数学七年级下册人教版最后一章是什么

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第六节课，今天我们来学习平行线的判定。上节课我们来学习了平行线的概念， 哎，这节课的学习目标是掌握两直线平行的判定方法。第二了解两直线平行的判定方法的证明过程。第三就是能够灵活运用平行线的判定方法进行证明。第四是掌握平行线的判定在实际生活中的应用。我们这节课特别重要，也是考试的一个 常考点，也是考试的一个重点，所以大家一定要仔细去听第一个，今天要学的一个长考点，也是考试的一个重点，所以大家一定要仔细去听。第一个，今天要仔细去听第一个，今天要去用同位角学会判定两直线平行。 我们来看我们之前学过用三角尺和直尺来画平行线的方法，第一是放，第二是靠，第三是推，第四是画， 我们画出的这两条线是平行的。那么在这个过程当中，我们这个三角板起到了一个什么样的作用呢？我们三角板再从这个方向移到这个方向的时候，他这个角度是不是没有发生改变呢？对不对？ 那所以说我们就能发现，在这个过程当中，我们保持了角一与角二的相等，而我们的直线 a 和直线 b 是 平行的，因此我们是不是就可以说出，如果角一等于角二的话，我们是不是就能够得到 a 是 平行于 b 的？ 因此我们就能得到第一个结论，也就是说两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线就平行。我们观察前面的这个式子，角一和角二是不是一个同位角啊？ 因此我们就得到了这个结论，两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么两直线平行，简而言之就是同位角相等，两直线平行， 如果角一等于角二，我们就能判定出来 ab 是 平行 cd 的。 同样的道理，如果说这里有个角三和一个角四，如果告诉你角三等于角四，你也能够得到 ab 平行 cd， 如果这个角等于这个角，你也能得到平行，这个角等于这个角也能得到平行。 所以我们用几何语言表示就是角一等于角二，所以 a b 平行 c d。 那 我们在木工用途当中有一个角尺去画平行线的一个道理，就是用这样的一个角尺， 一次一次的去画这样的线，把这脚趾的这一边固定在这个木板的侧面，而脚趾的这一边固定在木板的上面，我们画出来的这些角是不是都是相等的？因此它就是一个平行线，我们所依据的道理就是同位角相等，两直线平行， 因为我们的三线八角里面是不只有同位角的，它里面还有内错角和同旁内角来判定两直线平行呢。 我们来观察一下，如果角二等于角三，角二和角三属于我们的内错角，内错角如果相等，能否得到直线 a 和 b 是 平行的，角二等于角三，然后我们的角三和角一是不是对顶角啊？ 那角三和角一就相等，从而我们就能推出角一是等于角二的，是不是得到了我们的同位角相等，那同位角相等，直线 a 肯定跟直线 b 是 平行的，我们看一下这个过程， 将其转化成同位角相等，即可判定两直线平行，也就是角二等于角三。我们又知道角一和角三也是相等的，因此我们就能够得到角一是等于角二的，因此我们的 a 就 平行于 b， 对 不对？我们看一下具体的解析过程。 因为角二等于角三，这是我们的已知条件。角一等于角三，这是我们的对顶角相等，所以角二等于角一，这就是咱们的等量代换，记住这个词，等量代换， 所以 a 就 平行于 b， 用的判定方法就是同位角相等，两直线平行，那通过这个已知条件和这个结论，我们就能得到一个结论，也就是两条直线被第三条直线所截。如果说是内错角相等，那么这两直线平行，我们简而言之就是内错角相等，两直线平行。 那如果说我们这道题给出的是角二加角四等于一百八十度，那根据这个已知条件，我们能得到 a 平行于 b 吗？ 我们来看，如果角二加角四等于一百八十度，我们的角四和角一是不是邻补角的关系，那么角一和角四相加也是一百八十度。通过等量代换，我们就能得到角一是等于角二的，是不是又转化成了同位角相等啊？因此两直线也平行，我们来看一下具体的解析步骤。 因为角二加角四等于一百八十度，角一加角四也等于一百八十度，这是我们平角的定义，你也可以说是因为角一角四互为零补角，所以角一是等于角二的，所以 a 平行于 b， 用的就是同位角相等，两直线平行。 因此我们就能得到第三个判定方法。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线就互相平行，简称 同旁内角互补，两直线平行。以上就是咱们学的三个判定方法，同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。我们来看一道例题， 因为角二等于角六，角二等于角六是给咱们的已知条件，所以我们是不是就能得到 a、 b 平行于 c d 啊？因为角二和角六是同位角，用的方法就是同位角相等，两直线平行。 第二个，因为角三等于角五，角三和角五这两个是不是互为内错角的关系啊？因此我们也能得到 ab 平行 cd， 用的依据就是内错角相等，两直线平行。第三个，如果说因为角四加上一个角等于一百八十度，我们能得到什么平行？因为角四它的同旁内角只有角五，所以说我们就能从角四加上角五等于一百八十度，从而得到 ab 平行 cd， 依据的方法就是同旁内角互补，两直线平行。好，我们看第二题，已知角 m c a， 也就是这个角是等于角 a 的， 等于角 a， 那 么就能得到 a b 时平行于 m n 的。 因为角 m c a 等于角 c d a c d e m c a 等于角 c d e 啊，这两条线也是互相平行的，那么 ab 平行 d e 吗？是不是平行的？我们既可以用 两条直线与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，也可以利用这个角等于这个角，这个角也等于这个角，所以这个角等于这个角，因此这两条直线也互相平行，对不对？两种方法都可以 我们来看，角 m， c， a 等于角 a， 角 m， c， a 等于角 c， d， e， 所以 说我们就能得到角 a 等于角 c， d， e， 从而我们就能得到两个直线平行，用的就是同微角相等，两直线平行。 我们的第二种思路就是用 ab 平行， m， c， d， e 平行， m， c， a， b， e 也平行于 d， e， 用的就是两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 我们看一下这道题的解题步骤，因为角 m， c， a 等于角 a， 角 m， c， a 等于角 c， d， e 等于角 a， 所以 ab 平行， d， e 同 v 角相等，两直线平行。 所以说我们在遇到新的问题的时候，通常就把它转化为已知问题或者已经解决过的问题来进行解答。 到目前为止，我们学会的判定两直线平行的方法都有。第一个是我们的定义法，如果在同一平面内，两条直线不相交，那么它就是平行的。第二个我们学的就是平行的公理推论，若 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么 a 就 平行于 c。 第三个就是我们的第一个判定方法，同位角相等，两直线平行。第四个就是我们的内错角相等，两直线平行。第五个就是同旁内角互补，两直线平行。那在铺设铁轨的时候，两条直轨必须互相平行，我们怎样保证呢？我们放置另外一条直线 e、 f， 我让 e、 f 与 c、 d 是 互相垂直的， e、 f 与 ab 也是互相垂直的，从而我们就能得到角一是等于角三等于九十度的。那既然同位角相等，我们是不是就能得到 ab 是 平行于 c、 d 的 呀？因此我们就能得到两条直轨是互相平行的， 所以我们就得到我们第三个结论，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行。我们来证明一下这个过程， e、 f 垂直于 ab， 从而得到角三等于九十度， e、 f 垂直于 c、 d， 从而得到角一等于九十度。因此我们是不是就能得到角一等于角三呢？角一等于角三，利用同位角相等，两直线平行，得到 a、 b 平行于 c、 d， 所以 我们就得到这个结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也互相平行。 来。我们看到例题，设 abc 为平面内三条不同的直线，那么 a 与 b 的 位置关系是不是就是平行关系啊？ 因为在同一平面内垂直于同一条直线的两直线是互相平行的，因此 a 是 平行于 b 的。 我们又新学了一种平行线的判定方法，我们下面来看第四个知识点，是我们平行线判定的一个综合运用。我们看这道例题，已知角一等于七十五度， 角二等于一百零五度，那利用对顶角相等，我们是不是能够得到角五等于一百零五度啊？那他问 ab 与 cd 平行吗？是不是平行的？因为角一加上角五等于一百八十度，我们利用同旁内角互补，两直线平行，对不对？我们看一下这个步骤，解 a、 b 平行 c、 d， 理由如下，这几个字一定要加上，因为我们的题目问了，为什么，因为角二等于一百零五度， 所以角五等于角二等于一百零五度。我们在写这个过程的时候一定要注意点，我们一定是未知的角等于已知的角，不能写角二等于角五。要写角五等于角二，利用的方法就是对顶角相等， 那所以我们的角一加上角五是不是就等于七十五度，加上一百零五度等于一百八十度啊？ 所以我们的 ab 就 平行 c、 d 利用的就是同旁内角互补，两直线平行。好，我们看这道例题，如果角一等于角二，我们能判定 ab 平行于 df 吗？ ab 在 这儿， d、 f 在 这。如果要判定这两条直线平行，肯定要跟它的第三条直线 b、 d 有 关系才行。但是跟 b、 d 有 关系的这些角里面，跟角一、角二可没有关系，它是跟这个大角有关系，对不对？所以说只给我们角一等于角二，没有办法去判定 ab 平行 d、 f。 那怎样才能判定 a、 b 等于 d、 f 呢？它可以给我们加一个已知条件，比如说角三等于角四，也就是角 c、 b、 d 等于角 b、 d、 e， 所以 说要添加一个条件，那这个时候我们用的就是内错角相等，两直线平行。 好，我们来做几道随堂练习题，可以确定 ab 平行， c， 可以 确定 ab 平行 c、 e 的是这条线和这条线是平行的。我们学的平行线的判定方法一共有几种呢？第一种就是它的定义， 第二种就是它的传递性，第三种就是内错同位角相等，第四种就是内错角相等， 第五种是同旁内角互补相同。第六个就是我们的两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线也互相平行，那我们的 ab 平行于 c、 e 的 判定条件可以用哪个呢？ ab 平行于 c、 e， 我 们看 a 向，如果角二等于角 b， 角二等于角 b， 这个线跟这个线平行，那角二应该是等于这个角 a 才可以，所以说 a 向不对， b 向，角一等于角 a， 角一等于角 a， 这两条线也不是什么线，角一的角是这个角，所以说 b 也不对，看 c 向， c 向，角三等于角 b， 角三等于角 b， 这不就是这两条直线被这条直线所截形成的同位角吗？所以说 c 向是正确的，利用的就是我们的同位角相等。两直线平行，我们看 d 向，角三等于角 a， 角三和角 a， 这也是两条不干系的两条，两个角，所以说答案选 c。 我 们来看第二题。一、学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，那这两次拐弯的角度可能是 行驶方向原来相同，那他就只有两种情况，往这边行驶的，第一次往这边拐，第二次往这边走。或者第二种情况， 往这边拐了之后再往这边拐，第一次先向左拐，第二次向右拐或者第一次向右拐。第二次向左 拐的话，第一次向左拐，他拐的度数是这个度数，第二次向右拐，他拐的度数是这个度数。如果说他两次拐的 度数是相同的，就可以利用同位角相等两直线平行，从而得到是不是？所以说他两次拐弯的角度应该是相同的，我们看相同的角度就只有 b 这一个选项。 那有同学说，老师，那第二种情况呢？第二种情况我们来看，第一次向右拐弯，他拐的度数是这个，第二次向左拐弯，他拐的度数是同样也要相等。因此不管第一次向左还是第二次向左，他拐的度数只要是相同的， 它才能与原来的方向保持一致。所以说答案应该是选 b。 好， 我们看第三题，已知角一等于三十度。三十度， 若角三满足什么条件，则 a 平行于 b， a 平行于 b。 如果说角三等于三十度，是不是就可以满足角一等于角三，内错角相等，两直线平行啊？ 来看第四题，有角一等于角四可以推出。你看角一等于角四，这两个角在这，瞄一下它的边，在这，是不是就能得到 ab 是 平行 cd 的， 它是这样的一个 z 字形，所以得出 ab 平行 cd， 理由就是内错角相等，两直线平行，看是个 z 字形，是不是 第二个有角 abc， abc 是 这个大角， 加上哪个角等于一百八十度，可以推出 ab 平行于 c、 d， 那 我们就看这个大角跟谁形成同旁内角呗。因为是一百八十度，要找互补，跟这一条线里面，这里是不是跟它形成了一个 u 字形啊？因此加上角 b、 c、 d， 从而可以推出 ab 平行 c、 d， 理由就是同旁内角互补，两直线平行。第三个由谁等于角二，我们可以推出 a、 d 平行 bc， 角二是这个角 bc 也在这， ad 在 这，那么是不是只能这么去连，得到的角应该是角三，所以角三等于角二的话，得到 ad 平行 bc， 理由就是内错角相等，两直线平行。 那第四个，我们由角五等于哪个角，可以推出 ab 平行 cd 啊？ ab 平行 cd 这两把它消掉，我们看要让 ab 平行 c、 d 已知的角是角五，那么我们可以利用这条线上面角五等于这个内错角，是不是所以就是角 abc， 从而可以得到内错角相等？ 所以我们角五是不是应该找这个角啊？这是它的同位角，是不是所以由角五等于角 abc 可以 推出 ab 平行 cd， 理由就是内错，理由就是同位角相等，两直线平行。 好，我们来看第五题，已知直线 a、 b、 c、 d、 e， 且角一等于角二，角三加上角四等于一百八十度，这个角等这个角，所以 a 平行于 b， 角三加上角四等于一百八十度。所以说 b 平行于 c， 则 a 与 c 平行吗？来，我们看一看具体的解题过过程。 a 与 c 是 平行的，理由如下，因为角一等于角二，从而我们得到了， 因为角一等于角二。这里我们是不是要写已知啊？这是我们的已知条件，所以 ab 平行 cd 我 们用的是什么？这不是内错角吗？ 内错角相等，两直线平行。那因为角三加角四等于一百八十度，这是我们的已知条件，所以 b 平行于 c， 这是用的我们同旁内角互补，两直线平行。所以说 a 平行于 c， 用的是我们平行线的传递性，也就是说两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 好，我们看第六题。光线从空气中摄入水中，会产生辐射现象，同时光线从水中摄入空气中也会产生辐射现象。 如图，光线 a 从空气中摄入水中，再从水中照射出空气中，形成光线 b。 根据光学知识，我们有角一等于角二，角三等于角四，那么我们来判断一下光线 a 与光线 b 是 否是平行的。 大家看题目告诉我们，角一等于角二，角三等于角四，那角三等于，因为我们要证明什么？要证明的是这一条线 和这一条线是平行的，与他们两个相联系的只有这一条线。这是不是一个 z 字形啊？是不是 z 字形？如果说我能找到这个大角跟这个大角相等的话，是不是可以用内错角相等两只线平行啊？ 那么来看题目告诉我们，角一是等于角二的，而给我们的角三是等于角四的。如果我们能找到角五等于角六就可以了。 角三等于角四，那角五不就等于角六吗？因为他们两个都是邻补角，所以说角五等于角六，角一也等于角二，那么角一加角五是不是就等于角二加角六啊？因此我们就能得到内错角相等两直线平行， 所以光线 a， 光线 b 是 平行的，因为角三等角四，从而推出角五等于角六，从而又有我们角一等于角二，因此我们可以得到角一加角五等于角二加角六， a 平行于 b。 好， 我们来看一下具体的步骤，书写 平行理由如下如图，因为角三等角四，所以角五等角六。因为角一等角二，所以角一加角五就等于角二加角六，因此 a 平行于 b， 用的就是内错角相等，两直线平行。 来我们看一下这节课的课堂小结，这节课的内容比较多，大家一定要课下再多听几遍。平行线的判定方法，第一就是我们的定义法，同一个平面内，两条直线不相交，那么他就是平行的。 第二个就是我们平行。公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，也就是如果 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么 a 也平行于 c。 下面就是我们平行线的判定方法。常用的三个判定方法，同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线也平行。最后就是我们的一个推论，在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线也互相平行。 这节课的内容大家课下一定要反复去观看，因为内容比较多，然后去找一些相应的题型去做，加紧练习一下，把自己学过的知识赶紧去熟悉一下。好了，同学们再见。好了，今天的课程到这就结束了，同学们，再见！

同学们好，我是小狐狸老师。今天我们继续来学习人教版七年级下册数学第五节平行线的概念。 今天的学习目标是了解平行线的概念，以及平面内两条直线相交或者平行的两种位置关系。 第二就是掌握平行功力以及平行功力的推论，第三就是要会用符号语言来表示平行功力的推论。会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 我们来看这里有两条看不到尽头的轨道，我们把它想象成几何图形，也就是两条无限延伸的直线，而且这两条直线是不会相交的，对不对？ 那我们把这种图形呢，就叫做平行线。我们来看平行线的表示。我们前面学过两条直线的位置关系是相交 a、 b、 c、 d 相交，有一个交点，并且会形成四个角。 那除此之外，我们的位置关系还有一种就是没有交点，没有交点这种我们就把它叫做平行线，也就是在同一平面内不相交的两条直线。我们的直线就只有两种位置关系，一种就是相交， 另一种就是不相交。不相交就是平行。比如说我们的 a 和 b 直线 a 和直线 b 没有交点，那么 a 就 平行于 b。 我 们用符号语言平行线是这么去写两条斜杠， a 平行于 b， 读作 a 平行于 b。 一定要注意大小写，我们大写表示直线是两个大写字母，小写的话只用一个小写字母就可以了。那结论就是在同一平面内不重合的两条直线，只有两种位置关系，就是相交和平行。 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系就是相交或者是平行。 如图，相交的是第一个，我们来看第一条线，这里是一条射线，而这里是一条直线，他是不相交的，因为我们的射线没有办法往这边延伸。 看第二个，这是一条线段，那么他也没有交点。第三个，这是一条线段，但这是一条直线，这条直线可以延伸之后，这里会有一个交点，因此这里是相交的。 三是相交的，那我们看第四个，第四个是两个线段都不会进行延长，所以说他既不相交也不平行。来我们看第五个， 第五个的话是两条无限延伸的直线，并且没有交点，是平行，所以说第五个是我们的平行线。 那有同学会说了，老师你不是说两条直线在同一平面内不是相交就是平行吗？那为什么这个第四个它既不相交也不平行呢？还有第一个、第二个，因为我们说的相交和平行指的是线，直线是可以无限延伸的直线，这是我们的概念里面的 来看，是不是在同一平面内两条直线，所以说直线和线段射线是不一样的。因此我们就能得到这个结论，射线与直线是不相交的，但射线所在的直线与这条直线相交。也就是说第一题 第一个这个图形，假如说我把这个位置颠倒一下，这里是射线的这个端点，而这里是可以无限延伸的，那么射线所在的直线就与这条直线相交。 这句话的意思就是射这条射线虽然跟这条直线不相交，但是这条射线所在的这条直线，他是他们两个直线是相交的。 第二个就是线段与直线不相交，但线段所在的直线与两条直线相交或者是平行。第三个就是直线延伸后，与线段也会有一个交点。 第四个点就是两条线段是没有交点的，但他们所在的直线相交。看第四个，两条线段是没有交点的，但他们所在的直线就会有短点 两。第五个就是两条直线不相交，那么他就是平行。一般的我们说的两条射线平行，两条线段平行，指的都是他们所在的直线是平行的。 下面我们来看平行线的画法，我们先画一条直线，然后放，就是把我们的直尺或者是三角板放在这里。第二个就是靠，我们把直尺靠在这里之后，把三角板进行向上推移， 推移到一定位置之后，画下第二条直线，那么这两条直线就是相互平行的。 一如图，过直线 m n p q 相交于点 o， 这里一个交点 o， r 作为直线 m n p q y 的 一点，这里是 r 过点 r 划直线 ab 平行于 p q， 那么我们就先把三角板对折 p q 放置，放置之后再拿直角放在三角板的斜侧，然后让这个三角板往上平移，经过点 r， 那 么画出的这条线就是我们的直线 a b 做直线 c d 平行于 m n。 同样的方法，用我们的直角 先把三角板放在 m n 这条线上，然后把我们的直角放在这里，把三角板向上推移，经过点 r， 画出一条射线，经过点 r 画出一条直线 c d 与 m n 平行，如图所示。 我们在画图的时候，必须要确保直角定好位置之后就不再移动。第二个就是当三角尺移动的时候，要始终保持一边紧靠直尺。 过点 b 画直线， a 的 平行线能够画几条过点 c 再试试。我们可以画出过点 b 只有一条与 a 平行。过点 c 也是只有一条线与 a 平行，而且我们发现这条线和 a 是 平行的， 这条线和这条线也是平行的，我们会发现这三条线是不是也是互相平行的呀？因此我们就得到了一个平行功力及它的推论，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，直线外的一点经过它有且只有一条直线与已知直线平行。 并且如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。也就是，如果说我们有 a 平行于 b， a 又平行于 c， 那 么我们就可以得到 b 也平行于 c， 这就是我们平行线的传递性。 如果 b 平行 ac 平行 a， 那 么 b 就 平行于 c。 来下列推理正确的是，因为 a 平行于 b 平行于 c， 所以 c 平行于 d。 这里是涉及到了四条直线，所以说 c 不 一定平行于 d。 错的。 b 向，因为 a 平行于 c， b 平行于 d， 所以 c 平行于 d。 同样的还是四条直线，所以说仍然不行 c 向，因为 a 平行于 b， 所以 a 平行于 b， 这是不是咱们平行线的传递性啊？ a 平行于 b， a 又平行于 c， 所以 b 和 c， a 也是平行的， c 是 正确的。我们看 d 向，因为 a 平行于 b， c 平行于 d， 所以 a 平行于 c。 错了，仍然涉及到了四条直线，它可以是这样的四条直线对不对？答案就选 c。 我们看第二题，完成下列推理，并在括号内注明理由。如图，因为 ab 平行 d e， bc 平行 d e， 那 所以 abc 三点是不是要在同一条直线上啊？因为过直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线平行，所以说 a、 b 与它平行， bc 与 d、 e 也平行。因为过点 b 是 只有一条直线与 d、 e 平行的，因此 abc 肯定在同一条直线上。我们所用的依据就是经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 我们看第二个，如图，因为 ab 平行 cd， cd 又平行 ef， 那 么我们就能得到第一条线和第三条线是相等，也是平行的， 所以就由 ab 也平行于 ef。 我 们所依据的定律就是平行线的传递性。也就是说，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。大家一定要把这些概念给记住，因为考试的时候是会考填这个概念的。 我们来做几道随堂练习题。第一题，下列说法正确的是。我们来看 a 项，同一平面内，没有公共点的两条直线平行，这不就是咱们平行线的概念吗？ 没有公共点的两条直线肯定是平行的。 b 项，两条不相交的直线一定平行。错了，他少了几个字，同一平面内。为什么？呃，我为什么就是一定要强调这个同一平面内呢？比如说，我给大家打个比方，正方体大家都见过， 对不对？正方的来，你们看这一条线，正方的这一条线和正方的这一条线，他们是不是不相交？因为他在上面，他在下面，他永远都不相交，但他们两个是不平行的，因为他们两个处于立体图形里面，不是同一平面内，所以说， 嗯，不符合我们的这个概念。好。 c 向同一平面内没有公共点的两条线段平行。错，我们的定义是直线， d 向那射线肯定也是不对的，答案就选 a。 好。 第二题，下列说法正确的是。第一个，一条直线的平行线只有一条，一条直线的平行线有无数条。 第二题，第二个，过一点，与已知直线平行的直线有且只有一条，这里少了一个点过直线外一点，因为如果这个直线在，因为如果这个点在直线上，那是不是就他就没有平行线，他就本身是他自己的这一条？ 好，第三个，错了，错了。第三个，因为 a 平行 bc 平行 a， 所以 a 也平行 d 跟 d 有 啥关系啊？那这不是 b 平行于 c 吗？ 好，第四个画写的有点不正规，整了。第四个，经过直线外一点啊，直线外一点，尤其只有一条直线与这条直线平行，这不就是咱们的定义吗？是不是？ 所以答案选 a。 好。 第三题，下列错误说法的序号是，第一个，两条直线不相交就是平行的，同一平面内，同一平面内两直线不相交，就是平行的。所以说第一个是错的， 看第二个，同一平面内两条平行的直线有且只有一个交点，平行线是没有交点的。第二个也是错误的。第三个，过一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过直线外一点，对不对？过直线外一点，所以第三个也是错的。第四个，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这不就是咱们平行线的传递性里面的概念吗？所以说第四个是正确的，因此答案选一、二、三。 好，我们看第四题。已知在同一平面内有一直线 a、 b 和一个点 p 或点 p， 画 ab 的 平行线可画多少条？如果说我们的点 p 在 这条直线上，那么它就没有平行线。如果说点 p 在 直线外，那么它就有一条，因此可以画出零条或者是一条，大家一定不要把这个零条给忘记了。 好，我们看第五题。若 ab 平行于 cd， ab 平行， cd 过点 e 做直线， ef 平行于 ab， 则 ef 与 cd 的 关位置关系式，那 ef 肯定也平行于 cd 啊。是不是？理由就是 同一平面内两条直线互相平行。理由就是我们这个 ab 和 c、 d 是 平行的， ab 和 e、 f 又是平行的，那么我们的 e、 f 肯定跟 c、 d 也是平行的，这是我们平行线的传递性，也就是说是两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 我们今天学了平行线及其表示在它的概念是，在同一平面内不相交的两条直线互相平行，记作 a 平行于 b。 平行线的画法，一放二靠，三推四画，先放三角板，再放直尺，然后把三角板往上推，画出直线就可以了。 平行公里以及推论平行公里是过直线外一点，注意注意这一下直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行。他的推论是，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，也就是平行线的传递性。 我们上这节课，我们通过这节课发现了平行线里面有许多需要背诵的概念，尤其是像这些推论这些功利一个字都不能错，因为考试的时候他就会考你默写这些功利或者是推论， 所以说大家从这节课开始一定要对咱们的概念极其熟悉才可以。好了，今天的课程就到这结束了，各位同学再见。

注意，本视频耗时三个月，精心制作，一站式带你系统学完初中数学七年级下册，高效吃透重难点！哈喽同学们，我是中考数学蔡老师， 今天我们来学习人教版数学七年级下册第九张平面直角坐标系第一个知识点，用坐标描述平面内点的位置。 第一课时平面直角坐标系的概念学习目标一，正确认识平面直角坐标系，会准确的由点写出坐标，由坐标瞄点二，平面内点的坐标的有序性请你思考， 类似于利用竖轴确定直线上的点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？在平面内 画两条互相垂直、圆点重合的竖轴，组成了平面直角坐标系，右边就是平面直角坐标系。我们把水平的竖轴称为 x 轴或者是横轴， 习惯上取向右为正方向，那反过来说明向左就为负方向。竖直的竖轴称为 y 轴 或者纵轴，取向上为正方向，那么向下为负方向。两坐标轴的交点 o 称为平面直角坐标系的圆点，这就是一个平面直角坐标系，这边是 x 轴， 这边是 y 轴。向右为 x 轴的正方向，向上为 y 轴的正方向。在平面直角坐标系上有一个点 a， 有点 a， 分 别向 x 轴和 y 轴做垂线。垂足 m 在 x 轴的坐标是三， 我们说点 a 的 横坐标就是三，垂足 n 在 外轴上的坐标是四，我们说点 a 的 纵坐标就是四，那 a 的 坐标就是三四。 写的时候用括号括起来，两个数之间要用逗号隔开，而且这两个数字的位置不能变。现在我们来尝试写一写其他点的坐标。 b 点向 x 轴做垂线， 再向 y 轴做垂线。 x 轴的焦点是负三，所以横坐标是负三。 y 轴的焦点是负四，所以纵坐标是负四，那么 b 点的坐标就是负三、负四。 c 点我们可以看到， 它在外轴上，向横坐标做垂线在圆点上，所以横坐标为零，纵坐标在二上，所以 c 点的坐标就是零二、 d 点在外轴的负半轴上，所以它的坐标就是零。负三， e 点在横坐标上，而且在 x 轴的负半轴上， 所以它的坐标就是负二、零。这里需要同学们注意，表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间要用逗号隔开。现在我们来总结一下确定点的坐标。 首先过点画垂线，横坐标画 y 轴的垂线，纵坐标画 x 轴的垂线。具体来看一道练习。练习一下列选项中平面直角坐标系的画法。正确的是，平面直角坐标系要有 x 轴，有 y 轴， 而且 x 轴和 y 轴是相互垂直的，所以排除 c 选项。除此之外，在坐标轴上必须要有单位长度，可以排除 a 选项， x 轴和 y 轴相交于原点， 圆点的右边是正半轴，圆点的左边是负半轴，排除 b 选项。那这道题就选 d。 练习二，写出图中 a、 b、 c、 d、 e、 f 坐标。 a 点的坐标是负二、负二， b 点的坐标是负五 四， c 点的坐标是五负四， d 点的坐标是零负三， e 点的坐标是二五， f 点的坐标是负三、零。想一想，圆点 o 的 坐标是什么呢？没错，当然是零、零。那么圆点 o 属于 x 轴还是 y 轴？其实圆点 o 既属于 x 轴，又属于 y 轴，观察一下 x 轴上的点的总坐标有什么特点？我们发现在 x 轴上的坐标有两个，一个是 o 点零零， 一个是 e 点负二零。想一想， x 轴上的点的坐标有什么特点呢？在 x 轴上的坐标有圆点零零， e 点负二零， m 点三零。可以看到 x 轴上的点的纵坐标为零。 y 轴上的坐标有三个，一个是零二，一个是零零， 还有一个是零负三。所以我们观察到在外轴上的点的横坐标为零，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了一、二、三、四四个部分， 每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。 在图中，第一象限在这个位置，这是第二象限、第三象限、第四象限是逆时针进行一个走的方式。第一象限、 第二象限、第三象限、第四象限。这四个象限同学们一定要明确它的位置，不能找错。坐标轴上的点不属于任何象限，也就是在横坐标上，还有纵坐标上的点，它不属于任何一个象限。观察如图，坐标系填写 各项线内的点的坐标的特征，这是第一象限里边，横坐标都是正的， 纵坐标也都是正的，所以在第一项线，横纵坐标的特点都是正数。再来看第二项线，我们以 b 这个点为例，发现 b 点的横坐标是负二，纵坐标是三， 所以在第二项线内，横纵坐标的特点，横坐标为负数，纵坐标为正数。在第三项线，以 c 为例， c 的 横坐标为负四，纵坐标为负一，所以在第三项线，横纵坐标都为负数。第四项线我们发现横坐标为正数，纵坐标为负数。所以在第四项线的时候， 横坐标为正，纵坐标为负。观察如图，坐标系填写坐标轴上的点的坐标的特征在 x 轴，这是在象限内的点的特点。我们再来看一下在坐标轴上点的特点。在 x 轴 分两种情况，在 x 正半轴上，在 x 的 负半轴上，在 x 轴上的点的坐标，它的特点是纵坐标为零。横坐标要区别在 x 正半轴上，那横坐标肯定为正，纵坐标为零。在 x 轴的负半轴上， 横坐标就为负纵坐标为零。在外轴上也分两种情况，在外轴的正半轴上，在外轴的负半轴上，外轴上的坐标有个特点是横坐标为零，所以 在外轴的正半轴上，横坐标为零，纵坐标为正数。在外轴的负半轴上，横坐标为零，纵坐标为负数。 圆点的坐标就是零。零横坐标轴上的点的坐标用字母表示为 x。 零纵坐标上的点的坐标用字母表示为零。 y。 再来看一个点，点 a、 b、 c、 d 到坐标轴的距离。 a 点的坐标是四、五，所以我们找到四、五这个位置。我们来看一下 a 这个点到 x 轴的距离是这一段， 它的长度对应过去是五，到 y 轴的距离是这一段对应过去是四。再来找 b 点，负二，三到 x 轴的距离是三，到 y 轴的距离是 二。 c 点负四，负一到 x 轴的距离是一，到 y 轴的距离是四。 d 点三，负二 到 x 轴的距离是二，到 y 轴的距离是三。从这个表格我们可以发现， 距离它都是正数，而且我们发现到 x 轴的距离是 y 轴上的数，到 y 轴的距离是 x 轴上的数。所以一个点， p 坐标是 x， y， 它到 x 轴的距离就是 y， 到 y 轴的距离就是 x， 而且是 y 的 绝对值， x 的 绝对值是一个正数。来看一道例题。例一，在平面直角坐标系中描出下列各点，第一个 a 四五，也就是横坐标是四，纵坐标是五，这样我们就找到了 a 点，同样 b 点 负二，三横坐标是负二，纵坐标是三。 c 点横坐标是负二，点横坐标是四，纵坐标是负二。 e 点横坐标是零， 纵坐标是负四。像这种在平面直角坐标系中描点的题，我们首先要在 x 轴上找出表示的点，再在 y 轴上找出表示的点。 过这两个点分别做 x 轴和 y 轴的垂线，垂线的焦点就是这个点。归纳总结 坐标，平面内的点和有序数对及点的坐标，它们俩是一一对应的关系。平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，点到 x 轴的距离是该点的纵坐标的绝对值， 点到外轴的距离是该点横坐标的绝对值。比如 a 点。来做几道练习。练习一， 如图，点 a 的 坐标是，我们先找到点 a 的 位置， a 点的横坐标是一，纵坐标是二，所以 a 点的坐标就是一。二选 b 练习二， 如图，在平面直角坐标系中，坐标是零负三的点式，我们来找到零负三，零横坐标是零，纵坐标是负三，找到负三在这个位置，所以 零负三这个点的坐标应该是点 d 选 d 向练习三，点三、负二所在的象限，我们要知道象限分为四个，分别是一、 二、三、四。我们先找到三负二这个点，三横坐标是正数，在右边负二纵坐标是负数，所以三负二这个象限应该是第四象限。练习四，在平面直角坐标系中， 第二象限内有一个点 m， 它到 x 轴的距离为五，到 y 轴的距离为四，则点 m 的 坐标是多少到 x 轴的距离为五，所以说明 y 的 绝对值等于五， 到 y 轴的距离为四，说明 x 的 绝对值等于四。又因为 m 在 第二象限第二象限的特点，横坐标为负，纵坐标为正，所以它就是负。四五课堂小结这节课我们学了平面直角坐标系，首先它的定义， 在平面内，两条互相垂直、圆点重合的竖轴组成了平面直角坐标系。象限分四个，按逆时针走，分别是一、二、三、四。在第一象限内，横坐标的符号是正号， 纵坐标的符号是正号。在第二象限内，横坐标是负号，纵坐标是正号。在第三象限内， 横纵坐标都是负号。在第四项线内，横坐标是正号，纵坐标是负号。我们认识了在平面直角坐标系里边，点和有序数对是一一对应的关系，并且向 x 轴画垂线， 垂足对应数为 a， 向外轴画垂线垂足对应的 b， 那 这个点的坐标就是 a b。 今天的分享就到这里，我们下期见。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来看一下我们七下第八张实数，八点三实数极其简单的运算。第二个课时，我们来看一下本次的一个目标，当我们把数的范围内范围呢扩大到我们的实数之后呢，我们要在实数范围内要会 取我们的相反数，还有知道我们的导数以及绝对值的意义。第二个呢，掌握我们实数的一个计算法则，能够运用我们的计算器呢去解决有关的一个实数问题。 好，那我们来复习一下，我们之前呢已经学过了相反数绝对值和倒数，那我们来想下，零的相反数是几啊？零的相反数是不是就是零，那零的绝对值呢？也是零，那我们来看零的倒数呢？零是不是不存在倒数呀？ 没问题，再来看一下我们八的相反数，那我们知道我们八的相反数应该是几，应该是负八，然后呢，它的绝对值呢？应该是八，那它的倒数应该是八分之一，对吧？ 同样的，我们来看一下负二点五的相反数，应该是二点五吧，那我们知道啊，我们负的二点五是不是等于二又二分之一，也就等于二分之七呀，二分之四呀， 二分之五，对吧？所以说我们要知道啊，那就是负二点五的相反数是二点五，它的绝对值呢也是二点五，那它的导数呢，应该是负的零点四，也就是负的五分之二，对吧？ 同样的，我们来看一下啊， e 又五分之二，是不是我们把它化成假分数，就是五分之七，对吧？那它的相反数就是负的 e 五分之二，绝对值也是 e 五分之二，那它的导数就是 七分之五，我相信这个表格大家每个人现在都会填，对吧？那我们来想一下，当我们把相反数呀，还有我们的导数呀，绝对只要扩展到什么呀？扩展到实数范围内，我如何来求呢？我们来看根号二的相反数，那是不是我们知道， 不管是求任何数的相反数，我只用在前面加符号就可以了。所以说呀，我们根号 i 的 相反数是多少呢？是不是就是负根号 i， 同样的负派的相反数，那是不是在我们负派前面整体加符号，也就等于负的负派是不是等于派呀？ 同样的零的相反数呢？是不是零呀？好，那我们来看，那这里求相反数没有问题，我们再来看一下求绝对值，那我们知道根号二的绝对值，是不是啊？就是它本身，因为根号二是正的嘛？那负派的绝对值呢？负数的绝对值是它的相反数，是不是我就会求了零， 零的相反，零的绝对值呢？是零没有问题。那我们来看一下，一般的呢，我们对实数 a 呢？同样的，如果数 a 的 相反数呢，就是负 a， 也就是说对任何实数，我只用在它前面加符号，就是它的相反数， 那一个正实数的绝对值呢，也是它本身。一个负实数的绝对值呢，是它的相反数，零的绝对值呢？是零， 对吧？好，当我们来看一下，那我们设一个 a 为实数的时候，我们就可以根据它三种情况来判断，第一个 a 大 于零呢，就是 a， a 等于零呢， a 的 绝对值就是零， a 小 于零呢，就是负 a， 它 a 的 绝对值呢，就是负 a， 大家要清楚， 当我们这些明白之后，我们来求一下，第一个分别写出负根号六派减三等一四的相反数，那我们来想一下，是不是我们知道我们直接在前面加相加符号就可以了，不管是谁，对吧？ 那就是负的负根号六也就等于根号六，负括号派减三等一四，这里有个细节，一定要把它整体加符号，对吧？大家要注意，所以说它就等于 三点一四减派，因为我们知道啊，三点派，呃，因为我们知道啊，在去括号的时候呢，都要编号，所以说最后就能求出它们的相反数，分别为根号六和我们的三点一四减派。 同样的，我们来看一下第二道题，指出负根号五和一减什么呀？我们三开立方分别是我们的 什么分别是什么数的相反数，同样的是不是加符号就可以了？然后最后加完符号呢，就等于我们的根号五和我们的根号三开立方减一，它这里有个小问题啊，应该是一减根号一减三开立方，对吧？所以说我最后算完呢，应该是它没有问题。再来看一下 我们要求他的一个绝对值，首先我们来看一下负六十四开立方，他开完之后，他的他是几啊？说我们知道他是负四呀，那就是负四的绝对值，是不是负四的绝对值？最后情况就是啊四呀，没有问题。再来看 已知一个数的绝对值是根号三求这个数，那我们知道是不是这个数有两个，因为根号三的绝对值呢，等于根号三，负根号三的绝对值呢，也等于根号三，所以说他俩应该就等于， 所以说我们的根号三的绝对值，绝对值是根号为根号三的数是根号三或负根号三，这里大家要明白啊。 好，那我们来计算一下，我们根号三加根号二减根号二，那大家想一下是不是之前没有计算过，但是我们来想一下，我们可以利用我们的加法的一个结合率优先算根号二减根号二，那根号二减根号二，我们知道同数相减是不是就等于根号三呀？ 没有问题，再来看下我们第二道题，三倍的根号二加二倍的根号三，三倍的根号三加二倍的根号三，那我们知道三个它加两个它，是不是我们可以用我们的分配率把根号三提出来，前面就是三加二，是不是最后就算完等于五倍的根号三，这道题是不是也没有问题啊？ 好，那我们再看一下如何来计算我们下面呢？我们结果保留小数，大家可以用计算器来算，根号五等于我们的二点三六几几几，然后呢根号七等于二点六四六， 对吧？最后算完等于负的零点四一，同样的派乘，我们根号三开立方，大家可以算一下啊，我们就是三点一四二乘以一点四四二，最后呢约等于四点五三就可以了。 好，那我们随堂测试一下，你随堂测试一下吧，我们来看一下五里数负五里数根号五的绝对值是多少呢？是不是也是根号五呀？那我们再来看下列各组数中互为相反数的一组是，我们说来 这两个互为倒数，对吧？那他和他呢？是不是这个是负二，这个算完也是负二，是不是他俩是一样的来这个呢？负二他开完应该是根号四，那开完应该是二，所以说我们这道题选 c， 那 我们来看一下 d， 这是二，对吧？这也是二，所以说他俩也不是。 好，那我们来看一下计算下列各式的值，我们首先第一个，我们就可以把它去括号，去括号完了之后，我们可以先算二减二，然后减我们的根号十一， 是不是最后就等于负的根号十一？好，我们来看一下我们第二道二倍的根号二减三倍的根号二，那是不是用我们的乘法的一个分分率把我们前面的系数提出来，二减三也就是等于负一，那就是负的根号二，没有问题。 那再来看一下我们这道题，根号十三减根号十五，那我们知道是不是我们根号十三要小，根号十五要大，所以说他俩算完就是根号十五减根号十三加二倍的根号十三，那是不是减根号十三加二倍的根号十三，也就等于根号十五加根号十三，对吧？ 好，再来看下我们第四道题，根号二减二，那是不是他比什么呀？比零小，那就二减根号三，那同样的根号三减一，应该是就是根号三减一，所以说他就等于二减根号三，加上根号三减一，那最后就是二减一，是不是等于一啊？ 来，继续，那我们来看一下我们的能力提升，若 ab 互为相反数， c， cd 呢？互为导数， m 是 九的平方根，然后让你去求他呢？ 那我们知道啊，当 ab 互为相反数的时候，是不是 a 加 b 就 为零，对吧？ cd 互为相反数的时候，是不是 c 乘 d 就 为一？好，最后 m 是 九的平方根，那我们 m 是 不是等于正负三？ 那是不是就有两种情况，一个等，当 m 等于正三的时候来做一下，当 m 等于负三的时候来算一下。同样的我们来看，当 m 等于三的时候呢，它就是零加一加上我们的三减一括号的平方 等于一加四等于五，对吧？当 m 等于负三的时候，那它就等于零加一加上负三减一的平方，也就是一加十六等于十七。这里要大家要会 好，那我们来总结一下吧，我们本次学了我们实数的一个运算，也就是我们实数的一个性质，我们实数性质呢，在我们的实数范围内呢，要会求我们的相反数绝对值，还有我们导数的意义和有理数范围内的相反数绝对值，导数的意义完全一样。 那时数的预算呢，可以根据我们的预算法则和我们的预算率来进行预算，也会用计算器来进行预算。好，那我们本次课呢，就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学千页下册第八张实数八点一平方根。第二个课时，我们来看一下我们这节课的一个主要学习目标。首先呢，我们要了解算数平方根的一个概念，会用根号表示一个数的算数平方根。 第二个呢，会求我们非负数的一个算数平方根，掌握我们算数平方根的一个非负性。好，这是我们这节课的一个主要学习目标。首先我们来复习一下，我们知道正数的平方根有什么样的特点呢？比如说我们知道正数有几个平方根啊？有两个平方根，对吧？ 并且呢，他们两个平方根是不是互为相反数呀？好，那大家再来想一下，零的平方根是多少呢？我们是不是知道零的平方根就是零呀？那负数有没有平方根啊？我们知道负数是没有平方根的， 那我们知道这些之后，我们特别的把什么呢？我们知道啊，当我们正数有两个平方根的时候，我们规定其中正的平方根，也就是说我们根号 a 叫做 a 的 算数平方根。 我再读一遍啊，就是我们把正的平方根，也就是根号 a 叫做我们 a 的 算数平方根，正数 a 的 算数平方根呢？用这样来表示，那就是我们根号 a， 那 我们想一下，我们是不是规定零的算数平方根呢？就是零，所以说零的算数平方根也记为根号零，这个大家应该能理解，对吧？ 好，那我们来想一下，我们知道上面的概念之后呢，我们来求一下我们下面三个数的一个算数平方根，那大家来想一下，我们一百的算数平方根如何来表示呢？是不是根号下面一百呀？ 他的呢？是不是根号下面六十四分之四十九，以及这个是根号零点零零零一，对吧？然后求出来它等于十，它等于多少呢？它等于我们八十四分之， 不对，应该是等于我们八分之七，这个等于零点零一，对吧，所以说我们最后就能求出他们的一个算数平方根，也就是取我们 正的，对吧？好，那我们知道啊，所以说我们最后的求解过程就是这样的一个求解过程，那其中呢，这里和我们的这里是错的啊，这里应该是我们六十四分之四十九的算数平方根是八十，不是我们的八分之七，那这里呢？他的算数平方根呢？是我们的零点零一，这里有点问题，大家可以改一下， 那我们会求我们一个数的算数平方根之后，我们来看一下，是不是我们发现了一个规律，被开方数呢？越大对应的呢？算数平方根越大，这是不是我们的一个规律啊？ 没有问题，那我们来思考一下，根号 a 是 一个什么样的数？是正数，负数还是零，还是是什么样的数，以及我们的 a 的 取值范围，那是不是我们知道，我们知道啊， a 的 算数平方根呢？即为根号 a， 那 我们来想一下，是不是我们知道我们的被开方数，这里的 a 一定是大于等于零的，也就是非负的，那你想一下，我们开完之后，它的算数平方根是不是也是一个非负线呀？ 所以说我们 a 的 算数平方根是不是具有我们的双重非复性？什么呢？就是被看方数是大于等于零的，我们看完之后，什么呀？他的算数平方根也是大于等于零的，这个特性非常重要。 好，那我们知道之后，那我们来讲一下如何用两个面积为一平方分米的小正方形拼成一个平方，拼成一个面积为两平方分米的一个大正方形呢？ 我们可以把什么呀？我们可以从中间呢把我们的小正方形剪开，然后呢我们就可以这样这样，然后呢把它呢拼到一块，是不是我们最终就能拼成一个我们面积为二平方分米的一个大正方形呀？ 当我们拼成我们这个面积为二平方分米的大正方形的时候，我们想一下它的长为多少呢？ 比如说我们设它的宽边长为 x， 那 是不是这个也是 x， 那 你想一下 x 的 平方等于二，那它的边长等于几？是不是等于根号二呀？我们知道根号二是开不进的，对吧？所以说我们只能写它的边长是不是就等于根号二 分米，这个大家应该是能算出来的，对吧？但是我们想想这个根号二到底有多大呢？大家想一下。 好，我们可以这么想，你看一下，比如说我们知道一的平方等于一，二的平方等于四，那我们知道二是不是在一和四，在我们一的平方和二的平方之间，那我们根号二是不是也就在根号一和根号四之间，是不是我们根号也就大于一和一和二， 对吧？那我们再想一下，那我们一点四的平方等于一点九六，一点五的平方等于二点二五，那我们知道啊，是不是我们二，我是不是我们一点四的平方， 是不是我们二？大于一点四的平方，小于一点五的平方，也就是在一点九六和二点二五之间，那是不是我们同时开根号，我们根号二就在我们一点四和一点五之间，同样的我们继续往后推，最后能推出来我们根号二是怎么样？是一点四一四，后面的是一直啊，什么呀？ 无限不循环的，对吧？所以说我们最后就知道，当我们进行下去，无限进行下去的时候呢，我们就可以得到根号 i 更精确的范围的一个估值，也就是根号 i 等于一点四一四 i 一 三五六 i 三七三，它是一个无限不循环的小数。 所以说我们知道啊，当我们很多正有理数呢，去开放的时候呢，你开不进，他都是无限不循环的一个小数，对吧？好，无限不循环小数呢，是指我们的小数位数是无限的， 并且呢我们小数部分是不循环的，这样的数字呢才能叫做我们无限不循环小数，这个大家应该能理解。 好，那我们来去一趟检测一下吧。比如说第一道题，大家来看一下下列个数中没有算数平方根的是谁？没有算数平方根啊？我们知道啊，正数和零都有算数平方根，只有负数，那看一下是不是我们选 b 负四没有算数平方根，对吧？ 再来看我们第二个，下列说法正确的是，首先我们来看第一个，任何数都有算数平方根的，一个正数的算数的平方根， 一个正数的算数平方根的平方就是它本身，这个是对的，是吧？那你比如说一个正数，比如说九的算数平方根是几啊？九的算数平方根是我们的三，三的平方是不是就是三方就等于九，是不是就它本身啊？没有问题， 那我们来看一下我们的 c 和 d， 只有正数才有三十分，零也有吧？不是正数就没有三十分，零也有吧。所以说我们这道题应该是 b、 a、 b 对， 然后 a、 c、 d 都是错的，并且老师已经给你讲了，对吧？ 好，再来看一下，计算下列各值，大家我们来看这种计算题如何来算呢？我带大家算一道，大家想一下，比如说 根号四十九，表示的是七，对吧？然后呢？根号九是三，然后减什么呀？根号一是一，也就是七加三减一，对吧。 同样的，大家可以快速的算一下其他的两个，我们知道啊，第一个我们一又十六分之九，是我们可以化简成我们的十六分之二十五，我们开根号就可以了。同样的后面是一点一，然后和我们的一点九，最后是二点零五， 那我们下面这个是负八乘十二，哦，不对，负八乘负二等于我们的十六，那十六开根号是不是四呀？所以说最后就是四减几啊？把它们算出来，应该是四减五，最后等于负一，这个算是我们这个计算题，我们一定要会算 好下列的个数的一个算数平方根是多少呢？比如说它，那我们知道零点二的平方等于零点零四，是不是也就是零点二呀？正的， 那他呢？是不是我们知道这是零点零零零一，他就是零点零一，对吧？零的就是零，那负十六，负十六，有没有算数平方根？是负十六，是没有算数平方根的，大家尤其是要注意啊。好， 那我们来总结一下吧，我们这节课其实我们就学了一个算数平方根的一个概念。那什么叫做算数平方根呢？我们把正的平方根根号 a 叫做 a 的 算数平方根，也就是零的算数平方根呢是零。 我们呢算出平方根具有双重非负性，那双重呢，就是我们的结果为非负数，也就是根号 a 大 于等于零以及被开方数呢，为非非负数，也就是 a 也要大于等于零。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第四节课。两条直线被第三条直线所截。今天的学习目标是理解三线八角中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角和同旁内角， 通过比较观察，掌握同位角、内错角、同旁内角的特征。第三是能够在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角。通过这个学习目标，我们能够发现今天学习的重点就是这三个角，同位角、内错角和同旁内角。 我们先来看两条直线相交形成了四个角，那这四个角里面都形成了哪些角呢？第一个就是咱们之前学过的零补角，那哪些角是零补角呢？是角一和角二是零补角， 角二和角三也是零补角，角三和角四也是零补角，角四和角一也是零补角。除此之外，我们还能发现这个图形中还有对顶角，角一和角三是对顶角，角二和角四是对顶角，那除此之外，这个图形当中就没有别的角了，对不对？ 那如果说我们在这个两条直线里面再添加一条直线，也就是说直线 ef 被第三条直线 c、 d 所截，那此时构成了几个角又有什么特点呢？ 我们来看第三条直线 c、 d 和 ef 是 不是同样也会形成四个角啊？角五、角六、角七、角八，那这 三条线和这八个角我们就称作三线八角。我们来观察角一和角五的位置关系，我们能够发现角一和角五是不是都在这条直线 e、 f 的 右侧呀？ 而且它们都在直线 a、 b 或者是 c、 d 的 上方，也就是第一在直线 a、 b 和 c、 d 的 同一方，第二就是在直线 ef 的 同侧，就是右侧。那像这两个角呢？我们就把它叫做同位角，也就是相当于你可以理解成相同位置的角。 好，这就是我们的同位角。那除了角一和角五，我们还能发现图中的同位角，还有角四和角八、角二和角六、角三和角七，这些都叫同位角。来，我们看这几个图，他们是不是同位角？ 角一和角二是不是位于这两个线的同侧？都在上侧，而且位于第三条直线的左侧，所以角一和角二也叫同一角。角一和角二，这里是不是相当于这两条线的下方，而这一条线的右方，所以也叫同一角。而 这个图形里面，他位于这条直线的同一侧上方，也位于这两条直线的右侧，同一方，所以他也叫同一角。 那这一条直线的下方和这两条直线的右方形成的两个角也叫同位角，所以这也是我们四组同位角。那观察这些图形，我们能够发现它们图形的特征是形成一个类似字母 f 的 图形。同， 因此我们要找同位角，基本上是从类似于 f 的 图形当中去找同位角来。下列图形中，角一和角二是同位角的，是我们去找他的 f 图形。 第一个角一和角二是不是能够形成一个这样的 f 形状啊？而且位于这条直线的右侧，这两条直线的上方，所以角一是，所以图一是同位角。来，咱看第二个图形是不是也有一个类似于 f 的 形状？ 所以，而且他们位于这一条直线和这一条直线的上方，这一条直线的右方，所以角一和角二也是同一角，第二个也是那第三个。我们发现角一是这个角，角二是这个角，这里出现了四条线，所以我们角第三个图形，它不是同一角， 那第四个线我们出现的是这一条来，我们看第四个出现的是这一条线的，一个是右侧，一个是左侧，所以他不在同一侧，因此他也不是同一角，因此答案选 a。 我们看观察图三与图五的位置关系，图三与图五，它们都在直线 ab 和 cd 之间，在 ab 和 cd 里面，角三和角五，而且它们在直线 ef 的 两侧，一个在左侧，一个在右侧。那对于这种图形的话， 类似于这种 z 字形的，我们把它叫做内错角，也就是在内部错开的角叫内错角。那除此之外，我们还能发现这个图形中还有一组内错角，是角四和角六，是一个倒着的 z， 对 不对？ 我们来看几组内错角是不是同样都是 z 字形啊？ z 字形的我们都叫做同位角， 这个角和这个角这里形成的假角，这个线和这个线这里形成的假角，这个线这个线和这个线形成的假角 z 字形的。因此我们把这种形容字母 z 的 图形中去找内错角 来。我们看到例题，角一的内错角是谁？从角一是在这里去找他的 z 字形，是不是只有这里啊？因此角三是他的内错角。选 b， 我们看角四和角五的位置关系，它们两个都在直线 a、 b 和 c、 d 中间， 而且在直线 ef 的 同一侧，也就是在它的同一旁，像这种类似于这种 u 字形的角四和角五，我们把它叫做同旁内角，那这个图形当中的同旁内角还有一组，就是角三和角六。 来我们观察一下同旁内角，同旁内角就是类似于一个 u 正 u 倒 u， 睡着、躺着、趴着、斜着都可以这样的形状，我们都把它叫做同旁内角形。如字母 u 的 图形，我们从里面去找同旁内角 来我们观察例三中，角一和角二是同旁内角的，是去看是否是 u 字形，是不是 u 字形，所以 a 是 来看第二个，涉及到了啊， 四条线，这个角和这个角不存在，不是 u 形。然后角一和角二是这里，这两个他应该是叫内错，不是，他应该叫同位角。是不是形成的是 f， 所以 c 不 对， b 也不对。看第一项角一是这个角，角二是这个角，他们什么也不是， d 啥也不是。答案选 a 来我们看同位角，它是在结线的同侧，被结线的同一旁，因此它的基本图形是一个 f 的 形状，形象记忆法就是 f。 我 们的同旁内角呢，它是在结线的同侧、被结线之间，类似于一个 u 字形， 形象记法就是一个字母 u。 而我们的内侧角，它是在结线的两侧，在被结线之间，它类似于一个 z 字形，我们利用字母 z 进行记忆， 那他们这三个角的共同特征都是一定是只有三条直线，而且这三类角都没有公共顶点。你看这个顶点在这，这个顶点在这，这里顶点，这里顶点，这里顶点，这里顶点没有公共顶点。 那这三个角呢？都表示角之间的位置关系，我们角之间的位置关系只有这三种，同位角、同旁内角和内错角。 来我们识别下列各组图形的类型，角一和角二是不是类似于一个 f 的 形状，所以它是一个同位角？第二个角一和角二是不是也是一个 f 的 形状，因此它也是同位角。第三个是不是也是 f 的 形状啊？它也是同位角， 那第四个是不是也是同角？这样的一个 f？ 第五个角一在这角二，在这涉及到了四条线，是不是四条线，一个线，两个线，三个线，四个线，因此它什么也不是好看。第六个 角一是在这角二是在这。他们这个线是不是也出现了三条线，而且他们是在这一条线的上方，在这一条线的右侧，在这一条线的右侧，因此他也叫同位角，类似于一个 f。 我 给大家标一下，这个 f 是 这个样子的， 就是一个这个样子的 f， 它也叫 f， 所以 说角六也是同位角。我们来看角七，我们来看第七个图形，角二是这个角，角三是这个角。是不是出现的是四条线呢？是不是四条线？因此它什么也不是？ 看第八个。第八个角一是这一条角，角二是这个角是不是类似于一个 z 字呀？类似于一个这样的 z， 所以 它是一个内错角。我们看这里的角一和角，角一是这两个角，角二是这两个角，四条直线，什么也不是。我们看第十个 角一是这个角，角二是这个角，类似于一个这样子的 u， 所以 说它是一个同旁内角。大家明白了吗？ 我们来观察第，我们来做第四题。直线 d、 e、 b、 c 被直线 ab 所截，那么角一与角二、角一与角三、角一与角四各是什么角的关系？我们来看角一与角二、角一与角二是不是类似一个 z 字形，所以它是一个内错角，内错角， 我们来看角一与角三，角三是这个角组成的，是一个 u 字形，因此角一与角三是同旁。内角 来看角一与角四，角一是这个角，角二是这个角是不是类似于一个 f 的 形状，因此角一与角四是同位角。 我们来做这种题的时候，第一步就是先进行一个描角，第二步就是去找它的公共边，第三步就是要去判断它角的类型。我们来看第二题， 如果角一等于角二，相等吗？角一与角三互补吗？我们来看角一等于角四， 那角四和角二是不是对顶角啊？那么角二和角四是相等的，那同理可得，角一和角二是相等的，对吧？那角一和角三是互补吗？角三和角四相加，不是等于一百八十度吗？邻补角，所以角三加角一是不是也等于一百八十度啊？ 我们来看一下，因为角二等于角四，这是对顶角相等。同时我们又知道角一等于角四，所以我们的角一等于角二，那角三加角四是等于一百八十度的。邻补角互补，又因为角一是等于角四的，因此我们的角一加角三也是等于一百八十度。 好，我们来做几道随堂练习题，下列说法错误的是 a。 角二和角六是同位角， 角二先描边，这是角二和角六，是不是出现了四条直线，因此它什么也不是？看 b 项，角三和角四，角三是这个角，角四是这个角，是不是三线八角里面的，而且是一个 z 字形，所以说答案 b 是 对的。 来看 c 项，角一和角三是对顶角，对吧？两直线相交，这里的角就叫对顶角，所以 c 也是对的。看 d 项，角三和角五是同旁内角，角三是这个角，角五是这个角，是不是也叫同旁内角啊？是一个 u 字形，所以第四个也是对的。题目让我们选错误的答案，选 a。 我们看第二题，在角一到角五中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是多少？那就是我们先来找同位角有哪些同位角。什么叫同位角？是不是类似于一个 f 的 形状啊？我们来找 f 的 形状， 是不是这样会出现一个 f 啊？因此就是角二和角五是同位角，除此之外，我们是不是找不到其他的同位角了？ 因此同位角只有一对。我们来找内错角，内错角是一个 z 字形的，我们找 z 字形的， 这是不是一个 z 字形？角四和角五是不是一个 z 字形？除此之外，是不是再也找不到其他的了？因此我们的内错角也只有一对，就是角四和角五。 下面再来找咱们的同旁内角，同旁内角是要找 u 字形， u 字形很好找了，一个角一和角二是，然后角二和角三也是， 那角三和角四是不是也是角四和角一也是。因此我们的同旁内角对数有四对，因此我们的对数一共是一对、一对和四对。答案选 a 好， 我们来看第三题，在角一、角二、角三。 来，我们看第三题，在角一、角二、角三、角四、角五和角 b 这些角中哪些是同位角？同位角， 我们要去找一个 f 的 形状，对不对？ f 的 形状我们来看，从角一开始找角一，在这它的同位角就应该延长 fa 或者延长 d。 a， 那 我只能延长 fa， 然后到达了一个 b 这里形成一个角，所以角一和角 b 是 同位角，那同样的方法， 同样的方法，我们发会发现角二它的同位角应该是延长 a c， 这里是它的同位角，所以在刚在这些角里面是没有角二的同位角的。然后我们再来看角三，角三这个角应该延长这两条线，它是没有 线去截他的，因此角三没有同一角来，我们看角四、角四，他的线是这两条，因此需要延长这两条线，形成一个夹角 f， 那 我只能延长这里的线，因为题目中只有这条线，从而又遇见了一个角 b， 因此我们的角四和角 b 也是同位角， 那角五他是这两条线延长之后，是没有被第三条直线所截，形成的相同的角的，所以说角五也没有同一角，我们来找内错角，内错角的话，我们要找的就是一个 z 字形，对不对？我们的 z 字形就是看这里， 角一是没有 z 字形的，这是它的图形，没有两条线，没有这样去，没有去打折的，所以角一没有，那我们看角二，角二是这个角，这个角延长了这里之后，遇到了一个角五，是不是？所以我们的角二和角五是内错角？ 然后我们再来看同样跟角二挨着的这里，它是不是又形成两条线？ 那我们再接着看角三和角四，这里是不是也是一个 z 字形，因此我们的角三和角四也叫内错角。 同样的道理，然后除此之外，咱们就找不到其他的内错角了，没有 z 字形了。那下面我们再来判断我们的同旁内角，哪些是同旁内角呢？同旁内角 也就是一个 u 字形， u 字形，也就是这里是不是一个 u 字形啊？角三和角五、角三和角五是一个 u 字形，然后角三和角 b 是 不是也是一个 u 字形？ 完了之后，角 b 和角五是不是也是一个 u 字形？其实这是一个三角形，它的三个角都互为同旁内角。除此之外，我们还发现这里有一个角二和角四，因此角二和角四也叫同旁内角。这就是咱们所有的角度全部找完了，我们来看一下答案。 角一与角 b， 角四与角 b 是 同位角。角二、角角三与角四、角二与角五是内错角。角二、角四、角三、角五、角三、角 b、 角 b 与角五是同旁内角。 我们再来看第四题，下列各图中，角一和角二、角三和角四分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么角？我们来看第一个图形里面的角一和角二、角一和角二。角一的角是这两个角， 而是这两条线。角二的角是这两条线，因此它们有一条公共边，是这一条线，对不对？这一条线的话，也就是这是， 这是去结的线，而这两条线是被结的线，是 a， 角一和角二是 a、 b、 c、 d 被直线 b、 d 所结，对吧？那角一和角二形成的是不是一个 z 字形啊？因此它是一个内错角，这是第一个图形。那第一个图形里面的角三和角四呢？ 角三和角四在这，它是不是跟角一、角二很类似啊？它是这两条直线形成的，被 b、 d 这条直线所截，是不是 a、 d、 b、 d 被 a、 d、 b、 c 被 b、 d 所截形成了？这个角和这个角也是一个 z 字形，因此也是一个内错角。 我们来看第二个图形里面的角一和角二。第二个图形里面，角二是这条线，角一是这条线，那延长之后，公共边在这形成的是一个 f， 所以 它是 a、 b、 c、 d 被第三条直线 bc 所截形成的。角一与角二是一个内错角。 然后我们再来看角三和角四，角四是这个角，角三是这个角，这里的公共边，因此是我们的这条线去截，他们截谁截了 ab， 截了 bc 形成的角就是角三和角四，这两个角符合咱们的 u 字形，所以它是同旁内角。 因此图一中的角一和角二是直线 abdc 被直线 db 所截形成的，它们是内错角。角三和角四是直线 adbc 被直线 db 所截，它们是内错角。 那图二中的角一和角二是直线 abdc 被直线 bc 所截形成，它们是同位角。角三和角四是直线 abbc 被直线 ac 所截形成，它们是同旁内角。那现在大家对同位角、内错角、同旁内角是不是已经了解清楚了呢？ 我们来看这节课的课堂小节我们今天学的就是两条直线被第三条直线形成的三线八角，它里面会出现同位角 f 型、内错角 z 型、同旁内角 u 型。 图中判断三线八角，一般是用描图法把两个角描出来，找到公共直线，然后判断两个角的类型。这就是关于咱们的两条直线被第三条直线所截的内容，你听懂了吗？

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天来学习平行线的性质第一课时的题型讲解，我们先来回顾一下已经学过的平行线的性质。两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补。这是我们平行线的三个性质。 那下面我们来看一下相关的例题。如图所示， m 平行于 n， 这个与这个平行。两直线一平行，我们就要想到那三个性质， 其中角一等于四十度，角一等于四十度，则角二的度数角二和这个角互补，而这个角角三，它和角一是相等的关系，所以角三也等于四十度，那么角二就应该等于一百四十度。 好，第一题如图所示， ab 平行， cd， ab 和 cd 平行 a， c 与 b， d 相交于点 e。 若角 c 等于四十度，这个等于四十度。既然是两直线平行，那么这个角 a 也等于四十度，是不是 用的就是两直线平行，内错角相等，所以答案选 b。 我 们看第二题。如图所示，一条公路的两侧铺设了 abcd 两条平行管道， 有纵向管道， a、 c 连通。若角一等一百二十度，两直线是平行的，角一等一百二十度，同旁内角互补，角二就等于六十度。 好，我们来看第三题。把一块含三十度角的直角板按照如图所示的方式放置于两条平行线之间，放置于这两条平行线之间。若角一等于四十五度，这个角等于四十五度，这是一个三十度的直角板，我们就要把这里标上三十度，这里是六十度。 好让我们求角二的位置。角二不在平行线的内错角同旁内角和同位角上，那，但是我们会发现角一是在的，而角一等于的是哪个角等于这个大角，这个大角就是角一等于角二加上三十度，对不对？内错角相等，所以说角二的度数就等于十五度。 好，第四题，如图所示，两条平行线 ab 被第三条直线 c 所截，若角一等于六十度，角一等于六十度，同位角相等，这里也等于六十度。邻补角的关系，角二就应该等于一百二十度。第五题， 如图所示，已知 ab 平行 cd， b、 e 平分角 abc。 啊，这两个平分，所以角二等于角三， c、 e 平分角 b、 c、 d 角一等于角四。我们写上角二等于角三，角一等于角四。大家在读题的时候，一定要把这些已知信息转化成你熟悉的数学符号语言，才方便往下去看，它说是说明角一加角二等于九十度， 它们俩相加等于九十度，那也就是说角三加角四也等于九十度，那也就是说角二加角三加角一加角四应该等于一百八十度。那我们又有 ab 平行 cd， 是 不是有同旁内角互补啊？所以我们的过程就说了出来了 解。因为 ab 平行 cd， 所以 角 abc 加上角 bcd 等于一百八十度。括号，两直线平行，同旁内角互补，那因为 b、 e 平分角 abcce 平分角 bcd， 所以 角二等于角三，角一等于角四，所以 角一加上角二就等于二分之一角 a、 b、 c 加上二分之一角 b、 c、 d 等于二分之一倍的括号，角 a、 b、 c 加上角 b、 c、 d 等于二分之一。乘以一百八十度等于九十度，是不是就说出来了？ 好，下面我们来看第六题。将一幅三角尺按照如图所示的方式摆放，使有刻度的两条边互相平行。哎，这里是互相平行的关系，则图中角一的度数。那我们首先就要知道这是多少度的三角板，这里是四十五度， 这里是三十度，这是我们已知的条件，一定可以用的。那这里是三十度，两直线平行，那这里是不是三十度啊？而这里又是一个平角，所以角一就等于一百八十度，减去三十度，减去四十五度，所以答案选 b， 一 百零五度。 好，我们来看第七题。一杆古秤在称物时的状态，如图所示，已知角一等于一百零二度，则角二的度数。我们知道，我们在用这个秤砣去称东西的时候，上面这个支点，我们和下面这个秤砣所在的线应该是平行的关系，因为最终我们要达到一个平衡的状态， 所以他们两个是平行。平行的话，我们的角二和这个角就应该是相等的关系，而这个角和角一是互补的关系，因此角一等一百零二度，这个角是等于七十八度，因此角二也等于七十八度。 好，下面我们来看第八题。如图所示，若 ab 平行 cd， ab 平行 cd， 角一等于四十度，角 c 和角 d 互余，这个角加这个角等于九十度， 则角 b 等于多少度？我们来看角 b 的 度数，角 b 的 度数要找出来，我们知道 a、 b 和 c、 d 是 平行的关系，所以说角 b 加上这个角 c 应该是 等于一百八十度，所以我们要得到角 b 的 话，我就要找到一百八十度减去角 c 的 度数，是不是？而角 c 和谁有关？角 c 加上角 d 等于九十度，那我要找到角 c 的 度数，我就得先找到角 d 的 度数。 那角 d 的 度数在哪？角 d 在 这角 d 和角 e 是 互为内错角，因此角 d 等于角 e 等于四十度，因此角 c 等于五十度。所以说我们的角 b 就 等于一百三十度。 好，我们看第九题，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行不？ ad 平行 bc， ad 平行 bc， a、 b 平行 cd。 哦，互相平行，我们又有 a、 e 平分角 b、 a、 d。 角一等于角二，我们写上角一等于角二，然后交 b、 c 的 延长线与点 e 连接 d、 e。 若角 a、 d、 e、 a、 d、 e 是 哪个角？ a、 d、 e 是 这个大角， 等于三倍的角 c、 d、 e 等于三倍的这个角啊，这个角，假如说我们把它当做角三，那这个角就是二倍的角三。是不是因为大角等于它的三倍，那这个角肯定是它的二倍。 那角 a、 e、 d 等于六十度。现在出来了角的度数 a、 e、 d、 a、 e、 b 是 哪个角？这个角等于六十度。我们不是这条线和这个线平行吗？那我们这里等六十度，首先去找它的内错角角二就能得到等于六十度。好，让我们求什么？求角 b、 e、 d 的 度数 b、 e、 d 也就是要求这个大角的度数，我要求这个大角的度数，根据我们的两直线平行，同旁内角互补，也就是说我要找到这个大角的度数，而这个大角跟谁有关？跟这个角三有关，我要找到角三的度数就可以了。找到角三，我就能得到 a、 d、 e 的 度数了，是不是？好好，那现在我们就把我们所有能求出来的角的度数先都给它写一写，我们看都能写出来哪些。首先这个角等于六十度， 这个角二就也等于六十度。角二等六十度，所以角一等于六十度，那所以这个角两直线平行，同旁内角互补，这个角也等于六十度，而这两条直线又互相平行，所以这个角也等于六十度，这个角等于六十度，而这个又是互相平行的内错角关系，所以说这个角就等于 六十度，这个角等于六十度，而他等于角三的二倍，所以角三是不是等于三十度啊？哎，角三等于三十度，那我们整个大角是不是就等于九十度啊？这个大角等于九十度，所以说我们这个大角根据两条直线平行的关系，是不是也能得到这里也是九十度啊？ 好，下面我们来看一下这道题的步骤怎样去书写。我们刚才分析的步骤是通过这些平行线的关系，以及这个角的度数，先求出来了很多角的度数，是不是？所以说我们先写上结，先把这些角相等的关系给它写上。因为 a、 d 平行 bc， a、 d 平行 bc， 我 们刚才都能得到了哪些？得到了这个角等于这个角，是不是还得到了这个角加这个角等一百八十度，这个角加这个角等一百八十度，所以我们先把这些条件给他写上。 所以角 d、 a、 b 加上角 b 等于一百八十度，然后角 a、 d、 c 等于角 d、 c、 e， 这里我把它标上角三，按刚才咱们标的角三角四吧，这里标角三，这里角四，这里是角五，所以我们的角 a、 d、 c， 也就是角四， 角四等于角五，然后我们还得到了什么？ 角 a、 d、 e 加上角 b、 e、 d 等于一百八十度，是不是？这是根据我们这个平行线， 我们来看第二个平行线， ab 平行 cd， 我 们通过 ab 和 cd 平行，我们用了哪些条件？我们用了这个角 b 等于这个角五，是不是所以我们就因为 ab 平行 cd， 所以 角 b 等于角五？好，然后我们还用了什么？因为 a、 e 平分角 b、 a、 d， 所以 角一等于角二，所以因为角 a、 e 平分角 b、 a、 d， 所以 角一等于角二。好，下面我们用什么角 a、 e、 d 等， a、 e、 b 等于六十度，我们用了角的度数 a、 e、 b， 这个角等于六十度。哎，我们还用了这个和这个平行，我们还用了这两个内错角相等，是不是？所以上面我们要加上，所以角二等于角 a、 e、 b 等于六十度，好，那下面我们就可以去求了，这里给他加上等于六十度，因为我们上面已经写到了角二等六十度，那角一等于六十度了，角二也等于六十度了， 所以角 b 就 等于六十度。一百八十度，减去他们两个是不是？那所以我们还能得到角五等于角 b 等于六十度，好，求到了角五，角五和这个角四又相等，所以角四等于角五等于 一。呃，六十度，角四等于六十度了，然后我们又用到了这个条件，对不对？角 a、 d、 e 等，因为角 a、 d、 e 等于三倍的角 c、 d、 e 减去角 c、 d、 e 是 不是等于二倍的角 c、 d、 e， 这 c、 d、 e 不 就是我们的角三吗？所以角三等于三十度， 角三等于三十度，所以我们的大角 a、 d、 e 就 等于三倍的角三等于九十度， a、 d、 e 等于九十度了。所以我们要求的这个角 b、 e、 d 等于一百八十度，减去九十度等于九十度。好，这就是这道题的步骤，我们就是写这种大题的步骤。就怎样去书写呢？你们就根据自己的思路，我利用题目上的已知条件 去得到了哪些讯息是我一会要用到的，就把它都写出来，写出来之后，下面就直接去写结果就可以了。好，这就是我们这节课的内容，同学们，再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来看我们旗下第八张实数，八点三实数及其简单计算。第一个课时，我们来看一下我们的本次目标。首先呢，我们要知道什么叫做实数，并能够按照我们的要求呢，把我们的实数进行一个归类。 第二个呢就是掌握比较实数大小的一个方法。第三个呢，我们要知道实数和我们的数轴上的点呢是一对应的，能用数轴上的点呢表示我们的五位数，这是我们本次的一个学习目标。 好，那我们来复习一下，我们之前呢已经学过了什么呀？已经学过了我们的有理数。那什么叫做有理数呢？我们把分数和什么呀和整数统称为有理数，对吧？换句话来说，我能 把一个数写成一个 p 比 q 的 形式，并且 p q 都是质数，能把它写成这样的形式呢，我们就把它叫做有理数，对吧？ 好，那我们来看一下什么叫做我们的什么呀？无限不循环小数呢？我们来看一下是不是我们无限不循环小数。大家可以举个例子，什么呢？比如说派派就是我们的无限不循环小数，对吧？ 好，那我们之前呢已经学过了我们的平方根和立方根了。那大家来快速的来填一下我们下面的一个什么呀表格。 首先我们知道负一是没有平方根的，对吧？那一的平方根是什么呀？一的平方根是我们的正负一，二的平方根呢是正负根号二四的平方根呢是正负二。 同样的我们来看负一的立方根呢，负一的立方根是负一，对吧？那一的立方根也是一，那我们来看二的立方根呢？是不是我们根开，嗯，二开立方呀？好，那我们四呢，也是四开立方。 当我们填完这些数，我们来看一下上表中呢，所填的这些数都是有理数吗？或者哪些是有理数呢？那我们是不是知道这些是有理数呀？那其他的像这种，这种，这种都是我们的什么呀？猜不进的，对吧？我们可以把它叫做无理数， 那我们再来想一下，我们如何把下列分数都写成小数的形式呢？哎，可能大家不会写啊，比如说第一个怎么写呢？我们可以把它写成什么？四点零，对吧？那同样的，我们其他的大家是不是就会写了呀？我们来看四点零来二分之五是几啊？是不是 二点五来五分之三，零点六，负五乘三是负零点六，四分之二十七以及九分之十一和我们的 十一分之九。大家要特别注意，我们最后两个是不是他是一点二二二循环，他是零点八一八一八一循环，对吧？这是我们小学学过的分数呢，要么能写成我们有限小数，要么能写成无限 循环小数。那我们来看，我们知道啊，我们今天知道整数可以写成小数，然后点后整数可以写成小数，点后为零的小数，对吧？ 那我们来发现了，发现我们这些数都有什么特征呢？是不是都是要么是有线的，要么是无限循环小数，对吧？ 那我们来是看一个事实啊，我们知道任何一个有理数呢，都是可以写成有限小数，或者是无限循环小数。那反过来，那任何小，任何的有限小数或无限循环小数呢？都是我们的有理数，这句话是不是也是正确的呀？好，那我们 再来看，所有的数呢，都可以写成有限小数或无限循环小数吗？那答案肯定是不可以的，对吧？比如说我们的根号二，我们知道啊，根号二是开不进的，他是一点四一四二一三 五六二四。再比如我们的根五开立方，还有我们的派，他都是开不进的，那像这些无限不循环的小数，我们把它归成什么样的， 什么样以内呢？哎，有的同学可能已经反应过来了，说，哎，他不就是无理数吗？好，那我们今天来看一下，像这些无限不循环的，我们把它称为什么呀？我们比如说根号二呀，比如说负根号五呀，我们根号二开立方呀，根号三开立方呀，还有我们的派，这些是无限不循环的小数。 所以说啊，大家给出了一个无理数的定义，什么样的定义呢？无限的并且不循环的小数都 不是有理数，我们把它叫做什么呀？无理数，对吧？所以说，我们再来重复一遍啊，我们这块是我们的重点，无限的不循环的小数呢，我们把它叫做什么呀？叫做我们的无理数。 所以说呢，我们可以把这些全部归类为无理数，对吧？像这些无理数呢，我们知道无理数是，呃，无理数呢，他也有正负之分，那我们知道大于零就叫做正数，小于零就叫做负数，那这些呢？是不是比零大？那比零大呢，就叫做正无理数， 那比零小呢，就叫做负无理数，那中间为零，那零呢？我们叫零，是有理数，对吧？我们不能把它归类为无理数。 好，所以说我们无理数呢，也有正负之分来，那什么叫做实数呢？我们把什么样呀？把有理数和无理数，他俩一块起了个名字，叫做实数，对吧？反过来来说，我们实数呢，就是具有实际意义的数字，所以说我们把 进行我们学，我们把数又扩充了，之前我们学的是无理有理数，然后呢，我们今天加了有理数，之后呢，我们把它俩统称为实数，对吧？我们整个初中所学的数呢，都是我们的实数， 所以说我们把数进行分类，如何来进行分类呢？我们可以按照我们有理，按照我们的定义来进行分类。那我们来看一下，第一个我们的实数呢，可以包含有理数和无理数，然后进行 再进行划分的话，我们知道有理数包含正有理数，零和负有理数。同样的，我们无理数是不是也包含正 无理数和负无理数呀？我们的有理数呢，都是有限小数，或者是无限循环小数，我们无理数包含正无理数和负无理数，然后他们是无限不循环的，大家对于这个分类要熟记于心。 好，那我们记住。之后呢，我们再来看一下，对于分零有理数和无理数呢，都有正负之分，所以说分零实数也有正负之分，我们也可以按照我们正负来分，比如说实数可以分为正 实数、负实数，还有我们的零，大家不要忘了啊，在我们分正负之后，我们这个中间的零一定不要忘了。 好，那我们来看，所以说呢，与有理数可以用数轴上表示，类似呢，我们所有的无理数都可以用数轴上的点表示，那我们来想一下，比如说我们正有理数可以表为 a， 对 吧？负有理数可以表为负 b， 那 我们来看一下，如何来表示呢？比如说我派，比如说根号 i， 负根号 i， 大家觉得我如何能找到三点一四一，三点四一，三点一四一五九二六这种数？比如说 根号二，那一点什么呀？一点四一四，后面有很多，大家是不是很好奇我如何来画找出这个点呢？我们来看一下，比如说我们可以什么以单位长度为什么呀？为直径来画一个圆，然后呢？它的周长就等于派， 比如说我们以二分之一为半径，那我们知道啊，我们知他的，他的周长就等于 c， 等于二。 pi r 是 不是乘完之后呢？就等于我们的 pi 呀？对吧？那当这样的话，我们把这个圆呢在我们的上面滚动一周，你看 我滚动过来，滚动一周，我这个点所对的是不是就是我们的什么呀？ pi 呀？这里是三啊， 对吧？大家要知道 c 等于派 d， 对 吧？那我们以单位圆，单位，以我们的单位长度为直径画圆，那是不是刚好是一派？所以说我们此时这个点是不是派， 大家可以看到啊？好，那再来看一下，我们如何来画什么呀？如何来画如来？如何来画我们的根号二， 好，那我们来看一下，当我们把一个什么呀？正方形，那正方形的边长呢？是我们的什么呀？一和一。好，那大家可能不知道，这个长度就是根号 i， 等我们后面学了勾股数就知道了啊， 那我们来看，当我们知道的之后呢，我们可以用圆规这样来画，是不是完全能够做到？我们可以画两个点，一个是左边的点，一个是右边的点，当我们画出来之后，他就是根号 i， 他 就是负根号 i， 那我们来想一下，是不是我们知道啊，我们的什么呀？五位数也能在我们的数轴上来表示，对吧？也能找到所有的五位数都能在我们数轴上表示。好，那我们来看一下， 当我们的数呢，把从有理数扩展到实数之后呢，我们的每一个实数呀，都可以在我们的数轴上的一个点来表示，那反过来呢，比如说我们数轴上的每一个点呢，都可以表示一个实数，对吧？因此呢，我们实数与数轴上的点是一一对应的， 并且呢，我们知道啊，有理数的大小，那如何来比较呢？是不是我们知道啊，根据我们有理数的一个位置， 也也根据我们数轴上的位置，也能够进行一个大小比较，对吧？并且呢，我们之前也会估算我们的一个什么呀，平方根或者是立方根。好，那我们学，那我们知道啊，数轴和实数的点是一对应的，那我们来学堂测试一下吧。第一个 有理数呢，都可以用数轴上的点来表示，那肯定是正确的，对吧？第二个无理数呢，也可以用数轴上的点来表示，那肯定也是正确的。第三个实数上的点呢，都可以用数轴上的点来表示，也是对的，对吧？第四个数轴上的点呢，都表示有理数，不对吧？ 我们知道啊，数轴上的点呢，可以表示有理数和无理数，所以说这个是不对的，一定要注意。 第四个，数组上的点呢，都表示实数，那这句话也是正确的，是吧？好，所以说我们这五句话大家一定要弄明白，再来看一下我们第二道题，大家来看一下 数组上表示实数根号七的点可能是哪个呢？那大家就是它就是一个对于我们根号七的一个估算了， 那我们知道根号七大于小于根号九大于根号四，对吧？那是不是就是在二和三之间，那很明显是 q， 能理解吧，所以说我们这道题选 b 也就点 q。 好， 再来看我们第二个 在数，第三个啊，在我们数轴上点 a b 之间表示的整数的点有多少个呢？那我们知道他是二点几，对吧？那根号二呢？我们之前也说过一点四几，那是不是零，这是一，然后二对吧？ 然后呢，这边是一，所以说一共有几个什么整数呀？我们知道零也算整数，对吧？所以说有负一，然后呢，零一二，所以说最后有几个呢？是不是有四个呀？ 好，那我们来总结一下吧，其实我们这节课呢，学的是挺简单的，是不是我们认识了实数，然后呢，能会把我们实数进行分类，有两种分类方法，第一个呢，就是我们实数要根，根据我们的定义， 也就是说实数能分成有理数和无理数，同样的，我们有理数呢，分为正有理数或者是无限循环小数。第二个呢，我们把无理数分成正 无理数和负无理数，并且呢，我们知道啊，我们无理数呢，都是无限不循环小数。好，这是我们第一个根据定义分，那我们也能根据什么呀？正负之分，我们可以把我们的实数分为正实数、负实数，还有我们的零，千万不要忘记。好，那我们这节课呢？就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张，相交线与平行线七点四平移。我们来看一下我们这节课的一个学习目标。首先呢，我们要理解什么叫做平移，以及我们决定平移的一个因素。 然后呢，我们要找到我们平移前后图中的对应的点，对应的角以及对应的线段，掌握我们平移的性质，然后能够进行我们的运用，最后呢，能进行我们的平移作图，这是我们这节课的一个学习目标。 好，我们来看一下，在我们日常生活中呢一些图案呢，可以看作由一部分进行平移得到，比如说我们下面的一些图案，我们能这种图案呢，通常会给人一种什么呀？整齐和谐的感觉，那大家还能不能举出类似的图形呢？是不是我们生活中有很多呀？ 再来观察一下我们下面的图案呢？他们有什么样的一个共同特征，是否能够根据其中的一部分混之成呢？是不是可以的呀？是因为我们各个图像都是一样的，那我们再来想一下。 好，我们图中的每个图案都是由相同的图形组成的，将其中的一个图案呢进行我们的平行移动，就可以得到我们整个图案了，对吧？第一次，然后呢，再移一次是不是就可以得到整个图案了？ 我们来看我们图一中的图案呢，是由大小相同的平行四边形组成，将其中一个平行四边形的平移移动，然后涂上不同的颜色，就可以得到我们整个图案了。 好，那我们来看一下平移的概念，首先在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形的运动呢，称为平移。所以说我们今天对平移有一个直观的一个感受了，对吧？就是说我们在平面内沿一个图，将一个图形沿一个方向 移动到一定的距离，这样的啊，这样的图形的运动呢，称为平移。比如说我们把这个图形然后沿它移动到它，是不是？好，那我们来看图形平移的方向呢？不一定是水平方向的，或者是数值方向的，任何方向都行，这个大家要理解。 当我们把一个半透明的纸张盖在一个四边形上，在我们上面描述四边之后呢，我们将这个纸张沿某一方向移动一定的距离。那我们来看一下，这两个图有什么样的一个形状和大小关系呢？是不是他俩的形状完全一样，大小完全相同呀？ 这就是我们平移的第一个性质，我们平移是什么呀？平移之后两个图形完全一样。再来看，当我们连接我们这些线段的时候，比如说我们连接他们的对应点， a 点到 a 撇点，然后 b 呢到 b 撇点，你会发现我们这些线的长度和我们的什么呀？ 和我们的位置有什么样关系呢？是不是长度相等，位置平行呀？这个要大致要知道啊，我们其他的点呢，比如说这个点到它对应点是不是和这个点到它对应点是不是都是一样的呀？所以说我们对应点连线所组成的这个线，他们的长度和位置 都是长度是相等的，位置是平行关系好，所以说我们知道啊，我们平移的性质，第一个新图形与原图形的形状大小完全相同。第二个呢，我们新图形中的每个点呢，都是由原图形中的某一点经过移动后得到的，这两个点呢，是对应的点， 连接我们各组对应的点呢，线段是平行的，或在同一条直线上，可以啊，好，那如图所示，将我们 ab 平移到 a， 大家如何来想一下，我如何来画出我们的 a 撇、 b 撇和 c 撇呢？ 那是不是我们就可以什么呀，过点 a 做连接， a 撇 b 撇，那你这样的长度呢？去画，然后我们沿着我们的 b 到沿着我们的 b， 然后呢？呃，画我们 a 撇 b 撇的长度，再沿着我们的 c 呢，画我们 a 撇到 b 撇， a 撇到 a 到 a 撇的长度，最后把我们这些点依次连接起来，是不是就是平移后得到的？ 好，那我们知道几何图形呢，都可以由我们的点构成，对于我们规则的图形呢，只要画出其中一个关键的点，然后经过平移就能得到了。所以说我们人们利用平移可以设计出很多美丽的图案，许多装饰图案呢，就是利用我们瓶装设计的，对吧，是不是很漂亮呀？ 好，那我们来看一下啊，其实我们这节课呢，是比较简单的，比如说第一种题问你啊，哪个运动是经过平移得到的呢？ a 应该不是吧，它是大小改变对吧？ b 呢？ 形状发生了变化，对吧？ c 呢？ c 是 d 呢？ d 呢？是位置发生改变，这个平移完全得不到，对吧？好，我们再来看一下我们下一节说法，错误的是， 图像上任意移动的方向相同，那肯定是一样的吧。第二个，图像上任意的点移动的距离相等，这个也是平移的性质，他说任意两点的连线的长度发生改变，肯定是选 c 不 发生改变啊，平移前后的形状和大小都不发生改变，这是我们平移的性质。 再来看，他说 abc 呢，由我们的 a 撇 b 撇平移得到。好，那我们来看下列结论中不一定成立的。是啊， a 撇 a 等于我们的 b 撇 b， 是 的，然后呢， b 撇 b 等于 c 撇 c， a 撇 a 等于 b 撇 b， 最后 bc 等于我们的 a 撇 c， 也就是说这个等于 a 撇 c， 不是 吧，他们就不是对应的边。 好，那我们来总结一下，这节课学的是比较简单的，就学了一个平移的概念。什么叫做平移啊？我们把图像沿着某一个方向平移呢？距离呢？ 移动一定的距离啊，叫做我们的平移。平移的有两个性质，第一个图形完全与平移后的新图形有圆图形的形状大小完全一样。 第二个呢，就是我们新图形中的每每一点呢，都是由圆图形中的某一点移动后得到的。这两个点的对应点呢，连接的各组对应点的线段平行或是在同一条线段，并且呢， 不但平行，而且相等，对吧？平移作图的时候，是不是找出关键的关键的点，然后做出我们关键的点的对应的点，然后依次来连接我们对应点就可以了。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

各位同学好，我是来自中国人民大学附属中学的李岩老师。今天这节课我们一起来学习两条直线相交。 相信同学们对生活中相交线、平行线的形象并不陌生，篱笆、公路、大桥、棋盘处处都给我们以相交线、平行线的形象。在这里，老师希望同学们能够多留心观察，去发现生活中的数学。 今天这节课，我们主要研究相交的直线，由一根钉子、两根木条构成的相交线模型。在木条转动的过程中，整个模型会展现怎样的形状呢？在转动过程中有没有哪些能保持不变的关系呢？ 没错，转动过程中的形状可能是这样、这样或是这样等等，那他们之间有什么不同呢？或者说我们怎么区分他们呢？ 有同学观察到在这三个图形中，两条直线所成的角度不同，那么要想研究清楚两条相交的直线，就要去研究它们所构成的角。 请同学们观察这个图形，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 两条直线相交构成了四个角，我们把它分别命名为角一、角二、角三、角四。 在刚刚想象木条转动的过程中，我们可以发现这四个角中有一个角的大小发生改变，其他的三个角也随之改变。 要想研究清楚这四个角之间的关系，我们不妨先来研究他们之中两两的关系。将图中的四个角两两分为一组，共有多少组呢？没错，有六组， 分别是角一与角二、角一与角三、角一与角四、角二与角三、角二与角四和角三与角四。当我们面对一个复杂的问题时，分类可以使问题得到简化。那么该如何将这六组角进行分类呢？ 在回答这个问题之前，我们先来回忆一下此前学过的角的定义。由公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，也就是说，角的基本元素是一个顶点和两条边。 我们先来看角一和角二。角一的顶点是 o， 边，是 o a 和 o c， 角二的顶点也是 o， 边，是 o b 和 o c。 可以看到角一和角二有公共的顶点 o、 o c 既是角一的边，又是角二的边，即为它们的公共边。而角一的另一条边 o a 与角二的另一条边 o b 又是什么关系呢？没错， o a 与 o b 互为反向延长线。 根据以上的分析，我们知道角一与角二有一条公共边，另一边互为反向延长线，这是它们之间的位置关系。那么，有没有哪对角也具有这样的位置关系呢？我们来看角二与角三、角二与角三有一条公共边 o b， 角二的另一条边 o d 互为反向延长线。这说明角二与角三也具有与角一和角二相同的位置关系，我们将它们归为一类。 那在剩余的四对角中，还有哪对角也具有这样的位置关系呢？不难发现，角三与角四、角一、角四也具有这样的位置关系。所以我们将它们这四对角分为一类，它们都满足有一条公共边，另一边互为反向延长线的位置关系。 回顾刚刚木条转动的过程，其中一个角的大小发生变化时，剩余三个角的大小也随之变化。那在这个变化的过程中，有没有什么不变的关系呢？每对角之间的数量关系是什么呢？ 结合上学期对于补角的学习，相信同学们都能回答出每对角之间的数量关系是互补。我们把这一类角称为零补角，其中补字源于他们互补的数量关系，零字形象地表达了他们相邻的位置关系。 让我们再来看看剩下的两对角。根据刚刚的分析，我们知道这两对角都不属于零补角，那么他们各自有怎样的位置关系呢？他们是否也可以归为一类呢？ 我们先来看看角一和角三。角一的顶点是 o， 边是 o a 和 oc， 角三的顶点也是 o， 边是 o b 和 o d， 可以 看出他们有一个公共顶点。 角一的边 o a 与角三的边 o b 互为反向延长线。角一的另一条边 o c 与角三的另一条边 o、 d 同样也互为反向延长线。根据以上的分析，我们总结出角一与角三的另一条边 o、 d 同样也互为反向延长线。根据以上的分析， 我们总结出角一与角三的位置关系为有公共顶点，两边分别互为反向延长线。根据以上的分析，我们总结出角一与角三的位置关系为反向延长线，两边分别互为反向延长线，两边分别互为反向延长线。 那么角二与角四是否也具有这样的位置关系呢？从图中不难看出，角二与角四也有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，故可将这两对角分为一类。这类角我们称作对顶。角。对顶这二字形象地展现出了它们之间的位置关系。 在研究两条直线相交所构成的四个角时，我们将它们两两一组，分成了六组，再根据它们的位置关系进行分类，其中有四对零部角，两对对零角。 我们来看这样一个问题，例一，括号一，下列各图中角一和角二是对顶角吗？为什么？我们先来看图一，从图中可以看出，角一和角二没有公共顶点，所以角一和角二不是对顶角。再来看图二，图二中的角一与角二虽然有公共顶点， 也有其中一条边互为反向延长线，但他们的另一条边不互为反向延长线，所以角一和角二不是对顶角。 再来看图三，图三中的角一与角二两条边都不互为反向延长线，所以它们不是对顶角。那么图四呢？图四的图形我们十分熟悉，角一与角二有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，故图四中的角一与角二是对顶角。 再来看立一括号二，如图，直线 a、 b、 c、 d、 e、 f 相交于点 o 一， 写出角 d、 o e 的 零补角二，写出角 b、 o、 e 的 对顶角。 先来看第一问，我们知道零补角的定义是有一条公共边，且另一边互为反向延长线。首先， o e 可以 作为这一条公共边，那么另一边就应该为 o d 的 反向延长线 o c， 所以 角 e、 o c 是 角 d、 o e 的 一个零补角。 其次， o d 也可以作为这一条公共边，那么另一条边就应该为 o e 的 反向延长线 o f， 所以 角 d、 o f 是 角 d、 o e 的 第二个零补角。 可以看出，在讨论角 d、 o、 e 的 零补角时，我们只关心直线 c、 d、 e、 f 相交于点 o 这一图形，其中直线 ab 我 们并不关心， 故角 d、 o、 e 的 邻补角是角 e、 o、 c 和角 d、 o、 f。 再来看第二位，写出角 b、 o、 e 的 对顶角。我们知道对顶角的定义是有公共顶点，两边分别互为反向延长线，所以角 b、 o、 e 的 对顶角的顶点是 o， 两边分别为 o a 和 o f。 可以看出，在讨论角 b、 o、 e 的 对顶角时，我们只关心直线 a、 b、 e、 f 相交于点 o 这一图形，对于直线 c、 d 我 们并不关心，故角 b、 o、 e 的 对顶角是角 a、 o、 f。 在 刚刚的学习中，我们很轻松的就得到了邻补角的数量关系。那么对顶角之间有没有什么特殊的数量关系呢？ 让我们再次回顾两根木条转动的模型。在木条转动的过程中，当角阿尔法变大时，与角阿尔法构成对顶角的角是否也在变大呢？ 同样，当角阿尔法变小时，和它构成对顶角的角在发生怎样的变化呢？不难发现，角阿尔法与它对顶角有同时变大或同时变小的趋势。那么根据这一性质，我们对它们之间的数量关系有什么猜想呢？ 很好，很多同学已经猜想出来了，他们之间的数量关系是相等的。猜想是我们在几何学习过程中很重要的一个方法，但是猜想不一定就是正确的。我们要怎么来验证我们的猜想呢？ 有同学提出，我们可以度量嘛？我们只要使用量角器量出角一与角三的大小，角二与角四的大小再进行比较，那么就可以验证在当前这一图形下，对菱角相等这一结论是正确的。 但是当我改变一个角度呢？你又怎么能够说明在不同的角度下一直保留这个性质呢？这就需要我们对刚刚的猜想进行严格的推理论证，让我们来尝试一下。 要想研究清楚角一与角三的关系，我们选择去找一个与他俩同时有关系的角来作为中间的桥梁，那就是角二。 其中角一与角二互为零补角，他们之间的大小关系为互补，角二与角三也互为零补角，他们之间的大小关系同样是互补，那么这两个互补。在这里我们就想到上一章中我们学到过的同角的补角相等这一性质。那么根据这一性质，我们就可以得出角一等于角三。 我们将上述的推理过程整理如下，因为角一与角二互补，角三与角二互补，理由是邻补角的定义，所以角一等于角三理由是同角的补角相等。类似的，你能说明角二与角四相等吗？ 此时我们选择角三来作为连接角二与角四之间的桥梁。因为角二与角三互补，角四也与角三互补，理由是邻角的定义，所以角二等于角四，理由是同角的角相等。 这样我们就在不知道任何一个角确切度数的情况下，推导出了对顶角相等这一结论。回想刚刚两根木条转动的模型，在变动的过程中，我们找到了其中不变的关系，这种变中的不变是我们在数学学习中需要关注的。 至此，我们通过研究两条直线相交所构成的四个角中两两之间的关系，认识了两类角，一类是邻补角，一类是对顶角，并认识了它们之间特殊的数量关系。接下来让我们试着利用已有的知识来解决一些问题。来看问题物， 图中是对顶角两角器，你能说出它测两角的原理吗？也就是说，它是如何将实际物体中的角度转移到两角器上的呢？ 没错，它是依靠对顶角相等这一性质来看。例二，如图，直线 a、 b 相交，角一等于四十度。求角二、角三、角四的度数。我们先来分析一下，两条直线相交构成了四对邻补角，两对对顶角只已知一个角，角一等于四十度， 那么我们就需要关注角一在图中所在的位置去找角一的相关角或是零补角，或是对顶角，从而求出角二、角三与角四的度数。 具体的解答过程如下，由零补角定义，得角二等于一百八十度，减。角一等于一百八十度，减四十度等于一百四十度等于一百四十度。 再由对顶角相等得角三等于角一等于四十度。让我们来反思一下，我们根据角一在图中所在的位置去找角一的对顶角和邻补角， 我们根据对顶角相等得到了角三的度数，又根据邻补角互补得到了角二与角四的度数。那还有其他方法吗？ 我们是否可以先通过对顶角相等得出角三的度数，再通过邻补角互补得到角二的度数？在求角四的度数的过程中，我们不再借助角一，而是借助我们刚刚求出的角二，利用角四与角二互为对顶角这一式时，求出角二的度数。 这种方法的具体过程留给同学们课后书写。从这道题目中，我们还可以发现，两条直线相交所构成的四个角中，如果已知一个角的度数，即可求出其余三个角的度数，也就是之一得三。 那么，如果将已知改为角一等于九十度呢？此时角二、角三、角四的度数是什么样的？ 由零不角定义，得角二等于一百八十度，减角一等于一百八十度，减九十度等于九十度。角四也等于一百八十度，减角一等于一百八十度，减九十度等于九十度。由对顶角相等，得角三等于角一等于九十度。 这与我们之后要学习的内容相关，同学们也可以课后做预习。再来看例三，如图，直线 a、 b 和 c、 d 相交于点 o， 且 o e 为角 a、 o、 d 的 平分线。一，找出图中等的角二，若 o f 为角 c、 o、 b 的 平分线， o e 和 o f 有 怎样的位置关系？请说明理由。先来看第一问，首先，两对对顶角，角 a、 o c 等于角 b o d。 角 a、 o d 等于角 b o c。 其次，根据角平分线的条件，我们还有角 a、 o e 等于角 d、 o e。 还有一组相等关系，相对隐蔽，那就是角 c、 o e 等于角 b o e。 同学们想想，这是为什么呢？ 再来看第二问。先说结论，若 o f 为角 c、 o、 b 的 平分线，那么 o e 和 o f 在 同一直线上，理由如下，因为直线 a、 b 和 c、 d 相交于点 o， 所以 角 a、 o e 加角 e， o d。 加角 b， o d 等于一百八十度。 又因为 o、 e、 o、 f 分 别是角 a、 o d， 角 b、 o c 的 平分线，所以角 a、 o e 等于角 e、 o d 等于二分之一。角 a o d。 角 c o f 等于角 b， o f 等于二分之一角 b o c。 又因为角 a、 o d 等于角 b o c。 理由是对顶角相等，所以它们的一半依然相等 于是角 a o e 等于角 b o f。 将这个条件带回到上面的式子，我们可以得出，角 b o f。 加角 e o d。 加角 b o d 等于一百八十度，所以 o e 和 o f 在 同一条直线上。 最后让我们来巧解一下，通过这节课的学习，你对零补角和对顶角有哪些认识？两条相交直线形成的角中，有四组零补角，两组对顶角，零补角互补，对顶角相等， 但互补的角不一定是零补角，相等的角也不一定是对顶角。零补角和对顶角是与数量和位置均相关的角。通过这节课的学习，你体会到哪些数学思想方法？ 分类，我们在面对两条直线相交所构成的六对角时，先将其进行分类、观察、猜想、证明。我们先通过观察两根木条转动的模型猜出了对顶角相等这一结论，随后进行了严格的证明。 角的学习将贯穿初中几何史中。你能把我们学过的角分类吗？按与直角的大小关系定义的是钝角、直角、锐角。 按与直角、平角的数量关系定义的是与角补角。按位置关系定义的是零补角对顶角。学完这节课的知识，希望大家认真复习，课后完成如下任务，今天的课就上到这里了，同学们再见！ 各位同学好，我是来自中国人民大学附属中学的张文老师。上节课我们学习了两条直线相交的一般情形，借助直线相交所成的角来研究相交线。 今天这节课，我们一起来学习两条直线相交的特殊情形。垂直 在相交线的模型中固定木条 a， 转动木条 b。 当 b 的 位置变化时， a、 b 所呈的角 alpha 也会发生变化。在这个变化过程中，有没有什么特殊情形？ 观察夹角的变化，我们发现，当角 alpha 是 直角时，每个角都是直角，四个角都相等，这种情况比较特殊。 为什么当角阿尔法是直角时，另外三个角也是直角呢？根据上节课学习的两条直线相交所成的角的关系，角阿尔法的对顶角与之相等，邻补角与之互补，由角阿尔法等于九十度推导得到另外三个角也是九十度。 像这种特殊的相交情形，我们称之为垂直。一般的，当两条直线 a、 b 相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说 a 与 b 互相垂直，记作 a 垂直 b。 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的焦点叫做垂足。如图， a、 b 垂直于 c、 d， 垂足为 o。 这一概念意味着，如果直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 角 a、 o、 d 等于九十度，那么 a、 b 垂直 c、 d。 这个推理过程用符号语言表达为，因为角 a、 o、 d 等于九十度，所以 a、 b 垂直 c、 d。 反过来，如果 a、 b 垂直 c、 d， 那 么角 a、 o、 d 等于九十度。这个推理过程用符号语言表达为，因为 a、 b 垂直 c、 d， 所以 角 a、 o、 d 等于九十度。 接下来，我们研究互相垂直的两条直线的性质。我们从画垂线开始，请用三角尺或两角器经过一点画已知直线的垂线。 那我们需要先思考这个问题，这个点和这条直线有几种位置关系？ 我们知道点与直线有两种位置关系，点在直线上，点在直线外。那么这个问题分拆为两个小问题，一、经过直线 l 上一点 a 画 l 的 垂线，这样的垂线能画出几条？ 二、经过直线 l 外一点 b 画 l 的 垂线，这样的垂线能画出几条？请同学们自己动手画一画。 根据以上画垂线的过程，你有什么发现？ 可以发现，经过一点，在已知直线上或直线外能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。 由此得到关于垂线的基本事实，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 我们再来研究互相垂直的两条直线的另一个形质。农业生产中有这样的问题，如图，在灌时要把河中的水引到农田僻处，如何挖渠能使渠道最短？ 首先我们要将这个实际问题转化为数学问题，如何转化呢？ 将河流抽象成一条直线 l， 农田抽象为一个点 p， 点 p 是 直线外一点，从而把实际问题中抽象出这样一个数学问题，在直线 l 上找一点 q， 使线段 p q 长度最短。 这个数学问题该如何解决呢？请同学们自己先动手试试，在直线 l 上画出不同的点 q 的 位置，看看 q 点在何处时，线段 p q 长度最短。 下面我们一起来研究这个问题，请大家观察在直线 l 上从左至右拖动点 q， 线段 p q 的 长度是怎么变化的？ 从测量数据可以看出，线段 p q 的 长度先变短后变长，那么一定存在某个位置，使线段 p q 长度最短。 过点 p 画 p o 垂直 l 垂足为 o， 我 们称线段 p o 为点 p 到直线 l 的 垂线段。 我们可以测量出垂线段 p o 的 长度，这里是二点六五厘米。 a 是 直线 l 上除点 o 外一点连接 pa。 在 直线 l 上拖动点 a， 改变点 a 的 位置，测量并比较线段 po 与 pa 的 长度。你有什么发现？ 我们发现线段 p o 的 长度始终小于线段 p a 的 长度。于是我们得到了刚才的数学问题的答案，当点 q 位于垂足 o 处时，线段 p q 的 长度最短。 由此我们可以归纳得出互相垂直的两条直线的另一个性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成垂线段最短。 我们把直线挖一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。在这个图中，垂线段 p o 的 长度就是点 p 到直线 l 的 距离。 回到这个实际问题，现在你知道如何挖渠能使渠到最短了吗？从刚才的探求可以知道，从农田 p 处挖一条垂直于河道的水渠即可。 下面请同学们尝试完成这个例题。在这三个图中，分别过点 p 画出射线 a、 b 或线段 a、 b 的 垂线。这里请大家注意，画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。 图一中相当于经过直线上一点画垂线，利用三角板或两角器可以完成。注意标出直角记号，垂足即为已知的点 p。 图二中相当于经过直线外一点画垂线，同样可以利用三角板或两角器完成标出直角记号，垂足命名为点 o。 图三中在画垂线时，发现线段 a、 b 不 够长怎么办？我们需要先延长线段 a、 b， 再画垂线。 经过上面的学习，相信同学们对两条直线垂直的概念和性质有了一定的认识，请大家回顾本节课所学内容，思考并回答下面问题。 一、什么叫垂直？什么是垂线？什么是垂线段？二、互相垂直的两条直线有什么性质？三、如何度量点到直线的距离？ 课后，请大家完成教科书第六页练习第一、二题。 好了，我们今天的课就到这里，同学们再见！ 各位同学好，我是来自中国人民大学附属中学的高阳老师。今天这节课，我们一起来探索，当两条直线被第三条直线所截时，产生了哪些角？ 他们之间又有什么样的关系。之前我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，任意画两条相交的直线，如图所示，产生了几个小于平角的角。每两个角之间的关系是什么？ 我们不难发现，图中形成了四个小于平角的角，角一、角二、角三、角四。 这些角中哪些互为对顶角呢？我们先来复习下对顶角的定义吧。 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另外一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。并且我们还学习了对顶角的性质，对顶角相等。 因此，图中角一和角三、角二和角四这两组角是对零角， 哪些角又互为零补角呢？角一和角二、角二和角三 角三和角四角四和角一。这四组角，它们都是有一条公共边，并且另一边互为反向延长线，具有这种关系的角互为零补角。 现在，如果在这两条相交线的基础上，再画一条与它们相交的直线，你能得到怎样的图形呢？请你尝试画一下吧。 我们能够画出这样的图形，三条直线交于同一点，这个图中所有的角都有同一个公共顶点，这就说明了存在了多组的邻补角和对顶角。 在这种情况下，虽然图形复杂了，角的数量也增多了，但是两个角的关系并没有产生新的情况，因此没有必要做进一步的研究。 第二种情况，如图所示，一条直线与两条直线分别相交，在这个图中，两个角的关系有没有产生新的情况呢？ 我们可以发现，构成的这些角中，不是任意两个角都有公共顶点。为了研究没有公共顶点的两个角的关系，我们不妨在其中任取两个角点，研究分别以这两个点为顶点的角之间的关系。 如图，直线 a、 b、 c、 d 与 e、 f 相交。也可以说，两条直线 a、 b、 c、 d 被第三条直线 e、 f 所 截，直线 a、 b 和直线 c、 d 称之为被截直线，直线 e、 f 称之为截线。 关注图中的两个焦点 m、 n 以这两个焦点为顶点。小于平角的角一共有几个？不难发现，一共有八个，分别用角一至角八表示。 这个图中有三条直线，八个小于平角的角。我们常把此图简称为三线八角图。 这八个角相对于结线、背结线的位置有哪些不同的情形？我们发现角一、角二、角六、角五都在背结线的上方，角三、角四、角七、角八都在背结 线的左侧，而角一、角四、角五、角八都在结线的右侧。 先来看角三，哪个角与它有相同的位置特征呢？不难发现，角三与角七都在被截直线 a、 b、 c、 d 的 下方，也都在截线 e、 f 的 左侧， 两个角分别在被截直线的同一方，并且都在截线的同侧。具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 图中还有其他的同位角吗？请你尝试找一找。除了角三和角七是同位角，我们来看这个图，角二和角六，它们分别在背截直线 a、 b、 c、 d 的 同一方，这里是上方， 并且都在直线 e、 f 的 同侧，这里是左侧，所以角二和角六也是同位角。类似的还有角一和角五、角四和角八。 我们再来观察找到的这四对同位角，会发现同位角的边构成了形容字母 f 的 图形，那我们以后就可以用描边的方法来找同位角了。 另外，在描边的过程中，我们还发现每一对同位角都有一组边共线，就是图中的蓝色线，而这条线所在的直线正好是截线，也是一对同位角的顶点所在的直线 回到角三上。相对于节点背节点的位置，哪个角与角三的位置特征完全不同呢？角三在背节点 a、 b 的 下方，在节点 e、 f 的 左侧， 我们发现与它位置关系完全不同的应该是角五，因为角五在被截线 c、 d 的 上方，在截线 e、 f 的 右侧，它们的特征是 都在被截直线 a、 b、 c、 d 之间，并且分别在直线 e、 f 的 两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角。 图中的内错角还有哪些呢？既然两个角要求在直线 a、 b、 c、 d 之间，所以我们只需要关注角三、角四、角五、角六这四个角就可以了。 角三和角五已经选过了，那就看看角四和角六吧。它们不仅在背节线之间，而且在节线的两侧，所以也是内错角。 同学们自己动手多画几组内错角，看看内错角有什么样的图形特征。 我们会发现，一对儿内错角的边构成了形如字母 z 的 图形，当然这个字母 z 可能是翻转的、倒置的等等。一对儿内错角中也有一组边共线，如图中红色线部分， 而这条线所在的直线就是截线，也是一对内错角的两个顶点所在的直线。 我们来继续观察角三，图中哪个角相对于被截线的位置与角三不同，但相对于截线的位置与角三相同呢？ 角三在背结线 a、 b 的 下方，与它相对于背结线位置不同的是角六、角五。 其中角六与角三都在结线 e、 f 的 左侧。角三与角六的特征是都在背结直线 a、 b、 c、 d 之间，并且都在结线 e、 f 的 同侧。具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。 图中的同旁内角还有哪些呢？既然两个角要求在直线 abcd 之间，所以我们只需要关注角三、角四、角五、角六这四个角就可以了。 角三和角六已经选过了，那就看看角四和角五吧。它们不仅在背节线之间，而且在节线同侧，所以也是同旁内角。 同学们自己动手多画几组同旁内角，看看它们又有什么样的图形特征。 我们会发现一对同旁内角的边构成了形如字母 u 的 图形，当然这个字母 u 可能是翻转的、倒置的等等。一对同旁内角中也有一组边共线，如图中红色线部分， 而这条线所在的直线就是节线，也是同旁内角的两个顶点所在的直线 前面，我们通过对没有公共顶点的两个角相对于三条直线的位置关系的研究，发现了三种特殊的位置关系，同位角、内错角、同旁内角。 具有这三种位置关系的角是后面学习中比较常用到的。还有其他的位置关系，比如角一和角七，或者角一和角八，都不太常用， 如果有需要时，也可以转化为今天学习的同位角、内错角和同旁内角来解决，所以就不再继续研究了。 我们把这三类角放在一起进行对比，同位角，在截线同侧，在背截线同侧，形如字母 f。 内错角在结线两侧，在背结线之间，形如字母 z。 同旁内角在结线同侧，在背结线之间，形如字母 u。 这些基本图形可以帮助我们识别这三类角。此外，每一对角的两个顶点所在的直线就是结线， 而每一个角都有一条边在结线上。所以在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角，我们可以把识别结线和找基本图形结合起来使用。 此外，我们是根据没有公共顶点的两个角相对于三条直线的位置关系加以分类的，所以这三类角都是表示角之间的位置关系。 接下来我们来看一道例题，如图，直线 d、 e、 b、 c 被直线 ab 所截，请你借助图形判断一下角一和角二、角一和角三、角一和角四各是什么位置关系的角， 我们先来看角一和角二这两个角，它们与背结直线 d、 e、 b、 c 的 位置关系是，它们都在背结直线 d、 e、 b、 c 之间，那它们和截线 a、 b 的 位置关系呢？ 它们分别在截线 a、 b 的 两侧，所以角一和角二是内错角。 我们再来看角一和角三，它们同样都在背结直线 d、 e、 b、 c 之间，并且在结线 a、 b 的 同一旁，所以角一和角三是同旁内角。 最后我们来看角一和角四，你能看出它们是哪种位置关系吗？它们分别在背斜直线 d、 e、 b、 c 的 同一方，并且在截线 a、 b 的 右侧，也就是同侧，所以角一、角四是同位角。 第二小问，如果角一等于角四，那么角一和角二相等吗？角一和角三互补吗？为什么？ 我们先来看角一和角二是否相等？现在的已知条件是角一等于角四。我们可以先来观察一下角一、角二、角四之间有什么联系。 通过观察可以发现，角二、角四是对零角，由对零角相等可以得到角二等于角四， 而已知条件是角一等于角四，所以通过等量代换可以得到角一等于角二。 当同位角角一、角四相等的时候，通过推理得到了角一等于角二，也就是内错角相等，所以我们得到一个结论，同位角相等时，内错角也是相等的。 再来看下一个问题，题目问的是角一和角三是否互补，而现在的已知条件是角一等于角四，所以可以先在图中看看这三个角之间有什么联系。 观察图形可以发现，角三、角四是互补的，即角四加角三等于一百八十度。 又因为已知角一等于角四，所以通过等量代换能够得到角一加角三等于一百八十度，即角一和角三两个角互补。 这里我们能够得到什么结论呢？角一和角四是同位角，它们相等，通过推理得到了角一和角三，这对同旁内角互补。所以呢，当同位角相等时，同旁内角互补。 接下来我们看例二，如图，角一和角二、角三和角二各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 先看角一和角二，我们把角一和角二的边描一下， 角一的两边所在的直线是 d、 c、 d、 b。 角二两边所在的直线是 b、 a、 b、 d， 也就是角一和角二，这两个角都有一条边在直线 b、 d 上，则 b、 d 是 截线， 那么直线 d、 c、 b、 a 就是 背结线。不难看出两个角的边构成 z 形。所以我们说角一和角二是直线 a、 b、 c、 d 被直线 d、 b 所截形成的内错角。 现在我们来看角三和角二的边描一下， 角三两边所在直线是 d、 b、 d、 a。 角二两边所在直线是 b、 a、 b、 d， 也就是角三和角二。这两个角都有一条边在直线 b、 d 上，即 b、 d 是 截线，那么直线 d、 a、 b、 a 就是 被截线。 另外，不难看出这两个角的边构成 u 形。所以我们说角三和角二是直线 d、 a、 b、 a 被直线 d、 b 所截形成的同旁内角。 小节一下本节课的内容。第一，在三线八角图中，怎么辨别哪条线是截线呢？ 三线八角图中，截线一般是两个角的公共边所在直线，且这两个角没有公共顶点。如图，直线 a、 b 和 c、 d 是 被截直线，直线 m、 n 是 截线。 第二，在识别这三类角时，我们可以采用哪些方法？不管用哪种方法，都建议同学们先把两个角的边描画出来，然后可以采用基本图形法或者定义法来进行判断。 如果采用基本图形法，要注意的是 f、 z、 u 的 形状可能是翻转或倒置的等等。如果采用定义法，就要先寻找结线，再确定两条背结线。 课后，请同学们完成以下任务，第一，完成教科书第八页练习第一、二题 二，请同学们继续思考图中哪些角之间的位置关系？我们还没定义，请你分析是否有必要定义这些角之间的关系。这节课就到这里，同学们再见！ 同学们好，我是来自中国人民大学附属中学的谢雨老师。今天这节课我们一起来学习平行线的概念。 在前几节课中，我们已经学习了同一平面内两条直线相交的位置关系。请你思考这样一个问题，除了相交之外，同一平面内的两条直线还有其他位置关系吗？ 这节课我们就来一起研究这个问题。我们通过一个动画来观察同一平面内的两条直线可能有怎样的位置关系。 如图，将两根木条 a、 b 分 别与木条 c 钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两岸无限延伸的三条直线。 固定木条 b 和 c， 转动木条 a， 观察直线 a 与 b 位置关系的变化。 改变木条位置，你能观察到两条直线的焦点发生什么样的变化吗？当我们顺时针转动木条 a 时，可以看到直线 a 与直线 b 在 直线 c 的 左侧有一个焦点， 继续转动木条 a， 直线 a 与直线 b 的 交点转移到了直线 c 的 右侧。 请同学们思考，在整个转动过程中，有没有直线 a 与 b 不 相交的位置呢？显然，在木条转动的过程中，存在直线 a 与直线 b 不 相交的位置。 在同一平面内，当直线 a、 b 不 相交时，我们说直线 a 与 b 互相平行，记作 a 平行于 b。 在 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 现在你能回答本节课开始的思考题了吗？在同一平面内不重合的两条直线，只有两种位置关系，相交与平行。 生活中有许多平行线形象的例子，你能列举出几个吗？ 相信你的脑海中已经浮现了很多平行线形象的场景，比如农田中平行的田螺、建筑物表面平行的山格线、 操场上排列整齐的队伍、泳池里泳道两边的水线等等，都是平行线的形象。只要你有一双数学的眼睛，用心发现生活中处处都有数学场景。 下面我们一起来看例一，判断下列说法是否正确，并说明理由。如果正确，请你给出依据。如果错误，请你举出反例。 第一小题，在同一平面内不相交的两条射线互相平行，这个说法对不对呢？请你尝试在纸上画一画， 这个说法是错误的，我们一起来看老师画的如图所示，平面内的射线 a、 b 与射线 c、 d 是 不可能相交的，但它们显然也不平行， 因此这个说法是错误的。在同一平面内不相交的两条射线不一定平行。 第二小题，在同一平面内不相交的两条线段互相平行。 和上一题类似，这个说法也是错误的。我们可以画出这样的图形来，平面内的线段 a 和 b 既不相交也不平行。 需要注意的是，射线和线段都有端点，射线和线段的平行指的是它们所在直线互相平行。 第三小题，不相交的两条直线是平行线，这个说法正确吗？ 刚刚我们已经学习了平面内不重合的两条直线，只有相交和平形这两种位置关系。这句话看上去是正确的， 其实这句话是错误的。有的同学可能已经注意到了，第三小题的描述中缺少了平面内这一条件，如果没有限制，在同一平面内不相交的两条直线也可能不平行。 如图，正方体中的这两条棱，它们不在同一平面内，既不相交也不平行。因此，第三小题的说法也是错误的，学习数学时，搞清限制条件非常重要。 第四小题，平面内两条直线的位置关系有相交、垂直和平行三种， 这句话是错误的。在同一平面内的两条不重合的直线，只有相交和平行这两种位置关系。垂直是相交的一种特殊情况。 最后第五小题，同一平面内两条直线的位置关系有相交、平行两种，这个说法是正确的。这也正是我们这节课所学的知识。 经过以上的辨析，相信你对平行的概念有了更准确的理解，对平面内两条直线的位置关系也有了更全面的认识。 理解了平行线的概念。你知道怎样画出已知直线的平行线吗？ 请你准备好作图工具，直尺、三角尺和铅笔，跟着老师一起操作。如图，已知直线 a 要求画出直线 a 的 平行线。 第一步，将三角尺的一边贴在直线上，然后将直尺的边与三角尺的另一边靠在一起。 移动三角尺，将它移动到另一个位置，移动的时候要保证左手握住的直尺保持不动。最后，利用三角尺的一边用铅笔画一条直线 b， 这样我们就画出了已知直线的平行线。那么给定一条已知直线，你可以画出多少条已知直线的平行线呢？ 在前面的基础上，请你继续推动三角尺，自己再画一条直线 a 的 平行线。 类似的，我们可以画出无数条直线 a 的 平行线。 如果增加一个条件，要求过点 b， 画直线 a 的 平行线，你能画出几条过点 c 呢？只是增加了一个条件，画平行线的方法应该不变。 第一步，将三角尺的一边贴在直线 a 上，然后将直尺的边与三角尺的另一边靠在一起。 移动三角尺。请注意，这次不是将三角尺移动到任意一个位置了，而是要使三角尺的这一边恰好经过 b 点。移动的时候要保证左手握住的直尺保持不动。 最后，利用三角尺的一边用铅笔画一条直线，这样我们就过 b 点画出了直线 a 的 平行线。 同样，我们也可以保持只尺不动，继续移动三角尺，使得三角尺的这一边恰好经过 c 点，最后经过 c 点，画出直线 a 的 平行线。 通过上面的画图，我们观察到，当我们增加了经过一点这个条件时，我们就不能画出无数条直线了，只可以画出唯一一条直线与一只直线平行。 过点 b 和点 c 分 别只能画出一条平行线，从而得到关于平行线的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 值得注意的一个问题是，经过的这个点不在直线上，而在直线外。如果这个点在直线上，我们画出的直线就不是平行线了，而是重合的直线。 继续观察过点 b 和点 c 所画的两条直线 a 的 平行线，它们之间有什么样的位置关系？可以看到这两条直线也是平行的。 通过观察可以进一步得到结论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 也就是说，如果 b 平行于 a， c 平行于 a， 那 么 b 平行于 c。 下面我们一起来看。例二，如图铺一段直道铁轨，要求整木之间都互相平行。 为了方便起见，工人每铺一条枕木，只保证与前一条枕木平行，这样铺设能否符合要求？ 我们根据实物图抽象出几何图形，将铁轨方向和枕木抽象为直线，画出示意图， 已经铺好的枕木为 a， 前一条铺好的枕木为 b， 那 么 b 就 平行于 a， 新铺的枕木为 c。 问题就变成了，如果 c 又平行于 b， 是 否能够得到 c 平行于 a 呢？ 因为 b 平行于 a， c 平行于 b。 根据关于平行线基本事实的推论，可以得到 c 平行于 a， 这样就保证了新铺的枕木与之前铺的枕木也平行。以此类推，只要保证新铺枕木与前一条枕木平行，就可以保证新铺枕木与之前所有的枕木都平行，符合要求。 在今后的学习生活中，希望同学们可以有意识地运用数学知识解决生活中的实际问题。 接下来我们一起来做一道练习题。如图，用直尺和三角尺画平行线。第一小题，过点 a， 画 m， n 平行于 b、 c。 第二小题，过点 c， 画 c， e 平行于 d， a 与 a、 b 交于点 e。 过点 c， 画 c、 f 平行于 d， b 与 a、 b 的 延长线交于点 f。 请你用直尺和三角尺在学习任务单上进行作图， 完成之后，对照老师的答案检查你的结果，你画对了吗？ 最后，跟随老师的问题，我们一起来进行本节课的小节。 一、同一平面内不重合的两条直线有几种位置关系？本节课学习的是哪一种？你能说出他的定义吗？ 在同一平面内不重合的两条直线只有两种位置关系，相交与平行。本节课学习的是平行，同一平面内不相交的两条直线互相平行。 二、关于平行线有哪些基本事实和结论？你能用图形语言和符号语言表示吗？ 关于平行线的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 由平行线的基本事实可以进一步得到如下结论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 也就是说，如果 b 平行于 a， c 平行于 a， 那 么 b 平行于 c。 本节课的课后任务是教科书习题七点二第一和第十三题。今天这节课就到这里，同学们再见！ 各位同学好，我是来自中国人民大学附属中学的刘文秀老师。今天这节课，我们一起来学习平行线的判定。第一课时， 前面我们学习了平面内两条直线有相交和平形两种位置关系。请问如何判断两条直线是否平行呢？ 首先，我们可以根据定义，平面内不相交的两条直线互相平行，但由于直线是无限延伸的，检验他们是否相交有困难，很难操作。你还有别的方法吗？ 我们还可以利用上节课刚学习的基本事实，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 这里也需要先探求两条直线是否平行，进而探寻其他判定直线是否平行的方法。再想想你还有其他的办法吗？ 还记得如何利用直角和三角尺画平行线吗？请同学们观看画平行线的动画。 这个步骤可以简单概括为，一放、二靠、三推、四划。 在这个过程中，你知道三角尺起着什么样的作用吗？我们发现它保证了角一和角二度数是一样的，这两个角我们称之。为什么角呢？ 对，前面学习过，他们是同位角，所以我们得到了平行线的新的判定方法。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线是平行的。 我们可以把这句话简单地说成同位角相等。两直线平行结合图形，你能用符号语言表达判定一吗？ 它们的符号语言是因为角一等于角二，这是已知，所以直线 a 平行于直线 b， 理由是同位角相等，两直线平行。 不难发现，在推理的过程中，我们使用符号语言表达更加简洁， 让我们利用所学的知识解决问题。如图，直线 a、 b 和直线 c、 d 被直线 e、 f 和直线 g、 h 所截。如果角一等于角二，我们可以判断哪两条直线平行呢？ 我们看角一和角二是直线 a、 b 和直线 c、 d 被直线 ef 所截的同位角， 它们相等。我们可根据同位角相等，两直线平行判定直线 a、 b 平行于直线 c、 d。 所以第一问得到的结果是，直线 a、 b 平行于直线 c、 d。 推理过程是因为角一等于角二，所以 a、 b 平行于 c、 d， 理由是同位角相等，两直线平行。 再看第二问，图中哪两个同位角能判定直线 ef 平行于直线 g、 h 呢？ 我们看图中角二和角五是直线 e、 f 和直线 g、 h 被 c、 d 所截的同位角。因此我们只要让角二等于角五，就能判定直线 e、 f 和直线 g、 h 平行。 图中除了角二和角五是直线 e、 f 和直线 g、 h 被直线 c、 d 所截的同位角，角三和角四也是，所以当角三等于角四时，也满足条件。 下面我们来思考，既然能用同位角判断两直线平行，能否用内错角来判断呢？ 你认为角一和角二这一对内错角应该满足什么条件才能保证直线 a 与 b 平行呢？同学们思考一下。 好，我们一起分析一下。要想得到直线 a 平行于 b， 通过刚才的学习，我们知道应该让角四和角一这一组同位角相等，从图上能够看到角二和角四是一组对顶角， 所以它俩相等。这样我们只需要保证角一和角二也相等，就可以得到直线 a 平行于 b。 因此我们需要得到的条件是角一等于角二。下面请根据我们的分析写出证明过程。 因为角一等于角二已知，再加上角二和角四是对顶角相等 两个条件，用逗号隔开，我们就得到了角一等于角四，这是等量代换，那么就能得到直线 a 平行于 b， 理由是同位角相等，两直线平行。 通过证明，我们可以发现用内错角也是可以判断两条直线平行的， 这就是平行线的判定方法。二，两条直线被第三条直线所截，如果形成的内错角相等，那么这两条直线就平行。我们把这句话简单的说成内错角相等，两直线平行。 同样，根据图形，我们用符号语言表述一下，因为角一和角二这组内错角相等，所以我们得到直线 a 平行于直线 b， 理由就是内错角相等。两直线平行 以后，我们就不用像刚刚那样去证明，直接用就可以了。我们发现在学习用内错角来判别两直线是否平行时，是把它们转化为同位角来判定的。 像我们这种遇到一个新的问题，常常把它转化为一个已知的或者已经解决的问题，这就是我们数学里面常常提到的转化思想， 让我们接着利用所学知识解决问题。还是例中的图，问题不太一样。如图，直线 a、 b 和直线 c、 d 被直线 e、 f 和直线 g、 h 所截。如果角二等于角三，我们可以判断哪两条直线平行呢？ 我们看角二和角三是直线 a、 b 和直线 c、 d 被直线 ef 所截的内错角，它们相等。我们根据内错角相等，两直线平行，就能判定直线 a、 b 平行于直线 c、 d。 推理过程是，因为角二等于角三，所以直线 a、 b 平行于 c、 d。 理由是内错角相等，两直线平行。再看第二问，图中还有哪两个内错角能判定直线 a、 b 平行于直线 c、 d 呢？ 我们看图中角四和角五是直线 a、 b 和直线 c、 d 被 g、 h 所截的内错角。因此角四等于角五，也能判定直线 a、 b 平行于 c、 d。 我 们来看例三，这是一个实际问题。如图，木工常用角尺画平行线，你能说出木工这么操作的道理吗？ 同学们是不是很快发现，角尺形成的是九十度角，所以移动角尺就是它的同位角在移动。因为角一等于角二，根据同位角相等，两直线平行，就能得到画出的两直线平行。 当然，角二等于九十度，则它的对顶角角三也等于九十度。角一和角三是内错角，我们也能通过内错角相等，判定画出的两直线是平行的。 我们来看巩固练习 e 如图 e 是 直线 a、 b 上一点， f 是 直线 c、 d 上一点， g 是 bc， 延长线上一点。 第一问，如果角 b 等于角 d、 c、 g， 那 么可以判断哪两条直线平行，为什么呢？ 我们看角 b 和角 d、 c、 g 是 直线 ab 和直线 cd。 被直线 b、 g 所截的同位角，它们相等，可根据同位角相等两直线平行，判定直线 ab 平行于 cd。 第二问，如果角 d 等于角 d、 c、 g， 那 么可以判断哪两条直线平行？为什么呢？ 角 d 和角 d、 c、 g 是 直线 a、 d 和 b、 c 被直线 c、 d 所截的内错角，它们相等，我们根据内错角相等，两直线平行，就能判定直线 a、 d 平行于 b、 c。 我们来看练习二。如图，如果角一加角二等于一百八十度，能判断哪两条直线平行呢？ 我们可以得到直线 a 平行于直线 b。 因为角一加角二等于一百八十度。从中可知，角二和角五为邻补角，所以角二加角五等于一百八十度，所以我们可以得到角一等于角五。 根据同位角相等，两直线平行，就能得到直线 a 平行于 b。 我 们来看本题第二问，角三和角四满足什么条件可以判定直线 a 平行于 b。 分析，要得到 a 平行于 b， 我 们要使同位角，角四和角六相等，而角三和角六为邻补角，所以角三加角六等于一百八十度。 两个条件同时满足的话，就能推出角三加角四等于一百八十度，所以满足角三加角四等于一百八十度，就能判定 a 平行于 b。 我 们来证明一下， 因为角三加角四等于一百八十度，角三加角六等于一百八十度。邻补角的定义，因为同角的补角相等，我们可以得到角四等于角六，所以直线 a 平行于 b。 下面我们做一下课堂小结。我们今天学习了平行线的哪几个判定方法？ 学习了一、根据定义二，根据基本事实三、判定方法一。同位角相等两直线平行。判定方法二，内错角相等两直线平行。所以现在我们已经有了四种平行线的判定方法， 我们分别用哪几种语言描述判定一和判定二、文字语言、图形语言、符号语言三种语言。我们发现图形语言比较直观，符号语言比较简洁。 在研究平行线的判定方法二时，我们是如何证明的？我们将其转化为以学过的平行线的判定方法一来解决的。在判定方法二的证明过程中，你有哪些收获？ 本节课中，我们学习到了转化的思想，在解决新的问题时，往往转化为已知的或者已经解决的问题。课后，请同学们阅读课本第十五页，完成相应题型。 这节课内容就到这里，同学们再见！

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学线一下侧第七张相交线，以平行线七点二点三平行线的性质，我们来看一下我们这节课的一个学习目标，那这节课的一个学习主要目标呢？就是能够理解我们平行线的性质，能够初步运用我们平行线的性质进行我们的有关计算。 我们先来复习一下我们上节课学了什么东西呢？是不是我们上节课学了我们平行线的一个判定呀？什么叫做判定呢？就是我们来证明两条直线是我们平行线， 那我们来看一下我们三个判定方法，第一个同位角相等，那么两直线平行，然后呢？内错角相等，两直线平行，对吧？这是我们两条直线平行的一个判定，三个判定大家要熟记， 那我们来想一下，那假设啊，已经告诉你了，两条直线是平行的，那如果说两条直线是平行的话呢？大家觉得我们的两条直线平行之后，同一角内错角，他们有什么样的一个关系呢？我们来看一下， 当我们画出两个平行线的时候， a 平行 b， 然后我们画出任意一条直线呢？任意一条截线的 c 与我们两条平行线相交，那我们就会形成了我们的三线八角，当你用两角器去测量我这个八个角的度数的时候，你可以试一下， 比如说我们来看一下角一，如果是一百一十五度，我们知道角二是它的对顶角等于一百一十五度，角四等于六十五度。 好，那我们测完之后再看测一下我们下面这四个角，那我们来看一下，你会发现呢，角五也等于一百一十五度，角六等于六十五度，角七等于一百一十五度，角八等于六十五度。 当我们把角测完之后，你会发现什么样呢？是不是我们的角一和角五是同位角，角二和角六是同位角，角三和角七是同位角，角四和角八是同位角，那我我们发现啊， 他们之间同位角之间是不是就是相等的呀？所以说那我们来想一下，两条直线被第三条直线所截的时候，是不同位角就是相等的，对吧？ 那如果说大家觉得不信，你可以再画一条来测，我们同样的八个角，如果说我们测完之后依然成立的话呢，那肯定是成立的，对吧？所以说你可以再试一下，我可以告诉大家，这样的结果是依然成立的，所以说我们就能得到了第一个性质。什么是性？什么什么样的性质呢？就是说 两条平行线呢，被我们第三条直线所截，那么所截之后的同位角他就是相等的，这个应该能理解，是吧？ 好，我们可以简写为两条直线平行，同位角相等，我相信有的同学已经发现了，这不就是颠倒过来吗？但是我们来看啊，我们之前讲的叫做判定，判定是什么意思呢？就是我证明 ab 是 什么呀？是平行线，那现在呢？ 现在呢？我们今天讲的是性质，什么样的性质呢？就是我已经知道 ab 是 平行了，反过来是不是他们的同位角就相等？ 所以说大家要理解什么样是什么样是性质，什么是判定。那用我们数学符号语言来写的话呢，就是说 a 平行 b， 那 我们就能知道啊，角一等于角五，这是两直线平行，同位角相等，这是我们的性质。 那我们再来看一下，我们之前呢，已经利用我们的同位角相等的两直线平行，由此我们来试试，看看能不能推出我们两直线平行内错角是什么关系呢？ 我们知道角一等于角二，角二和角三又是什么呀？又是我们的对角，角那角二等于角三，那是不是角一等于角二，角二等于角三，那角一和角三是不是也是相等的呀？ 所以说我们就能根据啊，什么呀？根据我们的两直线平行，同位角相等，能够类似的推出来两直线平行内错角相等， 所以说我们简写为两条直线平行内错角相等，用我们数学符号语言来写的话，就是 ab 平行呢，那我们就能得出我们角一等于角三，也就是两直线平行内错角是相等的，这是我们第二个性质。 其实我讲到这里已经不用说了，那大家第三个性质是不是也知道呀？你可以和老师一块来推一下我们的同旁内角，那我们知道啊，角一和角二是同位角相等，角二加角四等于一百八，那角一加角四是不是也等于一百八呀？ 所以说我们的第三个性质是不是大家也知道了，那是不是就是角一和角四互补，因为什么呢？因为一， 因为我们 a 平行， b， 角一与角二平行，然后角二加角四等于一百八，角一加角四也等于一百八，所以说我们最后得到了我们第三个性质，也就是说什么呀，我们两直线平行呢，同旁的角互补，简称这样， 然后呢，用我们数学符号语言来说的话呢，就是说 a 平行于 b， 角二加角四，我们就是两直线平行，同旁的角互补。好，我们来回忆一下，是不是我们的判定， 反过来就是我们的性质，对吧？所以说大家要理解什么样的，什么样情况下用什么呀？用性质，什么样的情况下用判定呢？当我不知道 ab 平行的时候，我们用判定，当 ab， 当我知道 ab 平行之后呢，那就用性质。好，大家一定要理解我们的性质和判定， 当我们理解之后呢，我们来看一下，如图是一块梯形铁片的残余部分，我们测得角 a 等于一百度，角 b 等于一百一十五度，那你看一下，角 a 就 等于一百度，角 b 等于一百一十五度，那我们， 那我们是不是知道呀，我们的梯形性质就是 dc 和 ab 是 平行的，当它俩平行之后，那它和它是同旁内角，它和它是同旁内角，那是不是用一百八减去它就是角 d 的 度数，一百八减去角 b 就是 角 c 的 度数呀？ 好，当大家想清楚这个的时候呢，我们来看一下我们的一个过程，那我们知道啊，角 d 就 等于一百八减角 a， 角 c 就 等于一百八减角 b， 因为什么呢？因为两直线平行，同旁内角互补，这是我们的性质，所以说我们最后就能得出角 d 等于角 d 和角 c 的 度数。 好，那这道题相信大家能够听明白，那我们再来看下我们第二道题，我们来看一下，我们已经知道呢， a b 平行，哎，他已经平行了，是不是我们就能用性质了呀？角一和角三是相等的，这两个角是相等的，对吧？那我问啊，直线 c d 平行吗？ 哎，又让你又让你证明什么呀？直线 c d， 那 是不是就是说让你证明他俩的一个什么呀？用我们的判定，对吧？那你想一下， 角一和角三是相等的，那我们知道 ab 是 平行的，那你看一下，角一和角二是什么呢？角一和角二是内错角，对吧？那角一等于角二，是不是角一等于角二？根据我们的这样的一个性质得来，那又因为呢？ 那又因为呢？角一等于角二，那角一和角三是相等的，那是不是就是角一等于角三，那是不是角三和角二也就是相等的？他俩相等之后是不是他俩是同位角？所以说我就能证明我的 cd 平 c 平行于 d， 对 吧？这是我们完整的一个思路。 好，大家如何来写光形呢？写过程呢？我们来看一下。首先要知道他要答，答什么呢？我们直线 c 与 d 平行什么样呢？为什么？那就理由如下，因为 a 平行于 b， 这是我们题目给的，然后呢，角一等于角二，根据我们两直线平行，内错角是相等的， 然后呢，又因为角一等于角三，这是题目给的，对吧？那角二就等于角三，然后等量代换，所以说角二，所以说我们 c d、 c 平行于 d， 为啥？是因为他俩是同位角，最后能正出我们两直线平行。这个书写过程，大家一定要认真的去书写啊，我们的证明题最重要的就是我们的书写过程，一定要把我们的思路理清楚了啊。 好，我们来看一下我们下面的，那我们再来看一下，大家可以先做，做完之后和老师一块来看一下，第一个角一等于角二，他已经告诉你了，角一和角二相等，那角三等于五十度，然后问你呢， abc 的 度数是多少度呢？是不是？ 好，大家想一下，我们已经发现了，角一和角二是什么呀？是内错角，内错角相等，是不是 a 平行于 b， 那 ab 平行之后，角三和它是多少呢？是我们的同位角的关系，是不是角三和 abc 就是 相等的，是不是同样的 abc 也就等于五十度呀？ 当我们把思路理清楚之后呢？我们如何来写过程呢？我们一块来看一下。因为角一等于角二，题目给的对吧？所以呢， a 平行于 b， 这样呢，是根据我们的内错角相等，两直线平行，那又因为呢？角三等于角 abc， 呃，所，所以呢？所以，对吧？所以角三等于角 a、 b、 c， 为啥呢？是因为两直线平行，同一角相等，又因为角三等于五十度，所以我们的 a、 b、 c 呢，就等于五十度，这个过程大家能看懂，也要根据我们的这个过程呢，然后呢严格的去书写，好吧， 好，我们随堂检测，我们来看一下。第一个大家可以先做，做完之后再来对 a， b 平行 c， d 平行 e、 f， 也就是说这三条直线互相平行，最后问你啊，这个加这个，再加这个等于多少？ 那我们会发现呢，我们根据平行能得出什么样的结论呢？是不是他加他等于一百八，然后他这两个和等于一百八十度，那这个和这个又等于一百八十度，那你把这三个全部加起来，也就一百八加一百八，是不是就等于这一百八， 也就等于三百六十度呀？所以说最后的最后啊，答案就是我们三百六十度应该比较好理解，对吧？ 好，再来看一下，已经告诉你了， l 一 平行 l 二， l 三平行 l， l 二平行 l 三，那是不是他们三个之念相互平行，对吧？根据我们的平行线的公里以及我们角平行线 一个性质就能算出来，大家可以算一下，那是不是角一和他是同位角，也等于五十九度那角，那这个角三，角三和角二呢？就是同旁内角，是不是我们相互的就能最终能得出他等于一百二十一度呀？对吧？ 好，最后来看一下我们这道题，我们来看一下，第一个在三角形 a， b， c 呢？ d e 平行 b c， 哎，已经告诉你 d e 和 b c 平行了，是不是你就能够利用什么呀？利用我们的什么呀？同位角压、内错角压，还有我们的同旁内角压，就是我们的性质。 第二个角 i e， d f， 也就是说我们的呀， e， d， f 和角 c 是 相等的，问你啊， b， d、 f 等于角 a， 然后就是说谁等于谁呢？也就是我们这个角和这角相等，那你想一下，这两个角之间存在着一种什么样的一个关系呢？是不是它和它是同位角， 那它和它是同位角，我如何来证明它俩相等呢？是不是我只用证明 a c 平行于谁， a c 平行于 d f 就 可以了？ 那我们现在就转换成我们要证明他俩相等，那如何来证明他俩相等呢？是不是我们就看看他，他俩相等，是不是我们看内错角呀？同位角是不是相等，是不是就能证明出来？那你想一下，可以暂停视频，想一下，如果想通了，我们来看一下，是不是我们最后就能。你看啊， 他俩平行的话，我就能证明角 c 和他相等，那是不是角 c 和他相等之后呢？那又因为他和角 c 相等，是不是他俩关系又相等呀？他俩是内错角，内错角相等的话，是不是 a、 c 平行 df？ 当我们知道他俩平行之后，他俩就是同 v 角，所以说他俩就是平行的，对吧？好，我再说一遍啊。因为 题目给了 d、 e 平行 bc， 所以 他俩是同位角，他俩同位角呢？相等，然后呢？又因为他和他相等，然后呢？他和他相等，所以说这个角和这个角就相等了， 最后就能证明我的 d、 e 和我们的 bc 是 相等的，对吧？好，他俩相等之后呢，就能证出他俩是内错角，对吧？这两个是内错角 a、 c 平行，我们的 d、 f， 他 俩就是同位角，所以说最后就能证明出他俩是相等的。好，我们来看下我们的完整过程。 因为 d、 e 平行 bc， 对 吧？所以我们的角 c 呢？等于角 a、 e、 d 就是 两直线平行呢，是我们的同位角相等，也就是这两个角相等，然后呢，又因为我们的角 e、 d、 f 等于角 c， 题目给的，对吧？然后呢？所以它俩相等，那它俩相等之后呢？是不是就是我们的同位角呀？ 好，同位角相等两直线，对不对？内错角，对吧？内错角相等，两直线平行，最后呢，就能得出我角 a 等于角 b、 d、 f 是 吧？他俩相等，是内错角相等，然后呢？他俩相等呢？是我们两直线平行，同位角相等。好，这道题一定要大家也要认真的把过程写一遍。好吧 好，那我们来总结下我们这节课吧，我们主要就是学了两直线平行的一个什么呀？性质，大家一定要注意。性质啊，就是我们平行线的性质，就是说同位角相等，内错角相等以及同旁内角互补，应该是比较简单的，是吧？ 那反过来呢？是不是就是我们平行线的一个判定呀？当两个直线同位角相等，内错角相等以及我们的同旁内角互补的时候，是不是我们两直线就平行啊？ 所以说大家一定要理解，什么样上，什么样是性质，什么样是判定。已知是平行线的时候用性质，不知道的时候用我们的判定就可以了。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见吧。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学相交线与平行线的性质。 今天的学习目标是理解并掌握平行线的性质，能够运用平行线的性质进行推理证明。我们上一节课学会， 我们上一节课学了同位角相等，内错角相等和同旁内角互补，都可以去判定两直线平行。那如果说我们知道两直线平行之后，跟他的同位角、内错角同旁内角又有什么样的关系呢？这就是咱们这节课要讲的内容。 咱们先来看画两条平行线， a 和 b， 如果再画第三条线， a 与 a、 b 相交，标出来会有八个角出来。我们利用量角器可以去量一下角一到角八的度数。 假如说我们量出了角一等于六十度，那么同样的你就也可以量出角二等于一百二十度，角三等于六十度，角四等于一百二十度，角五等于六十度，角七等于六十度，角八等于一百二十度。 那通过这些角呢？我们就能发现角一和角五是相等的，都是六十度对不对？那角一和角五是不是我们的同位角啊？ 是我们的同位角相等，因此我们通过同位角相等。因此我们通过两直线平行，是不是就能够得到同位角相等啊？同样的道理，我们也可以得到角三等于角五，这就是我们的内错角相等。 内错角相等，那我们也可以发现角四加角五是等于一百八十度的。角四加角五等于一百八十度，那也就是说是同旁内角互补， 同旁内角互补。因此我们先通过第一个性质，这是我们通过两角器得来的，我们能不能通过第一个性质去运用一下，从而也可以推出后两个性质呢？如果说我们现在把这个第三条线 c 进行一个改变，我画换一条 c， 换一条线之后，你通过量角机去量，你依然会发现这个角和这个角是相等的，我们就量这两个角就可以。这两个角既然是相等的，那也就是说我第三条线的位置是， 那也就是说我第三条线位置的改变是不是不影响我同位角相等啊？因此我们就能得到， 因此我们就能得到平行线的性质。一、两直线平行，同位角相等。大家就直接简单的记这一句话就行，两直线平行，同位角相等。也就是说，如果我能得到 a 平行于 b， 那 么就可以得到角一等于角二，这是咱们平行线的第一个性质。 看一道题，如果 a 平行于 b， 角一等于六十度，角二的度数是多少？我们知道 a 平行于 b， 就 能得到角一和角三是相等的，他们是同位角，角三也等于六十度，而角二和角三是邻补角，因此角二就等于一百八十度，减去角三， 结果就应该是一百二十度。答案选 d。 那 我们来看，刚才我们得到了两直线平行，同位角相等，那如果说我们通过 a 平行于 b， 能够得出角三等于角二吗？我们看角三和角二是一个内错角的关系， 因此我们看，如果说能够得到角三等角二，我就能还得到平行线的第二个性质，两直线平行内错角相等，对不对？那我们能不能得到角三等角二呢？你看，因为 a 平行于 b， 从而我们就可以得到角一是等于角二的，这两个是同位角，那角一等于角二， 我们的角一是不是又等于角三，从而是不是可以得到角二等于角三呢？ 那同样的道理，我们能不能得到角二加上角四等于一百八十度呢？因为我们的角一和角四是邻补角的关系，所以我们的角一加上角四等于一百八十度，角一加角四等于一百八十度，角一又等于角二，是不是就能得到 这两个就能得到角二的加角四等于一百八十度啊？因此你看，我们平行线的第三个性质也出来了，两直线平行，同旁内角互补，我们的角二和角四是互为同旁内角，对不对？ 因此我们又得到平行线的两个性质，第一个就是两直线平行，内错角相等，第三个就是两直线平行，同旁内角互补。那通过几何语言我们怎么来描述呢？也就是说， 若 a 平行于 b， 那 么我们就能得到角二等于角三，也就是两直线平行，内错角相等。那若 a 平行于 b， 从而我们就得到角二加上角四等于一百八十度。两直线平行，同旁，内角互补，这就是我们平行线的第二、第三个性质。 来我们看一道例题，如图，平行线 a、 b、 c、 d 被直线 e、 f 所截， f、 g 平分角 e、 f、 d， 那 也就是说这个角一等于这个角二，若角 e、 f、 d 等于七十度，大角等于七十度，我们的角一等于三十五度， 角二也等于三十五度。那让我们求的是哪个角的度数？角 e、 g、 f、 e、 g、 f 是 这个角，我们两直线不是平行吗？这个角和这个角二不是互为内错角吗？既然互为内错角，那么角二是不是等于这个角啊？等于三十五度？因此答案应该选 a 三十五度。 好，我们再来看第二题， a、 b 平行， cd 平行 ef， 角 a 等于五十四度， 角 c 等于二十六度，则角 a、 f、 c 等于多少度？ a、 f、 c 是 这个度，这个角，这个角既不在上面 ab 和 cd 的 平行线里面，也不在 cd 和 ef 的 平行线里面，但是它 c、 d 和 e、 f 这个大角是在平行线里面的，因此，我是不是找到这个小角，又找到这个大角，用这个大角减去这个小角，是不是就能求出 a、 f、 c 的 度数了？那我们看这个小角等于多少小角，是不是存在于 c、 d 和 e、 f 平行的这个 z 字形里面呢？所以说这个小角， 这个我把它标成角一吧。那角一是不是就等于角 c 等于二十六度啊？是内错角相等，两直线平行，内错角相等，对不对？而我们的这个大角是不是存在于 a、 b 和 e、 f 平行的这个大角里面呢？ 所以我们的角 a、 f、 e 也就等于角 a 等于五十四度，那大角也有了，这个小角 e 也有了，中间要求的这个小角是不是就出来了？那角 a、 f、 c 是 不是就等于大角 a、 f、 e 减去角一等于五十四度，减去二十六度，结果应该等于二十八度，对不对？我们再来看这道题，如图，直线 m 平行于 n， 其中角一等于四十度，则角二的度数是多少度？ 我们知道 m 平行于 n， 角二的度数在这里，角二跟谁相等？角二跟这个角相等，这是它的对顶角，也就是说我求出这个角的度数就可以。我们的 m 不是 平行于 n 吗？ m 平行于 n， 根据我们的性质。三是不是同旁内角互补呀？那这个角跟角 e 就是 互补的关系，所以说这个大角就应该等于一百四十度，那同样的道理，我们的对顶角角二是不是应该等于 b 向一百四十度啊？ 好，我们看第二题，若 ab 平行 d e 平行 d e， bc 平行 e f 求角 b 加角 e 的 度数， 这道题什么都没有给我们，直接让我们去求角的度数。我们根据平行线里面能得到度数的只有一个，是两直线平行，同旁内角互补等于一百八十度。所以说我们的角 b 和角 e 肯定跟这个一百八十度要有关系，我们就应该从同旁内角的角度去出发，对不对？ 我们看怎样去找同旁内角。角 b 的 同旁内角是谁？是这个角是不是？是这个角，也就是角 b 加上这个角 e 等于一百八十度， 而这个角一和这个角 e 是 不是同位角啊？角一和角 e 又是同位角，它们俩相等，所以说角 b 加上角 e 是 不是等于一百八十度啊？ 对不对？那我们还有另外一种解法，什么解法？我们可以看到角 b 和这个角是不是互为内错角啊？ 那角 b 和它互为内错角，就是这两个角是相等的，而我们的 bc 平行于 e f， 也就是这个角加这个角是等于一百八十度的，那从而就可以得到这个角 b 加上角 e 是 不是等于一百八十度啊？两种方法都可以，我们来看一下这道题的解题步骤， 因为 ab 平行 d e， ab 平行 d e， 所以 角 b、 c、 e， 而这个角等于这个角，它用了两直线平行，内错角相等。我们的第二种方法， 那又因为 b、 c 平行于 e、 f 这两个平行，然后角 b、 c、 e 加上角 e 这个角加这个角等一百八十度，两直线平行同旁，内角互补，所以说角 b 加角 e 等于一百八十度，这是我们的等量代换， 这就是我们今天所学的内容，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁，内角互补。这就是我们的三个结论。 我们来看，利用我们这些平行线的性质来解决一下实际问题。一个大门栏杆的平面示意图，如图所示， b、 a 垂直于地面， a、 e 于点 e 啊，这是一个垂直 cd 平行于地面， a、 e， cd 和 a、 e 是 平行线的关系，若角 b、 c、 d 等于一百五十度，这个角等于一百五十度， 则角 a、 b、 c 等于多少度？ a、 b、 c 这个大角等于多少度？那这种题呢，我们会发现 c、 d 和 a、 e 是 平行线的关系，但是它没有被第三条直线所截，因为这里出现了一个拐角。 那怎么办呢？我们就要去找到一个平行线，这个时候我们就用到了我们数学几何里面最常用的一种方法，叫做做辅助线。怎样做辅助线呢？你看题目给我们做好了，就是过点 b 画了一条虚线 bg， 我 们令 bg 平行于 c、 d， 那么 b g 是 不是也平行于 a、 e 啊？也就是说我做了一条跟两条线都平行的线，那既然 b、 g 平行于 c、 d， 那 这个角加这个角是不是等于一百八十度？那这个小角此时是不是应该等于三十度啊？ 而我们的 b、 g 又平行于 a、 e， 那 我的这个角加这个角是不是等于一百八十度？而这个角是垂直九十度，那所以这个角也等于九十度，所以我们的角 abc 是 不是就得出来了？等于一百二十度对不对？好，我们看一下这道题的步骤应该怎样去书写。 首先我们要做一个辅助线，也就是 b g 平行于 c、 d， 从而得到一个角的转化，角 abc 就 等于角 abc 加上角 c、 b、 g， 也就是一个大角分成了两个小角， 从而我们看一下步骤就是如图，我们做辅助线的表述应该是过点 b 做 b g 平行于 c、 d， 所以 角 b、 c、 d 加上角 c、 b、 g 等于一百八十度。这是我们的同旁内角互补， 所以角 c、 b、 g 等于一百八十度，减去角 b、 c、 d 等于三十度。那又因为 b、 a 垂直于 a、 e， 所以 角 b、 a、 e 等于九十度，那我们刚才做的辅助线是平行，因为 c、 d 平行 a、 e、 b g 平行 c、 d， 所以 说我们也有 b g a 平行于 a、 e， 从而我们就能得到 a、 b、 g 加上角 b、 a、 e 这个角加上这个角等于一百八十度。那我们的 a、 b、 g 这个角是不是就等于一百八十度，减去这个角啊？等于九十度，因此我们最后 a、 b、 c 就 等于一百二十度。 好，我们来看几道随堂练习题。如图，如果 a、 b 平行于 cd， 平行于 e、 f， 那 么角 b、 a、 c 加上角 a、 c、 e 加上角 c、 e、 f 等于多少度？ 这不是三条直线互相平行吗？这三个角又都在同旁内角里边，对不对？所以说我们就可以发现，这个角加上这个小角一等于一百八十度，而这个小角二加上这个大角一等于一百八十度。所以说这个角加这个大角加这个小角，是不是两个一百八十度相加，结果等于三百六十度？答案选 c。 好， 我们看第二题。已知 ab 平行于 cd， bc 是 角 abd 的 平分线，也就是角一等于角三。 如果说角二等于六十四度，角二等于六十四度，角三等于多少？我们看角二的位置。利用平行线我们可以找到角四也等于六十四度，对不对？而六十四度的角四和这个角一加角三是不是一个邻补角的关系？ 因此角一加上角三应该等于一百八十度，减去六十四度，结果等于一百一十六度，那我们角一又等于角三，是不是等于这个的一半啊？那么角三就应该等于一百一十六度，除以个二等于五十八度，所以角三的度数就等于五十八度。 下面是我们的课后小节，今天我们学的是平行线的三个性质，两直线平行，同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补。同时我们要学会用平行线的性质去解决一些实际上的问题。我们一定要把平行线的性质和平线的判定 分区分开。我们上一节课学的平行线的判定就是这三个。如果说这三个相等，任意一条我们都能得到平行线 a 平行于 b， 那 如果有 a 平行于 b， 我 们也能得到这三个角分别相等。这就是咱们这节课的内容，你听懂了吗？

各位同学，各位家长，大家下午好，咱们今天继续讲第九章。那七八章呢？已经讲完了啊，想看的同学呢，家长呢，可以去翻一翻其啊之前发的一些作品 啊。那咱们讲第九章，第九章比较简单一点，应该是在旗下算是比较简单的一章，这章主要讲一下如何能在平面直角坐标系当中通过点 能找到这个位置，那通过位置能找到它的一个数值表示就可以，那我们看一下。 首先第一，在我们生活当中位置的确定，我们可以想一想怎么准确的描述一个物体的位置啊，比如说你在班级里的位置， 那妈妈可能会问你，你在班级里是在什么位置呢？你可能会说我在第几排，第几列，对不对？那我们去电影院的时候买的也是作为是几排几列 啊，包括说这个，我们地图上啊，这个我们是东京多少度，北纬多少度，还有一些人呢，下在什么位置呢？哎，下在第四行，第六列等等情况。 那这些东西，其实我们可以把这些东西都想象成一个平面直角坐标系啊，那么我们说确定位置的方法啊，第一，他需要有两个在平面内需要两组数据啊，一个表示横向的，一个表示纵向的啊，比如说我们几排几列， 嗯，通过这两个我们就可以在平面里确定一个物体它的位置。那么我们这一张的一个学习目标，第一是理解平面直角坐标系的概念，什么是平面直角坐标系？第二呢，用这个坐标表示点的位置可以表示出来就可以了。 重点内容，第一，认识平面直角坐标系，第二，理解象限的概念。什么象限啊，这是我们本章要新学的一个概念，什么叫象限？第三，掌握点的坐标表示方法，这是这个呃，本章的一个小重点。 那第四，理解各项线内的坐标点的特征啊，这也是一个小重点。第五会用坐标表示地理位置啊，第六会用坐标表示平移啊，这个可能会和平移，哎，联合出一个考题 能力培养方面呢，第一是这个空间观念啊，让大家要有建立这个坐标的一个概念。第二是这个数形啊，这个其实就把代数和几何进行了一个融合啊，能解决实际的问题。能够理解坐标系 整体核心思想就是用一对有序实数，哎，一对实数表示平面内的位置。我们接下来会讲到具体的说一下这个概念。 首先九点一节，用坐标描述平面内点的位置，嗯，那我们先定一个什么叫这个平面直角坐标系，就说在平面内还是在平面内啊，两条互相垂直，圆点互相重合这样的竖轴 组成的平面直角坐标系。就像右边这个图一样，一个是 x 轴，一个是 y 轴，他们相互垂直，这是九十度，并且呢圆点重合，这个就是零点，圆点重合这样的两个竖轴组成，就叫这个平面直角坐标系。 那么这个水平的轴呢？我们通常称为 x 轴或者横轴啊，一般叫 x 轴啊，这是一个约定俗成的，后续大家一说 x 轴指的就是横的这个外轴呢，就是个纵轴啊，就是这个垂直的这个。那么圆点呢，就是两个轴的交点，就是个零零点 啊，他代表零，零表示那么正，什么叫正方向？就是向右，向上他是正的，那我们可以看这些数字，往右是逐步增大的，一二三四五是逐步增大的，所以说往右是正方向， 这个外周呢，也是向上是一二三四五，哎，他所以说他这个向上也是一个正的方向，那同样的，那向左呢？你看这负一负二，负三、负四，这就是一个负方向，越往左数越小，越往右数越大。 同样的外周是越往上数越大，越往下数字越小。哎，这就是我们平面直角坐标系，那么平面直角坐标系使平面内的点， 哎，与这个有趣的实数建立的一对应关系。对啊，你看这个他其实是一个几何的东西，但是呢，我们却可以用一个代数的方式来表示一个几何的东西啊，这就是代数和几何的一个相结合。 行，那我们讲完之后讲这个象限，什么叫象限呢？就说两条坐标轴把平面分成四部分，我们可以看一二三四，我们这个逆时针转这一圈， 分别叫做一二三四象限啊，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限啊，逆时针转一圈，大家一定要记住这个，那么有什么特点？每一象限的都有什么特点？我们可以看看第一象限的 x 是 什么呀？ x 都是大于零的， y 呢？ 也都是大于零的啊，所以说告诉你个数，比如说一三，你就知道这个数是在一象限， 同样告诉你一个数在一象限，你也能反着推他这个，比如说 ab 在 一象限，那你能推出来 a 大 于等于， a 大 于零， b 也大于零 啊，可以互相推。在第一象限， a 大 于零， b 大 于零，告诉你一个数，一个是一，一个是三，你告诉你要知道，他肯定是在第一象限，他俩是相互推。 那第二项线什么特点呢？ x 都是小于零的，但 y 呢？都是大于零的啊。同样第三项线最惨的一个项线， x 小 于零， y 也小于零。 那第四象限呢？ x 都是大于零， y 都是小于零的啊，这是第每个四个象限它的一个特点，这个大家一定要牢记于心，可以正向和反向的推啊，就第一象限两个正好啊。第二象限， 一负一正，第三象限两个负的。第四象限，一正一负。坐标轴上的点不属于任何象限， 比如说这个点，它在这个坐标轴上，它是 x 多少呢？ x 是 二， y 是 多少呢？ y 是 零， 这一个数，它不属于任何的象限，因为它是在坐标轴上。这个大家要记清楚，坐标轴上的点不属于任何象限。 那我们看点的坐标啊，对于平面内任意一点 p 过点 p， 分 别向 x 轴外轴做垂线垂足，在 x、 y 轴上的对应的数是 a 和小 b， 那 就分别叫做点 p 的 横坐标和纵坐标啊，什么意思呢？我们画一个这个坐标系 任意一点，比如说这一点，它是小 p， 然后呢，通过这一点向 x 轴做垂线， x 轴做做做做做垂线，这里有个垂线， 在 x 轴上，对应的点呢，是 a 点，同样向这点做垂线，这个是 b 点。 那么我们怎么表示这个 p 点呢？它就是 a、 b 这样来表示。那比如说这是个一，这是个二，这是个三，那就是它就是二。三， x 是 二， y 是 三。 嗯，过点 p， 向 x 轴做垂线垂足，对应的数就是横坐标。向 y 轴做垂线垂足，对应的数就是这个纵坐标，所以我们看一定是 x 在 前边， a 在 前边，横坐标在前边，纵坐标在后面。 那我们看个例题，比如说写出图中各点的坐标， a 在 哪呢？ a 在 这， a 的 坐标是多少呢？先写 x， 后写 y， 那 x 它等于多少呢？就是我们向 x 做这个垂线， 这个垂足，这个数呢，就代表是他代，就代表是他这个横坐标，那他就是负二，那 y 是 多少呢？ y 也是向这个 y 轴做垂线垂足，是负二，所以它就是负二，负二啊， a 就是 负二，负二，那 b 呢？ b， 但是 b 在 这块呢？还是一样先找 x， x 多少呢？ 对应的是负五， y 对 应的是多少呢？ y 对 应的是正四，所以说它就是负五四啊。这是 b， c 在 哪呢？ c 在 这边，还是先找 x， 找它垂直 x 的 这个是五， y 是 多少呢？ y 是 负四，那么下一个看看 d， d 在 哪呢？ d 在 这呢？ 哎，这个就看到了这个在这个坐标，在这个轴上面，他没有在象限里边，那 x 这个 d 怎么写呢？他 x 是 多少呢？ 还是向 x 轴做垂线？哎，得到的 x 是 零，那就写零， y 是 多少呢？哎，在这点向 y 做垂线是三，那就是是负三，那就是负三。 e 呢？ e 是 在这块， x 等于二， x 是 二， y 是 五， f 同样的 f 是 在这个 x 轴上边，嗯，所以它是负三， y 等于零零，就是这样来写这个坐标。大家理解这个，这个可能会后续会考那么一个简单的小题，就是说我通过这个在座，在这个直角坐标系里，这一点我要写出它的一个坐标， 反过来也是一样的，我一会咱们讲，我有这个坐标了，我在这个坐标系里把这个点标注出来啊，两个来回做。 那么记忆口诀什么呀？先横后纵，先写横坐标，再写纵坐标，用逗号分隔，加上括号，对吧？咱们之前一直都说的啊，加上小括号，然后呢，易错提示，第一，横坐标要在前边，先写 x 轴， 先写横坐标，再写纵坐标，不要漏掉括号，然后这个逗号呢，要用英文的逗号。嗯， 那这个就反过来了，在坐标系中标出一下点，这个呢，是告诉你哪个点了， 你要把它标出来，那么 a 呢？是三和二，我们刚才讲了，两个都是正的，肯定在第一象限，那就是在这呢， a， x 等于三啊，是在这， y 等于几呢？ y 等于二， y 等于二，是在这，所以这个就是 a 点， 就顺着这个 x 往上找找，找，找找到哪找到 x 等于二的这一对齐的这一块，哎，那它就是 a 点，那 b 呢？ x 等于负二负二，所以说肯定是在这一点， 那纵坐标是多少呢？纵坐标是四，那我就往上找找，找，找到四这块，哎，它的一个焦点，哎，这个就是 b 点， 然后呢， cx 等于负四，负四是在这边，然后呢，看 y 等于多少？ y 是 负一，负一是往下找，找到这边来， 这是 c， d 呢？ x 等于二，那还是在这条线上？ y 等于负三，这是负三，所以说这个点两条线的一个交点，所以说这个是 d 点。 那我们看看怎么这个解题思路是，第一，先找横坐标，就是在 x 轴上找到横坐标对应的点，然后呢，通过该点向 x 轴做垂线啊，比如说像这个三二，那我 x 就 做一个，做一个垂线吗？这不就是 通过这点向 x 轴做了一条垂线，然后呢找 y 上的坐标点， y 是 二，然后通过这点向 y 轴做垂线，你就通过这个向 y 轴做垂线，嘟嘟嘟。哎，交到这边来，两个线相交，两条垂线所交的焦点就是所求的点， 嗯，同样的道理， b 也是这样的，我们就先找出来它是负二，那我就做一条垂线，这个是四，我就再做一条垂线，那焦点就是要找到这个点 啊，这是大家需要这个牢牢记，然后并且熟练掌握的。通过点找坐标，通过坐标啊，找出点来。 嗯，那我们刚才讲到这个象限了，我们再总结一下啊，就坐标特征的一些这个情况。那么第一象限， x 轴是正的， y 轴也是正的啊，就是这个两正的。第二象限呢，我们想一想，逆时针转的 x， 它是负的，因为在原点的这个左侧， y 轴呢，是在上方是正的，所以它就是负正。第三象限，两个都是负的， 这一块是第三象限负负。第四象限呢， x 就 变成正的了，对啊， y 变成负的了，所以它是一个正负啊，大家记住这个这四个象限它的一个特征， 那我们简单做一个练习，说点 p 三和负五在第几象限。 如果说没有记住刚才这个公式的话，我们就想想， x 是 三，三在哪边呢？三在这边呢，对不对？ 我换一只颜色，三都在这边呢，然后 y 呢？ y 是 负五，负五在下侧，所以它肯定是在，是吧？第四象限啊，记住点，逆时针的一二三四，第四象限，所以它在第四象限里边。 那么第二题第二象限当中的特征是什么？第二象限哪是第二象限？这是第二象限，对吧？它是什么？ x 都是哪个是 x？ 先是横轴对不对？横轴都是负的， 纵轴呢？都是正的，所以它的特点就是负正。 然后第三题，若点 a， ab 在 第三象限，哎，在第三象限说明什么东西呢？ a 是 负的， b 也是负的，所以说 a 小 于零， d 也小于零。那么这个题我们换一下，比如说 a 在 第四象限， 这个点在第四象限，那么 a 是 大于零还是小于零呢？第四象限是在这一块， 那 a 这会是 x， 它是大于零的， b 呢？还是小于零的？ 那我们接着看坐标轴上它的点有什么特征？刚才我们讲了各个象限它的特征，那在坐标轴上，就这些线上的这些数字数据，它们有什么特征呢？ 我们看一下 x 轴的正半轴，什么 x 轴正半轴呢？就是这一块，哎，这是 x 轴的正半轴， 它的横坐标全都是正数啊，纵坐标呢？哎，全都是零，所以它的表示形式就是正数啊。逗号，零。 x 轴，负半轴呢，就是这块， 所有的这个坐标，横坐标都是负的，纵坐标还是零，所以它就是负。逗号零。同样的 y 轴呢， 我们可以看看 y 轴，正半轴是往上的这些点，这些点，所有的 x， 它都是零 啊， x 动是没有值的，都是零，那 y 呢？都是正数。反过来也是同样的道理，所有的 x 都是零，所有的 y 都是负数。那这里有一个非常特殊的点，就是圆点，圆点就是中间这个点， 它的横坐标是零，纵坐标也是零，坐标表示形式就是零，零，零点永远是一个最特殊的点。 好，那我们再做一个简单练习题，在点，点 p 在 外轴上，哎，点 p 在 外轴上， 好吧，点 p 在 外轴上边，然后呢，距离原点的距离为三，那比如说是这个点 p， 它在外轴上边，那 x 的 值肯定是零啊。首先先写一个 x 的 值等于零， 那到原点距离为三，那这时就是三，所以他是零三。哎，但是呢，大家多想一想，距离为三。咱们之前在上学期讲到了，在竖轴上，如果说距离为三的时候呢，一定要考虑一个正方向，一个负方向， 零的上边正数它有一个三，那小于零的方向呢？同样的，也有一个距离为三的这么一个数值，它就是零负三 啊，这是这个两个答案。那么看第二题，如果点 a， a 加一， b 减二，在 x 轴上说明什么意思呢？大家可以考虑一下在 x 轴上能说明什么问题？ 说明 x 是 零还是 y 是 零，比如说在这个点，在这呢，在 x 轴上说明什么东西呢？说明这个等于零。 在 x 轴上，这个 x 是 有值的， y 是 没有值的， y 等于零啊。因为我们比如通通过这一点向外做垂线啊，肯定是交到这个零点，这，所以这个 y 是 零，所以说 b 减二等于零，所以 b 就 等于二。 那反过来，比如说这个数在外轴上，在外轴上说明什么意思呢？ x 等于零了，那 a 等于多少呢？ a 就 等于负一， 负一，对吧？ a 等于负一啊。一定要知道在 x 轴，在外轴上，它代表着什么意思， 在 x 轴上面就说明 y 是 零，在外轴上就说明 x 是 零啊。要通过已知的条件，我们能推出来这个数据。好的，咱们讲一下第三题，点 m， 在 第二象限的角平分线上， 点 m， 在 它平分线上，这个点是我们设为是 m， 且到 x 轴的距离是四，到 x 轴的距离，这是到 x 的 距离等于四。则点 m 的 坐标是多少？ 这个题就稍微有点难度哈，我们说了，找一个点，它的一个坐标啊，向 x 轴做垂线下 y 轴也做垂线， 看看这个点是值是多少，看看这个值是多少。 那我们知道了 m 到 x 轴的距离为四，那说明什么呢？说明这个点是四， 大家这个一定要注意，点到 x 轴的距离其实是 y 的 值啊，到 x 轴的距离是 y 的 值，而不是 x 的 值，到 x 轴的距离是 y 的 值，到 y 轴的距离是 x 的 值。 又因为这个是，它是一个正方形，因为角平分线嘛，这是一个四十五度角，这是个， 这是一个正方形，所以呢，它到这个 y 轴的距离呢，也是四，这个到 y 轴的距离也是四，那所以这个点呢？因为它的第二象限，所以它的 x 呢，是一个负四， y 呢，是在这个正方向，所以它是个四，所以这个的坐标就是这个负四和四。 那刚才讲的这一点呢？可能有些同学他就不太明白了，为什么到 x 轴的距离是 y 的 值？那我们可以看一个，做一个这个，画一个简单的题，给大家说一下，比如说这个点吧，拿这个， 那这个零三点吧，好吧，这个零三， x 等于零， y 等于三，那就是在 x 等于零， y 等于三，是在这个位置啊，这是零三。 哎，那我们可以看看这个点到这个 x 轴的距离是多少呢？它到 x 轴的距离是多少呢？这块其实是三，是 y 的 值， 那到 y 轴的距离是多少呢？它就在 y 轴上，所以到 y 轴的距离呢？就是零， 哎，所以说到 x 轴的距离，其实是 y 的 值，这个大家理解一下，我们继续讲后边这个就等于刚才这个点了， 点到坐标轴的距离，点 x， y 到 x 的 距离呢，其实是 y， y 的 绝对值。那么点 x， y 到 y 轴的距离呢？其实是 x 的 绝对值。 这有这么一个小例题，大家可以看一看。点三负四， x 等于三， x 等于三，在这呢，我们做一条垂线， 做上这么一条垂线， y 是 负四，负四在哪？在下边这个方向负四，我们负四做一条垂线，这个焦点就是 a 点， 那么 a 点到 x 轴的距离是多少呢？对吧？到 a 点距离，其实 y 的 值就是等于个四，到 y 轴的距离呢，其实就 x 的 值等于个三，这两个是反着的，大家要记住一点， 那我们再做一个练习，点 p 五七到 x 轴的距离是多少啊？如果大家记住刚才这个公式的话呢，可以直接秒出答案，就是 x 轴的距离呢，就是 y 的 绝对值，那就是七。到 y 的 轴的距离呢，就是 x 的 绝对值等于五 啊。如果不明白，大家就画画一画对不对？ p 是 五，我们可以看。首先看一下它的第几象限， x 正的 y 是 负的，是在哪呢？是在第四象限对不对？那可能是大概是在这么一个位置啊，这是五住七， 它到 x， 这是到 y 轴的距离，哎，那其实就是 x 的 值等于五，到 x 轴的距离呢，其实就是 y 的 绝对值就等于个七，大家可以画个图自己推导一下。 那么第二题点 a 二， y 到 x 轴的距离为三，那什么是三呢？ y 是 三， y 的 绝对值等于三， y 等于几呢？ y 就 等于正负三。 那么第三题点 m 在 第二象限啊，在这个位置换一下颜色，在这个位置，第二象限到 x 轴的距离是四， 这个距离是四，到外周的距离是五啊，这个距离是五，那么它的坐标是多少呢？因为是第二象限，所以 x 一定是个负数，所以就是个负五， y 呢， y 是 正数，所以 y 是 四，所以这个答案就是负五四。嗯，这个记住这个公式就可以，它俩是反着的。 我们看一下这个提高练习判断题，点零五在 s 轴上，在不在呢？ 我们初次做这样题的时候呢，可以先画一下啊，不要着急写答案，先画一下点儿五， x 是 零， x 是 零，是在这条线上的， y 是 五，是在这儿呢， 所以说它是在哪呢？它不在 x 轴上，它在外轴上，所以这个题是错的。 x 等于零的时候呢，是在外轴上， y 等于零的时候呢，是在 x 轴上。那么第二题第三象限啊，这块第三象限 横座轴，横坐标和这个纵坐标都是负数啊，这个是对的，没有问题。 点三，负三，三负三在哪呢？ x 正的， y 是 负的，是在这个位置，它到两个轴的距离是相等的。到 x 轴的距离是多少呢？是它的绝对值，到 y 轴的距离呢，是它的绝对值，所以说都是等于三，这个也是没有问题的， 看一下综合练习已知 p 这个点 p a 减二三， a 加 e 在 第一象限， 求 a 的 取值范围，这个稍微有点难，这个因为大家可能还没有学到这取值范围这个概念呢， 我们看看它在第一项线说明什么意思呢？在第一项线说明 a 减二大于零，因为第一项线都是正数，那么三 a 加一呢？也大于零， 所以说最后会解出来什么东西呢？ a 大 于二，这个得出来什么呀？ a 大 于负的三分之一啊，一个是 a 大 于二，一个 a 大 于负的三分之一，那我们就取这个 a 大 于二的这个就可以了啊，这个最终答案是 a 大 于二。 行，那我们这个九点一就先讲到这，然后稍后呢会给大家在这个讲解一下。九点二大家先休息一下，谢谢大家。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七章相交线与平行线七点二点二平行线的一个判定，那我们这节课的主要的一个学习目标呢，就是我们能够掌握我们三种呢我们的平行线的判定办法。 然后第二个呢就是我们要理解我们在我们探索过程中呢，简单的会类证和推理，最后呢要了解我们转化的一个数学思想，我们来看一下。 好，我们上节课呢，已经学习了我们的平行线，对吧？我们在一个平面内的不相交的两条直线呢，就是平行的，这个前提是呢，我们两条直线呢是不重合的。 那我们来想一下，你如何来判断我们两条直线能够平行呢？那有的同学说了，我知道，那如果说两条直线不相交的话就平行，对吧？这是我们要用什么呀？用我们的数学符号去表示， 那我们来想一下，如果说我们用数和符号语言数学符号来表示，我们如何来写呢？那大家还记不记得我们如何来画一组平行线呢？比如说我们现在给了你一个直线，让你去画一个直线呢，和它平行，你如何来画呢？还记不记得我们当时教你的办法 是一放把我们的这个什么呀三角板放在这里，然后呢二什么呀？靠，当我们把我们的这个直尺靠在我们他的边上的时候呢？然后三移可以移任意的位置， 也就是推推任意的位置都可以。最后呢画，那是不是就能画出我们两条直线平行了呀？ 好，当我们画出 c、 d 和 ab 平行的时候，我们来看一下我们的这个三角尺啊，在我们的画图过程中起着一个什么样的一个作用呢？我们来看一下，你看这里的角一和角二是什么样的一个关系呢？数量关系呢？ 是不是角一和角二是相等的呀？也就是我们的三角尺。当你知道角一和角二相等的时候，你会发现角一和角二是我们所学的三线八角的哪两个角呢？是不是他是我们的同位角， 那此时我们是不是同位角相等呀？那当他俩同位角相等的时候，是不是我们就能得出来角一等于角二的时候，是不是 a 也就是平行于 b 了呀？那你可以再试试，比如说我们这个角和这个角是不是也是同位角呀？他俩相不相等，或者说你判断不出来的时候，那你想一下，我这个角和这个角是不是角一和角二的对顶角，那既然是对顶角呢？相等，是不是你是你俩也相等呀？ 那有由此可以证明出是不是同位角相等，两直线是平行的呀？所以说这是我们的基本事实啊，所以我们得出来第一个我们的判定办法，就是如果说呢，我们两条直线被第三条直线所截，如果什么呀？同位角相等，我们就是两直线平行。简单的来说， 同位角相等，两直线平行大家应该能理解，所以说用我们数学符号语言来表示，就是因为角一等于角二，所以 a 平行于 b， 也就是用的是什么呀？用的是同位角相等，两直线平行，对吧？ 好，那我们知道同位角相等，两直线平行，那我们来看看，那其他的内错角和同旁内角呢，是否一样能用我们刚刚的办法来判断他俩是平行的？好， 再来看，那我们来看一下直线 ab 呢，也是被我们 c 所截，然后角一和角二，你看角一和角二，首先我们知道角一和角二是内错角的关系，那你想一下 来，角一如果说等于角四的话，那角四和角二相不相等，是不是角四和角二也相等？那反过来，角二和角一相不相等，是不是也相等呀？那是不是就是说两个 是不是也就是说我们同一角相等能判断出来？那此时呢？是不是我就能证明出我角一等于什么呀？角二呀， 为啥呢？是不是角二和角四是对顶角，那角四和角一是同一角相等了，相等之后呢？你角二和角一也相等了，是不是他俩也就相等了？所以说我们就知道第二个判定办法， 两直线被第三条直线所截的时候，如果内错角是什么呀？相等，那么我们就能说明两个直线是平行关系， 对吧？用我们符号符号语言来写的话，就是角一等于角二，那么 a 平行于 b， 也就说内错角相等，两直线平行。 好，那我们已经学了两个了同位角和内错角。最后再来看一下我们的同旁内角，那你会发现呢，我们此时的角一和角三呢，就是同旁内角，那此时我们能够得到一个什么样的一个关系呢？我们来想一下， 我们已经知道角一和角二是相等的，那角二加角三是不是等于一百八十度？那你想一下，角一加角三能不能等一百八，是不是也等于一百八呀？ 所以说我们最后就能得出最后一个，也就是说同旁内角。什么呀，一定是同旁内角互补，也就是角一加角三等于一百八，那此时就是相等了，所以说我们最后能得出角一加角三等于一百八， a 平行于 b， 也就是同旁内角互补，两直线是平行的，对吧？ 所以说我们三个判定呢，已经学完了，我们来重复一下，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，以及最后一个同旁内角互补，两直线平行。好，这三个判定办法大家一定要记住，然后呢，并且呢也要会书写我们的符号语言， 那我们最后再考虑一个东西，如果说啊，我们在同一平面内，两条直线呢，都垂直于同一条直线，也就是说啊，我 a 和我的 a， 我 的 b 和 c 都垂直于 a， 那 你想一下，我们角一和角二是不是都等于九十度？那他俩都等于九十度的时候，那你想一下 b 和 c 是 什么关系啊？ 是不是 b 平行于 c， 为什么角一和角二是同方同为角，对吧？相等，那你看一下这两个，如果说他也，他是不是也等于九十度？也能用我们同旁内角互补以及内错角相等，都可以证明，是不是我们就能得出一个基本的一个事实，大家可以去按照我们这样的方法去证。 最后呢，我们得出一个结论，在我们同一平面内，如果说垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，对吧？没问题啊，垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的。 好，当我们学完之后，我们来看一下，第一道来如何能判断 ab 平行 c、 e 呢？也就是我们前面三个判定办法，对吧？第一个，角 a 和角 b 在 这里，它俩是什么？角是完全 没有关系，对吧？脚一和脚 a， 脚一和脚 a 是 什么脚呀？应该属于我们的什么呀？ 来，我把它颠倒过来啊，脚一和脚 a 应该属于什么？我们的同旁内角也不行。最后我们来看脚三和脚 b， 是 不是脚三和脚 b 是 同为角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？好，再来看一下，一个学员呢，在我们广场上练习，我们的脚 b 是 同为角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？ 好，再来看一个学员呢，在我们广场上练习，我们的车位角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？好，再来看一下。一个学员呢，在我们广场上练习，我们的广场上练习我们的方向与原来相同， 那肯定是拐了两次之后，他们的拐度拐的角度是一样的，对吧？也就是三十度，三十度应该选我们的 b。 好， 再来看他让你判断已知角一等于三十度，让你看角三等于多少度，就能证明他俩平行呀？是不是他俩是内错角的关系？内错角怎么样？内错角相等，那是不是也等于三十度就可以？ 好，那我们这节课来总结一下，我们学了四个三个平行线的判定，一个是同一角相等，两直线平行。第二个呢，是内错角相等，两直线平行。第三个呢，是我们的同旁内角互补，两直线平行，最后一个 在同一平面内垂直于什么呀？同一个直线的两条直线是互相平行的，对吧？这三个呢，判定呢，一定要记清楚。最后呢要理解。这个最后的一个是互相平行的，对吧？这三个呢，判定呢就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张，相交线与平行线，七点一点二，两条直线垂直。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，首先呢，我们要知道我们垂线的概念以及它的性质和画法。 第二个呢，知道我们的垂线段和点到直线的距离的概念，并利用它们解决实际问题，我们来看一下，首先我们来观察一下下面的图片，你能找到我们其中两条相交的直线吗？他们有什么样特殊的位置关系， 那大家在找的时候肯定能找到很多，对吧？我们观察一下这样的两条直线，你会发现它们除了相交之外，并且呢还是垂直的。再观察一下下面的两幅图，你是否还能找到呢？我相信大家能找出很多，对吧？ 好，那我们来想象一下，把两条相交的模型中呢？我们知道啊，当我们固定我们的木条 a， 然后转动木条 b 的 时候，当 b 的 位置发生变化的时候呢，我们 ab 所成的角 a 也会发生变化。我们来看一下 是不是当我转动我们木条的时候，那这个 a 呢，会随着我转动木条一直变大，对吧？那你想一下，当我的 a 等于九十度的时候，他是不是就呈现一个垂直关系啊？所以说我们就说这两根木条垂直。 好，那我们来看，当我们把两个木条画成这样的时候，或者是画成这样的时候，我们来看一下，我们一般的把两条直线所 乘的四个角中，如果说有一个角等于直角的话，那我们就能记作 a 垂直于 b， 这个呢就是我们的垂直符号，什么时候能写成它呢？就是说当它有一个角为九十度的时候，那就能记为这样， 那我们来看两条直线相互垂直呢？其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，然后它两个点，两个直线所交的这个点呢？我们叫它垂足，如图 ab 垂直，以 cd 垂足为 o， 这样 好这样的记法，然后大家应该理解什么叫做垂线，以及我们垂线如何表示，然后还有我们的垂足 来再继续我来看一下，我们知道呢，我们两条直线相交所成的任意一个角呢是九十度，那么就能那么就说他们两个垂直，那为什么呢？我们可以把这样的书写过程书写成这样， 如果因为 a o d 等于九十度，所以 ab 垂直于 cd， 所以 说我们在以后证明题的过程中呢，就可以这么写，这是我们的垂直定义。 在我们日常生活中，我们两条直线垂直呢会很常见，我们比如说我们窗户上相互垂直的木条，网球拍上相互垂直的这个网线，我们还有很多很多，对吧？大家可以举出相应的例子， 我们比如说我们马路横平竖直，对吧？我们的楼房以及我们的建筑和我们的一个湖面都是形成垂直关系。 来我们来看一下，如果让你用我们的三角尺或者两角器画一个，我们画一个已知直线 l 的 垂线，你如何来画呢？我相信大家能这样来画，对吧？那我们再来想一下， 我如果说经过我们直线 l y 一 点 b， 那 你让画一条这样的垂线，你能如何来画呢？是不是你可以这样来画呀？是不是你只能画一条呀？ 当我们画的时候，你发现了一个什么样的规律呢？他俩都能画一条，是不是？我们知道，如果说我们经过一点，不管是这个点在直线外还是在直线上，我们是不是只能画一条垂线呀？所以说我们能得到一个， 能得到一个基本事实，就是说在我们同一个平面内过一点，并且呢有且只有一条直线垂直的，这是我们的基本事实，对吧？ 好似图，当我们过点屁画我们射线或我们线段 ab 的 垂线的时候，如何来画呢？比如说第一个是不是我们第一个这样来画就可以，第二个呢？我们是这样来画，那第三个呢？第三个你可以延长 ab， 然后呢去做它的垂线就可以了。 那再来想一下，如图，当灌盖的时候呢，我们要把我们这条河的水呢引入到它，如何能使我们渠道最短呢？我们来想一下， 当我们把它画成这样的时候，也就这是河，这是我们的啊，农田，那是不是我们可以这样来做呀？过点屁做，我们 po， 也就是垂直于我们 l， 那 我们也可以这么画，这么画，但是我们会发现，是不是此时只有什么呀 po 最短呀？ 所以说我们就可以知道，当我们连接直线外一点与直线各点所有的线段最短的，简单的来说垂线段最短， 我们知道了直线外一点到这条直线的垂线段的长度呢？也就叫做我们点到直线的距离。 再重复一遍啊，就是我们直线外一点到我们这条直线的距离，我们是算哪个距离呢？是要算我们垂线段的这个距离啊，这个大家一定要记住， 那我们来看一下如何来看我们使我们渠道最短呀？是不是我们可以把我们这条河记为 m， 是 不是过点 p 来做它的垂线，此时呢，垂线的最短，也就是使我们渠道最短了。 好，那我们来看一下我们随堂检测。第一题，在我们三角形 abc 中呢，过点 b 画我们边 ac 的 垂线，下列说画法正确的是，我们来看第一个，过点 b 画 ac 的 垂线，第一个很明显不对，对吧？ 第二个呢，也不对，第三个呢，是不是也不对啊？我们正确的答案应该选 d， 是 在我们 a c 延长线上做垂线。 再来看一下，下列条件中呢，我们可以判断两条直线相互垂直的是第一个，两条直线相交所成的四个角都是直角，是不是可以判断 第二个呢？两直线相交呢？对顶角互补，那我们知道对顶角互补的话，是对顶角相等，并且互补是不是和为一百八， 是不是啊？那对顶角就是九十度，那只要有一个九十度就能判断出来两条直线相交所成的四个角呢，都相等，四个角都相等呢，也就是三百六十除以四是不是也等于九十度呀？所以说我们这三个条件是不是都能判断出来他们是相互垂直的？ 好，再来看一下，如图呢，我们点 p、 q 分 别代表两个村庄直线， l 代表两个村庄之间的一条公路，根据村民出行需要呢，计划在公路上某处设置一个公交站。第一个若考虑到呢，我们 p 村庄呢，住的老年人比较多，计划修站一个离我们屁最近的车站，那是不是我们过点屁做垂线，也就是垂线所和？我们的这个焦点为 m， 是 不是 m 点就是我们最近的呀？ 这个解释就是说我们直线外一点与直线各点的连线，所有的线段中呢，我们知道垂线段是最短的。那第二个若考虑到呢，我们的修路的费用呢？希望车站到我们的位置 p q 的 距离之和最小， 那是不是我们连接 p q， 那 与它的交点与 l 的 交点，也就是 n 点，也就是我们这两个两点之间线段最短，此时是不是我们成本就最小了呀？这道题大家一定要认真体会完。 好，那我们来看一下我们这节课的所学内容，我们主要学了一个垂线，垂线的定义。什么是垂线呢？就说当两条直线相交的时候呢，就说当两条直线相交，就叫做他们互相垂直， 并且呢我们垂直符号要会写以及垂足，我们的性质呢就是两个。第一个过一点外呢，有且只有一条直线与我们已知直线垂直性质外呢，就是我们垂线段是最短的。好，那我们这节课就上到这里，我们下节课再见。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张相交线与平行线，七点一点三，两条直线被我们第三条直线所截，我们来看一下我们这节课的一个学习目标，其实我们这节课呢，整体的一个学习目标呢，就是教大家认识什么叫做相线八角， 以及认识什么是同位角、内错角和同旁内角。在我们的复杂图形中呢，能够识别我们的同位角、内错角和同旁内角。 好，我们先来复习一下，前面我们已经学习了两条直线呢相交的情形，我们知道啊，当两条直线相交的时候，是不是会形成四个角，也就角一角二，角三角四， 并且呢，我们也知道了我们形成这四个角中有什么样的关系呢？我们知道有邻补角，比如说角一和角三，角二和角三，还有还有什么呀？角三和我们的角四和角一这样的关系呢，都叫做我们的邻补角， 还有什么角呢？是不是含有对顶角呀？我们知道我们的角一和角一和角三，角二和角四，都是我们的对顶角，对吧？ 好，这是我们上节课所学的内容，再来看一下，那我们来想一下，如果说我们的有三个直线相交的情况下，如如我们下面的图所示，你看啊，当我们 ab 和 cd 被我们 e f 所截的时候，它会形成几个角呢？ 这就是我们今天重点的内容啊，我们知道三条线所结三条线这样的关系呢，是不是存在一个三线八角，这就是我们所说的三线八角，那我们来看一下我们 ab 和 cd 呢，就是被称为被结的直线，那我们 ef 呢，就叫做结线， 我们简称我们的三线八角，所以说当大家看到一些资料写的三线八角呀，或者是大家在说三线八角的时候，就是表示这样的一种图像，好吧，大家要知道， 好，当我们知道这样的图像的时候，我们来研究一下我们这里面八个角，看看他们之间有没有什么样的关系呢？大家肯定知道角一，角三是对零角，这些是对零角，还有他是零不角，我们就不说了， 那我们关键来研究一下我们的角一和角五，那你看角一和角五有什么位置关系？好，我向大家现在想不起想不到，或者是我给大家讲一个，后面你就能想到了，那你看一下第一个。首先呢，我们知道啊，我们的角一和角五 都在 e f 的 什么呀？同一侧，也就是在它的右边，那有的同学说了，我角四和角八也在同一边，对，它们这四个角都在同一边，对吧？或者是这四个角也在同一边，这是我们能满足的第一个条件呢，就是在 e f 的 同旁。那我们再看我们第二个条件， 第二个条件呢，就是说我们要在我们 a、 b、 c、 d 的 同一侧，也就都在它的上方，那是不是这两个和这两个都在上方，这两个和这两个都在下方呀？ 但是你同时满足在它的右边，并且呢在我们的同一侧，是不是就是角一和角五，那角四和角八也是，或者说角三和角二呀？角三和角， 角二和角六，角三和角七都是，所以说我们先研究一对啊，角一和角五是不是满足这样的条件，在 e f 的 同旁，然后在 a b 的 同侧，那我们把这样的角呢叫做什么呢？叫做我们的啥？ 叫做我们的同位角？同位角大家能理解吗？所以说在让你找同位角的时候，你要知道在我们 e f 的 同旁，然后在我们 ab 四、 c、 d 的 同侧，这样的角呢，才能叫做同位角。那我找一道角一和角五，大家再找，是不是还有呀，比如说我们的角三和角七，是不是在 e f 的 同 同旁，对吧？并且呢，在我 ab 的 同侧也都在下方，角二和角六，角四和角八，都是这样的一个关系，所以说大家要认识我们的同位角，当我们知道我们同位角的时候，来 再来看一下我们其他的角，你就会找了。所以说这个同位角大家一定要理解啊，在我们 e f 的 同旁，并且在 ab 的 同侧， 再来看一下我们角三和角五。哎，你会发现呢，此时呢，他在我们 e f 的 哪两个呀？是不是不是同行了？那就是叫做在我们 e f 的 两侧， 再来看一下它在 a b 和 c d 的 同侧吗？也不在。那在 a b、 c d 的 什么呀之间，那是不是满足这样的条件，在 a、 b、 c、 d 之间，那并且呢，在 e f 的 同侧，对吧？ 不是不同侧，在它的两侧，对吧？所以说这样的角呢，叫做我们的内错角。同样的，你看角四和角六，是不是也满足我们所说的这个在它的什么呀？ e f 的 两侧，并且在 a、 b 之间，这样的角呢？我们把它称为什么啊？称为内错角。所以说我们图中有两对，那我们来看， 现在我们已经讲了两种，一个叫做同位角，一个叫做内错角，大家重复一遍，同位角呢，是在我们 e f 的 同侧，在 ab 的 同侧，那我们内错角呢？在 e f 的 两侧，在 ab 的 之间，这个大家要记住，好吧，再来看我们最后一个，所以说角四和角五，你会发现呢？第一个 来，角四和角五，是不是在 e f 的 同侧，这个应该能没问题，那并且呢，在 a、 b 之间，对吧？你看角四和角五，那角三和角六是不是也满足我刚刚所说的那个条 条件呀？所以说我们来看一下在他的同旁，在 a、 b 之间，那这样的关系的角呢？叫做我们的同旁内角，所以说这六个，这这几个角的概念，同位角，内错角以及同旁内角，大家现在如果说还没有听懂，我们再回过来去听，这几个角一直要用到我们 中考，对吧？所以说我们一直，所以说我们这几个角一定要把它搞清楚了。同位角，同旁内角和内错角，当我们来，当我们知道这几个角的关系的时候，我们来看一下第一道题， d、 e 和我们的 bc 呢？被，被我们谁啊？被我们 ab 所截，这是不是我们刚刚所说的那个 三线八角呀？当我们知道这几个角的之后，我们来看一下他问题。第一个角一和角二，我们来看角一和角二是什么呀？在我们两线之间，在我们这条线两边，所以说他是内错角，没问题吧？ 来，同样的角一和角三，那角一和角三呢？在两侧，并且呢在它的同旁，那就是同旁内角，对吧？好，角一和角四，那角一和角四是在它们 e、 d， e 和 b、 c 的 同一 同都在它上面，并且呢在 ab 的 同侧，那所谓那是不是就是我们的什么呀？同位角，对吧？好，第一道题没问题，那我们再来想， 角一和角四相等，那你想一下，角一和角四是同为角，它俩相等，那角一和角二是什么关系呢？那是不是角一和角四相等，那角四又和角二相等，那角二和角一是不是就相等了？ 同样的角一和角三，你看一下，角二和角三是互补的，是邻补角，那角一和角三是不是也是我们的邻？嗯，也是我们互补的呀，所以说这几个关系，大家根据我们之前所学的，我们的内错角，同一角以及同旁内角就可以推出来，对吧？ 一块来看一下我们的随堂检测。来，第一道题，我们来判断一下我们下列各组角的类型。第一个，我们来看一下第一个角一和角二属于什么角呢？是不是在他的什么呀？在他的同一侧，并且呢在我这两条线段的上边，所以说我们第一个角呢是什么呀？同位角， 同样的，我们来看一下我们第二道是不是？我第二道也是呀，在我们的这个同一侧，并且呢是在我的两个的 都在他的右边，是吧？所以说我们也是这样的角呢，也叫做我们的同位角，同样的第三个也是，第四个也是，对吧？那我们看第五个，你会发现呢？我们第五个呢来 是不是被他所截，你会发现呢？他所截的话，但是呢，又不是，所以说这两个之间呀，不存在任何的关系，也就是说我们他们没有什么什么样，也就是无，对吧？ 好，再来看我们的第六个，其实第六个呢，也是我们的什么呀？同位角，你会发现呢，在这两个线段的什么呀？都在他的上方，并且呢在这个线段的同一侧，所以说我们第六个呢，也是我们的什么呀？同位角。 好，再来看我们第七个，第七个，第七个是什么呀？第七个我们可以仔细的来观察一下，你会发现呢，这个和这个被谁所截呢？不管是被他所截还是被他所截，其实他两个之间都没有任何关系，所以说我们第七个应该是五，再来看我们的第八个， 我们知道是不是他和他来，他和他呢被这条直线所截，那你会发现呢，我们角一和角二在他的两侧，并且在这两个之间，那应该是我们的什么呀？内错角，大家能看明白，对吧？ 那我们第九个我相信大家已经会判断了，那你看角一和角二，会发现，角一是这里，那角二呢？是这里，他俩跟你们之间没有任何的关系，也就是我们的五。再来看我们最后一个。 好，角一和角二在这两条线段什么呀之间，对吧？并且呢在他同一旁，所以说这个应该是我们的同旁内角。好，如果大家能够把这十道题能够分清楚，我相信大家的同位角内错角以及同旁内角已经掌握的差不多。 再来看一下我们第二道题，问你角一和角二是同位角的事，那大家再想一下，什么是同位角呢？在我们两直线的同一侧，并且在 结线的同旁，所以说角一二同一侧，他的上面是不是都一样？角一二 是不是都在他的上面，然后呢在他的这边，对吧？好，那你会发现角这两个，这两个，这个肯定不是吧，那你看这个也不是，你会发现这个线和这个线如果说，呃所结，但是我和这个线的角角假假角，你会发现这有多少个呢？是不是？ 所以说不就不是我们所说的那个三角八角，所以说他也不是啊，所以说我们这道题正确答案选 a。 再来看 下列说法正确的是，我们来看一下这个呢，大家只要看仔细都能判断出来啊，你看一下，首先角一和角四，你会发现呢，角一和角四是不是被他所截呀？你看角一和角四， 来，我们来看一下啊，角一和角四是在这里，然后呢是被这个直线所截，那你会发现角一和角四他俩在我们的两侧，并且呢不在中间，所以说角一和角四什么都不是啊。 再来看角三和角四，来角三和角四，你会发现来依旧是我们这两个和这两个，那你会发现是不是来角三和角四在这两个直线之间，并且呢在他的两侧，所以说他是内错角所， 那大家能看到吧，所以说我们正确答案应该选 b。 再来看下我们第三个角五和角六，来角五，角六在这里，角五在这里，你会发现我们角六是和他形成的，角五是和他形成的， 是不是根本没有任何的关系啊？再来看角二和角五，那同样的，我角五是这条线和这条线形成的，那我们角二和角五是什么呀？角二和角五明显他是在我们两， 在我们这两条直线的中间，在他的两侧应该是我们的内错角，他说同位角是不对的啊。好，那我们来总结一下我们这节课的所学的知识点。第一个我们学了两条直线，被第三条直线所截呢，会形成我们的三线八角。首先我们来看一下结构特征， 第一个我们同位角呢是 f 型，这里为什么是 f 型呢？是不是我们在他的同侧，然后呢 在他的同旁，对吧？好，所以说我们简称为 f 型。那我们来看一下我们内错角是 z 型，是不是这两个角两侧在他之间是我们的内错角。再来看一下我们的 u 型是同旁内角，为什么呢？是我们这里是不是同一侧，两 两侧两两个线之间，所以说我们结构特征根据我们的 f z 和 u， 同位角，内错角和同旁内角，大家一定今天要把务必把这个给他记明白了啊。 好，再来看一下我们图中如果说让我们画我们三线八角，如何来画呢？可以根据老师最后的一个讲解，就是根据我们描图法看看，把两个角给它描出来， 找到两个角的公共直线，然后观察两个角的一个类型，看看到底是否是我们上面所说的同位角呀，还是内错角以及同旁内角。好，那我们这节课呢就上到这里，我们下节课再见。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张，相交线与平行线七点三，定义、命题和定力。我们来看一下我们这节课的一个学习目标。我们这节课呢，主要的一个学习目标呢，就是理解什么叫做定义，什么叫做命题，以及知道我们的定力及证明的概念，会区分命题的题设和结论。 最后呢，第二个目标呢，能够判断我们命题的一个真假，知道我们证明的意义及必要性，了解我们反例的一个作用。好，我们来看一下我们这节课。首先呢，我们来看一下 我们能不能把下面的这六句话进行分类，我们来看一下，比如说第一个，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这是我们角的定义。 第二个呢，正数的绝对值是它本身，这是什么？大家可以想一下。第三个，几个单项式的和叫做多项式，是不是我们多项式的定义啊？第四个，对顶角相等，这是我们对顶角的性质。 第五个，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一，我们把这样的方程呢，叫做我们的一元一次方程，这是不是我们一元一次方程的一个定义啊？ 最后两直线平行同微角相等，这是不是我们刚刚所学的平行线的一个性质？那下面六个语句中，你能否进行分类呢？ 有的朋友说，哎，我分不了，有的朋友说，我可以把某个某个放在一块。好，那我们学完我们今天这节课呢，你就能把它进行分类了。那我们来填一个我们的填空，比如说规定了原点正方向和我们单位长度的直线叫做什么呢？这是不是我们数轴的一个定义啊？ 再来看使方程左右两边的值，叫做什么呢？叫做我们方程的解。 再来看从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做我们的什么呀？叫到我们的角平分线，对吧？再来看直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做我们什么呀？叫做点到我们这条线段的距离吧。 那你看一下这四个有什么样的一个共同特征呢？是不是都是我们我们所学的？比如说我们所学数轴的定义，方程的定义，角平分线的定义，以及点到直线、 点到直线的距离的定义啊。所以说我们来看什么是定义呢？就是说描述什么呀？这样的描述呢，称为我们数学的数学对象的定义。他什么啊？ 揭示了我们数学对象的本质特征，也就说我们数轴的本质特征，方程的本质特征，角平分线的本质特征，以及我们点到直线的本质特征。换句话来说，那就是什么是数轴，什么是方程的解，什么是角平分线。那像这样的一个描述呢？我们称为 定义，大家能理解了吗？就是我们把一个概念进行了一个下定义，对吧？好，那我们理解定义之后呢？定义就是解释了我们数学对象的本质特征，这是我们事实存在的。 再来看一下，你能再举出一些定义吗？比如说一般的数轴上表示数 a 的 点与圆点的距离呢？叫做 a 的 绝对值，是不是定义我们绝对值的定义？ 第二个求几个相同乘数的积，叫做积的运算呢，叫做乘方，乘方的结果呢，叫做 m， 这是不是也是我们乘方的定义？还有我们的 m 的 定义。再来看由数或字母组成的代数式呢，叫做单项式，这个是不是我们单项式的一个定义啊？ 同样的，再来看含有未知数的等式呢？我们把它称为方程，这只是我们方程的定义，对吧？有公共端点的两条射线组成的图形呢，叫做角，这是我们角的定义。 再来再来一个啊，两条直线相互垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，这是我们，这是不是我们垂线的一个定义啊？好，那我们来看，当我们知道定义之后呢？那我们知道定义是事实存在的，不需要证明的，对吧？我们就给这个概念下一个定义就可以了。我们来看 等式，两边同时加一个数，结果仍相等，这句话对吗？是不是对的？我们等式的性质好。再来看对顶角相等，这是我们对顶角的性质，是不是也对？ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么我们这条这两条直线也互相平行，这是我们什么呀？这是我们平行线的一个什么推理，对吧？好，再来看，如果两条直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补， 这句话是对的，对吧？两直线平行，同旁内角互补。再来看，如果一个数能被二整出，那么他也能被四整出，这个不对吧？不一定吧，是吧？好，那我们来看，那什么叫做命题呢？我们注意啊，注意啊，一个新的概念，什么叫做命题呢？就是说 可以判断为正确的或错误的陈述语句。两点啊，就是你这句话能够进行对错的一个判断，并且呢还是陈述语句，这样的话呢，才能叫做我们的命题。那如果是正确的呢，我们称为真命题，如果是错误的成为假命题。 再来说一遍啊，就是你这样的一句话，能够进行正确或错误的判断的陈述语句，要满足两两个，第一个要能够进行判断，第二个呢，我们要是陈述语句，对吧？我们正确的呢就称为真命题， 错误的呢就称为假命题，可以吧，我们就能把它区分，前四个是真命题，最后一个呢是假命题。 那有的朋友说，那我该怎么能区分呢？如何能区分他是让我们能够判断正确的陈述语句呢？我教大家一个东西啊，就是你把这句话改写，改写成什么呢？改写成如果那么的一个 如果，那么的一个语句，你看一下，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是不是他是一个 命题，对吧？你看再来一些，如果一个数能被二整除，那么他也能被四整除，是不是他也是一个命题啊？再来看， 他说两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那我们能不能这么来说，如果两直线平行，然后呢被第三条被第三条直线所截，那么是不是 那么同方的角互补，对吧？再来看，如果两，如果同角相等，那么两直线平行，是不是当我们把我们的这些语句如果能改成这样的，是吧？那他就是我们的命题，那至于呢？那至于能否是真命题和假命题，是不是需要我们进行判断呀？ 所以说我们说啊，数学中的命题都可以，通常啊通，或者是说都可以写成我们如果那么的形式，你如果说写不成这样的形式啊，那他可能就不是命题了啊。 好，那我命题有提示和结论组成，那我们看来看什么叫做提示，什么叫做结论呢？就是说呀，我们如果后面的这个就是我们的提示，也就是说 进行我们假设条件，那那么后面呢，就是我们的结论，应该能记住啊，如果后面就是提示，然后，那么后面就是结论，然后呢？如何来判断我们一个东西是否一句话是否是命题呢？就是说能够判断 正确的一个正确和错误的一个什么呀？陈述语句，这是前提，才能是我们的命题，并且呢，我们在判断的时候把它我们一句话改写成如果，那么就可以了，那我们来改写两句吧。比如说第一个等角的与角相等，那我们如何来改写呢？是不是 如果两个角相等，那么他们两个角的与角，如果两个角是等角的与角，那么这两个角相等，是吧？ 第二个，两个锐角的和大于九十度，那如何来改呢？是不是说我们题设是两个角是等角的余角，第二个呢？结论是相等 好，如果两个角是锐角，那么它的和就大于钝角，那题设就是两个角是锐角，那我们结论就是两个角的和是大于钝角的，大家应该会改写了，是吧？好，再来看一下下列真命题中，它们的正确性是经过推理证实的吗？比如说 过我们直线外一点，尤其只有一条直线与这条直线平行，我们来想一下，第二个对零角相等，第三个内错角相等，两直线平行，是不是我们这些都是经过我们之前已经推理证明的呀？也就是事实存在的， 那事实存在的命题呢？像这样的命题呢，我们叫叫做什么呀？定理，那反过来说，只要说是定理，那一定是经过事实推论的，也就是我们的真命题，在我们做题的时候呢，就能直接用了， 也就是说在我们证明题的时候，我们用的这些就是我们的定力，对吧？并不是命题啊，好，定力可以作为我们继续推理的一个依据。在很多情况下呢，一个命题的正确性经过我们推理才能判断出， 才能做出判断，这样的一个推理过程叫做证明。再来重复一遍啊，就是什么呀？命题的正确性经过我们推理做判断，然后呢这个推理过程，我们把这样的推理过程呢叫做什么呀？证明。比如说我让你证明角一等于角二， 你是不是在那证最后证完了这样的所有的过程呢？就是你的推理过程，把它把这样的过程叫做我们的证明。大家现在应该能理解一个什么叫做证明题了，对吧？ 好，那我们试一下，比如说来，我们来证明一下，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么他也垂直于另一条。我们来看一下，大家来证明一下，第一个 a 垂直于 b， 也就是他和他垂直 bc 平行，然后 b 和 c 是 平行关系。问你啊， a 和 c 是 否垂直，让你去证明，他说求证，那一定是垂直的，那我们来证明一下。 好，那我们知道啊， a 垂直于 b， 这是题目中给的已知条件，不用任何说。再来看角一等于九十度，这个是根据什么得来的呢？大家一定要清楚啊，是根据我们垂直的定义得来的。 再重复一遍啊，是根据我们垂直的什么呀定义得来的，对吧？这个不用大家不用再解释了啊。再来看 b， c 平行，那是不是已知条件。再来看角一等于角二，这个是怎么得来的呢？是不是根据我们之前的什么呀定律得来的？两条直线平行，同位角相等，你会发现啊，我们把因为 都写的是什么呀？已知条件，所以呢，是根据我们的什么呀定义或者是定律来推出来的。大家在写证明题的时候，一定要按照这样的思路去写，所以角 a 等于九十度，这是我们等式的一个基本事实，对吧？好，再来看 来，那是不是就是 a 垂直于 c 啊，这是我们垂直的一个定义，这是我，这是我们整个的一个证明过程，所以说我们最后就能证明出 a 垂直于 b， b 平行于 c， 那 么是不是 a 垂直于 c 啊？ 来，那我们来看一下。所以说啊，我们证明的每一个过程中呢，都要有根据，不能想当然。这些根据可以是什么呀？我们来看，证明中的根据可以是已知条件， 第二个呢，可以是学过的定义也可以，基本事实也可以，定义也行，对吧？定义基本事实和我们的定义都可以啊，不能想当然 来判断一个命题是错误的，只要举出一个反例子就可以了，对吧？他不符合我们命题的提示，但不满足结论他符合提示，但不满足结论就可以了。 比如说，我们举个例子啊，相等的角是对零角。我们举个例子，比如说我们下面，你看啊， o c 平分于 a o b， 角一等于角二，但是角一已经等于角二，你说他是对零角吗？ 肯定不是吧，他说相等的角是对零角，那肯定不对的，是不是我们举出了一个反例啊？就说我们要证明一个命题是真的还是假的的时候呢？举一个反例就可以了。好， 再来看一下，那我们来判断一下下面是不是命题啊？再来重复一遍，命题是什么呀？是我们含有能够判断真假的一个陈述语句。第一个什么什么什么，然后问问号，那肯定不对吧，他是疑问句，都不符合我们的什么呀， 都不符合我们的定义。第二个，两条直线平行，有且只有一个角点，你试试能不能改成如果。那么呀，如果两条直线平行，有且只有一个角点，是不是他是对的呀？但是虽然他是一个什么假命题，对吧？好，再来看， 不相等两个角不是对顶角，他说如果两个角不相等的，那他就不是对顶角，也是一个能够判断的吧？是我们命题。再来看，如果两个 相等的两个角呢？是对角，也是命题，对吧？如果两个角相等呢？那他就是对角，虽然是假命题啊，他说取线段 a b 中点 c， 这个不是命题吧。那你 如果你不相等的话呢？你改一下，看看能不能把它改成什么呀？如果那么的语句不行的话，那就不是啊，画两条相等的线段，他也不是命题吧。 好，我们来看一下判断我们命题的真假。比如说如果同旁内角互补，他说同旁内角互补，那这个前提是吧？如果两条直线平行，则同旁内角互补吧，他肯定是错的啊，同旁内角不一定互补。 好，再来看一下，一个角的补角大于这个角，这个也不对，是吧？一个角的补角，比如说我们三十，比如说我们一百三十度的补角是五十度，那不一定比这个角大吧？举个反例就可以了啊，相等的两个角呢？是对零角，这个刚刚已经说了，是吧？ 第二个，两点可以确定一条直线，那肯定是对的，两点之间线段最短，是不是也是对的呀？这是我们基本的一个定律，对吧？好，同角的与角相等，这个也是对的，是吧？所以说大家会判断我们的命题的真假了， 那我们再来看下面如何来判断下面是不是命题啊？我们说了，如果说你能把它写成如果，那么就是了啊。我们来看第一个，第二个，第三个都可以，第四个不行，你看一下过直线外 ab 的 一点 p 做直线， ab 的 垂线，你去写，肯定写不出来。 再来看一下我们命题的真假的一个判断，看一下第一个 a 乘 b， 那 么 a 大 于零， b 大 于零，是不是也存在 b 小 于零， a 也小于零的情况？所以说这个不对。再看 a 乘 b 小 于零，他也不对啊，应该存在 a 大 于零， b 小 于零，这两种情况都存在。 第三个 a， b 等于零，他说 a 等于零，并且呢， b 也等于零，且是什么呀？两个都要满足， a 等于零， b 等于零。 不一定吧，我只要有一个等于零就可以了，就是 a 乘 b 等于零的时候， a 等于零或 b 等于零，那么他就成立了，是吧？所以说我们这道题应该选择什么呀？也是选我们的四 d 的， 大家能理解了吗？ 好，那我们来总结一下我们这节课的一个学习知识。第一个定义，什么是定义呢？就是我们的基本事实，给我们一个概念，比如说什么是数轴，什么是方程，什么是方程的解下定义。 第二个呢，什么是命题呢？就是说能够判断一件事情的一个陈述语句，能够判断正确的正，正确或错误的正确的是真命题，错误的是假命题。并且呢，我们要能够什么呀？把它能够改 改成如果，那么的语句的一般情况下呢，都可以是命题，命题包含题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论。 最后呢，我们命题的分类呢，能分为真命题和假命题，以及我们给大家说了什么叫做证明呢？就是根据我们基本事实，然后能够进行我们推理的一个过程呢，我们把它叫做我们的证明。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。