重庆一中八下数学函数

八、下数学最全的一次函数二十类题型，寒假吃透逆袭班级前三题型一，一次函数的概念题型二，根据一次函数的定义求参数题型四，列一次函数解析式并求值题型五，依次函数的图像题型八，依次函数的平移问题二十类题型突破，家长一定要给孩子打印学习！

同学们，大家好，我来自北京巴中，很高兴和大家一起开始今天的课程。函数是反应变量之间对应关系和变化规律的重要模型， 他在研究自然界和现实生活中的变化规律及解决相关问题有着广泛的应用。而依次函数模型是最简单的函数模型，我们称他为线性函数模型。我们今天课程的主题是依次函 函数综合运用。第一课时实际问题的应用。我们通过前面课程的研究，已经了解了函数以及依次函数的相关知识。 比如函数的概念、自变量取值范围表示方法、依次函数定义、图像性质、依次函数与方程不等式之间的关系等等。 我们今天课程的重点是研究某些现实问题中变量之间的相互关系。建立数学模型。 建立数学模型有很多种方式，比如以前曾经研究过的方长不等式等。今天我们主要研究建立函数模型，从而应 应所学函数知识去解决实际问题。利用函数模型解决实际问题的基本过程式。首先，根据实际问题分析变量，建立因变量与自变量的函数关系， 把实际问题转化为函数问题。其次，研究函数性质，把握变量之间的对应关系和变化规律，解决函数问题，从而得到函数问题的解。 第三，解释函数问题解的实际意义，从而求出实际问题的解。现在所呈现的流程图 就是利用函数模型解决实际问题的过程。下面我们通过三个具体问题继续回顾一下所学的函数知识。 一、某通讯公司每月收取月租费五十元， 每通话一分钟再收费零点四元。若某月通话 x 分钟，则话费外与通话时间 x 之间的函数解析式是什么？ 题目已经给了两个变量，分别是话费 y 和通话时间 x， 他们的关系是什么呢？没错，话费等于月租加通话费， 而月租费五十元是不变的。通话费每一分钟的收费标准是零点四元。所以得到函数解析是为 y 等于零点四， x 加五十。 实际问题要注意自变量的取值范围。在这个题目中，自变量是时间，不能是复数，所以 自变量 x 大于等于零。通过函数图像研究函数性质，使我们在研究函数时常用的方法。 所以问题二是请你画出第一题的函数的图像。 对于依次函数，只需要找两个点即可确定函数图像。比如我们可以找零五十和十五十四这样两个点画出函数图像。 因为自变量有取值范围，所以我们只需画出自变量取值范围内的直线的一部分。所以第一题中的图像是一条设限。 通过观察图像，我们可以更直观的了解话费和时间的关系。比如 x 等于零，所需费用最少，此时只有月租费，话费随着时间的增加而增加等等。 第三题如图两射线 a 和 b 分别表示甲、乙两人跑步路程和时间的关系。由图像可知，当 t 等于多少时，甲跑步的路程等于乙跑步的路程。 当替满足什么条件时，甲跑步的路程大于乙跑步的路程。 我们先分析题目，这道题已知给了图像，我们利用之前所学的方法观察图像。 首先观察横纵轴表示的意义。横轴表示时间，纵轴表示路程。其次，图像都呈上升趋势，而且 a 明显比 b 上升的要快，说明相同时间内，甲走的路程大于乙走的路程。也就是通过上升幅度的不同，可以判断出甲的速度大于乙的速度。 第三，我们再来观察图像的关键点。由图像可知， t 等于零时，甲的路程是零，乙的路程是二十，显然乙比甲要先出发，甲出发时才开始计时。 图像还有一个焦点 a， 此时横坐标 t 等于八，纵坐标都是六十四，说明 t 等于八十， 甲、乙跑步的路程相等。我们还可以得出，甲用八秒的时间跑了六十四米，乙用同样的时间跑了六十四，减二十，也就是四十四米。 通过这些特殊点，如果题目需要，我们可以求出甲、乙的速度、两个函数的解析式等等。 我们还观察到在焦点的左边，也就是 t 在小于八时，图像 a 在图像 b 的下方，这说明假跑步的路程小于乙跑步的路程 在焦点右边，也就是 t 大于八十，假跑步的路程大于一 跑步的路程。通过对图像的分析，我们再来看题目提出的问题，这个问题是否已经得到解决了呢？ 假跑步的路程等于乙跑步的路程，也就是图像 a、 b 函数值相等，此时 t 对应的焦点横坐标是八，所以 t 等于八， 假跑步的路程大于乙跑步的路程对应的图像 a 在 b 的上方的情况在焦点的右侧，所以 t 大于八。利用函数知识，我们很容易解决了题目中的两个 问题，通过函数解决实际问题时，研究图像是我们经常用到的方法。 通过上面的题目，我们回忆了对于实际问题列解析式画函数图像分析图像的过程。 在生活中，有很多问题都符合依次函数的模型，如匀速行驶的汽车、水费、付费、手机通话费等等，都可以用依次函数的知识来解决。 下面我们来尝试解决这道题。第一，某厂家在甲乙两商场销售同一商品，所获利润分别为外甲 外移。在这里单位是圆外假外移与销售量 x 单位是建。他们的函数关系如图所示。请你根据图像解决下列问题。 一、分别求出外甲、外乙与 x。 函数解析式 二、现在厂家有商品五百件，单独分配给假商场，或以商场分配给哪个商场，厂家获得的利润更高。请说明理由。 这道例题已经建立了函数模型，通过图像给出了条件。利用我们对于函数图像的认识来分析图像。 图像反映的是利润与销售量之间的关系还是首先观察横纵轴含义。 横轴表示销售量单位是贱，纵轴表示利润单位是圆。其次，我们看图像的趋势，外甲外乙都呈上升趋势，外甲一直以同样速度上升， 而外已开始上升的快。在二百件之后，上升趋势减缓，也就是利润增长放缓。 第三，我们观察图像的关键点。甲乙都经过原点，图像还有焦点 a， 他们的坐标是已知的，我们可以用刚才复习到的方法，在焦点以及焦点的左右两侧比较外甲和外乙的函数值的大小， 也就是利润大小。图像中还有一个关键点 b 二百四百，他在外椅的图像上。 在 b 点的左侧和右侧。函数的解析式是不同的。点 b 是这两段图像的焦点或者说分界点。 我们对于函数图像的这些认识，能否帮我们解决题目中的问题呢？ 任务一如何利用图像所给条件求出外加外已与 x 的函数解析？ 我们先来看外甲。有图可知，外甲是过圆点的直线的一部分，所以外甲是 x 的正比例函数。将点 a 横纵坐标带入 y 等于 kx， k 是不等于零的， 利用待定系数法即可求得外甲的解析式。具体求解的过程是设外甲等于 k e x， 在这里 k 一不等于零。 因为图像过点 a 六百四百八十，所以将 x 等于六百， y 等于四百八十，带入解析室可得四百八十等于六百 k。 一 姐。这个一元一次方程可得 k 一等于零点八，外甲等于零点八 x。 其中自变量的取值范围是 x 大于等于零。 我们利用待定细水法求出了外甲。用同样的方法，我们可以求出外乙。 外已与 x 之间的函数是分段函数，分为零到二百和大于二百这两部分。前一段 ob 过远点是正比例函数的一部分， 利用点 b 即可求出这部分的解析式。后一段设限 ba 是依次函数的一部分， 利用点 a 点 b 即可求出函数这部分的解析式。通过这种方法求得的外已式。 当零小于 x， 小于等于二百时，外已等于二 x。 当 x 大于二百时，外已等于零点二 x 加三百六十。 求函数解析式是大家比较熟练掌握的，就不再展示外移解析式的具体过程了。 已知函数解析式和图像如何比较函数值的大小呢？本题中函数值的大小对应的实际意义又是什么呢？比较函数 的大小，可以利用函数解析室将自变量分别带入求得的函数解析室，即可求出甲乙商场的利润。再去比较大小。我们也可以通过图像对函数值进行比较， 比如图中所示的情况，通过函数值位置直观判断利润大小。 图像位置越靠上的函数值越大。所以图中所示外已大于外假。实际意义就是在这个范围内，以商场的利润高 x 等于焦点横坐标时，则外甲等于外乙。实际意义就是。

这节课呢，我们总结一下球衣四函数解析式的一些常见类型啊。 嗯，类型一呢，是用两点的坐标，求依次按数解析式。这种题呢，是最基本的求解析式的方法了哈，就是直接带定系数法，把这个两个点的坐标带进去，得到一个二元一次防尘图，取出 k 和 b 的值来，然后就得到依次按数解析式了。然后看第一题， 已知一四函数 y 等于 kx 加 b， k 不等于零的图像，经过点 a 四三和 b 负二零这个一四函数的解析示威，那就是把这两个点分别带进来啊， 带进来之后呢，就会得到一个关于 k 和 b 的一元二次方程组啊，然后呢，不是二元一次方程组啊。嗯，然后求出 k 是等于二分之一， b 是等于一 好，然后就得到这个函数解析师了。第二题，已知一次函数 y 等于 ks 加 b， 当 x 等于三十， y 的值为六，当 x 等于负二时， y 的值为一。求这个意思。函数的解析师，这种题跟上个题是一样哈， 相当于就告诉你两个点的坐标，一个是三六，一个是负二一，同样的，把他带进来啊，得到一个二元一次防守组，然后求出 k 和 b 的直来，这样的话就得到这个函数解析师了啊。 然后第三种啊，第三题，以之函数 y 等于 ks 加 b 的部分字变量的值和对应的函数值，如下表所示。求这个依次函数的解析式 啊，那他告诉了这些对应的量啊，自变量的值，函数值，这边量函数值啊，他告诉了四个，实际上我们用到两个就可以求出这个一次函数的结 试了啊，或者是看到这个零六的话，就得就知道这个 b 的值就是六啊。哦，他是把这个负二和零，然后零六带入了 y， 等于 k 加 b。 同样啊，跟前面是一样的，得到一个二元一次方程组求出 k 和 b 的值来，就得到计息时了。 你好，嗯，这三这三个表达方式呢，都是一样的哈，实际上他的本，他的根本都是一样的啊，就是知道了两个点的坐标啊，像第三题的话，是知道相当于是知道了四个点的坐标，那就更容易求解析师了啊。 啊，例行二呢，是利用平移求一次函数解析式平移，这里包括点的平移，直线的平移啊，以后还会学其他的函数啊，反比例函数啊，或者是一元，嗯，二次函数啊，这些呢，实际上 都是有平移的啊。好，第四题，在平面直角坐标系中，点 b 负三三在直线 l 上。 嗯，将点 b 先向右平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度，得到点 c， 点 c 也在直线 l 上。求直线 l 的解析室。 注意，这个直线 l， 一个是点 b 在这个直线 l 上。另外呢，这个点 b 移动之后得到的那个点 c 也在这个直线 l 上，也就是 bc 两点都在直线 l 上。 b 点的坐标已经知道了，如果我们知道 c 点的坐标，那就可以得到一个二维码， 所以呢，哈，我们首先要得到这个 c 点的坐标，通过点的平移得到 c 点的坐标。点的平移需要注意哈，点的平移向右平移的话， 是他的横坐标去加对不对？平移几个单位长度，那就加几个。向左平移是横坐标减，向上平移是纵坐标加，向下平移是纵坐标减啊，这几点要搞清楚，那我们看一下这个 b 点得到平移之后，得到的这个 c 点，他是如何得到的。 嗯，将点臂先向右平移，向右平移一个单位长度的话，那就是横坐标加上一，就是负二了，对不对？然后再向下平移两个单位长度，向下平移的话，就是要中坐标去减三，减二等于一， 那得到的 c 点坐标就出来了啊。 c 点坐标，你看负三向右平移就是横坐标加上一，向下平移就是中坐标去减去二啊，得到这个负二一，就是 c 点坐标是负二一，然后再把这个啊设直线 l 的解析是为 y 等于 ksi， 然后把 b 点和 c 点的坐标带入进来啊，带入之后得到 kb 的二一次方程组，求出 k 和 b 的直来，就得到这个直线 l 的解析师了啊。那实际上我们最根本的求直线解析师最根本回到最原始的做法就是 把两个点的坐标带进去啊，就想办法求出，想办法得到这个直线上的两个点的坐标，然后把它带入进去，就可以求直线机器师了。 好，再看第五题，以至依次函数外等于 k i 加 b 的图像，经过点一、负二和二零，将该函数的图像向左平移三个单位长度求平移后的依次函数的解析式。 嗯，像这样的题的话，是有两种做法的，一个是直接通过直线平移的顶，那直线平移的那个方法去做，另外呢，就是通过点的平移啊。 嗯，这个他的截法呢，就是用直线平移啊，他是先求出 这个函数的解析师， y 等于 ks 加币，然后呢，再通过平移求出平移之后的函数。解析师啊，那先求这个一次函数解析师的话，就是把这两个点，因为他经过了这两个点吗？把这两个点带入进来 啊，就可以求出 k 和 b 的直来，然后得到的这个一三数减七十，是 y 等于二， x 减四，然后他说是将该函数，就是将这条直线啊向左平移三个单位长度，注意左加右减，上加下减啊，这是直线平移的 方法哈。左加右减，注意这个左加右减的话，他这个题就是向左平移三个单位长度，这个三是加在 x 上的啊，就加在 x 上的， 不是加在整体的函数上的啊。所以呢，他是你看 y 等于二个四加四，他向左平移都三个单位长度，左加就在 x 上加去加上这个三，注意这个是加括号的啊， 一定要加上括号，指的是 x 变成了加 x 加三啊，然后呢，再化减得到了，是二 x 加二啊，这是那个平移的方法啊，就直线平移怎么来得到的啊？记住一点 啊，直线平移，上加下减，上加下减的话，就是在整个函数后面去加上或者是减啊，然后左加与减是指在 x 上去加或者是减啊，这一点要搞清楚， 我们再看第六题，如图，直线 y 等于二， x 加六，与 x 轴相交于点 a， 嗯，与 y 轴相交于点 b。 第一题呢，是求出 ab 两点的坐标啊，这个题比较简单啊， b 点的坐标很容易哈，就是零六，对吧？就是这个值啊，然后 a 点的坐标就是另 y 等于零，对吧啊？在 y 等于二 x 加六当中，当 y 等于零时， x 等于负三 啊，当 x 等于六十， y 等于六，所以 a 点的坐标是负三零， b 点的坐标是零六啊。我们看第二题，平移直线，使其余 x 轴相交于点 p， 且 op 等于两倍的 oa 啊，刚才这个 oaa 点的坐标已经有了，是负三零，那 oa 的长度就是三，对吧？他说 op 呢，要等于两倍的 oaop 的长度也就是等于六，对吧？ op 的长度是六，这里需要注意的是， 他有，可他是通过平移，有可能平移到这边啊， op 等于六，也有可能平移到这边， op 等于六，所以他是两。有 两种情况的啊，那屁点的这个坐标实际上就有了哈，要么是六零，要么是负六零，对吧？屁点坐标啊，然后呢，这个 因为他是平移的，还记得吗？那平移之后的这条直线跟 ab 这条直线肯定是平行的，那也就是平移之后的这条直线的 k 值是等于 ab 这条直线的 k 值的，也就是等于二啊，也就是说他只有一个位置数，也就是那个 bb 的值啊， 让我们看一下，因为 a 负三零，所以，嗯， oa 呢，是等于三，因为 op 等于两倍的 oa 就等于六，所以 p 点的坐标呢，是负六零或者是六零，对吧？ p 点坐标已经得到了啊，然后设平以后，直线为 y 等于二， x 加 b， 注意，为什么他这个可以设 二，因为直线 ab 去平移，平移之后，他的直线跟他是平行的，平行的话，那他们两个的 k 值是相等的啊，这一点要注意。所以呢，那我然后就把这两个 p 点啊带入进去，会得到两个函数及其。是啊， 将负六零带入啊，得到 b 是等于十二，所以呢， y 等于二， x 加十二，将六零带入呢，得到的是 b， 是等于负十二，所以呢， y 等于二 x 减十二 啊，所以平移之后的直线解析，是的话，有可能是这两个啊，万一等于二 x 加十二，或者是万一等于二 x 减十二啊，这里需要在熟练掌握以前的学习的一些小小的知识点啊，平移之后，两直线平行，然后他们的 k 值相等 啊，类型三呢，是利用面积求依次函数的解气势啊。我们看一下第七题，在 平面直角坐标系中，直线 y 等于二分之一， x 加 b， 分别交 x 轴与点 a， 交外轴与点 b， 那个这个外轴的这个点 b 的话，就是，另 x 等于零，那这个 b 就是他的动作标，就是这个 b 啊， 横坐标的话 x 交，嗯，与 x 轴交于点 a 吗？就是另外等于啊，就可以得到这个 a 点的坐标，当然是含有这个 b 这个位置数的啊。 然后他说，且三角三角形 aob 的面积呢，是等于四，则直线 ab 的，这些是 注意，这里需要考虑。我们知道了这个直线的 k 值，也就是他是斜着向上的，但是这个 b 有可能是正的，有可能是负的，所以他有两种情况，一种情况是这个样子啊，就是这个三角形 oab 的啊，三角形 oab 的面积 十四，还有可能哈，是这个样子对不对？还有可能是这样，因为这个 b 他的正负不知道，那这个 oab 他的面积是四，包括上面这个，也有可能是 oab 是四，对不对？但是不管怎么样，我们都可以通过什么呢？ 用点的坐标，用 ab 两点的坐标来表示出 oe 的长度， ob 的长度，然后根据面积去求出那个位置数，就是那个 b 的值啊，我们看一下怎么做的哈， 另外等于零 x 的话是等于负二 b， 对不对？另外等于零的话， x 是等于负二 b， 另 x 等于零 y 呢是等于 b， 这样就会得到 a 点的坐标是负二 b 零 一点的坐标呢是零币，注意这里的币值呢，不知道正负哈，所以我们用它那欧一的长度的话，就是二二负 o 二 b 的绝对值， o b 的长度的话就是负，就是 b 的绝对值，对吧，这是 o a 的长度，这是 o b 的长度，然后他们面积就是三角形， o a， b 的面积就二分之一乘以负二， b 的绝对值乘以 b 的绝对值，对吧？然后呢，等于这个四， 这个是相当于是二分之一乘以负二的话是等于负一吗？啊，那相当于就是 b 的平方是等于四，这样就可以求出 b 的值呢，是等于正负二，所以呢，这条直线解析是有可能是 y 等于二分之一， x 加二，或者是 y 等于二分之一 x 减二啊，对于这里要分情况讨论啊 啊，类型四呢，是利用对称求伊萨哈数进行时，这个对称哈，包括点的对称，还有直线的对称，而且还分为关于 x 柱对称，关于 y 柱对称，关于圆点对称啊 啊，而做题的时候，我们往往在做题的时候呢，就是用到点的对称啊，第八题啊，我们通过具体的题来分析啊，第八题，已知直线 y 等于二， x 减一，求他关于 x 轴对称的直线所对应的函数解析是， 注意这个直线已经有了啊，然后求他关于 x 轴对称的直线，注意这条直线跟要求的那条直线。 关于 x 轴对称的话，那他直线上每一个点，每每一组对应的点，他都是关于 x 轴对称的，对不对？那我们找出这条直线上的两个点，然后求出呢？他关于 x 轴的对称点来， 那知道了对称点的那个坐标，把那个，把那两个点的坐标带入，就是我们要求的这个直线。解析师就可以求出 kb 的直来啊，就能够得到函数 解析师了。好，这是是这么的一种思路啊，你看，在直线 y 等于二， x 减一上，任意取两点 a 零， x 等于零的话， y 是等于负一啊，然后 b 就是 x 等于零点五的话， y 是等于零 七，关于 x 轴对称的点的坐标为 a 撇零一。注意，关于 x 轴对称的话，想一想，两个点哈，两个点关于 x 轴寸对称，它的横坐标是相等的，不变的，而纵坐标是变成了相反数，对吧？所以呢，它变成 a 撇的话是零一， b 撇的话，就是横坐标不变啊，还是零点五纵多标相反数还是零啊。设置线 a 撇 b 撇的解析是为 y 等于 ks 加 b， 然后把这两个点的坐标带入进来，求出 k 和 b 的之来， 就求出来我们所求的这条直线的机器式了啊，是 y 等于负二， x 加一啊。 第九题，已知直线 y 等于二， x 减一与直线 l。 关于 y 轴对称，求直线 l 的解析是，那这个题跟上面这个题呃呃，唯一不同的地方就是一个上面是关于 x 轴对称，这个呢，是关于 y 轴对称同样的方式啊，先在这条直线上任取两点 啊，任取两点，一个是 a 零负一， b 零点五零，然后呢，这两个点关于外轴的对称点啊，注意，关于外轴对称的话，是他的动作标不变，横坐标变为他的相反数啊， 所以呢， a 一撇就是零负一，他的动作标不变，横坐标相反数，零的相反数还是零啊，然后 b 一撇，横坐标变为相反数，就负零点五，动作 标不变还是零。然后呢，再设我们要求的这条直线解析师呢，是 y 等于 k 加 b， 把这个 aa 撇 b 撇两点的坐标带入进来啊，求出 k 和 b 的直来，就得到我们要求的直线解析师了啊。 好，第八题呢是关于 x 注对称，第九题是关于 y 注对称。好，第十题已知直线 y 等于二， x 减一，如于直线 l。 关于原点对称，求直线 l 的解题是，注意，关于原点对称的时候，他的每个点的话，横纵坐标都变成相法数啊。 同样还是要取这直线上的任意两个点，还是 a 零负一， b 零点五零啊。然后呢，他关于原点对称的点的对标， a 点对应的 a 撇的话，就是横坐标变成相反数，纵坐标也变成相反数啊， b 点也是一样哈，横坐标变成相反数，纵坐标 也变成相反数啊，这一点要记住啊。就是关于圆点对称的话，横纵坐标都变成原来的相反数啊。然后还是设直线 l 的解析师为 y 等于 ks 加 b， 然后把这两个点带入进来，这样就取出 k 和 b 的直来，就得到要求的直线解析师了 啊，这里哈，我总结一下这这些知己点啊，直角坐标系中点的对称啊，一呢是关于 x 数对称的话，那是横坐标相等 动作标护以相反数。关于外轴对称的话，纵左标相等，横坐标互以相反数。关于原点对称的话，那横坐标和纵作标都互以相反数啊，这就是这个，这一点非常重要，要把它记住啊。 然后呢，这个第八九十题啊，都是最该买的方式呢，他要让我们求一条直线的解释，是还是要求出，还是要想办法找到这 这条直线上两个点的坐标啊，这是根本。然后我们看第十一题，已知直线 l 过 a 三零 b 零三两点，将直线 l 绕点 a， 按逆时针方向旋转九十度，交外轴与点 c， 求直线 ac 的解析式。这道题哈， 他在姐心里呢，没有画图哈，我给画了个图啊，我们做函数题，最最好是要多画图啊，通过图像去做题比较简单啊， 点 a 呢是三零，点 b 呢是零三啊，然后呢，他将这条直线 l 呢绕点 a， 逆时针就往这个方向旋转，旋转九十度，那不就变成这样了啊，变成了这样，然后呢，教外轴呢与点 c 啊，求直线 ac 的解析式。因为这里的 ooa 是等于三， ob 也等于三哈，长度是三，这是一个等腰直角三角形，这是四十五度，这也是四十五度，那他这样旋转九十度过来之后呢，这个角也是四十五度，这个角也是四十五度，那这就是一个等腰直角三角形， 对吧？那所以的 c 点的坐标很容易得到，是零负三哈。那既然知道 a 点的坐标和 c 点的坐标在求直线 ac 的解析师的话，就把这两个点带入进去就行了，是吧？ 好，因为点 a 是三零， b 是零三，所以 oa 等于 ob， 所以呢，三角形 oab 是等腰直角三角形，所以叫 oba 是等于四十五度 啊，右直线 l 绕点 a 逆时针旋转九十度，所以叫 bac 啊，他是等于九十度 bac， 那 bca 的话就是四十五度啊，所以呢，这个三角形 bac 呢，也是一个等要直角三角形啊， 要不是 abc 了啊， abc 一样啊，是等幺之交三角形啊，所以呢， c 点坐标就是零负三啊。然后呢，再把这个 a 点和 c 点坐标带入进来啊，我们设的这个 abac 的解析师瓦尔顿 ksib 啊，带入之后呢，又得到一个二元小防城组，求出 k 和 b 的之来，就得到这件 ac 的解析师了 啊。这个题涉及到了一些图形的问题哈，只要涉及到三角形啊，矩形啊，或者是直线的绕着旋转呀，直线的平移啊，最好是画图去研究一下啊，画要善于去画图啊， 好类型六呢，是利用全等模型。求一三函数解析式啊，看一下这道题，如图，在平面直角坐标系中，已知点 a 负一零啊，在这里哈， b 零三，直线 bc 交托标注与点 bc， 且角 cba 等于四十五度， cba 等于四十五度，这个角等于四十五度。点 m 在直线 bc 上，点 m 在直线 bc 上，且 am 垂直于 ab。 求直线 bc 的解析师好，还是求直线 bc 的解析师？我们要需要知道他这条 bc 上两点的坐标， b 点的坐标已经有了，是零三。然后呢， c 点的坐标啊，不好求啊， m 点的坐标， 那我们想办法求一下 m 点的坐标，如果知道 m 点的坐标就可以求 bc 的解析师了，对吧？那这里需要注意的是哈，这里有个直角啊，嗯，我们要求 m 点的坐标的话 就是横坐标，动坐标的话，我们是不是要求助这个 m 啊，加上这一段的长度，因为 ov 的长度是得到的啊，是等于一吗？那如果求出这个 o 到这里 m 这一段的长度，那是不是就知道了 m 的横坐标？然后如果再求出这个这一段的长度，那就知道了 m 的纵坐标，所以我们想办法是求这个哈，就是 m 啊，这里吧， m 从过点 m 向 x 轴做一个垂线啊，交 s 轴与 n， 就是我们要想办法取出 an 的长度和 mn 的长度来，就容就知道了 m 的横坐标和动作标了啊， 这里呢，遇到了我们就需要用到我们以前学的那个全等了啊，三角形的全等，因为这两个三角形很明显是全等的哈， 这样才行。那全等之后就可以得到线段的长度了吗？得到线段的长度就可以得到这个 m 点的坐标了吗？啊，这是总体出路啊，好，如图啊，过点 m 做 mn 垂直 ac 余点 n， 因为点 a 呢，是负一，零， b 是零三，所以 ao 等于一， obo 等于三， 因为角 cba 等于四十五度啊， cba 等于四十五度，这个角是四十五度， am 垂直于 ab， 所以三角形 abm 是等于这角三角形啊，这个三角形是等于这角三角形，所以呢， am 等于 ab 啊， am 等于 ba 啊，这就是得到了这个这两个三，因为我们要正值两个三角形全等啊，一条边相等了啊，然后因为角 manman， 这个角哈， 加上角 bao 啊，这个角加这个角是不是九十度？然后呢？角，这个角哈，角 abo 或者是 b 啊？啊， abo 加上角 bao 也是等于九十度，所以呢，这个角和这个角是相等的哈 啊，所以呢，叫 man 等于角 abo， 这两个角相等啊，好，边角再加上直角，对吧？啊，直角边 啊，角角边啊，角角边啊，所以呢，这个这两个三角形是全等的啊，全等的，所以呢， mn 就等于 ao 等于一 啊， an 呢，就等于 bo 等于三。好，他的长度有了啊，他的长度有了， an 是等于三的话，那 on 就等于四，因为 ov 是一吗？啊，他的长度是四，那 m 的横 坐标就有了，就是负四。 mn 的长度是等于一，那 m 的动作标就有了，是一好， b 点的坐标有， m 点的坐标有了。求 bc 的解析。是把这两个点的坐标带入 y 等于 ts 加 b， 对吧？把 m 负四，一 b 零三带入。 这个解析师啊，就求出 k 是等于二分之一， b 是等于三，所以呢，这样就得到直线 bc 的解析师了。 y 等于二分之一， x 加三 啊，这个题呢，综合综合运用到了啊，全等三角形，全等三角形，为什么要用全等三角形去做呢？ 是我们需要求一个点的坐标，而这个点就要求这个点的坐标需要一些线段的长度啊，而全等就是为了去求这些线段的长度啊。好，讲到这。

今天我们讲平行四边形的存在性，老规矩，看视频之前先暂停一下，把题目通读一遍，最好是自己做一下啊。 那我们看直线 y 等于负二分之一， x 加上一个三，它与这个 x 和 y 轴分别交于 a、 b 两点， a 在这里， b 在这里。那么解析式告诉我们， a 点和 b 点的坐标马上可以出来吧。那么 b 点对应的是三，那么这个 a 呢？ a 的另这个，哎，另这个 y 等于零嘛，可以算出 x 是等于六的啊。 接下来他把这个 c、 b 啊，线段 c、 b 绕着 c 点顺时针旋转九十度，还要把这个 c、 b 旋转，顺时针旋转九十度，得到了一个 c、 d 啊， 并且这个地点正好落在这个直线 ab 的上面啊。那我们看三角形 b、 c、 d， 它是一个什么三角形啊，对吧？ b、 c、 d 旋转啊，旋转九十度，那当然啊，这个 b、 c 还和 c、 d 是相等的，这是一个等腰直角三角形吗？ 他过点地做底翼，和这个 x 垂直，这里有垂直，这里是不是还有垂直啊？一线三垂直的全等是吧？那我们马上可以得到这两三角形，全等，全等，八年级上册已经做烂了，不做了啊。我们看第二题， 将这个 b、 c、 d 三角形沿着 x 轴的正方向啊，正方向就是向右呗，向右平移，得到了这个三角形 b 一撇， c 一撇， d 一撇啊。来，我们看，这是 b、 c、 d 把它向右平移，得到了 b 一撇， c 一撇， d 一撇啊，这样做，这样子平移的，那么并且平移的时候， b 一撇， c、 c 一撇，它正好经过底点啊，然后要求我们 b、 c、 d 三角形平移的距离以及低点的坐标啊。那么 b c、 d 三角形平移的距离是谁？是不是从 c 点平移到 c 一撇点？那也就是要去求 c c 一撇的长度等于多少，对吧？那我们回过头去分析一下吧。那我们第 一问是不是得到了，这是一线三，垂直的全等的，那么全等了之后，边和边相等 b o， 它应该等于 c e 吧？ b o 的长度是三，所以 c e 的长度是不是也是三？那我们假设这个，呃， o c 的长度为 m 吧， 那么底 e 的长度是不是也是 m？ o c 又等于底 e 啊？那么接下来我们这个底点坐标是不可以表示的，那横坐标是 m 加上一个三，纵坐标呢？纵坐标是不是就是 m 啊？ ok， 这个能理解吧？横坐标，纵坐标啊。 呃，那么由于这个地点是不是在这个直线 a b 上面，我们代入就可以得到负二分之一 x 换成 m 加上一个三， 然后再加三等于 m 八，那把这个解一下啊，负二分之一 m 加减去二分之三，再加上二分之六，所以加上二分之三等于 m， 那么移过去就应该等于，呃，二分之三 m 等于 二分之三，所以 m 等于几啊？ m 等于一吧， m 等于一，所以底点的坐标是不是出来了？底点坐标是四到一， ok， 很关键的一个数据啊，底点坐标搞定了，那我们接下来去求这个距离 c 一撇 c 的距离怎么求啊 啊？首先我们看这个 m 求出来了， m 等于一啊，那么 o c 的长度是，别错了， o c 的长度是不是一啊？ o c 的长度是一，那么 o b 的长度是三，然后 c e 的长度是什么？ c e 的长度是三八，这，这第一题已经搞定了啊，上面已经搞定了啊， 那我们接下来看要去求这个 c 撇 c 这段又应该怎么办呢？啊？看一下啊，怎么办？ 其实这里面啊，这里面有平移，平移的话就有平行线嘛，你看这个 b c 和这个 b 一撇 c 什么关系啊？是不平行的，那么只要是平行的，它俩的斜率也就是 k 值肯定是 一样的，对吧？那么对于 bc 直线而言，他的 k 值等于多少？他的 k 值应该是用这个 b o 除以 o c 是吧？ b o 除以 o， c 等于三，那么这是向右下的吧，所以他的斜率应该是负三，对吧？你可以用这个代替系数法做啊。 k 等于负三，那所以现在比一撇 c 撇，他的这个斜率是不是也等于负三啊？所以我们可以收他的解决思维。 y 等于负三乘一个，呃，负三 乘以 x 再加上一个 b 吧，那我们接下来底点是不是在这个 b 撇 c 在上面， b 撇 c 一撇在上面，对吧？那么底点坐标是四到一啊，四到一，那我们是不是又可以代入啊，对吧？又可以代入，那我们可以得到代入，得到负三乘以一个四，再加上一个 b， 他等于一吧，那于是可以得到解到 b 等于多少？ b 是不是等于十三啊？对吧？那所以现在比一撇 c 撇，他的这个解， 提示他应该等于 y 等于负三， x 再加上一个十三吧。结式搞定了，那么他跟我们这 x 的焦点是一撇的坐标，可以搞定吗？那么怎么做？是不是在这里边另，这个 y 等于零啊，可以得到，呃，负三， x 加上十三等于零，觉得 x 等于三分之十三， 那所以 c 撇在这个 x 上对应的数是三分之十三啊，而我们 c 点呢， c 点对应的数是一样，它俩一减是不是就搞定了？所以 c c 撇 他就等于三分之十三，减去一，结果应该等于三分之十，于是我们平移的距离是不也 ok 了，对吧？那么这里啊，我们最关键的是要去求 c 点 c 撇的这个坐标， c 撇坐标，我们把这个 b 撇 c 撇他的结式求出来啊， 那么这个解析式又怎么求呢？它跟我们 b、 c 是平行的，所以它俩的 k 值是相同的，斜率是相同的啊，通过这样 操作啊，那我们来看第三题吧，第三题就涉及到平行四边形的这个存在性啊， 来我们看，他说 p e 点在 y 轴上， p 点在 y 轴上， q 点在直线 a b 上，要去求 c d p q 的一个顶点啊，这个四个顶，四个，四个点作为顶点的平行四边形啊，那么存在，那我们求出 p 点的坐标啊，那么以 c d、 p q、 cdpq 作为一个顶点的四边形， c 点是定点，底点是定点，他们俩坐标是不是之前可以求出来的，对吧？之前我们求出来，这里是一吧，这里是四到一，对吧，他俩是一定的，那么这两个点是定点， 那么 p 一点在这个 y 轴上面运动啊， p 点呢？可能在这里，可能在这里，对吧？那么 q 点在，呃， q 点在 a b 上运动呢？可能在这里，是吧？还可能在下面，是吧？如果你想去 把这个图画出来，是非常困难的啊，非常困难的，那么这里啊，啊，对于这种两栋两定这样的平行四边形的存在性啊问题，那么应该怎么样去做呢？比如这里有个平行四边形，他在一个坐标系里面啊， a、 b、 c、 d 这四个点的坐标都告诉你了，我们来看 x 一 x 三，包括这个 x 二， y x 四，它们之间有什么样的一个联系啊？那对于这个平行四边形而言，它的对角线是互相平分的，是吧？所以 o 点它是 a、 c 的一个什么点，是不是终点呢？ o 点是 a、 c 的终点，那所以现在 o 点的横坐标 x， 它应该等于二分之一 x 一加上 x 三吧，也就是 a 点和 c 点的横坐标之和，再除以二，对吧？那么 他的重则标，重则标，是不是应该等于二分之一，这个 y 一加上一个 y 三呀？对吧？那么同理， o 他为这个比例的 一个终点啊，终点，那么此时这个 x 它就应该等于二分之一 x 二加上 x 四，然后 y 它应该等于二分之一 y 二加上一个 y 四，对吧？这是终点公式公式啊， 那么这个 o 是同一点啊，对吧？那所以这个 x 和 x 是相等的，那也就是二分之 x 一加上 x 三，它等于二分之 x 二加上 x 四，对吧？ 那么这里和这里是不是可以约一下？那可以得到， x 一加上 x 三等于 x 二加上 x 四，也就是 a 点和 c 点的横坐标之和，等于 b 点和 b 点的横坐标之和。那么如果他给你三个点的坐标，让你去求第四个点的横坐标，很简单，对吧？ ok， 那么同理啊，这个 y 一加上一个 y 三，这里啊，他是不是应该等于 y 二加上 y 四啊？这个公式啊，这个公式就是我们处理平行 四边形存在性的一个通用公式啊，尤其是像这样的复杂的拼音，四边形的存在性啊，像这样有两个，两个定点，两个动点啊，这类问题啊，我们就这样来解决啊，那我们看一下啊，如何来破解它。 他说 p 点在这个 y 轴上面， p 点在 y 轴上面，我们就假设这个 p 点的横坐标为零，然后纵坐标为 t 吧，可以吧？ 那么 q 点在这个直线 a b 上，直线 a b 的方程是不是给我们了，对吧？那所以我们可以设这个 q 点的横坐标为 n， 那么众坐标是不是就应该是带进去得到负二分之一 n 再加上一个三吧。什么再加上三？ 那么 c 点和底点是不是也告诉我们了， c 点是一到五零啊，那么这个底点是四到一，对吧？那么此时他要我们去看平行四边形，那我们又有一个方法啊，一个特 特别重要的点要分类讨论，那么这里分类讨论，你可以尝试去画一下这些图啊，特别难画，你不知道这一点在哪里啊？而且啊，很你要去先画图的话，很容易很容易遗漏啊，一定会遗漏啊， 那我们看一下有什么样的方法呢？我们的分类讨论方法是研究他的对角线啊，对角线，以他的对角线作为一个出发点，那比如我们第一种啊，如果是个 c d 为对角线啊， c b 为对角线， 那么 c d 为对角线的话呢？我们根据刚才的这个公式的， x 一加上 x 三等于 x， 二加 x 四，那我们是不是可以列出一个方程啊，对吧？ c d 啊， c d 的两个 x 相加啊，那就是一加四，对吧？ 一加四等于这个 p q 啊，它俩的相加，是吧？所以 n 加上零，对吧？那么同理，呃，还 还有这个零加一应该等于 t 加上这个，这个什么后面，是吧？那么零加一等于 t 加上啊， t 应该减去二分之一， n 再加上一个三啊，那么此时这是一个二元一次方程组，是吧？那我们可以把这个 n 解出来， n 减出来应该等于多少？ n 应该等于五吧，那么代进去啊，代进去我们可以得到 t， 这里是二分之负二分之五，再加上一个二分之六，得到二分之一，所以 t 应该等于，呃，二分之一啊， t 等于二分之一，看一下啊，验证一下 n 二分之五， 对了啊， t 等于二分之一，那么所，所以此时这个 p 点的坐标是不是已经出来了？ p 点坐标，它横坐标为零，纵坐标为二分之一啊，然后 q 点啊， q 点，它的横坐标为 n 就是五，纵坐标应该是 负啊，中坐标应该是二分之负，二分之五加二分之三啊，二分之一，对吧？那么所以我们把这个图第一个图啊，就给你画一下，那么其实不用画图的，包括 q 点坐标都不用求，对吧？我们把这个图大概画一下吧，零到二分之一大概是在这里，是吧？然后 q 呢？ q 是五到二分之一，是不是就在这里啊？那么所以现在啊，我们是研究的什么 c d 为对角线，是不是大概是这个样子啊，对吧？所以大概是这个样子啊， 那么此时我们看，这是平行四边形啊，这里是对角线啊，对角线，这里是 p 点，这里是 q 点，对吧？ 啊，这是第一种分类啊，我们以 cd 作为一个对角线，是吧？还有第二种吧，是吧？第二种，那么如果是 cp 作为一个对角线呢？ cp 作为对角线，那么这个 c 和 p 相联系，是吧？那么所以就是一加零， 它应该等于呃，底和 q 连线，那么等于四加上 n， 对吧？还有一个，呃，什么零加，零加 t 吧， c p 嘛，零加上 t， 它应该等于 零加 t， 它等于什么？一加一减去二分之一 n 再加上一个三，是吧？那么此时我们可以解答， n 等于多少？ n 是不是应该等于负三啊，是吧？ n 等于负三， n 等于负三带进去，那么这里就是二分之三加上二分之六，二分之九啊，所以 t 应该等于二分之十一啊，验证啊， n 等于负三， n 等于负三，那么这里二分之三，二分之六， 二分之十一啊， t 等于二分之十一，那么这个 c 点啊，呃， c p 作为一个对角线，那么 n 和 t 都求出来了，那么现在我们来看这个 p 点的坐标啊， p 点坐标是不是应该是零到二分之十一，对吧？零到二十分之一 q 点的，哎， q 点不用求，是吧？这个图你们就自己画一下吧，是吧？对应的这个 cp 为对角线的图，你们可以自己画一下啊，尝试一下，我刚才来画一下，还有一个第三种吧，第三种，那么我们看一下， cd 完了， cp 完了，是不是还有 cq 啊，对吧？还有 cq， 如果这个 cq 做一个对角线啊， c q 周围都要想，那么 c 和 q 是联系的，所以，那么 e 加上 n， 它应该等于什么呀？四加上零吧， 四加零。那么接下来还有一个什么呀？还有个 y 值，那么还有零减去二分之一 n 加上一个三，等于这个一加上 t 吧，对吧？那么此时我们又可以解得啊，解得 n 它是等于三的， n 等于三 t 值啊， 应该等于二分之一啊，二分之一，所以现在这个 p 点的坐标是不是也有了？ p 点是零 t 嘛，所以零到二分之一，对吧？零到二分之一，呃，那么 q 点坐标自己去求，嗯，这个对应的图形大概什么样子？自己去画。好吧，那我们这里简单做一个小结吧， 那么处理这样的平行四边形的存在性啊，对于复杂的，那也就是做成这样了，两定两动啊，就这样，那么你把这两个点 动的这两个点坐标给他设出来，然后他们这个坐标啊，根据我们刚才这个平行四边形存在性的这个公式啊，公式可以建立方程组来解决。 那么当然呢，简单的平行四边形的存在性，比如三个点都给你了，那要求四个点呢，是不是直接套公式或者用平移啊？用平移的知识也可以把它求出来，是吧？还有最简单的平行四边形存在性的话，那就应该是直接用平行四边形的判定呢，可能用的最多的是应该是 两组要一组对边分，平行且相等啊，像这样的去去做就完了，那么剩下的题目你们就自己做下。好吧，我们这一题就讲到这里。