希望杯竞赛解方程技巧

花落公英在其解方程，这道题啊，综合核心非常强，所以啊，解法也非常特别，不要求同学们会做，关键就是欣赏一下这道题如何来解，拓展一下咱们的解其思维能力。好， m 加上根下 m 平方减一分之， m 等于二 b 的 根号二、 解方程，咱们首先先写一个解字，代表自信。解题之前，首先我们干什么？要确定它的取值范围，分母不能乘以零，根号也要大于等于零，所以啊，这个 m 平方 减去一，它必须大于零，不能等于零，对吧？它大于零，那么二倍的根号二是大于零的，说明 m 它是大于零的，这个 m 必须大于零，不能小一点，所以呢， m 是 大于零的，那么 m 平方减去一大于零，说明 m 要大于一， 最终就是 m 要大于一。好，这是它的取值范围。接下来我们可以假设， 假设七等于分子是 m， 分 母是根下 m 平方减去一，对吧？那么这样一来， m 加上七，是不是就是二 b 的 根号二？ m 加七就等于二 b 的 根号二，没问题吧？ 好，这里是一式，这里是二式，我们首先把一式给它平方一下。平方以后我们看啊，这里是七的平方，等于什么？ m 的 平方，下边就是 m 平方减去一了，整理一下， 七平方乘上 m 平方减一等于 m 平方，对吧？七平方， m 平方减去七平方等于 m 平方移过来，是不是 m 平方加七平方等于七平方乘 m 平方，所以呢， m 的 平方加上七的平方，对吧？就等于 m 平方乘上七平方。好，接下来咋办呢？接下来我们可以把二式也给它平方一下， 把二十也给他平方一下，那么这里是 m 平方加上七平方加上二 b 的 m 七，对吧？等于多少？二 b 的 根号平方以后就是八了。 m 平方加七平方等于什么？ m 平方乘七平方代进来，所以呢，它就是 m 平方，七平方加上二倍的 m 七，八移过来，是不是减去八就等于零了？ 分解因式怎么分解因式呢？我们学到这里啊， m 平方七平方加上二， m 七减去八等于零，是不是二四得八，这里是正好，对吧？这正好，所以说加四减二， 这里就是 m 乘七了，对吧？ m 乘七， m 七 m 七，它们相乘刚好是平方，所以呢，十字相乘，它们相加 刚好就是二倍的 m 乘七。因此呢，分解因式以后啊，就是 m 七加上四，括起来， m 七减去二等于零， 两数相乘等于零，要么它等于零，要么它等于零。好，第一种情况，当 m 七加上四等于零， m 七 等于什么？是不是等于负四啊？我们看 m 大 于零，这个七他也要大于零，所以啊， m 七等于负四，一定要舍去不合奇，它们相乘的积一定是大于零的。那么第二种情况， 当 m 七减去二等于零，那么 m 七等于什么？是不等于二？ 好，二是大于零的，符合其，那么七等于什么？七就是 m 分 之二，对吧？七等于 m 分 之二，咱们带到二十，带到二十以后，这里就是 m 加上 m 分 之二等于二 b 的 根号二 等式。两边同时乘 m， 这里就是 m 的 平方，它乘 m 减去二 b 的 根号二 m， 然后这里就是二了。二呢，就是根号二的平方。我少写一步啊，少写一步， 那么现在他就是完全平方失，所以呢，他就是 m 减去根号二，括起来的平方等于零，最终 m 就 等于根号二， 因为 m 是 大于一的，根号二大于一，所以啊，方程解就是根号二，这个方法呢，同学们可以欣赏一下，学一学。

我们看一下这道竞赛题，让我们解这样一个方程， x 的六次方减一等于零，那这道题呢？原题是要求我们在负数范围内解这样一个方程，也就是说 x 为负数， 那不少同学呢，直接一项 x 的六次方等于一，那由此得到 x 等于正负一即可，那其实呢，这是十数减，那没有考虑负数的范围，那因此呢，我们必须严格的来经过计算才能算出。 那首先呢， x 六次方，我们把它写成 x 的三次方，然后平方减一等于零。接下来我们利用平方差公式，应该得到 x 的三次方加一，然后乘以 x 的三次方减一等于零，那 二者相乘是零，说明他两个至少有一个是零。那第一种情况就是，如果 x 的三次方加一等于零的话，那接下来我们利用立方和公式应该得到 x 加一，然后乘以 x 方减去 x， 然后加一等于零， 那他两个相乘式零，说明 x 的第一个值应该是负一，那 x 的第二个值应该是借助于 x 方减 x 加一等于零来进行求解， 那这是一个一元二次方程。首先我们算一下，他的德尔塔等于 b 方减四 a c， 也就是一减四等于负三，那这样的话，他的德尔塔是小于零的，所以他没有时数减，但是他有虚数减，所以我们需要 通过球根公式来进行推倒，那 x 它应该等于二 a 分之负 b， 也就是一加减根号下 b 方减四， a c， 也就是负根号负三， 然后应该等于二分之一加减，那根号负三，应该是等于正负跟三 i， 那于是我们就得到 x 的第二个取值应该是二分之一加上跟三 i， 然后 x 的第三个去值应该是二分之一减去跟三 i， 那然后第二种情况应该是 x 的三次方减一等于零，那采用立方差公式，应该是 x 减一乘以 x 方，然后加 加上 x， 再加一等于零，那同理我们可以得到 x 的第四个取值应该是一，那第五个取值应该是二分之负一 加上跟三 i， 然后第六个去值应该是二分之负一减去跟三 i， 那因此这道题呢？这个方程他一共有六个减。

这道题是今年的希望杯竞赛的五年级的一道真题，学生问我的，我们看一下啊，水平正方形面积十六，阴影三角形面积为一， 那倾斜正方形面积是多少？这是一道填空题。首先五年级的孩子啊，当然可以利用方程来解题了，我最开始的想法是涉格未知数，想办法能不能把 清洗正方形的边长给搞出来。发现搞不出来啊，这个水平正方形面积是十六的话，那边长是四，对吧？这个四到最后一点都没有用上。 看到这个题，很多人应该能反应到什么一半模型，但是很明显他又不是一半，怎么办呢？我们给他做一条辅助线啊，在这个地点这过地点，做一条 条与 ef 和 ag 平行的线。那我们看一下，做这么一条平行线以后， 哎，这个时候多出来什么呀？是不是多出来上边一个长条的长方形，下边一个长方形啊，对吧？那我们把这叫做一 一，这边叫 f 一好了啊，那我们看啊，一一 f 一 ga， 这是新的得到的一个长方形， 这个长方形的话，他应该和正方形 abcd， 也就是说水平的正方形面积是相等的，为什么？还是啊？一半模型，我们同时再做这么一条辅助线，连接 dg 就可以了。连接 dg 以后，我们看三角形 dag 是不 不是正方形 abcd 的一半啊？是的啊，那同时他还是什么新得出来这个矩形 agf 一 e 一的一半，理解吗？他的底是什么？底是 ad 高呢？高是从地点往 ad 上做垂线，那和 e 一 到 a， 这应该是怎么着？应该是相等的。那我画出来啊，画出来，你好理解一点，那也就是说这个三角形的 第一是 ag 高呢？是这条线对不对？他面积应该也是这个长方形 eefega 的一半，那就说明什么？那就说明 新的长方形 eefega 和正方形 abcd 相相等，相等的话，那我们再看啊，这个 ef f 一 e 第一，这个长方形的面积如果我们算的出来的话，加上是不是就行了？那我们现在知道啊， eef e、 g、 a 的面积 等于多少？等于十六吗？他等于这个正方形的面积，对吧？上面这一块面积应该是多少呢？我们知道阴影部分面积是一，哎，既然知道阴影部分面积是一了，那 ef f 一和 e 一的面积是多少？是不是二啊？ 知道为什么吗？啊？又是一半对不对？阴影部分面积占了这个长方形面积的一半吧，对吧？所以这个新的长方形长条，这个长方形面积是二，那就十六加二等于十八，这道题就做出来了，听懂了吗？

这题啊，大学生做不出来，研究生也够呛，因为咱们没学过一元三次方程，怎么办呢？讲一个小学生能听懂的方法。首先解方程第一步先干嘛？写解，先把这个解写好啊。然后我们观察一下，这个是 x 的 三次方，也就是三个 x 相乘，对吧？后面加了一个，这个叫两万四， 这个是多少？二十四万，这个二十四万，他这俩数还挺像，这是一份，这是几分？这十份他的十倍，对吧？所以我们把它挪过去呢，过桥编号就变成减法了，对吧？相当于是几个？这个两万四啊，这十个减一个。 接下来我们发现啊，这个后面这个尾巴太多了，有点麻烦，于是我们给他，哎，写到旁边去，所以我写到这，你明白我要干什么了吗？他等于九乘二十四，再乘一个一千，哪个对你的暗示性就比较强烈呢？就他，你是三次方，一千是 谁的三次方？十十的三次方。所以到这你应该想到的是分解，什么东西叫分解知心数，给他分一分，如果我能把右边平均分成三份，那么每一份不就是 x 吗？好，接下来动手啊，开始。这个九我们写成三的平方，对吧？二十四呢，相当于又是一个三，三乘八，而八是二的 三次方。我们整理一下，他就等于 x 的 三次方，等于三的三次方， 乘上二的三次方，再乘上十的三次方，每个都是三次方。好，所以 x 等于多少呢？六十，它应该等于三乘二，乘十等于六十。六十非常好，下课。

竞赛题解方程，这道题解法呢，非常特别， a x 平方减去二 x 加六，等于根下二十五减去 a x 平方。按照常规思路就是两边同时平方，平方以后将会出现 a x 四次方，高次方程怎么解？很难解，那不平方咋办呢？所以啊，这道题呢，解法与众不同。 首先我们看等号左边 x 平方减去二 x 加上六，如何变化呢？ x 平方减去二 x 给它配方一下，是不是加上一啊？一加上五刚好等于六， 那么前面三项就是 a 可以 减去一括号的平方，再加上五，非负数最小值是零，加上五以后，那么它的最小值就是五了。大于等于五没问题吧。等号右边跟下 二十五减去 a k 的 平方， a k 的 平方最小值也是零，它取最小值，那么它们的差就是最大值，最大值二十五开出来就是五， 一个是大于等于五，一个小于等于五，它们是等号，所以啊，它们都等于五， x 平方减去二 x 加上六，它就等于五。同时呢，根下二十五减去 x 平方，它也等于五， 给它给它整理以后，就是 a x 的 平方减去二， a x 加上一等于零，也就是 a x 减去一括号的平方等于零。所以啊，这个 a x 就 等于一，对吧。 这里两边同时平方就是二十五，减去 a 四平方等于二十五，那么很明显，二十五减去一个数还等于二十五，这个数一定是零了。所以呢， a x 等于零， 一个是 a k 等于一，一个是 a k 等于零，能不能是等号？显然不能是等号，既然不是等号，所以啊，这个方程就没有解。此方程无解。所以啊，这个方程本身就没有解。

不会数学竞赛题，关键是你没掌握这个方法，你掌握这个方法三十秒就能出答案。好，我们一起来看一下这每道竞赛题。五洋杯的竞赛题，那让我们求这个方程的解哇，同学们，这题我们上常规方法肯定解不出来的，那么这题呢，我们需要 拆分，那我们把这个六呢给它移到左边去，那这个六呢？是三个二，我们给它分成什么呢？这边分成二零零六分之 x 减二，再减二啊，括号加。这边二零零七分之 x 再减二， 再加二零零八分之 x 再减二，等于零。那然后呢，我们对这个二二二进行通分，那这边就可以写成二零零六分之，这是 x 减二，这个可以写成二零零六分之四零一二再减二，就是 x 减四零一四， 那这边加。同样道理啊，二零零七分之 x 乘分减四零一四，加。这边二零零八分之 x 减啊，这边有个加二啊，有个加二，那这边呢，刚好就跟这个二约掉。以后呢，就是一个减四零一四啊，消掉 等于零通分，然后呢我们提取相同的分子出来，然后呢写作 x 减四零一四，提出来啊，能叫什么呢？二零零六分之一，加二零零七分之一，加二零零八分之一，然后等于零。 那同学们，因为啊，我们这个这个这个商家呢，是不可能等于零的，对吧？那我们就让谁等于零啊，只有让这个 x 减四零一四等于零喽，那我所以我们 x 就 等于四零一四了呀，上面写不下了啊，老师直接写结果了， x 等于四零一四啊，写不下去了啊，这边啊， x 就 四零一四， 那同学们啊，竞赛题我们也要认真思考与做题啊，掌握方法很重要，关注李老师，我们接下来继续做更难的题。

南京特长生数学讲解换元法巧解方程竞赛题，胡哥陪你学数学朋友们看一下经典例题啊，我们看一下第一题啊， 解方程，这是这个啊，有年的这个竞赛的题目，我们看一下啊，放大一下啊，好，我们看一下这道题目啊，他说这个我们能看出来啊，就是左边这个第一项啊，跟第二项啊特别相似，一样的，很像啊， 所以呢，我们对它做一下处理啊，为什么呢？我们看一下啊，这个提出来一个 x 十三减去什么 x， 然后呢？ x 加一是吧， x 照抄十三减去 x， 所以 什么 x 加一，那等于四十二啊，这一大块很象啊，是一样的啊，这是什么令，这个换元呐， 等于 y 啊，所以方程变成了什么 x y 那 x 加 y 等于什么？四十二啊？由刚才的换元啊， x 加一分之十三减 x 等于 y， 我 们把它乘过来，那推出什么推出十三 x 十三减 x 等于啊， x 加一乘以 y 啊，展开一下啊， x y 加上啊， x 加上 y 等于十三啊，仔细看啊， 重新写一遍啊， x y 乘上 x 加 y 啊，等于四十二啊， x y 加上啊，我这样写，可能大家更看得清楚啊，等于什么十三啊，这是每一个啊，常见的一个伟大定律啊，再令啊， x 加 y 等于什么？小 u 啊， x y 呢，等于小 v 啊，推出什么重写一遍啊， u v 等于什么？ u 乘 v 等于什么？四十二是吧？ u 加 v 呢啊，等于 u 加 v 呢，等于什么十三啊，所以呢？ u v 是 啊，方程 t 平方减十三， t 加上四十二等于零的 两个根，对吧，这个很容易进行一个十字相腾是吧，所以推出什么 t 减六六七四十二是吧？ t 减七等于零，推出 t 一 等于六， t 二等于七，是吧？ t 是 什么？ t 就是 啊， u 和 v， 所以呢， u 等于六， v 等于七，或者交换一下是吧， u 等于七， v 等于六啊，好，继续。 u 和 v 是 什么？ 看到没有？ u 在 哪里？ u 在 这里是吧？ v 在 这里啊，所以什么 x 加 y 等于 六， x 乘上 y 等于七啊，或者啊，交换一下， x 加 y 等于七， x 乘以 y 等于六啊，好， 我们继续啊，这个如果是一十啊，这个如果是二十啊，一十我们得到什么？ x 加 y 等于六， x 乘以 y 等于七啊，又来了，那所以 x y 是 方程 t 平方减六 t 啊，加七等于零的两个根啊， 推出 t 等于二分之负 b 啊，六正或负根号下，对了啊，算一下，三十六减去二十八， 好，直接划点一下啊，等于什么？三加正负根号二啊。好，我们看第二个啊， x 加 y 等于什么等于七， x 乘 y 等于什么等于六，所以什么直接看出来了啊，瞪眼都能瞪出来了啊。所以什么 等于 y 等于六，或者 x 等于六， y 等于一。好吧， 中上啊，因为是 x 啊，只有一个是 x 是 未知数啊，所以什么中上 x 有 四个减 啊，哪四个减一六啊，三加根号二啊，三减根号二啊。好，这题呢，基本上就讲完了，大家想一下啊，就是说我们呐， 把这个第一项给你们拆分了一下，然后呢，发现啊， 这块和这后面这块呢，它其实是一样的，所以我们换元啊，很容易想到这个换元啊，然后呢，用维大定律的立定力啊， 将这个啊，在这块用维大定律的立定力，就求出这个 x 加 y， x 乘以 y 啊，最终呢？求出来啊。好，这道题就到这里，谢谢大家。

这是一道希望杯的竞赛题，还是有一定难度的，他需要用到一些特殊的方法来进行处理，那么究竟是什么方法呢？我们一块来看一下啊，现在我们要把这个式子进行因式分解，那你现在观察一下这个式子，会发现他是目前呢是一个关于 x 的三次多项式，对吧？ 可能第一反应是我们要把它展开，然后进行分组分解啊，什么其他的一些操作，这个呢比较麻烦啊，那我们再观察一下，虽然我们的 x 它是一个三次的，但是有没有发现另一个字母，我们的 a 的最高次数是二次， 那这个时候呢？我们其实又可以用到我们之前提到过的叫做选主元法，哎，我把它换一个主元，我不要用 x 作为主元，我用 a 作为主元，那看一看我们有没有什么收获啊？第一步我们先把它进行展开，那 应该是 x 的三次方加上一个二 x 的平方，倍的 a， 请注意啊，我现在如果是选 a 为主元的话，那么你就要把 a 放在后边了啊，这样看起来比较清楚。然后加上 x 的平方，然后加上一个 x 倍的 a 的平方，再加上二 xa 减去一个 x， 后边呢是加上一个 a 的平方，减一好，开始来以 a 为主元，我们首先要挑 a 的二次方，对吧？这里边哪些是 a 的二次方呢？有一个 xa 的平方，有一个加 a 的平方，那么这两个我们提个 a 方出来，是不是 x 加一倍的 a 的方？好的，二次项处理完了，我们开始依次项， 这里边哪些是有 a 的一字项呢？应该有个二 x 的平方倍的 a 有一个加二 x a， 那我们要提一个 a 出来，是不是应该是我们 的二 x 的平方加上一个二 x 倍的 a， 剩下来的呢？就都不含有 a 了，把它们当做长数项，应该有一个 x 的三次方加上一个 x 的平方，再减 x 减一。好的， 我把它整理成了一个关于 a 的二次多项式，那这个时候我们可以怎么办呢？我们就可以十字相乘了呀，对吧？对于这种二次多项式啊，尤其是我们把它可以理解成二次三项式的时候，用十字相乘法来进行处理。 左边呢，这个地方现在有个 x 加一，那它只能分成一和 x 加一，而右边这一部分也就是我们的长竖向。这一部分其实应该是个分组分解，而且呢也比较简单， 因为我们前两个明显一组，后两个一组，前两个一组提个 x 平方，它是不是有一个 x 加一，后两 两个一组提一个负一出来，是不是也有个 x 加一，剩下的是不是 x 的平方，然后再减一，对吧？我们在这如果是十字相乘法，大家可以看一下这两个相乘是不是 x 的平方加二， x 加一， 这两个呢，就是我们的 x 方减一，再把它们加起来，有没有发现正好是我们的二 x 方加二 x， 因为你的加一减一抵消了两个 x 的平方，这一部分是不是还有个二 x？ 那我们的运气还比较好，直接我们这个十字相乘法就已经成功了啊，那下边我们就来整理一下呗。 对于这个东西，我们最后应该怎么写呢？这个一代表的是不是一 a 啊？所以应该是个 a 好，加上一个 x 加一， a 加 x 加一。好，剩下来的请注意，我们在这是不是有个 x 加一倍的 a， 然后 再加上一个 x 的平方减一，有没有发现它还可以再分，因为我的 x 平方减一它是个平方差公式，它是不等于 x 加一乘上一个 x 减一的。那说明我们第二个括号里边是不是还可以再提一个 x 加一出来，我们最后的这一个是不是个 a 加 x 减一 分解的结果呢？其实也有点麻烦，但是我们的技巧同学们一定要掌握，就是这种选主员法啊，你发现本来给的主员次数比较高， 而我们的参数的次数比较低的时候啊，尤其这种参数的次数是二次的时候。我们换一个主元啊，以 a 为主元就可以用十字相乘法了。这个方法大家学会了吗？我们就讲到这里。

好，来，我们今天看一道希望杯初中数学竞赛题，题目时解方程 x 方再加上 x 减一分之 x 的平方等于八。这道题呢，具体的做法如下，因为方程的左边是两个平方，和我们想办法给他配成 完全平方，怎么做呢？我们看第二项的分母是 x 减一的平方，所以呢，我们把第一项 x 方先给它变成 x 减一的平方， 你多减个二， x 是不还得加个二 x 啊？多加个一，再减去个一，然后再加上一个 x 减一的平方，分之 x 方，它是等于 八。然后呢，我们把这一给他移到右边，我们就可以得到了 x 减一的平方，加二 x 再加上一个 x 减一的平方。分车 x 方，它是等于九 好，左边是不正好是一个完全平方。看，正好是呢， x 减一， 再加上一个 x 减一分之 x， 它整个的完全平方， 那它的平方加它的平方，再加上它俩乘积二倍，是不是张等于二？ x， 它是等于九。 好，所以两边一开方，我们就可以得到 x 减一，再加上一个 x 减一分之 x， 它应该等于正负三。好，我们分别讨论一下，当 当 x 减一，再加上一个 x 减一分之 x， 它等于三。这时候呢， 我们给它去分母，我们就可以得到 x 减一的平方， 再减去个三倍的 x 减一，再加 x， 它是等于零的。好，我们把这平方给它打开， 在合并下同一项，我们就可以得到了 x 方减四， x 再加四，它是等于零的。好，这个方程的左边是不正好是 x 减二的完全平方， 它是等于零。所以呢， x 等于二，它是一个二。从根我们可以得到 x 一等于 x 二，它是等于二的。 好，我们在讨论，当 x 减一，再加上一个 x 减一分之 x， 它等于负三十呢？ 我们去分母，我们就可以得到 x 减一的平方，再加上一个三倍的 x 减一，再加 x， 它是等于零。我们把平方给它展开，在合并线同一 像，我们就可以得到了 x 方加二， x 再减二，它是等于零。我们用求公式求出它的第三个根和第四个根，它是等于呢？ 二 a 分之负 b 正负杠下 b 方减四， a c 正好减，正好是杠下十二十二呢，可以看成是三乘四，把四开出来，他就等于呢？二分之负二加减二跟三， 然后分子分母同时除以二，它就等于负一加减跟三。好，最终，因为四个分式方程这个中，经过检验， x 一等于 x， 二等于二， x 三， x 等于负，一加减二加减跟三都是方程的根。好，这道题呢，我们今天就讲到这，下次再见。

这么简单的解方程题，你不会做呀？不会。你记住，以后在指数上有未知数的方程题，你就用我下面讲的这两种方法全部都能解。第一种方法去指数法，第二种方法同共法。我们一个一个来讲。 首先，这是什么问题？解方程。先写解。解，什么叫去指数法？我希望把指数上这个 x 去掉，那我需要给方程左右同时做 x 分 之一次方，这样 x 乘 x 分 之一就消掉了，对，对不对？那你方程右边也得去乘一个 x 分 之一次方， 那方程左边 x 乘 x 分 之一没了，就剩三。方程右边就是 x 的 九乘 x 分 之一等于 x 分 之九次方。对，再接着给方程左右两边同时做。哦， 九分之一次方吗？这不就把九消掉了。对对对，那你左边为了让它相等，也得做九分之一次方。没错，也就是三的九分之一次方等于 x 的 九和九消掉，这就剩 x 分 之一次一。 哎，我们写到这了，有什么新发现？你想，如果 x 的 x 次方等于 a 的 a 次方，那我们就一定有 x 等于 a， 这就是同构造 同样的道理。如果 x 的 x 分 之一次方等于 a 的 a 分 之一次方，我们也一定有 x 等于 a， 那 我们这已经有 x 的 x 分 之一次方了。我把左面要是能变成 a 的 a 分 之一次方的形式就好了。嗯，三的九分之一次方怎么转换呢？ 它是不是等于三乘上二十七分之一，那右边我们还是不变 x 的 x 分 之一次方， 三次方等于七。对了，二十七的多少？二十七？二十七分之一次方，它等于 x 的 x 分 之一次方，所以 x 就 等于二十七，二十七这不就解出来了吗？学会了吗？