勾股定理几何题100道

啊 啊啊。

今天讲解一下这老题目之勾五净里匿名其的一个应用啊。首先如图，在 s 边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， b、 c 等于四， cd 等于五， ad 等于五倍的根号二 角 b 等于九十度。让篮球三角形四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。首先有很多同学啊，肯定记忆反应是要去把啊这个四边形 a、 b、 c、 d 当做一个题型， 这肯定是不对的啊，因为它只告诉咱了角 b 等于九十度，如果同样告诉咱角 a 也是九十度的话，那这就是一个题型。首先你一定要知道四边形 a、 b、 c、 d 不是梯形啊，如果人家是梯形的话，人家直接让你求梯形 a、 b、 c、 d 的 面积了啊，因为学梯形已经是小学的事情了。来，咱说让来求的话， 咱数学的箍箍定律的匿名题啊，这一张那来肯定得构造直角三角形对不对？它等于三，它等于四，好，连接 ac 可以 吧？那咱说连接 ac 之后三角形 abc 是不是直角三角形啊？是吧，因为它已经有个直角了，都不需要你证明是直角三角形， 说有个直角的三角形就是直角三角形啊。则 a、 c 长度咱会求吧， a、 c 是 不等于根号下三的平方加上四的平方，最常见的勾三股四弦物，也就它 a、 c 能用五 哎， ac 等于五哎，它是不正好这时候 ac 等于 cd 是 不是都等于五啊？又因为 a、 d 是 不是等于五倍的根号二啊？咱说很常见的一个直角三角形还是这样的，啥样的 一一根二，是不还有个直角三角形是一一根二啊？那你同时乘以五的话，它变成五，它变成五，它是变成五倍的根号二啊。哎，咱猜测这个三角形 a、 c、 d 猜测它也是直角三角形啊，咱说在它之桌哦， a、 c 的 长度平方加上 c、 d 的 平方，咱看看一，多少是不等于五的平方加上五的平方是不等于五十啊？ 那 a、 d 呢？它是不是等于五倍的根号二裹起来的平方 a 地方也就等于二十五乘以二，如也等于五十啊。咱们判断出来， a、 c 方加上 c 地方是不是等于 a 地方啊？则 三角形 a、 c、 d 是 直角三角形。不会 喔，好，因为知道 a、 c 方加上 c、 d 方等于 a、 d 方，咱是不是就判断出来这个三角形 a、 c、 d 也是这样三角形啊，也就说角 a、 c、 d 是 直角。那现在四边形 a、 b、 c、 d 的 面积是不是等于两个小三角形，也就三角形 a、 b、 c、 d 加上三角形 a、 c、 d 啊？ 那很好求了，三角形 a、 b、 c 的 也就二分之一乘以三，再乘以四，对吧？那三角形 a、 c、 d 的 呢？也就二分之一乘以五，再乘以五等于等于多少？六加上 二分之二十五，对吧？你可以直接写六又二分之二十五，或者是你写成小数啊，它是不是等于十二点五？也就你可以写成它等于十八点五。

今天我们预习八年级下册数学第十七章第一节勾股定律。初中阶段最难的几何是什么？你的脑海里是不是已经闪过一堆乱七八糟的图形了？那你有没有想过，这些花里胡哨的图形，其实大部分都是由三角形拼出来的呢？ 三角形天天见，但这种自带固定比例，天生就在公式的三角形你一定没见过。今天这节课咱们就来搞定难倒无数初中生的几何刺客。特殊直角三角形 提起直角三角形，你一定优先想到的是四十五度和三十度，但有没有想过，除了这些，还有几十种别的角度？那为啥我们不想七十五度和八十度，反而想的是四十五和三十度呢？其实这是因为带有这两种角度的三角形三边比有额外的意义。那我们就拿毕达格拉斯的勾股定律来看看 这个含四十五度角的等腰直角三角形的三边笔有什么特殊的意义吧。已知题干为等腰直角三角形，所以我们可以把两腰长设为 a， 再根据勾股定律，可以列出 a 的 平方加 a 的 平方等于二类的平方。 开方后，我们就可以得出斜边为根号二 a。 现在我们就可以把三边比列出来为 a 比 a， 比根号二 a， 再仔细观察，里面都有个 a， 所以 就可以直接变成一比一比根号二。也就是说，含四十五度角的等腰直角三角形的腰长为一分，斜边为根号二分。 根据这个比例，如果已知一边的长度，就能火速算出另外两边的长度来看这道题，已知一个含四十五度的等腰直角三角形，腰长为二， 求另一腰和斜边的长。根据一比一比根号二比例，已知的腰长是一份，另一腰也是一份，所以腰长为二，要求斜边，所以就是根号二份相乘后得到斜边长为两倍根号二。那现在已知腰长求斜边长的学会了，我们再来想想已知斜边怎么求腰长？ 再看这题，已知一个等腰直角三角形，斜边为四倍根号二，求两腰长是多少？根据比例一比一比根号二。现已知斜边为四倍根号二份，所以求一份的长就用四倍根号二，除以根号二等于四， 要求的两腰都是一份，所以腰长都是四。依据以上两道题，我们就可以总结出一个口诀，求有关等腰直角三角形的边时，已知腰长求斜边时就乘根号二。已知斜边求腰长时就除根号二。那我们再来一题试试，提示下，这题可有个大坑，同学们可以好好想想。 已知一个等腰直角三角形，一边长为三倍根号二，求另外两边。如果你只回答出一个答案的话，那就错了，因为此题没有设置前提。 我们不知道三倍根号二是腰长还是斜边，所以就要分类讨论。如果三倍根号二是腰长，那他就是一份，另幺也是三倍根号二，斜边就是三倍根号二，乘根号二为六。如果三倍根号二是斜边，那把它除以根号二，就得到两腰长为三， 所以此题选 c。 看完含四十五度角后的等腰直角三角形后，我们再来看看含三十度的直角三角形，他的三边比又有什么特殊意义呢？ 我们学过在直角三角形中，三十度角所对的直角边为斜边的一半，所以假设三十度所对的直角边为 a， 则斜边为二 a。 根据勾股定律，另一直角边则为根号三 a。 所以 三边比为一比根号三比二。 一定要注意，一份的边是三十度所对的边，根号三的边是六十度，角所对的边二则是斜边。计算时要先算最短的边，再算别的。来到题目，练练，已知一个含有三十度角的直角三角形， 三十度所对的边的长度为三，求另一条直角边和斜边的长度。已知三十度所对边的长度为是一份，要求另一条六十度所对的直角边，也就是根号三份，所以用三乘根号三，就求出另一条直角边为三倍。根号三 要求的斜边就是占两份，那就用一份的三乘二等于六，故斜边为六，另一条直角边为三根号三。最后我们再上点难度来看看这道题目。 根据题目 c、 d 垂直于 ab， 角 a 等于六十度，所以不难看出角 b、 c、 d 也是六十度。那么左右两个直角三角形的三边比例就是一比根号三比二， 求证 b、 d 等于三倍 a、 d。 先看短边 a、 d， 它是一份那么较长的直角边， c、 d 就是 根号三份，所以 c、 d 等于根号三。 a、 d、 c、 d 的 另一个身份是左边这个直角三角形中的最短边，所以再乘根号三等于较长直角边 b、 d。 因此 b、 d 等于根号三。 a、 d 乘根号三， b、 d 等于三倍 a、 d。 看来把较短的直角边乘根号三，就能快速的求出较长直角边， 反过来想求较短边，就是除以根号三。关于特殊直角三角形的三边关系我们就已经全部讲解完毕了，如果还想学习关于特殊三角形的面积问题，大家可以直接去洋葱学员首页搜索张无限领取 vip 即可全部会员内容，我们下期再见了！

看这道题，求几何图形的面积，那像这种五年级的压轴题，只要我们掌握勾股定力，就是可以秒出答案的。勾股定力虽然不是小学校内的必修，但作为课外的必修和初中的必考点，还是值得去记的。那勾股定力呢，要求就是直角三角，任意的直角三角形，比如说它的两条直角，边是 a 和 b， 斜边是 c， 那 么就满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，而满足条件的 abc， 我 们就叫做勾股数。那常见的勾股数呢，我们一起来复习一下啊，三四五三的平方加四的平方等于五的平方，当然我们知道一组勾股数之后呢，我们可以直接进行扩倍，比如说乘二 得到六八十，当然你还可以继续去扩倍，然后呢我们还可以回顾一些其他的，比如说五的平方加十二的平方等于十三的平方， 当然还有七二十四，二十五，那这些呢，都是我们常见的勾股数，大家一定要记得。那复习完勾股定律之后呢，我们接下来来看这一道一个梯形的面积，那我们可以直接用梯形的面积公式，也就是上底 加下底，乘高除以二，那么高是多少呢？是八，下底呢是九，那我们唯一缺的就是上底， 也就是上底，有了之后呢，这道题就轻松解决了。好，那上底怎么求呢？在这个时候呢，我们就可以用勾股定力呢来秒杀了。勾股定力要求直角三角形，那梯形当中，我们可以非常轻松的切出一个直角三角形来，在这里再做一条高， 我们就可以把一个梯形切成一个长方形和一个直角三角形，那它的斜边就是十，然后呢，这边是高，高的话呢，就是八，所以十和八哪个勾股数呢？ 明显是六八十，我们另一条直角边就是六了，那这一段是六，整体是九，那剩下这个不就是三吗？它是三，它是一个长方形，这里也是三。那梯形的上底咱们就清楚了，那我们上底呢，就直接给它写成 三，直接计算三加九等于十，二乘八除以二就等于乘四，然后呢，最后这个结果就是四十八。这道题用勾股定律秒杀，你学会了吗？

来看一道附加题，求几何图形面积，那观察一下图形，不难发现，这是一个直角梯形，想求直角梯形的面积，需要知道上底以下底以及高，那很明显除了上底不知道，其余条件都是有的。 那么这段的长度如何去求呢？今天教给大家一招，我们可以使用构造的技巧。现在我们过这个顶点往下做一条垂线，那么这条线段的长度应该就等于 八，那此时观察右边这个直角三角形，这条斜边是十，这条直角边是八，那么这条直角边应该是多少呢？这里我们可以使用勾股定律来解决，根据勾股定律啊，它的平方加它的平方等于它的平方，所以这条边的平方就等于 斜边的平方，十的平方是一百减去八的平方六十四， 也就是三十六，那它的平方等于三十六，这个边的长度是不就能求了，说明它应该等于零，这条线段是六，那说明这一段应该是多少呢？ 很容易用九减六，也就是三，那现在直角梯形的各个长度我们都找到了，那它的面积就用上底三加下底，九乘上高，八再除以二就等于十，二 乘八再除以二，最后结果等于四十八。你学会了吗？关注我，让你成为数学高手！

他就超出了绝大多数中学生的这个计算能力啊，或者这样说不准确啊，他是超出了绝大多数中学生的计算的勇气和探索的精神。对于中学生来说呢，这个学习数学啊，刷一定量的题目是必须的， 但是呢，刷题是不是刷的越多越好呢？或者说我们应该怎么样正确的刷题啊，才能提高我们这个刷题的效率 和这个收获。那其实这道题呢，就给了我们一个很好的一个提示啊，我一直坚持认为啊，对孩子们有一个很重要的能力，就是我们做题啊，切记不要把题目做完就算了， 题目做完以后立刻就扔掉了，对吧？一定要有这个回头重新审视这道题的能力和你延伸思考的能力，这个非常非常的重要啊，你只有具备了这个能力，你才能在你刷题的过程中有最大的收获。那这道题呢，其实给了我们一个很好的一个视力啊， 那上个视频我们讲了这道题呢，其实按原来呢，这个问题啊，并不是特别的难啊，呃，求线段 a e 的 长度啊，那我们做完这个题目啊，因为题目里说这四个线段是相等的吗？那上个视频我们已经算出来这个 a e 的 长度是多少呢？是这个根号五十八 啊，根号五十八，那什么叫做延伸思考能力，或者说回头审视这个题目的能力啊？呃，我在读的时候，这个题目说是矩形， 但是因为我观察图形呢，发现这个图形非常啊，像一个正方形，也就是说它的长和宽啊，非常的接近。那么同学们，你们在做完题的时候有没有这样一个 强烈的欲望，对吧？或者有这样一个冲动，我们已经把 a e 算出来了，对吧？ a e 和 c f 都是等于根号五十八的，那我想不想 把这个长方形的长和宽，也就说这个 a d 到底是多长，这个 c、 d 到底是多长？我们要把它算出来，有没有这样一种一种想法，对吧？那这个就是我 回头审视这个题目能力，或者说我延伸思考的能力。那进一步你要去想，那既然是这样，那出题人为什么不去直接问我们说这个长方形的长和宽分别是多少呢？如果你有这样一个思考，你就知道了，出题人为什么不去问他的长和宽分别是多少，对吧？ 那他之所以不问，是因为这道题如果问长和宽是多少，那么他就超出了绝大多数中学生的这个计算能力 啊，或者这样说不准确啊，他是超出了绝大多数中学生的这种呃计算的勇气和探索的精神， 对吧？他很多东西他不具备这样探索精神，对吧？因为做的这一步，如果我下面接着问这个长方形长和宽是多少呢？他其实就已经脱离了这个几何的范畴了，他纯粹是一个代数计算计算的过程。 但这个方程啊，有几种列法，我们我举两个例子啊，方程并不难列，为啥呢？我们算出来这个是根号五十八以后，那这里也是根号五十八吗？对不对？ 我们想要知道它的长和宽，其实就是知道 d e 和 d f 嘛。那这因为有两个线段的长度，我们这时候呢，需要设两个位置数，比方说我们设这个是 x， 这个是 y， 那 因为我们刚才分析过这个题目啊，对吧？呃，我们做这个垂线 或这里做垂线，那因为这个是四倍根号二， 那所以这个就是四嘛，这个就是二，对不对？那所以我们再把 e、 f 连接起来呢，我们很容易得到一个方程，就是 x 平方加 y 平方，等于这个二的平方加四的平方，也就是说等于二十的嘛。 那另外还有一个方程呢，就是在这个大的这个长方形的一半，这个三角形里面列个勾股定律，对吧？这个 a、 d、 c， 那 这个方程并不难列，对吧？那就是根号五十八加 x 括号的平方， 再加上括号根号五十八加 y 的 平方，那么它是等于因为这个地方是根号五十八，这个地方也是根号五十八，所以对角线的长度呢？是两倍的根号五十八 括号的平方，那么呢，这就是一个方程组，对吧？那有同学这时候就会提出疑问的说，老师，这个超出我的范畴了，对吧？这个叫二元二次方程组啊，中学阶段没有学过这个， 那确实是没有学过啊，但是我们学一二次方程的时候，大家会碰到我们真的讲一二次方程，我只能解二次方程吗？不一定，对吧？一些特殊的高次方程，其实我们是会解的，那包括这个方程也是一样的啊， 并不是普通的这个二元二次方程，我们在初中阶段是不学的，但是一些特殊的二元二次方程我们是会解的， 其实这个方程呢，并不难解啊。呃，只不过呢，数字稍微有点大，所以我刚才说了，呃，超出了相当一部分同学的什么？他的计算勇气，这个方程我给你列出来了，但他没有勇气继续的往下去做了，对吧？呃，或者他缺乏这种探索精神吧。 那我再换一个，列一个方程啊，我再列另外一种另外一组方程。为什么在列另外一组方程呢？大同小异啊，而且最后是殊途同归，只不过另外一个方程呢？感觉上好看一点。什么意思啊？我们再列一个方程，因为我们这样， 我们设备指数还是一样的，还是这个是 y， 还是这个是这个是 x， 这个是 y 啊，我们再把它延长， 那因为根据长方形的对称性嘛，这俩是相等嘛，所以这里是根号五十八，那这里也是根号五十八，那这里是 x 呢，这里也是 x 嘛，对吧？那所以呢，我从这里再做一个垂线 啊，做上去。然后呢，我在这个直角三角形另一边来列方程。那因为根据对称性嘛，这个是 x， 这个是 x 呢，这个也是 x， 那 所以这个呢，就变成了什么？就是，呃，根号五十八 减 x， 那 这个边呢？就什么这个边？就是根号五十八，怎么样？加 y， 根号五十八加 y， 那 这个对角线呢？因为这是四倍根号二嘛，那这里也是四倍根号，所以对角线呢，就是八倍根号，所以在这个里面我们可以列一个方程啊，那就是这个叫 根号五十八减 x 括号的平方，加上根号五十八减加 y 括号的平方，等于呢，这个八倍根号二括号的平方。 那同理呢，我们还可以因为这个图具有一定的对称性，对吧？我们把它画下来啊，把这个 x 还保留， 那这个时候呢，我们延长这个，对吧？延长 f o， 然后呢在这里再做一个垂线， 那这时候我们在这个三角形里面来列勾股定律，对吧？因为什么这个是这个，呃，这个是 y， 那 根据对称性呢？这里也是 y， 那 这里也是 y， 所以 这个地方呢，就是根号五十八减 y， 对 吧？所以同理我们就是根号五十八 加 x， 因为横的这这段是根号五十八加 x 嘛，对吧？呃，然后就是 平括号平方加上括号根号五十八减 y， 括号的平方等于，因为 o f 等于六嘛，那所以延长一个就是十二十二的平方， 那这个方程呢？也是一个二比二四的方程组啊，比刚才的方程就好看一点。为什么好看呀？因为这个方程具有很强的对称性啊，对吧？那下面呢，我就来解一解这个方程啊，因为这个解方程的过程呢，还需要一些注意的点，它其实并不难解啊。 首先我们具有很强的对称性嘛，那这是一个完全平方，这是一个完全平方，对吧？它有 x 平方，有 x 平方，这里有 y 平方，有 y 平方。我们先用这个下面的式子减上面，就下式减上式啊，比方说我们这个叫下减上， 它等于什么呢？下减上，是不是这个？呃， x 平方也减没了，五十八也减没了，这个 y 平方也减没了，这五十八也减没了，那剩的是什么呢？这个剩了一个两倍的根号五十八 x 啊，剩了个四倍啊，四倍，剩了一个四倍根号五十八 x， 那 这边是不是剩了一个四倍根号五十八 y 啊？并且是减啊，所以我们把四倍根号五十八都提出来， 就是减 y， 等于呢，这边是十二平方，减去八倍根号的平方，它是等于一百四十四，减去一百三十二等于十六的，那所以呢，这个 x 减 y 就 等于 这个根号五十八分之四，这个地方切记啊，千万不要去把它做分布有理化，因为我们下面还要进一步的计算，在计算过程中我们可以不用分布有理化， 只不过到最后计算结果去分母有理化，因为你在这个地方做分母有理化的话，会对你后面的计算啊造成很大的困难。好吧，那我们现在是把两个方程相减，然后呢，我们再把两个方程相加 啊，两个方程相加里，就是说下加上一加呢，因为那个中间项就没有了，就两倍的根号五十八。 x 这边是两倍的根号，这个五十八。 y 都加没有了，那还剩的是什么呀？它剩的就是这个。呃， 二 x 方，然后呢？这边是加二 y 方，然后呢？这里是这个两个五十八相加啊，根号五十八的平方是五十八吧？根号五十八，那所以总共多少？总共是四倍的根号五十八，所以，呃，不是四倍的五十八，再加四倍的五十八， 它应该等于什么呢？它应该等于这边两是相加，也就是一百四十四 加这个一百三十二，呃，不是一百二十八加八八，六十四加一百二十八。啊，这边挡住了。 好，那不管了，我们把这个化解一下呢，它就变成了 x 方呢，加 y 方等于二十， x 方加 y 方等于二十。那现在我们就得到了这样两个式子，得到了一个这个式子得到了一个这个式子，那这个时候我们往上面擦掉了啊，我们我们把它这个留出一点计算的空间来啊， 那这个时候计算的时候呢，我们就可以直接，呃，这个也不要了，这个也不要了。好，那我们就直接代入来，呃，消元来解这个方程啊，也就是说那怎么代入呢？我们这样，我们把这个根号五十八啊，先拿个字母代替它，在计算过程中我们根号五十八，先不要化简。 呃，我们把这个式子写成 x 等于就是 m， 那 就 m 分 之四加万， 然后呢，把这个 x 啊带入到这个里面来，那就得到了。什么？得到了这个，嗯，就是 m 平方分之十六加 m 分 之八 y 再加外方，然后再加外方等于二十啊，然后呢，我们这也还擦掉啊， 这个留在这啊，这个我们把它放到边上去，等会有用啊？放到边上去，放到这里来啊。好，那我们再整理一下，然后化简一下。化简完了，它的方程呢，就是 y 方 加这个 m 分 之四 y， 再加上 m 方分之八 减十等于零。那现在就已经变成一个呃，一元二次方程了吧？那这个方程怎么解呢？我们先来算算它的 delta 啊，它的 delta 应该等于 就是这个根。呃，我们算根号 delta， 直接算根号点子，那就等于根号。这个 b 平八就是 m 方分之十六减去 m 方分之三十二，再减加四十，再加四十。那化简以后它应该等于根号四十减去 m 方分之十六， 然后呢，我们把 m 方分之四啊提取出来，它就变成了 m 分 之二，然后里面呢，变成了这个十 m 方减四 啊，放在这里了啊，然后这个时候我们可以把 m 方带进去了啊，因为 m 我 们设的 m 等于根号五十八嘛，那这个 m 方就是五十八，那一，这个就是五百八十减，那它就等于 m 方， 然后根号五百八十减四，等于啊，写不下了啊，换个地方啊。呃，就写在这里吧，它就等于这个 m 方分 m 分 之二，然后底下的根号五百七十六，那这时候你要熟悉熟悉。哎，这个五百七十六也看不见啊，这边我挡住，写在上面吧， 这里啊，也就是说这个根号 derta 是 等于 m 分 之二，根号五百七十六， 那这时候呢，你要对数字稍微熟悉熟悉啊，这个二百五百七十六啊，其实这个完全平方数啊，是可以开方的，它是二十四的平方，所以根号 derta 呢，它就等于 m 分 之四十八， 那根号 d， 它算出来，我们现在就可以用求根公式了嘛，所以 y 就 等于什么呢？这个 y 就 等于，那我们背一下求根公式，对不对？方程在哪呢？方程在这个地方， 方程在这个地方，对吧？叫二 a 分 之负 b， 对 不对？我们背一下啊，二 a， 那 就是二分之，那注意，二分之，我们还是把它写下来吧， 二分之负 b， 也就是负的 m 分 之四，这地方加减根号 d、 r、 t， 但是呢，减号我们很显然是要省去省略的啊，因为如果减号的 m 就 变成负的啊，所以就是加上根号 d、 r、 t， 也就是说这个 m 分 之 四十八，那所以呢，它就等于什么呢？还是被打落还写在这上面，所以它这个 y 就 等于，呃， m 分 之呃，四十四十八减四十四就是二十二，哎，就是 y 等于 m 分 之二十二了，那这个时候我们再把 m 带进去嘛，因为 m 是 什么呀？ m 是 根号五十八，然后这个时候分母有理化，就变成了二十九分之十一倍的根号五十八， 对吧？那然后在这里啊，因为这个 x 减 y 等于这个嘛，然后我这时候把它化解一下，它就是二十九分之二倍的根号五十八， 那所以我们 y 求出来了，那所以 x 就是 什么呢？我就把 x 写在这吧，哎，写在这就没有，然后呢？写在这地方擦掉掉了啊。好， x 就 等于这个， 嗯，二十九分之十三倍的根号五十八啊，这就是这道题就做完了，对吧？这个 y 求出来， x 也求出来了， 对，他们差距很小，对吧？差了二十九分之二，你说这个 x 和 y 啊，差了二十九分之二，那这道题你要说，呃，它超出了我们的这个学习范畴嘛，也没有，对吧？它没有用到超纲的知识，只不过我刚讲过了啊，这道题。 那我们回头来想一想，出题老师为什么不去考 a、 d 的 长？为什么不去考 c、 d 的 长，对吧？不去考这个正方形的长和宽，是因为 啊，绝大多数同学，对吧？他没有这种计算的勇气，我们不说他没有计算能力啊，他没有这种计算的勇气，或者说他缺少这种探索的精神，好吧，所以这道题呢，我觉得还是非常有意义的啊。呃，能够给大家一些思考，当我们再去面对一些题目的时候， 我们一定要有这种延伸思考能力，或者说做完以后一定要有回头审视这道题的能力。好吧，希望这道题能够引起大家一些思考。

好，我们来看下这道题啊，如图，在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac 等于五， bc 等于六， cd 垂直于 ac， 且 cd 等于 ac， 求 b、 d 的 长。好，那么我们来分析一下啊，做几何体的时候怎么来分析？ 首先把所有的已知条件有等量关系的，我们标到图上去， ab 等于 ac 来， ab 等于 ac， 说明 abc 是 一个什么，哎，说明三角形 abc 是 等腰三角形。 好，第一个我们有已知条件得到是等腰三角形二， bc 等于六，哎，这个地方等于六， c、 d 又是垂直于 a、 c 且相等，哎， a、 c 等于 c， d 又是，也就是说这三条边都是相等的， 要求 b、 d 的 长，那么我们我们来看啊，所谓的直角三角形当中要求一条线段，我们可以利用勾股定律，但是 b、 d 呢？这条 线段呢？暂时没有牵涉到的直角三角形，那么我们自己想一下，我们可以通过辅助线的方法来把它拼成一个直角三角形啊，那么很直观的方法，我们可以延长 bc 过点 d 去做一条垂线啊，这个变成了 e 过点 d 做 d， e 垂直于 b， c 的 延长线于 e， 那 么这里变成了一个直角三角形， c、 d， e 变成了直角三角形，是不是啊？ 好了，那么要求 b、 d 的 长，是不是我把 b、 e 和 d、 e 的 长求出来就行了，是不是啊？那么 d， e、 d、 e 的 长现在我们不知道多少，他要求来，他要求 这两个求出来，那么 b、 d 就 可以通过这个直角三角形，直角边的平方等于斜边的平方来求，是不是啊？好，那么回到题目，原来的已知条件， ab 等于 ac， 它是一个等腰三角形， 大家都记住了，以后凡是看到等腰三角形，最最实用的一条辅助线就是他的三线合一，马上过点 a 做他的高啊！ 过点 a 做 af 垂直于 bc 于 f， 好， 那么我们来看，既然是 af 垂直于 bc 的 等腰三角形 bc 等于六，所以 fc 等于多少？等于三， 是不是啊？ f、 c 就 等于三了，对吧？好， ab 等于 a c， ab 等于 ac 等于 dc， 哎，这边等于五，这边等于五。好，那我们来看第一个直角三角形 a、 f、 c 当中， 在 r t 三角形 a、 f、 c 中，我可以通过 a， c 等于五， f， c 等于三， a， e、 f 等于多少？ a， f 就 等于五的平方减去三的平方开根号等于四。好，我这条高又求出来了，它等于四，是不是啊？ 那么想办法，这个三角形 a、 f、 c 能否和 d、 e、 c 做全等？如果他们是一个全等三角形，那么这边也等于三，这边等于四，这道题目就做完了，是不是？好，第一件事情来， a、 c 等于 a、 d 的 吧， a， c 等于等于 cd， 是 不是一条边相等了？ 哎，还有一个角吧，角 a， f， c 等于角， d， e、 c 一个角相等的，是不是啊？好，那么我们还要么缺一条夹边，要么再缺一个对应的角，那么我们来看一下这里来，这个角 加这个角等于多少？九十度，这个角加这个角也等于九十度，所以这两个角相等，是不是啊？哎，所以角 a、 c， f 等于角， e， d， c 好， a， a、 s 全等了没有？两个三角形全等，所以 d， e 等于 f， c 等于三，是不是啊？哎， a、 f 等于 ce 等于四，好，他等于四，他等于三。好了，解决了吧，这道题来， b， e 等于多少？这个时候 b e 就 等于六加四等于十啊， b e 等于三， b d 可以 求了吗？ b d 是 这个 r t 三角形， b d e 的 斜边等于十的平方，加上三的平方开根号，所以等于根号下的一百零九啊。这道题学会了没有？同学们好。

好的，今天我们来讲一道这个八年级的几何题啊，呃，我非常喜欢这道题。首先说啊，这道题我觉得设计还是很精巧的，而且呢，这道题做完以后，我希望能够引起孩子们的一些思考， 就是在做题的时候啊，我们做题切记不要做完一道题，就是一道题，这道题做完就完了，对吧？你一定要做完以后，返回过头来，再重新审视一下这道题，看看这道题能给你带来一些什么思考，对吧？你有没有延伸的思考，其实这个才是最重要的。 好吧，我先来讲一下这道题啊，然后看我讲完以后，能不能啊，你有些什么延伸的思考。好吧，那首先呢，我们先把题目读一下啊，题目说呢，这有一个矩形， a， b， c， d， 但是我们看一下图啊，题目说的是矩形啊，就是长方形嘛。 呃，我还有一个观点，就是在初中这个几何啊，因为几何本身是一门这个叫观察学科，所以呢，你的图形啊，一定要非常的准确，对吧？因为本身它叫观察吗？你图形不准确，我失去了观察这个过程了，对吧？那我观察一下会发现这个图呢，很像一个正方形， 但是你读完题以后，你发现它并不是一个正方形啊，那因为题目里给的说这个矩形，然后对角线呢，有个中点，然后给了说 a， o， a， e， c， f， 也就说 a， o， a， e， c， f， 这三个是相等的，那很显然怎么样？那这三个是相等的，那很显然也和它相等了，也就是说这四个线段都是相等的，并且呢，给，那也就是说这两个是两个等腰三角形，那所以我们观察图形会发现这个这个 d e 和 d f 很 显然是不相等的吧，所以它不是一个正方形啊。 那呃，题目还给了两个两个这个线段长度，然后让我们求这个 a e 的 长度，那求 a e 嘛，当然就是四个线段，随便你求一个了都可以啊。 那这个题呢，你要说难嘛，它不是特别难，那你要说简单嘛，如果你这个关键点没有想到啊，它还是有点难的。你如一旦想到这道题的关键点，其实后面呢，它其实就是一个这个叫水到渠成的事情了。 那这关键点是什么呢？那这个题目我们就要来分析一下了，他给的这个四个线段相等是用来干什么的？ 首先呢，他给了这个四个线段相等，说明是两个等腰三角形嘛，并且这两个三角等腰三角形呢，并不是相似的啊，它不一样，对吧？那我们要养成一个好习惯，就是说给了两个等腰三角形，我们顺手呢，就把这个角度标一下，也就说这两个角相等的都是 arf， 那这两个角呢，我们都标一下，都是 beta， 对 吧？那同时呢，我们把两个顶角也标一下，假如这个顶角是 x， 这个顶角是 y， 因为顶角并不相等啊，那所以在这两个等腰三角形里面，所以我们如果是两个 alpha 加上两个 beta， 再加上 x， 再加上 y 呢，它应该等于三百六十度啊，两个三角形的内角和么三百六十度，那因为这是一个直角嘛， 那所以 x 加 y 是 等于九十度的，那所以也就说阿尔法加二倍特，它是等于两百七十度的， 那所以呢， alpha 加 beta 呢，就等于一百三十五度了，那这个点呢，就是这道题的突破口，你如果分析到 alpha 加 beta 是 一百三十五， 下面的事情呢？就是水到渠成的事情了，为什么？我们来看看啊，那既然 alpha 加 beta 是 一百三十五，所以怎么样？那我们这个角就是多少度啊，就是四十五度，对不对？ 那我们走，把这个擦掉啊，影响我们观察啊，我们来看一下，那这个是四十五度，那这个时候我们再来看看题目给的数据吧，题目给了这个角是这个角四倍根号二， 这个角是六八啊，这个线段长度是六八，那我相信到这里，我一旦说了这个角是四十五度，我相信百分之九十九的同学都知道下面的垂直线应该怎么做了，对吧？那垂直线我们可以过一点做个垂直， 对吧？它构成一个等腰直角三角形，当然了，因为其实 o f 和 o e 啊，在这道题里面，它是一个位置权重是一样的啊，我过 e 点做垂直，我也可以做 f 点，我也可以过 f 点做垂直啊，两个道理是一样的啊，好，那你随便选哪一个做垂直吗？比方说啊， 我选择过 f 点做一个垂直啊，我来把它调整一下 啊，大概是这样啊，来把它擦掉，好，那这个是垂直的，那这个地方就是怎么样一个等腰直角三角形了吗？那现在这个斜边是六，所以呢，这个直角边就是多少直角边，就是三倍根号二，对吧？我们标一下啊，这个就是三倍根号二， 那这个是三倍根号二，怎么样？那这个边呢？也是三倍根号二，那上面呢，就是一倍的根号二， 对吧？那这个时候我们看看，那这个的在我们还需要缺一个这个，这个啊辅助线，那这时候我们怎么办呢？我们把这个 e o 啊来延长，那我们这样啊，把 e o 延长， 那我们 e o 延长，大概是这个样子啊，因为根据这个长方形啊，它的对称性啊，也就是上面这个三角形和下面这个三角形是全等的，所以呢，这个线段是等于这个线段的， 那当然这个线段也是等于这个线段的，那上面是四倍根号二，那这个呢也是四倍根号二，我们把它标一下，这四倍根号二，标个字母吧，标个 g， 对 吧？那也就是说现在这个是 h， 那你说这个 g h 呢？就是七倍根号二，对吧？ g h 就是 七倍个，这个地方就是七倍根号，而这呢是三倍根号二，那所以我们再把这个一连呢，那就构成了一个直角三角形， 我们在这直角三角形里面呢，就可以利用勾股定律了，哪个直角三角形就是这个啊？ h f g， 对 吧？这是三倍根号二，这是这个七倍根号二， 那等于多少呢？也就是说是呃，三三得九七七，四十九，四十九加九，就是，所以 g f 它就等于呃 根号五十八再乘以二乘以二，根号五十八乘以根号二嘛，等于根号一百一十六 啊， g f 就是 等于根号一百一十六的，那 g f 等于根号一百一十六，因为这个地方也是一个等腰直角三角形，那为什么呀？是因为 a e 等于 c g 吗？这两三角形全等，对不对？而题目说 a e 是 等于 c f 的 吗？那所以这地方是一个等腰直角三角形， 那现在我们 g、 f 求出来了，是根号一百一十六，那因此呢？这两个直角边就是多少，就是比如说 c、 f、 c、 f， 它就等于根号一百一十六，再除以根号二，那就等于根号五十八， 对吧？那也就是说怎么样？ c、 f 等于 a， e 等于 o， a 等于这个 co 等都是等于根号五十八的， 那这道题做在这里其实就做完了，对吧？但是我刚才为什么说，呃，就是我们做题啊，不要做完就算完了，对吧？比方做到根号五十八就算结束了，那这个时候呢，我希望同学们能有这样的思考啊， 就是说我们刚才做题之前，是不是观察到这个图形很像一个正方形啊？那他不是正方形，那这是根号五十八，这是根号五十八。那同学们有没有这个想到，我能不能算出来这个 这个矩形它的长和宽到底是多少呢？对吧？那这个就是一个延伸的思考啊，那如果有同学有有这个思考能力，对吧？想到了，我做完题目，哎，我想一想，这个长方形的长和宽，我能不能求出来？并且在这个思考基础上，我真的把长和宽求出来了， 那说明你这个做题的能力就得到一个很大的一个提升。好吧，那我们下一个视频再来讲一下，怎么求这个长方形的长和宽。

同学们，好啊，这里是三只猫数学课堂，我们接着来看第二十张。第二十张的第一课，二十点一，勾股定律。好，同学们把课本翻到第二十二面，翻到第二十二面，我们来看第二十张的勾股定律，哈， 这个勾股定律我相信同学们肯定都是不陌生的哈。在我国古代，人们就把这个直角三角形较短的这个直角边叫做勾， 短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，对吧？哈，在什么？我国这个 数学典籍周必算经中就有所记载，周必算经中就有所记载。公元前十一世纪，嗯，很早，对吧？公元前十一世纪人们就知道了。勾三股四弦五，对吧？勾三股四弦五， 就算你没学过勾股定律，那你也听过这句话，对吧？勾三股四弦五啊。后来人们又进一步的发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系，也就是后面讲的这个两只角边长的平方和等于斜边长的平方，这个就是什么呀？ 这个就是勾股定律啊，发现据，有据，据，有关这个典籍记载肯定是中国人我们这边先发现的哈，但仅仅只是发现发现了这样一个关系，勾三股四弦五，然后就没了弦五就弦五就是了，然后呢？就没有然后了， 对吧？因为大家都在研究孔子提出的那一套，学而优则仕，对吧？就是读书做官挣大钱，对吧？你这显武显武就是了，有跟我有啥关系？显武就显武就是了，还能怎么样呢，对不对？可能不太在乎这个东西啊，对吧？ 我们称这个为奇迹引巧不登大雅之堂的东西，对吧？啊？对这个自然科学可能不是那么感兴趣，对吧？哈？但是 古希腊那边的人就是欧洲那边的人，他们对这个自然科学还是挺感兴趣的。据说是毕达格拉斯发现这个好像是公元前五世纪。对啊，你看我们发现的公元前十一世纪，他是公元前五世纪，对吧？就毕达格拉斯发现了这个 啊。定力之后他就给予了证明，对吧？他不仅说哎呦，勾三股四弦五，为什么呢？这普通的直角三角形也满足这样一个关系吗？对不对？他就给予这个，呃，据有记载来说干嘛？应该是他进行了这个比较系统的证明，对吧？ 证明完了激动坏了，给他。我去，这是发现了不得了的东西给他，然后据说是宰了一百头牛。呃，命名为必。达格拉斯定力给他， 这个可能是古希腊那边这个欧洲人更加重视这个自然科学，对吧？啊？发现这个居然宰了一百头牛给他，那个时候宰了一百头牛，对吧？啊，不知道是不是真的哈，你们可以听过这个故事吧？肯定有同学听过这个故事哈，对吧？ 可能我们不太重视这个自然科学，对吧？没有那个欧洲那边人重视这个东西哈。啊，我们再接着看哈，就是我们本章将探索并证明勾股定律及其逆定律。啊，勾股定律怎么讲的呢？就在一个直角三角形 a b c 中， 直角 a b c 中，这个是 c 边， a b c 边，对吧？哈，也就是说把 t 三角形 abc 中 就有什么呀？角 c 等于九十度，角 c 对 的是小 c 边，对吧？角 a 对 的是小 a 边，角 b 对 的是小 b 边，是这个意思哈。然后就会有什么东西啊， 就会有这个 a 方加上 b 方等于 c 方，就是刚刚说的这个直角边长的平方和等于斜边长的平方。那反过来说呢？反过来成不成立呢？反过来也是成立的，对吧？哈？这样叫什么呀？叫勾股定律 这样叫勾股定律，反过来说就什么呀？就是其逆定律了，对吧？就是由 a 方加 b 方等于 c 方，也能推出来干嘛？这是一个直角三角形，而且这个是斜边， 对吧？而且这个是斜边，是这个意思，反过来说也是成立的，我们把它叫做逆定律，对吧？啊？ 我们再接着往下看啊，课本翻到第二十三面，我们看二十点一勾股定力及其应用。 这里讲到什么？在周瑜算经的开篇，商高啊，构造了一个商高，是一个人哈，公元前十一世纪。所以说勾股定力叫什么？又叫做商高定力。 商高定力讲的也是勾股定力啊，可能勾股定力是名称最多的一个定力哈，对吧？也有也叫勾股定力，也叫商高定力，对吧？欧洲那边叫必达格拉斯定力，他宰了一百头牛，所以叫摆牛定力，对吧？名称特别多，你可以上网上搜一下啊。 然后他这他这边讲了一个什么东西呢？讲的就是勾股定力的面积不就这个平方吗？对， 这个正方形的面积不就这个的平方吗？这个正方形的面积不就这个的平方吗？对，发现了干嘛呀？这个这边的面积加这个面积等于这个面积，那不就是这个平方加这个平方等于这个平方了吗？是这个意思哈。 然后下面这个探究就是在这个网格之中啊，画了这样一个三角形，三角形，然后去让你探究这个 abc 这三个正方形之间的面积关系。 为什么要在网格纸中画呢？在网格纸中画的话，我们更容易去呃，算这个面积，对吧？你可以数这个格子，比如说这个面积是一面积，是一面积，是一通过去拼凑的方式去算出这个三角形的这个面积，对吧？就在网格纸中更好去算这个面积，就这样一个意思，在网格纸中画， 对吧？好。然后这边的话，可能有同学看不太懂这句话什么意思啊？我们来讲一下啊。一个直角三角形，斜边长的斜边，斜边为边的，这个为边的这个正方形的面积。你比如说这个是小 c， 可以 吧？ 这个是 a， 这个是 b， 这个是 c， 可以 吧？哈，这个就是 c 方，是这个意思，等于某个正方形的面积。这个正方形的面积等于多少呢？等于 a 加 b 的 平方 减去四个直角三角形的面积。四个直角三角形啊，就这个直角三角形，就这个直角三角形二分之一， a 乘 b， 就这样一个意思，就是二 ab， 也就是说他讲什么意思呀？他讲的是这个 c 方， 对吧？就这个正方形的面积等于什么呀？等于这个减去这个，就这样一个意思，对吧？就等于 a， a 加 b 的 平方减去多少呀？减去二 ab， 是 这个意思啊，就是这个啊，这有一个二 ab， 这个减去二 ab 没了，就是多少呀？ a 方加上这个 b 方，也就是什么呀？也就是 c 方， a 方加 b 方，他表达就这样一个意思，对吧？可能有同学看不太明白，对吧，讲的就是什么呀？ a 方加 b 方等于 c 方啊，你去数格子也可以是这个意思哈。 然后我们再往后面看这个第二十四面啊，第二十四面，第二十四面的话就是用加粗字给了这个蓝色的字强调了这个勾股定律，对吧？又强调了一下，同学们都不陌生哈，然后下面就是去证明这个勾股定律啊， 这里给了一个非常巧妙的证明啊，是用赵爽玄图来证明的， 就是这个赵爽也是我国的一个数学家啊，我国古代的一个数学家，赵爽约三世纪给出了一个正法， 这个正法是比较简单的。为什么说比较简？他是通过类似于那种拼图的方式来证明这个勾股定律啊，用这个面积相等的一个拼图的方式，对吧？啊？ 这个是文言文对吧？我就不读了啊，同学们自己读一下，看你能不能读明白。好吧，我就大致讲一下赵爽是怎么挣的，好吧哈，这个赵爽闲途非常重要哈，你在以后的考试 或你买的这个练习册里面啊，都能见到这个赵爽闲途哈，这个非常有名的一个考试，也是非常考的一个赵爽闲途啊，就就这个东西，就这个东西，也就是说通过就是拼图，对不对？你看看有几个三角形，一个 两个，三个，四个直角三角形，而且一模一样的对不对？加上中间一个小的黄色的正方形，对不对？就就在这里，对不对？ 你看这个不就是这个吗？是这个意思，也就是说你干嘛，你干嘛呀？你看这个不是有四个三角形吗？一两三四，对不对？哈？你看这里有一个、两个、三个、四个、 四个直角三角形一模一样的，就是拼图吗？对吧？就说，呃，一个两个、三个、四个五个图形，然后给他拆开，对吧？然后组一个两个、三个、四个、五个， 对，这样去拼，这样拼过了，这个边长是 b， 对 吧？这个边长是 a， 这个边长是 b， 对 不对啊？ b 减去 a， 所以 这个就是我们的这个，这一段是 a， 这一段就是 b 减 a， 是的吧？这个是 b 减 a 加上 a， 所以 这个也是 b， 那 就拼成了什么呀？一个正方形和一个正方形，对吧？这个面积和就是 a 方加上 b 方， 对吧？ a 方加上 b 方，所以 a 方加上 b 方，就是这个大的正方形的面积就等于多少呀？ c 方正方形的面积不是这个边长的平方吗？就是 c 方就等于多少呀？这个 a 方加上 b 方， 对不对？哈？有些人说，老师这怎么拼的，你看看中间给你讲怎么拼的了，你把这个怎么，这个这个长方，这个这个三角形给他扣下来，给他放到这里来， 对吧？把这个三角形给他扣下来，给他放到这里来，对不对？不就变成了这样一个东西吗？我就变成了这样一个吗？能看到吧，对不对啊？哎，你要实在理解不了，咱就说手头手手边有没有这个 啊？纸，对不对？剪刀，你把这个图给画下来，你用剪刀给他剪下来，你自己去拼一下就明白了，对不对？这个也能想好，想到你没玩过拼图吗？真的是，对吧？好理解，对吧？哈？这个中间这个我就不去读了哈， 他表达的就是这样一个意思，能看懂就行啊，就是一个拼图，对吧？就证明了这个 a 方加 b 方等于这个 c 方。用的什么呀？用的是面积相等，对吧？用的是面积相等，对吧？ 因为这个这个图形的面积肯定是不变的呀，他这形状不改变，只是以不同的方式去摆放，面积肯定是不变的呀，是这个意思啊，就是 用什么来着？用这个作为图形的分割拼接，利用面积关系证明了这个勾股定律给他这个又叫什么？又叫做出入相扑法，对吧？出入相扑法讲的也是这个造访，先图是是这意思哈， 然后再看下面这个证明啊，看下面这个探究，对吧？下面这个探究，这个造爽前途，你能通过计算前途的面积推导出勾股定律吗？也是可以的啊，我们在上面看一下，好吧， 看一下。这个是 a， 这个是 b， 对 不对？那这个三角形，三角形 s， 三角形 abc 就 等于多少呢？二分之一 a 乘 b， 是 的吧？哈，那有几个这样三角形呢？有四个呀， 不是有四个三角形吗？是这个意思哈，四个三角形就是我们的二分之一 a 乘 b， 还要乘以几啊？还要乘一个四， 对吧？再加上再加上中间这个黄色的这个正方形的面积，对吧？啊，这个是 a， 对 不对？这个是 a， 没有问题吧？这里是 a， 哈， 对吧？这个总长是 b， 这个是 a， 那 这一段就是多少？就是 b 减 a， 好 理解吧？ b 减 a 没有问题啊，那这个正方形的面积就是 b 减 a 的 平方，是的吧，就是这个 b 减 a 的 平方就等于多少呀？就等于这个 c 的 方，对吧？你不说了吗？这一个三角形对的，有几个？有四个呀， 对吧？四个三角形对吧？不就一个两个三个四个吗？再加上中间这个正方形，不就整个的面积吗？整个的面积不就边长的平方， c 的 平方吗？ 是的吧，你再给他化简一下就可以了哈。这个是 r a， b 加上 b 方， a 方减去完全平方，公式展开是这个意思，那这个就约掉，约掉，那剩的不就是 a 方加 b 方等于 c 方吗？ 是吧，剩的不就这个东西吗？对不对哈，这样去证明也是可以的，通过这种拼图的方式来证明也是没有问题的，对不对？这个是通过这个计算弦图的面积推到勾股定律肯定是没有问题的哈，证明这个勾股定律的方式是多种多样的，方法巨多 得。证明勾股定律的方法是巨多的啊，后面我们嗯有很多题目，包括这个课本上有很多练习题去证明这个勾股定律，等下我们后面会讲到。好吧， 来看我们下面这个例一哈，例一的话就是六八十对吧？就是六的方加上八的方等于 ab 的 方，对吧？就等于这个十就可以了。还有这边呢，十七十五多少呀？八对吧？十七十五八对吧？就是 这个十七的方减十五的方，再开根号是这个意思哈，这个用什么？这个用平方差公式来做是比较好做的哈。十五啊，十七减去十五，十七加上十五，对吧？一加三十二，一减二，二乘三十二，六十四，一开出来就是八， 是这个意思啊，第一的平方等于六十四，第一不就等于八了吗？对不对哈，像这些是让同学们记住的哈，这些关系是让我们记住的哈，这叫什么呀？这叫勾股数， 这叫勾股数。什么叫勾股数呀？就是可以构成一个可以构成一个直角 三角形三边可以构成一个直角三角形三边的一组。什么呀？ 正整数叫做勾股数啊，我们需要记一些常见的勾股数啊， 比如说三四五呀，六八十呀，还有这个什么八十五、十七啊，对啊，你遇到的这些比较简单的勾股数一定要记住，也没有必要去刻意的去记啊，只要你平时认真学习，认真听课，认真做题，自然而然就记住了， 真这样，你做的，你通过做题，自然咱就记住这些钩股数了，对不对？为什么非要记这些钩股数呢？当然是为了计算的时候更加的快呀，更加的便捷呀，但你知道钩股数就可以直接写了呀，难道不是吗？对吧？ 你比如说下面这个练习的第一题，对吧？你要记得勾股数的话，就是六十，那 b 一定是多少呀？八，对吧？前前提是这个是斜边啊，这斜边啊，对不对？这个斜边长是 c， 对 吧？所以说 b 就 等于零，根号下 c 的 方减去 a 的 方，就等于根号下 十的方减去六的方，就等于八六八，是勾股数吗？ c 就 等于多少呀？这个是 a 的 方加上 b 的 方就等于多少呀？五的方加上十二的方，这个也是勾股数，是十三，对吧？哈，这个 a 也就等于这个 c 的 方减去多少呀？ 这个 b 的 方，对吧？就等于这个二十五的方减去十五的方。用这个平方差公式来算一下啊，这个是二十对，这些都是勾股数啊，比如说六、八十，对不对哈？五十二、十三，还有我们的十五、二十五、二十都是勾股数，这需要你去记忆的哈。 然后再看下面这个第二题啊，第二题第二题也非常简单啊，这个他给的是 a、 b、 c、 d 的 边长都给了给他 a 的 边长是十二， b 的 边长是十六， c 的 边长是九， d 的 边长是十二。让我算这个 e 的 这个面积，对吧？这个有了，这个有了，这个就有了，这个有了，这个有了，这个就有了，对吧？这个有了，这个有了，这个就有了， 是这个意思啊，你比如说这个长度是多少呢？就等于这个十二的方加上十六的方，是这个意思啊？ 就这个十二的方加上十六的方，再开根号，对不对？再开不用开根号，不用开根号。这个表示什么呀？表示的就这个的平方，对不对？来标一下 abcd， 这是 m n， 好 吧，这个是 m n 两个点，这我标的是这两个点啊，对不对啊？所以就等于 m n 的 平方，是吧？就等于这个 m n 的 平方，对不对？不要标 m n 的 平方了吧，要不然直接标这个正方形，标这个正方形，好吧，这个 abcdef g， 对 不对？就是 sf。 这个三角形的面积就等于十二的方加上十六的方，是这个意思啊。十二的方加上十六的方，你也可以说把这个边长算出来也是可以的，你也可以不算是这个意思啊。 然后再标这个 s g 的 方。 s g， s g 就 等于多少呢？就等于这个的方加这个的方，就等于这个的方，就是这个三角这个正方形的这个面积，对吧？就是九的方加上十二的方，对吧？哈， 然后再看这个 s e， s e 就是 这个边的方加上这个边的方，这个边的方不就这个正方形的面积吗？是的吧，也就是说 s e 就等于 s f 加上 s g。 啊，加一块，加一块，答案就是多少？六百二十五，同学们自己去加一下也可以啊，当然了，你也可以把这个边长算出来，对吧？把这个边长算出来啊，知道边长了再来算，这个也是可以的啊，怎么算都行啊。 然后再看这个第三题啊，第三题很简单吧， ab 之间的这个距离就等于多少呀？这个方加上这个方等于 ab 的 方，开根号就可以了，是这个意思， ab 就 等于根号下， 嗯，四的方加上五的方就等于多少呀？啊？十六，二十五，四十一，根号下四十一，所以答案就是多少呀，答案就是根号四十一 就可以了。好吧，那这个视频我就先讲到这里，好吧，下个视频我们接着来看这个勾股定律的这个应用，好吧，同学们，我们下个视频再见，好吧。

哦哦哦对不是他跟多少度没有关系。哪有四十五度啊只要九十度就可以了。哎对他这边贴个九十度然后这边贴个九十度。 哇塞好聪明啊哇你好聪明啊对他好聪明但是我对不起怎么办。对不起那就不是九十度呗。不是九十度肯定是九十度的。好了来我来把他。呃嘟嘟嘟脸上取。 嘟嘟嘟脸上是哇你好聪明啊嘟嘟嘟。哈哈哈好大脸。来福之谦的做法叫延长和延长。不是这个嘟嘟嘟是怎么回事。哈哈哈好吧我我穿 突然意识到我为什么会发出这种声音呢哈这还吃啊啊不是这个年龄段的八岁哈哈哈我今天十八来。那个贾公主你来告诉我这个脚 s 是 多少度。 九十度。哇这么难你都知道哈哈哈为什么那你告诉我为什么他是九十度你得证明一下。哎别讲话啊咱不开玩笑了啊那你告诉我为什么角 h 是 九十度 我来一个为什么角 h 是 九十度。因为他的两个锐角缝纫 两个对角为啥互余啊因为角 h d a 等于那个角 d c f d c f 啊可以嗯然后呢。 然后角 h a d 等于角 c d 啊好吧我原谅你了哈哈哈好就是这个角啊角叉啊特别吓人 它是等于这个角的啊这俩角叉相等这俩角叉为啥相等你告诉我为啥相等。 其实啊你跳多了我直接问他你知道吗这俩小叉为啥这样呢。因为他们认为 因为这两个叉啊都跟他干嘛互娱 这个叉跟这个圈是不是互余对吧。嗯这个叉跟这个圈是不是也互余啊他俩互余的原因是因为这是九十度。他俩互余的原因，因为这里是九十度。对，所以他俩相等， 对吧？怎么了？哈哈哈，然后笑。什么？然后这个，这俩脚是相等的，这俩脚为啥相等？全等？ 哈哈哈，这俩脚，这俩脚相等是因为全等。是的，对， 那他跟他也呼吁，所以这里是角圈，那，所以叉圈，所以上面就是六十度。好，那上面是九十度了以后，其实这个 e、 f、 h 是 个什么三角形？ 等腰直角三角形，这个大的是等腰直角三角形，它为什么是等腰直角三角形？对了，因为这个三角跟他也全等， 这俩三角形也全等。全等原因是角角角、边角，你当角角边也行，反正有个九十度嘛，对吧？所以这以全等。这三个三角形其实是一样的，或者如果我们再 那个一点，我如果把它也延长，把它也延长，这就是变成一个大的正方形了，这其实就是对角线吧？对啊，对吧？所以那，那现在这个答案是多少？这个是三，这个是四，所以这个边是多少？ 我也这个边啊，这个边是，这个叫还要算等腰直角三角形，我等腰直角三角形。斜边是直角边的一半根号，二倍七，七倍高二。对，七倍高二啊。

这道题作为五年级的压轴题，难度大，分值高，但只要掌握了勾股定律，我们可以一秒解题。勾股定律虽然不是课内必修，但作为课外必修和初中必考，我们还是需要掌握的。什么是勾股定律呢？在直角三角形当中，两条直角边为 a 和 b， 斜边为 c， 三个数必须满足 a 方加 b 方等于 c 方的关系。那我们常见的勾股数有三四五，再进行扩倍就是六八十。除了扩倍这种方式，常见的还有五十、二十三、七二十四、二十五。 大家把这些勾股数记录下来做题会非常的方便。下面我们看这道小题。这是一个梯形，那么梯形的面积公式是上底加下底乘高除以二， 但是在这里上底是多少我们并不知道，下底为九，高为八，最后别忘了除以二。那这个上底该怎么去求呢？如何利用我们的勾股定律？其实每一个梯形都可以分割成一个长方形和一个直角三角形，在这个直角三角形中，斜边为十， 一条直角边为八，那另外一条直角边可以根据勾股定律求出来，当然就是六八十的这一组勾股数，那这边的长度就是九减六等于三，我们就找到了这个梯形的上底为三，最终求出它的面积等于四十八。这道题你学会了吗？

勾股定律是八年级非常重要的一个几何部分内容，他不单单在几何里面能来求编程，那在勾股定律这块也会涉及到一些全等的辅助线以及模型，那我们今天就来看一下勾股定律这块特别重要的一个辅助线旋转。 那勾股定律这的旋转主要是常考的两大部分，一是半角模型，二是手拉手。咱们今天看半角模型里面的一个变形，那我们先看这里的基本图一， 这里面现在说有一个等腰直角三角形 abc 点的是 bc 上的一点，现在要求证这三边的平方关系，那我们拿到这题的时候就要思考，那这里面需要证明的是这三边的一个数量关系，并且是带平方的，那带平方呢？首先我们想他肯定是跟勾股是有关系的， 那既然跟勾股有关系，咱们就需要找到直角三角形，那这里面我们要求的是的 b 方加上的 c 方， 所以我们需要想办法把这个题里面的的 b 和 c 转移到同一个直角上角里去，那转移到同一个直角上角就涉及到过五丁里旋转了。 那咱们旋转的话，所有的旋转，咱们初中阶段常见的旋转的方式，比如说半角模型，手拉手、对角互补四边形，包括其他的像飞马点等等，其他的旋转的原则都是使相等的边，他们的夹角是多少， 比如说这里面 a、 b 和 a、 c 的 夹角是九十度，所以咱们就可以把这里的三角形 a、 b、 d 旋转，因为我要把 b、 d 和 c、 d 转到同一个直角方形里去，所以我在旋转的时候，我就要以 a 为直角顶点， 以 a 为旋转中心，然后使向量重合，也就说要把 a、 b 转到 a、 c 上去，那把 a、 b 转到 a、 c 是 不是就转了九十度？所以这里面咱们 a、 d 也是转九十度。 那我们需要注意，在旋转的辅助线里，我们是不可以说旋转的，所以我们思路是把 a、 b、 d 转到 a、 c、 e 上来，但是辅助线绝对不可以这么说，我们的辅助线需要说的是你怎么好正，全等就怎么来。那这里咱们比较好正的是可以做 a、 e 垂直 a、 d， 并且 a、 e 等于 a、 d， 那 我们做完之后就能发现这里的一、二、三这三个角，原来角一加角二是等于九十的，那现在角二加角三也是九十，所以就能推出来角一是等于角三的， 那得到角一等于角三之后，我们是不是就能证出三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 那 这个是咱们旋转的第一步，就要证的是这两个旋转的三角形全等。那接下来我们再看，原来角 b 是 四十五度，证完之后这个 a、 c、 e 也是四十五 所，那原来的角 a、 c、 b 也是四十五，所以现在就变成了 e、 c、 b 这个角是九十了，那他得到九十之后，我们看又能得到什么？原来要正的是这两边的平方和，那我们看现在这个 d、 b 方加 d c 方，是不就转化成了 c、 e 方，加上 c、 d 方， 那 c、 e 方加 c d 方是不就等于 d、 e 方？所以我们接下来是要连接 d、 e。 这里不是说你要应记图形啊，是通过题去分析出来的，那我们连完 d、 e 之后，就发现这两个平方之合是等于 d、 e 方的， 那所以我们现在只需要证明这个的 e 方，它是等于二倍的的 a 方就行了。那想证明这组关系是不要，就要证明这个 a 对 e 是 个等腰直角叉形，那我们最开始做的就是等腰直角叉形，所以接下来就可以写了， a 对 方加上 a 一 方是等于的一方的，然后这里面 a 的 和的 e 是 相等的，所以就变成了二倍的 a 的 方等于的一方，那原来的这个 b 的 方 加上的 c 方是不就等于这个的一方？咱们就可以把这个的一方替换成二倍的 a 的 方了，这个是 等腰直角三角形里面的勾股定律旋转一个常见的结论，那这个结论指的是什么意思呢？我们裁掉这个图，现在看这结论。 这结论指的是你在等腰直角三角形斜边上任意取一点，你任意取一个点，那现在是不是有 a、 d、 d b 和 d c 这三条边就相当于这个点？是不是出来三条线段， d a、 d b 和 d c， 那 这三条线段满足的数量关系就是 d b 方加上 d c 方等于二倍的 a 的 方，就是这个定律。那我们看当这个图稍微变化一下，变成基本图二的时候，那我们该怎么办？那思路是一样的，如果你要了解半角模型旋转，那这题你就直接旋转就可以了， 如果你不了解，你就需要去分析这里面是怎么出来的。那首先我们看这里面是还是 abc 等腰值，现在要证明的是 d b 方加 d c 方等于二倍的 d a 方，那我们看这里面的 d b 方加 d c 方，现在是谁？ 这里面还是一样，我们要证明这个的 b 方加的 c 方，所以我们是不是要把这两个三角形转到同，把这两个边转到同一个直角三角形里去？那这里面咱们就转一个比较小的边，就转这个 a、 c 角，辅助线还是咱们可以做一个 a、 e 垂直 a 的， 那这题你看啊，好多同学画图会画错，我们想我们在旋转 ac 的 时候是把 ac 转到 ab 边上来，那你把 ac 转到 ab 是 不是转了九十度？所以呢？这个三角形其余的边是不是也转九十度？也就是说这个 a 的 是不是也要转九十？转到大概这个位置上来， 转完之后我们看能得到什么？那现在我们辅助线做了一个 am 垂直 a 的， 并且 am 等于 a 的， 那我们首先是不就能证出三角形 a、 c、 d 是 全等于三角形 abm 呢？证完之后我们再看，那原来的 d、 b 方加上 d、 c 方，现在是不是就变成了 d、 b 方加上 b、 m 方，那我们看它们俩所在的是不是直角上角？也就说你要判断这个 b 角 b 这块的 b、 m 是 不是直角，那原来角 a、 c、 b 是 四十五度的，所以 a、 c、 d 是 不是就一百三十五？那现在这个 a、 b、 m 是 不也一百三十五？又因为这个 a、 b、 c 是 四十五，所以是不就能得到这里面的角的 b、 m 是 九十了， 那它是九十，所以这里面的的 b 方加上 b、 m 方，咱现在是不是等于了的 m 方？那所以我们接下来需要把这个的 m 连上， 那想证明它等于二倍的 a 的 方，我们接下来是不是只要证明的 m 方等于二倍的 a 的 方就行，那现在 a 的 m 是 一个等腰直角三角形，本身是不是就有 a 的 方，加上 am 方是等于的 m 方的，然后 a 的 和的 m 相等，所以是不是就变成了二倍的 a 的 方等于 d m 方？那原题里我们要正的这个 d b 方加 d c 方是不是就变成了二倍的 a d 方？你会发现这两个图虽然图是不一样的，但是它们的正法是一个思路，都是通过旋转。

同学们好啊，这里是三只猫数学课堂，我们接着来讲第二十章勾股定律的第六课，二十点二勾股定律的逆定律。同学们把课本翻到第三十四面，我们接着上节课的内容，接着往后看啊，二十点二勾股定律的逆定律及其应用 啊。在这个勾股定律的第一节课，我们就讲了这个勾股定律的逆定律，对吧？我们来再讲一下，好吧， 一个直角三角形 abc， 三个边长是小 a， 小 b， 小 c， 对 吧？啊，什么叫勾股定律来着？就是说在 r t 三角形 abc 中角 c 等于九十度，他就会满足 a 方加上 b 方等于 c 方。啊，这个叫勾股定律，那要是反过来说呢？反过来说呢，就是勾股定律的逆定律， 就是勾股定律的逆，也就是说由这个 a 方 b 方加起来等于 c 方能推得这个三角形。直角三角形，这个就叫做逆定律。好，通过逆定律我们也能 啊，也也能发现这个逆定律干嘛用的呀？就是去判断一个三角形到底是不是直角三角形，对吧？去判断一个三角形是不是直角三角形，就这样一个意思， 对吧？啊，这个同学们可以自己去啊，看一下，好吧，一般的满足两条边的平方和等于第三条边的平方 的三角形，是不是直角三角形呢？对不对？这一个观察让你去试，对吧？你试一下这个啊，再 啊，再试一下这个，让你去试一下哈，通过上面的尝试，那我们就有了一个猜想，这个猜想就是勾股定律。逆定律就是去判定一个三角形是不是直角三角形，对吧？哈，那只是一个猜想，这只是一个 猜想。那怎么去证明呢？我们要急于证明，你要直接证是比较困难的，对吧？嗯，不是那么好证，感觉很奇怪，是这个意思哈。 那怎么证呢？也就是说你不是说画了一个三角形 abc 吗？有什么 abc？ 然后说是满足什么呀？ a 方加上 b 方等于 c 方，这个是条件， 对吧？有了这个条件，让我们证明这个他是一个直角三角形，怎么做呢？你看他下面这样做的啊，就是说 画一个什么？画一个三角形， a 撇 b 撇 c， 使得这个是 a， 这个是 b， 然后这里做个直角，然后连一下，这个 a 撇 b 撇，就是画了一个直角三角形， a 撇 b 撇 c， 然后使得这个是直角，这个是 a， 这个是 b， 然后你看看 因为勾股定律，对吧？因为勾股定律，对吧？ a 方加 b 方肯定是等于 c 方 的，是这个意思啊，也就是说也就是这 c 方，对吧？ c， 对 吧？也就是 a 方加上 b 方等于多少？等于 c 方，也就是说这个 a 撇 b 撇是多少呀？是 c， 那 么这两个三角形就什么呀？全等的 编，编编全等，对吧？就是编，编，编全等。所以干嘛呀？这里九十度就转移到这里来了， 有一种什么感觉？有一种套娃的感觉在里面，对吧？你用勾股定律去证明勾股定律的逆定律，是这个意思吧？就是用勾股定律来证明勾股定律的逆定律。 有一种套娃的感觉在里面啊，那这个就是这个。呃，勾股定律的逆定律干嘛的呢？就是判定直角三角形的一个依据，对吧？那我们来看这个立一哈， 立一，这个第一个是不是？是的，对吧？啊？这个斜边一定是较长的那个，较长那个一定是斜边，对吧？长的是斜边，斜边就是较长的那个，是这意思哈，就是说这两个肯定是直角边，对吧？ 就是八的方加上十五的方，你看等不等于十七的方就可以了哈，这个是等于的，他就是什么勾股数， 对吧？我们之嗯之前讲过这个勾股数，对吧？勾股数一定是什么样？一定是正整数，对吧？一定是正整数哈，然后第二个是不是呢？第二个就不是了啊，十四的方加十三的方，他不等于多少？不等于十五的方，那就不是， 对不对哈？第一个是第二个不是，是这个意思哈，然后我们再来看后面的这个练习啊，练习的话你去试一下就可以了，对吧？ 第一个是四的方加上五的方，他是不等于多少呀？六的方，对吧？四的方是十六，五的方是二十五，这个是四十一，对吧？六的方三十六，那怎么能相等呢？不相等，不相等的话，他就不是直角三角形， 是这个意思啊。那你看下面这个，下面这个是二十五七，二十四是勾股数吧，对不对啊？就是零点七的方加上二点四的方是等于二点五的方，所以这个就是什么呀？啊？这个直角三角形，对吧？啊，没有问题哈， 始终是用两个小的平方加起来，等于那个大的平方，是这个意思，因为两个小的肯定直角边，大的那个肯定是斜边，是这个意思哈， 这个就是五分之一的平方加上四分之一的平方，他是不等于三分之一的平方的，所以这个就不是了，对吧？下面这个一的平方加上根号二的平方是等于根号三的平方的，所以这个就是了， 对吧？这个很简单吗？是这意思啊。然后再看这个第二个，第二个，这个 s 一 s 二 s 三是什么东西啊？是三个半圆哈，是三个半圆，那我们把这个 s 一 s 二 s 三给表示一下，好吧， a b 取个中点，对不对？中点就是圆心了， a b b c a c 的 中点就是这个圆心，是对吧？哈，那这个 s 一 等于多少呢？半圆二分之一 pi r 平方，是，对吧？那就是 r 是 多少呀？二分之 a b， 对 吧？二分之 a b 的 平方， 那同理这个 s r 也有二分之一 pi 这个 r 平方，对吧？二分之一，这个 bc 的 平方，是这个意思吧？ s 三是二分之一， pi 多少呀？二分之一 a c 的 多少呀？平方是这个意思哈，然后他满足这样一个关系式啊，你代入就可以了，对吧？就是二分之一 pi 二分之 ab 的 平方是 s 一， 再加上这个 s 二 二分之一 bc 括号的平方，再等于 s 三二分之一 pi 二分之 a c 的 什么呀？平方这个意思。然后你把再把这个都给它约掉，约掉，包括这个二分之一的平方也给它约掉， 所以就剩一个什么东西啊？就剩了 a b 的 平方加上 b c 的 平方等于 a c 的 平方，它不就是勾股定律的逆定律吗？对不对？满足这样一个关系式，那 a c 是 斜边，这两个是直角边，这一定是一个什么呀？直角三角形，是的吧，你就写所以什么呀？ 这个 r t 三角形， abc， abc 就是 什么呀？这我就简单这样写一下，好吧， abc 就是 一个直角三角形。是的吧，非常简单哈。那这节课我就讲到这里。好吧，下节课我们接着往后看。好吧，同学们，再见。

勾股定律与绊脚模型结合的旋转绝对是考试里面的一个重点的题型，尤其是在几何压轴或说变形的问题里，跟旋转相关的问题里考的频率非常高。那我们看在绊脚摩在勾股定律里面的最常见的这个绊脚模型旋转，咱们该怎么去做？ 首先我们要先了解这个勾股定律里的绊脚模型存在的是以下的两个结论，这个是属于基本图了，大家一定要把这个结论记住， 你记住这个结论的前提，你不要光背这个图啊，你需要知道这里的边都是怎么出来的，你在不同题里你去怎么找。第二个就是这个结论，你是要怎么去证，你什么时候需要用到它？ 那我们先看第一个，先看这个结论，这里面 b、 a、 c 是 九十，然后 d、 a、 e 是 四十五度。有同学可能对半角形不太熟悉，半角形咱们上学期学全等的时候学过，指的就是二倍角和单倍的角， 只要有公共的顶点，那就是属于半角模型的。所以你要先会识别，就是当二倍角和一个单位角有公共顶点的时候，就是半角模型。那这里面我们看角， b、 a、 c 是 九十，里面还有一个角对 e 是 四十五， 那九十里面加个四十五，这就属于一个标准的半角公式。那此时这个结论，当这个半角在等腰直角三角形内部的时候，我们就能得到一个这样的结论，那这个结论是这个半角，你看啊，这个半角的两个边，它是不是相当于把这个等腰直角三角形的斜边拆成了三段， 那拆成的这三段里面，这个半角所对的这条边就是对 e， 它是能作为直角三角形的斜边的。你拆成的这三段线段， b 对 对 e 和 e、 c， 它们三正好能组成一个直角三角形， 其中这个半角所对的这个边就能是作为直角三角形的斜边。那如果用数量关系来表示的话，就是上面我写的这个数量关系，对 b 方加上 e、 c 方等于对一方。那接下来我们看在该怎么去旋转 那半角模型的旋转？咱们上一期学半角模型的时候就说过，你旋转的话，不是说你单独旋转一个三角形就可以，你要知道这个旋转的本质是谁。那半角模型我们看半角模型里面是有两个边， 这里面有一个二倍角，还有一个单倍的小角，那二倍角里面是不是有两条边，我们分别看成左边和右边，然后单倍的角里面也有两条边，也是左边和右边。 那我们在转的时候，你要注意你是转的是这个二倍角的左侧边与半角的左侧边所围的三角形，就是你要转的是左和左这两条边所围的三角形， 或者是转右和右这两条边所围的三角形。也就是说你要转的是半角和二倍角同侧的两条边所围成的三角形。所以咱们在做半角平行的时候，你要首先先去判断这里面角 b、 a、 c， 它的左侧边就是 ab， 右侧边是 ac， 那另外的半角左侧边是 a 的， 右侧边是 a、 e， 那 这时候我们旋转就旋转的是 a、 b 的， 或者是 a、 e、 c， 你 确定了旋转谁之后， 接下来就是第二个旋转，你旋转到哪停？旋转的时候咱们是绕着这个半角的重合顶点旋转，使相等边重合，就旋转到使相等边重合为止。 比如说咱们旋转的是 ab 的， 那如果我转它的话，我就是把相当于我要把 ab 转到 ac 上来，使相等边重合嘛，只有 ab 和 ac 相等，对吧？那也就是说我需要把它逆时针旋转九十度，所以这里面我就是把三角形 ab 的 逆时针旋转九十度。 那辅助线的话，咱们还是一样的，不能说旋转需要做的是垂直线相等，然后你去构造出全等的也行，你去做其他的辅助线也行。比如说你可以做一个 c m 垂直 c b， 且 c m 等于 b d 也可以啊，你怎么做辅助线都行，只要能挣出三角形 abd 全等于三角形 a c m 能好挣它俩全等就行。那我这里面做的辅助线是 am 等于 a d， 并且 am 垂直 a d 做完之后我们再看，那现在我们想证的是这个数量关系。 no， 那 我们看此时这个 b d 方加 cm 方，因为原来角 b 是 四十五的角， a c m 是 不是也四十五？所以现在这个 m c b 就是 九十了。那原来这个 d b 方 加上 ec 方，现在是不是就变成了 c m 方加上 ec 方，那我们看 c m 方加 ec 方是不是正好等于 em， 所以 咱们要把这个 em 也连上，就等于 em 方了。 那接下来我们想证题里这个结论，是不是只要证明这个 e m 等于对 e 就 行？那我们看题，想证 e m 等于对 e， 那 想证两个边相等，咱们的和弦思路是不要找这两个边所在的三角形全等，所以这里面我们就找 a e d 这个三角形 和 a e m 这两个三角形正，它们俩全等就行。那全等的条件是，首先有一组 a d 等于 a m， 咱们刚才正完的全等，第二个是有一组公共的边，那我们只要正角相等是不就行？ 那这里因为得 a b， 得 a e 是 四十五度的，原来这个点和叉角它俩相加是四十五，那咱们转完之后，这个点得 a b 是 不是跑到了 c a m 上？所以这个点和叉，也就说 e a m 是 不是也是四十五？那现在这两个三角形是不是就是 s a s 全等，所以得 a e 全等三角形 m a e 全等之后，我们就能得到这里的得 e 等于 em， 所以 把上述这里的边替换掉就行，变成了得 b 方， 加上一 c 方就等于的一方，那这个是一个正常的半角模型，那我们看下面第二种该怎么去旋转，这时候它就属于这个半角转到了三角形的外面，它有一部分是在外面的。那我们依据刚才的思路，还是先找到这个半角和二角角的两个边， 那这里的二倍角是 b a c， 它的两个边是 ab 和 ac， 分 别是左和右。那半角的 a e， 它的两个边是 a d 和 a e， 所以 我们就确定了要转的是两个左侧边或两个右侧边所围的三角形。也就是说 我们可以转的是三角形 ab 的 或者是三角形 a c e， 那 不管转谁，原则都是使向量重合。那比如说我们转这个小的三角形啊，转这个 a、 c、 e， 它能好画一点，转，它使向量重合，咱们是不是就要把这个 a c 转到 ab 上来，那咱们转的话是不是就把它旋转 九十度？所以把 a c 转到 a b 是 旋转九十度，转完之后我们再看，那这里辅助线咱们还是一样做一个 a m 垂直 a e， 并且 a m 等于 a e， 那 首先就有三角形 abm 全等于三角形 a c e 全等，之后我们再看，那原来我们要正的是对 b 方加 e c 方，那现在这个对 b 跟 e c 转移成谁了？ 这个角 a c、 e 是 不是一百三十五了？那转完之后这个 a b m 也是一百三十五，那因为这个角 a、 b、 c 是 四十五，所以你发现这里的角 m、 b、 c 是 不是就九十？所以现在这里的的 b 方加上 e、 c 方，我们是不是就转化成了这里的的 b 方加上 bm 方，那他们俩之合是不是就等于这个的 m 平方，所以我们就等于的 m 平方。那想证明题里这个结论，我们接下来是不是只要能证明的 e 和的 m 相等就行？ 那想证明这两个边相等，我们继续找这两个三角形全等，也就是说你要证明这个三角形 a 的 m 和三角形 a 的 e 全等，那证明他们俩全等。我们看条件都有什么。首先有一组这里的 a m 等于 a e 这组边等，还有一组公共边，那也就说我们只需要证明假角上等数就行。那这里面证明假角的话，你要是直接去倒角就是它，它比较不太好倒，好多同学这都是倒角的注没倒出来。那咱们以前就说过，你全等三角形倒角核心思路就是设未知数倒角不讲究什么太多的方法技巧， 就是基本思路，设未知数倒角，那所以这里我如果设 b a m 是 alpha 的 话，你设谁是 alpha 都可以啊，设别的角也行，那这里的角 c， a， e 是 不是也是 alpha？ 那因为这里题里你看给的这个的 a， e 是 四十五度，所以这个的 a， c 是 不就变成了四十五减 r 法？ 那所以现在是不就能得到这里的角的 a m？ 你 在 b a， c 这个直角里面看，它现在是不就等于四十五度的？所以你是不就直接就能得到这个 m a 得等于角 e a 得， 你会发现如果你要设未知数导角，它会比较简单，你用数就能表示出来。如果你设字母去硬导的话，那就比较费劲的，那得到它们俩相等之后，我们就能证出全等三角形 m a， d 全等于三角形 e， a， d 全等之后我们再看，那现在是不是就已经把这里的 c， d， e 转化成 d m 了？所以原来的这组边 d b 方加上 e c 方这个 d m 咱们是不是就给它转化成了 d e 方？这个就正出来了。

勾股定律是整个初中几何第一次从形状研究跨入数量研究的。前面你像学的什么全等呀，对称呀，平行呀，都是看着图形推结论的。这一单元呢，尺子量不出来的长度，靠平方就能算出来。 很多孩子他不是不会背什么 a 平方加 b 平方等于 c 平方，而是不知道什么时候该用勾股定律，什么时候不该用。看到一个直角三角形平方就往上怼，看到一个不是直角三角形的图，完全想不起来，哎，说我通过做这个垂直来构造直角三角形，这些才是这一单元真正的考点。 学生以为勾股定律就是知道两条边，求第三条边，你这样理解的话就太狭隘了。其实呢，勾股定律是把几何问题转化成代数问题的，什么翻译器 啊，一句话呢，这一单元他主要讲的是什么东西啊？就是给直角发数字身份证啊，以前我们证明两条边相的是不是得通过这个三角形，哎，我们直接平方或者开方长度就出来了。 所以购物地理，它本质上来说不是单纯的一个几何地理，而是代数入侵几何的第一站。那么这单元我们呢，啊，要避两个坑啊。第一个坑就是有些同学啊，给你告诉了直角三角形的三条边是 abc， 他 自然就得出了 a 平方加 b 平方等于 c 平方，大家想想这样对不对？ 你怎么知道哪个是斜边呢？人家又没告诉你啊。所以呢，一旦涉及到直角三角形，我们第一时间要搞清楚 谁是斜边，哎，那么斜边对的角是直角，反过来直角对的那个边就是斜边，那么另外两条边就直角边，是吧？我们你不要记什么 a 方、 b 方 c 方的，那只是像人一样，穿的衣服一样，就是两条直角边的平方和等于斜边的平方，你记这个本质就行了，不要记什么 a、 b、 c 的 啊。 第二个坑就是说，比如说人家给你告诉直角三角形的两条边是三和四，求第三条边，我们百分之六七十的同学就给出了一个五，只有这么一个答案，大家想想你是不是又掉坑里去了？ 人家说直角三角形的两条边是三和四，谁跟你说他是直角边了？所以呢，你要求的第三条边有可能是斜边，那是五是没有问题，也可能是一条直角边， 那么在三和四里边，那个四比较大，他就充当的是斜边，是不是有两种情况呢？啊？以上两种情况呢，是我们要避的这个坑，那么你掉到坑里的这个原因就是你没有分类讨论啊，没有分类讨论，所以说这一张真正的分水岭不是说靠背公式啊， 是没有直角三角形的时候，你自己做垂直来创造一个直角三角形，这是我们这一张的一个核心。 那你学的直角三角形你想干啥吗？我不就是为了，哎，在直角三角形当中，我可以利用三边的一种特殊关系，我得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，但是不意味着一般三角形我们固定就不能用一般三角形，你不会创造直角三角形吗？这个创造的过程不就是做辅助线吗？对不对啊？ 所以呢，一般来说，碰到等腰三角形，你同样做边上的高吗？啊？做边上的高， 然后在坐标系里边。其实我们在前边给大家讲过初一的下册第三单元，平面只要坐标系，我们给学生啊补充了一个公式，就是平面内任意两点间的距离公式，其实勾股定律也是那平面内任意两点间距离公式的一种特殊形式 啊。所以说这一单元呢，给孩子教一句话，不会算的长度就去找他所在的直角三角形，找不到就做辅助线， 塑造一个直角三角形。那么在这个单元里边，我们碰到特殊的直角三角形，比如说三十度、六十度、九十度的三角形，还有等腰直角三角形， 他们三边呢，更具备一些特殊的结论，特殊的数字。我们把这些都给学生们总结好了，直接教给你啊，我们考试的时候呢，做题是秒杀的，那么我们下节课告诉大家。

大家好，今天我们来看勾股定律的应用，出水芙蓉模型。我们先来看一个题，平平湖水清可见面上半尺生红莲，出泥不染停停立，忽被强风吹。一边愚人观看盲象前 花离原位二尺远，能算？请君请解析湖水如何知深浅？这道题，我们来把它给分析一下，它说的就是有一个 湖，里面有一颗红莲，那么莲花在水面之上的部分是零点五尺，然后这时风把它吹倒了， 莲花的顶刚好落到水面上了，这是它距原来的位置有两尺远，然后让算这个啊，弧有多深，也就是在这要算 o c 的 长，那么要算 o c 的 长，我们上角射湖水 o c， 它的长是 x， 那么我们就可以得到红莲的高，也就是 o a， 它的高为 x 加零点五是，那么因为我们知道它是 o b， 是 和 o a 相等的，因为风把它吹倒了， o a 是 等于 o b 的， 所以 o b 的 长也是 x 加零点五了。那么这时我们就可以在这个直角三角形 o c b 中用勾股定律去算了。 那么就是在 r t 三角形 o c b 中角 o c b 是 一个九十度，这是个九十度，那么由勾股定律可得， o c 方加 b， c 方就等于 o b 方了，然后代数 x 方加二方等于 x 加零点五的 平方。那么这时一看呀，有平方我不会算，不要急，咱给他展开去算，这是 x 方加四等于 x 方加 x 加零点二五，然后你会发现这个啊， x 方和 x 方就抵消了，就转化成了一个一元一次方程了。 我们解出 x 等于三点七五，然后最后写达达，那么这个 x 就是 湖水的深达，湖水的深为 x 三点七五尺。那么我们就把这道题解出来了， 这就是我们说的出水芙蓉模型，它就是有一条边，把它给旋转了一下，旋转到另一条边上了，它的长度不变，然后这时能得到一个啊直角三角形，然后用勾股定律去算了，这就叫出水芙蓉模型。好，我们今天的课就上到这，再见。

还在死记硬背于弦定理，转头就忘！还在只会套公式，却根本看不懂推导，今天数学大讲堂一招几何推导，让你彻底吃透于弦定律，终身不忘！今天 咱们不靠死记硬背，只用几何图形一步步拆解，从零推导出于弦定律原理，搞懂 怎么考都不会错。首先先画出三角形 a、 b、 c 的 轮廓，打好咱们推倒的基础图形。其次，给三角形的三个顶点标上字母 a， b， c， 方便后续标注边和线段。紧接着标上三角形的三条边， bc 对 应啊 a， c 对 应 b， a， b 对 应 c， 边和字母一对应，清晰明了。然后从点 b 小 a 这边做一条高 h， 把大三角形分成两的直角三角形，这就是推倒的关键一步。接下来， a、 c 边被垂足分成两段， 从 c 到垂足的这段是 a cos c， 从 a 到垂足的这段是 b， a cos c 高 h 就 等于 i think。 再然后再包含边 c 的 直角三角形，利用上勾股定力就能得出 c 平方等于 b 减 a cos c 平方加 i think 平方。随后把式子中的 b 减 a cos c 平方，用完全平方公式展开，得到 b 平方减 r， a， b cos c 加平方 cos 平方 c。 紧接着 把展开后的式子带入勾股定律原式，先得到 c a 平方等于 b 平方减二、 a， b， c， o， s， c plus squared cos squared， c plus， s and square 去掉括号，整理后就是 c 平方等于 b 平方。 two of cos plus， square cos squared， c plus squared， z and square c。 然后用上同角三角函数关系 sin 平方 c 加 cos 平方 c 等于一把 a 平方 cos 平方 c 加 a 平方 cos 平方 c 合并直接化简成 a 平方。最后整理化简之后，咱们就从零推导出余弦定力， c 平方等于 a 平方加 b 平方减二 a b cos c 余弦定理根本不用死记，硬背会坐高，勾股定力和三角横等式自己就能完整推倒， 锐角、钝角、直角、三角形全部通用！点赞收藏、关注数学大讲堂！还想学哪个定律？评论区告诉我，下期直接安排！

我们这个视频来看一下第二十张的章节小节。首先这是本章的知识结构图，讲的是狗骨定律，也就是在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，以及他的互逆定律， 两条边的平方和等于第三条的平方，满足这个条件的三角形叫做直角三角形。 而这里又说了勾股定律呢，体现的是直角三角形边长的关系，也就是 a 方加上 b 方等于 c 方。 而勾股定律的逆定律呢，说明的是直角三角形的判定，也就是说满足于这个式子的三角形为直角三角形，这是两个定律。 接下来我们来看一下回顾与思考。本章我们通过对以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系的探究，发现并证明了勾股定律。勾股定律呢，是数学中最重要的定律之一，反映了直角三角形三边之间的关系， 在解决与直角三角形相关的问题或一些其他数学问题时都起着重要作用。在我国古代数学研究中，经常借助于图形的面积研究相关的数量关系，充分利用了几何直观，体现了古人的卓越智慧。 得出一个数学结论之后，经常要研究其逆定律是否，经常，要研究其逆命题是否成立。经证明，高谷定律的逆命题成立，它是一个定律。 勾股定律解释了直角三角形的一条性质，而勾股定律的逆定律提供了直角三角形的一种判定方法，这和我们刚才所说的是一样的。要理解勾股定律和勾股逆定律的作用以及他们两个之间的关系，接下来我们来带着下面问题复习下船章的内容。 直角三角形三边的长有什么特殊关系？也就是两直角边的平方和等于斜边的平方。而赵爽证明勾股定律时运用了什么思想叫做割补法，用古代的思想叫做出入相补，也就是对这个正方形进行拆分。 还记得赵爽玄图是怎么正的吗？就是将一个正方形分成了四个直角三角形，以及中间的一个小正方形，然后通过推导他们分别的关系，然后找到这个勾股定律。这个同学们可以看看之前的视频啊， 已知一个三角形的三边长，怎么证明他是不是直角三角形？也就是说如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这也就是咱们勾股定律的判定，也就是 这也就是咱们勾股定律的逆定律。对于直角三角形判定的内容还有两句话，就是最长边所对应的角为直角， 利用的是勾股定律的逆定律来进行证明的。来看第四个啊，勾股定律的逆定律是怎么证明的？在之前的视频也讲过啊，就是像 勾股定律的逆定律，我们先要知道它是什么是三角形，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是一个直角三角形，也就是说我先要正这个三角形有三条边，分别是 abc， 它是一个直角三角形， 就需要先去证明有一条边是 a， 有 一条边是 b， 还有一个角是直角的直角三角形，这两个三角形全等，通过这个三角形我们可以推出来，因为它是一个直角三角形嘛，我就可以推出来， a 方加 b 方等于 c 方，而这条边就是 c 了。 通过，也就是说得先通过勾股定律求出这个这样三角形第三边是 c， 然后此时我发现这个三角形和这个三角形三边都对应相等，也就是说 a 等于 a， b 等于 b， c 等于 c， 然后呢，这两个三角形就全等了，全等之后就可以证明这个三角形是直角三角形了，因为全等之后对应角相等啊，这个角和这个角就相等了，就证明出了这个三角形是直角三角形。 勾股定律的逆定律也就是这么证明的啊。具体怎么证明，可以看看上一个视频啊。接下来我们来看第二十张的复习题。首先第一题复习巩固如图，点 d 在 直角三角形 abc 的 边 ab 上，其中 ab 的 长度是八， d、 b 长度是二， c、 d 长度是十七，求 a、 c 和 b、 c 的 长。首先我们要在两个三角形中分别来求 a、 c 和 b、 c 的 长。首先我们在三角形 a、 d、 c 之中，我要求出 a、 c 的 长度，也就是说它是一个直角边嘛， a、 c 方等于一条斜边， d、 c 方减去 a 四地方， d、 c 长度是十七的平方，减去 a、 d 方是八的平方。咱们利用平方差公式啊， 十七减八乘以十七加八，也就说是九乘以二十五得数，也就是二百二十五。 然后呢，我们再将 a、 c 进行开根号， a、 c 等于根号下二百二十五，也就是十五， a、 c 长度为十五啊。然后呢，我们 a、 c 就 求出来了，再求 b、 c、 b、 c 是 在直角三角形 abc 之中去看断啊。 bc 是 一条斜边，要求斜边，我就需要 ac 这条直角边以及 ab 这条直角边。 ab 这条直角边呢？我们得先表示一下，它等于 ad 加上 db， ad 长度是八， db 长度是二就是十啊。 利用勾股定律， bc 的 平方等于两条直角边的平方和 ac 方加上 ab 方， a、 c 的 平方不就是十五的平方吗？也就是咱们这里求了是二百二十五。 ab 的 平方呢？咱们刚才也求了是十十的平方，是一百啊。一百加二百二十五等于三百二十五。 接下来我要求 bc， 就是 对三百二十五进行开根号，而三百二十五开根号呢？我们先将三百二十五分成十三乘以二十五开根号，二十五可以出来一个，五十三就出不来了，五倍根号十三，这是 bc 的 长度啊。 接下来我们来看第二题。两人从同一地点同时出发，一人以二十米每分钟的速度向北直行，一人以三十米每分钟的速度向东直行。问，十分钟之后他们距离相距多远啊？ 一个人向北行驶呗，一个人向北上北吗？速度是二十米每分钟啊，这是东吗？以三十米每分钟， 一共走了多少分钟呢？十分钟，咱先算算啊，如果说是向北的那个人，他行走的路程就是速度二十乘以时间，也就是二百米，那往东的那个人呢？ 那就是三十乘以十，速度乘时间吗？也就是三百米。 那咱们把这个直角三角形画一下，因为东和北就是沿直角直角，一个是二百，一个是三百，咱们要求斜边，斜边不就是他们两个人相距的距离吗？斜边就是二百的平方，再加上三百的平方，再开根号不就是斜边了吗？ 根号下二百就是四万，三百呢就是九万，放一块是十三万，开个号十三万就是十三乘以一万， 一万呢可以变成一百乘一百啊，这个一万可以出来个一百一百倍。根号十三，这是他们实际距离长度啊。说了结果取整数，咱们就得估算一下十三是多少了， 找到与他接近的被开方数就行了啊。十根号是十三，前面的开方数是九是可以整开方的， 后面那个数是四四，十六是也是可以整开方的，十三更靠近于十六，所以说十三开的根号一定是大于三点五的，因为这个九他的开方数不就是三吗？ 十六他的开放数就是四十三，更靠近十六，所以说十三肯定是大于三点五的。咱们试试三点六一，看看怎么样啊？ 三点六一乘以三点六一等于十三点零三二一，不行，这超了，咱们再估摸约一下啊， 咱们试试三点六零一和三点六零一相乘得数是十二点九六七二，好像有点相近了，咱再再试一个，看看能不能再更接近一点啊。 三点六零三乘以三点六零三等于十二点九八一六，这已经很接近了啊，同学们在考场上的时候算的略微精进一点 就可以了啊。在正常考试时候说结果去整数，他会告诉你根号十三约等于多少的，不需要你们自己去验证啊。 在这里的号十三呢，他有一个别人已经算好的精确的值，约等于三点六零六啊， 那咱们根号十三就带三点六零进行计算，三点六零乘以一百，小数点往后移两位还得保留整数，那最后三点六零六乘以一百，那就是三百六十点六，然后咱们进一位是三百六十一，还要写单位，单位是米。 好，这样就完成了第二题的证明。第二题主要困难的就是这个根号十三的约分，正常考试应该是会只给的啊， 不会让你去估计的。第三题如图，过圆锥的顶点 p 和底面圆的圆心的平面截得结面 p a b， 其中呢， pa 和 pb 是 相等的， ab 是 圆锥，底面圆 o 的 直径已知 pa 等于七厘米， ab 等于四厘米，求这个结面 pa 的 面积。 在这套题中啊，因为我们知道圆锥的结面是一个等腰三角形，然后由于呢这个 等腰三角形的三线合一，所以说我就可以知道 p o 和 ab 是 垂直的，或者说你不按这个等腰三角形，也可以说垂直平分，线上的点到线段，两段的距离相等也行。 然后呢，咱们接着来看啊，因为 p o 垂直于 ab 了，所以说我们就可以在直角三角形 p o a 中进行决定啊， 其中 a o 呢，等于二分之一 ab， ab 长度是四，它的一半就是两厘米啊。然后呢，咱们算一下它的高 p o 就 可以了。 p o 呢，是不是就等于根号下 p a 的 平方减去 a o 的 平方，这是咱们勾股定律，我就把根号开到这里面来了啊， p a 的 平方，那不就是七的平方吗？减去 a o 的 平方是二的平方，七的平方是四十九，减去二的平方是四，根号下四十五， 而四十五呢，可以写成五九四十五，根，号下五乘九，其中这个九呢，可以出来一个三倍根号五，这是 p o 的 长度。说让我们求结面 p a、 b 的 长度是不是底乘高啊？底是 ab， 高是 p o， 我 们已经有了啊。 s 三角形 p a、 b 就 等于底乘高二分之一，底是 ab， 再乘以高是 p o 二分之一， ab 长度是四， p o 长度是三倍，根号五， 二分之一乘四呢，就是二二三得六六倍。根号五单位是平方厘米啊，这里也要加一个厘米啊，后面再写大话就行了。所以结面 p a、 b 的 面积是六倍，根号五厘米的是六倍，根号五平方厘米。 接下来我们来看一下第四题啊，一个帐篷的长 l 等于二点六米，横截面呢，是一个底面边长 a 等于两米，高是一点八米的等腰三角形。制作此帐篷需要至少用多少平方米的布料， 也就是说，这个帐篷啊，咱得算侧面，因为这个结面就不用缝，需要的就是这个侧面这个长方形和对面那一侧的长方形。要算长方形面积，咱们得需要借助三角形面积把长方形的宽求出来，也就是这条边求出来。 这条边怎么求呢？需要在这个直角三角形里进行求啊。咱们算一下啊，这条边是不是就是根号下一条直角边，也就是一点八的平方，再加上二分之 a， 也就是 a 的 一半的平方啊，而 a 的 长度是两米，那也就是说， 一点八的平方，再加上二分之二等于一，一的平方等于多少啊？一点八的平方算出来得数应该是三点二四，三点二四加一放一块是四点二四，单位是米， 而四点二四呢，通过计算应该是约等于二点零六米。然后呢，这是长方形的宽，长方形的面积不就是长乘宽吗？长是二点六， 再乘以二点零六，别忘了再乘个二才是需要用多少米布料了，因为这个二的意思是对面还有一面长方形了，最后呢，得数是十点七，单位是平方米。这是我们第四题啊。接着看一下第五题， 如图，每个小正方形的边长都为一，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积和周长。首先，四边形 a、 b、 c、 d 的 面积怎么来求咱们呢？可以发现，我们可以由这个图在这个图中利用割补进行处理， 咱们可以求出这个画红色方框的这个面积，然后再减去一、二、 三、四这四个三角形的面积就行了啊，咱先求这个大红方框的面积。大红方框的面积不就是一个长方形的 大红方框的面积，我们会发现它是一个五乘五的正方形，减去一，那咱们就算算呗，正方形面积是五乘五，减去这一个二十五减一等于二十四啊， 这是这个红方框的面积。接下来我们来算一、二、三、四四个小三角形的面积。首先来算一号小三角形啊，它的面积是底乘高，底是二，高是四，也就是二乘四，再乘二分之一， 得数是四，这是第一个三角形。第二个三角形呢，底是二，高是一，那就是二乘一，再乘以二分之一，得数是一。第三个三角形，它的底是一，高是四，也就是说二， 也就是说一乘四，再乘二分之一，得数是二，而四号这个小三角形的面积也是用底乘高，底是五，高是一， 五乘一，再乘以二分之一，得数是二分之五，那么整体的面积，也就是说 s 四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，就等于拿这个二十四减去这一个四，再减去这个一，再减去这个二，再减去二分之五，得数是二分之 二十九啊，这是面积的内容，我们接下来来看周长的内容啊。周长的内容就是算这四个三角形的斜边长的和，咱先算一号三角形的斜边啊，不就是根号下 两条直角边的平方和吗？一条直角边是二二的平方，加上另一条直角边是四四的平方啊。二二得四，四十六就是根号二十，那也就是根号二十，可以写成根号下四乘五，四，可以出来一个二二倍根号五啊。 二号三角形，它的这个斜边长是多少？根号下一条直角边是一的平方，二二得四，四加一就是根号五，它也不能化简了。 三号呢，我们会发现它的一条直角边是一一的平方，加上竖着这一条直角边，一二三四四的平方，四四十六，十六加一是十七，根号十七 四号这个三角形，它的斜边是根号下一的平方，再加上五的平方，因为这条边是五的平方吗？五二十五加一，根号下二十六，都是不能再化简的了啊。 而它的周长，我们用 l 表示，就是二倍根号五，再加上根号五，再加上根号十七， 再加上根号二十六啊，放一块就是三倍根号五，加上根号十七，加上根号下二十六。好，这是周长。接下来看第二个问，这个 b、 c、 d 是 直角吗？ 那咱们就得来验证一下了，如果 b、 c、 d 是 直角，那么 b、 c、 d 这个三角形一定得是一个直角三角形，我在这里换个颜色啊。 b、 c、 d 这个三角形一定得是个直角三角形，那咱们就得用勾股定律的逆定律来进行计算，咱现在这条直角边和这条直角边两条直角边都有了，咱问题就出现在这个第三条直角边， bc 这条边跟 cd 这条边，咱们刚才已经求过了，在求周长的时候求过了，目的就是 bd 这条边长度是多少？怎么求？哎，咱们可以重新构造一个三角形，我们在这个三角形里进行研究啊， 在这个三角形里不就可以求出来了吗？在这个新三角形中，这个角肯定是直角啊，也就是说一二、三、四、四的平方加上竖着是三的平方，四四十六加上三三得九十六加九 等于二十五，根号线二十五就等于五啊，这是 b、 d 的 长度啊。那接下来我们再关注一下 b、 c 的 长，我们刚才已经求了，其实就是一号三角形的斜边是二倍根号五，我在这里直接写就行了啊。 c、 d 的 长度我们也有，就是二号三角形的斜边长是根号五，咱们就验证一下吧。 b、 c、 c、 d 跟 b、 d 它们是不是在一个直角三角形中啊？ b、 d 的 平方等于五五二十五。 b、 c 方加上 c、 d 方的是 b、 c 方是二，得是二倍根号五的 bc 方是二倍根号五的平方。 c、 d 方是根号五的 平方啊，二倍根号五的平方就是先求二的平方是四，再求根号五的平方是五，再加上根号五的平方是五四五二十二十加五二十五啊。 而我们此时就发现了， b 地方等于 bc 方，加上 c 地方，所以说三角形 b、 c、 d 为直角三角形。 既然都说了是直角三角形了，所以说角 b、 c、 d 是 直角。好，接下来我们来看一下第六题啊，如图，在三角形之下中啊， a、 d 和 bc 是 垂直的，垂足为 d， ab 长度是二， a、 c 长度是一点五， dc 长度是零点九，要求我们求 b、 d 的 长， b、 d 的 长怎么求？我们发现，如果这个角是直角，那这个角也一定是直角， 我只要能把这条边的长度求出来，那利用勾股定律，是不是 b、 d 的 长度也就求出来了呀？ 所以说呀，咱们来算一下啊，在直角三角形 a、 c、 d 之中啊， a、 d 的 平方一定就等于斜边 ac 的 平方，减去 dc 的 平方， ac 的 平方是一点五的平方， dc 的 平方是零点九的平方啊， 咱们就需要算一下了，一点五减零点九，再乘以一点五，加上零点九，利用平方差公式算完之后，这面是零点六，再乘以二点四，算完得数啊，是一点四四，不加单位啊。而 a、 d 的 长度呢，就是根号下一点四四得数是一点二，单位是米啊， 这是 a、 d 的 长度。接下来呢，我们再在直角三角形 a、 b、 d 之中， b、 d 的 平方一定就等于斜边 ab 的 平方，减去 ab 的 平方啊， ab 方 是四的平方， a、 d 方是一点二的平方，一点二的平方，咱们已经算出来是一点四四，咱直接减一点四四就行了。四，平方是十六，减去一点四四 得数呢，是 b 地方等于 ab 方，减去 a 地方， a 地方就是二的平方， a 地方咱已经算出来的是一点四四，也就是说是四，减去一点四四， 得数呢是二点五六，而 b、 d 呢，等于根号下二点五六啊，这个比较简单，就是一点六了啊，单位是米， b、 d 已经搞定了， 接下来我们要判断支架外框三角形 abc 的 形状，其实我们已经知道它肯定是一个直角三角形，咱们来验证一下啊。利用勾股定律的逆定律， bc 的 长度等于 b、 d， 加上 d、 c、 b、 d 算出来了，是一点六， dc 呢是零点九，放一块是二点五，单位是米。然后呢，判断一下形状吧， ab 的 平方加上 ac 的 平方是不是二的平方加上一点五的平方啊？二的平方是四，一点五平方是二点二五，放一块是六点二五， 而 bc 的 平方也就是斜边的平方是二点五，整体的平方二点五的平方也是六点二五， 所以说 ab 方加上 a、 c 方等于 bc 方。由勾股定律逆定律，所以说三角形 a、 b、 c 为直角三角形。接下来我们来看一下第七题啊， 竹子高一丈，折断后竹子顶端离竹子底端三尺处啊， 也就是说这块长是三尺，问折断处离地面高度是多少，告诉我们了一丈等于十尺，所以说我们知道这条边加上这条边长度是一丈，也就是十尺。咱们可以设啊， 折断处离地面高度为 x 尺，而我们发现这是一个直角三角形，然后我们把方程列出来就行了，这条边是 x， 那 这条边呢？斜边一定就是十减 x 了， 那斜边十减 x 的 平方就等于两条直角边的平方和是三的平方加上 x 方，然后我们来解方程啊，我在这里来解，十减 x 的 平方是十的平方，减去二乘十，再乘 x 二十 x 再加上 x 方等于三，三得九，加上 x 方， x 方和 x 方消掉了，没有了，那就变成了十的平方，是一百减二十 x， 它得等于九。然后呢，我把二十 x 挪到等式的右边，九挪到等式的左边，一百减九等于九十一等于二十 x， 那么 x 等于什么？ x 等于二十分之九十一。然后你也可以化解一下，拿九十一除以二十等于四点五五啊，都行。然后再写一个答话，所以说离地面的高度是四点五五尺。接下来我们来看一下第八题啊， 古古希腊哲学家柏拉图曾指出啊，如果 m 表示大于一的整数， a 等于二 m， b 等于 m 方减一， c 等于 m 方加一， 那么 abc 视为勾股数。你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数。那咱们可以看啊， m 表示大于一的整数，那么这 abc 这三条边，哪条边是最大值？咱们可以举个例子，如果让 m 等于二的话，那 a 就是 四， b 呢，就是二，二得四，四减一是三， c 呢，二二得四，四加一是五，所以说呢， c 永远是最大的啊， 那咱们看看吧，如果它满足勾股定律就行了。 c 方如果它等于 a 方加上 b 方，那不就行吗？ 那咱们来验证一下啊， c 方就是 m 方加上一整体的平方等于 a 方是二， m 括号的平方，加上 b 方是 m 方，减一括号的平方。 这个啊，咱们就正常计算 m 方的平方，那就是 m 的 四次方，再加上二 m 方，再加上一等于二 m 方就是四 m 方， 再加上 m 方的平方，就是 m 的 四次方，再减去二倍的 m 方，再加上一，然后咱看看该消的消 m 的 四次方消掉了， 然后这面加上二 m 方减过去，减去二 m 方，那不就是减四 m 方吗？和这个四 m 方也刚好可以约掉，最后就变成一等于一了，所以说没问题，能成立 a 方加上 b 方，确实是等于四 c 方的， 所以说 a、 b、 c 为勾股数。所以说呢，再写出一些结论，咱们刚才写的不就行吗？当 m 等于二的时候，一组勾股数为三，四五搞定。那刚才不写了吗？四三五都可以啊。 第九题，如图，一个长方形有五个边长为一的正方形拼成，请把它分割后拼成一个大的正方形。那咱们就得想想啊， 五个边长为一的正方形组成的大正方形的面积一定就是五，这这五个小正方形，一个就是一啊，大正方形面积 s 大， 肯定就等于五，五个一嘛。 那大正方形既然是正方形，那么它的边长一定是根号五，因为正方形咱们设正方形的边长是 a， a 是 不是就等于面积开根号，因为 a 方等于五吗？ 边长乘边长等于面积，那 a 就 等于根号五了。那接下来咱们就给它分割呗。怎么分割才可以让它的边长分割为根号五呢？其实是好分的，因为根号五可以分成一和四， 一呢就是一的平方，四呢就是二的平方，所以说这样就可以分了，咱们一条边是一，一条边是二，这么分这个三角形就没有问题了，这个三角形也没有问题，这面也是一样的，再分一个一，一个四，这面又一个，这面又一个， 最后空的那个空，把中间的这个填进去，所组成的面积呢，就大概是这个样子的啊， 这是一个一，这是一个一二，然后呢再斜着再画一个这个三角形也是一个一二， 然后呢再画一个这个三角形还是一二，然后最后这个三角形还是一二。当然画的不太好啊，就是利用那个照手相图嘛，可以组成一个这个样子的图。 接下来我们来看拓管探索。首先来看第十题啊，一根七十厘米长的木棒，要放在长宽高分别为五十、四十、三十厘米的长方体的木箱中啊，看看能不能放进去啊。 咱们先把木箱画一下好，木箱大概长这样，长是五十， 宽是四十，高是三十。如果说这一根木箱啊，如果说要能放进去，那是不是得是他的体对角线呢？得是这么放， 木箱这么放，这是他放的最大长度。那么接下来这么放这根线得多长啊？其实不太好求我们呢，略微标记一下啊， a、 b、 c， d， e， f、 g。 如果说我要求我画的这条中间的这条红线的距离，那么我就需要做一些个辅助线，我们把 b、 d 连出来， 我们只要在三角形 b、 d、 h 之中啊，因为它是一个直角三角形，这肯定是直角，在这个直角三角形中啊，我就可以把 b、 h 取出来了，那么这个直角三角形中 d、 h 是 高，我有 b、 d， 我 不知道啊， 那没问题啊， b、 d， 我 可以在三角形 a、 b、 d 中求啊，所以说咱们一个个的求，先在三角形 a、 b、 d 中求，在直角三角形 a、 b、 d 之之中， b、 d 是 不是就等于根号下 a、 d 的 平方加上 ab 的 平方？因为在三角形 a、 b、 d 之中，啊， b、 d 是 斜边， a、 d 的 长度是四十的平方， a、 b 的 长度是五十的平方，开根号得数是根号下四千一。而在三角形 b、 d、 h 之中，啊， b、 h 等于根号下 b、 d 的 平方加上 d、 h 的 平方， b、 d 的 平方就是根号下四千一的平方，它就是四千一。 d、 h 呢？ d、 h 是 高，是三十的平方，也就是九百嘛，四千一加九百等于根号下五千呢，而七十一定是小于根号下五千的。 为什么小于啊？因为七十他不就等于根号下七十乘七十吗？七十乘七十，那不就是根号下四千九吗？四千九肯定是小于五千的，咱们就得到了这个关系。所以说能放进去吗？当然能啊，只要任何长度小于根号下五千的木棍都可以放进去啊。这是我们的第十题， 接下来我们来看第十一题。公园中啊一长方形石凳，如图所示，若一只蚂蚁以三厘米每秒的速度从 m 点爬到点 n， 最快需要多长时间？那我们就想想啊，从 m 到点 n 可以 怎么走啊？你可以从上面走， 也可以从侧面走，怎么走都行。那这两个怎么走距离最短呢？咱们得把这个长方形展开，如果要是上，如果要是从上面走，那就得展开这两个面。咱们给它展开啊，就是更长一点啊， 底下这条边， m 在 这呢， n 呢？在这呢，而这条边的长度是不是这个四十加上这个三十，四十加三十是七十啊，底下这条边的长度呢？那不就这条边吗？对应的也是三十啊，而这个距离，咱们来说一说啊， 也就是说，第一种情况， m n 的 平方一定就等于括号三十加四十的平方，再加上这条边是三十的平方，三十加四十的平方是七十平方加上三十的平方啊，计算完之后， 七十平方是四千九，三十的平方是九百，放一块是五千八百啊。好，再看第二种情况啊，第二种情况不就侧面走吗？咱们将它侧面展开，展开，这样的两个面展开了啊， 这样的两个面， m 点在这， n 点在这，它上面的长不就是这条边加这条边吗？也就是六十。竖着这条线呢，长是四十，要算 m n 的 长度， 也就是第二种情况下的 m n 方，等于等于这条边四十的平方加上六十。这个六十题目中没给啊，我们得将它写成三十加上三十的平方， 四十的平方是一千六，三十加三十平方是六十平方加三千六，得数是五千二百，而这个五千二百他肯定小于五千八啊，咱距离最短嘛，所以说这个最小的， 但是这个是 m n 的 平方啊，咱最后算 m n， 咱最后算 m n， 得等于根号下五千二， 再算时间，得用路程除以时间，路程是五千二，我在这里写啊，就是根号下五千二百除以多长时，除以速度多长速度呢？是除以三，咱们计算一下啊，根号五千二百 除以三，我可以在这里写五千二百除以三，我可以把这个三挪进去，三就是根号九啊，然后就等于根号下五千二百除以九了啊。 首先，五千二百，这个一百可以出来，变成十，根号下九分之五十二，也就是十倍。根号下大概是约等于五点七， 五点七呢，值大概是二十四，二，五点七，值大概是二点四，二点四乘二点四，约等于五点七，那二点四乘十，那不就是五点七的值大概是二点四，二点四乘二点四，约等于五点七，二点四乘十呢，就是二十四秒啊 啊，这是值等于，这里是约等于啊。这样就完成了第十一题，接下来我们来看一下第十二题。已知三角形 abc 的 三边长分别为 abc， 面积为 s， 利用勾股定律证明斜角角公式啊，在这里说了，我们先把 abc 找出来啊。 abc 已知 abc， 边上 a 已知 a， 三已知三角形 abc 的 边 a、 c 上的高为 b、 d。 咱先把高 b、 d 算出来啊。 九、九十度，利用高股定律，先将 c、 d 用三边长表示，再将 b、 d 用三边长表示啊，那简单呢，咱们来设一下啊。设 ac 的 长度是 b， a、 b 的 长度是 c， bc 的 长度是 a， 我 们先将 ad， 他 不说了吗？利用高股定律，先将 c、 d 用三边长表示，咱们不妨把 ad 射出来，就射 ad 为 x， a、 d 等于 x， 那 c、 d 呢？就等于 b 减 x 了也。 b 所对应不就是 ac 吗？ ac 是 b， b 减 x。 然后咱们分别来表示一下啊， 在三角形 a、 b、 d 之中，这个 b、 d 啊，可以表示出来， b、 d 方呢，等于斜边 a、 b 的 平方，减去 a、 d 的 平方， a、 b 是 c 方， a、 d 是 x 方啊，这是 b、 d。 那 在直角三角形 b、 c、 d 之中啊，在这个三角形之中啊， b、 d 的 平方就等于 bc 方减去 c、 d 方， 因为 b、 c 是 斜边嘛， c、 d 是 直角边， b、 c 长度是 a， a 方减去 c、 d， c、 d 就是 b 减 x 的 平方，这个和这个是相等的，那我们不就可以得出来吗？ c 方减 x 方，等于 a 方减去 b 减 x 块的平方。咱们把那个 b 减 x 的 平方处理一下，等于 b 方加上 x 方减去二 b x， 处理一下，等于 a 方减 b 方减去 x 方，再加上二 b、 x， 然后呢，处理一下 这个 x， 这有一个减 x， 这有一个减 x， 不 就没了吗？然后呢，把这个都挪过去 c 方减去 a 方加上 b 方等于二 b、 x， 那 么 x 就 等于二 b 分 之 c 方减去 a 方加上 b 方。然后呢，他说着我们得用 b、 d 把三边长表示出来了呀，因为最后咱们要求三角形的面积不得用底乘高吗？最后不得，最后不就是求这个 b、 d 吗？ 现在这个底啊， a、 c 我 已经能够用 x 表示出来了，接下来把这个 b、 d 求出来， b、 d 方啊，等于 c 方减 x 方，那也就是说 c 方减去 x， 不 就是带这个吗？括号二 b 分 之 c 方减去 a 方，加上 b 方 括号的平方。呃，这个就需要你们计算了，在这里就这里就需要计算了， c 方减去四 b 方，因为二的平方是二吗？分之 c 方减去 a 方，加上 b 方括号的平方，这是 b 的 方。根据三角形的面积公式， 我在 s 等于二分之一，底儿是 a， c， 高是 b d， a， c 呢是 b， 二分之一乘以 b， 再乘以 b d， b、 d 不 就是这一堆吗？ b、 d 不 就是这一堆吗？但是此时我们会发现好像是不太好算的，我们不如啊， 写成 s 方，因为我这个 b、 d 方我不太想给它开出来，那 s 方就等于二分之一 b 乘以 b、 d 括号的平方，等于把这个开出去四分之一乘以 b 方，再乘以 b、 d 的 平方， b、 d 的 平方，不就这个吗？ 这个我可以给他，我可以给他通分一下，我直接通分到这里吧，他就是。呃，四 b 方分之四倍的 b 方， c 方减去 c 方减 a 方加上 b 方括号的平方，加一个中括号，这是 s 方啊， 然后呢，把这个 b 方乘进去就行，这个 b 不 就消掉了吗？然后这个四就可以开出来，然后我这个 b 方和底下这个 b 方能够消掉，然后呢，这个四我留着，我写到这里啊，就等于四分之一 b 方，然后我依次往里带啊， 二分之一的平方，那就是四分之一 b 的 平方，那就是 b 方，再乘以 b 地方， b 地方，我们就把这个通分一下放到这里， 呃，是四 b 方分之四倍的 b 方， c 方减去括号， c 方加上 b 方减去 a 方括号的平方啊， 然后呢，我们把这个 b 方可以给它割进去，就变成了四分之一乘以 四分之 b 方加上 b 方减去 a 方括号的平方， 这个在这个中括号里啊，给它拆开来，四和这个能消掉，就是四分之一倍的 b 方， c 方减去这个后面四，它消不掉，就是四分之。我写到这里，四分之 c 方加上 b 方减去 a 方括号的平方，我可以把这个四也写成二 整体的平方啊，再减去二分之 c 方加上 b 方减去 a 方 整体的平放，而这个 abc 不是 我们自己设出来的吗？所以说 abc 你 都可以随意的交换位置， 因为你你是自己设的，你 ac 设成 b， 你 如果 ac 不 设成 b， 你 设成 a 不 也行吗？所以说 abc 位置可以不断交换的，交换完之后我写到这里啊，那不就是 b 也可以变成 a， c 也可以变成 b， 就 随便变吗？ 变完之后不就和这个长的一样了吗？等于四分之一 a 方， b 方减去二分之 a 方，加上 b 方减去 c 方，括号的平分。别忘了整你还得开个号，因为这算的是 s 方嘛，再开个括号就是这个样子。 这道题的推导比较难算，同学们可以课后自己再多去计算一下。下节课我们来学习四边形。

这个视频我们来讲九上期末考的压轴题，这个题整体难度会比较大，那我们来看题目，它首先告诉我们是正方形 a、 b、 c、 d 的 面积是三十六， 但是正方形的面积知道对应我们是不是也就知道它的边长其实是会等于六？一是动点， f 是 bc 上的中点，那这一条线段等于这条线段，并且它们多等于三， 那像现在告诉我们是设 c e 为 m， 三角形 b e、 f 的 面积是 s， 求 s 以 m 的 函数关系，那在我们体系当中看到的是面积，你建立自己的体知识体系， 那看到面积你对应了你要想到什么？第一，你可能要想到的是关于公式法，也就是说比如我要求三角形的面积，那就是我用底层以高。 第二，我们可能关系到面积，我们会往胳膊的方向去考虑，那很简单，这一题他已经告诉我们要求的相关的三角形的面积底知道了，高也知道了，所以我们可以直接用公式法。那我们在这一个地方 s 的 面积会等于什么呢？ 二分之一底是多少？底是 b， f 等于三，那高数是 c 一， c 一 就等于 m， 所以 s 它会等于二分之三的 m， 这是关于第一小问相对比较简单，那我们来看第二小问，它告诉的话 句式上面 c 一 上面的一个动点，也就是这里面屏幕的背景是这两个点都是关于一个动点，那在这一个地方他又告诉我们的 b m 这个等于九十，等于九十度， 并且他告诉我们这一个角会等于这一个角的三倍，那像这种情况，我们可以先再涂两个，这一个角等于 r， 那 这个角是会等于三 r， 这是你可以在题目看到背角，这样去标注，可能会更清晰，并且你在像这一种背角关系，你看到这个你要想要什么，你要对应的去考虑说可能会潜在你要做题过程当中可能会使用到你会把大的角通过什么或平通过， 这样比如说这是三倍角，那你可能会做这样子是阿法，这个是阿法创造角度的相同的这样关系。另外你可能会什么假设这一个是阿法，那么你可能就是补两个角，那他等于阿法建立出角的等量关系，这是可能看到倍角关系你要去想到的， 那他第二个信息又告诉我们了，吞整的这一个角会等于左边的这一个线段的比例关系，那是我们要先想到首先三角函数里面的吞整， 他首先都是建立在什么的样子的一个填集条件，你必须要想他必须要在直角三角形里面建立关系，也就是说只 在三角形里面，他能鉴定说线段之间的关系，所以你一定要看到三角函数里面的相关信息，一定要想着去构造直角三角形。 第二还有这一个地方， b e 减 e f， 那 b e 减 e f， 那 像这种线段，这是不是关于线段的和差关系？那线段的和差关系你就要联想到什么截长补短。好，那第一想问他要求的是吞整 b h c 的 值， 也就是求这一个角的值，那这个角题目是不是告诉我们这一个它有线段之间的这样子的一个等量关系， 那我们首先看到要求吞针的这一个角，那我们第一反应是不是向这边说要在直角三角形里面，并且这个地方确实也给我们提供了一个直角三角形，因为这一个垂直这一个，那这边垂直的这两条线段垂直这个角是不是九十度？ 那我们如果求，如果能知道这一条线段和这一条线段的长度，是不是就可以求出来相对是比较直观的这样子的一个方式。 但是题目当中告诉我们的条件里面关于线段的值是除了正方形的边长是六，还有这边是三，这边是三，除了就没有说在这一个范围里面去提供相应的一个线段值。像这一种我们一般不会去考虑这这一边的一个解析的一个方式， 那我们接下来就需要去考虑说要怎么来解，那像在我们现在所有的题目当中一定要去有合理的使用，说所有的一个条件都不需要去用到，那这个题目当中只告诉我们说除了这边垂直这一个，这三个之间的一个关系， 那这一边的关这一些关系我们说我们要怎么去入手？从这一边得到的一个暗示，我们刚才也分在提议里面，关键信息分析的时候我们有说过，第一我们会去什么去把角度进行一个平分， 这边截长补短，那其实从这两个条件你一结合，你可能就会去想着说，那我先来处理这一个，如处理这一边通过补短截长不断的方式，那是不是就可以构造线段的一个相等，那在这一个我们先考虑就是截长， 那截长我们会在什么？会在 b e 线上截取一个点是 i， 那 使得 e i 会等于 ef， 我们这样子来做这，那我们通过这样子的截长补短，那我们截长补短完以后，这一边做这个什么？ e i 会等于 e f， 那 e i 等于 e f， 那 我们现在是不是得到这一个三角形？它是什么？等腰三角形，对不对？所以我们就可以得出， 那这一边它是一个等腰三角形。那等腰三角形，我们是不是就会想着说，那我这个角知道，这个角也知道，那这一边的这个角是不是可以求出来？那这个角求出来，这两个角是不是对应也会知道？那我们来看一下，这又会有什么这样的一个关系？ 我们设这一个角等于角一，那这边的角一是不是会等于什么？等于一百八十度减去四倍的一个算法， 那四倍的四倍的算法，顶角的角，因为我们知道，那我们把这一个角角，这个角为角二，这个角为角三，那我们是不是可以求出角二等于角三，会等于二分之一的一百八十度减去角一，那这个求出来它会等于两倍的算法，发现了没有？ 角 b f d 等于三倍算法，那角三等于什么？两倍的算法，那现在你是不是就可以知道角 i f b 知道了什么？等也等于 alpha， 它会等于三 alpha 减去二， alpha 也会等于二，等于 alpha， 那 你现在有没有发现， 也就是说现在的角 d 角 e b f 等于角 i e f， 那 这两个角相等，是不是就得到了 b i 会等于 i f， 也就是 三角形 i b i f， 它是一个等腰三角形，好，那这一个它是一个等腰三角形，它等腰三角形你会想到什么？因为现在我们要求的是这一个，但是我们知道一些，这一个角会等于什么？会等于 这一条边通过我们现在算完，那是不是等这一条边比上这一条边，就等于这一个这一个角的吞整角？ 那或者是这一个表等于这比上这一条边，对不对？那我们现在这一个是一个等腰三角形，那等腰三角形，你一定要联想到什么？等腰三角形？你一定要敏感的联想到什么一线三线合一，所以我们这时候我们可以过什么？ 过 i 做 b f 的 一个垂线，假设这一个四 k， 那 这一边你做垂线以后，那你是不是刚才我们知道什么？那我们现在是不是就可以有什么 b k 会等于什么？二分之一的 b f， 那 b f 等于多少？等于三，所以等于二分之三，对不对？那这一个地方等于二分之三，那这时候我们再来看一下，我们刚好 这一个是一个什么直角三角形，那这一个也是一个直角三角形，并且它什么共顶点，这是不是是 a 锥模型？那如果是这样这两个三角形相似，那你是不是就可以求出这一条线段比上这一整条线段的一个比值，对不对？ 并且 b i， 你 是不是也可以求出 b i 或等于 b e 的 这一个比值？对，所以我们可以易得到什么三角形 b k i 会相似于三角形 b c e， 那这两个三角形相似，你就可以得到 b k 比上 bc 会等于 b i 比上 b e， 那 它会等于什么？会等 b k 是 等于二分之三，对不对？那 b c b c 等于六，那它会等于四分之一，那这我们已经求出这一边它等于四分之一。那四分之一。四分之一，所以我们就可以得出什么，所以我们就可以知道 b e 会等于四倍的 b i， 那 b i 知道你是不是可以去除 e i e i 是 不是等于 b e 减去 b i， 也就会它会等于三倍的 b i 的 值，并且 e i 我 们前面已经知道 e i 会等于 e f， 那 他也是 b f 也会等于三倍的 b i， 那 这边我们可以叫吞着角 b h c， 他 会等于 b e 减 e f， 那 他是等什么？ 等于 b i， 那 ef 是 等于三倍的 b i， 两个 b i 相约，那就会等于三分之一，所以我们第一问就除出了 t 正的角 b h c 的 值是三分之一。好，这是第二第二问的第一小问， 接下来我们来看一下第三小问，我们来看第三问，求 c n 的 值。在这一个有这一个条件和这一个条件，在我们在解决 解决第一想问的时候已经使用过了，那在这一个条件是不是我们到目前的话还没有去使用？这是我们可以重点去引起来关注的， 现在的数学当中，特别是几何题当中，所有条件都是需要去使用到，如果你某个条件没有使用过，你可能这时候你要引起注意，是不是有哪里算错？这是现在的一个压轴题普遍的一个特征，那是不是在这一个地方其实还有一个隐藏的一个条件是什么？呃，是不是 这一个你也是想到的，这一个三角形的面积等于多少？这一个三角形的面积是不是等于底？是六，高也是六，所以这个三角形的面积是不是等于十八？这也就是从这个题目当中 引含的这个条件，你也需要去把它挖掘出来。那如果是这样子，那你是不是如在这一边我是不是可以去过 c 点做 b h 的 一个高？那如果做这一个高，你是不是？如果我再知道这一个，那是，或者是我只要去知道这一条跟这一条叉之间是不是会赚建立一定关系，这两条相乘的二分之一 等于十八，对不对？因为这一个看成是底，这一个看成是高，那如果你做了这样子的一条高，这个是不是直角？那现在是不是又通过我们刚才除了这一个吞整角又建立的这样子的关系？ 也就这一条比这一条会有一定的成比例的关系，也就这一条比这条是三分之一的这样子的一个关系，对不对？这 做了也就我们做这一条高，是可以达到什么？我们做辅助线的原则，一举多得的这样子的一个目标，对不对？所以我们过 c 点做他的一个垂线，假设这一点为，这一点为 p， 那这一点为屁，那我们再来看，如果这一点是为屁，那在这一个地方我们还会看到什么？在这里面你可以去注意这一个角会等于这个角，对不对？那这一个角等于这一个角，那这一个角加这一个角等于九十度， 并且这一个角加这一个角也等于九十度，那你现在是不是就可以得出这两个角其实它是相等的，对不对？ 那相等这一个地方又是九十度，这一个地方又是九十度，那你是不是可以得出这一个三角形和这一个三角形相似？其实里面是存在很多的这样子的一个相似的一个关系。那我们现在是得到了什么？ 那你现在就可以去得到了它对应边乘比例的这样子的一个关系，那我现在我们就可以去得到什么？我们这一个又可以推出什么？ p c， 它会等于什么？ p c， 我 们把这一些具体的 b c 等于六，还有什么？还有 a b 也等于六，那我们 p c 就 可以转换回，它会等于三十六除以 b h， p b 会等于等于六， a h 除以 b h， 对 不对？好，那我们现在是不是就求出了 p c p c 这一段的关系？还有这一段，那我们又知道 p c 跟 p h 的 话是三一比三分之一的这样子的关系，也就 p c， 它会等于 p h， 会等于三倍的 p c， 那 这一边是不是等于三？乘以 b h 乘以三分之六，也就是等于 b h 分 之一百零八？ p h 也求出了，我们现在求出了 v p 和 p h 的 一个式子， 那我们 b h 是 不是把这两填线段相加就可以得出 b h， 那 所以我们 b h 是 不是会等于什么？会等于 p v 加上 p h， 那 b p 会， b h 会等于 p v 会等于六？乘以 a h 除以 b h， 加上一百零八除以 b h， 那 b h 这一个式子里面它的都含有分母 b h， 那 我们是不是可以去分母？把式子两边同时乘以 b h， 所以 我们就可以推出 b h 的 平方会等于什么？会等于六，乘以 a h 加上一百零八，那这时候你有没有发现 b h 会等于什么？ b h 的 平方，它是不是是这一个直角三角形 a b h 的 斜边对不对？ 那它的斜边的平方是不等 a b 的 平方，加上 a h 的 平方等于三十六，所以它等于三十六。加上 a h 的 平方等于六倍的 a h 加上一百平方，发现了没有？这一个式子相当于是一个关于 a h 的 一元二次方程， 那我们接下来再来整理一下。好，那我们现在把式子整理成这样子，那整理成这一个式子，接下来我们是不是可以去求减 a h 的 值？ 那我们这时候可以用什么？用十字相乘法，那这一边的话相当于 a h 减去十二，乘以 a h 加上六等于零， 那我们可以解得 a h 等于十二或 a h 等于什么？等于负六，那负六肯定是舍去的对不对？因为线段的长度不可能是负数，所以我们就求出了什么，我们就求得的 a h 的 长度，这一条的长度是等于十二， 那我们要去的是这一个，那是不是接下来我们再来看这一个是等于九十度，对不对？那这一个也是九十度，那这一个角加这样，这个角等于什么？等于九十度，那这一个角加上这一个角也等于九十度，所以我们现在就得到这一个角等于这一个角， 并且这一个等于九十度，这一个等于九十度。所以是不是就可以正得三角形 a、 b h 跟三角形的吗？三角形 d、 c、 n 这两个三角形相似，那是不是就可以来求出 c n 的 值？ 所以三角形 a、 b、 h 相似于三角形 d、 c、 n， 那 这两个相似的话，所以我们就可以得到什么 a b b， c， n 会等于 a h 比上 c d， 所以 cn 的 值会等于 a b， a b 等于六，乘以 c d 也等于六，除以 a h， a h 刚才算出来等于十二，所以求得等于三，所以最后求得的 c， n 的 值会等于三。其实这一个题目相对于对于各位同学来说要求比较高是什么？是你要充分的去挖掘题目里面的条件，也就是要把题目里面的 条件挖掘出来，并且把挖掘的条件对应说在你知识体系当中对应的一些相关的一个知识点，这一个关联和体系的搭建是比较重要的。