圆锥和圆柱展开图怎么制作

今天有东西问老师说老师像这样的圆锥是如何展开的？也就是上圆直径是六十的，下圆是三十六的，高度是二十八的，那我们已经画了两个这样的小圆，接下来我们来算一下他的周长， 我们选择这两个对象，输入快件的 li 空格，弹出的对话框，我们看到周长，第一个是幺八八，吃这个大的，这个小的周长呢是幺幺三， 那我们记住这个大小，我们把它关掉，那接下来我们把这个删了，我们把这个也删了，这个时候呢这个圆锥他要展开，首先我们把圆规的圆尖角找到，也就是找到一个圆心的位置，十五块一件的开幅空格，点击这两端的线条，他会找到这样一个圆心， 那接下来我们以这个圆心来画一个圆形 c 空间，从这里画一个圆形，接下来 c 控制，再从这里画一个圆形，我们找到这两个面，如果是通过这个圆筒侧边这样旋转滚动，让它展开成这样的效果，那我们就要找到它的这个叫周长就可以了。刚才我们已经帮大家算出来周长了， 那如果我要定位，我可以把里面的线我先剪断，这里面我不要，我以这个线来走，那我们输入 l、 e n 空的 p 空格，如果我想要幺八八空的，我点击这一头，那这根线就变成幺八八，然后我们再输入 l、 e、 n 空格，输入 t 空格，我输入幺幺三空格，里面的这个小的，我们选择哪一端呢？同学们选择右边，他会把这一头剪断，然后我们再把它连接起来，那这就是我们展开的大小。接下来我们把这个修剪， 然后再把这些对象删除，那我们得到的这个就是它的展开面，展开面呢？我们把它空格两次，让它旋转起来。如果大家想要的落地在水平线上，还要换线，我们可以用对齐 f 八水平，然后选择这个对象，输入 a l 对齐空格， 抓住一个顶点，靠这个地方，再抓一个点靠这个位置空隔两次，那他会自动落到地上，再把这里删了，我们来标注一下他的弧长，我们选择弧长标注，点击这里 幺幺三空格，再选这里幺八八。同学们，圆锥的展开面你学会了吗？关注点赞，下期咱们接着分享。

欢迎大家来到小张数学课堂，这里是几何画板课间制作案例，上一讲我们讲了圆锥展开图的这样一个效果， 这一节我们讲这个课间如何进行详细的制作， 大致步骤可以分为这么四步，第一步是圆锥的一个构造，第二步就是圆锥侧面展开， 第三步圆锥底面的一个展开， 第四步圆锥底面圆的周长的一个展开。 好，下面我们讲解一下这个课间如何进行制作。首先我们点文件 文档选项，我们先增加一个空白的页面点确定，这个时候我们回到这里 选中这些，我们进行一个复制， ctrl 加 c， 然后切换到第七页， ctrl 加 v 进行复制粘贴。 下面我们就讲第一步圆锥的构造，首先我们用点工具点出一个点，然后点变换菜单下平移， 默认的是固定距离一厘米，固定角度九十度，我们点平移， 然后鼠标移动到移动箭头工具，这个时候我们可以选中这个点和这个点，我们构造射线， 这个时候射线是选中的状态，我们点构造菜单下射线上的点 啊，这个点就是控制圆锥的高度的， 好，下面我们选中这个点，点变换平移，这一次我们固定距离仍然是一厘米 固定角度，这次我们向水平方向移动，所以这个九十度我们要改成零度 点平移。好，然后选中这个点和这个点，我们点构造射线，接着我们点构造射线上的点， 好，这个点就是来控制圆锥底面圆的半径的大小， 这个时候我们把平移的这两个点和这条射线以及这条射线，我们点显示菜单下隐藏对象， 好，下面我们选中这个点，我们可以给他一个名称，比如说这个点的标签用点 o。 好，这个点的标签，我们用点 a， 下面选中点 o 和点 a， 意思就是以点 o 为圆心，以点 a 为圆周上的一个点，然后点构造菜单下，以圆心和圆周上的点会圆， 这个圆就是圆锥底面的那个圆，但是视觉效果可不是这个圆，那怎么样来构造出来这个视觉效果呢？那我们先选择点 o 和点 a， 我们点构造线段，接着我们点构造线段上的点，这个点我们给他一个标签，比如点 m。 好，下面我们选择点 m 和线段 o a， 点度量菜单下点的值，但是这个时候点的值是灰色的，我们需要按键盘上的 shift 键， 嗯，我们需要按这个键，也就是上档键，下面我们再重复操作一下，选择点 m 和线段 o a 点度量菜单下，这个时候摁一下键盘上的上档键，也就是 shift 键，这个时候点的值 就会点亮，我们鼠标左键点一下啊，这个时候就是 m 在 o a 上的点值， 当然这个 o a， 哎，实际上我们可以给它改成里面的半径小 r， 那小 r， 好， 这个时候我们可以把这个线段选中点编辑菜单下操作按钮的隐藏按钮 隐藏掉，然后呢选择点 o 和点 a， 我 们点构造直线， 然后选中圆 o 点构造圆上的点，这个点选中这个点和 o a 这条直线，我们点构造垂线， 这个时候选中这个垂线和直线 o a， 我 们点构造菜单下交点， 为什么这样选，我们不要鼠标直接在这儿点，如果你点的话，比如这个点在这个位置，如果这个线段 r 没有隐藏的话，有可能是这个直线和线段 o r 的 交点啊，这样就不行了。 好，这个时候双击这儿，这个点，我们可以给他一个标签 啊，这个也给他一个标签，双击点 d， 也就以 d 为缩放中心，选择点 e， 我 们点变换缩放， 这个弹出来的是一个固定的笔，是二分之一，当然我们用二分之一也是可以的啊，这是这个圆锥底面，正是这个图啊，看着效果比较好一点的，但是为了打到圆锥底面 啊，有一个格式的效果，可以放的角度不一样，我们这样进行处理，我们鼠标移动到 m 在 二上的点值，这个时候变成红色，我们鼠标点左键 啊，他默认的这个硕放比例就是这个值，也就是这个点的硕放的位置和 m 点的位置进行了一个关联，这个时候我们点硕放，咱们看一下移动 m 点 啊，这个点也在动，也在动。 好，这个时候我们选择点 d 和这个点，我们点构造菜单下轨迹 啊，是让这一个椭圆，我们可知的就是一个椭圆，这个椭圆就是圆锥底面的圆的一个圆周， 那我们拖动哎，可以改变放置的这个位置，也就是这个壳子的这个角度可以改变。好，这个时候我们选择这些点 和这条垂线，我们点显示菜单下隐藏对象。 好，但是这个时候有一个问题，因为圆锥，如果我们把这个直线和这个圆的这个焦点啊，或者是和这个的焦点 啊，都是一样的，我们点构造焦点，那假设这个点是点 b 的 话， 好，这个时候如果我们连接了这些点 啊，构造出来线段，那我们可以把这个圆先进行一个编辑，一个隐藏的按钮， 这个时候如果是这样的话，这个圆锥底底面这一部分是看不到的啊，里面这一部分， 所以看不到的应该用虚线，这一部分看到的应该用实线啊，所以为了达到这个效果，我们要分开做啊，分开做，但是底下做的这个 轨迹也是有用的啊，也是有用的。好，我们先把这些删掉， 因为几何画板他这些每一步制作他都有子对象和副对象的，我们选中这个轨迹，我们点编辑菜单下操作按钮，隐藏按钮，先把这个轨迹隐藏掉一会，这一个还要用到。 好，下面我们要先做上面这个，下面这一个格式的能看到的，这个时候我们选择点 o， 点 b， 点 a， 注意这个顺序，不要选颠倒了，然后点构造原上的红 点，构造菜单下圆上的弧啊，我们构造出来这个半圆弧，选中这个半圆弧，构造弧上的点， 然后选择这个点和这条直线，我们构造垂线，这个垂线和这条直线同时选中，我们构造焦点 啊，这个时候在双击这个点和再选中这个点，点变换菜单下授放，当然这个时候授放就默认的就是 m 在 二上的这个笔直，这个不要变，我们点授放， 然后选择这个点和这个点，我们点构造轨迹啊，这个颜色我们可以给他改成黑色，嗯，黑色，好，这个时候我们把这些选中， 还有这些以及这条垂线，我们点显示菜单下隐藏对象， 好，我们调整 m， 咱们看一下，这这一部分我们就显示出来了， 下一步我们要做虚线的这一部分，这次我们要选择点 o， 比如圆心，然后依次选中点 a 和点 b， 我们构造圆上的弧，哎，这一次构造的是上面这个半圆弧，然后在选中的情况下点构造弧上的点，哎，这个点 选中这个点和下面这条直线，选中这个点和下面这条直线，我们点构造垂线， 选中这个垂线和这条直线，我们构造焦点啊，和刚才的方法一样，双击这个点，以这个点为缩放中心，选中这个点， 点变换缩放，缩放笔还是 m 在 二上的 笔直点侧放好，这个时候选中上面这个点，再选中下面这个点。点构造轨迹 啊，这默认的是黑色，在选中的情况下，我们点显示菜单限行，我们这个时候给他改成虚线，好，然后把 这些啊选中，还有这个垂线，我们 按键盘上的 ctrl h 键进行隐藏啊，当然也可以点显示菜单一下啊，隐藏对象啊。这个时候我们第一步已经完成了，这个圆锥已经绘制好了， 好，这条直线我们可以选中，编辑一个隐藏的按钮，我们一会还要用到。 好，这个时候我们拖动点 a， 可以 改变底面的半径的大小，我们拖动这个点可以改变圆锥的高度啊，当然在这里面可能还有一小部分内容，就是很低的时候，这一部分 也能够看到啊，应该用实线啊，这个没有考虑到，大家可以思考一下啊，思考一下，好，我们拖动 m 点，可以改变 这个圆锥底面，这个视觉效果啊，视觉效果好， m 点，我们可以编辑一个隐藏的按钮隐藏掉， 这是第一步，我们已经完成了下面要进行的第二步操作，就是来制作圆锥侧面的展开图，为此我们先把这一部分选中，这两个 两条轨迹选中，点编辑菜单下操作按钮的隐藏按钮，这个我们可以看出，是啊，给标签给它改一下， 改成 圆锥 底面 的圆，事实上这是一个椭圆啊，我们改一下名称，一会好找 好，我们再把这个轨迹我们找到，这个时候我们看一下它展开之后，展开之后 这个扇形的弧长就是圆底面圆的周长，所以在这里面我们有两种方法，一种是来度量 o 到 a 的 举例，也就是这条线段二，我们可以度量二的举例，选中线段 o a 度量它的长度，这个就是底面圆的 半径，那他的周长怎么计算呢？那二派 r， 我 们点数据计算 二乘以派派，这个时候我们点数字，这有一个箭头，下面有派和 e 啊，我们点派，然后再乘以半径。 好，这一个就是圆锥底面圆的周长，这是用计算的方法，计算的方法，当然我们还可以用什么方法呢啊？我们把底面实际的这个圆显示出来 啊，显示出来，我们选中这个圆，我们点度量圆的周长啊，我们看一下 圆 o a 的 这个周长，和刚才我们计算的这个是一致的啊，这两种方法都是可以的，好，我们改变大小，他们同时也是在变的，咱们看一下，就这么一个效果啊，这么一个效果 好，下面呢，我们还要计算展开之后这个扇形的圆形角是多少啊？扇形的圆形角是多少？它展开之后大致就是这么一个 啊，扇形这么一个扇形，这个弧长就是这个圆的周长。 展开之后，这个扇形的半径就是圆锥的母线长啊，圆锥的母线长，也就是这个长度，这一个我们比如用大 r 来表示， 好啊，我们当然是 l 啊，当然这个是母线，一般用 l， 这个是在对扇形来说，它是半径，所以在这里我们用 大 r 来表示，选中大 r 这条线段，我们度量它的长度，哎，这个长度，然后弧长公式， l 等于什么呢？ l 应该等于 一百八十分之 n 派 r， 这个时候我们要计算展开这个扇形的圆心角啊，也就是 n 等什么，我们可以由它来得到 n 应该等于一百八 乘以 l， 也就是一百八 l， 然后除以。派 胆儿，所以我们要先把这个度数计算起来，这个时候我们鼠标移动到移动箭头工具点一下，然后点数据计算，我们怎么计算呢？一百八十 啊，当然这里面是度度啊，乘以 l， 也就是展开这个扇形的弧长，就是圆锥底面圆的周长啊，我们可以用这个啊，这个好，我们给他带上括号，然后除以拍 l， 除以 pi， 点数字 pi 乘以 r， 注意这个 r 就是 展开扇形的这个半径，指的是大 r， 所以 我们鼠标移动到大 r， 这 好，这个时候就输进来了啊，输进，这个时候我们点确定好 哦，这里面有一个问题，有一个问题我们再编辑一下啊，这呢，他实际上是除以 pi， 然后乘以 r， 他 应该是 pi， r 在 分母上面，所以我们在这加上括号， 确定好，这就是这个度数。好，然后选中这个度数，我们右键单机点表记角度，这个时候以上面这个点，比如说是点 c， 以这个点为圆心，那旋转中心选择点 a， 点变换旋转啊，这个时候这个旋转的角度就是刚才这一个，我们点旋转。 好，现在我们把这些先进行删掉， 嗯，三点我们观察一下，调整一下。好，这个时候选择点 c， 点 a 和这这个点，我们点构造圆上的红 啊，当然这个要用实线啊，这时长就是展开的这个扇形的弧长，那我们选择这个点和这个点，我们点构造线段。 好，这个时候咱们看一下改变点， a 里面半径大，这个弧长度也大，那我们改变圆锥的高，这个扇形展开的扇形的半径也在变大， 这个时候我们只是把这个圆锥的侧面展开是这么一个扇形，但是他没有一个动画的效果， 下面我们要制作这个动画的效果，这个时候我们选中 这个弧，然后构造弧上的点啊，这个时候我们多选了点 a 也选中了，我们只选中这条弧点构造弧上的点， 这个点我们给他一个标签啊，点记，然后选重点记和这条红，我们度量点记在这个壶上的点值啊，点值，这个点值 啊，我们为了区分可以改变一下它的颜色，比如用红色。好，这个时候我们要在 这个圆上面，这个圆上面来找到和他对应的那个点， 但是在这里面注意，比如说到这是零，到这是一，但是到零的时候，有的时候他这是一个完整的，所以为了打到这么稍微，这还有一点误差， 有一点误差，所以这个时候我们要进行一个计算啊，在这里面呢有两种方法可以计算。我们首先用第一种方法，点数据计算 括号一减去这个点值， 然后再减去零点零一，也就稍微叫它有点误差， 然后乘一个括号一减去点函数，用符号函数点这个 点确定。我们观察一下，这个时候，当点 g 到达点 a 的 时候，他是零点九九，零点九九，稍微有一点误差，到这时候他是零啊，他是零 啊，这是一种方法，还可以用什么方法呢？这个什么意思啊？什么意思？前面这个好说，他是对应的，他两个加在一起正好是一一。这里面 这个符号函数，我们大家可以再看一下点数据计算点函数，符号函数选这个值点确定。我们看一下符号函数，就是说正数的符号函数 是个正数，零的符号函数是零，负数的含符号函数 是个负一，正数的符号函数是正一啊，正一。咱们看一下点 g 在 a 点的时候，他是零啊，在 a 点的时候正好可以，他是零一，减去零 一，减去零还是零，那还是零一，减去零是一一，再乘零点零一，正好是减了个零点零一，这个刚好错一点。 但是当他离开 a 点的时候，你看这个符号函数就是一，他的符号函数就是一，那这个时候是一的时候，咱们看一减一是零，相当于没有减，就这个意思啊，这个意思，这是一个 一种计算方法。好，我们还可以用另外一种计算方法， 我们试一下点数据计算，我们用这个点值 减去零点零一，这一次我们用取整函数，下边这个取整函数点，这个点值点确定，我们看一下这个， 这个时候这个值和这个值加起来正好是一一啊，我们再编辑一下，这 前面我们用一减去它啊，这带上括号， 这里面是比较难一点的啊。啊，这个时候是零点八九九，是一样的，我们看一下是一样的，但是到达这个位置的时候他是负一， 到达这个的时候他是一，他是一 好，我们这个括号我们看一下不夹在这个位置， 用这给它扩大，这样扩，我们观察一下 啊，这样我们看一下是不是一样零点三九九，到达这个位置的时候是零点零一，到达这个位置的时候是一 好，这里面大家可以揣摩一下哈，揣摩一下啊，我们不用这个，我们把这个删掉 啊，我们用这个就行啊，用这个就行，这个时候选中这一个值啊，这个标签啊，我们可以给他改一下，比如说用 n 来改一下啊，选中这个值，然后选中这个圆，我们点绘图，在圆上绘字。点啊，这个点你看一下这个点 啊，我们可以给他一个标签， 这个标签，比如说是 q， 嗯，怎么看啊？这个时候稍微错一点，位置到达这个时候基本上是和 a 点是重合的，是重合的 好，这个时候我们怎么办呢？选中这个点啊，把刚才的那条直线选出来， 然后选中这个点点构造垂线，选中这条垂线和这条直线，我们构造交点啊，我们可以挪一个合适的位置。 好，这个时候双击 q 点，选择这个点，点变换硕放，硕放笔仍然是 m 在 二上的笔支，好，找到这个点，找到这个点， 好，然后呢我们选中 o 点和 a 点， q 点， 我们点构造圆上的红，啊，这条红，这个时候我们把这个圆隐藏掉，啊，是这条红，我们看一下，是这条红， 好，这个时候我们先把这些多余的，我们给他 编辑一个隐藏的按钮好，然后选中这个弧，构造弧上的点 就是这个点，选中这个点和这条直线，我们构造垂线，那我们可以调整一个合适的位置， 好，选中这条直线和这条直线，我们构造交点， 然后双击这个点，选择这个点，点变换缩放，缩放笔仍然是刚才的好，这个时候我们把这条垂线，这个点， 还有这个点以及这条弧，我们进行一个隐藏，然后选择这个点和这个点， 我们构造线段，然后选中这个点和这条线段，我们构造， 哦，不是这个点哈，我们把刚才隐藏的这个地方， 这个点我们显示出来，那是这个点，咱们看一下 啊，选择这个点和这条线段，我们点构造轨迹， 好，这个时候我们把这个点和这条线段以及这个点，我们进行一个隐藏， 我们把这个点和这个点，我们构造一条线段，那这个颜色我们可以用黑色啊，我们看一下， 好，这是封闭，这是展开，这是展开。好，这个时候我们把这些我们编辑一个隐藏的按钮， 好，但是还没有这个指示。拖动这个点的时候， 这样有一个里边减少的一个效果，但是外面这个还没有一个效果，这个怎么办？我们可以这样做， 选中点 c， 点 a 和点 g， 我 们构造圆上的弧，接着我们构造弧上的点， 选中这个点和点 c， 我 们构造线段，接着选中这个点和这条线段，我们构造轨迹， 那这个颜色我们可以给他改成这种颜色啊，这种颜色好，然后把这个选中，进行一个隐藏 好，把 c 点和 g 点，我们构造一条线段。好，这一个颜色我们调好了会比度，我们可以改为五百。 好，这个时候咱们看一下，往外拉就有一个效果，这个效果和刚才这个效果我们配合在一起， 就有一个展开的一个效果。好，这一个我们也可以把颜色给它调成这种颜色啊，这个绘图采用数量，我们也改成五百。 好，咱们看一下啊，这样就有这个效果了啊，这个效果好，这个时候我们把这些选中，我们点显示菜单下隐藏对象。 啊，这一个我们现在还不能隐藏啊，我们取消，我们可以编辑一个操作类按钮的隐藏按钮，我们一会还要用到。啊，这是这个 好，我们把这些选中，我们点编辑菜单呀，操作类按钮的隐藏按钮。然后呢？ 啊，我们把这一个的标签我们改一下，我们改成 圆锥侧面展开图， 好，这一个啊，这个也现在隐藏掉， 这个也隐藏掉。好，到此为止，我们圆锥的侧面展开图我们已经做好了，做 好这些我们现在可以给他放到一边，放到一边， 下面我们要做圆锥底面的一个展开图，我们把这个还要拿出来，我们想展开到一个什么位置啊？什么位置？ 我们一般情况要展开这个弧的中间啊，弧的中间，那怎么找到这个位置？我们看一下刚才的这个度数 啊，这个度数，这是点 a， 绕点 c 旋转，这个度数到达点开撇， 就看一下这个点的属性， 那对是这个点，这个点，这个点开，我们编辑一个隐藏的按钮，这是点 a， 这个点是什么属性 啊？和归集的焦点，归集的焦点，这个点我们可以进行删掉 啊，这个点和这一个也可以啊，也可以用这个点，我们用这个点也行。 好，这个时候我们计算这个度数，除以二， 确定，我们用这个度数，右键单机点表记角度，然后双击点 c， 选择点开点变换旋转正的，他是逆时针旋转的。 好，得到这个，你就大字把这个底面这个圆平移到这，和这个弧相切相切，但是这个并不是那个圆的圆心啊，圆心的位置应该再向水平 啊，水平平移，平移多远呢？就是这个半径，所以我们选择这个点点变换平移平移的这个固定角度，我们按水平这个举例，我们有用半径， 也就是圆锥底面的半径。好，双击一下点平移，好，这个时候选中这个点和这个点，我们构造圆。好，这些就完成了。十米， 好，这个时候就是他平移到这样一个位置啊，这样一个位置，那怎么样平移过来啊？ 我们看一下，这是一个整体，这是整体的这一个，我们选中这个轨迹，我们构造轨迹上的点这个点， 然后选中这个点和这个轨迹，我们度量这个点在轨迹上的点值，这个时候按键盘上的 shift 键 啊，就这个点值，选中这个点值和这一个圆，我们在这上面绘制点啊，绘制点， 然后把这个两个点构造一条线段。 好，这个时候把这两个圆心，我们构造一个线段。 好，然后呢用点工具在这个上面点出一个点，在这个上面点出一个点。 好，我们把这两个点也构造一个线段。 好，这个时候在这个上面我们构造一个点，这个点，然后度量这个点，在这个线段上的点值 啊，这个点值，选中这个点值和这条线段，用绘图工具在线段上绘字点。好，这个时候我们拖动这个点， 就打到一个圆心移动的一个位置，这个是圆心移动的位置。好，我们再选中这个点值，选中这个 线段，这一条线段，我们点绘图在线的上绘字里。 好，然后呢选中这儿这个点和这个点，这个时候要注意选这两个点，注意先后顺序。我们点构造轨迹啊，这个轨迹不对啊，这个轨迹不对， 我们看一下，应该是啊， 这，这里面有点问题啊，有点问题，我们不用点 o 在 这个上面点值，我们把这些删掉，我们重做一下，选中这条线段， 我们构造线段上的点，选中这个点和这个点值啊，这个线段我们度量这个点，在这个线段上的点值啊，点 q 在 这个上面的点值。 好，我们用这个点值在这个线段上绘字典。好，这个时候我们拖动咱们看一下啊，达到一个圆心的一个移动的一个效果， 然后选中这个点值和这条线段，在线段上绘字典， 这个时候我们选择这个点和这个点，我们构造轨迹啊，这一次咱们看一下就有这么一个效果了， 好，这样我们就可以把这些辅助的这些点和这些线段我们选中。 啊，这个点我们先不要隐藏啊，然后点显示菜单下隐藏对象。 好，这样是可以的，好，这个时候我们用点工具在这个上面点出一个点，然后选择这个点和这个点，我们构造线段， 再选择这个点，我们构造轨迹这个颜色，我们这一次用黄色啊，采用度啊，我们可以踩五百。 嗯，然后把这些选中，我们点显示菜单隐藏对象。好，这个时候就是底面的一个展开已经制作完成。 好，这个时候把这些选中，进行一个隐藏， 这个标签我们也不要。 好，我们把这一盆选中， 编辑一个隐藏的按钮 啊，这个按钮，然后把标签给它改一下，改成圆锥 底面的展开图 点，确定 好，下面我们要制作圆锥底面这个周长的一个展开， 首先我们选中底面的这个轨迹，我们构造轨迹上的点， 选中这个点和这个轨迹，我们度量他在上面的点值，啊，这个点值，这一次我们用蓝色 这个点子，用这个点子和这个在这个弧上来会字典 啊，这个时候我们移动这个点，他们是跟着动的啊，是这样的一个效果 好，然后选择这两个点，我们构造线段， 构造线段，接着我们在这个线段上面构造一个点， 然后选中这个点和这一个线段，我们度量这个点在上面的点值，哎，这个我们再用一种颜色，比如我们用这种颜色。 好，这个时候我们看一下，我们选择这个点和这个点，我们点构造轨迹。 好，这个时候咱们看拖动这个点，哎，就出现了这样一个效果。好，这个时候我们把这条线段和这端点 我们进行一个隐藏啊，这一部分我们选中，进行一个隐藏好，这一块我们选中，我们点编辑菜单下操作按钮的隐藏按钮。 好，标签我们改一下，改成圆锥底面 周长的 展开动画。 好，到此为止，我们基本上已经完成了，所以我们要把这些这个直线进行一个隐藏。 一个按钮啊，隐藏这条直线，把这些选中进行一个隐藏，那当然这条线段适当应该用虚线， 虚线这个点开我们可以给它隐藏掉， 嗯，把点 a 拿出来，把点 a 拿出来，这个轨迹如果想突出的话，可以给它颜色改变一下，变成红色。啊， 啊，这样好，把这个轨迹 我们看一下隐藏掉，我们看一下刚才做的那个， 啊，不是这个，也不是这个 啊，把这个我们拿出来， 这个可以隐藏， 这个要显示 点 a， 也可以显示。 好，这个时候我们把这些选中进行隐藏。 哦， m 点， m 点，我们要 要这个好，把这些选中，进行一个隐藏 好，这个点我们可以不要啊，标签不要，把它改成绿点。 好，这个点可以拖动，这是一个好，侧面展开这一部分，这个点的标签我们不要。 好，把这个点也改成绿色。 好，这是侧面的底面的这一个这个标签我们不要，把这个点改为这种颜色。 好，这个 m 点，这个标签我们给它改一下，改成 圆锥的放置角度， 好，确定，然后我们用文本工具画出一个框，啊，把这些按钮变成热文本。回车 任务们，鼠标移动上点一下就过来， 好，这个也放着过来，好，这个时候我们把这些选中点显示菜单下隐藏操作类按钮，好，到此为止，我们这个课键已经完美收官 啊，我们可以简单的再检验一下这个效果，效果我们拖动这一个 哦，我们底面这个周长这个动画啊，这一个我们拖过来给他隐藏 啊，隐藏掉。这个时候先展示这个圆锥的这个情况啊，可以改变大小，改变高度啊，改变高度 可以改变位置，然后点一下圆锥侧面展开图，这个时候拖动这个绿点，就可以把侧面进行展开， 然后再点一下圆锥底面的展开图，拖动这个绿点，可以把圆锥的底面进行展开，再点一下这个，这个时候拖动这个绿点，可以把圆锥底面这个圆周 进行展开啊，正好等于这个弧长，当然这个点一下可以调整 这个可食度的。好，圆锥的展开图制作方法就介绍到这里，谢谢大家的观看，再见。

侧面展开图是一个扇形，底面是一个圆底面圆的周长等于扇形的弧长。

我要是出题人，这洁面不是手到擒来吗？双椭圆叠加洁面首先感谢这位同学的提问，这是一道非常好的例题，下方是一个圆锥，上方是一个圆柱，它们重叠的部分呢，是掏空的。我们先看简单的洁面 c 选项，直接横切上半部分就行了，同心圆。 其次比较简单的 a 选项，直接竖着切，切到最中间就行了，竖切圆柱上方是矩形，并且过了圆锥的顶点，竖切他是三角形，所以 a 选项是正确的。然后昨天这位同学说选二 b， 大家看我沿着顶点这个水平线为轴去转动的时候，我得到的就是三角形。 这就暴露出来一个问题，大家还是对圆锥圆台不是那么的熟悉，老师之前总结的基础界面里面，斜切圆锥顶点，他得到的是三角形。 这道题，这个洁面把圆柱、圆锥难点全部囊括了，非常值得我们结合起来学习。我把洁面斜切的角度压大一点，我们来看一下现在这个洁面。首先斜切完整的圆柱侧面，我们看这两个椭圆不是同心的斜切圆锥得到的，椭圆会靠下一点 洁面继续往下走，大家仔细观察它的变化。当洁面横穿圆柱下底直径的时候，我们看上半部分椭圆是斜切圆柱得到的，下半部分椭圆加上中间的那个空心的椭圆，组成一个完整的椭圆，这个椭圆是斜切完整的圆锥侧面得到的。 虽然讲的这个洁面和我们的体里面没有任何关系，但是这是非常重要的要点，洁面角度继续压大，我们可以看到刚才讲的更为明显， 此时洁面穿过单独的下方圆台，洁面继续往上提，我们看这两个椭圆并不是同心的，内部的会靠下，因为是斜切圆锥得到的。老师反复强调的东西大家要熟记，上了考场直接做个秒选。

圆锥帽最简单的展开方法，首先根据尺寸画出主式图，接着使用画规分别以底顶两点距离这样画弧，然后画规取这段距离，依次在圆周上画六格， 连接两点距离，这六格就是去掉的部分。你就说这个方法好不好？

圆柱与圆锥垂直相贯，相贯线是复杂的空间曲线，本题利用取点法作相贯线。第一步，找四个特殊点。 左式图标上四个特殊点。主式图可以直接找到一和四两个特殊点，长对正，找到俯视图一点， 长对正，找到俯视图四点。接下来找二点和三点，取两点和三点所在圆锥处半径在俯视图画圆弧 延长，圆柱轮廓线与圆弧的交点就是两点和三点。 长队正在主视图水平中心线上找到两点和三点。 第二步，做四个一般点，左试图过圆心做圆锥素线的垂线，找到垂足， 垂足所在的高度做水平线与圆的焦点就是两个一般点。标上五点，六点， 取五点和六点所在圆锥处的半径，再俯视图画圆弧， 取五点。六点的宽度尺寸，在俯视图找到两点 平移过点做辅助线，辅助线与圆弧交点就是五点和六点。 高频齐在主视图辅助线上找到五点和六点。五点和六点是主视图相贯线，最右侧点做四十五度，辅助线与圆交于一点， 过点做水平辅助线，交点就是七点和八点。 过七点和八点做截平面辅助线 取结交线半径，在俯视图画圆弧， 取七点。八点的宽度尺寸在俯视图找到两点，过两点做辅助线与圆弧交于两点，两点就是七点和八点。 长队正在主视角辅助线上找到七点和八点。 第三步，用光滑曲线连接各点，得到相关线曲线。 圆柱下方的曲线看不见，画成虚线。 本题为了便于大家理解，辅助线没有擦除，感谢观看！

圆柱和圆锥垂直相贯，切换到左视图看投影形状。左视图圆柱与圆锥相切，切换到主视图看投影形状。相贯线积聚成两相交直线。第一步，找四个特殊点，在左视图标出四个特殊点。 主视图圆柱与圆锥的交点就是一点和三点。长队正在俯视图，找到一点和三点， 取两点和四点所在截屏面处的结交线半径，画圆弧， 延长圆柱轮廓线与圆弧交点就是两点和四点。 第二步，找四个一般点，找到圆柱与圆锥的切点，过切点做辅助线，并在主视图找到一点，标上五点和六点。 主视图相贯线积聚成两相交直线，连接得到两相交直线。取五点六点处的圆锥半径，再俯视图画圆弧， 圆弧与中心线交点就是五点和六点，做四十五度辅助线。辅助线与圆弧的交点处标上七点和八点。 取七点和八点处圆锥的半径，再俯视图画圆弧，取七点和八点的宽度尺寸平移，过点做辅助线，辅助线与圆弧交点就是七点和八点。 第三步，用光滑曲线连接各点，两点和四点右侧看得见，画成粗实线。两点和四点左侧看不见，画成虚线。 为了便于大家理解本题不擦辅助线，感谢观看！

大家好，今天讲人教版六年级数学下册十八页例二，我们今天看圆柱展开侧面图与圆柱各部分间的关系。我们先看第一，圆柱的侧面展开后是什么形状呢？那么如果我们要把圆柱的侧面给它剪开， 那么他有几种剪的方式呢？首先呢，我们可以沿着高进行展开，那么沿着高我们剪开以后，可以发现展开以后呢是一个长方形，也就是做一做中的这一种形状。 第二种方式，我们剪开的时候可以沿着斜线剪开，也就是说我还是沿着他的侧面中的任何一条斜线，但是我是直着剪开的，那么这个时候展开以后是平行四边形，也就是剪开后是这个形状的， 那么我们还可以沿着它不规则这样剪开，如果不规则剪开以后，它的展开图形就是一个不规则的图形，但是呢侧面展开图不可能是梯形，因为呢圆柱的上下底面它的周长是相等的，那么沿着不规则曲线剪开后，它的效果是这样的， 也就是这种形状。那么剪开方式呢？有这三种，我们今天重点来学一学。是沿高给它剪开，那么我们沿着高剪开以后，会发现它变成了一个长方形，也就是说我们将它的曲面变成了一个 长方形，体现了一个化曲为直的思想。那么我们再来观察这个长方形，它的长 宽与圆柱有什么样的关系，我们可以呢把这个长方形重新包在这个圆柱上，就是像这样重新包一下，那么我们看一下能发现什么呢？我们可以发现这个底面就是这个底面，它的 周长刚好是这个长方形的长，也就是说长方形的长等于圆柱底面的周长。我们再来看它的宽，这个长方形的一个宽刚好是这个圆柱的高。 所以我们可以得出来两个非常重要的结论，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽呢就等于圆柱的高。那么如果我们这个圆柱底面的周长，圆柱底面的周长和它的高和这个圆柱它的高是一样的时候，那这个时候我们就发现 这个长方形的长和宽是一样了。那么侧面展开图就可能是一个正方形，也就是说 圆柱的侧面展开图可能是长方形，也可能是正方形。那只有当圆柱底面的周长等于高时，它的展开图就是一个正方形。接下来我们看一下下面的做一做。第一题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。 第一个，它的展开是一个长方形，那么它是沿着高剪开的。第二个呢，我们发现它是一个不规则图形，也就是说它沿着侧面是不规则剪开的。 第三个呢，它是一个平行四边形，那说明我是沿着它的侧面斜着展开的。 接下来看第二题，一个圆柱形的茶叶桶的侧面贴着商标纸，那个圆柱的底面的半径呢是五厘米，也就是说它底面的半径我们知道是五厘米， 那么高呢是二十厘米。那么这张商标纸展开后变成了一个长方形，我们要求这个长方形的长和宽。首先我们先来看它的宽，宽呢就等于它的 原来圆柱的高，它的高呢是二十厘米，所以它的宽就是二十厘米。我们再来看它的长，这个长呢就等于原来圆柱的底面的 一个周长，他底面的周长也就是二拍二，也就是二乘三点一，四乘他的底面半径是五，也就是乘五，通过计算等于三十一点四厘米。答，长方形的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米，你理解了吗？