点乘双根和硬解定理哪个好用

学长，点乘双根法的底层思想是什么呢？用六个字概括就是函数的等价性。只要你看完这个视频，你一定能彻底掌握点乘双根法。先问一个问题，如果提到二次函数，你会想到几种形式呢？大家最熟悉的应该是 f， x 等于 x， 平方加 b， x 加 c， 这里 a 不 等于零。你可能还会想到顶点式，这个球最大值、最小值的时候经常用到， 如果知道顶点的坐标，就可以很快写出顶点式。如果函数和 x 轴有两个焦点，有的同学还会想到第三种形式，那就是双根式，也就是本视频的主角。 你可能会有疑问，双根式和一般式两者会等价吗？答案是肯定的。如果用求根公式代入计算，双根式就会变成一般式。下面我们借助维达定律来看它们的联系，将双根式展开和一般式进行对应， 依次向系数对应相等，常数项对应相等， 得到 x 一 乘 x 二等于 a， 分 之 c。 这个和一般式使用维达定律的结果是一样的。既然两个函数是等价的，那么当次变量取相同的值时，两个函数的函数值相等。举个例子，比如令 x 等于二。根据一般式，我们可以得出函数值 f 二。 根据双根式，我们也可以得出函数值 f 二。 这两个函数值相等，都等于 f 二，这里的 f 二就是中间桥梁。将两个式子串联起来。 理解了这一点，点乘双根法你算是入门了。这里形容 x 一 减二乘 x 二减二的式子是圆锥曲线大题经常出现的，我们只要通过复值法算出一般式的函数值，再除以二次项的系数，就可以得出 x 一 减二乘 x 二减二的表达式。 这样操作有两个步骤可以简化计算，第一，不需要对这个式子展开，不需要使用维达定力。第二，在实际做题中，直取连力之后，不用整理成一般式，只要能看出二四项系数就可以了。讲完原理，我们通过两道例题来加深你的理解。已知一个椭圆 右顶点为 a 过右焦点 f 的 直线与椭圆交于 p q， 两点连接 ap 连接 a q。 题目要我们证明 a p 的 斜率乘 a q 的 斜率是定值，所以我们只要将乘积的数值求出来就可以了。根据椭圆方程得出右顶点的坐标还有右焦点的坐标， 同时设 p 点的坐标为 x 一， 逗号 y 一。 设 q 点的坐标为 x 二，逗号 y 二。根据斜率公式写出 a p 的 斜率，写出 a q 的 斜率。 对分子进行化简，两个斜率相乘， 分子分母对应相乘。通过刚才的学习，相信你已经发现了分母的表达式有点特殊，出现了双根式的组成部分。 如果我们令 x 等于二，就可以构造出 x 一 减二乘 x 二减二的部分。我们只要再构造一个和双根式等价的函数，就可以使用点乘双根法了。这时直取连利的思路也清晰了，就是消掉 y， 保留 x。 如何设直线 p q 的 方程呢？因为直线 p q 过 x 轴上的定点一，逗号零，所以平时大部分同学会这样设直线 x 等于 m， y 加 e。 但是今天我们不这样设直线，而是设成 y 等于 k 乘 x 减一， 这样我们就可以写出 y 一 的表达式，还有 y 二的表达式，分子中的 y 一 乘 y 二，就用 x 一 x 二表示代入。 接着就是要得到关于 x 的 一元二次方程，连立椭圆和直线方程。将椭圆方程写成整式， 将直线方程代入。这里有个小细节需要再强调一下，为了节省时间，直取连立，只做代入，不用整理，直接设出函数，同时写出等价的双根式。 这里的三加四 k 平方就是一元二次方程的二次项系数，用登研法就可以得出来了。 当然，你如果先整理成一般式，再得出二次项的系数也是可以的，只是学长不建议大家这样做，不仅浪费时间，还容易算错。接着就是给函数赋值， 通过观察，只要给 x 负二就可以了。思路是令 x 等于二，得到两个函数的函数值相等都是 f 二。 这时计算变得很简单，第一项等于十二，第二项等于四 k 平方。等式右边就等于四 k 平方， 两边除以三加四 k 平方，就可以得到目标表达式的分母。继续观察目标表达式的分子，大家已经看出来了，和刚才的方法一样，只要令 x 等于一就可以了。 等式的右边等于负九，两边除以三加四 k 平方，得到 x 一 减一乘 x 二减一的表达式， 只要再乘 k 平方，就是得到目标式的分子。两式相除口算就出来了，等于负的四分之九， 所以两个斜率的乘积是定值，为了完整性。最后再讨论一下直线 p p u 斜率不存在的情况，此时直线方程是 x 等于一，可以直接求出 p p u 两点的坐标，再算出斜率，两个斜率的乘积也是等于负的四分之九。 通过刚才的计算过程，你会发现用点乘双根法可以简化计算。有粉丝问学长，为什么这个方法名前面要加上点乘两个字呢？我们来看第二道例题，点乘两个字从某种意义上来说，已经指明了这个方法的应用场景。比如这里两个向量点乘等于一个常数， 其中 p 点是已知的点，点 a 和点 b 是 直线和椭圆的交点。这种问题就可以用点乘双根法，下面我们来解答。先写出向量 p a 的 坐标，同理写出向量 p b 的 坐标，两个向量点成就等于坐标对应相乘再相加， 于是就出现了我们熟悉的表达式题目。问直线是否过定点，所以我们的思路是求出直线方程。设直线方程为 y 等于 k， x 加 b 和椭圆方程联立后，可得关于 x 的 一元二次方程。注意，这里只需要将直线方程代入，不需要整理。同时有了直线方程 pa， 向量点成 pb， 向量可以全部用 x 表示。设出函数，写出对应的双根式 零， x 等于三，函数值 f 三就可以作为中间桥梁，将两个式子串联起来，于是就可以得到 x 一 减三乘 x 二减三，这就是我们想要的 后面这个部分。如何使用点乘双根法呢？可以将 x 前面的系数提取出来， 得到双根式的形式。注意，双根式中用的是减号，所以需要将加号转化成相减的形式。这样我们只要令 x 等于负的 k 分 之 b， 就 可以得到我们想要的结果。代入点乘的表达式。根据题目条件，点乘的结果等于零，进行化简 因式分解，可以求出 b 等于负的五分之十二 k， 或者 b 等于负三 k。 因为当 b 等于负三 k 时，直线会过右顶点，不符合题，所以要舍去。当 b 等于负的五分之十二 k 时，可以写出直线方程， 所以该直线过定点五分之十二，逗号零。下面对点乘双根法进行总结，主要用到的是函数思想。已知函数 f， x 等于 x 平方加 b， x 加稀，其中 a 不 等于零。如果 x 平方加 b， x 加稀等于零，这个方程的两个根分别是 x 一、 x 二， 那么函数可以写成双根式，也就是说，一个函数可以写成两种形式，这两个函数是等价的，所以只要字变量相同，得到的函数值就是相等的。这样相等的函数值就作为桥梁，将两个式子串联起来。 当 x 等于零时，这种情况比较特殊，你会得到 x 一 乘 x 二， 如果你想快速求出 x 一 乘 x 二，就可以直接用这种方法。我们来看更常见的场景，当 x 等于 t 时， 所以只要看到 x 一 减 t 乘 x 二减 t 的 形式，你就可以使用点乘双根法，只是要注意中间符号必须是负号， 如果是加 t， 只要转化为减负 t 就 可以了。如果出现这种形式，也不要慌，把系数提到外面来，将 x 一 x 二的系数都变成一，转化为上面的形式， 这里的负 k 分 之 b 就 相当于上面的常数 t， 复制之后就可以得到我们想要的结果。 点乘双根法和维达定律有什么关系呢？为了更全面的理解，我们还得请出两个方法的鼻祖，也就是求根公式法， 维达定律是根据求根公式推导出来的，能用维达定律的题目一定可以使用求根公式。同理，点乘双根法只是针对某些特定形式，在维达定律的基础上再套一层， 所以能使用双根法的也一定能使用维达定理。学长建议你先熟练掌握维达定理的方法，如果要使用点乘双根法，那就要掌握它的思想，而不只是模仿书写的过程。希望本视频能够给你一点启发，记得点赞与推荐！

变成双根大法好，能省一秒是一秒好，今天我们讲一下圆锥曲线中的一个计算技巧。变成双根法。 已知图案方程 a 点二零过 a 的直线与图案交易 pq。 根据 a 的位置，我们可以判定直线 pq 的斜率一定存在。利用点斜式射出 l 的方程，再将直线与椭圆连立，得到关于 x 的一元二次方程。利用 dert 大于零解除 k 的范围， 然后就可以得到 pq 两点横坐标满足的伟达定理。再根据条件向量 op 乘向量 oq 等于三分之一， 代入坐标，就得到 op 乘 oq 等于 x 一 x 二加 y 一 y 二。利用直线 pq 的方程，我们就可以将 y 转化成 x。 题目做到这就可以利用点乘双根这个技巧进行计算。我们都知道一元 二次方程有一般式，并且当达特达于零时，通过音式分解可以得到两点式。这里的 x 一和 x 二就是一元二次方程的两个根，对于同一个方程而言，二者是完全等价的。 所以我们就可以建立下面这个等式。把两点式写在左边，一般式写在右边，两边同时除去 a， 再交换一下 x 与 x 一 x 二的顺序，就得到下面这个等式。这是要记住，等式两边 x 的值是完全相等的。 再回到刚才那道题中，我们可以将连立后的一元二次方程看作一般式，而 x 一减二乘 x 二减二的结构和等式的左边完全相同，那么我们就可以令 x 等于二，通过右边的式子去计算它的结果。在右边的分式中，分母恰 加好为连立后一元二次方程二次项的系数二 k 方加一，我们再将二带入到一元二次方程的 x 中，就能得到分式的分子的部分。我们就把这种在圆锥曲线中计算 x 一减二乘 x 二减二的方法称为点乘双根法。 我们回到题目中，带入尾答定理，结合点成双根，就可以很快速的算出式子的结果。通过化解，我们得到二 k 方加一分之十， k 方减二等于三分之一，解除 k 方的值等于四分之一， k 等于正负二分之一，我们再将 k 的值带回直线，就得到 l 的两个方程，你们学会了没？

点乘双根法啊，那这不是一个二级结论啊，这是一个能够在大体里面简化这个运算计算量的一个方法，嗯，点乘双根，那么我们先去讲一讲，那么什么是 点成双根？那我们知道在这个二次函数，我们在初中曾经学过二次函数有三种表达形式，那么其中啊，一般式、顶点式，当然还有一种形式的话，它不一定存在，我们称之为是两根式 啊，就是一个函数可以写成 a 倍的 x 减 x 一， 乘 x 减 x 二，那么 x 一 x 二，那么是这个函数与 x 轴的两个交点横坐标，那我们知道只有当这个德尔塔大于零的时候，他才有两根是， 那么这里我们就去想想，那么这两根应用在这个原理曲线中是怎么去用的？那我们最常见的方法，当直线与原理曲线的题目出现的时候，我们经常会去连力，然后通过维达定力去求解，是不是？那我们知道，那么直线如果与原理曲线相交的问题中，他会有两个焦点， 那么当我们去连利进行消元之后，得到关于 x 或者是 y 的 一个这个一元二次方程，那么是不是那个两个焦点的这个横坐标或者纵坐标就是这个方程的两个解呀？ 那我们就运用这个知识点去把这个连利之后的这个函数 变成两根式，然后通过对这个 s 反带入，然后去得到这个整体的一个啊，整体的一个搭配，就比方说我们需要在一个题目里面求一个 x 一 减七与 x 二减七 啊，我们通常的方法的话是把它展开，比方说我们给它写成 x 一 乘 x 二，减去 t 倍的 x 一 加 x 二，然后再加上一个 t 方，哎，我们把这两部分用这个维达定律分别带入，是不是？ 那我们点乘双根法的话，就可以直接把这个乘积以一个整体的形式直接算出来，它的这个对应的值啊，我们用一个， 用一个题目，我们去讲解一下点乘双根法啊。我们以抛物线为例啊，其实抛物线的这种这个连力的话，还是比较简单的啊，这样一个抛物线，我们先看一下啊，第一问，他让我们去求解这个抛物线的几个参数。这个抛物线 经过点 a， 点 a 是 一对号外力，并且这个 af 这个交角半径是等于四分之五的，就简单我们就简单一写，那么 af 等于它到准线的距离， 也就是说它到准线的距离是不等于 a 点的横坐标加上这个减去负的二分之 p， 是 不是也就加上二分之 p， 它是等于四分之五的，这样我们很容易得到 p 是 等于二分之一，是吧？ p 等于二分之一啊，然后我们这个抛物线的方程就变成了 y 方，等于这个 x， 然后我们把点 a 的 横坐标一代入，那么可以得到 y 是 等于正负一，这里 y 零是大于零的，所以我们也很容易求出来点 a 的 坐标是一度号一。 好，这是第一问啊，我们就求出来了，那我们利用这个第一问求出来结果，我们来看看第二问，第二问是过啊，这个地方应该是过点 a 过点 a 做两条相互垂直的直线， 这两条相互垂直的直线呢？分别交抛物线于另外两个点 b 和 c， 然后上 r m 证明的话，这个 b c 过定点， b c 过定点， 那我们是不是通常就是会把这个点 b 的 坐标设成 x 一 y 一 点 c 的 坐标设成 x 二 y y 二，那这个 a b 这条直线的方程如何去列啊？一般抛物线它开口朝左或者朝右的话，那我们如果是反射方程的话啊，就是我们可以把方程设成 x 等于这个 m y 加 t 的 形式，对吧？我们说反射方程的话，它是不是这条直线能表示出来？所有，呃，只要是它不与 x 轴平行的直线，我们是不都能表示出来。而明显的话，这个抛物线啊，它这个与抛与这个 x 轴平行的直线是不可能与它有两个交点的。 哎，所以说我们这么去设这个直线方程的话，就不用去讨论什么斜率存不存在的问题了啊，他就是所有能与抛物线有两个交点的直线都可以用这个方程去表示出来。 好，那我们把这个方程的话与这个呃抛物线我们进行一个，进行一个连力， 他说这两条这两条直线是相互垂直的，那我们引入的这个条件是什么？我们连理之后，我们这要去求它定理，是不是？然后它等于 y y 方等于二 p x， 我 们直接消掉 x， 会得到一个 y 方减去二 p m x 减去二 p t 等于零， 然后的话，他给的是这个 a b 与 a c 垂直， a b 垂直于 a c， 那 么也就是说这两个直线的斜率乘积是等于负一的，对不对？然后我们把这个 a b 和 a c 的 斜率分别给它表示出来啊？ k a b 点乘 k a c， 它是等于 a， b 的 话是等于 a 点坐标是一，是不是一个 y 一 减一，然后 x 一 减一，然后再去乘上 y 二减一， x 二减一，我们把这个 x 一 x 二的话，我们因为我们消元消的是 x， 留的保留的是 y 这个字母嘛？哦，这个位置我写错了， 把这个位置改成这个 m y 啊，保留的是 y 这个字母嘛。所以说我们把这个 x 替换成 y， 我 们把它写成 y 减一啊。 x x 一， 是不是就等于 y 一 方减一，去乘上 y 二减一，比上 这个 y 二方减一。哎，这个分母是可以直接用这个平方差公式的，那这个就比较简单了，他就会变成什么，我们把这个分子约掉，那分母是不就只剩一个 y 一 加一去乘上 y 二加一了？ 那当然我们可以把这个分母用用这个展开之后，然后求出来， y 一 乘 y 二， y 一 加 y 二，然后我们带入微大定律，那么这里的话，我们用这个这个点乘双根法的话，我们去做一个直接的一个求解，那么很明显，呃， 我们把这个位置往下写一写啊，当我们连立之后，那么很明显 y 一 y 二，是不是这个 y 方减去二 p m y 减去二 p t 等于零的两个解？两个根 是不是？那么这个方程是不是一定能写成什么？一定能写成 y 一 y 减 y 一 乘上 y 减 y 二等于零，那么是不是也就有这个 y 方减去二， 是不也就有这个 y 方减去二 p m y， 然后减去二 p t， 它也就能化成这个什么 y 减去 y 一 去乘上 y 减去 y 二这个形式。因为这里我们要用什么 y 一 加一与 y 二加一，那我们如果把这个 y t 换成负一的话，我们当 当这个 y 等于负一时，我们是不是格特可以得到这样一个式子，也就是一加上二 pm 减去二 p t， 它等于负一减 y 一， 然后乘上负一减 y 二，也就是 是不是 y 一 加一乘上 y 一， y 二加一。 哎，我们这样的话，就直接把这个分母的整体这部分给它用这个 p 啊，给它用这个 m 和 t 表示出来，对不对啊？这里的话，我我们刚才把这个 p 求出来是多少来？ p 是 二分之一是吧？我把这个二分之一带入啊，也就是一加 m 减 t 是 吧？哎，这样的话，我是不是就可以把它直接到带入到这个什么 斜率公式里了？那么也就是说这个一加 m 减 t 分 之一啊，因为这个斜率乘积是等于负一的嘛， 然后就等于负一是，我们也就可以得到这个 t 减 m 减一等于一，就是 t 减 m 减二等于零， 我们换一个圆啊，是不？ t 就 可以等于 m 加二了。那么我们刚才所设的这个直线， x 等于 m， y 加 t 是 不就可以写成什么了？ 是不就可以写成 x 等于 m， y 加上这个 m 加二，那么我们整理一下啊，那么我们把 m 提出来，是不就是 y 加一， 然后加二，那么很明显的话，这个直线是有一个参数 m 呢，它很明显过定点。什么？是不是当 y 等于负一的时候， x 是 等于二的？哎，我们就求出来这条直线过定点二都好负一了， 那么这是一个点乘双根法，我们在这个地方直接用这个两根式给它表示出来，当然现在这个这个题的话，我们注意看了，因为在这个地方的话，这个 y 的 y 方的系数是一，是不是？所以说我们配成两根式之后，这个两根式这个系数它是不是也是一？ 如果它系数不一的话，我们注意了，我们要把这个系数给它除到什么？给它除到这个两根式这边的另一侧去，那么也就是说 当我们把这个一般式把它变成两根式之后，那我们其实要用的是什么？是不就是 x 减 x 一 以及 x 减 x 二，那我们就会把这个 a 怎么样？我们会把这个 a 除到这个等式的另一侧啊？也就是说我们要把这个乘积变成这样一个形式。 一般的话，在什么题目里面我们经常会用这个啊？这个点乘双根法，我们一般会遇到，当我们遇到这个 x 一 减 t 啊，去乘上 x 二减 t， 或者当我们遇到这个 y 一 减 t， 去乘上 y 二减 t， 然后遇到这种形式的时候，我们就可以用，那这是一个啊，这是一个啊，两根式的一部分，那我们直接用点乘双根法，直接把这个整体直接替换掉， 那么它就会比这个维达定律的这个代码的话，这个要节省很很多的这个计算步骤。 好，那我们今天的这个知识点我们就讲解到这。

跟梦哥记数学补气，数学不学和梦哥学。大家好，我是爱讲高中学业脱口秀的梦老师。 上节课呢，梦老师给大家展示了我们的椭圆双曲线合起来的九极硬结定律。 那有的同学就要说了，哎，老师老师，我们学校的老师呢，更加喜欢让我们去连立反结式和我们的椭圆双曲线，那能不能出一期我们的反结式与椭圆双曲线的连立的公式呢？ 那这节课我们就来看一下啊，我们的反结式和我们的斜结式它的两个公式之间的联系。 那其实我们的我们的究极性原理就是为了防止大家去记忆过多的内容，所以呢，其实在这里反结式和斜结式只需要变换一个地方，我们就可以相互转换过来， 那有没有猜到的同学可以把我们转换地方给打出来，待会我们验证一下对或不对。 好了，那闲话少说，我们先来复习一下。上节课我们说到解析式的因解定律， 首先我们连立的两个方程，一个是 a 分 之 x 方加上 b 分 之外方等于一，第二个是 y 等于 k， x 加 m。 好，那在这里啊，我们就省下连利的过程以及我们的一元二次方程。我们直接来写伟大定律，首先 x 一 加 x 二等于 哎， ak 放加 b， 然后上面是负二 akm 是 不是啊？就是它俩差了啊，它们俩相加相距负二 a 千米是吧？ x 一 x 二等于 ak 放加 b， 上面是谁啊？ 是 a b 的 孟老师，减 b 是 吧，不要产生不好的联想啊。好，下一个 darth 等于什么呢？ darth 等于 四 ab 乘以括号里面 ak 放加 b 减去啊，孟老师是不是？好，然后我们来看香蕉公式啊，先看，先看香蕉公式吧， x 一 y 加上 x 二 y 等于 x 一 y 加上 x 二 y， 它等于谁呢？等于哎， ak 放加 b 上面是哎，是不是我们说了相交，相交嘛，就是负二 a b k 啊， a 和 b 相交 pk， pk 了一下是不是？那我们再来看弦长公式，弦长公式的话是一加 k 方乘以谁啊？乘以我们的 哎， a 分 之根号下，但是它是吧， a 是 不是就是 a k 方加 b 啊？上面是我们的根号下，但是它，这是我们的弦长，下一个我们的 x 一 y 减 x 二 y 一， 它等于谁啊？等于我们说了 m 倍的 x 一 减 x 二的绝对值。 好，那它等于谁啊？ x 一 减 x 二，大家可以记住，就是 a k 放加 b 分 之二它，所以它是 a k 放加 b 上面是 m b 的 根号下 d r t。 好 的，这是我们上节课说的啊，节节式连立出来的一系列的公式。 那如果要是用反结式啊，先来给同学们介绍一下什么叫反结式哈，那其实在我们的 正常的解析几何当中啊，我们的斜截式要是使用的话，必须先确定一个前提是我们的 a k 必须得存在，也就是说它不能垂直于 x 轴，是不是？ 那久而久之，我们发现在圆锥曲线当中，其实与 x 轴垂直这条线还是经常会出现的，相反，与 x 轴平行的这条直线一般不太会考。 那为了去解决这种哎与 x 轴垂直这种之前没法表示的这个遗憾，我们设计了一种特殊的直线方程，就是我们的哎， x 等于 m v 的 y 加上 c， 那 它与我们刚刚说的啊， 这个一般化的圆锥曲线的方程进行连理，会得到怎样的篇章呢？啊，在这里啊，我们先来做做准备活动啊，在这里老师就不给大家再去计算了啊，节约一下时间，我们需要做一个什么样的准备活动呢？我们既然要把斜斜式和反斜式进行一个 联系，是不是我们就得把它俩的形式调的到尽可能的一致？这里我们的反结是，我们不再去设啊，这个 m y 加 c， 我 们设谁呢？设 x 等于 k， y 加 c 啊，虽然换了两个字母啊，其实它的影响不是特别大。 然后呢，底下还是 a， k 方加 b， 当然不是 a， k 方加 b 了，是 a 分 之 x 方 加上 b 分 之外放等于一。好了，那接下来孟老师直接告诉大家结论，我们只需要将 a 与 b 互换， 即可得到我们的反结式的一个结论。 好比如说，在这里啊，我们的两个啊，我们的伟大定律，首先他不再是 x 一 加 x， 而是 y 一 加上 y， 那 等于什么呢？哎， a 和 b 互换是不是？那我们就把所有的 a 换成 b 吧，所有的 b 换成 a， 就是 b， k 放加 a， 然后上面是谁啊？是负二 bkm 好， y 一 乘 y 等于谁啊？等于 bk 方加 a， 上面是谁啊？上面是我们的 b 乘以 m 方减 a， 同样道理，但是它等于四 ab 乘以括号里面 b k 放加 a， 然后减 m 放。再往后我们的相交公式， x 一 x 二加上 x 二 y， 它等于谁呢？等于 b， k 方加 a 等于除以谁呀？上面是，哎，你会发现上面有 a 有 b， 那 这个时候就不需要进行变换了，好，先乘公式， ab 等于谁呢？等于 一加 k 方，这里啊，一定要注，注意啊，这个 k 方也是我们的这里，这个 k 方 也是在这里啊，是相当于 m 放号，后面是谁啊？是我们的 b， k 放加 a， 然后上面是根号下，但是它 好，那我们的最后一个 x 一 y 减 x 二 y 一， 它的绝对值等于谁呢？等于啊，直接写最后一步了啊， b k 放加 a 等于分之 啊， m 倍的根号下得是它好，只要好，只要我们把斜解式的这个纠结定力记住，我们就可以直接把 b 和 a 互换，就得到了我们的 我们的反结式的应结定律。好，在这里老师再多强调一句，我们因为用了椭圆和双曲线的一个综合起来的式子，那在这里 a 与 b 一定要注意 啊， a 与 b 不 再与长轴、短轴、虚轴、实轴有联系， 与住有联系哈， 好，那它是与什么有关呢？ a 就是 x 下面的数 好， b 为外方下面的数 好。如果双曲线啊，那这时候会有什么地方呢？就是比如说 四分之 x 方减五分之外方等于一，那这数 a 和 b 是 谁呢？那 a 就是 四， b 就是 负五，所以一定要注意啊，我们要把这个双曲线的形式化为 加法的形式啊，那这样我们就可以把我们的硬结定力拓展至我们的反结式和斜结式好，大家记住了吗？

我要抓狂了啊！我也认为这出题老推，但是他这么考，你得会。如果你把这道题搞明白以后再高考，中间很多电磁感应简单的大题跟玩一样，这道题的难度等于一道压轴大题， 他需要你会电磁感应基本的三部戏类思维人，否则你不可能听懂的。这道题最大的难点，这个线框出左边磁场的时候，他同时也在进右边的磁场。 我反复强调了这件事，两侧切磁场时，电动势要乘二，电流要乘二，力要乘四，你而不记得这个事，这题答案你就会算错。 这个事情在二零二三年的全国假币、二零二三年的全国新课标卷和二零二四年的全国新课标卷中，都出成大题最后一题。而且这道题它其实已经触摸到了绝大多数省市电磁感应考压轴大题的难度， 所以把这题搞明白，性价比极高。如果你高考的成绩强，上个七十五分，八十分差不多，你要冲二二幺吧。你把这道题下了之后，重做几遍，把这道题吃透。这个题是一个极好让你去复习一下电子感应动生单杆捣鬼微元法得例题。第十题，这道题能听懂就听懂，听不懂过，因为这道题很难， 而且我在网上看了很多版本的答案，这个答案往上一半给的是错的。那这个题是 a d， 网上给的版本很多答案给的是 a c 啊。 ok， 这道题。各位，这道题它需要你会电磁感应的基本的三步七类思维员， 尤其需要你会七类和思维员。所以你要是不懂我说的什么叫三步七类思维员。退出直播，点我头像去看 二零二四年高考前发的一个电磁感应的专题，那个专题有三个小时，把那三个小时看完，你再回来听这道题，好吧，否则你不可能听懂的啊。继续啊，来，我再来啊，你都看不懂，说实话都看不懂，没关系啊，该干嘛干嘛去。好吧， 哎，我，我继续啊，我讲题了啊，我，我不吐槽了啊，第第十题啊，好，这个题呢，一眼就能看出来，考的是电磁感应单反导轨。 但是这道题它有一个小细节，各位同学需要关注。它的细节在于，这个线框出左边磁场的时候，它同时也在进右边的磁场，所以我给你画一下它的电源，方便你理解。假设它以速度 v 再往右切， 由于两边都有磁场，所以相当于是扎数变成了二，你们能不能理解？这是这道题最大的难点，其他的都很简单。那么在这道题中，往右切割左边是点场啊，伸右手，不要伸错了，掌心拍进去，让磁场穿过掌心， 让大拇指往右，所以呢，当时电流往下，因此左边是一个上负下正的电源， ok， 再看右边，右边那个杆往右切割，手应该这么放啊，就是你，你们的手掌面对你们自己的脸好， ok， 那 么大拇指往右，电流往上流，所以右边的电源是一个这样的电源。 假设这个线圈的边长是 l， 那 么右边的电源电动势是 b l v， 所以 首先电源电动势就要乘以二。这件事明白的打一， 我再说一遍呐，这道题第一个难点是，在二到三的这个过程中，尤其是三这个图像所对应的这个情况下，两侧都在切磁感线，所以首先电动势就要乘二，明白吧？ 为什么这么简单的事，我要强调，因为待会受算受力的时候还要乘个二。我给你把三个式子在旁边写一下啊。首先，当时的电动是 e 等于二倍的 b l 乘以当时的电流等于 e 除以总电阻 r， 所以 等于二倍的 b l v 除以 r。 注意，这个二指是电流里的二。 紧接着呢，你会发现，哎，我分一下受力啊，右边的往左没问题吧？差场 左边的电流往下流，但是这个点场你手这么放，他的安培力也往左，所以这个线框他的左右两边各自有个安培力，因此线圈的总安培力 需要在 bil 的 基础上再乘个二，看明白没？这里有个二，这里还有个二，所以最后有四， 你把这个 i 带进去，二倍的 b l v 除 r 乘个 b， b 方乘个 l， l 方乘个二，二方。所以做的答案是，四， b 方 l 方 v 除以 r。 各位同学看懂了没？ 这是这道题最大的问题，除了这一个小陷阱之外，这道题和我上课讲的例题几乎没有任何区别。但是我反复强调的这件事，两侧切磁场时， 电动势要乘二，电流要乘二，力要乘四。这个事我不知道你们有多少人还记得啊，记得的人吱一声，我上课一轮复习反复强调这个事啊， 而且还说过，如果不是这样的线圈是 n 扎，线圈绕一起，然后他过个磁场进磁场去。如果是 n 扎，这里乘 n， 这里乘 n， 这里乘 n 方，因为电流和电动势变成 n 个受，所以要是 n 方倍这个事，记得人吱一声 这个题，你而不记得这个事，这题答案你就会算错，你就会选 a c， 那 其实这道题其实应该选 a d 啊， ok， 就是 因为这个四，所以选 a d 啊，你看这个四 d 五比四啊， ok， 那 个四就是这么来的好吧， ok， 所以， 那么我先给你把这道题剩下的部分讲完啊， 把我刚才苦口婆心强调这么半天这个破事讲完之后呢，这个题分两个阶段来研究啊，刚刚擦了这个东西啊，我想的这个事我待会再给你写一遍啊。 整道题有电子感应现象发生的过程，就是一到二和从二贴到这个位置，然后到三 就是进点场和出点场，进差场，就这两个过程。所以一到二的过程我给你写一下。三步七类，前三步永远是这三步，只要是电子感应，前三步永远不变。第一步电动式，第二部电流，第三步安培力。只不过在各种难题中，比如说双杆， 比如说含绒含圆，单杆，比如说感声，比如说动感声的题目中，它的 e 的 形式和 i 的 形式会不一样， 但是永远你电磁感应的题要解决的问题就是先把这三个式子写出来，这个叫三不，七类的三不啊。那么在这道题中，一到二没什么好说的啊，就是个经典的单杆导轨啊，线框进出两侧都是单杆导轨，所以就是 b l v 嘛，我不解释了啊。 v 是 个变量啊， i 等于 b l v 除以 r， 我 也不解释了啊。安培利，所以等于 b 方 l 方 v 除以 r， 我 也不解释了。好吧，各位，一到二这个过程太简单了啊。 好，那么继续再来。左区域电流方向怎么看？我想砍人啊。电流方向永远右手定则或者楞次定律呢？ 我我我一般不打击人啊。如果是高三在现在这个时候还在问电磁感应电流方向怎么判断啊？ ok， 说实话啊，今年高考剩下的时间有点不够了，所以我建议你先搞选秀和实验，你就不听这道题了。好吧，我过了啊，来继续啊。那么在这道题中啊，在这道题中我们看一下，由于待会要问 q 一 q 二 我我已经疯了我我决定把弹幕关了是吧。好， ok， 我 我先讲啊，由于他问 q 一 q 二由于他问大 q 一 大 q 二我有预判这个题大个量问源法明白我这个预判的人打一。 好吧，我等你们预判的时候我回答一下。是 foley 的 问的问题啊，我要抓狂了啊， 你们要听就好好听课，不听就赶紧走。好吧，在这道题中一到二的过程为什么要乘 n 呢？一到二的过程中间只有一根线在切啊。二到三的过程中是因为左边在点场，右边在叉场，所以才要乘以二乘以四啊。那你们到底有没有在认真听课啊？好吧，我我不管了啊。来， 请问有咋数时算安培力要平方吗？要，这道题没有咋数，这道题只是左边在出点场的时候右边在进差场，所以相当于 n 等于二。其实这道题没有咋数，就一个正方形导线框。好吧， 这些问题我回到这回答，今天回到这再也不讲了啊。 ok， 各位同学，在现在离高考还有三个月的时候，如果不会右手定则，不会棱次率，不会判断电流方向的 就不要搞这道题了好不好？ ok， 我 真的非常认真的说句话，有四十分三十七分左右的题，你赶紧先把它拿到叫做光学、热学、原子物理、机械振动以及实验，你去搞那些啊？ ok， 我 过了啊，我不管了，我要抓狂了啊。 ok， 来，继续啊。这道题很明显要用微元法，你要是看不出来为什么要微元法的，你也不用听了，跳出去啊，看前面的电磁感应的专题去。好吧，我开始讲了啊， ok， 所以 我打算用微元法一。 有同学说，老师，什么叫微元法一，不明白的跳出去听前面的课，这道题你听不懂，这是选择压轴，那这道题的难度大概率呢？等于？ 哎呦，我真是服气，这道题的难度大概率等于一道压轴大题，同意的打一。 ok， 我 继续啊。微元法一说的是对于安培利等于 b 方 l 方 b 除以 r 这个式子两侧由于是便利，等于常数乘以变速度，所以两边同时乘时间， ok， 能过吗？继续啊，那么左边乘以时间变成安培力的冲量，老师怎么想到的呀？退出直播去听前面的专题。等于 b 方 l 方比上 r 乘以 v 乘 t， v 乘 t 合起来变成 x， 明不明白？ 明白的打二。有人说，老师怎么想到的呀，问这个问题的，退出去听前面电磁感应专题啊。那么又，由于在这个题目中，安培力是唯一的力，没有别的力，我给他一个出速度嘛，然后就直接进去了嘛，只有安培力啊。 所以左侧就是安培力，就是核外力冲量，核外力冲量一定会变成动量变换量。老师，为什么呀？跳出去听动量专题啊， 所以 third mv 的 绝对值在第一个过程中一定等于 b 方 l 方比上 r 乘以 x， 而这个 x 是 谁呢？从这到这，谓语是 l， 老师，为什么谓语是 l 啊？去听运动学啊，所以乘以 l。 好 吧，这个式子你如果不明白，你没有能力听懂今天这道题啊，好吧，到这为止，明白的人知 过啊。这你要是我的学生，或者你要是我 b 站的老粉丝，这个玩意我真的是不是，这这半年我是讲了至少五遍，对吧。我过了啊，下一题啊，第二不是下一题，我是气疯了，然后第二个第二个过程啊，来，从挨往，从二往三走，这个过程我把刚才的事再给你重现一遍。 e 等于两倍的 blv， 老师，为什么呀？关直播啊，来第二个 i 等于二倍的 blv 除以二。老师，二怎么来的呀，为什么呀？不懂得关直播去找电子感应。 第三个，安培力等于四倍的 b 方 l 方 v 除以二。老师，为什么是四呢？那关直播啊，等回放，懂吧。 ok， 明不明白，明白的再知，快 好，那么继续。我知道这道题要威严法，所以我要对这边这个式子有两边在切的式子也用威严法处理一下，当然这个威严法也是威严法一啊。威严法一指的就是安培力的表达式，两边成 t。 威严法二指的就是 把 q 等于 i t 拆成刚才那个 b l v 比上 r 的 形式，把 v t 合成 x， 叫微延法。微延法三说的就是 q 等于 i， t 把这个 i 用 bil 反拆等于安培力除以 bil， 然后再乘 t 把上面和成为动量变化量，或者变成安培力冲量，这个叫微延法三，这个是很重要的一个微延法，这个不是特别重要， 最后最难的违反四是求时间的，一般你用的遇不到啊。好， ok， 我 过了啊，来继续，我们用违反一把这个式再处理一遍。所以在这个过程中间的安培力去乘以时间，等于这个过程中间呢？四倍 b 方 l 方除以 r 去乘以这个过程中的谓语。 而我们看一下，在这一段过程中，题目说走到位置，三线框各有一半面积在左右两个磁场中的那个时扣速度恰好为零，那么这个速度当时正好为零了，是不是就不动了？ 所以我从这个位置开始走起。老师，为什么要从这个位置开始走起呢？因为只有这样才是电磁感应。老师，为什么呢？听零基五班啊，所以从这走到这，这个过程的位移只有一半，看明白了吗？ 对吧？这个谓语只有二分之一 l 啊，所以这个时候我往下带啊。这个 x 你 搞清楚，它只有二分之一 l， 所以 r 分 之四倍的 b 方 l 方乘以二分之一 l 放这，那左边这个安培力乘 t， 它就应该是第二个过程中间的动量变化量。 所以这个东西也是很多比较难的电磁感应的选择题，常见的一个问法啊，我们可以通过 哎微元法一来找到你的速度变化量，或者叫动能变化量和你所走的位宜之间的关系。 而且看刚才这个式，这个式子最后会得到一项叫做 d r v e 等于 b 方 l 三次方。这个事情在二零二三年的全国假卷、 二零二三年的全国新课标卷和二零二四年的全国新课标卷中都出成了大题最后一题，所以这个事情希望各位同学关注一下，好吧， ok， 这是所有微元法中最常用的一个微元法。一啊， 我过了啊，那么这道题如果做到这里，你还没有问题的话，那么剩下的事呢？基本上就是白给啊。 ok， 那 么当然了，这个题已经很难了，就做到这里已经很难了啊，那么我们会发现啊，这个当然 mv 二，我把它继续，再往后算一步， 在第二段过程中，你损失掉的动量等于多少？这里有个四，这里有个二分之一消掉了，所以变成了二倍的 b 方 l 三次方比 r， 对 不对？而我把刚才呢左边这个位置的这一项拿下来抄一遍啊，在第一个过程中， 它消耗的动量等于一倍的 b 方 l 方除以二，这道题就是通过这开始的，那在这个过程中，你发现这两段过程我把所有的动量全耗完了，对不对？那我所有的动量耗成多少？一开始是 m v 零吗？最后变成了零吗？对吧？ 由此我是不是就可以得到一个比例啊？各位，请你告诉我，经过第一段过程消耗的动量是整个这个过程中消耗的动量的几分之几，你就把这个数打出来写对，你这道题基本上就对了， 我再问一遍，由这个比例能看出来，这有一个二比一的关系，对吧？所以请问经过第一个过程， 也就是从一走到二，这个时候，请问他的动量消耗掉了总动量的几分之几？谢谢。消耗掉了总动量的三分之一，那老师，为什么呀？那因为分配啊，我是一份，他是两份加一块三份啊，我分三分之一， 那么消耗掉了三分之一，注意啊，只是这个意思啊，叫 d， 它 mv 一 等于三分之一倍的 mv 零，请问他剩几分之几倍的 v 零呢？ 所以是不是说明当时走到二位置时，他的那个速度 v 二等于三分之二倍的 v 零？这个能答对，能，能，能想对吗？所以这道题是这么个过程啊，通过第一个段，损失掉了三分之一的动量，所以速度由 v 零变成了三分之二 v 零， 而在第二个段把剩下的动量全损失完，所以它的速度由三分之二比零变成零。因此这道题你得到这个结论之后，先判断大 q 会比较简单。 为什么？这也需要你有一定的知识储备好吧，因为大 q 是 热量，热量一定是通过耗散来算的，通过动能定律来算的，所以你有这个速度，这个速度，这个速度，你不就可以算两个动能损失吗？所以我给你算一下， q 一 的大小等于二分之一倍的小 m 乘以啊， v 零方减三分之二， v 零得平方， 对吧？ q 二等于二分之一倍的小 m 乘以三分之二倍的 v 零得平方，减零的平方。所以这个 c d 其实考的是动能定律， 那这个动能定律很明显，他们要求比值吗？那这个玩意 m 二分之一都滑了是吧？ v 零也都滑了，所以上面就是一减三分之二的平方，那不就是一减九分之四吗？九十五呗，那下面就是九分之四减零呗，所以是九分之四呗。所以那个五比四就是这么来的。这个题选四 d 啊， ok， 当然我说刚才那个四就是这个四得来的也是有道理，因为这里个四带来了二的平方，是二平方得来的，而待会由于这个四，由于有这个二分之一啊，有这个二比一的关系，所以有一个三分之二倍的速度，那个三分之二倍的速度再平方，所以有个四，所以其实来源都是来源于那个二比一啊， 希望大家能听懂。好吧，所以在这搞定了啊，五比四啊，这个题四 d 对 啊， c 绝对错啊，网上有很多答案，一半答案都是错的啊，继续啊， 好，那这道题的 a 和 b 呢？其实也不难啊，而且 a 和 b 呢，不需要平方作差电量这件事一定是和我刚才讲的微元法三有关系，所以我们再来推一下动电量 q 一 等于 i 一 乘 t 一， 这个 i 一 你算不出来，这个 t 一 你也不知道，但是合在一起就能算，这就是微元法的奥妙呐，用刚才讲的微元法三来解决，把 i 用刚才的安培利除以 b l 来算，然后再乘以 t 一 就好办了，所以得到结果叫 du 它 mv 一， 这个是动量定律啊，上面分子是动量定，我不解释了啊，除以 b l。 好 吧， q 一 算完了，接下来算一下 q 二啊， q 二的大小等于 i 二乘以 t 二，所以它等于 f n， 在第二段中除以 b l， 然后再乘以 t r， 上面两个合成完，变成第二段中间的动量变换量。我知道 d l m v 二和 d l m v 一 不一样，但是注意下边除的不是 b l， 为什么除的不是 b l？ 你 看这里， 因为此时他的啊不对，应该看这里，应该看这里。我把下面这个数字擦了重写一遍，因为此时的安培力等于二倍的 bil， 然后才等于四倍的 b 方 l 方 v 除以 r， 对 吧？所以应该看这 安培利现在是两边两个都有杆，所以安培利是两个 bil， 因此你要算那个 i， 你 现在不就是想拿安培利去算那个 i 吗？所以这里这个二非常重要，不能落 啊，这个二不落，这个题就解决了，是吧？得 m b 二去除以两倍的 bil。 好， ok， 各位这个两个式子能看懂的人打个一我看看。来 ok。 游乐米线说是路波吗？对吧？对，路波啊， 你们为什么那么关心是直播还是录播呢？看这啊， bl 二 bl 这个能听懂的打打个一来， 结束了啊。所以我说这道大题，这道题等同于一道大题。压轴题。山东同学，刚才我看前面有人说山东同学不同意，你不同意的。有道理，因为第一山东不喜欢考电磁感应的大题，所以在山东见不到第二呢，这个难度应该也当不了山东压轴题啊。山东一般喜欢考电磁场啊。 这个难度跟我上课讲过的二零二二年辽宁卷的压轴大题。那个例题的前两文几乎是一模一样的难度。那个题就是第一文用一下威严法一，第二文用一下威严法二和威严法三， 是吧？那这道题往下继续，后面的事情就很简单了，这两个比例是一比一。为啥？因为这个事我们刚才算过了。这个事不是三分之一吗？ 对吧？这个事不是三分之二吗？而三分之一除以一倍的表，三分之二除以两倍的表，所以最后得到结果是 q 一 比二是一比一啊，当然，这道题 q 一 比 q 二有很多种别的方法可以做啊，你也可以用磁通量来做啊，也行啊，没有什么区别。 ok， 反正做的答案就是它啊。因此，这道题 a 对 啊， d 对 啊，选 a d 啊。 这道题作为一道选择题的压轴题，难度是够的，但是如果你是我的学生的话，这道题的难度其实是不太够的，你们同意吗？因为我上课讲这种题，我至少讲过三十道，那 我的正课讲这种类型的题，是不是真的讲过三十道？正课里边的练习题就有十几道，然后还有两个电磁感应的那个，那个压轴题班，对吧？所以家真的讲了太多了啊。 对，所以对我的正课的学生来说，这个玩意应该就是玩啊。这个题目如果能够考倒我正课的学生，只有一个原因，就是他没有想清楚这里两条边，两条边受力，两个 i， 两个 bil， 四个 b 方 l 方， 就只可能有这么一个问题。好吧， ok， 那 么最后我也想告诉所有同学啊，不管像那个 swy swy 五说的啊，还是其他的那些同学说的啊，老师好强啊， 这个东西我上课的时候当饭吃啊，虽然当然他是很难啊。这个微元法的问题肯定是电磁感应中间他之所以能出成最难最难的大题之一的原因，那就是因为他考微元法那。 但是呢，我建议所有的同学，如果你高考的成绩想要上个七十五分八十分这种啊，就是差不多你要冲二幺吧。好吧，你要是有这个志向的话啊，你把这道题下了之后重做几遍。好吧，把这道题吃透。这个题是一个极好的， 让你去复习一下电磁感应动生单杆捣鬼微元法得立体。把这道题搞明白，不仅很多电磁感应简单的大题跟玩一样，而且这道题它其实已经触摸到了绝大多数省市电磁感应考压轴大题的难度。所以把这题搞明白，性价比极高。 我说清楚了吗？好吧好，那我们今天就到此为止了啊。今天这个直播呢，讲了十道选择题，延伸了很多啊。最后我说一下哪几道题值得复习啊？第十题搞明白，复习完我讲明白这些事，足以让你电子感应明白一大半。那好吧，所以这个题非常重要啊。

呃，一直都非常喜欢电磁学这一块啊，那么这一个呢是 max 位方程组， 呃，这个方程之所以非常非常伟大啊，是因为它砥砺了现在通信文明的呃基础啊，它完背地描述了电磁的规律啊。那么今天呢，就简单讲一讲啊，第一个呢是 呃电场的一个散度啊，等于电和 b 度除以真空的介电场数。第二个呢是呃磁感应强度的散度等于零啊，等于零的意思就是说现在还没有发现那个磁单机死啊。如果说 呃有磁单极子的发现，那这个零会被改写，它也就说明了任何的电场线啊，不好意思，任何的磁场线都是闭合的啊。那第三一个是呃电场的这个悬度啊，等于那个呃磁感应长度跟时间的一个偏导数啊，就磁场的变化可以产生那个电场啊。 那最后一个呢是呃磁感应长度的悬度，等于啊，这边一个通电量，比如说我们一根导线， 呃一根导线里面不是有电流通过的话，对吧？那他周围会产生那个呃磁场啊，对吧？那么这一个，这一项是麦克斯维突破实验啊，突破经验的一个伟大创举，就是位于电流啊， 呃电场随时间的变化率啊，就电场的变化也可以产生磁场啊，那这个是非常非常伟大的一个，呃这一项对吧？呃， 那麦克斯韦他厉害呢？还厉害在他的一个数学才能啊，就是呃这个叫尺量计算啊，假设 abc 啊，都是那个尺量，那么有这样子的一个横等式 啊， a b、 c 都是矢量对吧？这个是差乘，这个是点乘，对吧？有这样子的一个恒等式，那么你把这个东西啊，呃，作为一个契犯，对吧？那我们把这个啊带过来，那可以写成， 对吧？我们把这个就是电场的一个纯度带进去，对吧？就是这个啊，哈密克算子和那个电场带进去可以写出这个东西， 好吧，那么对于左边的话，我们可以把，呃这一项啊，用这个来替换掉，对吧？那也就是 左边，对吧？ 因为真空中啊，真空中的话它是没有电刻的啊，所以这一项，呃电场的这个散度啊，它其实等于零，对吧？所以这边的话就是等于这个，对不对？ 好，那我们接下来的话就是把这个啊跟这个合并，对吧？那就是偏符号 t 出来啊， 比偏 t， 对 吧？左边可以写成这个样子，那么这个你看到没有，就可以用这一这里的，呃，这个等号的右边带进去，就等于， 对不对？对吧？那么还是那刚刚那个，呃说法啊，就是电，就是在真空中是没有电流啊，没有电赫的，所以这一项啊等于零，对不对？那它这边就是等于 偏一偏七比上了偏七，对吧？那整理一下的话，就是不好意思啊，这里写错了啊， 这个我写的好一点啊， 对吧？那就可以画成这个式子啊，呃，真空节点数，真空次导率啊， 然后这边是一个呃电场随时间的一个二阶偏导数，对吧？那我们发现这一项等于这一项，对不对？那也就是说， 对吧？那这个是什么呢？啊？这个啊，这个就是波动方程，对吧？有物理基础的就一眼就可以看出来这是波动方程，对吧？那这个是一个跟速度有关的东西好不好？ c 平方分之一，对吧？ c 就是 光速， c 就是 光速啊，比如 max 思维呢，就写到这里啊，到了这里 max 思维就发现，呃，通过它的这个方程组啊，可以推导出那个一个波动方程啊， 那如果说我把这个 e 换成这个 b 啊，也就是磁感应程度，那同样得写出， 对吧？这个我就呃不在这边重复推导了啊，嗯， 那麦克风到了这里就预言了电磁波的一个存在，对吧？同时写出了这样子的一个呃，关于光速 c 的 一个表达式啊，那么你把 真空的介电场数啊，真空的磁导率啊，这两个值呢？当时是已经可以测出来的，那带到这个等式里面去，就可以算出光速 c， 等于就是，呃，就我们现在说的那个三十万公里每秒的这么子的一个一个值，对吧？ 那么通过这整个推导的话，就是我们可以呃得到一个电磁的一个波动方程啊，也能算出一个光速的大小，对吧？那么后来大概在麦克斯维写出这个方程组后的二十年吧，那赫兹就通过实验啊，验证了麦克斯维的这个预言猜想啊， 那么就发现了这个电磁波的存在，那么后面才有一些通信技术的进一步的一个发展。好吧，那么这个就是麦克斯维啊，方程组的一个伟大之处啊， 让我们一起来致敬这些伟大的科学家啊，让我们能够有呃，现在的这个技术啊，现在的这个科学，现在的这个文明，好，拜拜，新年见。

前两天咱那个英伟达的黄仁勋在那个诗歌的 ai 峰会上讲了几个很有意思的一个观点啊，就是我重点拿了两个，所以给大家分享一下子。 就是之前我们大家在讲这个 ai 的 话，就一直呃倾向于这个应用层面，包括什么 ai 应用啊？是不是？然后嘞？就是这个超级就超级个体啊？ 嗯，这个观点的话也对也不对，因为现在目前整个 ai 实际上你可以理解成互联网一个延伸，但是下一批这个 ai 的 话，人家这个黄仁新提出这个非常非常有意思的这个观点，叫做数字长空，就是你可以雇佣一个机器人，雇佣这个数字人来给你干活，知道吗？就是他 本身自己可以帮你完成，现在目前已经确定可以帮你完成设计的工作啊，写代码你只需要说白了你只要给它插上电，它基本上就可以帮你来完成了 啊。呃，这样的话以来的话，你就包括咱之前你比如说咱在做一个这个网站，比如说做一个网站三千五千，是不是啊？你可能就便宜点的三千五千，贵点的几十万，那下一步你再做一个软件，你只需要告诉他你给我写个什么样软件，直接就给你完成了，成本几乎为零，对吧？那么你的收费模式就什么，相当于你每年来收这个固定的维护费， 其实这个利润也很高，知道吗？然后那个他们现在提的概念叫什么叫做数字长工，不要说是把这个机器人老是当做你自己个人研制的一部分，不是的，自己本身这个机器人，包括自己本身的这个机器人做的工作，他是可以自己独立完成独立工作的， 对不对？哎？是不是这个新思路一下又打开了，对不对？然后这个 a i g c 一定是在路上，马上，只是说时间早晚的问题， 我是感觉啊，是今年，应该是到今年年底，因为现在整个整个这个互联网这个基础设施，包括这个 ai， 包括这个电力，包括这个算力，是吧？基本上这个很多条件都是已经成熟的，你看现在妈三天一个新产品，五天一个爆炸式的新闻，都是关于 ai 的， 这个 ai 技术一定会来的啊。 然后呢？第二个观点的话，就是关于这个 roi 这个设计问题，就是人家在提这个 roi 的 时候就 roi 实际上是一个传统的，包括现在互联网所有的算法 roi 什么时候就是从那个互联网互联网平台上这个新闻的时候开始有了 roi 的 概念，就是任何产品，包括任何任何这个数据，都可以以这种 数据的形式，以这种反馈的形式，以这种投资回报的形式来设计出来。但是现在这个 ai 你 是没法用这个 roi 来设计的，因为为什么？因为你并不知道它的成本要花多少钱，也就是说在这个互联网这个 ai 这个产品设计的时候，它没有出现，没有在落地的时候， 你可能一个 roi 的 话，可能会零，也可能会无穷大，是吧？也可能就说你投了几千万是吧？上亿你可能就亏了一点就亏没了，对不对？还有一种可能，什么就是你 你投资过去，那突然间那就是万亿市值是吧？你万亿市值，几千亿的流水，可你的投资就几千万，这个东西完全就不值一提嘛。所以说人家现在说了不要用 r o i 来定义现在的互联网，不要用 r o i 现在定义的现在 ai， 因为你没法定义这个投资一定是万倍的回报。

春节后开学考的第一道压轴题一定有逆的运算技巧，这是两道逆运算中非常经典的易错计算题，百分之九十的孩子都丢过分。 今天韩老师带你彻底搞懂这类题的解析技巧以及易错点，听完后再把这套寒假预习必刷练习题下载给孩子做一做，就不用再买别的资料了，做完后开学考稳稳拿分！我们一起来看这两个易错计算题。第一个， 负的 x 的 平方乘负 x 的 八次方的值是多少？这里很多同学的易错点就认为它们是同底数密相乘的一个计算，但是我们会发现指数二的底数其实是 x， 而指数八的底数是负 x， 它们两个不是同 底数，那所以我们第一步应该先将负 x 的 八次方进行一下化简。这里的化简的本质用到的其实是咱们积的乘方的运算法则，就是 ab 的 m 次方就等于 a 的 m 次方乘 b 的 m 次方，那这个负 x 就可以写成负一乘 x 的 八次方，那我们根据积的乘方的运算法则给它写成负一的八次方去乘 x 的 八次方，而负一的八次方等于一，所以它就等于负的 x 的 平方乘 x 的 八次方。那么接下来后面这两个才叫做同底数密相乘， 底数不变，指数相加，那么前面符号照抄，所以底数不变，指数相加，最终结果是负的 x 的 十次方。那接下来第二个也是一个非常经典的底数互为相反数的逆算乘积的计算方法。那在这里我们先观察一下， 如果他们的底数相同，我们就可以用这个运算法则，答案是，现在底数互为相反数，那我们就来看一下底数互为相反数，我们会得到什么样的结论。 二和负二互为相反数，它们两个是不相等的，但是我们会发现二的平方和负二的平方就是相等的，那么二的三次方和负二的三次方又不相等，但是二的四次方和负二的四次方又是相等的。 其实就找到了一个规律，就是当底数互为相反数的时候，如果指数是偶数，它们的结果其实是相同的，那所以我们就可以得到 a 减 b 和 b 减 a 互为相反数，那 a 减 b 的 平方就等于 b 减 a 的 平方，那同样 a 减 b 的 四次方就等于 b 减 a 的 四次方。 在题目中，我们也有指数为偶数的这个四，那所以这里的 y 减 x 的 四次方就等于 x 减 y 的 四次方，那么这里我们变的一定是变指数为偶数，那么他们是相等的， 那于是这道题就变成了一个同底数密相乘的题型，那我们再用运算法则，就是底数不变，指数相加，那最终的结果我们不用把它打开，直接写成 x 减 y 整体的这个形式即可。这种方法你学会了吗？

同学们好，我们今天接着来讲到点乘双根，点乘双根主要也是解决一些我们圆锥曲线里面的计算问题，帮助同学们呢提高一下计算效率。主要就是用到我们初中所学的两根式， 我们的一元二次方程有一般式，当然还有顶点式，还有一个什么两根式，对不对？这里呢？我们两根式啊，你可注意一般式与两根式它是怎么画的？一般是 a x 方加 b， x 加 c 等于零， 我们只要保证二次前面的系数 a 跟下面一样就可以了，然后它有两个根，对不对？这么可以写成 a 倍的 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二等于零。 我们在做圆锥曲线的时候，往往会去连立对不对？ a 分 之 x 方加上 b 分 之 y 方等于一。好，如果我们与直线 y 等于 k， x 加 b 去连立之后，肯定会形成一个 a x 方加 b， x 加 c 等于零的形式吧。 那么这个呢，我们是需要去计算啊，带到里面去才能算出来对不对？那我们有的时候不太需要去呃，知道 x 一 加上 x 二，或者说 x 一 乘 x 二用尾数定理吗？那么我们用了点乘双根之后呢，可以不需要去算出这方面的东西，然后怎么办？ 我们只需要把它写成 a 倍的 x 减 x 一， 然后再乘以 x 减 x 二等于零就可以了。具体怎么操作，我们看到下面的例题，椭圆 c 四分之 x 方加上三分之 y 方等于一， 若直线 l y 等于 k， x 加 m 与椭圆 c 交于 ab 两点，并且 ab 不 能是左右顶点。好，且以直线 ab 为直径的圆经过椭圆 c 的 右顶点，让我们求证 l 过定点， 那么意味着什么呀？我们的 a c 跟 c b 是 垂直的吧， c 点我们是已知对不对？右顶点嘛，就是二零， 所以 c 点我们这里写出来 c， 它是二零，然后呢？ a， 我 们设为 x 一 y 一， 然后 b 点，我们就是 x 二， y 二，我们要去求直线 l 横过定点，我们是不是得把 l 它去表示出来呢？因为我们的直线 l， 它是 y 等于 k， x 加 m， 所以 我们只要把 k m 的 关系去求出来啊，变成一个参数，就可以求出它过定点，对不对？这是我们的思路， 它跟我们条件是什么呀？条件就是这么一句，说白了也就是 c b， 它是垂直 c a 的， 我们用向量来表示，那么 c b 向量就等于我们用 b 点减去 c 点， x 二减去二，然后 y 二，还有呢？ c a 向量我们也表示出来， c a 向量就是 x 一 减二，然后 y 一。 好，我们现在条件是 c a 向量乘以 c b 向量等于零八，因为它们垂直嘛， c a 向量乘以 c b 向量等于零，我们把它乘起来，就是 x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二吧，就是 x 一 减二，乘以 x 二减二，再加上一个我们的 y 一 y 二等于零。 那么做到这里的时候，通常我们怎么办？我们是去把它连累，然后呢用伟大定律来做，我们连累之后， a 啊，四分之 x 方加上三分之 y 方等于一，然后直线是 y 等于 k， x 加 m， 对 不对？然后我们需要去把它连立出来之后，然后呢去用伟大定律，这里我们不考虑伟大定律了，我们用点乘双根来做，我们把它 把上面的式子先那个吧，先把它化成整数，化成整数就是三 x 方加上四倍的 y 方，再减十二等于零。然后呢，我们把这个 y 直接带进来就可以了，就得到了我们的 三 x 方加上四倍的括号 k， x 加 m 平方，再减去一十二等于零。我们这里呢，用点乘双根就不需要去进行多精细的计算了，我们只要注意我们的 x 方前面的系数， 我们这里是三倍的 x 方，这里呢四 k 方倍的 x 方，所以总共是三加上四 k 方倍的 x 方吧，那么就可以写成什么 三加四 k 方倍的 x 减 x 一， 还有呢， x 减 x 二，对不对？这个呢，就是我们所谓的什么一个点乘以它的两个根的形式，我们的点乘双根的形式就可以了。 然后我们现在已有的条件是 x 一 减二乘以 x 二减二，对不对？还有 y 一 y 二，我们这里当然是不希望有 y 一 跟 y 二的了，我们怎么办？我们用直线方程把它换成 x 一 x 二吧，那它就变成了我们的，我们写下 x 一 减去二，然后再乘以 x 二减二，再加上 y 一 乘以 y， 那 么就是 k 倍的 x 一 加上 m， 然后再乘以 k 倍的 x 二加上 m， 对 不对？然后等于零。那 我们怎么样把这个式子来表示出来它这一项呢？所以让我们观察一下，你这里有一个 x 一 减二，还有 x 二减二，对不对？你这里呢，有 x 减 x 一， 还有 x 减 x 二，那我们这里是不是可以把它换个方向来写一下？我们写成三加上四 k 方倍的 括号 x 一 减 x， 然后乘以 x 二减 x， 这两个式子呢？它是等价的，对吧？没问题吧？ 好，我们现在看到 x 一 减二， x 二减二，我们是不是只要令 x 它等于二就可以了？我们负值嘛？对不对？那么就出现了 x 一 减二乘以 x 二减二。好，我们令 x 等于二，第一步令 x 等于二，那么就得到了 三加上四 k 方倍的括号，然后 x 一 减二，然后乘以 x 二减二等于零，对不对？ 我们令 x 等于二，带到这个式子和带到第一个，我们没有用两根式的设置是不是一样？带到一般式里面，他们的值应该是相等的，对不对？所以把 x 等于二也带到这个里面来， 他应该就可以写成等于我们的三乘以四，然后这里是十二，然后再加上一个四括号。我们的 x 二嘛，就是二 k 再加上 m 的 平方 减去一十二，刚好这个十二怎么样？他消掉了吧，这两个十二，所以呢，他这两个式子其实是相等的，然后我们这一项是我们需要的，那么我们的 x 一 减二乘以 x 二减去二，他就等于我们把它除过来，就是 四倍的括号，二 k 加上我们的 m 平方，比上一个三加四， k 方就写完了。好，那么这一项呢，我们现在是不是用 k 把它， k 跟 m 把它表示出来了？还有一项什么？这个我们也需要去用 k 跟 m 把它表示出来吧， 但是这一项的时候，同学们要注意，这个 x 一 跟 x 二怎么样？它前面都有一个系数 k， 对 不对？但是我们这个式子里面呢？ 啊，包括下面的式子也是一样的，你的 x 一 跟 x 二前面它是没有任何系数的吧？那怎么办？我们这里怎么样？两个式子同时去提取一个 k 就 可以了嘛？所以这个式子它可以写成 我们第一个式子，提取一个 k 就 变成了 x 一 加上 k 分 之 m， 然后呢，这里也提取一个 k， 前面就是 k 方了，然后就是 x 二加上 k 分 之 m， 对 不对？那么我们这一项啊就写完了， 然后这一项的话，我们怎么用这个式子来表示？你看看我们的 x 一 啊，对应了 x 一， 那么我们是不是只要令 x， 它等于负的 k 分 之 m 就 可以了呀？所以我们下面这个式子，我们令 x 等于负的 k 分 之 m， 然后同样我们先带到这个式子里面来，我们会得到一个 三倍的 k 分 之 m 平方 k 方分之 m 方，然后再加上四倍的括号，好负的 k 分 之 m， 然后这里就是负 m 加 m 就是 零了刚好，然后就减去十二，所以这一项是没有的啊，这一项是没有的，然后直接减去十二就可以了， 减一十二，然后就等于我们再带到下面这个数字里面来吧，就是三加上四 k 方倍的括号 x 一 加上 k 分 之 m， 括号 x 二加上 k 分 之 m， 你看看这一项，我们这里是不是就出现了还有一个 k 方，前面对不对？说左右两边再同时乘以一个 k 方也是没有任何问题的啊，乘一个 k 方，这边呢？我们也乘一个 k 方，所以这个整体上就是我们需要的，所以最后我们的 k 方 括号 x 一 加上二分之 m， 然后 x 二再加上二分之啊， k 分 之 m， 不好意思， k 分 之 m， 它等于我们的 这里是 k 方， k 方跟这个 k 方怎么样？我们稍微化解一下，所以这个 k 方就不要写了，那分子就变成了三 m 方，然后减去十二倍的 k 方，比上我们这里的三加四 k 方，所以这一项啊，我们也表示出来了， 那么这个整体呢？我们是不是可以用这一项加上这一项就可以了啊？我们把它写下来，就是三加上四 k 方，分之四倍的括号。二 k 加 m 的 平方，再加上一个三加四 k 方，分之 三 m 方，然后减去十二倍的 k 方，等于零。我们把这个化减一下，然后呢把 k 跟 m 的 关系求出来，它们两个分母都是一样的，并且都不可能为零，所以我们不写分母了，我们来算一下，我们先把第一个展开 四倍的括号啊，平方就是四 k 方，再加上一个，这里是二 k 加 m， 对 不对？就是 四 k m， 再加上 m 方，然后呢再加上一个三 m 方，减去一个十二倍的 k 方，接着往下算， 十六倍的 k 方，再加上十六倍的 k m， 然后再加上四倍的 m 方，加上三 m 方，减去十二倍的 k 方，就变成了四倍的 k 方，加上十六倍的 km， 然后再加上一个七倍的 m 方，等于零，那么就是这个式子，让我们去解，我们主要就解什么？解 k 与 m 的 关系，那么这里是不是可以十字相乘，我们这里是二二，然后七一二七一十四，加上刚好是十六吧，所以是二 k， 然后加上七 m， 乘以我们的二 k 加上 m 等于零，所以这里 k 算出来有两个值啊， k 跟 m 有 两个关系，第一个我们的 k 它等于负的二分之七 m， 那 么此时我们把直线去写出来就可以了，我们带到直线里面就能得到 y 等于负二分之七 mx， 然后呢，再加上 m 就等于我们的一减去二分之七 x 倍的 m， 所以呢，我们过的定点是什么？我们只需要令 x 等于七分之二就可以了，所以这里过的第一个定点就是七分之二零，没问题吧？那还有第二个答案，把第二个答案我们写到上面来。 第二种情况，我们是这个需要去减一下，我们此时 k 等于负二分之一倍的 m， 开到直线里面得到 y 等于负二分之一 mx， 再加上 m 同样等于我们的负二分之一 x 加上一倍的 m， 那 么此时我们的 x 过的是什么？令 x 等于二就可以了，所以这里过的是二零，这个当然怎么样？需要舍去吗？ 二零是什么？不就是 c 点吗？对不对？所以这里我们把它舍去，所以最后呢，只有一个答案，就是我们的七分之二零，那么这个题目就做完了，那就通过这个例题，同学们应该知道点成双根是什么意思，并且知道应该怎么使用，对不对？我们主要是利用到了 我们这个一般式可以换成什么？两根是，当然你跟他的顺序不一样的时候，你把这两个怎么样？全部换个头吗？他不是一样的，你 全部都提取一个负号，它乘起来还不是正一。然后呢，通过负值，我们把我们所需要的部分去直接表示出来就可以了，注意它一个式子是没办法表示的，你得跟前面的一般式去相等就可以了。这里避免了什么？ 避免了我们去呃连累的精确计算，以及我们去算为哪定律吧？ x 一 加 x 二都要去算的，对不对？那这里的计算量其实是稍微的减少了很多。好，那么这就是今天我们要讲的内容，希望同学们有所收获，再见。