长春高三一模数学立体几何

大家好，我说一下长春艺考考试的一个情况啊，整个试卷看了一下，难度接近于高考，难度不是很大。选择题，单选择题，亚洲题是考的一个抽象函数，难度不大。 我们对比一下成都一模的考题，成都一模单选择题压轴是一个枢纽多选择题呢？我们长春压轴是一个立体几何，这个也不算难，中等难度吧。那么这个没有创新，中规中矩。对比一下成都一模前两天考的嘛，成都一模这个题是有创新的，他把不等式问题跟规划问题结合一块了，是个创新题， 所以我们整个的题都不大，中规中矩。再看天空题，天空题十一十二很简单，十二有十三有点难度，但还好，十四题压轴题考了一个取的离心力问题。这个问题成都一模考的是一个立体压轴，整个试卷上来看，成都一模它立体几何的难度会更大一些， 但是我们这个立体的难度不是不是太大。有意思，是什么情况呢？在大题里面，十五题考了一个原原直曲线椭圆问题，这个就很闹心，我们练了那么长时间，就考这么简单道题。 要命的是，成都一诊也考了这个问题，也把立体也把原理曲线放在第一题，第二题呢，也是解算者型，我们也是第二题，解算者型，是不是有什么信息啊？然后十八题倒数第二道题也考了立体几何，也就是说，长春一模成都一模。十五题，十六题，十八题位置考题是相同的， 十五题考的是圆锥曲线，十六题考的是解三角形，十七题考的是 bc 几何，难度都都不大，十七题十九题，两个地方呢，是有差异的。十七题我们考的是竖列，第一个是接插法求通项，第二个是考了个列向求和，也是中规中矩。 那么十七题呢，成都一人考的是一个概率问题，是一个信息商的一个新概念问题。十九题看一下，十九题非常有意思，设置第一问都能得分，如果说谁没得分的话，明早上别吃饭了，很简单。 第二问呢，要考虑一个导数不等式，用导数证明不等式的横成力问题。这个还好吧，需要有点难度。第三问的难度很大了，是个不等式放错啊。但是我们说十九题，成都考的难度比我们大大很多啊，这个里边的话，他俩难度不一样， 我们说整体来看，我们这个卷的难度更接近于高考，但是难度呢，比程度难度要小，大概这个情况。

立体几何中的最值问题，和平面几何中的一样，也是要找到动点的轨迹。正方体 a、 b、 c， d， a、 e、 b， e、 c， e， d， e 的 棱长为二，随便标一个 点， o 为底面， a、 b、 c、 d 的 中心点。 p 在 侧面 b、 c、 c， e、 b、 e 的 边界及其内部运动 p， 若 d、 o 垂直于 o p， 则 d， e、 c、 e， p 的 面积最大值 d， e、 c， e， p。 这里它告诉我的是， p 在 侧面上运动，它的运动范围是一个面，我们要的不是一个面，而是一条线。 这里的 d、 e、 o 垂直于 o p， 我 们就可以找另外一个垂直于 d、 e、 o 的 面，那么 p 一定会在那个面上，而且 p 还在右边这个面上，就说明 p 一定在这两个面的交线之上，这就变成了一条线。 现在问题就转化成了，怎么找两条相交线垂直于 d、 e、 o， 我 们怎么考虑这个问题呢？肯定最好找的应该是同一个面上的 d、 e、 o， 很 容易发现它，在这个面上，把它单独摘出来研究， 这应该不是正方形，这里稍微长一点，长是宽的根号二倍，这是二，这是二倍根号二。已知的 o 是 底面的中点，说明在长方形上应该是这里的中点。 o 要找到和它垂直的二根号二，竖着比横着应该是根号二倍。那我们接下来就找到一个竖着比横着是根号二分之一倍的，这两个应该垂直， 横着是根号二，所以竖着这里取中点就是一，那么竖着比横着就是根号二分之一呗，正好和它的比例是倒数关系，设为 q。 这两个垂直 证明了垂直之后还要另找一个线是垂直于 d、 e、 o 的， 已经在这个面上找完了，我们就可以想在别的面上能不能找 垂直关系多的很明显， o c， 它垂直关系和这个面比较多，因为这两个垂直，而且 d、 e、 d 垂直于底面，它肯定也垂直于 o c。 另外还有 d b 垂直于 o c， 因为 o c 和 o d， o c 和 o q 相交于 o 点，所以就会有面 o c q 垂直于 d e o， 所以 得 p 应该是在 o c， q 上的。 又因为已知了 p 在 b c c， b e 上，所以应该是在这两个面的交线之上。 这两个面的交线画一下，应该是 c q， p 属于 c q， 得到 p 属于 c q， 接下来就快完事了，因为要证明的是它最大值，最大值一般就是底乘高，底应该就是 d c 的 d c， 这是很好找的，高呢， d c 垂直于这样的面，所以 c、 e、 p 就是 高，要求高的最大值应该是在这里 应该画一个正方形，在这里取中点，那哪里面积最大呢？那肯定是这里它的高最大，所以面积肯定也对应的最大。 二分之一乘以二，再乘以这一段的长度，一二分之一平方相加，在开根之后，应该是二分之根号五， 但是这里是二，那说明应该是根号五啊，这里是二，所以根号五，所以最后就是根号五。完毕，感谢大家的收看！

众所周知，猫的身体是可以压缩的，有一种猫比较特殊，它的头是球形，所以就可以出成立体几何体。假设圆头蝙蝠除了圆头外，其他身体部分都可以压缩的话，请问多大的正室面体可以装下它？ 其实这是一个简单题，我宁愿出城装下两个冒点或者 n 个冒点。这是一个有趣的问题，看完这个视频，你就会了。观察例题、几何小题、真题。你必须要注意到一个现象， 专题考察的审美非常具有实用价值。所以容器问题，比如说一个碗里面能放多少球？多球相切相关的容器问题很常见。二零二五全国二卷填空最后一题，二零二三新高考一卷 多选择题都出现了，这类题型，务必研究透彻。今天我把我寒假作业立体几何里面的题目选出来， 寒假作业一共有六册，去粉丝群找企微助教领取。本视频会彻底剖析多球相切以及多球堆积在一个角落。此类问题如何求解？此类与等比数列的求和相结合的东西是经典的，经典，必须掌握。 这种许多球在角落里面挤是一个很常见的模型，不仅是四面体，有正方体，有正方体，我们之前讲过了，你自己去翻那个江苏百校联考的视频，任何的多面题几乎都可以考。 而且我不仅可以考有限的这个球，你看这里，一个球，两个球，三个球挤在角落还可以考无限的。 就是啊，我可以这样考，你就是我呢。比如说这个球是铁做的，然后呢？铁烧红了，他不是铁水吗？ 然后我可以教你计算，哎，这个东西，这个东西，这个东西无限的能堆下去，至少要多少铁水才能做那么多弹珠？这也是一个出法，因为等比数列嘛，这个是有一个等比数列求和的考法，很灵活，但是你最基本的一定要会。 我们举个例子，把上次啊，很久之前那个江苏百校的再重复一遍， 他是正方体，我们先讲正方体，从正方体开始讲起，正方体他都有一个内些球，这是毫无疑问的。这个我不画，我只画圆心，当成 o 一。 好，这个球是这样大的，对吧？那这个角落和这个 o 一 连起来，这是不是有个空隙的？这里有个空隙，这个不好画，但是你知道就行，这里也可以有一个 g 与正方体相切，也与这个球相切的球元气是 o。 好， 那么假如说第一个球的半径是二一，第二个是二，以此类推，第 n 个是 n， 那 么这有什么通向公式呢？有通向公式的啊，首先， 无论你这个球怎么挤，它一定是什么？我这个点到是 a， 一定是在 a o 一 这条线上的，对吧？好。同时还有一个无可争议的点， 这个圆心因为是外切，所以它大小是什么？ r 一 加二，这也没有任何争议。好，还有一个没有任何争议的 a o 二，它是可以用 r 二来算的， 因为相切嘛，对吧？和正方体的三个面相切，那我就可以做一个小正方体在里面， 对吧？这个正方体的边长，它就是 r 二，所以呢， a o 二是多少？ 这是体对角线嘛，它就是根号三 r 二嘛，对吧？这画的有点乱，但是你这个空空计算能力起码要能估摸一下，所以 r 二它的规律，只要牢牢抓住 a o 二，它是根号三 r 二，你这个规律就立刻找到是什么根号三 r 二加 r 一 加 r 二，一定等于什么等于。 假如说这个正方体的边长是 a 的 话，一定等于二分之二三 a 它是个定值，那么同理第三个呢？ a o 三相对于 r 三的这个推导也是一样的。我先确定 a o 三是根号三 r 三，然后 根号三 r 三加什么等于二分之根号三 a 啊，肯定是加什么 r 一 加 r 二加 r 三嘛，对吧？典型错误，过早归纳，想当然。 我画在这里， r 三啊， o 三，这个是根号三 r 三，这个长度是多少？ o 二 o 三，那就是 r 二加 r 三嘛，对吧？那 o 二 o 一， 它就是 r 二加 r 一， 所以呢， 不是 r 一 加 r 二加 r 三，但是起码是他们相加，不同的是是 r 一 加二， r 二加 r 三，是这个就中间的，你这个 o 二做一个过度的球，他是要加直径的嘛，对吧？所以就不止啊加一个 r， 所以呢，接下来我们就有规律了， a o 四等于多少？根号三 r 四，根号三 r 四加什么等于二分之二三呀？有经验了也不会错了，是 r 四加二， r 三加 r 二加 r 一， 对吧？所以我们就可以得出通项公式，根号三 r n， 这是一个通式，加 r n 加 r 一 加 c 码 i 从一啊， i 从二到 n 减一， r i 等于二。根杠三 a， 根据这个式子就可以求竖列 r n 的 通项公式，那是不是可以求了，对吧？好，怎么求 这个通项公式？不要，不会啊，是基础的，基础写两个式子相减，对吧？ 我用 n 减一的式子再写一遍，就是根号三加一， r n 减一，加 r 一 加四个码， i 从二加到 n 减二， r i 等于二分之二，所以就可以得到。什么式子？ 根号三加一， r n 减， r n 减一等于什么 啊？这里这个减这个等于多少？等于 r n 减一，所以就得到了比例关系。 r n 比 r n 减一是多少，它是一个定值，然后你自己去算它这个等比数列的通项公式就可以了。这就是这个题的 全部奥秘。因为他是等比数列，而且他是越来越小的嘛。你看这个球堆到这个角落，肯定是越堆越小，公比小于一，所以有什么性质？所以一定有一个性质，当 这个 n 趋于无穷的时候，他这个是有一个上界的，他是极，这个极限是存在的， 他是有一个上界封死在里面的。什么上界？你总之你这个二再大，你总和肯定不能超过这对角线，所以肯定有上界，这个上界他也是考察重点。 好，所以这种球在几何几何图形里，个角堆来堆去，一直堆到无限。这个怎么做？就是找公比，根据几何关系找公比，比如说这里 这个四面体 a、 b、 c、 d， 这样下来这个球有什么公比关系啊？用什么关系找？很简单，你这个球一切，我先画两个，两个切的情况，这样一来，你看 这个这个圆形是 o 一， 这个圆形是 o 二的话， a o 二连起来， o 二，再做这个面的垂线，它是不是也有一个直角三角形？这个直角三角形它的比例是一致的啊？ 你看这里连下来这个这样三角形就这条，它是可以贯穿所有球心的， 因为这个角它是固定的，所以你这个假如说这个是 r 的 话，那这个一定是有一个固定的值的。我故且当成蓝不蓝先啊，这个蓝不蓝是多少先别算，总之就是有固定值，利用这个固定值 可以算出等比的关系，或者不一定是这个直角边，这个斜边，就这条， 比如说 miu r 也可以用这个算，哪个都可以，总之就是用这个来算。 好，讲到这里呢，其实聪明人就已经听透了，这两道题已经彻底讲完了，但是有的人不聪明怎么办？我带到这两个题目里面重新讲一遍。 看题，他说正四面体的体积是八个二三，他绕弯了，他故意要你麻烦一下，由体积算边长，这个边长我直接写了啊，写答案边长他是 a， 等于二个二六。 然后呢，有些东西你必须要搞清楚啊，必须要搞清楚，有些公式我们上个视频也讲过，正四面体边长 a 的 话高是多少？三分之根号六 a， 这个不要每次都推倒，最好记住 外接球半径多少三啊。四分之根号六 a， 内切球半径多少？十二分之杠六 a。 你 有这个积累了，那肯定就方便算了嘛，你这个内切球直接代公式就是十二分之根号六乘以二杠六，二乘六等于十二，那就是一。 所以呢，这个球的半径直接秒杀是一快无数个，直接省下两分钟好。然后呢， 他就按照这个堆来堆去，他这里算九个球的表面积之合，不是说在角落上堆九个啊，不是说很细的弹珠，像我跟他讲的一样，堆九个。不是，是题目中画了九个，中间一个加四个角两个，对吧？一加八就是九吗？好，那怎么算呢？很简单， 这四面体根据对称性，那我只需算一个角就行了。好，我就画一下，我就画到另外一个图中 a b、 c、 d， 因为我画的时候他那个直角更明显，对吧？这个其实这个图明天就不该给，就应该给，你自己想象才对的。好， 这是一个中间的那些球，我当成是圆形 o 一， 然后呢？ o 二画在这，刚刚说了 o 一 o 二一定什么？一定是在过 a 做 bcd 这个面的垂线的这个上面。好，我 o 一 有点歪，画在这一定是在这个上面， o 一 内切球的半径是一边长是二幺六，所以呢，这里方便了，我就直接说这是一 o 一 到底面的距离，对吧？好，这个是二幺六，然后再算 o 二 o 一 o 二之间一定什么？一定是 r 二加 r 一， 然后呢，这个长度是多少？肯定和 r 二成比例关系，但是这个要算怎么算呢？很简单，这不是和面垂直了吗？ abc 这个三角形是等边，所以这个弄过来，这个恰好是中点的，这个三角形恰好是可以算的，然后呢， o 二做这条垂线，那这个角就与这个三角形是共用一个角了，那这个 a o 二就可以算 好，而且 o 二做这条线垂线呢，恰好就是和，呃，恰好就是到这个面的距离，也就是这个 r 二这个半径，对吧？所以呢，这个还是很方便的，就是享受了它的对称性的这个福报。可以这么说。好，我们算一下， 他边长是二高六，那么这个就根号六，对吧？这个是底面的重心，这整个长呢，是根号六乘根号三，也就是三根号二，对吧？根号六乘根号三，他是三根号二啊，不要，不要算错，三根二，一比二，这个就是根号二， 对吧？然后呢，高我也可以直接算， h， 就是 三分之。根号六，这个是根号二，对吧？然后呢，高我也可以直接算， h 就是 十二，十二除以三就是四。 好，所以这个 a o 一， 那也就是四减一，等于三，对吧？所以呢， a o 一 等于三，同时这个 a o 一， 它是等于 o 一， o 二加 a o 二的 a o 二就是我们要算的这个长度是等边三角形里面乘根号三，就是三根号二。 所以呢，我把这个点当成 m， 这个是 h 的 话，那么上角 n a h 就是 根号二除以三个二，就是三分之一，所以这个就可以这么表示。 o u r r 一 加二， a o 二就是 r 二除以三，这个角等于多少？就是三倍的 r， 所以呢，这个就是一加三倍的 r， 这样一来啊，一加四倍的 r， 这个是三 r， 所以 这样一来， r 二就算出来了，等于二分之一。然后呢， r 一 也是同理的。 怎么算？很简单，我把圆心标起来，圆心，我把这个蓝色线插了前。呃， 圆心标在这 o 三，大概标一下就行了。 a o 三的长度同理，它是三 r 三，因为角度不变啊。然后呢， o 二 o 三，它是 r 二加 r 三 o 一 r 二，它是 r 一 加二，所以就可以直接算了。三 r 三加二，二加二，三加上二，二加二，一等于什么？等于 a o 一 等于三，所以呢， r 三也可以算， 算出来四分之一。然后这个题就做好了。表面积嘛，代公式派， r 一 方一个球， r 有 几个球？ r 有 四个球，所以呢，四 r 二方 r 三也有四个球， 这样算就是最后的答案，等于九派。但是这个题把九个球出成这样就太简单了，没有意思。我讲一讲， 这个九个球，假如是只往一个角堆，就是这是一个球，第二个球，第三个球一直堆九个，这个怎么算？这才是我们真正有兴趣的，对吧？好，刚才说了，这个角是固定的，你到这个面的距离，因为恰好是到这个面的距离，他相切嘛，所以呢， a o n 它一定等于什么？一定等于根号三 r n。 假如说 o n 半径是 r n 的 话，然后呢，就有一个式子，就可以列这样的式子， a o e 就是 整个的长嘛，它是三， 它换算成 n 的 这个式子怎么错，怎么换算，很简单，就是三 r n， 对吧？然后呢，再算第 n 个球与 n 减一之间的那个距离，也就是 r n 加上 r n 减一，然后呢，就是第 n 减一个球与第 n 减二个球之间的差距，一直加加到第二个球与第一个球的差距，这也是什么？这也就是说 除了 r 一 加 r n 之外，其他的都是有一个二的系数，所以就是 i 等于二加到 n 减一， r i 也就这个东西，然后呢，三 r n 到前面，所以呢，化解一下，就是说四 r n 加 r 一， r 一 就是一了，我就直接写了 加一加这个等于三。就是这样一个式子，叫你求数列通项，然后你再求出 r n 等比通项，再求用等比数列前 n 相和的公式求前九相和就好了。 但是他如果要算表面积的话，你不是，呃，不应该直接求 r n 的 前九项和，而是 r n 作为一个等比数列，通向算出来了。行，然后呢？表面积的通向他也是一个等比数列，只不过公比是原来的这个平。呃，这个的平方仅此而已。 然后呢，在哪家也行，总之也是逃不出等比出来这个框架。好，这样一来，这个题就彻底讲透了。再看第二题，正四棱锥高为三 侧面底面所乘角三分之派。那就等于告诉你这个这个长是个二三吗？那就等于告诉你底面正正方形是边长是二个二三。好，这个正四棱锥定要搞清楚，它就是正方形， 不是说这个棱长也算进去全部相等，没有他正正四的，这有些人还搞不懂，他就是正方形中心取过来，竖起来 这个中垂线上面取一点 p 形成的这个几何体。好，求 o e 为正四的锥与四个底面都相切。好，这里有一个有意思的问题， 请问是不是所有正四人追都存在那些球？ 有些几何体是不存在那些球的啊？这要搞清楚，比如说我这个台，这个台，比如说这样子他是能放球的，那我稍微高一点，他就放不了了。 所以有些几何体他存在，那些球本来就是。呃，有一个巨大的信息含量的。那么请问这里正四人追这个几何体是不是一定存在？记住，不要纠结此类问题，你存在也好，不存在也好，你反正是那样算， 比如说我把这个中点，反正这个内内切球如果存在的话，原型肯定在这个现场的，我就照样的算就行。无解就是不存在，有解就是存在，就这么简单。 好，这里也是一样的，内切球他都告诉你这个面与这个底面的夹角了，那这个就好算了嘛，对吧？我这个点做过来，做这个垂线，这两个半径一样，然后利用这个列勾股定律就好了， 这个高是三，所以呢，这个就是三减二，这个三角形，他这个是六十度，这个是三十度，所以上一三十度一定等于什么？一定等于二比三减二嘛，所以这个半径他是可以直接求的，等于多少等于一， 这就是第一个，那些球的半径，你这样求出来，那肯定存在了。好，这是第一个，我先把圆心标出来，总共是三，那么他的球心是这个位置，因为这个是一吗？这个是二。好，然后呢，他要算求 n 很 简单， n 取过来，这个我就把不变的给抓住，不变的量是 o e p o e p 长度是二， 对吧？它等于什么？首先看好啊，首先你要从 p o n 加起，然后呢再算 o n， o n 减一，一直加加到 o 二 o 一。 好， p o n 是 什么？我知道，半径就是这个做垂线，对吧？这个做垂线，那就是半径，这个是 r n， 那 么这个是三十度，所以呢，这个是 r n， 所以 p o n 就是 r n， 然后这个呢？这个就是老生常谈了， r n 加 r n 减一，两个圆啊，两个球外切了，那肯定是断定相加了，对吧？然后呢，一直加，加到 r 二加 r 一， 老生常谈的。把这个这个首尾给抽出来，首先是三， r n， r e 是 多少？算过了是一，然后呢， c 个码 i 从这个二加了 n 减一，二 i 两倍，然后呢，这个二在这里，对吧？ 写两个数字，二等于三， r n 减一，加一加二，这个嘛， i 从二到 n 减一，啊 i， 这里也要有一个细节的问题， n 到底是 多少？因为我这里有出现 n 减一啊，很多次的，对吧？所以你要注意，这里是 n 等于二，到时候那个通项呢？ 这个 r 一 和二吻不吻合还要再说的，这里我们是默认 n 很 大，这要搞清楚，所以呢，两式相减二减掉，一减掉，剩下的是三， r n 减三， r n 减一，然后呢，加 r n 减一等于零， 这个呢，就是减掉 r n 减一等于多少？等于三分之一。首项 r 一， 它是一，所以呢，通向公式 r n， 它就有一个三的 n 减一次方分之一，对吧？好，验证一下。 我们先用同样的方式算 r 二，然后再验证一下，如果说 r 二它也是相应的吻合了，那就没问题了，对吧？我们知道顶端这个 p 到 o 二是多少等于二， r 二， 它 po 一 等于 po 二加 po 一， po 一 是三，它等于二， r 二加 r 二加 r 一， 那 r 二这样一来等于多少？它就是三分之一， 对吧？啊， po 一 是二，啊， po 一 是二，这个二减一就剩剩一了， r 二是三分之一，它是不是吻合，所以这个通项就没问题了。所以题目要求的这个表面积可以直接求就是 四派二方，对吧？带进去四派九， n 减一乘分之一， 然后呢，九 n 减一，我把这个弄好看一点，同时成个九，那也就是三十六派九分之一的 n 次方。好，这就是这就是这种答案。这样一来，这类问题我们就彻底讲透了，以后千万不要不会，尤其是全国二卷 这个寒假作业，它这个六和十九都是选择寒假作业的，寒假作业的文件可以去置顶评论，蓝色链接找助教领取，好下课。

专题三了，那个我今天一看，哦，专题三了，还有六个小节，嗯，就三三节，三三个小本，三个大本，然后咱就结束了这个假期，那离你们开学好像又近了一步哎，我们看一下我们今天的题啊。 嗯，专题三的例题结合，然后第一块小题考法的例题结合，初步这里边考的都有什么呢？首先， 嗯，立体几何里边那些空间几何体的侧面积，表面积，体积，所以说这些公式你首先要记得牢一点。第二个，他这个平行垂直，还有嗯，线线 平面里边的，还有空间里边的平行垂直关系，还有与球有关的内切，球外内切外接， 还有这空间关系，这个咱我忘了，我给咱们总结忘没了，反正是回回学校看时间，估计还得再重新总结。来，我们看一下我们今天的题啊，现在题挺好玩的， 来，首先我们看一下第一道题，嗯，这个正四棱台，他上 ab 的 长度是等于二倍根号二， 然后 ab 是 等于根号，然后测棱于底面所乘角是六十度，底面角所乘角是六十度，他让我们求测面积，求测面积的话，因为他四个测面积是一样的，只要求一个测面积就行了。而测面积最重要的是什么呢？求你测面积上的高，我们把测面积给你画出来。 测面积其实也侧边，侧面是什么呢？ a 一 b 一 b a， 而且上底是根号二，这是二倍根号二，那如果做垂直，做垂直，这是根号二，那这是二分之根号二，二分之根号二，那所以说你不用看这个图上啊， 这个 q 吧，所以说你要求这个侧面积的话，也就是要求 a 一 q 的 长， a q 的 长，你现在知道 a q 等于二分之根号二，所以说你需要的是 a a 一， 那 a a 一 怎么知道呢？我们看一下，它说的是侧棱和底面所成，角六十度，你过 a 一 做底面的投影， 放在 e 点，然后 e 点呢？因为它从上往下看的话，其实是长这样的， a b c d a 一 b 一 c 一 d 一， 然后二倍根号二，根号二，那所以说 a a 一 在底面的投影落在了哪了？就在这，那我们看一下二倍根二， a c 的 长是四，那所以说 ac 的 长是二，这段长是一，也就是 a e 的 长等于一。而而且呢，你这里边哪个角是就六十度呢？角 a e a e 等于六十度，而 a e e 是 垂直于面 abcd 的， 所以说这里边就有 af 是 等于二好。 a a e 等于二，那你的 a q 就等于根号下二方减二分之根号二，括号的平方，那它就等于什么呢？就等于四分之根号七。 好，那这里边你算出来 a q 的 长度， a e q 的 长啊，这是 a e q， 那 所以说 s 测 等于四乘以，嗯，四个啊，因为四个面都是这样算的，二分之一乘以上，底加下底，根号二加二倍，根号二乘以高，二分之根号十四，答案就出来了，六倍根号七，好，这是立一 第二题，这道题他说的是正方体，你画一个正方体， a b c d a 一 b 一 c 一 d 是 c c 一 的重点。好，这是 p， 它说的是若三角形 b b p 第一， 以 b 一 d 为轴，旋转一圈，我们先看一下这个三角形长什么样啊？我把它给画出来， b d 一， 好，这是 p， 这里边呢，你应该知道。呃，边长是二的话， pc 等于 pc 一 二根号五，一二根号五。还有你这个 d b 的 长式作为对角线的话，你棱长是二的话，它是二倍根号三的 二倍根号三。那我们看一下。嗯，二倍根号三的话，还有这个作为最中间的位置的话，这个长度二根号二。 好，那也就是说其实是长这样一个三角形，根号五，根号五，这个是二倍根号三，进行绕着它进行旋转，旋转应该是得到两个嗯，圆锥，而且这两个圆锥底面半径都是等于根号二。嗯，那个啥 高是等于根号三，然后你求一下它的表面就行了，是两个这样的圆锥，不加底面积，它也就是它两个的侧面积相相加， 自己看。然后这道题的话是一道很经典且简单的题，它绕着它转的话，那也就是你看一下这个每一条线，它所旋转之后，除了 ab 这条线 形成的这些都是一个曲面，也就是它最后形成一个这样的圆， 下边是一个圆面，也就是这个几何体的表面积是什么呢？是大的圆台，大的圆台的侧面积， 大圆台侧加底，然后再加一个小圆锥， 测面积就可以了。嗯，你们自己算啊。这个我不说了，这个比较简单。这道题挺好玩的，一个三阶魔方，嗯，二十七个单位，咱们就把那个单位记为一就行了。 嗯，每个边长都是一，那所以说这个长是三三三三三，然后他说中间一层转动了四十五度之后，那我们看一下，本来你的表面积是什么呢？是三乘三乘啊，三乘三乘六。 那我们看一下，首先你这三乘三乘六变了没有？没有，他只是增加了什么呢？增加了，你看这样一个小三角形。这个小三角形， 那你看一下，还有在我们看不见的那边还有两个三角形，也就是说你看啊，是长这样的，比如说他对应的是这一块，那这个对应的是这一块那边还有个他，他，那你看一一个，呃，有几个这样的三角形呢？一二 一二三四，那对应的下边这个第二层下边还有四个四加四，那上边这一层下边这一块这一块这一块再加四，下边这一块这一块也就是再加一个四，也就是总共是几个呢？十六个这样的小三角形。 那所以说我们的目标是干嘛呢？求这一个小三角形的面积，它怎么求呢？我们来看一下。问题在于，我们知道这个魔方的边长是等于三， 这个边长是等于三，那这个小三角形的边长是不知道的，我们把小三角形的边长设为什么呢？设为 x， 那 这也是 x， 那 这段的长是什么呢？ 是，你看一下，这是 x 九十度，所以说它是根号二 x， 这也就是根号二 x， 那 所以说就有二 x 加根号二 x 等于三 x 呢？是等于三减二分之三倍根号二的，这个自己算啊。那所以说每个小三角形的面积 s 呢？就等于二分之一乘以三减二分之三倍根号二，括号的平方自己算。我抄答案了， 四分之二十七减二分之九倍根号二，那所有增加的面积 s 就 等于十六 f 一， 就等于一零八减七十二倍根号二。这道题。嗯，你自己不行的话转个魔方，家里边有魔方没有？ 好，然后接下来看这道题，他说圆台上上下底面半径分别是一和三，这道题你要是再错错有点过分了啊。嗯，出去别说你是实验高中的学生，我开玩笑的。 已知三棱锥 s 三， s a， b， c 如图所示啊，这里边 a s a b a c 两两垂直且长度都等于三，长度等于三，然后 e f 分 别是中点，那这是二分之三， 三三二分之三，二分之三。好，我不标了。然后 g 呢？是靠近 cs 上的三等分点，它让你求下边这个棱锥的体积，我把它记为 v 二。 那 v 二其实就等于什么呢？ v s abc 减去 v s e， f g， 那 v 我 就把它记成 v 一 减 v 三吧。那 v 一 就等于什么呢？ v 一， 它这里边是很明白的，三分之一乘以 三乘三乘三乘二分之一，好，这是其实也就是最呃，他这个比较大的面积等于二分之九啊，体积。然后那你看一下 v 三，也就是我们这 v s， e， f， g 如果直接求的话，其实不好求，我们把它轮换一下。顶点， 它等于什么呢？ v 以 g 为顶点， s， e， f 也就是等于。那 g 到， 也就是我先写吧，它体积就应该等于什么呢？三分之一 d g 点到 s， f， e 的 面距离乘以 s 三角形 s， f， e， 那看一下 s 三角形，哎，它的面积好求，因为你 ef 垂直于 sa， 嗯， efsa 的 面积，它 s 三角形，嗯， sfe 就 等于二分之一乘二分之三乘二分之三，一个二分之三是 s 一， 一个二分之三是 ef。 那所以说这个距离怎么乘呢？ d g f 一， 因为你既是 cs 上靠近 c 的 三等分点，所以说它就等于三分之二。 d， c 到 s， e， f 的 距离也就等于三分之二，乘以三等于二，也就等于 a c a c 的 一三分之二啊。好，那然后你剩下的自己算就行了，这题多好玩。 好，接下来这个东西你自己看。 好，我们接下来看这道题，他说体积为二派，体积先给你了，圆轴结面为正方形，那 ab 我 把它设为二， r 的 话， bc 也是二 r， 那 所以说你的呃体积 v 就等于派， r 方乘以二， r 等于二派，那也就是你这个 r 等于几呢？一，好，他说点， e 在 这个圆周上，点 e 在 圆周上的话，那 a， e 和 e b 肯定是垂直的，他问的是 c c a e b 体积最大，那 v c a b e， 它的体积就等于什么呢？等于二分之三分之一， c， b 的 长乘以 a， e 乘以 e b， 那其实如果这道题你，嗯，其实一看出来，它应该就怎么呢？ a e 乘 e， b 什么时候最大呢？就是当它为等腰直角三角形的时候， 因为它底边 ab 是 确定的嘛，就看 e 的 ab 的 距离最大值。 e 什么时候最大呢？在你这个圆上的话，就是当它坐在这的时候，作为 ab 正好中垂线过圆心的时候 与原焦点这一点，当然你也可以按照答案的那种。嗯，那啥基本不等式就是什么呢？你要求，因为这 c b 的 场是等于二三分之二， a， e 乘以 e b， 这是第一种方法，法一法二的话， 你就老老实的，因为你 a 一 方加上 b 一 方等于 ab 方等于四，那所以说，嗯， a 一 方加上 b 一 方就大于等于二， a 一 乘以 b 一， 那所以说就有 a 一 乘以一， b 小 于等于二，当且仅当 a 一 等于 b 一 等于根号二的时候，等号成立。但是你也可以用这种方法啊，我觉得你其实一画图的话，答案就出来了。 好，接下来看这道题，这道题估计是问题最多的，那我们看一下这道题在处理的时候怎么进行处理啊？来我们看一下它是进行打印的一个零件。 a 多面形、多边体，多边形 a， f， r 垂直于 abc 平面， 这个垂直于底平面， c， t、 d 垂直于平面， ab 垂直于 bc， 这是一个直角， ab 平行于 ef， 然后还平行于 r s， 还有 c、 d， 然后这里边，那我不念题了，你们自己看啊。长度关系里边有 ab 等于 bc 等于八八， a， f 等于这个四四，然后 r a 等于 r f 是 二分之根号五二分之根号五二分之五，二分之五二分之五，二分之五。 那然后他问你这个多面体的体积，来，我们看一下这个多面体其实是完全对称的，我们先看一下你这个从上到下去看的话，其实他的图形大概长什么样呢？从上去下往下去看，这是四八， 这是八，又一个四。好，这是 a、 f， 这是 r 在 底面的投影，这是 t 在 底面的投影 c、 d， 那 所以说你看一下 r s 连接的话，其实你的 s 落在了这， 那我们看一下你这是 e， 所以 说 f e 的 长是等于多少呢？它是等于十，那它等于十的话，这一段长是等于几呢？二，那也就说你 r s 的 长是等于 错了，这是十二啊。 f e 的 r e 的 长不是 f e 的 长， f 一 的长是十二，这段的长是二，所以说 r s 的 长是十，那我们看一下，它是完全对称的，所以说我从这先切割一下，也就连接 b e， 连接 b， e 的 话，等于说是完全把它切割成了什么呢？两个这样的几何体完全对称的，那所以说其实我们只用求其中的一个，然后再考虑乘以二就行了。 那切割完的这个几何体，我们现在只看哪个几何体呢？ r s， a， b， e， f， 那 我这个几何体我们还要再进行切割，我们怎么做呢？过 b 点做 ar 的 平行线， 这个点我记为 q， 然后再过 q 点做 r f 的 平行线，这个点我记为 n， 那所以说 v， 这个就等于什么呢？等于首先有一部分是 v a， r f 杠 q b， n， 还加上谁呢？那我们看一下，剩下这个 q s， b e n q s， b， e， n， 它我还需要再分割，那它怎么分割呢？你看一下，我连接 s， n， 连接 s， n 的 话，也就说刚才说的那个 q s， b， e， n， 它应该怎么表示呢？它就等于 v s， q， b， n， 加上什么呢？ v， s， b， e， n， 是 不是就等于这样两个三棱锥，那然后我们去求它的体积就行了。那这个三角，这是一个三棱柱，它底面是，它等于什么呢？等于 ab 的 长， a， b 乘 s， 三角形 a， r， f， 加上这个呢？它等于，嗯，三分之一乘以高，其的也就 q s 乘以 s， 三角形 q， b， n， 然后再加上 v s 到底面的距离， v 啊 v， 我 直接写啊，三分之一 d， s 到 b n， e 的 距离乘以 s， 三角形 b， n， e， 那 这里边我们都需要什么算什么？一，它和它一样二三 一。三角形 a， r， f， 二分之根号五，二分之五，二分之五四，那所以说这是二，那所以说你求一下它那个高， 所以说这个高是应该是等于根号下二分之五括号的平方减二的平方，然后你算一下，有了高之后，你就可以把它的面积给表示出来了，而且这个高 也就是你这个等于 d s 到 b n e 的 距离那一结束了，它也可以，它也可以说三，三的话， b n e 更好处理了呀。 b n 是 等于四，这块也是等于四，它是直角，那所以说二分之一乘四乘四。好， 他解决，他解决，他也解决，那体积。最后，哦，这应该是二倍啊，二分之一的它等于这，所以说你看一下这道题，还挺挺好玩的，就是看你空间感怎么样了啊， 好，我们我看一下，我们继续。好。第三，这道题在正三棱柱 abc 这里边点 d 呢，是 bc 的 终点。其实做这样的题你先干嘛呢？先画图，这是我用答案上的图啊，就是，嗯，我其实是不用间隙的啊。第一问，你看一下他 a 选项，要的是问的是 a d 和 a e， c， a， d 和 a e c 它肯定不垂直啊，所以 a 选项肯定错多简单了。第二个， b e， c， e b e c e 和平面 a a e a， a， e d 垂直不垂直呢？肯定垂直啊，因为你这个平面和 bc 是 垂直的，所以 b 选项是对的。 c 选项 a d， a， d 和 a 一 b 一 a 一 b 一 和 a d， 它俩不平行啊，它俩都，你看 a a 一 都在这，那 d 选项 c c 一 和 a a 一 d c， c 一 和它 a a 一 都平行了，所以说这个肯定也是对的 过啊。 好，这道题我们来看一下正方体 a， b， c d 杠 a， 就 这 p 是 上边的一个动点， p 是 动点，首先它说 d， c， d 在 哪呢？ d c 平行于平面 b p d e， 那 d p 和 d c 是 平行的吗？所说 a 选项很简单啊， a 选项是肯定对的， b 选项他说 b c、 e， 我 把这个给擦了，哎，用垫子，好处就在这 黑板我都有时候都不舍得擦擦。 b c， b e c， b e， c 和你的 b p b p， 你 看一下它在哪个平面呢？在这个平面 这里边，你 b、 e， c 垂直于 b c e b e， c 又垂直于 b c e b c e， 所以 说你 b、 e， c 垂直于面 b p c e， 那 所以说 b 选项也是正确的。 c 选项它说你那个体积是定值，我们看一下定不定啊？ p 是 一个动点，那它作为到面 a 一 a， b e， c， 它这个面积是定的，但是 p 到它们的距离是不确定的，所以说 c 选项错误。 d 选项我们看一下，如果这道题你有时间的话，你尽情的间隙设 p 点坐标，然后求这两个面的法向量，嗯，看一下能不能 p 点式的这两个发线量互相垂直，如果你不想没时间的话，咱就考虑没时间的方法就是什么呢？你要是这两个平面垂直的话，用定义的话，也就是说这两个平面它的二面角是等于九十度的，那他俩的二面角你得找他们的交线。我们看一下 b b， e p 这个平面 a a， e p 这个平面， 那它俩交线是谁呢？是这个 p p 一。 那所以说你要求的那个面 b b 一 p 与面 a a 一 p 的 夹角，其实也就角谁呢？角 a 一 p b 一。 那我们看一下，我画一个正方形， a 一 b 一 c 一 d， 它是一个正方形，会不会使得角 p 会使得这个角是等于九十度呢？不存在的，那所说 d 选项是错误的。 继续例四，例四，这道题估计也有好多同学懵啊。来，我们看一下 三棱锥底面斜边长是二倍，根号二的等腰直角，三角形，等腰直角，这，这是我做题的时候差点忘了一个结论。嗯嗯，的条件， s 在 底面的投影是 a c 的 终点，那也就说你这个 s a 和 s c 相等， s a 等于二二，那然后 a、 c 的 长是二倍根号二，这是根号二，那所说根号二，根号二。还有就是，嗯，我们看一下它这里边，哦，等腰直角，对，就是等腰直角，那所说 a、 c 的 长是二倍，根号二的话， ab 根二，二，这段长是二，这段长也是二。还有就是 o a 的 长是根号二。那又有一个什么呢？你看一下你这里边 s o 是 垂直于底面的，所以说 s o 垂直于 o b， s b 的 长度也是二， 那也就是说在这里边三角形 s a、 b 为等边三角形。 然后呢，你这里边我们要求的是谁呢？要求的是 s e 和 c， e 的 动点，动点 e 在 移动的时候最小值。那我们看干嘛呢？就相当于是把这个 s， a、 b 这个平面干嘛呢？给它，哎，平铺过来， 平铺过来，这是你的 c， a， b， 就是 刚才画的这个。我，再我再我擦掉。标一下它的长度关系啊， 这是二倍根号二，这是二， ab 的 长也是等于二，然后 s， a、 b 它是这样翻折，这样翻折过来了， 与 abc 现在放在同一个平面内，它这个翻折过程中不影响 se 的 长度，也不影响 se 的 长度，那所以说这是二二，那你看一下 e 在 ab 上移动的时候，什么时候 se 加上 se 最小呢？就是连线， 那这时候怎么求呢？这是二，这是二，这个角呢，等于九十度加六十度。那你用一下域线定力就可以把 cs 给求出来了啊， 不用我求了吧， c c， s 平方等于啥啥，自己写 好，这是感悟，提升自己看。然后这道题的话，没什么难度啊。它测面积是三派的话，你根据测面积公式算出来，母线长 l 是 等于三的， 嗯，然后 s 三角形 a， 它也是 l 三， ab 半径是一一一，那所以说 s o 的 长是等， s o 的 长等于二倍根号二，那面积等于二倍根号二没问题，所以 a 选项正确。 b 选项侧面展开图的圆心角 阿尔法是等于二 pi， r 比上 l 等于三分之二 pi， 所以 b 选项也对， c 选项，它说由 c 点绕侧面旋转一周之后又回到 c 点，那其实你就把它的侧面展开图给它画出来， 所以说 c 到 c 撇最短距离呢，这就是三三，那然后这段的长，这个是多少呢？三分之二派，你用一下余弦定力，哦，不用余弦定力就正常的求就行了。所以说它等于三倍根号三， c 选项正确， d 选项，它说若 ac 的 长等于根号， ac 的 长是根号二的话，我们会发现，嗯，二，根号二， ab 的 长是二，那所以它的长也是根号那所以说 s 不是 v o， s， a， c 的 体积， 嗯，等一下 v o， s， c， a 的 体积，我们可以把它给轮换。顶点就是等于什么呢？等于 v， s， o， c， a 的 体积。那我们看一下，这时候根号二，根号二，其实也就是说你现在的三角形 a， b， c 是 长这样的， a， b， c 直角 o， 那 所以它的体积就等于三分之一乘以 s， o 乘以 s， 三角形 a， c， o 就 等于三分之一乘二倍根。号二乘二分之一乘一，等于三分之根号二，所以它这个是错误的。 嗯，立五立五这个结面问题啊，很很很很好的一道题。来，我们看一下，边长是一，用 r 法去一个平面， r 法去截正方体，截面面积是 s， 经过了哪？ a 选项，我们看 a 选项经过 b， a 一， c 一， 哎，那正好连线不就是一个平面吗？面解自己求啊。 b 选项经过 b， g， h， 那 这时候你看一下，我们找找结面最经常用的就是平行线或者是延长线， 好过 h 做 b， g 的 平行线正好交于点 d， 而你过 g 点做 b， h 的 平行线也是交于它，所以说这个 结面就出来了。好， c 选项经过 e、 f， g， 还是找平行线，先把它们两个线画出来。那过 e、 f， 过 g 点做 e、 f 的 平行线 a 在 这， 那你看一下这里边，再去做他们的品，除了他还有谁呢？还可以找，在这也有，其实这个估计好多同学直接根据你的，嗯，你，你高中所学就应该能猜到啊，是长这样的一个平面。 那如果你没有想到的话，同学你应该怎么考虑呢？就刚才我们第一个先过你 g 点做 e、 f 的 平行线，做到这 a， 那 接下来要做你 g、 e 的 平行线了。 g， e 平行线在 f 点不好做的话，我们过 h， 所以 有这条线， 那再再做一个，再过他做 e、 f 的 平行线，有他，然后那这些一连就是一个六，嗯，等边六边形啊， 这是 c、 d 选项的话，我们看他说经过了谁呢？ e、 f 第一。那我们看一下 e、 f 连他俩的线在哪呢？在这 这个就要用到延长线了， 它与 d、 a 交于这个点，我记为 a 撇，与它交于这个点 b， 嗯， c 撇吧。 而你看一下中点，中点，所以说其实这个也是连接，就是这样的。哎，这是中点啊，哎，不是中点，错了，错了，错了，错了， 连连。 那然后你看一下这里边，它和它的比值是二比一，所以它和它的比值是一比三，所以说是一个三等分点啊。 a、 b、 d， 好，来看一下这个棱长为 a 的 正方正四面体木块点 p， 在 v a、 c 内过 p 点锯开，使这个平面既和 v、 b 平行，又和 a、 c 平行。那我们还是做平行线，先过点 p， 做 a、 c 的 平行线， 然后再因为你那个平面要和 v、 b 平行的话，那我们过在这条线在这儿中点，然后做 v、 b 的 平行线。哎， 他也做 v、 b 的 平行线。 a， 好， 那也就是他和他都平行，于且等于二分之一 v b， 这是 a， 那 所以二分之一 a， 二分之 a， 他 中点中点，中位线二分之 a， 中点，中点，中位线二分之 a， 所以 就等于二 a， 好，来，我们看一下，这道题也是需要延长的啊，我们看一下，他说的是你这里边 e、 f 分 别是中点过 a， e、 f 做三棱柱， 嗯，它与交面交于点 p。 哦， bc 上交于点 p， 那 我们看一下，还是我先延长 c、 c、 e， 为什么呢？因为你这个 a、 f 延长之后会交到这，这个点我记为 m， 那然后那这个平面就是谁呢？我连接你这个 e、 m 这个点就是 p， 那 我们要求的就是什么 b， e， p 这段的长度， 这段长度怎么求呢？我们看一下，你再延长到 m 点，这时候你 s 三角形 a， 啊，不用 s 了。 a a， e， f 和 三角形 m， c， e， f 是 完全相等的全等三角形。所以说， 所以说你的 m， c， e 是 等于几呢？等于二，二一一。 然后还有什么呢？还有就是你看一下我过 e 点做它的平行线的话， c 一 这个点，我把它记为 n 点，它是等于一。那其实 m p c 一 与三角形 m 一 n 是 相似的，相似比是二比三，那所以说 b 一 c 一 比上一， n 是 等于二比三， 那所以说一 n 的 长是等于多少呢？一 n 等于二，所以说 b 一。 嗯，不是，这是 p c， p c 一 是等于三分之四，那所以说 b p b 一 p 就 等于二减三分之四等于三分之二。 数学美，自己去看吧。好，结束了啊。

呃，在阅卷的过程当中，我刚才正在批改我们这个第十八道题立体几何的这道题。那么在批卷的过程当中发现呢，很多同学 出现的比较集中的问题呢，就是他的答题不是特别的规范，那么比方说在证明平行的过程当中，他的理论依据啊，强调的不够，然后包括书写的规范性啊，也是后期孩子们在学习的过程当中需要强化和转变。 呃，只要根据他的一个答题的情况而定，那基本上呃缺少这样的一个理论依据的话，还会有一到两分的一个扣除。嗯， 那我们看立即这道题。第一问，我们现在批出来之后，第一问满分是四分，所以大概平均分能达到两分左右吧。嗯，然后第二问，可能这个孩子们的计算能力弱一些，所以呃，平均分的得分率情况，呃不是特别的乐观，嗯。

同学们大家好，今天是我们零基础十七课逆袭高中数学的第十一课，立体几何下。 今天我们主要来学习三部分，第一部分是立体几何的表面积与体积，第二部分是立体几何有关球的问题，第三呢，也就是一些基础知识来补充一下。第一个 表面积和体积， 我觉得面对高考题，如果大家觉得表面积和题做的费劲的话，你大概率是没有背下来公式，或者是公式运用的不好，我们再来敲定一下公式。第一个是关于柱体， 直角柱 侧面积 等于 c 乘以 l， c 是 周长，什么意思？比如这有一个直角柱， 这个是 l， 大家可以理解，就比如说我，它乘以 l， 不 就是这个面积吗？依次类推，那它乘以 l， 加它乘以 l， 加它乘以 l 加它乘以 l， 这不就是底面的周长，再乘以这个 l， 不 就是侧面积吗？ 然后圆柱的侧面积 等于二 pi r 再乘以 l， 这是为什么呢？因为我们知道，把圆柱的侧面展开，它是一个长方形，而这个长方形宽就是 l， 而这个 长呢，就是这个圆的周长，也就是二 pi r。 如果要求表面积的话，那就再加上两个 pi r 方就完事了，对吧？两个圆的面积。最后就是柱体的体积公式，就是等于底面积再乘以高。第二个关于锥体来说， 如果是正楞锥， 因为正楞锥把它一展开呢，都是三角形，所以它的侧面积啊，就等于二分之一，底面周长，再乘以这个斜勾。 举个例子，比如说 这个棱锥，然后这一周的面积就是 c， 这一周的周长就是 c。 斜高是什么呢？把它做垂线，这个高就叫 h 撇，也就是斜高，这大家好理解，就是所有三角形面积之和嘛，那么就把底面用那个乘法 分配率，那个逆运算把它逆过来，就是这样的呗。当然了，这些我觉得主要考的还是体积比较多，说实话，然后圆锥， 圆锥的侧面积，它等于 pi r l， 就是 把这个圆锥 我把它一展开， 它是这样的，对吧？这个长度就是母线的长度，就是 l 的 长度，而这个长度啊， 不就是这个周长吗？对吧？就是二 pi r， 而我们都知道扇形面积 s 等于二分之一 lr， 所以 等于二分之一 l， 再乘以二 pi r 等于 pi r l， 最后就是圆锥的体积， 锥体的体积它们都等于三分之一底面积再乘以高。第三个就是与棱台，圆台相关的就是台体，如果是正棱台， 这个大家都可以按照我之前讲的去推，但是我不建议大家去推了，大家就记就挺好，也不是特别难记，挺有规律的。 c 和 c 撇分别表示上下底面的周长， h 撇表示斜勾圆台， 然后就是台体的体积， 这个体积是通用的，然后特别的对于圆台来说呀，还有一个 大家想想啊，这个 s 等于什么呀？大家琢磨一下，这个 s 是 不是等于 pi r 方，对不对？ 所以说我可以三分之一 pi h， 再乘以 r 一 的平方加 r 二的平方加 r 一 r 二，这个仅针对于圆台来说， 这个公式大家一定要记住啊，就是高考考的，其实最常考的就是这个体积体积公式。举个例子，比如说 圆台上底面半径是二，下底面 半径是 八，然后高 为三球体积，那好了，我直接套用第二个公式， v 等于啥呀？三分之一 pi 再乘以 h 乘以四，加上六十四加上十六，这等于多少？然后这个 h 你 们把 h 换成三，就等于 pi 再乘以这块是八十，对吧？八十四 pi 举了个例子，这是台体的体积，第四个 有关于球表面积等于四 pi r 方体积 等于三分之四 pi r 的 立方。这也就是关于第一个考点的所有内容了。我觉得不需要举什么例题了，因为举例题就是在你们发来福去练这个公式，你把公式背熟了，比啥都重要。第二个就是跟球有关的 与球相关的问题， 这里边我觉得我要给你们讲的是一些解析策略， 我把与球相关的问题分成典型几何题、与球相关的问题和非典型几何题， 最后再教你们一个内切球的问题。而在这非典型里边呢，我有讲两个方法，一个是补型法， 一个是几何法。我们按照这个思路来讲，第一个与典型几何体相关的 有关，正方体 与正方体，我们来看一下，我们换一个正方体吧。 这个，那我们看外切球，大家一看啊，就是外接球， 如果呀，要是这个是 a 的 话，那外接球是什么意思？就是相当于是外接球的球心到各个顶点的距离相等，他们都是半径，这就叫外接球。那我们一看，我把这个对角线一连 找这个的中心，哎，这个点是不是就正好是那个外接球的那个球心？所以说二 r 等于括号三 a， 这是外接球。 内接球呢？我们想想他方方正正的，那里面就正好就有一个这样的球呗，也就是说里边的二 r 内切等于啥呢？等于 a 是 吧？最后就是我要补充一个棱切球，就是与棱相切的球， a 这个长度是不是根号二 a 啊？对吧？这个就是 因为它是切在棱上边的，所以它就是二 r 棱切等于根号二 a， 这是正方题，然后长方题， 长方体我们只研究外接球，换一个长方体， 我们来看一眼啊，是不是就是这个长度啊？ 对不对？这个点的，哎，中间这个是不是到每一个顶点的距离都相等，对吧？这个球的题我说说啊，大家觉得理解很困难，正常球本身就属于理解几个一个很难的地方， 那我们就知道了，原来呀，二 r， 如果它是 a， 它是 b， 它是 c， 那 二 r 就 等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，第三个 就是正四面体。 正四面体啊，我们来画个正四面体吧。 什么是正四面体啊？有同学不知道什么是正四面体，大家看它是一个三棱锥，每一个都相等，六条棱全相等，这样才叫正四面体。正四面体大家直接记正四面体长数， 这个是 a， 你 就记住啊，因为它总考啊，就是 r 外接等于四分之根号六 a， r 内切等于十二分之根号六 a。 第四个与柱体相关的，我跟你们讲啊，就是第四个柱体，第五个锥体，第六个台体， 我们在研究他们的外接球的时候，原理是一致的，比如说啊，我现在看着啊，我画个圆锥，有个球 画一个圆柱，说错了，现在我让一个球切住他，那我你们看他是不一定这球得长这样，对吧？这块没画好就得切住了，对不对？球得长这样，那么我们就截取他的一个结面来研究这个性质，我们就截取这一部分 好了，那我们直接抻出来了，就是这样的， 而且他上下一定对称，他一定是这样的这个结面，然后 这个长度是我们外界球的半径，这个长度呢？是它本身的这个对不对？这个 r 对 吧？圆柱本身的上底面的半径，然后这个是二分之 h 呢？就是它的高的一半，对不对？那么我们直接用勾股定底，就是 r 方 等于 r 方加二分之 h 的 平方，这是柱体，然后锥体，我们画一个圆锥吧， 你们想想圆锥会什么样呢？我们看啊，还是采用先画圆，又我们画了一个球，对不对？圆锥在这球里边是吧？这画的挺好，在这球里边，哎，然后我们看啊，我们应该研究哪个界面啊？我们是不是研究这个界面， 对不对？那好，那我把它画出来， 这里面有什么性质啊？这题有个结论，但是我不想让大家提结论，你们看， 如果说呀，这个是半径，半径 r， 对 吧？那么你们看看，这个是底面半径，对不对？这是半径小 r， 那 这个是啥呢？假设我设它是 x， 我们假设它是 x， 那 它是不是也是 x， 它是不是也是 r， 对 吧？这两个是相等的， 对不对？因为这块是圆心球心，对吧？它们两个相等的好，那我这个 x， 其实我可以不用写成 x， 完全可以写成 h 减 r， 那 好了，在这个三角形内， 我们找到等量关系列个五定底，就是什么呢？就是 x 的 平方加小 r 的 平方，小 r 是 这个是小 r 等于什么？斜边是啥？ 斜边是不是 r 等于 r 方，然后呢？ x 我 还等于啥？还等于 h 减 r， 所以 得出来这个式子，我希望教会你们这个做题的方法。最后我再拿台体来再直观的展现下这个例子啊，比如说一个台体 画一个圆台吧， 我最后再直观的展示一下这个例子啊，你们跟住了这块有一个圆台，好，现在这个圆台在一个球里边， 那么我们研究哪呢？我们一定研究这一部分，这这张它是切上的啊，我们研究这一部分，那好了，那我们把它画到一个图里边，它就长这样， 然后我们知道这个 o 一定在这块，然后我再给大家分析一下怎么研究的啊？大家看好了，现在我这么一连呢， 哎，那么这块大家都知道它是 r 一， 对不对？假设这块是 r 一， 这个圆台下边呢是 r 二，这个呢是大 r， 这个呢是 也是大 r， 对 不对？然后现在我就假设它 是 x， 它是 y， 那 你看 x 加 y 是 不是等于 h？ 那 x 的 平方等于啥？是不等于 r 方减大 r 方减 r 一 的平方，对不对？ x 等于根号下 r 方 减 r 一 的平方， y 等于根号下 r 方减 r 二的平方，它们两个 加在一起是不是就是 h？ 所以 说 h 等于根号下 r 方减 r 一 的平方，加根号下 r 方减 r 二的平方。但是关于这种题啊，我觉得大家一般情况下来说，都是可以直接把这数猜出来的。举个例子， 圆台上底面 半径为三，下底面半径为四， 高为七球，这个圆台的外接球， 外接球表面积， 他这个怎么做啊？你们看一下这个怎么做呢？我们还是啊，其实现在我们在画图的时候，大家已经有一定熟练程度了，你们根本都不需要画那个圆台的图了，你们直接把这个抻出来 画一个圆， 然后你们看呢？ 这个是三，对不对？这个是七，这个是啥？这个是四。那好了，我现在画这个外接外接球的这样的，你们看这个是三，这个是四， 对不对？那我们是不是想三四五，我们试试？那他就是四，他是三，一看三加四等于七，这俩都是五，直接就完事了。二等于五就是很多时候他题干中会给你特殊的那个就是条件，所以他不会让你去，真的让你死急败裂。算了，很长时间的这个东西的， 他一般来说等会你猜出来这个 r 是 多少，主要是考你会不会这个方法，那 s 就 等于四派， r 方等于一百派，这道题就做完了，这也就是典型结合题。第二就是非典型结合题， 非典型结合题第一个补形， 补形，记住了啊，第一种情况三垂直，大家也管它叫墙角是吧？补成长方形， 比如说一个这样的锥体， 就是三垂直呗， o p a b， 比如说 o p a o o b 两两垂直，然后这个长度是一，这个长度是二，这个长度是三。那么球外接球我跟你们讲就是外接球它有一个本质， 外接球的本质是找一个点到几何体，每个顶点距离都相等， 你们理解不？都要相等，那我为什么说补形成立啊？你们看，首先我这补形一补，这样补出来的补成长方体了啊， 没画好，没事，就这样吧，就这样得了，画的很潦草的长方体，你们看我是不是没改变这几个顶点， 然后呢？这长方体的外接球是不是就是这个外接球啊？因为他没改变这个本质， 对吧？那也就是不是长方体之后就是 r 方等于一方加二方加三方，对不对？因为在这块我们学了长方体的外接球了，对吧？这就是化位置为已知， r 方等于一加四，加九等于十四，所以说 r 等于根号十四。 哎，不对呀，这是二 r 的 平方， 二 r 的 平方，那 四 r 方等于十四， r 方等于二分之七，所以说 r 等于二分之高十四，是吧？这第一种三垂直，第二种就是对棱相等。 对棱相等啊，还是补成长方体？ 我给你们举个例子啊，就是为什么叫对棱相等？它是补长方体，这个图我自己都画不出来，我给你们先画个长方体的图啊，先画个长方体的图， 你们看这长方体就画出来了。这个讲这些几何很困难，因为我这个笔太滑了，我画这个图就费劲。 就是，你们看，就现在我开始画对连对角线了啊，把它们两个相连，把它们两个相连，把它们两个相连， 把它们两个相连，把它们两个相连。你们看这个其实是一个， 这是三棱柱，是不是？求它的外接球，你看是不就是这个长方体的外接球， 你们说对不对？是不是？我也是没改变顶点，你看补全他就是没改变顶点，对不对？然后把陌生的图形变成了一个熟悉的图形。那好了，举个例子吧，比如说 我告诉你了，说 a b 等于 p， c 等于三，然后 a， c 等于 p， b 等于四， a， p 等于 bc 等于三，就拿这个来举例子吧。那这个我们怎么看呢？我假设啊， 这个是 a， 你 们看这个是 a， 棱长是 abc， 那 我们一看 pc 方等于啥？九等于 a 方加 c 方，对不对？ a， c 方等于 a， c 方， 然后 a p 方得啥？等于 a 方加 b 方。哎，我同学说了，说我要把 abc 解出来，没有必要啊，大可不必。为什么？因为我们之前学了 a 方加 b 方加 c 方等于四二方，对不对？ 二二括号的平方，四二方。那我现在是不是九加十六加九等于四二的平方，对不对？你把它们一相加，你们看是不是？二 a 方 乘以二，二 a 方加二， b 方加二 c 方，是不是？那是不是就是两个四二方？四二方乘以二，也就是八二方等于啥？十八加十六，三十四，这是 等于四分之十七，所以说 r 就 等于二分之根号下十七，这是对棱相等。第三种就是两垂直，两垂直，补直角， 这三个都是补形啊。比如说 我这题都举那个，就是列举的都很随意啊，就是没有什么经过设计，因为我觉得按照这个才讲究出来的东西才是最精要的东西，否则的话，你就容易被那些材料什么的影响。比如说， 假如这假点是六十度，然后 p a， b， c， 假如它们全得二吧 角， a， c， b 等于六十度，六六十度， p， c 垂直于面， a， c， b， 然后呃， c p 等于 a， c 等于 c， b 等于二，然后这个题，这个题我们就这么步行， 然后你们牢记我的这句话啊，做这种外接球的题啊，本质就在找一个点到每个顶点的距离相等，那你一看啊，你都想，都不用想这个，因为他想到 abc 的 距离相等，还有到 p 的 距离相等，我想都不想，他一定在就是这个面上面，对不对？ 就是在把它取终点，把它取终点，把它取终点，这个面上面，对不对？否则的话不能到 c 和 p 的 距离相等，对吧？下一步还到这个距离相等，那是不是他的内心等边三角形是三线合一的， 这把这个面画出来了啊，就这样的，是不就这个点是 o， 这个点就是 o， 对 吧？那这个是二，这是多少啊？是不是二比根号三，对吧？因为一百二十度三角形一比一比根号三， 所以说好了，这个高是一，这个的长度是根号三分之二，这个长度是不是就是外界球的球半径，对吧？所以那也就是 r 方等于一加 根号三分之二的平方等于三分之七，二二等于三分之根号二十一， 这就是关于补形法。第二就是关于几何性质法，第一个补形，第二个就是几何性质， 就是这句话的本质，不会变的，都是找一个到顶点距离相等的点作为球心结合性质。第一个共斜面拼接， 什么叫共斜面拼接？比如这块给你画一个， 你们看啊，假如说这角是九十度，哎，这角也是九十度，大家都知道直角三角形斜边中线等于斜边一半，那好了，比如这块是 a、 b、 c、 d， 那 你们一看啊，我现在取一个 a、 c 中点，直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半，那也就是 公共斜边中点及外接球 球心， 大家理解一下。第二个就是二面角模型， 就这一节课，大家可能课下需要花很长时间去理解啊，因为大家需要把这个图，我画的图在你们草稿纸上再慢慢复刻出来。 这个外接球题本身就是一个高考里边的一个难点，如果出题的话，也是属于第八题的地方，但是我觉得对于你们来说，就是这个题还是好得分，你这种函数导出的题，漫无边际，摸不着的题就不好得分呗，对吧？二面角模型， 比如说 画一个这样的图吧，举个这样的例子，没画好虚线，实线没画明白， 比如说平面 a、 b、 c 垂直于平面 b、 c、 d。 三角形 a、 b c， 三角形 b、 c、 d 均为 边长为二的等边三角形 球外接球面积。那这个题怎么做？ 同学们牢记我之前说的话，啥到各个顶点的距离相等，就是球心，我们看啊，我们找这个三角形 重心，三线合一啊，其实啥心都无所谓了，重心就是保证了 o a o b o c 加上这个点是 o 一， 然后呢？对这个点来说，我找到它的 o 二。现在我就研究这个图形， 说把这块一连，就是先过 a 点做了一个 a h 吧，比如说垂直 bc， 又连接了 d h， 现在我就得到了这个三角形， 你们看，这样看啊，其实没有必要把这块连上，这个点就是 a 得吧，你们要是想看的话，这块就是 a h， 换个视角来看，你们看啊，那这块多少二，对吧？这是一，这是刚好三，那这个刚好三， 刚好三，然后这块是三分之二倍刚好三，那这块就是三分之刚好三呗。 o 一 o 一 是三分之二三啊，到 o 一 h o 二 h 也是三分之二三， 那你们看我们到时候你们理不理解？就是说现在我比如说往外坐，再往外坐的时候，它是一个股五定底的形式，对吧？这样往外坐是个股五定底的形式，比如到这个 a 点距离需要它方加它方，你们看一下是不是就是它 平方加它的平方，就比如往这块做线的时候，这样一连这样，一连这两个边相等，它都等于这个的平方，是不是？那好了，那我们就只能这么做， 这个点 也就是 o y。 那 好了，那 r 方等于什么呀？ r 方是不是就等于这个长度是多少？三分之根号三，是不是三分之根号三的平方，再加上 三分之二倍根号三的平方？这样我其实不需要算，这是一，这是二，这是根号五，所以说是三分之五倍根号三，你们也可以算， 不对，三分之根号十五，不是三分之五的一二根号五，三分之根号十五，你们可以算一下答案，等于这个，这就是二面角模型。好，到此为止啊，就是把这个外接球讲完了，最后我再讲讲内切球。内切球直接教大家一个公式得了， 任意三棱锥 或者是多面体也有可能啊，就是四棱锥也有可能 内切球半径。这我们用的啥方法？我们用的等体击法， 我们直接记得了 v 时间关系，我就不推倒了，你们可以试用等体击法。怎么推？ 这个表指的是这个三棱锥的表面积啊，这个 r 内就是那些球的半径，我给你们画一个图，你们自己回去推吧。 就现在我就有一个点内切球，相当于正好切住了，所以它到这块是 r， 它到这块是 r， 它到这块也是 r， 我 就拿这个点，我就连了很多个线， 跟每个顶点都连线了，我把它分成了三个小锥体，每个小锥体面积都是底面乘以这个 r 内底面积乘以 r 内，再乘以三分之一，三个一相加，那三个底面积变成 s 表了，然后这边呢，加在一起就是总的体积，就这么一个道理，很简单。 最后我们来补充补充技术知识， 给力几何收一下尾， 讲讲平面的基本事实。 事实一，不在同一直线的三个点， 就是不共线的三点， 确定一个平面， 第二个 一条直线上 两个点在一个面内，直线就在这个面内。 最后 两个不重合的 平面有一个公共点，那么它们尤其只有一条 通过该点的 公共直线，这是补充的一个地方啊。最后再补充一点，就是一个摄影定理，这摄影定理我觉得很好用哎，有同学说的摄影定理，我之前学过呀，不是什么 a 倍的 a 等于 b 口算 c 加 c 口算 b 吗？这我之前讲过呀，不是这个啊。 摄影定理在这里面是正线线垂直的，我给你们举个例子，来通俗的讲一下摄影定理，给你们画个正方体， 这个做题特别好用，比如说这条直线， 看这条直线是否垂直呢？教大家一个二阶结论啊，特别快。看着这条直线，就你们假设啊，固定一条直线，你说这条直线在哪个面里边？这条直线是不是就在这个面里边， 对吧？就这个 l 一 线是不是在这个平面里边，对不对？现在我就假设我把 l 二有一束光就打过来了，就让 l 二落在这个平面上了，就比如落在这个平面 r 法上边了， 那么 l 会怎么落着呢？你们想想 l 二这个点是落到这块来了对不对？依次往后落，它是不是成这样的了？ 那大家都知道啊，这是正方体啊，那这个互相垂直对不对？ l 一 和这个， 这叫 l 二摄影，它们互相垂直，那么 l 一 就和 l 二垂直，这是一个结论。大家正线平行的，这个很好用，大题不要写啊，小题可以很快的做出来，也就是 l 一 在阿尔法内， l 一 属于 alpha， l 二在 alpha 上的摄影 与 l 一 垂直，推出 l 一 垂直于 l 二，这就是我们今天的所有内容。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

球的体积是怎么推导的？这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。这球的体积，哎，他，他这公式长什么样？他怎么推导的？这没法直接讲，因为讲他之前要先补充一个非常古老的数学原理，叫祖更原理。这字啊 更，这文言文啊，说密室契童则机不容易，看不懂，咱们新中国人直接看翻译之后的句子。他说 夹在两个平行平面之间的如果有两个几何体，哦， arduino 是 两个平行的平面。他说这两个几何体当被平行这两个平面的任意平面所截时，比如说我在中间随意做一个新的面出来的话，若满足两个截面的面积总相等，这么像切片一样切出来俩平面吗？他说，无论中间这个平行，这平面你选在哪？如果这面积总是相等的， 我们整个两个几何体的体积必然相同。这说实话，这个其实蛮好理解的啊，你个几何体怎么构建出来的？是不是由一个一个面一点一点叠出来的，大家把它理解成一层一层的啊？如果每一层的面积相同，那你叠出来整个体积 必然也相同，这就叫祖公原理。他也给大家解释了啊，为什么我觉得这个棱台和圆台长得虽然不一样，但是能用同一套体积公式呢？如果两个台体上底面面积一样， 下底面面积也一样，那我同样高度来结的这个结面，因为这每一个面，它它是一个相似关系，比例关系是对应的，所以同样的高度的这个面，面积必然相同， 你每一层面积都相同，那我一层一层拼起来，它的体积就像体积一样，自然能用同一套体积公式。就这么回事啊，那但是这个学是学完了阻根原理，跟我们的球有啥关系呢？ 接下来费点力气给大家推导一下球的体积是怎么推导的。这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的，宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。 现在我要推导球的这个体积，那我不直接推倒一个球啊，我嘎一半推倒一个啊，半球体积我就乘以二呗，是吧？那这个半球我现在直接来求它体积，说实话，你得用微积分来做微积分，我会，你不会， 所以我另辟径，我现在在右边再画个圆柱出来，这个圆柱呢，底也是一个半径为二的圆，高呢，也是半径为二的这个高，所以大家可以看到，哎呦，这两个几何体啊，这个整体高度是不是也是 r 啊？所以它俩的这个高度是一样的啊。好，那我干一个什么事呢？我在这个圆柱里面，以上底面为底面，以下底面的中心点为 顶点，我挖一个圆锥啊，就是把这个圆锥的这部分给它挖空了，挖没了啊，就中间上面这一部分是空心的，这构造出来了，它有什么用呢？你看一下， 我现在用一个平面来截，就相当于我这这一个面来切这两个几何体啊，这个半球不用说，我这么一切像切西瓜一样，那我切出来的肯定是一个圆，对吧？你切西瓜切不出来一个正方形，肯定是个圆。那么问题是你这个新的几何体，我这么一切切完，它结面是个什么形状呢？ 大家想你如果没有这个圆锥，我没抠之前，我一个平面去截圆柱，那我这个平面肯定肯定是个圆无疑。但是现在我不小心，我又抠出一块吗？不是。那我这个面跟我抠出这个圆锥，它形成的。大家空间想象能力怎么样？是不是也会形成一个小圆面？ can you imagine that？ 画成虚线大家可能更好理解一点啊，这大圆，呃，后面那半段是看不见的，这小圆因为它整个都在我的体内，我整个就全都得画成虚线才行，现在再看舒服点没？说白了，我这么一切切完，它形成这个界面是一个圆环，对吧？那现在我们对比来看一下，一左一右这俩界面有啥关系？ 我说整个我这个结面到底面这个距离，比如说是个小 h， 哎，那我如果想求我这个半径，那根据勾股定律，这点到这点距离正好是这个 r 才对，所以这圆的小半径根号下 r 方减 h 方，有了半径呢？它的面积就是 pi 它的平方大 r 方 减 h 方，那回头我再算一算这圆环面积，圆环面积我就用大圆减小圆，大圆半径啥子都知道，你这圆跟上下底面是同一个圆，半径就是二，你关键要求出来这小圆半径， 这好不好求呢？就我求线段，我给你把线段放在三角形里面，我就这点这点连接一下，我发现这三角形你整个是九十度，它一半是四十五度，这还直角，所以它应该是一个呃，等腰直角三角形。那我整个这个高度呢？是同一个高度，是 h， 所以 你这是 h， 我 也是 h。 interesting， 大 圆半径大 r， 小 圆半径 h， 那 我圆环的面积就是 pi r 方，大圆面积减去 pi h 方，小圆面积就是 pi r 方减 h 方。 那么在我这个高度任意变化的过程当中，我发现，哎呦，你一左一右面积是同一个面积是一样的。那根据我们的祖公原理，你随便一截面积是一样的。那我整个一层一层叠起来，这个半球和圆柱挖完这个这个圆锥剩下的部分体积就一样。 我的体积。我会求的体积是，我用个割补法，是吧？整个大体级减去一个圆锥体积即可，大体级 pi r 方再乘以二，所以 pi r 立方。圆锥体积我先写一个三分之一， pi 底面积是，呃，是 pi r 方，它整个的高哦，整个的高是二哦，也能合并成一个二个立方， 一倍的减三分之二倍的 pi r 立方。但这不是我最后求的体积，我求的是半球，我最后还得把它乘以二。整个一个大球，体积三分之四， pi r 立方。一定要背下来，高考必考。 ok， 体积公式推导完了，半径为 r 的 一个球，体积是三分之四， pi r 立方。

谢老师每日一题讲解，今天要讲的是菏泽按摩立体几何。 首先希望明天开学的高三生开学快乐，然后已经开学的高三生快乐加倍 好看这个题，他说这个圆台的下底面这个半径是根二，然后下面是个内接正方形，然后 e m 是 两个不定的点，然后 f 是 个中点，那么下底面是个正方形， 然后 f 是 这个点的中点，那么他会考的经常考的一种模型，是不就是应该是在这个 a 上取一个，另取一个中点叫 p 吧， 那么连接这个得屁和 af， 那 是不是会有 af 垂直于得屁？ 好，然后这又说了个面面垂直，那么面面垂直作为条件的话，是不是应该找他的交线 ab， 那 时候是不是找垂直，那是不是这个 c b 啊？那题目中又给了个 af 是 垂直于这个得 e 的， 然后 第一问让你证明 e a 等于 e b， 那 么本质是就是正等腰三角形吗？但是这个题因为 e 这个是不定点，所以不可能正出来，是两个边长是直接相等的， 那么正两个底角也是不太可能的，那么就是正三线合一，正好和我们刚才这个模型对应。是不是在这取这个 a b 的 中点 o 连接 e p 和 d p， 那 么是不是很容易得到 这个这个得屁，它是垂直于这个 a b 的 啊？这个 a f。 然后题目中是不是又给了一个 a f 是 不是垂直于得 e， 那 么 a f 是 不是就垂直于这个面得 p e， 那 么就会得到 a f， 它是垂直于这个 e p 的， 对吧？然后根据我们还没用的，是不是这个面面垂直啊？是不是这个 c b 它垂直于侧面， c b 垂直于侧面，那么就会得到这个 c b， 它是不是也是垂直于这个 e p 的， 那么就会得到 e p， 它是垂直于下顶面的， o e p 垂直于下底面，那么我们就会得到 e p 垂直于 ab， 然后三线合一，第一问就正完了。然后第一问它是比较简单的，重点是注意这个过程的书写，就比如说这个过程是由万叶峰源提供的，它这里写的就稍微有一点点问题，就比如说这个 o p 它垂直这个平面以后，它要下一步要说明这个 o p 不 属于这个平面， e p e b 属于这个平面， 然后才能说 ep 垂直于这个平面，所以它才能说明这个垂直好，主要是这个第二问 啊，第二问他，你求这个 f m 与这个 a d e 的 这个夹角的正弦的最值，这个你首先要注意，你根据这个底边这个半径是根二，我们要先求出这个底面的这个边长是个二， 然后我们要知道这条边这个 o p 他 要指代的他就是这个上底面的这个半径， 那上底面的这个半径关键的一点就是在于这个点 m 的 设法，这个点 m 它有两种设法，第一种设法就是给它设成一个 ab 逗号跟三，然后需要满足 a 方加 b 方永远等于一， 这个设法就是类似于二四年新高考二卷，新高考一卷那个立体几何。还有一种方法就是三角换圆，就是这个 m 点，你要给它设成口塞死一塌，塞死一塌， 逗号跟三，然后剩下的就是纯间隙计算了，就比较简单了，然后他的这个计算就没什么问题，可以参考一下。

很多同学一提到外接球，内接球立马崩溃了，但是显哥说，一定要知道球心怎么去找的，我们往往都是放到一个直角三角形当中，你找到球心了之后，然后在勾股定里算，不就完了吗？比如我们先来一个非常简单的例子， 正方体，他的外接球，球心在什么地方？外接球的半径是多少？就是啥意思呢？正方体、长方体，他的体对角线，这个结论都知道，我们看一看他为什么呢？ 为什么呢？你肯定知道为什么，对不对？为什么的话，当然是非常非常简单的了，为什么呢？因为我们找到底面的外心，底面的外心当然就是长方体的中心， 我们再找到一个侧面的外心，当然就是他的中心，我们从这往上做垂直， 我们从这个地方啊，往这做垂直，那当然这个中心就是长方体的中心，长方体的中心就是他的球心了， 能听懂吧？那所以，所以体对角线啊，体对角线就是球的直径，当然由对称性可知也可以。所以长方体、正方体的体对角线就是外接球的直径，就等一个根号下， a 方加 b 方加 c 方， ok， 所以 我们今天这节课不讲结论，不讲结论，我们基本上每道题都给大家说一说，包括正方体、长方体，他也是啊，就是你得知道他为什么球心在那个地方。来，我们先讲一道题，他说在平面四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d， 这是显然的， 然后呢？ a、 c 和 b、 d 交于 o， 而且 a、 c 和 b、 d 是 相互垂直的，然后呢？他说 a、 c 和 b、 d 是 垂直的， o， a 等于一，然后呢？这个 o、 c 这是一，然后 o c 等于二， o b 等于二， o d 等于二， 然后减去 o、 c、 d， 这个啊，这个三角形把这个三角形剪掉了，然后呢？呃，将三角形 a、 o、 d 沿着 o a 折起来，就这样折喽。 然后呢，我们再把这个 o、 b、 c 沿着 o b 翻折起来，使得 b 和 c 重合于 p。 然后呢，问 p a、 o b， 它的外接球的表面积是多少？它把 c 点沿着 o b 这样折起来了，它把 d 点沿着 o a 这样折起来了。是不是你翻折过程当中，这个三角形是直角，三角形，它永远不变， 这个三角形是直角，三角形，它永远不变。所以你翻折上去之后，那么这个，这个，这个 po 它是垂直于底面， 听懂了吗？ po 是 垂直于底面的，那也就是说我还画这个图吗？不太想画了呢啊，大概画一小下，对吧？你应该能给我提前想象出来啊，提前想象出来，这张是 o b， 这张是 o a， 然后呢，这个地方是这样的，然后呢，他们这个地方是 p 点，对吧？应该是没有问题，这呢是个 p， 然后呢，这个地方就应该是这条线， 然后这呢是这条线，大概画完之后，是，画完之后大概是长的这个样，对不对？所以应该是非常简单，非常简单题目了。那么这个地方就应该是 o 啊， p 是 谁呢？ p 既是 c 又是 d， 因为 c、 d 重合在一点是它，然后这个地方是 b， 这地方是 a， 所以 这个角是直角，这个角也是直角，这个角也是直角，那这就说明 o a， o b， o p 两两垂直 啊，他只是说的特别深奥而已，又是翻折又是什么？那么这个地方的外接球是不是我们就应该是把它放到一个正方体里边啊？放在一个长方体里边，或者说啊，是不是啊？因为这个长度是二， o a 的 长哦， o a 的 长度是一， ob 的 长度是二，那么这个 oc 或者 o d 呢？ oc 和 o d 都是二，所以他的外接球和对应的长方体的外接球是一样的，他实际上就是一个强角四面体， 那他所对应的长方体，他为什么他放到长方体里边？他的外接球和长方体的外接球是一样的，因为四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点正好是对应的长方体的顶点，所以我们假设这地方是 a， 我们假设这辆是 b， 我 们假设这辆是 c， 所以 它的外界球的直径就应该等于根号下 a 方加 b 方，再加 c 方，等于根号下四。加一，再加四就应该等于根号加九是三， 所以二的话就应该是二分之三，所以它的表面积就应该是四。派二方四分之九，所以答案是九个派，所以这是最最简单的题目了， 应该能想得到吧。啊，就是把它想成一个长方体就可以了，因为为什么把它想成长方体，就应该是放在这个位置。给大家画一画你就明白了， o a o b， 我 们字母的顺序不变，你看这辆是 o b， 对 不对？这辆是 o a， 这辆是 o p， 看到了吗？这辆是 p， 这辆是 b， 这辆是 o， 这辆是 a， 所以这四个点确定四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点恰巧正好是长方体的顶点，所以他的外接球和长方体的外接球是同一个，所以把它想成 a， 把它想成 b， 把它想成 c， 就 可以了， ok， 所以 这是第一道题，非常的简单。我们再看第二道题， 第二道题他说在三棱锥当中，四个顶点分别在球面上，那么 pa 等于 pb 等于 pc 等于四， 然后呢， ab 等于 bc 等于二， ac 等于二根三，问球的表面积是多少？这道题也是非常简单的一道题。首先这个地方用到了我们深挖教材课本上的一个结论，他说 pa 等于 pb 等 p c。 那 当然，我们要想找球心的话，我们必须得知道底面的外心在什么地方，底面是是一个什么三角形呢？又，因为你幼儿园毕业了，你对数特别敏感，你看二二二跟三， 所以这个底面呢，是一个一百二十度的等腰三角形。那么大家思考一下， p a， p b， p c， 那 你说 p 点在底面投影是谁？ 这个地方很关键，积累知识，积累知识啊，如果不积累这个知识，这道题很难想。 ok， 所以 我大概给大家画一画你，嗯，我想想怎么画啊，啊，我们想想怎么画，就这样画吧， 对吧？你好好的思考一下，好好的思考一下，我们大概就这么画， 就是由于底面呢？它是一个啊，一百二十度的等腰三角形， 对吧？一百二十度等于上行。然后呢，屁点在底面上的投影呢？他应该是落到了 外面，因为为什么落到了外面呢？就是因为他的外心，外心底面上的外心应该是在外面的，所以这辆是个屁，所以这辆是 pa， 然后这辆是 pb， 然后呢？对吧？这辆是 p c。 要会画图啊，这辆是 p c。 好， 大概能明白了吧。然后呢，这个地方是 b a b， 然后这辆是 a c， 然后这辆是二，这辆是二，这辆是二根三， 所以这个地方是 o 一， 这呢是 o 一， 所以说白了就是这个锥有点歪，有点歪啊。好，那么再大家再想一想，他又告诉我了， pa pa 等于 pb 等于 pc， 是 不是说明这个 po 一 垂直底面，你能想明白不？ 浙江用到了一个小结论， p a 等于一个 p b， 这是我们新华教材上，也是我们课本上扣元体。 p a 等于 p b 等于 p c， 说明 p 在 底面上的投影， p 点在底面上的投影 围什么形围？三角形 a b c 的 外心，需要解释不？需要解释，不 pa 等于 p b 等于 p c， 那 么 p 在 底面上的投影就为三角形的外心，那也就是说 poe 是 垂直于底面的， 那 poe 垂直于底面的话，那大家思考一下球心在什么地方？那球心当然是在这个地方了，某个点上， 就是在这个提高的某个点上。所以这个结论是非常简单的啊，你看 p 到底边的距离。假设这张是 o 啊，投影啊投影，由于 pa 等于 pb 等于 pc， 所以 这三个三角形是全等的。 这三个三角形全等的哪个三角形呢？就是 p a o， 然后全等于三角形 p 啊 b o 全等于三角形 p c o 这个问题吧，因为公共边是 po 啊 p 的 投影 p o， 然后呢，这个这个斜，这这三个边相等的，那所有边都相等 s s s， 所以 我们就能够推出 o a 等于个 o， b 等于个 o c， 所以 o 为外型， 明白了不？那所以这道题你先知道这个小小问题才可以。那你想一想，那既然 po 一 它是外，它的投影是外型，那就说明 po 一 是垂底面的 pu 一 垂直底面的话，又因为我们刚才说了球心在哪地方？球心就是在他的外心往上做垂线上，所以球心是在这个高上面的某一点上，哪个点极等分点没有结论。 那所以我找到球心了，我勾五定零就可以了。我，那往哪勾啊？对不对？我往哪勾？我做一个直角三角形，我们做这个红色的直角三角形，大家可以看，就他 应该用虚线，我们做这个红色的直角三角形就可以了。他，然后呢？还有他 啊，这个这个大概能能想明白不？我这个量画实线了啊，不然的话你看不太清楚这他，那首先这个 o a 他的长度是半径，然后呢，这个 o e a 当然就是半，就是底面的半径，底面外接圆的半径，当然就应该是二， 就是我们记作小二就应该是二，他为什么小二是二呢？就是因为这是个等，这是个等边。这样行，这是六十度，因为这个整个的角是一百二十度，这个角是六十度， 六十度的话，那现在这是个等边啊，或者说用正弦定律，正弦是三十度，然后呢，二二等于一个二，比上一个乘三十，正弦定律也是可以的。那所以二点二， 那我们这个 o 一 怎么算呢？ o o 一， 由于 o 是 球心，所以 o p 是 半径，所以我们得先算出 po 一 来， 算出 po 一 来之后，然后呢，这个 po 一 就应该等于个提高减去一个半径，对不对？那这个 po 一 怎么去算呢？由于这个长度是二， 对不对？然后 p b 的 长度他是四，他告诉我了，所以 p o 一 的长度我们就能够算出来，等于根号下 p b 的 平方减去一个 o e b 的 平方，那 p b 的 话，就应该等于根号下十六，再减去一个四，等于根号下十二，三是十二根三， 没错吧？所以这个地方就应该是二根三，所以这个 o o 一 o o 一 的长度，它就应该等于一个整个的提高。二、根三减去个球的半径， 对不对？因为这个地方是球的半径吗？所以在这个红色的直角三角形当中，我们勾股定律就算出来了，那就是二根三减去一个二的平方， 然后呢，再加上一个四，它就应该等于二的平方，然后一顿狂算就可以了。然后这是十二，再减去四根三，二，再加上一个四，就应该等于零，所以二就应该等于个十六，十六除以四是四比根三， 对吧？四比根三，你让我求它求的表面积， s 等于个四派，二方就应该是三分之一十六等于个三分之六十四个派。 所以这道题选 a 好， 能想明白，不要会找球心好来。我们再看这道题，大家可以看怎么只有 d 选项，这是多选择题的一个选项，我们就讲讲这个选项， 这个选项我们讲两种方法，能长为二的一个正方体，然后 m、 a 分 别为终点。哦，这终点，这终点， 然后呢？分别是它的中点， q 呢？是一个动点， q 是 d 一 a 一 的动点啊， q 是 a 一 d 一 的动点，它说经过 c m b， n， 它是一个选项嘛？所以其他的条件你不用看， m 是 终点， n 是 终点， b 是 终点，然后呢？还有个，还有谁？ m n 还有个 bc 是 吧？ c 是 终点， ok， 人家让你求过这四个点的外接球怎么做？第一种方法 就是你得知道外接球的就是怎么确定一个球面，你最后很多同学连怎么确定球面都都不知道了，就只知道算，或者找找球心，或者是背二级结论， 因为这一张确确实实二人结论非常多。那你想一想，这四个点有多么的巧，正好是底面的这个长方题，所以这道题你看看，我们从这做一个重点， 我们一连接它，看到了吗？我们呢，这个地方做一个重点，我们再一连接它， 然后呢，我们再连接他，也就是说他把正方体切成两半了，上下两半啊，就是上下来完完全全一样，就从中间中截面去截了一个，那大家再看这个 m、 n， 然后 b、 c 绝了，巧了，他正好是下面这个长方体的四个顶点， 又因为四个不共面的点，肯定确定唯一的一个球面，也就是说以这四个点为啊过这四个点的这个外接球，说白了就是下面这个长方体的外接球 啊，长方体的外接球啊，长方体八个顶点在一个球面上，实际上不需要八个点，四个不共面的点就可以了，就找这四个点，所以这道题直接秒杀掉了。也说二，二就应该哪个根号下， 这是 a 等于几呢？二 b 等于几呢？二 c 呢？等于一根号下 a 方再加 b 方再加 c 方，就是下面这个长方体的外接球，就是过 m、 n、 bc 四点的外接球， 所以它就应该等于个根号下四加四，再加一等于个三，所以二等于个二分之三，所以 s 等于个四派二方，四分之九等于个九个派。 当然做这道题当然得用这种方法了，因为这才直接是一个选项。明白，好，那么万一你找不到，你想不到呢？所以我们在讲复杂的，讲复杂的就是我们找到球心， 我们找到球心看，这是 b， 这是 c， 这是 n 啊，然后过这三个点，然后过 m， 是 不是这时候？嗯啊，这这时候怎么办呢？我们就应该找到一个面的外心，往那做垂直，垂直于这个面，球心一定是在那条线上， 所以找哪个面呢？我们当然找的是这个三角形，那这个三角形是什么呢？这个三角形显然是一个直角三角形，它的外心就应该是在 斜边的中点上，那既然在斜边的中点上的话，那我们就应该往这哎，过这个斜边的中点，往上坐啊，当然他坐过去之后，他就应该啊，这个投影永远是在这条线上啊，所以我没画出来吗？我看有用吗？啊，先画出来吧，也，也行， 看到吗？这条线，这条红色的线和这个 b、 n 是 完完全全对称的，平行且相等，所以这个过这个 o 一， 它的外心是 o 一， 这个是 o 一， 我们往这做垂直，他的垂线正好是落到这个点的中点上，能听懂吧？那所以球心落在什么地方呢？球心一定落到这个上面的某一点上，当然具体哪个点我不太清楚，我们假设这样是 o， 他 肯定是落到这个 o 一， 往这做垂直的某一点上， 那所以这时候我们怎么怎么求出半径来呢？我们随便做个直角上也行 啊，应该是虚线，但是我用绿色颜色表示吧，就我们做这个绿色的三角形来，这个长度。我们知道 啊，就这个直角三角形，我们找到一个垂直关系勾股定律的关系，那么由于这个长度显然是半径，是求的半径，而这个长度的话，就应该是一，这是一，这是二，那这个说明这是根五，那就是个二分之根五，所以这个长度是二分之根号下五， 没错吧？所以我们是不是得设出一个未知数来，我们设这个数，这个数为 d， 因为你不设这个数的话，你不知道这是几，所以我们就找到了一个关系式，也说地方 再加上一个四分之五，他就按那个二方，那现在呢？你这是两位数，你还是搞不出来啊，所以你还得再找一个关系式，再找一个什么关系式呢？你不要忘了，人家这个球呢，还过 m， 那 这就说明 o m 的 长度，它也是半径， 那所以 o m 的 长度怎么算呢？ o m 的 长度就应该等于啊这个数的平方加上一个这个数的平方，我们假设这个点记作 o 二吧，听懂吗？我们记着这个点记作 o 二， 所以 o m 的 平方当然也等一个半径的平方，它就应该等于个 o o 二的平方，再加上一个 o 二 m 的 平方。我们又找到了一个关系式，其中 o o 二的平方呢，就应该等于一个棱长是二，所以这个长度是 d， 那 就是二减 d。 二点零的 d 的 平方加上一个 o 二 m， 哎， o 二 m 怎么求呢？ o 二 m 如果不好求，你可以拿着降维的思想，你可以把它这个正方形拿出来，你看 o 二 m 怎么去求？是不是这道题就搞定了？你看 m 是 这个点的终点， 对不对？然后呢？这个点有个终点，所以一连接这个 o 二呢？显然是它的终点， 明白了吧？这是 o r， 那 你说 o r m 怎么求？是不是相当于我们往这做一个什么线，做个中，做个平行线，这全都是初中平面几何的知识吗？由于这个点 o 它是中点，所以这个长度的话，就应该是啊底边的一半，也就是这个长度是一， 那这个长度是一的话，那，那这个地方很明显，这呢就是多少，这个长度是一，那这个长度就二分之一， 就这段长度，所以勾股定律的话，就应该等于根号下一加四分之一，那就是它欧二摩的平方就应该是四分之五，好麻烦，四分之五， 所以这两个式子连理方程就搞出来了。地方再加上一个四分之五，等于二方，所以等于它，那就相当于地方减去四 d， 再加上一个四，然后再加上一个四分之五，地方加四分之五干掉。所以 d 等于一， 对不对？那 d 等一的话，二方就应该等个一加四分之五，等个四分之九，和刚才答案一样的，这就是找球形的方法。 ok， 好， 能明白了不？

hello， everybody， 今天我们继续学习立体几何，咱们来讲一讲如何在二维的纸上画出一个漂亮的三维立体图形。咱们就拿最简单的这个正方体来说，我左右各给大家画了一个正方体， 我奶奶也能看出来，是不是左边这个好看些，漂亮些，美关系右边这个，哎，虽然这个线段呢，也是一些线段，虚线呢，也给你画好了，但是你怎么看他都不像个正方，所以同样是正方，差别咋这么大呢？显然对于一个给定的力度性，不是你想咋画就咋画的。咱有一个标准，这个标准画法的名字叫斜二侧画法， 比如啊，咱知道，呃，正方体底面，呃，按理来说，任何一个面它都是一个正方形，那当我在空间当中画的时候，你看这个底面是不是，哎，这，这变成平行四边形了，这中间咋转化的？就是斜二侧画法，干这事，他说白了就是一种标准，你就像学说明书一样去学他， 比如我们好好的一个平面直角坐标器上，我给你画一个等腰三角形出来，那当我把它放到三维空间里面的时候，我们做这几件事，第一，把垂直的 x 轴 y 揉，这不九十度吗？现在变成四十五度， 哎，在这个空间里面，哎，你看着像那么回事啊，这两条线看，这是垂直的哈。第二步，所有平行于 x 轴的线段，比如说这个线段，平行于 x 轴的就在 x 轴上，它在前后二维和三维空间画法当中长度是不变的。但是平行于 y 轴的线段，比如说就拿这条线来说，它就在 y 轴上，我们为了画图美观，在新画法上要求把这段长度除以二， 比如说原来在图形上，这个长度如果说是两厘米，那现在在这个新图形上，它的长度就变成一厘米了，我们发现在空间当中这样画图 比较美观。最后一个来说，这个正方底，你这底面怎么画出来的呀？实际人家，原来啊，在二维空间上，它的底面呢？啊，是一个正方形，但是画在三维空间当中，原本垂直的两条线段，比如一个是 x， 一个是 y 啊，哎，你不能垂直啊，你得给我现在形成 四十五度了，然后平行于 x 轴上的啊，这个就是 x 轴上，它的长度在新图形当中是不变的，直接拉下来，但是平行 y 轴的线，我现在再在 y 轴上画的时候，长度要减半了，所以大致，哎，大致我就这么画一下，然后两条边都确定了，那这是个正方形的另外两条边平行着画喽，这底面就让我画出来了。 ok， 那 我们回过来继续往后讲啊。现在我来问大家，既然一前一后有这样一个对应关系，那前后图形这个面积有没有什么关系？比如就拿这个三角形来说，他们两个的把它当底吧，底的长度是一样的，是吧？比如说我都设成 a 好 了，他俩的高一个高，这个高呢？我设为 h， 那 新的这个三角形里面，它的高在哪？注意实际的情况上，你这是高，对应着，对应着这条线段是高，对不对？但是呢，我现在研究的是这个图形本身啊，这三角形这当底的时候，高是谁高？高得做垂直对不对？ 我仅是把这个长度求出来啊，我看一看这个关系，放大一点，我想看它的长度，我就把它放到三角形里面，我们刚才知道，哎，这个三角形，这是直角，这四十五度，这不等于要直角三角形吗？那按照标准说啊，你这个长度是 h， 那 我画的时候这个长度就说应该是变成它的一半来着，它应该是二分之 h 有 了斜边，那我这个直角边就是在它的基础上再除个根号二，也就是二倍。根号二分之 h 有 了， 原来 s 一 撇是二倍，根号二分之 h， 那你看他俩是差几倍关系，是不是正好差的应该是二倍根号二的关系，记住了， s， 这个记为。啊，原来的图形面积叫 s 圆，它是二倍根号二倍的。这个新图啊，新图呢，我们称之为叫三维空间内的直观图，起个名叫 s 直，它有一个固定的比例关系， 三角形，这样四边形、五边形、六边形全都满足这关系，我不给他吸正了啊，你记住就行，因为你想嘛，你多边形，那我是不是可以拆成一个个三角形，它是用一个个三角形拼起来的呀？所以这个直观图和原图面积关系，有的时候就能用来做题。 咱先来看一道简单题，二零二五年上海的期中考试，它现在有一个水平放置的平面图形，它的直观图啊，这不就直观图吗？斜不楞登的是不是？三维空间内的？它是什么呢？是一个底角为四十五度，腰和上下底均为一的等腰梯形。哦，原来这个图形在直观图里面，它是等腰梯形。 这四十五，这四十五啊，这一，这一，这也一。那我问大家，你直观图里面是等腰体型，你实际在真正的平面直角坐标系里面，你还能是等腰体型不？显然不是，你前后图形形状那是大改变的对不对？正方形都能变成平行四边形路，所以原来它图形长啥样？哎呀，这个我们一会来说一说啊。但这道题人家没问你长啥，人家问的是 该平面图形啊。就是就是，这人原本的真正的那个平面图形，它的面积是多少？人问的其实就是 s 元。那我是不是能通过这个，我直接把 s 一 撇先求出来， 乘个二倍根号二呗，简单变成小学数学了。上底是一，腰也是一想学下底做个垂直直角边，一除以根号二，二分之根号二，左右对称的中间是一，所以下底应该是一加根号二。 s 等于上底加下底一加一，加根号二，乘以高高是二分之根号二，最后再除以二。 我最求的 s 圆就是它在乘以二倍根号二。约啊，全约掉二加根号二，这是我们的第一种解法，你都知道结论了是吧？哎，但是你光做完题不行啊，我现在加大难度啊，我要求大家，你这不是直观图吗？你现在把它的平面图，也就是在这个直角坐标系当中的真正的那个图形给我画出来， 开始画你这四十五，我这就垂直 x 轴，长度一加根号二。那我现在也是啊，那也画成一加根号二。好，那这个四边形的两个我是不是先确定它比较好，确定 怎么画呢？有的人说，啊，这这个我这样画，那你大错特错，为什么？因为你这个点啊，就是无论你怎么转化，你这个点现在在 y 轴上，转化完在 y 轴上，你转化之前是不是一定也在 y 轴上啊？你图形的性质不能变啊。 你这个变原来在 y 轴上，你现在转化完也得在 y 轴上，你这在 x 上，也得在 x 轴上，你不能转化着转化着跑偏了，是吧？所以这个点对应到原来上也得在 y 轴上，但是它的这个坐标的长度是多少长度？你得是你这个长度的两倍，这个长度 是一，那他的两倍就是二。那现在已经三个点都确定的情况下，第四个点什么位置？首先上底跟下底肯定是平行的，对不对？还是那句话，因为我转化前后，他的平行性质不能发生改变啊。垂直有可能发生改变啊，因为因为你这原来垂直的，现在现在都不垂直了，但平行不能变，咱还得平行的话，但是具体伸出去多长咋说的来着？ 跟 x 轴，这不就问 x 轴平行的线段吗？跟 x 轴平行，线段变化前后长度不能变呐，所以这也是一因此。原来呀，这图形它实际上是一个直角梯形，然后转化着转化着变成等腰梯形了， ok， 很 有意思的一道小题，再来一道， 刚才问面积，现在，哎，现在不问面积，问周长了。那这个时候呢？你没有这个公式，没有结论了，你就真得进行直观图和平面图之间的转化了。他给我的是 y 着的，这叫直观图对不对啊？他说啊，这个直观图怎么样呢？ b 撇， c 撇， a 撇 c 撇，都是一。这两个啊，都是一。 a b 平行于 x 轴， a c 平行于 y 轴。 ok， 那 首先我能知道是你这俩平行，这俩平行，那你形成的这个角度得是一样的。所以说明，哦，原来这四十五，这也四十五，因为你是等腰三角形，你俩四十五，你这就直角啊，等腰直角三角形，一比一比更好。二， ok， 那 现在人家问我三角形 a、 b c， 我 刚才这是 a b 撇 c 撇 a， b c 指的是，是不是那个原来的那个平面图啊？真正的那个图形，那我就转化一下呗。 首先，呃，我在真正的平行当中， x 轴、 y 轴，那得垂直的。然后我问大家啊，你这三角形三边，你先画哪条边最简单？是不是跟 x 轴平行的？我不用动就好了。你原来是多长，我现在还是多长， 我就画一个根号二这个长度。接下来你说 a c 好 画还是 b c 好 画？傻子，你都得给我调 a c， 因为 a c 性质多的。摁它，它跟 y 轴平行呢？是不是平行性质不能变？你变化后平行，变化之前跟 y 轴也得平行， 但是长度注意，我画多长呢？你变化完是一，变化之前我得是你的两倍才对。所以我这个图案，这个这个纵坐标还真得画长一点，它的长度是二，这样画。那紧接着你三点多确定了，那最后一条边直接连起来就可以喽。他一会问我边长，我得求斜边根号下它方加它方是根号六，那二加根号二，加根号六，选 c 结束。

ok， 那 么接下来我们来看一下最后一种台体的体积公式。那你想台体这些体积跟啥有关？它跟你上下底面这面积多大有关，对吧？而且呢，也跟你这个两个面之间的这个距离这个高也有关系。如果把上下底面上面记为，比如说面积是 s 一，下面记为面积 s 二，高，我记为 h 满目。无论是棱台 还是原来，我们其实有一套统一的公式，公式说实话，长得有点复杂，它是三分之一倍的高，再乘以括号 s 一 加 s 二，加根号下 s 一 s 二，我觉得记还挺好记的啊，你把这玩意怎么理解呢？三分之一，呃，乘以它，你就理解成上的一面儿， 下底面跟号上下底面的三分之一就是平均值吗？那时间关系推倒我今天，呃，不给大家推了，因为过程还挺复杂的，如果感兴趣的宝贝，你可以自行百度一下，你看肯定能看懂，大致思路就是原态怎么来的？就是你先把它补全成一个椎体，之后用整个的体积减去上面的体积，那剩的不就是台体体系？那今天为了加强大家的记忆，我帮大家深入研究一下这个公式， 现在无论是柱体也好，椎体也好，台体也好，体积公式咱都有了，咱都会是吧？这仨公式我摆在这，我现在来研究研究这仨玩意的关系，你说我能不能有可能啊，把这个台体 给它变成锥体呢？哎，你听起来挺荒谬，但是实际操作非常简单，你想现在它上底面它有个面积啊，是 s 一， 上底面不这么大吗？你说我如果把上底面让它缩小一点，再缩小一点，最后缩缩，缩成一个点喽，再跟下面四个点连起来，那不就变成锥体了？所以想抬起变锥体，只需要一步操作，让上底面面积趋近于零。那你看看在面积公式里面怎么体现 s 一 零， s 一 乘 s 二。因为 s 一 是零了，所以整体这这一项也是零，就剩一个下底面，所以三分之一底面积乘以高啊，因为这两项是零了，没有了。三分之一底面乘高不就是锥体体积吗？零系上了吧。那我抛砖引玉问大家第二个问题，你台体能不能变成柱体？简不简单？柱体，你上下底面这个面积要相等，我只需要让上下底面 s 一 s 二相等 即可。那现在这公式又变了，如果记 s 一 等于 s 二，呃，就记为一个 s 好 了，它是三分之一 s 加根号下 s 方再加 s， 再乘以 h， 那 你这是 s， 这是 s， 这是 s 三 s 除以 s 就是 s h， 听懂了吧？公式也记下来了吧。直接应用正四棱台图，没给我够损的，那我就画一个正四棱台。那这个正什么意思？正意味着第一层意思，上下底面都是 第二层意思。你正的话，那每一个侧棱的长度应该是相等的。换句话说，你上底面在底面，这个投影应该正好落在中心点上。你不能不能歪了，不能这样，你这歪出去就就不能叫正棱台，大大方方在中间，哎，才叫正棱台。 那么连起来题目，这上下两个边长， a b 二， a e b 一， 这是一，然后这 a a 一， 这是侧棱长。我们这不是立第几个第一节课吗？侧棱长怎么用？是不是一柱擎天法？只不过第一开始我们讲的是正三棱台，那下面变成正四棱台，那我一柱擎天坐个高， 这高跟底面任何一条线都是垂直关系。他让我求体积，我肯定要求这个高，想求高，我只要把这条线求出来，然后勾股定力即可。 那我想求这条线，我直接看啊，说实话，没有那么好看。当然你直接看也不是不行，我还是喜欢。大家刚学你做个俯视图出来，下底面有个正方形，上底面也有一个啊，正方形正好落在中间的位置，那这四个侧棱连起来，那咱要求的这条线，其实正好是俯视图的这个线段的长度，对不对？ 变成二，这是一，整个，应该是二，二倍根号二，这应该是根号二，所以呢，二倍根号二减根号二，它俩相加是根号二，那每一个就是二 分之二。所以勾股定里，这第三条边，根号加它方，减它方二分之二六，上底面积一乘一，下底面积二乘二是四，体积是三分之一， s 一 加 s， 二加根号下 s 一 s 二，再乘以勾。呃，这加完是七六分之七倍根号六。 很漂亮的小题啊。那么再来一道高奥义，二零二四年全国假卷啊，不是棱台了，变成圆台了。那甲乙两个圆台，上下底面面积半径半径是一样的，但母线长呢？不太一样，母线一个短一点，一个长一点。问我俩圆台，呃，体积之比，我管你那乱七八糟的，我每个体积都算一遍不得了吗？上面一个面，下面一个面， 还有母线，我在上下半径都知道的情况下，我只要把这个高啊，这个高求出来不就得了吗？ how long is it？ 这二二，这二一，那你这一段就是 二一减二，二。好，你母线长还给我了啊，我先算二倍的，那你一比二，这就是根号三倍的，咱第一个体积有了三分之一，中间是三个面相加第一个，呃， s 一 啊，派二一方和派二二方啊，我直接写在一起了，甭管上下底了，再加上根号下 s 一 是 s， 二就是派方二一二二 再乘以咱们这个高。那接下来如果把母线哎，把由二变成三了，这是三这三倍的，这一倍的，这个就是二倍。根号二倍的应该是他体积公式。我什么变呢？别的都不变。那不就是这个高变了吗？我上下底面积没变呢，把根号三换成二倍根号二。前面都一模一样的啊，全都约掉了，后面也约掉了，一样的，但崩出来四分之，根号六。 那么以上就今天想给大家分享的全部内容分享了。简单几个题的表面积，柱体、锥体的体积以及最后台体的体积。再给大家留一道小作业作为思考题，祝大家一做就对。别看别看，这复杂啊，就用用公式就好了。加油，晚节洒花！

hello， everybody 这个视频我们要讲的是立体几何的第一大重点，表面积和体积。首先来看第一组表面积，有关棱柱啊，棱锥棱台的咬面积咋求？你把一个一个面积都求出来，然后加起来呗，有啥好讲的，没有啥讲的，不讲了，你 平一次面积你就，呃，底层高啊，你三角形就二分之一，底层高你提醒就上底加下底乘以高除以二，每一个面是啥形，你就套个小学公式不就得了吗？ 我们来看第二组有关圆柱圆锥和圆台的圆柱小学就学过，你给它侧面展开喽，侧面是一个矩形，上下底面呢？是两个圆是吧？它的宽就是圆柱的高，它的长是圆柱哎，这个边缘的圆的周长，如果半径是二的话，它周长就是二排 二。重点咱来说一说，这个圆锥和圆台的圆锥底面展开完，那肯定是个圆。侧面展开是一个扇形啊，是以多少为半径的呢？母线长是多少，半径就多少， 母线有可能直接给你，那或者另外一种情况，人家母线让你求人，先给你个小半径，再给你一个高，那我母线是不是就可以用勾股定力先求出来了？好，那母线有了，比如说，我记为啊大 r 好 了， 咱是不是还知道你扇形哎，你这个弧长应该正好呃，是这个二拍 r 的 周长，这不能不知道啊，所以我们在学三角函数的时候，哎，是不是学过呀，它的面积怎么求？你就把这个扇形想象成三角形二分之一，这个当底，这个当高就好了，特别简单， 侧面展开图面积 s 等于，我来写一下二分之一二 pi r 再乘以这个大 r， 这公式你不用记啊，理解。那提醒大家一下，如果人家问圆锥的表面积是多少，你要把这算完，这 s 再加上这个小圆啊，它的面积 pi r 方加起来才是表面积。 好，那最后圆台上下各展开出来一个大圆，一个小圆，这不用我说，侧面展开来应该是一个，呃，一个。怎么说呢？是圆环的一部分， 上下底面半径我记为二一和二二，那这段长度二排二一，这段长度二排二二，两线间这个距离正好是我这个圆台这个小母线，比如我记为一个，呃，一个 s。 好 了，要注意，如果我想求它整体面积的时候，第一个方法啊，你这个圆环，你可以用大扇形整体面积减去小扇形面积，那就是剩的这块面积。但是这个方法比较困难，它比较墨迹。 另外一个方法，咱是不可以把它看成三角形啊，这个当底，这个方法比较墨迹。另外一个方法，咱是不是可以把它近似看成一个梯形，它的面积跟梯形公式一模一样， 这是上底，这是下底，这是高面积。公式是上底加下底乘以高。注意，在这这个图形里面，我是把 s 看成高，和圆台的这个高可不一样啊，乘以高，再除以二，就是这么简单。我不给大家举具体题目了，公式我都给大家了。

今天我们来学习一下在立体几何当中点线面的一些语言表达。这节课特别简单，特别轻松。为什么要学他？他想象一下，你在学集合的时候，是不是你要先学会一些？哎，小符号要 是连集合的基本概念都不会表示，那你学个啥集合呀？那咱立体几何也一样，在学什么平行垂直关系之前，先会把最基本的点线面表示了。 我们呢，一般用大写字母表示点，大 a， 大 b， 大 c， 大 d， 用小写字母表示线，比如这条线叫直线 l， 这条线叫直线 m， 最后用希腊字母阿尔法贝塔伽马表示面，很简单哈。哦，当然，对于线和面来说呢，你除了用这单独字母来表示，那如果有两点在直线上，你已经已知了这是点 a， 这点 b， 那我也可以说，哦，这是直线 a， b 两点确定一条线吗？哎，那几个点确定一个面，是不是三个点确定一个面？所以如果这点 a， 点 b， 点 c， 这个面背他，我也可以写成平面 a， b， c。 ok， 单独的点线面，你会表示了他们之间会发生关系， 一共常见的十一种关系。我已经把图都画好了，我们用语言去描述这个图发生了什么。第一个点在直线上，我可以画图来表示点在直线上，那我用语言怎么说呀？我们知道线呢，作为这个集合当中的元素，我可以就写这个元素属于这 集合。哎，我就可以用属于表示点在直线上，那如果点不在直线，点在直线外，你怎么写？我姥姥也会了，那就不属于呗。好了，那类似的那点在面上呢？ 比如这个面，我记为阿尔法好了啊，那我点属于平面阿尔法点在面外， c 就 不属于平面阿尔法。所以有关点啊，在哪不在哪，我们都用属于或者不属于，但是你注意，如果我说的是线在不在面上的时候，你如果写直线 l 属于 r 法，不允许这么写。我直线 l 是 有关点的集合，而 r 也是有关点的集合，这你不能用属于，而应该类似于用子集的一个符号啊，但是跟子集长得不一样，集合里面子集，哎，是不是长这样的？在立体集合里面，我们把下面那个横线给它去掉，这样表示线在面上 下一个啊，那线，如果线如果不在面上，它跟这个面呢？有一个交点，我不简单也会。直线是一个集合，这个面呢，也是一个集合，俩集合有交点，那就是俩集合。 l r 法的交集是点 p understand 哦，直线平面，交点是 p， ok， 那 最后几个更简单了，线面平行，线是直线 l 啊，面是面 arfa 它俩平行，那平行符号小学就学过。那如果线面垂直，哎，那也会它俩垂直。最后三个， 我们第一行研究了点的关系，第二行研究了线和面的关系，最后一行研究两个面的关系。如果两个面有交线，那还是用交集符号 arfa 交 betta 有 一个线，线呢？用 l 来表示是吧，多么自然的表示方法呀。最后两个面平行， arfa betta 平行。那如果垂直， arfa betta 就 写成垂直。 学完了啊，好简单好简单。直接做题吧。问，下面这个符号去入，跟这个对应的图形联系起来啊，哪个是哪个？我直接来看图了啊。第一个图，这小 a 是 什么？注意啊，这是小 a， 这是 r 法， r 表示的面，小写字母 a 表示的是线啊，所以线和面有一个焦点是大 a， 那 就意味着小 a 交上大 r 法等于 a， 哪个里面有小 a 交 r 法，是不是这个？ 那这前面在说啥呀？这是线，这是面啊，非常容易看错啊，线在面上，我用这个符号，那这道题加个杠的意思就是说，呃，线不在面上，对不对？哎，没说错，它对应一 第二幅图，这里一共有三个面啊， arfa beta， 伽玛还有三条线，小 a， 小 b 还有小 c， 那 意味着就是说 arfa beta 有 一个交线，呃， beta， 伽玛有个交线，呃， arfa beta 也有个交线，是吧？这明显应该选的是第四个吧。 那就人就给你补充了一下，小 a， 小 b， 小 c， 三条线，交点是 o， ok， 没有问题，来，下一个。我一看，哎，这个点跑外边去了啊，所以点 a 不 属于面， arfa， a 不 属于 arfa， 然后线呢？在 arfa 上，线，在 arfa 上， wonderful， 最后一个就放这来读一读，看能不能理解。 arfa 的 两个面交线是，呃，直线 a， arfa， 它交线是 a， 没说错。然后 p 呢？既不在 arfa 上，也不在贝塔上啊， p 跑外边了啊，飞出去了。好了，做了一道题，大家应该也对这些小符号应该比较熟练了，对吧？