物理定理公式溯源手抄报

恶心但管用，物理差，先补什么？高中物理进步到九十五分，最快的顺序没有之一。别再按课本顺序复习物理了，真的那样你永远都学不会。我高三物理四十分，复习这三个阶段，三个月后稳定八十五分以上，今天这个顺序分享给你。第一阶段， 基础薄弱段，成绩在四十以下，不是某一个知识点不会，而是整个物理体系都有问题。一、啃透教材，不做偏题。把每一张的公式定律、重要结论亲手抄一遍，然后默写，接着把课本上的例题、课后题一道不落的做完。二、死磕基础模型和受力分析。 每天坚持十五分钟，只做两件事，画受力分析图，默写基本公式，如运动学公式牛。二、定律，能量守恒，不过求快，只求准确无误。 受力分析是物理最基本的要求。三、建立错题本，一点零。这个阶段的错题本不收入难题，只记录最基础的错误。比如单位写错公式，用混受力扣划，旁边用红笔标注不该错，提醒自己这是底线。这个阶段最辛苦，但题分也最明显，只要你咬牙坚持三到四周，把必修一、必修二的基础过完， 分数突破五十到六十分，自然而然的事。第二阶段，中等徘徊段，成绩在四十到七十分，题目会做一部分，但题型一变就懵。 一、模型化学习，整理物理主干板块，如力学、电磁学、能量与动量。每个模块细分模型，如力学，包含斜面模型、传送带模型、弹簧模型等。用一周时间集中火力攻克一个模型，主抓中当题与大题第一问，就算答题没思路，也要把题目中的物理过程 拆解成几个阶段，写出对应的公式，这往往就是第一问的答案，也能捞到可观的方法。当你把力学、电磁学及大主干模块逐一打通， 会发现试卷上大半题目都似曾相识，分数会稳步进入七十到八十五分的区间。第三阶段，冲刺高分段，成绩在七十到九十分，主要问题是细节处理、时间控制和面对新颖题型的策略。 一、压轴题，专项突破重点攻坚电磁场负荷场问题、动量能量综合体力学压轴题等硬骨头。对一道复杂压轴题，尝试用多种方法求解、对比最优解， 试着自己改变题目条件，观察结果变化，真正吃透模型。二、模拟实战，优化策略训练。遇到卡壳题如何快速跳过，不是为了依赖，而是为了在关键时刻多一条路。三、打造好题本，错题本升级为好题本，里面不只是错题，代表高考方向的经典题。创新，这本字是你考前回顾的精华大药库。 到了这个阶段，物理不再是难题，是一场和出题人的智力对话，你会享受那种灵光一闪，破解复杂问题的快感。稳住这个状态，你的目标不是八十五，而是九十。加视频中提及的资料我都整理好了，刘林三二分享。

今天我们要聊一个在数学里面非常重要的定律啊，叫广义斯托克斯定律，这个定律呢，其实是把我们熟悉的微积分基本定律，格林公式，还有高斯公式，包括斯托克斯公式全部都统一了起来， 他是用一种叫做微分形式的语言来描述的，解释了一个几何形体内部和边界之间的深刻联系。没错， 这个定律在数学和物理里面都有着极其广泛的应用。对，那我们就直接开始今天的讨论吧。首先我们要讲的主题呢，叫做广义斯托克斯定律， 这个定律到底是怎么把微积分基本定律，格林公式和散度定律统一起来的呢？就是这个公式，它其实是用微分形式的语言，将空间中的一个 n 为带边界的定向流形， m 和它的边界的积分联系起来了， 它的这个公式就是 m 上的一个 n 减一次的光滑微分形式， w 的 y 微分 d， w 在 m 上的积分等于 w 在 m 的 边界上的积分。 听起来就感觉这个公式真的很厉害，把这么多东西都融合在了一起。是的，它是通过这个所谓的微分形式的语言啊，把一个空间的内部和它的边界完美的联系在了一起。对，这个公式里面有一个 m， 它是一个 n 维的带边界的定向流形，然后有一个 omega， 它是一个光滑的 n 碱依次形式， 然后这个公式里面还有一个 d， 它是外微分算子，还有一个偏 m， 就是 这个 m 的 边界，并且是带有诱导定向的。听起来这个外代数在微分形式的理论里面是非常基础的啊。对，那它的这个关键概念外基到底是怎么帮助我们来处理这个定向和体积的问题的呢？ 在积分当中，为什么我们要引入交错张量和外积呢？因为在积分的过程当中，我们是需要同时去考虑定向和体积的，而普通的张量它是没有办法捕捉到方向变化所带来的符号的变化的，所以我们就需要交错张量。那外积它的这个定义就是一个 wedge product， 它是一个可以帮我们去构建带符号的体积圆的一个东西，它有一个很重要的性质，就是反交换性对，比如 d x y 值 di 就 等于负的 dy y y 值 d x， 它是一个反对寸的。那你能说一下外机的具体定义和它有哪些关键的性质吗？一个 k 级的张量 t， 它是一个从 v 乘 v 一 直乘到 v 到二的一个映射，然后两个微分形式的外机。呃， omega 和 e 台的外机可以用这个公式来定义，就是 等于 k 加 l 的 结成比上 k 的 结成乘以 l 的 结成，再乘上 alt， 我 们应该张亮机 e 台。那如果我们有一组机 ei 是 微队友空间的一组机的话，那这个呃微队友空间的 k 次外密的一组机就可以写成 ei 一 外机 e 二一直外机到 ei k， 然后它的尾数就是 c， n， k。 好 的，我们现在就进入到微分形式这个主题啊，那我想先问一下，就是微分形式到底是怎么把这个代数结构和流行的几何联系起来的？呃，微分形式其实就是把 张亮这种代数对象赋在了流行的每一点上面。对，所以它其实是让我们可以把微积分 自然地搬到流行上的一种语言。所以就是说微分形式其实是一个定义在流行上的东西。那它在局部坐标下会有一个怎样的标准的形式呢？对的，在流行 m 上面的一个 k 形式，它可以写成 omega 等于 sigma a 下划线 i x d x 下划线 i e dx 下划线 i k 这里的这个 i 等于 i 一 一直到 i k 是 一个递增的指标级，然后 a 下划线 i 是 一些光滑函数。哦，那我们在流行上面做积分的时候，这个 pullback 到底是起一个什么作用？因为在流行上面是没有办法直接去做离曼积分的。 那我们要去计算积分的话，就需要用微分形式把它 pullback 回到平直的局部坐标系里面，也就是 r n 里面，然后才可以去计算。所以说这个 pullback 它其实是帮我们打通了在弯曲空间上面的积分和在我们熟悉的欧式空间上面的积分之间的一个桥梁。 对，没错，而且外机的这个反对性正好就对应了我们坐标变换的这个牙科币行列式。嗯，它就自动帮我们处理好了这个体积圆的伸缩。 所以我们在流行上面的这个微积分就依然是成立的。外微分这个算子它到底是怎么定义的？然后它有哪些基本的性质？外微分它是一个硬设，它是把 k 次的微分形式硬到 k 加一次的微分形式。它有三个关键的性质，嗯，第一个是它是限性的。 第二个是当它作用在一个函数上面的时候，它就是普通的这个梯度。第三个是它满足一个反莱布尼兹法则， 就是它在作用在两个微分形式的外基上面的时候，它是满足这样的一个分配率的。听起来这个算子好像是把我们以前熟悉的一些导数的运算规则推广到了流行上，没错没错，而且外微分还有一个非常漂亮的性质，就是它的平方是零， 哦，就是对一个微分形式做两次外微分，一定是零，那这个地方等于零，它背后的微积分的本质是什么呢？我们可以通过一个简单的计算来看一下，就是比如说我们有一个零形式，就是一个标量函数 f， 它的外微分 d f 就是 对各个分量求偏导，然后在外乘上对应的这个 d x， 哦，然后如果我们再做一次外微分的话，它展开之后是这样的，它是对这个偏导数再求一次外微分，然后再和对应的 d x 做外积，嗯，然后再把它全部都展开，所以这里面就是用到了外积的一些运算规则，是吗？ 是的，是的，因为 d x 外加 d x 等于负的 d x 外加 dy， 哦，所以最后我们可以得到这个地方 f， 它其实是等于， 呃，这个二阶混合偏导数相减，然后在外乘上 dsdy， 嗯，然后再根据克莱劳定律，我们知道这两个混合偏导数是相等的，所以最后就等于零，所以说这个地方等于零，它其实就是跟我们的这个偏导数的交换性是密切相关的。对，没错，在代数里面的这个地方等于零，它其实就是 偏导数的交换率在几何层面的一个非常深刻的反应，嗯，它其实就是把这个边界的边界是零这件事情 用一种微分运算的方式表达出来了，我们下面要谈的一个主题叫做边界的边界为零啊。这个东西看起来好像是一个几何和代数之间的一个巧合，但是其实它背后是有一些 更深刻的东西在里面的。对，你能给我们讲一讲这是怎么回事吗？好的，从几何上面看的话，一个东西的边界再去取边界的话，他就是空的。对，比如说一个三维的立方体，他的边界是六个面，那这六个面拼在一起是没有边界的。嗯，这个其实就是一个几何真理，然后我们用符号来表示的话，就是 偏 m 的 边界等于零。哦，这个真的很神奇，就是代数和几何在这个地方有这么完美的一个对应。是的，是的，而且这个在外微分里面也是一模一样的，就是外微分作用两次是零。对，然后这个也不是一个巧合，这其实反映的是一种对偶性，就是 几何的边界的边界是零和代数的外微分的平方是零，他们是对偶的。我们现在想要去理解在流形上面进行积分的基础，那什么叫可定向？为什么可定向性和仅知级对于在流形上面做积分这么关键。如果我们想要在一个流形上面 合理的定义积分的话，那我们首先要能够给这个流行定义一个方向。嗯，就是说我们要能够分得清什么叫正向，什么叫负向。对，对，这个是可定向性的一个本质， 就是一个流行 m 可定向，它的定义就是存在一个处处不为零的体积形式 m， 所以 说没有这个体积形式的话，我们就没有办法给这个流行指定一个一致的方向。对，然后仅知级的话，它其实保证了我们在积分的时候，这个积分是有意义的，嗯，就是我们的这个积分 不会跑到无穷远去，所以这两个条件加在一起，才使得我们可以在流行上面像在欧式空间里面一样的去定义积分。那这个定向的流行的边界上面的那个诱导定向到底是怎么来的？跟这个流行本身的定向有什么关系？ 如果说我们已经有了一个定向的流行 m， 那 么它的边界呃偏 m 上面是可以自然地给出一个定向的。对，这个定向我们就叫做诱导定向，然后它的定义是这样的，就是我们在边界上面取一个切向量 v 一 一直到 v n 减一，然后我们再取一个指向外侧的法向量 n， 如果这个有序的向量组 n v 一 一直到 v n 减一跟 m 的 定向是一致的话，那么我们就说这个 v 一 一直到 v n 减一是跟边界的诱导定向是一致的，这个其实就是右手定则的一个推广。 那紧知级这个东西在广义斯托克斯定律的证明当中扮演了一个什么样的关键的角色？紧知级的函数就是它只在一个封闭的有限的区域里面是非零的，然后在这个区域外面它是横等于零的。 这样的话，我们在做积分的时候，就不用担心会有无穷远处的一些边界向跑出来，嗯，因为他在无穷远处已经是零了，所以他的积分线带进去之后就会自然的消掉，所以这个井之急其实就是保证了我们在积分的时候不会出现一些奇怪的 无限的或者说不确定的东西。你可以想象一个古包函数，它就是在一个区间里面有值，然后在外面全部都是零，嗯，那这样的话，我们在整个空间上面去积分它的时候，它其实就相当于只在一个有限的区域里面进行积分哦，所以这个边界向就会很干净的消失掉。 这就是为什么我们在证明的时候一定要要求这个函数是由紧致级的。明白了单位分解这个技术到底是怎么帮助我们把流行上面的积分拆分成在每一个坐标卡上面的积分呢？其实这个想法就是我们想要去处理一个很复杂的流行上面的积分， 那我们就用一组函数 rou i， 然后它们的核是等于一的，有了这组函数之后，我们就可以把我们的这个微分形式 omega 拆成每一小块上面的 rou i 乘 omega， 然后我们就可以把这个整体的积分拆开，拆开之后每一项都是在一个坐标卡上面的积分， 那我们就可以在每一个坐标卡上面去使用我们熟悉的欧式空间的积分理论。明白了，那我们在证明广义 stokes 定律的时候，我们到底是怎么一步一步地把它从一个整体的问题变成一个局部的问题，然后再拉回到我们熟悉的欧式空间里面去进行计算的呢？ 整个的这个证明的思路它是分成三大步，第一步的话，我们是利用单位分解把我们的这个一般的微分形式的 omega 拆成了很多个，在单个坐标卡里面有紧之急的这种特殊的形式哦，这样的话，我们就把一个整体的问题变成了一个局部的问题， 那局部化了之后，我们接下来要做什么呢？接下来我们就可以把每一块都通过坐标映射拉回到 r n 或者说上半空间 h n 里面，嗯，然后我们就可以在这个局部坐标系下面把 omega 和 d w 都写出来。 最后我们再利用微积分基本定律去计算这个局部的积分，就可以证明出来这个 t 积分项和边界的积分项是相等的哦，这就完成了我们的这个证明。其实我们的思路就是很直接，我们先取一个单位分解若矮，然后把我们的这个微分形式 omega 写成和式若矮 omega， 那这样的话，我们就可以只看其中的某一项弱矮欧米伽，那这一项呢？它是只在一个坐标卡 e u 里面有定义的哦，然后它又是具有紧致级的，所以我们就可以把它通过坐标映射搬到 r n， 或者说搬到上半空间 h n 里面去，那我们就可以 在欧式空间里面去计算这个积分了。原来是这样，在广义斯托克斯定律的证明当中，当我们把问题拉回到上半空间 h n 的 时候，这个 n 减一次的微分形式 omega， 它具体是一个什么样子呢？如果我们考虑的是上半空间 h n， 那 么我们的这个 omega， 它作为一个 n 减一次的微分形式，它是可以写成这样的一个合适的 omega 等于 sigma 括号一扩回 i 减一扩回 f i d x 一 括号 d x 下发现 i 去掉 d x n， 哦，就是它是这样的 n 项的一个和，然后每一项的话都是缺少了一个 d x 下发现 i。 然后这个时候我们如果对这个 omega 求外微分的话，会得到一个什么样的结果呢？对它求外微分的话，就是 d omega 等于 sigma e i 减，一扩回 d f i， d x 一 括靠 d x i 去掉 d x n， 嗯，然后我们再把这个 d f 下划线 i 展开，就是对每一个分量求偏导嘛。再利用这个 wedge product 的 一些性质重新整理一下，我们就可以得到它是等于这个偏导数的和 d omega 等于 sigma 等于 sigma d x e d x n。 哦，这个其实就是我们熟悉的这个散度的形式。原来是这样，那在证明广义斯托斯定律的最后一步，我们是怎么去应用微积分基本定律的？然后我们怎么去把这个体积分和边界的积分联系起来的呢？ 这个时候我们要去计算这个 d omega 在 上半空间 h n 上面的积分。嗯，那我们就把刚才的那个表达式带进来，我们就会得到它是等于这样的一个和式 sigma 点 x n， d x n。 然后我们就要分成两种情况来讨论，那这两种情况分别是什么呢？一种情况是当 i 小 于 n 的 时候，我们对这个 x i 去积分的话，因为 f i 是 有紧知级的，所以它在正负无穷处都是零，所以这一项积出来就是零。另一种情况是，当 i 等于 n 的 时候，我们这时候是对 x n 从零到正无穷积分， 那这时候我们用一下微积分基本定律，我们就会得到它是等于负的 f n 在 边界 x n 等于零处的值哦，然后我们把这些都加起来，我们就会发现 这个体积分最后就只剩下了边界上的积分，而且它正好就等于欧米伽在这个边界 h n 上的积分，这就挣完了。好的，那广义斯托克斯定律到底是怎么把我们原来学过的这些微积分的定律统一起来的？其实我们只需要把这个 n 维的流行 m 取成不同的维度， 然后这个定律就会变成我们熟悉的这些经典的公式。嗯，比如说，如果我们取 n 等于一的话， m 就是 一个线段， 然后这个时候广义斯托克斯定律就变成了牛顿莱布尼茨公式。哎，那这么说的话，格林公式和高斯公式是不是也是它的特例？没错没错，当 n 等于二的时候，就是格林公式， n 等于三的时候，如果我们的这个流型是一个体积的话，那就是高斯散度定律。哦，如果我们的流型是一个曲面的话，那就是我们的经典的 stocks 定律， 所以你看到就是它们全部都被统一成了一个公式。那怎么用这个微分形式的语言来简洁地推导格林公式呢？首先我们在平面上面考虑一个依次的微分形式，我们应该等于 p x 加 q x d y， 嗯，然后我们对它求外微分， 利用这个反对换率，我们就可以得到 d omega 等于 d r t x d r t y d x d y。 最后我们再套到这个广义的斯特克斯定律里面去，我们就可以直接得到格林公式了。这个推导过程比我们传统的那种向量分析的方法要简单太多了。对啊，你看我们完全就是纯代数的运算， 也不需要去想什么复杂的几何关系，然后三行就写完了，就非常的漂亮，我有。那这个外微分算子和边界算子之间的这种对偶性到底是怎么解释了分析和拓扑之间的这种深刻的联系的？这个其实就是呃， stokes 定律告诉我们的这个 y 微分算子 d 和边界算子偏，它们是对偶的，就是这个公式里面写的这个呃对偶形式 d， m 和 v 的 配对在 m 上的积分，等于 m 和偏微的配对在边界上的积分。那这个其实就是让我们可以把分析里面的这个微分运算 和拓扑里面的这个边界的运算联系在一起了，就是一个是刻画微观的变化，一个是刻画这个宏观的结构。那我们最后来总结一下，就是说这个微分形式和广义的斯托克斯定律到底给我们理解微积分和几何带来了哪些本质上全新的观点。 首先第一点就是这个微分形式，它是一个真正的让多变量微积分统一的语言，嗯，它是一个不依赖于坐标的语言， 所以它是让我们可以在任何的流行上面去做这个微积分，它是一个非常强大的一个语言，所以这个就是相当于给了我们一个统一的框架去处理各种不同的几何和物理问题。对，然后第二点就是这个 stokes 定律， 他是一个真正的沟通了区域内部的局部性质和他的边界上的整体性质的一个定力，嗯，然后他的这个核心的对称就是几何上面的这个边界的边界是零和代数上面的这个外微分的平方是零， 这两个东西是对偶的。然后这个公式 m 上的 d w 的 积分等于偏 m 上的 w 的 积分，就把所有的这些东西全部都串起来了。好，今天我们聊了这个广义的斯托克斯定律，是怎么把这些看起来非常不一样的微积分的定律统一在一个框架下面的。 对，然后中间其实我们也看到了几何和代数是怎么通过这个微分形式产生这么紧密的联系的。行，那我们这期节目就到这里了，然后感谢大家的收听，然后我们下次再见，拜拜。拜拜。

物理选择题满分不用算，因为选择题全对实在是太简单了，简单到都不用草稿纸。先问你个问题啊，做一道物理题需要多久？十分钟？五分钟啊，跪搓！ 你信不信我能让你啊，只需要十秒甚至口算出答案，而你学会它甚至都不需要任何基础。如果你现在高二高三物理还在四十到七十分卡着，公式会背不会用，大体无从下手，小题总踩坑。那今天就给你分享我们团队的 题分大招，嗯，所以这个神奇的东东到底是什么？二级结论，我只想这一次听好了。今天我们先讲拉密定律， 我们看到这幅图，拉密定律描述的是，若这三个力受力平衡，那么一定会满足其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的笔折相等，即 f 一 比塞尼阿尔法等于 f 二比塞尼贝塔等于 f 三比塞尼伽玛。我们拿一道立体举例， 我们可以知道 o a 为 f 一， o b 为 f 二，我们标注一下角度，根据拉密定律，于是会有这条公式，既比塞尼阿尔法等于 f 一， 比塞尼贝塔等于 f 二比塞尼伽玛。 根据提议，记和阿尔法都是不变的，所以这个等式的比值不变。于是呢，我们就只用判断贝塔和伽马对应的三个值变不变，就可以知道 f 一 和 f 二怎么变的了。秒出答案， a c 是 不是比辅助原法正确很多呀？最后，高考物理像这样好用的二级结论呢？还有很多，学会了就会像我们带出的学生一样，至少八十加打底。我们团队啊，深耕高考十年，累计帮助了数十万学生高考逆袭。 如果你高二高三物理四十到七十想要稳涨分，九八五名师团给你局密涨分课，翻年级加分数，每日限一百名。

十分钟超详细讲解，带你从本质出发，彻底学会动能定律！哈喽，大家好，我是你们的高中物理张老师，今天来给同学们讲一讲动能定律啊， 相信很多同学你通过自己预习也好，或者是学校的进度快，也好像已经学到这一部分了，那么动能定律它其实是一个功能关系的体现， 所以在这里大家第一次接触这个做工也好，能量这个概念，可能就会有些迷茫， 所以老师就在这里啊，用几分钟的时间带大家把功能以及动能定律彻彻底底的给它搞清楚。那要从哪里说起呢？其实我们是要从牛二说起的， 大家在扭二，大家对于扭二应该就会很熟悉了，我们在这里学到了什么？学到了立式改变物体运动状态的原因对不对？ 立式改变物体运动状态的原因，那他是怎么去改变的呢？ 哎，大家那个式子就是纽二，是不是也对，我们荃明了，也就是 f 等于 m a， 从我这个式子，我的 f， 它去改变了我物体的加速度，从而去改变了我的 v 也好， x 也好等一系列的运动学参数。 哎，这是不是我们纽二学到的？而这个有的同学就问了，那和我们的弓能关系有什么联系呢？哎，确实有联系，那就是在我们的弓这一块， 我们知道力会改变物体的运动状态，并且牛肉告诉我们可以通过改变它的加速度来完成这一项。那对于我的弓来说，弓的定义是什么？大家记住，弓的定义就是力乘以力的方向上的位移，对吧？ 力和力方向上位移的乘积， 那这句话是什么意思呢？如果用式子表示，就是 w 等于 f 乘上 x， 可能还要乘上一个 cosine sine， 它，因为它是要在力的方向上的位移。那我们一个来解释解释第一点， 为什么非要是力的方向上的位移呢？是因为啊，我的弓它，其实你要说白了它的含义，我们可以把它理解成还是我力作用效果的一个体现。 力是改变物体运动状态的原因，那力是怎么改变物体的运动状态呢？功也是可以体现的， 我的力可以通过在位仪上的积累，也就是说在我运动位仪的积累 去展现出我的效果来。那你想既然是在我位仪上的积累，那你如果没有位仪的话，是不是就不能展现这个效果？ 我给大家举一个例子，就比如在这里有一个水平的地面，然后呢上面放了一个小物块，他在有一个斜向上的拉力 f 的 作用下，往右边运动了 x 这么大的微移，那这个时候他的功是多少呢？你能是 f 直接乘上 x 吗？当然不可以， 因为在这里你是不是只有一部分的力在我这个水平向右的微移上完成了累积啊？如果我给他 做一个分解的话，是不是有一个沿 x 方向的分力，以及沿数值方向的分力 f y 是 不是只有我这个 f x， 它在我的位移方向是有累积的，而对于我的 f y 来说，在你这个方向是没有位移的，所以你这个 只能说是不做功，对吧？你没有把我力的作用效果给它体现出来，所以在这个时候我们就清楚，如果我要求这里的功，是不是就要求我的分力 f x 啊？让我的分力 f x 再去乘上我的位移 x 才是我真正的。 如果这里的假角是 c， 它的话，那就是 f 乘上个 cos cos cos， 再乘上个 x， 哎，这就是我们这个 w 等于 f x cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos coscos cos 那再继续往下想，功他是我立在位宜上的积累，也是我立去展现作用效果的一种方式。那你展现的作用效果去哪里了呢？哎，就去这里了， 去了我的第二点，这里你立做功。做功引起了什么？哎，引起了我能量的变化， 合力做功等于我动能的变化量， 哎，这是不是就是我力的作用效果的体现的最根本的、最直接的表达形式？如果你做正功， 那什么叫正攻呢？就是力和我的速度在一个方向上，力让我加速吗？你起一个正向的作用，那就是正攻就会怎么样？就会让我的动能增加。 而如果你做副攻，则起一个反向的作用，就会让我的动能减少。我的动能是啥？ e k 等于二分之一 mv 方， 那你看，其实我能量某一种角度也是有从和我的速度挂钩的，是不是？所以其实你动能的变少增加，是不是就相当于等价于我速度的变大或变小啊？你看，这样就能看出来我功能关系和牛二之间的联系了吧？ 只不过是从我立式改变运动状态的另一个角度入手，换了一种不同的作用效果， 即我在位仪上累积的效果导致了我能量动能的变化，这就是我功和动能的本质。而关于这个公式，它其实如果我们说纯推导，那也可以推导出来， 那已知啥呢？你看，其实我们的推导过程也是从我们的本质入手的。首先我知道力改变物体的运动状态是由于我的 f 等于 ma 来改变的，而我又知道我做功 w 等于 f x 乘上 cosine sine 它 还知道啥呀？还知道你现在我的加速度在一定的微移下引起了我速度的变化，那我常记的公式是不是微方减去微零方等于二 a x， 这个时候如果我去把我的 a 去把我的 x 换掉，是不是就等于二乘上 f 比上 m， 再乘上一个 q， 乘上个 cosine 它？ 而如果我们一般认为如果没有夹角，也就是我立的方向跟我啊微移的方向是相同的时候，我这个 cosine c 它是不是可以消掉？ 那么在这种情况下，我的 f 也是可以消掉的。那这样我去把我的二和 m 去移到我的左边来，是不是就可以得到我大家最常见的动面积的公式，也就是我的公等于什么？等于二分之一 mv 方减去二分之一 mv 零方， 哎，左边就是我这个合力做的总攻，大家一定要清楚，这里是总攻，而你如果又又有做正攻又有做副攻的话，那就是正攻去减去我的副攻呗。 而右边，哎，这是我的末状态的动能 e k 末，这是我出状态的动能 e k 出， 那是不是就是我动能的变化量等于它 e k 啊？哎，大家看，其实从公式的推导上，我也是能够根据我们的本质去把公式给它推导出来的。 所以在这里我们的动能定律其实学了这里之后，我们做一系列的问题就很好去解决了，尤其是哪类问题呢？尤其是在这个过程中，我们没办法去把加速度 a 去给它求出来， 从而导致啥呢？导致我们没办法去求我的出速度也好，默速度也好，对吧？那这样是不是我就能够用我的动能定力，不需要知道加速度 a， 只需要知道我所做功，就能够去把我的出默速度求出来。哎，我们功能关系的优势就在这里， 他和再再次强调一次，再次强调一次啊，我的功能关系，动能定律和我们的牛二来说，只是我力改变运动状态的不同角度的体现，但是他们的本质都是一样的，只是我力改变的运动状态。 只不过通过牛二，我可以去求加速度，从而去求我的 v x， 而通过我的动能定律呢？我求的是啥？我求了功之后可以去求我变化的 v， 本质是一样的。在一般的情况下，有一些题型，你能用动力学角度给他解出来，用我的功能关系也是可以解出来的，他俩是相互联系的哈。还有其他的一类问题呢，你有可能就是说用我的 动力学可能不太方便解，用我的功能关系就很简单。甚至还有一类题，你可能功能关系不方便，那我的动力学就很简单，也会出现这样的情况。那接下来我们就直接做一道题来练练手。好吧，好，来来，看这道题，我们只看第一问啊，只看第一问，剩下二十三问，大家可以自己去做。 你看第一位说我 abc 是 竖直面的固定轨道， ab 水平且粗糙，长度是二 r， 给它标记住，然后呢， bc 是 半径为 r 的 四分之一，光滑圆弧与 ab 相切于 b 点，然后一个质量为二千克的小球，以五米每秒的速度从 a 运动到 c， 速度为一秒， 对吧？从这里运动到 c 点，这里是五秒，这里是一米每秒。然后呢，现在问我们在 b 点的时候的速度大小，那你想 按照我们的思路，我们该从哪里求呢？如果按照我们以往的方法，我们肯定是想把这的摩擦力给他求出来，从而去求我的加速度 a 求了之后又知道这里的微移，我用一个微方减去微零方等于二 a x， 是 不是就能够去把我的末速度给他求出来啊？ 但是很遗憾，在这里我们并不能求出我的摩擦力，因为你甚至不知道他们之间的动摩擦因素喵，是不是？那在左边 a 到 b 这一段，我能不能去用功能关系去求呢？ 那还是那句话，不清楚为啥，因为如果你要用动能定律，那在这一段只有什么做功啊？还是说对我的小物块受力分析，那是不是就受到向下的重力以及向上的 fn 以及一个向左的摩擦力 f？ 那 你要求我在水平方向上摩擦力做的功的话，那你依然是要知道我摩擦力的大小，对吧？因为你 w 是 等于 f 乘上 x 的， 你 f 仍然是等于 m 小 g 的， 说明什么？说明你在 a b 这段，不管是我的动力学还是我的做工的角度，是不是都没办法求，我们只能另作考虑，大家去学习我们的这种分析思路，我只能从哪边考虑呢？哎，只能从 bc 段去考虑了。为啥？ 如果在这里把我的小球放在 bc 段 b 的 使起始，那 bc 段是不是光滑的？光滑就没有摩擦力做功，我们是不是就不用考虑摩擦力做功了？而在这段过程中，我小球受到什么力？是不是只受到一个重力以及我这个光滑圆弧给他的支持力啊？ 那大家想，那从我 b 到 c 的 过程中，重力和光滑圆弧给我小球的支持力都做功吗？先想重力，那肯定做功呢，因为你从，因为你从 b 上升到了 c 这一段是不是上升了一个高度 h 啊？这个 h 就 等于我的半径二， 那是不是说明我力在力的方向上其实是有外移的，所以在这个时候我重力做功，它其实就是我的 m 小 g 二， 并且做的是什么弓啊？做的是副弓，为啥？因为你是不是阻碍我的小球往上运动啊？你是向下的，而我小球是向上的，你在阻碍我的运动，所以你你的效果是不是应该是让我的速度减小？所以在这里我要给他加一个符号，因为你做的是副弓， 而我湖面给小球的支持力做功吗？那大家想喽，在这里是不是我给他的支持力永远是垂直于我的速度方向的？因为我的速度是沿我的 弧线的切线方向，而我支持力永远是和切线方向垂直的。那我在这个情况下， 我是不是其实就不做功？因为在我支持力的方向上并没有物体的微移啊，所以在这个时候我的支持力是不做功，那么在这个阶段是不是只有我的重力做复功， 那他所做的这个复功是不是就等于我动能的变化量，也就是二分之一 m v c 方，减去二分之一 m v b 方。那你看 v c 方我们知道吗？当然知道啊， vc 等于一米每秒，那在这个时候已知 m， 已知重力，已知 r， 是 不是我就能够去把我的 v b 给它解出来？ 哎，这就是我们分析问题的思路。当然大家做熟题了之后其实很轻松，就知道我们要从这个角度去解决。但是大家初学的时候，我还是说我们把各个思路去给他分析一遍，我们明白这个本质的问题， 其实这有三种角度，那我们为什么最终是选择了这个角度呢？肯定是前面有他的不可行之处， 建议大家之前在学习之初多用几种方法去给他进行思考。好啦，今天就是简单的花了一点时间带大家去讲了一下动能定律，因为有很多同学想让我去出这一部分。 很快大家看到这个视频的时候，应该已经是过年了，马上要。那就祝大家新春快乐，平安幸福，身体健康，万事如意。 好吧，也祝你们以后学业成绩节节高，拜拜。

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