换元法求函数最值

本期视频我们来讲解期末压轴当中的横乘力问题。分析条件，已知函数 f x 等于 a， x 方加 x 加一， a 大 于零，所以给了我们二次函数。第一个，如果关于 x 的 不等式小于零的解集是 负三到 b， 求 a 和 b 的 值，那么这个很显然，既然你告诉我 a 大 于零，所以我们画出来的图像，哎，肯定是这样的，对不对？因为他告诉我们小于零，也就是下半部分的解集，是吗？ 哦，解集是负三和 b， 那 其实就是变相告诉我们，哎，他的两个零点对不对？一个是负三，还有个是 b， 那 么谁是 左边，谁是右边？哎，不清楚，因为我不知道 b 跟负三的大小，但是我清楚的是它一定经过两个点，那么就是负三零和 b 零，好，那带进去负三零，那么零等于九， a 减三加一，对不对？好，这样的话 a 就 可以解出来了吧？那一过去， a 就 等于九分之二，那么 a 等于九分之二， b 怎么解呢？ 我的二次函数都知道了，那么求根，这不轻而易举吗？来， f x 等于 九分之二的 x 平方加上 x 加一，那么令它等于零，是不是就搞定了？好，所以两边同乘九就得到了，哎， 二 x 的 平方加上九， x 加上九等于零，对不对？好，音式分解呗，那么二 x x， 好， 我们来看看九该怎么分？ 哎，三三对吧？好，刚刚好，好，二三得六，再加一个三，刚好九 x 吧。所以我们解出来， o x 一 等于 三， x 二等于负的二分之三，对不对？那这个 x 二不就代表的是 ab 吗？好，所以第一个问题轻而易举， a 等于九分之二， b 就 等于负的二分之三， ok， 好， 所以我们知道这两个零点负三在左边，负的二分之三在右边。好，接下来我们看第二个问题，你要清楚一点，第一，问他简单，但是他一定是为我们提供思路的。 好，给了我们函数最基本形式是二次形，说明接下来我们解决问题一定是要用二次形去解决，对吧？好，我们来观察一下， 给我们函数， g x 等于四， x 加一，减去二的 x 加二。好，当我们看到这个形式的时候，好像跟它并不可搭尬吧，但是我们从整体上来看，你看二的 x 跟四的 x 什么关系啊？ 刚好是平方对不对？那这个其实就是一次，这个是不就是二次啊？好，所以那么通过他给我们的启发，我们第一件事情当然要对它进行改写，对吧？不要着急看问题，来改写一下， g x 等于来 四倍的。好，二 x 的 平方，对吧？减去二的 x 加二，那么这时候 x 是 属于 a 负一到一的，然后，哎，换掉对不对？累，二的 x 等于 t， 好， 注意了，二的 x 等于 t， 把范围确定一下，因为我们的 x 是 负一到一，那么二的 x 是 什么？是增函数，所以带进来，那么 t 就 属于多少呢？二分之一到二， ok， 好， 接下来换掉 g x 就 等于四 t 方减， t 加二，哎， 这不就轻松多了吗？好，接下来我们看哦， f 二 x 小 于等于 g x 横成立， 这样的话是变成了一个二次函数的问题啊，来， f 二 x 二 x 是 什么？是 t， 那 这不就是 f t 吗？好，带进来， f t 就 等于什么。哦，这里应该把它写成 g t， 对 不对？好， f t 等于 a， t 的 平方加 t 加一，但是不要忘了 a 是 大于零的。好，它要求小于等于它横乘零。那但你呢， 算一下不就行了吗？来， a t 的 平方加 t 加一怎么样？ o 小 于等于四， t 的 平方减 t 加二。好，接下来该怎么办呢？好，疑问。四个字叫做分离 参数，因为你要我求 a 的 范围嘛，那我当然要把参数 a 给它分离出来了。好，参数 a 该怎么分离呢？哎，当然是把 a 放一边呗。那我们再来看看 a t 的 平方小一点，全部移过去四 t 的 平方对不对？好，减两个 t 再加 e， 接下来怎么办？ 因为你 t 的 范围知道的二分之一到二吗？那肯定不为零。哎，直接除小于等于四来减去 t 分 之二，然后再加上什么 o t 平方分之一。又来了，注意， 我们又看到了什么？二次形？什么意思？这是不是 t 分 之一的平方？这是不是两个 t 分 之一？好，那现在我们把问题转化成什么？ a 小 于等于轴， i 横成立，那我是不是要比他的最小值还要小？那，哎，就是求他的 最小值就行了。好，接下来继续累还原。 t 分 之一等于 u 位。好，注意， t 属于二分之一的二，那么 u 就 属于同样倒过来。哎，你发现还是二分之一的二。 哎，非常完美。好，换过圆之后，我们就得到了 o a 小 于等于来四减二， u 加上 u 平方，那要求它的什么值？最小值，对吧？那你看 f u 等于 u 平方减二， u 加四来配方嘛。 u 减一的平方怎么样？ o 减一再加四，那就加三呗。好，你发现对正轴 u 是 不是等于一？这是对正轴吧，在不在这个范围内？在的，所以它的最小值当 u 等于一时， f， u 的 最小值刚好就等于几。哎，没错，刚好就等于三， 对不对？所以，哎，我们实数 a 的 范围请来解决搞定，就是 a 小 于等于三 g， a 属于我们用区间的方式去解决，负无穷到 三。 ok， 好， 那么从整体形式上来说，他的做题的思路并不复杂，但是这里面涉及到了啊， 多重换元啊，不要怕，你觉得。哎，这个换过一次元之后怎么还要换元啊，当然你整体思维能力比较强的话，我就把它看成个这里，我不换元也可以，我们换元之后只要注重一点就可以了，就是 要把换元后的范围给确定清楚，如果范围不能够确定的话，不要轻易去换元。 ok 啊，那么本期视频就到这里，大家拜拜。

记得点赞与推荐。

大学数学救命课第十一期，今天我们正式来说一下不定积分当中的第一类换算法题目啊，都像我们例题一到例题五这个样子啊，非常非常简单。怎么做呢？大家看老师紫色字的这一篇就行，分成以下这四步。第一步，设复杂的部分为 u 啊，比如说例题一吧。啊，这是二 x 乘一的 x 方的积分，哪一部分叫复杂部分呢？哎，那二 x 复杂点还是 x 方复杂点？那明显 x 方复杂点，所以说我们利用 x 方等于 u 就 行。 第二步，我们利用 du 等于 u 一 撇乘 d x 这个公式，把这个元函数当中的 d x 替换成 du， 这个玩意咋背呢？还记得老师之前说过一句话吗？就是 d y 比 d x 这个玩意跟 y 一 撇没区别，那老师把 d 分 母这个 d x 给它乘过去，那 d y 是 不是就是 y 一 撇乘 d x 啊，对不对？那在这 du 就是 du 一 撇乘 d x 吗？非常好理解， 好，回了。那这个题啊， du 是 不就等于啊，这个 x 平方的导数乘上 d x 呀，也就是二 x 倍的 d x， 那 这样的话， d x 是 不就是二 x 分 之一倍的 du 啊，对吧？好，第三步，求关于 u 的 积分， 也就是原函数，你不要带 x 了，我们就只带 u 就 行了。好，那我们接着做这个原始，这个函数就会变成这个样子， 二 x 乘上 e 的 u 次方，再乘上这个二 x 分 之一倍的 d u 二 x 二 x 很 明显约掉了嘛，对不对？那就是相当于啊，求 e u 的 这个原函数嘛，对吧？好，那既然这都是关于 u 的， 所以我们就以 u 为研究对象就得了。那 e u 的 原函数是不还是 e 的 u 次方啊，对吧？回头别忘了加上常数 c。 好，到这就完事了。最后一步，我们把 u 还原成 x， 因为你那个原函数毕竟是关于 x 的 嘛，对吧？好，那这样的话， u 等于 x 方，最终结果就是这个。 ok， 大 功告成。好，第二步来，第一步，还是设复杂部分为 u， 那 哪是 u 啊，很明显，这个三次方括号里头那堆东西都是复杂部分嘛。设 u 等于二 x 加一。 第二步啊，我们利用 du 等于 u 一 撇乘 d x， 也就是二 x 加一的导数乘 d x 等于二倍的 d x。 进一步，我们把 d x 转换成 du， 就是 二分之一倍的 du。 第三步啊，我们把原函数由变 x 的 换成变 u 的， 也就是 u 的 三次方程，乘上二分之一倍的 du。 好，那这个题不就相当于求二分之一 u 的 三次方的原函数吗？对不对？非常非常简单啊！啊，二分之一乘在前面，对吧？这不就相当于是这个一加三分之 u 的 一加三吗，对不对？这是它的原函数。 好，最后后面别忘了加常数 c 啊，简单整理一下，就是这个样子。 ok， 好， 最后一步，把 u 还原成 x 啊，也就是最开始的这个样子。好，这题就大功告成。 继续，我们多拿几个题强化一下这个题。设，第一步，设复杂部分为 u， 那 很明显 u 等于三 x 嘛，对吧？ 第二步， du 等于 u 的 导数乘 d x， 在 这里就是三 x 的 导数乘 d x， 也就是三倍的 d x， 进而我们把 d x 变成 du， 就是 这个样子。进而啊，我们把原函数从带 x 的 变成带 u 的， 就是这个样子， 乘上这个三分之一倍的 d u， 好， 那这个题非常简单，就是求三分之一三 e u 的 原函数吗？非常简单，就是负三分之一口三 e u 呗，别忘了加常数 c。 最后一步，把这个 u 给它还原回去，就是这个样子。 好，非常简单啊！再看一下例题四，这个函数哪是复杂部分啊，很明显，分母要比分子复杂嘛。所以说我们设复杂部分为 u 就 行了，设 x 平方加一等于 u。 第二步，我们利用 d u 等于 u 一 撇乘 d x， 把这个 u 往里带，就是 x 加一啊， x 平方加一的导数 d x， 也就是二 x 倍的 d x， 紧接着把 d x 表示成 d u， 就是 这个样子。 紧接着把原函数由带 x 的 换成带 u 的， 就是这个样子。 ok， 分 子分母二 x 约掉，那最终结果就是求 u 分 之一的原函数嘛，非常非常简单。关于 u 的 原函数是谁呀？绕 u 的 绝对值呗，对吧？最后别忘了加常数 c， 最后一步，别忘了把 u 还原回去，就是这个样子。 ok！ 大 功告成！来，我们再看一下最后一个，还是设复杂部分为 u， 非常简单，很明显 cosine 里头是复杂部分呗，设 u 等于 r x 加五就行了。 第二步，利用 du 等于 u 一 撇乘 d x。 我 们简单求一下就二 x 加五的导数乘 d x 也就二倍的 d x， 紧接着把 d x 用 du 来表示，就是这个样子。紧接着把原函数所有这个关于 x 的 部分给它换成带 u 的， 就是这个样子。 ok， 那 原函数非常简单，就是啊，求这个二分之三倍的口算 u 关于 u 的 原函数呗，非常简单，谁呀？就是这个呗。 最后别忘了加常数 c， ok， 最后一步，别忘了把 u 还原回去，就是这个样子， ok， 大 功告成。所以我们再强化一下啊，第一步，设这个函数复杂部分为 u， 比如说啊，这个题你就设 u 等于二 x 加五。第二步，我们利用这个公式把 d x 转换成 du。 第三步，我们就求关于 u 的 函数的积分。最后一步，把 u 还原成 x， 就 大功告成了，这就是第一类积分换元法。

我们来看一下辨识训练三的第一小题。一指 f x 等于这个式子， h x 属于六分之派到六分之五派，求 f x 的 最值。 首先呢，我们设 t 呢，是等于 c x 在 s 属于六分之派到六分之五派的时候，需要注意正弦呢，我们简单画一下它的图像， 六分之派到六分之五派是这段，也就在六分之派和六分之五派的时候取得最小值，在二分之派的时候取得取得最大值，所以 t 的 取值范围就是二分之一到一，那此时的 y 呢，就等于 或者说 f t 呢，就等于二 t 方加上二 t 减去二分之一。 很明显，当 t 属于二分之一到一的时候，二 t 方是增的，二 t 是 增的，所以说就在二分之一处取得最小值。我们代入一下，二乘以四分之一， 再加上二乘二分之一，再减二分之一就是一。它的最大值呢，就在 移除去的二加二减二分之一，也就是四减去二分之一，结果是二分之七。

期末专题讲解，咱们今天看的是三角函数的最值， f x 等于这种分数型三角函数的形式，求它的最大值，那对于 f x 而言，我们肯定要进行一个处理，上面是 cosine x， 下面是 cosine x， 我 们首先把 cosine x 利用二倍角公式进行一个处理，就是一减二倍的 c x 的 平方，再除上一加 x， 那 现在的形式就相当于是上面是平方，下面是一次方，是高次比上一个低次的形式，那我们可以利用 换元法进行处理，那换元法一般的情况我们都是把第一次进行换元，那我们都可以另一加三 x 等于 t， 那 换元法换完以后，我们一定要求一下 新的 t 的 一个范围。已知三 x 是 在负一到一的，那三 x 这里是取不到负一的，是左开右闭，那一加三 x， t 的 范围就是属于 零到二的，也是左开右闭，那 t 的 范围。知道了，那我们就用 t 去表示三 x， 那 c x 就 等于 t 减一往里面带，那么 f t 就 等于一减二倍的 t， 减一块二的平方，除上一个 t， 把这个式子再进行一个化简，它是等于四减括号二 t 加上一个 t 分 之一。 要想求 f x 的 最大值，相当于求后面这么多的最小值，因为前面有一个符号，那这很明显我们可以利用基本不等式，所以它是正常，应该是大于等于，所以应该是小于等于 四减去一个二倍的根号二 t 乘上一个 t 分 之一 t， t 约掉，所以是等于四减二倍的根号二，所以它的 最大值就是四减二倍的根号啊，那这里的最大值，它越小，是不是整个函数值就越大了？再利用基本不等式就可以了。为什么这里小于等于号，因为前面添加了一个符号啊，所以就进行一个 编号的处理。那这里我们还要注意了，当前进大家看能不能取到二， t 等于 t 分 之 一的时候，看能不能取到这个 t， 我 们可以算一下二， t 的 平方是等于一的， t 的 平方是等于二分之一，所以算的是 t 是 等于二分之根号二的是能够属于替代零到二的范围，是是能取到的，所以它的最大的就是四减二倍的根号二，你听懂了吗？

我们一起来看一下这样一道求两个根式的和的取值范围的问题，那么这道题是非常有意思的一道题。 首先看看这个题目，其实这个题目当中隐含了有一个条件，如果解读出那个隐含条件话，那么这个题基本上就秒掉了。我们看看题目给定的这个条件，其实给定了一个平方和为常数这样一个隐含条件， 如果我们能够解读出这个条件的话，对这个题目就可以进行改写了。我们令 a 等于根号 x， 令 b 等于根号四减 x， 那 么是不是就有 a 方加 b 方等于四，那么且这里头的 a 是 大于等于零， b 是 大于等于零的，那么目标就是要在这样的一个条件下，让求 a 加 b 的 取值范围。 其实上面的题目就改写成这样一个题目了，那么如果是说直接是这样一道题的话，我相信同学们都会做，那么在这里我们可以用到三角换元嘛，那么令 a e 等于两倍的 cosine sit 等于两倍的 cosine sit 进行换元，那么由于 a 是 大于等于零， b 是 大于等于零，那么 sit 我 们可以取到零到二分之派这样一个范围，那么再求 a 加 b 的 取值范围， 它是不是就等于两倍的 cosine theta 加上两倍的 cosine theta， 我 们直接利用辅助角公式，二倍根号二倍的 cosine theta 加四分之派， 那么由于 theta 角是属于零到二分之派，那么 theta 加四分之派这个角是不是就属于四分之派到四分之三派这一个单位， 同样的 sine sine theta 加四分之 pi， 它的取值范围是不是就是二分之根号二到一这个范围，那么知道这个角的取值范围，那么 a 加 b 的 取值范围 a 加 b 即属于二到二倍根号。二这一个范围， 也就是我们这个目标式的取值范围其实就是二到二倍根号。那么我们看这道题当中解读出我们题目给您的隐含条件，两个根式的平方和等于一个常数的话，就直接可以利用到三角换元，最后利用三角函数的有界性 来求我们这个代数式的取值范围，这是常见的一种方法。好，这个题和大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

我们一起来看一下这道题，已知 a 大于零， b 大于零，且 a 加 b 等于二，让求这样一个代数式的最大值， 那么在这个题当中给出了两个变量之间的等式关系，那么很多同学首先想到的就是消元法， a 等于二减 b， 用这个代进去消元， 那么这也是一个方法。既然给定了两个变量之间的等式，带进去消元是一个方法，但是同学们可以试一下，他的运算量非常大，那么在这里给大家介绍另外一种换元的思想，叫中指换元，也叫对称换元法。 那么其实用这个方法就是为了我们最后的代数是运算起来能够化解。因为 a 大于零， b 大于零，且 a 加 b 等于二的话，我们可以令 a 等于一加 t， 那么 b 等于一减 t， 给他做这样一个中值换元，就是以他的平均值为中间量做中值换元，那么这里头的 t 就应该大于负一小于一这样一个范围。因为 a 是大于零， b 大于零的，所以 t 的取值范围只能是大于负一小于一这样一个范围。 换圆之后，我们的目标是即可改写为一加 t 方加上一减 t 方，上面是一加 t 括号的平方加上一减 t， 那么这个式子给他整理一下，分母上即为两倍的一加 t 方，那么分子上 t 方加上 t 再加二，得到这样一个式子，那我们将这个式子再分离，常数就等于二分之一倍的 先分离，一个常数一出来，那么在 e 加 t 方分值这里头的是剩下的 t 加一，那么就得到这样一个式子了。要求 s 的最大值， 其实就是要求后面这个式子的最大值，那么这里头的 t 它是大于负一小于一的，我们将它单独拿出来看作一个函数，我们给它看作 gt 的话，等于 t 加一分之一加 t 方，其实就是要求它的最大值， 那我们在这里再给他进行还原，令 t 加一等于 m， t 加一等于 m， 那 m 的取值范围即大于零小于二 给他。这样换完之后，那么 g t g 等于 h m， 那上面就是 m， t 就是 m 减一括号的平方再加上一， 那么这个整理一下，即为 m 比上 m 方减去 im 加上啊，那么要求这个式子的最大值。我们知道直接将分子分母同时除以 m 就好了，那么就得到一分之 m 减去 r 加上 m 分之啊， 那么这样除完之后，由于 m 大于零，这两项就可以直接利用，基本不等式了。那么也就是说它的分母其实就是大于等于 m 加 m 分之二，就大于等于两倍的根号啊， 当它的分母取最小值的时候，也就是分次取最大值的时候，所以这个式子它应该是小于等于二分之，根号二减二分之一的，就是小于这个的，我们将它由里换一下，就是同时乘以两倍根号二减二， g 等于二分之，根号二加一，也就是说 gt 的最大值是取代二分之根号二加一的时候， 那么再看他这个时候的取值条件，就是当 m 等于 m 分之二的时候，也就是 m 等于根号二的时候，那么 m 等于根号二的时候，其实就是 t 等于根号二减一的时候， 当 t 等于根号二减一的时候， gt 举到最大值， gt 的最大值是等于二分之根号二加一， 那么 gt 取得最大值，也就是这个目标值 s 取得最大值，那我们就短如一下， s 等于二分之一，括号一加上二分之，根号二加一，那么这个也就是四分之三加根号， 他的最大值就等于四分之三加根号二，那么这个时候我们看他的取值，也就是当 a 等于 e 加 tt 等于根号二加一，也就等于根号二的时候，那么 b， g 等于二减根号二的时候， 当 a 等于根号二， b 等于二减根号二的时候，这个式子取得最大值。这个题到这就解完了，回头我们看一下，在这里给大家介绍了一个叫中值换元法，那么他可以大大的减少我们的运算量。很多同学看到这道题的时候，首先想到的是消炎，消炎也能做出来，但是肯定运算量会非常大， 同学们可以试一下。那么这里头介绍的中值换元是这两个数相加， a 加 b 等于二，我们想到这个中值换元，当这两个数相乘等于一个数的时候，我们怎么还原这有个比值换元， 那么令 a 等于 p， 那么 b 就等于 p 分之二，就是这个时候也可以用这种换言方法。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。