2026新版八下数学第二章是什么

呃，第七题，如图， a。 直线 a 平行 b 经过平行四边形 a、 b、 c 的 顶点 a、 b 经过平行四边形 a、 b、 c、 d 的 顶点 d。 下列结论不一定成立的是。呃， a 选项，角 一等于角四，我们可以看一下角一和角四有什么关系。嗯，我们可以利用这个角 b、 a、 d。 我 们可以得到角 b、 a、 d。 加角一加角二，它是等于一百八十度的，三个角构成一个平角， 那么角 b、 a、 d 与角 a、 d、 c 有 什么关系呢？相加也是一百八十度，因为平行同旁内角互补。角 b a、 d。 加角 a、 d、 c、 a、 d、 c。 也就是角四 加角五等于一百八十度。那么看一下，这两个角是等的，角二和角五它是内错角，角二和角五也是等的，一百八十度和一百八十度也等的， 最能推出角一等于角四，所以 a 选项是正确的，我们选择的是不一定成立的是我们再来看 b 选项， b 选项，角一加角三加角 b 等于一百八十度。我们看一下这个呢，是我们七年级学的猪蹄模型，我把它画出来 猪蹄模型，所以我们过点 b 做一个平行线，平行直线 a 也可以，平行直线 b 也可以。那这样角一就等于这个小角，角三就等于这个小角，所以角一加角三正好是角 b， 那 二倍的角 b 等不等于一百八十度呢？ 这道题显然是正不出来的，所以 b 啊，不一定是成立的。大家选择二 b， 我 们再来看 c。 角一加角三等于角四加角五，那我们看角四加角五是角 a、 d、 c。 刚才说了，角一加角三应该等于角 b， 角 b 等于角 a、 d、 c。 这是对的， 因为平行四边形对角相等，邻角互补，所以 c 也是对的。 d 选项，角一加角二加角 c 是 等于一百八十度，角一加角二角一加角二加角 c， 角 c 呢，是等于角 b、 a、 d 的， 所以说角一加角二加上角 b、 a、 d 正好是一百八十度。这道题也是对的，所以答案选择二 b。 我 们来看下一题。 第八题如图所示，设点 p 为平行四边形 a、 b、 c、 d 内的一点三角形 p a、 b 三角形 p、 b、 c 三角形 p d、 c 三角形 p d、 a 的 面积分别记为 s 一、 s 二、 s 三， s 则有。嗯， a 选项 s 一 等于 s， b 选项 s 一 加 s 二等于 s， 三加 s 四， c 选项 s 一 加 s 三等于 s 二加 s 四， d 选项以上都不对。嗯，我们来看一下这道题面积 s 二加 s 四，它的这个面积我们可以，因为这个平行四边形它的对边相等，我们分别以 ab、 a、 d 和 bc 为底，这个高呢？过点 p 做垂直，老师记做 h 一， 这个过点 p 做垂直，老师记做 h 二。 所以说，最后 s 二加 s 四的面积，它就是等于二分之一， a、 d 乘 h 一 加二分之一， bc 乘 h 二。 由于 a、 d 和 bc 相等，那老师就换成一个，把它提出来。二分之一 a、 d 括号 h 一 加 h 二。那么可以观察 h 一 加 h 二呢？其实就是 a、 d 和 bc 这两条平行线之间的一个距离， 所以老师将这个距离记作 h 二分之一， a、 d 再乘 h 这样的一个距离，两条平行线之间的距离，那么也就是这个平行四边形的高。 所以最后我们能得到 s 二加 s 四，就是等于平行四边形 a、 b、 c、 d 面积的一半。 同理呢，我们也可以得到 s 一 加 s 三，也是这个平行四边形面积的一半。所以最后答案选择 c 选项， s 一 加 s 三等于 s 二加 s 四。第九题。

八、下数学难度知识点总结寒假提前预习，开学领跑全班。第十九章二次根式知识点一，根式的概念知识点二，根式有无意义的条件 知识点四，代数式知识点六，根式的除法法则知识点七，最简二次根式知识点十，二次根式的混合运算第二十章勾股定律知识点二，勾股定律的证明知识点三，勾股定律的应用第二十一章四边形以上资料均有电子版。

大家好，我们就来看第二章不等式与不等式组。首先我们来看第一个知识点，不等式的概念。什么叫不等式呢？ 是用不等号把式子连接起来，就叫做不等式。其中的不等号包括大于小于、大于等于小于等于，甚至包括不等于号，这就叫做不等号啊。 好，我们根据概念来做题。第一题，下列式子，其中式不等式的是哪个？第一个，小于等于没问题，他至于他对不对啊？结果对不对都不正确，都都都不万解啊。你比方他写什么负二大于等于零， 他这个不等式虽然不成立，但他是不是依然满足不等式的这个概念对不对？所以他跟他没有关系啊。 x 加 y 大 于零，确实用不等号连接的，这是等式，它不成立，对吧？所以第二个也正确，第三个错。第四个， x 加 y， 它是一个， 它是一个多项式，也是一个整式，也是一个代数式，但它不等，叫做不等式，因为它连不等号都没有，这个有不等号也是，所以一、二、五都是不等式，所以应该选三个，选二 b 选项就可以了。 第二题， y 与二的差不大于零， y 与二的差呢？就是 y 减二差不大于。不大于等于小于等于等于小于等于等于小于等于等于小于等于小于等于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于。 第三题用不等式表示下列各式， a 的 五倍超过一，那就是五。 a 超过一了，就大于一。 x 减去 y 小 于三小于负三啊。 x 减去 y 小 于负三 a 的 二倍，那就是二。 a 与一的和与一的和加一是正数呢，就大于零。 x 的 六倍呢，就是六。 x 加上四加上四是非负数，非负数应该是大于等于零的。好了，这就是第三题， 我们今天看第四题。小林去水果摊上买四千克的苹果，摊主称了几个苹果，说，你看秤高高的，如果设苹果的实际质量是 l 千克，用不等式把这个高高的意思表达出来。 其实这个高高的这个表示方法呢，是去年的，不知道哪一个省的一个叫什么，就是自招卷里面的。

好，我们今天看八下，今天继续看八下。第二章不等式与不等式，我们来看题，如果不等式， x 加一加一的绝对值加上 x 减二的绝对值大于 a， 它对任意的实数都成立， 然后问 a 的 取值范围，那么这个题很明显，它是属于什么？属于利用绝对值，然后来求这个含餐的参数，对吗？我们在七年级的时候，我们学过一个什么 绝对值的几和一对吗？ x 加一的绝对值加上 x 减二绝对值，它代表的是什么意思？我们来看一下 它是不是意味着对于数轴上的点 x， 它到负一和二之间的距离之和。那么根据我们七年级学过的，我们知道 数轴上任意一点到负一和二，它的距离永远是大于谁的？永远是大于这个负一到二之间的距离，也就意味着什么？也就意味着 x 加一的绝对值加上 x 减二的绝对值，它是永远大于三的。大于等于三， 七年级绝对值的几何意义还能想起来吗？好，当我们理解了绝对值几何意义之后，那么很明显，它本身大于等于三，而在这里边它是大于 a 的。 如果需要对任意的 都成立，那么 a 必须怎么办？ a 是 不是应该小于三？ 能理解吗？这第一个利用好看。第二题， x 加一的绝对值小于等于二，那么再 x 大 于等于一，小于等于二，是横乘以，那么我们通过 x 加 a 的 绝对值，它小于等于二，对吗？那么根据绝对值的 一定一，我们会知道 x 加 a， 它一定是大于等于负二，小于等于二的，没问题吧？那么根据这，因为 x， 它大于等于一，小于等于二，那么很明显 x 加 a， 它大，一定是大于等于一加 a 小 于等于二加 a 的， 这个应该也没有问题。那么我们现在来比较一下，比较一下什么？ 它需要横乘以，那么意味着一减 a 和负二是什么关系？ 来看一下 这个一加 a 需要怎么办？ 它是不是必须大于等于负二同时呢？这个二加 a 它是不是要小于等于二，必须同时满足这两个条件的时候才会有？ 在 x 大 于等于一，小于等于二十横乘以，能理解吗？所以这会有 a 是 a 大 于等于负三小于等于零这个题。两道题其实考察的都是利用绝对值的几何意义，然后来求这个 不等式的参数。我们知道在八八下的时候，那陡然难度就增大了。在不等式这里边，其实 就以它为例， a 与三的关系，包括这个题里边一加 a 与负二，或者二加 a 与二，他们之间的大小关系是很容易判断的。 易错点在哪？易错点在于它到底是大于还是大于等于，也就是这个点包括不包括这个是我们在实际 教学改题里边经常出现的丢分点，就 在于这个端点包不包括。好，今天的内容就是这些看。

同学们大家好，今天带大家讲解一下八点一、平行四边形第一课是平行四边形的概念与性质。第一题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 加角 d 等于一百度，则角 a 的 度数。 我们知道平行四边形，它的对角是相等的，角 b 和角 d 是 对角，相加等于一百度，那么角 b 和角 d 就 应该等于五十度， 角 b 等于角 d 等于五十度，那角 a 和角 b 是 菱角。平行四边形，因为对边平行，所以菱角相加一百八十度，同旁内角互补嘛，所以角 a 的 度数就是等于一百八十度，减去五十度等于一百三十度。所以答案选择四 d。 第二题，如图啊，在 a、 b 平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b、 c 等于六，分别以 b、 d 为圆心，以大于二分之一 b、 d 的 长为半径画弧，他做的这个 使规则图应该是做的 b、 d 的 垂直平分线。那我们根据垂直平分线的性质呢？垂直平分线上的点到线段两个端点的距离，端点就是 b 点和 d 点，两端点的距离是相等的，所以我们得到 b、 e 和 d、 e 是 相等的。 之后呢，两弧分别分分别相交于 m、 n 做直线， m、 n 交 a， d 于点， e 交 b、 c 于点 f， 则三角形 a、 b、 e 的 周长。那我们看三角形 a、 b、 e 的 周长啊，等于 a、 b 加上 am， 再加上 b、 e， 那 我们知道 ab 的 长度是四， bc 的 长度 bc 对 边相等。平行四边形记 ad 的 长度也是六，那把它转化一下， ab 等于四，四加上 am， b、 e 呢？我们刚才知道是等于 dm 的， 所以最后就等于四加 ad， 也就是四加六等于十，所以答案选择二 b。 我 们来看一下第三题。第三题 如图啊，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b、 d、 c 的 平分线交 a、 b 于点 e， 若 a、 d 等于二，则 b、 e 的 长度 我们的我们知道平行四边形对边平行平行呢，再加上角平分线一定会出现等腰三角形，平行加角平分线一定会推出等腰三角形， 就说这三个条件，你得到两个都能推出其中的一个，那我们来看一下是怎么推出来的。由于啊，角 b、 c、 d 的 平行线 ab 交啊交 ab 于点 e， 所以 角 e、 c、 d 等于角 b、 c、 e 再加上 ab 平行于 cd， 所以 角 d、 c、 e 就 等于角 c、 e、 b。 那 么 这两个角就是相等的，所以三角形 bce 为等腰三角形，则 b、 e 的 长度 b、 e 的 长度我们就可以得到等于 bc 等等角对等边，那么也就是等于 a、 d 的 长度为二。第四题 如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，过点 d 作 d， e 垂直， ab 垂足为 e， 过点 b 作 b， f 垂直 a、 c 垂足为 f。 若 ab 的 长度是六， a、 c 的 长度是八， d 的 长度是四，求 b、 f 的 长度，即使我们得有两个垂直，那我们就可以想到利用面积来做平行四边形的面积是等于呃底乘高，那我们通过计算呢，可以得到 四边形 a、 b、 c、 d 的 面积是等于 a、 b 乘 d， e、 g 六乘四等于二十四，那我们看一下已知条件 a、 c 等于八 d、 f 的 长度 b、 f 的 长度 b、 f 是 a、 c 边上的高，那么三角形 a、 b、 c 的 面积可以表示出来 g 用 a、 c 乘 b， f 乘二分之一等于四倍的 b、 f， 那 四边形 a、 b、 c、 d 的 面积与三角形 a、 b、 c 的 面积有什么关系呢？应该是二倍的关系。所以呢，四乘上 b、 f 这个三角形的面积，再乘以二，就应该等于二十四，所以 b、 f 是 等于三。 我们来看下一题。第五题。第五题。

啊啊啊。

好，我们继续来学习第九十五页关于正方形的判定以及构造。首先第一题如图告诉的是四边形 a、 b、 c、 d 中满足的是角 a、 d、 c 是 等于四十五度的，那四十五度我们首先想到的是等腰直角，那目前是没有的啊。 接着给的是 a、 b 和我们的 b、 c 是 垂直的，提供的是直角三角形 a、 b、 c 的 长度为三，所以勾股定律得到 a、 c 长应该是等于五的。 接着给的是 b、 d 是 角平分线平分角 abc 也就提供的是角 d、 b、 m 以及角 d、 b、 c 都是等于四十五度的，四十五度相等腰直角 刚好后面给的是 d、 m 是 垂直，然后呢， d、 n 也是垂直于 bc 的， 那这个地方的垂直和我们的四十五度结合，可以得到的是 m、 b、 d 是 一个等腰直角三角形，然后这里面的 m、 n、 b、 d 也是一个等腰直角三角形。再一个就是角平分线上的地点往角的两边做了垂直之后，所以有这里面的 d、 m 和我们的 d、 n 是 相等的， 进而也就和我们的 b、 n 以及 b、 m 也是相等的。四条边都相等好，并且有直角，从而说明我们的四边形 d、 m、 b、 n 它应该是一个正方形 好可以用矩形加上零边相等，或者是四条边相等加上一个直角都是可行的啊，层层叠加的这样一种方式判定正方形。 接着让我们求的是 b、 d 的 长度，要求 b、 d 的 长度，实际上就是求正方形的边长，那要求正方形的边长 ab 已知可以求 am， bc 已知可以求 cn， 那目前 amd 暂时只有一边是一呃，暂时是没有边是已知的，包括 cn 所在的形暂时也是没有边，是已知的，所以现有的图形是没有办法直接去求这个边长的， 那这个时候就是四十五度，那 a， d、 c 这样一个角等于四十五度，它所在的位置就是正方形的直角顶点 m、 d， n 的 位置，所以它形成的是我们的一个正方形的一个夹板角的这样一个图形 好，正方形的夹板角的这个图形的话，在我们前面的八十六页是有对应的专题，可以去重新巩固一下，用到的是我们的四十五度还原九十度，也就是过这个地方的地点，做 da 的 垂线往上，或者是做 d， c 的 垂线往下，都是可行的啊， 好到达一点啊，这个跟我们的 b、 n 的 延长线交一点，比如说 p 点好，那这样的话形成的就有三角形好。交代一下，简单的一个辅助线啊，也就是过 d 点啊，做 d p 是 垂直于 d a 的， 然后是交 b， n 延长线于 p 点 好。一旦做了垂直之后，形成的共立点的角相等，加上正方形的 dm 和 d n 边相等，以及 m 和 n 点处的直角，就能够得到的是三角形 d， m， a， 它应该是全等于三角形 d， n， p 的 判定方法的话，应该是 a s， a 正得全等之后是可以得到 a m 这条边，它就应该是等于 n p 的 好。假设这条边长为 x， 那 么 n p 的 长度应该也是等于 x 的 好，那除了有一组旋转的全等，另外一个做了垂直之后，提供另外一个四十五度角， 跟我们已知的四十五度角形成的就是 dc 是 公共边两个四十五度以及全等带来的还有 da 和我们的 d p 是 有相等的关系啊。 好，所以接下来就是一个新的对称的全等边角边的对称全等，也就可以得到的是三角形 dca， 应该是对称全等于三角形 dcp 的 判定方法应该是 sas 好， 正得全等之后的话，就可以得到我们的这个已知条件里面得到的 a c 这条线段，它应该是等于 pc 是 等于五的 好，进而也就可以得到 c n 的 长度是五减 x 好， 那接下来的话就是建立等量关系好，借助正方形的边相等来建立等量关系即可啊。也就是因为 b m 是 等于 b n 的 好，所以得到的是四加 x， 应该是等于三，加上五减 x 好，从而计算得到 x 的 值是等于二的，那 x 一 旦等于二，就可以得到我们的正方形的边长，比如说 b m x 加四，也就是六，接着对角线 b d 的 长度，那就应该是等于六倍的根号二 好，所以这个地方就是还原出一个正方形之后，然后呢，形成的是正方形的一个夹板角的一个基本图形。 好，接着我们来看第二题，第二题告诉的是在三角形 abc 中啊，角 c 是 等于九十度的，提供的是一个直角三角形， 接着角 b a， c 的 角平分线，那角平分线提供两个角相等，以及角 abc 的 角平分线 等。角可以设参数，比如说两个 r 发角，两个贝塔角 r 发和贝塔之间是有关系的呃，二 r 发加二贝塔是等于九十 r 发加贝塔等于四十五度，提供 g 点，这有特殊的一百三十五度角，如果有需要可以拿来用。 好，接着给的是找这个地方的 g 点做的 g e 垂直于 bc， 角平分线 b， g 是 角平分线，角平分线上的点往角的一边， bc 有 垂直，那可以考虑往另外一边做垂线。 同样的， g， f 是 垂直于 a， c 的， 往一边有垂直，可以考虑往另外一边做垂线好，那接下来第一个让我们求证的是呃，四边形 g， e， c， f 是 一个正方形，那目前借助题目条件提供的垂直以及直角， 那提供的，首先它是一个矩形，三个直角，先判定矩形，矩形再加上邻边相等，就可以判定正方形，那就是证明 g e 等于 g f， g e 是 角平分线做的垂直。所以接下来过 g 点，继续往角的另外一边也要做垂线，好，那这个时候垂足假设为 d 点 好，解一下它的一个分析过程。第一个胶带辅助线过 g 点做垂线 好，找 g 点做， g， d 是 垂直于 a， b 于 g 点啊，于 d 点啊，那这个时候因为角平分线，因为 a， g 是 角平分线啊，平分角 b， a， c 好。 另外一个的话就是 b， g 也是角平分线啊，平分的是角 abc， 利用角平分线的性质，可以得到的是 g， d 应该是等于 g f， b， g 是 角平分线，可以得到的是 g， d 是 等于 g， e 的， 然后呢，进而也就可以得到 g， e 是 等于 g， f 的， 再加上我们本身的三个直角好，所以这样的话就是呃，得到啊，就是角度啊，也就是 g e， f 等于角 g f e， 然后呢，等于角 c， 也就等于九十度，好，从而说明四边形应该是一个矩形 好，首先说明 g， e， c， f 是 矩形，有三个直角啊，然后呢，进而借助邻边相等得到它是一个正方形 好。接着我们来看第二小题给的 a、 c 的 长度是等于四的， bc 的 长度是等于三的。那这个时候，首先勾股定律，在 r、 t 三角形 abc 中 好，利用勾股定律，我们是可以得到 ab 的 长度应该是等于五的。接着让我们求的是正方形 g、 e、 c、 f 的 面积，前面第一问已经判定的它是一个正方形的面积，就等于边长的平方，也就是要求它的边长 好，那要求边长的话， c、 e 和我们的 c、 f 是 相等的，并且根在我们的已知的边上。那我们不妨假设 c、 e 等于 c、 f， 假设为 x 好， 那这两条边长为 x 的 话，共线运算是可以得到 b、 e 的 长度是等于三件 x。 进而同样的啊， a、 f 的 长度是等于四减 x 的， 而这个地方的 b、 e 这条线呢，往其里面放 b、 e、 g， 它和我们的 b、 d、 g 是 有一个对称全等的这样一个关系好，借助对称全等，我们是可以得到 b、 e 等于 b、 d， 也就等于三减 x。 同理，这个地方的 a、 d 和我们的 af 也是有一个对称相等的关系，四件 x。 接着在 a、 b 这条边上进行共线运算，建立方程，进行求解。好，所以这个地方用到的是我们的这个全等，也就是三角形 b、 e、 g 好， 它是对称全等于三角形 b、 d、 g 的 好判定方法的话，就是 a、 a、 s 好，正得全等之后是可以得到 b， e 等于 b， d 等于三减 x 好。 另外一个的话，就是三角形 a、 g、 f 应该是全等于三角形 a、 g、 d 的 判定方法也是的 a a、 s， 进而也就可以得到的是 af， 是 等于 ad 的， 等于四减 x， 进而也就可以得到 ab 的 长度，它是等于呃 b d 加上 ad 的 好，那代入数据的话， ab 长是已知的，等于五，刚刚已经勾股算过了， b d 的 长度是等于三件 x， 然后呢， ad 的 长度是等于四件 x， 从而计算得到 x 值是等于一的，也就得到我们目标带球的四边形的面积， 它是一个正方形啊，所以它的面积就等于呃边长的平方，也就是 x 的 平方，结果是等于一的好，这是种想法啊，那另外也提供一个想法，就是求我们的边长，那这个时候 c e 和 cf 相等，并且等于 g e 和 g f 啊，也等于 g d， 那 这样的三条线段，在这个三角形中，它是可以充当高。好，所以这个地方目标带求的这条边长，因为是垂线段， 这个也是在几何图形里面用的比较多的一种求垂线段的一种方法啊。垂线段在几何图形里面是可以充当高，而高是用来求面积的。 好，那这个时候以 g、 d 为高，选择以已知的 ab 为底，表示的是 ab 的 面积，那以这个地方的 g、 e 为高，以已知的 bc 为底，表示的是 ab 的 面积， 而这三个图形的面积是有关系的，面积之合是整个呃三角形 a、 b、 c 的 面积。好，所以这个地方啊，是可以借助面积来建立等量关系啊。 好，我们简单写一下啊，也就是三角形 a、 b、 c 的 面积，它是可以表示为三角形 ab 的 面积，加上三角形 bc 的 面积， 然后再加上三角形 a、 c， g 的 面积，以此用面积公式啊，那这个时候的就可以得到应该是二分之一的 ab， 然后呢乘以 g、 d， 接着是二分之一的 bc， 然后呢乘以 g、 e， 接着就是二分之一的 ac， 乘以 g、 f， 而这个地方的 g、 d， g、 e 和 g f 都是相等的，所以这个时候就可以把它提供音式啊，相当于是二分之一的 a、 b， 然后呢加上 b、 c， 加上 a、 c， 然后呢乘以 g、 e， 或者是说乘以 g、 f 都可以啊，那这个时候的这个 a、 b 加 b、 c 加上 a、 c 三边之合实际上是周长，也是经常会用到的一个基本的结论啊，就是此时的三角形 abc 的 面积， 它等于三角形 a、 b、 c 的 周长，二分之一的三角形 a、 b、 c 的 周长乘以这个呃，三条角平分线的这个交点到各边的这个距离啊，所以这个时候是可以选填里面的话就直接拿来用啊，也是一个基本的结论啊。 三角形 a、 b、 c 的 面积，二分之一底乘高，二分之一乘三乘四，那这个时候的周长是三边之合都是一致的，从而求出 g、 e 的 长度，进而求面积也是可以的啊。 好，接着我们来看第三题，第三题给的信息是，在我们的四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 和 b、 c 是 平行的，平行是可以用来倒角的。接着给的是 b、 c、 d， 这个角等于九十度，那么平行倒角角 d 应该也是九十度。 接着给的是 a、 b 加等于 bc， 加上 a、 d， 那 出现的线段和差是有一种截长不断的想法。当然先这个往后分析啊， 接着给的是 d， a、 c 等于四十五度，四十五度是想等腰直角三角形刚好跟我们的地点处的直角形成的。 a、 c、 d 是 等腰直角，那 c、 d 的 长为四的话，可以得到 a、 d 的 长度也是等于四的。 接下来让我们求的是 bc 的 长度，那 bc 往斜面放的话，呃，目前是 bca， 暂时不是直角三角形，求线段长度。我们首先想到的是勾股，那既然 bc 不 在直角三角形里面，但是注意一下啊，还是体会的是一种方程的想法。题目条件里面是有 bc 的， 那要求线段长度方程的想法，不妨假设 bc 长为 x， 那 这样的话，我们的已知条件里面的 ab， 它是等于 bc 加 ad， ad 是 等于四的，所以 ab 的 长度就应该是等于 x 加四。 但是目前的这个 x 和我们的 x 加四并不在直角三角形里面，所以我们可以选择做垂线啊，这个做垂线的方法是不为一的啊。第一个特殊的就是放在本专题里面，他的想让我们做的是一个正方形，也就是过 a 点去做 b、 c 的 垂线，把它们放在直角三角形里面， 好交这个地方的 cd 的 cb 的 延长线于点啊。好比如说这个垂足为 e 点的话， 好，那这样的话形成的是，呃，这个 a、 d、 c、 e 应该是一个正方形啊，因为首先四三个直角是矩形，加上邻边相等，它是一个正方形，正方形的边长为四，那么 b、 e 的 长度就是四件 x。 那 接下来就是在我们的 r、 t 三角形 a、 b、 e 中建立勾股的方程，好，那就得到的。是 啊，把这个方程简单写一下啊，也就得到的是四减 x 的 平方，然后加上四的平方，应该是等于 x 加上四的平方括号去掉，得到的是一个关于 x 的 一元一次方程。好解，这个一元一次方程，我们可以得到对应的 x 的 值是等于一的 好，也就得到目标带求的 b、 c 的 长度是等于一的，当然除呢是过 b 点做垂线 啊，那做完垂直之后形成的我们的 bc， 那 在右边啊，形成的是有一个矩形，那么 bc 边就可以转移到我们的 d、 f 的 位置， d、 f 就 应该是 x， 那 么共线运算 af 就是 四件 x 好。另外一个的话就是 b、 f 是 等于四的，等于 c、 d 矩形的对边相等。那接下来就是在我们的 r、 t 三角形 a、 b、 f 中建立一个勾勾的方程啊，也是可以的啊，求出 x 的 值是等于一的 好，接着我们来看第四题，第四题告诉的是三角形 abc 中 a、 d 是 bc 边上的高，好提供的是有两个直角三角形，接着给的是角 b、 a、 c 这个角度是等于四十五度的。四十五度还是讲等腰直角，它目前有直角，但是并没有形成等腰直角。 接着给的是 a、 d 的 长度是十八， c、 d 的 长度是等于六的，那首先形成的直角三角形勾股定律可以去求 ac 的 长度， 那 a、 c 的 长度六乘一，六乘三，六倍的根号十，那要求的是三角形 a、 b、 c 的 面积，面积等于二分之一底乘高。好，那首先想到的是因为 a、 c 可求，所以有同学可能会想，能不能说做 a、 c 的 垂线，也就是过 b 点去做垂线 好形成的是由等腰直角三角形。好，那这个等腰直角三角形的话，这个暂时没有边是已知的， 这种方法是可行的啊，但是阶阶段的知识点暂时没有办法去这个用啊，因为这个是涉及到以后九年级的相似， 就是这个地方的三角形 c、 a、 d 和我们的 c、 b、 h 是 有一个相似的关系，两只角边比是一比三，所以 c h 和 b h 应该也是有一个一比三的关系。 x 三 x a h 是 三 x， 那 a、 c 长六倍的根号十是可以都求出来的。 好，这个作为一个了解啊，暂时不建议大家这样去用。好，那接下来用我们现有的知识如何来进行处理啊？ 那这个地方出现的是有四十五度，那这个四十五度角的话，呃，暂时直接做等腰直角是行不通的。这个四十五度角它是分成了两个部分，一个是 b、 a、 d， 一个是角 c、 a、 d。 好， 这两个角我们假设分别记作阿尔法角和北塔角的话， 那这个时候两个角所在的这个形都是直角三角形，所以这个地方它是有一个直角三角形对称，把角进行加倍，也就是我们要让四十五度跟九十度来产生联系，做等腰直角形不通，那就直接还原九十度。 所以第一个是把我们的 r 角所在的 a、 d、 b 这个三角形沿着 a、 d 进行对称翻折啊，那就相当于是做地点，然后呢，关于 a、 b 的 一个对称点 啊，辅助线的描述的话，就是做地点，关于 a、 b 的 一个对称点，比如说到达一点 e 点啊，好，从而实践把我们的 a、 d、 b 这个三角形进行一个对称翻折到 a、 e、 b 的 位置 啊，就是，呃，直接把这个三角形进行一个对称翻折。好，那这样的话 a、 e 的 长度就是十八，然后呢，角度对称 r 八角以及我们的直角分别进行对称。 好，同理的话这个北它角也要进行对称加倍，那就做地点，关于 a、 c 的 一个对称点，比如说到达 a 点 f 点，相当于是把这个 a、 d、 c 这个三角形对称到我们的 afc 的 位置。 好实现的把这个地方啊，第一个呃角度 r 角对称的，直角对称的，以及我们的已知的 d、 c 这条边对称转移到了 cf 的 位置。 好，那这样的话就得到的就是呃，这个 a、 f 也是十八啊，已知的边也对称的 好。另外一个就是角度，两个 r 发角，两个 b， 大 角提供的角 e， a、 f 是 等于九十度的，那这样的话 e 点的九十， f 点处的九十以及 a 点处的九十，这三个九十度集中到形里面延长相交形成的是有一个矩形， 并且是有零边相等，所以形成的是有一个正方形，所以接下来的话就是延长此时的 e、 b 和我们的 f、 c， 然后呢交于 d m b， 我 说 h 点 好，形成的应该是有一个正方形。好，那这个正方形里面的话，接下来我们要求的是呃 面积，那面积的话高是 a d， 那 就是求 bc 的 长度， bc 角形就是 bch 啊， bch 这个图形里面，因为目前有正方形的十八，那这个时候的 e、 h 也是十八， 然后呢， f h 也是十八，那进而共线运算的话，是可以得到我们的 c h 的 长度应该是十八，减去六，也就是十二。 好，那接下来的话就是一种方程的思想啊，求 b d 的 长度 x， 那 么 b e 就是 x， b、 h 就 应该是十八减 x， 那 接下来就是在我们的 r、 t 三角形 b、 c、 h 中建立勾股的方程，两者角边长，一个是十八减 x， 一个是十二，那斜变的话是 x 加上六的平方，好，从而得到一个关于 x 的 方程。把括号去掉，得到的是一个关于 x 的 一元一次方程，那解这个一元一次方程，我们可以得到对应的 x 的 值是等于九的 x， 一 旦等于九，那就得到 bc 的 长度是等于 x 加六，也就是十五，从而得到我们目标带球的 a、 b、 c 的 面积，那就是以 bc 为底，高为 a、 d， 代入数据二分之一， bc 是 十五， a d 是 十八，从而计算得到面积应该是一百三十五度 啊，一，面积是一百三十五，好，这是一种想法，就是把这个地方的两个直角三角形分别进行对称翻折，实现角度的加倍以及边的对称转移。后面就是一个勾股，求线段长度，好，那另外提供一个想法，就是也是一个夹板角的， 这个最终形成的实际上是一个正方形的夹板角的图形啊。这个夹板角的相关结论的话，在我们的八十六页有正方形的夹板角的相关专题，可以去重新巩固一下啊。 另外一个就是等腰直角三角形的夹板角，好，这个地方怎么去处理啊？就是因为本身这个图形里面它是有九十度的，并且是有已知的四十五度角， 好，我们还是先把条件标一下啊，十八六，然后呢要求这个面积实际上就是求 b、 d 的 长度啊。 啊，那这个地方的四十五度，我们想等腰直角，也就是用构造等腰直角，但是直接用我们的这个四十五度做等腰直角，刚刚试过这个方法，限阶段不好使啊。好，那这个时候就是图形本身是有九十度的，那我们不妨直接用现有的这个九十度。 好，用现有的这个九十度，然后呢直接去构造直角三角形 啊，那这个时候就是，呃，这个地方用已知的 d、 a 这条边以及地点处的六。呃，这个九十度，那第一个就是以 d、 b 为边，往 d， a 为边，往左边做一个等腰直角三角形，比如说 a、 d、 e。 好，他是一个等腰直角三角形。另外一个同理的话，在这个右侧以这个 a、 d 为边做一个等腰直角三角形，比如说 a、 d、 f， 那 做出来之后形成的是一个大的等腰直角三角形啊，也就这个地方的 d、 e 的 长度是等于十八的， d、 f 的 长度也是等于十八的，那这样的话，形成的这个大的啊，就是 a、 e、 f， 他 应该也是一个等腰直角三角形，因为 e 点和 f 点的位置都是四十五度角。 好，那这样的话形成的是一个等腰直角三角形的夹板角啊，这个等腰直角三角形的夹板角，在我们前面也是有相关的专题啊，勾股里面四十五和四十六页可以去重新巩固一下，那这样的话，一旦延长相交之后啊， 形成的是这个等腰直角三角形的夹板角，那它的做法还是一个还原九十度，那就是过这个地方的 a 点去做 ab 的 垂线往右，或者是 ac 的 垂线往左，都是可行的啊，那这个时候做垂，然后呢，使得这个地方的 ap 和我们的 ab 相能且垂直， 要形成形的话，连接此时的 p f。 好， 那这个时候的辅助线的话就是做垂线啊，好，这个具体的过程我们就不完整的半数了，形成的共半径的角相等，进而可以得到的是三角形 a b e 应该是旋转权等于三角形 a f p a p f 的 好。判定方法的话就应该是 s a s 正的全等之后是可以得到 b e 这条边应该是等于 p f 的 啊，另外是有一组对称的全等，也就是四十五度。然后呢，加上我们的公共的 a c 以及 ab 和 a p 相等，有一组对称的全等啊，也就是三角形 a c b， 它应该是对称全等于三角形 a c p 的。 好，那这样的话就是也是 s a s 的 一个全等，全等完了之后可以得到 bc， 这条边应该是等于 pc 的。 接下来也是一个方程的想法好，假设这个地方的 b d 目标带球的 b d 长为 x， 那 这样的话我们就可以得到 c p 的 长度是 x 加六， 另外一个 b e 的 长度共线运算是十八减 x， 所以 p f 应该是十八减 x。 另外这个地方的 c f 是 用我们的十八减去 c d 的 六，所以结果 c f 应该是等于十二的。那接下来就是在我们的 r t 三角形 p c f 中建立一个勾股的方程，从而求出来 x 的 值是等于 呃九的。然后呢，后面一样的方法啊，得到我们目标带球的 abc 的 面积，所以一个是还原成正方形的加班角的图形进行勾股计算，一个是把它还原成我们的等腰直角三角形的加班角的图形进行相关的线段的计算以及勾股的计算啊。

八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的，什么都没有。可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句做翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注，用来预习非常好用，快给孩子准备一本吧！ 八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的什么都没有！可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句做翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注。

好，我们继续来学习第一百页关于剪接与拼接的问题啊。首先第一题告诉的是如图，将一张矩形的纸片 a、 b， c、 d 按照以下的方式进行两次折叠， 首先第一次是将 a、 d 沿着我们的 dm 这条边啊，折叠到我们的 d a 撇的位置，折痕是 dm， 那这个时候形成的实际上是一个呃，四十五度的角，直角的一个角平分线啊，四十五度，所以这里面的 a、 d、 m 包括我们的 d a 撇 m 这两个三角形应该都是等腰直角三角形，四边形 a d a 撇 m 就 应该是一个正方形。 接着第二次又是将我们的嗯右侧的 bcm 这样一个三角形沿着 mc 进行的一个折叠，并且折叠之后的这个地方的 mb 刚好是落在我们的 mb 撇，也就是 dm 所在的这条线段上 啊，那这个时候给的是 ad 的 长度是等于一的，也就是矩形的边长宽是等于一的，让我们求的是 ab 的 长度，也就是矩形的长， 所以借助第一次的这个翻折，得到的是等腰直角三角形以及正方形，提供的是有等量关系的。另外，第二次折叠带来的是同样的啊，边和角的等量关系， 因为在第一次折叠之后提供的地点这是有四十五度的，加上我们的第二次折叠提供的直角，所以带来的是有一个特殊形 c， d， b 一 撇应该是一个等腰直角三角形。 好，那目前我们能确定的啊，就是有一条边长为一，那 bc 是 一，它和我们的 ad 是 相等的，进而也就得到 c b 一 撇是一，那 c b 一 撇是一的话，往型里面放是一个等腰直角三角形，所以这样的话就可以得到 dc 的 长度，就应该是等于根号二的， 那 dc 一 旦等于根号二，接着我们的矩形的对边的平行且相等，得到 ab 的 长度应该是等于根号二的 好。当然方法是不为一的啊。另外一个也可以借助我们的这个，嗯，第二次翻折， cm 是 角平分线，平分这个地方的角 bmd， 也就是这样的两个角相等， 借助平行倒角，那么我们的 cmb 这个角是可以内错角到我们的角 dcm 的 位置，从而可以得到 cdm。 应该是啊， dcm 应该是一个等腰三角形，那这个时候的 bm 是 我们的等腰直角三角形的斜边是根号二，所以记住，等腰三角形得到目标的根号二也是可行的。 好，接着我们来看第二题。好，第二题如图，三角形 abc 中 g 点和 f 点分别是 ab 和 bc 边上的中点，两个中点，我们可能会去想中点的中微线的用法， g、 f 可以 形成中微线，对应的是等于 ac 的 一半，如果需要可以去连线。 接着给的是 d 点和 e 点，分别是在我们的 a、 c 边上的满足， a， b 和我们的 a、 c 是 相等的，这是一个等腰三角形边，等也能够提供他的两个底角是有相等的关系。 好，然后呢，接着给的信息是，呃， a d 是 等于两倍的 e、 c 的， 最后要求的是比值，所以做一个选填的题目，那具体的线段长度等于多少，对结果应该是没有影响的。那我们不妨假设较短的这条边 c、 e 的 长度为一， 那这样的话， a、 d 的 长度就应该是等于二的好，然后呢，接下来它是将我们的这个三角形分成的四个部分，一、二、三、四四块，并且这四块恰好能够拼成图二的一个矩形。 矩形它特有的性质的话，就是首先是四个直角，那这四个直角反映到我们的这个图一里面，比如说角一，它是一个直角三角形， 所以在这个地方啊， d、 f 和我们的记忆形成的这个交点的位置应该是有直角啊，带来的这四块应该都是有一个角是直角，也就对应的是我们的图二中的啊，矩形的四个直角 好，然后呢，接下来就是边的等量关系，重点看这两个图形之间的这种联系啊，比如说一图形一，图形一反映到图形二，就是这个位置啊，那这个时候他的两条直角边，我们可以假设为，比如说记作 a 和 b 的 话，短直角边为 a， 长直角边为 b， 那这个时候就需要注意，就是 a 这条直角边，在我们的二这个图形里面，它是较短的那条直角边，所以找到二这个图形里面较短的直角边，也就是这个地方啊，也是 a， 也就是矩形的宽，就应该是二 a， 好，同样的，这个地方的 b， 他 也是我们的下面啊，四图形四的一个长直角边，所以找到图形四的长直角边，那他应该也是 b， 所以 矩形的长就应该是两倍的 b， 好， 那同样的啊，这个地方的这个在用的时候还有我们的三和四 好，那这个地方既然两个都是 a， 注意来观察，就是这个地方的三好三里面，其中有一条直角边是 b， 另外一条直角边是这个地方，假设焦点为 o 点吧，也就是 o f。 好， o f 这条线，所以三的啊，另外一条这个短直角边就是 o f 啊，比如说这个是 o f 的 长度啊，那 o f 的 话，也是我们的四这个图形的一个短直角边，那找到图形四短直角边，所以这段长和我们的 o f 是 相等的，也就是这个地方啊，右侧的这两段长对应的都是图形 e 里面的 o f 这一段， 所以这两段长是相等的，又是中点，所以这两段长都是 a。 好，同理的话，我们的二和三，二和三也是有一条公共边相等，也就是 o g， 反映到图形二里面，就是这样的两段长，应该是都是 o g 的 长， 从而得到这两段长应该都是等于 b 的， 所以再把它还原到我们的图形一里面来，因为我们是借助矩形的对边相等，得到它是两倍的 b， 然后又得到三和四的两个长直角边是相等的，所以两段长都是 b， 反映到图形里面就是 o g 的 长度是等于 b 的。 同理的话，刚刚我们分析的三和四这两块的短直角边是 a， 三和四的短直角边是 a， 也就是 o f 的 长度为 a， 所以 这里面提供的信息就是我们的 d f 和 g e 是 有相等且啊，不，呃，是有垂直且互相平分的性质。 好， d f 和我们的 g e 是 垂直且互相平分，那这样的话带来的是四边形，也就是 f g d e， 它应该是一个菱形啊，连接此时的 f g， d e 啊，这个四边形，它应该是一个菱形，对角线互相平分 且垂直啊。 d e， f g 是 一个菱形啊，菱形能够带来它的四条边都是相等的啊，那四条边都相等，比较特殊的就是刚刚有条根提杆条件提供的 g 点是中点，中点得到 g， f 是 平行且等于 a c 的 一半 好，那这个地方的 g f 又和我们的 d e 是 相等的，从而得到 d， e 是 等于 a c 的 一半，而 a c 的 长度是等于 d e 加二加一，也就是 d e 加三，等于两倍的 d e， 从而得到 d e 的 长度就应该是等于三的啊， d e 的 长等于三啊， 也就得到啊，这个 a c 是 等于两倍的 d e 啊，也就等于 也就得到三。加上第一等于两倍的第一，第一就是三。第一一旦等于三，就得到这个菱形的边长就应该是等于三的 啊，菱形的边长都等于三。另外一个就是我们的体干条件，还有一个 ab 和我们的 ac 是 相等的，那就都等于六，那进而 g 点是中点，也就得到 ag 和我们的 bg 长也都是等于三的。那这里面就有一个特殊的信息，就是 g a 啊，注意来观察啊，就是此时的 g a， 它是等于 g b， 同时等于 g d 好， 也就是从 g 点出发的 g a， g b 和 g d 都是相等的，引含的有一个特殊信息连接，此时的 b d， 反用斜边中线可以得直角， 也就是两个等腰，两个 r 角，两个 b， 它角二， r 加二 b， 它等于九十度啊，啊，等于一百八，从而得到 r 加 b， 它等于九十度，也就得到 b d 和我们的 a c 是 有一个垂直的位置关系啊。所以反用斜边中线啊，得到 r t 三角形 abd， 好，一旦得到它是直角三角形，接下来进行勾股的计算， ab 的 长是等于六的， ad 的 长是等于二的，所以在我们的直角三角形中就可以得到 b、 d 的 长度好，它就应该是等于四倍的根号二。 好， b、 d 一 旦出来之后，接下来我们就可以去在我们的 b、 c、 d 中求 b、 c 的 长度，因为目标代求的是 d、 f、 d 点，这个地方是直角三角形， f 点是 b、 c 的 中点，所以 d、 f 是 直角三角形，斜边中线等于斜边一半，所以求 b、 c 的 长度啊。 所以接下来在 b、 c、 d 这样一个直角三角形中，首先是勾股定律得到对应的 b、 c 的 长度应该是等于四倍的根号三，然后借助斜边中线等于斜边一半， d、 f 是 等于 b、 c 的 一半，也就是二倍的根号三 啊。另外一个求记忆的长度啊，那记忆的话，这个是，嗯，距菱形的一条对角线啊，也就是要求这个记忆的长度，那要求记忆的话，可以转化为求它的一半的长度， 那它的一半就是求 b， 那 因为 d、 f 已经知道了是二倍的根号三，那对角线互相平分，得到这个 o、 d 的 长度就应该是 d、 f 的 一半，也就等于根号三。那接下来就是在我们的 r、 t 三角形 d、 o、 e 中 啊，利用勾股定律就可以得到 o、 e 的 长度，应该是等于根号六的啊，那得到根号六之后啊，从而就可以得到我们的 g、 e 的 长度啊，我们就放在左边那 啊。接下来就是得到我们的 g、 e 的 长度，就等于两倍的 o e， 也就等于二倍的根号六，从而得到目标带求的 d、 f 比上 g、 e 的 长度， 那 df 的 话刚刚已经计算过啊，是二倍的根号三，然后呢， g， e 的 话是二倍的根号六。化简之后的结果，根号二分之一，也就是二分之根号二，目标的两条边的一个 b 值二分之根号二。 所以关键的啊，找到图一和图二之间的这种联系，从图一到图二，找到等量关系，再反用图二的图形图形来得到图一中的等量关系。后面啊，就是一个是反用斜边中线得直角，另外一个斜边中线等于斜面一半，以及勾股计算啊， 好，接着我们来看第三题。第三题是将一个矩形的纸片 m， n， p， q， 把它按照如下的操作进行折叠，第一个将它的一个端点啊，一端 n， 然后呢沿着 a， m 进行一个折叠，折叠之后形成的是有一个正方形 a， b， m， n。 好， 接着在图二中把这个正方形把它展开，展开之后沿着 c， d 折叠成两个全等的矩形。 这个题目最后也是要求边的比值，那这个时候我们不妨假设这个地方啊，第二个得到的两个全等的矩形，他们的呃宽为一，那他们的长就应该是等于二的，正方形的边长就应该是二。 接着再把这个纸片展开展开之后啊，折出内侧的矩形 a， b， c， d 的 对角线。好，那这个时候的对角线是可以求的，也就是两直角边长分别是一和二，那么对角线的长度 b， d 就 应该是等于根号五的。 好，接着把 b、 d 折叠到我们的 d， e 的 位置，那么在这个折叠的过程中， d， b 就 应该是等于 d， e 的，是等于根号五的， 然后呢，接下来是按照如图啊，把它展开之后得到的这样的一个 e f 再做 e f 啊，那做完之后得到矩形 a e f b。 好， 那这个矩形实际上对应的就是一个黄金矩形，此时的 a e 和我们的 ab 的 一个比值，好反映到第三个图形里面， a e 的 这段长度，它应该是等于 d e， 然后呢，减去 ad， 好进行共线运算啊，他应该是等于 d b， 减去 d a， d b 的 长度是等于根号五的， d a 的 长度是等于一的。 好，那这样的话，另外一个就是 ab 的 长度是等于正方形的边长是二，好，从而得到目标的两条边的比值， a e 比上 ab， a e 的 长度是等于根号五减一， ab 的 长度为二，所以最后得到的结果就是二分之根号五减一，实际上也是我们一个黄金分割的这样一个数据啊。 好，所以这个地方啊，重点是分析出来这里面折叠带来的等量关系啊，尤其是边的等量关系后面啊，就是一个常规的一个勾股计算啊。

新八下数学难度知识点总结，寒假吃透开学领跑全班！知识点一，二次根式的概念知识点三，二次根式的性质知识点四， 代数式。知识点六，二次根式的乘法法则知识点八，可以合并的二次根式知识点十，二次根式的混合运算知识点一，勾股定律知识点三，勾股定律的应用知识点五，勾股数知识点三，镶嵌的概念和特征。完整版留八八可分享。

新八下数学难度知识点总结，寒假吃透开学领跑全班！知识点一，二次根式的概念知识点三，二次根式的性质知识点四， 代数式。知识点六，二次根式的乘法法则知识点八，可以合并的二次根式知识点十，二次根式的混合运算知识点一，勾股定律知识点三，勾股定律的应用知识点五，勾股数知识点三，镶嵌的概念和特征。完整版留八八可分享。

嘿，孩子们，还记得上个学期咱讲的蒸发吗？来，先一起看个小短片。你以为洒在地上的水是静静消失的？ 不，在微观世界，这是一场疯狂的粤语。随着温度升高，分子疯狂蓄积动能，撕开页面的封印，表面积越大，逃生通道就越宽。也就是为什么晾衣服要摊开。 流动的空气则负责卷走那些徘徊在边缘的犹豫者，防止它们再次跌回水里。记住这个消失的真相，跑掉的永远是能量最高的分子， 所以剩下的液体会变冷，这就是蒸发吸热的本质。 看完之后呢，咱正式进入到第十章，从例子到宇宙。本章虽然不是考试的重点，但特别有意义，因为他要正式引领我们到微观世界探微求真。我们刚才看的视频里，讲真，发就是发生在微观层面， 非常有意思的现象，他能解释为什么说蒸发跟温度有关，跟空气流速有关，跟表面积有关，对吧？同时呢，我们又要从宏观层面宇宙啊，向天求索， 为什么说我们整个的太阳系是这么运行的？太阳系之外为什么还有那么多其他的行星？整个宇宙的结构是什么？接下来哈，可以带着几个问题开始本章的学习。比如说，世界万物都是由物质组成的，那么他们有最小的结构吗？ 我们平时看到的书，看到的笔，看到的花草树木，它们能不能无限的再分呢？分成更小的部分，还有摩擦起电的电来自于哪里啊？日常生活中我们这些电啊是怎么产生的？ 万物赖以生长的太阳会不会熄灭呢？有一天太阳会不会不再照亮我们地球了呀？还有包括天上的银河，是一条河吗？来跟我一起开始本章的探索吧！ 来，先看到第一小节，走进分子世界。自古以来，人们一直在思考物质结构的问题。从外表看，各种形态的物质似乎都是连续的。比如说啊，一支铅笔， 我们看上去它是连续的吧，中间没有断层，没有缝隙吧？凭肉眼无法观察到他们内部的微小结构啊，因为到了微观领域啊，我们的肉眼不可识别这个，人们探索物质结。

disagree a g r e e 后前面加了 diss 反义前缀了，同样变成还是动词啊，叫不同意。呃， agree 是 同意， disagree 是 不同意啊。然后呢？我们知道有的动词后面加 m e n t， 动词加 m e n t 变成了名词，比如说 move 变成了 movement， 那么 disagree 就 变成了 disagreement， disagreement disagree 后面是 meant。 做名词老师，名词的不同意怎么翻译比较合适呢？分歧，我们有分歧，就是我们两个我不同意，你不同意，我在中文里叫分歧，我们产生了分歧。 什么？ after this disagreement i learned that。 就是 在经历了这次分歧之后，争执分分歧之后啊，我学会了什么？什么什么？ 他说，哎，就用用这么几个句子，如果你想要写，想，就是说可以去造句的话或者表达的话，然后它这里面内容是什么呢？啊？它的主题叫 a difficult experience with my parents。 这里面的 with my parents 是 作为作为一个介词短语，其实相当于它算是修饰前面的 experience。 经历一次和我父母的。呃， with my parents 和我父母的怎么样？我觉得可以翻译成不愉快的经历，难过的经历。你说 difficult， 你 说 difficult 翻译成什么？就是，呃，让人 呀艰，那有艰苦的，还有就是不好相处的，棘手的，棘手，但是我觉得都不好翻译，那不好相处的，费力的，费力的经历，难沟通的。 这这个我不知道该怎么去像，准确的去，对吧？就就是我觉得你要翻译成像，这个就可以啊，跟父母的一次不愉快的经历，是吧？那你翻译成像他这人说的，说 难相处的经历啊，那我那难相。我都说难相处的经历了，那我不如谁说不愉快的经历了， 或者产生矛盾的经历。 然后他给了四，他让我们写四点，给我们一个大概的框架。四点，一个是 when it happened 什么时候发生的？ what cost it？ 欸，不对不对，是 what cost it？ 是 什么导致的？什么导致的？什么什么引起的？然后是 how i dealt with it， 意思是我怎么我我我是怎么解决的？ uh， how it ended 它是怎么结束的？以及 what i learned 我 学到了什么？它相当于就是给我们，如果说这是一个写作的话，它给了我们一个框架。 怎么，这是怎么引起的？他又怎么结束？我学到了什么？大概就是这四个，应该这么讲，一，怎么引起，第二我是怎么解决的，然后他是怎么结束的？最后我从头学到了什么？然后接下来他就让我们写 right， 让我们写 a difficult experience with my parents， 然后他就开我我，我不知道他为什么要给这么一句话，在这个，在这个位置， 你要么就给开头嘛。我一般我们正常讲作文，哪怕你就是高考作文，他会把前面的第一行，第二行写好，然后让你往下续写，继续的续啊，就是往后续写，你在前面空一句，不知道你想表达什么意思，他就写了个 something unhappy happened， 就是呃呃，不愉快的事情。 something unhappy 不 愉快的事情发生了。那你这前半句你想让我写什么啊？你想让我写什么？我不懂。哎，你给的这个短 语我都不知道该怎么，我都不知道该怎么填，真的，我不知道你，你给的这个是干干嘛用的，对吧？你要不就不用给这句话我自己直接写嘛，对吧？我，我可以直接写，比如说 last week， 然后就写， i had an uh， i had a difficult。 上个星期， i have i had a difficult experience with my parents。 我 直接第一句话就是，上个星期，我，我跟我，我跟我的父母，啊，有发生了一次不愉快的经历，那到底干什么了呢？那你比，就比如说，哎， 你可以直接把他这个，把前面这个人讲的这个这个，这个，这个，你可以拿，拿来用嘛？比如说， my dad took away my phone。 我 父母，我爸把我手机拿走了，对吧？ i was angry。 我 很生气， because i need my phone 啊 to do many things。 去做很多事情，我，我需要手机做很多事情， 就，就往后，就往后接着写嘛，这是怎么开始的？那，那然后你怎么处理的呢？比如说，嗯嗯， i i had a conversation， i had a conversation with my parents。 我 跟我的父母，哎进行了交谈，然后我告诉他，我，我需要手机做作业， 然后我父母，然后我爸又怎么怎么说的？我爸说可以把手机还给我，但是呢，呃，在我们吃饭的时候每天要把手机放下来一会，他不说了吗？ 对吧？每天要把手机放下来一会，然后最终，啊，我，我们都同意了，然后我爸又把手机还给我了， 啊，那他，那，那如果按照他说的，那我，我从中学到了什么？比如说，我觉得你说我认为沟通很重要，对吧？我说，比如说当有什么事情发生的时候，我们应该跟父母多呃，多交谈不就行了吗？就大概的写几句话。 这个我还说了，它不能算作，写作文，它最多就算作什么呢？就是把我们想表达的意思进行造句，对吧？造句就来看我们本单元的听力部分，我们的 developing ideas， 这个黄底蓝字写的是 what does the picture show？ 他 问，你，这幅图片向我们 展示了什么？这中间这个很有趣啊，这个单词明明出现在了我们的第二十四，二十五页，但是单词表里却说 它是第二十七页的单词。哈哈，我们来看一下这个单词啊，这生词 它是二十七，可是我们二十五页就有了呀，这个图片不就有了吗？ p e e r peer 同龄人， 同龄人，这个 press， 同龄人倒是次要的啊，你看它单，它单词都直接是一个没有加粗的啊。这个单词没那么重要。同龄人， 这个单词 pressure 倒是蛮重要的，不可数。名词压力，这个压力呢？它既可以是 就是物理名词啊。物理名词压力，屁，我看哦，我们物理学科是什么时候学压力八下还是九上？我忘了什么，一加强等于压力除以受力面积，是吧？ 那么这个 pressure 来自哪一个词呢？ press， press 作动词是向下按压 press p r e s s press 向下按压，它的名词是加了个 s， 你 看相当于加了个 s u r e pressure， pressure， 压力，压力，那么这个 peer pressure， 这个这里的 peer pressure 什么意思啊？就是意思，就是来自同龄人的压力，同龄人的压力， 这个压力呢？它不一定是校园霸凌啊，不一定校园霸凌，那从哪看出来呢？一会儿我们今天这个单元的听力部分就能够体现出来 它这个这一张相当于是个压力表是吧？左边是绿色的，就是 positive 是 积极的，正向的， negative 就是 负面的，消极的。这两个词我们应该是认识的啊，一个 positive， 一个 negative， 然后这里有个 did you know， 他 说 他问你这个图片展示什么，他说的很清楚了，来自童年的压力，是吧？ 这个 did you know， 他 说 many teens。 这个 teen 指的是什么啊？青少年啊，青少年 have experienced peer pressure。 很多 这个青少年都经历过，应该有完成时了。已经经历过，叫 peer pressure， 来自同龄人的压力。 they sometimes do a thing just because they don't want to be left out。 来 这样子，放在这样子你看呢？什么叫 do a thing 呢？这是一种泛指， 他们有时候会做一件事为为什么要做呢？ because 引导出元音目的状语啊，啊，不是元音目的元音状语。嗯， just because 应该是 just because。 把 just because 放一块儿， 仅仅是因为他们不想怎么样呢？ be left out， be 动词加 leave 这个词的过去分词形式。注意， leave 的 过去式也是 left， 过去分词也是 left。 可是能和 be 动词在一起的肯定是 be 动词加过去分词形式表示被。那么 leave somebody 是 把某人留下，我们走了，我把你留下来喽。那么 be left 就是 被留下， 那么加了一个 out 就是 什么？就是不合群啊，就不想被人们遗留在外啊， 被遗留在外，它翻译成被忽略，可以啊，就是我们是个小群体，我们是个小圈子，我们把你放到我们的圈子的外面去。那排除在外排除在外 那是还有范丞被落下，被排除被忽略，我觉得都可以，我觉得范丞他不想被排除在外。呃，的确啊，有一些性格的人， 同学们咱们说这个话，这个这属于就抛开英语的话这个范畴啊，就是我不知道你们是什么样的，我的性格还恰恰相反，我反而不喜欢人扎堆， 你要说我没有朋友玩我没关系啊，我我我特别喜欢一个人，我记得有一年我们都高高二高三了，有一次寒假搞那什么元旦晚会， 然后到最后大家把音乐一放，就是就是就是节目结束，活动结束了嘛，然后老师意思说你们可以自己想干嘛干嘛了，大家就放了一些很嗨的歌在这蹦啊跳蹦啊跳，好像有很多人表现说很痴狂的样子，感觉就像脑，我感觉像脑子不正常一样。 这个时候我突然有种想法就是我想离开这个地方，对吧？我不想跟他混，他有很多人混在一块，哎，你就这，你拉着我手，我拉着你手在这扭啊扭，就跟疯了一样的我。反而这个时候我就特别想一个人静一静，但有一些人就那种叫从众心理啊， 感觉好像我。哎呦，我要一个人不行，我怕别人说我是怪胎，我怕别人不跟我玩， 就就是哪怕自己不喜欢这些人，他也要被迫去做一些这个自己不想做的事情。想要从众没就是这个人跟 人的性格有关，就有的喜欢扎堆，有人不喜欢扎堆，我对这个对我来说我倒无所谓，我不会因为说我要跟谁在一起玩，我就要做一些自己不想做的事情。而这句话表达意思就是他们有的时候做一件事，不是因为自己想做，仅仅是因为他们不想被排除在外，也就是不想被人排挤。 sometimes peer pressure can be good。 有 的时候来自同龄人的压力可以是好的好的一面， but it can also make you feel bad。 但是它同样可以让你感觉很糟糕。 那么后面为什么用 for？ for 表示原因？ for 引导可以表示原因，就是会因为怎么样呢？ be different from your friends be different from your friends 叫做因为与你的朋友们，哎，不一样。 英语把元音喜欢放后面，汉语呢？放前面就是说，但是他这个，他这个，他指的什么？但是这个同龄人的压力 应该这么说，因为你和你的朋友表现出不同，那么来自同龄人的压力会让你感觉到很很糟糕。

张老师，道法八下新教材到底难不难啊？道法八下新教材啊，三哥已经帮你做好解读了，其实啊，就是个乾坤大挪移。首先呢，是原来的这个法不可违啊，移到了七下，那你怎么说呢，这又变成了五个单元呢，他是拆开了，所以你看啊，第一单元，宪法之上其实并没有变。第二单元，权利义务也没怎么变 呢，是原来的三四单元拆开了，更清晰了，一个是国家制度，一个是国家机构。国家制度呢，又分成两个，经济和政治。咱们都听过一句话，叫经济基础决定上层建筑就清晰了。而国家机构呢，就是一二三四五 六，一共是六个，就是人大，国家行政，军事监查，还有司法，很清晰。这样的话呢，孩子们学起来会更加的简单。最后一个单元啊，高度重视，这是我说的 法治思想的内容了，有全面依法治国，还有依法治推进国家治理的现代化，二零三五和二零五零，整个这些详细的内容，三哥呢，已经给大家整理好了，三哥跟你一起开悟道法，高分见。

二零二六版八下数学培优训练二次根式及其性质来了，经典立体解析方法归纳，注意掌握。

大家好，我是心雨老师，一年一度的寒假又如期而至了，那么三十来天的时间是吧，那么这段时间呢，我们既可以预习下新的课程，也可以把以前的课程学的不太好的地方再查缺补漏一下是吧，再巩固提高一下， 这都非常好，所以好好利用一下。这段时间啊，还是挺宝贵的，玩了当然也要玩，对不对？我们既不要呢，光玩，也不要说光学是吧，玩一玩，学一学，是不是 最好呢？多做一些户外的运动啊，是吧，出去踢个球啊，跑个步啊，是吧，一身汗，嗯，洗个澡，然后再静下心来，再 认真集中注意力的去高效的学习是吧？你认真的学一个小时，顶人家磨磨蹭蹭的学三四个小时，是不是？其实最忌讳的就是磨磨蹭蹭的是吧？学习的时候态度不坚决，玩呢又不好好玩是不是？ 其实如果你能够把玩的效率跟学的效率都提高的话，其实啊，你既能玩好，也能学好，一点都不冲突，好吧， 问题的关键是要高效是吧，你玩时候好好玩，你学时好好学，是不是？这样的话，我觉得是比较聪明和机智的啊，自己想一想。 好，这里呢，我就把新版教材初二下学期这个合集课程给大家呢，简单的介绍一下。那么总共我们需要讲十三章的内容，本来每个版本一般是六章的内容对吧？因为想兼顾到各个版本嘛，让大家都有的学。那么寒假我们就需要讲这么十三章的内容， 然后再把这十三章内容简单给大家介绍一下。那么这前五章是数，然后式方程 这个代数板块，第六章和第七章呢属于函数的板块，第八章，第九章，第十章，这属于呢几何的板块， 那么其中的话，四边形应该是几乎所有版本教材的最大的一张是吧？重中之重，内容很多，也非常重要。 那么最后的这三张呢，是统计和概率的章节，这两张呢属于统计是吧？最后一张呢是概率。 那么这个第十二张稍微说一下数据的分析，跟原来的版本对比的话，数据的分析这张呢，加了不少知识进去了啊， 比如说那个四分位数相线图，还有什么分组，这些知识之前呢都是高中的知识，那么现在呢，就下放到初中了，所以呢，这块呢，重要性有所提高啊， 难道也不是多难吧，就是这个概念呢，要搞清楚，比之前是要复杂一些的，大家注意一下啊。 好，这就是这么十三章内容，我就简单的给大家介绍一下，希望大家能够愉快的去学习。其实学习这个事本来一点都不痛苦啊，什么是痛苦的呢？就是你不想学，但是你又不得不学，在那磨磨蹭蹭的去学那个才是痛苦的 是吧？本来人天生他是有求知欲的，有好奇心的，你就不想了解了解这个代表人类智慧最高水平的数学，他到底是个什么滋味吗？不想体会一下吗？是不是？所以有时候你要去调整一下心态是吧，不要太过于抱着目的的去学， 抱着一种好奇心，探索的积极的心态去学他是吧？好好学，学的时候你就静下心来是吧， 心无杂念，好好学，然后你其实你花不了多长时间，你就可以把它完全给他学好，学好之后呢，腾出点时间啊，玩去呗， 学又学好了，玩又玩的痛快是吧，生活有滋有味，这多好啊，是吧，那么课程制作的时候，这九个版本教材我都看过， 我看哪个教材里面说的比较好的，我就采用了，然后这个配图比较漂亮的，比较形象的，我就采用了，反正这个课程我就是这么慢慢做出来的，我还是希望能够全面细致，深刻透彻的把初中数学这个事给他说清楚，讲明白，不是那种蜻蜓点水式的这种课程啊， 所以还是需要大家稍微静下心来去学，学习没那么简单，但是呢，也没那么难就是了，是吧，静下心系统性的认真的去学 是吧，肯定能学的好的。好吧，好了，这个事我就说这么多，下面我们再来分别介绍一下各个版本需要学习的一些东西，有些事呢，还是需要给大家说清楚的。 好，我们先看一下人教版，他学呢，二次根式勾股定律是吧？四边形， 然后函数和一次函数以及呢数据的分析。那么其中这个第二十二张和第二十三张， 你就看这个第七张，这两张合成一张了是吧，其他的就没什么好说的嘛，你看这个数据分析是吧， 那加了四分位数加了呢数据的分组，这里面呢，还有一个镶线图，比之前这个版本确实加了不少东西啊，当然各个版本这块内容都加了，也不是说光人家版加，其他版本不加，这个国家肯定是 初中需要学什么东西，它是有一个统一的标准的是吧，所以我就说嘛，各个版本它最后学的内容都是一样的啊， 这就是人脚板是吧，按照这个对应的章节去看就可以了啊。好，然后再看一下北师版，北师版第一章呢，是三角形的证明及应用，没有一个完全跟这张匹配的一个课程， 这个章节你就看我这个第八章轴对称就可以了。轴对称呢，主要里面就讲了等腰三角形，还有这个角平分线基本上是吻合的啊， 然后第二张不等式和不等式组，你就看这个第一张是吧，那么这个第三张图形平移跟旋转呢？没有一个课程跟他完全是对应的啊， 本来我是想做一张就是图形的平移啊，轴对称和旋转就是图形的三大变化吗？一直没有时间单独去做，以后呢再给大家补上吧， 倒是没什么实质性的内容，他就是利用图形的平移啊，轴对称啊，还有弦状了，去处理几何方面的一些疑难问题，比如说去构造全等啊，构造相似啊之类的，可能你要用到这个平移啊，轴对称弦状，是不是就这么回事 啊？第四张是因式分解，第五张分式与分式方程，你就看这个第二张和第三张呗，第六张是平行四边形，那么这个呢，你就看第十张的平行四边形部分， 他后来的这个矩形、菱形、正方形、梯形，你们估计是放在九上去取是吧？ 那么我这个课程里面四边形的话就都包含那些东西了，你也可以先看一看吧，如果不着急呢，你可以以后再看也行吧。是不是这就是北师版，然后速刻版呢？第六章和第七章就是统计与概率，你就看这个第十一章和第十二章吧。 然后四边形就看这张呗，一式分解看这个第二张是吧？分式看这张，二次根式看这张，这个都对应的非常好，我也没什么需要再额外去说明的啊。然后华式版十五张是分式，那你就看这个第三张，分式与分式方程是一样的啊。 第十六张是函数及图像，那就看这个第七张函数和一次函数。但是这里面需要说明一点，是呢，你们这张里面应该学的反比例函数，但我这个课程里面反比例函数是还没有做的，我估计寒假的话可能没有时间去做， 以后再给大家补上啊。然后这个里面的第十七章和第十八章，你就看我这个课程里面的四倍行就行了，他分成两张来讲了，我这里面呢，就是一张，然后数据分析你就看这个第十二张就可以了。好，这就是华式版， 然后这叫版的话，二次根式、一元二次方程数据分析初步， 这都没什么说的，是吧？那么这个平行四边形和这个特殊的平行四边形他拆成两张了，那么这两张你就看我这个第十张就可以了。其他的呢，我也没什么好说的。然后就是香蕉版 第一张四边形，你就看这个第十张是吧？然后图形与坐标你就看平面直角坐标系名称不一样，内容一样的啊。然后依次函数呢，就看这个第七张函数和依次函数， 那么这个数据分析这张呢，你就看这个第十二张。数据分析还有个东西需要看一下， 他是把数据的频数分布也是放在数据分析这张了，然后呢，你就需要看一下第十一张的频数分布直方图这个知识点就可以了。 好，这就是相交版。好，再看下一角版，平面直角坐标系，你就看第六张，那么这个函数和一次函数，你就看这个第七张， 再者就是四边形，就看第十章，是吧？然后数据收集整理描述，你就看这个第十二章，那就这么回事。然后再看下互克板二次根式，一万次方程勾股定律，这没什么好说的。四边形，这没什么好说的。 然后数据的初步分析的话，这也是要看一下第十一张的频数分布值方图，再看一下第十二张数据的分析，他这个二十点一数据的频数分布，你就看看第十一张的 频数分布值方图就可以。好，这就是互可版，其他的也没什么需要说的。然后再看青岛版四边形二次根式， 这没什么说的，他这个函数和这个一次函数呢，分为两张，你就看我这个第七张就可以了，这一张就是讲的第十张和第十一张的内容，然后第十二张图形的平移和旋转还没做啊， 以后再补。第十三张是数据分析，你就看我这个第十二张，但是他这里面最后有一个呢，随机现象的变化趋势，那你就应该看一下第十一张的趋势图，这个知识点就可以了，也没什么难度啊， 这就是青岛版，就这么回事。好了，那么这几个版本我就都给大家介绍完成了，然后大家根据自己情况就尽情的去看，尽情的去学吧，有什么意见和建议呢？ 欢迎大家评论区留言。好吧好，那这个事我就说这么多，下面呢，我们开始正式上课了。

二零二六版八下数学培优训练正方形来了，题型分类、方法归纳专项训练助力提高。