南昌一模数学圆锥曲线几何法

本期视频呢，我们来说一下圆锥曲线中扁乘双根法的一个应用。我们大家都知道一元二次函数，它的一般形式呢， f x 等于 a x 平方加 b， x 加 c 啊，然后呢，想要这个方程有根的，我们要 大于等于零半别式，然后呢，就有为它定 s 一 加 s 二就等于负的 a 分 之 b， s 一 乘 s 二就等于 a 分 之 c。 好， 下面呢，我们把这里面的 bc 呢，用 s 一 s 二以 a 来表示，我们代入进来， f x 就 等于 a， s 平方， b 呢等于负的 a 倍的 x 一 加 x 二， x c 等于 c 等于 a 倍的 x 一 乘 x 二。然后我们把 a 提出来，里面的十字相乘硬质分解一下，就出来次减 x 一， x 减 x 二。好，那这个呢，其实就是我们一元二次按入了它的一个双根式，那现在就是它呢，可以胆大，我们就写一下，对 x 平方加 b， x 加 c 呢，它是等于对一倍的 x 减 x 一 乘，以 x 减 x 二。 好，我们再把这个等式呢给它处理一下，把 a 呢给它除过来啊，这里面呢，提两个符号，它提出来，它提出来，我们把它写到左边，就是 x 一 减 x， s 二减 s， 它就等于 a x 平方加 b， x 加 c 除以 a。 好， 那这个关系式呢，就是我们在用点乘双根法的一个原理，那就是它的一个等量关系 啊，我们平常用的时候呢，就是想要算左边这个东西，当然你直接用韦达定律给他算回也是可以，但是比较麻烦， 你冲过右边这个，你就可以算他就是负值。你比如说当 s 等于一的时候，我们看 s 减一 乘以它乘二减一啊，它等于什么？就把带到 a 右边 a 乘一的平方加 b 乘一，加 c 除以 a。 啊，我们可以通过右边这直接把左边的算出来，就不用把左边的伟大定律去带入，这个是大大的速减器的量的事 啊。好，我们再说一下它具体什么场景可以用啊？它呢，就是出现了向量的点乘，就是向量之积啊，其实它跟它这个点乘也是有关系，这个就是在提示我们要用对准双根法，就向量之积以及斜率之积都可以。 好，就是出现什么就出现了，比如 se 减 t， 还有塞尔减 t 啊，那这个东西呢，它就等于什么？嗯，往这上面带，是不是等于 a 倍的 p 方加 b 等于 t 再加 c， 那 属于。好，这是一个 点成双根，它的简化域段的一个原理。好，下面呢，我们通过一次高考真题来按一下，应该第一问啊，它给的是双极愿的定义，但是呢，没有加极对值，那它就是表示的双曲线的右半值， 我们直接写出来，它就是 s 平方减去 y 方除以十六，等于，这个要求右半值大于一的。 好，我们重点看第二问点， t 在 直线上，然后 t 点交 c 与 a b 两点， p q 两点啊，两条线四个点，且 t a 的 模乘以 t b 等于它， t b 乘以 t q， 然后求直线 a b 斜率与 p q 斜率之和。 好，让我们早凸线画一个， 它是双曲线的右半支，然后呢，这个梯点在 s 等于二分之一，这条线上包括梯点有两条线，我们看 这边一条好延长一下，这边有交点，那这个就是 a 点 b 点啊，这个是 t 点哈， t 点 t 点呢？还要跟下面这条也要有交点，交的是 p q， 这是 p， 这是 q。 哦，草图大致是这样子，他问我们直线 ab 与 p q 的 斜率啊，那我们来看一下啊，重点就这个条件 怎么用？它是两个膜， t a 乘 t b 个的膜，然后这个不是向量的膜，是吧？那我们再观察一下 t a t b， 看一下 t a t b， 哦，这是共线的，那它这个就有了。但其实共线的时候，你看哦， t a 向量点成 t b 向量， 但如果是贡献的话，那其实它就是 t a 的 模， tb 的 模。贡献的话，那就是口才有多少度？零度吧，口才零度就等于一啊，那就是相等的。好了，我们知道这个其实就是向量， t a 向量变成 tb， 向量等于 tb 点成 t q。 好，那我们把坐标斜一下，然后这个 t 点它是什么坐标？它是在二十二分之一条直线上啊。外部知道，我们设一个 m 就 可以，然后 a 点呢？你们看一下这 h 一 h 二 y， 然后 b 点就是 x 二， y 二，好，这是 y 一， 好，好，这是 ab 两个点，我们看一下 ta 向量， tb 向量点成 ta 向量等于 c 奈斯一减二分之一， y 一 减 m， tb 等于雷，等于 s 二减二分之一， y 二减 m。 两位点乘 t a 点成 t b 等于 s 一 减二分之一乘以 s 二减二分之一，又加上 y 一 减 m， 乘以 y 二减 m。 好， 我们这这个 y 一 y 二呢，也要用这条直线呢，给它代换一下啊。我们这个 ab 这条直线呢，我们斜率呢，就是 k 一， 是 k 一 的话，那我们这个就是点斜式， y 减 m 就 等于 k 一 倍的 x 减二分之一，那就是 y 等于 k 一， x 减二分之一加 m， 把这个代换到进来，大家能知道什么啊？等于前面的不用管， x 减二分之一，把 x 二减二分之一。好，加上 y 一 减 m， y 一 减 m 的 话， 哦， y 减 m 又减 m 加 m 减 m 呢，就是 k 一 两项乘以 k 一 方， s 一 减二分之一， s 二减二分之一，来给它提供一个意思一下， 那说明就得到了一加 k 方这一方乘以一个 s 一 进 x 二， s 二进 s 二。哦，好，那我们知道，那我们同理也能得出来什么，就 t p 点成 t 九 要等于什么？好，我们这个 p 九呢，我们就设它 x 三 y 三，又就是 s 四 y 四，这个斜率呢，我们就设成 t 二。好，那我们又可以得到它就是一加 k 二方 x 三减二分之一， x 四减二分之一。然后呢，我们虽然这个是 s 三 s 四，但是其实它也是一个直线取连曲线连力的两个根哦，朋友们，看到这个形式，是不是我们要想到了那个扁正双根的这个方法？ 好，我们才先找到它。以我们以这个 k 一 这边为例，我们连力它啊，它圆方程圆曲线，它是我们写成十六 s 帮减去 y 方减十六等于零，这次这个双曲线的右半值还是要大于等于零， 我带等一啊。好，那我们该看把这个这条直线使 a b 这条直线带入进来，看得到什么？我削的是 y 哦， y 等于 y 等于什么？大哥，共号 k 一， 那是减二分之一加 m 平方减十六，对连好，第二个呢？到这个时候我们不用给它展开，因为我们只要想算它的小 a 等于多少，这是二次项的系数，我们看一下小 a 等于多少？ 对，有个十六对我里面，然后它其实就是减去 k 一 的平方。啊，好，我们就知道了，我们然后就是负值，然后我们写一下啊，他们的还次一 减二分之一乘以 x 二减二分之一，就是把二分之一带到这个里面，我们算一下，等于二分之一带到里面，上面是四，这就是 m 减 m 平方减十六，下面除以 a 等于十六减 k 一 方。 哦，那我们知道这个就等于了。 good， 十二负 m 旁，十六减 k 一 旁。 噢，那么同理能得 x 三减二分之一， x 四减二分之一，它也等于负的十二 完，十六减去 k 二的平方。好，那我们看它给的什么两个相等，它等于它，这就是它等于它。 嗯，然后再摸一下写，哈，两个相等，就是一加 k 一 方乘以谁呢？后面这我们已经算出来，是这个乘以负的十二负的 m 方比上十六减去 k 一 方要等于， 下面呢，就是一加 k 二方乘以五打十二负 m 让十六减去 k 二方。哦，我们来划线，上面这个是可以约分掉，那下面剩的就是一加 k 一 方，以上十六减去 k 一 方，等于一加 k 二方 除以十六填去 k 二方。好，那我们知道了，但这个容易相，你想要相等，你上面这是根是正的，那就是上面等于上面，下面等于下面。 好，那我们知道了，这个就是 k 一 方等于 k 二方，然后呢？ k 一 呢？和 k 二还不能相等， 那就有了 k 一 就等于负的 k 二，那是不是就是 k 一 加 k 二就等于零？哦，那我们知道它这个部分呢，就是一个 直线 a b 和 d q 的 吸律之合啊啊，这个呢，就是用我们点乘双根杠来简化计算，有得到它的均动塔。

要想数学好就跟子月跑团。你好，我是数学王子月老师今天我们一起来看一看圆锥曲线应解定律的下一个内容。已讲解。呃，我在这先叠一个 buff 啊 啊，因为呢，我自己啊，在长期班当中啊，是从来不讲硬结定律，而且我也呢一直啊都不太喜欢呢同学们去用硬结定律。所以呢，为什么我们今天要讲它，呃原因呢，就是让大家来感受一下啊，我们呢，其实在圆锥曲线当中啊，也是有相应的大招方法的。 然后呢，我再来说两句，为什么我不讲应解定律。呃，因为很简单的问题就是圆锥曲线吧，他不是说呢，你光会一个相交方程，你光会一个伟大定律，你光会一个弦长啊，你就能够把这道题做对了。这些啊，都属于啊，太基本了。 就是如果呀，你要连呢求他啊，都是有点慢的，或者你要连求他都不熟练你的圆锥曲线压根没有可以突破的空间。所以呢，什么同学啊适合用圆锥曲线的硬颈定律呢？第一类啊，就是压根呢，在圆锥曲线这个东西就不想花时间了， 高考当中啊，就想丢掉了，对吧，我就随便的写点破伟大，写点破前程就得了，对吧，那你可以呢去背一背业界定律，因为你的运算能力可能也不过关。第二类呢，就是啊，我们呢，如果呀，特别好这个成绩，比如成绩好到了一定地步啊， 你已经呢把基本的预算能力练的很到位了，而且你自己啊，就因为预算能力计算能力相当于啊一个你自己在数学当中的肌肉，它属于核心能力。这个能力啊，假如你已经有了哎这个时候你再上技巧肯定啊就会好很多。但是大多数同学我认为没有这样的 能力所以啊像一些呢相交方程的运算像一些弦长面积的运算是属于大家的核心基本功包括啊有的时候呢大家可能要算这个所谓的麻花公式啊 x 一 y 二 x 二 y 一 对吧 切的都叫做核心基本功如果你连呢平常能够呢每一次出现每一次出现每一次出现啊都有的核心基本功啊你都要去用我们的大招方法来做那我觉着你在这道题当中不会拿到一个很好的结果 啊，这是我平常不减硬解定力的原因。当然了你说呀会硬解定力能不能短时间之内呢让你自己感觉到爽啊。那肯定是 但是你真正能用多少呢啊我呢不清楚啊。所以啊在这呢我也想跟大家讲的是我自己啊是不太愿意和喜用硬颈定力的，但如果大家呢自己要用啊我呢是同意的啊这个东西不是不会讲而是呢我觉着呢就没有必要我再多说一点可 能有同学会觉着哎那我硬颈定力啊我算起来会快呀啊对吧不会的，因为啊你对未知的恐惧啊远远比你能够节省的那一分钟啊要 男的多对吧就跟为什么圆锥曲线很多孩子写完香蕉方程要无数遍的验算呢你如果要用硬解定律你也会发现写的时候你很爽对吧啊这个邻家小两口 a 方 a c o a 方站门外 c 方单身狗啪啪啪写完之后哎呀感觉自己好像就是神 啊，但是让你写完之后，你内心当虚，内心当中空虚的不得了，对吧？你写什么？那个闲肠，哎呀，小芳鸡呀大， 对吧？你玩的时候都很厉害，但是你真正落到纸面上呢，对吧？你真正坐到高考的考场上面呢啊，你难道不用正常方法算吗？你也想方设法对吧？你是吗？啊，你坐到那的时候，坐在考场上面，那一瞬间面临你十八年的寒窗苦读， 你敢用吗？对吧？你都别说给你考个双曲线把什么这个 b 方面负 b 方了，咱就说考你个椭圆，咱就说啊，你都别说什么背 y 等于 k， x 加 m， 你 连倒斜横截你都不敢动，你要背几个呢？所以啊，在这我跟你讲，他不会 快对吧？要么你一个圆锥再加个倒斜横截你就废了，对吧？你连倒斜横截都不敢用，只能上斜截，你能够处理的问题量太少了，他没有锻炼到你的核心基本功，你自己没有强大起来， 所以啊，我想跟大家讲的呢，叫做呢，这个东西他是把双刃剑啊，就跟那有的同学锻炼啊，练深蹲是一样的对不对？当你没有肌肉的时候，你可能啊，靠一点这个偷鸡的小技巧对吧，哎，你爸在旁边帮你拖着，哎，你看，哎，你能你你 你能顶一百二十公斤了，让一看旁边爸爸在这边负重呢，一看妈妈在这边拉杠呢，对吧？但是你自己的肌肉到这了吗？他没有啊，他不属于一个技巧类的东西好吧，当然了，硬解定力的形式也有多种多样啊，至少有四五种。 首先第一个我们要先来说明一个点背的时候啊，或者啊去理解的时候，你呢就找一个你自己喜欢的理解就可以了。我们呢一般来讲会有几种形式呢？简单来说两句，首先第一个关于啊，我们的方程，哎， a 方分之 x 方，再加上呢一个啊，我们的哎， b 方分 之 y 方等于一来，这个是我们呢椭圆的方程，直线方程的话呢，有可能给大家 a x 加 b， y 呢，再加 c 呢是等于零的，哎，这两类啊是我们的一组，那另外两类呢，就是啊，我们呢今天给大家这样的形式是一组， 就是呢给你的呀，这个形式当中啊，是这样子的曲线和这样子的直线。我们先来说一说啊，这几者都有什么感觉。首先第一个先来看上边，上边呢这个东西啊，他呢给你的虽然是椭圆，但是如果遇到双曲怎么办呢？没关系，如果遇到双曲啊，那不是 x 方比 a 方加 y 方比 b 方等于一吗？你可以把它看成 x 方比 a 方加 y 方比负 b 方等于一。所以啊，如果双曲呢，你在做代入的时候，你还要把呀这个原本的 b 方哎代为负 b 方，所以啊，这是他。那 我们讲下面这个有什么好处呢？它的好处啊，就是我们要把这个 a 方 b 方啊给它呢变成了我们的 m 和 n， 哎，这样的话呢，它既可以表达我们的椭圆，又可以表达双曲啊，椭圆的话呢，这个 m n 大 于零不就完了吗？对吧？双曲的话呢，就是我们的 m n 有 一个大于零不就完了吗？哎，这个你能直接做代入，这是这两个形式， 另外两个形式啊，就是呢给了我们呀 y 等于 k x 加 b 和我们的一般式啊，一般式的话呢，应用起来呢就更广，对吧？你往左一挪，其实也很简单，有的人说，老师，那平常谁设一般式，你可以不设，因为你有真写假算， 你写的时候肯定是正常的，写算的时候啊，你肯定是用我们大招算，但是我们讲啊，你呢在做处理当中啊，这两类形式啊，哪一个都可以，我把上面这个硬铁定律啊也给大家，好吧，上 这个硬点这里啊，玩起来也很简单，大家可以直接来写啊，答案呢就是小 a 方，大 a 方，嗯，再加上呢一个我们的小 b 方，大 b 方。呃，这个记起来也很简单，有一个小口诀叫做什么呢？邻家小两口， 你看这呢有小 a， 这有大 a， 这呢有小 b， 这有大 b， 所以 啊，我们讲的叫做邻家小两口，就是两个之间，我们呢放到一块，对吧，小 a 配大 a， 小 b 配大 b， 所以 我们讲的叫做邻家小两口，这是二次项系数 a 方 a c o 二倍的，这是我们的 a 方，然后呀， a c o 什么意思呢？这块我们讲的叫做 a c， 这个位置是 a c o 呢，表示二倍的 a 方，在我们呢乘上 a c o， 紧接着呢就是我们的 a 方站门外，哎， a 方啊，站到了门外啊， c 方，单身狗啊， c 方减我们的小 b 方，大 b 方等于零啊，这就是我们讲啊，在上面这个形式当中的硬结 钉啊，你觉着好玩吗？呃，我个人觉着，如果呢，你要真的到了一定地步，可以来我再说一遍啊，我们叫做邻家小两口啊，就是小 a， 大 a， 小 b， 大 b， a 方 a c o 啊，就是 a 方 a c o a 方站门外，哎， c 方单身狗啊， c 方单身狗是不是看起来还是比较简单的 啊，那如果要是嘚他的话呢，大家要愿意啊，去记一记啊，也可以记一记这个嘚呢也很简单啊，他呢就是四倍的啊，我们啊小 a 方啊，小 b 方大 大 b 方，然后呢再乘以一个我们小 a 方大 a 方加小 b 方大 b 方啊，再减一个 c 方啊，我们呀其实呢叫做去减单身汪啊，其实也就是去减我们的 c 方，呃，大家呢去看到他呀就可以了， 其他的呀，我们就不做过多说明了，因为啊，如果大家呢，比如说要算我们的弦长的话呢，其实直接利用弦三就可以了，求大家不要把弦长啊，想的呢太神。 弦长的话呢，大家就利用弦三啊，弦三呢就是根号下啊，一加上 k 方乘一个根号下嘚特，再除以一个大 a 这个形式就可以了啊，呃，这个大 a 啊，指的呢是我们的相交方程的这个前面的系数 好吧，呃，所以啊，大家呢，这个弦三公式啊，直接往里带啊，其实呢难度啊，都不高啊，所以大家可以直接背我们的相交方程和嘚特就可以了啊，这是我们讲这种形式下的这个相交方程啊， 那如果呢这个位置呢，比如说是我们的双曲呢，把负臂方带进来，那把臂负臂方带到这个里边就行了，原本的臂方换为负臂方，原本的臂方换为负臂方就可以了，大家带起来也非常简单，你看这个形式当中啊，你还没有敢去削 x 留 y 的， 所以你看假如你要真的呢，想要来一个倒斜横截怎么办？你看这个东西还能玩吗？不 好玩了。好吧好嘞，再来看下边，如果要是下边这类形式啊，其实呢是 y 等于 x 加 b 的 斜斜式，再加上呢一个呀，我们呢对于圆锥的一般式啊，这两个形式啊来做处理，其实啊，它呢嘚儿它的话呢也有啊，四倍的 m n， 那 那你看其实这个形式啊长的呢也是差不多 的，然后呢再乘一个 k 方 m 啊，这个所谓的这个 k 方 m 难道不也就是我们 m 是 原本的这个小 a 方吗？对不对？ 上面那个小 a 方吗 n 呢不就这个小 b 方吗？这个减 b 方呢不就是原来的这个常数吗？对不对？其实你会发现这两个形式啊，长得呢还是比较像的，只不过呢它呢这个形式结构啊，当中玩起来呢是稍有区别，但是问题呢也不太大啊问题也不太大， 那如果让我们呢再往下来瞅一瞅，哎，围绕着我们的弦长当中啊来做突破呢，呃，弦长这个公式啊，如果大家呢要想记一记啊，也可以记一记，它呢其实也就是一个根号下一加配方再乘一个我们的根号下嘚特除以啊相交方程这个值啊，大家愿意记就记，不愿意记那就算了， 我个人啊，我还是这句话是不希望呢大家把这个点啊都到这了，但是如果大家要记，大家呢必须啊，一定要记得更加的通透，或者叫做要记得一定更加的深刻，你别待会记完之后记错了，那这件事啊就很难了啊，就很难了， 对呃，大家呢围绕着他来做理解就可以了啊，这是我们的一个相应的应解定义，大家要背就背啊，你背上边也好，背下边也罢，背哪个都行。但是我还是这句话我再多说一遍，就是呢啊，计算是一种能力啊， 能力这个东西啊，是永远呢都不能被偷鸡啊，所我们掩盖的，也就是说你圆锥曲线，你光能够写到的，他哪怕你能写到嫌长，你依然是不够用。 所以啊，想把圆锥曲线的东西玩好，我就请你沉下心来，当然有没有技巧啊，有啊，我呀在课程当中也会讲几个技巧，第一个叫做一步到位。什么叫一步到位？就是啊，有我们的相交方程啊，当中的一步到位，也就是说给了你我们的椭圆抛物线，双曲线啊，再加上我们的直线，直接一步到位我们的相交方程。 第二个呀，就是嘚它的减变运算，也就是说你算嘚它的时候是可以减变运算。第三个呢，就是啊，围绕着呢我们的尾答的两种形态，那尾答呢，我们讲啊，大家呢要会我们的两种形态，对不对？然后呀，同时啊围绕着尾答呢，可以啊，来做我们的代换这三类啊，如果大家呢，练到了最后一个呀，再加一个我们的弦长公式 啊，我们呢弦长公式啊，一共有三个，分别就是一、二、三。我们呀把这四个呀其实都练到位，整个的圆锥曲线的核心基本功底就完全处理了，这些东西你压根就不用了。 所以这个呀，是我认为大家应该去课下当中进行训练的，因为计算能力永远是你的第一要好。那当然了，如果大家要真的呢，最后呀，把它呢背完了，你肯定啊，是非常的厉害喽，我们来简单瞅一瞅啊，简单随便试一个， 这呢给了我们一个椭圆，那这个位置是四分之 x 方，嗯，再加上我们的 y 方啊，等于一，那这呢是 y 等于二 x 再加 b， 对 不对？哎，好嘞，那首先第一个，大家要先来判断我们的各个的系数是谁，对不对？人家让我们来求前长，那前长大家还记着吗？那大家直接来利用我们的前长公式就可以了， 延长的话呢，应该啊，等于我们的根号下，哎，一加 k 方，嗯，再乘一个我们的根号下 dirt， 再除以我们的 k 方 m 再加 n 的 绝对值。好嘞，这里边用到了我们的 k， 用到了我们的 m， 用到了我们的 n 用到了 dirt。 那 首先啊，第一个，我们先来看小 k 是 谁啊？小 k 不 就是斜率吗？斜率的话呢，应该是二，问题 不大。小 m 是 谁啊？小 m 的 话呢是 x 方，除以这部分，应该呢，就是四，问题不大。然后呢，小 n 的 话呢，应该啊，其实就是一，因为啊，这个位置呢是我们的 y 方，比一， 好了，我们要再来看一看，嘚瑟，嘚瑟应该等于谁啊？嘚瑟呀，应该呢，等于啊，因为这用到了嘚瑟它呀，就是呢，我们的四 m n 再乘一个我们的 k 方 m 再加 n 减 b 方。好嘞，那我说实话啊，这个相应的应解应理啊，你要真让我背啊，我自己啊，背起来也很 困难，因为我不太爱背这个东西。那他的话呢，我们要来算一算四 m n 是 谁啊？ m 乘 n 是 四，那所以啊，这呢就是四四一十六里边 k 方四四四十六，十六加一十七，这十七啊，再减 b 方， 所以啊，直接往里一带就行了，根号下一加 k 方，就应该呢是根号下一加四，就根号下五乘一个呢，我们的后边啊， 四倍根号下十七，再减 b 方，再除以一个啊，我们的 k 方 m 方， k 方 m 方是谁啊？带进来就是我们的四四一十六，再加一十七，直接写它这个值啊，等于呢，哎，十七分之二十， 像这种啊，大家做预算的时候一定要注意点啊，十七十七先约掉，然后把四倍根五啊统一约掉，他约去一个四倍根五啊，就应该是根号下五，所以大家呢，做起来啊，把根号不要那么早着急做平方十七减 b 方啊，开根应该就等于根号下五，所以啊， b 方呢，应该就等于十二，那 b 呢，就应该等正负二倍，根号下三， 那答案呢，就出来了，应该选择我们的四 d。 好 吧，其实我大家呢，知道应解定律之后呢，做起来啊，问题呢，也是不大的啊，如果要正常运算来讲，这个难度真的也不高。 好吧，我们简单随便来算一算啊，之前啊，我们教所有的孩子都是一步到位，椭圆方程 x 方再加呀，我们的四 y 方呢，是等于四的啊，写成我们的整式形式后边你看这个位置啊， y 呢，等于二 x 再加 b 啊，直接上我们的一步到位。那先来看啊，那 x y 二次项两部分构成啊，四四十六十七 x 方 对，再来依次项啊，二二得四四四十六，所以啊，再加呢，我们的十六 b x 长竖项呢， b 方四， b 方减四加四， b 方减四等于零，你看这不就非常明快吗？ 对不对？很快吧，然后呀，再来算嘚它，嘚它的话呢，直接利用我们呢教过的这个嘚它的秒算方法，嗯，那直接就是它的平方 b 方减 c a c 的 时候，大家可以呢给它写成呢，我们呀叫做呢，哎，十六 b 的 括号方 减去一个四倍的，那，那这是谁啊？这个位置，我们讲的，大家写的时候，要知道这个不是说所有的都是数字，往往都给大家的是我们的这个字母，所以啊，这呢，原本啊是四四十六，十六加一再乘一个，我们呀四立方减四， 最高次项啊，直接就能约，也就是他俩之间直接就约掉了，因为啊，这就是我们讲德尔特呢好算的地方，那这呢也有一个十六啊， b 的 括号二方，那他呢也是，你看 b 方乘四乘四乘十六也能够直接约掉，那于是啊，我们这个负四啊，之间呢，一提出来，里边呢，这个第一项消掉了，后边直接一打， 提出一个负四，那也就是十六倍的十七减 b 方，对不对？所以啊，紧接着呢，我们上前三，前三的话呢，就是前长 a b， 那 就直接写呗，根号下一加配方，那 k 的 话呢，给了我们呀十二，所以啊，也就根号下五乘一个根号下嘚特，那这呢不也是吗？四倍根号下啊，十七减 b 方除以一个大 a， 大 a 不是 十七吗？在这呢，所以啊，直接上弦三，你也能得到这个结果 啊，这就是我们讲呢，大家呢自己选用啊，我们的硬解定义来做处理。好吧，证明呢，我就不做了，因为啊，我觉着呢不想做啊，大家呢自己课下的时候往里带就可以证明了， 如果要是 m 和 n 呢？这种啊，在带双曲线的时候把 n 呢为负值往里带就可以了，如果要是上面这一种，把负 b 方带进来做运算，好吧，那关于圆锥曲线的硬解定义我们就讲到这里。

同学们好，我是阿陆老师，今天我们来讲解二零二五年普通高等学校招生全国统一考试新埃卷的第十题。这是一道关于抛物线题的多选择题，一个是代数法， 一个是几何法。很多同学一看到圆锥曲线就头大，上来就算，结果算到一半心态崩了。其实选对方法 真的能让你是半工辈。两种方法的本质，解法一，代数法，它的本质就是硬算，不管图形多复杂，我先把直线和抛物线的方程列出来，连力求解， 用维达定律一顿操作，把坐标弦长都算出来。它就像一个老实人，不看技巧，只讲逻辑，一步一步把结果算给你看。解法二，几何法它不跟你死磕计算，而是利用抛物线的定义和性质，比如 到焦点的距离等于到准线的距离，或者通径是最短的焦点弦。这些结论直接从图形上看出答案，它就像一个聪明人，一眼看穿问题的本质，用最少的步骤得到结果。三、考试中首选哪种方法？我的建议是优先用几何法， 用代数法兜底。一、先看题，找性质。拿道题先别急着算，先看看有没有明显的几何特征。比如这道题，看到准线垂足，马上想到抛物线的定义，那选项直接秒选。二、遇到瓶颈再代数。 如果几何性质不明显，或者你对自己的判断没把握，再切换到代数法，用坐标和方程去验证。三、平时多积累几何法的基础是你对性质的掌握，平时多背一背圆锥曲线的定义， 公静、焦、点、弦这些核心结论，考试的时候才能像开挂一样总结一下，记住，做题不是比谁算得快，而是比谁选的方法更优。能否站在制高点思考问题？下次再遇到圆锥曲线，先别急着动笔，先想一想有没有更聪明的办法。

真是没有想到，已经过去两年了，二零二四年新高考一卷的第十六题，原最曲线大题，居然还有博主在乱讲，早在二零二四年， 这个高考刚结束，六月十号左右，那个试卷应该是刚出来吧，我就已经把这个题去尝试了一遍啊，那么我应该是全网第一个想到该用这个三角互换法的，因为我是有证据的。首先我们看我们的第一问， 我们直接代入就可以了，我们说由题可知一，由题可知 列出三个方程，第一个叫做 b 方分之九等于一，第二个叫 a 方分之九，加上一个 b 方，分之四分之九也等于一。再来个椭圆自带的 a 方等于 b 方加 c 方， 三个方程三个未知数，我们就可以解除所有的值了，我们写个解得打个箭头也可以，对不对标准一点，那么我们写汉字， ok， 这里 b 直接锁定为三， 然后这里就成了一个四分之三，所以这个呢，他就是啊，这个啊，这里就是一个四分之一，这里就是一个四分之三，于是呢就是 a 方就等于十二，那 a 呢，就是二倍杠三， 都是可以口算的，带进去十二 a 方十二 b 方九， c 方三， c 等于根号三，所以我们第一问一，等于 a 分 之 c 就 等于二倍根号三分之一个根号三，也就是二分之一，那么这两个方程各一分解解得的结论一分，答案一分，总共呢？第一问四分到手了，那我们看第二问三角还原法，我们具体看， 拿到题我们肯定是要先用画图分析的，我们就当考试一样，我们一起来看啊，考场中我们该怎么去想 a 点在这个位置， p 点呢？在这个位置 它的高度是 a 的 高度的一半吧，这个是 x 轴，这个是我们的 y 轴。好，他说过点 p 的 直线 l 与椭圆交于另一点 b， 那 p 点是定点了， p 点是定点了，由此我们锁定了这个点，他就一个动点，于是呢，我们就可以选择是 a b 的 cosine theta， 多号 b b 的 cosine theta。 好 的，然后他说什么呢？他说这个三角形 app 的 面积给了我们，我们连一连，那么这里也没有什么 花里胡哨的一些操作，那就是什么二分之一底层高大家都会吧。我们先分析一下面积， s 三角形 a b p 应该等于二分之一的 d， 就是 a p， 你 能算高，高就是什么？我们设为一个 d， d 呢？指的就是什么呢？其中我们可以这样写清楚啊， 就不用打草稿了， d 为点 b 到直线 a p 的 距离，那考点就是点到直线距离公式嘛，所以我们把这个 a p 长度和 a p 方程写出来，那就可以带入这个式子了。然后 a p 呢，应该等于根号下横坐标之差的平方九，纵坐标之差的平方四分之九。 如果说你门口算的话，那就是什么呢？那就是看到恒重坐标差之比是一比二，那就比刚好五吗？怎么算无所谓，反正 ap 呢，我们就已经有了，那 lap 呢？ 很多同学啊，对这个直线的两点是并不熟练，那其实我们用到的是非常多的修改一下， 这里 y 减三，比上一个二分之三减三等于 x 减零，比上三减零。 好，这里就是一个三可以约掉的东西，二分之一减一，负二分之一给他乘负二就好了，于是他就变成一个负二倍的 y， 加上一个六等于 x， 整理成一般式。所以我们的 l a p 就 应该写成 x 加二， y 减六等于零。 那么接下来我们看我们把面积先用起来，就因为 s 三角形 a p p， 它是等于九的， 也就等于二分之一乘以 a p， a p 二分之三倍根号角，再乘以这个 d， 那 d 呢？我们先表达出来，这个三可以约一个十二，根号五分之十二。 那么呢考场中呢，我们尽量呢给它分布一句话，但其实我算的时候，我就可以拿这个来算，就很简单的。那么接下来就是把这个 b 点坐标设出来，我们写这儿 设 b 点坐标为啊 a 就是 二倍杠三扩散色塔以及三倍的散移色塔， 那么我们就可以得到这个 d 等于分数线，看到直线的方程，看到点 b 的 坐标，那就是根号五分之绝对值二倍杠三扣 二， y， 那 就是六倍的三。然后呢再减去个六，等于这个根号五分之十二。 由此呢，我们可以得出，里面这个呢，它是等于根号，它是等于这个十二的，对不对？绝对是我们分子等于十二的，那么也就是什么呢？也就是这样，我可以先约分，我的习惯是这样子的，也就是可算一些塔，加上我们约掉个二倍杠三，这个就剩个根号三，算一些塔 减去一个六，也就剩下一个二倍杠三，这个十二呢，也就剩二倍杠三，这里应该是根号三， 这里修改一下根号三这个方程呢，是非常好解的啊，我们肯定是有两种情况，我们看合一叫做二倍的三一括号 c 塔加六分之八， 这个东西，就这个东西减根号三等于二倍杠三，那他要么呢等于三倍杠三，舍 啊，要么呢他就该等于什么？再写一遍啊，就该等于这个负的杠三，为什么这里舍了呢？很明显了，这个东西他不会超过二的，这个超过二，那就得舍去嘛， 行或 ok 啊，那你解这个方程，你就会发现呢，它就是个特殊角，所以三 e c 加六分之二就等于负的二分之二三，我们在合理的取值就可以了吧， 合理的取值就可以了。那就是什么呢？两种情况，这例解法呢？它就不会移了，那么我会选择用什么方法呢？我会选择直接把它啊，看三以多少度等于负的二分之杠三，所以 c 塔加六分之判啊，应该等于什么呢？等于这个三分之四判，加二 k 判 二 k 一 吧，或者 c 它加六分之派，等于这个负的三分之派， 因为三一负的三分之派和三一三分之四派，它都是等于这个什么呢啊，都是等于这个负二分之高三的， 然后其中呢， k 一 和 k 二均属于 z， 我 们在合理的取值就行了。比如这个东西，那 c 塔呢，就该等于六分之八，六分之七判，加上二 k 一 判， 或者这个 c 塔呢，等于一个负二分之判加二 k 二判， 那么我们就分个两类就可以了。那么这里也是鼠标的，因为 b 点的象限我们也不固定嘛。啊，我们来算什么呢？因为 c 它已经有了那 b 点坐标啊，看这里就行了，那不也就有了吗？ 所以 b 点坐标我们甚至可以直接写啊，科三印这个东西，二 k 派就不用开了嘛，对不对啊？科三六分之七派啊，他也就是什么呢？也就是负的科三印，这个六分之派，也就是负的二分之根号三，呃，我们乘以乘负的二分之杠三，那就是负三了。 三亿这个东西，那它就是一个负的二分之一。哦，负的二分之一还是负二分之三呢？变这边来啊，或者第二种情况，负二分之派。哦，这个就好算啦。 cos 负的二分之派，那不就是你吗？ 三亿负的二分之派，那就是一个负一负三， 两种情况就已经有了。剩下就一个取 l 的 方程，我们再来两点式，好吧。啊，我们往下滑一滑，呃，则 l 的 方程，这是什么呢？它是 p b p 点坐标在哪里？去了啊？我来找一找啊。啊，在圆体中是吧？ 二，这个三的话，二分之三我们写旁边。切 p 点坐标二分之三，逗号三 啊，又写反了是吧，对吧？这个是电脑操作啊，所以说是有局限性啊，我们试卷上不可能搞反吧。对，三逗号，二分之三是吧？是的，没有问题。 两点式又来一遍吧。那就是第一种情况， y 减负的二分之三，比上二分之三减去负的二分之三，那就是三。等于 x 减去负三，那就加三呗。还有个什么三减负三，那就是六呗。约一约这个二乘过去，那就是二。 y 加上三等于什么呢？ x 加三，那就是 x 减二， y 等于零。或第二种情况， 这两个 y 减负三， y 加三，比上二分之三减负三呢？就是二分之九等于 x 减零，比上一个三减零， 那这个三我又要约一个了，这就三，我们又可以约掉一个，这就二分之三，二分之三的话，那么三给他，二给他呢？就是二 y 加六等于三 x， 也就三 x 减去个二 y 啊，再减去个六等于零，那中间过程呢？我觉得都是没有任何思维难度的，只要我们想到了第一步用这个三角换元法， 那么这个题他剩下的就是一些我们普通的高一学生都会的一些预算，无非就是什么呢，解三角方程以及和一公式。我对那些杂七杂八的解法那些评价就是一点都不实用啊啊，我们中我们要 多去给他们总结一些啊，最优的一些策略方面的东西，那才能更好地帮助到各位同学。

如果你从来没想过数学能考一百二十分以上，那么可以划走了，这期视频帮不太到你，因为数学考个一百二实在是太简单了，但是看到你们每次考试都被圆锥曲线、三角函数以及概率统计折磨的痛不欲生，考试只能拿个五六十分， 我实在是忍不了了。所以这期视频我只做一件事，带你爆杀高中数学圆锥曲线！做好笔记，我们直接开始。温馨提示，本期视频中讲的所有知识点以及高考常考题型讲解，我都已经整理成了专项视频课， 感兴趣的同学可以后台告诉我你的年级，例如高三加数学即可获取。上期视频讲了焦点三角形，还没看的同学抓紧去补课。这次我们讲第二个板块，交半径公式。所谓交半径，指的是椭圆或双曲线上一点 p 到两个焦点 f 一 f 二的距离。 椭圆的搅拌机公式为 p f 一 等于 a 加 e x 零， p f 二等于 a 减 e x 零，它是怎么推导出来的呢？其实很简单， f 的 坐标为负 c 零， f 二的坐标为 c 零，我们直接利用两点间距离公式就可以推导出来了。具体的推导过程放在旁边，大家可以截图自己尝试推导。 高考极有可能出大题，例如这道二零一九年新课标三卷的高考真题，我们先根据题目作图，画一个椭圆，并且椭圆上一点 m 在 第一项线，又告诉我们三角形 m f 一、 f 二为等腰三角形，那我们先考虑会不会是 m f 一 与 m f 二相等呢？如果这两边相等， 那么 m 点就只能在 y 轴上，这显然与题目不符，所以只能是 m f 一 与 m f 二，其中一个与 f 一 f 二相等，由提一可得 a 等于六， b 等于根号二十，所以 c 等于四，离心率为三分之二， 那么 f 一 f 二就等于八。又根据椭圆定义，可得 m f 一 加 m f 二等于二， a 也就是十二。它们中有一个与 f 一 f 二相等为八的话，另一个就只能是四。那么谁是八谁是四呢？ 看图像我奶奶都能看出来， m f 一 等于八， m f 二等于四。现在让我们求点 m 的 坐标，直接利用搅拌进公式 解得 x 零为三，然后带入椭圆公式，求出 y 为根号十五，轻松得出答案。接着我们来讲双曲线的搅拌进公式。有同学可能会问，双曲线上的点有可能在左边，有可能在右边，是不是？它的搅拌进公式有很多种情况，大可不必担心，我直接把它们总结成了两个， 不论动点 p 在 左还是在右， p f 一 都等于 a 加 e x 零的绝对值， p f 二等于 a 减 e x 零的绝对值。它的推导过程与椭圆相似， 都是利用两点间距离公式推导的，而且高考中考察频率也不高，所以这里就不再过多赘述。接着我们来讲第三大板块，垂径定律，它讲的是 一条经过圆点的弦 a b 形成的两条直线的斜率相乘为负的 a 方分成 b 方。 它的推导过程我也放在旁边，大家可以截图自己尝试推导。需要特别注意的是，垂进定律有两种特殊情况，第一种，弦 a b 与 x 轴重合，让我们求 p a 与 p b 的 斜率之积， 这我奶奶都知道，还是负的 a 方分之 b 方。只不过在考试的时候，命题人不会特意告诉你 a b 满足垂进定律，所以需要大家自己辨别。第二种， 随便给你一条弦，且没有经过圆点点 p 为 a b 的 中点，让你求 a、 b 与 o p 的 斜率之积。这时候很多同学就蒙了，我先告诉你结论，这二者的斜率之积还是等于负的 a 方分成 b 方。为什么呢？我们把 o p 移到这张图里，就可以发现， o 是 a b 的 中点， p 二是 p e， a 的 中点 o p、 r 是 什么呢？我奶奶都知道是三角形 a p、 o 的 中位线呀，而中位线与底边平行，那么它们两个的斜率自然也就是相等的。所以 o、 p、 r 与 ab 的 斜率之积同样等于负的 a 方分之 b 方。 所以当你在考试中看到有直线过远点，有椭圆上一点与两个端点相连，有弦中点，这三个条件中的任意一个都要立马想到垂进定力。 例如这道二零二零年新课标一卷的高考正题，题目中给出了右焦点，那我们就可以直接得出 c 等于三。题目要求椭圆方程，那我们只要知道 a 方与 b 方的值就可以。题目中又给出了一个弦中点， 我们设它为 m 点，此时要立刻想到垂进定力，于是我们将圆点与弦中点 m 相连。根据垂进定力， a、 b 与 o m 的 斜率之积为负的 a 方分之 b 方。而 a、 b 上有两个已知点 f m， 所以 直接算出它的斜率为二分之一。 o m 上也有两个已知点 o m， 所以 也能算出它的斜率为负一。那么负的 a 方分之 b 方，就等于负的二分之一， 所以 a 方就等于二倍的 b 方。观察题目，只有 d 选项符合条件，直接秒出答案。与椭圆类似的双曲线也有垂径定律，不过不同的是，这两条直线的斜率之积为正的 a 方分之 b 方。另外两种情况与椭圆类似， 由双曲线上一点与两个端点相连或者有斜中点的情况下，两直线的斜率之积都是正的 a 方，分着 b 方。要特别注意的是第四种情况，当 ab 两点不在双曲线上，而是在它的渐近线上，并且点 p 依旧是 ab 的 中点时，这两条直线的斜率之积 依然是正的 a 方，分着 b 方。原因很简单，渐近线本身就是退化后的双曲线，所以在双曲线上成立的垂径定律 在渐近线上同样适用。由于时间关系，本期视频就先到这里，其他部分内容以及高考常考题型的详细讲解我已经整理成专项视频课，感兴趣的同学可以后台告诉我你的年级，例如高三加数学。期待我们在课程中的再次相见！

各位同学，早上好。中午好，晚上好。这个情人节刚过，应该都挺开心的，那今天这个视频呢，我们是讲一下关于不连力这个方法的基本理论和应用。 要理解这个方法呢，其实我们最关键的是要搞清楚 它的应用场景，以及这个方法 和我们一般的连力相比起来有哪些好处，以及它们在特点上的区别。那首先呢，我们传统讲的连力 啊，我们讲的传统连力是什么？是射直线， 然后与曲线连立。 嗯，与曲线连立，然后连立完了之后呢，写一元二次方程， 然后就是伟大定律了，这是有一套很标准的流程下来的。 呃，这里联例完。呃，如果你要写解答的话，就是写考试上的解答过程，那这里可能还需要加上一句的大大的零啊， 这就是一个基本流程。伟大定律完了之后呢，其实就是会得到 a 一 加 a 二 y 一 加 y 二， a 一 a 二 y 一 y 二这样的东西啊。整个我们说的传统连力的过程其实就就这么几步， 是很套路化，很公式化的。这种方法呢，它最终的目的是什么？最终目的是什么？不就是写出这些东西吗？ 它最终目的就是为了写出这些对称式啊，最终目的就是写出对称式，目的在于 写出对称式， 然后可以代入所求的式东西当中计算 啊，代入所求进行计算，那这个计算呢？ 现在题目是月初月薪，很可能我们用传统连利方法不一定能够很轻松的算出来。 大家可以看到啊，这个传统连利的过程呢，它其实是很注重一个结果 啊，什么结果？这些东西的值 就是结果计算，你后面带入计算也是为了得出题目结果 啊， 这个传统的连力过程就是非常注重这个计算以及得到题目结果。 咳咳，得到结果是这个整个流程，它的一个最终目的无非就是用 k m 就是 斜率啊，截距啊来表示， 表示对称式， 也就是代数化，整个也不能叫代数化吧。呃，数值化 整个解析流程。 但是这种方法也是有一个弊端，在于什么？在于一步错，步步错，你一个地方算错，马上你带入结果全部错， 那就是为了解决这种问题，而且计算量有的时候也是很大的嘛，所以就为了解决这些这些主要矛盾。 我们要做一些什么事情？我们要做的事就是不连理。这里的不连理是什么呢？字面意思就是不设直线，不进行直取连理，但其实它还是一种连理， 它是一个什么样的过程呢？是这样子的过程。 我们既然不设直线，不连立了吗？那我要干什么？怎么利用题目条件想办法？ 第一步，想办法把题目条件 用斜率或坐标表示出来。 这个可能比较抽象，我给大家举一个例子，比如说已知 a 零一 p a 一 y 一 q a 二 y 二，若 a p q 共线 什么关系？这里要找 a 一 a 二 y 一 y 的 关系， 这个时候就是想就是这个流程了，想办法把题目条件用斜率或坐标表示出来，但这里没有斜率了，我们直接用坐标。坐标坐标怎么写？首先 a p q 共线说明啥？说明 a p a q 斜率相等， 或者说限量贡献。 ap 限量 a q 限量贡献， 因为斜率不一定存在，所以我可以考虑用限量来说好限量。限量来说的话，就是 这个项链 a p 不是 等于 a 一 外一减一吗？项链 a q 是 a 二外二减一，那项链相会共线的话，其实就意味着什么？ 意味着 a 一 y 二减一等于 a 二， y 一 减一，整理就变成 a 一 y 二减 a 二， y 一 减去 a 一 减 a 二等于零， 就得到这么一个式子啊，这么一个式子，这个就是一种用坐标把题目条件表示出来的过程。那么不连力的第二步是什么？ 不连力的第二步是什么？我刚才前面讲到了传统的连力，它是一个非常注重结果的过程 啊，他很注重结果，所以你要一直算，一直算而不连力呢？他注重的是过程，过程， 他很注重过程。那你这个过程我要怎么怎么去一步步的推进，就像你打游戏是要一步一步的去推官 啊。他不怜悯，看中的不是要把世子算出一个确切的结果，而是运用那种设而不求的思想 啊，有一个过程在就好了。不用呃，不用把什么东西都求出来，得到非常确切的结果，他更注重于代数代数方法 的应用。 再举个例子，再举个例子，比如说啊，这是立一 立二，条件同立一， 且 p q 再椭圆 x 方除以三加四分之外，方等于一上。问 a 一 a 二外一外二，还有什么关系？ 好，这里我们前面 已经写出一个来了。关系已经写出一个来了，还能怎么办？好代数 方法的运用。其实这里呢，我们很关注一个东西是什么？横等式 以及变形，以及这个代数变形， 这两个是很重要的，恒等式它永远不会变，你随时可以用它来对式子进行 变化。而代数变形呢？是在你玩没有想要运用恒等式的时候对式子进行变形啊，一个比较初级，一个比较高级，但是目的是一样的。 那好，我们来看怎样把这个东西变形，那肯定要什么利用椭圆方程， 那我把它写出来吧，因为这也是一个条件嘛，那就由 a 一 方除以三加四分之外，一方等于一， a 二方除以三加四分之外，二方等于一。 啊， 那我们原来这个式子我可以写成 a 一 y 二减 a 二， y 等于 a 一 减 a 二。 因为我们椭圆方程里面全部都是平方结构，所以我会想要把原来的式子变成没有一次就全部变成二次，或者部分变成二次，使得这个椭圆方程我能用上。所以 想到平方马上是什么平方差，平方和，就是完全平方那一套，以及平方差，就这两个东西 高级一点，就是拉格朗日恒等式。我们待会讲到那这里呢，采用的是平方差，那就 a 一 y 二，平方减 a 二， y 一， 平方除以 a 一， y 二减 a 二 y 一。 这个变形你可能第一次看，想不到，但是我们熟悉的他能考的很本是就那几个， 就关于平方的，就这几个，你多试几次就能熟悉了。那么我们现在就把椭圆方向带入，因为这里出现的是 a 一 a 二， 所以我要把什么把 y 消掉，于是这里应该是 a 一 方乘以这个四减三分之四， a 一 方， a 二方 再减去 a 二方乘以四减三分之四， a 一 方除以 a 一 外二加 a 二外一。 发现了什么？发现这个东西跟 a 一 乘，就是 a 二方跟 a 一 方一乘跟后面 a 一 方 a 二方一乘相简约了， 所以原式变成这个四倍的 a 一， 减 a 二平方带平方的除以 a 一 外二加 a 二外一。 于是就推出 a 一 y 二加 a 二 y 一， 再次应用平方差四倍的 a 一 加 a 二，我们就得到了一个新的式子。 啊，新的式子，这是一个很完整的过程，我们把式子通过代数变形以及恒等式的应用变成了新的形式， 而这个新的形式它能够用来干嘛？我们待会再说，待会遇到了，待会讲立体的时候再说。现在我们更注更关注 一些理论上的讲解。那好，接下来想办法把题目条件用斜率或坐标表示出来，以及用代数进行变形，这其实就是不连累的一个完整过程了 啊，这就是不连累的一个基本过程，他干的就是这么一个事情， 在你把它这个题目条件表达出来之后，你可以对它进行变形，变形完好，你把它变形完了，接下来怎么办？ 你就想着好，这是第三步。接下来第三步，前面两个写下，第一步，第二步， 这是第一步，这是第二步。第三步是什么？第三步，把变形 得到的结果翻译回 几何语言 好，还是一样的例子，例三，同例二， 同例二。我们不是得到了 a 一 外二加 a 二外一，等于四倍的 a 一 加 a 二吗？我们原本的这个是得到的， 原本的是这个， 这个是原本的原本的它告诉我们斜率之斜率相等， 那得到的这个东西意味着什么呢？你对它进行变形， a 一 乘以 y 二减四，等于负的 a 二乘以 y 一 减四， 两边同时除以 a 一， a 二，推出 y 二减四，除以 a 二加上 y 一 减四，除以 a 一 等于零，这就意味着 a p 不是 a 了。我这里记个 b 零四， b p b q 斜率相等， 斜率相加为零，互为相反数啊，他就会，大家就会看到变形结果。翻译回几何语言就是这样子的， 你就发现你得到了一个新的东西，而这个新的东西，它有很大的可能性是你有可能需要证明的，或者需要得到的东西。 那类似这样的柿子，我们呢，还能拿来干嘛呢？我们这里得到了两个柿子，可以拿来消元，两个柿子足以消元消水来看， 两式相加得 a 一 y 二等于三，不是三五倍 a 一 再加上三倍 a 二，所以 y 二就等于 二分之五加二， a 一 分之三， a 二，发现没有消圆了， y 二消掉了， 我们可以把 y 一 y 二全部都用 a 一 a 二来表示，这是一个亮点， 这是连传统连力几乎很难做到的一个事情。传统连力有可能做这么个事情要花很长时间，计算量也很大， 而我们不连力就可以轻松做到这几点。而且你看不连力的过程是不是很简洁， 前面这里就是稍微计算了两下子就得到一个式子了。这边也是啊，几乎没有计算啊，优点就显现出来了，计算量小， 过程简洁，省时省力。 如果能把它熟熟练的掌握下来，可以说能够解决很多问题 啊，很多问题都能解决。那我们现在看一下例题，两者的对比，这边已经讲的很清楚了，其实就是一个是注重结果，一个注重过程啊。 看下例题第一道例题，这不就是我们刚才讲的例子吗？ 只不过把 a 轴跟 y 轴颠倒一下，其实是一样的。第一个例题我们就不讲了，看第二个例题。 好，第二个例题，第二个例题我很喜欢，它涉及到了我们这个 常见常考的恒等式。首先有平方差，我们考的恒等式有哪些？一个平方差一个完全 平方公式，还有个是什么是拉格朗日恒等式，这题就要用到拉格朗日恒等式。那什么是拉格朗日恒等式？ 就是 a 方加 b 方乘以 c 方加 d 方等于 a， c 减加 b， d 平方减去 a d 减 b c 平方， a d 减 b c 平方。这两个加起来，它的一个大名鼎鼎的推论是什么？是这个东西，它大于等于 a c 加 b d 的 平方，这个就是二元可写， 这个就是二元可西不等式啊，二元可西不等式。那这道题我们怎么运用这个拉格朗日方程呢？大家一起来看。我们首先要找的点， a 反正是负二零了， b 是 零一 p q 在 椭圆上我设 p， a 一 外一， q a 二外二，这这样的过程其实都是一样的，都是要设点， 设点肯定要设，你可以不设直线，但是设点一定要设。那现在开始翻译条件， a p 跟 b q 平行，那 a p 是 什么？ a p 斜率是这个 y 除以 a 一 加二， 那 b q 的 斜率呢？是这个 y 二减一，除以 a 二。好，然后这里运用到我们不连例中常常考常常要用到的一个技巧，什么点差法， 点差法其实也是点差法，那个证明其实也是这个不连力的过程。就是 呃，斜率积等于定值的那个定，那么我们直接写了，这里我就不多讲了。这个很简单， 外一，除以 a 一 加二乘以 a 一 减二分之外一等于负的四分之一。外二减一，除以 a 二乘以外二加一，除以 a 二等于负的四分之一。那由此推出外一除以 a 一 减二，也等于外二加一除以 a 二。 这样是不是就出现两个式子了？这两个相等是一个式子，这两个相等是一个式子，可以开始变形了。好，这是一式，这是二式一就推出。呃， a 二 y 一 等于 a 一 y 二减 a 一 加二， y 二减二。二是推出什么？二是推出这个 a 二 y 一 等于 a 一 y 二 加 a 一 减二， y 二减二，马上得出什么？ 马上要得出什么？两式相加，两式相加。推出。哦，不对，是两式相减，两式相减 推出。零等于二， a 一 减四， y 二，那么推出 a 一 就等于二 y 二。好，这是一个。那 a 一 等于二 y 二了，那推出。 推出 a 二 y 一 减 a 一， y 二等于负二。哎， 那这题好像用不到拉格朗日恒等式了。 嗯，待会还是介绍一下吧。那到这，其实这题已经做完了。 s 三角形 o p q 不 就等于二分之一的 a 二 y 减 a 一 y 二吗？就等于一了嘛。那这里面积为定值就正出来了。 其实这种题目它整个过程都是很清晰的。 那好，我刚才说要用拉格朗日恒等式，这里的用上其实是还有别的东西 可以说一说。好，拉格朗日恒等式，告诉我们什么？告诉我们 a 一 方除以四加 y 一 方乘以 a 二方除以四加 y 二方，它会等于 a 一， a 二除以 四加 y 一 y 平方，加上这个 二分之 a 一 y 二减二分之 a 二， y 一 平方， 那这个东西就等于一嘛，因为它们都在椭圆上，这两个东西都是等于一的，乘起来肯定还是等于一。右边等于什么？右边这个东西它是等于，它也等于一。 所以这就告诉我们 a 一 a 二除以四加 y 一 y 二肯定等于零嘛。然后把 a 一 等于二， y 二代入， 那就得到二分之 y 二， a 二加 y 一， y 二就等于推出 a 二等于负二， y 一， 就发现 a 一 a 二 y 一 y 二都能互相表达啊，都能互相表达。这里是拉格朗日恒的式的一个简单介绍。好，我们看下一道题。 下一道题其实，呃跟例题很像，但是它又有点不一样 啊，有点不一样。首先我们把图简单画一下，这种题目呢，还是需要简单画图的。 图画一下 右焦点 f 关于 a 圆点对称的 a b 两点，然后这么两个焦点 d e。 第一个问让你证明 d e 过定点，第二个问让你证明 a b 跟 d e 的 斜率之比为定值，那好，还是一样的 a 跟 b 关于圆点对称，我直接设 a 是 a 零外零， b 是 a 一 外一， e 是 a 二外二， 那好写过程 a、 f d 共线推出这个 外零，除以 a 零减一等于外一，除以 a 一 减一，那就 a 一 外零减 a 零外一 等于负的外一减外零。好， 开始用平方差手法，它等于 a 一 平方外零平方减 a 零平方外一平方，除以 a 一 外零加 a 零外一，等于 这里一次项是 y 的 了，所以我要把它用把，把 a 用 y 代掉，那就是这个会等于 四减三分之四倍的 y 一 平方除以 y 零平方，减去四减三分之四倍的 y 零平方除以 a 一 外零，加 a 零外一， 就等于四倍的外零减外一乘以外零加外一。比上 a 一 外零加 a 零外一，好削。所以 a 一 外零加 a 零外一，就等于四倍的外一加外零。同理可得。 好，大家要注意，这里同理可得是可得，什么同理可得？我把 y 换成负外零， a 零换成负 a 零， a 一 换成 a 二， y 一 换成 y 二，那是不就是 b f g b f e 贡献所得的结果？所以 你看啊，负 a 一 外零减 a 零外一， a 二 y 零 y 零。负的 a 零 y 二，就等于四倍的 y 二减 y 零。前面那个也一样， a 二负的 a 二 y 零加上 a 零 y 二就等于负的 y 二加 y 零。 好，现在我要证明，直线第一过定点，该做什么事情呢？该做一个什么事情呢？ 好，这个事情很简单啊，我把这里 两式相加，标一下序号，这是一式，这二式，这三式，这四式。一加二推出什么？一加二推出什么？ 一加二推出 a 一 外零，两倍，就等于这个三倍外一加上五倍外零。 那好， y 零不就等于三外一除以二， a 一 减五了吗？对不对？好，那这个时候你们就要注意到了， a 零， 不对，不是 a 零负的外零是不是就等于三倍的外二除以二倍的 a 二减五，这也是同理吧。所以， 外一除以二， a 一 减五，加上外二除以二， a 二减五等于零， 这个 a 一 a 二 y 一 y 二的关系不就出来了吗？这又是一个斜率和为零，好给它化。减 二倍的 a 一 y 二加上二倍的 a 二， y 一 减五倍， y 一 减五倍 y 二 等零呢，就直接移向你们看，这其实还是一个呃，提取信息，信息处理，处理完再提取回去，再那个转化回去的一个过程，那他又会等于 两倍的呃。 a 一 y 二平方减 a 二， y 一 平方除以 a 一， y 二减 a 二， y 一 上面变成呃，上面变成 四倍的 y 二减 y 一 y 二加 y 一 除以 y 一， y 二减二， y 一 会等于这个会推出呃， 五倍的 y 一 y 二减二， y 一 等于八倍的 y 二减 y 一。 好，可以化解了。 y 二乘以五， a 一 减八，等于 y 一 乘以五， a 二减八，那就是 y 一 除以五， a 一 减八，等于 y 二除以五， a 二减八。哎，斜率相等， d e 与这个 五分之八零相连的斜率相等，说明第一经过这个点，所以第一过的定点就是五分之八零。 大家回看过程一，第一，第一问的过程很明显吧，它的流程很清晰， 流程很清晰，先把题目条件转化成坐标式，坐标的关系式，坐标关系式变形，变形完消元，消元变成 a 一 a 一 a 二 y 一 y 二关系，这个关系我再变形，变形完变成这么一个式子，这个式子再变形回去， 就是进行几何化，我们就得到它经过定点，其实这是一个很很很流畅的过程啊，就是第一问，我们再看第二问，第二问呢？呃， 可以说是比较简单了，第二问在第一问铺垫下就比较简单了。好，我们来看第二问， 第二问呢，我们前面是已经得到了这个 y 零等于三倍的 y 一 除以二， a 一 减五， y 负 y 零等于三倍的 y 二除以二， a 二减五。但是大家要注意， 我们前面 y 零 y 一， 它是对称的吧， a 零 a 一 也是对称的吧？所以我可以做一个什么事情可以做这么一个事情， 由一同理可得， y 一 等于三倍， y 零除以二， a 零减五， 没错吧？好，没错，我们继续。那负的 y 零 不对，那这个 y 二是不是等于负三倍的 y 零除以负二， a 零减去五啊？对不对？好，没问题吧？继续。 a 一 等于什么？ a 一 等于什么？我们在这边算一下 a 一， 这个要算 a 一， 一样的， 在这里， 二 a 一 减五等于三外一除以 y 零等于九， y 零除以二， a 零减五，比上 y 零等于 九倍的 y 零除以二， a 零减五，所以 a 一 等于九， y 零啊，没有 y 零了。 九加二， a 零减五，除以二， a 零减五，再乘以二分之一， 这个是加加十， 加上十倍的二， a 零减五，那就二十， a 零减去二十五，这个是十，是五倍，那它就等于五倍的 a 零 减去上面九减二十五，是负十六嘛，减去八了，二， a 零减五，那同样的呀， a 二就等于 负五， a 零减八，除以负二， a 零减五。好，接下来算斜率了，接下来就要算斜率了， k、 d、 e， 它等于呃三外零除以二， a 零减五， 加上不是加上，还是减去三外零除以二， a 零加五，比上这个 五， a 零减八，除以二， a 零减五，再减去二， a 零加五分之五， a 零加八。 通分六 a 零 y 零加上十五倍的 y 零减去六倍的 y 零， 六倍的 a 零 y 零，再加上十五倍的 y 零，底下是十 a 零，平方加二十五， a 零减去 四十，减去十六， a 零 再减去十， a 零平方加二十五， a 零减十六， a 零加四十。发现没用的东西全都干掉了， 剩下什么？剩下三十 y 零除以这个十八倍的 a 零，那不就是三分之五倍的 k a b 吗？ k a b 就是 y 零除以 a 零啊， 对不对？ 整个过程其实是比较行云流水的， 就没有非常繁琐的计算，这种计算都是很基础的计算， 那大家也其实就可以从这些立体当中我们去感受到这个不连力他的魅力了。那这边可以再举，再举一个例子， 再举一个例子， 嗯，举个什么例子呢？关于垂直过定点的那种例子。 好，垂直过定点， 嗯，这样子， 嗯，随便写一个椭圆方程， 嗯， 椭圆， 它是什么个椭圆呢？是 a 方除以 九加八分之外方等于一的一个椭圆，然后它的右顶点 为 a p q 在 椭圆上， 且 a p 垂直 a q， 证明 p q 过定点。 这个题是不是给大家一种这个题好像小时候他都报过，你的感觉， 有没有这种感觉？这种题目太经典了。垂直，然后过定点，初中都考过，初中考的是抛物线的那种， 给大家大概一分钟的思考时间。 好，我们现在开始这道题。图画不画其实无所谓了，稍微画一下吧。这是 a 点 p q， 他 说这里有个垂直一样的射点，射 p a 一 y 一 q a 二 y 二，我们知道的是 a 是 三零， 那 a p a q 斜斜垂直，斜率之积为零，所以外一除以 a 一 减 三乘以外，二除以 a 二减三就等于负一了。好，接下来我们介绍一个这个不连力的常见手法。什么手法呢？这个东西 它是 k 一， 这是 k 二，这是两个斜率， 我们要证明它过定点，其实是要找一种什么形式？找一种。呃， a 一 外二减 a 二外一，等于 再加上兰博达一倍的 a 一 减 a 二，加上兰博达二倍的外一，减外二等于零。得找，找到这么一个形式，对不对？ 是吧？要找这么一个形式，那这种形式其实是需要很对称的那种结构。这个东西显然没办法对称，因为上面两个分子，它乘积是外一外二，我们要找的乘积是 a 一 跟外二以及 a 二和外一，所以这个很明显是不合适的。 那我该做一个什么事情？一样的点差法，还记得吗？我们把 k 一 给它替换掉， k 一 给它变成 它。不是外一除以 a 一 减三吗？可以写成负的九分之八乘以 a 一， 减加三除以外一， 这是很巧妙的。那同样， k 二等于 y 二除以 a 二减三，也等于负的九分之八乘以 a 二加三除以 y 二， 这样乘不就变成了我们要找的东西了吗？来看来看好， 负的九分之八乘以 a 一 外二加三外二，括号比除以 a 二外一减三外一，括号等于负一，那么就得到这个 八倍的 a 一 外二加二十四倍的外二，等于九倍的 a 二外一减二十七倍的外一。那好，同理，八倍的 a 二外一， 加上二十四倍的外一，等于九倍的 a 一 外二减二十七外二。好，有同学问了，老师，这个，这个也不对称啊。 哎，我们前面题目加加减减你见得少了吗？这两个一相减得到什么？来看， 一相减得到八倍的 a 一 y 二减 a 二， y 一 加上不是加上减去二十四倍的 y 一 减 y 二，就等于 负九倍的 a 一 y 二减 a 二， y 一 减二十七 y 一。 这是什么？不就是十七倍的 a 一 y 二减 a 二 y 一 会等于负三倍的 y 一 减 y 二吗？也就是 y 二 十七， a 一 加三减三， 等于外一乘以十七， a 一 减三，外一除以 a 一 减十七分之三，等于外二除以 a 二减十七分之三。 这其实就是推出 p q 经过十七分之三零这个点。 那好了，这些例题讲完之后，大家其实会发现这讲的也不是非常深奥的东西，也是相对来说比较简单的题目。那不连力这个体系呢？它其实是有很多很巧妙的方法 和技巧，这里仅展示一部分。那本期视频呢，希望可以给各位同学带来一个关于不连力的一点简单体会吧。 啊，通过我们通过简单说明不连力的目的，以及它和传统连力方法的区别， 呃，以及一些立体，让大家清能够清晰的，相对清晰的了解到了不连力他的一个魅力所在。那希望呢， 这个应用啊，大家可以自己去对一些问题进行尝试， 多尝试肯定是没有错的啊，多尝试肯定是没有错的，那本期视频我们就讲到这里，感谢各位收看，我们下。

开始讲我们的第一章，第一章呢，就是这个。嗯，解析几何的小题。第一章一共分了这么五节啊？嗯，是第一节呢，是题比较少，一二年到一三年， 然后后面是每三每三年呢作为一节啊。然后呢？最后这个第五节呢，就是二三年到二五年就是近三年的题。 一般的话，一般的话，呃，学校应该是就是做的是近三年的，但是它它里面也会包括什么北京卷， 然后天津啊，还有上海，对吧？呃呃。以前的试卷比较多，但是从二五年开始就一共就全国卷的话，一共就两套，就新高考一卷和二卷假卷呢？也没有了。 二四年的甲卷是最后一套。然后呢？嗯，就是三年的题，可能是比较少啊，所以呢？嗯，然后， 然后也可以把二零年到二二年的听了。差不多吧。啊，把这六年的题听了，差不多，因为大部分人都没什么时间了，特别是如果是高三的话，现在已经有些学校复习的快，应该是到二文了。嗯，再往前的话呢，如果时间够的话可以听，但是我讲的话是按顺序来讲的。 嗯，这个解析几何呢？它包括，呃，哪几个板块呢？它包括这个直线，我们学习的顺序应该也是这样吧。像内学学习的顺序也是这样子的，直线过是圆，然后椭圆， 再过是双曲线，然后是抛线。 其实这五个都叫那个圆锥曲线，但是后面三个一般啊，一般把后面三个叫做圆锥曲线。为什么？ 因为后面这三个它可以出大题，也可以出小题，但是前面这两个的话它是不会出大题的，它只有小题。 呃，圆圆这个小节的话，它不是必考啊，不是必考。不是说每年都会，不是每一年都会考，它不是每一年都会考。直线呢？直线呢？嗯，这十四年里面只有一个， 只有一道题，只有一道小题。这十四年里面一二年到二五年只有一道是单独考的。直线，一般作为那种， 嗯，要素融合到其他题里面就是跟这几个一起考啊，他不会单独出一道题的，而而且出的那道题是比较难的，出的那道题是比较，嗯，比较难的， 嗯，然后他的这些，呃，按这种要素分类，然后还有那种按题型分类啊，按题型的话有哪些题型呢？首当其冲的就是这个疑心欲的题，疑心欲的题， 离心率的小题啊。离心率的小题是一个很庞大的题，它的核心的这个方法呢就是找出这个方程，找出这个方程 就是列那个 c 和 a 的 方程，然后呢？列 c 和 a 的 方程之后呢？然后呢？表示出离心率啊，还有这种，嗯，分这种取值范围的，取值范围， 曲值范围的，然后最值的不是大题啊，小题里面也会考这些最值的，然后还有一些，呃， 线段，包括线段和角度都有这种，嗯，曲值范围和最值，它结合三角函数考的话有一个什么？正弦、余弦三，嗯，呃，最值范围，然后还有这个求方程啊，求方程的， 他有可能让你求直线方程，也有可能让你求曲线方程，然后后面二零年，二零二零年之后呢？多选题里面就会出现这种，嗯，解析几何综合 几何的综合题，就是多选嘛，他那个多选择题里面就会，嗯，四个选项让你判断他其实是有提示的，就是 也不叫提示吧？他，嗯，他是这样子的，比如说 a 选项，你算出来之后，他是作为 b 选项能不能算出来的一个基础，这样子 c， 然后再到 d 这种，这种形式，对吧？ 这种，这种呢？有一般来说不会简单啊，因为他没有必要放简单，因为比如说 二五年之后，二四年吧，二四年的新高考之后呢？它那个就是我们是十一道选择题啊，多选的话就是就是三道题，三道题，第九个题的话它也可以放，但是它没有必要放到第九题，因为第九题的话它可以放一些，比如说，嗯， 它可以放一些，比如说那个概率啊，然后嗯 v t 几何，或者是说那个， 呃，复数，也也有可能啊，也有可能放复数，然后呢？解析几何一般放到第十题或者第十一题，如果他出多选的话，就会放到这两题啊。嗯，他也有难的，他老高考的话十二道单选， 简单的话就是放到四五题啊，然后呢就是简单， 然后中等的话，七八题难题的话有可能放到十一题、十二题， 这难题啊，但是这个难不是相对的，他要看年份啊，他要看年份，比如说某一些年份啊，某一些年份的话，呃，二零一九年，二零一九年，他是整体都简单，整张试卷简单， 一九年的话一二三卷都简单，那个时候还没有新高考啊，就是全国一二三卷都简单。然后我们就开始吧，看第一道题，第二道题那是非常简单的， 它这种是直接问焦点的坐标，焦点的坐标呢，就是这种形式， y 等于二 p x， 那 么它的焦点呢？就是二分之 p 零， 那么就是你把四除以四的话，就是二分之 p 了，就是一零，就是选 a。 第二道题。第二道题也不难，你看第二道题考的就是这个。呃，直线和这个圆的综合题都都都算不上综合题吧，算那种常规题，没有很综合的那种，反正是没有椭圆那些的啊，问的是这个相切，对吧？ 然后求一个 k， 一 般来说啊，一个圆跟一个直线相，如果相切的话，应该是最想把最想你最能翻译出来的数学语言。什么意思？就是这个圆心到这个直线的距离 d 等于这个圆的半径 r， 对 吧？这是你必须要翻译出来的。然后呢，这个 r 呢？它等于一，然后呢，这个圆心是零零，这个直线我们把它写成标准的形式， k x 减 y 加根号二，等于零，对吧？ 那么这个 d 怎么算呢？ d 是 把这个零带进去，带进去之后就是根号二，我就不加绝对值了，因为它本来就是大于零的，就没必要加。然后如果，如果你不能判断大于零分子，你不能判断大于零和或者小于零的话，你就要加上绝对值。分母呢，是一加 k 方， 根号加一加 k 方，嗯，等于一，这个方程解出来，解出来 k 呢？等于正负一，你把这两边平方平方之后就行。 用红笔写偏方啊，偏方之后结就行了。等于正负一，然后，呃，第三题，嗯，第三题就考到一次于星宇了。嗯，于星宇，于星宇在老高考时代是尤为会考察的一种题吧， 就比如说今年不考，明年就一定会考，就是这么平凡的程度，但是在新高考的话，他也也不能说他是一个低频的考点啊，易信宇不管在哪个时代他都是，嗯， 比较，因为它比较好出题吧？对，就不需要给一个具体的值，你只需要知道那个 c 跟 a 的 比值就行了。然后呢，这种离心率的题就是不止离心率吧，就是这种解析几何题，如果要素过多的话，比如说要素很多啊， 要素很多的话，你可以考虑画简图， 就是它这个地方给一个椭圆，对吧？ 你其实根本都不需要把这个椭圆画出来，特别是后面一个圆啊，又又有一个什么椭圆，对吧？那么你画的就太画出来的话，就是让整个画面就非常非常不清楚，所以我们就可以考虑画简图，画简图就是画什么？画点，把这些重要的点画出来，写清楚一点吧。 顶点，椭圆和这个双曲线都有两个顶点，然后不对，椭圆有四个，双曲线有两个，抛物线有一个，对吧？顶点交点 焦点的话呢？嗯，椭圆双曲线和抛物线都有，然后，嗯，动点，题目里面给的动点，对吧？动点画出来，然后直线，直线是比较简单的，是可以画出来的，那这道题呢，我们就画出来了，就这样画左焦点右焦点，对吧？ 然后呢？嗯，这个他说 p p 是 x 等于二分之三 a 上面的一个点啊，你画上面画到画到这或者画到这都一样，但是画在下面不如你画到上面还好看一点，对吧？ 他说这个三角形 f 二 p f 一 是一个底角为三十度的等腰三角形，等腰三角形底角是三十度，底角是三度三十度，说明他有一个顶角是一百，他的顶角就是一百二十度，对吧？他说明这个就是一个钝角， 钝角的一个三角形，对吧？那它的图形只能长成这个形式，这个角 f 一 f 二 p 呢？它是等于一百二十度的，对，它，它是这样的一个三角形。 然后我们这道题呢，还是用这个几何的几何的性质来写吧，这个 o f 一 呢，等于 o f 二等于这个 c， 对 吧？然后它不是等腰三角形吗？那么呃， f 一 f 二，它就等于 p f 二 等于二 c， 对 吧？所以呢，这条边也是二 c。 然后然后我们看这个， 这条边是可以算的， f 二 m 是 可以算的，就是 x 等于二分之三， a 和 x 轴交于 m 点，然后这条边呢是可以算的，因为那个，嗯， x m 就 等于 x p 啊，然后呢， f 二 m 呢？ 它这个东西呢，就是用这个 m 的 横坐标去减去 f 二的横坐标，减去这个 c， 对 吧？ 然后我们单独把这个三角形再画一遍，其实我感觉这个方法还挺好的，你单独把这个三角形啊，一般离心率我们是通过构建三角形的里面的关系来求的，包括后面如果有一些比较复杂的话，你可能还要用余弦定义，比如说这样子， 嗯，这样子，对吧？这有一个直角，然后余弦定义的话，嗯，我看余弦定义， 或者你这样子的余弦定义，你可以算这条边，首先有个直角三角形面，就是呃，这条边比上这条边，然后再用一次这个角的余弦定义，就是在这个三角形面构建。所以呢，其实再画一遍三角形，它其实是让你能够更好的看清这些 线段之间的关系的。 p 点、 m 点和这个 f 二点啊，然后呢？呃，这个角是相当于这个角，这个角呢，等于三十度加三十度，六十度，那么这个角呢？就是三十度，对吧？这是一个直角三角形里面，然后，呃， p f 二 p f 二等于个两倍的 f 二 m， 这个呢就是关系了。然后我们把这个带进去吧， 把这带进去就是二 c 等于二倍的三 a 二分之三， a 减去这个 c， 对 吧？然后可以算出来后面这个，呃，三 a 等于四 c， e 呢，就等于四分之三。有时候你可能算着算着把 e 算成三分之四了，你这个这个就可以很容易检查出来。因为什么？因为一个椭圆对一个椭圆来说，它的 e 呢？是零到一之间的，对吧？你这个明显都超出 e 了，所以呢是不对的，只能等于四分之三。这道题就选 c 到第四题了。第四题的话是等轴双曲线， c 的 中心在圆点，对吧？交点在 x 轴上面，交点在 x 轴上面，说明什么？说明这个双曲线长什么样子？就是这个样子， a 平方减去 y， y 平方变成 b 平方对一，然后 ab 呢，是大于零的，注意啊，注意，这个双曲线的话，它是这种 ab 是 没有明显的大小关系，但是椭圆的话， 椭圆就是，嗯，它的焦点在哪？跟这个 a 跟 b 的 大小关系是没有什么直接的关系就没有关系的啊，但是椭圆的话，它椭圆的焦点在哪里，就取决于这个 a 跟 b 的 这个大小关系，对吧？大于啊，小于啊，这种，对吧？就决定它的焦点位置。 嗯，双曲线的交点在哪个位置呢？取决于这个减号，就是你是 x 平方减 y 平方，还是 y 平方减 x 平方，对吧？他说交点在 x 轴上面呢，那就是 x 平方去减去外平方，对吧？他又说等轴，等轴什么意思？双曲线呢？是有两个轴，一个是十轴， 一个是这个虚轴，对吧？等轴的话就是虚十轴等于这个虚轴，十轴等于虚轴，就是二 a 等于二 b， 然后呢， a 呢？等于 b， 对 吧？所以我们可以把这个换了， a 大 于零，对吧？然后呢，写成这种形式，然后说与抛物线的准线交 a b 两个点，这个抛物线的准线是什么？ l l 等于什么？ x 等于负四，对吧？嗯，这道题呢，跟第一题的这个是 一样的，求法啊，你先算它的这个焦点吧，焦点焦点，焦点算过之后，这是比如说这，这是抛物线的这个焦点，对吧？这是 o 点，然后呢，你对称过来，这个点就是那个， 呃，准线跟 x 轴的交点，对吧？那么这道题里面这个抛物线呢，是四个音啊，对称过来之后呢， x 等于负四，对吧？等一下 s， x 等于负四呢，就是它的这个准线。 然后我们把这个联例一下， x 等于负四，他说的是这个 ab 等于什么？四倍根号三啊，那就要呃，把 ab 用这种含 a 的 这个式子表示出来，然后呢，就可以把 a 再求出来， x 等于负四，然后连一下这个 c， c 呢？我们把直接把这个，嗯，像大题一样的样子，先把这个 a 平方直接乘到右边去， x 平方减 y 平方呢？等于 a 平方，然后呢，连一出来之后，应该是十六减 y 平方等于 a 平方， 然后呢， y 呢，等于正负根号下的十六减 a 平方， ab 等于什么？ ab 呢？等于两倍，根号下十六减 a 的 平方等于四倍，根号三。我们把这边同时做一个约分啊，就是根号下十六减 a 平方 等于两倍的根号三，对吧？我们再把它平方，就可以求出来这个 a 啊，求出来这个 a， 最后等于这个二，因为 a 是 大于零的。 然后呢，这是个陷阱啊，有些人，我，我怎么求出来这四个答案里面都没有啊，因为人家问的什么？因为人家问的是这个十轴的长度，是吗？十轴刚刚就说啊，二 a 的 吧，十轴是等于二 a 的 啊，那么二 a 呢？就等于四啊，那么就选这个 c 看第五题。第五题呢，也是一个椭圆的题啊，左右的焦点是 f 一 和 f 二， p 是 c 上面一个点啊， 画一下 f 一 f 二，这是中点 o 点。然后呢，嗯， p f 二垂直， f 一 f 二 f 一 f 二的方向，是吗？就是 x 轴，就是 x 轴的方向，对吧？然后呢，就是这样子的 p f 这样子画， 再画下面一点吧，因为这个 p f 二还是 p f e f， 嗯，我不用不用，就这样吧， p 点对吧？ p 点是 c 上面点， p 在 这个椭圆上面，对吧？ p 在 这个椭圆上面，后续呢，我们就可以用这个椭圆的几何形折 垂直，哎，他说这个角 p f 一 f 二，这个角是等于三十度的，对吧？三十度的。然后，呃，我们有椭圆的几何性质是什么？就是 p f 一， p 在 这个上面，对吧？他到左焦点的距离和到右焦点的距离之和等于二 a， 二 a 等于什么？二 a， 就是 这个叫做椭圆的椭圆，就不叫十轴，它叫这个长轴的长，对吧？等于二 a， 对 吧？然后因为它又在这个三三十度角里面，这个 p f 一， 它又等于什么？这是三角形带给他的这个关系啊，等于两倍的 p f 二，对吧？你最后呢，这两个方程连一出来，你可以求出这个呃， p f 二 等于呃三分之二 a， 对 吧？三，对，它是等于三分之二 a 的， 然后呢， f 一 f 二呢？等于这个，这个是 c， 这个也是 c， 对 吧？ f 一 f 二 等于根号三倍的 p f 二，对吧？然后呢，我们就由这个方程解出来的离心率就是二， c 等于三分之二 a， 再乘一个根号三，对吧？就这样子，根号三倍的，呃， p f 二嘛，对吧？你最后算出来，这个 e 等于 c 比上 a 啊，等于多少？等于这个三分之根号三。 你选这个 d 选项看第六题，第六题的话是一个抛物线的题啊，这个交点呢，是显然，显然一箭呢，是一零啊。然后直线 l 过，它和 c 交于 ab 两个点， 直线 l 既然过 f 的 话，我们可以把它设成这个形式，设这个设 l 的 话呢，是 x 等于 m y 加上 e， 对 吧？因为它过的是 x 轴上面的一个定点， 所以呢，我们就可以把它设成这种，嗯，截距吧， x 轴的截截距式啊。然后又说这个 af 三等于这个 af， 哦， af 等于三倍的这个 bf， 对 吧？ 这个呢，一时半会可能想不到什么好的办法，但是，但是那种高手可能就不用联谊吧，就直接用那种定比分点，对吧？我们还是老老实实把他那个联谊一下吧，毕竟这个联谊不是很困难，对吧？因为实在没有其他的招数， 然后连一的话，就是 y 平方等于四 x 解出来呢，这个方程还是不难连的，还是很好连的。 y 平方等于呃， y 平方，减去四倍的 m y 啊，加减四等于零，对吧？等于零之后， 我这边已经设好了 a x 一 y 一 b 呢是 x 二， y 二这个东西，首先是维达定律吧， y 一 加上 y 二呢等于三， y 一 y 二呢等于呃，负四，对吧？它有这个，有这个式子的话，我们用红 b 标一下，就是这个 呃， a f 等于三倍的这个 b f， 那 我们，嗯，用它的横坐标也可以，用它的纵坐标也可以，但是，但是用纵坐标有个什么好处啊？就是 y f 等于零啊，对吧？ 你就不用减来减去的，你就直接用这个，嗯，动作表，好吧，就是 y 一 它等于，因为这个地方的话，我这个这个这条直线啊，这条直线是我们目前设的这条直线啊，从这里面来看， y 一 是大于零的， y 二是小于零，对吧？所以这个地方应该是负三倍的 y 二，对吧？ 这个地方是负的三倍的 y 二。然后呢，我们用这个式子，用这个式子进行计算啊，这个 y 一 y 二呢，就等于负的三倍， y 二的平方 等于负四，退出来，这个 y 等于多少？负的二倍根号三比上三，这就是 y 二的这个 y 二的值。算出来 y 二的值之后呢，你又算，再算这个 y 一 的值， y 一 的值就是负三倍的 y 二等于这个二倍根号三。然后 y 一 跟 y 二加起来不是等于 m 吗？等于四倍 m， 对 吧？然后你又可以算出来这个 m 呢，等于三分之根号三， 三分之根号三，说明什么？ m 是 不等于零的，不等于零，哎，这个地方，这个地方讲一下，这是 y 轴，不对，这是 x 轴，这是 y 轴，对吧？如果我们把它写成这种形式啊， x 等于 m， y 加上一个什么东西的话， 那说明，嗯，这个直线 l， 它是过 x 轴上的某个定点，对吧？那这个 m， 当这个 m 变化的时候，这个直线可能是这样变，这样变，对吧？但是当如果说 m 等于零的时候啊， 这个 a， 这个直线就变成了 x 等于某一个数，对吧？某一个数 a 相当于是垂直于这个 x 轴，那么这个时候这个 这个直线呢？他其实是没有斜率的，他就不能写成，比如说 x 等于 a， 对 吧？他就不能写成 y 等于什么？什么 x 的 形式，对吧？这种是写不出来的，因为他他是没有斜率的，或者说，或者说什么，或者说他的斜率 k 等于无穷了，对吧？ 这个应该是比较好理解吧？因为零分之一啊的极限的情况下，它其实就等于无穷，对吧？ m 等于零， m 分 之一不就是零分之一吗？零分之一相当于就等于无穷了，对吧？是一个广义的概念啊。呃，如果说 m 是 不等于零的话，那么它的这个 k 呢？它就等于 m 分 之一， 因为 m 不 等于零的话，这个斜率是存在的，对吧？然后呢？退出来 k 呢？是等于根号三，呃，对吧？三分之根号三的导数是根号三，然后它应该是哪个直线？它应该是， 对吧？它是根号三，这个形式应该是非常非常眼熟的，就是根号三倍的 x 减一，对吧？就是过这个 x 轴上面这个顶点， 所以选 c。 那 有人说为什么后面还有一个负根号三呢？因为我们刚刚算的是我们刚刚画的这个图啊，他只是一种情况，就是就是这个 a f a a 在 这个第一象限的时候啊，有可能在第一二三，第四象限，对吧？在第四象限的时候，他还是满足 a f 等于三倍的 bf， 但是这个时候干嘛？他的这个斜，他其实这两条直线是关于 x 轴对称的， 是 x 轴，这是 y 轴的，是关于 x 轴对称的话，他们这个斜率呢，也是相反的。所以呢，负根号三也是符合这个条件的。呃，可以验证啊，可以可以做验证啊，比如说你把它设成这种，呃，你把这个，你把这个，你把这个叫做这个地方， y 二 y 二，你取成正的三分之二倍根号二，然后 y 一 呢，就取成这个负的，呃，负负的二倍根号三，然后你算出来的这个 k 呢，应该就是负的根号三。 所以这道题呢，开始上稍微上了一点点难度啊。然后看第七题，第七题的话呢，是反正不简单吧，我也不知道该如何评价他的一个呢？因为他年代是比较久远了，可能对于当时参加高考的学长学姐是比较难的，对于我们来说可能并没有那么难，并没有那么难， 但是还是有一定的难度，毕竟他是十一题。说这个 c 抛线，对吧？加减是个 f， 然后呢， m 在 这个 c 的 上面， m 呢？是在这个 m 是 抛线上面一个点， m f 等于五，以 m f 为直径的圆过这个点啊， 这道题其实不用画出这个圆，我们把这个圆这这个点零二啊，设成 a 点，然后让你求什么？求这个抛线的方程。 呃，首先设这个 m 点的坐标呢？是 x 零 y 零，对吧？然后 f 点是二分之 p 零， m f 等于什么？ m f 呢？就是抛物线上面一个点到交点的距离，其实是等于这个点到准线的距离，对吧？就等于 x 零，加上二分之 p 等于五，这是第一个方程，作为第一个方程。 然后呢说，呃，以 f， 以 m f 为直径的话， m f 等于五，那么它的 r 呢？就等于多少它的一半，对吧？直径的一半，二分之五。 然后说 a 过这个 a 点零二，对吧？那么相当于是说什么 a 呢？是圆上面的一个点，而且是那个。呃，什么？就是以 m f 为直径的这个圆，那我们其实可以用向量的方式把这个表示出来， 本身呢，其实圆也有一种像样的表示方式，就是比如说这是它的直径，对吧？ 这是 m， 这是 f， 这是 a 的 话，其实就是说 m a 点成 fa， 它是等于零的啊。我们把它翻译出来， m a 点成 fa 呢，它其实是等于零的。 然后呢？嗯，把这个坐标带进去啊，就是负 x 零，对吧？二减 y 零，是吧？是吗？ m a 啊， m a 的 话，你看，呃， x 零减零， m a 对 吧？就是零，零减去 x 零，然后是二减去 y 零，然后点成这个 f a， f a 是 什么？ f a 是 负二分之 p 二，对吧？ f a 是 吧？ 对， f a 等于零的吧。然后我们可以得出第二个方程就是二分之 p x 零加上四减两倍， y 零等于零，整理过后就是这个， 对吧？嗯，这是有几个变量啊？ x 零 p 外零，对吧？有三个变量，你只有两个方程，还有一个关系什么呢？ 很简单啊，外零的平方是不是等于二 p x 零啊？哎，至此三个变量，三个方程，我们就可以把它解出来了啊。嗯，我看一下，我们单看一页吧，来演示一下这个方程该怎么解？ 把这个移过来，然后第二个方程，第二个方程也移过来，第三个方程也移过来， 对吧？这是三个位置量，三个方程把它解出来，怎么解怎么解的话呢？ 观察一下，观察一下，观察一下，该怎么解，观察一下怎么解的话，你看，呃， y 零这三个方程里面是以平方的形式出现的，然后 x 零呢？是一四方，对吧？然后呢？ 看着好像第二个方程可以把它转化成这种 y 零的平方，加上什么什么 y 零， 然后再加什么什么外个音，再加一个常数的形式，等于零，把把这个外个音解出来，对吧？那我们就尝试啊，尝试把外个音，就是把 x 个音表示成外个音，外个音的平方比成二 p， 对 吧？第三个方程 把它转化出来了，转化出来之后呢，再把这个方程带到第一个第二个方程里面去，推出来什么？把它带到第一个里面，就是 y 平方，比上二 p， 再加上二分之 p 等于五，带到第二个方程里面去，就是 y 平方，比上四，对吧？比上这个 比上这个四，因为它前面有个二分之 p， 乘了之后就是四分之外零平方加上四啊，减去二倍，外零等于零，对吧？哎，第二个，这个这个方程，第第四个吧，第五个，第五个方程，它是跟屁没有关系的，它只跟这个外零有关，对吧？我们就解出这个外零， 它等于四。有些人说这不是个二次方程吗？你怎么只解出一个啊？它其实是个完全平方的二次方程啊，你化简之后就发现了它只有一个根，重根嘛？两个根重根，所以它解出来只有一个。再把这个外引呢？带到第四个方程里面去啊。 嗯，就可以算一下，十六十六比上二 p 加上二分之 p 等于五， 这是八嘛？然后我们同时乘一个二 p 版啊，同时就是十六，呃，十六再加上 p 的 平方等于十 p， 对 吧？ 继续减，是 p 平方减，十 p 加一，十六等于零。嗯，二八二和八，二和八刚好是十，是 p 一 p 二负八啊， p 一 等于二， p 二等于八，对吧？那么这个抛物线呢？就是 y 平方等于四 x 或者什么 y 平方等于这个十六 x， 对 吧？看一下选哪个。选的就是这个 c 选项啊。选 c 看第八题啊，第八题就是我说的那个唯一的一道题，他是考直线的题，而且是，嗯，不太好想的，不太好想的后面就就再也没有单独开过这个直线的题了。他二卷的题 a 点 a 点呢？是这个点对吧？我已经提前把图画好了，负一零 b 点一零 c 点零一 直线 y 的 x 加 b 啊，它写成这种斜接式的形式，把三角形分割成面积相等的两个部分， a、 b、 c 分 成面积相等的两部分。面积相等的两部分并不是什么并不是面积相等的两个三角形，对不对？所以呢，这个是加大了难度的， 加大了难度了。我一个三角形，我没有说把它分成面积相等的两个三角形，对吧？呃，面积相等的两个三角形，谁都是会分的，我把它分成面积相等的两部分，就是乍一看还是有一点难， 然后问你的是什么？ b 的 垂直范围是多少？ a 是 大于零的，对吧？然后我们首先观察一下这个图， 首先这个三角形是一个什么？等腰直角三角形， 而且这个角是一个 c 点， c 是 一个直角顶点，对吧？然后呢， c 是 一个直角顶点的话，他说我有，现在我有一个直线，它的斜率是大于零，我开始去切割它， 对吧？去切割它分成面积相等的两部分。首先观察一下，如果说 这个 b， b 嘛， b 是 什么意思？ b 的 话就是它跟这个外轴的交点就是 b 的，是吧？你让 x 等于零的话就是零， b 就是 跟外轴的交点。如果说啊 b 是 小于零的话，它有可能分成面积相等的两部分嘛？ 它是完全不可能的，对吧？它是完全不可能分成面积相等的两部分，因为什么你 a 是 大于零的？ a 大 于零，你只能这样子越来越大，越来越大，对吧？最大，最大的情况，你这一部分还是会比一半三角形面积大，这一部分会比一半三角形面积小，为什么？ 因为你看这个地方，比如说我教育他之后，首先这一部分，对吧？这已经是一半的三角形面积了，这个还多出来，那肯定是比一半要大啊。那怎么办？ 那除非那个 a 能等于正无穷啊？正无穷的话你相当于，但是，但是不会不会说什么谐域等于正无穷的这个情况啊，这个在高考上一定是不会出现的，所以呢？这个是不是是不诚意的？所以呢？这个，呃，我们写分析吧啊，第一个，嗯， e 小 于等于零呢，是不诚意的， 对吧？比小于等于零是不是乘等于零也是不行的，等于零也不行，对，等于零也是不行，然后，然后再看，然后再分析，再看这个图，再看一下这个图啊， c 点， a 点， b 点啊，如果说 这个 b 点，我们确定了一个，他的这个相当于是一个，嗯，下线吧，我看下有没有上限。如果说 b 这个点， c 点是一，对吧？如果说 b 点是呢？是这个，这个零， b 啊，零， b， 他 跑到这个一比一还大的话，他 a 不是 大于零吗？我只能是这样分割，对吧？ 哎，同样的什么同样的也是不可能的，为什么不可能？第二个，我，我直接写了 b 呢，是大于等于一，不成立， 为什么？因为如果说 b 是 大于等一的啊，我这样子分割完以后啊，我这一边的就是刚刚那个三角形的，另一边 刚刚是 aob， aoc， aoc， 对 吧？刚刚那个情况呢？是 aoc 呢，是比一半要大啊，现在是什么？现在是这个 boc 啊，我比一半，因为 boc 它本来就是一半啊，对吧？它一半，然后你这样分割完之后，这边还有，所以它一定会比一半要大，对吧？所以它不可能是面积相等的两部分， 所以这两个呢，我们就把它的上下线确定啊。是，呃呃， b 呢，至少至少应该在零到一这个范围之内啊，但是根据这个常识来说，应该是不会选 a 的， 应该不会这么简单，对吧？然后我们继续分析啊，继续分析， 然后我们看一下啊，然后第三点啊，我们粗略的估计一下，这个范围呢， b 是 v 小 于 b 小 于一，对吧？ b 的 范围粗略估计是这个范围之内啊， b 的 范围呢？是这个范围之内啊，然后呢， 然后再进一步分析吧，这个 l 呢，它一定跟一条边是有交点的， l 一定与什么？一定与这个 bc 是 有交点的， bc 又交点， 不管你是，呃，怎么弄，你跟 bc 一定是有交点的，对吧？那么跟 这个边啊，跟这个 bc 啊，我说的 bc 不是 直线 bc 啊，是一定会交于 b 跟 c 这两个交端点之内啊，会有交点。我们设这个 l 呢，交这个 bc 等于 m 点， 对吧？然后，呃， l 呢，跟这个 ab 有 没有交点呢？不一定啊，跟线段 ab 不 一定有交点，但是跟直线 ab 呢，也是有交点的，对吧？然后我们再看这个交点可能在哪里啊？ 他总不可能跑到这边吧，对吧？跑到你跑到这边肯定能协议的小右引啊，他协议大右引的话，只可能是在 a b 之间，或者是在 a 点，或者什么在 a 的 左边啊，对吧？就这三种情况，然后我们，呃， 单开一来写吧，我们就按这个 n， 呃，我们这样的吧，设这个， 设这个 l， 交这个 l a b 啊， l a b， 注意，现在是 l a b 了啊，就相当于整个 x 轴啊，是一个直线啊，等于这个 n 点，对吧？ 我们根据 n 点的位置来分类吧。第一种第一种什么 n 点呢？是属于 a 跟 b 之间， 虽然我写的很不科学，但是这种方法呢，非常的直观，对吧？相当于我把 a 跟 b 作为区间的两个值，区间的两个端点值就是它是在线段 a b 之间，对吧？ 这个 n 点呢？是 n 点，呃， m 点，刚刚这个 m 点是比较好算的，我先把它算了，好吧， y 等于 x 加 b， 然后呢？ bc 的 这个方程呢，也是很好写，不管是用初中方法还是高中，用高中的话，你就这样写吧， x 比上一加上 y 比上一等于一的吧。然后这个东西是可以算出来的，这个东西算出来 m 点的话，是一减， b 比上 a 加一， 然后是 a 加 b 比上 a 加一啊，这就是这个，呃， m 点的这个 坐标，对吧？然后呃 n 点， n 点的这个坐标的话，是 n 点的话，就是跟 x 轴的交点， n 点的坐标应该是负的。 b， b 上 a 零，对吧？它的这个重那个重坐标是等于零，只有横坐标，对吧？ 然后它如果说啊，第一种情况，它相当于是在 a 点和 b 点之间， 哎，这样子画，这样画 m 点，这个点是 n 点的话，在这个之间 c 看一下 a， b， 这个时候你会构成一个什么？构成一个， 这个时候把这个面积分成两部分，对吧？就是 abc， 我 把它分成一个小的三角形和一个四边形嘛。然后如果说我们要去说 它这个小三角相当于它说是面积相等的两部分，对吧？那么这个小三角形的面积呢？也是。呃， s 三角形 b， m， n 呢？它其实是等于二分之一 s 三角形 abc， 对 吧？是它的一半， 你你要用这种语言翻译出来，不然你去翻译这个是非常非常困难。哎，有些人说我把这个面积算出来，也是也是他的一半，为什么不可以算这个面积？这个面积超级超级不好算，所以不能算这个面积，我们只能算这个面积。嗯， s 三角形 a， b， c 的 面积会不会算？这肯定会算，对吧？这是一个，嗯，底乘高吧。嗯，这个是多少？ s 三角形 a， b， c 的 面积二分之一乘以二，再乘一个一，对吧？等于一，哎，那这个东西算出来就等于二分之一，对吧？ s 三角形变 n， 这种情况下，它就等于二分之一，然后我们把它算一下， 嗯， x b 减 x n 乘二分之一，再乘高 y m 等于二分之一，然后看一下 怎么算。这个东西算出来呢？就是，嗯， x b x b 是 一，对吧？减去 n x n 呢，是加上 b， b 上 a 再乘二分之一乘 y m， y m 等于多少？ y m 等于这个 a 加 b， b 上 a 加一 等于二分之一，对吧？把这二分之一约掉，那么推出来，这个是 a 加 b 的 平方，比上 a， a 加一等于一，我们可以把它反解出来，反解出来这个，嗯， a 用用 b 来表示 a， 对 吧？ a 就 等于 b 平方一减二 b， 因为说什么 a 是 大于零的，对吧？ a 是 大于零的情况下，那么 b 呢，就小于二分之一，对吧？再解一步吧，因为 a 是 大于零，对吧？ b 平方肯定是大于零，那就要要求这个分母也大于零一减二， b 呢，肯定也是要大于零的， b 呢，就小于二分之一了。 第二种情况，如果说这个 n 点 n 点我等于这个 a 点的情况， c a b n 点，对吧？那就很简单了呀，那我这个时候只要 l 过这个 bc 的 终点不就行了， 对吧？我只要现在那个呃， l 过这个 bc 的 终点不就行了？ bc 的 终点？什么 bc 的 终点，我都不用设它什么点了，我直接写就行了。二分之一，二分之一，对吧？ 二分之一，二分之一嘛，然后那个是负一个零，对吧？然后我们现在只要写一下这个，它相当于是 l 的 话，就是 y， 先写这个 a 吧， a 等于多少？ a 等于二分之一啊，比上二分之一加一，二分之三等于三分之一，对吧？那么 l 呢，就是 y 减三分之 不对， y 减去，哎，等一下，什么哦？ y 等于三分之一啊， x 加上一对吧？ y 呢，就等于三分之一， x 加上三分之一， 这个就是 b 嘛， b 呢，就等于三分之一，说明 b 等于三分之一，这个情况是满足的。我们再看第三种情况，这个 n 在 a 的 左边的时候，把它这样写，应该是可以看得懂的。嗯， n 在 a 的 左边的时候，这个图应该这样画， 这是 c， 这是 a， 这是 b m n 点，对吧？ 发现这个时候又有一个三角形了，有三角形的话，我们还是从三角形的面积入手， 我们设这个，呃， l 呢，跟这个 a c 交于点 p 点，对吧？我们先解一下这个 p 点的坐标， y 等于 x 加 b， 然后 a c 的 方程是 x 比上负一，加上 y 比上一等于一，这个地方可以解出来， p 的 坐标是 e 减 b 比上 a 减一，然后是 a 减 b 比上 a 减一，对吧？ 然后接下来可以开始算这个三角形 pcm 的 面积，对吧？因为说这个 s 三角形 pcm 等于二分之一，所以说二分之一乘以它是直角啊， 这个角是直角，嗯， pcm 是 直角，所以呢，就直接用 cp 乘上 cm 二分之一，对吧？这边约掉，那么推出来 cp 点乘 cm 等于一，怎么算呢？ 这个东西怎么算呢？先从 cm 吧， cm 呢，就是它这个地方，我们 相当于把它做过来，然后做一条这个，这是外周啊，这外周算把它画出来吧。这外周，然后 这个做一条平行线，这个是四十五度角，等于这个四十五度角，对吧？所以 c m 呢，就是根号二倍去乘上这个 m 和 c 的 横坐标之差，根号二倍乘上，嗯，看一下 m 的 这个横坐标等于多少？ m 横坐标是这个 e 减 b， 比上这个 a 加一， a 加一，然后再乘上这个 c， p， c p 也是一样的根号二，然后 这也是四十五度角，四十五度角，对吧？乘上这个 c 和 p 之间的这个距离之差，因为 p 明显是在 y 轴的左边嘛。然后 b 呢，从第一步分析， b 是 小于一的，这个东西大于零， 那你一定要让这个小于零， a 减一要小于零，对吧？所以呢，这个最后乘出来的话，要保证它边长大于零，应该要写成一减 b， 比上一减 a， 对 吧？这个东西等于一， 继续解，解出来呢，这是二倍的一减 b 平方，一减 a 的 平方等于一。我们可以用 b 表示出 a 平方， a 平方等于一减去二倍的一减 b 的 平方， a 平方肯定是大于零的，解出来一减 b 的 平方是小于二分之一的，那就可以推出来。呃， b 呢？大于一减去它小于一，加上它，对吧？这个东西因为 b 我 本来都小于一了，所以这边完全可以不用解的。最后呢，我们直接取这个交集， b 小 于二分之一， b 大 于一，减去二分之根号二，这个根号三又包含在里面了。所以综上啊， 综上的话， b 的 取值范围应该是，一减去根号二，一减去二分之根号二小于 b， 小 于二分之一，选的是这个 b 选项， 然后再总体看一下这道题啊。嗯，就是初步的分析，分析出来呢， b 应该是落在这个区间，就是 这两个是不成一的，所以 b 应该是落在零到一这个区间，然后呢，我们通过这个呃 l 跟这个 ab 直线 ab 之间的这个交点落在哪个区间，它落在了这个线段 ab 之间，然后等于 a 点的时候，然后还有这个 a 点左边的时候，分了三种情况讨论，然后三种情况最后算出来 b 的 一个 取值范围，再取一个交集，就是整体这个 b 的 取值范围，对吧？看一下一道题第第九题 来看第九题啊，第九题说一个双曲线里面 c 对 吧？离心率是呃，二分之根号五，让它求 c 的 间径线的方程， e 还是等于 c 比上 a 啊？等于这个二分之根号五， 只不过在双曲线里面， c 是 比 a 要大的啊，然后间接线的方程是什么？ y 是 不是等于这个呃 b 比上正负啊？ b 比上 a x， 你从这种一次的关系的话，是转化不成二次的， abc 之间的关系，他们是体现在二次的关系啊。所以呢，我们把这个平方一下，一平方呢，等于二分四分之五， c 方比上 a 方，对吧？ 然后 c 方呢，又等于 a 方加上 b 方，我们把这个 c 方带进去替换一下啊，就等于 a 方加上 b 方比上 a 方， 然后呢，哎，你看这个地方推出来， b 方呢，比上 a 方呢，就等于四分之一，哎，这个时候就 b 比上 a 呢，就等于二分之一，因为 ab 都是大于零呐，所以呢，渐近线就是 y 等于正负二分之一， x 选这个 c 啊。这种题的话，我们更多的时候是用到呃，这个等这个变化，双曲线里面就是 双曲线里面呢，一方呢，等于一，加上 b 方呢，比上 a 方，是吧？是这个吧，对吧？是这个一方，对它用这个呢就可以，这个什么？这个是离心力，我们就把离心力和这个 离心力和这个双曲线之间的关系是联系起来的，这个是与接近线有关。 在椭圆里面呢，椭圆里面有个类似，但是它那个 b 比上 a 呢，就不是渐近线了， 等于 e 减去 b 方 b 方，因为椭圆里面呢，因为椭圆里面的 c 方等于的是 a 方减 b 方。就这两个式子看第十题， o 是 一个坐标的圆点啊， c 是 这个抛物线， f 是 这个抛物线的一个焦点， p 是 c 上面的一个点，然后 p f 二呢，是等于这个四倍根号二，求这个三角形 p o f 的 面积。这个题也可以画简图，这个是 o 点， 是 f 点，然后上面一个点是 c 上面的一个点，对吧？ 这个呢，是四倍根号二啊，这个双曲线是这个抛物线是给的方程的，然后呢， p f 二刚好等于四倍根号二， p f 二，我们这边再画一个他的这个键，这个叫什么？转向，对吧？ 这个是 d， 就是 p 到准线的距离是 d， p f 呢，就等于 d 呢，等于四倍根号二，等于什么？等于 x， p 加上这个 根号二，对吧？这个 f 的 坐标是根号二零，这个呢，准线是 x， 等于负的根号二，对吧？它等于四倍根号二。退出来， x p 呢，等于三倍根号二。 那么 p 点的坐标是可以通过 c 的 方程得知的，就是三倍根号二，然后 我们就取这个 y 大 于零吧。好吧，因为你画到下面是一样的，你是对称的，比如你这样子画也是对称的，因为抛物线它是关于那个 x 轴是对称的， 你就取一个正值就可以了啊，二倍根号六，你把这个带进去之后，可以算出来，他是二倍根号六啊。那么这个 s 三角形 p、 o、 f 呢？就等于啊，二分之一乘以根号二，再乘这个二倍根号六， 退出来是根号不对，写等号就行，等于这个根号一十二，等于二倍根号三选 c， 看第十一题，第十一题呢，说椭圆 e 的 吧的右焦点是 f 三零过他的直线，过 f 的 直线交于 ab 两个点， ab 的 坐标是一负一，那么 e 的 方程是什么？这个对于现在啊，现在是二零二，二零二六年来说，大家可能一眼就看出来是点差法，但是这道题出现的时候是 三年啊，当时的学生可能并没有，嗯，接受那么多的训练啊，他们可能并看不出来是点叉法。所以呢，我已经把图提前画好了，所以这个这道题作为这种这这这，这张试卷里面 第一次出现的点叉法，所以我们还是呃来推一遍，然后后面遇到点叉法的话，我应该就不会再推了。设这个 a 点是 x 一 y 一， 然后 b 点是 x 二 y 二，对吧？ 单开一页吧， x 一 y 一 和这个呃， x 二 y 二， 对吧？然后呃 a 和 b 都在这个椭圆上面，这个椭圆我们先给它变形吧，我们把它变成这种 一和二，我们用一减二 等于零，对吧？嗯， 把这个移过去吧， 等于负的 a 平方，这两个用平方差公式展开， 负的 a 平方， y 一 减 y 二， y 一 加 y 二， y 一 减 y 二，对吧？然后呃，换一个方向吧， 这样吧，然后我们把这个除过来，再把 a 除过去， 等于负的 b 平方比上 a 平方，对吧？这个时候应该就知道，你看这和这一部分， 因为 x 一 x 二，它们是在这个直线 ab 上面的，所以呢， y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二这个东西啊，就这个东西， 它其实是 k a b， 对 吧？就是 ab 的 斜率， 那这个呢？这个的话，我们稍作变形，对吧？ y 一 加 y 二是不是它，哎，它说中点是什么？它说这个中点是它，对吧？我们设它的中点是 m 点，负一，呃，一负一，对吧？ m 点的话，那么 y 一 加 y 二是不是两倍的 y m x 一 加 x 二呢？是两倍的 x m， 对 吧？那么就把这二给它约掉。 y m x m， 对 吧？又可以把它写成什么 y m 减零， x m 减零，哎，这不就是什么就是 o m 的 斜率吗？ 就是这个 o m 的 斜率，对吧？ k a b 点乘这个 k o m 等于负的 b 平方比上 a 平方，然后看下还有什么已知的 m 的 坐标是已知的，然后就可以算出这个 k o m 等于负一推出来。呃，负的 k a b 等于负的 b 平方比上 a 平方，那么推出来啊， k a b 等于 b 平方比上 a 平方，对吧？然后呢？ 然后算到这个地方的话，大部分人都有点懵了，就说这个 k a b， 我 也不知道该怎么算，其实是知道的，其实是知道的。这个 f 点嘛， f 点不是在 ab 上面吗？ m 点它实则也是 ab 上面的一个点，对不对？所以呢， k， a b 等于什么呀？等于零减去负一，一三减去一的话是二，哎，他其实是一个二分之一，对不对？ 然后 b 平方比上 a 平方等于二分之一。哎，这个题你看我算的这一步，这不就是我刚刚才讲过的吗？在椭圆里面啊， b 平方比上 a 平方，你算出来这个之后，其实你就相当于算出来他这个一心一意，但是这道题他并没有让你算一心一意的呗， 他是让你直接求椭圆啊。然后我们把刚刚算出来的摘抄过来， b 平方比上 a 平方，他刚好是等于二分之一的，对不对？然后还有这个交点，交点的话， c 平方等于 b 平方减 a 啊，不对，等于 a 平方减 b 平方， 对吧？等于九，因为 c 的 平方 c 等于三吗？ c， d 平方是等于九的，然后就验证一下吧， 你看一下 abcd 里面就呃哪些是符合这两个条件的，对吧？ a， 呃，就是像你把 a 平方和 b 平方看成两个未知数，就是他关于他们的两个方程，可以解的，可以解的。呃，就是 a 的 平方，他其实是等于两倍的 b， b 的 平方的。嗯， a 不 符合， b 不 符合， c 不 符合 d， d 符合，对吧？啊？那就选 d， 再验证一下， a 平方减 b 平方，是不是真的等于九啊？十八减九刚好等于九啊，确实是选这个，呃，选 d 选项啊。然后呢？讲到一三年呢，就讲完了啊。

那什么是存在性问题呢？存在性问题啊，他的问法通常包含着这样一个关键词，是否存在某某某特定的条件， 如果是呢，需要你将这个条件求出，如果不是呀，需要说明理由，那么我们解决这种问题啊，他的思路是非常的固定的，那就是假定 题设中要求的这个几何要素呢，它是存在的，这样的话，我们就成功的引入了参数，然后呢，我们将假定存在的这个条件，也就是这个参数当成已知， 利用这个已知建立题目的核心方程，而我们要做的事情就是去解这个核心方程， 如果这个方程能够被解出来，那就说明我们的假设呢，是成立的，如果解不出来或者是无解，那就说明啊，我们的假设是不成立的。 存在性问题，他的难度呀，上限以及下限差距非常之大。 简单型的题目呢，我们很容易通过计算进行验证，而某些个非常非常难以验证的存在性的问题呢，我们可以通过特殊的情况得到一个通解， 然后呢，再验证这个通解的正确性就可以了。这一类问题啊，他的最大难点就是对核心几何条件的翻译。首先我们来看这样一个题目，过三零的直线与这个椭圆交于 ab 两点， 问 x 轴上是否存在着一个点 q， 使得角 p q a 加上角 p q b 是 等于 pi 的， 我们做出一个草图， 角啊， p q a， 它在这个位置，而角 p q b 呢，它在这个位置。 结合直线倾斜角的定义，我们很容易知道，角 p q a 呢，其实就是直线 a q 的 倾斜角。同理啊，角 p q b 呢，就是直线 q b 的 倾斜角， 而与倾斜角有关的问题呢，我们就可以将其转化为与斜率有关的问题。 那么倾斜角相加等于一百八十度，就意味着倾斜角是互补的，而互补两条直线的斜率呢，代数之和是等于零的。那么这个题目核心的几何条件其实就是 k a q 加上 kbq 是 等于零的。接下来呢，我们只需要假设 x 轴上存在着这样一个点， qq 的 坐标呢，我们不妨设为 m 零，这样的话，我们就成功引入一个参数 m， 我们只需要写出 a q 与 b q 的 斜率表达式。那么如果我们设 a 点为 x 一 y 一， b 点为 x 二 y， 显然呢， a q 的 斜率啊，它就等于 y 一 比上 x 一 减 m， 而 b q 的 斜率就是 y 二比上 x 二减 m， 那 么斜率代数之和等于零， 我们只需要利用这个方程将 m 给它求出即可。那显然呀，我们需要先射线进行连立， 我们假设直线的方程为 x 等于 t， y 加三，这是一个反斜式方程，然后呢，让他跟 x 的 平方加二， y 方减二等于零进行连立。 连利的结果就是，七方加二乘以一个 y 的 平方加上六七， y 加上七等于零。我们写出它的维达定律， y 一 加 y 二是等于负六七比上七方加二的，而 y 一 乘以 y 二呢，等于七，比上一个七方加二。 接下来呢，我们的运算重点就非常的简单，只需要对这个表达式呀进行一个细致的整理即可。 我们将 x 一 以及 x 二通过直线的方程进行换元，那这个表达式就变成了 y 一 比上一个 t， y 一 加三减 m， 再加上 y 二比上 t， y 二加三减 m， 它呢是等于零的。 接下来呢，我们只需要乘以一个公分母即可，因为我们知道分母它本身是不可能等于零的，所以啊，我们进行一个简单的通分，就变成了 七倍的 y 一 y 二加上三减 m， 乘以一个 y 一， 再加上 t 倍的 y 一， y 二加上三减 m 倍的 y 二等于零，整理就是二 t y 一 y 二等于 m 减三，乘以一个 y 一 加 y 二，将维达定律带入左边就是二 t， 我 们不需要写这个 t 方加二，因为这个 t 方加二呢，一定会被约掉的，我们只需要写出这个分子部分就可以啊。左边就是 二 t 乘以一个七，而右边呢，自然就是 m 减三乘以一个 负六 t， 这样的话，两边的这个 t 呢，我们给他约掉，左边就是十四，而右边呢就是负六 m 加上十八，那么我们就可以解得 m 呢，等于三分之二， 这样的话，核心方程的解呢，就是三分之二，所以说点 q 的 坐标自然就是三分之二。零这个题目呢，我们就解完了。 解决这个问题的一般步骤，就像前面我们所说的，先假定这个点的坐标是存在的，把它当成已知条件，建立整个这个题目当中最为核心的一个核心方程。 接下来呢，我们只需要耐心细致的将核心方程给它解出来就可以进行验证。 来看下一个题目，经过点 p 零二的直线呢，与椭圆啊交于 ab 两个点，问， x 轴上呀，是不是存在着一个点 q， 使得三角形 q a b 呢，是以 q 为顶点的等腰直角三角形，我们还是简单的做一个草图， 接下来呢，我们只需要对核心几何条件进行一个翻译即可。我们如何去保证三角形 q a b 啊，是以 q 为顶点的等腰直角三角形， 很显然，这里包含着两个要素，第一等腰，第二呢是直角。那等腰这个位置呀， 我们可以从两个方向呢进行一个简单的思考。第一呢，我们可以从长度的方向进行思考，那就是啊，我们约束 q a 呢，是等于 q b 的， 而如果我们选择用长度进行约束的话，就必须要去求 q a 以及 q b 的 长度，而这个长度的求解呢，就需要使用两点间距离公式。由于点 q 本身呢是带求的， a 点以及 b 点呢，分别是 x 一 y 一 以及 x 二 y 二，显然这里的长度非常难以求解，所以啊，这个方向并不是一个合理的方向。 第二，从角度上对三角形进行约束，我们可不可以去思考角 b q 等于角 ab q 呢？ 这个思考方向呀，显然呢，也不太现实，因为这种角度约束呢，我们很难进行翻译。 第三种，我们知道等腰三角形啊，他有一个极其重要的特征，那就是三线合一。 如果我们找到 ab 的 中点的话，那么 ab 的 中点与点 q 的 连线，它一定是垂直于 ab 的， 而点 g 呀，这个点它是 ab 的 中点 g 点的横坐标是二分之 x 一 加 x 二，纵坐标呢，是二分之 y 一 加 y 二。 这个描述呀，显然与伟大定律啊进行了一个直接的挂钩。所以呢，这种翻译形式是最为容易的， 因为我们只需要保证 k a b 乘以 k g， q 是 等于负一的，就能够保证垂直。 而想要保证它是等腰直角三角形，我们只需要同时保证 k a、 q 乘以 k b， q 也等于负一即可。 那接下来呢，我们只需要正确完成运算即可。我们设直线的方程为 y 等于 k x 加二，让它跟椭圆的方程呢，进行连立 连利之后的结果呀，就是一加四 k 方，乘以 x 的 平方，加上十六 k， x 加十二等于零。我们写出微大定律， x 一 加 x 二 负十六 k 比上一加四 k 方， x 一 乘以 x 二呢，十二比上一加四 k 方。有了 x 一 加 x 二之后呀，这个点 g 的 横坐标也就是负八 k 比上一加 四 k 方。接下来呢，我们需要 y 一 加 y 二这个位置呢，使用直线的方程代入就可以求出 y 一 加 y 二，再除以二呢，就等于二比上一个一加四 k 方。这样的话呢，我们就得到了 g 点的横纵坐标。 接下来呢，我们保证 q g 与 ab 呢是垂直的， q g 的 斜率呢，就是二比上一加四 k 方，比上负八 k 比上一加 四 k 方减 m， 它呢乘以直线的斜率， k 是 等于负一的。 好，我们进行一个简单的整理，分子分母同乘一个一加四 k 方，上面呢就是二 k 比上 负八减去 m 乘以一加四 k 方，是等于负一的。 那整理到这个位置之后呀，我们并不清楚接下来的运算方向应该向着哪个方向进行，但是呀，我们可以看到这个方程呢，它含有两个未知数，也就是两个参数， 单靠这一个方程是不可能将两个参数同时求出的。所以啊，我们要寻找第二个约束， 他们的斜率之积呢，也等于负一，我们写出他们的斜率表达式，也就是 y 一 比上 x 一 减 m 乘以 y 二比上 x 二减 m 等于负一。那由于这里呀，分子部分呢，出现了一个 y 一 乘以 y 二， 所以呢，我们在写维达定律的时候呀，就需要把这个 y 一 乘以 y 二这个位置呀给他补充进来， y 一 乘以 y 二呢，等于四减四 k 方，比上一加四 k 方。 这样的话呀，分子部分呢，就是四减四 k 方，比上一加四 k 方。这两个部分呢，我们乘到等号的右边就等于负的 x 一， x 二减去 m 倍的 x 一 加 x 二，再加上 m 的 平方。把微大定律啊，先给它带进来，左边就是四减四 k 方，比上一加四 k 方。 而右边呢，第一个位置十二比上一加四 k 方。第二个位置呢，加上十六 km 比上一加 四 k 方。第三个位置呀，我们给它通分，就变成了 m 的 平方，乘以一个一加四 k 方，再比上一加四 k 方。 这样的话呢，我们就可以把分母当中的这个一加四 k 方呀，统一的进行约掉， 约掉之后呢，简单的整理就变成了四减四 k 方，等于负十二减十六 k， m 减去 m 的 平方乘以一个一加 四 k 方。这又是一个与 k 和 m 有 关的方程。现在呢，我们将这两个方程呀给它藤写出来， 那么我们的运算方向显然就是利用这两个方程将其中的 m 呢给它求出来即可。那这两个方程怎么解最容易？ 你认真观察这两个方程，你会发现呀，他们同时含有 k 呀，以及 m 的 一次以及二次的表现形式，所以呢，代入消元法肯定是最为简单妥帖的一种方式。那怎样进行代入消元呢？ 只有第一个方程呀，可以进行简单的整理，我们可以将其整理为 m 等于负六 k 比上一加 四 k 方的形式。整理出这个形式之后呀，把 m 呀给它代入到第二个方程里边，那左边呢，还是四减四 k 方，等于负十二减去 十六 k， 乘以负六 k， 比上一加四 k 方，再减去三十六 k 方，比上一加四 k 方的平方，乘以一加 四 k 方。好，我们进行简单的整理， 等于负十二加上 九十六 k 方，比上一加四 k 方，再减去三十六 k 方，比上一加 四 k 方。那接下来呀，只要在方程的左右两边同时乘以一个一加四 k 方即可， 左边呀，就是十六减四 k 方，乘以一个一加四 k 方，而右边呢，就是六十 k 方。好，我们将左边再打开，十六加上 六十四 k 方，减四 k 方，再减去十六 k 的 四次方，等于六十 k 方。那这个方程呀，简单的整理，我们就会得到 k 的 四次方呢，是等于一的， 也就是说， k 呢，它是等于正负一的，因为刚才我们已经得到了 k 以及 m 之间的关系呀，是符合这样一个关系的，如果 k 是 等于正一的，那这个时候的 m 呢，它就等于 负的五分之六。而如果 k 是 等于负一的话，那 m 呢，自然就等于五分之六。所以呢，点 q 的 坐标呀，我们就求出来了。 本题的难点其实主要体现在两个层面上，第一啊，是如何完成对于等腰直角三角形这一个核心几何条件的约束以及翻译。 第二个呢，其实这个计算的过程啊，相对而言呢，还是有那么一点点的复杂的需要呢，我们有耐心并且呢，抓住关键的计算方向。 我们再来看一个题目，假设呀，点 d 是 这个双曲线的左顶，点 q 呢是双曲线第一象限之内任意一个点，问，是否存在着常数 la 的 使得角 q f d 呢是等于喇么的贝的角 q d f 的。 那这里边呀，我们不妨设角 q d f 呢是阿尔法， 角 q f d 呢是贝特，也就是让我们验证是否存在着一个实数喇么的使得呀，贝特是等于喇喇么的贝的阿尔法的。 那前面我们说过呀，在圆锥曲线的解答题之中呢，角度通常呢是用斜率进行约束的， 但是呢，这种关系的角度，我们很难建立他们的斜率表达式，因为角度之间的倍数关系并不代表着斜率之间的倍数关系。 所以说呀，这个题目的核心方程是非常难以进行建立的。但是转过头来，我们还要想另外一个问题，既然我们已经说到了这个题目需要使用斜率进行约束， 而点 q 呢，它作为第一象限之内任意一个点，那本题之中一定存在着一种较为特殊的情况，那就是比特等于九十度， 此时啊，斜率是不存在的。那在这种特殊的情况下，阿尔法与比特之间拥有怎样的数量关系呢？ 我们知道，如果 b 它角等于九十度，那就意味着 q 点的横坐标是等于四的，因为 f 的 横坐标呢，它是四， d 点的横坐标呢是负二。 那么将 q 点的横坐标带入的双曲线方程之中，我们很容易知道，他的纵坐标呢是等于六的。也就是说，此时的 q f 等于六，而 d f 呀也等于六， 就意味着此时的三角形 q d f 它是一个等腰直角三角形，那么 b 它呀一定是等于二倍底阿尔法的。 也就是说，喇么的呀是等于二的。如果存在着这样的常数，喇么的使得这个表达是横成立，那就意味着喇么的等于二是一个通解。 那接下来我们只需要去验证，非垂直的情况下，喇么的等于二仍然能够成立即可。 那么我们转换成斜率的一约束。我们知道 tan t 阿尔法就是 k d q， 而 tan t 的 贝特呢是 q f 斜率的相反数，因为 q f 它的倾斜角呢与贝特角是互补的，所以啊， k q f 是 等于负的弹天的比特的。如果比特是等于二 f 的， 那就意味着 弹天的比特一定等于弹天的二 f。 而我们知道弹天的二 alpha 是 等于二倍的弹天的 alpha 比上一减去弹天的 alpha 的 平方的。那么我们设 q 点的坐标为 x 零 y 零 弹天的 alpha， 它就等于 y 零比上 x 零加二。 那么我们将这个弹琴的阿尔法呀代入到这个公式之中，上面呢，就是二， y 零比上 x 零加二。而下面呀，就是一减去 y 零的平方，比上 x 零加二，括号 y 的 平方。 我们对这个表达式的分子分母呢，同时乘以一个 x 零加二，括号 y 的 平方，上面呀就变成了 二 y 零乘以 x 零加二。而下面呢，就是 x 零加二，括号 y 的 平方减去 y 零的平方， 到这里的时候，我们一定要明确我们计算的方向，因为我们要验证的是这个关系是成立的，也就是说现在我们整理这个表达式呢，他应该是等于负的谈谈的贝特的，而谈谈的贝特呢，是等于 y 零比上 x 零减四的，所以说呀，我们要将这个表达式向着这个方向进行整理， 那我们又该怎样完成这个整理呢？我们注意到点 q 呢，它是在双曲线之上的，所以说 q 点我们将其带入到双曲线的方程之中。 y 零的平方比上十二是等于一的好，我们两端同时乘以一个十二， 将这个结果呀代入到这里边来， 下面呢就变成了 x 零的平方加上四， x 零加上四 减去三， x 零的平方加上十二，我们整理这个位置就变成负二， x 零的平方加上四， x 零再加十六。 我们给他提出一个负二，里边就是 x 零的平方减二， x 零减八，显然这个位置是可以进行因式分解的，我们进行十字相乘，一，一 负四二，那他自然就等于负二乘以 x 零减四，乘以 x 零加二，那下面的这个 x 零加二呀，与 分子之中这个 x 零加二呢，就可以约掉，这个负二呢与这个二呀可以约掉。所以最后这个弹性的二符号的表达式啊，就是 负的 y 零比上 x 零减四，显然这个值恰好与负的谈谈的比特呢是相等的。 这样的话呢，我们就验证了通过特殊情况得到的这个喇么的呢，就是本题之中的通解。

开始我们的第二关，从十二题开始，十二题就是，嗯，一四年的题，第二关是是 一四年到一六年这三年的题。好，开始第十二题说这个 f 是 这个抛物线的交点，过 f 且倾斜角为三十度的直线，交 c 与 ab 两个点，让你求这个 ab 的 长度啊。嗯，常规的做法呢？ 常规的做法，当然呢，就是零异，这个呃直线和这个抛线 f 的 坐标是四分之三零，对吧？然后呢，再用这个呃弦长公式把这个 ab 算出来，但是在呃椭圆呃抛线里面算这个弦长有个好处， ab 就利用这个椭圆的几何性质啊，就等于这个呃 x a 加上 x b 加上 p， 对 吧？因为因为这个 a 到 f 的 距离 等于 x a 加上二分之 p， 然后呢， b 到 f 的 距离呢，也是 x b 加上二分之 p， 所以 把它们两个加起来呢，就是 x a 加 x b 再加上 p， 这样来看的话，你直线是这样子射比较好， y 等于根号三倍三分之，根号三倍的 x 减四分之三啊，这样子你联一完之后，你就直接用伟大定义能算出 x a 加上 x b 了， 但是这样子是，但是我习惯是，如果他那个定点在 x 轴上面的话，我习惯是射这种 y 来表示 x， 所以 我们就用 y 表示 x， 但是你计算下其实也差不多吧。然后 ab， 嗯， x 等于根号三倍的 y 加上四分之三，跟弧形零以下， 我们就可以退出来，这个方程是 y 平方减三倍根号三， y 减四分之九等于 零啊，可以退出来， y a 加 y b 等于三倍根号三。这个地方也是能推出 x a 加上 x b 的， 它就等于根号三倍的 y a 加 y b， 呃，再加二分之三，那么 a b 呢？就等于根号三倍的 y a 加 y b， p 等于多少？ p 是 三除以二，对吧？也是二分之三，再加个二分之三是两个二分之三，这是三，那么一共是 呃三倍，根号三乘三，三倍，根号三乘，根号三十九九加三十一十二。所以这道题选 c 啊。嗯，学过一点拓展的，应该不是老师应该都有提过一嘴吧，就是那种 在抛物线里面，至少抛物线应该是提了这种加点弦的算法，还有一种算法就是根据这个圆锥曲线的第二定义啊， 第二定义的话，哎，就是我们回到就是之前前面说的说为什么，为什么我们说圆锥曲，说圆锥曲线的时候把这个双曲线啊，抛物线啊，还有这个圆啊，我们把它，呃，还还有椭圆，为什么把它们说成这个是， 呃圆锥曲线呢？不，不，把这个圆和这个直线也说成圆锥曲线，虽然他们也是，他们是这个狭义，就是比比较狭义范围的这种圆锥曲线。因为那个， 因为，因为那个抛线双曲线和椭圆呢，我们是可以通过第二定义来定义的，包括它还有第三定义啊， 而那个圆根直线的话，它是不能根据第二定义来定义的， 或者说抛物线它的那个它的那个定义方式本身本身就已经是第二定义了。我们我们学那个椭圆的时候，对吧？一般说的什么？就是平面上一个点到两个定点的距离之和是一个定值， 而且这个定值要大于这两个定点之间的距离，对吧？这是他的第一定义，然后抛物线呢，就是说呃，两个定点到平面上一个点到两个定点的距离之差的绝对值是一个定值，然后这个定值呢，也是呃小于这个 小于这个两个两个点之间的这个距离的，对吧？这就是椭圆的第一定义和双曲线的第一定义。但是我们定义抛物线的时候，直接就就是用的比值，就是说这个 平面上一个点到一个定点和定直线的距离之比是一，就是相等的时候。其实椭圆和抛物线啊，椭圆和双曲线也有这个类似的第二定义的定义方式啊， 我们通过第二定义呢，是可以算出来，椭圆上面的两个就是过椭圆，过这个抛物线交点的，一个直线与抛物线交于这两个点的话，那么 ab 的 这个 a b 的 长度啊，可以直接由这个直线的那个倾斜角 c 塔来给出，那么 a b 就 等于多少呢？就等于二 p 比上一减去 cosine 平方啊， c 塔， 这个就是直接由第二定义给出的这个先长的这个公式啊，我们来验证一下，是不是这个二 p 呢？等于三啊，等于二，二 p 等于三，然后下面是一减去，呃， sine 呢？等于这个六分之 pad 吧， 六分之 pi 的 话，那么 cos sine theta 就 等于二分之根号三 cos sine 平方 sine theta 等于四分之三，一减四分之三等于四分之一，就等于最后算出来 a b 刚好也是等于一十二啊，说明这个公式是没有错的。那么推就是怎么去证明呢？证明也很简单啊，就是直接 直接 直接算一下就是 a f 的 距离，然后再算一下 b f 的 距离，再把它们两个加起来， f 的 距离就是通过这个来算，这个是 c， 它的话，那么 a f 乘上这个呃，括号 c， 它加上 x a， 它刚好呢？ 它刚好呢？等于呃，对，是它呃， a f 乘以 cos， 它，再加上这个， 再加上 p 啊，再加上这个 p， 加上这段和这段，这段就是 p， 这两段的长度是 p， 它刚好又等于 a f 了， 然后，嗯，我们把 a f 解出来， a f 就 等于 p 比上一减去 f 的 话，对，一减去 cos 它，然后呢？ b f 呢？ b f 的 话，相当于它的这个角就变成了 pi， 去减去 cos 它，它这个东西呢，就是 一加上 cosine， 一 派减去 theta 的 话，它应该是负的 cosine theta 应该是加上， 然后把它们两个相加，就是把 p 提出来，一减去 cosine 平方 theta， 然后上面应该是二对，最后呢就等于二 p， 一 减去 q， 三平方 c， 它 这个就是它的那个焦点弦的表示方式。不对，我把这个擦了 看第十三题，第十三题是一四年的文科的十二题，第十三题跟这个 十五题啊，他考的是一模一样的，只不过他们考察的形式不一样，一个是填空，一个是这个选择题啊，说明这个理科理科的难度确实要比这个文科要大一点，因为他那个你放到填空题的话，你是不能蒙的。就是一个关于圆的题， 一个圆圆 o 圆 o， 这是 o 点对吧？上面存在一个点 n， 使得 omn 呢，是等于四十五度， m 是 x 零一，说明什么？说明 m 的 运动轨迹，我们把它视为一个动点，如果把 m 视为一个动点的话，视为动点， 视为动点的话，那么 m 的 运动轨迹呢？应该就是这条线 y 等于一的吧？ m 在 这上面运动， x 里呢，是不固定的。我们假设这里是 m 的 话啊，然后说在这个上面存在一个点 n， 在 这个圆 o 上面存在一个点 n， 使得角 o m n 呢？是四十五度，我随便找一个点 n， 对 吧？这个地方说要让它是四十五度，这个角，这个角是四十五度，这个角。 翻译一下什么意思？存在一个点 n， 如果我们用逻辑的呃的语言来翻译一下，对吧？就是说，呃，存在点 n 满足什么？满足这个角， 这个角 o m n 的 最大值，对吧？我要大于等于四十五度， 如果我最大值都没有四十五度的话，那我，那我怎么能够找到一个嗯， n 那 个让他满足这个角 o m n 等于四十五度呢？或者说角 o m n 的 最小值，你要什么呀？你要小于等于四十五度，对吧？ 那具体看是哪种情况呢？显而易见，应该是第一种情况。为什么？因为如果一个圆，一个圆，一个圆外一点， 当这个圆外一点营养条切线的时候，像这个圆营养条切线的时候啊，呃，这个角，这个假角是这个角，比如说这个角是 r 法的吧？ r 法呢？有最大值 是没有最小，有有最小值，但是，嗯，最小值就是零嘛，角的最小值肯定就是零度嘛，因为我们考虑的是锐角的话，就是不考虑那个，就是三角函数里面的那个角，就是道中无穷。 所以这个 r 法呢，他应该是有最小最大值啊，因为我这个点，这个点就是 n 点的话， n 点在这个圆上面运动啊， n 点，无论是往往后运动或者是往前运动啊，都没有相切的时候这个角大，所以呢， r 法是有最大值的， 所以这道题呢，应该是考虑的是第一种情况，角 o m n 的 最大值我都要大于等于四十五度才能满足说，呃，使得点 n 能找到一个点 n 在 这个 o 上面，使得角 o m n 是 等于四十五度的，然后我们现在就来 就来找满足它，那个相切的时候，这个角你最少都要大于等于四，就是等于四十五度的情况， 然后我们现在就，嗯，另另这个 n e 为这样写吧，这样写简单一点， n e 啊，我是圆上面的一个点，对吧？然后呃， m n m n e 垂直于 o n e， 这样呢？ n e 就是 切点， n 一 就是切点了， 对吧？ n 一 是切点的话，然后我们现在只要找到这个， 找到这个， 找到这个角 o m n 等于四十五度的的 o m n 一 等于四十五度时的这个临界值， 怎么找？怎么找出这个 n 一 的，这个 怎么找出 n 一 的？这个营业值 其实很嗯， 应该都能观察到吧？就这个点 a 点，对吧？ a 点是零一的话，那么 m a， 它其实它本身就与这个相切了，它垂直 o a， 对 吧？那么 a 点呢？ a 点为一个切点，对吧？ 那说明什么？我们初中都学过 我们初中都学过什么？就是过员外一个点可以引两条切线，然后这两条切线跟这个圆心与员外这一点连线的夹角，他们是对称的，就是这两个角是相同的，对吧？ 那就很简单啊，那，那就很好找，对吧？那我们就能推出来什么这个角 o a m 等于角 o m n e， 对 吧？那就简单多了，真的，那你那我那我们现在只要找什么？找到这个 角 o a o m o a 不 对， o m o m a 啊， o m a 这个角 o m a 啊，找到角 o m a 等于四十五度时，那不就那不就得了嘛，对吧？ 四十五度的时候，那就很好找，对吧？ 这条边等于一， o a 等于一，对吧？嗯，当角 o 那叫什么？那个叫什么？摊着它，对吧？那么摊着它角 o a o m a o m a 等于一，对吧？四十五度的对应的那个正切值就等于一，就那么就是这个 a m 以上 o a 等于一推出来 a m 呢？等于推出来 x 零的绝对值呢？等于一，对吧？是这样子的啊， 那我们那个，呃， x 零，那我要让，如果说啊，如果说我要让这个角，因为，因为我们找到最小值啊，找到的角 o m a 的是最小值，等于四十五度，我要叫让这个角 o m a 大 于四十五度， 大于等于四十五度，对吧？那我只需要让这个 tangent 角 o m a 大 于等于一呗。大于等于一，呃， o a 是 固定的，我要让这个 am 要尽量的， 不对，不对，我们这地方写错了，应该是 tangent 角 o m a， 应该是 o a 比上 o 比上 am 啊，这个时候是对的，等于一，对吧？这个是固定的，一说 am 呢，等于一， am 等于一，推出来这个 x 零的绝对值等于一，对吧？然后呢？我要让这个角 o m a 大 于等于一的话，大于等于一的话， 我只要它是固定的， o a 是 固定的，那我只要让这个，嗯，它 am 尽量的变小，对吧？分母变小的话，它整个分子呢是变大的，然后呢我这个零件值，我要让它变小，就推出来这个 x 零呢，绝对值要小于等于一啊，那推出来负一小于 x 零小于等于一，所以我们应该选 a， 那这道题呢，也是顺便把它做出来，就是负一到一之间， 对吧？我们再来盘点一下。首先首先它让你就是一个存在性的问题的话，就是找上下线的问题，我们通过这个已知的知识判断出来，是找这个，呃，找的是这个 最大值的这个最大值的这个下限，对吧？最大值的这个下限你要大于等于四十五度，当然当然是越大越好，对不对？我们先找到一个吧，因为 不知道的情况下，找到一个就已经很厉害了，对吧？然后呢我们先设一点 n 一 在这个圆上面，嗯，设 n 一 呢，也是一个切点，对吧？我让这个切点，我只要，我只要满足这个 相切的时候，这个角的最大值是四十五度，我就有希望了，对吧？因为我至少都能找到一个点，如果相切这个最大的这个角，反而呢他都没有这个四十五度，那就是毫无希望了，找到这个 n 点， n 一 点，对吧？然后呢我们就求求这个 把它转化到 x 零这个方向去，靠，你发现我这个这个这个点很难很难算，对吧？很难算，哎，我又发现了这个 a 点，呃，是它本身呢，就是一条切线， y 等于一这个地方，它本身就是一条切线，而 a 点呢，刚好是这个切点，那就转化又转化到了这个角角 o m a 这个角上面，哎，这就非常非常好算了。然后呢，又通过这个正切值去算出这个 x 零的这个条件啊，这道题就顺利的把它选出来了。看第十四题， 十四题的话是乍一看跟十二题很像，但是它啊，对，其实是，嗯，条件差不多，但是它最后问的不一样啊，问这个三角形 o a b 的 这个面积啊，我们刚刚算了，我们就看一下刚刚第十二题算的啊， 它最后说的是什么？最后说的是 o a b 的 面积， a b， 我 们刚才算出来啊， a b 等于十二，对吧？ a b 等于十二。如果啊，如果，假如说你当时是这个理科的考生啊，一四年就坐在这个考场上面，那么你遇到这个第十题的时候啊，你也是像刚刚那样列方程去算啊，就把这个 a b 给先算出来啊， a b 对 吧？ o 点 f 点 o a b 的 面积啊。 s 三角形 o a b 等于什么呀？等于这个，呃，相当于我这样子，你们看我把这个 这个角是不是也是三十度啊？我做一个高，对吧？这个高 h h 等于什么？ o f 乘以三引三十度， 那就超级超级超级简单了，对吧？那就是 ab 乘上 h 再乘以一个二分之一啊，二分之一 ab 乘以 o f 乘以三十度， 等于多少？等于二分之一乘以十二。嗯， o f 是 四分之三吧，乘以三十三十度是二分之根号三， 那么等于这个十二可以跟这个四约掉，等于三，那么分子呢？是四分母呢？是九倍根号三，对吧？四分之 九倍的一个根号三。 哎，不对不对不对 不对，三以三十度是二分之一啊，哎呀，我怎么连这么简单的都算错，真的是这个约掉三，对吧，等于四分之九啊，不好意思啊，所以选 d 选项，选 d 选项。 三三十度啊，三三十度是二分之一，可三三十度是二分之，刚好三 十个题，十个题就就是一个简单题了。离心率为二， a 等于多少？离心率等于二的话，推出来什么？ a 是 大于零， a 是 a 是 大于零啊，推出来这个 e 的 平方等于四，对吧？等于多少？一，加上三比上 a 的 平方，就用到前面讲的那个公式啊，推出来这个 a 的 平方呢，应该是比较简单嘛，你把这个减过去，减过去之后，这边是三，三跟三约约分掉之后是等于一，对吧。那么 a， a 的 平方呢？也等于一推出来呢？ a 等于一，所以选 b 选项 看第十七题，已知抛物线 c 啊，交点为 f， a 呢，是上面的一个点。 a f 等于四分之五倍的 x 零， a f 等于什么呀？ a f 根据第二定义对吧？ a f 等于 x 零就是 a 的 坐标，加上什么，加上一个二分之 p， 二分之 p， 这个地方，这个地方，我们看这个地方的话，它这样写。 二 p 呢，等于一，二分之 p 呢，等于四分之一。呃，等于 x 个音加上四分之一，等于四分之五倍的 x 个音，推出来四分之一倍的 x 个音等于四分之一， x 音呢，等于一选 a。 第十八题，双曲线 f 双曲线的一个交点，其中的一个交点，对吧？呃，双曲线是有左交点和右交点的，但是它为什么最后的答案是统一呢？因为它有对称性啊，对吧？ 不管是什么双曲线，不管是交点在 x 轴还是在外轴，对吧？我到其中一条渐近线的距离都是固定的，不管是到这条 还是到这条，我还是或者是这个到这一条，这个到这一条，这四个长度都是一样的，都是一样的。 嗯，双曲线啊，这个形式是一个什么形式？都不是吧？你看都都都不太标准。他既然说 m 是 大于零，就可以直接把这个三 m 除到左边去， 那就除一下吧。 x 平方比上三， m 减去 y 平方比上三，刚好呢？我们等于这个一，对不对？ 这个，这个，这个，这个相当于什么？三？ m 相当于是 a 平方，三相当于什么？ b 平方，那么，那么，那么这个应该是有讲过吧？这个我记得，我记，我记得，我的老师应该是讲过的，就是双曲线， 这是它的渐近线，对吧？这个是一个焦点，这个焦点到这个 其中一条双曲线，嗯，这个渐近线的距离呢？应该是 b， 这个 b， 这个 b 就是 这个 b， 就 这个 b， 为什么呢？因为这是 c， 对 不对？然后你当然是用那个点到直线的公式去计算啊，这是 c 的 话，这是一个直角，这是 b， 那 么这条呢？就是 a， 对 吧？ 怎么算？我们就写吧， y 等于，先先证明一下，后面可以直接用完，在小区里面特别特别方便啊。 y 等于 b 比上 a 的 x， 对 吧？我们把它转化成标准形式， b， x 减 a， y 等于零， 其中一个交点的话是 c， 零，对吧？是 c 吧，对吧？嗯，带到这里面去， d 等于多少？ bc 比上根号加 a 平方，加 b 平方，这个不就等于 c 的 平方吗？对吧？再开个根号就等于 c 了。 b， c 比上 c 刚好等于 b， 对 吧？哎，那就很简单了。然后 其中的一条距离呢，就是这个根号三是 b 吧， b 就是 根，因为 b 平方等于三，那么 b 呢，就等于这个根号三。第十九题，已知抛物线的一个交点为 f， 准线是 l， p 是 l， 上面一个点 q 是 什么？ p， f 和 c 的 一个交点，对吧？ q 是 这个直线 p f 和 c 的 一个另外一个交点， 这个项链 f p 等于四倍的 f q， 其实这道题的那个，嗯，特有有有一点点绕吧，这个图是有一点点绕啊，很容易就话说的这个，嗯，首先，首先我们有这句话推出来，什么 f q 是 三点共线的，对吧？ 因为如果只是像样的话，不一定是三点共线，但是他前面说一一点，这条直线以他的另外一个角点，这三个点是在同一条线上面，但是他们的顺序很容易搞混啊。我们先画一下试试看， 我先画一下试试看， f 画的有点大， f 的 话， f 呢？八 x 二零，对吧？准线是 l 对吧？ q 呢，是一个交点， p 是 p 是 上面的一个点， p 是 l， 上面一个点 p 在 这儿 p f， p f 交于的是 q 点，对吧？哎，这个时候问题就来了，我这个直线 p f， 直线 p f 当然是可以两边无限延伸的，对吧？我交了这个点，又交了这个点，具体 q 是 哪一个点呢？具体 q 是 哪个点呢？ 那我们就要看这个了， f 到 p 的 方向跟 f 到 q 的 方向是什么是一致的，是吧？ f 到 p 的 方向和 f 到 q 的 方向是一致的，所以呢，是这个 q， 这个点才是 q 点，如果是这个点呢，就是相反方向了，对吧？ 这个点 q 点二号。现在呢，开始看这个比例， f p 等于四倍的这个 f q， 对 吧？ p 的 坐标呢？其实是知道的， p 的 坐标是多少？我们把先先试试这个吧，好吧， 这个 q 的 坐标是 x 零 y 零，对吧？因为 p 的 坐标是比比较简单的，比较简单，它那个在软件上面，它的这个纵横坐标肯定是负二啊，这个纵坐标都相似呗，初中就学过相似了， p q f， 对 吧？那么这条线，这条线 是这条线的四分之一，对不对？所以这两个三角形的相似比呢？是一比四，所以呢？ 所以，所以这个也是它的四分之一，这个呢就是它的四倍，所以 p 的 这个纵坐标应该是四倍的，这个 q 的 纵坐标应该是四倍的 y 零， 对吧？现在写出来之后，他问的是， 我们可以用一下，嗯，比例吧，他问的是什么？他，我先看一下他问的什么，他问的是 q f， q f 等于多少，对不对？ q f 的 距离不就是炮线上面一个点到交点的距离吗？那我们它其实只跟这个 x 零有关，因为我们 p 是 知道了的， 那我们想方设法的要把什么，要把 x 给您求出来，那怎么求呢？还是用一下相似吧， 这个的距离是多少？二减 x 零，对吧？然后这个的距离是多少？刚好是 p 等于多少？等于四，对吧？ 那我们就使用一下相似比吧，二减 x 零，比上四刚好等于多少？一比上四，对吧？推出来二减 x 零呢？等于一， x 零呢？就等于一，对吧。 然后还没完啊，还没完。 q f 等于什么？ x 零加上二分之 p， 对 吧？二分之 p 等于多少？二分之 p， 当然是，我想一下，二 p 等于八啊， p 等于这个四，二分之 p 等于二，对吧？一加二等于三选这个 c 选项。 说到这道题啊，这道题是一四年的题啊，我记得没错的话，二零二五年的。 二零二五年有很多模拟卷上面都出现了用相似解决问题。 真的以往的话是没有的。以往的是考什么？考这个圆呐？啊？考什么？那个？嗯，就是几点及线的背景啊那些。反正我那个往年的话不怎么常见，但是二零二五年又开始考这种相似的， 因为嗯，很多让模拟卷上面都出现这种用相似做的感觉。这个高考题就是其实是一个嗯，循环吧。对，嗯，这几年不考，过几年又考了一看。一一四年啊，到二五年过多少年？过十十二年，十二年开始之后又开始考了。

然后看二十题，已知这三个点，对吧？ a、 b、 c 三角形， a、 b、 c 的 外接，圆的圆心到圆点的距离。这三个点看着就干嘛，看着就不普通，真的，他不会随便给你乱乱搞一些点。 a 点、 b 点、 c 点和 b 点是干嘛？它们的纵坐标是一样的，说明这个是平行于 x 轴的啊。 c 点，对吧？你这么一画，你发现好像什么？这 a、 b、 c 好 像是什么正三角形？那确实呢，它也是三正三角形啊，为什么？ 因为 bc 等于二的吧，你算一下会发现这个也等于二，这个也是等于二的啊，勾股定你就能算。所以它真的是一个正三角形啊。对啊，然后外界圆的圆心，哎，这个肯定是初中就会画的吧。 圆点到它圆心之间的距离，对吧？圆点是知道的，那我们现在只要算出它的圆心不就行了吗？最基本，最基本的，你应该至少要知道什么？它这个圆心，我们设为 m 的 话， m 的 横坐标是不需要你计算的，至少最基本应该知道它要等于一对不对，因为 就算它不是正三角形，它是等腰三角形，你也应该知道啊。等腰三角形，你要找那个外界圆的圆心就外心嘛，你至少也应该知道，要在它的这个中线上面找， 就是外心嘛。到这三个点的记忆都一样，如果知道，如果知道，初中记过一些结论的呢，就知道。嗯，外心或者这个等边三角形的这个外心也是它的什么？重心，对吧？有重心，重心，那就好办了呀， a m 就 等于 这个，这个点是 n 点的话，等于两倍的这个 m n， 对 吧？因为重心把这个高线分成了 这个重心，把这个中线分成了。呃，三份到顶点呢？是两份到对边呢？是一份，对不对？所以呢？嗯，记不住也没关系，记不住你可以干嘛？你可以射嘛？射，它是这个 y 零，对吧？然后呢，它到 a 点的距离 m a 等于这个 mb， 对 吧？列这个方程啊，勾股定律什么之类的，把，把这个外零解出来， 但是大部分人应该是已经知道啊，已经知道的话，那个那个 a n 啊，这个整体的这个长度呢，应该是等于根号三的，对吧？ 啊？退出来 m 的 这个 y 零嘛， y 零就等于这个根号三就乘以多少它的三分之二，对吧？两份嘛，等于三分之二倍根号三到这个距离圆心 到圆点的距离就是根号下一加上三分之二倍根号三的平方，对吧？最后算出来等于三分之二倍根号三的平方，对吧？最后算出来等于三分之根号。二十一选 b。 好，我们看二十一题，一个双曲线过这个点渐近线的方程是等于这么多，双曲线的标准方程为多少？嗯， 有一点点陷阱，因为，因为他没有告诉你焦点在 x 轴还是在外轴。理论上来说需要分类讨论，对吧？理论上来说确实呢是需要这个进行这个，呃，分类讨论的啊。但是， 但是有另外一种做法，这个的话，这个这个我我不知道学校老师有没有讲过。就是 就是就是那个，如果说啊，我们先看这个吧，比如说 我把它写成这种形式， y 平方比上 a 平方减去 x 平方比上 b 平方等于零，对吧？不等于一。这种形式的双曲线的话，如果让你写出它的渐近线，感觉好像就是有有点不同寻常，对吧？你这个时候，哎，到底是 b 比上 a 呢？ 还是 a 比上 b 呢？对吧？啊？这个时候就有点就就要，就要打个问号，很多人可能要扣一个问号，到底到底是哪个呢？对不对？很简单啊，我们只需要干嘛？我们只需要把这个一变成个赢， 然后再把这个直线解出来，就是他的这个渐近线方程。这道题一样的呀，我既然能把它干嘛？嗯？把一变成零，那我们也可以干嘛把零变成一啊，对不对？先平方， 这是不变嘛？我只是两边做一个平方，对吧？正负二分之一，平方都是四分之一，然后再减。 为什么我写 a 不是 一呢？有可能，因为因为有可能分子、分母、同性同，同时就是进行了一个约分，对吧？你这个地方是可以约分的，比如说二 y 平方等于这个 二分之一， x 平方我同时约分之后也不是等于它了吗？对吧？所以它约分之后呢？你是看不出来的，你看不出来它有没有约分，所以我们变回去的时候，我们就是成一个系数吧。好吧，也没什么变化，这只是一， 就这样写啊。 a， a 可以 大于零，也可以小于零，我不做，我不对它进行这个。呃，规定吧，还是规定一下吧。比如说这个情况下 a 是 大于零吧？我们我们都假设 a 大 于零的情况下，这种情况下的话，我们把这个带进去，把这个点，他不说说一个点吗？告诉一个点带进去，看一下 a 能不能解出来啊？三减去四分之一乘以四，四一十六就是四，等于 a 就是三，一十六啊，一十六，三减四等于 a 等于负一，对吧？等于负一肯定是不行的，我都说了这 a 是 大于零的，就是这种情况是要舍掉的啊，舍掉之后呢？第二种情况啊，就是，呃，四分之一 x 平方减 y 平方等于 a， a 还是大于零的，这个时候减出来呢？ a 呢，等于多少？ a 等于一，对吧，这是可以的，所以说这个方程呢，应该是四分之一 x 平方减 y 平方等于 e， 把它写成标准形式， 就这么写出来了， 这就是答案。看二十二题，二十二题呢，也是一个非常嗯，吃图的一个题啊，吃操作的一个题啊，说这三个点啊，教育他两个点，说 m n 等于多少？有些人一看啊，这个太困难了吧，这三个点，对吧？感觉好像这个数按这个负七，有点， 有点有点什么，有点不顺眼啊，又要画一个圆啊，圆心我也不知道啊，然后半径我也不知道，那怎么办呢？那，那先画一下图吧， a 点一三，把它画在这的话， b 的 话是四二， c 点呢？一复起，跟 a 在 同一个竖线上面复起，复起，那，那，那应该挺多的在这下面了。 c 点 a， 这是这三点说，呃，过这三个点的圆，那不就是 abc 的 这个什么外接圆嘛，对吧？这时候细心观察，你会发现，好像这个 a b c 的 这个什么外接圆嘛，对吧？这时候细心观察，你会发现，好像这个 a、 b、 c 的 这个什么外接圆嘛，对吧？这时候细心观察，你会发现，好像这个 a b c 的 这个 a、 b、 c 的 这个什么， 对吧？特别是图画的比较准的话，确实确实确实是垂直的吧。呃，再怎么检查好像也是垂直的。那千检查万检查，你不如算一遍呗， a b 等于多少？三负一， c b 呢？三九，你乘一下 点乘 c， b 等于多少？等于零啊。那这下真的是可以放心了， a b 确实是垂直 b c 的。 那太简单了，那接下来外界圆那不是易如反掌吗？对吧？这都直角找到直角对的边，什么直角对的那个弦，什么是不是那个直径啊？ 这就是直径呗，直径划出来， 对吧？这个这个这个这个圆心就是什么 a， c 的 中点，把它设成 p， 对 吧？ p 的 话，那就终点终点的坐标嘛，就是 a 跟 c 的 坐标相加除以二，分别就是作为它的这个纵坐标和横坐标，对吧？ p 的 坐标是多少？ p 的 坐标是这个。 嗯，其实也不用哎，还是写一下吧， a 跟 c 的 还是 e 的 吧，这边是负七加上三，除以二，负四负二。 记住，大家知道了，交有两个点， m 和 n 的 这两个点让你求这个 m 和 n 的 这个 m， n 的 长度 怎么算？我们过 p 做一个垂线，对吧？这个的距离呢，是一，然后呢？半径是知道的，半径呢，就是 半径就是这个。嗯，五， r 等于五吧，你用这个 a 的 纵坐标去减去 c 的 纵坐标，对吧？再除以二，就是这个半径，半径等于五啊，所以说二分之一的 m n 根号下的二十五减一倍二十四，对吧？等于这个二倍根号六。那么 m n 呢？乘二倍乘以二呢？就是这个四倍根号六，对吧？ 所以选 c 啊。这说一下圆里面这个弦长的计算方式啊，一定要把它记得非常非常牢啊，因为这可能是你唯一的一个手段啊，基本上是唯一的一个手段，就是这个，这个圆心到这个 交点弦，交点弦来交点弦，这条直线的距离 d， 然后呢，半径 r 啊，就一一半距离，一半距离 l， 对 吧？ l 呢？然后完全的 l 呢？你就乘二就行了，这三个关系一定要把它记牢他，因为他会让你反复的算，至二至二求一，至二求一，就让你这样算， r 平方，换个颜色， r 平方加上四分之一的 l 平方，对吧？ 这三者是知二求一的，会让你反复的算。看二十三题， a， b 是 双曲线， e 的 左右顶点， e 点 m 呢，在 e 上面， a， b， m 是 等腰三角形，顶角是一百二十度。跟我们嗯，最早的那道题有点像啊，就是前面讲过那道题啊，顶角是一百二十度， e 的 移心率是等于多少？ 顶点不要画成焦点，其实焦点跟顶点有时候是很容易画混的，画混的话，那肯定是，嗯，那肯定是完蛋了的。 a 和 b 呢，都是这个左右顶点， m 在 这个 e 上面， abm 是 等腰三角形， m 在 这边还是在这边呢？在这边，这边都一样啊，或或者说 m 在 这边，这边，这边这四个点，这四个地方都有可能出现啊。但是由于这个双曲线的高度对称线，关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，对吧？所以呢，我们只取这个最简单画的这边，反正结果也是一样的， m 是等下三角形，顶角是一百二十度，你只能是这个情况，三十度，三十度，跟那道椭圆的那道一百二十度题也有点像啊，所以解析几何应该是万面不不移其宗的。 嗯， m 呢，在这个，在这个 e 的 上面，对不对？然后呢，说这个等腰三角形 e 的 离心率又是什么？转化成方程，对吧？你要开始找了，又是度的这个角啊， 这个是 o 点的话， a a 等腰三角形 b， m 等于多少？等于二 a， 对 吧？ 那我们 m 的 坐标能不能够知道呢？是可以知道的，完全是可以知道的，完全是可以知道的。因为这不是六十度的角吗？这是一个直角的，我做一条垂线，这是直角，这是三十度角，对吧？ 三十度角，对的边呢？是斜边的一半，所以呢，这个也是 a， 这是 o 点的，是不是三 a 呢？那当然不是的了， 我没有画外轴啊，对吧？我我我没画外轴是方便看呀。这个是 a， 这个是 a， 这个是 a， 如果，如果我画外轴呢？应该从这个地方零点开始算，对吧？他的横坐标应该是二 a， 纵坐标呢？纵坐标那也是很简单的，你都不需要再加减了，直接这边是根号三 a。 嗯，写了半天发现什么双曲线的，这个，呃，那个叫什么双曲线的那个方程我还不知道呢。而有些人说它到底在这个 x 轴上面交点还是在外轴上面，无所谓啊，反正最后你算出来的疑心也是一样的，无所谓啊， 那就那你还不如就写在那个那个，呃呃，那个交点在 x 轴上面，对吧？ 因为他如果没有明确的跟你说的话，而且你又体现无无法分辨到底是 x 轴还是 y 轴，然后你这个时候又忘记了，呃，怎么去分辨的话，你直接就写 x 轴上面吧，不会错的，因为最后算出来结果都一样， 对吧？然后我们再把这个减的坐标 m 不是 在这个上面吗？带进去，带进去之后呢，就可以得到这个方程，然后我们把已知域解出来，是四 a 方减去三 a 方， 这个是四吧，对吧？那推出来这个三， a 方比上 b 方呢，应该是等于三的，对吧？ a 方 a 方比上 b 方呢，等于一，那么 a 就 等于 b 呗， ab 大 于零，这不用写都知道， ab 呢是大 ab， a b， a 是 等于 b 的， 对吧？啊？ e 呢？ e 的 平方等于 c 方比上 a 方， a 方加上 b 方比上 a 方等于二， a 方比上 a 方等于二，对吧？ e 呢，就等于根号二，所以选 d 选项。 嗯，看二十四题。呃，椭圆 e 的 中心与坐标原点重合，离心率是二分之一，右焦点与它的右焦点与这个 c 的 焦点重合， a 和 b 是 准线与它的两个焦点啊，求 ab 等于多少，对吧？这道题呢， 如果把这个什么把 c 和这个 e 同时画出来的话呢，就很杂乱了，所以没什么必要。 o 点异性的二分之一，右焦点重合的， e 的 右焦点与它的焦点重合，对吧？所以比如说这是 e 的 话，右焦点 f 吧，焦点肯定是 f， 对 吧？呃，这个点是 f 一， 这是 f 二，对吧？ 然后说 a 和 b 是 a 和 b 是 c 的 准线，与它的两个焦点对称性啊，对吧？你抛物线， 这是抛物线的话，这是交点，那么准线呢？准线与 x 轴的交点到 o 点的距离就等于 o f， 对 吧？所以说什么？所以说那个准线 l 的 话，我应该就是什么？就是过这个 f e 的 做一个垂直，对吧？ 交于两个点，以这个 e 交于两个点 a b， 然后问你 a b 等于多少？首先离心率 c 比上 a 等于二分之一推出来什么推出来？这个 叫做，哎，你发现什么？ c 和 a 你 一个不知道，但是其实你应该，呃，要知道这个因为什么，因为它告诉你这个这个的焦点， c 的 焦点就是 e 的 焦点其中的一个，对吧？那么 f 二的坐标你其实是知道的，直接把八除以四就是二零， 那么 c 呢，是等于二的，推出来 a 等于四，对吧？那就很简单啊， l a b 的 坐标 l a b 的 方程就是 x 等于这个负二啊，负二之后呢？ b 呢？ b 的 平方等于四的平方，减去这个二的平方啊，十六减四十二， b 就 等于跟 b， b 不 用求， b 平方才是重要的。这个 e 的 方程呢是会算的，十六加上 y 平方比上十二等于一， 你要不把这个直接带进去就可以了啊，直接带进去带进去呢就可以了。把 x 等于二带进去，就是四分之一加上 y 平方一十二等于一，对吧？嗯， 算出来呢，这个 y 呢，应该是等于正负三的 a， b 呢就等于六。再拓展一个知识吧，就是通径，通径呢，就比如说双曲线和椭圆里面都有啊，就是 这是它的一个坐标，一个那个交点的话，我有一条直线垂直于它， 垂直于这个 x 轴就长轴啊。然后呢，又过这个交点交出来的这两个线，这两个点 ab 的 长度呢，等于 c 分 之，呃， a 分 之 b 方， a 分 之二 b 方 不管是在椭圆还是在双曲线里面都是这个。呃， a 分 之二 b 方啊，其实也是也，其实可以看一下它验初步验证一下有没有错啊，这个分子呢，是二次的， 分母是二次的，分子呢，是一次的，所以它除过之后是一个一次一次的，就是可以代表这个长度，对吧？它不是什么零次啊，负一次，那肯定从形式上面来说就就不怎么对了。同时通径呢，也是最短的一条，就是过 f 这个点不是整个椭圆形啊，是过 f 这个点最短的一条， 那个弦叫交点弦，对吧？ 当然，嗯，不知道这个的话也没什么很大的事情。看二十五题， f 是 它的一个右交点，右交点的话，呃， c 方应该是一加八等于九，九开根号应该是三，又是右交点，对吧？那么 f 呢，就是三零， p 是 左值上面的一个点， a 的 这个 坐标知道 o 点后，右角点是 f， 左值上面的点是这个 p 点 a 点，他说 a p f 三，呃，三角形周长最小的时候的该三角形该这个三角形的面积等于多少，对吧？ 这个时候我觉得还是画一下这个叫什么双曲线吧，毕竟都只有左值了。那我觉得画一下也不是很麻烦吧，但画的不太好，重新画一下， 你把这个 p 点也重新画一下， 既然有左角点，干脆把左角点也画出来，记为 f 撇 三角形的周长。三角形的周长等于什么？三条边加起来，对吧？这条边加上这条边，再加上 a f， 这条边 a f 是 固定的， a f 固定的， a f 固定的话就不需要去考虑它了。这个周长最小等价于是什么？等价于就是 ap 加上这个 pf 最小， 怎么考虑啊？ ap 加上，哎哎，发现你，不管是你，如果不转化的话，你你你再怎么移动，你都好像看不出来他是什么时候达到最小，对吧？ 那我们就要往将军一马方向去靠。齐将军一马方向呢？就是有两个，一个是和，一个是叉，你这个和的话肯定是不行，我们考虑一下能不能转化成叉呢？ 应该是可以的，对吧？因为 p 在 左支上面， p 在 左支上面的话，就要跟焦点扯上关系，我要把这个 f 撇要牵扯进来， f 撇和 f 同时去对它进行考虑， 因为它在左值上面，所以应该是什么？ p f， 根据这个双曲线的这个几何几何的这个性质啊， p f 减去 p f p 等于什么？二 a， 二 a 等于多少？二 a 刚好就等于二，对吧？哎，这个时候你尝试进行转化一下，就把这个 p f 啊，呃， 转化成这个二，加上 p f p， 那 么这个呢？等于是说这个 p f 撇加上 ap 加二的最小值，二是常数，不用管它 p f 撇加上这个 ap 的， 这，哎，这个时候可以用将军印码，对吧？ 三点共线的时候最小往这边靠，靠到这个 p 点上面， 这个时候呢？呃，周长最小，对吧？但是他不问你周长等于多少，他问你的是面积，这个三角形的面，此时他说什么该三角形，该三角形什么？就是前面这句话里面的三角形 a p f 啊， a p f， 这个时候这个面积等于多少，对吧？ 这个时候的面积呢？ 常规呢？就怎么做常规呢？就是我们联一下这个 l a f p 和这个双曲线 c， 对 吧？然后呢可以求出这个 p p 点，这个点 求出来之后呢？求出来之后我不是有它的这个外外坐标纵坐标吗？然后我们可以算整体的这个三角形的面积， 减去这个三角形，减去这个三角形 a f、 p f 的 面积，减去这个三角形 p f， p f 的 面积啊，然后算出来呢？它这个面积等于多少？这个面积等于十二倍，根号六，对吧？ 但是，但是如果你想偷一点懒的话，就用了我们刚刚的那个不对，椭圆，我还没讲， 那就这样算吧，就这样算，这样子是可以算出来的，这个 f l f 的 面， l f 的 这个方程也也是有讲究的啊，我们用那个高中学的那个拮据，就是拮据的那个那个方法来算， x 比上这个负三， 加上 y 比上六倍，根号六等于一，对吧？这个去给它零一， 然后你算出这个你，你连立完之后，你连立完之后，你那个方程里面， 呃啊，好像也是不能提前。对对对，你可以算啊，你直接把屁算出来吧。把屁算出来之后，然后就是根据这个屁的这个动作表去算下面三角形面积，大家大三角形面积减三小三角形面积算出来等于十二倍根号。给我 看二十六题，这个题就是一个纯代数计算的题了，纯代数计算没有什么特别的技巧，它都很明显的告诉你了， f 一 f 二，唯一要算的就是 f 一 f 二， 对吧？ 点也帮你设好了，那么直接根据这个减减算吧，加上根号三 y 零变成 x 零减，根号三 y 零小于零 就退出来，这个 x 零的平方减三，加上 y 零的平方小于，这有两个变量吧，为什么它最后能确定成一个变量？因为我们还有一个等式，加上一个不等式， 直接把它乘过去吧。 然后我们把 x 零替换掉啊， x 零替换掉就是 外零平方小于三分之一，那么就是负根号三小于外零小于三分负的三分之根号三小于外零小于三分之根号三选 a。 二十七题，一个圆，一个圆经过椭圆的三个顶点，圆心在 x 轴的正半轴上面，该圆的这个标准方程是什么？我们看一下这个椭圆，这个椭圆啊， 经过他的三个，经过他的，呃，那个叫什么？三个顶点，对吧？我，我一共有四个顶点经过其中的三个，到底是哪三个呢？对吧？而且他那个，呃圆心呢，要在 x 轴的正半轴上面啊。 理论上来说，如果不加这个条件的话，我应该是有四个圆的，对吧？因为我三点可以确定一个三角形，一个一个三角形，他就是有他的，叫什么外接圆，对吧？如果他说了这句话呢？就只有一个，为什么？因为如果说我原先在这个 x 轴的正半轴上面，其他的三个圆我都是不满足的。如果我行过这三点，大概划一下，它的这个圆心在外轴的负半轴过这个这三个点呢？圆心呢？在这个外轴正半轴过这三个点呢？ 圆心在 x 轴的负半轴，对吧？只有过这三个点是圆心在 x 轴的正半轴，我们设这个， 设这个圆心呢，是 m 点啊，对吧？设圆心是 m 点的话，设它的半径是 r 大 于个零，嗯， 那么这个是 r， 这个也是 r， 这条边呢是四减去 r， 对 吧？这条是短轴的一半等于多少？ 等于这个二，为什么这是四减二？因为它的长轴是四，这是二，四减二，就是，呃，这一段的距离，这有个直角三角形， 我列一下这个勾股定律，加上四等于二的平方，推出来这个二呢？等于二分之五。 同时啊，其实 m 的 坐标也已经锁定了，对吧？我用这个四减去二就等于 x， m 等于多少？二分之三。 所以它这个圆的方程应该是什么？ x 减二分之三的平方，加上 y 的 平方等于 r 的 平方四分。呃，二十五，四分之二十五。

高考数学最难的圆锥曲线，寒假吃透稳进班级前三！圆锥曲线的十二大题型题型一到题型十二题型一与圆锥曲线相交的直线的假设形式例题一解答 方法二题型二圆锥曲线中非对称性维达定律 详解第二分析详解完整版分享！

本期视频呢，我们来说一下圆锥曲线中非对称韦达定律的问题。 好，我们大家都知道韦达定律呢，它是描述两根壳或者两根之积啊，或者你出现这种的 啊，充分完也是两根七和两根和。这种呢，都是呢，对称的轨道定律啊，它就是可以直接代入运算的，这种呢就是对称的。那么什么叫非对称呢？我们随便写一个，比如你出现了 x 一 x 二 啊，加五倍的 x 二减 x 一 吧。啊，下面呢，随便写 x 一 x 二啊，如果是加了三倍的 x 一， 那这种呢，是不是 他就没办法用维他定律直接代入运算呢？啊，这个可以代入，这个可以代入，那其他咱没办法处理，对吧？好，那这种呢？ 好，类似这种，这如果出现了不能够用当前的这种对称的伟大定律直接代入求值的，那就是非对称的，那这种呢，我们一般用的合集转化的方法来给它来化解。 好，我们都知道 x 一 加 x 二，这是等于什么呢？等于负的 a 分 之 b 是 吧？代词一乘以代词二呢，等于 a 分 之 c， 那我们这里呢，我们就要把这个 a 相等，我们可以给它连立这两个 k 相等的话，我们又可以对得出来，那 c 乘以 x 二呢，它就等于五的 b 分 之 c， x 一， 第二 x 二。好，有了这关系呢，我们就可以把这个里面的，比如说这个尺子，它的这个 g 的 形式全部转化成这个和的形式，给它带入进去，然后最终呢，你就可以 发现，这个一般都是一个定值，会得到一个常数啊，这就是我们呃，解决非对称向量定律的一个思路。好，那我们第五二年的一个高考，整体来看一下它的具体应用。 好，这个方程我就补起了，它是一个双曲线，在焦点在 x 轴上， 嗯，这是它的一个放犬方轴，我们主要看的第二位啊，我们结合图来，半曲线 c 左右顶点分别是 a 一， a 二，握点呼四零，这个点与直线 c 的 组织交于 m 点， n 点 m 在 第二象限 m a 一 与 n a 二相交于点 p， 让证明点 p 在 定直线上。 好，那我们从这题目上我们就可以啊，想到什么呢？那我们他这两个直线 m a 一 与 n a 二，焦点是 p 点， 那证明这个点 p 在 定直线上。那是不是我们只需要解除这两个直线它的焦点，看这个焦点有什么特殊之处，我们就知道它是否在定直线上了。 好，那我们断一下哈，你先把这个 m 点图标，我说一下 m 呢，我们设出 x 一 y 一， n 呢？ x 二 y 二，那这个 a e 这个点，我们知道 a e， 它是一个顶点，负二零，然后呢？ a 二呢？它是二零， 是吧？那我们就看直线 m a 一 的方程，以及直线 a 二方程怎么写。我们定一下点斜式吧。比如这个，先算一下斜率 k m a 一 是等于谁的？ m a 一， 那是不是就是 y 一 比上 x 一， 加号 a n a 二，这等于 y 二比上 x 二减二。好，我们知道，那我们写一下这个两个直线方程。第一个是 m 得一， 按照 y 点斜式 y 就 等于按奇律写过来， x 加二， 乘以 x 二加二，这是 m 为一的。然后另外一个直线，比如 n 等于二，它呢也点斜式 y 等于 y 二， s 二减二， s 减二，然后这是两条直线的当中它的交点，如果连立这两个就会得到 p 点， 那我们淡化它的这个斜率表示的，我们是用了 x 一， 呃， y 一 x 一 y 一 x 二 y 二，它是 m n 点的坐标。好，那我们知道，那我们也有必要把这条直线给写出来，就是过 点负四零的直线与它相交于 m n 点，那么这条直线我们怎么射呢？ 哦，我们知道他横过一个负四零这个点，那我们可以就是可以避免讨论讨论斜率不存在的情况呢，我们直接就可以把它反射出来，这条直线我们就设成 x 等于 m 吧， m 倍的 y 减四啊，它是横过负四零这个点的，那这种情况我们就避免了，斜率不存在这个情况，去讨论就舍入它就行。好，那我们看啊，这个里面 是不是 x 一 就是 m n 点，它就可以过这条直线，我们连立这两个直线方程，然后结合这条方程呢，我们就可以解出来这个焦点梯点的 x 坐标等于什么 啊？过程我就不写了，对不对？认真画点就可以。 x 呢，它可以解出来等于二倍的 m y 一 y 二，减去六倍的 y 一， 借二倍的 y 二，好比上一个三倍的 y 一 减 y 二啊，都可以得到这个。 好，那我们看这个是不是就出现了非对称伟大定律这个这个问题了，你看这个是可以直接用伟大定律带入了啊，然后后面这些怎么处理呢？啊？是不是直接看起来不能再入？那我们就要用这个合集代换合集转化。好，我们看啊， 牵出这个 y 一 y 二，它是谁呢？它是这条直线和这个曲线连立得来的，我们给它连立减去，我们写一下啊， x 带进去，我们上面的方程先给化简曲线是四倍，带 x 帮减去 y 方， 然后那这个是同时乘十六的，减十六等于零，是吧？好，我们看把这带进去，这是四倍的 x 方，就是 m 方， y 减去一个八 m， y 加上十六，然后再减 y 方减十六等于零。嗯，把这个 y 方它代一下， y 方是四 m 减一 y 呢？ y 是 三尺二 y m y 再加上 加上六十四减十六，其实加了三个四，加二四十八。好，那等于零。这是我们连累完了一个方程，那此时这个就是你的大 a 大 b 大 c， 是 吧？好，我们看啊，我们百倍，它定里写着 y 一 加 y 二等于什么？ 等于负的 a 分 之 b 减一分之负三十二，那就是正的三十二，是吧？那 y 一 乘 y 二就等于什么 a 分 之 c 四 m 减一分之四十八。好， 我们用这个把所有的这个 g 全部转化成和的形式，你划见想啊， 对，我们这个 y 一 为二，这就等于负的什么 b 分 之 c 嘛。我们前面是不是说过说过这个问题， y 加为二， 我们再看这些代入法，负的 b 是 谁？ b 是 三十二 m， 那 我们就给它写成三十二 m， 负又是负的 c 是 四十八，那其实就等于 r m 分 之三 eight。 好， two， two 就 中间先不写啊。对，这颗就是直接带入了小约，分了一下 y 一 y 二。 好，那我们就往这个数字里面带了，开始。哦， y 一 乘 y 二， 呃，二 m， 那 么二 m 等于为一乘为二，就等于这个三二 m y e x y 再减六倍的 y e 三倍的 y e 减为二，划点一下看满月分了，是吧？那上面就成了三倍的 三倍 y 一 减去六倍的就是负三 y 一， 三倍 y 二减，它就是加上一个 y 二。 好，下面是三倍的 y 一 减去 y 二，好，那就很明显的等于等于负一。哦，那我们知道了，那它的焦点呢？横坐标就横为负一，是吧？那它是没有任何参数，那它是个横为负一的，那我们知道，那这个 p 点呢？一定在 直线 x 等于一上移动。哈，那我们的求值要记得它一定在定值线还是等于一上。好，那这个里面的关键问题就就是如何处理这个？ 搞，你如何把它化简出来。好，我们运用的就是这个啊，基和和的转化，这就是肥制水压定律的一个应用。

来看一下这道题。这道题呢，乍一看很难，实际看呢，也不简单。他是二零二二年北京卷的一个高考真题。我们首先把第一问直接给大家，他是一个消点在 x 轴上的一个椭圆，所以四分之 x 方再加上 y 方等于一。 而我们重点看第二问。第二问呢，他说过点 p 是 负二到一的这么一条直线交椭圆于 b、 c 两点，然后呢， a、 b、 a、 c 交于 x， 则为 m n 两点。然后呢，又说 m n 的 斜长是二，让我们求直线 k 的 斜率。 我们数学里面有一个高大上的词，叫做数形结合，所以我悄悄给他画一个草图，显然他的焦点是在 x 轴上，所以我们给他画出来上顶点呢，是点 a 过点 p 的 直线交叉于 bc 两点，我们假设这样。 然后呢，又连接 ac 交 x 轴，以 n 点设点。 b 的 坐标是 二倍的一减去 t 一 的平方比上一加上 t 一 的平方。纵坐标呢，是二倍的 t 一 比上一加上 t 一 的平方。 同理， c 的 坐标就是二倍的一减 t 二的平方比上一加上 t 二的平方，然后是二倍的 t 二比上一加上 t 二的平方好，这是他们两个的坐标。 我们可以设 b c 的 方程为二倍的 y， 再乘上 t 一 加上 t 二减去 x 倍的 t 一， t 二减去一等于二倍的 t 一， t 二再加上一。 又因为他题目里面明目张胆告诉我们点 p 过负二到一，所以我给他带进去，那就得到 t 一 加上 t 二等于二。而 ab 这条线的斜率可以设为 kab， 它等于的是二分之一倍的 t 加上一，再分之 t 一 减去一。所以 ab 这条直线的方程就是 y 等于那个斜截式， t 一 减去一，比上二倍的 t 一 加上一， 然后是 x 再加上一，然后呢，我再令 y 等于零，所以就得到点 m 的 横坐标，它就等于的是 一减去 t 一 分之二倍的 t 一 加一。那么又因为 m n 的 弦长等于的是二，所以就是绝对值里面，二倍的 t 一 加上一，比上一减 t 一 减去 二倍的 t 二，再加上一，比上一减 t 二的绝对值等于二。悄悄的给它化解一下，就是 t 一 乘上 t 二，再减去一，再分之 四倍的 t 一 减去 t 二的绝对值等于二。两边平方经过一顿化解之后，就得到 t 一 乘上 t 二等于负的十五，所以 k 它就等于的是二分之一倍的 t 一 加上 t 二，再分之 t 一， t 二再减去一。我们把 t 一 加上 t 二，给它命为一四，把 t 一 乘 t 二等于负的时候，命为二四。连的一四和二四带入进去就等于了 四。四分之负的十五减去一就等于负的十六，比上四就等于负四，所以这就是它的斜率。 那么这道题如果通过这样去做的话，它的计算量就小了很多，而这方法叫做三角代换啊，各位同志可以用传统方法自己试一遍，传统方法计算量比较大。更多知识学习可加入粉丝群哦，关注我不迷路！