必修二数学向量的题没有箭头怎么做

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第六章平面向量基本定例六点二点二向量的减法运算好减法呢？我们学习完加法之后，减法就比较简单哈。这节课，首先我们会知道，我们现在规定所有的减法是不是都是同样的思路，就是首先我们要先定义一个相反圆， 比如说我们的上一张，我们的上一张，我们首先定义了两个角，两个任意角的相加，对吧？什么是阿法加贝塔，然后接着呢，我们是干嘛要定义相反角就是负贝塔，接着呢，定义了负贝塔之后呢？那么减法 就是等于加一个他的相反角，对吧？哎，我们会不会发现，现在所有的任何地方定义减法的这个脉络都是这样子的，因为我们在初中，其实在讲完相反数之后，讲完正负数之后，我们的减法就已经不再像我们小学刚接触的时候 那样子去理解。加法和减法是两个独立的一个运算啊，都是通过这样的方式，所以同学们有没有发现这样的东西，在公里化的这个思路上面，我们都是这样去定义的哈，什么叫相反圆？我们在不是在这里的一个定义啊，但我们要知道这个就好像我们的贝塔和负贝塔这样的关系， 所以呢，本节课就好像实数的相反数一样啊，很接近，所以我们要去这样去联动的去想，我们规定跟我们的向量 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的 相反向量，记作负 a 好 不好，就这样子，由于方向反转两次，仍然回到原来的方向，我原来这是 a 相反向量呢，我们定义了是大小相同，方向相反，反转一次，再反转一次又回来，所以有这样的规律没问题吧？ 那么我们规定零向量的相反向量仍是零向量，又要规定零向量了，对吧？ ok， 接着呢，我们来看由向量和就是三角形法则和我们前面相反向量的基本定义，我们就能知道有这样的规律，就是说我的向量 a， 然后呢，加上它的相反向量， 对吧？相反相当是什么？呃，我们说了就是大小相同，长度相同，然后呢，方向相反，对吧？所以他就是零向量。那这个过程当中哈，同学们还是那一句，我上节课不是讲了那道题目吗？所以 同学们怎么去锻炼这种能力？就是关于我们对这种定义的这种能力。就是啊，你，你设定给我一个规则，对吧？那 我问你，这个它最终会得到什么东西？或者说我已经告诉你它是零向量，它为什么不要听我讲？因为这个规则已经告诉你了，这个叫什么？这个叫相反向量。相反向量是什么呀？这个大小相同，方向相反，你们自己去进行推导好不好？然后呢，既任意向量与其相反向量的和都是零向量。如果 a、 b 互为相反向量，就好像 实数里面一样啊，如果 a 和 b 两个数字互为相反数，那么 a 加 b 等于零啊，对吧？所以呢，他们两个加个符号，然后 a 向量加 b 向量等于零向量。注意， a 向量加 b 向量等于零向量。零向量，所以它加法的最后的结果还是零啊，还是零，还是一个向量。好吧，所以呢，我们要搞清楚这个点，它不是零哈， 向量相加的结果，相加和相减的结果最终还是向量，所以呢，我们在定义完这个相反向量之后呢，我们就能定义向量的减法，对吧？减一个向量等于加上这个向量的相反向量，就这样子， ok， 就 这样子。然后呢，有了又基于这个我们前面对于减法的定义， ok， 那 这个时候减法的规则我们就可以自行去做了， 好不好？也是很简单的，好吧，不断锻炼自己能力。我们根据相反向量和向量加法的基本定义，当我们要进行这个预算的时候，我们说干嘛？我们的减法是怎么定义的？减，它相当于加上一个 b 向量的相反向量，那么我们干嘛先找到 b 向量的相反向量啊，对不对？然后呢，向量可以平移，对吧？那么三角形法则，我们就把它平移到首尾相接， 接着呢，这个不就是这个 a 向量加上 b 向量的相反向量吗？好，那么我们现在把它平移过去。好，为什么要平移过去？因为本身是这个 a 向量和 b 向量之间的关系，我们要找到去归纳到 他的一个一般性的规律，但是如果我们保留这一条呢？这个点是他们的共同起点，我们好理解，那这个点是他本身不存在的， 所以我们把它移回到这个地方， ok， 那 这个地方什么平行四边形？对， 这条边跟这这个是干嘛长度相等的，并且是平行的平移过去的，所以这个是平行四边形啊，对吧？所以呢，我们把它保留啊，那这个时候呢，我们就能得到 a 向量减 b 向量，就这样子的，然后方向搞清楚。哎，这个时候我们是否能够归纳了自己 发生了一件什么样的事情啊？ a 向量减 b 向量，然后呢？此时 a 向量和 b 向量是用什么去表示？用 这个起点相同的两个有向线段去表示，所以当前题是什么？当它们的起点相同的这个有向线段来表示的时候， a 减 b 向量等于 b 向量，就是 a 减 b 向量， b 是 减的那个向量 的中点指向被减的那个向量的中点。能不能自己总结出这样的规律啊？减的中点指向被减的那个的中点啊，后面的中点指向前面的中点啊，所以就这样子，所以我们就得到它的作图方法。如图，已知向量 a b 在 平面内任取点 o 作 o， a o b 等于这个，然后呢，则 b a 就 等于 a 减 b 啊，对吧？这个的点指向这个的点， ok， 就 这样子的 o a b， 然后呢，既当向量 a b 使用同起点，我们刚才说的用同起点的有向线段表示的时候，其减法 a 减 b 可以 表示为从代代表向量 b 的 有向线段的终点， 指向代表向量 a 的 有向线段的终点的有向线段所表示的向量。所以呢，我们要搞清楚， a 这个就是它的干嘛几何理解？ 几何理解，就像刚才的三角形法则，这个就是加法的几何理解，那这个呢，也是一个三角形法则，也是一个减法的三角形法则， ok， 然后就讲完了，就这么简单， ok， 我 们的例一，如图点 o 呢，是平行四边形 a b c d 两条对角线的交点， 则向量等式一定成立的是 ab 加 ad 啊，我们这里呢，就开始做这样的一个题目了， ab 加上 ad， 好 吧，哎，这个就直接就是平行四边形法则等于 ac 了，对吧？等于 ac， 当然这个是错的，让 o a 减去 o c 等于零向量， ok， 对 吗？ o a 减 o c， 那 显然显然不是了，它们两个是相反的，如果是相加，如果是相加就是相减，就不是。而且 o a 和 o c 同起点，我们也可以不看，我们不看这个图也能写出来，对吧？背这个，这个减的这个终点 指向被减的中点，所以它最终的结果是 c a， 好 吧，所以不是零向量，那 c 呢？ b d 减 c d 呃， b d 减 c d， 对 吧？那这个时候，哎，我们的就是不同起点不好算，但是我们的向量可以平移，对吧？所以它讲的是不是有向线段，是那个什么东西啊？是向量，所以我们怎么样去平移？思考一下，当然我们可以平移 b d 平移 b d 过去呢？就啊出去了，对吧？当然是可以，但是没那么好算啊。 然后呢，当然我们试一下平移 c d， 哎，那平移到 c d 和 b a， 对 吧？是相等的，对吧？ c d 向量是等于啊 b a 向量的，对吧？就这样能理解吧。那所以这个时候呢，把它变过来呢？就变成了什么 b d 减去 b a 通起点，那么就是 ad， 是 不是？ ad 是 不是等于 bc 啊？等的啊， ad 等于 bc， 所以 c 是 对的好不好？那么 d d o 加 o c d o 加 o c， 那 这个就简单了，对吧？首尾相接等于 bc 嘛？等于 bc， 那 这里 d a 啊，相反， d a 是 往这个方向的， bc 是 往这个方向，所以选 c 嘛，没问题吧？这道题目基础的理解。第二道题如图，在平行四边形当中， ab 为这个，这是已知的， ab 为这个，那请用向量 ab 来表示向量 ac 和 db， 那么在我讲我讲解的很多的立体当中，会有很多不一样的颜色给到大家，是吧？哎，像这里橙色，这就是已知的，蓝色呢，就是要求的，但是呢，你们要不断的去锻炼，在 真实的一个考场题目当中啊，纯黑色的这个文字当中，你们自己要很清晰，哪些是已知的去表示，哪些是未知的，或者就是说用些符号来提醒自己，哪些是已知的，哪些是要求的好不好，你有自己的一个符号表达方式， 那么要锻炼自己的能力好不好，这个是很关键的，不然你很容易乱的好吧。然后呢，表示什么东西？ a， c， b， a， d， b， 我 们来看一下，那么这个时候啊，这个就很简单了，这道题目对吧？那么如果是 a， c， 那 么直接就它们两个相加，那这个呢？哦，就它们两个相减，对吧？谁减谁呀？ 呃，谁的指向谁？这个指是后面的，所以 a 减 b， 后面的这个是 a 减去 b 和这个 a 加上 b， 对 吧？ a， c 是 等于它， d， b 等于它，对吧？就这样子啊，基本功啊，非常基本的基本功啊，就这节课结束，好吧，下节课我们再见，同学们，拜拜。

同学们大家好，今天将和大家一起在上一节课的基础上，继续平面向量的性质的学习。首先复习上节课我们所学的知识，上节课学习了非常重要的定理，平面向量基本定理。 定理的内容是，如果一一一二是同一平面内的两个不贡献项链，那么对于这一平面内的任意项量， a 有且只有一对实数，拉么的一拉么的二，使 a 等于拉么的一一一加拉么的二 e 二。 不贡献项链一一一二叫做表示这一平面内所有项链的一个基底。 这个定理告诉我们，在同一组确定的基底下，可以用这个基底线性表示出平面内的任意项链从 几何图形，例如一条有项线段用代数表示。平面项链不仅可以联系数学与物理，更是联系几何与代数的重要纽带。所以说，通过平面项链基本定理， 可以用不贡献的两个项链表示任意项链，也可以将任意项链的问题转化为对这两个项链的研究。下面我们来研究新的问题。 平面向量基底的唯一要求就是不贡献，因此平面向量有无数个基底，那么选什么样的基底能够更好的解决问题呢？ 选择基底的时候，既要保证平面向量自身运算的完备性，又要注重与其他知识间 的联系。让我们再次回到物理中寻找灵感。如果物体在鞋面上静止不动，一般将重力分解为沿鞋面向下和垂直于鞋面的两个互相垂直的分地，既进行了正交分解， 重力分解的沿鞋面向下的分量用来平衡物体的摩擦力分解的垂直于鞋面的分量用来平衡物体的支持力，即分解一个重力就可以达到物体的平衡。 如果采用其他的分解方法呢？例如按照水平及于水平呈一百三十五度角的两个方向进行力的分解。为了保持物体平衡，不仅要把重力进行分解，还需要将摩擦力和 支持力都在这两个方向上进行分解，才能最后说明物体受力平衡。还有其他更多方法。从物理学的实际意义及运算的简便性上入手，物理中我们选择第一种正交分解。 物理中力的分解一般都是用正交分解，这给了我们很大的启发。数学在选择平面向量的基底的问题上，不仅沿用了物理正交分解的方法，同时也使用正交分解的名称， 即把互相垂直的两个项链作为平面内所有项链的一个基底， 互相垂直的两条直线正好构成平面直角坐标系。那么在数学 中，我们是如何定义平面项链正交分解的呢？把一个项链分解为两个互相垂直的项链叫做。把项链做正交分解， 我们选择了互相垂直的两个项链做基底。根据平面项链基本定理，若这两个正交项链的大小是单位下长度，则对平面内任意项链的表示就会更加简洁。 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示记他的坐标。 那么在单位正交的基底中，也就是平面直角坐标系内如何表示一个项链呢？ 项链 ij 是两个互相垂直的单位项链。项链 a， a 与爱的加角是三十度，且 a 的膜等于四。以项链 ij 为基底，如何表示项链 a 呢？ 注意到项链 ij 是两个互相垂直的单位项链，所以项链 a 的磨长等于四，也就是 op 的长为四。项链 a 与爱的加角是三十度，由三角函数可以求得。 oa 的长等于二倍跟三， ap 等于二。 根据平面项链基本定理，项链 a 在给定 i j 的基底下就可以唯一表示为项链 a 等于二倍跟三， i 加二 j。 根据平面向量基本定理，向量 a 的表示为一，因为我们使用了单位正交基底。 根据平面项链基本定理，项链 a 可以和一对有序实数二倍跟三二对应。 因为项链 ij 的方向与平面直角坐标系中的 x 轴外轴一致，且 ij 的摩长都是一，自然联想到，能否借用坐标来表示项链呢？ 如果一个项链可以用坐标表示，那将会给项链的运算带来质的飞跃。 让我们一起探讨平面项链的坐标表示。已知一个任意项链 a 在单位正交的基底中研究项链的坐标表示。 我们把项链 a 放入平面直角坐标系，内设与 x 轴外轴方向相同的两个单位 项链分别为 ij， 取 ij 作为基底。对于平面内的任意一个项量 a 有且只有一对实数 xy， 使得 a 等于 xi 加 yj。 我们把有序实数对 xy 叫做项链 a 的坐标记做 a 等于 xy。 在这个单位正交基底下，实现了对于平面内任意项链 a 的坐标化的愿望。 下面我们开始应用项链的坐标表示，感受项链坐标表示的魅力。首先表示特殊的项链， 因为项链爱在单位正交基底下表示为爱，加零 g， 从而得到爱。项量的坐标表示一零，同， 这项量的坐标表示零一零，项量的坐标表示零零，其他项量如何表示呢？ 我们来看项链 ij 作为基底， o 作为圆，点， a 的坐标为二、三，则项链 oa 的坐标为什么？ 项链 o a 在项链 i 方向上的投影项链为二 i， 在项链 j 方向上的投影项链为三 j， 所以项链 o a 等于二 i 加三 j， 从而得到项链 o a 的坐标二、三。 本题用代数语言坐标对几何图形项链 oa 进行了准确的表示。由于平面项链的正交分解，可以把点 a 的坐标二、三 与起点在原点的项链 oa 的坐标建立一一对应的关系，这是普遍规律吗？ 于是我们提出问题，一般的分别用单位项链 ij 作为基底， o 为坐标，原点点 a 的坐标与项量 oa 的坐标有什么关系呢？ 根据刚才的特例提出猜想，当项链的起点在坐标原点时，项链的坐标就是项链终点的坐标。项链 oa 在项链 i 方向上的投影项链为 xi， 在项链 j 方向上的投影项链为 yj。 根据平面项链基本定理，项链 oa 唯一表示为 xi， 加 yj， 得到项链 oa 的坐标表示 xy 与点 a 的坐标相等。证明了我们的猜想。同学们可能会想，在平面直角坐标系中，点的坐标与其位置是一一对应的。 那么项链的坐标与有项线段所表示的项链是否也是一一对应的关系呢？比如，给定项链 a 的坐标为 a， 等于三、二，对应项链 a 的位置确定了吗？ 对于点 a， 若给定坐标为 a， 点坐标三二，则点 a 位置确定。 由于项链是自由项链，不妨设项链 a 的起点是 a。 对于项链 a， 给定 a 的坐标为三二。由项链的正交 分解，项链 a 在项链 i 方向上的投影项链为三爱，在项链 j 方向上的投影项链为二 j， 也就是给出了项链 a 的方向和大小。 但因项量的位置由起点和终点确定，且项量可以自由平移，因此项量 a 的位置还与其起点有关。综上，得到项量与点的关系， 在平面直角坐标系中，点的坐标和位置是一一对应的。对于项链，已知项量的位置确定，在平面直角坐标系中，可以得到唯一确定的坐标表示。 反之，已知项链的坐标。由于项链是自由项链，所以不能确定项链的位。 所以若已知平面内的任意项链，其图形表示。如上图， 根据向量的定义将其平移，使向量 a 的起点与坐标远点重合，平移结果为一，即起点在坐标远点的向量的坐标与该向量的终点坐标表示一一对应。 我们实际操作一下，如图，用单位向量 ig 作为基底， a 点的坐标是二二， b 点的坐标是三、四，求向量 ab 的坐标， 已知 ab 的坐标。由图形可知，项链 ab 在项链爱方向上的投影项链为爱，在项链这方向上的投影项链为二 j。 由平面项链基本定理，项链 a、 b 等于二加二 j， 得到项链 a、 b 的坐标表示一、二，项链 a、 b 的坐标与终点 b 的坐标不等。 我们再次确认，若一个项链起点在坐标原点，因为项链是自由项链，可以将位置任意的项链平移至起点为坐标原点的项链。 由刚才的证明，起点在坐标远点的项链与该项链中点的坐标是一一对应的。 下面讨论。两个项链相等的坐标表示，设 i、 j 是与 x 轴外轴同项的两个单位正交项链。设项链 a 的坐标为 x 一，外 一项亮 b 的坐标等于 x 二 y 二，则项亮 a 可以表示为 x 一 i 加 y 一 j， 项亮 b 等于 x 二， i 加 y 二 j。 若项亮 a 等于 b， 等价于项链 a、 b 的横纵坐标分别相等。记 x 一等于 x 二，且外一等于外二。 我们来对比一下点的坐标与项链坐标的联系与区别。我们从以下几个方面总结，从表达形式和意义上说明两者的区别 不同。点是项链 a 的坐标等于 xy， 中间用等号连接，而点 a 的坐标 xy 中间没有等号。意义上看，点 ax 四 y 的坐标 xy 表示点 a 在平面直角坐标系中的位置，项链 a 等于 xy 的坐标 xy 既表示项链的大小，又表示项链的方向。 从表示上看， x、 y 既可以表示点，又可以表示项链序数时，要指明是点还是项链联系是，当平面向量的起点在坐标远点时，平面向量的坐标与项量终点的坐标相等。 由此，根据项链的定义，平面内任意一个项链平移前后依然相等，即任意项链与他的坐标一一对应。 项链是有大小和方向的量，所以项链本身 就含有几何属性，坐标的表示与运算体现的是代数性质，所以通过项链把几何图形记有项线段与代数运算建立了联系。 几何图形也既有项线段可以通过项链的坐标表示，项链的坐标在一定程度上也反映了有项线段之间的关系。 总之，通过平面项链可以使几何问题借助坐标转化为代数问题来处理。对代数运算的处理也可以通过项链寻找其几何意义。

ok， 各位同学，这里是阿伦的数学情况冒险，那今天的话我们来学习第二讲项链的加减法。 ok， 那下面的加法减法其实跟之前这个使量的这个运算其实是类似的，那我们来看一看啊。首先下面的加法分为第一个平行四边形法则 和三角形法则啊，有的一些教辅材料，还有一个多边形法则，实际上它就是三角形法则的一个啊，变种延伸啊，我们本质上只有这两个法则。那么 ok， 我这有一个 a、 b 向量，这有个 a、 c 向量，那我 a、 b 向量想加 ac 项量怎么办？我构建出来一个平行四边形项量是自由的， ab 项量是不可以平移到 cd 这里，那我实际上 ab 加上 ac 变成了 ac 加上 cd 项量。 ok， 接下来，哇，起点直接连接到终点上，是不是得到了我们 a、 d 项链？那我们看到这个其实也可以得到一个结论，是吧？我们如果遇到了像什么 a、 b 加上 b、 c， 是不是这个终点和这个起点是重合在一起的？我是不是直接写成 a 等于 a、 c 枪量就可以了？好，接下来三角形法则，三角形法则的话，我这有个 a、 b 枪量，这有个 b、 c、 c、 d 项链，那我想求和 a、 b 加上 c、 d 怎么办？首先把这个项链它的这个起点移到另一个项链的终点上。 ok， 接下来直接在这个向量的起点连到另一个向量的终点。 ok， 结束了。 a、 b 加上 c、 d 等于 a、 b 加上 b、 e 得到 a 项量，那如果说有很多项量， a 项量加上 b 项量，再加上 c 项量，一直加到 f 项量啊，比如说是六七个，那怎么办？我直接就是跟三角形法则一样，我一个项量的头接上另一个项链的尾，一个项量的头接 印个象量的尾，哎，连完之后怎么呢？最开始的起点连到最后的终点就是这些象量的和好。加法我们搞定了，那我们接下来搞加法。 减法本质上跟加法是类似的，那我举一个例子啊，它本身它是符合三角形法则的啊，我就只弹一个， 哎，比如说 a 向量减去 b 向量， 那我想画出来这个项量， a 项量减去 b 项量怎么办？首先我们可以把项量的起点重合， 然后连接中顶方向，这个长度我知道，方向指向，是啊，指向背景，哎，指向背景，哎，这个就是 a 向量减去 b 向量。那我们也可以利用另一种方式，我可以 a 向量减去 b 向量变成 a 向量加上副 b 向量， 这是 a 向量， b 向量是这个，那负 b 向量是不是这个？利用刚才我们学过的加法的三角形法则， 哎，合在一起是吧？一个终点连另一个起点，然后最后最开始的头连最后的尾， 这个 a 项量减去 b 项量，我们就可以得到这个项量的减法。怎么去怎么算，哎，怎么去画这个图？ ok， 那搞清楚加法和减法之后，我们来做两道题目，那我们来看看第一题啊，三倍的 a， b 加上二倍的 b c， 再减去 a c 等于多少？那我刚才说了，遇到减法的话，我们第一时间给他移回来， ok， 然后接下来进行归类。二倍的 a b 加上 b c 再加上 c， a 加上 a b 是不等于二倍的 a c 加上 c b， a c 和 c b 合在一起，是不是 a b 加上 a c？ 所以第一题答案选 a。 第二题如图，这有个正八面，呃，正八边形， 然后 o 是中心，问你 oc 加上 hg 再加上 fh 等于多少？那我们昨天也说过了，项量是自由的，只要大小方向不变，我可以在这个平面上任意移动。那我们来看看 oc 再加上 hg。 那我们来看一看这他俩之间如果在这个位置上是没有任何关系的。刚才我说了，项链可移动， h g 移动过来，然后接下来 f h 跟这两个项链之间毫无关系。怎么办？我平移过去， 然后利用三角形法则，是不是使这个起点直接连到终点？ ok， 那我是不是就可以判断出来答案是 a o b？

同学们大家好，从今天开始啊，我们一起来学习第六章平面向量极其应用。位移除了大小还有方向， 那么生活中还有哪些量具有和位移一样的特征呢？你能指出下列这些量，哪些与位移具有同样特征吗？比如说质量、力，速度。 我们知道质量只有大小，而力速度既有大小又有方向。这词我们发现啊，生活中的量从是否具有方向这个角度上，可以分成只有大小没有方向的量。比如说身高啊，价格呀，面积啊，路程 和既有大小又有方向的量。比如说速度、加速度、力、位移。这就是我们即将学习的项链。本节课我们一起来学习他的有关概念。 在数学中，我们把像位移这样的既有大小又有方向的量抽象出来，命名为项链，而把只有大小没有方向的量称作数量，具有方向的量就是项链。这个新的研究对象的名字是不是形神兼备？ 明白了什么是项链，我们看看如何表示他吧。从几何代数两个角度看看项链怎么画，如何写。 其实项链的几何表示我们一点也不陌生，在受力分析中，我们会用一个带箭头的线段来表示力，这也是物理中称其为使量的原因。像一个带着箭头的剑使吗？如图所示。 受到了物理的启发，数学拥用带箭头的线段来表示项链，反应他的大小、方向两个信息。带箭头的线段叫什么名字呢？ 箭头这个图形表示的是方向，这个图形表示的是具有方向的线段，我们把它叫做有向线段。 通常的在线段 ab 的两个端点中规定一个顺序，如图所示。假设 a 为起点， b 为终点，我们就说线段 ab 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。那么以 a 为起点， b 为终点的有项线段，我们就记做有项线段 ab， 他拥有三个要素啊，起点、方向、长度。 就像我们在物理中要描述一个力的话呢，需要描述重点力的方向和力的大小。我们知道线段 ab 和线段 ba 是同一条线段，线段的起点中 点的顺序可以改变，那有项线段呢？他的端点顺序是否可以改变？我们能把有项线段 ab 写成有项线段 ba 吗？ 我们知道有向线段的两个端点的顺序啊，决定了他的方向，由 a 指向 b， 由 b 指向 a， 显然表示的不是同一个方向。 这样的两条有项线段，起点、终点均不相同，方向也不一样啊。因此啊， abba 表示的是不同的有项线段，有项线段的端点字母顺序不能交换，起点一定要写在终点的前面。 这样我们就有了项链的几何表示方法。有项线段，有项线段的长度表示项链的大小，箭头所指的方向表示项链的方向。代数的表达中，我们用两种方法表示项链， 一是沿用有向线段的表示方法，用线段 ab 加箭头来表示项量 ab。 第二种呢，是小写字母加箭头表示项链小 a、 小 b、 小 c。 在这里要对项链的代数表示加以说明。 我们在自己写项链的时候啊，无论用两个大写字母还是用一个小写字母表示项链的时候，都要加箭头。但是印刷体的时候用小写字母表示项链是没有箭头的，是用黑体加粗来表示项链的。大家在阅读和书写的时候，要对项链的符号读明白，写正确。 由于项链这个新的研究对象，他既是竖又是型，因此啊，我们研究有关他的任何问题，都应该从这两个角度考虑。我们先从简单的入手，竖的角度，项链是可以度量的，表示项链的有向线段的长度就表示了他的 大小。我们把项链的大小称作他的长度，或称为膜，记做项链 ab 的膜，项链的膜只讨论大小，这个角度不考虑方向。 关于限量的膜的符号，相信细心的你已经发现了，这个符号怎么和绝对值的符号长得是一样的呀？ 其实用绝对值来表示长度，在我们数学学习中不是第一次见到了。绝对值的几何意义就是在数轴上表示数字的点到远点的距离。 我们举个例子啊，比如说图中的负三的绝对值，表示的就是表示负三的点到远点的距离，等于三 数字的绝对值。项链的膜刻画的其实都是长度，区别呢？一个刻画的是线段的长度，另一个是项链 量的长度。而恰恰因为他们都只刻画了对象的数量特征，而无法说明方向，所以他们刻画的对象可能就不唯一了。比如刚才这个例子中，如果已知一个数 x 的绝对值是三，我们就能确定表示这个数的点到远点的距离是三， 但是不能确定他到底是在原点的左还是右。所以有两个 x 等于正三或者负三模为三的项链呢，他的方向可以指向任意，有无数多个项链可以度量长度，那么两个项链之间可以比大小吗？ 如果两个项链你知 a 的模小于 b 的模，你说是项链 a 大还是项链 b 大？ 项链与数量不同啊，他除了大小还有方向大小能比，但方向怎么比大小啊？ 对于方向无法进行大小的比较，所以项链是不能比大小的。项链 a 小于项链 b， 这种表达没有意义。 下面介绍两个特殊的项链，长度是零的项量叫做零项量。记做零项量，同样要注意区分手写体和印刷体的区别啊。手写体是用数字零加箭头表示零项量，而印刷体呢，是用黑体数字零来表示零项量。 零下量的长度是零，这容易理解，但是零下量的方向呢？是不是长度是零了，方向就没有了呢？ 零项量他是属于项链集合中的一个元素，他只是摩长，比较特殊，他们当然是有方向的。我们规定零项量的方向指向任意。什么叫方向任意？我们可以把零项量理解成 起点和终点落在了一起，起点终点相同的项链对于零项量的理解，最后请大家注意区分，零项量和数字零可不一样，零项量具有方向。 第二个测试的项链，我们定义长度为一的项链，我们把它命名为单位项链在项链中起到的作用类似于单位长度在实数中起到的作用。下面我们来谈谈如何理解单位项链。 当然了，单位向量他不是单位长度，他具有方向，因而平面内有五十多个单位向量，他们只向不同的方向。 如果我们把同一个平面内的所有的单位向量的起点平移到同一个起点 p， 那么向量终点的集合会是一个什么样的图形呢？这个时候啊，所有单位向量的 起点相同，长度相同，但是方向不一样，指向任意，其终点会落在同一个圆上， 如图所示，终点的集合是以 p 为圆心，一个单位长度为半径的圆。我们来看看单位向量的作用，比如我们任意给定一个非零向量向量 b， 他的方向就是向量 a 的方向，如图所示，并且呢，以致他的魔长为三， 我们可以理解为 b 项链是由该方向上的单位项链乘以 b 的膜三得到的。 也就是说啊，我们可以这样来理解，单位项链有了它，在任何方向上我们都拥有了一个度量的标准，任意给定一个非零的项链，就给定了一个方向，那么单位项链就成了这个方向上的度量衡，得到的就是这个方向上的 单位一了，也就是单位下量可以表示为任意非零项量 a， 除以项量 a 的模， 我们有了研究对象，抽象出了定义，并用符号去表示，研究了其中的特殊的元素，零下量和单位相量，这是我们认识数学对象的一个基本的脉络和方法。类比我们前面对于数的研究过程，我们下面要研究项量之间的关系了，你们认为应该从哪些方面入手呢？ 由于项链具有大小方向两个方面的特征，我们的研究也应该围绕项链之间特殊的大小关系和特殊的方向关系展开。 首要的就是建立两个项链相等的标准，项链既有大小又有方向，项链相等的标准，相信你听到这里心里都有数啦！长度相等，方向 相同，这两个条件肯定是缺一不可。我们定义长度相等且方向相同的项链叫做相等项链，记做项链 a 等于项链 b。 等号是我们常见的关系符号，之前表示的都是数量之间的相等关系，而相量中的等号的意义可是兼有两个相量的长度相等和方向相同，这两种关系大，且这一次说明两个关系同时成立，才能够叫做相等相量。 为了帮助大家理解相等相当的概念，我们还是举一个比较熟悉的例子吧。比如说平行四边形 abcd 对边 abbc 平行且相等。 如果分别给定方向，由 a 指向 b， 由 d 指向 c， 那么项链 ab、 项链 dc， 就是一组长度也相等，方向也相同的项链，他们是一组相等项链。这是两个项链之间的第一种特殊的关系啊。那下面由于项链之间的大小关系呢？其实都是转化成数与数的关系，我们比较熟悉，下面我们重点来讨论 方向，看看项链在方向上会有什么特殊的关系。我们定义方向相同或相反的非零项量，叫做平行项链。项链 a 与 b 平行，就记做 a 项链平行于 b 项链。 比如说图中的项链 ab， 他们方向相同，是一组平行项链。现在出现在图中的项链 b、 项链 c、 项链 a 与项链 c 均为方向相反的项链，也是平行项链。项链的互相平行， 这个符号沿用了我们平面几何中描述两直线位置关系的平行符号，但是这个符号在项链中和在几何中的意义也是不同的。 项链中的平行符号表示的情况有两种，两个项链方向相同或者方向相反，或这一次表明这两种情况哪个成立都可以，而几何中的平行只有一种情况。等一下，这个概念好像没说完啊， 怎么平行项链这种关系只是对非零项链成立呢？那零项链呢？ 由于零项量的方向是任意的，我们可以规定零项量与任意项链平行。记做，零项量平行于项链 a。 平行向量这个定义陷阱很多，我们要小心的研究一下。首先是关于平行向量的 方向问题，如果两个项链平行，他们的方向一定是相同的吗？回到定义，项链中的平行，在方向上定的是两种情况，方向相同或者方向相反。 同向、反向方向是不一致的，但都是同行平行向量啊，因此两个向量平行，他们的方向不一定相同，还可能相反。第二，平行向量所在的直线一定是互相平行的吗？ 像图中的项链 a 与项链 b 是方向相同的平行项链，他们处在同一组平行线上。 现在出现在屏幕中的项链 b 与项链 c 也是一组方向相同的平行项链，他们的位置关系是处在同一条直线上，也就是贡献 方向相反的平行向量呢，情况是一样的，所在直线可能平行，也可能贡献。 因此啊，平行向量所在的直线不一定是平行的，可能平行可能贡献。 思考三，如图 abc 是一组平行项链，我们认做一条与项链 a 所在直线平行的直线 l， 在 l 上认取一点 o， 分别做 o， a 项链等于 a 项链， o b 项链等于 b 项链， o， c 项链等于 c 项链。那么点 a、 b、 c 的位置关系会如何呢？ 我们发现 abc 三点贡献，由于平移不改变向量的长度和方向，任意一组平行向量可以平移到同一条直线上。也正因为此， 平行项链也叫贡献项链，是用来描述项链之间同项或者反项这一特殊关系的一件事情的两个名字。我们上面讨论过平行项链所在直线未必平行，也得到了进一步的说明。因而项链中的平行符号意义也和我们原来认识的平行 不同了。它包含的位置关系可能平行，可能贡献香辣的有关概念中啊。

同学们，上节课我们已经掌握了平面向量的基本概念，什么叫向量呢？既有大小又有方向的量，我们把它称之为向量。 数学源于生活，又赋予生活，那当我们认识了数之后，更要研究它的加减乘除。那同样的，作为数学家族里面的新成员，向量该如何进行加法预算呢？它跟数的加法又有什么样的性质？ 带着这些问题，我们一起进入今天的课堂，平面向量的加法预算。首先我们先来看一下学习目标。 第一个，能够从实力中抽象出来数学加法的概念，了解向量的加法的物理含义和它的几何含义分别是什么。第二，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这个是我们这节课要学习的重点内容。 三、了解向量加法的交换率和结合率，并且能够通过图理解它的理性，这是我们今天要学的三个目标，其中一三作为了解。二是我们这节课学习的重点。我们先看这样的一个场景， 天车是车间的一个重要设备啊，如上面图所示，在天车的作用下，这个物体由 a 的 位置移动到了 b 的 位置，那这个 ab 的 位移我们可以把它看成 a、 c 和 a、 d 的 合力的方向。 那如何用数学语言去描述这种现象呢？哎，就走到了我们今天要学的知识点，向量的加法。我们先来看向量加法的定义，求两个向量的和的预算，就叫做向量的加法。对于零向量来说，我们规定任何向量和零向量相加，都等于它本身 啊，也就是零加上 a 向量就等于 a 向量加上零等于 a 本身，这是向量加法的定义。那了解完向量加法的定义之后，我们看向量的求和法则。第一个法则，三角形法则 已知两个非零向量， a 向量和 b 向量在平面内任取一点， a， ab 作为 a 向量， bc 作为 b 向量，那么 a、 c 向量就叫做 a 向量加 b 向量， 那从图上来看，也就是 a c。 那 同学们要注意，我们在使用三角形加法法则的时候要注意什么呢？注意首尾相连，以首为首，以尾为尾。比如说在这里的 a 向量加 b 向量， a 向量的手是谁？手是 a， b 向量的尾是谁？是 c， 所以 最后加和的向量就是 a， c 向量首尾相连，以首为首，以尾为尾来看。第二个法则，平行四边形法则已知两个不共线的向量， a 向量和 b 向量。如图， ab 代表 abd 代表 b， 那么以 ab 和 ad 作为邻边，构造一个平行四边形， a、 b、 c、 d， 那 对角线 a、 c 代表的就是 a 加 b。 注意，平行四边形的法则是什么呢？共起点指中点， 以构造的平行四边形为例，那 ab 和 ad 是 不是共起点指向中点 ac？ 一 般的我们有 a 向量加 b 向量的膜小于等于 a 向量加 b 向量。 当前仅当有一个是零向量，或者是这两个向量同向的时候，等号成立。怎么去理解？我们可以借助三角形，我们看在三角形里面，在初中我们学过两边之合要大于等于第三边，那 a 向量和 b 向量的模 是不是相当于两边？那 a 向量加 b 向量的膜是不是第三边？它要大于等于啊？如果其中有一个是零向量，那我们知道零向量加任何向量都等于它本身等号成立，或者是它俩同向的时候。 接下来我们来思考这样一个问题，非零向量 a 和 b 处于什么位置的时候，第一个什么时候成立？那我们刚说过， a 向量和 b 向量如果有一个为零向量，那么它就成立，或者是 a 向量和 b 向量同向的时候也成立。第二个什么时候 相减成立？比如说右图，那这个时候 a 向量加 b 向量，是不是就是 a 减去 b 啊？那反过来说，如果 b 大 的时候，那就是 b 减 a， 那我们来看第二个知识点，向量的加法运算率。首先它满足结合率，还满足什么呢？交换率，交换率好理解，比如说我先用 一牛的力去拉一个人，然后再用十牛的力去拉一个人，和我先用十牛再用一牛，是不是效果是一样的？嗯，再看结合率，一样的，谁在前谁在后，无所谓啊。到这里我们的知识点就讲完了，接下来我们来看两道判断题。 第一，任何两个项链的核仍然是一个项链，我们说项链加上一个项链，它仍然是一个项链，不会改变它的性质，都是既有大小又有方向的量。第一个对，第二个对不对？ 哎，第二个不对。好，我们说过，三角形法则要点是首尾相连， 在这个题里面， a、 b、 bc 是 不是出现了首尾相连，所以它和 a、 c 应该是相等的一个关系，所以第二个错了。第三个错误，我们刚说过， 哎， ab 加 bc 是 不相当于 ac， 相当于两边之合，要大于等于第三边。那我们来看第二个题，快速过一下啊！ d a 和 d c 共起点，指向中点应该是 d b。 第三个，化简 c b 加 b， a 首尾相连是 c a 向量 a d c a 首尾相连，所以是 c d 相连。本节课的三种题型，第一个，向量的加法法则，第二个，向量的加法计算。第三个，实际应用。首先先来看第一个，如图所示， a 向量和 b 向量，你能不能用图的方式 分别用三角形法则和平形四边形法则做出来， a 加 b 呢？首先我们来看图一，图一，这里构造了一个三角形首尾相连，以手为首哦，以尾为尾 好。同样的，我们能不能用平行四边形法则构造呢？平行四边形法则，重点是共起点，指中点。要注意啊，我们在使用三角形法则的时候，一定要注意首尾相连， 然后在使用平行法则的时候是共起点，指向中点。我们来看第二个题型，有关化简问题，化简问题的原则是什么呢？以首为首，以尾为尾，首尾相连好。先看第一个 b 和 b 首尾相连，所以他俩一三加起来是 a c 好， ac 和 cd 首尾相连，所以合起来应该是 ad 好。 再来看第二个 ab， 首尾相连，找 bd 好， 他俩加完是 ad 好， ad 找 d， 哎， d e 加起来应该是 ad 好， 再找谁？再找 a e e a e 和 e f 加起来是 af 好， 再叫 f fa， 所以 是 a a 领项链首尾相连，以首尾首，以尾为尾啊， 看一下，反思领悟向量的加法运算和应用。哎，我们在做变形或者在做化简的时候，一定要用到首尾相连啊，通过首尾相连合理的调整他的顺序，结合率或者是交换率，从而达到化简的目的。 第三种题型有关向量加法的实际应用。他说在长江南岸的渡口处浇水，以十二点五千每小时向东， 渡船在净水冲的速度是二十五千米每小时。我如果想要垂直的渡过长江，那么航向应该是怎么样的？首先我要确定我最后的实际路线是垂直的，然后他有一个往东的速度。 那我们先看一下构造图形，在构造的时候大家注意往东有一个假设，我们用 a、 d 来表示往东的，哎，十二点五千米每小时， 我最后的目的横向要垂直，所以 a、 c 就是 他最后的横向。那我们怎么样才能让这个速度指向终点呢？ 共起点，指终点，构造一个平行四边形。好，那 a、 d 就是 他在净水中的速度二十五啊，也就相当于这个是十二点五 啊，所以这个角应该是多少度？三十度，所以我们就有了答案啊，哎，根据如图所示，构造了这样的一个平行四边形，共起点至中点，最后垂直到达对岸， 所以最后的横向应该是北偏西三十度。哎，反思领悟。我们在利用向量加法解决实际问题的时候，有这样的三个步骤，第一个，用向量表示出来实际问题中既有大小又有方向的量。 第二个，通过平行四边形或三角形法则求向量的和向量。课堂到这里基本上接近尾声了，接下来我们做两道题来巩固练习一下，看大家这节课学习的怎么样。第一个，下列结论中正确的是 a、 b 和 d， c 大 小相同，方向相同，所以相等 a 选项正确。第二个 a d 和 a b 是 共起点至终点，所以 a c 二 b 正确。 第三个 a b 是 b d 和 a d 吗？ b d 和 a d 是 吗？不对。

今天要来学习的是人教 a 版必修二向量， 好，下面给大家讲第一个小短题，叫做转换基底，那么什么叫做转换基底呢？就是说题目给你的条件是 a 向量跟 b 向量，但是它要你求 c 向量跟 d 向量，我们可以用，我们可以把 c 向量跟 d 向量用 a 和 b 的 形式来表示，这个就叫做转换基底，能懂吗？我们直接来开始上题目。那么第一个题是二三年天津卷的高考题， 那么他说在三角形 a， b， c 中角 a 是 六十度，那么 a， b， c 角 a 是 六十度， 那么他说啊， bc 的 模长是等于一的， bc 的 模长等于一，那么点 d 呢？是 ab 的 中点， d 在 这 ab 的 中点。呃， e 是 cd 的 中点，那么我们是不是连接 cd 好？ cd， 那 么 e 点就在这。然后呢？他说射向量 ab 是 a 向量，那么这一坨是不是 a 向量， ac 是 b 向量，那么则 a e 可以 用 ab 表示，为什么？ 这个是不是就是转换基底？那么我们是不是先连接 a e？ 那 么很明显的我们可以看出来 a e 向量它是等于一个， 因为 a， 因为 e 是 c， e 的 中点嘛，所以它等于二分之一的 a， d 向量加上一个二分之一的 a c 向量。但是他说的是用 ab 向量表示，所以我们继续转换等于二分之一的。 呃，二分之一乘以二分之一的 a 向量，加上二分之一的 b 向量，对不对？化简完就等于四分之一 a 向量加上四分之一的 b 向量，对吧？这个很简单， 那么他说第二问，如果说 b f 等于三分之一 bc， 那 么我 f 是 不是 bc 上的三等分点 f 应该在这，对吧？他说 a e 乘以 a f 的 最大值，那我先连接 a f， 是不是求这两个向量的最大值？那么我怎么求呢？在讲这个第二问之前，我们先呃讲一个之后要学到的一个知识点，叫做鱼弦定力 啊，你做这个题就默认你知道，好吧？这个还没学，现在默认你知道这个叫鱼弦定力， 那么什么叫做余弦定点？呃，假如说这个是三角形 a b c 对 不对？这个是 c， 它，那么我 a c 对 的边是不是 b， 这个是 a 边，这个是 c 边，那么我就有 假设， a 是 等于一个 b 方加 c 方 减去一个 a 的 平方除以一个二 b c， 对 不对？那我把这个考三 a 放到这个题目中来考三 a 是 不是六十度？那是不是考三六十度 等于一个 b 方？是谁？是不是 a 的 摩擦？ a 魔方加上一个 b 的 魔方减去一的平方，对不对？除以一个二 a b， 那 么继续推导，我们可以推出来 a 魔方加上一个 b 的 魔方减一，它是不是等于一个？因为考三六度是不是等于二分之一？二分之一是不是刚好跟这个二可以抵消掉？它就等于 a 模乘一个 b 模， 对吧？这个是我们这个题要用到的，那我们继续来推，可以得出来什么？我，我把这个一移过去，那就是 a 模， b 模加上一个一，它是不是等于一个 a 魔方加上一个 b 的 魔方，对不对？ 那么我对这两个式子是不是可以用基本不等式，它是不是大于等于二倍？根号下 ab， 它是不是大于等于二倍的 a 模乘一个 b 模，对不对？所以我能得出来一个结论， 呃，一是不是大于等于二？二、 ab 减去 ab， 对 不对？所以说 ab 是 小于等于一的，所以 ab 它是小于等于一的。好，那么做这个题， 默认这两个结论会，好吧？默认你会啊。那么我们现在来看这个题，他说 a、 e 乘以 a、 f 的 最大值，那我是不是要把 a、 f 也通过那个方式表达出来？那么 a f 等于多少 f？ 它是 b b、 c 的 三等分点，对不对？那么就等于一个，呃，三分之二的 a 向量加上一个三分之一的 b 向量，对吧？这个很简单。 好，那么我求出 a、 e 跟 a、 f， 那 么然后再把它们相乘，对不对？那就是 a e 乘一个 a、 f， 它是不是等于一个 四分之一 a 向量加上四分之一 b 向量乘以一个三分之二的 a 向量？哎，不对，这写错了，是二分之一 b 向量 乘一个三分之二 a 项呢？加上三分之一的 b 项呢？对不对？那么我们化减， 化减，呃，是不是可以得到六分之一 a 方加上十二分之一 的 ab， 加上三分之一的 ab， 加上六分之一 b 的 平方，那么好，我们把它合并一下，合并一下，那么就是六分之一的 六分之一的 a 方加上 b 方，对不对？加上十二分之五 a 向量乘一个 b 向量。好，这是我们化解后的结果。那么后面我们怎么化解？ 我向量的平方是不是等于他们魔长的平方，对吧？那我继续把它 乘进去，我写成这样一个形式，加上六分之一 b 模的平方，可以吧？再加上十二分之五，那么 a 乘以 b， 是 不是可以写成 a 模乘以一个 b 模，乘以烤散六十度，对吧？烤散六十度，它是等于二分之一的，那么这一块就等于 二十四分之五乘以 a 乘以 b， 对 吧？那么继续化简， 继续化简，我是不是能够得到 a 魔方加上 b 魔方，它是不是等于 ab 加一，对不对？这是我们刚推出来的，那么所以它就等于 a 六分之一， 所以它是等于一个六分之一的 a 乘以一个 b， 对 不对？再加上一个一， 对不对？然后再加上二十四分之五， a 乘一个 b， 对 吧？这是化解后的结果，那么继续化解，它是等于一个 等于一个六分之，等于个二十四分之九， a 乘以 b 加上一个六分之一，对不对？那么二十四分之九是不是八分之三？也就是八分之三？ a， b 加上一个六分之一，它是不是求它的最大值？那么我是不是能用到基本不等式？已知 a 的 模乘以 b 的 模，它是小于等于一的，所以这个整体是不是小于等于八分之三乘以一加上六分之一，对不对？所以它是小于等于二十四分之三的， ok 吧？好，那么这个题就到这结束。 好，那么接下来给大家带来的是一个向量的万能间隙法，那么什么叫做万能间隙法？然后我们什么情况下去使用它呢？ 呃，我们知道向量，如果向量 a 乘一个向量 b， 它是不是等于它的坐标映算？是不是？ x 一 x 二加上 y 一 y 二，对不对？那么我们什么时候使用间隙呢？如果说题目给到你一个矩形， 对吧？九十度是很好间隙的矩形，正方形， 或者说 r、 d 三角形，然后的话是等边三角形，对吧？或者说有六十度，一百二十度的情况下，我们考虑间隙，那么现在我们直接来看这个题目， 他说在三角形 abc 中， ab 等于二，考三， b 减 c 乘一个 c 减 a， 它是等于一的，那么这句话是什么意思？ 三个口算相乘等于一，那么是不是证明他们的边是相等的，对吧？一乘一乘一才等于一嘛，对吧？那么就是 a 是 等于 b 等于 c 的，是等于二的， 对吧？ ab 等于二嘛？那么所以它们是边长为二的一个等边三角形，对吧？好，那么我们画一个三角形，这个点等边三角形，他说 p 是 三角形 abc 所在平面的一个动点，且 pa 等于一，好，那么 pa 等于一，那么你想到什么了？ 初中老师讲过的， p a 如果等于一，我们想到什么东西？是不是单位员，对吧？是不是单位员？那么我 p 点就在这， p 点就在这， 它是一个单位员，好， 哎呦，卧槽， p a 是 不是等于一？那么它如果是一个单位圆的话，我们怎么间隙？我们应该建在哪？我们应该建在哪？是不是建在单位圆上？ 为什么建在单位圆上？因为圆它是比较复杂的，如果说我们建在这个单位圆上，我们是不是能把啊圆的坐标都写出来，对不对？好，那么我们以这个单位圆去建立一个坐标系坐标轴，好吧， 那么我是不是可以写出来原上的所有的坐标？ p a 是 不是等于一？我是不是可以设 p 是 考算 c 塔算 c 塔，对不对？这是我们单位员一个规定吧？我们设 p， p 点 是考算 c 塔算 c 塔，对吧？然后瞄点，因为它是一个等边三角形，所以它的边长是二，那么我 c 点的坐标很明显， c 点的坐标是多少？是不是一跟三，对吧？ b 点的坐标是不是二零，对吧？那我要现在要求 p b 向量乘以一个 pc 向量，我是不是把它们的坐标都写出来，对不对？是等于一个什么？ 二减去考算 c， 它复算 c， 它， 对吧？乘上一个一减去考三 c 塔， 根号三减去三 c 塔，对吧？然后坐标它们的坐标运算是不是 x 一 x 二加上一个 y 一 y 二，剩下的是不是一段一顿狂算，对不对？那么我们现在开始化简，我们是不是 二减去一个考菜 cata， 乘上一个一减去考菜 cata， 加上加上一个负剩 cata， 根号三减去剩 cata， 然后就一步到位，直接化简，化解出来是 考三项的平方减去三倍考三 c t 加上两倍的 c c t， 平方减去根号三 c t， 好， 那么现在我们是不是可以用辅助角公式，对不对？那么是等于一个三减去 根三倍的 sin 加上三倍考三 sin theta， 现在我们用辅助角公式就是等于一个三减去呃，二倍根号三 sin theta 加上一个三分之派，对吧？那么化简到这一步，又因为 用因为这个肾，它的取值范围是不是属于一个负一到一，那么我直接把它带进去，对吧？ 当三 c 它等于多少的时候，它是取最小的，对吧？取一的时候是最小的吧？取负一的时候是最大的吧，对吧？那么我直接带进去就是，是不是三减去二倍根号三，三加上二倍根号三，所以这就是它的取值范围，能懂吧？ 好，那么接下来给大家讲的是一个投影的概念，那么什么叫做投影呢？哎，我设一个，这个项链是 a 项链，这个项链它是 b 项链，那么它们的夹角是不是 c？ 它 对不对？那么我如果说，呃，以 b 向量向 a 向量做一个垂线，那么我们说 b 向量在 a 向量上的 投影像量， 我说它是这一段， 那么为什么呢？我们怎么去算？那么我这个向量是不是可以用 b 向量乘一个 cos theta， 对 不对？那么 b 向量，哎， b 向量乘上一个 cos theta， 是 不是等于这一段？又因为它，如果 b 向量乘一个 cos theta， 它是不是一个值？那我再乘上一个 a 向量在它方向上的单位向量， 这是不是才是一个向量？ b 乘以一个考三 c 档，它是一个值，对不对？又因为这个 a 在 a 向 a 方向上的单位向量，它是不是一？但是我乘以一个向量之后， 才能求出投影向量吧？前面这个是值，我再乘一个向量，它才等于向量，对不对？那么我化简一下，是不是 b 向量乘上一个 cosine theta 怎么算？是不是 a 向量乘以一个 b 向量，再除以它们的模长， 再乘上一个 a， 除以 a 的 模，它是等于一个。然后我们化简， b 向量是不是可以约掉， b 是 不是可以约掉？然后就等于一个？呃， a 模的平方乘上一个 a， b 乘一个 a 向量吧，对不对？能理解吧？哎，这写错了，这是 b 模乘以 cosine c 的， 可以理解吧？那么当我 c 它是钝角的时候，哎，我这个是 a 向量，我这个是 b 向量，那么这个时候它的同一向量应该怎么算？是不是依旧是做垂线？ 但是这个时候它的投影向呢？是不是这一段它的箭头是不是反向的？它箭头是反向的，对不对？那么这个时候我说啊， b 在 a 向量上的投影向呢？是不是这一段能理解吧？也是一样的，也是一样的 啊？好，那么，呃，我们在做题的时候，他有时候会考，你就是 b 向量在 a 向量上的投影向量，但是他有些时候会写 a 向量在 b 向量上的投影向量。我们一定要分清楚这个题目的要求，那么投影向量我们一般怎么去使用它呢？哎，我依旧再画一个图， 再画一个图。好，如果说这个是 a 向量，这个是 b 向量 投影向量我们怎么去使用？那么这个是 c， 它对不对？好，我说这个是投影向量， 这个肯定没毛病，对吧？那么我 a 向量乘以一个 b 向量，是不是等于 a 模 b 模 摩摩乘以烤三 c 塔，对不对？那么又因为我们刚刚算了 b 摩长， b 的 摩长乘以烤三 c 塔，是不是等于一个这个数，对不对？ 那么我是不是可以把 a 乘以 b， a 向量乘以 b 向量，是不是可以写成 a 的 模长乘以一个 b 向量在 a 向量上的投影向量， 对吧？为什么？因为我们刚刚已经说过了， b 向量乘以一个 cosine theta， 是 不是就是这个投影向量， 对不对？ b b 向量乘以烤菜 c 塔就是这个投影向量。那么我把这个是不是可以看成 b 向量在 a 向量上的投影向量， 对吧？那么我们怎么运用呢？我们一般就是呃，动点往已知的向量做一个投影，就假如说我 b 点是动的，我 b 点不知道在哪，我 b 点是动的，我往已知的 a 向量上做投影， 那么我这个手求 a 乘以 b， 我 是不是可以把它呃写成 a 向量乘以 b 在 a 向量上的投影向量，对不对？好，我们现在直接看题目，他说已知 p 点是边长为二的正六边形。好，正六边形 也就是这个正六边形，它的边长是不是二？ 他说，呃， p 点是 a， b， c， d， e， f 内的一点， 那么 a， b， c， d， e， f， 那 么我假设 p 点在这吧，好吧， p 点如果在这的话，他说 ap 乘 ab 的 取值范围是多少？他求的是 ap 乘以一个 ab， 但是我这个时候我 ab 是 不是已知的？ 我是不是 ap 不知道在哪？他说 ap 乘以 ab 的 取值范围，那我是不是要讨论一个 ap 什么时候 ap 运动到在哪的时候是最短的？运动到哪的时候是最长的？我是不是要讨论这个？ 那我 p 点是不是动点？我是不是可以把它转换为 ab 乘一个 ap 在 ab 上的投影向量，对不对？我们刚刚已经说过了，那 p 点什么时候最长，什么时候最短呢？ 对吧？ ap 运动到，哎，我们刚说啥？我们刚说的是，呃， ap， 对 吧？ ap 乘一个 ab， 那 我 ab 是 不是已知的？我是不是要讨论 ap 的 长度，对吧？ a 讨论 ap 的 长度，也就是 p 点的轨迹，它什么时候最长，什么时候最短。又因为我们刚刚已经说过了，啥？ 我 a 向量乘一个 b 向量，就是两个向量相乘，可以转化为 a 向量乘以 b 在 a 向量上投影向量，也就是说，呃，未知的动点 往已知的向量上做垂线做一个投影，对不对？那我这个是不是也是一样？它求 ab 乘一个 ap， 我 ap ab 是 不是已知的，那么我 p 点往已知的向量上做投影，是不是这样 做投影，对不对？那我是不是现在要考虑一个 p 点运动到啊？哪个点的时候，他的投影相当是最长？哪个投影相当是不是最短？那么很明显，当 p 点运动到 c 点的时候， c 点这个时候 他的投影下呢？是不是他的投影是不是最长的？那么这个时候做垂线，他的投影是不是这一段了，对吧？很明显他的投影是最长的，那么等于几呢？等于几呢？我已知这个边长是不是二，那么这个是不是二？ 那我这个是不是一，这个是三，对吧？因为这个是三十度，这个是九十度，这个是一百二十度， 对吧？呃，这个我们初中学过了，正六边形，或者说是给了一百二十度的角，那么它的关系是不是一？一根号三，对不对？好，那么我很明显就能知道。 p 点最长的时候， ap 最长的时候， ab 乘以 ap 最长的时候，是不是运动到 c 点的时候？那么我往下做投影啊，它的投影向量是不是这一段？那么这一段是不是三， 对吧？那是不是等于二？乘一个三，等于一个六，这个时候也就是 p 点 在 c 点十，对不对？那么最短呢？最短应该怎么求 ab 乘以 a p 的 最小值，那么我是不是要讨论 p 点在，呃运动到哪的时候，它的投影向量是最短的，对不对？那么很明显，运动到哪 是不是 f 点，对吧？当它是钝角的时候，是不是最短的运动到 f 点，那么是不是这，对吧？然后往下做一个投影，那么这个时候它的投影线呢？是不是这一段 注意箭头，它的同向是不是这一段是不是一对？不对，那它的最小值是不是二乘以一个一，是不是等于二，对吧？也就是 p 点在 f 点时， 对吧？不对，这个 ap 我 刚说了注意箭头嘛，我现在这个写错了，它 ap 的 最小值是不是负一，对吧？因为它的箭头是不是往这边指的？往这边指它是一个负数，所以说是等于一个负二，所以说我的取值范围是一个 负二到六，对吧？为什么是这个区间呢？因为它说 p 点是呃六边形内的一点，它是属于一个内点，不包括 它是不包括边界的，能懂吗？所以说二根六它是取不到的，对吧？那么这个题我们是运用了一个投影向量的一个支点，它说求 ap 乘以 ab， 对 不对？又因为 p 点是动点， 那么我 ab 乘以 ap 是 不是可以转换为 ab 乘上一个 ap 在 ap 上的投影？那么我只要讨论呃，哪个时候投影最长，哪个时候投影最短就行了，对不对？好，那么这个题就到这了。 好，那么下面继续给大家讲一个题，他说如图， o 是 三角形 a b c 的 一个外星，他说 ab 是 等于四的， ab 等于四， ac 等于二，然后角 b a c 为钝角，角 b， 呃， b a c 是 钝角，他说 m 是 bc 的 中点。好， m 是 bc 的 中点，那么 am 乘以 a o 等于多少？ am 乘以一个 a o， 我 a m 怎么算？ m 是 b c 的 一个中点，对不对？那么我 a m 向量 是不是可以用中线定比，是不是等于一个二分之一的 ab 加上一个二分之一的 a c 向量，这个能理解吧？中线定比，那么也就是说 a m 乘以 a o， 我 是不是可以转化为啊？ a m 乘上一个 a o， 是 不是等于一个二分之一的 ab 加上 ac， 对 不对？乘以一个 a o， 能懂吧？那么然后我们怎么去求呢？然后怎么去求呢？ a o 乘以 a b 乘以 a c， 那 我再把它拆一下吧。我再把它拆一下吧。二分之一 a b 乘一个 a o， a b 乘以 a o， 哎，又是一个两两个向量相乘，那我是不是可以把它转换为投影？向量转化为投影，我一会试试，我还不知道你就 a c 乘以一个 a o， 对不对？ ab 乘以 a o 加上 ac 乘以 a o， ab 乘以 a o， 哎，那我是不是好像可以用投影，对不对？那我怎么用呢？也就是 ab 乘一个 a o 在 ab 上的投影，这个能求吗？哎，我这个弄过来是不是一个垂径定律啊？对吧？初中学过的， 垂进定里，垂进定里垂过去是不是一个中点？我坐过去肯定是一个中点，对不对？那么就很明显了。 那么 c， 那 么 o 点在 a c 上的投影呢？ a c 乘以 a o 是 不是也可以转化为 a c 向量？乘一个 a o 在 a c 上的投影？ 哎，那么我这个垂过去是不是也是一个中点，对吧？这是垂直的，那是不是等于一个一，对不对？哎，我把它分解一下， ab 乘一个 a o 向量，是不是可以转化为 ab 乘一个 a o 在 ab 上的投影， 对不对？也就是，呃，那么 a c 呢？乘一个 a o， 我 是不是可以转化为 a c 向量乘一个 a o 在 a c 上的投影， 对不对？那是不是等于二分之一？ a b 是 不是四乘一个 a o， 这个时候垂进过去是一个中点，是它的一半，是不是二加上一个 a c， a c 是 不是等于二乘以一个？哎，它垂过去是不是一也是中点，是不是等于一， 对吧？那他的值就是五吧，对吧？那么这个题还能用外心定里那一个结论就直接能秒杀，我们把它放在评论区，好吧， 好了，这个视频的话，主要来讲这个极化函数啊，以及他的一些基本用法啊。呃，首先你要知道什么是极化函数啊？比如说我现在将这个 ab 向量 把它给设成 a 项链，然后这个 a 大 项链，我把它设成一个 b 项链，那么这个 ab 项链乘以呃， a 大 项链，他们的这个数量机是可以转化为长度关系的，是可以转化为这个 a c 和这个 b 大 之间的一个长度关系啊。那么这个该如何转化呢？接下来我来给大家推导一下这个 a c 项链，对吧？我们可以将它给表示为 a 向量加 b 向量，那么我接下来我把它这个给他平方一下，就表示成长的，就是说这里也平方，然后他就变成了 a 向量的平方，加上 b 向量的平方，再加上的是一个二倍 a 向量乘以 b 向量的一个数量积， 那么我们以同样的方式再来表示一下 b 大 项链， b 大 项链的话，我们再根据平行四边形法则来表示的话，它就是 b 项链减 a 项链。然后接下来我们跟上面的操作一样，把它给同时给平方一下， 然后他下面就变成的是 a 向量的平方，加上一个 b 向量的平方，然后再减去二倍 a 向量，再乘一个 b 向量，然后我们不是要得到的关系是这个呃 a 向量跟这个 b 向量他们俩的数量局和这个 a a c 和 b 二的关系吗？那么对于这个两个式子的话，我们可以选择的话，就是通过一个作差来表示这个标为一式，这个标为二式，然后的话我们用一减二，那么就可以得到的是四倍 a 向量乘以 b 向量，也就等于的是 a c 的 一个平方，再减去的是一个 b 大 的一个平方，然后接下来我们把这个四位给他除过去，就可以表示出来了， 好，这个他的这个推导过程也其实不是很难吧。然后的话接下来我们再来看一种特殊情况，然后的话这个特殊情况的话可以把它给表示为，也可以说是三角形中的一个版本，对吧？然后的话，呃，我们来看一下这个记点，对吧？ 他是这个 ac 和 b 大 的这一个中点，然后的话我们可以将这个 ac 再表达一下，呃， ac 的 话，呃二分之一 ac 他 是不是就等于的是 ag， 对 吧？然后的话，呃二分之一的一个，呃 b 大， 他是不是也就等于的是一个 b g， 然后的话我把这同时给他平方一下， 它这个它这里是不是就直接转化过来了？所以说的话，这个 a 向量乘以 b 向量它的第二种表达形式，也就是说这个 a g 的 一个平方，再减去这个 b g 的 这个平方， 然后的话他考试中还会再出现一种情况的话，他就是说他会只故意把这前面的这给你改，他把后面的给你保留了，他也就说写成这样的一种形式，就是说 a 向量乘以 b 向量等于的是 a g 的 一个平方，再减去的是一个四分之一的一个 b 大 的一个平方，他还有可能会这样子去写的。然后的话这个基础知识差不多就讲到这里了，我们接下来看一道立体实战一下 好了，然后我们来看一下这个立体，这个立体的话他说的是这个等边三角形 abc， 然后他说的这个长度为二，然后 e 是 这个 b 大 的一个三等分点，然后 f 是 bc 的 终点，然后他最后让我们求的是这个 f e 和乘以这个 ec 向量，这个这个数量积。 好了，今天我们来看下这个立体啊，这个立体他说的是这个呃，三角形 abc 是 等边的，并且他们的边长为二，然后的话这个 e 是 b 大 的三等分点，然后他靠近的是这个 b 点，然后 f 是 这个 bc 的 一个中点，最后让我们求的是这个 fe 项链成形的这个 e c 项链的这个数量计。然后的话这个题我们该如何运用我们的极化恒等式呢？嗯，这个题的话我们要讲一下极化恒等式，它有个前提，就是说你这两个项链他们的这个起点必须是一样的，但是的话我们这个题 它的这个起点并不一样，对吧？但是的话我们只需要做一个小小的一个呃转化，就是说我们将这个 fe 项链，我们是不是可以直接把转化成一个负的 e f 项链，然后它的这个 出发点就是一样的，对吧？然后的话我们现在先来这样做一下，就是说跳过来了 fe 项链乘以的这个 e c 项链，它是等于的是负的 e f 项链，再乘以的是一个 e c 项链。 来，你们现在来看一下，这个已经表达出来了，他现在是一个呃同一个起点出来的吧？我们这里就直接运用我们的计划横能式，但是的话在这之前的话，我们要先做一个辅助线，就是说我们要去取取这个 f c 的 终点， 这终点取个 o 吧，然后的话把这个 e o 给他连起来一下， 然后超过就连成这个样子之后，我们接下来直接套用我们的几何函数，将它转化为的是一个呃 负的 e o 的 一个平方，然后的话再减去的是一个 f o 的 一个平方， 然后的话这个我们接下来看下这个长度，这个长度的话，呃，因为这个 f 它是终点，对吧？然后所以说的话这个 f c 的 长度它就是一了，因为它条件上给了这个呃边长为二，然后的话这个 f o 他 也就是顺利成就是二分之一了，所以说这个 f o 的 长度我们是有了，呃他的平方也就是一个四分之一。然后的话接下来我们要去找的就是这个 e o 的 一个平方，我们先把这里给写出来，他就变成的是一个四分之一减去 e o 的 一个平方，然后接下来的话我们就主要来算这个 e o 的 平，这个 e o 我 们该怎么算呢？ 这个 b 的 长度我们是知道了，对吧？ b o 的 长度我们也能知道，然后注意一下他这个是一个 等边三角形啊， b 大， 他又是个中点，所以说这个角他是三十度，我们直接运用余弦定律就可以把这个 e o 给算出来了，那么 e o 的 一个平方，他就等于的是一个 b e 的 一个平方，加上 b o 的 平方 减去二倍， b e 乘以 b o， 然后再乘以的是一个括号，乘以六分之二， 然后接下来我们只需要把这个长度给它算出来就行了，然后我们来看一下这个长度分别是多少，这个 b e 呃这个边长是二，对吧？然后所以说这个大 c u 是 一， 然后呢？这个 b 大， 他就是根号三了，对吧？所以说这个 b 的 长度是三分之根号三，因为这一点他是三等分点，然后的话所以说 b e 的 平方他就是呃三分之一， 然后的话 b o 的 话 b o， 我 们刚刚说的这个 off 他 是二分之一，对吧？然后因为这 o 是 中点，所以说这边也是二分之一，所以说整个 b o 的 话也就是呃二分之三，然后所以说 b o 的 平方的话就是 四分之九，然后再减去的是一个 b e 乘以 b o， 然后再乘以的是一个 cosine 三十度，它就是呃二乘以三分之根号三，再乘以的是一个二分之三，然后再乘以二分之根号三， 这里算出来来的话就是呃二分之三，然后把它给这下面来放下面来，最后的话算出 u 的 平方就等于的是一个十二分之十三， 然后接下来我们把这个给他反带回去，把这个十二分之十三带到，带到这里面来，最后我们就可以得到他这个最终是等于的是负的六分之五， 然后的话这个题的话也就是主要讲的是计划和能式的一个应用啊。好了，今天的课的话就讲到这里了。嗯，也是感谢各位同学的聆听啊。呃，祝各位同学在后面的学习中都学业有成。

高中数学五本书难度排名必修一，别看高一刚学集合式做的题很难，但在高考中集合题就是白给闭眼拿分，然后只对应函数、三角函数这些都是计算基础，但是要注意 知识点，基础不代表它简单。函数是高中数学的核心，必修一，学的要为后面的数列导数学习砥定基础， 性质多，公式多，出题，老师就爱在这挖坑。所以别光看开头简单，这本书整体难度我给到人上人必修二，一个字，砸！平面向量解三角形负数、立体几何，概率统计啥都有。很多同学空间想象能力差，学立体几何这块特别费劲， 但是等你熬到下一本书学完空间向量之后，立体几何难度就会直线下降。高考一道立体几何大题十五分点击就送，除了立体几何之外，这本书其他部分也都属于送分题，这要是还丢分，纯属上课天天睡觉啥都没学。所以整体难度给到 npc 选 b 一， 计算量天花板空间向量直线与圆圆锥曲线，每道题都能让你算满一整张草稿纸。 但是前两样虽然计算多，知识点本身比较简单，而圆锥曲线可就不一样了，不光知识点多，每个知识点还能给你变换无数个花样，动不动再加个动点求个对直。所以圆锥曲线这除了基础公式之外，不另外备点好用的二级结论，那可真的让你在考场上算到哭。 所以这本书整体难度妥妥的顶级。选 b 二，竖列加倒数压轴题钉子户这本书绝对是所有同学学的最费劲的一本高考压轴题，年年都从这上面出题， 基础竖列等差等比倒是很简单，但是一旦结合不等式圆锥曲线，直接难度天花板说的就是你。二四年新高考二卷压轴 导数就更别说了，一考就是融合了函数、不等式、数列等各种知识点，分类讨论复杂，构造技巧刁钻，对逻辑推理和运算能力要求极高， 所以这本书整体难度必须给到好选。第三，排列组合概率随机变量分布，看起来像送分，但其实非常容易翻车。 题型多，套路深，一旦考场上遇到没见过的题型，基本直接记排列组合这个部分，题型又多又碎，个个都像脑筋急转弯，想拿分，必须提前刷遍所有题型。 而概率这呢，本来是挺常规的，结果二五年新高考二卷压轴考了个和数列结合的巨难的创新题，所以综合来看，这本书的难度给到顶级。

哈喽，宝子们，大家好，我们今天来看一下平面向量的一道例题，这道题考察的知识点叫做向量关系，来推出几何关系，考察的主要内容为相等向量，我们看一下下面这个例题， 前两条呢是已知条件，第三条是需要我们证明的，给大家两分钟的时间自己做一下。好，我带大家分析一下这道题的解题思路。首先呢，他说 m、 n 分 别是 b、 c 和 a 的 中点，由中点我们可以得出数量关系，也就是 b， m 等于 cm， an 等于得 n， 但是它们互相之间可能不相等。第二个是 ab 向量等于得 c 向量，也就是 ab 向量和得 c 向量为相等向量。我们在下面具体写一下，有相等向量我们可以得出什么？ 首先由它的定义，我们可以知道相等向量为大小相等方向相同的向量，也就是说 a、 b 线段等于得 c 线段的长度，向量的方向是相同的。那第二个我们可以知道相等向量它是不是作为共向量的子集， 相等向量作为共向量的子集，那他就拥有了共向量的性质，那共向量有也叫做平行向量，也就是说明这两个向量是这两条线段是平行的，也就是说 ab 他 也平行于得 c。 由一二条我们可以知道，由相等向量我们就可以得出这两条线段它是既平行又相等。 ab 向量平行且等于得 c 向量，也就上方我给大家总结知识点，叫做由相等向量，我们可以得出两条线段平行 且相等来平行且相等我们可以得出这个四边形为平行四边形， 平行四边形，大家可以跟上吧，这是由相等向量我们可以得出的一些数量关系和位置关系。那再看一下他要求我们证明的是什么？要证 它是不是要我们证明 c n 平行且等于 m a， c n 平行且等于 m a， 也就是说这个四边形，它是一个平行四边形，也就是极正极正四边形， e n， c m 为平行四边形。那平行四边形，我们除了证明 c n 和 m a 这两条边之外，是不是还有另外一组对边？也就是要我们证明什么？ 是不？我们可以转战 a n 平行且等于 c m， 看一下这两条边是否存在平行的关系，是否存在相等的关系。好，我们带着这个疑问来解这道题目。在下方呢，我会给大家写出具体的解析步骤，也就是解 好。根据 ab 向量等于得 c 向量，我们可以得出所 ab 平行且等于得 c， 因为 ab 向量等于得 c 向量， 所以呢，我们就可以直接写出这一步， ab 向量平行且等于得 c 向量，进而我们可以得出四边形 abcd 为平行四边形。 由平行四边形的性质，我们又可以得出它的另外一组对边是不是也是平行且相等。也就是说 a b 和 c 的 它的另外一组对边是 a d 和 b c 平行且相等， a d 平行且等于 b c， a d 和 b c 平行且相等。 那由 a 的 和 b c 平行且相等，首先是平行 mn 是 不是在这两条边上？所以我们就可以得出 a n， 它是平行于 c m。 首先我们得出第一个叫做 a n 平行于 c m， 我们需要的一部分是不是已经求出来了，也就是这两条边平行，我们已经得到了，那下一步我们能否得到他们相等呢？根据 a 的 等于 bc， 我 们还知道什么，是不是第一条我们还没有用，就是 m n 分 别是这两条边的中点，中点的话， 这两条大的相等，他的一半是不是也相等？那我们这四条边就可以做相同的标记，也就是表明这四条边他们是相等的。我们在下边具体写一下， 叫做，因为 a 的 是不是等于 bc， 且什么 m n 分 别是 bc 和 a 的 中点， 所以我们就可以得出 c m 是 不是还等于 an。 综上这两条也就是即 c m 平行且等于 a n。 根据上面我们倒推 c m 如果平行且等于 a n 的 话，那么它这个四边形就是平行四边形，那么 c n 是 不是平行且等于 m a？ 我 们就正出来了，这道题就结束了，我们继续写下去。所以四边形 a n， c m 为平行四边形，它为平行四边形，那么它的另外两组一组对变，也就是 c n 和 m a 就是 平行且相等。这道题我们就得证了。 好，大家是否明白？如果有任何疑问可以在评论区留言到此呢？平面向量第一节的例题就已经讲解完毕了，如果前两个例题还没有听的小伙伴呢，可以到主页观看，我们下期再见，拜拜！