三角形面积公式应用

今天给大家讲一下如何求普通三角形的面积，大家看这里给出了一个三角形，他的三条边长分为三、五、六，由于他是个普通的三角形，那么我们就可以利用海伦公式来求他的面积，那么下面老师给大家介绍一下海伦公式。 那么想利用海伦公式来求这个三角形面积的话，大家首先应该先求出这个三角形周长的一半，也就是 p， p 就等于他们三条边的和除以二，其中这里的 abc 代表他们三个边的长度，那么也就是三， 三加五加六除以二，三加五等于八，八加六等于十四，十四除以二等于七。然后我们下面就可以套用海伦公式。海伦公式中 s 等于 p 乘以 p 减 a， 再乘以 p 减 b， 再乘以 p 减 c， 然后再把它进行开放。 好，我们下面把它套进来再来看，就等于根号下 p 等于七，乘以七减去三， 再乘以七减去五，再乘以七减六，那么也就等于根号下七乘以 四，乘以二，再乘以一，那么在这里这个四开到根号外能开出个二来，所以说这道题就等于二倍的根号下十四。

寻找面积最小的三角形。

三角形的面积公式是怎么推导出来的？今天一个视频让你快速记住三角形的面积公式。 话说三角军回到家，刚好看到家里的三个机器管家在吵架，他们的名字分别叫小瑞、小顿和小直。他们吵架的原因是都觉得自己的脸最大。在三角星，人们以脸大为美，脸的面积越大就越有面子， 他们三个叠来叠去都找不出脸最大的人，闹成一团。三角君一脸无奈，决定帮他们解决这个问题。 要解决这三个机器人的争端，就要分别算出锐角 三角形、直角三角形和钝角三角形的面积。那么怎么算呢？到目前为止，我们只会算长方形和平行四边形的面积， 其中平行四边形还是通过减拼变成长方形来算的。那么三角形也能通过减拼变成我们认识的图形吗？三角军试着把小锐从中间剪开，发现拼不上， 小墩呢，强行把自己切成了长方形，却发现剩下的部分全乱了，看来捡拼这条路并不是那么好走啊。 正在三角君费神的时候，小侄已经把自己的面积算出来了，他是怎么做到的呢？原来，小侄有个同胞兄弟和他长得一模一样， 只要他们俩把手一拉，再一转，就刚好能拼成一个长方形。这时候长方形的长和宽就刚好等于小直的两条直角边。六乘四就可以算出长方形的面积是二十四平方厘米， 而小值的面积是长方形面积的一半，也就是二十四除以二，得十二平方厘米了。 看了小直的方法，小瑞灵机一动，我是没有兄弟，可我还不能想象一个兄弟吗？想象一个和我一模一样的三角形，和他把手一拉，再一转，哎，会拼成什么图形呢？ 答案选 b。 这样一拼，不就得到了一个平行四边形吗？这下好了， 只要求出这个平行四边形的面积，再除以二，就是我们要求的三角形面积啦。哎，说干就干，平行四边形的面积等于底乘高。我们先把他们标出来， 下一步就是在三角形里找到这两条线段，因为我们毕竟是从三角形算起的嘛。 先看平行四边形的高，他是从一边上一点向对边做的垂直线段，放在三角形里，就是从一个顶点向对边做的垂直线段。这条线段在三角形里叫什么呢？ 答案选 b。 不管是看定义还是看直觉，平行四边形的高就是三角形的高嘛！解决了，高底就是小菜一碟。 平行四边形的底是高的垂足所带的那条对边，这条对边在三角形里也扮演着同样的角色，三角形高的垂足也落在他的身上，所以平行四边形的底也是三角形的底。 妙！现在我们只要用三角形的底乘三角形的高，就能算出这个平行四边形的面积了。 可这里还有一个大坑，别忘了，我们真正的目标是三角形的面积不是这个平行四边形的，所以平行四边形的面积除以二才是三角形的面积。 不想算了半个小时，却被老师打叉的人都听清楚了，三角形的面积等于底乘高，除以二除以 二除以二除以二。想想这个图，一定要记得除以二呀！ ok， 就用这个公式请你列出求小锐面积的式子吧！ 答案选 a， 底六厘米乘上高四厘米，最后千万别忘了在最后除以二，答案也是十二平方厘米。 这个视频我们用拼平行四边形的方法算出了小时和小锐的面积，只要记得在底乘高之后除以二就可以了。 那这个方法也能用在小盾的脸上吗？下个视频我们就来求出小盾脸的面积，彻底解决他们三个的问题。 洋葱学员包含小初高的多种学科，快点击左下角链接登录，即可免费领取会员！

今天我们讲五年级数学三角形面积公式六种推倒方法，这六种方法都是小朋友想出来的，我们先看第一种 好，这样一个三角形，再拿了一个完全一样的三角形，所以第一步转化，用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。第二，我们看一下圆三角形和拼成以后的平行四边形之间的一些关系， 第一，圆三角形的底等于平行四边形的底。第二，圆三角形的这条高等于平行四边形的高。 第三，圆三角形的面积等于平行四边形面积的一半。所以我们就可以得到一个结论，因为平行四边形的面积是底层高的，而三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以三角形的面积是等于底层高除以二。接下去 我们看第二种，第二种的话把三角形的高先画出来，画完以后呢，我们在这个地方再补上一个三角形，这个三角形和这个三角形是完全是一样的。 然后呢，在这边又补一个三角形，这个三角形和这个三角形是一样的。那这样一来，你就仔细观察一下我们是怎么样转化的。 如图是把三角形补成一个长方形，补完以后我们就会发现呢，在这里提醒一点，图一定要画标准画对。然后第二点你会发现这两啊，圆三角形和这个长方形之间是有关系的，我们就要把这个关系找出来， 一，圆三角形的这条底是等于长方形的长，对吧？圆三角形的这条高等于的是长方形的宽。再看面积，圆三角形的面积是长方形 面积的一半，所以我们就可以得到这个结论，因为长方形的面积是等于长乘宽的，那么我们三角形的面积只有长方形面积的一半，并且长等于底，宽等于高，所以三角形的面积是等于底层高除以二的， 这是方法二。接下去我们看第三种好人，就是这个三角形，我们在三角形的这条边上取个终点， 在这条边上也取个终点，然后呢，这两个终点我们用线段连接起来，那这条线我们就叫做是中位线，三角形的中位线， 现在我们把上面这个三角形给他啊，移过来，移到哪里去呢？把他平移到这个地方，也就是说这个三角形和下面这个梯形拼成现在的这一个平行四边形。好，那也就是 说我第一步是怎么转化呢？如图，把三角形沿中位线剪开，拼成一个平行四边形，拼完以后，我们要去找一找原三角形和现在平行四边形之间的关系， 找到这个问题。第一点圆三角形的底是等于平行四边形的底的。好，再看一下圆三角形的高，是这一条，对吧？我这条是中尾线的话，那现在我们发现就是圆三角形的高，应该是平行四边形平行四边形高的两倍。 好，那第三点看面积，原三角形的面积是等于平行四边形的面积的，因为我们只是把这块三角形移到这里，所以面积仍旧是不变的，所以通过这些我们就可以得到结论，因为平行四边形的面积是底乘以高的，但是呢，三角形的面积和平行 四边形面积是一样的。第一也是一样的三啊，三角形的这条高是平行四边形高的两倍，对吧？或者说平行四边形的这个高是三角形高的一半， 所以三角形的面积是等于底乘它三角形原来的高再除以二。好，这是第三种，再看第四种， 同样的，我们找到这个三角形的中位线，这个时候呢，我们画啊，这条虚线和这条虚线是跟底是垂直的，也就是这个是长方形。那接下去我们把这个三角形呢给他移到这个地方，再把这个三角形呢移到这个地方，移完以后的话，这里就变成虚线了。 那么我们这个图形是怎么样转化的呢？所以是如图，把三角形所拼成一个长方形，你看现在拼成的是这个长方形了， 圆三角形是这个拼成了现在的这个长方形。接下去我们找一找，看圆三角形和拼成以后长方形之间的一个关系，圆三角形的这条 底，圆三角形的这条底是长方形长的两倍，这个怎么理解呢？你看一下，看我的鼠标，圆三角形的这条底是这条中尾线的两倍啊，这条中尾线就是现在长方形的长，所以圆三角形的底是长方形长的两倍， 圆三角形的这条高，看看就是圆三角形这条高等于长方形的宽，而圆三角形的面积跟这个长方形面积是相等的。好，第三步结论，因为长方形的面积是长乘宽的，所以三角形面积跟长方形面积是相等的，对吧？这个宽跟高是相等的啊， 长方形的长它是什么呢？是三角形底单一半，所以是底除以二再乘高，那么我们把它换过来以后就是底乘高除以二。 好，这是第四种，接下去讲第五种，同样的把这个三角形的中位线找出来，找出来以后呢，我这里画一条高，画好以后呢，我们说把这个三角形，看我的鼠标，把这个三角形移到这里了，对吧？然后呢把这个三角形移到这里了， 这样一来的话，上面这些是不是就没有了，对吧？一边移到这里，一边移到这里，所以这个地方我们有虚线，表示 这个虚线的高人就要补上去。所以第一步转化如图，把三角形沿中位线数剪开，拼成现在的这样一个长方形。第二步我们来去找一下关系，圆三角形的底， 它等于长方形的长，圆三角形的高是这条，对吧？圆三角形的高是这条是现在长方形宽的两倍。第三，圆三角形的这个面积等于长方形的面积。好，我们结论， 因为长方形面积是等于长乘以宽的，所以三角形的面积是等于底层高除以二，这个长跟这个底是一样的，对吧？ 这个高是三角形高的啊，这个宽是三角形高的一半，所以这个宽其实就是三角形高除以二。好，这样一来的话，这是第五种，我们解决掉了。 好，接下去讲第六种人，就把这个中位线找出来，中位线找出来以后的话，我们画了一个红色的这个。啊，这个是长方形，对吧？这里是垂直，这里也是垂直的，画完以后呢，就是把这块 三角形给它折过来。好，这里就变成虚线了。同样的把这个三角形呢，沿着这条红色虚线给它折过来，折过来以后呢，这里就变成虚线了。同样上面这个三角形呢，也是把它折下来 好，折下来以后的话，上面也变成虚线了。那我们发现什么是怎么样转化的呢？就是如图，把三角形竖式把它拼成一个长方形，沿着这些线，对吧？折下来 拼成一个长方形。第二，找一找关系，圆三角形的底是这一条对吧？是现在长方形长的两倍。我们刚刚说了，这一条底 是这条中位线的两倍，也就是是长方形长的两倍。第二，圆三角形的这个高是这一条，对吧？是长方形宽的两倍。圆三角 形面积是长方形面积的两倍，因为我们这样折过来，这也是折过来，这也是折过来以后的话，圆三角形面积是长方形面积的两倍。第三，结论，因为长方形的面积是长乘宽，所以三角形的面积就是底层高除以二。这里的转化我们再详细讲一下， 三角形的面积是不是应该是长方形面积的两倍，所以长方形面积乘二。呃，这个长方形面积的话是长乘宽，再乘上这个二。 长方形的这个长，我们刚刚说了啊，是三角形底的一半，也就是这个长就是三角形的底除以二， 这个宽是三角形的高除以二，再乘上这个二，然后把括号去掉，通过计算的话，它等于的是底乘高除以二啊，这里的转化可能稍微有一点点等，那你可以在内试表思考一下。 好，接下去我们对六种方法进行分类看。第一种方分法一，就上面这两个分一类，下面四个分一类。那上面的话都是用两个三角形拼成平行四边形或长方形的， 下面的呢，都是利用中围线把一个三角形拼成平行四边形或长方形。再看分法二 好也可以把这两个分在一起，他们都是转化成平行四边形的，把剩余的四种方法分在一起，都是转化成长方形的。好了，今天我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

今天呢，我来给大家讲一下海伦公式啊，我们看一下这道题，如图，已知锐角三角形 a、 b、 c 的三边长分别为五、七、八，现在要求该三角形的面积。那么这道题的常规方法是什么呢？我们在这是不是知道了这个三角形的三边长，那相当于是知道了这个三角形的底， 对吧？我可以任意选一个边作为他的底，比如说正常思维是不是会选择 bc 作为底，那我要求他的面积，我是不是只需要把 bc 边上的高给他求出来？所以在这呢， 我们过点 a 啊，去做这个 b、 c 的垂线，然后我们应该开始来列方程了，可以设这个 b、 d 为 x， 那我们的这个 d、 c 是不是就是我们的八减 x， 利用 a、 d 是左右两个直角三角形的公共边，我们可以列一个勾股定理的方程 啊，那就是五的平方减 x 的平方，他应该等于七的平方减去八减 x 的平方，因为他们都等于 a、 d 的方。那把这个方程解出来，我知道了 x 的长度，然后再用勾股定理是不是就可以把我们这个 a、 d 的长度求出来，那么面积呢？就求出来了，这个呢， 学校老师也会讲，所以我就不多说了。好吧，计算量比较大啊，当我知道一个三角形的三边长的时候，我们是可以利用海伦公式来直接求面积的。海伦公式是什么呢？ 就是 s 三角形，他应该等于根号下 p 乘上 p 减 a， 乘上一个 p 减 b， 再乘上一个 p 减 c， 这个里边的 abc 我估计大家能想到就是我们这个三角形的三边长啊，但是那个 p 是什么呢？那个 p 他叫做半周长，顾名思义，半周长是不是就是周长的一半？所以我们这个 p 啊，他是等于二分之 a 加 b 加 c 的，把周长除以二就是我们的 p 了。现在利用这个公式，我们来计算一下这个三角形的面积啊。首先我是不得先把这个 p 先算出来， 它的周长五加七等于十二，再加个八是不是等于二十？二十除以二，那是不是等于一个十了，对吧？首先得出来， p 等于十，那 s 就等于根号下 十乘上一个十减五，他等于五，十减七，他等于一个三，十减八，他应该等于个二。那么在这里边五乘二是等于十的，这个地方还有个十，那是不是里边有一个十的平方，开出来就是个十，里边还有个三开不出来，留在里边？所以我们 最后的答案十倍根号三。如果你会这个公式的话，求这种三角形的面积，那就非常快了。好的同学们呢，可以把这个海伦公式记下来。那今天这道题我们就讲到这里。