八下数学第二十章勾股定理的定义

这节课咱们一起来学习一下第二十章关于勾股定律的内容。首先，直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久。我国古代我们把直角三角形的短的直角边叫做勾，长的直角边呢叫做股，斜边叫做弦。 根据我国数学典籍周笔算经中记载啊，在公元前十一世纪的时候，人们就知道勾为三，股为四，那么弦就为五，也就是咱们所说的勾三股四弦五。后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系， 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这个就叫做勾股定律。本章我们将来探索并且证明勾股定律还有它的逆定律，并运用这两个定理解决有关问题，来加深对直角三角形的认识。首先我们来看第二十章第一节勾股定律及其应用。 直角三角形呢，是一种特殊的三角形，它的三个角满足于一个角是直角，另外两个角互余啊，互余就是两个角和为九十度嘛。对于直角三角形的三条边，他们有什么特殊关系呢？咱们这节课就来学习一下啊。 先从周比算经中看一下，商高构造了一个勾股弦分别为三、四、五的直角三角形， 并指出两举共长二十又五一指分别以勾股为边的正方形的面积之和，恰巧等于以弦为边的正方形的面积之和。咱们就用这个图来表示啊，记得 勾是这条边的长度，也就是在直角三角短的一条直角边，这个称作勾 五，就是直角三角形中较长的那条直角边，也就是这条直角边，斜是这条直角边，咱们一起来看看啊！ 这个三角形的勾所对应的长度是三，所对应的正方形的面积是不是变成成边长三的平方呀？五呢，它的长度是四，所对应的正方形的面积是不是是四的平方， 而弦是五，他所对应的正方形的面积是五的平方。那咱们试试啊，三的平方三三得九呀， 四的平方四四十六啊，是不是等于五五二十五，我们发现没有问题，是的， 所以说我们就得出了，从边的角度看，这个直角三角形的三边满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么其他的直角三角形的三边是否也满足上述数量关系呢？如果都满足，那么我们是不是就可以得到勾股定律了呢？ 一起来看一看探求中的内容。在这个图中啊，每个小方格的面积均为一，图中正方形 a 一、 b 一、 c 一 的面积之间有什么关系？ a 二 b 二 c 二呢？ a 三 b 三 c 三呢？咱们一起来看看啊！ a 一 这个三角形的面积是一 b， 这个三角形的面积是不是二的平方啊？也就是四， 因为它的边长是二嘛。 c 一 这个正方形，它的面积是多少呢？我们可以发现， c 一 这个正方形的面积很难求，因为我们不知道它的边长是多少，因为它并不是整数，所以说我们用割补法，在这个正方形之中啊， 减去四个小的三角形就好了。这个正方形是边长为三的正方形，那么也就是 三的平方减去一共是四个这样的小三角形，我换个颜色，减去四个这样的小三角形， 也就是减去四，乘以一个小三角形的面积是底是二，乘高是一，再乘以二分之一就可以了啊。然后咱们来算一下啊，三的平方是九，减去这个二乘一得二，二再乘二分之一，那不就得一了吗？ 一乘四，那就得四，九减四等于五。然后我们就会发现，哎，刚好 a 一 的面积是一， b 一 的面积是四，一加四刚好等于 c 一 的面积五啊。 接下来我们来看看第二个图，寻找 a 二、 b 二、 c 二这三个正方形之间的关系。 a 二，这个正方形的边长是二，所以说是二，二得四，它的面积是四。 b 二这个正方形呢，它的边长是三，三三得九，三的平方嘛，是九。那 c 二呢？我们还是运用割补法来求这个大正方形。大正方形的面积是 边长乘边长，它的边长是五五的平方，减去四个小三角形的面积，我们看这个小三角形啊，它的底是三， 再乘以高是二，再乘以二分之一。简单算一下，五的平方是二十五，减去这个二乘二分之一，它等于一，就不用看了啊，三四十二，二十五，减去十二等于十三呢。 哎，我们刚好可以发现， a 二的四加上 b 二的九，刚好等于 c 二的十三，好像也满足于我们刚才得到的那个关系。接下来我们再来看一下 a 三 b 三 c 三啊。 a 三，它是边长为三的正方形，三的平方等于九，这是它的面积。 b 三这个正方形呢，是边长为五的正方形，五的平方吗？五五二十五。 c 三呢，它是由这个大的正方形 数一数，它的边长是多少？一二三四五六七八，它的边长是多少？一二三四五六七八，减去四个小三角形的面积。 以这个小三角形面积来看啊，它的底是三，高是多少？一二三四五，高是五，再乘以二分之一就行了啊。八的平方八八六十四，减去 四乘二分之一等于二二五，一十十。再乘三等于三十等于 六十四，减三十等于三十四，而九加二十五也刚好等于三十四。 所以说我们这三个都算完了，那我们可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之合，等于以斜边为边的正方形的面积之合。那么我们就可以猜想了， 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c， 那 么 a 方加 b 方等于 c 方， 是不是就可以做了呀？因为我们刚才也发现啊，这个所对应的正方形的面积之和，正方形的面积之和，所有正方形面积是不是就是它所对应的三角形的那条边的平方呀？ 所以说这么就得到了啊， a 方加 b 方等于 c 方。接下来我们来看看如何去证明这个猜想。 说了证明这个猜想的方法有很多，看一看我国古代数学家赵爽的正法。这个图案是赵爽在注解周比算经时给出的，人们称他为赵爽弦图。 赵爽根据这个图指出四个全等的直角三角形，也就是我们红色的部分，这上面写的珠十啊， 可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形。赵爽利用弦图来证明这个猜想的基本思路是这个样子的，我们来看一下啊。 首先来看第一个图，把边长分别为 ab 的 两个正方形连到一起，也就是说这个红色的部分是边长为 b 的 正方形连到一起， 它的面积是 a 方加 b 方。同时呢，这两个正方形啊，我们还可以分割成四个全等的直角三角形，就是这样，这是一个全等三角形，两个全等三角形， 三个全等三角形。将全等三角形进行移动， 移动到了图中，我们像二图这样进行移动位置，最后移动成一个三图。这样的方式 在第三幅图之中啊，我们发现它此时边长就为 c 了，它的面积在这个图之中啊，它的面积是不是一个正方形的面积，也就是边长乘边长，一条边是 c， 所以 说它的面积是 c 方， 而这个 c 方和我们这个图之中的面积是相等的，因为它都是四个全等三角形和一个黄色的小正方形组成的， 这样就可以得出来它们的面积相等了。而这个 c 正是我们平分四个全等三角形中的那条直线，这个直线和 ab 刚好就组成了一个直角三角形。通过照上弦图，我们就得到了一种证明 勾股定律的思路，它呢，就证明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称作勾股定律。赵爽呢，通过对图形的分割拼接，巧妙的利用面积关系证明了 勾股定律，这种方法是我国数学家常用的初入相补法。赵爽，弦图体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲。 而二零零二年在北京召开的国际数学家大会上，就是以这个图来设计的啊，而在这里又有一句话，在西方，人们称勾股定律为毕达格拉斯定律。因为啊，在西方， 毕达格拉斯总结整理了关于直角三角形三边的关系，也就是说 a 方加 b 方等于 c 方，这个关系在西方是由毕达格拉斯发现的啊。 我们来看一下探究，根据照手弦图，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定律吗？ 我们来看一下利益，根据所给条件，分别求两个直角三角形中未知边的长。首先我们看啊，第一个图中，它是一个直角三角形，在直角三角形 abc 中啊，根据勾股定律，两条直角边的平方和等于斜边的平方。斜边是 ab， a、 b 的 平方，等于 a、 c 的 平方加 b， c 的 平方， a、 b 是 斜边， a、 c 和 b、 c 都是直角边， 那么 a、 c 的 长度告诉我们了是八的平方， b、 c 的 长度告诉我们了是六的平方，八八六十四加上六的平方六六三十六等于一百， 而此时一百是 ab 的 平方，也就是斜边的平方。我们要求斜边，就运用到了我们上一段学的内容，开根号， 那么 ab 就 等于根号一百，根号一百，一百是十的平方吗？两个十相乘等于一百，那就等于十了，所以说 ab 等于十。而在第二题中，在三角形 d、 e、 f 之中，根据勾股定律， 斜边是 df 的 平方，等于两条直角边的平方和 d、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方。 而这道题中要求我们求的是 d e， 因为我们 d e 不知道啊，那么我们就需要对这个式子进行处理，我们把 e、 f 减过来就行了，这样等式的左边就只剩下 df， 这样等式的左边就只剩下 d、 e 的 平方了。 d、 e 的 平方等于 d， f 方减去 ef 方， d、 f 是 多少呢？是十七的平方，减去 ef 方， ef 方就是十五的平方啊。 此时就涉及到我们计算的内容了，千万不要真正的去算十七乘十七等于多少，十五乘十五等于多少，你应该去想一想我们之前所学过的减变计算，这是一个平方差公式啊，十七减十五乘以十七加十五， 十七减十五等于二十七加十五等于三十二等于六十四。然后呢，我们再进行开根号，第一就等于根号六十四，六十四是八的平方呀，所以说第一长度为八， 这是我们在计算的时候的一些小技巧啊。接下来我们来看一下这一块所对应的练习题。 已知直角三角形两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c。 现在说了 a 等于六， c 等于十。我们先把勾股定律列出来， c 方等于 a 方加上 b 方，此时我们要求求 b， 那 么 b 方呢？就这样来求等式的两边同时减去 a 方， 右面减去 a 方，是不是只剩下一个 b 方了？左面呢？减去 a 方，那就是 c 方减 a 方，然后代入计算， c 方是十的平方，减去 a 方是六的平方，十的平方是一百六的平方是三十六，最后等于六十四，那么 b 就 等于根号下六十四，六十四是八平方啊， b 等于八。 第二题，我们还是先把勾股定律写上， c 方等于 a 方加上 b 方，要求我们求 c， 那 刚好直接带进去就行了。 a 方是五的平方，也就是二十五， b 方是十二的平方啊，五的平方是二十五，加上十二的平方是一百四十四， 那就是一百六十九，而 c 呢，就等于根号下一百六十九等于十三。 第三题，还是先把勾股定律列出来啊， a 方、 c 方等于 a 方，加上 b 方，要求我们求 a 方， 要求我们求 a。 那 么对这个式子中，我们就得求 a 方，等式两面同时减去 b 方，这样的话，等式的右边就只剩下 a 方了，而左边呢， c 方减 b 方， c 方是多少呀？ 是二十五的平方， b 方呢，是十五的平方还是利用平方差公式？二十五减十五乘以二十五加上十五，二十五减十五等于十二，十五加十五等于四十， 乘上四十等于四百啊！然后再开根号嘛， a 等于根号下四百，四百是二十的平方，所以说 a 等于二十。 这是我们练习题的第一题，接下来我们来看第二题啊，如图，在这个图中啊，所有的三角形都是直角，三角形， 四边形都是正方形，已知正方形 a、 b、 c、 d 的 边长分别为十、二、十六、九、十二。我们依次来标一下啊， a， 它的边长是十二， b 呢是十六， c 是 九， d 是 十二。求最大正方形 e 的 面积，那咱们可得慢慢求了啊， 如果想求这个正方形 e 的 面积，也就是说我们得求这条边的面积，要求这条边的面积，我又需要这条边的面积，这两条边的面积怎么求啊？那我肯定需要这两条边的面积，那么我们来进行计算啊！我们先把边长都表示出来， 设 a、 b、 c、 d 的 边长为小 a、 小 b、 小 c、 小 d 啊，然后我们表示出来啊， 这条边长怎么表示啊？是不是这两条直角边的平方和呀？因为这是一个直角三角形嘛， 那么我们就表示一下吧， a 方加上 b 方就可以得到这条边的平方和了，而这条边我画红色，这条边的平方和和我画圆圈的平方和是一样的啊， 而这条边的平方和我应该怎么算呢？我应该拿这条边来算，因为这个紫色的图形是个正方形嘛。这条边的平方和怎么算呢？是不是就是 c 方加上地方了呀？也就是这两 条边的平方和这条边的平方和。这两条边在这个三角形中都是直角边，所以说两个， 所以说这两条边的平方和相加是不是就等于易这个正方形的面积了， 因为得到的是易这个正方形的边长的平方，而边长的平方刚好就是面积，所以说我们只需要算出这个式子得多少就行了啊。 说了 a 所对应的边长是十二，那就带十二的平方加上 b 呢？ b 是 十六加上十六的平方，再加上 c 所对应的是九九的平方，再加上 d 所对应的是十二的平方。然后我们简单计算， 十二的平方是一百四十四，十六的平方是二百五十六，九的平方是八十一，还有一个十二的平方是一百四十四，然后把它都加起来等于六百二十五，所以说这个最大正方形 e 的 面积就是六百二十五了啊。 接下来我们来看一下第三题，在平面直角坐标系中有两个点，一个点是 b， 求这两点之间的距离。 我们可以发现啊， a b 这两个点和我们 x 轴、 y 轴刚好组成了一个直角三角形，我们是不是就可以通过直角三角形中的勾股定律来求 a、 b 两点之间的距离呀？ 我们可以看一看，在直角三角形 a、 o b 之中，两条直角边分别是 o a 和 o b。 o a 的 长度我们可以看出来， o a 的 长度不就是五吗？ o b 的 长度呢？是多少？是四呀？这都标好了。 然后我们再列出勾股定律， o a 的 平方加上 o b 的 平方，是不是就等于 ab 的 平方呀？ 那 ab 的 平方是不是就等于 o a 方？ o a 方是五的平方加上 o b 方是四的平方，五的平方是二十五，四的平方是十六，加一块是多少呢？是四十一，那么 ab 这两点的距离就是根号四十一啊。 好，所以说这道题得数是根号四十一，就按了勾股定律以及它的证明，我们来看一看它的应用。 勾股定律啊，有广泛的应用，我们要用它解决两个问题，像例二之中一个门框的尺寸如图所示，一块长三米，宽二点二米的博物馆，是否能从门框内通过？为什么呢？可以看出啊， 这个门框他的长是一米，宽是两米，所以说我们这个长为三米，宽为二点二米的长方形木板，长宽都比这个门框要大， 所以说木板横着或者竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能不能通过了。咱们就需要看看在这个门框中，他的对角线 a c 的 长度是木板能斜着通过的最大长度。 这样我们只要求出 a c 来，再和这个木板的宽进行比较就可以了，因为我们可以把木板横着过吗？接下来我们来看一下怎么做啊。第一步，连接 a、 c， 这样我们就创建出了一个直角三角形 abc， 根据勾股定律， ac 是 斜边呢，等于两条直角边的平方和等于 ab 方，加上 bc 方， ab 长度是一， bc 长度为二一的平方加二的平方，那就是五，而 ac 的 长度就是根号五。在这里说了，约等于二点二四， 而二点二四是大于木板的宽二点二的。所以说啊，木板能够从门框内横着通过。接下来我们来看例三啊，在这幅图纸中啊，一架长为二点五米的梯子斜着靠在竖直的墙上， 此时呢，梯子一边的顶端位于墙面的点 a 处，底端位于点 b 处，这是 a， 点 b 呢，到墙面的距离 b o 长度为零点七。如果说将梯子的底端沿 o、 b 向外进行移动， 移多少呢？移零点八米，也就是说这个 b、 d 的 长度应该是零点八米啊，那么梯子的顶端会不会也往下滑，那么梯子的顶端会不会也往下滑零点八米，也就是问我这个 a、 c 是 零点八米吗？ 怎么去算呢？我们可以发现啊，在第一个 o、 b a 这个三角形中啊， 是一个直角三角形，我们可以算出它的斜边长 o a， 而在 o dc 这个直角三角形中，我们也可以通过勾股定律来求出 o、 c 的 长度，两个一减不就可以了吗？ 看我们解题中说的，当梯子底端沿 ob 向外移动零点八米时，我们就设梯子的底端由点 b 移动到点 d。 顶端呢？由点 c 下滑到点 a， 由此可以看出啊， a、 c 的 长度就是 o a 减去 o c， 也就说是 o b a 这个三角形的长， 也就是说是 o b a 这个三角形的较长的直角边减去 o d、 c 这个直角，三角形中的 o、 c 这个直角边。接下来我们就来算这两个直角边呗。 我们先来算在三角形 aob 之中啊，根据勾股定律， oa 是 不是等于它的斜边的平方和减去我们已知的一条直角边的平方和，因为我们要求的是一条直角边嘛，就拿斜边剪直角边就可以了。 a、 b 长度告诉我们了是二点五，因为 a、 b 长度不就是这个梯子长度吗？梯子的长度是无限的，二点五的平方减去这个 o、 b 的 长度告诉我们了是零点七，二点五的平方减去零点七的平方已经算出来了，等于五点七六， 而五点七六开根号啊，就是二点四了啊，这是我们 o a 的 长度。接下来我们在三角形 o、 c、 d 之中啊，去找 o c 的 长度， o c 的 长度是不是也得拿 o o c 的 长度，是不是也得拿 c、 d 这条斜边减去 o d 这条直角边啊？ c d 是 c d 这条边是梯子的长度是不变的啊。二点五的平方减去 o， 是 不是我们最开始的 ob 的 零点七加上往外移的零点八呀，也就是二点五的平方减去一点五的平方还是老样子啊，这个可以解面计算 运用平方差公式啊，乘以二点五加上一点五，那就是一。乘以二点五加一点五，那就是四啊，得数是四是这么算的， 而 oc 呢，就是开根号四，开根号等于二，这样子的话，我们就可以算出来啊， a、 c 等于 o， a 减去 oc， 也就是所对应的二点四，减去二等于零点四， 这样我们就可以得出一个结论，当梯子底端向外移动零点八米时，梯子的顶端并不是下滑零点八，而是下滑零点四啊， 可能和我们平时的生活常识略微有些反直觉啊。来，我们来看关于勾股定律的应用的练习题。 首先来看第一个啊， ab 是 池塘边上的两点， c 呢，是与 b a 方向成直角的方向上的一点，测出 bc 的 长度是六十， ac 的 长度是二十，让我们求 ab 两点间的距离。那简单的勾股定律啊， 在直角三角形 a、 b、 c 之中啊，我们要求 a、 b， a、 b 的 平方是不是就等于斜边的平方减去一条直角边的平方，斜边是 b、 c 的 平方，减去 a、 c 的 平方。 bc 是 多长呢？是六十的平方啊，减去 a、 c 的 平方是二十的平方啊，还是平方差公式啊，六十减二十乘以六十加上二十，六十减二十是四十，六十加二十是八十，等于 三千二百，这里啊，我们不用加单位啊。而最后我们要求 ab 的 长度的时候，这个时候要加单位的啊，等于根号下三千二百 去根号呗。哎，三千二百，那是不是就是三十二乘一百啊，这样一百就可以出来了，三十二呢，我又可以分成十六乘二，开根号十六可以出来个四，因为十六是四的平方嘛，一百可以出来个十，四乘十是四十，应该等于四十倍根号二， 他说了结果要求我们取整数，我们根号二之前让大家背过了，根号二的长度是一点四一四，所以说我们就需要计算一点四一四乘四十等于多少，是等于五十六点五六的。 然后呢，也由于我们要保留整数，四舍五入五得入啊，也就是约等于五十七，此时我们得加大位了，是米，因为他说了有大位。 后面再写一个好，这道题就完成了。接下来我们来看第二题啊，如图，用激光测距仪啊测一栋楼的高度， 位于地面上的点 a 处啊的激光测距仪，先将激光射向楼底。位于地面上点 a 处的激光测距仪，先将激光射向楼底楼底端的点 b， 也就是说这条边呗，显示 ab 的 长度是二十三点一米，再将激光射向楼顶端的点 c， 测出 a， c 的 长度是三十一点九米，那这条边是三十一点九，显示出楼高是二十二米，就是 bc 的 长度呗。那简单呢，在直角三角形 abc 之中啊，最后不显出楼高是二十二吗？ bc 的 平方是不是等于 bc 是 直角边，等于 ac 这个斜边的平方，减去 ab 这个直角边的平方呀？ ac 是 三十一点九的平方，减去 ab 二十三点一的平方，这个可能比较难算一点啊，大家不要着急，慢慢来算。三十一点九的平方 等于幺零幺七点六一，减去二十三点一的平方等于五百三十三点六一减完之后等于多少呢？等于四百八十四，刚好四百八十四开个号就是二十二了， 单位是米啊。说出其中的数学道理，其实就是用勾股定底来进行解析啊。接下来我们来看一下第三题，电视机的屏幕尺寸呢，是指屏幕对角线的长度，通常以英寸为单位。说了一英寸等于二点五四厘米。 王芳测得自家电视机屏幕宽为七十一厘米，高为四十厘米。我们画一个电视机大致画的啊，宽为七十一厘米，高为四十厘米。求这个屏幕尺寸是多少啊？注意，他可是英寸，你一会还得给他换算单位， 我们要求求他的这个对角线嘛，对角线的话就是两条直角边的平方和等于斜边的平方和就是七十一的平方，加上对角线是斜边。利用勾股定律，斜边的平方和就等于两条直角边的平方和 一条直角边是七十一的平方，加上另一条直角边是四十的平方。简单计算啊，七十一的平方是五零四幺四十的平方是一千六百， 加一块等于六六四幺。注意，此时我们算的是斜边的平方，那么我们还得给他开根号，根号下六六四幺，而我们就要估算根号下六六四幺的值了。我们可以算一下， 八十一的平方大概是六五六幺，八十二的平方大概是六七二四，这个六六四幺啊，更加接近于六五六幺，所以说我们就得考虑一下八十一点五的平方大概是多少了， 那大概是六百，算完之后是六千六百四十二点二五，而六千六百四十二点二五非常接近六六四幺，所以说我们就可以估算它约等于的是 八十一点五厘米，这是我们估算啊。接下来我们来换算单位一英寸等于二点五四厘米，那么我们要算这个屏幕尺寸是多少英寸呢？是不是八十一点五里面有几个二点五四就可以了？ 算完之后约等于三十二点零九啊，然后单位是英寸， 结果呢，取整数。所以说这个电视机的屏幕尺寸大概是三十二英寸啊。接下来我们来看一下思考内容啊。在八年级上册中，我们曾通过探讨得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 也就是说是 h l 嘛。学完勾股定律之后，能不能证明这以下结论呢？学习了勾股定律之后，能证明这一结论吗？我们接下来来看一下证明啊。在这个图中啊，我们找出了两个直角三角形， 角 c 和角 c 撇都等于九十度， ab 等于 a 撇 b 撇这条边啊，斜边直角边嘛， ac 等于 a 撇 c 撇，这又一条边要求求整这两个三角形是全等的。在这两个三角形中啊，我们都发现啊，是直角三角形 反求 bc 和 b 撇 c 的 长度，怎么求啊？是不是在这个两个三角形中，分别用斜边的平方和减去一条直角边的平方和，再开根号就行了， 这里列出式子。而我们已知 ab 和 a 撇 b 撇是相等的， ac 和 a 撇 c 撇也是相等的，那么我们就可以得出来， bc 和 b 撇 c 撇也相等了，就可以退出全等了。利用边边边的三条边都相等了啊， 接下来我们来进行探求题啊。我们知道，任何一个实数都可以用竖轴上的一个点来表示，能在竖轴上画出表示根号十三的点吗？我们想画出表示根号十三的点，就得想能不能画出长为根号十三的线段， 我们知道长为根号二的线段是两条直角边长分别为一的直角三角形的斜边。长为根号十三的线段。能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 其实是可以的，我们发现两条直角边长分别为二、三的直角三角形，因为二的平方是四，三的平方是九，刚好加一块就是十三。所以说呢，依照如下的方法，就可以在竖轴上表示出十三的点。 在这个图纸中啊， o 为竖轴原点，首先在竖轴上找出表示三的点 a 啊，先找出一条边，这条边长是三，再通过点 a 做垂线， 再通过点 a 做直线，垂直于 o a， 在 l 上取一个点 b， 要求让 ab 长度为二， 一个二，一个三，那我们直接以 o 为圆心， o b 长为半径进行做弧， 其实我们就可以知道 o b 的 长度是多少。 o b 长度在 o a b 这个直角三角形中，它的长度就已经是根号十三了，因为二的平方加三的平方再开根号就是根号十三了。但是我们最后不得在竖轴上表示吗？那么我怎么把这个 o b 的 长度移到竖轴上呢？ 利用画圆的方式，因为定义就是圆上任意一个点到圆心的距离长度都相等，而我们知道，如果以 o b 为半径，那长度相等的长， 那这个圆，那如果我们以 o b 为半径画圆，那么这个圆中任意一个点距离圆心 o 的 距离都是根号十三。好做弧，画圆弧与正半轴的交点 c， 也就是根号十三了啊，这条边是根号十三。 搞定类似的，利用勾股定律，还可以画出根号二，根号三，根号五这些线段。像这个图中也是一样的啊， 就是不停的找直角三角形像根号二，是不是这条边为一，这条边为一，就可以出这条边是根号二了， 而根号三怎么求呢啊？这条边为一，这条边刚才求了是根号二，根号二的平方 加上一的平方，是不是就是三了？三再开根号不就根号三的平方吗？以此类推啊，就可以在竖轴上画出根号一，根号二，根号三，根号四等等点啊，在这个图中也可以得到应用。来我们来看一下练习题的第一题， 在竖轴上画出表示根号十七的点。首先我们来想想根号十七可以怎么画，根号十七是斜边的，是不是一加上十六就可以了，等于十七，而一是 几的平方，一的平方，十六是四的平方，这样才可以等于根号十七的平方。所以说我们要先找一个竖轴，先找到圆点， o 也是零点二， 一条边长为四啊，在这里举个例子啊，是四在四上做垂线，找出一条长为一的线啊，这条边长为一， 然后呢，这条线就是根号十七了，然后呢，以 o 为圆心，这条边的长度为半径，画弧哎，与圆上的交点，与这个竖轴上的交点就是根号十七，是这样来表示的啊。 接下来我们来看一下第二题，如图，等边三角形， abc 的 边长为六，求 ad 的 长度， 因为这是一个等边三角形嘛，所以说等边三角形三线合一啊， b、 d 的 长度就为三呢，而 ab 这条边长是六，要求求 ad， 直接在 abd 这个三角形中求就可以了啊，我们在这里写一下过程啊， 因为等边三角形 a、 b、 c， 所以 说呀， ab 平分 bc， 所以 说 b、 d 等于二分之一， bc 等于三，这是 b、 d 的 长度。然后呢， 在直角三角形 a、 b、 d 之中啊， a、 d 的 平方是不是就等于 a、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方？ 因为 a、 d 是 斜边，因为 a、 d 是 直角边， ab 长度是六六的平方，减去 b、 d 的 平方是三的平方。六六三十六减三三得九，等于二十七啊。 a、 d 呢，就等于根号二十七，二十七可以写成三乘九啊，九可以出来一个三三倍根号三啊。 接下来看第二题，求等边三角形 abc 的 长度。 s 三角形 abc 就 等于二分之一，底是 bc， 再乘以高是 ad， 二分之一乘以 bc， bc 长度有了十六， ad 长度呢，是三倍根号三呢， 算一下就行了啊，二和六约出来等于三，三三得九，九倍根号三。这是我们第二题啊， 接下来我们来看第三题啊。如图， a、 d 是 三角形 abc 的 边， bc 上的高， 分别以线段 a、 b、 a、 c、 b、 d、 c、 d 向外做正方形，正方形的面积分别为 s 一、 s 二、 s 三、 s 四。咱们得先写出关于 s 一、 s 二、 s 三、 s 四的等式，这个难度会略微大一点啊，咱们仔细来思考啊。 那么我们要写出 s 一、 s 二、 s 三、 s 四的等式，就需要找到这 s 一、 s 二、 s 三、 s 四它们的中间量作为连接点，而 s 一、 s 三的连接点就是 a、 d 啊。在三角形 a、 b、 d 之中啊，我们可以这样写啊， 由勾股定律，在三角形 a、 b、 d 之中啊， a、 d 的 平方是不是等于斜边的平方，也就是 a、 b 的 平方 s 一 减去 b、 d 的 平方 s 三呢？而再换一个三角形，也就是 a d c 这个三角形中 a、 d 的 平方是不是也等于斜边是 a、 c， 也就是 s 二减去一条直角边 s 四，然后我们直接画个等就行了呀， a 地方和 a 地方相等，所以说 s 一 减去 s 三，是不是就等于 s 二减去 s 四了呀？这样我们就找到它们的等式了，好完成了这一块的练习。

八年级数学下册勾股定律我们学完以后如何用它来做题呢？那么今天大高老师去讲一下， 利用勾股定律解决线段问题。如图，在 r t 三角形 abc 中，角 a， c， b 等于九十度， ac 等于三， bc 等于四， cd 垂直， ab 垂足为 d， 求 cd 的 长。那我们看一下，这是一个直角三角形，我们根据勾股定律，我们是不是可以求出斜边的长？三的平方加上四的平方 开方，是不是得到它等于五，也就是 ab 等于五。那么看下 cd 如何去求呢？ 三角形面积会不求？三角形 abc 的 面积我是不是可以用底乘高，三乘四乘二分之一等六？ 那么看一下我如何用 cd 去求呢？是不是我用二分之一 ab 乘 cd， 它也是我们这个三角形面积，底乘它对应的高，因为这是垂直吗？ ab 等于五，那么 cd 会求吗？相当于是通过面积求高，先让面积乘二除以谁呀？除以底 是不是等于多少呢？等于五分之十二，所以 c、 d 的 长就是五分之十二。所以我们利用勾股定力去解决线段问题的话，基本上我们都会先 判定他在直角三角形中，根据勾股定力求出对应的斜边长啊，或直角边长，进而去计算。关注大高老师，我们继续学习我们的八年级数学。

我们这个视频来看一下第二十张的章节小节。首先这是本章的知识结构图，讲的是狗骨定律，也就是在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，以及他的互逆定律， 两条边的平方和等于第三条的平方，满足这个条件的三角形叫做直角三角形。 而这里又说了勾股定律呢，体现的是直角三角形边长的关系，也就是 a 方加上 b 方等于 c 方。 而勾股定律的逆定律呢，说明的是直角三角形的判定，也就是说满足于这个式子的三角形为直角三角形，这是两个定律。 接下来我们来看一下回顾与思考。本章我们通过对以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系的探究，发现并证明了勾股定律。勾股定律呢，是数学中最重要的定律之一，反映了直角三角形三边之间的关系， 在解决与直角三角形相关的问题或一些其他数学问题时都起着重要作用。在我国古代数学研究中，经常借助于图形的面积研究相关的数量关系，充分利用了几何直观，体现了古人的卓越智慧。 得出一个数学结论之后，经常要研究其逆定律是否，经常，要研究其逆命题是否成立。经证明，高谷定律的逆命题成立，它是一个定律。 勾股定律解释了直角三角形的一条性质，而勾股定律的逆定律提供了直角三角形的一种判定方法，这和我们刚才所说的是一样的。要理解勾股定律和勾股逆定律的作用以及他们两个之间的关系，接下来我们来带着下面问题复习下船章的内容。 直角三角形三边的长有什么特殊关系？也就是两直角边的平方和等于斜边的平方。而赵爽证明勾股定律时运用了什么思想叫做割补法，用古代的思想叫做出入相补，也就是对这个正方形进行拆分。 还记得赵爽玄图是怎么正的吗？就是将一个正方形分成了四个直角三角形，以及中间的一个小正方形，然后通过推导他们分别的关系，然后找到这个勾股定律。这个同学们可以看看之前的视频啊， 已知一个三角形的三边长，怎么证明他是不是直角三角形？也就是说如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这也就是咱们勾股定律的判定，也就是 这也就是咱们勾股定律的逆定律。对于直角三角形判定的内容还有两句话，就是最长边所对应的角为直角， 利用的是勾股定律的逆定律来进行证明的。来看第四个啊，勾股定律的逆定律是怎么证明的？在之前的视频也讲过啊，就是像 勾股定律的逆定律，我们先要知道它是什么是三角形，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是一个直角三角形，也就是说我先要正这个三角形有三条边，分别是 abc， 它是一个直角三角形， 就需要先去证明有一条边是 a， 有 一条边是 b， 还有一个角是直角的直角三角形，这两个三角形全等，通过这个三角形我们可以推出来，因为它是一个直角三角形嘛，我就可以推出来， a 方加 b 方等于 c 方，而这条边就是 c 了。 通过，也就是说得先通过勾股定律求出这个这样三角形第三边是 c， 然后此时我发现这个三角形和这个三角形三边都对应相等，也就是说 a 等于 a， b 等于 b， c 等于 c， 然后呢，这两个三角形就全等了，全等之后就可以证明这个三角形是直角三角形了，因为全等之后对应角相等啊，这个角和这个角就相等了，就证明出了这个三角形是直角三角形。 勾股定律的逆定律也就是这么证明的啊。具体怎么证明，可以看看上一个视频啊。接下来我们来看第二十张的复习题。首先第一题复习巩固如图，点 d 在 直角三角形 abc 的 边 ab 上，其中 ab 的 长度是八， d、 b 长度是二， c、 d 长度是十七，求 a、 c 和 b、 c 的 长。首先我们要在两个三角形中分别来求 a、 c 和 b、 c 的 长。首先我们在三角形 a、 d、 c 之中，我要求出 a、 c 的 长度，也就是说它是一个直角边嘛， a、 c 方等于一条斜边， d、 c 方减去 a 四地方， d、 c 长度是十七的平方，减去 a、 d 方是八的平方。咱们利用平方差公式啊， 十七减八乘以十七加八，也就说是九乘以二十五得数，也就是二百二十五。 然后呢，我们再将 a、 c 进行开根号， a、 c 等于根号下二百二十五，也就是十五， a、 c 长度为十五啊。然后呢，我们 a、 c 就 求出来了，再求 b、 c、 b、 c 是 在直角三角形 abc 之中去看断啊。 bc 是 一条斜边，要求斜边，我就需要 ac 这条直角边以及 ab 这条直角边。 ab 这条直角边呢？我们得先表示一下，它等于 ad 加上 db， ad 长度是八， db 长度是二就是十啊。 利用勾股定律， bc 的 平方等于两条直角边的平方和 ac 方加上 ab 方， a、 c 的 平方不就是十五的平方吗？也就是咱们这里求了是二百二十五。 ab 的 平方呢？咱们刚才也求了是十十的平方，是一百啊。一百加二百二十五等于三百二十五。 接下来我要求 bc， 就是 对三百二十五进行开根号，而三百二十五开根号呢？我们先将三百二十五分成十三乘以二十五开根号，二十五可以出来一个，五十三就出不来了，五倍根号十三，这是 bc 的 长度啊。 接下来我们来看第二题。两人从同一地点同时出发，一人以二十米每分钟的速度向北直行，一人以三十米每分钟的速度向东直行。问，十分钟之后他们距离相距多远啊？ 一个人向北行驶呗，一个人向北上北吗？速度是二十米每分钟啊，这是东吗？以三十米每分钟， 一共走了多少分钟呢？十分钟，咱先算算啊，如果说是向北的那个人，他行走的路程就是速度二十乘以时间，也就是二百米，那往东的那个人呢？ 那就是三十乘以十，速度乘时间吗？也就是三百米。 那咱们把这个直角三角形画一下，因为东和北就是沿直角直角，一个是二百，一个是三百，咱们要求斜边，斜边不就是他们两个人相距的距离吗？斜边就是二百的平方，再加上三百的平方，再开根号不就是斜边了吗？ 根号下二百就是四万，三百呢就是九万，放一块是十三万，开个号十三万就是十三乘以一万， 一万呢可以变成一百乘一百啊，这个一万可以出来个一百一百倍。根号十三，这是他们实际距离长度啊。说了结果取整数，咱们就得估算一下十三是多少了， 找到与他接近的被开方数就行了啊。十根号是十三，前面的开方数是九是可以整开方的， 后面那个数是四四，十六是也是可以整开方的，十三更靠近于十六，所以说十三开的根号一定是大于三点五的，因为这个九他的开方数不就是三吗？ 十六他的开放数就是四十三，更靠近十六，所以说十三肯定是大于三点五的。咱们试试三点六一，看看怎么样啊？ 三点六一乘以三点六一等于十三点零三二一，不行，这超了，咱们再估摸约一下啊， 咱们试试三点六零一和三点六零一相乘得数是十二点九六七二，好像有点相近了，咱再再试一个，看看能不能再更接近一点啊。 三点六零三乘以三点六零三等于十二点九八一六，这已经很接近了啊，同学们在考场上的时候算的略微精进一点 就可以了啊。在正常考试时候说结果去整数，他会告诉你根号十三约等于多少的，不需要你们自己去验证啊。 在这里的号十三呢，他有一个别人已经算好的精确的值，约等于三点六零六啊， 那咱们根号十三就带三点六零进行计算，三点六零乘以一百，小数点往后移两位还得保留整数，那最后三点六零六乘以一百，那就是三百六十点六，然后咱们进一位是三百六十一，还要写单位，单位是米。 好，这样就完成了第二题的证明。第二题主要困难的就是这个根号十三的约分，正常考试应该是会只给的啊， 不会让你去估计的。第三题如图，过圆锥的顶点 p 和底面圆的圆心的平面截得结面 p a b， 其中呢， pa 和 pb 是 相等的， ab 是 圆锥，底面圆 o 的 直径已知 pa 等于七厘米， ab 等于四厘米，求这个结面 pa 的 面积。 在这套题中啊，因为我们知道圆锥的结面是一个等腰三角形，然后由于呢这个 等腰三角形的三线合一，所以说我就可以知道 p o 和 ab 是 垂直的，或者说你不按这个等腰三角形，也可以说垂直平分，线上的点到线段，两段的距离相等也行。 然后呢，咱们接着来看啊，因为 p o 垂直于 ab 了，所以说我们就可以在直角三角形 p o a 中进行决定啊， 其中 a o 呢，等于二分之一 ab， ab 长度是四，它的一半就是两厘米啊。然后呢，咱们算一下它的高 p o 就 可以了。 p o 呢，是不是就等于根号下 p a 的 平方减去 a o 的 平方，这是咱们勾股定律，我就把根号开到这里面来了啊， p a 的 平方，那不就是七的平方吗？减去 a o 的 平方是二的平方，七的平方是四十九，减去二的平方是四，根号下四十五， 而四十五呢，可以写成五九四十五，根，号下五乘九，其中这个九呢，可以出来一个三倍根号五，这是 p o 的 长度。说让我们求结面 p a、 b 的 长度是不是底乘高啊？底是 ab， 高是 p o， 我 们已经有了啊。 s 三角形 p a、 b 就 等于底乘高二分之一，底是 ab， 再乘以高是 p o 二分之一， ab 长度是四， p o 长度是三倍，根号五， 二分之一乘四呢，就是二二三得六六倍。根号五单位是平方厘米啊，这里也要加一个厘米啊，后面再写大话就行了。所以结面 p a、 b 的 面积是六倍，根号五厘米的是六倍，根号五平方厘米。 接下来我们来看一下第四题啊，一个帐篷的长 l 等于二点六米，横截面呢，是一个底面边长 a 等于两米，高是一点八米的等腰三角形。制作此帐篷需要至少用多少平方米的布料， 也就是说，这个帐篷啊，咱得算侧面，因为这个结面就不用缝，需要的就是这个侧面这个长方形和对面那一侧的长方形。要算长方形面积，咱们得需要借助三角形面积把长方形的宽求出来，也就是这条边求出来。 这条边怎么求呢？需要在这个直角三角形里进行求啊。咱们算一下啊，这条边是不是就是根号下一条直角边，也就是一点八的平方，再加上二分之 a， 也就是 a 的 一半的平方啊，而 a 的 长度是两米，那也就是说， 一点八的平方，再加上二分之二等于一，一的平方等于多少啊？一点八的平方算出来得数应该是三点二四，三点二四加一放一块是四点二四，单位是米， 而四点二四呢，通过计算应该是约等于二点零六米。然后呢，这是长方形的宽，长方形的面积不就是长乘宽吗？长是二点六， 再乘以二点零六，别忘了再乘个二才是需要用多少米布料了，因为这个二的意思是对面还有一面长方形了，最后呢，得数是十点七，单位是平方米。这是我们第四题啊。接着看一下第五题， 如图，每个小正方形的边长都为一，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积和周长。首先，四边形 a、 b、 c、 d 的 面积怎么来求咱们呢？可以发现，我们可以由这个图在这个图中利用割补进行处理， 咱们可以求出这个画红色方框的这个面积，然后再减去一、二、 三、四这四个三角形的面积就行了啊，咱先求这个大红方框的面积。大红方框的面积不就是一个长方形的 大红方框的面积，我们会发现它是一个五乘五的正方形，减去一，那咱们就算算呗，正方形面积是五乘五，减去这一个二十五减一等于二十四啊， 这是这个红方框的面积。接下来我们来算一、二、三、四四个小三角形的面积。首先来算一号小三角形啊，它的面积是底乘高，底是二，高是四，也就是二乘四，再乘二分之一， 得数是四，这是第一个三角形。第二个三角形呢，底是二，高是一，那就是二乘一，再乘以二分之一，得数是一。第三个三角形，它的底是一，高是四，也就是说二， 也就是说一乘四，再乘二分之一，得数是二，而四号这个小三角形的面积也是用底乘高，底是五，高是一， 五乘一，再乘以二分之一，得数是二分之五，那么整体的面积，也就是说 s 四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，就等于拿这个二十四减去这一个四，再减去这个一，再减去这个二，再减去二分之五，得数是二分之 二十九啊，这是面积的内容，我们接下来来看周长的内容啊。周长的内容就是算这四个三角形的斜边长的和，咱先算一号三角形的斜边啊，不就是根号下 两条直角边的平方和吗？一条直角边是二二的平方，加上另一条直角边是四四的平方啊。二二得四，四十六就是根号二十，那也就是根号二十，可以写成根号下四乘五，四，可以出来一个二二倍根号五啊。 二号三角形，它的这个斜边长是多少？根号下一条直角边是一的平方，二二得四，四加一就是根号五，它也不能化简了。 三号呢，我们会发现它的一条直角边是一一的平方，加上竖着这一条直角边，一二三四四的平方，四四十六，十六加一是十七，根号十七 四号这个三角形，它的斜边是根号下一的平方，再加上五的平方，因为这条边是五的平方吗？五二十五加一，根号下二十六，都是不能再化简的了啊。 而它的周长，我们用 l 表示，就是二倍根号五，再加上根号五，再加上根号十七， 再加上根号二十六啊，放一块就是三倍根号五，加上根号十七，加上根号下二十六。好，这是周长。接下来看第二个问，这个 b、 c、 d 是 直角吗？ 那咱们就得来验证一下了，如果 b、 c、 d 是 直角，那么 b、 c、 d 这个三角形一定得是一个直角三角形，我在这里换个颜色啊。 b、 c、 d 这个三角形一定得是个直角三角形，那咱们就得用勾股定律的逆定律来进行计算，咱现在这条直角边和这条直角边两条直角边都有了，咱问题就出现在这个第三条直角边， bc 这条边跟 cd 这条边，咱们刚才已经求过了，在求周长的时候求过了，目的就是 bd 这条边长度是多少？怎么求？哎，咱们可以重新构造一个三角形，我们在这个三角形里进行研究啊， 在这个三角形里不就可以求出来了吗？在这个新三角形中，这个角肯定是直角啊，也就是说一二、三、四、四的平方加上竖着是三的平方，四四十六加上三三得九十六加九 等于二十五，根号线二十五就等于五啊，这是 b、 d 的 长度啊。那接下来我们再关注一下 b、 c 的 长，我们刚才已经求了，其实就是一号三角形的斜边是二倍根号五，我在这里直接写就行了啊。 c、 d 的 长度我们也有，就是二号三角形的斜边长是根号五，咱们就验证一下吧。 b、 c、 c、 d 跟 b、 d 它们是不是在一个直角三角形中啊？ b、 d 的 平方等于五五二十五。 b、 c 方加上 c、 d 方的是 b、 c 方是二，得是二倍根号五的 bc 方是二倍根号五的平方。 c、 d 方是根号五的 平方啊，二倍根号五的平方就是先求二的平方是四，再求根号五的平方是五，再加上根号五的平方是五四五二十二十加五二十五啊。 而我们此时就发现了， b 地方等于 bc 方，加上 c 地方，所以说三角形 b、 c、 d 为直角三角形。 既然都说了是直角三角形了，所以说角 b、 c、 d 是 直角。好，接下来我们来看一下第六题啊，如图，在三角形之下中啊， a、 d 和 bc 是 垂直的，垂足为 d， ab 长度是二， a、 c 长度是一点五， dc 长度是零点九，要求我们求 b、 d 的 长， b、 d 的 长怎么求？我们发现，如果这个角是直角，那这个角也一定是直角， 我只要能把这条边的长度求出来，那利用勾股定律，是不是 b、 d 的 长度也就求出来了呀？ 所以说呀，咱们来算一下啊，在直角三角形 a、 c、 d 之中啊， a、 d 的 平方一定就等于斜边 ac 的 平方，减去 dc 的 平方， ac 的 平方是一点五的平方， dc 的 平方是零点九的平方啊， 咱们就需要算一下了，一点五减零点九，再乘以一点五，加上零点九，利用平方差公式算完之后，这面是零点六，再乘以二点四，算完得数啊，是一点四四，不加单位啊。而 a、 d 的 长度呢，就是根号下一点四四得数是一点二，单位是米啊， 这是 a、 d 的 长度。接下来呢，我们再在直角三角形 a、 b、 d 之中， b、 d 的 平方一定就等于斜边 ab 的 平方，减去 ab 的 平方啊， ab 方 是四的平方， a、 d 方是一点二的平方，一点二的平方，咱们已经算出来是一点四四，咱直接减一点四四就行了。四，平方是十六，减去一点四四 得数呢，是 b 地方等于 ab 方，减去 a 地方， a 地方就是二的平方， a 地方咱已经算出来的是一点四四，也就是说是四，减去一点四四， 得数呢是二点五六，而 b、 d 呢，等于根号下二点五六啊，这个比较简单，就是一点六了啊，单位是米， b、 d 已经搞定了， 接下来我们要判断支架外框三角形 abc 的 形状，其实我们已经知道它肯定是一个直角三角形，咱们来验证一下啊。利用勾股定律的逆定律， bc 的 长度等于 b、 d， 加上 d、 c、 b、 d 算出来了，是一点六， dc 呢是零点九，放一块是二点五，单位是米。然后呢，判断一下形状吧， ab 的 平方加上 ac 的 平方是不是二的平方加上一点五的平方啊？二的平方是四，一点五平方是二点二五，放一块是六点二五， 而 bc 的 平方也就是斜边的平方是二点五，整体的平方二点五的平方也是六点二五， 所以说 ab 方加上 a、 c 方等于 bc 方。由勾股定律逆定律，所以说三角形 a、 b、 c 为直角三角形。接下来我们来看一下第七题啊， 竹子高一丈，折断后竹子顶端离竹子底端三尺处啊， 也就是说这块长是三尺，问折断处离地面高度是多少，告诉我们了一丈等于十尺，所以说我们知道这条边加上这条边长度是一丈，也就是十尺。咱们可以设啊， 折断处离地面高度为 x 尺，而我们发现这是一个直角三角形，然后我们把方程列出来就行了，这条边是 x， 那 这条边呢？斜边一定就是十减 x 了， 那斜边十减 x 的 平方就等于两条直角边的平方和是三的平方加上 x 方，然后我们来解方程啊，我在这里来解，十减 x 的 平方是十的平方，减去二乘十，再乘 x 二十 x 再加上 x 方等于三，三得九，加上 x 方， x 方和 x 方消掉了，没有了，那就变成了十的平方，是一百减二十 x， 它得等于九。然后呢，我把二十 x 挪到等式的右边，九挪到等式的左边，一百减九等于九十一等于二十 x， 那么 x 等于什么？ x 等于二十分之九十一。然后你也可以化解一下，拿九十一除以二十等于四点五五啊，都行。然后再写一个答话，所以说离地面的高度是四点五五尺。接下来我们来看一下第八题啊， 古古希腊哲学家柏拉图曾指出啊，如果 m 表示大于一的整数， a 等于二 m， b 等于 m 方减一， c 等于 m 方加一， 那么 abc 视为勾股数。你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数。那咱们可以看啊， m 表示大于一的整数，那么这 abc 这三条边，哪条边是最大值？咱们可以举个例子，如果让 m 等于二的话，那 a 就是 四， b 呢，就是二，二得四，四减一是三， c 呢，二二得四，四加一是五，所以说呢， c 永远是最大的啊， 那咱们看看吧，如果它满足勾股定律就行了。 c 方如果它等于 a 方加上 b 方，那不就行吗？ 那咱们来验证一下啊， c 方就是 m 方加上一整体的平方等于 a 方是二， m 括号的平方，加上 b 方是 m 方，减一括号的平方。 这个啊，咱们就正常计算 m 方的平方，那就是 m 的 四次方，再加上二 m 方，再加上一等于二 m 方就是四 m 方， 再加上 m 方的平方，就是 m 的 四次方，再减去二倍的 m 方，再加上一，然后咱看看该消的消 m 的 四次方消掉了， 然后这面加上二 m 方减过去，减去二 m 方，那不就是减四 m 方吗？和这个四 m 方也刚好可以约掉，最后就变成一等于一了，所以说没问题，能成立 a 方加上 b 方，确实是等于四 c 方的， 所以说 a、 b、 c 为勾股数。所以说呢，再写出一些结论，咱们刚才写的不就行吗？当 m 等于二的时候，一组勾股数为三，四五搞定。那刚才不写了吗？四三五都可以啊。 第九题，如图，一个长方形有五个边长为一的正方形拼成，请把它分割后拼成一个大的正方形。那咱们就得想想啊， 五个边长为一的正方形组成的大正方形的面积一定就是五，这这五个小正方形，一个就是一啊，大正方形面积 s 大， 肯定就等于五，五个一嘛。 那大正方形既然是正方形，那么它的边长一定是根号五，因为正方形咱们设正方形的边长是 a， a 是 不是就等于面积开根号，因为 a 方等于五吗？ 边长乘边长等于面积，那 a 就 等于根号五了。那接下来咱们就给它分割呗。怎么分割才可以让它的边长分割为根号五呢？其实是好分的，因为根号五可以分成一和四， 一呢就是一的平方，四呢就是二的平方，所以说这样就可以分了，咱们一条边是一，一条边是二，这么分这个三角形就没有问题了，这个三角形也没有问题，这面也是一样的，再分一个一，一个四，这面又一个，这面又一个， 最后空的那个空，把中间的这个填进去，所组成的面积呢，就大概是这个样子的啊， 这是一个一，这是一个一二，然后呢再斜着再画一个这个三角形也是一个一二， 然后呢再画一个这个三角形还是一二，然后最后这个三角形还是一二。当然画的不太好啊，就是利用那个照手相图嘛，可以组成一个这个样子的图。 接下来我们来看拓管探索。首先来看第十题啊，一根七十厘米长的木棒，要放在长宽高分别为五十、四十、三十厘米的长方体的木箱中啊，看看能不能放进去啊。 咱们先把木箱画一下好，木箱大概长这样，长是五十， 宽是四十，高是三十。如果说这一根木箱啊，如果说要能放进去，那是不是得是他的体对角线呢？得是这么放， 木箱这么放，这是他放的最大长度。那么接下来这么放这根线得多长啊？其实不太好求我们呢，略微标记一下啊， a、 b、 c， d， e， f、 g。 如果说我要求我画的这条中间的这条红线的距离，那么我就需要做一些个辅助线，我们把 b、 d 连出来， 我们只要在三角形 b、 d、 h 之中啊，因为它是一个直角三角形，这肯定是直角，在这个直角三角形中啊，我就可以把 b、 h 取出来了，那么这个直角三角形中 d、 h 是 高，我有 b、 d， 我 不知道啊， 那没问题啊， b、 d， 我 可以在三角形 a、 b、 d 中求啊，所以说咱们一个个的求，先在三角形 a、 b、 d 中求，在直角三角形 a、 b、 d 之之中， b、 d 是 不是就等于根号下 a、 d 的 平方加上 ab 的 平方？因为在三角形 a、 b、 d 之中，啊， b、 d 是 斜边， a、 d 的 长度是四十的平方， a、 b 的 长度是五十的平方，开根号得数是根号下四千一。而在三角形 b、 d、 h 之中，啊， b、 h 等于根号下 b、 d 的 平方加上 d、 h 的 平方， b、 d 的 平方就是根号下四千一的平方，它就是四千一。 d、 h 呢？ d、 h 是 高，是三十的平方，也就是九百嘛，四千一加九百等于根号下五千呢，而七十一定是小于根号下五千的。 为什么小于啊？因为七十他不就等于根号下七十乘七十吗？七十乘七十，那不就是根号下四千九吗？四千九肯定是小于五千的，咱们就得到了这个关系。所以说能放进去吗？当然能啊，只要任何长度小于根号下五千的木棍都可以放进去啊。这是我们的第十题， 接下来我们来看第十一题。公园中啊一长方形石凳，如图所示，若一只蚂蚁以三厘米每秒的速度从 m 点爬到点 n， 最快需要多长时间？那我们就想想啊，从 m 到点 n 可以 怎么走啊？你可以从上面走， 也可以从侧面走，怎么走都行。那这两个怎么走距离最短呢？咱们得把这个长方形展开，如果要是上，如果要是从上面走，那就得展开这两个面。咱们给它展开啊，就是更长一点啊， 底下这条边， m 在 这呢， n 呢？在这呢，而这条边的长度是不是这个四十加上这个三十，四十加三十是七十啊，底下这条边的长度呢？那不就这条边吗？对应的也是三十啊，而这个距离，咱们来说一说啊， 也就是说，第一种情况， m n 的 平方一定就等于括号三十加四十的平方，再加上这条边是三十的平方，三十加四十的平方是七十平方加上三十的平方啊，计算完之后， 七十平方是四千九，三十的平方是九百，放一块是五千八百啊。好，再看第二种情况啊，第二种情况不就侧面走吗？咱们将它侧面展开，展开，这样的两个面展开了啊， 这样的两个面， m 点在这， n 点在这，它上面的长不就是这条边加这条边吗？也就是六十。竖着这条线呢，长是四十，要算 m n 的 长度， 也就是第二种情况下的 m n 方，等于等于这条边四十的平方加上六十。这个六十题目中没给啊，我们得将它写成三十加上三十的平方， 四十的平方是一千六，三十加三十平方是六十平方加三千六，得数是五千二百，而这个五千二百他肯定小于五千八啊，咱距离最短嘛，所以说这个最小的， 但是这个是 m n 的 平方啊，咱最后算 m n， 咱最后算 m n， 得等于根号下五千二， 再算时间，得用路程除以时间，路程是五千二，我在这里写啊，就是根号下五千二百除以多长时，除以速度多长速度呢？是除以三，咱们计算一下啊，根号五千二百 除以三，我可以在这里写五千二百除以三，我可以把这个三挪进去，三就是根号九啊，然后就等于根号下五千二百除以九了啊。 首先，五千二百，这个一百可以出来，变成十，根号下九分之五十二，也就是十倍。根号下大概是约等于五点七， 五点七呢，值大概是二十四，二，五点七，值大概是二点四，二点四乘二点四，约等于五点七，那二点四乘十，那不就是五点七的值大概是二点四，二点四乘二点四，约等于五点七，二点四乘十呢，就是二十四秒啊 啊，这是值等于，这里是约等于啊。这样就完成了第十一题，接下来我们来看一下第十二题。已知三角形 abc 的 三边长分别为 abc， 面积为 s， 利用勾股定律证明斜角角公式啊，在这里说了，我们先把 abc 找出来啊。 abc 已知 abc， 边上 a 已知 a， 三已知三角形 abc 的 边 a、 c 上的高为 b、 d。 咱先把高 b、 d 算出来啊。 九、九十度，利用高股定律，先将 c、 d 用三边长表示，再将 b、 d 用三边长表示啊，那简单呢，咱们来设一下啊。设 ac 的 长度是 b， a、 b 的 长度是 c， bc 的 长度是 a， 我 们先将 ad， 他 不说了吗？利用高股定律，先将 c、 d 用三边长表示，咱们不妨把 ad 射出来，就射 ad 为 x， a、 d 等于 x， 那 c、 d 呢？就等于 b 减 x 了也。 b 所对应不就是 ac 吗？ ac 是 b， b 减 x。 然后咱们分别来表示一下啊， 在三角形 a、 b、 d 之中，这个 b、 d 啊，可以表示出来， b、 d 方呢，等于斜边 a、 b 的 平方，减去 a、 d 的 平方， a、 b 是 c 方， a、 d 是 x 方啊，这是 b、 d。 那 在直角三角形 b、 c、 d 之中啊，在这个三角形之中啊， b、 d 的 平方就等于 bc 方减去 c、 d 方， 因为 b、 c 是 斜边嘛， c、 d 是 直角边， b、 c 长度是 a， a 方减去 c、 d， c、 d 就是 b 减 x 的 平方，这个和这个是相等的，那我们不就可以得出来吗？ c 方减 x 方，等于 a 方减去 b 减 x 块的平方。咱们把那个 b 减 x 的 平方处理一下，等于 b 方加上 x 方减去二 b x， 处理一下，等于 a 方减 b 方减去 x 方，再加上二 b、 x， 然后呢，处理一下 这个 x， 这有一个减 x， 这有一个减 x， 不 就没了吗？然后呢，把这个都挪过去 c 方减去 a 方加上 b 方等于二 b、 x， 那 么 x 就 等于二 b 分 之 c 方减去 a 方加上 b 方。然后呢，他说着我们得用 b、 d 把三边长表示出来了呀，因为最后咱们要求三角形的面积不得用底乘高吗？最后不得，最后不就是求这个 b、 d 吗？ 现在这个底啊， a、 c 我 已经能够用 x 表示出来了，接下来把这个 b、 d 求出来， b、 d 方啊，等于 c 方减 x 方，那也就是说 c 方减去 x， 不 就是带这个吗？括号二 b 分 之 c 方减去 a 方，加上 b 方 括号的平方。呃，这个就需要你们计算了，在这里就这里就需要计算了， c 方减去四 b 方，因为二的平方是二吗？分之 c 方减去 a 方，加上 b 方括号的平方，这是 b 的 方。根据三角形的面积公式， 我在 s 等于二分之一，底儿是 a， c， 高是 b d， a， c 呢是 b， 二分之一乘以 b， 再乘以 b d， b、 d 不 就是这一堆吗？ b、 d 不 就是这一堆吗？但是此时我们会发现好像是不太好算的，我们不如啊， 写成 s 方，因为我这个 b、 d 方我不太想给它开出来，那 s 方就等于二分之一 b 乘以 b、 d 括号的平方，等于把这个开出去四分之一乘以 b 方，再乘以 b、 d 的 平方， b、 d 的 平方，不就这个吗？ 这个我可以给他，我可以给他通分一下，我直接通分到这里吧，他就是。呃，四 b 方分之四倍的 b 方， c 方减去 c 方减 a 方加上 b 方括号的平方，加一个中括号，这是 s 方啊， 然后呢，把这个 b 方乘进去就行，这个 b 不 就消掉了吗？然后这个四就可以开出来，然后我这个 b 方和底下这个 b 方能够消掉，然后呢，这个四我留着，我写到这里啊，就等于四分之一 b 方，然后我依次往里带啊， 二分之一的平方，那就是四分之一 b 的 平方，那就是 b 方，再乘以 b 地方， b 地方，我们就把这个通分一下放到这里， 呃，是四 b 方分之四倍的 b 方， c 方减去括号， c 方加上 b 方减去 a 方括号的平方啊， 然后呢，我们把这个 b 方可以给它割进去，就变成了四分之一乘以 四分之 b 方加上 b 方减去 a 方括号的平方， 这个在这个中括号里啊，给它拆开来，四和这个能消掉，就是四分之一倍的 b 方， c 方减去这个后面四，它消不掉，就是四分之。我写到这里，四分之 c 方加上 b 方减去 a 方括号的平方，我可以把这个四也写成二 整体的平方啊，再减去二分之 c 方加上 b 方减去 a 方 整体的平放，而这个 abc 不是 我们自己设出来的吗？所以说 abc 你 都可以随意的交换位置， 因为你你是自己设的，你 ac 设成 b， 你 如果 ac 不 设成 b， 你 设成 a 不 也行吗？所以说 abc 位置可以不断交换的，交换完之后我写到这里啊，那不就是 b 也可以变成 a， c 也可以变成 b， 就 随便变吗？ 变完之后不就和这个长的一样了吗？等于四分之一 a 方， b 方减去二分之 a 方，加上 b 方减去 c 方，括号的平分。别忘了整你还得开个号，因为这算的是 s 方嘛，再开个括号就是这个样子。 这道题的推导比较难算，同学们可以课后自己再多去计算一下。下节课我们来学习四边形。

我们继续分享勾股定律的基本模型，绊脚模型。在基本模型当中，我们先识别条件，基本模型是等腰直角三角形中含四十五度角， 四十五度、九十度的一半半角。先记结论，考试当中如果选择填空，直接使用大红老师帮我们正一下，与半角旋转来相切，将三角形 a、 b、 d 绕着点 a 旋转至三角形 a、 c、 f， 所以 这两个三角形全等全等后倒角四十五度。 由于等腰直角三角形四十五度，设 b、 d 为 a， ec 为 b， d、 e 为 c， 旋转全等对应边相等，则 ec 为 a。 又因为两个四十五度可导九十度全等三角形的对应边相等， 所以它是 c。 在 r、 t。 三角形 f、 e、 c 中， a 方加 b 方等于 c 方，则 b 地方加 c 一 方等于 d 一 方，所以此题可证。

那么接着我们看到这个第三个板块，第三个板块呢，给到的是个整体思想。呃，整体思想呢？我们之前在七年级，包括八上都见过一些别的类型的整体思想， 那么这里在勾股定律这里，整体思想如何去体现呢？好，我们来看， 给了两个基本图形啊，是不是如图角 c 等于九十度 b， d a、 e 为中线 b， d a、 e 为中线，则 a、 e 的 平方加 b d 的 平方等于四分之五 ab 方。 没必要背。啊。啊，我们不能，不能背，背的话没有意义。好吧，不用背，我解释一下这个咋来的就行了啊，我解释一下这个咋来的就行了。 因为 d 是 终点， e 是 终点，这个设为 a， 这个设为 a， 这个设为 b， 这个设为 b a 一 方 a 一 方，你会发现，就等于二 a 方加 b 方，所以等于四 a 方加 b 方 b 方 b 方就等于 a 方加上二 b 方，所以等于 a 方加上四 b 方 ab 方 ab 方又等于二 a 方加上二 b 方，所以等于四 a 方加上四 b 方。 好，所以 a 一 方加上 b d 方就等于五 a 方加上五 b 方，这个是五 a 方加五 b 方，这个是四 a 方加四 b 方，所以它们的关系就是五比四。啊，就是五比四嘛， 啊，就这么来的，好吧，那么第二个说是 a， b 等于 a， c 做 a h 垂直于 b， c 于点 h， 说是 ab 的 平方减 a， p 的 平方等于 b p 乘 p c。 啊，这个其实后面题目里面有。好吧，后面题目里面有，但是他这里给到了知识导航，我们就还是有，我们给你看一下，好吧。 d、 v、 h 等于三角形，所以做垂直后是三线合一， 做出来之后三线合一，所以我设这个是 x， 右边就是 x， 我 设这个是 y， 这个就是 x 减 y， 这就是这条边的长度关系，因为你会发现它给的是什么呢？ a b 方减 a， p 方等于 b p 乘 p， c 都在下面这条边 啊，下面条边。但是我为什么要在这里设 x？ 没有直接设 b p， 因为我要用勾股定律去表示 ab， 所以 我就会发现 ab 方 那还缺一个 a h 啊。 a h 再设为 z， 所以 ab 方就等于 x 方加上 z 方， ap 方就等于外方加上 z 方，而 ab 方减 ap 方就等于 x 方减 y 方， 而 b p 乘 p， c 就 等于 x 加 y 乘以 x 减 y， 所以 等于 x 方减 y 方， 那这就是它的这个计算的方法。好吧。呃，你把这两个可以在旁边先记一下啊。先记，因为这样后面题目里面就直接用，也不说直接用，就是我们就思路就有了啊，后面解决问题思路就有，但是你不要背 啊，不要背，这个结论没有用啊，没有用。你说是我看到以后题目我直接拿来用了，怎么不行呢 啊？那图的图形的变化是多样的啊，有的时候这里也不会说是终点，它可能换成别的比例关系，对吧？那有的时候这个 p 可能会放到别的地方啊， p 放的换一个别的位置，又或者说把这个图形换个方向，你还能不能认出来，对不对啊？所以这个不要背，我们学会方法就行了。 再说你解答题你背下来也没用，那也不能直接用嘛。好，那么看第一个啊，这就跟刚才一样的，但是它不是中点 啊，它是三倍关系。如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a， c 等于三倍的 cd， 所以 设 cd 是 x， a， d 就是 二 x， 因为 a、 c 是 三倍嘛，啊，设 c， e 是 y， bc 就是 三 y， 那 么这就是二 y 啊， bc 整个就是三 y， 那 么 ab 等于三倍的根号。十，求 a 一 方加 b 地方。那你肯定不能套刚才的这个结论，人家刚才是终点啊，所以我们关键是要掌握方法。 好吧，要掌握方法，所以我们就可以从图里面看出来， a 一 方应该是等于三 x 的 平方加上外方等于九， x 方加外方， 然后这个 b 地方应该是等于 x 方加上三外方，应该等于 x 方加九外方，所以 a 一 方啊， a 一 方加 b 地方， a 一 方加 b 一 方应该是等于十 x 方加上十外方，就等于十倍的 x 方加外方。所以我们需要整体把 x 方加外方算出来。好，又因为三 x 的 平方 加上三 y 的 平方，就等于三倍的根号十的平方，这边三 x 这边三 y 等于三倍根号十的平方，所以 九 x 方加上九外方等于九十啊，等于九十，所以 x 方加外方就等于十，所以最终得到 a 一 方加 b 地方带进去啊，所以等于一百 啊，这就是一种整体的一种代入啊，整体的一种代入，通过射源的方式啊，通过射源的方式，最后发现这个 a、 e 方和加 b， d 方的和呢，跟 x 方加外方整体有关。好， x 方加外方呢，我就可以通过 a、 b 啊给它算出来。

八下数学最难的勾股定律五大模型全部背熟，逆袭班级前三！八下数学压轴必考勾股定律五大必会模型，模型一，风吹树折 模型二，蚂蚁爬行模型三，三七八和五七八模型模型四，出水芙蓉模型五，垂美四边形完整版分享！

我们在前面介绍了与勾股定律有关的三角形的基本形以及四边形的，今天大红老师帮我们总结了与勾股定律这一章有关的八大模型， 为了方便大家记忆，大红老师把他们都取了名字，希望对各位同学和家长这个假期有很大的帮助。

第一题如图所示，是由呢边长为一的小正方形组成的网格，下面是勾股定律的探索与验证的过程。好，这道题呢，主要讲勾股定律的一个验证的过程，就是告诉你它是怎么来的，请补充完整。好，那么我们来看着这个图来填空， 因为 s 一 等于多少？我们来看一下这个图，这个图中的 s 一， 是不是这下面的这个正方形，对不对？正方形的面积我们是会求的，而且它在这个呃网格图中对不对？那么用它的边长乘边长，也就是二乘二等于四，所以这里 s 一 的面积呢，我就可以用 四来表示。好，再看一下 s 二， s 二是什么呢？它是不是这个边长为三的一个正方形啊？那既然是边长为三的一个正方形，那么它的面积我是不是也可以求是三乘三等于九， 再看一下这个 s 三，那有的同学就说了，这个 s 三的一个面积啊，它跟刚刚的 s 一 s 二相比，是不是没有那么好求，对不对？因为它的边长呢不直观，刚刚两个 s 一 和 s 二，它的边长都很直观，我可以直接看出来是二和三，但是这个 s 三呢，我可以用我们以前学过的一个什么方法呢？用以前学过的 我用大面积去减小面积，是不是可以？那么他所在的这个大的一个，这是一个什么呢？这是不是一个边长为五的一个正方形，对不对？他在这个大的边长为五的正方形里面，我要减去 四个小三角形，对不对？那么我就要用五乘五就是来求这个 s 三， 他呢还要减去。那你来看我们这个小正方形呢，他的底和高二，对不对？高了三，哎，那我发现这四个小直角三角形的面积是不是都是一模一样的，对不对？所以我直接用，我直接把一个三角形的面积表示出来，二分之一乘二乘三，然后我再乘 四，是不就可以了呀？好，那么算出来就是什么呢？就是二十五减十二等于十三，所以说这里 s 三的一个面积呢，就等于十三，这个时候我来观察，我观察发现什么四加九等于多少， 是不就刚好等于十三呐，对不对？所以这个 s 一 加上 s 二，它等于 s 三，而这里呢，这个 s 一 加表示是正方形的面积，它等于什么呢？边长乘边长，是不是边长的平方？你看 a c， 所以 说这里是什么呢？ a c 的 平方，你看这个就可以用 a c 的 平方 加上 s 二呢？ s 二是不是 bc 的 一个平方，对不对？ bc 的 平方等于这个 s 三，它的一个边长是什么？是 ab， 那 我是不是也可以用 ab 的 平方来表示，那么也就等于 ab 的 平方，是不是也也就是极这里 ac 的 平方加上 bc 的 平方等于 ab 的 平方。只要是一个直角三角形，你会发现这个 abc 是 不是一个直角三角形？只要是它是一个直角三角形，它就满足什么呢？满足勾股定律，也就是我直角边的平方之和等于斜边的平方。好，这个第一题就带大家认识了一下这个勾股定律它是怎么推导而来的？ 好，看一下这个第二题，这个第二题呢，有四个选，四个序号，让我去判断下列说法中正确的是，那我是不是要一个一个的去判断呢？对吧？好，他说给的已知条件是什么呢？是这里的 a、 b、 c 是 三角形中角 a 角 b、 角 c 的 一个对边。好，我们来一个序号，一个序号的看。 先来看序号一，如果角 c 等于九十度，那么我可以先画出来一个图，对不对？我把这个角 c 等于九十度，把它画出来。好，比如说这个直角三角形，这个直角呢是 c。 好， 另外两个顶点就是 a， b 角 a 所对的边呢？是边长 a 角 b 所对的边呢？是边长 b 角 c 所对的边是不是边长 c 啊？我们刚刚说直角三角形满足勾股定力，那就是什么呢？直角边平方和等于斜边的平方。你看这里直角边是 a、 b， 然后斜边是 c 啊，也就是 a 方加 b 方等于 c 方，我会发现什么呢？你看，既然角 c 是 九十度，那么最后肯定是 等于 c 方的，是不是？那我再看第二问，若角 b 等于九十度，那角 b 所对的边是不就是斜边呢？那另外两边平方和是不等于斜边的平方，对不对？ 所以这个序号二也是正确的。序号三，若角 a 等于九十度，角 a 等于九十度，说明什么呢？说明他所对的那条边 a 是 不是也是斜边呢？那另外两边的平方和是不是就等于斜边的平方，对不对？所以说这个序号三呢，它也是正确的。 好，那么同学需要四对不对呢？总有 a 方加 b 方等于 c 方，对不对？有同学说，对啊，这不，这不就是勾股定律吗？那个定律上写的是 a 方加 b 方等于 c 方，但是你现在已经判断了三个序号了，你再来说这个序号四，对不对呢？ 是不是不一定正确？除非什么呢？除非我的角 c 等于九十度，这个 c 是 斜边，才能满足这个条件，所以这个序号四我不选，那么这道题呢，我就选择 c 选项，好，接着往下看。核心考点二，利用勾股定律进行计算，这个考频啊，也非常的高啊，这种题目呢，出现的次数也非常的多，在考试中，而且在考试中，它不会这么直观的 告诉你说什么直角三角形啊，它会融合到我们几何的一个考察中，让你呢自己知道。如果我知道直角三角形对不对？已知直角三角形，已知两边，那么我可以求第三边，我就会用到这的勾股定律。我们来看一下这个第三题， 在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， bc 等于四，若 a、 c 等于二，则 ab 等于多少？那你看这个三角形，我把它画出来， 画的不一定标准啊，但是呢，只是为了很直观，让大家知道哪些边是直角边，哪些边呢？是 斜边？ b、 c 等于四角， c 等于九十度，对不对？好，第一问，若 a、 c 等于二，则 ab。 好， 既然 a、 c 知道 a、 c 是 什么边，直角边， ab 呢？是斜边对不对？所以说这个 a、 b 怎么算？它是不等于 a、 c 的 平方加 b， c 的 平方，对不对？你看，我写在这就是 a、 b 的 平方，它就等于 a、 c 是 多少，二的平方加上四的平方就等于二十，对不对？所以 a、 b 就 等于什么呢？根号二十， 我一定不会出现负的，因为既然是直角三角形的三边，怎么可能是负的呢，对不对？所以我直接把负的根号二十给舍掉了，我只取正的 根号二十，这里还有一个什么呢？根号二十 i， 我 还需要化为最减，这根号二十是不是没有换二次根式，对不对？我要化为最减是什么呢？它是不是根号下的四乘五？ 那根号下的四乘五，也就是二倍的根号五。 好。第二问，若角 a 等于三十度，则 ab 等于多少？ ac 呢？等于多少？那我们来看一下，我依然画出直角三角形，你看，我知道角 c 九十度嘛？角 a 三十度， 那这里有一个什么呢？直角三角形中，三十度所对的边是不等于斜边的一半？我知道 bc 是 等于四的，那么我可以求出什么？是不可以求出我的 ab， ab 等于多少呢？ ab 等于八。 好，那么 a、 c 等于多少？我就要求了，这已经知道了直角边和斜边对不对？而且我知道什么呢？ a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，它是等于 ab 的 平方的， 那你看这个 a、 c 的 平方，它是不是就可以用 ab 的 平方减去 bc 的 平方， 对不对？好， ab 呢？就是八的平方减去四的平方，八八六十四，四是十六，对不对？好，你看，这算出来等于多少呢？四十八。 所以 a、 c 呢，它就等于根号下的四十八。同样的道理，这个四十八是不是它又等于什么呢？是不等于十六乘 多少呢？三，是不是十六开方开出来是不是四四倍的根号三，所以说这里 a c 呢，它就是四倍的根号三。我们来看一下。第三问， 刚刚是角 a 等于四十五三十度，现在是等于四十五度，是不是也很特殊啊？这个四十五度，你看画在直角三角形中， c 九十度， a 呢四十五度， b 也是四十五度，那说明它是一个什么三角形？等腰直角三角形嘛？等腰直角三角形，两条直角边是不是相等？那么 a、 c 是 不是就等于四啊？ a、 b 呢？同样我用什么呢？用勾股定律是不是去求 a、 b 的 平方， 它就等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，也就等于 a、 c 等于什么？等于四四的平方，加四的平方，是不是？四，四十六，十六加十六、 三十二。那么根号下的三十二就等于什么呢？根号下的十六乘二， 对不对？也就等于四倍的根号二，是不是？所以说这里 a、 b 呢，是四倍的根号二， 而这两个三角形非常非常的特殊，也在我们平常的考试中呢，用的非常的多。就是如果说你知道了这个直角三角形中有一个三十度，那么你呢，尽可能就可以根据我们学了勾股定律嘛，后面你就要知道他们三边之间存在着一个什么关系呢？你看 四八四倍根号三，那是不是就是一比二比根号三呢？对不对？好，你看四十五度，四四四倍根号二，是不是就是一比一比根号二？ 好，我们一起来看一下题目。他说如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度，这个角是九十度， da 呢，垂直于 ab， 你 看根据这两个给的角度关系，我是不是可以找到两个直角三角形，直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形什么呢？ a、 d、 b 是 不是两个直角三角形连接 b、 d？ 若 ac 等于根号二，好，我把它标在这个图上啊， ac 等于根号二， b、 c 等于一， a、 d 等于二，则 b、 d 等于多少？那么首先呢，我就可以根据什么呢？根据，在这个直角三角形 a、 b、 c 中，已经知道了两条直角边，那我是不是可以先把它的斜边求出来呀？对不对？好，那么在这个 直角三角形 a、 b、 c 中，我可以先求出这个 a、 b、 a、 b 呢，它就等于根号下 是不是两个直角边的平方和 a、 c 的 平方，加上 b、 c 的 平方，那么就等于根号下的根号二的平方 加上一的平方，是不是就等于根号下二加一算出来了，等于根号三， 是不是？我现在求出了 a、 b， 我 再要求 b、 d， 是 不是可以放在直角三角形 a、 b、 d 中，我已知了两条直角边，要求这个斜边，是不是就可以求出来？好，那么在这个 直角三角形 a、 b、 d 中， 我要求这个 b、 d， 它呢就等于根号下 是不是 ab 的 平方加 ad 的 平方， ab 是 什么呢？根号三，那么就是根号三的平方加上二的平方，根号三的平方呢，等于三加上二的平方，就是加上四，等于根号 七，所以说这里的 b、 d 我 们是不是求出来了呢？ b、 d 的 值呢？就等于根号七，对不对？这道题跟刚刚的几道题相比呢？它呢，就是需要我们先在一个直角三角形中求出这个斜边场，而这个斜边呢，它在我下一个直角三角形的直角边中，对不对？我通过 两次勾股定律就能够求出这个 b、 d 的 一个场，就能求出最后的一个值。好，这就是第四题，看大家有没有理解 好，我们一起来看一下。如图，在直角三角形 a、 b、 c 中角 c 等于九十度 d 点呢？为 a、 c 上的一点。若 d， a 等于 d， b 等于十五。其实我在读题的过程中，我也可以把这些纸啊标到这个图上去，用铅笔标到这个图上去，等于十五。 三角形 a、 b、 d 的 面积呢？为九十，则 a、 c 的 长为多少？那我们来看一下 我要求啊，这个 a、 c 的 长，现在这个 a、 d 是 不是知道了，我只需要求什么呢？只需要求这个 c、 d 的 值，而 c、 d 呢，是不是在直角三角形内？是不是在直角三角形 b、 c、 d 中，对不对？但是呢，在这个直角三角形中呢，我只知道斜边 b、 d 的 长是十五， 那我要想一上来就固定你去求 c、 d 是 不可能。所以说这个时候我就要看一下题目中的已知条件面积，面积怎么用？那我来看一下这个三角形 a、 b、 d。 哎，它是一个什么三角形？它是不是我们之前见过一个钝角三角形？因为钝角三角形它的高是在什么？是在三角形的外侧的对不对？那你看这个三角形 a、 b、 d 啊，你看这个 bc， 它是垂直于什么？垂直于 ad 延长线对不对？ 垂直 ad 交 ad 的 延长线于点 c 的， 那么这个 bc 是 不就是 ad 边上的高，对不对？所以这个三角形 a、 b、 d 我 就可以用二分之一乘底边 a、 d 再乘我的高，高是什么呢？ bc 也就等于二分之一乘十五，再乘 bc， bc 不知道，我就用 bc 表示等于九十， 这样我是不是列出来一个等式？那么我可不可以求出 bc 呢？ bc 是 不是就等于九十乘二除以十五， 对不对？好，我们来算一下，九十乘二除以十五等于多少呢？九十除以十五，我们知道十五乘二是不等于三十，三十乘三呢，是不等于九十？所以九十除以十五是不等于六六乘二是不等于十二， 对不对？好， bc 算出来十二，那我再算 c、 d， 这个时候你看我再算 c、 c、 d 是 不是可以用勾股定力了？我已知直角三角形的两边了嘛，对不对？好，那么 c、 d 呢？它就等于这个 c、 d 是 直角边，那么就等于斜边。斜边是什么？ b、 d 对 不对？ b、 d 的 平方就是十五的平方， 减去直角边 bc 的 平方十二的平方，那么它就等于二百二十五。减去一百四十四，那么它就等于根号下的，这等于根号下多少呢？ 你看我用两百减去一百四十四是多少啊？是五十六，对不对？五十六再加上这个二十五 是八十一，是不等于九啊，对不对？好，那么 ac 的 长呢？是不是九加十五算出来等于二十 四，是不是？好，这就是第五题，这第五题跟刚刚的第四题又不一样了，是不是？第四题是用两个直角三角形求边，而这里呢，它其实呢，是用到了三角形的面积，对不对？公式去求了直角三角形中的一条边，然后再去用勾股定律求了 c、 d 的 场，就算出 a、 c 的 场，他说在直角三角形 a、 b、 c 中已知了斜边 b、 c 等于四， 则 a、 b 的 平方加 b、 c 的 平方加 a、 c 的 平方的值为好。你看，既然有什么的平方加什么的平方加什么平方，我会想到什么？勾股定律？如果是勾股定律，在这个直角三角形 a、 b、 c 的 话，我可以列出一个什么样的等式呢？既然 b、 c 是 斜边对不对？那么是不是就可以得到 a、 b 的 平方加上 a、 c 的 平方，它是等于 b、 c 的 平方， 对不对？你看这里是不是有 a、 b 的 平方加上 a、 c 的 平方，它是等于 b、 c 的 平方？那再加一个 b、 c 的 平方，它最后等于什么呢？是不等于等于两倍的 b、 c 的 平方，而 b、 c 我是 不知道二乘四的平方，四是多少？十六，二乘十六是不是等于三十 二呀？对不对？好，所以这道题呢，我们选择 c 选项对不对？ 在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 等于九十度，我以直角三角形的两边向外做正方形，其面积为五和九，它已经标出来了，则 b、 c 等于多少？我说如果我这个 b、 c 也向外做一个直角， 也向外做一个正方形，是不是？那么我可以得到什么？可是我可以得到 ab 的 平方加 bc 的 平方等于 ac 的 平方，而这里呢， ab 的 平方是什么呢？这个三角形面积五， bc 的 平方是下面这个正方形的面积， ac 的 平方是上面这个正方形面积，对不对？那么你看我 ab 的 平方，根据直角三角形，它是等于 ac 的 平方， 对不对？而这里呢， ab 的 平方我是不是已经知道了？是五 好 bc 的 平方不知道，我还是写 bc 的 平方， ac 的 平方我知不知道？是不是也知道这个正方形的面积九，对不对？好，那么 bc 的 平方呢？它就等于九减五，是不是就等于四？那我可以求出来， bc 呢，是不是就等于 二，对不对？所以呢，这道题我们选择 c 选项。 好，我们一起来看一下。它说如图，在三角形 a、 b、 c 中，分别以这个三角形的三边为边，向外就正方形，就跟刚刚那问前面那句话是不是一模一样，对不对？好，面积分别记为 s 一、 s 二、 s 三 弱。好，这里给出了 s 一 等于六， s 三等于十五，这个图中阴影部分的面积为。哎，好像到这都有点类似，是不是？那么我根据这个斜线前面的部分，我可以得到一个什么？得到一个什么条件呢？那我是不是可以求出这个 s 二 是不是 s 二就等于什么呢？等于 s 三减去 s 一， 而 s 三是多少？十五，十五减六 等于九，对不对？好，既然我把 s 一、 s 二、 s 三都表示出来，我再看一下阴影部分的面积， 哎，这个阴影部分的面积它像个什么？它是不是很像我标个点啊， d 点，这个 b、 c、 d 的 面积，它是不是很像什么呢？ 它好像是把我们前面几道题都综合到一起去了，是不是？为什么？因为这个阴影部分它是一个钝角三角形，刚刚是不是也出现了一个钝角三角形？那我要找什么？求它的密集得找底和高啊， 你看这个底 bc， 这个 bc 是 不就是 ab 啊？因为正方形嘛，边相等 ab 呢，就是 s 二，既然 s 二的面积我知道是三，我是不是可以得出它的边长是九，面积是九，那我是不是可以得出它边长是三呢？ b、 d 和 ab 相等都等于 三，对不对？好，那我再来找一下，再来找一下这个三角形的高。高是什么呢？高是不是 c 点到 b、 d 的 一个距离呀？咦，那你发现 c 点到 b d 的 一个距离做垂线吗？ 哎，是不是和我的这个 a b 啊？你看这是不是形成了一个什么长方形啊，对不对？长方形对边相等，所以 c 到 b d 的 距离是不是就是 ab 的 长？所以这个硬铺面积是不是就是二分之一乘 三，再乘一个三，算出来等于二分之九啊，对不对？所以这道题呢，我们选择什么呢？我们选择这里的 d 选项。好，这就是第八题。 若一个直角三角形的两边长分别为五十二，第三边长为多少？我们刚说需要分类讨论对不对？因为我不知道这个十二和五到底都是直角边还是呢？有一个是斜边，有一个是直角边，我是不是都得考虑一下？那么好， 第一种情况，如果这两条边都是直角边，那么我要求斜边，他是不是就等于根号下直角边的平方和十二的平方加上五的平方，等于根号下一 百四十四，加上二十五等于多少呢？等于根号下的一百六十九，是不是很眼熟啊？他等于什么呢？等于十三 是不是？好，既然说到了这个一百六十九呢，那我也需要跟大家回顾一下了，刚刚我们遇到很多，你看遇到很多就是平方嘛，其实十以内的平方呢？大家都知道，那么十以外的平方用的最多的，我们还是把回顾一下，比如说 十一的平方是多少？一百二十一是不是好，十二的平方呢？ 一百四十四好，十三的平方呢？一百六十九对不对？这些都是出现了非常常见的，还有一个十五的平方二百二十五， 它有十四的平方，一百九十六，这些都是用的非常多的，大家要把它记下来哦，记下来，因为后面你看到之后，你直接一眼就能知道这个一百四十是十二的平方，或者是你说看到十二你就知道啊，十二的平方是一百四十四，对不对？好？这是第一种情况，算出来斜边长是不等于十三呢？对不对？好， 而且这个十三十二五能够满足三角形三边关系吗？是不是可以好？第二种情况，如果这个十二五是斜边，那么它的另外一条直角边就等于斜边的平方减去呢？直角边的平方就等于根号下一 百四十四，减去二十五，算出来等于根号下的一百一十九， 对不对？好，看一下，大家算的跟我这里面算的是不是一样的呢？那么这道题我选择 b 选项， 大家一定要记住，像这种题目没有画图的，或者是说只给你的条件，但是条件不明确的你就要注意了，我要分类讨论的思考一下， 你看这里有个易错径是忽略直角三角形两边长中，这两边可能都是直角边，也可能一条是直角边，一条是斜边的情况是不是？所以大家一定要记得分类讨论， 我们一起来看一下。如图，分别以直角三角形的三边为半为直径，做三个半圆起， s 一 等于三十， s 三等于七十五， s 二等于多少？那我们首先看一下， 刚刚是直角三角形，以三边向外做正方形对不对？直接就等于边长平方，此时呢它不一样，它做的是什么？做的是半圆，那我是不是要分别来求一下，那我求这个 s 一， 它是不是圆的面积的一半？好，大家知道圆的面积怎么算吗？ pi， r 的 平方，我先把这些点都给标出来，比如说标 a、 b、 c， 那 么 s 一 呢？它就等于二分之一，因为是半圆嘛，对不对？乘 pi r 的 平方 r 是 什么呢？直径是 ab 对 不对？半径就是二分之 ab 括号的平方，对不对？那么算出来就是八分之派乘 ab 的 平方，对不对？好？那么 s 二呢？是不同样的道理，那么它是不等于八分之派倍的 bc 的 平方？ s 三呢，是不是等于八分之派倍的 ac 的 平方？ 是不是？既然我的三角形 abc 它是满足，它是直角，三角形满足勾股定律对不对？那么我是知道这个 ab 的 平方啊， 它加上 bc 的 平方是等于 ac 的 平方的，对不对？那么两边我同时乘个八分之 pi， 这不就出现面积了吗？对不对？你看，既然 ab 的 平方加 bc 的 平方，那么八分之 pi 被的 ab 的 平方 加上八分之派倍的 bc 的 平方，它就等于八分之派倍的 ac 的 平方， 对不对？所以这里是不是就可以用 s 一 加上 s 二是等于 s 三的，那么这里我要求什么？ s 二是不好求啊，这个 s 二它就等于 s 三减去 s 一， s 三是多少？七十五 减三十，算出来结果等于四十五。所以呢，这道题我们选择什么呢？我们选择这里的 b 选项。 好，你看大家看一下这个推导过程，你有没有理解？其实很简单，首先你只需要知道我如何表示出这个半圆的面积，怎么样和我的勾股定联系起来。 最后，你看他实际上是不就是 s 一 加上 s 二等于 s 三，这是不是最后的结果就很清晰了呀？对不对？好，这是第十题，看一下大家有没有理解好，如果理解的话，我们继续往后面看，有，有，大家有没有发现我们现在做的题目是不是越来越来越越难了呀？对不对？ 所以大家一定要跟紧。嗯，多多少有点眼熟啊，多少跟我们最开始的时候是不是题目它有一点点眼熟，对不对？那我们来看一下，在三角形 a、 b、 c、 中角 c 等于九十度角， a 角、 b 角 c 的 对边分别是 a、 b、 c。 那其实我可以判断什么呢？我可以根据这个直角判断这个对边 c 是 什么？是斜边。那么是不是就是 a 的 平方加 b 的 平方，它是等于 c 的 平方的呀？对不对？好，那么呢，大家来算一下这个 d， 问你能不能够求出这个 a 的 值呢？你看这个 a， 它是不是就等于根号下 c 的 平方？减 b 的 平方也就等于根号下三的平方？减二的平方，是不是三三得九九减四，根号五， 对不对？这就是什么呢？这就是我们的第一问， 第二问，第二问不一样给的是什么呢？比值？第一问还简单一点，前面好像就类似的，是不是？所以第二问不一样给的是什么？给的是比值。我们之前学角的时候就说过，如果角度之间的关系，给的我是比值，我可以通过设未知数的方法来去求。 那么同样的，如果边给的是比值，我也可以选择用什么呢？也可以选择用设未知数的方法来表示，是不是？那么我可以设这里 a 等于三 x， 则 c 等于五 x， 对 不对？再根据前面的勾股定律，我知道 a 方加 b 方 等于 c 方，所以我可以列出等式，三 x 的 平方加上三十二的平方等于五 x 的 平方，我是不是先把 x 给求出来呀？对不对？好，那我们来展开一下， 三 x 平方就是九 x 平方加上三十二的平方等于二十五 x 平方，我为什么一开始没有把这三十二的平方就直接给算出来了？可能后面我可以约分的话，会更简变一点。好一项， 那么二十五减九，是不就是十六 x 平方等于三十二的平方？好，你看这个地方，十六跟三十二这个关系大家应该知道，两倍的关系啊，对不对？所以说这个 x 平方就等于什么呢？二乘三十六， 二乘三十二啊，十六和三十二的关系好，那么 x 我 就求出来，它就等于什么？这个三十二是不是就十六乘二 十六乘四，是，是多少？是不是六十四啊？六十四开根号等于多少了？八八六十四， x 求出来之后， a 等于多少？三八二十四， c 等于多少呢？五八四十。 此时我是不是求出了这个 a、 c 的 一个值啊，对不对？好，所以大家下次再遇到像这种线段给出比例关系，可以采用什么方法呢？是不是采用设未知数的一个方法，对不对？

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