二 b 呢？ 不选它，为什么我们画这个图的前提是我们不知道角平分线在哪，我们是这么画出来说它是角平分线的，而 b 答案他是说 先给了你角平分线了，他我给了你角平分线了，那角平分线上的啊， 倒角两边的距离相等是这样的，就是先给你角平分线后边让你推到角平分线上，点到角两边距离相等，这呢是我们知道这个点点他是倒角两边距离相等了， 反推他就是啊，角平分线，其实他是用角平分线的判点啊，所以究竟是性质 还是判定，你不用纠结这个，你就是看看人家是由谁推的谁，咱是由这个他俩相等去推的，他是一个角平分线，而不是说先是角平分线了，推他俩相等， 所以不是他啊。这个题选 a 一定要注意，然后第五题我们看一下，他说 o a 等于上一个 o b， 然后这个呢是个直角，那我们说等腰直角三角形， 然后 a 点的坐标是负一负三，很显然他让我们求角 b 的 距离，所以一般这种情况下， 我们要一线三直角，从这儿做一个垂线，我们就知道这儿长度啊，这个我们弄个 f 吧， a f 是 三， o f 是 一，然后再继续把它延长，再从点 b 这儿做一条从点 b 这儿做这个线的垂线， 把它画直一点，然后从 b 这儿做一个垂线， 那我们说此时这两个三角形全等，为什么我们说这是直角，这个边和这个边相等，所以我们再找一条边或者一个角都行，因为这个角加这个等于九十度，也就是啊，我们这稍微标一下，假如说你这个 照这个角一加上这个角二等于上九十度，而角二加角三等于九十度，所以角一去等于上个角三同角的与角我们说相等， 那然后啊，我们再看一下，那你是不是就可以用哎，这个和这个角角相等，角三和角一相等，然后这个边和这边相等，所以它俩全等，全等。以后我们看这个地方，我们标一个 e， 那 a e 就 等于 o f， 这就等于一 b e 就 等于上 af， 这就等于三，所以整体是三，这个距离呢？这这一节节距离是一，那剩下就是二，所以我们说剩下的这部分这个距离， 这个距离是二，那整体 b 到这个距离到 x 轴的距离，我们说它是跟 e、 f 相等的，所以它是四，那也就 b 点的坐标就出来了，二等四。