五年级下册数学折纸教程笔记

我们今天一起来学习一下北师大版五年级数学下册第一节折纸， 这一节我们主要学习异分母分数加减法，异分母也就他们的分母不相同， 那么我们来看一下二分之一加四分之一等于多少呢？以前我们都是用画图的方法来做，那么现在我们来画一下，二分之一表示把一个单位一 平均分成两等份，取其中的一份，这个是二分之一。四分之一呢表示把单位一平均分成四等份，取其中的一份， 这是四分之一。那么二分之一加四分之一应该等于多少呢？ 我们来看一下这个是四分之一，对吧？我把这个单位仪平均分成四等份， 要涂其中的一份，那么左边的这个二分之一，那么应该是涂这个部分， 那么我们就要看清楚，二分之一他其实表示的就是四分之二，四分之二加上四分之一，所以说最后的结果竟然等于四分之三，也就是说我们在算 时候，我们要把分母不相同的给他转化成分母相同的分数。但是我们平时在做的时候，如果每次都画图，是不是特别麻烦呀？那么我们看一下应该怎么样来做呢？ 也就是说我们要把两个不相同的分母给他转化成分母相同的分数。我们来看一下二和四有什么关系啊？二和四是倍数关系，那么 我们就要给他进行通分，通分的话二和四存在倍数关系，那么他们的最小公倍数就应该是较大的数，所以应该是四。 所以说二分之一加四分之一，就应该等于 把它的分母变成是四分母，扩大两倍，所以分子也要扩大两倍，一二到二，四分之二加四分之一就应该等于四分之 三，所以我们用的方法就是通分的方法。同学们，那么现在老师给大家出一个题，看一下你学会了没有，比如说 三分之一加上四分之三应该等于多少？同学们自己算一下，在评论区告诉老师你的答案。

你过来，老太太告诉我他的什么看就这两半，一头都要二分之一，那谁都要三分之一，这谁都要把我打死了。你放心，现在登机车收破费，这不容易，一万二十，一万三十一。那我说什么？但是我帮你关掉关子一步，请放心。兄弟们，你能帮我吗？

我们来讲长方体和正方体的表面积，什么是长方体的长宽高呢？什么是正方体的棱长呢？我们现在指出长方体纸盒的长宽高，并说出长方体的特征，指出正方体的棱长，并说出正方体的特征。 现在我们看到这个长方体纸盒，我们沿着它的棱剪开，我们要求剪开后各个面都要连接在一起， 待会我们要在展开图中分别用上下前后左右标明六个面。我们来看展开的过程是这样子的，然后标上前后上下左右，这里面哪些面的面积是相等的呢？每个面的长和宽和长方形的长宽高有什么关系呢？我们可以看到 黄色的这个上下每个面的长是长方形的长，宽是长方的宽，红色的这个前后每个面的长也是长方的长，然后这个 宽是长方的高，左右蓝色这两个每个面的长是长方的宽，它的宽是长方的高。我们可以看到左边这个蓝色的是长，绿色的是高， 粉色的是宽，跟长一样的，有右边的蓝色的刚刚滑动的这个线就是长，然后绿色的这个线都是高，粉色的这个线都是宽好。正方体展开后是怎么样的呢？我们来看一下 正方体全部的展开图是这样子的。这么多的展开图，我们怎么样记会比较好呢？首先上面的这些都是一四一型的， 下面这些都是二三一型的，这个是三三型，这是二二二型。我们看一四一型，中间这里都是四个，上下各有一个，然后上面这个固定在第一个的情况下， 我下面这个黄色一二三四这样挪动，然后上面这个挪到第二格，这个也是挪到第二格的情况下，我这个黄色放到第二和第三格。一四一有六种情况，然后二三一有三种情况， 就是上面两个，中间三个，下面一个，这里面上面的两个和三个是固定的，只有最后一个是挪动的，从最左边挪到中间，再挪到最右边。三叉形就是这里有连接的， 这里各有一个进行连接，它是上面三个，下面三个，这里是二二二行，每一行都留两个，然后各有一个在连接。我们来看折叠后，下面哪些图形能围成左侧的正方体，在括号里面打勾，我们暂停视频，自己尝试做一下。好，现在我们来核对答案。 这道题第一个可以，第二个可以。任何正方体的展开图不可能是填字形，也不可能是凹字形，我们从刚才的那个一四一 二三一三三型和二二二型去排除，用自己的话说一说，什么叫长方或者什么叫正方体的表面积呢？长方体或正方体的六个面的面积之合，叫做它的表面积。 我们来看看这道题制作尺寸，如下图所示的长方体和正方体保温箱各要用多少平方分米的泡沫板呢？我们先观察长方体保温盒完成填空部分。上下两个面， 每个面长是六分米，宽是五分米，面积是三十平方分米。前后两个面长是六分米，宽是四分米，它的面积是二十四平方分米。左右两个面长是五分米，宽是四分米，它的面积是二十平方分米。好，我们来看一下 独立求长方体的表面积，长方体的表面积是六个面的面积之合，我们在求的时候可以一个一个来算，比如六乘以五加上六乘以五，这两个面相同， 六乘以四加六乘以四，这两个面也相同，五乘以四加五乘以四，这两个面也是相同，把这六个面分别求出来，相加等于一百四十八平方分米。第二种方法， 长方形的表面积是上下底这两个面的面积，加上前后这两个面的面积，再加上左右这两个面的面积，那就是六乘以五乘以二，六乘以四乘以二，五乘以四乘以二， 得出来等于一百四十八平方分米。还有一种就是长方形的表面积等于上面的面积加前面的面积加左面的面积加起来的总和乘以二，因为他们相对的面是相等的嘛， 所以我们可以这么算，六乘以五加上六乘以四，加上五乘以四的和乘以二等于一百四十八平方分米。 比较这三种方法，我们来看我们计算长方体的表面积，关键是找什么呢？关键是找到长方体的长宽高。我们来归类一下，长方体的表面积是长乘以二加上长乘以二，加上宽乘以二。我们也可以把二提取出来， 然后把长乘宽加长乘高加宽乘高的和去乘以二，用字母来表示是 s 表等于二乘以 a， b 加 a， h 加 b， h 的 和好。现在我们来看看这个正方体保温箱需要多少平方分米的泡沫板呢？ 因为这个正方体它六个面都相同，我们只需要求一个面，然后乘以六就可以了。五乘五，再乘以六等于一百五十平方厘米 正方体表面积计算方法是怎么样的呢？正方体的表面积是等于棱长乘棱长去乘以六，写成字母的表达形式就是 x 表等于六 a 的 平方。我们来看这道题，将下面的展开图围成正方体后，拿两个面分别相对， 我们尝试做一下。好，我们现在来核对，春是对夏秋对冬暮，鼓对晨钟，我们是怎么样确定的呢？首先我们看这个春在这下，在这，他们是在 z 字形的，他们有一个转折，在 z 字形里面的一头一尾就是相对的。秋在这 东在这，他们也是在这一字型里面的一头一尾，所以他们也是相对的。而木骨对称中，他们是在这个木字型里面相对的，中间会有一个间隔，所以我们来总结，只要是木字的， 你看这个就是木字，就是成中像木骨这里面这两个是相对的，中间会有一个隔开，这个就是木字型或者是 z 字形， z 字形的一头一尾就是相对的。做这个题型的时候，我们就找这两个规律，看你视频自己尝试做一下。 好，现在我们来核对答案。第一小题计算各长方体前面的面积，前面就是这一面。好，我们来看第一小题， 第一个图形前面是这个四乘二等于八平方厘米，这一个的前面是二乘二等于四平方厘米，这一个是二点五乘以二等于五平方厘米。第二小题计算个长方体右侧面的面积，我们看到右侧面是这个面，这个面还有这个面， 所以第一个图形从左往右是三乘以二等于六平方厘米，中间这个是三乘以二等于六平方厘米，最右边这个是二点五乘以二等于五平方厘米。第三小题计算个长方体中上面的面积，上面的面积就是这一个 这个，还有这个都是上面的面积。那第一个上面的面积是三乘以四等于十二平方厘米，中间这个是三乘以二等于六平方厘米。 最右边这个是二乘以二等于四平方厘米。第四小题计算各长方体的表面积，表面积是这一、二、三这三个面加起来的和乘以二，因为他们相对的面是相同的嘛，所以第一个图形我们截取红色的这三个面 八、六十二，这三个面相加的和去乘以二就等于长方的表面积。中间这个长方我们截取蓝色部分的面积，四六六相加的和去乘以二等于三十二平方厘米。 最右边这个我们截取绿色部分的面积五、五、四，他们的面积总和去乘以二等于二十八平方厘米。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下这道题， 现在来核对答案。做一个长五分米、宽四分米、高三分米的长方体布易收纳盒至少需要多少平方分米的布？其实就是求这个收纳盒的表面积。 我们可以把三个面求出来的总和去乘以二，五乘以四，加上五乘以三，加上四乘以三的和乘以二，得出来等于九十四平方分米。答，至少需要九十四平方分米的布。好，我们暂停视频，自己尝试做一下这道题。 好，现在我们来核对答案。一个长零点七五米、宽零点五米、高一点六米的简易衣柜需要换布罩，至少需要多少平方米的布料？这里面 这个衣柜的底面是不需要布料的，所以我们把正面跟后面的面积求出来，然后再加上左右两个侧面，求出来他们的和去乘以二， 然后再加上顶面零点七五乘以零点五，这个顶面面积就是至少需要用的布料，求出来等于四点三七五平方米达至少需要用四点三七五平方米的布料。我们来总结一下长方体、正方体的表面积。 长方体或正方体的六个面的总面积叫做它的表面积，是长乘宽、加长乘高、加宽乘高的合成二，他们都是两两互相相乘， 求出这三个面。用字母来表示， s 表等于二，乘以括号 a b 加 a h 加 b h。 正方形的表面积等于棱长乘棱长乘六，写成字母是 s 表等于六 a 的 平方。我们今天的练习就到这里。

同学们好，这节课我们要当一回把立体变平面的魔法师，把方方正正的长方体、正方体纸盒沿着棱剪开，解锁它们的变身形态。首先，我们要先明确变身规则， 第一，先分别用上下左右前后标明六个面。第二，必须沿着棱剪开。 第三，展开后六个面要连在一起，不能分家。第四，完成你的作品后，看看它变成了什么样子。 现在请你按下暂停键，动手剪一剪。剪完后，我们发现长方体的展开图有很多种样子， 就像课间里展示的这样，也有很多其他的样子，但是不管是哪种，都有个不变的规律，相对的面面积一定相等。下面我们跟着这个视频，再看一看长方体的展开图， 请你观察长方体的展开图，回答下面的问题。第一个问题，哪些面的面积相等？我们发现前面等于后面，上面等于下面，左面等于右面。 第二个问题，每个面的长和宽与长方体的长宽高有什么关系？我们发现长方展开图的每个面的长和宽都和长方体的长宽高有关。 前后面的长宽是长方体的长和高，上下面是长和宽，左右面是宽和高，这可是长方体展开图的核心知识点，大家一定要记牢， 剪完长方体再来挑战正方体纸盒。正方体的六个面都是一模一样的正方形，它的展开图也有很多种方法，但是正方展开图只有固定的十一种， 这十一种我们可以把它分成四种类型，一、四一型。 这种类型中，每个正方体的展开图都有三行，第一行有一个正方形，第二行有四个正方形，第三行也有一个正方形， 这就是一四一型。再来看第二种类型，二三一型。同样的正方题展开图也一共有三行，第一行有两个，第二行有三个正方形第三行有一个正方形， 这就是二三一型。第三个类型叫做二二二型。 三行中每一行都有两个正方形，第四种类型，名字叫做三三型，总共有两行，每行都是三个正方形。孩子们，这里有一个超重要的变身禁区，大家一定要警惕， 任何正方题的展开图，不能是填字型，也不能是凹字型，不管怎么减，只要出现这两种形状，肯定折不回正方题，这也是考试常考的易错点，大家一定要记牢呀！ 同学们，还有一个贯穿长方体和正方体展开图的大规律，也是本节课的重点与难点，请你记住，不管怎么展开，相对的两个面永远不可能是相邻的。 孩子们，下面我们一起练一练，请你认真读题，快速判断，如果你答对了，请给自己点个赞！孩子们，这些是本节课的重点知识，你学会了吗？我们下期再见！

态美数学魂长方体正方体展开图这节课一起学习的是长方体和正方体的展开图，我们得做一些学习前的准备工作。 一、先分别用上下、左右前后标明六个面。二、再把长方体或正方体纸盒分别研棱剪开并展开。三、展开后要保证六个面连在一起。 你的长方体展成了哪一种呢？ 下面以我展开的长方体和正方体为例，我们一起来学习。同学们仔细观察，然后回答我的问题， 哪些面的面积相等？ 通过观察我们知道前面等于后面，上面等于下面，左面等于右面。 二、每个面的长和宽与长方体的长宽高有什么关系？ 前后面的长宽是长方体的长和高，上下面的长宽 是长方体的长和宽，左右面的长宽是长方体的宽和高。我们接着看正方体的展开图， 我们把长方体和正方体的展开图放在一起来看。长方体和正方体展开图的形状不是单一的，这只是其中的一种情况。展开的方法不同，得到的展开图不相同，但不管怎样展开，相对的两个面不可能相邻。 下面是正方体的其他一些展开图形，同学们可以熟悉一下。 正方体的平面展开图有一四一型、二三一型、二二二型、三三型。但要注意的是，任何正方体的展开图不能是填字型，也不能是凹字型。

一个整体，然后把它分成分成两份，图其中的一份，然后我把四分之一平均分成了四份，然后图其中的一份就是四分之一，然后二分之一加四分之一就等于四分之三，你们看懂了吗？看懂了啊，请坐。老师啊，像这样 贴上一条竖线，你们看，老师把原来的二分之一变成了四二，四分之二，所以老师贴这条竖线的目的就是为了使单位 相逢处，单位相逢。好了，那么我们看第二名同学吧，与雪梅同学的，你能给大家讲解一下吗？我先把这张纸呢，呃，变成一个整体，先平区分成两。呃，先平，把这张纸平 均分成二分之一，涂其中的一份，再涂其中的一份，和前就是四分之三。 好，请坐。他是这样想的，他说呀，首先把这张纸平均分成两份，取其中的一份，那么就是二分之一，然后他再把这张纸加上一条什么竖线，竖线平均分成了几份， 四份又涂了其中的一份，就是四分之三。三三个四分之一就是四分之三，你们看懂了吗？看懂了。好了，我们一起来做一下。 二分之一加四分之一，我们要把他们的分数单位统一，那么这个过程叫什么？ 五分二分之一变成了四分二，四分之二加上四分之一等于四分之三。四分之三，很好，算对了，手看一下， 好，手放下，那么一分五的加法你会了，减法你会吗？会。好，根据分卡你来计算一下。二分之一减四分之一， 四分除其中的一份啊，二分之一减四分之一等于四分之一，你们看懂了吗？看到了，好，我们一起来看一下。首先呢，拿出一张纸， 折出其中的两份，取其中几份，一份平均分成两份，取其中的一份，我们把它叫做二分之一。

长方体和正方体这个单元，它的难点并不在于计算有多复杂，而是在于从二维到三维的空间想象，以及这些公式的灵活运用。接下来我们梳理一下这个单元的这些重难点。先说概念、公式， 重点认识的有棱、顶点、长、宽、高、掌握、展开图形，这是基础。然后这些基础他的难点还有易错点在于哪里呢？就是这个记不清，很多孩子他把面积、单位平方，还有体积、单位立方进率记不清。 还有一个就是这一道题当中涉及到很多的长度单位，有的时候这一道题当中会涉及到米厘米、分米，然后问的那些结果跟我们要用的那些单位它是不统一的，这是一个容易出现错误的地方。 接着第二个难点就是空间想象力不足，给定一个长方体，我们能不能想象出来给它切掉一块，或者是再拼上一块，或者是说 挖，因为挖的时候呢，他也分不同的地方，有的是从面上挖，有的是从棱上挖，有的是从角上挖，这些我们能不能想象出来这个新的图形， 这是本单元非常考验空间感的一个知识点。再说公式的灵活运用，这个单元呢，他的题目不会直接给咱们长宽高，需要自己去挖掘那些隐藏的条件，如让我们用铁丝围成一个框架，这个就是求铁丝的长度，也就是求这个棱长的总和。 还有一类题是什么呀？给游泳池贴瓷砖，求瓷砖的面积，其实就是求五个面的表面积，很多孩子容易把最上面那个面也系上。然后还有一道题是什么样的，就是排水法的， 这个排水法的考察，石头扔到水里面，水上升了，求石头的体积，其实这个就是底面积，乘我们水面上升的这个高度，就是这个石头的体积，用的就是排水法。 针对这个单元的这些难点，我们该如何做呢？第一步就是动手建立空间感，如果单纯看书的话，咱们会想不出来，不要硬想，准备一副长方体或正方体的展开图， 看一看哪个面是相对的，或者是用一些纸盒。土豆，那我们先说土豆，拿一块土豆或者是萝卜先切出来一个长方体，然后标上长宽高， 你还可以拆一拆，把一些盒子剪开，铺成展开图，观察哪些面是相等的，那相等的那个面肯定就是对应的那个面，这个呢，能够从根本上解决少算面的问题， 咱们还可以借助画图列式的方法，把这些抽象的问题变具体。遇到难题，尤其是排水法和拼接问题，你不要只在脑子里边转，一定要画图，画个草图。题目说了，把这个长方形画一个盒子，然后说切一刀，你就把这个切一刀，画一个线表示他切的位置。 然后还有就是咱们这个学期开始建议呢，孩子们在图上面标数据，把已知的那些棱长呀体积啊标在图上。 因为现在呢，我们是刚刚接触这个立体图形，所以建议孩子们在列式之前先想一想，先写下来这个体积的公式，例如这个体积 v 等于 a、 b、 h， 那 你再对照这些图把数字填进去，这样呢，能有效的避免对于表面积或者是体积公式的一些混用。 接下来咱们说题型，这个单元的题目看起来五花八门，但是核心的题型呢，就那么几类，第一个就是求棱长的，棱长棱长的总和，铁丝为框，捆扎彩带， 还有表面积类的，表面积类的呢，分六个面的，让你把一个呃材料包起来，求包装盒，这个材料还有呢是五个面的，像鱼缸，游泳池，教室、刷墙，这是五个面的，还有呢是四个面的，你像烟囱， 还有通风管道，这都是咱们求四个面就可以的。然后接下来我们就说体积，这个呢相对来说难一点了，有直接计算的就，但是你要注意单位换算，还有等级变形，把一块铁或者是把一块橡皮泥把它换成另外一个形状的，这时候它是体积是不变的，还有水倒来倒去，水的体积也不变。 然后接下来我们说排水法是最难的，然后这个排水法呢，记住一个核心的公式，这个物体的体积等于什么呀？其实就是等于这个容器的这个底面积，然后乘什么呀？乘这个水面这个高度的变化，底面积乘这个高，这点就记住这个公式。 然后我们再说一说这个排水法的啊题型，有的它是完全浸没水，没有溢出， 然后还有一类呢，就是这个物体完全浸没水溢出来了，我们要考虑这个溢出的部分。还有一个就是比较难的这个乒乓球冰块，为什么？因为这个冰块它会融化， 这个乒乓球呢？它会浮在水面上，这个需要注意，咱们还可以用排沙法或者是测质量法。还有一个是什么小绿豆，绿豆的这个体积呢？非常非常小，但是这个时候你可以借助什么呢？就是把一粒绿豆把它变成什么呀？一百粒，是不是？

这是我妈妈给我买的透视几何体教具，五年级下学期，长方体和正方体这一单元马上就要用到它。对于孩子来说，凭空去想像立体几何模型的展开图是挺有难度的， 这时候就可以借助这款透视几何模型教具。长方体的展开图我们可以看出它的相对面是相等的。圆柱体的展开图是两个圆形和一个圆形。 四棱锥的展开图是四个三角形和一个正方形，它能将立体图形转化为平面展开图，对于孩子学习表面积和体积都很有帮助。透明的设计有利于孩子观察理解立体图形的内部结构，小学一到六年级都能用的到，快给孩子安排一套吧！

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