六上圆锥圆柱画法

数学圆柱与圆锥立体手抄报教程来了！下单后会提供这些图片，亲们可以根据自己情况选择打印。视频中展示的是彩图打印效果，一共需要打印三张图，建议亲们选择打印黑白线稿图色后再剪贴， 这样效果会更加真实，像自己手绘的。开始做之前，咱们需要准备的工具，剪刀、泡沫胶针和线下面开始制作。第一步，把每个小图案剪出来，圆锥和圆柱图案剪下来后，可以沿着虚线折一下 这两份图案，有字的和无字的选择一个即可。为了方便演示，我选用带文字的。 第二步，把小图案背面贴上泡沫双面胶，视频中用的泡沫胶是零点五厘米厚的，亲们可以做个参考。第三步，粘贴组装。可以先大致摆一下图案位置，然后再撕开泡沫胶粘贴就可以。 圆锥体和圆柱体我用的是针线穿的。首先第一步，从底面圆的外侧穿，然后按顺序依次穿过图上留的圆点。注 力针从哪一面穿出来，需要再从同一侧面穿过去，最后穿回到第一个洞，再把线打上结，多余的线条剪掉，再把圆柱和圆锥的笛绵圆贴上泡沫胶粘贴到合适位置，这个作品就完成了。 最后一起来看看成品效果吧！

这是两种，这是周长公式，这是面积公式，那么还有一个比较重要的是侧面积， 侧面积呢在表面积之中是必不可少的，那么侧面积我们把圆柱展开之后，首先就去获得获得一个长方形，旁边有两个圆，这就是一般大部分常见的圆柱的展开图，那么我们可以发现，展开之后圆，我们把底面积圆圆的周长就相当于 这个侧面积的长，所以说长就等于拍 d 或 r 拍二，那么这个宽呢？从实践中我们可以得知，因为我们的侧面就是沿高展开，所以说呢侧面高就是呃宽就是高，那么这下我们就可以求出来了，那这个呢就是 r 拍二 h， r 拍二 h 或者是拍 d h， 这两种都是测面积公式，那么我们来推导一下表面积公式，表面积公式照样也有两种， r 拍二 h 加上 我们说的拍二的平方乘以二，这就是如果已知半径的话来求，如果不知道半径的话，就变成了拍 d h 加上拍括号 d 除以二的平方再乘以二， 这是两种不同的公式。那么体积呢？现在我们要讲的最重要的一部分体积，体积呢，我们首先体积怎么推到呢？这是我们从上面来看这个圆柱，那么我们给它分成若干份等等等，这分的只是其中的很小一部分，之后呢我们再拼合，你就会得到一个长方体， 你就会得到一个长方体，那么这个长就是圆周长的一半， 圆周长的一半，那么这个就相当于我们所说的这个半径，那么这俩一乘就相当于整个圆，也就相当于我们的底面积，那么这是高，所以说长方形它有两种公式，一种是底面积乘以高， 另外一种是长乘宽乘高。那这种方法呢，我们暂时不要采用这种，这个呢，现在我们已经知道了，圆的底面积等于 这个长方体的底面积，那么他既然他俩相等的高，也是一定相等的，所以说呢，我们就可以得知，原圆柱的公式就是底面积 乘高，字母表示就是就是 v 等于 s h， 这个 s 大家都知道，就是底面积，那么圆锥，圆锥呢？我们来看一下。 首先大家都见过这两种最常见的平面图形，平面图形我们可以发现长方形和三角形等底等高，那么如果我们拿一根棒棒在这里旋转一周，我们就会获得一个圆柱形圆柱体，那么 那我们把三角形旋转一周，这是直角三角形，我们就可以获得圆锥。 那么既然他们在原来的图形中是两倍关系，那么在立体图形中，他们是否是两倍关系呢？经过实测，我们把圆锥 中间的部分掏空，我们装上沙子往圆锥里面倒，倒了三次才成功倒满，说明圆柱是圆锥的三倍， 那么由此我们就可以推出圆锥的公式， v 等于三分之一 s h， 这个三分之一怎么来的我都不用说了吧，是从 v 等于 s h 除以三，把这个除以三变成乘以三分之一，我们可以把三分之一放在最前面，就变成了三分之一 s h， 这就是圆锥的立立体体积。

圆柱圆锥穿插体首先观察一下形体结构，我们不妨先将它们看作是一个三角形加上一个长方形， 注意它们的位置和比例，长方形会有右边大左边小的透视关系。接着我们在两个形上面找到它们椭圆的位置，注意圆柱体上面左边的圆会比右边的圆更圆一点。 观察完成，下面我们开始作画。首先把落地的圆锥体画出来，定好高低，左右点画出中轴线，用三角形概括，注意高度不要定的太低，给圆柱体留出足够的空间。接着我们定出圆柱体的位置大小， 找到中轴线，确定前后两段的距离。接着找到圆锥体底部椭圆的位置，定好辅助线，然后一点点把椭圆切出来，同理切出圆柱体的两个椭圆。 再次提醒要注意径大圆小的透视关系，然后画出圆柱圆锥的交接处。 接下来找到暗部，画出明暗交界线，注意控制虚实变化。然后画出投影的形状和大小，强调一下轮廓， 最后铺好暗部和投影，一个圆柱圆锥穿插体结构就完成了。更多绘画干货，记得点赞，关注后查看！

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家新年好，这条视频呢，是我们新年的第一条视频。首先呢，祝各位小朋友快快乐乐，健康成长，祝家长们平平安安，幸福生活。 那么寒假过半了啊，我们休息之余呢，把六下的两个非常重要的内容，圆柱圆锥和正反比例先预习一遍啊，圆柱圆锥呢，有些小朋友可能学过了啊。呃，再听孙老师讲一讲哪些不一样的体会。 那么圆柱圆锥呢，我们依旧是从三个方面来讲，从基础啊，构造到表面积和体积。 第二个呢，是归类与拓展啊，我们一向都是先讲基础，然后再进行提醒，归类啊，再拓展。那第三个呢？思路总结与发散。 那在我们把所有的类型的题目讲完了以后，在更高的视角，我们再来看一下这些类型，这些题目。呃，我们能总结出哪些思路？这些思路又怎么样能运用到更复杂更难的题目里面？ 这种学习方式呢，也是我们啊小学到初中的一个非常大的跳跃吧。小学呢，我们老师给你总结是吧，到了中学以后啊，需要我们小朋友自己总结。好，首先呢，我们这节课呢，是基础知识， 来，大家来看，这是一个长方体。呃，我在讲长方体正方体的时候就跟大家讲过啊，我说圆柱圆锥跟长方体正方体的题型百分之八十是差不多的，那那么长方体呢，是分成了 上下两个底和它的什么侧面？呃，就是前后左右四个面了，所以一共是六个面。那么也就是说，我要去求它的表面积的时候，是不是上底加下底，以及前后左右四个面， 那求出来，再把它一加，就是它的表面积。当然我们也有第二种求法，就是什么呢？把前后左右，因为它的展开图是一个长方形，我们又称之为侧面积，大家还记得不 是吧？这个前后左右展开是一个长方形，是我们的侧面积，这个侧面积的长是底面周长，是不是底面周长，是不是展开是底面周长啊？长是底面周长，宽的是高，所以侧面积又可以通过底面周长乘高得到， 是吧？底面周长乘高，底面周长就是长加宽的和乘二了，是吧？这个长方形的周长如果是个正方形，就是边长乘四。好，也就是说我们的表面积在长方体上面会有两种求法。好，那么接下来我们看到一个圆柱， 圆柱呢，依旧是分成了上底和下底，但是他没有前后左右啊，是不是我不能够说把前后左右全部求求出来，然后再相加，他没有前后左右，但是 侧面展开呢？依旧还是个长方形，是吧？所以我们可以通过第二种方式，上底加下底，再加上侧面积 把它求出来，可以通过上底下底再加上侧面积求出来，侧面积依旧是底面周长成高啊，那么这个底面周长啊，这个底面周长是啥呀？因为它的底面是一个圆嘛，所以底面周长就是这个圆的周长，圆的周长怎么求，大家还记得吗？ 啊？派乘直径对不对？派地或者呢？二派二，大家还记得吗？底面周长派地或者二派二 啊。我们在学习圆柱圆锥的过程当中啊，有一个很很重要的问题，我们有的小朋友可能前面的圆的知识啊忘记了，如果有忘记了，可以到前面我的视频里面再去复习一遍啊。 好，那么这样我们圆柱的表面积就是上底加上下底再加上侧面积，那底面周长成高，那么上底加下底呢？是怎么求来着？都是是两个圆，对不对？圆的面积是不是 pi r 的 平方，所以两个的话就是二 pi r 的 平方 再加上侧面积，侧面积是底面周长乘高，底面周长是二排二，对吧？二排二乘 h 高，所以这个就是我们的表面积了啊，上底加下底，再加上侧面积。好，接下来我们看一道题目， 一个圆柱的底面直径是两厘米，高是九厘米，它的表面积是多少？来暂停大家做一下。 好，我来讲很简单吧，是吧？底面直径，那我们先把上下两个底求出来，上下两个底吗？底面直径先除以二，求出半径对吧？二，除以二的平方，二平方乘派，对吧这是？呃，一个圆 再乘二，变成上下两个底，再加上侧面积，侧面积是二派二乘啊，这边是派地乘 h 对 吧？派地乘 h， 二乘三点一四是周长，周长乘高是侧面积，最后求下的是六十二点八，大家做对了吗？ 啊，并不麻烦是吧？很简单。好嘞，继续第二题，仓库里有很多的铁皮啊，然后呢，我们需要把这个铁皮啊，你看这是底，这是侧面，哎，看看哪两个可以 并成一组，做成一个无盖的圆柱形水桶，大家看一下。 好，我来讲，那么这是侧面，是不是这是侧面，要跟这个底能搭配的上，其实很简单了，我们只需要看什么这个侧面的长，是不是这个底的什么周长，对不对？底的周长，你看这边是直径是四分米，它的周长应该是多少？ 四派就是十二点五六，所以一和四是可以的，二后面不行，是吧？所以我们选择的是一和四。好， 来，我们看第三个，一个圆柱的侧面展开图，是一个正方形，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？ 看一下。是个圆柱啊，侧面展开呢，是个正方形，这说明一个问题，说明什么？底面周长和高相等，对吧？底面周长和高相等，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？来，大家先做一下。 好，我来讲。那么 我们要求它的表面面积需要上底下底加上侧面积，对吧？尤其是这里的底面周长和高又是相等的，所以我只需要把底面周长求出来高也就知道了， 对不对？底面周长很简单，直径告诉我了，是四分米，四派，所以四乘三点一四等于十二点五六，等于十二点五六。在这里啊，我讲的这些题目派都取三点一四啊。 好，四乘三点一四等于十二点五六，是底面周长又是高，所以他的测面积就很简单了，十二点五六乘十二点五六对一百五十七点七五三六啊，这个小点后面比较多啊。 好，那么这个测面积咱们已经求出来了，咱们还需要上下两个底的面积，对吧？他的直径是四分米，所以我们用四除以二，先把半径求出来，是二分米，那这样的话拍二平方 再乘二是吧？三点一四乘二的平方是一个底，十二点五六，十二点五六再乘二，就是两个底，再加上侧面积，一共加出来等于一百八十二点八七三六， 大家做的对吗？啊？有可能计算会出问题，对吧？这个计算麻烦了一点啊，计算要当心啊。 好，这是这道题，我们继续。那么我们前面讲了三道题，尤其第三道题，来，我们稍微总结一下，我们要求圆柱的表面积啊，是通过哎，把这两个求出来，两个上下两个底面积，然后把侧面积求出来，再一加就可以了，对不对？ 好，既然我要求这两个，那我需要啥呢？我求这个底面积就需要什么底面半径二， 侧面积，我们需要什么呢？需要底面半径二和这个高，对吧？所以总结下来，我们要求圆柱的表面积，其实是只需要两个东西，一个是什么二，一个是 h， 一个是底面半径，一个是高，对吧？我为什么给大家总结这个呢？就是我们在做题目的时候，你看到要求什么？首先脑子里面要反映出来我需要的条件是什么，于是你才能知道我从前面的这个描述的条件里面要提取什么样的信息，是吧？要往哪个上面去靠。 好嘞，我们继续。接下来我们分类啊。呃，我们不是求表面积吗？分类啊，把它这个表面积里面的这个内容啊，我们分类把它讲一讲。首先我们先来看侧面积， 呃，第一道题，一个水杯，那水杯上的装饰袋是八厘米，它的面积是多少平方厘米？来看一下，来，先做 好好，来，我们看这个侧面呢，这个装饰带啊，是一个高八厘米的一个侧面积，是不是啊？要求侧面积很简单，底面周长呈高，所以直径是六厘米，那么就是 啊，三点一四乘六，再乘八解决了。那我说了，这里派我们后面讲的题目派读去，三点一四啊，三点一四乘六乘八等于一百五十点七二平方厘米，答对吗？很简单的一道题啊，来继续。 压路机的前轮直径为一点二米，轮宽两米，压路机工作每小时每转动十周，问每分钟压路多少平方米？看这是个压路机的前轮， 它的直径呢？是一点二，轮宽是两米，它压出去是什么呀？它压出去是不是一个长方形，对不对？是吧？是个长方形， 这长方形的宽呢？其实就是两米长方形的长呢，是这个轮子滚动出来的距离， 是滚动出来的距离。滚动出来的距离大家还记得吗？还记不记得这个距离是怎么来着？这里面有个数量关系是什么来着？是圆的周长乘，滚动的圈数等于滚动的距离，大家想一想是不是啊？圆的周长乘，你滚动了几周，就等于你滚出去多少距离， 是不是那么圆的周长在这里直径已经告诉我了，是两，是一点二米吗？对不对？直径是一点二，所以周长就应该是多少？一点二乘三点一四，一点二乘三点一四，那么乘二呢？就得到了什么？就等于它滚动一周，它能滚出多少平方米？ 是不是滚动一周就是一点二乘三点一四，是周长，是周长滚动滚动一周，他往前滚的距离，再乘他的这个，这边的宽是两米，也就说我滚动一周滚出来的面积是七点五三六平方米，对不对？ 是吧？然后呢？然后滚动一周是七点五三六，他说每小时要滚动十周啊，所以我们用七点五三六乘十，对，七十五点三六平方米啊，这是十周，也就是说每一小时我能滚动这么多的面积， 那最后要求的是每分钟压路多少平方米？一小时等于六十分，所以我还得用七十五点三六除以六十等于一点二五六平方米，大家做对了吗？好，这也是一个典型的题目啊，很基础。好。第三个， 有一根长一米，横截面的直径是二十厘米的木头，浮在水面上，正好有一半露出水面，问，这根木头与水面接触的面积是多少啊？这个木头与水面接触的是多少？哎，大家先做一下。 好，我们看啊，它与水面接触是哪个部分？你看这边是一个半圆，对不对？看到没有？这边是个半圆啊，这边也是个半圆，那这两半圆凑在一起变成一个整圆，再加上， 再加上什么？这是半个侧面积，对不对？侧面积的一半。好，好，现在我们知道了，它跟水接触的面积是一个整圆，加上侧面积的一半，对吧？那现在就好求了， 单位换算一下，长一米，因为他最快求平方厘米，所以一米等于一百厘米。那接下来呢？直径是二十厘米，那么他的半径就应该是十厘米，哎，把半径求出来，方便我们去求这个整圆的面积，所以三点一四乘十的平方等于三百一十四，哎，这个两个半圆加在一起就是三百一十四 平方厘米，对吧？接下来我们求测面积，测面积很好求啊。呃，测面积的一半嘛，所以用这个圆的周长乘一米的这个长度，对不对？所以用二十啊，三点一四乘二十，周长再乘一百，是他的长 对吧？是等于他的测面积，然后除以二等于半个测面积三千一百四十，最后把这两个加在一起，三百一十四，加上三千一百四十，等于三千四百五十四平方厘米， 走对了吗？好，继续。好，第二个呢，我们讲组合体的表面积，来来看 好这个呢，我们会发现这个图啊，上面的这个部分就是我们刚刚求的那个啊，一个半个侧面积，然后前后两个半圆加在一起，是一个整圆，跟我们刚刚求的是不是一样，对不对？然后下面这个部分呢，是一个正方体啊，正方体的几个面？ 五个面吧，是不是五个面？好，大家先做一下。好嘞，我们来对一下答案， 二的平方乘三点一四就是什么？前后两个半圆加在一起是一个整圆，对不对？然后呢，四乘三点一，四乘四就是它的侧面积，再除以二是侧面积的一半，是吧？四乘三点一，四不是周长吗？周长乘四对吧？是这个长， 哎，然后呢，这是一个整个的测面积，再除以二得了半个测面积，这个加在一起就等于上面这个部分三十七点六八， 然后下面就很简单了，是五个正方形，是吧？所以是四的，它的边长是四吗？四的平方乘五，再加上上面的三十七点六八，等于一百一十七点六八平方分米，答案对吗？好看，下面一个 在一个棱长为五分米的正方体木块前后上下左右 各个面的中心位置挖去一个底面直径是两分米，高为两分米的圆柱，大家注意啊，啊，这个黑的这个部分进去是个圆柱啊，他会往里面挖啊，他有高的啊， 他的直径是两分米，高是两分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是多少？大家先做一下。 好，我来讲。这个挖出来之后啊，大家会发现， 虽然这个面被挖掉了，但是他到里面去了呀，是不到里面去了，对不对？里面一样也有这个面，我们在求表面积的时候，里面这个面可以移上来，也就是换句话说是什么呢？说明，说明这个 正方的这个面跑到里面去了， 是吧？正方体的表面积没变的同时，他还多出来了什么，因为他往要往里挖，他是有高的，还挖出去一个侧面积圆柱的，这里面有个侧面积，大家能理解不？几个侧面积呢，六个，前后左右上下每个面都有吧？六个侧面积，也就是说 这个模型的表面积是由一个正方体的表面积，一个完整的正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积构成的，对不对？大家，大家想对了吗？是吧？所以那接下来我们就好做了。好，我们用 五乘五乘六是整个正方体的表面积，再加上啊侧面积，一个侧面积是三点一，四乘二乘二，是吧？因为它的直径是二，所以三点一，四乘二等于它的周长再乘它的高二就等于它的侧面积里面周长乘高嘛，对吧？一共是六个，再乘六， 哎，这俩加在一起就等于这个模型的表面积是二百二十五点三六，大家做对没有？好，这个也是，其实你看我们讲在这里啊，这些题型跟我们长方体、中方体的这以前求的这个表面积和体积是不是一样？其实这题我们都做过的，是不是啊？ 好，来我们看下面一个，第三个，三个半径是三厘米，两厘米、一厘米高，都是两厘米的圆柱体，连接成如图的立体图形，求它的表面积是多少？好，大家先做一下。 好，我来讲这三个圆柱体啊，它的半径分别是三二一厘米，高呢？都是两厘米。 然后我们会发现一个问题，哎，我们首先你看我们刚刚在求这个表面积啊，组合图形的组合体的表面积的时候啊，大家一定要注意， 我们需要知道我们要求的是哪些部分，那你得把这些部分给他搞清楚，这样我才能有目的的去求，是吧？那我要求的是哪些部分？我们会发现 这个上面，你看这个小的圆柱的这个上面， 再加上这个大圆柱的上面，凑在一起，不就是大圆柱的上面吗？大家能理解不？这三个凑在一起就是什么大圆柱的上底，对不对？是不是？呃，然后再加上这个大圆柱的下底，也就是上下 的这个表面积，就是这个大圆柱的上底加下底，对吧？好，那我只需要考虑什么呢？侧面，侧面，侧面就是大圆柱、中圆柱和小圆柱三个圆柱的侧面， 是不是？所以我们现在把它这个分析好了，我们要求的是大圆柱的上下两个底，以及这三个圆柱的三个侧面， 对不对？好，那么接下来我们就可以求了，首先大圆柱的上下两个底，三点一四乘三的平方乘二，对吧？大圆柱的上下两个底是五十六点五二平方厘米，那么接下来我要求的是这三个圆柱的侧面积， 三点一四乘三，求这个大圆柱的侧面积三点一四证明是半径吗？三吗？所以三点一四乘三乘二，三乘二是直径，对吧？所以派地底面周长再乘高，高是两厘米啊，乘下来等于三十七点六八，这是大圆柱的侧面积。 然后中圆柱的侧面积三点一四乘二乘二，它的半径是二嘛？所以二乘二是直径，三点一四乘直径等于底面周长，底面周长乘高等于侧面积，这是中圆。 哎，上面的这个小圆柱呢？三点一四乘一，乘二，乘二，十二点五六。最后咱们把这些怎么样加在一起等于一百三十一点八八平方厘米，大家做对了吗？ 好，那么接下来我们要讲圆柱的体积，首先我们依旧还是从长方体来往圆柱上面引啊，因为毕竟长方体我们学过嘛， 长方体的体积咱们怎么求来着？是长乘宽乘高，对不对？那么长乘宽又是什么底面积？所以我们又可以用底面积乘高，对吧？然后那么到圆柱上面我们就要注意了呀， 圆柱它有长宽吗？它没有哎，对不对？所以我们只能用底面积乘高，底面积乘高，那么我怎么去理解底面积乘高能求体积这个事呢？ 大家注意我们可以怎么去理解？我们可以把这个圆柱或者这个长方体理解成是有很多个底面积啊，叠在一起的对不对？很多个底面积叠在一起对吧？然后求他们的和，能不能理解 有多少个底面积呢？有高个高就是底面积的个数，能不能理解？ 哎，不知道有没有小朋友能理解哎，我就把一个底面积求出来乘高就表示他有很多的底面积叠在一起，对吧？然后求他们的和，这就变成了一个圆柱体，大家能不能理解再去求他的和。如果你能理解的话，那么恭喜你 这就是微积分这就是微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊。他的核心思想就是先微分再求和 啊，把你看求体积的时候把它变成很多的体积啊，底面积，然后切分成很多的底面积，再去求他们的核，就变成了体积。 我们在高中的时候啊，学到低分的初步啊，导数和积分的初步，那么主要学微积分的还是到大学，所以如果你能听明白了，那你已经把这个微积分的核心思想掌握了 啊，所以你已经很厉害了。呃，我们钱学森老人家说过啊，说这个十四岁还能不会微积分吗？哈，这个我们当做一个玩笑话，大家觉得他可能太聪明了啊，不了解我们普通人的智商，但实际上 实际上能理解吗？好理解的并没有那么复杂哈，是不是我觉得我在听的小朋友们应该都理解了，对吧？如果当然了。呃，我们是理解了他的核心思想， 如果我们真要去运用微积分的话，当然我们还缺几个这个知识没学过，比方说你需要掌握的是导数 还有极限的思想，对，把这两个掌握了，那么微积分你就能用了啊，如果感兴趣的孩子可以去搜一搜啊，关于这个导数啊，就是微积分方面的这个简单的课程，去看一看 这个比你做多少，这种什么小蓝本，小成本，做多少道这种题目他都来的，对你来说更重要，价值更高。 哎，这才是真正去学习数学啊，讨论数学，研究数学的方向，不是去做那么几道死磕几道的那几道难题就管用了，去学这个，这个对你来说帮助大。好嘞， 来我们来看啊，我们现在已经知道了，这个圆柱的体积是底面积乘高，对吧？那么接下来我们看一看，这边有四个图形哎，哪些图形是可以用底面积乘高来计算的呢？来看一下 哪个二和三，对不对？是不是二和三？为啥？大家注意啊，我们用底面积乘高有一个条件是这个底面积从下到上，无论在哪哪一块，他都必须相等，对不对？这样你才能乘高啊， 是吧？高的意思是几个底面积吗？对不对？你底面积都变化了，那你怎么能称得上是几个相同的底面积呢？不行的，是不是你像这个， 这个就不行了，你直接成高不行，因为下面的底面积明显要大一点，上面小对不对？这是个圆柱，那更不行了是不是？所以能用底面积成高的必须怎么样？哎，他这些面跟下面要垂直是吧，也就是满足什么，就是这个底面积从上到下他不能变， 哎，只要是不能变的，我都可以用底面积乘高的方式来算，能理解不？哎，这道题可以更方便的让大家理解，假如我为什么用底面积乘高，为什么长方你乘方，你能用底面积乘高？圆柱圆锥它也能用底面积乘高。 好，来看第二个，一个圆柱形玻璃杯侧得内直径是八厘米 啊，杯内豆浆的深度是十六厘米，正好占杯内容积的百分之八十，这个杯的容积是多少？在这里我要说一下， 呃，在长方里上正方体里面我们已经讲过了，我们求容积的时候啊，是不考虑这个容器的容积 b 的 厚度的，所以我们一般直接把体积当容积啊，当然这不是精确的算法，那在这里呢，我们只是忽略到那个 b 的 宽度，是吧？的厚度。好，那么大家做一下。 好，我来讲很简单，底面积乘高是体积对吧？在这里也是它的容积。 首先直径是八，所以除以二等于四厘米是半径，那么它的底面积就应该是四的平方乘三点一四， 深度是十六乘十六，体积求出来了，而这个体积又占杯内容积的百分之八十，对应关系相除，是吧？分量除以分率得到单位一，总共的容积是一千零四点八， 一千零四点八，大家做对了没有？哎，单位再换一下是吧？从立方厘米变成了，呃，毫升。 好，继续从圆柱形水桶里面倒出三点一四升的矿泉水，那么水面的高度正好降低了五分之一，已知水桶的底面直径是二十厘米，水桶里原来的水有多少升？好，大家先做一下。 好，我来讲。呃，那么我怎么讲呢？这题目有方法有很多，那么我们呢，讲的方法呢？从问题出发的，先把思路捋一遍，首先他要求的是水桶里面的水有多深，也就是说求高， 那么求高的话，我们是什么体积？除以底面积吧，是不是啊？体积除以底面积，那么也就是说我们需要体积和底面积，需要把这两个求出来，这里面呢， 底面直径是二十厘米，哎，有直径，那么底面积肯定是能求的，对不对？是吧？那关键是呢，体积不知道，他说倒出了三点一四升的矿泉水，水面高度正好降低了五分之一，这里面是什么关系呢？注意， 倒出的三点一四升的矿泉水和总共的体积的关系是什么？哎，他们的关系是什么？他们都是底面积乘高吧，是不是？而高的比是一比五来，水面的高度正好降低了五分之一，这说明倒出了一份，而总共的高度是五份， 是吧？这个很好理解，对吧？那么体积呢？是不是都是用底面积乘高啊？所以倒出的体积是 s， 底乘上高是一，呃，总的体积是 s， 底乘五，那么把底约掉之后，我们会发现，他们的体积的比是不是就是他们高的比一比五啊， 对不对？就是一比五，体积的比是一比五，那么倒出三点一四升的矿泉水不就占了整个体积的五分之一吗？所以整个的体积是不是就是 三零一四除以五分之一等于十五点七升，这是这个整个的体积，总的体积，对吧？然后总的体积有了，再除以底面积，就等于水的水的高度，对吧？好，我们用 三点一四乘二十除以二的平方，这是求的是什么底面积对不对？然后再用呃呃换算一下，换算成这个三点一四平方分米，因为这个前后都是分米嘛，前面是深呀，前面是深呀，所以最后我们用十五点七除以三点一四 等于五分米，原来的水桶里的水深是五分米，大家做对了吗？哎，这里面主要是一个从高的比啊，从高的比去看出他们的体积的比，因为底面积相同，所以高的比他就是体积的比，对不对？ 来接下来我们要看圆锥的表面积，到了第三个部分了，这是个圆锥， 那么圆锥的表面积怎么求呢？在这里啊，我说一下，在小学我们圆锥的表面积，他没有做更多的要求 啊，没有做更多的要求，但是我孙老师呢，会给大家拓展一下，因为他并不难，只要你们能够理解，哎，而且是从小学知识点往上延伸的，我都会给大家进行拓展。那么首先这个圆锥的表面积啊， 他是不是分成了？下面是一个圆，圆锥下面是个圆，对吧？他的侧面展开啊，是个扇形， 对不对？大家再看一下是不是侧面展开，底下面是个圆，侧面展开他是个扇形，是个扇形。那么我们求的时候就就就就就怎么办？就用底面积加上侧面积这个扇形就可以了啊，我们在六年级就是这么求的， 就是怎么求的扇形怎么求啊？扇形是呃，一个整圆的一个部分，对吧？我们需要知道的是这个扇形的这个圆形角是多少，对不对？我们知道了这个度数，哎，我们就知道了，它占整个圆三百六十度的几分之几，我就可以把这个扇形给求出来了，对吧？这个大家应该都会， 那么关键是我需要知道的是什么？这个半径，对，我得把这个半径得得得求出来，知道了半径，知道这个圆心角，我就能求出这个扇形的面积，也就是这个圆锥的侧面积，是不是？好，这是我们小学的求法， 但是到了初中啊，到初三我们就不这么求了，我们初三怎么求呢？大家注意我们在这里的半径，其实就是哪啊？哎，就是这个这条线是圆锥的顶点到底面这个圆的圆周上的距离， 到圆周上任意一点到这个圆锥顶点的距离，叫什么呢？叫母线， 在这里叫半径啊，实际上在圆锥里面这叫母线，叫母线啊，记住啊，这个半径和这个母线是一样长的啊，一样的啊，我们只不过把它，把它，把它圈起来了，对不对？叫母线。好，在这里我们要回忆一个知识点， 这是一个圆，我可以把一个圆切拼成一个什么一个长方形，径四的长方形，对不对？ 所以圆的面积啊，我们就是什么用，因为这个切出来这边宽是半径，大家还记得不？下面是什么呀？是周长的一半，是周长的一半，所以这个圆的面积就是什么周长的一半，成半径，对不对？大家还记得吧，这个知识点。好，我们如果知道了，记住了这个知识点，那么大家注意， 如果一个扇形的一个扇形，是不是也可以把它切开，只不过他拼成了这个长方长方形短了点吗？对不对？是不是？大家能不能理解？他不是扇形有一部分，这个圆的一部分被切掉了，是吧？现在是个扇形，他也可以拼啊，切，拼啊，只不过这个长方形没那么长了吗？对不对？ 是不是？而他依旧是这边是他的半径，而这边呢？这个弧长一半在上面，一半在下面，对不对？对吧？这个弧长其实在我们圆锥里面，是不是就是底面周长啊？大家能理解吗？是不是那底面周长的一半，这是底面周长的一半，所以 这个扇形的面积又可以怎么求呢？底面周长的一半乘半径，而是吧，底面周长的一半乘半径，而这个半径又是什么来着？我们刚刚说的叫什么？叫母线，对不对？所以，哎，所以这个扇形又是母线乘底面周长除以二， 哎，我要是直接说母线乘底面周长除以二，大家可能理解不了，但是我用上面这个图，大家再看一看，再理解一下，你就能理解了，对吧？因为这个知识点咱们学过呀，咱不是学过，整圆可以切片成一个长方形，那么圆的一部分作为一个扇形来讲，当然也可以切喽，对不对？ 来，这就是作为圆锥来讲啊，它的侧面积啊，我们初三的一种求法就是母线乘底面周长除以二，用字母表示的是 pi l pi r l r l 是 母线的意思啊。好嘞，这是给大家拓展了一下。呃，我觉得是能理解的， 能理解的，是吧？哎，我们所有的基础知识我们都具备，所以理解起来也不困难，这是测面积好了，那么圆锥的表面积，我说了啊，呃，小学阶段的不做更多的要求，哎，我该拓展的给大家拓展，大家理解了，那么接下来我们主要来讲圆锥的体积， 这是个圆锥，这是个圆柱，这俩呢，他们的底面积相等，他们的高也相等，那么他们体积的比是一比三啊，也就是说等底等高的圆锥是是与他等底等高圆柱的体积的三分之一。 那我要去求圆锥的话，是不是就是用底面积乘高之后再乘三分之一？那因为底面积乘高是求出来跟他等你等高的一个圆柱的体积再乘三分之一，就等于什么圆锥的体积，大家听明白了吗？ 大家听明白没有啊？就是底面积乘高再乘三分之一啊，或者除以三也行。那么至于体积的比，为什么是一比三呢？我们小的阶段 不做要求，为什么不做要求呢？他需要还是得需要用微积分来进行推导啊？那么我前面说了，可能有小朋友去看了啊，如果你学了，学了微积分之后，你能够把这个一比三的这个笔啊能推导出来， 那我要给你竖大拇指，你可太厉害了哈。呃，不信你去问问你们学校里的老师，看看他能不能给你解释为啥是一比三，你可以解释给他听啊，那你就超级厉害。好了，那么我们现在知道了啊，圆锥的体积是怎么来的？ 接下来我们看题目，一个圆锥的底面半径是五厘米，高是十二厘米，这个圆锥的体积是多少？很简单吗？来做一下 底面积乘高再除以三，对不对？底面积，底面积是五的平方派五的平方乘三点一四，再乘高十二，这求出了等底等高的一个圆柱，而圆锥需要除以三，所以等于三百一十四，大家对吧？很简单，一道题，好，下面一道题， 这边有两，这边是个沙漏啊，是两个完全相同的圆锥形容器沙漏，大家都见过吧，是吧？然后呢，就上面的往下面漏沙，哎，他说这个高呢，是六厘米啊，每个圆锥的高是六厘米，里面装满了细沙， 这个漏口每秒可漏细沙，零点零六立方厘米，漏完全部的细沙，用十五分钟。这个沙漏的底面积是多少？大家先做一下。 好，依旧思路先搞清楚啊。要求沙漏的底面积是不是用体积除以高，是不是体积除以高 哦，这是圆柱，但是要注意的是，这里是圆锥哦，圆追求体积的时候是不是除以三，所以我反过来要求底面积的时候，需要先用体积乘三，再除以高，才等于底面积，这就跟什么一样， 就跟我们当初学三角形一样，三角形要知道了，底要求底边上的高，是不是面积乘二除以底， 为什么？因为我求这个面积的时候是底乘高除以二来的嘛，大家能不能理解这个意思，是吧？好，所以依旧我们还是先把体积求出来。体积，那体积，他说每秒漏细沙零点零六立方厘米，一共用了五分钟，这说明 他的体积就是多少，哎，这相当于是个工程问题，工作效率是每秒零点零六，工作时间是五乘六十三百秒，对吧，所以算出来是十八立方厘米，一共漏了这么多的沙，也就是他的体积啊，能理解吧？ 好，知道了它的体积，我们用体积乘三除以它的高等于底面积，这道题目就做出来了，哎，在这里我要强调的就是一定要注意我们沙漏啊，我们这个圆锥啊，要求底面积或者求高的时候不要忘记了，体积要乘三， 千万不能忘了啊，我们有些小朋友比较粗心的，这个不能忘记啊，提醒自己。 好，我们接下来看，这是我们最后一道题了，一个直角三角形的两条直角边，分别是三厘米，四厘米，斜边是五厘米。哎，三四五啊，勾三股四减五啊，这边这边呢，又也稍微有点超啊， 哎，我们一旦看到是三四五这样的三角形，那么他一定是一个直角三角形啊，为什么呢？他满足勾股定律，三个平方加上四个平方就等于什么五个平方啊，三四五，这个等到了初中以后啊，一看这个知道这是个直角三角形。好嘞， 那么接下来他要做的是分别以三条边所在的直线为轴，把三角形旋转一周，得到一个立体图形啊，那很简单，旋转一周嘛，来， 这是以四厘米作为轴啊，旋转一周之后得到了一个圆锥，得到了一个圆锥，对吧？ 以四厘米为轴，旋转一周不到了个圆锥吗？这个圆锥的，呃，高是四厘米，底面的半径是三厘米，就是这条边，对不对？半径是三厘米哎，它的体积好不好求，很好求吧！ 来，底面积乘高，再乘三分之一或者除以三等于三分之一，乘三点一，四乘三个平方，乘四等于三十七点六八立方厘米，对吧，很好求的。好嘞，那么当然这是这是第一种啊，这是第一种啊，它剩下两边，大家先做一下，比一比，看看谁的体积大。 好嘞，我来讲了啊，我们继续，我们求出来第一个图形了，接下来我们看第二个， 哎，我把它这样放了，我沿着三厘米这条边来来转，以三厘米的为轴，对吧？那么这样转下来的话，就变成这样一个扁扁的圆锥了，是吧？它的高是三厘米，它的底面的半径就变成四厘米了，对不对？变成四厘米了，那么它的体积也好求， 体力就是三分之一乘三零四乘四的平方，乘三等于五十点二十四立方厘米啊，这个不难，那么麻烦的是什么呢？还有一个五厘米，对不对？以五厘米为轴，他转出来会是什么样子的？会是这个样子的， 那会是两个圆锥，上面一个大一点的圆锥，下面一个小一点的圆锥，是吧？这个 这是丙图啊，他的这个半径底面半径，这个底面积是不是上下两个圆锥都一样，对不对？半径是多少呢？半径是多少半径我现在不知道，我得求出来半径其实就是五厘米这条斜边上的高啊，是不是？这个半径是不是五厘米斜边上的高啊？ 对，五厘米斜边上的高，好求了吧，三乘四除以五就可以了，对不对？是吧？五厘米斜边上的高，那么 他的这个上面的这个大的圆锥和下面大小的圆锥的高啊，我们分子也称之为 h 一 和 h 二啊，这边是两个高嘛？大圆锥的高和小圆锥的高，是吧？所以这个丙这个图形的面体积应该怎么求啊？ 是两个圆锥加在一起，对不对？所以我们先把这个半径求出来，三乘四除以五等于二点四厘米，这个大家都会吧，三乘四啊，斜面上的高，然后 接下来我们求大圆锥加小圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 一， 这是什么？上面的大圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 二，是下面的小圆锥，对吧？这两个加起来大圆锥加小圆锥，哎，那么我们会发现 前面都是三分之一乘三点一，四乘二二点四的平方，那么这个是不是可以提出来了？是不是提出来之后乘剩下的相加 h 一 加 h 二。注意了， h 一 加 h 二是多少？是不是这个五厘米啊？ 是不是斜边啊？所以 h 一 和 h 二这两个高，我们不需要单独把它求出来，直接把它加在一起，变成了三分之一乘上三点一四乘二点四的平方乘五，对吧？ 最后等于三十点一四四立方厘米。好，这个大家会做吗？做下了没有？哎，这是我们今天讲的，稍微麻烦一点题目，今天都是讲的基础啊，哎，大家听的应该是比较轻松的，也不难，对不对？好，最后比较一下谁大呢？ 五十点二十四大于三十七点三十七点六八大于三十点一四四，乙的体积大于丙的体积，大于丙的体积，所以最后奇的体积最大啊，好，今天讲的不难吧， 哎，今天是新年的第一节课啊，没有很困难，讲点基础的，中间呢，我们有体积的推导方式，我们用了这个积分的方式啊，我觉得大家应该是能理解的，对吧？好，那么今天我们就先讲到这里。

沿着圆柱侧面的高剪开，圆柱的展开图包括上下两个，底面是圆与一个侧面，长方形， 沿着侧面的斜线段剪开，侧面展开图是一个平行四边形，沿着侧面的折线剪开。侧面展开图是一个多边形动画演示，简单明了。

圆柱、圆台、圆锥旋转体动画演示，简单明了，可以调整他们的高与半径。如果你对圆柱、圆锥、圆台不太理解的话，可以参考这个视频，提高几何空间想象力。

把一个长方形铁皮按下图，剪下阴影部分，刚好制成圆柱体。焊接处不计，求表面积，求表面积，这个里边底面周长，底面直径高都没有给，嗯，但是给了一个什么呀？看这一个是什么？ 这一块对应着的是不是我们的一个底面周长呢？ c 等于派 d， 对 吧？ 或者是 c 等于二 pi r， 这就是底面周长，那么我们是不是可以求出它的半径来啊？二十五点一二，除以个三点一四，再除以个二，这个等于个四分米。嗯， 半径我们知道了，那么下一步就要求什么了？直径 是不是这一块是他的直径？等到等效到这里，那么直径就是个四，乘以个二等于个八分米，这是个八。那么这一块是不是圆柱的高？高我们也知道了， 高就等于个十八，减去个八等于个十分米。 半径知道，高也知道，我们求面积吧，它的面积就等于 s 侧面的面积，加上两个 s 底面，侧面 把它擦掉啊，擦掉，擦掉侧面，底面周长乘以个高，那么就是二十五点一二乘以个高是个十，加上个二，乘一个三点一四二的平方，二是个四分米，那么就乘一个 四的平方，这是个二百五十一点二，再加上这是个一百点四八，计算一定要过关，一定要算。对啊，结果是个三百五十一点六八。 嗯， ok， 找到对应关系啊。第一步，先根据这个周长求出半径来，再求出直径，进而求出高，然后再算表面积。

圆柱变圆锥，等比等高，记心扉体积三分之一，随消息两份他不亏。圆锥变圆柱，等比等高，要清楚，体积乘三就回归，张弛有度不迷路。

圆柱的体积为什么等于底面积乘高，圆锥的体积为什么等于等底等高圆柱体积的三分之一呢？千万不要让孩子直接背公式，因为你今天背了，明天忘，就算你掌握了这个公式，变个问法又不会了，一定要进行学具的操作。 比如圆柱的体积，把它等分成若干偶数等份，拼成一个近似的长方体。通过观察发现，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方的高等于圆柱的高。根据长方体的体积，推导出了圆柱的体积等于底面积乘高 等底等高的圆柱和圆锥。让圆锥装水或者沙子倒入圆柱里，三次正好倒满，让孩子感受到圆锥的体积就是等底等高圆柱体积的三分之一。用学具操作一遍胜过听老师讲十遍。所以，即使老师讲的再好， 孩子的动手操作无人可以替代。不仅理解记忆公式，更要知道每个公式他是怎么推到得来的，这才是你解决问题灵活运用的核心。不管是现在寒假预习，还是开学以后的同步学习，这些学距离不了，抓紧给孩子准备起来。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱圆锥的第三课时，圆柱的表面积。首先大家思考一下什么叫表面积？ 物体表面的总面积叫做它的表面积。比如我们以前学习的长方体、正方体，他们都有六个面，那六个面的总面积就叫做他们的表面积。 那圆柱的表面积指的是什么呢？它包括上下两个底面和一个侧面。前面的学习中我们已经知道了，圆柱的长开头包括两个底面，一个侧面，所以圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加两个底面的面积。 接着看他的两个底面是大小相等的。圆圆的面积我们以前学了呀， s 等于 pi r 的 平方，圆柱的侧面积又该怎么求呢？把圆柱的侧面沿高剪开展开以后得到一个 长方形，那么圆柱的侧面积其实就是长方形的面积。通过观察我们发现，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽就是圆柱的高。因为长方形的面积等于长乘宽，所以我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。如果用字母来表示，那就是 s 侧等于 c h 还等于二 pi r h。 看来呀，圆柱的侧面积会求了，圆柱的底面积会求了，那圆柱的表面积是不是就简单了？来看这道题。一个圆柱形罐头的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是五厘米，高是十厘米，这张商标纸的面积是多少？ 要求这个商标纸的面积其实就是求圆柱的侧面积。圆柱的侧面积怎么求呢？ s 侧等于底面周长乘高还等于二 pi r h， 那 这里告诉了底面的半径，你能不能求出它的侧面积呢？ 半径乘二是直径，直径乘派等于底面周长，底面周长乘高等于圆柱的侧面积，那就是这个商标指的面积。答，这个商标指的面积是三百一十四平方厘米， 那圆柱的表面积都包括两个底面和一个侧面吗？那可不一定，我们要根据实际情况具体分析，一起来看。例四，一顶厨师帽近似圆柱形， 高是三十厘米，帽顶直径二十厘米。做这样一顶帽子大约要用多少平方厘米的面料？得数保留整时数，求大约用多少面料，其实就是求什么呢？对这个帽子的表面积，那我们再来思考一下这个帽子的表面积，它包括几个面， 一个是圆柱的侧面积，还有一个是圆柱的底面积。因为下面要戴在头上，所以他只有一个底面， 那我们就得到圆柱的表面积就等于侧面积加一个底面的面积。题中告诉了底面直径，所以圆柱的侧面积直径乘 pi 等于底面周长， 底面周长乘高，得到帽子的侧面积一千八百八十四平方厘米。帽顶的面积也就是底面积等于 pi r 的 平方直径除以二是半径 pi r 的 平方，求出底面积三百一十四平方厘米，那么需要的面料就是侧面积加帽顶的面积。 注意，这里实际使用的面料要比计算的结果多一些，所以我们这类问题往往要用 进一法来取它的进四数，所以等于二千一百九十八平方厘米。注意，进一法约等于二千二百平方厘米。答，做这样一顶帽子大约要用二千二百平方厘米的面料。那大家继续思考，如果让你计算烟囱、水管、通风管的表面积， 就是求他的什么的面积。对，这些的表面积其实只包括一个侧面积，所以只计算他们的侧面积。大家继续思考，怎样计算笔筒、玻璃杯、无盖水桶、水池、 帽子的表面积呢？像这些，他们都包括一个底面的面积加上一个侧面积，所以只计算侧面积加一个底面的面积。 怎样计算茶叶桶、油桶的表面积呢？茶叶桶、油桶我们是要盖盖的，所以呢，它的表面积就包括侧面积和两个底面的面积。 看来呀，我们在计算不同物体的表面积的时候，一定要根据实际情况灵活计算。好了，孩子们通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 首先我们知道了圆柱的表面积，包括圆柱的侧面积和圆柱的两个底面的面积，所以圆柱的表面积 s 表等于 s 侧加两个 s 底 侧面积。怎么求呢？ s 侧等于底面周长成高，所以 s 侧等于 c h。 圆柱的底面积就是我们以前学习的圆的面积， s 底等于 pi r 的 平方。我们在解决圆柱表面积的实际问题的时候，并不一定都是包括两个底面积，一个侧面积，有的是侧面积加一个底面积， 有的是只计算侧面积，还有的是侧面积加两个底面的面积，所以我们一定要做到灵活应用于不同的情境，做到灵活选择。

今天我们通过两道例题来深入理解圆柱的展开图。我们先看例一，如图有一块长方形塑料板，剪下两个圆及一个长方形，正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面半径是两厘米，那么这块长方形塑料板的面积是多少平方厘米？要求长方形塑料板的面积，我们需要知道这个塑料板的长和宽， 那我们看根据条件可以先求出什么。题上告诉我们圆柱的底面半径是两厘米，我们可以标一下，这一段是两厘米，可以求出塑料板的宽，它是四个半径，用二乘四 塑料板的宽是八厘米，再求出塑料板的长就可以了。那它的长分为两部分，一部分是底面圆的直径，另外一部分是图色长方形的长，直径是四厘米，我们可以求出来， 那这段的长度是多少吗？我们需要考虑圆柱的展开图。圆柱是由两个底面和一个侧面组成的，那这里的长方形就是圆柱的侧面，我们可以得到底面周长等于长方形一边的长，为什么说一边的长呢？因为分为两种情况， 一种情况是底面周长与长方形的长相等。我们把这两种情况的图分别画出来， 这是这两种情况的展开图。第一种情况，底面周长等于长方形的长，那我们先求出底面周长，已知底面半径是两厘米，我们用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 说明长方形的长也是十二点五六厘米，这样才能做成一个圆柱，也就是这一段就是底面周长十二点五六厘米， 这样我们可以求出塑料板的长用直径四加十二点五六，直径是二乘二加十二点五六等于十六点五六厘米，塑料板的宽是八厘米，二乘四等于八厘米。塑料板的面积长乘宽 十六点五六乘八等于一百三十二点四八平方厘米。第二种情况，底面周长等于长方形的宽，那我们看一下是否符合题。 底面周长用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 而长方形的宽呢？刚才算过了，是八厘米，二乘四等于八厘米。我们发现底面周长与长方形的宽是不相等的，所以这种情况不符合题，他不能做成一个圆柱，十二点五六不等于八，不符合题， 所以只有这一种情况是符合题意的。这里我们是把展开图的两种情况分别画出来了，帮助我们理解。那我们再由原图来思考一下。 我们知道了图色的长方形是圆柱的侧面，那就要想到底面周长可能与长方形的长相等，也可能与长方形的宽相等。第二种情况，长方形的宽是底面周长， 而底面周长等于派 d， 也就是底面周长是直径的派倍。而通过图形我们发现长方形的宽是直径的两倍，宽等于二 d。 那我们可以得到什么？宽能等于底面周长吗？不能，所以第二种情况是不符合提议的，那我们就只用考虑第一种情况，让长方形的长等于底面周长再来计算。我们来看例二，下面的长方形纸片剪开后正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面直径和底面周长各是多少分米？跟刚才的图形是一样的，这是圆柱的展开图，有两个底面和一个侧面。那我们来分析一下它的展开图。第一种情况，这个长方形的长等于地面周长。第二种情况， 这个长方形的宽等于地面周长。这是这两种情况的展开图。那看一下是否都符合题。地面周长用直径表示是排地，而第二种情况，长方形的宽等于直径的两倍，宽等于二地， 说明底面周长和宽是不相等的，底面周长不等于宽。所以第二种情况不符合题。我们只考虑第一种情况，底面周长与长方形的长是相等的，也就是这个展开图。接着怎么分析呢？从已知条件入手， 十六点五六分米是大长方形的长，它分为两部分，第一部分是圆的直径， 第二部分是底面周长，也就是直径加底面周长等于十六点五六分米。由这个式子我们可以求出底面直径。先把这个式子写出来，然后把底面周长也用直径来表示。 d 加三点一四， d 等于十六点五六，变成关于 d 等于十六点五六，求出 d 等于十六点五六，除以四点一四， d 等于四。底面直径是四分米，再求底面周长， 用三点一四乘四，底面周长是十二点五六分米。我们来看一道练习题，利用图中的图色部分，刚好能做成一个圆柱形的油桶，接头处忽略不计， 求它的表面积。图色部分是圆柱的表面，由两个底面和一个侧面组成。考虑一下它的展开图，有两种情况， 第一种情况，长方形的长等于地面周长。第二种情况，长方形的宽等于地面周长，是否都符合提议呢？底面周长是派地，周长是直径的派背， 那我们发现长方形的宽刚好等于直径，所以底面周长和宽是不相等的。 第二种情况，不符合题，我们只用考虑第一种情况就可以了。长方形的长等于地面周长，接着从已知条件入手看可以得到什么？二十点五六分米包含几部分，它是有两个底面直径 和一个底面周长组成，也就是二 d 加底面周长等于二十点五六分米，我们由这个式子可以求出底面直径，看一下怎么来求。我们把这里的周长也用直径来表示。 派 d， 也就是三点一四 d 可以 得到二 d 加三点一四， d 等于二十点五六，变成关于 d 的 一个方程。五点一四， d 等于二十点五六，求出 d 等于二十点五六，除以五点一四， d 等于四，要求圆柱的表面积，让这三部分面积加起来。一个侧面加两个底面， 先算侧面积，长是直径，用底面周长乘直径， 里面周长是 pi d， 三点一四乘四，再乘直径四等于五十点二四平方分米，再求底面积。底面积是 pi r 的 平方，需要先求出半径四除以二等于二分米。 三点一四乘二的平方，十二点五六平方分米，最后求表面积，一个侧面加两个底面加十二点五六乘二，等于七十五点三六平方分米。那今天内容就讲完了，你学会了吗？

做他的一个贯穿啊，也就是交叉，他的交叉线在哪？在这， 今天圆锥贯穿体第六节课，回顾一下昨天，昨天咱们讲的四棱锥贯穿体，今天咱们讲就是圆锥交叉体。圆锥贯穿体跟昨天讲的四棱锥贯穿体外形特征上面会有点相似。来先定圆锥的那个高的这个锥尖，然后定一下圆锥 一个的高度，咱们可以做一个数值的辅助线，数值辅助线主要确定一下，圆锥的这种中心点， 上面本身是圆柱，但是咱们从轮廓上看接近一个长方形啊，这个也做一个辅助线。中国之前讲圆柱的时候说过，这个圆柱该怎么去定，怎么去做圆，好笨一点的方法，大概去找这个中心点，还有这个中心点， 让它连接在一起，好，这个弧度就出来了，这个椭圆就出来了。那后边还有这部分看不见的，咱们也可以先补充上，便于大家理解啊。上面这一条也可以确定一下，上面这边这个角度看的比较少，也就比较扁一点，不要画太圆。 前面讲圆形透视，看这个需要怎样呢？后边这个弧度要比前面这个要接近于正圆，也就这个弧度要大一点，不要太扁，后边弧度接近于正圆一点。把握一下这个弧度 好，跟前面这个形成一个对比。如果不明白圆形透视的同学，咱们会在下边再进行一个分析。咱们前面是带着画，后边要再讲一下这个画画原理， 好到这呢，这个行，上面这两个圆锥部分做完了好，圆柱部分也做完了，那接下来就是要做他的一个贯穿啊，也就是交叉，怎么去交叉好？这部分前面圆锥遮挡部分，圆柱他的交叉线在哪？在这 上面这一点是投影部分，下面这点是圆锥的明暗交界线。圆锥明暗交界线相对来讲这个部分比较少，除了圆锥的，那还有圆柱的，圆柱的明暗交界线下边还有投影 型，就算做好了，那接下来就准备上吊子，先做黑白黑都包括哪？本身的这个物体的背光处有个暗部，然后加上投影。咱们铺吊子呢，就用软碳，软碳铺暗部， 下面这种也是暗布，但是这个反光比较强，所以铺的时候咱们不要铺太重，它还是暗布，肯定要，还是要比灰布要重一些。 再拉开一下这种渐变物体本身。铺完之后咱们跟一下背景， 下面这个可以切到这个桌面，你想做明确的就可以做一条明确的分界线，如果不想做明确的话，就做一个这种渐变。接下来咱们就开始揉擦了，咱们还是用纸擦笔，纸巾也行， 物体的量按做好了，接下来咱们把背景去揉虚，贴着物体的边缘去推背景衬托。 揉搓完之后呢，咱们先刻画棉胶线，还有投影。之前咱们还是把这种亮部的型用软橡皮勾一下，把黑白关系做的更明确， 深入一下，棉胶线可以用中碳削尖，因为它是圆锥嘛，往上去走越排越短，咱们也可以换硬碳削尖的， 用灰布，就算是做差不多了。接下来继续往亮部去渐变，排线方向呢，咱们可以切着下面这个椭圆切边的一个方向去排，你看曲面难就难在这种过渡上，层次要衔接自然，这样看着才会显得很圆，是吧？ 上面这一点有个尖，他也没那么尖，一般咱们这种使用过的难免会有磕碰，上面会有一个平的感觉， 好，慢慢的咱们把这个亮布也跟一下，这一层就很轻，就标准的这种亮面的这种层次感，亮布这边还需要再跟一层，但是要注意很轻。如果你用铅笔的话，就用 h 笔或者二 h 去做，用碳笔的就用硬碳削尖，边缘用手指稍微带一下，抹一下 很高的那个衔接缝，做一下细节，用橡皮擦出来，如果不想追求这种细节生动性的话，这就可以结束了。这个贯穿体的难点在哪？ 首先从形体上来讲，都有两个曲面贯穿，一个圆柱，一个圆锥，一是形体上一个交叉， 二是这种圆形的一个透视一下边，这个也算是一个。另外呢，整个调子相对来讲，这种肚子的打扣拉拉拉拉，见面见面，直到越来越浅，到这呢前提就算是做好了。