冀教版六年级下册数学第三单元正比例

嗨，同学们大家好，欢迎来到咖老师的数学小课堂，我是最懂你们的咖老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第一课时，叫做认识成正比例的样， 比例这个概念呢，以前我们已经接触过了，那正比例又是什么呢？哎，别着急，我们通过下面这个例子来了解一下。 现在说啊，有一辆汽车八点出发时，里程表上显示的千米数是八千七百二十四，行驶一小时之后，里程表的千米数是八千八百一十四，现在问汽车一小时行驶了多少千米？ 哎，首先啊，这里面有个概念叫做里程表，这个呢，可能很多同学不了解，或者完全没有听说过。好，这个里程表是什么呢？里程表显 显示的就是这样，汽车一共行驶了多少路程？好，那我们可以看到，刚开始呢，在出发的时候，上面的毒素是八千七百二十四，一个小时之后呢，变成八千八百一十四了。好，那这中间差了多少呢？哎，那就是八千八百一十四， 减去八千七百二十四等于九十千米， 那差的这九十千米是不是就是他这一小时所行驶的路程呀？对吗？好，那这样，第一问，一小时行驶多少千米，我们就求出来了。好，答一下。 那紧接着我们再来看第二位，如果汽车的速度不变，请完成下面这个表格。好，我们来看一下啊，下面这个表格列的是什么呢？哎， 也就是当他时间分别为两个小时、三个小时，四个小时、五个小时等等，对应的路程分别是多少？ 好，我们可以看到两小时呢对应的路程，那就是用时间乘以刚刚我们求出来的速度，九十二九，一百八十千米。好，那么三个小时呢，三乘九十是二百七，接下来呢，这个四个小时算出来的路程就是三百六十千米。好， 所以后面都是一样的道理，并不难，对吗？考察的就是我们对路程问题基本公式的一个掌握程度。好，那接下来呢，下面这两个我们快速算一下，五个小时呢，五九四百五十千米，六个小时呢，六乘以九十等于五百四十千米。 好，这个表格呢，我们就填完了。再接下来第三问，写出相对应的路程和时间的比，并求笔直。 你发现了什么？好，这问就要涉及到我们今天要讲的正比例了。好，所以同学们认真来看。好，那首先呢，现在让我们写出他的笔并求笔直。那这个是以前我们所学过的一个基础知识。好，比如说第一页数 两个小时对应的路程是一百八十千米，那我们就直接用路程比上时间。好，老师写在下面，一百八十比二。 好，那求出来的这个比值是多少呢？我们说一百八十比二，表示的其实就是一百八十除以二，那自然结果就是九十。 哎，其实啊，同学们看一下，这个九十不还是我们刚刚求出来的什么呀，那个速度吗？对吗？好，那紧接着下面这个也一样，二百七十比三。好，老师写在上面， 那其 其实球的还是速度还是九十，对吗？好，那后面以此类推，我们快速的写一下，三百六十比四， 他还是相当于路程除以时间等于速度，那这个呢，四百五十比五，自然还是九十，最后五百四十比六， 结果依然是九十。好，到这呢，每一个笔和笔直我们就求出来了。好，那能发现什么呢？很明显的一点，笔直都一样呀，对吧？为什么呀？因为我们刚才一直在说，这求出来的不就是速度吗？既然你速度没变，求出来的当然都是一样的。 好，那这个就是我们今天所讲的正比一了。好，我们首先呢，先把课本上的正比一的概念拿出来我们看一下，课本上呢，对于正比一的定义是这样的，两种相关 三年的样，一种样变化，另一种样也随着变化。如果这两种样中相对应的两个数的笔直是一定的，这两种样就叫做成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系。比如说我们刚刚前面讲的这道例题， 一个路程，一个时间，两者呢，是相关联的样。哎，这个相关联的样怎么理解呢？哎，就是他们之间是有关系的，一个变化，另外一个也会随着变化。 那么再举一个反力啊，比如说老师的身高和坐在镜头前面你的体重，这之间有没有关系呢？哎，明显是八竿子打不着的，所以这两者之间呢，就不能说是相关前的样了。 好，紧接着呢，第二点也很重要，这两个数怎么样？他们的笔直必须是一定的，就是我们刚才第三位里面算出来的 路程比上时间都等于那个速度九十，对吗？好，那么这两个样就是正比一的样。好，当然，这个定义啊，看起来有点太长太啰嗦了，不好记。那怎么办呢？我们抓重点，把它总结成三个字，好，老师呢， 就把它总结成这样，三个字，商一定，这个笔直，不就是求商吗？对吧？所以呢，在判断是否成正比一的样的时候，第一先看他们是否是相关人员的两个量，第二最关键的还是这三个字， 二者除一下，看一看商是否一定就可以了。好，那紧接着对于正比例还有这样的一个特性。好，我们一起来看一下，这个也是老师总结的八个字，你大我大你小我小，什么意思呢？就是你变大呀，另外一个样也会跟着变大，你变小， 另外一个样跟着变小，比如说刚才随着时间慢慢推移，那么路程呢，也会随之增加，对吗？好，在这里面注意一点，这个你大我大你小我小啊， 这个大指的是扩大，小呢，是缩小，也就是说必须是扩大和缩小一定的倍数才可以。哎，你不能说你加几我跟着加几，你减几我跟着减几，那就不对了。好，那说完了这个正比例的含义和他的一些性质，接下来我们来看一看。第二 自动比的单价呢，是一点六元，也就是一块六。好，请完成下面这个表格。首先呢，第一行给的是数量，第二行让我们算的是总价。好，那这个很简单，其实呢，就是考察我们总价，数量和单价之间的一个关系是。好，那么我们说总价 等于什么呢？总价等于数量乘以单价，那剩下的这四个我们快速的计算一下是不是就可以了？好，以他为例，现在呢，数量是五，单价是一点六元，那么五乘以一点六等于多少呢？等于八。 好，那后面三个我们快速的算一下，六乘以一点六等于九点六，七乘以一点六等于十一点二，八乘以一点六等于十二点八。 好，这样的话呢，几个结果我们就算完了。现在下面有这样一个问题，从上表中你发现了什么样的规律 好，这个规律其实也挺明显，而且挺简单的。什么规律呢？就是随着这个数量的增加，下面的总价怎么样也随之增加了。所以呢，首先我们可以断定他们是相关人的两辆，对吗？ 紧接着第二问，花的钱和买的自动比的数量，这两个量之间是否成正比一的关系？为什么？好，那其实呢，就需要用到我们刚才说的正比一的一个定义和判断方法了。那么老师刚才总结的就三个字，同学们还记得吗？ 商已定，对吧？我们反过来除一下不就可以了吗？好，以第一页数为例，用总价除以数量，三减二除以二，求差是单价一点六元。 那第二页呢？四点八除以三等于一点六，第三页六点四除以四等于一点六。好，那后面其实就不用算了， 除完之后都等于一开始这个单价一点六元，对吗？好，所以呢，他们的商是一定的，所以二者成正比例的关系， 或者呢，也可以说这两个样是乘正比例的量。好，那接下来呢，例题我们就全部说完了，接下来我们再来看一看后面的课后练习题。 首先呢，第一题，让我们判断下面个题中的两个量是否成正比例，并且说明有怎么判断呢？还是那三个字啊，看他们是不是商一定。好，那接下来呢，我们就以第一小问为一。 第一位呢，说的是飞机飞行的速度不变，飞行的路程和时间。好，在这里面不用管是飞机还是汽车，是轮船还是火箭，我就看什么呢？ 速度，路程和时间。好，现在呢，速度是不变的。那我们看一下后面这两者，除一下他们的伤是否是一定的？那很显 然和刚才前面那道立体是一样的，路程除以时间等于速度，而现在速度是不变的，那也就相当于是伤一定了。所以呢，这两者之间成正不一的关系。好，那接下来呢？第二个， 每千克苹果的价钱，一定付出的钱和购买的苹果的数量之间成什么关系？好，首先这三者有没有关系啊？哎，一定是有的，这个呢，相当于是什么呀？ 单价这个呢？总价这个就是数量了。好，那所以又回到单价，总价，数量三者之间的关系上了，现在相当于是单价一定，那么还是除一下，看看商变不变好，那我们用总价除以数量求出来的是单价，单 下既然不变，也就是说伤一定好，所以呢，这两者之间也是整鼻的关系。那接下来还有一个第三问，我们来看一下第三问说的是什么呢？ 每月的收入一定，然后呢，每月的支出和剩下的钱，他们之间是不是成正比级的关系？ 首先我们要先说一点，这三者之间有没有关系呢？是不是相关联的量呢？哎，很明显是的啊，比如说我一个月一共挣了四千块钱，好花了三千，还剩一千，那他们之间是什么样一个关系呢？哎，其实就是四千减去三千等于一千。 好，当然呢，我也可以反过来说。反过来怎么说呢，我也可以说啊，我每个月花的钱和我 剩下的钱，这加起来啊，就等于我这个月一开始的收入，也就是三千加一千等于四千。 好，那你这样一看，是不是就能发现问题所在了，这相当于是什么呀？相当于他们的核已定了，对吗？ 那我们前面一直在说正比一，正比一，最后是商一定，那合一定，那自然就不是正比一的关系了，只能说他们是相关宴的样，但是不是正比一好，好，那到这呢，这三个选项我们就都判断完了，接下来呢，我们再来看一下第二道练习题， 一个化肥厂的生产情况呢，如下表，根据表中的数据回答问题。好，我们来看一下这个表里面，第一行是时间，第二行是生 产量。好，接下来呢，第一问，表中有哪两种相关联的量。哎，这个太明显了，就是前面的时间和生产的总量。 好，那接下来呢，表中相关言的这两个样啊，是不是成正比一关系？为什么好，那还是除一下，看伤是不是一定 好。那么就来除一下，比如说呢，第一页，我们用生产的总量除以天数。好，八十除以一，这个口算都可以算了，对吧？等于八十，那接下来呢？第二列，一百六十吨除以两天，求出来多少呀？ 也是八十。哎，实际上这个比求的是什么呢？其实就是他每一天的一个生产的效率，对吧？好，那以此类推。第三个，二百四十除以三还是八十，三百二十除以四， 依然是八十。好，剩下三个老师就不再一个一个去算了，同学们可以自己快速的口算一下，都是八十对吧。好，所以呢，这就相当于他每天的生产效率是固定不变的，也就是商一定了。好，所以呢，二者是成正比一的。 好，那到这呢，今天的题目就全部讲完了，简单总结一下，今天呢，我们只是对正比例做了一个初步的认识和了解，那对于正比例呢，关键点在于正比例两个样的判断。 好，我们只需要记住三个字就可以了，就是商一定。 ok， 那今天的课程呢，到这就全部告一段落，同学们，我们下一节课再见。

六下正比例第一题，下面式子中， x 与 y 成正比例关系的是 x 和 y 都不为零。首先你得知道啥玩意是正比例？首先是两个相关联的量，其中一个变化，另一个也跟着变化，做他们的比值一定，则这两个量成正比例关系。所以，判断两个量是否成正比例关系， 主要通过比值是否一定。先看 a 选项 x 加二等于 y， 那 就说明 y 减 x 等于二，这表示啥？表示差一定，而不是比之一定 pass。 再来看 b， x 减六等于 y， 就 说明 x 减 y 等于六，还是差一定 pass。 再来 c， x 等于 y 等于九，就说明 x 乘 y 等于九，这说明 g 一定 pass。 再来看 d， x 等于五分之 y， 就 说明 y 除以 x 等于五，也就是 y 比 x 的 比值是五，就说明 x 和 y 的 比值是一定的，那这道题就选 d。 第二题， a 和 b 成正比例关系， 当 i 等于一点二十， b 等于六，当 i 等于零点三十， b 等于多少？由于 i 和 b 的 比值是一定的，那我们就先求一下 i 和 b 的 比值是多少。 当 i 等于一点二时， b 等于六，那就用一点二除以六，算出比值是零点二。问题问， i 等于零点三时， b 等于多少？也就是求零点三比多少等于零点二，所以就用零点三除以零点二等于一点五，所以答案选 b。

大家好，我是学弱拯救者何老师，今天呢，咱们来讲计较版，小学六年级下 这个第三张正比例，反比例，然后同学们的话简单可以看一下这个插图啊，因为我最近其实也知道了关于这个人教版插图的事，然后我去瞅了一下我人教版那个书，哎，中招了，兄弟们别说了。 嗯，我之前这不是在河北这边教书吗？然后就是都是以计较版为主，然后我想这不是我开始做短视频了吗？我说就是也把人教版都做做吧，这样大家什么版都有，就是 结果人家把那个事我不知道，一开始我不知道，我买书时候根本就没有这个事，结果买完了吧，这大概有一个多月了， 然后出了这么大的事，哎，反正我这个跟热度蹭热度都没蹭到，哈哈，什么都别说了，明天吧，明天我好好出一期这个的相关视频。好吧，大家先看看这上头的插图，你看这个是小兔子，这个人都是这样的，虽然说很简单啊， 他画的很简单，但是这个都是很正常，你说也没有什么美国的新调皮啊，还有什么小老鼠啊，小兔子，小男孩啊，小青蛙呀，就这些就正常的，也没有什么长得这些乱七八糟的玩意， 这就是这都是很很正常的插图，不是不说精美吧，但是也是很那个正，很正常就正常样子，你看这都是标准的正常的，就中国人这个穿着你出去能找着这样穿穿衣服的人， 他也不是那种大脸，什么那个跟他脑瘫似的那种脸是吧，你看这个正常的，你生活中可以找到这样的妈妈，就是这个发型吧，可能比这个长一点，这个发型可能不是，那么也还行，他生发型也比较常见，他 这算是烫卷，没烫卷，没烫卷的话那就比较常见吧。然后 别的插图，你看这种插图都是很那个什么画的，这个插图虽然说不说精美啊，但是他都很正常。你看这些正常的这个插图，这些人就说不精美吧，但是说他很正常。 好吧，那咱们就不不不叨叨闲话了，开始今天这个正比例，反比例啊。其实正比例，反比例这样的很多东西我们之前都讲过，同同学肯定很疑问啊，当时 啥时候讲过呀？我完全不知道啊。你们看他们这个公式，路程除以时间等于速度，笔直一定，看他是不是很熟。速度 乘时间等于总路程 熟了吧，他这个就是比之一定就是 他这个笔直就相等，可以说这个是笔直一定，这个也是总价除以数量等于单价就变成数，数量成单价等于总价。 然后你看啊，看定义啊，两种观念量，一种变化，另一种随着变化，这两种量变化比 这一定，这两种量叫做成正比例的量，叫正比例。关系就是这个是正比例，就是，呃，因为单价是一定单价一定的总量和数量就是总量，越总价越多，他数量就越多。 嗯，路程和时间也是他速度一定，你路程越长，需要的时间越多。路程越短，需要的时间越少，就上头变大，底下就变大，上头变小，底下就变小。 然后第二个的这个比例的话就是笔直，一定啊，就是说，嗯，一个这个不变，就是一个除一个等于一个， 是吧？他这个三个量嘛，就比如说速度乘时间等于总路程，就是路程除以时间等于速度，这两个的笔直就是一定的，这种形式 的比值他就是一定的，他就是这个正比例。嗯，大家看一下什么是反比例啊？反比例就是，其实我这个就是反比例，速度成时间总于总路程，就是你总路程不变，速度越快，速度越快，用的时间越少。 呃，用的时间越多，速度越慢 啊。不是啊，对着用的时间越多，送的越慢，就是一个越大，一就是另一个就越小。你咱就打打总录成是十千米吧。我这猛猛一说，大家可能有点晕啊。速度就比如说一小每小时，一千米 乘以十小时等于十千米，但是速度要是每小时十千米，那乘一小时那就是也是十千 千米，你看他变啊。速度假如是两千米每小时是吧？两千米每小时乘以几啊？乘以五，哎，等于十千米乘五小时，五小时乘等于十千米， 就是这个越大，另一个就越小，一个越大，另一个就越小，这就是这个反比例。你看这每天看的页数，需要的天数输的总页数，总页数是不变的。你看的每天看的数，页数越多，需要的天数就越少，你每天看的，呃 页数越少，需要的天数就越多。零钱的面值，零钱的章数等于十元，这一样，当然十元这个有点小，你就扔了个百元，对吧？然后大家看这个 ee 啊， 就是这就是刚才那些咱们说的这个当总价一定，单价和数量成。什么？当总价一定就是相当于当这个总路程一定他这个 单价和数量成反比，单价越贵，数量越少，单价越便宜，数量越多，那数量一定呢？总价和单价反比，而不是正比，这个是第一个是反比，第二个是正比，单价一定也一样， 总总价数量单价是一样，那总价越贵，那数量肯定就越多，总价越便宜，数量就越少。其实跟这个一样，数量一定这个总价越贵，他单价就越贵。你看大家可以用这个 字母指带数之前咱们有这么一张，然后放到这里，这就是正比例，外出 x 等于 k， 然后反比例就是外 x 乘外 等于 k， 就是这样。然后咱们看练一练啊，这个就是把前头那个实际应用啊，汽车每次运货的吨数，运货的次数和运货的总吨数这三种量，什么情况是正比，什么情况是反比？ 看啊，墩鼠 乘次数等于总吨数。说到这，同学们我就不用再多言了吧， 是吧？这个乘这个是什么？那这个就是反比了，那总吨数除以次数，然后等于吨数就是正比，总吨数除以吨数等于次数也是正比，就这样，其他的这些 也是这样的。好吧，那本期就到这了，明天给大家说说关于这个课本插图的问题，给大家好好详细的讲一讲。那好，这里是学生拯救者何老师，大家期末考试都要努力啊。嗯，祝大家都能考个好成绩，我们下期再见。

hi， 同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第一课时，叫做认识成正比例的样， 比例这个概念呢，以前我们已经接触过了，那正比例又是什么呢？哎，别着急，我们通过下面这个例子来了解一下。 现在说啊，有一辆汽车八点出发时，里程表上显示的千米数是八千七百二十四，行驶一小时之后，里程表的千米数是八千八百一十四，现在问，汽车一小时行驶了多少千米？ 哎，首先啊，这里面有个概念叫做里程表，这个呢，可能很多同学不了解，或者完全没有听说过。好，这个里程表是什么呢？里程表 显示的就是这辆汽车一共行驶了多少路程。好，那我们可以看到，刚开始呢，在出发的时候，上面的读数是八千七百二十四，一个小时之后呢，变成八千八百一十四了。好，那这中间差了多少呢？哎，那就是八千八百一十四， 减去八千七百二十四等于九十千米， 那差的这九十千米是不是就是他这一小时所行驶的路程呀？对吗？好，那这样，第一问，一小时行驶了多少千米，我们就求出来了。好，答一下。 那紧接着我们再来看第二问，如果汽车的速度不变，请完成下面这个表格。好，我们来看一下下面这个表格列的是什么呢？诶， 也就是当他时间分别为两个小时、三个小时、四个小时、五个小时等等，对应的路程分别是多少？好，我们可以看到两个小时呢对应的路程，那就是用时间乘以刚刚我们求出来的速度，九十二九，一百八十千米。 好，那么三个小时呢，三乘九十是二百七，接下来呢，这个四个小时算出来的路程就是三百六十千米。好，所以后面都是一样的道理，并不难，对吗？考察的就是我们对路程问题基本公式的一个掌握程度。好，那接下来呢，下面这两个我们快速算一下，五个小时呢，五九 四百五十千米，六个小时呢，六乘以九十等于五百四十千米。好，这个表格呢，我们就填完了。再接下来第三问，写出相对应的路程和时间的比，并求比值， 你发现了什么？好，这一问就要涉及到我们今天要讲的正比例了。好，所以同学们认真来看。好，那首先呢，现在让我们写出他的笔，并求笔直，那这个是以前我们所学过的一个基础知识。好，比如说第一页数 两个小时对应的路程是一百八十千米，那我们就直接用路程比上时间。好，老师写在下面，一百八十比二。 好，那求出来的这个比值是多少呢？我们说一百八十比二，表示的其实就是一百八十除以二，那自然结果就是九十。 哎，其实啊，同学们看一下，这个九十不还是我们刚刚求出来的什么呀，那个速度吗？对吗？好，那紧接着下面这个也一样，二百七十比三。好，老师写在上面，那其 是求的还是速度还是九十，对吗？好，那后面以此类推，我们快速的写一下，三百六十比四，还是相当于路程除以时间等于速度，那这个呢，四百五十比五， 自然还是九十，最后五百四十比六，结果依然是九十。好，到这呢，每一个笔和笔值我们就求出来了。好，那能发现什么呢？ 很明显的一点，笔直都一样呀，对吧？为什么呀？因为我们刚才一直在说，这求出来的不就是速度吗？既然你速度没变，求出来的当然都是一样的。好，那这个就是我们今天所讲的正比例了。 好，我们首先呢，先把课本上的正比一的概念拿出来我们看一下，课本上呢，对于正比一的定义是这样的，两种相关 三年的样，一种样变化，另一种样也随着变化。如果这两种样中相对应的两个数的比值是一定的，这两种样就叫做成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系。 比如说我们刚刚前面讲的这道例题，好，一个路程，一个时间，两者呢，是相关联的样。哎，这个相关联的样怎么理解呢？哎，就是他们之间是有关系的，一个变化，另外一个也会随着变化。 那么再举一个反例啊，比如说老师的身高和坐在镜头前面你的体重，这之间有没有关系呢？哎，明显是八竿子打不着的，所以这两者之间呢，就不能说是相关演的样了。 好，紧接着呢，第二点也很重要，这两个数怎么样？他们的比值必须是一定的，就是我们刚才第三位里面算出来的 路程比上时间，都等于那个速度九十，对吗？好，那么这两个样就是正比一的样。好，当然，这个定义啊，看起来有点太长太啰嗦了，不好记。那怎么办呢？我们抓重点，把它总结成三个字。好，老师呢， 就把它总结成这样，三个字，商，一定，这个笔直，不就是求商吗？对吧？所以呢，在判断是否成正比一的样的时候，第一先看他们是否是相关联的两个样，第二最关键的还是这三个字， 二者除一下，看一看伤是否一定就可以了。好，那紧接着对于正比例还有这样的一个特性。好，我们一起来看一下，这个也是老师总结的八个字，你大我大，你小我小，什么意思呢？就是你变大呀，另外一个样也会跟着变大，你变小， 另外一个要跟着变小，比如说刚才随着时间慢慢推移，那么路程呢，也会随之增加，对吗？好，在这里面注意一点，这个你大我大，你小我小啊，这个大指的是扩大，小呢，是缩小，也就是说必须是扩大和缩小一定的倍数才可以。 哎，你不能说你加几我跟着加几，你减几我跟着减几，那就不对了。好，那说完了这个正比例的含义和它的一些性质，接下来我们来看一看。例二， 自动笔的单价呢？是一点六元，也就是一块六。好，请完成下面这个表格。首先呢，第一行给的是数量，第二行让我们算的是总价。 好，那这个很简单，其实呢，就是考察我们总价数量和单价之间的一个关系式。好，那么我们说总价 等于什么呢？总价等于数量乘以单价，那剩下的这四个我们快速的计算一下是不是就可以了？好，以他为例，现在呢，数量是五，单价是一点六元，那么五乘以一点六等于多少呢？等于八。 好，那后面三个我们快速的算一下，六乘以一点六等于九点六，七乘以一点六等于十一点二，八乘以一点六等于十二点八。 好，这样的话呢，几个结果我们就算完了。现在下面有这样一个问题，从上表中你发现了什么样的规律 好，这个规律其实也挺明显，而且挺简单的。什么规律呢？就是随着这个数量的增加，下面的总价怎么样也随之增加了。所以呢，首先我们可以断定他们是相关人的两量，对吗？ 紧接着第二问，花的钱和买的自动笔的数量，这两个量之间是否成正比一的关系？为什么？好，那其实呢，就需要用到我们刚才说的正比一的一个定义和判断方法了。那么老师刚才总结的就三个字，同学们还记得吗？ 商一定，对吧？我们反过来除一下不就可以了吗？好，以第一页数为一，用总价除以数量，三点二除以二，求出来是单价一点六元。 那第二页呢？四点八除以三等于一点六，第三页六点四除以四等于一点六。好，那后面其实就不用算了， 除完之后都等于一开始这个单价一点六元，对吗？好，所以呢，他们的商是一定的，所以二者成正比例的关系， 或者呢，也可以说这两个样是成正比例的样。好，那接下来呢，例题我们就全部说完了，接下来我们再来看一看后面的课后练习题。 首先呢，第一题，让我们判断下面各题中的两个量是否成正比例，并且说明已有。怎么判断呢？还是那三个字啊，看他们是不是商一定。好，那接下来呢，我们就以第一小位为例，第一位呢，说的是飞机飞行的速度不变，飞行的路程和时间。 好，在这里面不用管是飞机还是汽车，是轮船还是火箭，我就看什么呢？速度，路程和时间。好，现在呢，速度是不变的。那我们看一下后面这两者除以下，他们的伤是否是一定的？那很显 然和刚才前面那道例题是一样的，路程除以时间等于速度，而现在速度是不变的，那也就相当于是商一定了。所以呢，这两者之间乘正比一的关系。好，那接下来呢，第二个， 每千克苹果的价钱，一定付出的钱和购买的苹果的数量之间成什么关系？好，首先这三者有没有关系啊？哎，一定是有的，这个呢，相当于是什么呀？ 单价这个呢？总价这个就是数样了。好，那所以又回到单价、总价数样三者之间的关系上了，现在相当于是单价一定，那么还是除一下，看看商变不变好。那我们用总价除以数量求出来的是单价，单价 价截然不变，也就是说商一定好，所以呢，这两者之间也是正比的关系。那接下来还有一个第三问，我们来看一下第三问说的是什么呢？ 每月的收入一定，然后呢，每月的支出和剩下的钱，他们之间是不是成正比的关系？ 首先我们要先说一点，这三者之间有没有关系呢？是不是相关联的量呢？哎，很明显是的啊，比如说我一个月一共挣了四千块钱，好花了三千，还剩一千，那他们之间是什么样一个关系呢？哎，其实就是四千减去三千等于一千。 好，当然呢，我也可以反过来说。反过来怎么说呢，我也可以说啊，我每个月花的钱和我 剩下的钱，这加起来啊，就等于我这个月一开始的收入，也就是三千加一千等于四千。 好，那你这样一看，是不是就能发现问题所在了，这相当于是什么呀？相当于他们的和已定了，对吗？ 那我们前面一直在说正比翼，正比翼，最后是商一定，那和一定那自然就不是正比一的关系了，只能说他们是相关的样，但是不是正比一好，好，那到这呢，这三个选项我们就都判断完了。接下来呢，我们再来看一下第二道宴席题， 一个化肥厂的生产情况呢，如下表，根据表中的数据回答问题。好，我们来看一下这个表里面，第一行是时间，第二行是生 生产量。好，接下来呢，第一问，表中有哪两种相关年的量。哎，这个太明显了，就是前面的时间和生产的总量。 好，那接下来呢，表中相关联的这两个样啊，是不是成正比例关系？为什么好，那还是除一下， 看商是不是一定好，那我们就来除一下。比如说呢，第一列，我们用生产的总量除以天数。好，八十除以一，这个口算都可以算了，对吧？等于八十，那接下来呢？第二列，一百六十吨除以两天，求出来多少呀？也是八十。 哎，实际上这个比求的是什么呢？其实就是他每一天的一个生产的效率，对吧？好，那依次推第三个，二百四十除以三还是八十，三百二十除以四， 依然是八十。好，剩下三个老师就不再一个一个去算了，同学们可以自己快速的口算一下，都是八十对吗？好，所以呢，这就相当于他每天的生产效益是固定不变的，也就是商一定了。好，所以呢，二者是乘正比一的。 好，那到这呢，今天的题目就全部讲完了，简单总结一下，今天呢，我们只是对正比例做了一个初步的认识和了解，那对于正比例呢，关键点在于正比例两个样的判断。 好，我们只需要记住三个字就可以了，就是商一定。 ok， 那今天的课程呢，到这就全部告一段落，同学们，我们下一节课再见。

我们今天先来读一首儿歌，数青蛙，预备起，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿， 三只青蛙三张嘴，六只眼睛耍两腿。在这首儿歌当中，你有什么数学发现吗？刘新业，随着青蛙之数的增加，眼睛的数量也会跟着增加哦，那你能具体说一说它们是怎么增加的？眼睛的数量是青蛙之数两倍， 看起来青蛙的之数变化，青蛙眼睛的个数也会跟着变化， 一个量变化，另一总量也随着变化。数学中把这两种量叫做两种相关联的量。那请你们看一看，在这首儿歌当中，还有没有什么相关联的量带起来， 青蛙腿数也是随着青蛙之数的增加而增加，青蛙腿数总是青蛙之数的四倍， 对不对？对，那知道了什么是相关联的量？同学们，你们也来说一说，生活中还有哪些是相关联的量吗？周梦婷， 汽车行驶的时间越长，他走的路程也会越长，时间和路程是相关联的量还有吗？邱军德，我买的本子数量越多，用的钱就越多，数量和总价是相关联的量。老师也找来了五组量， 先请同学们仔细观察在这些表格当中他的数据变化情况，然后再思考如果我们来根据变化情况来分类的话，可以怎样分。 最后再把你的分类的理由和私人小组里一起讨论讨论。好开始。看样子大部分同学都有结果了， 谁愿意来说一说？陈嘉欣，我把五项数据分为两类数据， a、 b、 d、 e 中一个数量的变化会引起另一个数量的变化，如时间越长，走的路程就越多，所以把他们分为一类。 数据 c 中，体重没有随着年龄的变化而变化，所以把它单独分为一类。哦，是的，我们来看，在这里 体重并没有随着年龄的变化而变化，体重和年龄是没有联系的，两个量在数学当中称为无关的量。 那还有其他不同的想法吗？刘哥来，我把这五组数据分为三类，其中 a、 b、 d 分 为一类，我再把 e 单独分为一类。因为运媒的铅数增加，而每天运的分数反而在减少， 所以我把它单独分为一类。 c， 我 与陈家兴的想法一致。不？这两位同学，他们的分类结果是有什么联系吗？莎士尼他们把无关的量 c 组都单独分为了一类， 这一组都等于一类了，还有吗？四十类。刘克涵的分类是把相关联的量进行了第二次分类，一类是一个量增加，另一个量也增加，而数据 e 是 一个量增加，另一个量反而减少了。 哦，你们观察的真仔细，大家看，在这第一类当中， a 组、 b 组、 d 组，他们都是一个数量增加，另一个数量也增加。 那么他们除了这一点相同，还有没有其他的共同特征呢？今天我们来进行研究， 看到学习单一，请同学们观察上表，回答下面的问题。拿出完成学习单一作业。同学，都写完了吗？写完了，刚才老师收了一位同学的作品，我们看看，这是刚刚刘力龙写的，我们来看一下第一题 表中有哪两种量，总价和数量对不对？对，这样的数量增加，总价也增加。对，其实我们来看，我们从左往右看，数量是增加的，总价也 增加了，但是从右往左看，数量是怎么样减少？对，数量减少，总价也减少了，那么我们可以说总价和数量它们的变化方向相同。 第三，小题每一组对应的笔写出来笔直，算出来三点五，对不对？对，同志们，我们刚才刚才看到这个数据， 总价在不断的变化，数量也在不断的变化，我们在数学当中称为它们是变量。那请同学们再来看一看，在这组数据当中有什么是不变的吗？梁建阳，我发现表中这些彩带的价没有改变， 单价没有改变，还有吗？梁建荣，表格中的总价和数量相对应的两个数的比值都是一样的，都是三点五， 比值都是三点五，那这个比值就是单价。是的，我们刚才通过观察和计算， 对这种数据有两种发现，第一，发现了彩带的总价和数量是两种相关点的量是两个变量，变化方向相同。 第二，我们发现了他们的笔直，一定说明单价是不变量。在数学当中，我们把不变也可以说成是一定。 那既然有了这一个发现，你们能预测下一组数据会是什么吗？下一组彩蛋数量是千米，总价是二十四点五元，你的依据是什么？因为数量增加，总价也会增加，他们的比值是三点五， 对不对？对，那你来预测一下，全班都能说出下一组的数据会是什么吗？答案，答案的数量等于总价二十八元，这个数据写的完吗？写不完。 是的，像这样的数据，因为我们看到数量在不断的增加，而总价也在不断的增加，这样的数据 笔是写不完的，而最后他们的笔直总是不变的， 那这一长串的笔，我们有没有一个简单一点的方式把它们的关系表示出来呢？想一想，龙墨轩， 在这里总价和数量一直不变的是单价，所以我们可以用一个关系式来表达这种关系。关系式，那你能想到用什么样的关系式吗？总价比数量等于 担架，而这个担架在这里是一定的，对，它是不变的，我们把它说成是一定的。同学们，看，数学就是这么美妙， 变化的是数量，而不变的是关系，一个简单的数学关系式就能完美的表达出来了。最开始我们是把 a、 b、 d 组分为了同一类， 是因为他们有一个共同的特征，都是一种量增加，另一种也增加，那他们是不是还存在着其他的相同归，我们继续用刚刚的学习方法观察和计算，我们来继续来研究学习单二， 请同学们拿出学习单二，在你的纸上开始完成。同桌，两人互相说一说，看看完成学习单二后，你有什么发现吗？好，谁愿意来测测看？姜梦婷，我通过观察发现，时间和路程平行四边形比和面积都是变量的， 而且变化方向相同，还有吗？李雅琪，我通过计算发现，路程和时间相对应的两个数的比值都是八十， 比值都是八十，而这个比值是八十，实际上在这里是表示什么？速度，对，还有吗？郭一涵，我是通过计算发现 b 组的每组比值也是相同的，还有吗？举韩敏，我通过思考比较发现 b 组的比值是速度， c 组的比值高，说明这里速度和高都是不变量哦，你们的发现还真多，咱们一起来整理一下。首先我们都发现了，在这两组数据当中， 时间和路程，平行四边形的底和面积，它们都是相关联的量，而且变化方向是相同的。 还有的同学发现了他们的笔直是一定的，再想想，像这样子的一长串的笔，我如果继续写下去，写的完吗？也写不完，谁能来说说理由？比如说时间和路程 好，杨幂号走的时间越多，他走的路程也就越多，这样的数据是写不完的对不对？对。那么平行四边形我们一起来看一看。当平行四边形的底在不断的增加的时候，而他的面积也在不断的增加。

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第四课时，叫做正比例反比例的字母表达式。 哎，那这个字母表达是是什么呢？别着急，我们先来回顾一下之前我们所学的正比例和反比例的一些相关的基础知识， 观察下面两个关于购买方便面的统计表，回答问题。好，这个统计表里面呢，第一行说的是购买方便面的数量， 第二行呢，是总价，好上秒钟呢，购买方便面的数量和总价是怎样变化的？他们成什么比例好？首先我们先来看一下数量呢，依次是五包、十包和十五包。总价呢，从七块五到十五元，再到二十二点五， 很明显是随着数量的增多而增多的，那他们之间是什么关系呢？那还要再添上一个数量，就是单价，我们说总价等于数量乘以单价。好，那反过来呢，也可以说总价除以数量等于单价， 那在这其中呢，单价是不变的。我们可以算一下，七点五元除以五包好，一包呢，折合是一块五，十五元除以十包呢，一包还是一块五，最后的二十二点五除以十五依然是一点五元。好，所以呢，既然 总价除以数量对应的笔直，也就是单价不变，那我们说他们就是成正比例的关系。 好，紧接着呢，我们再来看一下第二位，好， 第二问呢，现在给我们的是单价和数量。好，现在问上面这个表格当中，购买方便面的单价和数量之间是怎么变化的？他们之间又成什么样的比例？好，我们来看一下单价呢？哎，从每包一块二，一直上涨到了每包两块四。 好，接下来呢，数量三十二十十五。好，那还是一样的，我们还要把总价这个样怎么样拿出来，好，来比较一下这三者之间的关系。 好，那我们说总价等于单价乘以数量，那正好我们就带入表格当中的数据来算一算，这个单价乘以数量分别能得到什么？好，我们快速的算一下，一点二元乘以三十等于三十六元，一点八元乘以二十也等于三十六，最后的二点四乘以十五，结果还是 三十九元。所以我们可以看到啊，在这个表格当中，随着单价的增加，首先数量是递减的，然后呢，接下来二者的成绩是不变的，那对应的就是我们前面说的既定成什么呀？反比例了。 好，那这道题呢，我们就讲完了，其实呢，就是考察我们之前正比例和反比例的一些基本概念，而且啊，从这道题当中我们还能看出来一点。看出来什么呢？就是总价、单价、数样，这三个样之间啊， 当条件发生变化的时候，哎，这两个样可以成正比例，另外两个样呢，哎，反过来他就变成反比例了。好，这是一点。那接下来呢，我们再来看一下。第二，在一次自行车越野赛当中，小明骑车的时间与路程 如下表所示。好，第一行给的是时间，第二行给的是路程。现在问了路程和时间之间成什么样的比例？好，那既然提到路程和时间了，必不可少的，我们还要考虑到一个速度，对吧？好，那么就不妨先来求一下他的速度分别是多少？好，以第一页数据为例， 两千米用时八分钟，那我们用两千除以八好，求出来呢，结果应该等于零点二五千米，这个是他的速度。好，那接下来呢，第二组数据，二点五除以十，那也是零点二五，五除以二十呢，还是零点二五？ 后面两个同学们也可以快速算一下，你会发现啊，他的速度都是每分钟零点二五千米，所以啊，这个路程比时间的笔直是一定的，二者就是成正比例的关系了。 好，那接下来第二位，现在说啊，时间、路程和速度这三种样，在什么情况下成正比一，什么情况下又成反比一的关系。好，说明有，这个就是我们刚刚在第一里面说过的 三个相关联的样，当条件发生变化的时候，哎，有可能得到正比例，也有可能得到反比例。现在就是让我们来判断一下，具体是什么情况能够得到正比例，什么情况得到的又是反比例。 好，那既然提到这三个样了，我们不妨啊，就先把他们对应的关系式拿出来看一看。好，我们说路程问题的基本关系是，这个我们已经说了很多次了，好，老师直接把它写出来。首先第一条呢，是路程等于 速度乘以十， 那这个呢，我们是不是就得到了一个乘法的关系？好，那么结合前面我们所讲的正反比例的一些基本概念，我们说了，如果是乘法的话，那我们能够联想到记忆定这样一个关系，而记忆定呢，得到的是反比例的样。好， 那这里面我们现在是不是只需要让他俩的成绩不变，就可以确定速度和时间是反比例的呢？好，那成绩怎么不变呢？我们把路程取一个定制， 哎，是不是就可以了，对吧？好，这样的话呢，速度和时间二者就成反比例的关系了。 那同样的道理，这个关系。是啊，我们还有两个依次也把它 写出来。好，同样的关系。是呢，我们还有速度等于 路程除以时间。 好，那就得到一个除法的算式，我们能联想到什么呀？哎，能联想到正比例关系当中商一定的这样一个关系。好，那接下来呢，我只需要让速度去定制 他不变。好，那接下来呢，路程和时间之间就成正比尼关系了。 那最后还有一条同学们自己应该能够想到的吧。好，最后这一条就是时间等于路程除以速度。 那仿照上面这个关系，是我们只需要取时间为一个定制好，那么这两者之间就是一个正不移的关系了。 好，那这个第二位我们就讲完了，同学们看明白了吗？那接下来呢，我们来看一下例三。好，例三，终于进入正题了，就来说一说我们今天要讲的这个用字母表示正比例和反比例的关系。 其实啊，我们把刚才那三个关系式总结一下，就能够看出来这个字母的关系式应该如何来表达了。首先呢，我们用 x 和 y 这两个字母表示 是这两种相关联的量。好，接下来呢，我们直接看下面的式子，正比一呢，我们说了，他是比值一定，所以呢，我让他呀相处得到的是 y bx 好，等于一个 k， 这个 k 是什么呢？ k 是一个系数，在这里面呢，是固定不变的，那就相当于是二者的笔直一定了，得到的就是正比例的关系。 同样的道理，我让这两个样怎么样相乘，得到一个固定不变的 k， 那么我们就可以得到二者是反比的关系了，因为他们的成绩是一定的好，那么这两个表达是，同学们了解一下。那么接下来呢，我们来看看今天的课后练习题。 首先第一题，汽车每次运货的吨数，运货的次数和运货的总吨数。这三种样在省 什么情况下成正比一，什么情况下成反比一？那这个猛一看，是不是就和我们刚刚讲的第二道例题类似呀，对吧？那上来还是一样的，我们先明确这三者之间的关系是什么 好，这个关系呢，不难，我们直接写出来。总吨数呢，其实就等于每次运货的吨数乘以运货的次数。好，我把它写出来。 好，我简单写写作，每次蹲数 乘以次数。 好，那这是一个乘法算式，那我们自然能联想到既定乘反比例的关系，所以呢，我只需要让这个总 总敦数不变好，那么这两者之间就成反比异关系了。 那同样的道理，我把这个柿子怎么样再颠倒一下。怎么颠倒呢？比如说呢，我可以算一下每次运货的吨数。好，那它等于什么呢？ 他是不是就应该等于运货的总吨数除以运货的次数呀？对吧？好，我们简单写总吨数 除以次数。 好，这是一个除法算式。那我们能够联想到什么呀？商议一定的时候成正比例关系， 那同样的，我只需要让这个每次运送的吨数固定不变，是不是就可以了？那么这二者就是一个正比例的关系了。 最后还有一个，我们还可以求一求运货的次数， 胎又等于什么呢？它其实就等于运货的总吨数除以每一次运货的吨数， 那这个关系应该和他是一样的，对吗？好，依然是一个相处的关系，所以呢， 我只需要让这个绳一定好，那接下来呢，这两者就是一个正比例的关系了。 好，这道题同学们看明白了吗？那接下来呢，我们再来看一下第二道练习题。 一个榨油厂用四台同样的榨油机，每天榨油三十六吨，好，第一问题中哪两种量是相关联的量？哪种量是一定的？ 哎，这个相关联的样不难找。首先呢，是四台同样的榨油机，也就是榨油机的数量。第二个呢，是这些榨油机每天能够榨油多少吨？好， 那接下来哪种量是一定的呢？哎，我们好好想一下，这四台同样的榨油机，其实是在告诉我们什么样一个信息啊，就是他们的榨油 油的效率应该是一样的，对吧？也就是说四台一共炸三十六吨，那每一台呢，应该一样多，那算出来，每一台应该是三十六除以四等于九吨，每台每天能炸九吨油。好， 这个样应该是一定的，对吗？所以我们简单记做，榨油机的榨油效率。 好，这个样一定，那既然这个样一定了，那接下来他们之间成什么比例啊？哎，很明显，他除以他等于固定不变的榨油机效率，所以呢，相当于是商一定，商一定，自然就是正比例的关系了。好，所以前两问我们就一块解决了。 接下来呢，第三位，照这样计算，六台这样的榨油机，每天一共能够榨油多少吨？好，那前面呢，我们已经说了，这一台我们能求出来，三十六除以四等于九吨， 那一台一天炸九吨，那六台呢？那不就是六个九吨吗？对吗？九乘以右就可以了呀，等于五十四吨。 好，这一问呢，我们用算数法就解出来了。当然啊，这一问还可以用结笔一页方程的方式去计算。哎，有兴趣的同学可以自己动动手，动动笔，在烟草纸上自己算一算。好，到这我们答一下。 好，那最后呢，我们还有一个第四问，那第四问呢，就考察我们正比例的图像了， 那依然是和以前一样，分两步，第一步先秒点，第二步直接沿线就可以了。好，所以这个图像对于大家来说，现在应该是特别的简单了，对吗？ 好，那整个这道题呢，我们就讲完了，那今天的题目呢？到这就全部讲完了，简单总结一下今天学习的内容呢，有两个重点，第一个呢，是要知道正比例和反比例的字母表达是好，一个是 y， b， x 等于 k， 一个是 x 乘以 y 等于 k， 一个是商议定，一个是记忆定。 好，那接下来呢，还有一点很重要，就是我们要知道相关言的几个样啊，他们随着条件的不同，条件的变化，那么既可以得到正比例的关系，也可以得到反比例的关系。好，这一点很重要，同学们一定要记住了。好，那今天的课程呢，到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第二课时，叫做正比例图像。 我们上节课呢，刚刚了解了什么是正比例，那这节课呢，我们再来说一说正比例的图像是什么样子的。好，我们通过下面这道例题来了解一下。 首先呢，说一个彩带的单价是每米四元，让我们根据彩带的单价完成下面这个表格好，这个表格很简单，我们来看一下，第一行呢是购买彩带的长度，分别是 零一二三四五六七米。好，接下来呢，让我们填一下应付的钱数是多少，那其实啊，就是让我们求总价了，对吗？好，那这一栏呢，老师快速的填一下，第一个呢，零米相当于没有买好，那我就没有 花钱，应该是零元好，后面呢，依次分别乘以单价，也就是每米四元好，我们就能得到。一米的时候呢，对应的是四元， 两米呢，八元好，三米十二，然后四米十六，五米二十六米二十四，然后七米是二十八元。 好，这页数字我们填完了，接下来呢，来看一下下面这个问题，购买彩带的长度和应付的前数是否成正比例。 结合我们上一节课讲的例题啊，其实这个就很好判断了，我们说呀，本身应付的钱数比上购买的长度呢，就等于这个单价，而单价呢是固定不变的，也就相当于是我们说的商一定，所以呢，二者之间是成正比例关系的。好，接下来呢，我们 来看第二位，那第二位上面呢，首先有一个图，哎，这个图猛一看，有点像。什么呀？是不是有点像我们之前学过的折线统计图呀，对吗？好，那接下来呢，我们看第二问，这个问题， 图中的红点表示什么？是怎样画出来的？好，我们可以看到整个呢，这是一条直线，上面呢标了若干个红点。哎， 老师刚才说了，这个看起来有点像折线统计图。好，那我们就依照折线统计图的方式来分析一下。好，我们来看一下，这个点表示的是什么呢？首先啊，我们可以看到整个图像呢，横轴表示的是购买的长度， 纵轴表示的是应付的钱数。那么第一个点呢，所在的位置是零。好，那么他所表示的含义就是，当我购买了零米彩带的时候，应付的钱数是零元，对吧？这样看， 是不是和折现统计图的表示方法是一模一样的。好，那接下来第二个点，那就是一样的道理了，对应的呢，就是购买一米彩带的时候，应付的钱数应该是四元。好，那这个点是怎么画出来的呢？也就相当于是经过一米和四元这两个点怎么样？分别 竖直水平做了两条直线，这两条直线的交汇点就是我们要找的这个红点了。好，那后面几个点以此类推，都是表示一样的含义，做法也是一样的，对吧？再举个例子，比如说接下来这个红点，他表示的含义呢？就是当我购买 杨幂采贷的时候，应付的钱数应该是八元。好，那么三米应付十二元。哎，你会发现啊，刚才这些信息，从图上我们现在也能直观的看出来。好，那 接下来呢？第三问，表示正比例关系的图像有什么特点？好，我们前面已经说了，这两组数据之间是呈正比例的，然后呢，我们把它秒点连线画成图像之后，哎，这个图像呢，是一条直线，对吗？哎，这首先是第一个特点，那接下来呢，还有一个特点 是我们刚刚一开始说的，他是经过零这个点的。哎，零这个点啊，在这里面我们有一个新的名字，叫什么呢？这个点在这个图像里面，我们把它叫做圆点。 好，所以总结一下两个特点，第一个经过圆点，第二个是一条笔直笔直的直线。好，那接下来呢，还要第四位，现在啊，让我们不计算，只看图，估计一下当我们购买一点五米彩带的时候要花多少钱，还有购， 购买五点五米彩带的时候又要花多少钱？好，首先这道题啊，如果带入前面的数据，直接算一下，其实挺简单的，对吗？他现在偏偏不让我们算，让我们直接看图看 出答案。好，那这个怎么来看呢？哎，也是一样的，首先呢，我们先来看一下啊，购买一点五米彩带，我们先找一下。好，那这个一点五米在哪呢？在一和二的正中间。 那接下来呢，我们就看一下和这个一点五米对应的这条直线上的点在哪里？好，那和刚才低温一样，我们做一条笔直笔直的直线。好，经过这个一点五米就可以了。好，那这， 这样的话呢，我们就会发现，哎，和这条直线的话呢，相交于这个点。好，把它描一下。好呢，对应的 横轴上的点是一点五米，那纵轴上的点是多少呢？哎，我们再做一条水平的直线，所以呢，他和这条纵轴相较于这个点， 那这个点的话呢，正好是在四和八的正中间，所以呢，我们能看出来啊，这个位置对应的应该是六元。好，所以这个我们就估计出来了六元。 好的，同样的道理，五点五米是不是也是一样的？我们先找一下横轴上五点五米在哪里呢？五和六的正中间，然后也是 一样，做一条竖直的直线，好，和这条正比一的图像相较于这个点。接下来呢，经过这个点啊，我们再做一条水平的直线， 好，相较于这个位置，那这个位置呢，在纵轴上代表的应该是二十二元，因为他正好在二十和二十四的正中间，对吧？好，这样的话呢，这两个问题我们就解决了，都是直接通过图像观察得到的。 好，那么正比例的图像呢？我们就先简单介绍到这里，接下来呢，我们来看一看后面的课后练习题。 第一题，一辆汽车平均每小时行驶八十千米，照上面的速度，让我们计算一下下面这个表格里面的数据。好，那我们可以看到，第一行呢，表示的是时间。好， 第二行表示的是路程，那又考察我们路程问题的基本公式了。好，那我们快速的算一下，我们说路程等于速度乘以时间，所以呢，一个小时的时候，那就 是一乘八十还是八十两个小时呢？二乘八十等于一百六十三个小时呢，二百四十四个小时，三百二十五个小时是四百六个小时是四百八十，最后七个小时是五百六十千米。 好，这行数据啊，我们很快就能填出来。紧接着我们再来看第二问。好，第二问又要考察我们刚刚学过的这个正比例的图像了，现在让我们把表中的这些数据在下面的方格纸上画图表示出来。 好，怎么画？我们前面说了，先描点，再沿线类似于折线统计图的画法。好，那么首先呢，先描点，那现在明明这个点我们就不多说了，对吧？就是我们前面一直说的圆点。好，那么后面这些点怎么描呢？还是一样的，比如说 一小时对应的八十千米，那就是横轴是一，纵轴是八十，他们相交会的点应该在这个位置 后面都是以此类推，所以呢，老师就直接帮大家把这些点描出来了。那最后呢，只需要连出一条笔直的直线就可以了。好，那这个图到这我们就画完了，是不是很简单呀？好，那紧接着呢，我们再来看一下第三位， 现在让我们看图，估计一下，这样汽车三点五小时能行驶多少千米，六点五小时又能够行驶多少千米？ 好，和刚才例题一样呀，我们再涂上简单的画一画。好，三点五小时，首先你先找到在横轴上呢，三点五小时，在这个位置。好，接下来呢，哎，过这个点，竖直的做一条直线 好，和这个正比翼的图像呢，相较于这个位置。那紧接着呢，在水平的做一条直线，好，这样我们就能看出来了，大概是在这个地方。好，那这个地方呢，正好是在二百四十千米和三百二十千米的正中间。 好，那对应的路程是多少呢？我们快速的算一下，应该是二百八十千米，那紧接着 六点五小时也是一样的，先找到六点五小时在横轴上的位置。好，那应该在六和七的正中间，笔直的做一条直线。好，然后呢， 水平的做一条直线。好，那这样的话呢，我们就可以得到，六点五小时对应的路程应该在四百八十和五百六十的正中 间，对应的是多少呢？应该是五百二十千米。好，这样的话呢，两个结果我们就从图上直接找出来了。好，那第一道练习题我们就讲完了，紧接着我们再来看第二道练习题， 一辆货车的载重呢，是十二吨，现在呢，照这样的运送数量完成。下面这个表格好，依然很简单，运送一次就是十二吨，运送两次呢是两个十二吨，也就是二十四吨， 一共三次啊，三乘十二等于三十六吨。四次呢，四十八五次是六十六次是七十二吨。好，那紧接着第二问，还是考图像，现在呢，让我们直接把上面这些数据在图中画图表示出来。好， 依然是先描点，再连线好，具体的过程老师就不再重复了。好，那我们就直接画出来，最后 结果应该是这个样子的。好，这个图同学们能看明白吗？好，那今天内容呢，到这就全部讲完了，简单总结一下，其实我们说啊，这个正比一的图像呢，和折线统计图有类似的地方， 画法还有呢，他的一些读法用法都有类似的地方，但是他表示的意义可是截然不同的。好，我们小学阶段呢，只是对正比例的图像呢，做一个简单的了解，初中呢，还会进一步的去学习。好，那今天的课程呢？到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

同学们好，成功之路领飞相助！我是你们的小安老师，今天我们来学一学什么是正比例。首先我们看一下这个例题， 自动笔的单价为一点六元，然后让我们填完表格。首先数量是两只的时候，总价是三点二元，三只的时候是四点八元，四只的时候是六点四元，那么五只的时候呢？ 我们知道总价是等于数量乘以单价的，单价是一点六元是不变的，那么五只的时候就让五乘以一点六，也就是八元， 六只的时候就是九点六元，七只的时候就是十一点二元，八只的时候是十二点 八元。那么也就是说总价随着数量的增加而增加，所以数量和总价是两个相关联的量，而且他们的比值也就是单价是一定的， 所以我们就说数量和总价是成正比例的，那么同学们知道什么是正比例了吗？ 然后这里老师给总结了一下判断两种量是否成正比例的方法。一，首先判断两种量是不是相关联的量，是不是一种量随着另一种量的变化而变化。 第二就是在计算这两种量的比值是否一定，比值一定，那么就成正比例，同学们学会了吗？关注老师，我们下节课见！

同学们好，接下来我们一起来复习一下正比例和反比例。首先我们来了解一下这两者之间的相同点和不同点， 相同点，这是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不同点呢，就是两种量中相对应的两个数，它的比值一定，我们称之为是正比例，它的关系是是这样表示的， 那如果两种量中相对应的两个数，它的积一定，我们这样来表示，就表示这两者成反比例。 那么根据正比例和反比例的意义呢，就可以判断两种相关联的量是否成正比例或者反比例。那么接下来呢，我们通过三个例题来注意讲解 一下下面个体中两种量是否成比例呢？如果成比例成什么比例，并说明理由。 根据我们刚才的分析，我们知道要想判断两种量是不是成比例，前提是得看他是不是相关联的量，如果不是相关联的量，那就谈不上成不成比例。 如果是，那接下来就要看他们是笔直一定还是基一定，如果是笔直一定，那么就是成正比例，那如果是基一定呢，就是成反比例。 如果比值积均不一定，即使他们是相关联的量，他们之间也不成比例关系，这一点大家 一定要清楚。那么首先我们来看第一个，汽车行驶的时间一定他行驶的路程和速度成不成比例呢？成什么比例？ 这里边提到了时间一定，我们知道时间等于路程除以速度，对吧？那就说明这两者之间的比值是一定的，所以说比值一定一定是成正比例。 ok， 这是第一个，第二个呢，圆柱的体积一定， 他的底面积和高。我们知道圆柱的体积就是等于底面积乘上高，既然他们的基一定，那么 这两者一定是成反比例，因为前提他们底面积和高一定是两种相关联的量，因为这两者相乘是等于体积的。那第三个呢？一个人的体重和他的年龄， 同学们，你们想一下，体重和年龄是不是两种相关联的量呢？对了，不是，既然他都不是两种相关联的量，那就更谈不上成比例关系了。所以说第三个不成比例。 那好，根据咱刚才的讲解，我们再来总结一下。要想判断两种量是否成正比例或者成反比例，首先要分析这两种量是不是相关 脸的量，如果是相关脸的量，再看一看他们是笔直一定还是系一定， 如果是笔直一定，我们说成反比例，如果是基一定，我们说成正比例。怎么样，你学会了吗？好的，再见。

六项数学最难的正反比例必考十七大母子题全部吃透，考试没有丢分的六项数学正比例和反比例。十七大母子题，老师整理好了考点一，物高于隐藏问题有方法点拨有母题以及对应的子题练习。考点二，比例与分数应用题。 考点三，正比例的实际应用其一，归一问题。考点五，正比例的实际应用其三，相遇问题。基础型。考点七，正比例的实际应用其五，相遇问题。拓展型。 考点十一，反比例的实际应用其三，归总问题，提高型。考点十七，复杂的比例问题有完整版。

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第四课时，叫做正比例反比例的字母表达式。 哎，那这个字母表达是是什么呢？别着急，我们先来回顾一下之前我们所学的正比例和反比例的一些相关的基础知识， 观察下面两个关于购买方便面的统计表，回答问题。好，这个统计表里面呢，第一行说的是购买方便面的数量， 第二行呢，是总价，好上秒钟呢，购买方便面的数量和总价是怎样变化的？他们成什么比例好？首先我们先来看一下数量呢，依次是五包、十包和十五包。总价呢，从七块五到十五元，再到二十二点五， 很明显是随着数量的增多而增多的，那他们之间是什么关系呢？那还要再添上一个数量，就是单价，我们说总价等于数量乘以单价。好，那反过来呢，也可以说总价除以数量等于单价， 那在这其中呢，单价是不变的。我们可以算一下，七点五元除以五包好，一包呢，折合是一块五，十五元除以十包呢，一包还是一块五，最后的二十二点五除以十五依然是一点五元。好，所以呢，既然 总价除以数量对应的笔直，也就是单价不变，那我们说他们就是成正比例的关系。 好，紧接着呢，我们再来看一下第二位，好， 第二问呢，现在给我们的是单价和数量。好，现在问上面这个表格当中，购买方便面的单价和数量之间是怎么变化的？他们之间又成什么样的比例？好，我们来看一下单价呢？哎，从每包一块二，一直上涨到了每包两块四。 好，接下来呢，数量三十二十十五。好，那还是一样的，我们还要把总价这个样怎么样拿出来，好，来比较一下这三者之间的关系。 好，那我们说总价等于单价乘以数量，那正好我们就带入表格当中的数据来算一算，这个单价乘以数量分别能得到什么？好，我们快速的算一下，一点二元乘以三十等于三十六元，一点八元乘以二十也等于三十六，最后的二点四乘以十五，结果还是 三十九元。所以我们可以看到啊，在这个表格当中，随着单价的增加，首先数量是递减的，然后呢，接下来二者的成绩是不变的，那对应的就是我们前面说的既定成什么呀？反比例了。 好，那这道题呢，我们就讲完了，其实呢，就是考察我们之前正比例和反比例的一些基本概念，而且啊，从这道题当中我们还能看出来一点。看出来什么呢？就是总价、单价、数样，这三个样之间啊， 当条件发生变化的时候，哎，这两个样可以成正比例，另外两个样呢，哎，反过来他就变成反比例了。好，这是一点。那接下来呢，我们再来看一下。第二，在一次自行车越野赛当中，小明骑车的时间与路程 如下表所示。好，第一行给的是时间，第二行给的是路程。现在问了路程和时间之间成什么样的比例？好，那既然提到路程和时间了，必不可少的，我们还要考虑到一个速度，对吧？好，那么就不妨先来求一下他的速度分别是多少？好，以第一页数据为例， 两千米用时八分钟，那我们用两千除以八好，求出来呢，结果应该等于零点二五千米，这个是他的速度。好，那接下来呢，第二组数据，二点五除以十，那也是零点二五，五除以二十呢，还是零点二五？ 后面两个同学们也可以快速算一下，你会发现啊，他的速度都是每分钟零点二五千米，所以啊，这个路程比时间的笔直是一定的，二者就是成正比例的关系了。 好，那接下来第二位，现在说啊，时间、路程和速度这三种样，在什么情况下成正比一，什么情况下又成反比一的关系。好，说明有，这个就是我们刚刚在第一里面说过的 三个相关联的样，当条件发生变化的时候，哎，有可能得到正比例，也有可能得到反比例。现在就是让我们来判断一下，具体是什么情况能够得到正比例，什么情况得到的又是反比例。 好，那既然提到这三个样了，我们不妨啊，就先把他们对应的关系式拿出来看一看。好，我们说路程问题的基本关系是，这个我们已经说了很多次了，好，老师直接把它写出来。首先第一条呢，是路程等于 速度乘以十， 那这个呢，我们是不是就得到了一个乘法的关系？好，那么结合前面我们所讲的正反比例的一些基本概念，我们说了，如果是乘法的话，那我们能够联想到记忆定这样一个关系，而记忆定呢，得到的是反比例的样。好， 那这里面我们现在是不是只需要让他俩的成绩不变，就可以确定速度和时间是反比例的呢？好，那成绩怎么不变呢？我们把路程取一个定制， 哎，是不是就可以了，对吧？好，这样的话呢，速度和时间二者就成反比例的关系了。 那同样的道理，这个关系。是啊，我们还有两个依次也把它 写出来。好，同样的关系。是呢，我们还有速度等于 路程除以时间。 好，那就得到一个除法的算式，我们能联想到什么呀？哎，能联想到正比例关系当中商一定的这样一个关系。好，那接下来呢，我只需要让速度去定制 他不变。好，那接下来呢，路程和时间之间就成正比尼关系了。 那最后还有一条同学们自己应该能够想到的吧。好，最后这一条就是时间等于路程除以速度。 那仿照上面这个关系，是我们只需要取时间为一个定制好，那么这两者之间就是一个正不移的关系了。 好，那这个第二位我们就讲完了，同学们看明白了吗？那接下来呢，我们来看一下例三。好，例三，终于进入正题了，就来说一说我们今天要讲的这个用字母表示正比例和反比例的关系。 其实啊，我们把刚才那三个关系式总结一下，就能够看出来这个字母的关系式应该如何来表达了。首先呢，我们用 x 和 y 这两个字母表示 是这两种相关联的量。好，接下来呢，我们直接看下面的式子，正比一呢，我们说了，他是比值一定，所以呢，我让他呀相处得到的是 y bx 好，等于一个 k， 这个 k 是什么呢？ k 是一个系数，在这里面呢，是固定不变的，那就相当于是二者的笔直一定了，得到的就是正比例的关系。 同样的道理，我让这两个样怎么样相乘，得到一个固定不变的 k， 那么我们就可以得到二者是反比的关系了，因为他们的成绩是一定的好，那么这两个表达是，同学们了解一下。那么接下来呢，我们来看看今天的课后练习题。 首先第一题，汽车每次运货的吨数，运货的次数和运货的总吨数。这三种样在省 什么情况下成正比一，什么情况下成反比一？那这个猛一看，是不是就和我们刚刚讲的第二道例题类似呀，对吧？那上来还是一样的，我们先明确这三者之间的关系是什么 好，这个关系呢，不难，我们直接写出来。总吨数呢，其实就等于每次运货的吨数乘以运货的次数。好，我把它写出来。 好，我简单写写作，每次蹲数 乘以次数。 好，那这是一个乘法算式，那我们自然能联想到既定乘反比例的关系，所以呢，我只需要让这个总 总敦数不变好，那么这两者之间就成反比异关系了。 那同样的道理，我把这个柿子怎么样再颠倒一下。怎么颠倒呢？比如说呢，我可以算一下每次运货的吨数。好，那它等于什么呢？ 他是不是就应该等于运货的总吨数除以运货的次数呀？对吧？好，我们简单写总吨数 除以次数。 好，这是一个除法算式。那我们能够联想到什么呀？商议一定的时候成正比例关系， 那同样的，我只需要让这个每次运送的吨数固定不变，是不是就可以了？那么这二者就是一个正比例的关系了。 最后还有一个，我们还可以求一求运货的次数， 胎又等于什么呢？它其实就等于运货的总吨数除以每一次运货的吨数， 那这个关系应该和他是一样的，对吗？好，依然是一个相处的关系，所以呢， 我只需要让这个绳一定好，那接下来呢，这两者就是一个正比例的关系了。 好，这道题同学们看明白了吗？那接下来呢，我们再来看一下第二道练习题。 一个榨油厂用四台同样的榨油机，每天榨油三十六吨，好，第一问题中哪两种量是相关联的量？哪种量是一定的？ 哎，这个相关联的样不难找。首先呢，是四台同样的榨油机，也就是榨油机的数量。第二个呢，是这些榨油机每天能够榨油多少吨？好， 那接下来哪种量是一定的呢？哎，我们好好想一下，这四台同样的榨油机，其实是在告诉我们什么样一个信息啊，就是他们的榨油 油的效率应该是一样的，对吧？也就是说四台一共炸三十六吨，那每一台呢，应该一样多，那算出来，每一台应该是三十六除以四等于九吨，每台每天能炸九吨油。好， 这个样应该是一定的，对吗？所以我们简单记做，榨油机的榨油效率。 好，这个样一定，那既然这个样一定了，那接下来他们之间成什么比例啊？哎，很明显，他除以他等于固定不变的榨油机效率，所以呢，相当于是商一定，商一定，自然就是正比例的关系了。好，所以前两问我们就一块解决了。 接下来呢，第三位，照这样计算，六台这样的榨油机，每天一共能够榨油多少吨？好，那前面呢，我们已经说了，这一台我们能求出来，三十六除以四等于九吨， 那一台一天炸九吨，那六台呢？那不就是六个九吨吗？对吗？九乘以右就可以了呀，等于五十四吨。 好，这一问呢，我们用算数法就解出来了。当然啊，这一问还可以用结笔一页方程的方式去计算。哎，有兴趣的同学可以自己动动手，动动笔，在烟草纸上自己算一算。好，到这我们答一下。 好，那最后呢，我们还有一个第四问，那第四问呢，就考察我们正比例的图像了， 那依然是和以前一样，分两步，第一步先秒点，第二步直接沿线就可以了。好，所以这个图像对于大家来说，现在应该是特别的简单了，对吗？ 好，那整个这道题呢，我们就讲完了，那今天的题目呢？到这就全部讲完了，简单总结一下今天学习的内容呢，有两个重点，第一个呢，是要知道正比例和反比例的字母表达是好，一个是 y， b， x 等于 k， 一个是 x 乘以 y 等于 k， 一个是商议定，一个是记忆定。 好，那接下来呢，还有一点很重要，就是我们要知道相关言的几个样啊，他们随着条件的不同，条件的变化，那么既可以得到正比例的关系，也可以得到反比例的关系。好，这一点很重要，同学们一定要记住了。好，那今天的课程呢，到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

好，接下来我们一起来学习认识正比例的量和正比例关系。 首先我们来进入情景导入，下面是一辆汽车八点钟出发时和行驶一小时后的里程表上显示的千米数。注意看，这有个数据，这有一个数据， 那么问汽车一小时行驶了多少千米？如果汽车的速度不变，请完成下表。 第三，写出相对应的路程和时间的笔，并求笔直，并且要探讨你发现了什么。首先我们来看 这是出发的时候的里程表，他显示的是什么呢？是八七二四千米， 出发一小时之后呢，显示的是八八一四千米。那很明显，在这一个小时内，这个里程表显示的就是这个汽车它行驶的路程数。 说一说，汽车一小时行驶了，后面的数据减去前面的数据九十千米， 那如果汽车的速度不变，我们怎么来填这个表格呢？我来观察， 一小时行驶了九十千米，二小时行驶了一百八十千米，三小时行驶了二百七十千米，每加一个小时，他的里程数 就加了一个九十，那到五的时候呢，也自然而然的要加上一个九十，那他应该是四百五十千米。那继续往后呢，也要再加上一个九十， 是五百四十千米，因为每小时他都行驶九十千米，速度不变， 写出相对应的路程和时间的笔。 ok， 我们把刚才的几组数据进行一下笔的写，路程 比上时间。哎，得到了一个数据是九十，那相对应的其他几组路程比上时间，你发现了什么？哎，他们的笔折是一定的，都是九十，而我们的九十是什么呀？就 就是咱刚才所说的他的速度，那你发现了吗？因为速度一定，所以相对应的路程与时间的笔直是相等的。 那我们可以得出什么样的结论呢？当速度一定时，路程和时间之间的关系可以表示为路程比上时间就等于速度，这里的速度也表示他们之间的笔直一定。 像路程和时间这样的两种量，我们称之为成正比例。 ok， 这是我们引入了一个正比例的概念， 那路程随着时间的变化而变化，当时间越长的时候，汽车行驶的路程相对应的也会 越长，那反之，时间越短，汽车行驶的路程也叫越短。 那你发现了吗？在这里我们就得到了成正比例的两种量，一种量变化，另一种量也随着变化，并且两种量的变化相同。 我们接着来看，请精导入。二、自动笔的单价为一点六元，请完成下表。从上表中你发现了什么规律？花的钱数和买自动笔的数量，这两种量成正比例吗？为什么？ 你们首先来看一支铅笔，应该是一点六元，那两支呢就是一点六乘上二， 三点二元，那三字呢就是一点六乘上三。那我们知道总价就应该是等于单价乘以数量，那根据刚才我们发现的这个规律，我们不难继续往后写。 那当数量为五的时候，就应该是五乘上一点六，八元数量为六呢？六乘上一点六，数量为七，七乘上一点六，数量为八，八乘上一点六。 那通过这个表格我们发现，因为他的单价一定总价随着数量的变化是在什么增加的？数量增加，总量总价也增加， 并且相对应的总价和数量的比值也是一定的，都是一点六元。 那当总价一定的时候，需要的总价随购买数量的变化而变化，数量越多，总价越高，即单价一定， 总价随数量的增加而增加，随数量的减少而减少。在这个变化过程中， 总价、单价以及数量之间的关系是这样的，总价比上，数量就等于单价，也可以说是笔折一定。所以说，在单价一定时，总价和数量是成正比例的。 在这里我们可以有这样一个小技巧来记一下，正比例很和气，两量相关要牢记，同阔同缩默契好，笔直，一定不变异。 我们继续来拓展探究。如果两种相关联的量成正比例，那么其中一种量中任意两个数的比也等于另一种量中相对应的两个数的比 级也能组成比例。什么意思呢？你比如说两只自动铅笔和三只自动比，他的笔是二比三，这是数量上的比，那对应的总价比呢？ 哎，我们发现对应的总价比也是二比三。那其实啊，数量的比和总价的比是一致的， 因为数量和总价是两种相关联的量，而且这两种量是成正比例的。因此在每一种量中，两个数的比和另外一种量中 相对应的两个数的比是相同的。 ok， 通过刚才我们的讲解，我们要学会总结为以下几个结论。第一，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 如果这两种量中相对那两个数的比值一定，我们就叫做成正比例量，他们的关系叫做正比例关系。 而有些相关联的量，虽然也是一种量随着另外一种量变化而变化，但他们相对应的笔直不一定，我们就不能称之为成正比例。比如说被减数和差正方形的面积和边长， 他们的笔直不一定虽然也有变化趋势，但是不能叫做正比例关系。因此， 此，在正比例关系中，我们一定要注意笔直一定这个条件。好了，今天的课程你学的怎么样呢？再见！