青岛高三数学立体几何找球心

球的体积是怎么推导的？这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。这球的体积，哎，他，他这公式长什么样？他怎么推导的？这没法直接讲，因为讲他之前要先补充一个非常古老的数学原理，叫祖更原理。这字啊 更，这文言文啊，说密室契童则机不容易，看不懂，咱们新中国人直接看翻译之后的句子。他说 夹在两个平行平面之间的如果有两个几何体，哦， arduino 是 两个平行的平面。他说这两个几何体当被平行这两个平面的任意平面所截时，比如说我在中间随意做一个新的面出来的话，若满足两个截面的面积总相等，这么像切片一样切出来俩平面吗？他说，无论中间这个平行，这平面你选在哪？如果这面积总是相等的， 我们整个两个几何体的体积必然相同。这说实话，这个其实蛮好理解的啊，你个几何体怎么构建出来的？是不是由一个一个面一点一点叠出来的，大家把它理解成一层一层的啊？如果每一层的面积相同，那你叠出来整个体积 必然也相同，这就叫祖公原理。他也给大家解释了啊，为什么我觉得这个棱台和圆台长得虽然不一样，但是能用同一套体积公式呢？如果两个台体上底面面积一样， 下底面面积也一样，那我同样高度来结的这个结面，因为这每一个面，它它是一个相似关系，比例关系是对应的，所以同样的高度的这个面，面积必然相同， 你每一层面积都相同，那我一层一层拼起来，它的体积就像体积一样，自然能用同一套体积公式。就这么回事啊，那但是这个学是学完了阻根原理，跟我们的球有啥关系呢？ 接下来费点力气给大家推导一下球的体积是怎么推导的。这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的，宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。 现在我要推导球的这个体积，那我不直接推倒一个球啊，我嘎一半推倒一个啊，半球体积我就乘以二呗，是吧？那这个半球我现在直接来求它体积，说实话，你得用微积分来做微积分，我会，你不会， 所以我另辟径，我现在在右边再画个圆柱出来，这个圆柱呢，底也是一个半径为二的圆，高呢，也是半径为二的这个高，所以大家可以看到，哎呦，这两个几何体啊，这个整体高度是不是也是 r 啊？所以它俩的这个高度是一样的啊。好，那我干一个什么事呢？我在这个圆柱里面，以上底面为底面，以下底面的中心点为 顶点，我挖一个圆锥啊，就是把这个圆锥的这部分给它挖空了，挖没了啊，就中间上面这一部分是空心的，这构造出来了，它有什么用呢？你看一下， 我现在用一个平面来截，就相当于我这这一个面来切这两个几何体啊，这个半球不用说，我这么一切像切西瓜一样，那我切出来的肯定是一个圆，对吧？你切西瓜切不出来一个正方形，肯定是个圆。那么问题是你这个新的几何体，我这么一切切完，它结面是个什么形状呢？ 大家想你如果没有这个圆锥，我没抠之前，我一个平面去截圆柱，那我这个平面肯定肯定是个圆无疑。但是现在我不小心，我又抠出一块吗？不是。那我这个面跟我抠出这个圆锥，它形成的。大家空间想象能力怎么样？是不是也会形成一个小圆面？ can you imagine that？ 画成虚线大家可能更好理解一点啊，这大圆，呃，后面那半段是看不见的，这小圆因为它整个都在我的体内，我整个就全都得画成虚线才行，现在再看舒服点没？说白了，我这么一切切完，它形成这个界面是一个圆环，对吧？那现在我们对比来看一下，一左一右这俩界面有啥关系？ 我说整个我这个结面到底面这个距离，比如说是个小 h， 哎，那我如果想求我这个半径，那根据勾股定律，这点到这点距离正好是这个 r 才对，所以这圆的小半径根号下 r 方减 h 方，有了半径呢？它的面积就是 pi 它的平方大 r 方 减 h 方，那回头我再算一算这圆环面积，圆环面积我就用大圆减小圆，大圆半径啥子都知道，你这圆跟上下底面是同一个圆，半径就是二，你关键要求出来这小圆半径， 这好不好求呢？就我求线段，我给你把线段放在三角形里面，我就这点这点连接一下，我发现这三角形你整个是九十度，它一半是四十五度，这还直角，所以它应该是一个呃，等腰直角三角形。那我整个这个高度呢？是同一个高度，是 h， 所以 你这是 h， 我 也是 h。 interesting， 大 圆半径大 r， 小 圆半径 h， 那 我圆环的面积就是 pi r 方，大圆面积减去 pi h 方，小圆面积就是 pi r 方减 h 方。 那么在我这个高度任意变化的过程当中，我发现，哎呦，你一左一右面积是同一个面积是一样的。那根据我们的祖公原理，你随便一截面积是一样的。那我整个一层一层叠起来，这个半球和圆柱挖完这个这个圆锥剩下的部分体积就一样。 我的体积。我会求的体积是，我用个割补法，是吧？整个大体级减去一个圆锥体积即可，大体级 pi r 方再乘以二，所以 pi r 立方。圆锥体积我先写一个三分之一， pi 底面积是，呃，是 pi r 方，它整个的高哦，整个的高是二哦，也能合并成一个二个立方， 一倍的减三分之二倍的 pi r 立方。但这不是我最后求的体积，我求的是半球，我最后还得把它乘以二。整个一个大球，体积三分之四， pi r 立方。一定要背下来，高考必考。 ok， 体积公式推导完了，半径为 r 的 一个球，体积是三分之四， pi r 立方。

无论是平面几何还是立体几何，见到最值问题都要先找动点的轨迹。自然锥 p a、 b、 c、 d 中底面 a、 b、 c、 d 是 边长为四的正方形 p d， a 等于 p b、 c， p d 垂直于 a d， q 为正方形 a、 b、 c、 d 内的一个动点 q a 垂直于 q p。 如果 p d 等于二，求三棱锥 q 杠 p b、 c 的 体积最小值，这 q 杠 p b、 c 底不好求，高更不好求。显然，如果用 q 杠 p b、 c 来求这题特别麻烦。我们应该换一种思路，原来的四棱锥 p 是 顶点，而且这里有垂直，看起来 p d 是 很像高的， 那么就可以把 q 杠 p b、 c 换成 p 杠 q b、 c 把 p 作为顶点。所以第一步就是要证明 p d 垂直于底面。要证明 p d 是 高，这就处理的高，还要处理底面积，就是要说明 q 什么时候 与 bc 形成三角形，面积是最小的。这题分两个大节奏，首先是总体，就是要把 q 杠 pbc 换成 p 杠 qbc。 其次就是两个大节奏。第一个研究高 已知了 p d 垂直于 a、 d， 还需要证明 p d 垂直于 d， c 在 同一个面内总是比较好正的底面是正方形， 有相等，这里还共用一条边。如果我们要证明了直角成立的话，就可以说明这两个三角形全等。既然直角和三角形全等它们之间有逻辑关系，我们就不妨尝试用全等来证明直角， 用全等来证明绕正的是直角，是不是需要通过边来证明？证明 p a 等于 p c。 而前面这两个三角形 p a、 b 和 p b、 c 中间有角相等，还有边相等是底面，这两个四还有共边。已知的它们两个全等肯定需要用上， 通过前面两个三角形全等证明后面两个三角形全等，这里是九十度，所以它也是九十度，都是九十度，可以证明出垂直，进而就说明 p d 是 高。第二大步研究 q 已知了这里垂直，见到了一个线段，上面有直角，这样线段的长度固定， 大家有没有想到圆呢？是不是初中经常用圆来做这种题，但是这是立体几何，圆就应该变成球， 所以 q 应该是在以 p a 中点为圆心，以 p a 长度一半为半径的球上。大概是这样的球，因为 a q 垂直于 p q， 所以 q 在 以 e 为圆心为球心吧。球心以 p e 长度为半径 的球上。现在已知了 q 的 一个面是这个球，还有一个面是底面，这只需要求出球和底面的交线肯定是一个圆了，对吧？球和平面，只要那么交，肯定是圆， 变成了需求出球和平面交线。交完以后的线是一个圆或者是圆的一部分， 先要找到圆心，中间的 e 是 球心，我们就通过球心向下面的结点做垂线。根据垂径定律，在空间力矩中的版本，也可以把它这么类比过来，应该是成立的。所以往下做垂直以后，这是底面的 中点，变到立体几何中是什么？如果是圆的话，当然是圆心，所以这里是 f， f 即为圆心 垂直推出圆心半径呢？在垂心定律的应用中，要求出半径，很多时候需要用到弦心三角形这里连上，这是弦心三角形， 这也是半径整个二四，所以是二倍，根号五，半径应该是根号五，它呢？它是二的一半是一，根号五一，另外一个应该是二。 此时说明 q 在 以 f 为圆心，以 f q 等于二为半径的圆上运动，画出单独的平面图。 显然 q 在 最上面时面积是最小的，中间这里应该是二，这里是四，所以面积就是二乘四，除以二为四， 高已知是二。最后是求三棱锥再锥双棱是要除以三三分之八。感谢大家的收看！

现在外界球的大招给大家准备好了啊，给大家分享一下。分为两个模型，第一个大模型就是补体法，补体法就是咱们常用的正方体、长方体啊，四棱柱，棱柱这些都不是常见的，然后用他们的这个 体对点线来代替这个外接球的直径。第二个就是咱们找球心，找球心这一块你可以用，嗯，汉堡模型是吧？柱体的，然后锥体的，斗笠模型，然后还有什么？还有咱们那个 这叫一个张嘴的鳄鱼模型，还有一个垂面模型啊，这些模型你要熟练啊，需要的可以直接私信我。

有粉丝表示，最近的例题几何真是越来越难了，那么能用空写思维讲一下这道最直类的压轴小难题，当然可以不仅讲，而且讲两种方法，解析的方法，几何的方法都给你讲清楚。 ok， 那 咱们先来看一下题目条件啊，它呢，是给了这么一个半圆 a， d 点， o 呢是圆心， a， d 是 半圆的直径和一个矩形， a， b， c， d。 并且呢，知道半圆面和曲斜面是互相垂直的，还给了一些长度， ab 等于一， ad 等于二， 因此呢，半圆的半径等于一， m 在 半圆弧上是一个动点，点 n 在 线段 ac 上是另一个动点，并且知道 m n 的 长度等于一。 好。最后的问题说，当直线 m n 和平面 ab 所成角最大的时候，就是这条直线和底面线面角最大的时候，证明 a， c 垂直， m n 这两条线互相垂直。 ok， 那 么这样一道题目，我相信啊，在考场上，大部分同学还是会选择间隙的方法，相对比较稳定。那我就先讲间隙的方法。这道题呢，有面面垂直，有一个曲线，所以呢，坐标系相当好，见以 a 为圆点， a， b 呢是 x 轴， a d 是 外轴，这轴呢，随便画一个好。那么这样以来， a、 b， c， d， o 所有定点的坐标全都非常容易写出来，不着急用到哪个咱们再写就可以。接下来呢，咱们先看一下两个动点 m 和 n。 那么既然是研究，最迟咱们还是先分析一下这道题有几个自由变量，哎，非常明显，只有一个，虽然呢， m， n 都是动点，但是呢，有一个限制， m n 等于一， 因此只要 m 的 位置确定了，点 n 的 位置也就确定了，这道题呢，只能有一个自由变量， 所以呢，这道题最终一定是一个单变量函数的问题。 那接下来呢，咱们先把 m n 两个动点的坐标给它设出来 来。咱们呢，先说点 m， 它呢在一个半圆上运动，那么此时呢，可以引入一个角，比如说把角 a o m 设成 c 塔，用这个角表示出 m 的 坐标完全可以。但是我个人呢，还是更喜欢第二种设法，就是呢，直接设两个字母 啊，这道 m 在 y o z 平面上横坐标一定为零，可以把坐标设成是零 m n。 那 么因为这道题呢，只有一个自由变量，所以设出两个字母，两个字母之间一定有等量关系，也就是点 m 到远近 o 的 距离等于半径等于一，点 o 的 坐标呢，应该是零一零， 那么 m o 等于一，就是 m 减一的平方加 n 方等于一。就是呢，根据我的经验哈，在例题几何问题当中，圆上的动点这么设坐标计算往往会比较简单。 那么接下来点 n， 它在线段 a c 上点 a 呢是圆点啊，点 c 的 坐标应该是一二零，这个呢就是标准设法。 咱们呢，设 a n 向量等于 t 倍的 a c 向量， t 呢，应该属于零到一，这个呢，我就不写了。 那么因为呢，点 a 是 圆点，所以点 n 的 坐标就是点 c 的 坐标，乘上 t t 二 t 零 啊。然后呢，引入了一个新的字母，那就得加上这个字母满足的方程，也就是 m n 等于一，对不对？ 来吧，这两点间的距离等于一，那就是 t 的 平方加 m 减二， t 的 平方加 n 方等于一 啊。这个地方呢，字母比较多，咱们先消去一个字母，这一道呢，这里既有 m 方，又有负四 t， m m 是 不太好消去的，所以把这里的 n 方换成是一减去 m 减一的平方， 也就是呢， t 方加上 m 方减四 m， t 加四 t 方，再加上一减去 m 减一的平方，一减去 m 方减二 m 加一，它等于一两边的一呢，就约掉了。这个式子呢，应该是 t 方 m 方和负 m 方约掉啊，加四 t 方，这里应该是五 t 方，然后呢，减去四 m t 加二 m 减一等于零，有没有问题？ ok， 那 条件都表示好了，再来看最终的问题，要证明呢， a c 垂直 m n， 咱们呢，先把目标给它写出来， ac 向量呢，应该是一二零 m n 向量 n 点坐标减 m 点坐标 t， 二 t 减 m 负 n 啊，所以呢， a c 项链点乘 m n 项链就应该是一乘 t 加上二倍的二 t 减 m 零乘负 n， 这个就不写了，所以就是五 t 减二 m。 咱们的目标就是证明这个式子等于零，有没有问题？ 好，然后呢，来看这个条件，线面角最大。那 m n 向量刚刚呢，已经写过了，平面 a b c d 就是 x o y 平面，所以呢，这个平面的以个法向量 零零一啊。然后呢，咱们把这个线面角呢，设成十 c 塔，那么这样以来， sin c， 它就应该是 m n 向量和法向量所乘角余弦值的绝对值。 来，这两个向量点乘零乘 t， 零乘二， t 减 m， 没有了。一乘负 n 应该是负 n 加上绝对值等于 n， 然后呢，这个向量的模长等于一 m n 向量的模长。题目说了啊， m n 也等于一， 所以呢，三 c， 它就等于 n， 因此想让线面角最大，就是让正弦最大，也就是让 n 最大，对不对？ 那么接下来 n 怎样才能最大呢？哎，各位同学，咱们呢，回到这两个限制条件上，分析一下这道第二个限制条件没有 n， 所以呢，咱们先看第一个条件， 你看，从第一个条件来看，想让 n 最大，其实呢，就是得让 m 减一的平方是最小的，对不对 啊？然后呢，回到这个式子上，这这个式子呢，可以看成是一个关于 t 的 二次方程，你想让这个方程有解的话， d r t 必须得是大于等于零的，那根据 d r t 大 于等于零，就能把 m 的 范围给它求出来了 来。具体来讲，这个 delta 呢，应该是负四 m 的 平方，十六 m 方减去四乘五二十倍的二 m 减一大于等于零 啊，解一下这个不等式，先同除四四 m 方减五倍的二 m 减一减十 m 加五大于等于零。先解一下对应的二次方程，二 a 分 之负 b 加减根号下 delta 一百减四 a， c 一 百减八十八分之十加减根号二十二倍根五，四分之五加减根五。所以呢，这个 m 算出来，小于等于四分之五减根五。 或者呢，大于等于四分之五加根五。好了，跟同学，那 m 的 范围就有了，那 m 的 范围有了，咱们呢，再来看 m 减一的平方，为此呢，可以先把 m 减一的范围求出来， 来这里减一小于等于四分之一减根五。 或者呢，大于等于四分之一加根五。然后呢，可以把 m 减一看成 x， 这个地方就是 x 的 平方，画一个 y 等于 x 方的图像， x 的 范围小于等于四分之一减根五，大于等于四分之一加根五 啊，四分之一减根五的左侧和四分之一加根五的右侧，那么很明显，想让 m 减一的平方最小 m 减一，就应该取四分之一减根五，对不对？ 那么此时呢，这个 n 应该是最大的。好了，算到这里呢，其实对应的什么 m， n， t 想算的话全都能算出来，但是也没必要，为啥呢 啊，这道题呢，最终是要证明五 t 减二 m 这个东西等于零就可以了，对不对？那现在来看一下，所谓的 m 减一等于四分之一减根五，其实就是这个地方的 derta 等于零。 来，各位同学啊，以个二次方程的 derta 等于零，说明啥？ 你想二次方程的解呢，应该是二 a 分 之负 b 加减根号单调单调等于零，那么二次方程的解就是负的二 a 分 之 b， 对 吗？所以这样一来，咱们就可以把 t 给它解出来了，因为单调等于零，所以 t 呢就是负的二 a 分 之 b 二乘五分之负四 m， 也就是一个五分之二倍 m， 那 把这个东西代入五 t 减二 m， 二 m 减二 m， 当然等于零，因此 a c 垂直 m n， 这个就正出来了，看懂了吗？ 好的，这个呢，就是间隙的方法，其实呢，还是自由变量加限制条件那套分析方法，先从几何上分析出来，只有一个自由变量，那么接下来设坐标的过程当中， 每多出一个新的字母，就得多引入一个方程，然后呢，均匀这些方程，找到取最大值的条件就可以了。 ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下几何的方法，几何法能更容易的让大家看清楚这道题的本质，为啥角最大的时候一定是垂直的？ 那使用几何法呢？处理线面角，咱们呢，得先把线面角给它做出来，对吧？啊，考虑到呢，有面面垂直，咱们呢过点 m 做 a d 的 垂线， 垂足呢，是 h 把 n h 连起来，那因为面面垂直，所以 m h 也垂直底面， 那么这样以来，角 m n h 就是 直线 m n 和底面所成的这个角，来把这个直角三角形单独画出来 啊，这个角呢，记作 theta 就是 线面角。那么在直角三角形当中，角 theta 的 正弦，其实呢，就是 m h 比上 m n， m n 呢是等于一的，所以呢，想让线面角最大，只要让 m h 最大就可以了 啊，咱们呢，把这个 m h 设成 x， 那 么接下来的问题是， x 怎样会最大呢？ 来这个问题呢，如果一下子想不清楚，依然可以使用反推的想法，就是我先假设，比如说啊，我先假设 m h 取在这个半径处， 哎，看上去呢，是最大的，此时呢， m h 等于半径等于一，那么 m h 真的 能等于一吗？哎，不行，因为呢，这道题有一个限制，叫做 m n 得等于一， 你看这个 m n 肯定是大于 m h 的， 如果 m h 都等于一， m n 的 长度超过一，这个就不对了，发现了吗？啊，所以呢，从这里我就发现了，关于 m h 的 限制到底是什么 啊？是这样的啊，咱们呢，设 m h 等于 x 啊，然后呢，把这个 x 给它固定下来， 也就相当于呢， m h 是 两个定点，那么此时当点 n 在 线段 a c 上运动的时候， m n 的 长度会有一个范围，而这个范围当中必须包含一，这样 m n 才能取到一，对不对。那么换句话说， 就是此时呢， m n 的 最小值得小于等于一，同时小于等于 m n 的 最大值啊， m n 的 最大值大于等于一，这件事情一定可以成立，因为你永远可以让点 n 趋于点 c， 就是你看，当你的点 n 趋于点 c 的 时候，那么 h n 的 长度会大于 cd 的 长度，也就是大于一，对吧。所以呢， m n 的 长度大于 h n 的 长度当然会大于一，右边是没问题的， 所以这道题呢，真正的限制应该是 m n 的 最小值小于等于一。那么各位同学， m n 何时最小呀？ 你看 m n 呢？在这么一个直角三角形 m h n 当中， m h 的 长度是固定的 x， 所以 想让 m n 最小，其实呢，就是让 h n 最小，对不对？ 那 h n 最小就很简单了，点 n 是 线段， a c 上的动点 h 是 一个定点，所以只要让 h n 垂直 a c 就 可以了。 来看同学，那么 h n 垂直 a c， m h 垂直底面 m h 也垂直 a c， 所以 这样以来， a c 呢，就垂直平面 m h n， 因此 a c 当然会垂直 m n 这条尺线。发现了吗？ ok， 那 这个结论呢，其实就出来了啊，所以呢，这道题的本质其实呢，特别简单，来再给大家梳理一下， 就是你想让这个角最大，就是让 m h 是 最大的，而因为 m n 的 长度固定，所以 m h 最大，就是 h n 最小。 而不管 m h 运动到什么地方， h n 最小，都是 h n 垂直 ac 的 时候，而只要 h n 垂直 ac 一定能推出 m n 垂直 ac， 听懂了吗？ 那么接下来呢，出于严谨起见，大家呢可以把这个 m h 具体的程度再给它算出来，就是还是让 m h 等于 x， 然后在 h n 垂直 a c 的 情况下，把 h n 用 x 表示出来， 然后呢，勾股定律 m n 等于一，就能得到一个关于 x 的 不等式，把它解出来就会发现确实是垂直的时候，这个部分的计算和间系呢差不多，就不给大家仔细算了。 ok， 好 的，那这道题就分享到这里。

嗨，朋友们，我们一起来看一下二零二五年新高考一卷的第十七题啊，那么这道题的话，整体上第一小问是送分的啊，那么第二小问是比较新啊，并不是比较难啊，所以我们来一起看一下这道题到底怎么回事。那么第一小问的话很简单，让你去证明面面垂直，那我们想要证明面面垂直，那咱是不是要证明线面垂直？ 来看一下题目中给你的条件，他说 p a 垂直于底面，那 p a 垂直于底面，那 p a 垂直于底面里边所有的线，那意味着 p a 和 a、 b 是 不是垂直的？那 p a 和 a、 d 是 不是也垂直的？ 好，我们先把这条线放这，接下来我们看第二个条件，它又告诉你 a、 b 垂直于 a d， ok， 这不就够了吗？那此时你会发现 a、 b 垂直于 a d， a b 垂直于 p， 那 意味着 a、 b 又垂直于面 a、 p d 啊，这个条件没写全啊。好，那 a、 b 垂直这个面，那 a、 b 是 不是又在面 p a、 b 里面啊？所以就会有面面垂直啊？第一小问咱就不写了，主要我们来看一下第二小问， 那么这第二小问， pa 等于 ab 等于根二，然后 a d 等于根三加一啊， bc 等于二，那给了这么多长度，而且我们前面有垂直，那这种题的话，就是最无脑的办法就是解析 x、 y、 z 啊。好，问题，他说 pa、 b、 c、 d 在 同一球面上 设该球面的球心为 o。 好， 那么这种外接球的问题，我们在哪见的比较多呢？是不小题里面见的多，他出到大题里面确实让人啊，这个脑子比较疼，那么他要确定球心，我们在小题里面去确定球心怎么去确定呢？是不是找两个面的外接球的外接圆的圆心做垂线， 但是你会发现他给的这个面啊， p b， c 啊， p c， d 这种面，你会发现这个球心的位圆形的位置没法确定，那焦点更无法确定啊，所以这个题啊，就让很多同学比较头疼，因为我们一直是按小题的思路去做，但是如果我们把戏建到这，那咱能不能换一个思维， 我们把 o 点给它射出来，那我们把 o 点射出来之后，我们利用 o 点到 p 点距离， o 点到 b 点距离， o 点到 d 点距离，距离是不是相等，全部都是半径，我们利用这样的关系把这个 o 点坐标能不能截出来 好，理论上是 ok 的 啊，所以我们接下来要干的事情， c 已经建好了，这个点我们标一标啊，首先设 o 点为 x， y， z， 第二个是吧，所以 p 点坐标就是零，零点 好， b 点坐标，因为 ab， 它是不是等于这样啊，所以 b 点坐标就是根二数零零好，也简单。接下来看 c 点坐标， 那么 c 点它在这 bc 的 长度等于二，哎，所以我们 c 点坐标应该是根二二零好， c 点我们也搞定了，接下来就是 b 点，那么 d 点的话，你会发现它告诉你 ab 的 长度是根三加一啊，所以 d 点坐标就是零，根三加一 零好，现在我们把所有的点给它搞出来了，接下来我们要用这个关系啊，那 o p 的 平方好，我们写上 o p 的 平方，也就是 x 方加上 y 方加上 z 减根二的平方好，接着写啊， o b 的 平方，它等于 x 减根二的平方加上 y 方加 z 方 好，继续，那 o c 的 平方就等于 x 减根二的平方加上 y 减二的平方加 z 方，然后 o d 的 平方 就等于 x 方加上 y 减根三减一的平方加上 z 方来分列标上一二三四，好，接下来我们观察一下这个式子啊 处理先连立哪两个式子啊？能算出来其中一个结果呢？你会发现二号和三号，这坨和这坨相同，这坨和这坨相同。那么半径啊，这不用说了，所以我们连立二号和三号，我们来看一下第一个连立二三 二三好，那么连立二三之后我们就会得到这个 y 方等于 y 减二的平方好。那么正常开方之后是不是出现绝对值？ 那他俩你说相等有没有可能哦？不可能呀，因为他俩相等的话，我们就得到 y 等于 y 减二，这不就完蛋了啊，所以他俩肯定是啥是相反的，所以我们就会有 y 等于负 y 加二，那 y 是 不是等于几是一好， y 等于一了，那后面就好解决了。接下来我们搞一下啊，我们可以搞一下这个 一号和四号啊，因为一号和四号这个 y 值咱是知道的啊，所以我们搞一下一号和四号啊，连立 一号和四号，那么连立一号和四号之后我们就会得到。哎，这个你看 x 方 x 方啊，这没了吗？对吧？ y 我 们把值给它扔进去啊， y 的 值扔进去 就会得到一加上 z 减根二的平方啊，等于好，下面负根三的平方加 z 方 好，稍微整理一下，就是一加 z 方减二倍的根二， z 加二等于三加上 z 方 好，所以我们给他一划减，发现 z 刚好等于零，那写到 z 等于零，我们其实这个第二问的第一小问，那 o 点肯定是在平面 a b c d 上啊，所以这个已经证明完了啊，但是我们要做第三小问的话，那咱是不是还得要再算一下啊，因为还差一个值嘛？ 好，接下来我们继续啊。呃，这个数其实随便了啊，你联系谁都可以了，比如说我们连立一二啊。 好，我们连立一二，那么连立一二，我们现在知道这个 x 方加上 y 方加上 z 减根二的平方啊，就等于 x 减根二的平方加上 y 方加上 z 方， 然后我们把知道的值啊给它扔进去，比如说 z 啊，它不是等于零吗？对吧？好，然后这个 y 是 不是等于一，这 y 方其实都已经化了啊， z 等于零啊，那我们解出来这个 x。 好， 这个算，你自己算出来啊， x 也等于零，那么 x 等于零，那我意味着 o 点的坐标是不是有了，就是零一零？ ok， 那 写到这最后一小问，不就是手拿把枪的事情了吗？啊， 来，我们把它放到一边啊。好，最后小问他让你去求直线 a c 和 p o 所成夹角的一圈值啊，那么 a 点坐标零零零零零，那么 a c 向量 so easy 是 吧？ 啊，就是根二二零，然后让你去求 p o 向量啊， p o 向量更简单了啊， o 点已经出来了， p o 向量就是零一负根， 所以求它假角一全值。 cos c 塔啊，就直接写了，是不是 ac 向量乘以 po 向量除以 ac 向量的模，乘以 po 向量的模加角值啊？所以下面二加四，六跟六啊，再乘以 po 啊，就是 二加一啊，三跟三好，上面它俩一乘啊，就等于二，对吧？所以我们整理一下，就等于 三倍的根二分之二啊，约下就是三分之根二完了啊，所以这个题啊，也不算难啊，可能大家在理解的时候有点小问题，那几何法我们今天就暂时先给大家不讲了， ok。

很多同学一提到外接球，内接球立马崩溃了，但是显哥说，一定要知道球心怎么去找的，我们往往都是放到一个直角三角形当中，你找到球心了之后，然后在勾股定里算，不就完了吗？比如我们先来一个非常简单的例子， 正方体，他的外接球，球心在什么地方？外接球的半径是多少？就是啥意思呢？正方体、长方体，他的体对角线，这个结论都知道，我们看一看他为什么呢？ 为什么呢？你肯定知道为什么，对不对？为什么的话，当然是非常非常简单的了，为什么呢？因为我们找到底面的外心，底面的外心当然就是长方体的中心， 我们再找到一个侧面的外心，当然就是他的中心，我们从这往上做垂直， 我们从这个地方啊，往这做垂直，那当然这个中心就是长方体的中心，长方体的中心就是他的球心了， 能听懂吧？那所以，所以体对角线啊，体对角线就是球的直径，当然由对称性可知也可以。所以长方体、正方体的体对角线就是外接球的直径，就等一个根号下， a 方加 b 方加 c 方， ok， 所以 我们今天这节课不讲结论，不讲结论，我们基本上每道题都给大家说一说，包括正方体、长方体，他也是啊，就是你得知道他为什么球心在那个地方。来，我们先讲一道题，他说在平面四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d， 这是显然的， 然后呢？ a、 c 和 b、 d 交于 o， 而且 a、 c 和 b、 d 是 相互垂直的，然后呢？他说 a、 c 和 b、 d 是 垂直的， o， a 等于一，然后呢？这个 o、 c 这是一，然后 o c 等于二， o b 等于二， o d 等于二， 然后减去 o、 c、 d， 这个啊，这个三角形把这个三角形剪掉了，然后呢？呃，将三角形 a、 o、 d 沿着 o a 折起来，就这样折喽。 然后呢，我们再把这个 o、 b、 c 沿着 o b 翻折起来，使得 b 和 c 重合于 p。 然后呢，问 p a、 o b， 它的外接球的表面积是多少？它把 c 点沿着 o b 这样折起来了，它把 d 点沿着 o a 这样折起来了。是不是你翻折过程当中，这个三角形是直角，三角形，它永远不变， 这个三角形是直角，三角形，它永远不变。所以你翻折上去之后，那么这个，这个，这个 po 它是垂直于底面， 听懂了吗？ po 是 垂直于底面的，那也就是说我还画这个图吗？不太想画了呢啊，大概画一小下，对吧？你应该能给我提前想象出来啊，提前想象出来，这张是 o b， 这张是 o a， 然后呢，这个地方是这样的，然后呢，他们这个地方是 p 点，对吧？应该是没有问题，这呢是个 p， 然后呢，这个地方就应该是这条线， 然后这呢是这条线，大概画完之后，是，画完之后大概是长的这个样，对不对？所以应该是非常简单，非常简单题目了。那么这个地方就应该是 o 啊， p 是 谁呢？ p 既是 c 又是 d， 因为 c、 d 重合在一点是它，然后这个地方是 b， 这地方是 a， 所以 这个角是直角，这个角也是直角，这个角也是直角，那这就说明 o a， o b， o p 两两垂直 啊，他只是说的特别深奥而已，又是翻折又是什么？那么这个地方的外接球是不是我们就应该是把它放到一个正方体里边啊？放在一个长方体里边，或者说啊，是不是啊？因为这个长度是二， o a 的 长哦， o a 的 长度是一， ob 的 长度是二，那么这个 oc 或者 o d 呢？ oc 和 o d 都是二，所以他的外接球和对应的长方体的外接球是一样的，他实际上就是一个强角四面体， 那他所对应的长方体，他为什么他放到长方体里边？他的外接球和长方体的外接球是一样的，因为四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点正好是对应的长方体的顶点，所以我们假设这地方是 a， 我们假设这辆是 b， 我 们假设这辆是 c， 所以 它的外界球的直径就应该等于根号下 a 方加 b 方，再加 c 方，等于根号下四。加一，再加四就应该等于根号加九是三， 所以二的话就应该是二分之三，所以它的表面积就应该是四。派二方四分之九，所以答案是九个派，所以这是最最简单的题目了， 应该能想得到吧。啊，就是把它想成一个长方体就可以了，因为为什么把它想成长方体，就应该是放在这个位置。给大家画一画你就明白了， o a o b， 我 们字母的顺序不变，你看这辆是 o b， 对 不对？这辆是 o a， 这辆是 o p， 看到了吗？这辆是 p， 这辆是 b， 这辆是 o， 这辆是 a， 所以这四个点确定四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点恰巧正好是长方体的顶点，所以他的外接球和长方体的外接球是同一个，所以把它想成 a， 把它想成 b， 把它想成 c， 就 可以了， ok， 所以 这是第一道题，非常的简单。我们再看第二道题， 第二道题他说在三棱锥当中，四个顶点分别在球面上，那么 pa 等于 pb 等于 pc 等于四， 然后呢， ab 等于 bc 等于二， ac 等于二根三，问球的表面积是多少？这道题也是非常简单的一道题。首先这个地方用到了我们深挖教材课本上的一个结论，他说 pa 等于 pb 等 p c。 那 当然，我们要想找球心的话，我们必须得知道底面的外心在什么地方，底面是是一个什么三角形呢？又，因为你幼儿园毕业了，你对数特别敏感，你看二二二跟三， 所以这个底面呢，是一个一百二十度的等腰三角形。那么大家思考一下， p a， p b， p c， 那 你说 p 点在底面投影是谁？ 这个地方很关键，积累知识，积累知识啊，如果不积累这个知识，这道题很难想。 ok， 所以 我大概给大家画一画你，嗯，我想想怎么画啊，啊，我们想想怎么画，就这样画吧， 对吧？你好好的思考一下，好好的思考一下，我们大概就这么画， 就是由于底面呢？它是一个啊，一百二十度的等腰三角形， 对吧？一百二十度等于上行。然后呢，屁点在底面上的投影呢？他应该是落到了 外面，因为为什么落到了外面呢？就是因为他的外心，外心底面上的外心应该是在外面的，所以这辆是个屁，所以这辆是 pa， 然后这辆是 pb， 然后呢？对吧？这辆是 p c。 要会画图啊，这辆是 p c。 好， 大概能明白了吧。然后呢，这个地方是 b a b， 然后这辆是 a c， 然后这辆是二，这辆是二，这辆是二根三， 所以这个地方是 o 一， 这呢是 o 一， 所以说白了就是这个锥有点歪，有点歪啊。好，那么再大家再想一想，他又告诉我了， pa pa 等于 pb 等于 pc， 是 不是说明这个 po 一 垂直底面，你能想明白不？ 浙江用到了一个小结论， p a 等于一个 p b， 这是我们新华教材上，也是我们课本上扣元体。 p a 等于 p b 等于 p c， 说明 p 在 底面上的投影， p 点在底面上的投影 围什么形围？三角形 a b c 的 外心，需要解释不？需要解释，不 pa 等于 p b 等于 p c， 那 么 p 在 底面上的投影就为三角形的外心，那也就是说 poe 是 垂直于底面的， 那 poe 垂直于底面的话，那大家思考一下球心在什么地方？那球心当然是在这个地方了，某个点上， 就是在这个提高的某个点上。所以这个结论是非常简单的啊，你看 p 到底边的距离。假设这张是 o 啊，投影啊投影，由于 pa 等于 pb 等于 pc， 所以 这三个三角形是全等的。 这三个三角形全等的哪个三角形呢？就是 p a o， 然后全等于三角形 p 啊 b o 全等于三角形 p c o 这个问题吧，因为公共边是 po 啊 p 的 投影 p o， 然后呢，这个这个斜，这这三个边相等的，那所有边都相等 s s s， 所以 我们就能够推出 o a 等于个 o， b 等于个 o c， 所以 o 为外型， 明白了不？那所以这道题你先知道这个小小问题才可以。那你想一想，那既然 po 一 它是外，它的投影是外型，那就说明 po 一 是垂底面的 pu 一 垂直底面的话，又因为我们刚才说了球心在哪地方？球心就是在他的外心往上做垂线上，所以球心是在这个高上面的某一点上，哪个点极等分点没有结论。 那所以我找到球心了，我勾五定零就可以了。我，那往哪勾啊？对不对？我往哪勾？我做一个直角三角形，我们做这个红色的直角三角形，大家可以看，就他 应该用虚线，我们做这个红色的直角三角形就可以了。他，然后呢？还有他 啊，这个这个大概能能想明白不？我这个量画实线了啊，不然的话你看不太清楚这他，那首先这个 o a 他的长度是半径，然后呢，这个 o e a 当然就是半，就是底面的半径，底面外接圆的半径，当然就应该是二， 就是我们记作小二就应该是二，他为什么小二是二呢？就是因为这是个等，这是个等边。这样行，这是六十度，因为这个整个的角是一百二十度，这个角是六十度， 六十度的话，那现在这是个等边啊，或者说用正弦定律，正弦是三十度，然后呢，二二等于一个二，比上一个乘三十，正弦定律也是可以的。那所以二点二， 那我们这个 o 一 怎么算呢？ o o 一， 由于 o 是 球心，所以 o p 是 半径，所以我们得先算出 po 一 来， 算出 po 一 来之后，然后呢，这个 po 一 就应该等于个提高减去一个半径，对不对？那这个 po 一 怎么去算呢？由于这个长度是二， 对不对？然后 p b 的 长度他是四，他告诉我了，所以 p o 一 的长度我们就能够算出来，等于根号下 p b 的 平方减去一个 o e b 的 平方，那 p b 的 话，就应该等于根号下十六，再减去一个四，等于根号下十二，三是十二根三， 没错吧？所以这个地方就应该是二根三，所以这个 o o 一 o o 一 的长度，它就应该等于一个整个的提高。二、根三减去个球的半径， 对不对？因为这个地方是球的半径吗？所以在这个红色的直角三角形当中，我们勾股定律就算出来了，那就是二根三减去一个二的平方， 然后呢，再加上一个四，它就应该等于二的平方，然后一顿狂算就可以了。然后这是十二，再减去四根三，二，再加上一个四，就应该等于零，所以二就应该等于个十六，十六除以四是四比根三， 对吧？四比根三，你让我求它求的表面积， s 等于个四派，二方就应该是三分之一十六等于个三分之六十四个派。 所以这道题选 a 好， 能想明白，不要会找球心好来。我们再看这道题，大家可以看怎么只有 d 选项，这是多选择题的一个选项，我们就讲讲这个选项， 这个选项我们讲两种方法，能长为二的一个正方体，然后 m、 a 分 别为终点。哦，这终点，这终点， 然后呢？分别是它的中点， q 呢？是一个动点， q 是 d 一 a 一 的动点啊， q 是 a 一 d 一 的动点，它说经过 c m b， n， 它是一个选项嘛？所以其他的条件你不用看， m 是 终点， n 是 终点， b 是 终点，然后呢？还有个，还有谁？ m n 还有个 bc 是 吧？ c 是 终点， ok， 人家让你求过这四个点的外接球怎么做？第一种方法 就是你得知道外接球的就是怎么确定一个球面，你最后很多同学连怎么确定球面都都不知道了，就只知道算，或者找找球心，或者是背二级结论， 因为这一张确确实实二人结论非常多。那你想一想，这四个点有多么的巧，正好是底面的这个长方题，所以这道题你看看，我们从这做一个重点， 我们一连接它，看到了吗？我们呢，这个地方做一个重点，我们再一连接它， 然后呢，我们再连接他，也就是说他把正方体切成两半了，上下两半啊，就是上下来完完全全一样，就从中间中截面去截了一个，那大家再看这个 m、 n， 然后 b、 c 绝了，巧了，他正好是下面这个长方体的四个顶点， 又因为四个不共面的点，肯定确定唯一的一个球面，也就是说以这四个点为啊过这四个点的这个外接球，说白了就是下面这个长方体的外接球 啊，长方体的外接球啊，长方体八个顶点在一个球面上，实际上不需要八个点，四个不共面的点就可以了，就找这四个点，所以这道题直接秒杀掉了。也说二，二就应该哪个根号下， 这是 a 等于几呢？二 b 等于几呢？二 c 呢？等于一根号下 a 方再加 b 方再加 c 方，就是下面这个长方体的外接球，就是过 m、 n、 bc 四点的外接球， 所以它就应该等于个根号下四加四，再加一等于个三，所以二等于个二分之三，所以 s 等于个四派二方，四分之九等于个九个派。 当然做这道题当然得用这种方法了，因为这才直接是一个选项。明白，好，那么万一你找不到，你想不到呢？所以我们在讲复杂的，讲复杂的就是我们找到球心， 我们找到球心看，这是 b， 这是 c， 这是 n 啊，然后过这三个点，然后过 m， 是 不是这时候？嗯啊，这这时候怎么办呢？我们就应该找到一个面的外心，往那做垂直，垂直于这个面，球心一定是在那条线上， 所以找哪个面呢？我们当然找的是这个三角形，那这个三角形是什么呢？这个三角形显然是一个直角三角形，它的外心就应该是在 斜边的中点上，那既然在斜边的中点上的话，那我们就应该往这哎，过这个斜边的中点，往上坐啊，当然他坐过去之后，他就应该啊，这个投影永远是在这条线上啊，所以我没画出来吗？我看有用吗？啊，先画出来吧，也，也行， 看到吗？这条线，这条红色的线和这个 b、 n 是 完完全全对称的，平行且相等，所以这个过这个 o 一， 它的外心是 o 一， 这个是 o 一， 我们往这做垂直，他的垂线正好是落到这个点的中点上，能听懂吧？那所以球心落在什么地方呢？球心一定落到这个上面的某一点上，当然具体哪个点我不太清楚，我们假设这样是 o， 他 肯定是落到这个 o 一， 往这做垂直的某一点上， 那所以这时候我们怎么怎么求出半径来呢？我们随便做个直角上也行 啊，应该是虚线，但是我用绿色颜色表示吧，就我们做这个绿色的三角形来，这个长度。我们知道 啊，就这个直角三角形，我们找到一个垂直关系勾股定律的关系，那么由于这个长度显然是半径，是求的半径，而这个长度的话，就应该是一，这是一，这是二，那这个说明这是根五，那就是个二分之根五，所以这个长度是二分之根号下五， 没错吧？所以我们是不是得设出一个未知数来，我们设这个数，这个数为 d， 因为你不设这个数的话，你不知道这是几，所以我们就找到了一个关系式，也说地方 再加上一个四分之五，他就按那个二方，那现在呢？你这是两位数，你还是搞不出来啊，所以你还得再找一个关系式，再找一个什么关系式呢？你不要忘了，人家这个球呢，还过 m， 那 这就说明 o m 的 长度，它也是半径， 那所以 o m 的 长度怎么算呢？ o m 的 长度就应该等于啊这个数的平方加上一个这个数的平方，我们假设这个点记作 o 二吧，听懂吗？我们记着这个点记作 o 二， 所以 o m 的 平方当然也等一个半径的平方，它就应该等于个 o o 二的平方，再加上一个 o 二 m 的 平方。我们又找到了一个关系式，其中 o o 二的平方呢，就应该等于一个棱长是二，所以这个长度是 d， 那 就是二减 d。 二点零的 d 的 平方加上一个 o 二 m， 哎， o 二 m 怎么求呢？ o 二 m 如果不好求，你可以拿着降维的思想，你可以把它这个正方形拿出来，你看 o 二 m 怎么去求？是不是这道题就搞定了？你看 m 是 这个点的终点， 对不对？然后呢？这个点有个终点，所以一连接这个 o 二呢？显然是它的终点， 明白了吧？这是 o r， 那 你说 o r m 怎么求？是不是相当于我们往这做一个什么线，做个中，做个平行线，这全都是初中平面几何的知识吗？由于这个点 o 它是中点，所以这个长度的话，就应该是啊底边的一半，也就是这个长度是一， 那这个长度是一的话，那，那这个地方很明显，这呢就是多少，这个长度是一，那这个长度就二分之一， 就这段长度，所以勾股定律的话，就应该等于根号下一加四分之一，那就是它欧二摩的平方就应该是四分之五，好麻烦，四分之五， 所以这两个式子连理方程就搞出来了。地方再加上一个四分之五，等于二方，所以等于它，那就相当于地方减去四 d， 再加上一个四，然后再加上一个四分之五，地方加四分之五干掉。所以 d 等于一， 对不对？那 d 等一的话，二方就应该等个一加四分之五，等个四分之九，和刚才答案一样的，这就是找球形的方法。 ok， 好， 能明白了不？

为什么数学考试全选 c 都比你在哪些阿赛正确率要高？因为新高考模式下，选择题都是机器阅卷，对了就直接给分，不信你可以问一问 deep sea， 但是正确率地道，让你扣的喊娘！ 大家好，我是阿月学姐，如果你高二高三数学还在五十到九十分卡着基础，若做题慢，简单题多分，中档题拿不全，今天我就给你分享三个我们新自带内部学员的高中数学立体几何秒杀大招，用过的同学都说好，学会它，分分钟超越学霸！ 一碰到圆锥内切球这种压轴题，传统方法是怎么做的？一步两步，三步四五步，妈耶，浪费的要命！如果我来做，直接记这个公式，其中 l 是 圆锥母线， h 是 高， r 是 底面半径。回到题目，圆锥的母线和半径铁杆都给了， 先利用勾股定律算出高度 h 等于三，再利用半径公式代入一下，算出内接球半径是一，内接球表面记公式应该都知道吧，代入一下，答案是四派， 多简单。那如果是圆台内接球问题呢？那就更简单了。记住，对于任意一个存在内接球的圆台，上下底面半径为 r 一 r 二，那么不用画图分析它的内接球半径直接就等于根号下 r 一 r 二。 回到题目，台体存在内接球， r 一 等于一， r 二等于二，那么就可以直接秒出内接球半径等于根号二，代入球体表面积公式答案等于八派。 怎么样？是不是瞬间秒杀？这时候有崽崽要问了，学姐，如果是外接球呢？那就更更更简单了，比如这道外接球球体积的题，体干都不用看，只要球体积的，我们就离每个选项等于三分之四。排 r 的 三次方反推出来的半径只要开三次方的都不对，直接选 a 是不是很简单呐？当然，你只学立体几何的秒杀方法肯定是不够的。像这样好用的解题模型啊，还有很多，包含高考数学的方方面面，如果你高二高三数学五十到九十，想要 提分，必须要学我们的系统秒杀课。我们团队啊，深耕高考数学十年，首创系统化秒杀模型，累计帮助了数十万学生高考逆袭后台发年及加分数，每日限一百名。

高考数学前面的选择填空题会有这个五分到十分的这个立体几何，这个我们是必须要满分拿下来的。这个高考还有这个一百天， 我们是不是过关了？你用这个题目来检测一下自己的立体几何怎么样，掌握的怎么样啊？ 他说一个人长为二的这个正方题， a、 b， c、 d 和 a b， c d， e 点和 f 点是中点啊，分别是 a、 b 和 c， d 中点 点记在 c c 撇上，不含这个 c 撇和 c 的 两个端点。在下面的这个说法正确的是，首先 a 选项 e f g， 他 说这个 e f g 是 一个钝角三角形啊，这个其实你猜都能猜出来它是正确的啊，你猜都能猜出来它是正确的。 这个 a 选项我给大家提供两种解法，第一种解法就是你就如果它是一个钝角三角形的话啊，这个 e f 平方加上一个 f g 的 一个平方，一定是小于 e g 的 个平方。嗯，我们第一个法 e a 选项的法一，你就是直接算，因为它每个边长是二，这两个是中点， e f 是 可以算出来的， f g 也是可以算出来的， e g 也是可以算出来的啊， e g 你 用这个直角三角形可以算出来的，怎么算？你自己去算了，我给大家提供思路啊。 然后你算了以后， e f 的 平方加 f g 的 平方，刚好小于 e g 的 平方，所以 a 选项就是对的，这是法一法二 a 选项。我给大家提供一个向量的这个解法啊，如果我们的扩散 f e 向量和 f g 向量所形成的夹角，如果它小零的这个东西，它等于 f e 向量点成一个 f g 向量，除以一个 f e 的 模， 乘以一个 f g 的 模，对吧？如果这个小零，我们只要这上面小零就 ok 了。 也指示 f e 向量点成一个 f g 向量，看它是正负。 f e 向量，我们做一个转换，它等于一个 f b 向量加上一个 b e 向量，然后再点成一个 f g 向量。 为什么做这个转换？这个转换以后，这个 b e 向量和 f g 向量 b e g 向量和 f g g 向量点乘是等于零的。因为两个垂直 b e 和 f g， b e 向量垂直于这个侧面，所以 b e 向量和这个 f g g 向量点乘以等于零的，所以它只剩下前面这个，它就等于一个 f b 向量 点成一个 f g 向量，后面是零。 f b 向量 f b 向量和 f g 向量，显然这是一个钝角，它是小于零的，这两个向量点成肯定是小于零， 所以我们的这个扩散 f e 向量和 f g 向量就是小于零，所以这里个夹角 就是蹬脚啊。反二是用向量的方法，如果不清楚，同学反复观看一下啊。这个反二，也就是说 a 选项，我们用了两个方法 推出来 a 选项是正确的， b 选项了，这个 b 选项大家一定要仔细听，因为 这个我往网上观看，有个老师讲这个 b 选项，我个人认为他讲错了。嗯，比方这个是讲错的。这个老师他做的图啊，他说延长这个 f， 他 说延长这个 f 和这个 a a 撇教育 n， 然后他说这个面就是 e、 f g 的 一个平面，我个人认为这个是不正确的啊，我个人认为这个是不正确的，懂吧？ 我个，所以他说这个 e f g 的 这个洁面是一个五边形 啊，所以我个人认为它是不正确的，那么正确的方法是什么？我讲给大家听啊，仔细听。所以这个 b 选项很重要啊，这个 e f g 这个洁面，如果我们把它扩大的话，你看好了， e f 和 a c 是 平行的，那么 a c 会和这个 g 和 a a 撇上某个点连接起来是平行的。比方这个点是 a 吧， 我们连接，也就是我们做一条平行线，肯定能做出来，这个是 a， 就我们一定能做出来。 ng 平行于 ef， 平行于 ac， 懂吧？ ng 平行 acac 平行 ef， 因为 ef 是 用周期啊，这样可以做出来，这个做出来以后我们就扩大把 efg 这个平面就扩大成 efg 原音了， 这是可以的吧？这是完全可以的啊。我连接这个，首先我们这么扩大，然后我们再进一步的把它扩大。怎么扩？你看好了，我用蓝颜色的笔，我延长 f g， 他 会和 b 撇 c 撇交与 交于某个点，嗯，然后我们再延长 e a 音，它会和 a 撇 b 撇交于某个点， 然后我们再连接这两个点，嗯，这两个点就是这两个点，它会和这两颗边交相交， 我们连接好这两个点，相交的话，交的这个点，然后加我们是 m， 这个是 m， 这两个点加这个点还是 m， 这个点是 k 吧。 好，然后我们连接剩下的这个 m a 和 k g， 那 所以 m k g m k g f e n 就是 洁面，我这个洁面可以说逻辑最严谨啊。所以正常情况下它是一个六边形， 不是平行四边形。即使你这个 g 点和 cp 点重合，你即使你这两这个点重合了，他才有可能是四边形，但是我们这不包含这个两个端点，所以他永远不可能是四边形，只可能是六边形。 我再讲一遍啊，这个 b 选项很重要，有的老师都讲错了啊，有的老师讲的它的可能的形状是四边形。 ok， 好 了， 然后我们再讲啊，这个 c d 选项，把这个图擦掉啊，我把这个图擦掉是说，所以 b 选项是错的， 他说，即使 c 撇 c 的 终点时， e f、 g 与底面 a b， c d 所成角的正确时，当然你可以间隙 一起几何。我个人的主张，如果你能用几何的方法，就不用间隙啊。 e f、 g 和底面所成的角，我们可以直接把它找出来。怎么找？延长 e f o 延长 e f， 延长这个 e f 啊，我还是借用那个老师的图吧。还是借用那个老师的图， 你看，延长 e f， 懂吧？下面以 c 点做 e f 的 垂线 h， 也就是说这个角是直角，根据三垂线定律，那么 g h 就 一定垂直于 e f。 再讲一遍啊，下面这个 c h 就 垂直于 e f， 也就是 e h， 那 么根据三垂线定律，那么 g h 也一定垂直于 e h。 那 么角 我们要求的正确字就是角 c h g， ok， 也就是这个角就是我们要求的这个 两个平面所形成的角。 e f、 g 和底面所成形成的角，懂吧？我们把它找出来了，找出来了，这个角是啥？它那个 c h g 就 等于， 就等于这个是 c 点，就等于 c g。 除以一个 c h， c g 等于多少，它终点它是等于一， c h 等于多少。很简单啊， 因为这个是中垂线，所以这个角是四十五度，这个是一个等于二直角三角形，这个 c f 是 等于一，所以 c h 是 二分之根号二，所以 c h 是 二分之根号二，所以刚好是等于根号二的，所以 c 选项是正确的。好，所以 c 选项是正确的， ok， 懂了吧？所以 c 选项是正确的， c 选项是正确的。我们再看 d 选项啊， d 选项我给大家提供两种方法去做， ok， 第一种方法就是无脑间隙法啊， 就是当我们如果没有达到一个很高的一个水平，一起几何的话，你就间隙，对吧？你就间隙，你就按照这个方向间隙 这个 z， 这个是 x， 这个是 y， 我 们间隙 这个，他说这个 g 点 e 点 b 点 f 点这个三轮锥，这个三轮锥 是在一个外接球，噢，是在一个，有一个外接球，这个外接球的半径一定是在底面 e、 b、 f 的 外圆的圆心，也就是 ef 的 中点，这个中点往上升，就垂直于这个 这个 ef 的 这个中点就是底面的外接圆的圆心，这个垂线上面加这个外地球的球心 o， 在 这里，懂 𠲎， 这个 o 在 这里， 这个 o 点的坐标 o， 假如下面的外锥圆的圆形，我们 o 一 撇外地球，整个这个三棱锥外地球球形，我们 o， 那 么这个 o 点的坐标 我们可以做出来是二分之三，二分之三是它的高，是 h， 极点的坐标就是零二 h 一 撇 异点的坐标，就这个异点的坐标是二一零， 因为外地球的球形 o e 等于 o g 等于 o f 等于 o b， 对 吧？我们 o e 就 等于 o g， 就 等于外地球的半径，所以 o g 就 等于一个 o e 就 等于一个外地球的半径 r， ok， 我 们平方的话就是 o g 的 平方就等于 o e 的 平方就等于二的平方。 o g 的 平方，我们可以用这个坐标来表示出来，这是二分之三的平方， 加上一个二分之一的平方，加上一个 h 减 h 撇的平方就等于 o 一 的平方， o 一 的平方就是二减二分之三的一个平方，加上二分之一的平方，加上一个 h 的 平方，这两面很容易约掉，这里面 h 平方，这里面 h 平方只有二分之一平方和二分之一的平方约掉了，对吧？ 那最终很容易就弄出来。 h 就 等于一个二， h 一 撇， h 一 撇平方加二就等于二分之 h 一 撇加上一个 h 一 撇分之一。 根据这个均值不等式，它大于二，乘上一个根号下二分之一，也就是根号二， ok， h 带领跟和二，那我们的半径的平方就等于这个。后面这个你看 o 一 的平方就等于二减二分之三的一个平方，加上一个二分之一的平方，加上一个 h 的 平方， ok， 那 它就等于一个二分之一，加上一个 h 平方，它就大于等于二分之一。加上 h 大 于零，根号 h 一 平方就大于零，二就等于二分之五。 那外地球，他说外地球的表面积最小值 s 就 等于四派， i 平方，那就大于等于四派，乘以 i 平方乘一个二分之五就等于十派，所以 d 选项就是对的。第一种方法是间隙啊，无脑间隙， ok， 那 除了间隙，我们是不是还有其他方法？当然有哦，我们还有一种方法，就是 除了间隙，我们可以用几纯几何的方法。这个外接球的球心，你看 o e 的 平方等于 o g 的 平方， o e 的 平方等于 o e 撇的平方加上 o e 的 g 的 平方，我们可以做一个，我们可以做一个这个，我们可以做一个垂直， 大家看不清楚吧？红颜色的笔画一下做一个垂直，做一个垂直以后，你看这个点啊，这样的话，在这个直角三角形当中， o g 的 平方就等于这个平方加上这个的平方，这个加这个，这个点，我们用这个点是用一个，呃，叫什么点？叫 w 吧，这个垂直角 w 的 话，那所以我们用两个勾，五厘米啊，你看 o e 的平方，我们在这里写啊， o e 的平方就等于一个 o o 一撇的平方加上一个这个 e o 一撇的平方。 o o 一撇的平方，也就是 h 的平方加上 e o 一撇的平方。 e o 一撇很简单啊，就是二分之根号二的平方， 也就等于 h 的 平方加上一个二分之一 o e 的 平方就是国际球半径 r 的 平方，所以 r 的 平方就等于 h 平方加上二分之一，对吧？好了。 然后 o e 的 平方，它又等于一个，等于一个 o g 的 平方，就等于这个 o g 的 平方， o g 的 平方就等于 o w 平方加 g w 平方，它就等于一个 o w 平方加上一个 g w 的 平方。 o w g w 是 这个 g 的 个高度， g 的 高度我们加 h 一 撇就是 h 一 撇，减去一个 h 的 平方，就是 g w 的 平方加上 o w 的 平方。看看 o w 平方，下面 o w 平方，这是一个 和下面这一个是一个矩形， o w 和 o 一 撇 c 是 相等的，它就得 o 一 撇 c 的 平方， o 撇 c 的 平方， o 撇 c 是 多少？有的同学 o 撇 c 他 弄不出来啊，你看好了， o 撇 c 怎么弄啊？ o 撇 c 在 这里， o 撇 c， 这里又可以做一个直角三角形，你用这个垂线啊，你用这个 o 撇做这个 e b 的 这个平行线，这里有一个直角三角形，这个直角三角形一个边，这个边 是这个长度的二分之一，这个长度是等于二分之三的啊，自己慢慢想。那所以 v 撇 c 的 平方就等于二分之一的平方， 加上一个二分之三的一个平方。好，大家再仔细想一下，也就等于也就是这个平方等于这个平方，这和我们刚才见 c 的 结果是不是一样啊？ 我们间隙的结果，你看最终的这边和这个是一样的， h 的 平方加二分之一， 我们的我们的这边右边这一坨，它等于 h 的 平方加上一个二分之一，我们左边这一坨和这个东西是一模一样，也就是说 两条道路最终指向了同一个这个终点。剩下我就不讲了，既然他们结果是一样，后来的方法都是一样啊，后来的方法都是一样， ok， 后来的方法都是用均值不等式，都是用一个均值不等式， ok， 懂 𠲎。 所以 如果你分数比分平时都是一百二十五分或者一百二十分左右，把这个把我讲的这个方法仔细看，首先自己按个暂停，看自己能不能做出来啊，尤其是这个 b 选项和 d 选项， a 选项我讲了两种方法， d 选项我也讲了两种方法， ok， 嗯， 这个大家同学们自己仔细的把这个方法好好吸收一下，如果你不看我的这个视频，自己做出来，恭喜你啊，这个高考数学立体几何这一块应该没有什么太大的问题了。

同学们好，欢迎来到今天的数学专题讲解这道例题几何题难倒了不少高三同学，你能找到解析突破口吗？今天我就带你拆解它，看完这个视频，你将学会例题几何中旋转问题的三不解题法，下次遇到直接套用。 这道题是正四棱锥里的旋转问题，核心是证明线线垂直在求体积最大时的点面具和面面角。它的难点在于旋转后点的位置变化，以及如何找到体积最大的条件。 今天我们就用三步解题法把它彻底吃透。第一步，线面垂直转化线线垂直重点提醒，别直接正线线垂直。先找线面垂直，我们取 b c 中点 e 连接 p e q e， 利用等幺三角形三线合一得到 p b c q e b c， 从而证明 b c 垂直于平面 p q， 而 p q 在 平面内自然就有 b c p q。 第二步，体积最大，找高的位置。重点提醒，体积最大就是高最大三棱锥 b c p q 的 体积 底面积 b c q 是 固定的，所以体积最大等价于高最大。我们发现当 pe q 等于九零度时，三角形 pe q 的 面积最大，此时 pe 平面 b c q， 这就是体积最大的条件。第三步，间隙求法向量重点提醒，用空间向量把几何问题变成代数计算。 我们以正方形中心 o 为圆点建立坐标系，找到各点坐标，求出平面 b c q 的 法向量，再用点到平面的距离公式和面面角公式就能算出答案。这里要特别强调一下，我这个解法比标准答案要优异， 标准答案是先求出 q 点的具体坐标，再进行后续计算，而我们直接利用 pmo 等于四五度 这个角度关系进行转化，省去了求 q 点坐标的繁琐步骤，思路更直接，计算更简洁，大大提升了解析效率。 总结一下这道题的解析口诀就是先正垂直，再找最大最后间隙。记住这个口诀，下次遇到例题、几何旋转题直接套用就行。

好，各位陪我刷题，我们继续哈，今天呢，咱们继续来看几道立体几何的问题啊。前两道的话呢，这都是球体后接是吧？三棱柱，侧棱锥的底面所有正常都是 a， 所有正常是不是顶点啊？泰国外接球， 你看你球体空间咋的，画体还原不？画球画出体来是吧，找芯呗。因为是柱体嘛，他球心在哪？上下底面外心连线的中点是不是啊？外心连线中点就球心，球心做投影是 o 撇 就找啥呀？找三角形， o o 撇 a 这个三角形就行了，是不是因为底面的边长呢？是 a 的， 所以说咋的，我求下 o p a o p a 底面外接圆的啥呀？半径吗？这里是三十度，这里是三十度， 说 o 撇 a 等于啥呀？就等于 a 一 除以根号三是吧，三分之根号三 o 撇呢？得测周长的一半，得二分之一，所以啥呀， o 一 的长就知道了。 o a 就 求出半径，是不是啊，就求出来了。 嗯，我看看这个开方啊，没必要。为啥呀，让我求表面呢？表面就得四排二方，四排二方是吧，直接平方了十二分之七， a 方 有三分之七排 a 的 立方，所以答案选的二 b。 这就是在你做计算的时候注意啥呀？注意解题的前后的关联了是吧，做题的整体感呢？有些东西没必要求的，也可以不求，是不是，你求它干啥呀？好了，就这个第八题， p 垂直底面。 底面啥呀？是一个正方形，这是有一个侧棱垂直底面的锥体，就把它还原成是柱体了 是吧？还原成是那柱体，所以这个长方体的外地球跟这四棱锥的外地球是一样的对不对？你长方体外地球的球心我就知道啊，哎呀，体对角线平行的中点就是球心随着球啊，球出 o c 的 长度，底面是正方形吗？ o c a c 的 长度等于根号二 ab 是吧？嗯，二 b 杠三乘以二，二 b 杠六了。我再说说 p c 长 p c 长 p c 是 啥呀？ p c 不 就是外地球的直径吗？所以半径就出来了，它二 b 杠三对吧？那既然求三角形 o a、 b 的 面积，我再单独抽出来啥呀？悬长 a、 b 了， 画一个小的球，找 o o 撇 a 这个三角形是吧？ o a 是 球的半径吗？对吧？ o 撇 a 呢，是 ab 的 一半了， ab 是 知道的，二 b 刚好三呢，所以 ab 的 一半是刚好三。 像我在这个直角三角形中，可以求出 o o 撇的 o o 撇的三，这样画三角形 o a、 b 的 面积能求了二分之一的底边 ab 高是 o o 撇一乘三倍高三是吧？这就是第一 八题记到球体空间问题，所以这个第七题啊，他直接给的是一个柱体，柱体的外接球这块啥呀，是可以还原成柱体的外接球问题， 而且你看涉及到一条悬长的时候，你把就把这个悬长单独搞出来去研究一下，是不是啊？就这样。好，我们来看第九题，给一个直角柱，是不是底面是菱形， 侧成长腿了，底面边长腿了，而且 b、 a、 d 还是六十度，那底面是不是有一个角是六十度的菱形，是不是两个等边呢？ g、 b、 d 也是等边是不是？那这样给了我们 e、 m、 n 这三个 终点，让我们来证明 m n 平行于 c、 d， 你 看这块咋的？我取的是 ad 的 终点，取 ad 的 终点 f， 所以 n f 就平行 m b 也平行于等测棱长 a e 的 一半，所以怎么的？所以这个 m n f b 就 平行四边形了。平行四边形的话呢，大家 m n 是 不是就平行于 b f 了？不是， m n 平行于 b f b f 是 不还平行于 d e 啊， 所以 m n 就 平行第一了。那你 m n 平行于 c e b e 当中一条直线， m n 不 就平行这个面吗？第一问就做出来了，是不是啊？那这就可以了，利用的什么线面平行的判定定律是吧？这就可以了。二问呢，他想让我们来求 c e 到 c e， d e 的 距离， 那你看看点到面的距离咋行呗？点到面的距离在一本通上写的是吧，有三种球法，立体几何这块。所以说你看你理论知识记住了，做题杠杠的，好使是不是？嗯，点到面的距离，三种球法 啊，复习号，看看三种球法都是啥，对不对？首先呢， b c d 是 一个等边三角形，那 d e 是 垂直于 b c 的， d e 还垂直于谁呢？垂直于 c c 一， 因为 c c 一 是侧棱啊，是不是？所以我就知道了，第一 啊，第一是垂直于右面的侧面，所以第一就垂直谁了？就垂直于 c e 了。就是，我算出来第一， c e 它是啥？它是一个直角，第一， c e 它是个直角，是不是啊？那我能够在三角形 b c d 当中求出第一的长指的根号三的 c 一 的长使用勾股顶点是吧？根号十七。所以三角形 c 一 第一的面积我就能求了，二分之一的第一乘以 c 一 的面积，那这个题当中咋求呢？我就用体积来求，是吧？点 c 到这面，距离自然而然就是个体积，我转换个顶点，以 c 一 为顶点是吧？来转换一下 表示呗。三分之一的左面这个体积是吧？三分之一的底面积乘以距离是我测出来的 右侧的体积，三分之一的 c、 d 乘以高高就是 c c 一 了，是不是按着计算 c 一 d 一 的面积我已经算出来了，乘以 d 啊，这三分之一已经那约掉了，是不是他俩就约掉了 c、 d 一 的面积，它等于二分之一个 b， c、 d 的 面积， b、 c、 d 是 等边三角形，四分之二三倍的边长是二边上平方， 再乘以格二十四，是不是这样一化解 d 等于十七分之四倍根二十七，那这样就可以了，这是三道立体几何的问题，大家一定是通过我们的匹马刷题，把什么该学习的理论知识， 该复习到的理论知识把它复习到位。理论知识的话呢，看一本通是吧？或者看你自己之前的笔记，如果之前笔记要是没有的，是不是可以看看咱们的一本通，上面写的非常清晰 啊，特别是跟这个咱们一起学习的小伙伴，把这些理论知识学好，最后还是是吧，你学完之后，不仅你不是你学到了多少，是你学完之后你剩下多少。所以说希望我们这种通过陪跑刷题，他有几个功能，第一个复习知识， 第二个把这个方法再理解到位，第三个才是练习的作用，是吧？刷题好，各位小伙伴，咱们今天的陪跑刷题就讲到这里。

用四大意识，所有高中数学难题都能变简单！大家好，我是老谢，我接下来呢，给大家讲一下特别有意思的啊，我们这是高二西城的啊，倒数第二道题，我还有一个视频讲最后一道题啊，这两道题呢，都有意思，都比较偏难啊，可以说，但是呢，每道题老谢都有两种方法啊， ok， 咱们呢，先看看老谢通过这道题里面提炼出多少营养。这道题说这四个点，在以屁为球心的同一个球面上，同学们可能想象不出来那个球，但是空间向量它的好处就在于，你不需要知道图形长什么样，只要能列式就能往下算。 这句话啊，是老谢教给你们高中数学特别无敌的一句话啊，好好体会。第二个呢，如果你要解一个三元二次方程组，哎，不知道该怎么列，简单啊，实际上怎么列都简单，你只要大胆的往下列。但是呢，如果一开始觉着啊，有点麻烦，用老谢试着结啊，结构是灵魂，你就知道怎么列啊。 第三个呢，我想告诉大家这道题的第二个方法，如果这道题第三问是一个填空题或者直接写答案的题，选择题，那么老谢呢，有一个初二一次函数的方法啊，然后呢，让你们一分钟左右就可以搞定第三问啊，就是直接出答案。好了，我们先看第一个方法。 首先呢，你不是说球心吗？球心的本质是吧，就是到球面上每个点的距离都相等，说白了，这道题就是 p b 等于 p c 等于 pe 等于 p f， 对 不对？这道题给你足够多的方程啊。然后呢，你如果设一个点 p 的 坐标为 abc 的 话，你会发现你只需要三个未知数， 但是这道题呢，能列出来四个方程，没问题啊，足够了。好，那么问题来了，四个方程，我们如果设出来点 p 的 坐标，那么咱们先列哪个呢？ 各位，式子的结构是灵魂，你仔细看一看 b， c， e、 f 这四个点的坐标，你会发现这个和这个 e 和 f， 它们俩的 y、 z 坐标是不是都是一样的？ 所以各位，如果你想这道题做的快一点的话，或者说你觉得烦，你想让自己心情轻松一点的话，各位，你先列 p e 等于 p f， 因为你会发现，在这种情况下啊各位，这个和这个就消了，这个和这个就消了 啊，你会发现，你瞬间就可以解出来 a 等于二分之一，虽然先列哪个实际上是一样的，但是你很快就得到 a， 你 是不是在考场上做题会放松一些啊？然后呢，这个时候 我们还可以再列 p b 和 p f， 为什么呢？因为刚才 e 和 f 呢，是两个坐标一样啊，然后你会发现 b 的 话呢啊， b 啊，大家看一看，然后这个和这个它俩是一样的 啊，然后 x 是 一样的，那么 y、 z 不 一样，然后呢，我们可以快速的解出来 y z 啊，也就是 b 和 c， b 和 c 呢，也非常快的啊，因为这些东西太容易消了，是吧？啊，然后呢，消完以后， b 等于 c， 那 么再带进去，随便带一个，这道题很快就做完了啊，然后呢，就得到了点 p 啊，它的坐标， 他 p 的 坐标到这个球面上，哎， a， 这个 b， c， e、 f 这四个点，任何一个点，算上他们两点之间距离，答案就出来了，是吧？这是第一个方法， 第二个方法呢？如果这是一道选填题，可以玩的非常快啊。你先跟老谢学一学迁移。各位，反正我在学立体几何的时候，只要看到球，我觉得难想的话，我就会，什么呀，我就会想到圆，大家看圆周上的点，他们是到圆心的距离相等，那么你会发现在平面内 啊，然后呢，到 a 和 b 的 距离相等的点，组成了 a、 b 的 垂直平分线，我们称之为叫中垂线。其实大家看一看，你看啊，在空间里边，到 a 和 b 两个点的距离相等，你们能理解它其实是一个中垂面吗？ 甚至你可以理解为这个蓝色的这个面啊，它是一面镜子， a 是 外边的， b 是 里边的对称，各位，你能理解所有的。然后就是说到 a 和 b 的 距离相等的点就在它们的垂中垂面上吗？ 那么也就是说，我们如果能找到三个面，三个面的焦点，他们就是球心，你们能理解吗？你比如说你随便再找一个啊，比如说找到 ab 这个弦的，然后中垂面，再找到这个弦的中垂面啊，比如说再找一个中垂面，三个面 啊，我们就可以讲出来啊，就做出来了。所以这道题如果你首先理解了这个迁移，再有一点呢？这个接下来稍微可能对大家有一点点要求高啊，我不知道你们能不能跟得上。其实涉及到了面的方程，但是你不需要了解面的方程。我问大家一个问题， 因为 e 和 f 这两个点在球面上，所以它俩的中垂面一定过球心，各位看一看啊，就像这个，这个 ab 的 中垂面一定过这个球心一样，你们能理解，你只要找到 e， f 的 中垂面， 球心一定在这个中垂面上。各位能理解，并且和 e， f 的 中点，并且和 e， f 垂直的面，你有没有发现他们的 y 和 z 是 没有限制的 啊？你可以理解为它是一个立着的和 c， d， e 平行的一个面，这个面上可以取到任何一个 y， 可以 取到任何一个 z， 那 么这里边它的 x 是 固定的，因为这个点的 x 对 应的是二分之一，所以你能理解这个红面的 x 等于二分之一吗？各位，如果你能理解的话，你可以一秒钟知道这个球心点 p 的 x 坐标就是二分之一。然后呢，我们接下来只需要求它的 y 和 z。 好，同理，各位请看啊，我们接着再往下来，然后呢，我们再找一下另外一个弦的，比如说大家看啊，这个红色的这个线，它代表的是 e， c 的 中垂面。 各位，你们设想一下子啊， ec， 如果它在墙上和 ec 垂直的面，它是不是和这个 x 轴是平行的，你们能理解吗？就是如果说啊，我这是画了个一维的，因为我把三维的降降为二维的了啊，你可以理解为，也就是说 在 e， d， c 这个平面就是 z， y 这个坐标啊，这个里边这条线 啊，它代表的是和 c， e 垂直并且平分 c， e 的 一个面，这个面上的每个 x 可以 取任意值， 但是你会发现 z。 有 人说，老师这怎么写出来的？因为这个是零逗号，如果把它看成一个红的，看成一个平面，这样左边写二维的话，它是零逗号一，这个 c 呢，是二逗号零，你用初二的知识你就可以求出来这个红线，它的一个方程就是 z 等于二外减二分之三。 同理，我不知道你们能不能理解把 b、 e、 b、 f， 把 b、 f 它俩的垂直平分面。首先也是啊，它其实不算和 x 轴平行啊，它已经包含 x 轴了。然后呢，它的 就是这个蓝面，其实就是这这蓝线啊，我把线面投影到这个 edc 这个面上，你会发现这个蓝面啊，它的方程在这个二维的坐标系里边就是 z 等于 y， 那 么这样的话，你会发现 这个方程和这个方程就是我们初一学的二元一次方程。然后这样的话呢，我们直接就解出来 y 和 z 都是二分之三， 这样的话，这道题做完了。各位啊，如果你在选填题里边第十题或者第十五题，如果考到这种球找球心，你可以利用老谢这种中垂面，并且如果那个面 他是和这三个啊，比如说 x y 面和 y z 面或者 x z 面，各位就是要么是地板，要么这个墙，要么这个墙如果是和垂直的，和这个面是垂直的，你会发现这个面他上面的每个点， 其中一个 x y、 z 的 某一个坐标，它其实可以取全体实数。你只需要像我这个方程一或者方程二一样，设出来一个二维的， 二维里边的这种直线方程就可以表示这个面上所有点的坐标了啊，这个方法呢，稍微有点抽象，但是如果你真学会了，会非常快。