鲁科版初中反比例函数练习题

反比例函数的基础题我们看完了，那我们就来看一道有关面积和周长的反比例函数题。这道题呢，有两个，先来看第一问。第一问首先给的是两个举平， 它们两个周长分别记为 c 一 c 二，比较 c 一 c 二大小。那我们首先来看一下这两个矩形，它们的周长比求，首先是 a p e b o， 它的周长呢，也就是 c a p e b o 或者 c e 也行， 它相当于是二倍的 x e 加 y e。 因为题目里说了 这个点 p e， 它的坐标是 x e y e， 它的周长也就相当于是这两段，它们长度分别是 x e 和竖着的这两段，它们长度分别是 y e。 但这个式子不太好比较，我们可不可以把它给换个元，比如说把 y 一 换成 x 一 的形式，可以，因为这里给了双曲线 y 等于 x 分 之 k 了，所以 y 一 就相当于是 x 一 分之 k。 接下来 c 二也可以写作 c p 二零， 也就是二倍的 x 二加 y 二。同理， y 二 也就可以写成 x 二分之 k。 接下来就该比较了，可以用它们两个相减做插法。 c 一 减 c 二， 也就是 x 一 减 x 二，再加上 x 一 分之 k， 减 x 二分之 k。 整理一下，也就是二倍的 x 一 减 x 二。 前面是一，后面这个化简一下，是减 x 一 x 二，而不是 k。 好， 那此时我们能知道大小关系是 x 一 小于 x 二，也就是说这一项为负。 那么我们首先考虑 x 一 x 二等于 k 的 情况，此时这一项是一，那么这一项是零，前面也就是零。 x 一 减 c 一 减 c 二是零，那么 c 一 也就等于 c 二。那么如果 x 一 x 二大于 k， 也就是这一项 它大于零，但前面这一项因为它小于零，所以乘起来是负数。 c 一 小于 c 二。如果 x 一 x 二小于 k， 那 么同理 这一项是负数，这一项也是负数，加乘起来是正数。所以这时候 c 一 大于 c 二。这是第一问，我们接下来看第二问。 第二问给出了 p 是 这个双曲线上的一点，然后分别往 p 向 x 轴、外轴做垂线，给出了它的垂足。问我们 p 在 何处时，这个四边形 pmo 的 周长最小最小值是多少？那也就是说，我们要求出 p 点的坐标和这个最小值。那什么时候它的周长最小呢？ 也就是 p m， o， n， 它是个正方形，我们用红笔标出来，我们设这个 p， 它的坐标是 x y。 好， 那 p 点的坐标我们表示出来了，想让它周长最小正方形我们也表示出来了，我们现在只需要求就可以了。首先 我们根据反比例函数上的矩形，它的关系也就是 p n 乘 p m 等于 k， 我 们算出 x， y 是 k， 那 x y 是 k， 它又是一个正方形， x 又等于 y， 所以 x 等于 y 等于根号 k。 那 此时我们能求出 p 点坐标是根号 k， 根号 k， 这个最小值是 c m， 也就是四倍根号 k。 所以 p 点 p 坐标是根号 k 的 时候，这个四边形周长最小，最小值是四倍根号 k。

好，各位小伙伴，大家好啊，今天呢，我们给大家分享这样一道反比例函数与直线相结合的这么一个综合题目啊， 我们看题啊，如图，一次函数 y 等于二， x 加四，它的图像呢，与 x 的 y 轴分别交于 ab 两点，与 x 的 交的是 a 点， 与 y 轴交的是 b 点啊，以反比 d 函数，它的图像交于点 c 啊，反比 d 函数 交于点 c， 过 b 做 x 轴的平行线。以反比 d 函数的图像交于点 d 啊，这个线和 x 轴平行 好了，连 c、 d。 第一问，求 a、 b 两点的坐标给大家看一下，要求坐标的话，我们得用 y 等于二， x 加四，那很明显，我要是求 x 轴的话，是另外等于零，对吧？ a 点坐标很明显是负二逗号零 啊。点 b 是 求 y 轴的和 y 轴的交点，那是零， x 等于零，那么 y 应该等于四，这个非常简单啊，好了，一 b 点坐标是零，逗号四，我们要用上 来，下边设，若若三角形 b、 c、 d 是 以 b、 d 为底边的等腰三角形好了，以 b、 d 为底边，又是等腰三角形好，那么这个题目中呢，就意味着是 b、 c 要等于 c、 d， 对吧？ b、 d 等于 c、 d。 好 了，这个等腰三角形怎么做呢？我们最后要求 k 值，那么拿到这个底之后呢，我们首先想到的会是什么呀？哎，等腰三角形这个里边要用它的性质啊，是三线合一，三线合一。 好了，我们这个时候呢，我们可以过点 c 向下做垂线，大家看一下，向下做垂线啊，垂足为点 m。 首先大家看一下， 呃，第一个是这个一次函数啊，它和反比例函数交于点 c， 所以 点 c 的 坐标呢，我就可以设成 a 逗号，因为它在一次函数上，所以横坐标是 a 的 话，纵坐标应该是二， a 加四 r， a 加四啊，那么再看，当我把这个过点 c 做 c， m 垂直 b d 之后，大家马上会发现，怎么样，这个 b m 应该等于 m d， 对 吧？ 大家都知道，这个 bm 的 长度呢，就是 a， 所以 d 点坐标，横坐标一定是二， a 纵坐标是什么呢？ bd 和 x 轴平行，所以 b 点和 d 点的纵坐标应该相同， b 点纵坐标是四，所以它这也是四。 好了，写出我们的这个式子之后啊，大家看一下， 有 c 点，有 d 点，因为它们都在 y 等于 x 分 之 k 上， 对吧？所以我们就马上会发现，第一个，我们这个 k 呢，首先看 c 点的话， k 应该等于 a 乘以二， a 加四啊，看 b 点的话，它这个 k 呢，应该等于二， a 乘以四， 因为算的都是这个 k 值，所以两者是等量关系，我们就列这个方程， 这个时候我们算出 a 一， 它会等于零啊，这个很明显，因为我们发现 c 点呢，它是在第一象限，所以这个比 c 要舍去的 a 二，它会等于二， a 二等于二，这样的话，大家看一下，我们算哪个点坐标啊？我们算 d 点坐标吧， d 点坐标更好看，对吧？ d 点坐标就是二， a 二 a 就是 四， 逗号四，所以这样的话，这个 k 值等于什么呢？就等于四乘四， 所以等于十六。那么这样的话，这个题呢，就非常简单的做出来了，好，这个题你学会了吗？

这是反比例函数当中不错的一道考题，有一定的灵活性，比较符合当下的中考形式。我们先看看这道题它的一个基本的条件， a b 这条直线解式为 y 等于负二 x 加十。 c 点是线段 a b 上的一个动点， c 点的坐标是反比例函数三相线这个分支上的一个定点，它的坐标为负四到负二 q 点是 p c 与反比例函数在一项线上的一个交点。我们的问题是来求 c q 比上 p q 这两条动线段，它比值的一个最小值，我们来进行一个计算， 有兴趣的自己也可以先暂停自己来想一想。当然这个题比较明显的一个做法，肯定很多同学可能会想到把 p c 的 解析式给它设出来， 然后去找到 p q 两点的一个坐标，然后来根据代数法表示出 c q 和 b q 的 一个代数式， 用代数的方法来求最要值，这个方法理论上是行得通的，但是做起来非常的麻烦，这个地方我们就不建议这样去做。那么这个地方有什么样的一些技巧的方法来进行一个转换呢？要考虑到非常明显的一个特点，就是 b p q c 这三个点，它在同一条线上，我们一般转化同一条线上的两个线段，可以想到平行线分线论称比例，所以这个地方我们可以在 p c 之间构造一个平行线，分线论称比例。 考虑到 ab 是 一条固定的直线，我们可以把 ab 这条直线平移到经过啊 c 点啊经过 c 点，我们这里标一个 l 一 这条直线，当然它的解式，由于 c 点是一个定点，它的解式非常的啊，轻松就可以直接得到 y 等于负二， x 减一十。好，然后我们要在 a b 和这个 l 一 之间构造一个平行线，非常成比例啊。我们的问题是 c q 比上 p q 中间还有个 q 点，所以还需要过 q 点做 a b 的 一个平行线，这里标一个 l 二， 然后我们就在 pc 之间就很好的构造了一个平行线分线能成比例，这里构造的目的是为了转化最终的这个 c q 比上 p q 这样的一个比例。我们把这里的焦点啊，这个焦点设一个 m 点，上方的这个焦点呢，设一个 h 点， 最上方这个焦点用一个 n 点来表示。根据平行线分线能成比例的性质，我们直接把我们的这个问题呢进一个转化， 也就是这个 c q 比上这个 p q， 根据平行线分线的乘比例，也就是在 p e c 之间的这里的一个平行线分线乘比例，它就可以转换为这里的 m h 啊，比上这里的 n h， 对 不对？但是 m h 比上 n h， 虽然 m 是 一个定点， n 也是个定点， h 点呢？它，但是它是一个动点，对不对？所以你转过来之后，它还是两个动态线段，对不对？所以这个地方我们要进一个技巧性的一个小技巧的操作，那就是写一个加一 再减一，那么加一这个地方可以进一个通分，它通分过来，刚好它就可以把分子变成一个 m n， m 呢是 n h， 然后再减一。这个操作一定要注意一下，我们是把分子分母两个动线段给它转换，为了分子是 m n， m， n 是 一个定长， n h 呢是一个动态线段， 我们要求这个的一个最小值，最终转化为了分子。是一个定值的话，我们只需要求 n h 它的一个什么呢 啊，最大值就可以了，对不对？那么很明显，这个 m 点的坐标它是一个零到负一十， n 点的坐标是零到十，所以 m n 的 长度是一个定值二十，所以说我们最终转化出来的这个比例，还可以进一步的把它表达为 n h 分 之二十减一，这里就进一步的可以看清楚了。我们只需要求得 n h 这个线段它的一个最大值，那么我们这个题的问题的最小值当然就得出来了， 我们可以通过图中看得出来，由于 n 点它是不动的， h 点它是运动的，对不对？那么 n h 要取得最大，而且它要经过反比例函数上的一个动点 q， 对 不对？所以要取得最大。只有当这个 l 二的这条直线 往左平移，平移到刚好和反比函数呢，有唯一公共点的时候，对不对？也就这个地方我们可以简单来平移一下，也就是平移到这个位置，刚好和反比函数有唯一公共点，此时他就取得一个 最大值， n h 取得最大值，那么此时 l 二这条直线与反比函数有唯一公共点，我们怎么来算出 l 二这条直线来解一式呢？我们可以设啊， l 二这条直线解是 y， 等于它与 ab 的 直线，它的斜率 k 是 相同的。负二 x 加一个 m， 然后再连立啊，这个反比函数要注意，反 b 的 函数，很明显 c 点的坐标是负四到负二，所以反比函数它就是一个 x 分 之八， 你把这个连立出来之后，消掉 y， 就 得到 x 的 一二方程。二 x 平方减一个 m， x 加八等于零， 对不对？所以它与反点数有唯一的唯一的一个公共点的时候，那么这个一万次方程对应的这个一万次方程，它的得它，它就是等于零的，这里可以算出来这个 m 呢，它就等于八， 即我们的这个 a 二，这条直线 y， 它就等于负二 x 啊，加一个八，它就可以直接算出来此时对应的这个 n h 的 一个长度， 对不对啊？当然当然就是一个二了，对不对？这个二就是 n h， 它的一个最大值，对应的就是我们问题当中的一个最小值，对不对？我们直接可以拿上来，拿上来也就是这里的 c q 比上这里的 p q， 它等于 二十，比上 n h 减一， n h 的 最大值是二，拿进来就可以得到它的最小值，应该是一个十减一等于大于等于九，它的最小值就是一个九。 好，所以这道题就是这样的一个灵活性的一个转化，这样来转化的话就非常的方便。我们来进行一个啊求值这样的一个计算操作， 如果你之前一直开始选择用啊设啊直线找 p q 两点坐标，用代数法来做的话， 啊，可能也做的出来，或者后面用那个攀比式来做也是可以的，但是我不建议这样去做，因为这样做的话，一个是容易犯错，第二个是没有做过的学生可能还不一定做的出来，考场上肯定不能这样去选择做这种方法的，大家一定要认真来进行一个参考，有效的转化是比较有利的好的。

全面总结反比例函数知识点。首先来看它的定义。我们把形如 y 等于 x， 分 之 k 的 函数叫做反比例函数，其中 k 为常数， x 为自变量， y 为函数。 注意，常数 k 不 能为零。如果 k 等于零，那么不管 x 取什么值， y 的 值都等于零，变成了常数函数。还要注意，因为 x 作为分母不能为零，所以对应的函数之外也永远不会等于零。因此， x 取值范围为 x 不 等于零， y 取值范围为 y 不 等于零。 接下来我们由数到形，通过观察图像来探讨反比例函数。首先用描点法分别画出 y 等于 x 分 之六和 y 等于负的 x 分 之六的图像，可以发现其图像均为两只曲线组成。一般的我们称反比例函数的图像为双曲线。 前面我们讲过，因为 x 和 y 均不等于零，所以我们无法将双曲线的两支连接起来，且图像无限接近于坐标轴，但是永远不会与 x 轴、 y 轴相交。还可以发现，当 k 大 于零时，函数图像分别位于第一、 第三象限，并且在每一个象限内 y 随 x 的 增大而减小。当 k 小 于零时，函数图像分别位于第二、第四象限，并且在每一个象限内， y 随 x 的 增大而增大。 我们来看这道立体，如图为反比例函数 y 等于 x 分 之 m 减五图像的一只图像的另一只位于哪个象限？常数 m 的 取值范围是什么？此处考察了反比例函数的基本性质。 反比例函数的图像只有两种可能，位于第一、三象限或第二、四象限。因为函数图像中的一只位于第一象限，所以另一只 b 位于第三象限，图像位于第一。三象限 g m 减五大于零，解的取值范围为 m 大 于五。 再来看第二问，在这个函数图像的某一只上，任取点 a x 一， y 一 和点 b x 二 y 二。如果 x 一 大于 x 二，比较 y 一 和 y 二函数值大小。我们都知道增减性是比较函数值大小的重要工具。根据上一问，我们已经知道 m 减五大于零， 所以在这个函数图像的任意之上， y 都随 x 的 增大而减小。因此，当 x 已大于 x 二时， y 小 于 y 二。我们还可以借助图像更直观地看出相应结论。 反比例函数还有哪些性质呢？我们通过图像来继续研究，可以发现图像关于原点中心对称，也就是说，如果点 a、 b 在 反比例函数的图像上，那么它关于原点的对称点负 a 负 b 也一定在这个图像上。 还可以发现，图像既关于直线 y 等于 x 对 称，又关于直线 y 等于负 x 成轴对称。也就是说，如果点 a、 b 在 图像上，那么关于 y 等于 x 对 称的点 b a 以及关于 y 等于负 x 对 称的点负 b 负 a 也在图像上。 我们来看这道例题，正比例函数 y 等于 k， x 与反比例函数 y 等于 x 分 之， k 交于 ab 两点过 a 作 x 轴，垂线过 b 作 y 轴，垂线两垂线交于点 c。 求三角形 a b c 的 面积 解，类似对称形的题型，我们只要记住正比例与反比例的交点关于原点对称这一主要结论，然后直接利用坐标互为相反数的特性进行代换， 由已知条件得出交点 a b 关于原点对称，所以 x 二等于负 x 一 y 二等于负的 y 一。 又因为点 a 在 反比例函数上，所以 x 一 乘 y 一 等于六。 然后我们划出对应的垂线，使其交于点 c， 则 a， c 等于二倍的 y 一， bc 等于二倍的 x 一。 三角形面积为底乘高除以二，最后得出面积为十二。 对于反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， 我 们把公式推导一下，可以得到 x 乘 y 等于 k。 这意味着在反比例函数图像上，任意取一点 p， x、 y、 横坐标 x 与纵坐标 y 的 乘积，横等于 k， 过 p 点做 x， 轴的垂线垂足为 m， 再过 p 点做 y， 轴的垂线垂足为 n， 则矩形 ompn 的 面积为绝对值 x 乘以绝对值 y 等于绝对值 k。 这就是图像中矩形面积恒定性。无论 p 点在双曲线的什么位置，矩形面积是中为绝对值 k。 因此还可以得到三角形面积横为绝对值二分之 k。 根据指数基本公式，还可以将表达式转化成另一个形式， y 等于 k 倍的 x， 负一次方。对于这种反比例函数的逆函数形式，我们只需记住表达式就行，因为中考往往只会考察我们对定义的认识。 学到这里，基础知识我们已经打包完毕。那么这道考察反比例函数定义的题，你能算出它的答案吗？

我们看一下这个题，如图，在平面直角坐标系中，依次函数 y 一 等于 ax 加 b 的 图像与反比例函数 y 二等于上一个 x 分 之 k 的 图像交于点 a， e、 d， m 和点 b 负二负一，那也就是题目中告诉我们有一个反比例函数和一个直线交于 a 和 b 两点， a 点的坐标是一逗 m， b 点的坐标是负二逗负一。 让我们第一问，求这个一次函数和反比例函数的表达式。我们首先看一下啊， 对于一次函数来讲，它有一个 a， 有 一个 b 是 未知数，所以我们需要两个点的坐标， 那这两个点的话， b 告诉我们了，但 a 的 坐标这还有个 m 没告诉我们，所以我们暂时先不能求一次函数的解析式。我们看反比例函数的 这个解析式，只有 k， 不知道的情况下，我们只需要带一个点就可以了，所以我们第一问就可以先求这个啊，将这个 b b 点的坐标负二到负一，它去代入到这个 y 二等于 x 分 之 k， 代入我们的反比例这样，而它带 x， 它带 y 负一，就等于负二分之 k， 那这样的话，我们 k 九等于上一个负一乘以上一个负二，这样的话，我们 k 九求出来是二，那所以我们的反比例的解析式就出来了，是 y 二等于上个 x 分 之 二，那反比例的解析使出来，因为 a 点在依次函数上，也在 a 反比例这个图像上，所以我们再将 a 点的坐标一逗 m， 它带入到这个啊 y 二，也就是我们这个反比例的解析式里头就能得出来 m 就 等于上个一分之二，所以就得出来 m 等于上一个二，也就得出来 a 点的坐标就是一逗二， 那 a 点坐标知道了， p 点坐标也知道了，我们这回就能求依次函数的解析式了。所以可以将 a 点的坐标负二负一， 代入到我们的二。 y 一 等于上一个 a， x 加 b 中，这样就能得出来， a 加 b 等于上个 a 加 b 等于上一个二， 因为它带 x， 它带 y 啊。再就是能得出来负二 a， 然后加上一个 b， 等于上一个负一。我们解得 把 a 和 b 也减一下，我们用这个，这个就往草稿上算就行啊。所以这是一式，二式，用一式去减二式， b 就 能减没了左边减左边 b 减 b， 减没了 a 减去负二 a， 那 这个就是负三， a 等于， 然后二减去一个负一，这个就等于上一，这是啊，这是三 a 啊。 a 减去负二 a， 它是三， a 等于上一个啊。二减负一等于三， a 就 等于一，所以我们 a 等于一，将 a 等于一，带入到这个式子也行，这个式子也行， 所以我们就能得出来 b 等于一。所以你这个一次函数的解析式就能出来，它就是 y 等于上一个 x 加一。这是我们 第一问，把一次函数和反比例函数的表达式都求出来了。接下来我们看一下第二问，第二问，他让我们直接写出 y 一 小于 y 二的时候， y 一 是我们的直线 y 二，而是我们的反比例。他就说当这个 x 取到什么值的时候， y 二会大于 y 一。 那我们看一下啊，这个图像中 y 一 要小于 y 二，也就是反比例要大于直线， 所以它对应的 x 会有这儿这一节。你说老师，那再往这一节就是我们的依次函数 y 一 大于上一个啊， y 二了，所以这边是不取的。再往这边走也是， y 一 是大于上个反比例的， 再往这边走，那反比例大于一次，也就是 y 二大于 y 一， 所以我们还可以取这边 那。呃，这个，这是负二，这个呢？ a 的 横坐标，这是一，所以我们第二问的啊， x 取值范围就是 x 小 于负二，或者 x 大 于零小于一， 这是我们第二问的分析。接下来我们再看第三问，第三问，他说到过点 b 作 b， e 垂直于 x， 这是垂直， 然后 a d 垂直于 b， e 于点 d， 那 啊，就是说这是垂直的，那这样的话，我们是可以知道 d 的 坐标是负二，横坐标是 负二，纵坐标和 a 的 纵坐标一样， a 我 们刚才求出来，这是啊，二啊， m 是 二，所以 d 点的横纵坐标我们就都知道了，是负二，等二。 那接下来我们再看说点 c 是 在这个直线 b e 上点 c， 在 这条直线上， 若 a， c 等于二倍的 cd， 让我们求这个 c 点的坐标，那 c 我 们咱且不知道在哪，那 cd 也， 那 c 可以 在这，也可以在上边，所以我们看一下，他说 a c 是 等于 cd 的 二倍， 那如果我们说这个 cd 的 长度，如果这是 n 的 话，那 a c 就是 二 n， 而 a d 呢？我们知道 a 的 横坐标是一， d 的 横坐标是负二，所以 a、 d 这二这一节是三。那根据勾股定律，就会有 c、 d 的 平方加上 a、 d 的 平方，就等于上一个 a c 的 平方 c d 呢？是，呃，我们刚才设的，它的长度是 n 的 话，那这样就 n 方加上 a， d 是 三三的平方，就等于 a， c 的 平方， a， c 是 二 n 夸的平方，所以 n 方加上一个九就等于上四， n 方， 那三 n 方就等于上一个三， n 就 可以等于上一个，因为我们设的是长度啊， n 就 等于根号三了， n 等于根号三，那 c 是 可以在 d 的 下方，也可以在 d 的 上方，所以 c 的 横坐标我们知道它跟 d 的 横坐标是一样的。 然后如果它在 d 的 下方的话，那就是 c 的 纵坐标，它就等于上整个，这是个二减去个根号三，所以是二减根三， 或者他的坐标可以是负二。然后 c 在 上方的时候，这是一个二，二加根三，二加根三，所以这是我们对第三问的啊 解析，那我们接下来写这个整个的过程啊。

三分钟带你通透反比例 k 面积考点，那我们一起来研究一下反比例函数与 k 有 关的面积。首先我们看一下左侧这个这个图啊， 我在反比例双曲线上任取一点 p 一 啊，它的坐标是 x 一 y 啊，反比例函数解析式是 y 等于 x 分 之 k 啊，然后呢，我通过这个点， p 啊，向 y 轴做垂线， 也向 x 轴做垂线，然后呢，形成了一个矩形，对吧？这个矩形的面积等于什么？ 是不是等于长乘以宽，也就是 p 一 这个点的横纵坐标之积，对吗？但是我们仔细发现啊，仔细观察发现，横纵坐标之积，因为它是反比例函数，所以它等于 k， 对 吧？ x 一 乘以 y， 最后就等于这个反比例函数这个 k 值啊。 然后我们看到红色这个点， p 二啊，它也在反比例函数上啊，它的坐标呢，是 x 二 y 二。同样，我通过 p 二这个点向 y 轴和 x 轴做垂线，形成的这个红色部分的矩形，它的面积呢， 也是要等于长乘以宽，也是横纵坐标之积，因为它也在这个双曲线上，所以它的两个乘积之后也是等于 k 值。 同理，我们看一下蓝色的这个 p 三啊， p 三点也在外等于 x 分 之 k 这个双曲线上，对吧？它的坐标是 x 三 y 三，我向两个轴分别做垂直之后，它的面积也是横纵坐标之积。好，我们最后可以得出， s 矩形的面积是等于 x 乘以 y， 那 我们看到为什么要加一个绝对值呢？刚才我们研究的是一三项线， k 大 于零的时候，那么当 k 小 于零的时候，双曲线在二四项线了，对吧？看左侧这个，在第二项线， 我取 p 三一点，它的坐标是 x 三和 y 三啊，分别向 y 轴和 x 轴所垂线，得到了这个矩形面积 啊，长乘以宽，因为它在二。第二项线啊，它的横纵横横坐标是负数，对吧？我们取长度的时候要加一个绝对值，所以写成 x 三的绝对值。那么 y 三不变啊，它的矩形面积就是 x 三的绝对值乘以外三啊，也就是我们把 k 大 于零和 k 小 于零都合在一起啊。最后呢，我们得出一个结论，就是矩形的面积是等于 x 乘以外的绝对值，红棕坐标之积的绝对值也就是等于这个反比例函数 k 值，它的绝对值等于 k 的 绝对值。 好，我们继续再研究一下，我在双曲线上任取一点点 p 啊，它的坐标，我说它是 x y 啊，然后我通过这个点 p 去连接圆心啊，连接圆心， 然后再点 p 向 x 轴做垂线啊，形成了一个小三角形，对吗？那么我求这个三角形的面积怎么求？ 它是不是等于二分之一的底乘以高，对吗？底和高乘积是等于 x 和 y， 对 吧？这个横纵坐标之积再加上一个二分之一啊，那么我们再把上面这个从 p 点再做 y 轴的一个垂线，再补上这个 形状之后，是有两个小三角形啊，两个小三角形加一起是刚才我们研究的这个矩形 啊，但是他是一个小三角形，是要加一个二分之一，所以他的面积是等于二分之 k 啊，这个是三角形。然后呢，我们也是刚才分大于零和小于零，对吧？他大于零的时候啊，是正数，那么小于零呢？我需要加一个绝对值，也就是 s 三角形的面积等于二分之 k 的 绝对值。啊，这个是我们今天研究在反比例函数上啊，我任意一个坐标点啊，求这个矩形面积和三角形面积， 它是和 k 这个斜率有关，是横纵坐标之积。记住啊，我们一定要加上绝对值。关注我，用白话给你讲透数学。

好，各位小伙伴，大家好啊，今天大家是分享的是二零二五年七七哈士奇的一个考题啊，这个题呢，是一次函数和反比例函数相结合的一个非常好的题目啊。 呃，很多同学不知道这个题怎么做，那就是实际上是你选入的切入点不太合适。好了，我们继续来看。如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y 等于负 x 减一， 它的图像与反比例函数图像怎么样？这是在第二项弦内啊，交与点 a 好 了，它交与点 a， a 点坐标也没说，对吧？好了，与 x 轴交于点 b， 好， 依次按照图像与 x 轴交于点 b。 那 这个 b 点呢？是不是马上我们就算出来了？ b 点坐标是负一，逗号零啊，点 c 的 坐标是零，逗号三， 连接 a c， b、 c， 他 说了，若 a c 等于 bc。 好， 这两者是相等的。 问，我们这个十数 k 的 值啊，十数 k 的 值，那么这个题呢，我们这个题有两种做法啊，一种做法我们就选什么呢？ 选这个 a c 等于 b c， 我 们就真真实的去计算一下 a c 等于 b， c 到底是多少好了，为了方便起见，为了做这个 a c 等于 b c 的 话呢，我们是不是这个地方呢？应该做垂线了，对吧？啊，我们得找点 a 的 坐标啊， 好了，我们这个地方做垂线，然后大家看一下啊，我们这个线呢，是 y 等于负 x 减一， y 等于负 x 减一，那说明这个角一定是四十五度，好吧，我们速度很快啊，四十五度， 那么 amb 这个三角形啊，它就是一个等腰直角三角形。好了，我设 am 等于 mb， 我 就都等于 a， 对吧，而 o a 的 长度呢，这个是等于一的 b 点坐标是负一零，它是等于一的， o c 长度等于三。那首先看一下我这个 b c 长度是不是就是根号十了，对吧？一方加三方， 下面呢，我们就来看一下，我这个 a c 怎么算啊？ a c 怎么算来直接算 a c 的 话呢？不太好算。我们这个时候呢，可以把 m a 怎么样？这个线呢，往上延长一下， 过点 c， 我 再去做 o m 的 平行线，垂线，或者说做这个 m a 的 垂线，垂作为 n。 好 了，那么我算这个 a c 的 话，我就可以在三角形 n a c 中来算了。来看看 cm 的 长度就等于 m o 的 长度，所以它等于 a 加一，对吧，而这个长度大家看一下，因为整个 m n 的 长度等于 o， c 长度是三， am 等于 a， 那 么这个长度呢，就是三减 a， 所以呢，第一个方法呢，我们就可以判断出来了，这个是什么呢？这个三减 a 扣除方，加上 a 加一扣除方， 然后开方，我就算出的是 a c， 是 吧？这样写的话就是 a c 方， a c 方是不是应该等于 bc 方啊？ bc 方是根号十的，平方是十， 所以这样的话，我就很显然的算出一个 a 一， 它会等于零，这个零呢，我们是要舍去的啊， a 二它等于二， a 二要等于二的话，那么我这个时候大家可以看一下点 a 的 坐标， 那么从 b 点呢，向左移动两个单位，再向上移动两个单位，所以 a 点坐标呢，就是负三，逗号二， 所以呢，这个时候呢， k 肯定等于呢，负三乘负二等于负六。好了，这是这个题的一种解法啊，这是这个题的一种解法，哎，我们就从 a c 等于 b c， 它到底等于几来入手啊？这个是 涉及到的就是一个直角三角形的构造，对吧？好了，我们这个题除了这个题之外呢，我们再看啊，这个题的另外一种解法，我们来看一下这个说，我们在做题的时候呢，我们会看到 a c 等于 bc 有 啥用呢？ 是不是？是不是马上想到，哎，这个 a c 和 b c 相等，等幺三角形啊，所以我们马上想到，怎么样，我们去做垂线啊，三线合一，对吧？好了，我们来过 c 点去做 ab 的 垂线， 垂足为 m 啊。好了，我们的首先大家看一下，第一个，因为 c m 和 ab 垂直，所以两个 k 值啊，应该是互为负倒数，对不对 啊？两个 k 值互为负倒数。那么一次函数，这个是 y 等于负 x 减一，它是负一了，所以 c m 的 这个 k 呢，一定等于正一，对吧？所以它就是 y 等于 x， 然后过的和外数交点是 c 是 零三，所以一定马上算出 y 等于 x 加三， 这是 c m 的 表达式啊。好了，这个 c m 我 们就有了，对吧？第二种解法， c m 马上算出来了，然后我用这个 c m 叫什么呢？呃， y 等于 x 加三和 y 等于负， x 减一，我们是不是马上就可以算出什么呢？点 m 的 坐标啊，点 m 的 坐标， m 坐标呢？应该算出的是负二乘一， 然后大家看一下，我们刚才说了 a c 等于 bc， 那 么等腰三角形三弦合一，是不是我们就得到 am 应该等于 mb 啊，对吧？所以这个 m 呢，它实际上是谁呢？是 ab 的 中点。 好了，那这样的话，我就套中点坐标公式就行了。首先第一个是二分之，谁呢？ x a 加上 x b， x b 是 负一，对吧？ 等于 m 点的横坐标等于负二，还有 y a 加上 y b， y b 是 零，对吧？除以二， 结果等于 m 点的纵坐标等于一，这样的话，我们会算出 x a， 它会等于负三，这个 y a 等于正二，所以呢，我们看这样的话，我们最后算 k 值，对吧？ k 它就等于 a 点的横纵坐标的 g 啊， k 就 等于 x a 乘以 x b， 所以 答案是负六。 那么第二种情况我们就很好地去利用了什么呢？等腰三角形三线合一的这个性质 以及线段的终点坐标公式啊。那这样的题的做法你是不是喜欢？

一个视频带你通透反比例函数特殊图形设坐标考点反比例函数特殊图形去设坐标啊，我们来看一下第一个图啊啊， p q， 它是都在 反比例函数啊，第一象限上面它的两个点，对吧？ p， 它的坐标是 x 一 y， 那 么 q 是 x 二 y 啊，第一个方法，我们是连立列方程，横纵坐标之积是等于 k 值，也就是 k 等于 x 一 乘以 y 一， 对吗？ x 二乘以 y 二啊。 p q， 它的横纵坐标之间是相等的，可以通过连立坐标啊来求 来看一下第二个右边这个图啊，同样 p q 也是在反比例函数这个双曲线上第一项线啊，那么当 p， 它的坐标是二 a 六 a q， 它的横坐标是三 a， 那 么纵坐标是多少？ 我们是反推，对吧？推坐标方法是一样的啊，横纵坐标之积，因为它俩都在同一个反比例函数上，所以 k 值是一一定的， 那么 k 等于已知 p 了，对吧？那么 k 是 等于二 a 乘以六 a 是 等于十二 a 方啊，这是 k 的 值，那么我们反推它求 q 的 纵坐标啊，也就是 二 q， 它是等于十二 a 的 平方，除以三 a 就 等于四 a， 所以 q， 它的坐标是三 a 和四 a 啊，这个是反比例函数，我们可以通过这个坐标啊去 连力连方程，也可以通过这个 k 值是定一定的，横纵坐标之积是相同的，可以已知一个坐标去求另外一个坐标去反推它。 接下来我们再来看一下在这个反比例函数双曲线上啊，如果有这个特殊图形去怎样设坐标？第一个图啊， 点 p 在 双曲线上，它的坐标是 a 和 a， 那 么它形成了一个 a o b p 啊，是一个正方形，也就是正方形，它四个边都是相等的，对吗？那么点 p， 它到 y 轴和 x 轴，它的距离也是横坐标是一样的，都是这个 a a 的 长度啊。那么接着来看第二个是这个，当三角形 o p a， 它是等边三角形的时候，对吧？我们可以看出什么啊？那个等边，它肯定三条边都相等，但是它我们横竖线关系，对不对？研究的是横竖线关系，是 研究坐标吗？对吧？那么当 o p 它的边长是 b 的 时候啊，我们通过横竖线啊，先通过这个点 p 做一个垂直啊，做这个垂直于 x 轴的，对吧？那么 pm 这块是多少 是多少？ m， 它就是什么等边三角形 m 就 变成中垂线了吗？对不对啊？ pm 就 等于 o m 是 二分之 b， 对 不对？勾股之后，然后 pm 是 二分之根号三 b， 对 吧？ pm 二分之根号三的 b， o b 等于二分之 b， 我 们就可以得出什么？可以得出 p 点坐标，对吧？ p 点坐标就是二分之 b 和二分之根号三 b 啊。那么这个是我们会在特殊图形啊，像正方形啊，矩形啊，等边啊，等腰啊，三角形这边啊，去研究这个反比例函数上面的点的坐标的关系啊，也就是重点，我们要抓住一个特殊条件，就是啊， 几何图形给的是横竖线，对吧？是给的是边的这些条件，那么我们点是研究坐标这个点，对吧？它是点到 x 轴和 y 轴的距离啊，也就说横竖线的关系去设坐标啊，这个是我们非常重要的一个点啊，利用这个横竖线的图形的这个横竖线关系去设啊，反比例函数上面点的坐标。关注，我用白话给你讲透数学。

在中考数学中，第十二题考的一般都是反比例函数。反比例函数在中考数学里边只考两个方向， 第一个方向就是反比例函数的增减性，第二个方向就是反比例函数的几何意义。主要关注一下这两个方向，这道题三分肯定可以拿到。

刚才我们说了，这个一字函数当中的 k 代表什么都知道， k 代表的是斜率， 哎，那这个斜率到底是什么东西，大家知道吗？那我们一起来看看什么叫做斜率啊？斜率，哎，又叫做角系数，它表示一条直线 相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正坐标的方向的夹角的正切值。 正切值，哎，即是该直线相对于该坐标系的斜率。如果这个直线与 x 轴垂直，哎，那他是不是就是九十度啊？ 直角的正截角是不是就无穷大，它的九十度是不是无穷大？所以，哎，直线就不存在斜率了。那当直线的斜率存在的时候，对于一次函数 y 等于 k， s 加 b， 那 这个 k 就是 整个函数的一个斜率。那我们简单来说，什么斜率，就是由一条直线与 x 轴正半轴方向所组成角的 正切值，哎，那这个就是定义。那同学就问了，为什么斜率这个 k 等于这个角度的正切值呢？那我们来证明一下， 我们就假设这条直线上有两个点， p 一， 哎，它坐标 x 一 和 y 一， p 二是 x 二， y， 哎，这个时候呢， x 一 不等于 x 二，哎， 用图来是这样表示的，既然 p 一 跟 p 二都在这条直线上，那我是不是带到这个解析式当中，我是不是得到了一式和二式啊？ y 等于 k 倍的 x 一 加 b， y 等于 k 倍的 x 二加 b， 二式减去一式，我就得到这个式子， y 二减 y 等于 k 倍的 x 二减 x 一。 我再进行一个画点，因为 x 一 减 x 二不等于零，所以 k 就 等于 y 二减 y 一。 比上 x 二减 x 一， y 二减 y 一， 大家看 y 二减 y 一， 不就是这个 p 二 q 吗？那 p 一 q 是 不是就是这个 x 二减去 x 一 啊？好了，那既然是 p 二 q 比上 p 一 q 是 不就等于 贪婪的耳法呀？那这个式子是不是就得出来了 k 等于贪婪的耳法呀？好，这里面有一个非常重要的式子，叫什么呀？就叫做斜率公式， k 就 等于 y 二减去 y 一 比上 x 二减去 x 一。 好，大家首先要知道斜率，哎，就是这个直线跟 x 轴正方向夹角的一个正截值。另外还要知道这个斜率公式。 好，那我们一起来看一下这个斜率公式。如果给出了一条直线上的两个点，那我通过这两个点我就能确定它的斜率。大家看左边这个图，如果给出了点 a 和点 b， 那 我们就能得出它的斜率。 k 等于 y 一 减 y 二比乘 x 一 减 x， 也可以这样写， y 二减去 y 一 比乘 x 二减去 x 一。 哎，它是一样的道理，就可以得到这个斜率了。好，那我们看一下这个第一个例题，说已知 l 的 上的点，说横坐标增加了三，纵坐标增加了五，那 k 是 不是就等于 五比三呀？因为 k 它等于它的平方，是不是就等于五比三呀？对不对？你一个增加了五，这个是五，你这个增加了三， 那你是不是五比三啊？那同理的横坐标如果增加了三，纵坐标下降了五，那 k 是 不是就等于负的三分之五啊？ 好，我们再来看这个例二，说，对于一个直线， y 等于四， x 减五，说点 a、 点 b、 点 c 都在这条直线上。大家记住，不管有多少个点，任意其两个点，他们的斜率 永远是相等的，只要是坐标上的任意两点，他们的斜率永远是相等的。所以说，如果题目中给出了我们两个点，那我们是不是就能够求出这个直线的斜率啊？ 好，那我们来看一下，如果已知两个点的坐标，该如何去求这个意思函数的解析式呢？那这里有几个方法，哎，大家来看。第一个就刚才讲的是一个待定系数法， 这个比较简单，我就直接设 y 等于 k， x 加 b， 把两个带两个点的坐标带入求结 k 跟 b， 那 第二个方上就叫什么呀？ 就叫做斜律法。我通过这个公式， k 等于 y 二减 y 一， 比上 x 二减 x 一， 我先把这个 k 求出来， k 求出来呢，我再带到这个解析式当中，然后我再把其中的一个坐标，哎带入 这里面，哎，我就把这个 b 也就求解出来，有了 k 有 了 b 啊，自然而然解析式是不是也就求解出来了？ 当然还有一种特殊情况下，就能够迅速的写出来这个解析式，就是如果说题目告诉我了，说一条一次函数，哎，他跟 x 轴外轴分别是交于这个 x 一 零或者是零 y 一， 哎，分别把这个 x 轴跟 y 轴的焦点告诉你了，那么你就可以直接就把它写出来， y 等于负 x， 一 分之 y， 一 倍的 x 再加上 y 一 这个式子， 如果大家有能力的话，尽量把这个式子也给记住，这样做题的时候呢，能够大大提高你的做题效率。 大家记住一点，不管是哪种方法，你做完之后一定要记得检查，哪怕你是用代练吸收法，做完之后，一定再把这个这两个点再带进去看看，检查一下你做的这个 解析式，哎，是不是正确。那这个快速解析法这个怎么写啊？比如说题目告诉我们说有一个经过负零，经过这个零六， 说焦点有两个，让你写出它这个解析式，那你是不是就可以直接写？咱看 y 等于负，这个我不知道， x 再加上这个数，看看 跟 y 的 这个焦点是不是六啊？那这是不是就写六啊？哎，那这是六，上面是不是就是六啊？下面是 x 一， 那就是负，对不对？好，那化简是不是 y 等于五分之六， x 再加上六啊？这就是快速写出来它这个解集式。你写完之后呢？你不放心，那你就把这两个值， 把这两个值带进去看看是不是当等于负五的时候，哎，那就是负六，负六加六等于零，没问题，当 x 等于零的时候， y 等于六，你是不是就可以直接写出来啊？所以说如果你想提高做题效率的话，一定要把这个公式记住，其实也比较简单， y 轴的这个 y 一， 那我是不是是不是直接就写到这个位置上了？就是 y 一， 然后呢？ y 一 知道了，哎，我再写到这个上面， 那剩下我就把这个 x 一 直接写到下面，但是大家记住，这一定要有一个符号，一定要有个符号，这样你做题的时候呢，效率就会大大的提高，但是你记不住这个也没关系，你用前面的两个方法求解也是没问题的。

初三，反比例函数里边有这样一种题型，就是和一次函数综合，根据函数图像来判断范围的问题，这几乎是必考题型 啊。然后在这必考题型里，这个是非常难的一种题型，带绝对值的来解决这类题，专门有一种方法，就图像法就可以秒掉这类题。一次函数 y 等于负 x 加四啊，这是一次函数 y 等于负 x 加四。好，现在又来个反比函数 y 等于负的 x 分 之五，反比例函数 y 等于负的 x 分 之五。然后问这不等式，它大于它的值啊，它大于它的解集为多少？ 有人没搞清楚，说前面这个负 x 加四的绝对值大于它，有的人还想去绝对值然后算呢，不是这么做的，你看这里的负 x 加四啊，负 x 加四是不是就是这个 y 啊？ 负 x 加四就是这个 y， 然后啊，然后那不就是一次函数 y 值进行了绝对值吗？相对把 y 进行绝对值。什么意思？ 大于等于零，绝对值之后的结果大于等于零，所以他最终的图像要的是什么呢？这个大于零这部分肯定要 一直到这，哎，就要折上去了，就要折上去了，来，把这个拐弯就要折上去了。注意啊，原来下面这负的因为加了绝对值就要把它翻折上去，所以真正的啊，我们应该是红色的部分， 哎，红色这部分，这是它的最后的图像，那现在它要大于，它的意思就是它的函数图像在上面， 它的函数图像在下面，反比例函数图像在下面。主要函数值大的图像在上面，或者图像在上面，函数值大，图像在下面，函数值小。好，这反比例函数它不就是 y 等于它吗？和 y 等于它的问题吗？ 好，那他在上面哪一部分是在反比例函数图像上面来看这，这有个焦点这有个焦点。反比例函数图像如果在上面， 注意啊，这个直线图像在上面，反比例函数图像在下面，那说明这一段 对不对？说明的是这一段他在他的上面，叫他在他的上面，能跟上吗？啊？他在他的上面来 看这啊，所以对应的值 a 点，比如说这 a 点的坐标是多少呢？ a 点是负一， a 点是负一。来来来啊， a 点是负一，这 a 点怎么来的？完全可以解方程解出来。负 x 加四等于负的 x 分 之五， 然后同时啊，这个先乘以负一吧，就 x 减四等于 x 分 之五，把 x 乘过来， x 方减四， x 减五得零。十字相乘法， 交叉相乘再相加，正好负四 x， 那 就是 x 加一乘以 x 减五得零，然后一个是负一，一个是五啊，一个是负一，一个是五， 一个负一，一个是五，好了，这个焦点就是负一，对吧？焦点负一，然后这个焦点。注意啊，这个焦点是五，但这块是什么呀？这个焦点是 直线和 x 的 焦点，先不用着急求它，我最起码知道当 x 小 于负一时， 这个图像直线在双曲线的什么呀？直，现在双曲线的上边小一负一的时候啊？直，现在双曲线的上面。好，我们再看啊，我们再看啊，直线在双曲线的上面 来，我们再看。还有哪一部分直线在双曲线上面看，这从外轴右侧这直线再加这直线 在这双曲线的什么呀？上面右侧啊，这直线，这直线在这双曲线的上面，所以这块是零，那么整个对应的答案是 x 大 于零， x 小 于负一或 x 大 于零这两部分拿下答案选的是第二个啊，选第二个还是非常有难度的，通过看图像， 首先带个绝对值，就把它翻到上面去，然后又大于它，说明它的图像底在双曲线上面，你这双曲线这不在下面吗？这个整个都在它上面，听懂了吧？来点赞收藏分享一下。

好，各位小伙伴，大家好啊，今天和大家分享一道这个正六边形和反比例函数相结合的一道综合题目啊。说如图，在平面直角坐标系中，圆点 o 是 正六边形 a， b， c， d， e， f 的 中心， ef 平行于 x 轴，点 e 在 双曲线上啊，点 e 在 双曲线上， 然后我们将这个正六边形怎么样向上平移，根号三个单位啊，长度地点恰好又落在了双曲线上。问这个时候的 k 值， 那么拿到这个题之后呢，我们首先第一个感觉是啥呀？哎，给了一个正六边形对不对？正六边形它叫什么呢？边长没告诉我们啊，边长没告诉我们。好了，我们这个地方呢，我们先设正六边形的边长 多少呢？我们设它是二 a， 有 同学老师，为什么你设成二 a 啊，我们还发现这个图呢，它是一个轴对称图形，看见了吗？啊，正六变形轴对轴对称图形 啊，那么这个 e、 f 和 y 轴有一个交点对不对？这个点呢，恰好是 e、 f 的 中点，所以这个是我们设成 a， 这个设成 a 了，对吧？所以边长就是二 a， 好， 它要边长是二 a 的 话，我们来看看我们这个 e 点坐标啊， e 点坐标 点 e 在 双曲线上，那么 e 点呢？我们往下做垂线 啊，垂足为 m 吧，对吧？大家马上会发现，哎，这个角 e， d， m， 这个角六十度，对吧？那这个角呢？ m， e， d， 它就应该是三十度， e， d 长度是二 a， 所以 md 的 长度很明显等于 a， 那 么 e m 长度应该是根号三 a， 所以点 e 的 坐标它就应该是什么呢？横坐标应该 a， 纵坐标应该是根号三 a。 好， 这是我们看到啊， e 点， e 点在 双曲线上，对吧？它的坐标有了，然后我们看 d 点坐标，说将正六变形啊，向上平移，根号三个单位长度。 好了，那地点的远地点恰好落在双曲线上，我得先看看地点坐标是什么，原始的地点坐标，它是二 a， 逗号零，对吧？那么将它向上移动，根号三个单位 到什么地方了呢？新的坐标，我们把它设成 d 撇，它的坐标能变成什么呢？向上平移的横坐标不变，还是二 a 重坐标变成了零，加根号三就是根号三了。 来，现在大家看一下，这个 e 和 d 撇呢，都在双曲线上，那么算 k 值的时候，它 k 值一样的，对吧？所以那么我就马上知道了， a 乘以根号三， a 就 应该等于二， a 乘以 根号三，对吧？二， a 乘以根号三， 所以有一个答案， a 一， 它会等于零，这个我们是要舍去的啊。好， a 二，它等于什么呢？它会等于二， 这样的话，我们这个一点坐标是不是马上出来了？ a 等于二的时候，它的横坐标就是二，纵坐标呢，是二倍的根三， 所以最终的 k 值，它就应该等于是一点的，两个坐标的乘积就是二乘二倍的根三， 最终答案是四倍的根号三啊，所以这个答案呢，应该是四倍的根三。 这个题你听明。

大家好，我是小邓老师，今天我们来学习反比例函数，这是中考必考的函数类型。什么是反比例函数呢？它的标准形式是 y 等于 k， 除以 x 画在坐标系里是一条双直线，这里面最关键的就是 k， k 叫做比例系数，且 k 不 等于零。还有一个核心性质要记住，曲线上任意一点， x 乘 y 等于 k。 首先来看 k 大 于零的情况，图像分布在第一和第三，象限在每个象限内外，随 x 的 增大而减小。 接下来看 k 小 于零的情况，图像分布在第二和第四，象限在每个象限内外，随 x 的 增大而减小。 注意，这里有个易错点，不能跨向线讨论增减性。再来看 k 的 绝对值的影响， k 的 绝对值越大，双曲线离坐标原点越远， k 的 绝对值越小，双曲线离坐标原点越近。还有一个重要特征，双曲线永远不会碰到坐标轴， x 轴和 y 轴是它的间壁线。最后送大家核心口诀， k 正一三， k 负二四，两个易错点要记牢，第一，增减性只能在同一象限内讨论。第二， x v 等于 k， 是 解题万能钥匙。好了，今天的干货就到这里，觉得有用的话点赞加关注，咱们下期再见了，拜拜！

好，我们再来看一下历下的二十三题哈，他说，在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，正方形的边长是三，这些都是三。顶点 a、 d 呢，在 x 轴上， b 呢，在反比例函数图像上， d 的 坐标是负三分之五。逗零，让我们求反比例函数的表达式， 那我就去求 b 的 横坐标就可以了。 b 的 横坐标呢，和 a 的 横坐标是一样的，所以我们这个时候求 a 就 可以。那正方形的边长是三，而 o、 d 呢，是三分之五，所以 o a 就 可求了三分之四，所以 a 的 坐标呢，是三分之四。豆零， b 的 坐标就是三分之四豆三，所以 b 的 横坐标相乘就是 k， 所以 求出来就是这个值， k 等于三分之四，乘三等于四哈，好，第二问，他说，将正方形 a、 b、 c、 d 呢，向右平移了 m 个单位，得到了这个 m 呢，在零到三之间，其中 边 b 撇 c 撇和 a 撇 b 撇分别与反比的函数交了一个点， e 和 f。 第一问，那么第一问和第二问哈，它的大前提都是这一句话哈，平移了 m 个单位。只不过呢，第一问，它有一个特殊的地方，是得撇和 o 重合了，那得撇，那也就得它原来的这个横坐标呢，是负三分之五，对吧？ 和后来和 o 重合了，说明往右平移了三分之五个单位。 所以这个时候，嗯，我们就知道了，这个谁的坐标就可以求了哈， a 的 坐标， a 撇的， b 撇的都能求了，那么 a 撇 b 撇求出来之后呢？ e 撇和 f 撇，我们也可以求了。 好，我们来看啊，原来反这个 b 点在反比值函数图像上，现在呢， e 点在反比值函数上，所以这个时候相当于是往右平移了三分之五个单位，因为 d 原来是三分之五，现在变成零了，对吧？所以 用 b 撇的横坐标加上三分之五，那就是三分之九，也就是三，所以它是三斗三，它是三斗零，那么 e 的 坐标就是三斗三分之四，因为它在反比例函数图像上， f 的 坐标呢？纵坐标就是三，横坐标它也在反比这函数图像上，所以它是三分之四。好，那 e、 o、 c 的 e、 o、 f 的 这个面积我们就可求了，可以用正方形的面积减去这三个直角三角形。 或者是你把 e、 f 的 解析式求出来啊，和这有交点呢，就用这个大三角形减小三角形，和下面有交点呢，就用这个大三角形减这个小三角形，都可以。这三种方法啊，那我就直接用割补法了哈，用这个正方形 a、 o、 c 撇 b 撇，也就是 a 得撇，其实是哈一个样，因为它俩重合了， a 得撇 a 撇得撇， c 撇 d， 这个正方形的面积减去三角形 c 撇得撇 e 的， 减去三角形 b 撇 e、 f 的， 再减去三角形 a 撇得撇 f 的。 好，那我就不再一个一个代入了哈，因为这些长呢，我们都知道了，对吧？这些长也可以求啊，所以我就直接写出来了哈， 答案呢，是十八分之六十五。好，这是前两问， 那第三问呢？他说这个角 b 撇 e、 f 的 正切值等于三比四，那我们就要去表示 b 撇 f 和 b 撇 e， b 撇 f 呢，它等于 嗯， b 的 纵坐标减去 f 的 纵坐标，而 b 撇 e 呢，等于 b 的 横坐标减去 e 的 横坐标。只不过此时你的得撇和 o 不 重合了， 那就没有这种特殊的情况了。这个值，这个坐标呢，我们是求不出来的，得用字母来表示，所以他现在就要用到他说往右平移了 m 个单位， 那原来 a 的 坐标是三分之四豆零，那么 a 撇的坐标呢？就变成了三分之四加 m 豆三， 那么 f 的 坐标还是和这个 a 的 横位一样哈，三分之四加 m 豆，它在抛物线上，所以应该用四除以它的横坐标， 这是 f， 那 么点 e 的 纵坐标呢？和 b 是 一样的，也就是和 b 撇是三，那横坐标那就是三分之四，对吧？三， 我看看是吧？因为它的横，嗯，它的纵坐标是一样的哈，对，带到反比例函数上面就可以了哈，好，就这样的，好，那这个时候呢，我们可以求一下， b 撇 f， b 撇 f 呢，就等于 b 的 纵坐标三减去 f 的 纵坐标三分之四，加 m 分 之四。 然后 b 撇 e 呢，等于 b 的 横坐标三分之四，加 m 减去 e 的 横坐标三分之四，其实就是 m。 因为原来点 b 在 反比例函数图像上，后来呢，点 e 跑到 反比例函数图像上去了，它往这平行了 m 个，那这就是个 m， 所以 点 e 的 横坐标其实就是 m 哈， 好，那现在我表示出来了之后呢？那么它不是说贪婪的角 b 撇 e， f 等于三比四吗？它就应该等于 b 撇 f， 比上 b 撇 e， 所以 我们把那个值带进来就可以了哈，也就是三减去三分之四加 m 分 之四，比上 m 等于三比四。 这个时候求出来就做完了哈，可能有点难算，大家去算一下，等于三分之八，他让我们求的是 m 的 值，那就做完了，就。

大家好，我是小邓老师，今天来讲反比例函数的经典题型，求 k 值和求解解式。先来看一道经典例题，已知反比例函数 y 等于 k 除以 x 的 图像，经过点 a 求 k 的 值和函数解解式，我们先在坐标系里看一下，点 n 在 第一象限，那怎么找到 k 呢？这里有两种理解方式，第一种叫待定系数法， 把已知点的坐标代入 y 等于 k 除以 x。 第二种是万能公式， x， v 等于 k， 曲线上任意一点的 x 乘 y 一定等于 k。 这两种方法本质上是一样的，本题中 x 等于二， y 等于三， 代入就能求出 k。 现在来看详细解析步骤。第一步，设反比例函数为 y 等于 k 除以 x， 其中 k 不 等于零。第二步，将点 a 代入得到三等于 k 除以二。第三步，解方程， k 等于三乘以二， k 等于六。第四步，写出解可式， y 等于六除以 x， 我 们来验证一下， 把 x 等于二代入， y 等于二分之六等于三没问题。再看其他点，一乘六，三乘二，六乘一， x， y 都等于六，验证通过。最后来总结方法，求解式就四步，设代解，写易错。提醒别忘了写 k 不 等于零。快解法，可以直接用 k 等于 x 乘 y， 求完之后记得验证一下。好了，今天的题型就讲到这里，觉得有用的话点赞加关注，咱们下期再见了，拜拜！

一个视频带你通透反比例图像性质，今天我们一起来学习一下反比例函数的图像性质啊。上一节课呢，我们知道了反比例函数，它的解析式是 y 等于 x 分 之 k。 好， 我们先来研究一下，以这个 y 等于 x 分 之六啊为例，我们一起来探索一下它的图像。 首先我们还记得怎么画这个函数图像有哪三步骤，第一是应该列表，然后第二秒点，第三连线 啊，我们一起来看一下右侧这个部分啊，当自变量 x 啊，取上面这些值的时候，然后 y 对 应的 y 等于 x 分 之六啊，它取哪些值？然后呢，我们 这个表示算出来，对吧？把把 x 等于负六啊带入这个解析式当中，算出 y 等于负一啊，以此内推， x 等于负四的时候， y 等于负的二分之三啊，等于负三， y 等于负二啊，这样 形成了这种有序数。对啊，然后我们在左侧的这个图像当中啊，依次按这个数对的坐标去进行描点，最后连线， 我们发现没有取到什么零零这个点，因为 y 等于 x 分 之六啊，它的反比例函数它是以分式的形式出现，前提我们一定 k 是 不能等于零的啊，否则没有意义。所以呢，它最后我们画出来之后， 反比例函数的图像是呈一个双曲线的形式，对吧？是呈一个双曲线的形式，但是因为它首先啊，这个它 x 在 分母上，而且 k 又不能等于零，它永远是没有零。零这个没有与 x 轴也好， y 轴是没有任何交点的啊，永不相交。 好，那我们继续来再探索一下， y 等于 x 分 之六，对吧？那么 k 它是一个 大于零的啊，那么当自变量取负数的时候，那么 y 也是负数啊，负负两个都是负，那么当取正的时候，他也是正数啊，还有就是双曲线，我们刚才教的双曲线了，那么他当正数的时候，同正啊， 自变量和阴变量同为正数的时候，那么他在第一项线。如果说同负啊，自变量 x 和 y 它都是负数的时候呢？在第三项线， 好，那我们通过探索 y 等于 x 分 之六呢？可以得出，如果说当 k 是 负六的时候小于零，是不是就在 反过来二十四象限了，对吧？那我们一起来总结一下反比例函数的图像性质， 我们给他起了一个名字，他的名称叫做双曲线左侧，我们前提是化成这个 y 啊， k 大 于零的时候啊，右侧是 k 小 于零，也就是说反比例函数，他的图像只有这两种图像， 当 k 大 于零的时候，他的位置是在第一和第三项线，当 k 小 于零的时候是右面，这个图 是在第二和第四项线。然后我们再来看一下这个图像它的走势趋势啊。 第一个，我们把这个前提啊，这个最大的前提要注意，它是在每一项线内啊，永远都是在每一项线内，然后去探索 y 随 x 的 变化而怎么样啊？ 在每一项线内，外随 x 增大而减小啊，这是 k 大 于零啊，我们看一下在第一项线是不是外随 x， 从左向右外随 x 的 增大而减小，对吧？那么在第三第三项线也是啊，从左向右，外随 x 的 增大而减小， 然后当 k 小 于零的时候，也是这个大前提。我们一定要注意是在每一项线内外随 x 的 增大而增大 啊。为什么说它一定要强调在每一项线内？假设我们以这个 k 大 于零啊？第一个图为例，如果说我当自变量 x 取到，比如说是负四啊，负四和呃八这个之间，那么我们看一下它这个图像， 如果说告诉你在负四和八之间了，那我当因为它永远和 y 轴是没有任何交点的，那你没有办法去描述在这一部分区间内，它是不是 y 随 x 增大而减小呢？对不对？那这一块中间这块它就是空空出来，因为它只能说是分两部分去 写，对吧？分两部分去说他的这个趋势是怎样的，所以我们一定要强调是在每一个象限内的前提啊。最后是一个非常重要的 结论，就是我们这个双曲线啊，反比例函数，他不断的是怎么样？是逼进坐标轴 啊， k 大 于零的时候啊，这样他是从左向右啊，不断的逼进这个 x 轴， 那么这 k 小 于零也是不断地啊往上这样增大，不断地逼近 y 轴，但是永远不会和 x 轴和 y 轴有交点啊，这个我们一定要注意关注，我用白话给你讲透数学。

这是一道山东省数学中考真题，题型经典，极具代表性。题中藏着一个万能知识点，只要吃透它，反比例函数的大部分难题都能迎刃而解。 先看题，如图，在平面直角坐标系中， a、 c 两点在坐标轴上，四边形 o、 a、 b、 c 是 面积为四的正方形。 若函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像经过点 b， 则满足 y 大 于等于二的 x 的 取值范围是多少。反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 其实是双曲线，当 k 大 于零时，图像在一、三项线。 当 k 小 于零时，图像在二、四项线。大家记住过，反比例函数图像上任意一点向 x 轴、 y 轴各画一条垂线，围成的矩形面积就是 k 的 绝对值。 像这几张图，只要点在函数图像上，就一定符合这个规律。这道题里的正方形 oabc 就是 个特殊的矩形，刚好直接套用这个知识点。题目说正方形面积是四，那 k 的 绝对值就等于四。 又因为函数图像在第一项线， k 为正数，所以 k 就 等于四。函数解析式就是 y 等于 x 分 之四。 接下来求 y 大 于等于二的 x 的 范围，当 y 大 于等于二时， x 分 之四也大于等于二。由于 x 大 于零是题目给出的已知条件，所以不等式两边同乘 x 不 等号方向不变，不等式变成四大于等于二。 x 按照书写习惯，把含 x 的 项放在前面，就变成二。 x 小 于等于四，最后算出 x 小 于等于二。再结合 x 大 于零这个已知条件，最后得出 x 大 于零，小于等于二。 怎么样，这道题做起来是不是又快又准？你们平时做这类题，还会用哪些更巧妙的思路呢？