河北省中职单招几何练习题

今天我们通过两道题来学习一下三角函数里面辅助角公式的一个运算。首先我们来看第一题，第一题让我们求的是 f x 等于四， thanks！ 加三倍的 cos x 的 最大值，在这个里面呢，最大值我们要用到的是这个公式，辅助小公式啊， 在这里面，那最大值应该就是这个位置的数，正数是它的最大值，负数是它的最小值，所以此时的最大值它们公式应该等于根号下四的平方加上三的平方等于根号二十五，所以的结果应该等于五，所以我们选的是五。 另外，关于单招数学常考的公式以及我的解题妙招，我都把大家整理好了，如果你还不知道背那些，一定要拿去看一看，背一背啊！ 来看第二题，第二题是 y 等于二倍的 sense， cosine x 减去二倍的 cosine 二 x 的 最大值。在这个里面，我们首先要把这一步看懂，这个是谁呀？ 这个是二倍的 sine x 乘 cosine x， 它是我们的 sine 二 r 法的公式啊，也就是我们 sine 二 x 公式，对不对？所以呢，那就是 sine 二 x， 然后减去二倍的 cosine 二 x， 那 此时它的最大值应该就是根号下，它前面没有数，说明是一 b， 也就是根号下一的平方加上负二的平方，所以他应该等于根号五啊，所以我们选的是二 b， 最大值为根号五。单招数学想多拿二十分，这份押题卷直接锁死，想要的赶紧私信，手慢无！

同学们大家晚上好，今天晚上给大家更新一期立体几何的内容，那么今天的这两问呢？第一问是意面直线所成角啊，第二个是一个线面垂直。好，首先来看第一问， 那么异面直线所成角，我们去找角的时候，是要对这两条异面直线进行一个，哎，找平行线，哎，找到他们相交形成的一个夹角，是不是再去求值啊？好，那现在咱们来看一下啊，要求的是这个 e、 f 与 bc 一， 那很显然，他们两个现在是一个异面的状态啊，没有形成交点，所以我们要进行一个平移， 那么需要平移的啊，是我们的 b、 c 一 啊，这里可以做一条对角线连接对角线 a、 d 一 好，连接 a、 d 一 之后，这个 a、 d 一 和 aed 是 不是刚好相交于点 e 啊？ 所以这个时候我的 a、 d、 e 就 和 e、 f 相交，产生了一个夹角，也就是我们的这个 d、 e、 f 啊，那在这里呢，你要对它进行一个说明。第一问，连接 a、 d e， a， d e 与 a e、 d 相交与点 e， 那 么这个时候呢，因为 d e、 c e 啊，它是平行于我们的 ab 的， 并且 d、 e、 c、 e 还相等于 ab， 所以 我们的 ab， c、 d、 e 为平行四边形， 那么它的另外一组对边就是一个平行的关系啊，所以 b、 c、 e 啊，它就平行于我们的 ad。 一 则 题目中，让你求的 e、 f 与 b、 c、 e 所成角就转变成了，哎，我们的这个角 d、 e、 f。 好， 现在重点是我要来求一下这个假角，那么求这个角的话，呃，用眼睛来看，它好像很像一个等边三角形，对不对？但是我们要进行一个严格的证明，那我们要去求一下它们之间的边长关系。首先这个 e、 d、 e， 它肯定是等于二分之一倍的 a、 d、 e 的 啊，那么因为这个是正方体，它的棱长我们是不是可以射一下？嗯，射棱长 为一啊，如果能长为一的话，那我的这个 a、 d 一 是不是就等于根号下一加一，也就是根二啊，也就是二分之一乘以根二，等于二分之根二啊，这是一 d 一 已经有了。好，那同理，我的这个 d、 e、 f， 它是不是也是对角线的一半啊？ 啊？ d e、 f 啊，也等于二分之一 d， e、 c 等于二分之根二，那这两个都有了，那 e、 f 啊，还差一个 e、 f， 你 看这个 e 点和 f 点，是不是现在都是中点啊？所以我再连接一下。我这个 a、 c， 那 是不是三角形的一条中线？嗯，又因为 e、 f 为中点， 所以 e、 f 啊，它就等于二分之一倍的 a、 c， 这个 a、 c 是 不是也是一条对角线，所以它也等于二分之根二啊？所以啊，我们这个三角形 d、 e、 f 为等边， 那么我们的所乘九九 d e、 f 是 不是就等于六十度？那这个题是不就证明完了？好，这是第一问，咱们接下来来看一下第二问啊。第二问是一个线面垂直好， e、 f 要证明它垂直于 b， b， d、 d， 它在这里。然后呢， e、 f 要好， e 点和 f 点啊，非常的特殊，它都是中点在三角形 a、 c d e f 是 不是相当于一条中微线啊？所以我们有 e、 f， 它是平行于 a、 c 的， 嗯，那么这个 a、 c 好 像更容易证明它垂直于这个平面是不是？那么对于线面垂直，我们有一个性质定律， 大家还记得吗？ 性质定律啊，是怎么说的呢？如果我已经知道一个线和一个面垂直，那么和它平行的线同样也会垂直于这个平面，所以我只要能够证明 a、 c 垂直于这个平面是不就足够了？嗯，好，那我们一起来证明一下啊，因为 a、 c 它是垂直于 b、 d 的 啊，这个很明显是不是一条了？嗯，那还需要找第二条。又因为 我是一个正常体，所以我的棱是不是都垂直于地面 b、 b 一 啊，就垂直于我的 a、 b、 c、 d。 根据线面垂直的定义，我垂直于这个面，就要垂直于这个面内的任意一条直线啊， a、 c 包含于平面 a、 b、 c、 d， 所以 我的 b、 b、 e 就 垂直于 a、 c。 好， 你看，现在我已经有 a、 c 垂直于 b、 d， a、 c 还垂直于 b、 b、 e。 哎，所以啊，又因为 b、 d 和 b、 b、 e 它们两个都包含于平面 b、 b、 e、 d、 e、 d。 并且 b、 d 啊，交上 b、 b、 e 是 不是有一个点 b 啊，它俩是相交的，所以我就证明了啊， a、 c 它是垂直于我这个蓝色的面 b、 b、 e、 d、 e、 d 的 啊，没有，根据我们刚才的这个 e、 f 平行于 a、 c 啊，根据 线面垂直性质定律， 我们就有 e、 f 啊，它也是垂直于 b、 b 一 d， e、 d 这个平面的啊，那这个题是不就已经证明完啦？

今天我们来秒杀椭圆题型，记住旁边这些公式和知识点，谁的分母大，谁为 a， 且焦点就在谁那。长轴等于二 a 短轴等于二 b 离心率等于 a 分 之 c， 它们的关系式满足 a 方等于 b 方加 c 方。接下来我们看题。椭圆二分之 x 的 平方加上六分之外方等于一的一个焦点坐标，是谁的分母大，谁为 a？ y 的 分母大，是不是大呀？ 所以它的 a 等于多少？ a 是 不是就等于根号六，且焦点就在谁那？所以焦点是不是在外轴上，焦点在外轴上，又满足这个关系式， c 方就等于 a 方，减去 b 方就等于六，减二就等于四。所以 c 等于什么？ c 等于正负二，又因为在外轴上，所以正确答案选什么？正确答案是不是选二 b 啊？ 接下来我们再看长轴等于二， a， a 等于根号六，那长轴等于什么？长轴就等于二倍根号六，短轴等于二 b， b 是 b 方是不是等于二？那 b 等于什么？ b 是 不是就等于根号二，所以短轴就等于二倍？根号二，离心率等于 a 分 之 c 等于根号六分之二，就等于 三分之根号六，离心率。还有一个公式一定要记得，离心率 e 就 等于根号下一加 a 方分之 b 方就等于根号下一加 a 方是多少？ a 方是六， b 方是二，一加上六分之二，就等于三分之根号六。这些相关的公式和知识点一定要记清楚了，不要弄混了，你学会了吗？

哈喽，大家好，我是汉辰单招张老师。今天我们用一道题来学习一下三角函数里面的正弦定例的公式。 那首先这个是我们的公式，那我们来看题，在这道题它告诉我角 a 等于三十度啊，小 a 是 代表什么？边边 a 等于三倍的高二三，然后边 b 等于二，让我们求三 b， 在 这里面只要是逗号之前啊，有一对出现，这是一对 a 是 吧，另一对 b， 像这种形式的话，我们就用正弦定例。 那直接套用公式啊， a 比三 a 等于 b 比三 b， 那 就是 a 是 三倍的根号三比上三引 a， 也就是三引三十度啊，等于 b 比三， b 是 二，比上我们的 三引 b 的 值就可以了。好，那接着再算，三引三十度是等于二分之一，就是三倍的根号三比上二分之一 等于二比上三亿币，在这里面很多同学不会算了啊，那在这个预算的话，大家可以用十字相乘法啊，就十字相乘相等于就是二分之一乘以二啊，二分之一乘以我们三亿币的啊， 十字相乘相等，所以二分之一乘以二，他等于我们的一一等于三倍的根号三亿币，所以那三亿币三亿币应该等于 一比上三倍的根号三，对不对啊？他乘以他等于他，所以是一比上三倍根号三。在这里面要进行简单化简，就是分母不能出现根号，要上下同乘根号三啊，上下同乘，根号三代表乘一大小不变， 所以变成了根号三乘二，三等于三，三乘三等于九，所以分母是九啊，也就是九分之根号三，所以这道题我们选的是 a 选项。

已经二月份了，我们开始押题，三角函数没有不重要的，三角函数最值是三角函数最常考的题， 包括怎么考，我们来看一下。第一题给的是 f x 等于三倍的三，二 x 加一，问他的最大值，我们先不看一，先看前面的三角函数，我们把它看成 a 倍的三 x 或二 x， 这个无所谓，不理会。后边也可以不看，我们只看 a， a 的 绝对值 就是他的最大值，那负 a 的 绝对值就是他最小值。这道题前面是三，那么最大值就是三，最小值就是负三，那再加上后边的一呢？ 最大值加一等于四，最小值加一等于负二，那这道题最大值，那么就选择 a。 第二种类型的，给你一个根号三倍的 cos 二 x， 加上三倍的 cos 二 x， 问最大值问题，他给了你两个三角函数，同样的，我们要去找这个 a 值，怎么找？这个是根号三，这个三，那么 a 就 等于 根号下根号三个平方，加上三个平方，也就是三加九等于二倍根号三，这就是最大值，那最小值呢？负二倍根号三，也就是我们说的负 a 这道题问的最大值，那么选择 a。

单招倒计时了，今天咱们复习一下，求圆上一点的切线方程，到现在你是不是还不会呀？抓紧看， 直接就秒。首先这个点一定在这个圆上啊，然后我们先把这个圆的标准方程给它改个变一下形。我们的 x 平方啊，其实就是 x 乘 x， 把它放下来啊， x 乘 x 加上同名 y 平方，写成 y 乘 y， 然后等于十三，移向移过来减十三等于零。然后注意啊，这个点 x 是 不等于三呢？ y 是 不是等于二呢？来往下面带啊，带一个你的这两个 x 呀，你带一个啊，三， x 加 y 等于二，也带一个二， y 减十三等于零。搞定，这就是答案，你听懂了吗？我相信你，你不会了啊，这个填什么，自己做一做。

哈喽，大家好，我是韩晨大招张老师。今天我们通过三道题来学习一下三引扣三和 tan 的 这三个公式。首先我们来看第一题， 第一题说是角 a， 然后经过点五，逗号十二，让我们求三引 f， 三引 f 是 y 比 r 对 不对？那 y 是 我们的十二，也就是十二比上 r， 在 这里面我们看 abcd 四个选项， 分子为十二的只有 c， 是 不是？所以我们直接选 c 就 行了。那如果我们要想求 r 的 话，应该怎么求？ x 平方加外方等于 r 方，也就是五的平方加十二的平方应该等于十三的平方，所以我们选 c 选项。 好，接下来看第二题。第二题的话是点 p 是 三，多块负四，让我们求的是 cosine， cosine 应该是 x 比上 r， 也就是我们的三比上 r 啊，那分子带三的应该是 a 和 b 的 选项啊， c 和 d 的 分子都是四，对不对？所以我们应该是 a 和 b， 在 a 和 b 里面，我们的 r 永远要为正数，所以我们的选是二号 b 选项，那依然是 r， 怎么求？应该是三的平方加上负四的平方等于五的平方，所以 r 是 五啊，所以我们选是二号 b 选项。好，那接下来看第三题，第三题里面他说 r， f 是 在第三项线，让我们求碳 r f， 碳在第一项线和第三项线都为正，这个大家要知道，所以首先它的结果一定为正，所以 c 和 d 不 对，在 a 和 b 里面选。 然后 cosine 是 x 比上 r， tan 是 y 比上 x， 所以 我们知道 x 应该是等于三，是不是？所以应该是分为三，三分之 y， 在 这里面分母为三的有 a 选项是正确的，所以我们选的是 a。

hello， 大家好，我是汉辰单招张老师。今天我们通过两道题来学习一下基础运算的问题。 第一题，让我们化减啊，化减这个式子，在这个里面我们要说一下那向量的运算里面，如果是加法的话， a b 加上 b c 啊，像这样的问题，加号中间是一样的，那就可以消失等于 a c。 如果是减法的话，比如说 a b 减去 c b 啊，减去一个向量，等于加上它的相反向量，就等于 a b 加上我们的 bc， 等于我们 a c 啊。大家基础运算理解后，那我们来看第一题。 第一句话是 a c 减去 b d， 这显然不能直接减，那我可以先换一下位置，我可以让 a c 先加上我们的 cd 啊，然后再减去我们的 cd， 然后再减去我们的 ab 啊，我们可以先这样运算 好，在这里面的话， a c 加 cd 是 不是 c c 一 样消失，只剩下我们的 ad 了啊？那 ad 减去我们的 b d， 减一个向量，等于加上它的相反向量，那它的相反向量肯定是 d b 向量了，对不对？所以那就是 a d， 那 就是 a d 加上我们的 d b， 是 不是又一样了，所以等于 ab 了，对不对？ ab 减去 ab 啊，那就没有了，所以等于我们的零向量，所以选是四号 d 选项。 好，接下来看第二题。第二题的话， ab 向量 ac 向量，让我们求 bc 向量，让我们求这个 bc 向量的话，要么是加法啊，要么是减法，那我加法，先看一下能不能加 ab 加上 ac 能加吗？ 加号两段数不一样呀，所以不能加啊，所以不能加法，那只能用减法。那如果确定是用减法的话，那我就来看后字母是 c， 前字母的时候是 c 减 b 就 等于我们的 bc 啊。 c 减 b， 那 c 减 b 谁带 c， 那 就是 a， c 带 c， 对 不对啊？ a c 在 c 的 话，那就是 a c 减去 ab 就 可以了。 a c 是 二逗号负一，二逗号负一，然后减去我们的一逗号三，它减它等于一负一减三等于我们的负四，所以是一逗号负四，所以我们选的是 c 选项。

零基础学会单招数学。看这个第一题啊，就是前两天这个联考这个题。第一题，这个比较简单，两个即可，对不对？两个即可。求并集，首先这个符号是并集，对吧？并集就把所有的元素都写出来，负一零一二，选哪个？选四 d， 这个比较简单啊，四分到手。 关键是第二个啊，第二个可能有些都没做，做这样题做的少。记住这个呗，让求这个，这个命题是这个屁，这是这个命题，然后让求他的否命题也可以用这个表示啊。这个这一个这个一个这样的， 一个一个跟他七差不多，可以用这个表示啊，他否定命题什么呢？就改两个东西啊。第一个把这符号改喽， 这个可以看到 a 倒写的 a 啊，把这 a 改成 e， 所以 a 不 对， c 不 对，改成 e 啊，要么选 b， 要么选 d， 对 吧？这是 e， 是 吧？然后呢？后边呢？ x 平方大于等于零，改成 x 平方小于零就行了。 小岭，所以，所以选四 d， 这没变，对不对就行了。这个这是 x 数牙，这个不动。这个 x 数牙呗，是定义，它是定义域，这是条件，相当于这个不动。也就是以后再遇到这种命题了，对吧？这种什么全程量子，什么存在量子这种命题了，对吧？否，让求他的否定量子。 就两步，第一步改前面这个符号，第二步改后边这个这个这个这个符号就行了。四分到手，你记住这两个就行了。就啊， 这前面是 a， 对 吧？倒倒着 a， 那 么否定名词就改成 e， 后边是大于零，大于等于零后改就改，否定名词就改成小于零，就这种四分到手啊。把这个记记重点，把这个记记，听懂的点个赞。

哈喽，大家好，我是汉晨单招张老师，今天我们来讲一道立体几何部分的三棱锥的体积公式。首先题目告诉我，让我们求的是三棱锥的体积啊，首先我们要确定是锥体，那锥体的体积公式，它应该等于三分之一的 s h， s 代表是我们的底面的面积，也就我们的底面积 啊，那 h 代表是我们的高啊。在这里面我们先来看先找它的底面，所以底面是个三角形吧，是不是这是我们的底面啊，是个三角形，那三角形的面积应该就是底乘高除以二啊，就是它是底 啊，谁是高？ dc 是 高啊，底乘高除以二，这是一个以 ab 等于一的一个边方体，对不对？正方体的边长都一样，所以它的边应该都是一， 所以它这个三角形应该是二分之一。乘一乘一，对不对？二分之一乘一乘一，所以应该等于我们的二分之一啊，这是我们的底面积为二分之一，也就是三分之一。乘二分之一再乘以高 高，也就是从 a 一 向底面做垂线啊，这个垂线就是高线，对不对？所以 a 一 也等于我们的一啊，正方体的每个边上都为一，所以它也是一乘以一，所以最终结果等于六分之一，也就是它的体积是我们的六分之一。选 c 选项。

安装数学每日一题，今天我们来讲抛物线的题型，看谁为一次交，交点就在哪个轴上，交点与准线互为相反数。抛物线标准方程是什么？是不是 x 方等于二 p y， 此时它的焦点坐标在外轴上， y 方等于二 p x， 此时它的焦点坐标在 x 轴上。接下来我们看题，抛物线 x 方等于八 y， 则抛物线的焦点坐标为焦点坐标怎么表示？是不是二分之 p 啊？对不对？那这个什么是不就是二 p 等于八， p 等于四？那焦点坐标又因为 谁为一次焦点在哪个轴上？此时的焦点是不是在外轴上呀？对不对？那就是零二分之屁屁等于四，那焦点坐标是多少？焦点坐标是不是二 b 啊？零二，那正确答案选什么？这答案是不是选二 b？ 那 接下来我们看焦点与准线互为相反数，此时它的焦点是 零二，那它的准线是多少？又因为在外轴上，那它的准线是不是 y 就 等于负二啊？你学会了吗？

今天我们通过两道题来学习一下三角函数里面辅助角公式的一个计算。首先我们来看第一题，第一题让我们求的是 f x 等于四 x 加三倍的 cos x 的 最大值，在这个里面呢，最大值我们要用到的是这个公式，辅助小公式啊，在这里面呢，最大值应该就是这个位置的数，正数是它的最大值，负数是它的最小值， 所以此时的最大值它们公式应该等于根号下四的平方加上三的平方等于根号二十五，所以的结果应该等于五，所以我们选的是五。 来看第二题。第二题是 y 等于二倍的 since cosine x， 减去二倍的 cosine x 最大值，在这个里面，我们首先要把这一步看懂，这个是谁啊？这个是二倍的 cosine x 乘 cosine x， 它是我们的 cosine 阿尔法的公式啊，也就是我们 cosine 二 x 的 公式，对不对？ 所以呢，那就是 sine 二 x， 然后减去二倍的 cosine 二 x， 那 此时它的最大值应该就是根号下，它前面没有数，说明是一，也就是根号下一的平方加上负二的平方，所以它应该等于根号五啊，所以我们选的是二 b， 最大值为根号五，你学会了吗？做完这套押题卷，单高至少多提二十分，现在买押题卷还能赶上低分的末班车。

hello， 大家好，我是汉辰大招张老师。今天我们通过两道题来学习一下指数对数比较大小问题。首先来看第一题， a 等于零点三的平方， b 等于零点三的一五次方， c 等于二的零点三次方。在这个里面，我们要同底之间先进行比较。 零点三啊，这是我们一个单调递减的趋势吧，当 a 是 在零到一之间的时候，它是单调递减，当 a 大 于一的时候，它是单调递增，所以这个里面零点三和零点三之间是单调递减。单调递减应该是数越小越大，所以应该是 b 大 于。 在这里面呢，我再大再大概预估一下那 b 的 大小范围。啊，那零点三的零次方是等于一的啊， a 的 零次方是等于一，对不对？所以在这里面零点三的一点五次方，他应该是小于一的吧？ 啊，应该是越小越大，越小越大，所以应该是小于一。那我知道 b 是 小于一的。接下来看 c， c 的 话是二的零点三，那二的零四方是等于一的，它是单调递增的趋势，所以是零点三大于零，所以应该是大于一。 c 是 大于一的，所以 c 最大，所以 c 大 于 b 大 于 a， 所以 我们选的是 c 选项。好，那接下来看第二题。第二题是有指数也有对数的问题。首先来看一下第一个 log 以二为底的三分之一，在这个里面没有办法计算的时候，那我就和它的 b 过点进行计算。啊，那 b 过点应该是 log 以二为的一等于零的问题，对不对？那以二为底，同样它是单调递增的趋势，单调递增应该是数越大越大， 那这是三分之一，这个是一，那它三分之一肯定是小于一的，所以它一个结果应该是小于零，所以 a 的 结果是小于零的。 那接下来看 b 选项二分之一的一，二分之一的一应该是等于零，对不对啊？ log 也为底的一等于零啊。那 c 选项 c 选项的话，它是三的二分之一次方应该是等于我们的根号三，对不对？根号三应该是大于一的吧？根号三是大于一的，对不对？所以在这里面我们最大的应该是 c， 然后是 b， 然后是 a， 所以 是 c 大 于 b 大 于 a， 所以 我们选的是 a 选项。

零基础学会大众数学第十题，直线 x 为三分之八的七点九，等于多少？这个三分之八呢？它是一个数啊，三点一四， pi 是 三点一四，对不对？除以三 是一点零几，也就是说他这个大概图像是这样的，这是 x， 等于这一条直线切角呢，就是这条直线与 x 的 正半轴的夹角，就这很明显，九十度，九十度，弧度呢，就是二，就是用用弧度角表示，就是二分之派，四分到手。 有的同学一看 x 三分之派切角，三分之派弧，对的啊，一定要注意在这个里边，三分之派是个是，就是一个顺，对吧？直线这里面是顺，能混了吗？

哈喽，大家好，我是汉辰丹照张老师，今天我们通过两道题来学习一下弧长和扇形面积的公式。首先我们来看第一题， 第一题告诉我圆心角为六十度，半径为二，让我们求圆弧的长度，那这个里面就让我们求弧长，弧长的公式，这个是我们的弧长公式， l 代表是弧长，那 f 的 绝对值啊，代表是我们的圆心角啊，代表圆心角，那这个 r 代表是半径， 所以它的半径是二，也就是 r 应该等于二，那这个圆心角我们要知道要给他转成弧度值啊，必须转成弧度值，所以它应该等于六十度，应该变成三分之派，对不对？所以那 l 应该它等于三分之派，乘以二，所以等于三分之二派，所以我们选的是二号 b 选项。 好，来看第二题，第二题让我们求扇形的面积啊，扇形的面积是这两个公式，一个 s 等于二分之一 l， r， 一个是 s 等于二分之一 f 乘以 r 方啊，那来看这个 已知扇形的半径为四，也就是 r 等于四，然后圆心角等于三十度，也就是 f 等于三十度，那 f 的 绝对值，也就是它的转成弧度至应该变成六分之派，那让我们求扇形的面积，在这里面它给的是 r 和 f 绝对值，所以我们要用这个公式，对不对？ 所以 s 应该等于二分之一，乘以六分之派，然后再乘以四的平方，所以它等于二分之一，乘以六分之派，然后再乘以 十六进行化简。二分之一乘以十六，等于八，也就是八乘六分之派，所以等于六分之八派，然后进行约分，所以应该等于三分之四派，所以我们选的是四号 d 选项。

判断题，第一题第一题说 x 小 于等于一，现在问你则零，它在这个集合里边，但是零是一个什么呀？零是一个 元素，然后 a 是 一个集合。元素和集合只有两种关系，叫做属于和不属于，属于和不属于，所以它现在用的是这个符号不行吧？挺好做的。太太好了， 这个包含的符号不行，所以第一题直接错。然后第二题关于圆点对称，关于圆点的对称的话，横纵坐标都要改变关于圆点对称，横纵坐标都要改变。由负二变成二，由三变成负三，所以第二题正确。 第三题第三题就一个公式，叫做 log 以 a 为底， a 的 对数等于一， log 以 a 为底， a 的 对数等于一，所以他现在说 log 以二为底，二的对数，那应该是一，所以第三题错， 第三题错。然后第四题第四题说如果阿尔法加贝塔等于派，那阿尔法加贝塔，如果是派的话，那阿尔法就可以看都是派减贝塔， 这点能理解吗？阿尔法就等于派减贝塔，所以他现在说塞阿尔法等于塞贝塔，你去想 阿尔法就等于塞贝塔，那那塞阿尔法就是塞派减贝塔，对吧？塞阿尔法就等于塞派减贝塔。 然后又根据诱导公式，如果贝塔在第一项线派减贝塔，然后又根据诱导公式，如果贝塔在第二项线， 第一项线的塞盈是正的，第二项线的塞盈也是正的，所以塞眼阿尔法就是塞派减贝塔，它就等于塞贝塔，它们之间是相等关系，所以第四题正确。 第四题正确。第五题第五题说等差竖列 a n 的 通项公式， a n 等于二， n 减一，然后问你 d 是 不是二？ 正题最好做了，你不用去推算 d 是 谁，你就直接去带 a 一 是谁啊？把一带进去，二减一是一，然后你再去带 a 二二二得四，四减一是三，那一到三是不是差二啊？是，所以它的公差就是二，就是二。 然后第六题第六题说向量 a 平行于向量 b， 如果两个向量平行，说明什么呀？说明 x 一 y 等于 x 二 y 一 x 一 y 二等于 x 二 y， 所以 直接去带 x 一 y 二一乘负一是负一等于 x 二 y 三三得九，相等吗？不相等啊，所以负一不等于九，那它俩之间就不是平行。第六题错，一定要记住啊，如果两个 如果两个向量平行，说明的就是 x 一 y 二等于 x 二 y 二 y 一。 然后第七题第七题说，若两条直线的斜率都存在，你看啊，人家都已经说好前提了，前提是斜率都存在， 然后分别是 k 一 k 二线说，那么则且这两条直线垂直，则 x 一 乘以 x 二等于一。妈呀，它虽然前提说的特别好，但是如果两条直线垂直，斜率相乘，应该等于谁啊？ 是不是等于负一啊？所以 k 一 乘 k 二，应该等于的是负一。第七题错了， 第七题错。然后第八题第八题说，若两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线一定是一面直线，那我们还是和昨天晚上一样，我们只要看到这种平面直线，我们就去画一个正方体， 画完这个正方体，有，他说这两个平面平行，那假设上边平面和底下这个平面是不是就是平行关系啊？但是上边这个平面里的这条直线，他和底下这个平面里的这条直线也是平行关系吧？他先说这两条直线一定是一面直线，错， 错，有可能平行，有可能平行。所以第八题错。第九题说小明想把数学、语文、英语这三本书随意放置在书架上，随意放置在书架上的话，他就得干嘛？他就得排顺序了吧？ 他就得排顺序。所以现在我们三本书三个位置，我们要去给他排顺序的话，就是 a， 三三排序。一定要记住啊，一看到这种排，有了只要排这种字，就需要排列顺序的，这种，我们直接就用 a。 所以现在三本书三个位置，那就是 a 三三就是 a 三三， a 三三，它就等于三乘二乘一，所以它等于谁啊？它就等于六。第九题正确 第九题正确。第十题，爱的二零二三四方爱的二零二三四方。那你首先你得知道爱的平方是谁？爱的平方是负一， 爱的平方是负一，所以爱的二零二三次方，它就相当于是爱的二零二二次方，再乘个爱吧。 啊， 它就相当于是爱的二零二二次方乘了个爱，那爱的二零二二次方是不是就可以看作是爱的？嗯，怎么说呢？ i 的 二次方，然后再幺零幺幺次方，再乘个 i， i 的 平方就是负一，负一的幺零幺幺次方乘个 i， 负一的幺零幺幺次方， 负一的几次方还是负一吧。所以负一乘以 i， 它就是负 i， 那 它现在说等于正的 i 错了。第十题，错， ok， 这十道判断题能理解吗？ 可以， ok， 那 咱们接下来就选择题了啊，这几道这套卷子应该是难度不大，所以，所以我给学校的学生都是每天让他们建议一套卷子，因为这个难度真的很小。基本上，如果 你刷这套卷子的时间，我希望你控制在三十到四十分钟，有的可以更快，但是不能光快。你们做题的时候一定要认真，一定要认真，这种简单的卷子 更不能出错来。接下来选择题。选择题第一题， x 方减 x 等于零，那这是一个一元二次方程，一元二次方程。所以第一步我先把 x 提出来， 把 x 提出来，就剩下了 x， x 乘以 x 减一等于零，两个未知数相乘得零的话， 他们其中一个值就是零，所以第一种 x 等于零。第二种 x 减一等于零，如果 x 减一等于零， x 等于一。所以集合 a 里边包含了两个元素，分别是零和一， 然后集合 b 里边包含了三个元素，零一二。现在问你，集合 a 和集合 b 相交，它们的交集交集找重复，它们重复的是谁啊？重复的就是零和一。所以第一题选择二 b， 第一题选择二 b， 然后第二题，嗯，我怕看不见，我用红色的 b 吧。第二题，第二题说 x 等于负二，是 x 方等于四的什么条件？还是那句话， 小范围能推大范围，所以 x 方它的平方如果是四的话，它就有可能是谁啊？它就有可能是正负二。 负二可以推出来，他是正负二，但是正负二不一定，他就一定，就，如果他是正负二的话，他不一定只是负二，对吧？他有可能是正二呢？所以说小范围能推，大范围 前能推后，但是后不能推前，这叫做充分不必要条件。第二题选择 a 选项，第三题又是一道排序题， 又是一道排序题。但是这道好像也挺简单的来， a， a 是 log 以四为底二的对数， b 是 log 以二为底五的对数， c 是 九的二分之一次方，那 c 最好做了。 c 九的二分之一次方就是根号九，根号九就是三，所以 c 直接就是三。然后 b b 是 log 以二为底五的对数的话，那他和让他和谁比啊？ log 以二为底五的对数和 log 以二为底八的对数以及 log 以二为底 二的对数，这三个去比，由于底数是二，二大于一，单调递增，所以二小于五小于八，那么 log 以二为底，二的对数就小于 log。 我 不念了啊，再念给我嘴就绕住了。 就是它们是依次递减的关系。所以现在 log 以二为底，二的对数就是谁呀？它就是一，然后 log 以二为底八的对数是谁呀？它就是三，所以 b 在 一到三之间，然后 c 就是 三。那就说明了 b 小 于 c， a b 小 于 c， 我 把谁擦掉了呀？不知道哦，二大于以大小写，然后四。 首先第一点我知道了， b 小 于 c， 然后又因为 a 是 log 以四为底二的对数，那 log 以四为底二的对数，它和 log 以四为底四的对数。由于底数是四，四大于一，单调递增， 单调递增的话， log 以四为底二的对数就小于 log 以四为底四的对数， log 以四为底四的对数，它也是一，所以 a 是 小于一的， a 小 于一， b 在 一到三之间， c 就是 三，所以谁最大呀？是不是 c 最大呀？ 你看啊， c 就是 三，所以 c 最大， c 最大，排出了 a c， 然后第二个 b， b 在 一到三之间，所以 c 大 于 b 大 于 a， 选择二 b 选项。 第三题选择二 b 选项。然后第四题、第四题就一句话，叫做大于取两边， 大于取两边，所以我先去计算，三 x 减二取两边，它就是大于一，或者是三 x 减二小于负一。 如果三 x 减二大于一的话，三 x 大 于三 x 大 于一。如果三 x 二小于负一的话，三 x 小 于负二负一加二，负一加二是一，所以 x 就 小于 三分之一，比三分之一要小，比一要大。所以选择 c 选项，选择 c 选项。第四题，然后第五题、 第五题他说，他说这个一元二次方程有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，那说明什么问题啊？ 如果是两个相等的实数根，那是不是说明了嘚它等于零啊？一定要看清楚这相等的实数根，说明嘚它等于零，那嘚它是谁啊？嘚它是 b 方减四 a c， 所以 它就等于 b 是 负二 a 负二 a 的 平方就是四 a 方， c 方减去四乘以 a， 四 a 乘以 c 是 c 是 四， 所以它就等于四 a 方减十六 a 等于零，因为嘚它是零。然后到这以后来提供音式，都有谁啊？都有四 a， 我 就把四 a 提出来， 那这提个四 a 省个 a， 这提个四 a 省个四，所以四 a 乘以 a 减四等于零。两个未知数相乘得零的话，其中一个值它就是零， 哎，其中一个值它就是零，所以，所以四 a 等于零，或者是 a 减四等于零。如果四 a 等于零， a 就是 零。如果 a 减四等于零， a 就是 四。但是做到这以后，你可能立马就选择了好这道题选 c， 但是 前提这道题他给了你个前提叫做什么？一元二次方程。如果是一元二次方程的话， a 还能是零吗？不能，一元二次方程前提 a 不 等于零， a 不 等于零。 所以这道题选择二 b。 你 一定要记住啊，一元二次方程里边 a 不 能为零。 然后这是第五题、第六题。第六题说与函数 y 等于三的 x 次方，关于 y 轴对称的函数 y 等于三的 x 次方，这是一个什么函数啊？ 才考七十五，现在学还来得及吗？嗯，来得及啊，当然你肯定现在你就把，你就把你现在做的每一道题都当做单招真题来做，因为单招的真题 对，学就来得及。对，这是又是一个指数函数，你把每一道题当做一个单招真题来做，因为他其实单招的题不跟高考的题一样，单招的题他没有新，他很少有新题，每年可能有一到两道的新题，其他的都是做过的题，都是做过的题。 所以你现在可以干啥？可以多刷卷，刷套卷来。第六题，它是一个指数函数，指数函数，现在首先指数函数必过什么点？必过零 零一点吧。然后现在底数是三，三大于一，单调递增，所以他是这样的一个图像，如果关于 y 轴对称的话，他也得过零一点，然后单调递减，如果单调递减，说明底数怎么样？底数 a 得小于一。但其实， 其实你们老师在讲指数函数的时候一定会给你讲过什么呀？一定会给你讲过 y， y 等于 a 的 x 次方和 y 等于 a 分 之一的 x 次方。关于 x， 关于 y 轴对称，所以 y 等于三的 x 次方和谁？关于 y 轴对称啊？和 y 等于三分之一 x 的 y 等于三分之一 x 次方。关于 y 轴对称就是这个东西。你们在讲指数函数的时候，老师一定是讲过这个内容的。 好，这是第六题。然后第七题。第七题说下列函数中既是奇函数，又是增函数，要满足两点要求了，一点是奇函数，一点是增函数。那么首先来看 a 选项， a 选项它是一个一次函数，一次函数，现在 k 小 于零，单调递减，所以 a 选项排除。 b 选项 b 选项是一个反比例函数，反比例函数它没有单调性，它没有单调性，所以直接排除。 然后 c 选项 c 选项是一个二次函数，二次函数 b 等于零，它关于 y 轴对称，就是它是一个偶函数，所以 c 选项直接排除 d 选项。现在一次函数一次函数 k 是 二大于零，单调递增， b 等于零，所以它是一个奇函数，它现在又是增又是积又是增又是积，所以这道题选择四 d。 呃，不要叫我的名字， 再叫我名我就把你踢出去，可恶。 好，这是第七题。然后第八题。第八题说二次函数的顶点坐标是负三一， 负三一，问你 a、 b 的 值，顶点坐标是负三一，顶点坐标有啥用啊？顶点顶点坐标公式呗，对吧？直接带公式。顶点坐标公式横坐标就是负的二 a 分 之 b， 纵坐标就是四， a 分 之 c， a c 减 b 方， 所以他现在告诉你了，顶点坐标是负三一，那你就把负的二 a 分 之 b 就 等于负三，然后负的二 a 分 之 b， 所以 负的 a 是 一，那就是二分之 b 是 a， 负的二分之 a 等于负三，所以负负消了， 三就是二分之 a， a 就 等于谁呀？ a 就是 六， a 是 六的话，这个函数二次函数解析时就变成了 y 等于 x 方加六， x 加 b， 然后到这以后，你说我再去带 c 分 之 c 减去 b 方等于一，带这个吗？不建议你去带，带谁呀？他既然告诉你了负三一经过 是他的顶点坐标，就说明了这个函数是不是经过了负三一这个点啊。所以现在你不如直接去把这个负三一这个点给他带入以后，就能得到 来九负三的平方是九，减去三六十八加 b 等于一，所以就是负九加 b 等于一， b 就 等于十。 好，现在 a 是 六， b 是 十。选择 c 选项第八题选择 c 选项 第十。第九题第九题说函数 log 以 a 为底， x 的 对数 f 四是二， f 四是二，你就把四带进去 log 以 a 为底，四的对数等于二， 那就说明了 a 的 平方是四，那 a 就是 二， a 是 二。以后先问你 f 八把八带进去就是 log 以二为底，八的对数，那就是三。所以第九题选择 c 选项，第九题选择 c 选项。 然后第十题十题说 x 大 于零， y 大 于零，问你下列各式中正确的？是 哦，现在又考到了你对数函数的运算吧。对数函数，对数的基本运算对数的基本运算就三个公式，第一个公式， log 以 a、 v， d， m 的 对数，加上 log 以 a、 v、 d， n 的 对数，它就等于 log 以 a、 v、 d， m 乘以 n 的 对数， 这是第一个。然后第二个，第二个 log 以 a 为底， m 的 对数减去 log 以 a 为底， n 的 对数，外减内除， 它就等于 log 以 a 为底， m 除以 n 的 对数。然后第三个最后一个就是 log， 以 a 的 m 次方为底， b 的 n 次方，它就等于 m 分 之 n 倍的 log 以 a 为底， b 的 对数。 这三个公式一定要背过，背过对数的基本运算，这就考这三。所以现在外加内除，现在内加内怎么 没有用？然后外加内除，别错，外加内不是外加内，除了外加内乘，所以外加内乘。所以第十题选择 c 选项， 第十题选择 c 选项第十然后第十一题十一题这儿也是用到了 cosine 的 公式 第十一题这儿用到了 cosine 的 公式，哪个公式啊？ cosine 阿尔法减贝塔，它就等于 cosine 阿尔法 cosine 贝塔外减不是里边，如果是减的话，外边就是加，加上 sine 阿尔法 sine 贝塔。所以， 所以现在扣扣加散散，扣扣加散散，它就等于 cos 阿尔法减，对吧？如果外边是加，里边就是减了，减去被它被，它就是 y， 所以 cos x 加 y 减 y， y 消掉了，只剩下了 cos x。 第十一题选择二 b ok， 这这几道题有问题吗？ 哎， 有，有问题吗？ 十一题不是减吗？对呀，是减呀，我这儿不是减吗？ 你看十一题的阿尔法，阿尔法指的是 x 加 y 吧，不是加吗？ 啊？啊，不是呀，当然不是啊。塞尔法加贝塔，它里边是加，外边是加，但是 cos 这里边是加，外边是减，里边是减，外边是加， 不是加啊，一定要去背清楚公式。 cos 阿尔法减贝塔，它就等于 coco 加散散，所以里边是减，外边是加的话，里边就是减。 ok， 好， 那我们就过了啊，接下来选择题第十二题 第十二题问你函数的最小正周期。首先，首先函数 y 等于二倍的三 x 扣三 x 的 话，它就是谁啊？ 根据根据二倍角公式， sine 二 r 法等于二倍的 sine r 法 cos 而法，所以二倍的 sine x cos x 就是 sine 二 x 吧。 sine 二 x 的 话，它的最小正周期。 这种题是不是必须得会做啊？这种题常考常考，所以这种题不能出错啊。最小正周期 t 就 等于三的原始正周期就是二派，二派除以 omega， omega 指的就是 x 前的系数，它就是二， 所以二派除以二就是派。第十二题，选择 c 选项十二题，选择 c 选项 然后第十三题，十三题咱们之前讲过了，如果题中现在给了你几个边，给了你仨边，仨边就用什么呀，就用余弦，就用余弦，所以现在问你角 b， 我 直接去带余弦。公式， cosby cosby 是 这儿有 b 了，所以就是二 a c 通过你的连麦。这还能连麦啊， 互动吗？ ai 嘉宾在哪啊？不好意思啊，我没玩过这么高级的东西，怎么连麦啊？ 应该不是这邀请连线 单招离了。嗯，我不会， 你在哪申请的呀？ 不好意思啊。 呃，这个娱乐个鱼，谢谢你啊。设置里边哪有设置啊？ 直播管理， 找个公平设置。高冷男神。哦，不好意思啊 不行不好意思啊，我同意不了你，因为我。嗯，我还有点那啥，等等我研究研究啊，新手主播。 嗯，来先讲题啊， cosby 它就等于二 a c 二 a c 分 之 cosby 等于二 a c 二 a c 分 之 a 方加 c 方减 b 方，没背错吧，所以直接代公式啊。 cosby 等于二 a 三分之 a 方加 c 方减 b 方呢？就是二乘 a 是， 妈呀，画的我都看不见了。 a 是 三， c 十二，然后分之二的平方四，三的平方九减去 b 的 平方七，所以二三得六二六十二分之四加九十三点六二分之一 cosine， b 是 二分之一。 哎，这个怎么知道的呀， 不要不要暴露我老底儿。 cosine 如果是二分之一的话，嗯，那角 b 是 多少度啊？ 六十六十就是三分之派，所以十三题选 a， 我 没背错吧。然后十四题， 十四题说在直角等腰直角三角形里边等腰，直角三角形。那画画呗，画的不对 重新再画。等腰直角号，这是直角啊，然后其直角边长，那这是二分之根号，这也是二分之根号，因为他是等腰的呀。 然后先问你三角形的面积，妈呀，这种题太好做了吧。这个三角形的面积 s 三角形等于二分之一，他既然是直角三角形，把他看作是底，把他看作是高， 所以二分之一底乘高，底是二分二倍的根号二，高也是二倍的根号二，所以这儿一约没了。根号乘根号是二，二二得四，所以选二 b。 十四题选择二 b。 然后十五题，十五题和看到等比中项，一定要记住等比中项，这它就等于正负根号下 a 乘 b， a 指的就是第一个， b 指的就是 第三个，所以二八十六就是正负。根号是十六的话就是正负四，所以选择 c 选项。十五题选 c。 十六题，哎呀，来来回回感觉就这几道题。十六题又问你两个向量的夹角，两个向量的夹角 cos 塞它，它就等于谁啊？它就等于向量 a 乘以向量 b 除以向量 a 的 模，乘以向量 b 的 模吧。 现在告诉你了，向量 a 乘以向量 b， 就是 四倍的根号二，比上向量 a 的 模式二，向量 b 的 模式四，随 c 和 c 一 约等于二分之根号二。 cosine theta 是 二分之根号二，那 c 它就是四十五度随式。六 t 选 c， 十六题选 c， 然后十七题十七题说两个向量，告诉你了，说向量平行，两个向量平行，说明什么呀？说明 x 一 y 等于 x 二 y 一 乘公式啊，要背过啊。两个向量平行，说明了 x 一 y 二等于 x 二 y 一， 所以， 所以直接代数啊。六乘 m 就是 六 m 六 m 等于三，三得九，妈呀，那 m 等于六分之九，六分之九约个三就是二分之三，所以选择 c 选项， 十七题选 c， 然后十八题十八题说线段 m n 的 中点，那假设这儿是 m， 这儿是 n， 然后中点是 p， 中点是 p， 是 负二八，然后 m 的 坐标是负七 三，问你 n 的 中点，那根据中点坐标公式，中点坐标公式就是负，不是负了，是二分之 x， 一 加 x 二，逗号二分之 y， 一 加 y 二，对吧？所以负七加几除以二等于负二啊， 除以二等于负二的话，那负七加几等于负四啊，是不是加三呀？横坐标是三， 然后总坐标三加上一个数，除个二等于八，那三加上一个数等于二八十六，那这个数就等于十六，减三是十三，所以三十三选择 a 选项，十八题选择 a 选项， 然后十九题，十九题问你倾斜角 y 加根号三等于零，是不是？咱们昨天刚讲过啊， y 加根号三等于零的话， y 就 等于负的根号三。如果是 y 等于 y 零，如果是 y 等于 y 零的这种情况就说明了它和 y 轴 垂直，和 y 轴垂直的话，它就和 x 轴平行，它和 x 轴平行的话，那么它的倾斜角就应该是零度，倾斜角是零度。所以十九题选择 a 选项， 然后二十题，二十题说经过了一负二，且倾斜角十四分之派。好，经过一二，那我就把一二带进去，我就把一二带进去，把一二带进去。一不是一负二，一负二，这就是一加二，然后再加三， 不等于零，他是六了呀。所以 a 选项直接排除，再带第二个，一 负二，一加二，三三减三。哎，二 b 可以 暂选，然后再带 c 选项。一负二不行，都有根号了，根号消不掉啊，然后 c、 d、 d 也不行，所以光带一负二点，你也就能带出来选择二 b， 二十题选择二 b， 但是为什么我选了就我再带了二 b 以后，我发现我还带去继续带 c 和 d 呢？因为它只告诉了你经过一负二，它还告诉了你倾斜角是四分之派。 所以如果这道题你把点带进去以后有两种选择的话， k 等于胎震的二法， k 等于胎震四分之派， k 是 一，所以你还要去带它的斜率。 就是当你当你只带点，能带出来的话，你就只带点，如果当你只带点的话，他带出来有两个答案的话，你就去带下一个内容，下一个内容， 这是第二十题，然后第二十一题问你圆和直线的位置关系。记住，圆和直线的位置关系三种相交相切还是相离呢？ 如果圆和直线相交，那就说明 d 小 于二，如果相切，说明 d 等于二，如果相离，说明 d 大 于二， d 大 于二，所以现在我们要去判断 d 和 r 的 关系。那 d 是 谁呀？ d 是 圆心到直线的距离， r 是 半径，所以首先我们要去找到圆，这个圆的圆心和半径。圆心圆心公式应该没有。不会的吧。 圆心角是负的二分之 d， 逗号负的二分之一，所以负二除负二是一，这个负二再除负二也是一，圆心就是一点，然后半径 r 就 等于二分之根号下地方加一方减四 f 减四 f， 所以 它就等于二分之根号下地方是四，一方是四减四， f 就是 四七二十八加二十八。 妈呀，三十六，三十六开，根号是六，六除以三，所以半径是三，然后圆心一到直线的距离 d 就 等于根号下 a 方加 b 方分之 三，一减一，对吧？一减一没了，再加三，三除以根号二，三除，根号是根号，二分之三乘个根号就是二分之三倍的根号， 这咋判断大小啊？ d 是 二分之三倍的根号， r 是 三，我没算错吧， 怎么能是这么离谱的数啊。然后到这以后我们可以干嘛？两边同时平方，它平方就是四分之二九十八， 然后它平方是九九，可以看作十四九三十六，它小，它随。 d 小 于 r， d 小 于 r， 所以 它们的位置关系是相交。二十一题选 a 能理解吗？这个数算算的差点给我算不自信了。 二十一题还需要再讲一遍吗？我每天六点起床。呵呵呵， 就是，重点是哪，有点不懂。嗯，你看 我算出来 d 不是 二分之二分之三倍的根号二吗？然后 r 是 三， r 是 三，所以二分之三倍的根号二和三如果去比较大小的话怎么样取？四川单招通用吗？通用 通用，咱们单招题就不管哪个省的。可能题型不太一样，比如安徽。安徽他没有判断题，但是，但是内容是差不多的，就是都肯定都考选择题，肯定都考选择题，而且考试的难度大，差不差都是比较基础的， 所以二分之三倍的根号二和三的话，这两个直接去比较大小，你看不出来，那怎么办？两边同时都平方，左侧平方就是四分之九，乘二就是四分之十八， 然后右边平方是九九，可以看都是四分之三十六，所以分母一样了，分母不再管了。十八小于三十六，那四分之十八就小于四分之三十六。想及根容易吗？容易， 单招想及格还还挺简单版的吧，你可以稍微听一下。听一下我现在讲的试卷，你看你会不会。我感觉四川是不是有点难？我想想，我忘了是哪个省了，他考大题 四，四川应该不考吧。我忘是哪个省了。 好，这是二十一题，然后二十二题。呃，我啊你你也不知道啊。我不确定啊，我忘了，反正有一个省确实要考大题，但不一定是四川。 来继续二十二题，二十二题是双曲线的，一个 交点是负零来双曲线的交点给了你两个信息，第一个信息负零是不是在 x 轴啊？第一个告诉你了，交点在 x 轴，交点在 x 轴的话，首先排除了 c 和 d， 因为 c 和 d 的 交点在外轴， 然后第二点信息他又告诉你了， c 是 五， c 是 五，然后十轴长是六，那就说明二 a 等于六， a 就是 三， a 是 三的话， b 就是 四，因为在双曲线这， c 方等于 a 方加 b 方， 所以 b 就是 四，那 a 方是 a 是 三， a 方就是九， b 是 四， b 方就是十六，所以选择 a 选项简单吧。 二十二题来，那接下来十二到二十二有问题吗？ 你们都不知道，前两天我直播的时候，直播间就我跟韩如雪一一对一授课十九题，再讲一下 十九题，昨天你没来吗？ c， 昨天我是不是讲过 如果这条直线，如果这条直线它垂直于 x 轴，每天播多久？每天就是一套卷子，不一定 被我抓到了，哈哈哈，不一定时间长还是短，就是一套卷，我每天讲一套卷。 你看，如果这条直线它垂直于 x 轴，它就叫做 x 等于 x 零。没有大题能发吗？发，我每天都会往群里发。然后如果这条直线它垂直于 y 轴，就叫做 y 等于 y 零。所以， 所以我们现在看的第七套卷子上十九题，他说 y 加根号三等于零，发群里发群里我主页上边有我的群，所以你直接加群就行。 y 加根号三等于零的话， y 就 等于负的根号三，那这是不是就相当于是 y 等于 y 零啊？如果是 y 等于 y 零的话，那么就说明他和 y 轴垂直。和 y 轴垂直，那就说明和 x 轴平行。 和 x 轴重合或平行的直线，它的倾斜角就是零度，就是零度。一定要记住啊，直线的倾斜角，它指的是这条直线和 x 轴正方向的夹角，指的是这个角， 指的是这个角。所以如果这个直线它一旦，它一旦怎么样，它一旦和 x 轴重合，或者是和 x 轴平行的话，那么它的夹角和 x 轴正方向 我划错了，它和 x 轴平行或重合，它有夹角吗？没有夹角，所以这个时候我们就说它的夹角是零度，零度能理解吗？ 怎么没有人问我每天几点直播呀？每天九点直播，左上角可以预约直播哦，虽然不问，我自己说。 李硕康，你做到第七套卷子了吗？你每天在这看，你不能光搁我这偷偷看，然后自己不写来我这进答案啊，你必须白天给我做了， 做了以后晚上来看直播，哪道题不会记着问。来二十三题第八套了。这么牛啊。嗯，不愧是我的学生，把我之前的视频都看一遍啊。之前之前直播你没来 老师会监督人吗？呃，这，那个是我学生不行，会监督吗？会，比如说韩雪，韩如雪哪天要没来我一定会知道的，你们常来的我肯定都认识。 来，二十三题，二十三题告诉了你，正方体 a a， b c d a b c d 轮长十三。你忘了咱咱俩那个酷酷在这待了三天了吗？语数外 thank you。 有 点复习网课充了， 有回放啊，没事的 哎。所以正方体 a b c d a e b c， 它的棱长，如果是三的话，先问你对角线 b， d 一。 妈呀，这太简单了吧。 嗯，那不行，我肯定 pk 不 过你们李老师啊，你们李老师立马就把我踢出去了。 正方体的对角线就一个公式，一定要记住，正。哎呦喂，正方体的对角线哎，他其实这少了一个字，叫做体对角线。体对角线公式就是根号三 乘以 a。 老师压的题准吗？我吗？我这人压的题范围比较广，一定能压中，但是压的题很多， a 是 谁啊？ a 是 三，所以它就是三倍的根号。三，直接选 a， 二十三题直接选 a。 我这个横画的也太长了吧，重新写一下你，你如果之前没有记过的话，一定要把这个记一下啊。正方体的体对角线，它的公式就就是根号三倍的 a， 所以 现在 a 是 三，那就是三倍的根号。三， 选择 a 选项，然后第二十四题，二十四题说将棱长为二的一个正方体木块削成一个体积最大的球，问你该球的体积，你去想削成最大的球的话， 那比如说这个正方体，他上边这个点到下边这个点，他就是这个球的什么呀？就是这个球的直径吧， 所以它的棱长是二，就说明它的直径是二，那半径就是一。半径是一的话，这个球的体积，球的体积 v 就 等于三分之四 pi r 的 三次方 r 是 一，所以它就是三分之四 pi 选择 a 选项， 二十四题也选 a， 然后二十五题，二十五题说某段火车站共有六个车站，六个车站，就比如说 abcdef 这六个车站，然后他现在说需要准备多少种不同的车票？比如说我从 a 上 a 点是我的起点，那我是不是还要再找一个终点啊？所以他不可能在一个地上，再从另外一个地下吧？所以我要先去找起点，再去找终点。起点现在有六个站，他有几种选择？ 起点是不是有六个选择啊？然后终点，咱们刚才说了，你从石家庄站上，你就不可能从石家庄站下， 因为你从这上，再从这下，你坐车干啥？图啥，白跑一趟，对吧？ 所以说你一定得从去掉石家庄剩下的这些站里边下了，比如说你起点选了 a， 你 终点就得从另外五个里边选，所以终点还有五个选择，那他就要准备五六三十个车票选择。而 b， 这是第一种理解方法，我的起点有六种选择，我的终点有五种选择，或者是如果你的排列组合学的比较好的话，就可以直接干嘛 六个车站，起点和终点两个位置，那就是 a， 六二 a， 六二就等于六乘五，等于三十虽小。而 b， 这是二十五题。然后二十六题，二十六题说所有的系数之合，咱们说了啊，系数之合就是让 x 等于一，如果 x 是 一的话，一加一就是二，二的 n 次方等于五百一十二， 二的 n 次方是五百一十二， n 是 几啊？ n 就是 九， n 是 九。他现在问你展开式共有多少项，一定要记住啊，展开式有 n 加一项， 所以 n 是 九的话，那么它的展开式就有十项选择 c 选项，二十六题选择 c 选项。然后二十七题， 二十七题说某人从一副不含大小王扑克牌中任意抽一张，他抽到的是方片或是梅花的概率，这个职高适用吗？适合。 所以 p 就 等于一共五十二张牌，方片有多少张，方片有十三张，梅花有十三张，那就是五十二分之十三加十三，所以就是五十二分之二十六就等于四，四分之二就是二分之一。选择四 d， 二七题，选择四 d。 二十八题说一个数的相反数大于它本身，如果这个数是零，它的相反数是零，所以零不行。 为啥是十三一二三四五六七八九十勾圈 k， 这不是十三张吗？ 你不会没有打过扑克牌吧？ 对啊， a 到 k 啊，我们都 a 到 k， 我 们说的是一二三四五六七八九十勾圈 k， 勾圈 k， 十一，十二十三，所以十三张牌每个花色都是十三张。哎呀，老喜欢打扑克牌了，玩捉黑尖。 嗯，但是我现在更喜欢做题来继续十八二十八题，他说相反数大于它本身，零的相反数就是它本身，所以不大于。 所以现在非负数包含零了，非数非正数也包含零了， c 和 d 直接排除，然后三的相反数是负三，所以正数的相反数小于它本身，只有负三的相反数变成三了，所以大于它本身吧， 所以这个数就是负数。二十八题选 a， 然后二十九题。妈呀，共额负数，咱们说老半天了， z 等于 a 加 b i 的 话，那么 z 的 共额负数就是 a 加 a 减 b i， 对 吧？只不过把这儿换一下，所以一加一减三的共额负数就是一加三直接选四 d。 怎么？嗯，多玩玩。确实啊，我们以前，嗯在宿舍没事干的时候就打打会牌，打会扑克牌。你们现在有手机了，不会玩扑克牌玩的少了吧， 老好玩了。嗯，继续就是。过年都不打牌吗？ 哎呀，那确实，怎么能不会玩扑克牌呢？我跟你讲，扑克牌里边我们这边实行斗地主，斗斗地主总会玩吧，斗地主比较好玩，然后。 哎呀，斗地主你实在不会玩的话，你可以手机上也能斗地主。哎，不是，我上学的时候那个秦皇岛的那边的人教我玩那个捉黑间，老好玩了。捉黑间，但是现在不不会了， 老玩家了，就喜欢玩点这种这种益智的小游戏。 回归正题，妈呀，第三十题啊！ 第三十题， f x 等于 m， 我 今天晚上这视频剪不剪啊？你说我要不剪这视频的话，我给他们讲着讲着题一看，搁这，哼，聊起扑克牌了。 f 撇 x， 你 去想，还是 x 的 n 次方，它的导数就是 n 倍的， x 的 n 减一次方吧。所以 m 乘以 x 的 三次方，它的导数就是三。 m 乘以 x 的 二次方，二的导数常数的导数就是零， 但是还得剪，我不剪了，管他们真不爱剪视频，我就掐个头去个尾，我就发了，这叫什么来着？想要看那种更好的版本，建议来直播间。 然后他现在说 f 撇负一等于三，那就把负一带进去啊。 f 撇负一，它就等于三 m 乘以负一的平方就是一，所以三 m 乘以一就是三 m， 三 m 等于三 m 就是 一，所以选择二 b。 yes， 做完了，怎么样，第七套卷子还有问题吗？ 噔噔噔噔噔噔噔，第七套卷子还有问题吗？唉， 快给我点点关注。不会不会，直播间这么多人，今天晚上没有，还有人没有关注我吧？还有人没有预约我的直播吧？不会还有人没有进我的粉丝群吧？ 没有问题啦，没有问题我就下播喽。

河北单招同学们，今天小黄老师给大家分享的是三角函数相切角的做题口诀。记住这两句话，做题描起来，咱们看口诀，一、全正。二正弦，三正切四余弦。什么意思呢？就是说当角在第一项弦时， 角的正弦值、余弦值、正切值都是正数。当角在第二项弦时，只有正弦值视为正数，其余值都是负数。在第四项弦时，正切值是正数，然后其他值都是负数。 然后呢，再做判断，角是在第几象限的题时，下面这两句话是直观重要的。角用凑角凑正负一百八十度或三百六十度，大角用转圈除以三百六十度找余角 判断余角的位置就知道答案了。来咱们做个题，用一下例题，一、已知角 a 的 三点值是大于零的，贪婪值是小于零的。问，角 a 是 在第几象限？ 当三眼 a 是 大于零，说明这个角是在一象限或者二象限，那么贪婪的 a 小 于零，说明这个角是在第二项线和第四项线，然后呢，这两个取交集，那么结果就是 b 第二项线的。接下来咱们看第二道题，已知角 a 是 第二项线，角为咱们角二分之， a 是 在第几项线？这个题是有两种情况的，第一种情况，当这个角是小于三百六十度的时候，那么它就是落在第二项线。 举个例子，他是一百二十度的话，那他的一半那么就是六十度在第一项线，对吧？如果说他是大角大于三百六十度的话，那比如说转了一圈，然后落在第二项线， 那么他的一半呢？是多少呢？比如说还是一百二十度，那么这个角的角度就是一百二十度，加上三百六十度是四百八十度，他的一半就是二百四十度，对吧？这种情况他就是在第三项线的，所以说这个题答案选第四个。来咱们看例题三 问角，一千九百二十度是在第几向前，这里呢？是大于三百六十度角的，所以说咱们用转圈法，用一千九百二十度除以三百六十度，结果是五余上一百二十度，对吧？然后咱们判断这个余角的位置，一百二十度是 在第二项线的，所以说这道题的答案就是在第二项线，是不是很好用？咱们快整理下来。然后还是老规矩，两道课后题把这个题做一做，然后答案留在评论区，我看大家有没有掌握住。还没有关注我的同学，快点个关注，每天跟我学习一个单招，数学考点，能轻松拿高分。

零基础学会单招数学第十三题，椭圆的离心率咱们知道 e 等于 a 分 之 c 对 吧？咱们倒着推，把 a， 把 c 求出来就行了，就一比就可以了。那 a 怎么求， c 怎么求？先找 a 方，椭圆双曲线啊。突破点就是先找 a 方，在椭圆里边方分母，谁大谁就 a 方，也就它这 a 方是二十五，那么 a 就 等于五，对不对？ b 方就是另一个数， b 方就是十六，在椭圆转 c 方，怎么求呢？椭圆转 c 方等于 a 方减 b 方，所以等于二十五，减十六等于九， c 方等于九，那么 c 等于三，那么 a 分 之 c， a 知道， c 知道，等于五分之三，有没有想 c 想二 b 四分到手。就这个公式啊， 只要找到 a 房了就好说了就突破点就是 a 房，你抽时间认真理解理解这句话啊。做椭圆和双曲线的题，先找 a 房。