三下新版数学如何画平行线和垂直角

大家好，今天我教大家就是有上三年级的朋友们，有一些题型不会，就是角和线， 最后画的最后一课就是怎么着画平行线，有这种题型，有的大家不知道，呃，接下来我就告诉你们怎么画，首先要拿出一个直尺，什么样的都行，只要能量对准他出的这个点线，直线 a， 他这有一个直线 b， 拿尺子对好直线 a， 这时候注意了，要拿直角三角尺， 直接对准这个，要贴紧这个，左手死死的按住尺子对好横线，接下来千万不要眨眼，看我怎么做， 直接往下拉。这里我有一点要提醒你们，拉，不是这样拉，不是尺子和这个一块拉，而是只有 三角尺拉，这个朋友们千万不要出错了，然后画一条，按住，按住，按住啊，这个好，按住了，画一条长长的线，好，这就是我们的平行线了。 还有一种题型是给你一个点屁，让把 a 和 b 这两条平行线都画上好，还是按咱们刚才那种方法，先画 a， 抵住这个 a 点， 抵住这个 a 点，用这个直角三角尺还是比比对好这个直线，然后往下拉，注意这里了，这里要画一个长长的线。好了，现在我们要画点 p 了， 点屁呢，这回要对好点，要点 b， 这回要对好点 b， 对 好它，这回注意了它，它的点在这好，对好 手，拉拉拉好，这时候就对准了，再画一条长长的横线。以下就是三年级上册数学书易错题那种。好了。

两条直线相交可以产生四个角，当其中一个角为九十度的时候，我们便称这样的相交为垂直。那么垂直实质上就是一种特殊的相交，那么它特殊在哪里呢？一般的相交我们不知道度数，我们只知道相对的是相等的，而相邻的呢，是互补的。 而我们特殊的香蕉垂直啊，我们知道这四个角的度数都是什么？九十度，所以这就是我们垂直能作为特殊的香蕉它的特殊之处。它四个角我们都知道九十度，而一般的香蕉呢，我们是不知道的。既然垂直这么特殊，我们该如何表示垂直呢？按道理说，我们学过语文，我们可以用文字书写 ab 垂直于 cd， 可是垂直太特殊了，它太有用了，所以我们把垂直于这三个字呢，我们用一个倒着的大写 t 去表示啊，这样表示多方便。 ab 倒着的一个 t cd 就 代表的中文意思就是 ab 这个线段垂直于 cd。 好， 这样表示以后大家思考一个问题，然后这是一条直线，有多少条直线跟这个直线垂直呢？我想我们应该能画出来无数条，那如果过这个 p 点，又有几条直线跟下面这个直线垂直呢？ 我想我们应该能猜到是只有一条，那如何画出来这一条呢？啊？我们知道垂直呢，是要有九十度的，而我们的直角三角板是不是有九十度呀？那我们就利用这个三角板去画他的垂线怎么画呢？首先我们将三角板的其中一个直边跟一只直线，嗯，靠近重合，所以我们第一步先靠用直边靠一只直线，然后呢再平移，将这个直，将这个 三角板向左平移，平移到什么时候就结束？平移到另外一条直边，过我们的已知点的时候就结束啊。所以第二步我们去移啊，靠移，靠完靠了，靠了以后，移了以后下来怎么办呢？我们画就行了， 过，我们沿着这个另外这个直边，我们画一条直线就行了，这就是我们垂直的一个性质，过直线外一点只能画出来一条直线，与已知直线垂直。

同学们请看大屏幕，这是两道无刻度尺尺作图题，也是我们江西中考从一三年到现在的话一个特色的题目。这两个题目的难度不低，其实是挺高的，但是我觉得也挺有趣。 首先第一问，他是要我们在直线 l 上找到一个点 f， 使得 c、 a、 f 等于四十五度，当我们看到四十五度的时候，自然而然会想到等腰直角三角形的两个底角。 所以如果说我能够构造出这样的一个等腰直角三角形，我想这个问题就解决了。好，同学们，你看这个点， 假设我已经找到了和它垂直的这条线段，并且保证这条线段和咱们的 a 的是相等的，那么你看 a、 b、 g 是 不是就是我们的想找的等腰直角三角形，那自然四十五度就出现了，这个就是 f。 现在问题就是怎么样才能找到 d、 g 和 a， d 是 垂直的，我们马上没想到一线三垂直，我们关注这个直角三角形， 他的两条直角边之比的话，应该是二比上二分之一。所以我们要去找到这样的一个三角形，他的两条直角边之比也是二比二分之一， 这个是二分之一，这个是一。其实只要找到这个二分之一的话，这条长的直角边二就结束了，短的直角边只要它是一半就 ok， 很 简单，这就是二分之一。 那么这两个三角形是不是就是全等的？一全等的话，所以 a、 d、 g 它就会等于九十度，并且我们有 a、 d 和 d、 g 相等， 那就是要找这样的一个 g 点呗，这个 g 点的话，不就是我们这个正方形的对角线的焦点吗？第一问迎刃而解，第二是 它是说要找到一个过点地去找到 d h 和 a g 垂直。好，我假设已经找到了，这个是这个 我们研究一下啊，对于这个三角形来讲， 这段的长度我们马上用平行线分线段成比例，它应该是等于四分之一等，还是回到了我们第一问当中的同样的想法， 这个三角形构造出来的话，你要跟它垂直，其实就是这个三角形和咱们这个三角形是全等就 ok 吧，一线三垂直， 所以我就要找到他们的边长之笔，两条直角边应该是二比一的。 好，二比一的话我这里已经有了一，那么我们来看一下，这一段是四分之一，这段的话是一，那么这段要多少要四分之三才可以满足？这条边长是等于二的 是吧？也就是换句话来讲，我要在这条线段上找到这个 q 点，使得呢 o q 的 长度等于 四分之三，马上就想到构造相似，平行线分线段成比例，你看一二三四，我数四个格子， 我再把这个一连，你看这段的长度是不是就是四分之三？毫无疑问，因为三比四，所以这个就是 四分之三加四分之一，再加一，这段的长度就等于二，所以这就是一比二，那么也就是这个三角形和这个三角形是全等的， 这个角九十度证明非常简单。所以这两个题目啊，应该来讲将我们的一线三垂直以及平行线分线段成比例 玩的非常的深，你们可以仔细再体会一下。

这是一道含金量非常高的平行线中的易错题，同时也是一个无图多解的问题，在考试中属于必考题型， 很多学生就算看答案也看不懂他到底是怎么来的，那么今天我们用一个视频给大家讲明白这类题型的方法以及归类的核心结论。好，我们来看一下这个题目，他说若角 a 与角 b 的 两边，一条边是平行的， 另外一条边是垂直的，而且呢两倍的角 a 减角 b 等于二十一度，让我们求角 a 的 度数。 好，那么这个题目我们到底该怎么做呢？首先是没有图的，我们需要去画图，那么怎么画？首先我们可以先画个角 a 吧， 那角 a 怎么画呢？这个时候要注意了，因为我们不清楚角 a 的 大小，也就是说从角的分类来看，角应该分为锐角和钝角，直角是特殊情况，我们就不考虑了，所以说拿到这个题目以后，我们就得考虑一下角的锐角情况和钝角情况。 好，那么首先呢，我们把角 a 当做是一个锐角，那么这样的话，我们可以画成一个这样的图形。 好，那么现在的话呢，脚臂呢，他说了有一条边和他是平行的，有一条边和他是垂直的。好，那我们就在旁边画一下，如果说这个脚臂啊，这个水平的这条边呢，和他是平行的，那么另外一条边和他垂直的话，那我们可以过这个点做一条他的垂线， 这样他就可以垂直的呀，对不对？但是要注意了，这个垂直可以这样画，也可以从反向来画，也就是说这个时候的话呢，当角 a 是 锐角的时候，其实角 b 呢应该是有两种画法的， 第一种画法是往上做一个垂直，那么还有第二种画法就是往下去延长做一个垂直，所以呢我们把这个图形呢再来一次，就应该是有两种情况， 好，第二种情况的画法，我们就应该把这个 b 啊，这个角呢做一个反向的，也就说此时的延长线，对吧？这个延长线呢，就应该和它是属于垂直的一个位置关系，好，这里就是直角， 那我们来看，在这种情况下面，我们可以得到角 a 和角 b 是 一个什么样的关系呢？首先啊，注意这里是垂直的对不对？那么根据平行的条件，我们肯定要用啊，那么这个角 b 就 可以直接给它同位到这一个地方来， 那你说在这个时候角 a 和角 b 是 什么关系呢？在没有学我们的三角形内角合之前，我们需要呢，相当于把这个九十度要用出来， 而这个九十度不在平行线上面，所要过拐点做平行。当然如果你学了三角形的内角和的话呢，这个地方相加就应该为九十度，当然我们还是给大家做一个平行吧。 好，那么现在做完平行线以后的话呢，角 a 移到这里来，角 b 移到这里来，所以在这种情况下面，我们得到的是角 a 加上角 b 应该是等于九十度的。 然后呢，再结合题目的条件，他说两倍的角 a 减去角 b 也是等于一个二十一度的， 所以我们解这个方程组就可以得到最后的角 a 应该是等于三十七度的，所以这就第一个答案，就是角 a 为锐角的时候，那么再看第二种情况，那就是这个地方的话，我们 b 点的话呢，是这一个角， 那同样道理，我们来看看他们的关系是什么呢？一样的利用平行线，我们把这个角 b 呢给他移到这里来，对吧？这里就是角 b 了， 那么现在你会发现，那这一个角的话呢，就相当于是角 b 的 零补角，这个零补角和角 a 加起来就应该等于这个地方的九十度，所以可以得到是角 a 加上一百八十度，减去角 b 就 应该等于九十度， 对吧？所以这样的话，我们就可以得到此时的挪过来以后得到角 b 减去角 a 呢，就应该是等于九十度的。 好，那么接下来我们再把另外一个已知条件两倍的角 a 减角 b 放到一起解一个方程组，我们就可以得到角 a 等于一百一十一度。 好，到这里来就一定要注意了，因为我们的前提条件是角 a 为一个锐角，对不对？那你会发现我们此时算出来的角 a 是 一百一十一度，所以这种情况一定要注意了啊，并不是你算出来每一个答案都是正确的，这种情况我们要把它舍掉， 所以这就是角 a 为锐角的情况，那么同理，我们现在的话呢，这个角 a 呢，它可以，为什么它可以为钝角呀？所以在这种情况下面，我们要再画两个图吧。好，第一种情况我们画过来 啊，角 a 如果说是一个钝角，这个角是角 a， 那 么一样道理，我们先把角 b 的 话呢，画出来，这条边和它是平行的， 那么另外一条边呢？和他垂直对不对？那这个垂直还是臂在这里的话，我可以把这个线要怎么样？哎，要给他延长啊，对不对？延长然后过臂呢？做他的垂线， 那么这个第二条边他就是垂直的，所以脚臂呢，就应该在这个地方看到没有好，那么这样的话呢，我们来研究一下他的关系是什么？一样的，这两条线是平行的，一定要用，那么我们把这个线给它拉长， 那么十的角 a 同位角就到这里来了，对不对？那么这个角呢，就是角 a 的 零补角，对吧？补角一百八十度，减角 a 再加上角 b 就 应该等于九十度，所以我们得到一百八十度，减去角 a 加上角 b 就 应该等于九十度，这样的话，我们可以得到角 a 减去角 b 就 应该等于九十度了。 同样的，结合两倍的角 a 减去角 b 等于二十一度，这样我们可以求得角 a 等于多少呢？它减它又发现它是一个负的六十九度，那很明显这肯定不成立嘛，对吧？所以这种情况呢，我们也给他舍掉， 对不对？所以这是第三种情况。那么接下来还有第四种情况，那就是我们这个地方的 b， 他 应该往反向来画， 也就说这个时候呢，垂直依然还是垂直，但是我们的脚臂呢，应该是往上面做一条线，这是我们的脚臂，然后呢，它的延长线和它是垂直的， 对不对？那么接下来我们来看角 a 和角 b 是 一个什么样的关系呢？一样的，通过平行角 a 可以 移到这里来，对不对？那你看这个角就是角 a 的 补角， 这个角就是角 b 的 补角，也就是说角 a 和角 b 的 补角加起来是九十度，所以就是一百八十度，减去角 a 再加上一百八十度，减去角 b 就 等于九十度了， 这样的话呢，我们整理一下，得到角 a 加上角 b 就 等于两百七十度，看到没有？所以这样的话呢，我们再把前面的条件，两倍的角 a 减去角 b 等于二十一度，结合起来， 我们相加得到三个角 a 就 等于两百九十一度，所以角 a 就 应该等于 九十七度，那么九十七度正好就是满足角 a 为钝角的情况，所以你会发现，我们是可以通过角 a 为锐角和钝角分两大类，然后再根据它的垂直方向再分两大类，也就说完整的来看，一共有四大类型， 所以通过四个类型的分类讨论呢，我们最终得到的正确答案其实只有两个，所以像这类题型大家就一定要注意了。 好，那么此时呢，我们可以稍微的总结一下，就是以后再做这种题有没有什么规律呢？我们来看一下，在第一个图形中，我们总结出来的是什么？是它们的核为九十，也就是它们是一个互余的状态。 好，再看第二种情况呢，你看它们相减是九十，角 b 减角 a 是 九十，角 a 减角 b 是 九十，这是它的第二种情况。 好，第三种情况里面呢，是和为两百七十度。所以最后我们可以得到的结论是什么呢？那有三个结论，大家可以把它记下来，以后做这类题目，其实不用画图也可以很快。第一种情况，那就是和为九十度， 然后第二种情况呢，就是和为两百七十度，那么第三种和第四种情况我们可以合到一起，就是他们俩相减等于九十吧，那么到底谁减谁呢？不知道，我们就相当于用角 a 减角 b， 加上一个绝对值等于九十度就可以了，所以最终一共有三大型的结论。然后的话呢，计算的时候有四种情况，但是要注意取舍，要满足 a 和 b 的 关系，你学会了吗？

同学们，上节课我们已经认识了平行线的四个基本模型，也知道了怎么用模型来看图找角。这节课我们不再学新模型，就用我们已经掌握的这四个模型，用傻瓜式 证明的思路，把几何证明题一步一步写出来，写规范，不管题目怎么变，只要抓住模型，抓住思路，咱们就能稳稳拿分。下面我们正式开始 啊，这是上节课咱们学习的四个模型啊，这三个角之间的关系， 铅笔模型、竹体模型、臭角模型、骨折模型，角一角二角三四个角之间的关系。那这个小题咱可以直接用，就可以节省很多这个时间。大题咱需要把这个结论得需要再重新证明一下。 好，下面咱看这个例题，你看已知 a、 b 平行 c， d， 角 a， b、 f 等于角 d、 c、 e。 这里用三种方法来证明，角 b、 f 一 等于角 f、 e、 c。 那 咱知道上节课咱都已经呃说过咱证明这个 四个模型的时候啊，才知道过拐点做平行线，那是像咱这道题也是过拐点做平行线，可以过这个点， f 做平行线，也可以过点 e 做平行线。那这两个就可以有两种证明方法， 那还有一个就是咱可以延长 b、 f、 d、 c 的 交点，这个咱也可以证明。另外咱也可以延长 c、 e 和 ab， 或者我们延长 e、 f 向两端延长。所以这个证明方法应该是有很多。好，咱这节课主要就讲一种方法啊，一种方法咱就是过这个点 f 做 f、 p 平行 ab。 那 接下来就是咱还是利用咱这个傻瓜的证明。已知求证，先写全目标转化线索联， 那先把 ab 平行 cd 这个角等于这个角，所以这个角等于这个角。先把已知求证先写明了，那接下来咱来看由这些已知条件能得到哪些结论。 那所以这三条直线都是平行的，那一平行咱就可以得出来。呃， 这两个角角 b 和这个角它俩是内错角，所以咱就可以得出来角 a b f 等于角 b f p 两直线平行，内错角相等。另外这一个， 这一个图形 p f e c d， 这个图形它实际上就是咱上节课的主体模型，所以咱也可以直接得出来， 这个这个角加这个角等于这个角，但是这个得需要证明， 咱在这里咱就不再证明了。你下去之后，你再写这个证明过程的时候，你还需要把这个过点一做这个平行线，然后把这一步一步证明过程要给他写出来， 那现在咱就可以线段连了，这两个相等，那所以就可以等量代换就可以得出来这两个角也是相等的。另外这一个它俩也相等，所以你就可以把这个 b f p 等量代换给它，换成 角 p f e 加角 b f p 等于角 f e c， 那 这两个角相加，就是角 b f e， 所以 这两个角相等，那这个证明过程，呃，基本上就 完了。那只不过是你要在证明时候，这个结论不能直接用咱这一个省略了。你下去之后还需要把这个图形它的证明过程还需要再补充完整 好。这个你看咱还是利用这个傻瓜式证明，呃，还有加上咱这个模型四个模型，这个主要是利用主题模型，咱就可以给它证明出来， 所以这是这个主题模型证明过程得需要把这个加上 啊。这节课我们没有学习啊，新模型就是把之前学的啊，四个平行线 模型，用熟用透，用傻瓜式证明的方法。先傻瓜式证明，再套模型。大家会发现，几何证明其实一点都不难，只要思路固定，步骤规范，每一道题都能轻松拿下。 课后把今天的例题再看一遍，把模型将傻瓜式证明步骤在脑子里过一遍，下下节课我们继续用这套方法解决更复杂的题目。好朋友们，再见！

同学们，上节课我们已经认识了平行线的四个重要模型，也知道了怎么用模型来看图，找角之间的关系。这节课我们不再学新模型，就用我们已经掌握的这四个模型，用傻瓜式证明的思路， 把几何证明题一步一步写出来，写规范，不管题目怎么变，只要抓住模型，抓住思路，咱们就能稳稳拿分。下面我们正式开始，这是咱 学习的四个基本模型，所以这些基本模型，嗯，咱们能够从复杂的题目中提炼出来这些基本模型，我们，嗯做题就很容易。好，下面咱看这个例三， 这个图形，咱要从这个图形里面能够提炼出来基本的模型。好，这里边咱可以看出来，有一个是铅笔模型， a、 b、 e、 d、 c， 这个模型是一个铅笔模型， 那另外咱还可以看出来有一个是 a、 b、 f、 d、 c， 这一个图形是一个主体模型， 所以从这个图形里面咱就可以看出来，这里边包含两个基本模型，所以咱就可以根据模型再利用傻瓜式证明，咱就可以给他解出来。下面咱就来看这个解题过程， 那还是一只求证，先写全目标转化线索联，所以咱在解的时候先把一只一只一只求再写出来。 那有这个 a、 b、 平行 c、 d， 咱可以看出来这里面包括两个基本模型，所以这两个基本模型咱就可以得出来，角 a、 b、 e， 加角 e， 加角 e、 d， c 等于三百六十度，这是这个铅笔模型。 还有咱这个凸梯模型，角 b、 f、 d 等于角一加角三，所以咱有这个呢。呃， 哎，这个在证明的时候还必须要把这个证明过程再写出来，这个过程再不再写了，咱主要讲这个思路啊， 这是有这个已知，咱可以得到了结论，然后再看有这个已知，那这个很很容易咱就可以知道啊。角平分线，角一等于角二等于二分之一，角 a、 b， 一 角三等于角四等于二分之一，角 e、 c、 e、 d、 c。 啊，又因为角一等于六十度， 角一等于六十度，他三个相加是三百六，所以这两个相加就等于三百啊。他这个角 b、 f、 d。 等于角一加角三， 嗯，角一是等于二分之一，角 a、 b， 一， 角三是等于二分之一，角 e、 d、 c。 所以 咱把这个角一角三代换一下，这两个都有二分之一，都有二分之一，所以咱就可以把这个二分之一提出来， 等于二分之一。这两个角相加，咱刚才已经知道这三个角相加是三百六，这个角一又等于六十度，所以这两个角相加就等于三百六减六十， 所以结果就等于一百五十度。你看这一道题，咱利用咱这个傻瓜式证明，还有就是这一个 基本模型结合起来，那这一道题就很容易就解出来。如果这一个解决过程，呃，这一个主体模型和铅笔模型这个证明过程要另外再给到补充完善，所以这个证明过程是比较长的。但是这个主体模型和 铅笔模型它的证明过程，所以刚才这一个咱需要就是要给他补充完成，这个还是咱这个过程还是不完整的，这个如果这样写，最后肯定要扣分啊。 好，同学们啊，今天这节课我们没有学新模型，就是把之前学的四个平行线模型用熟用透，用傻瓜式证明的方法，先傻瓜式证明， 再套模型。大家会发现，几何证明其实一点都不难，只要思路固定，步骤规范，每道题都能轻松拿下。 最后把今年的例题再看一遍，把模型加傻瓜式证明步骤在脑子里过一遍，下节课我们继续用这套方法解决更复杂的题目，好朋友们再见！

我们来看这道题，如图， a， e、 b， d 是 角 a、 b、 m 的 高 a， e， b， d 交于点 c， 且 a、 e 等于 b， e 求证 d， e 平分角 m， d， b。 那 么这道题是一个有关角平分线的三角形问题。首先第一个，第一个条件是 a、 e、 b， d 是 三角形 a、 b、 m 的 高，那么它的高就代表这个角等于九十度， 那么 m， d， b 等于九十度，那么 a、 d、 b 也会等于九十度，那么这个 ad， a、 e 的 话呢，就是角 a、 e、 m 等于九十度，角 a、 e、 b 也等于九十度， 那么这是一道证明题，也就是因为 a、 d、 b， a、 e、 b， d 是 三角形 abm 的 高，那所以呢，在这个图上，我们能找到四个角相等， 即为角 b， d， m 等于角 a， d， b 等于角 a， e， m 等于角 a， e、 b 等于九十度。 第二个条件， a、 e， b， d 交于点 c， 这个在图上我们就可以看得出来，且 a、 e 等于 b， e， a， e 等于 b， e， 也就是这两条线段相等，求证 d， e 平分角 m， d、 b， 也就是需要我们求证这两个角相等。 那么我们现在来看这道题，我们利用 a、 e、 b， d 是 三角形 abm 的 高，求出了四个角相等，它们就都等于九十度。 首先这一道呢，它也是有关于三角形全等的问题，我们知道了一个 a， e 等于 e、 b 这两个这两条线段相等， 那么所以我就给大概推断出它是想要我们利用这个条件。然后呢，来求出三角形 a、 m、 e 和三角形 e、 c、 b 这两个四角形全等。首先我们如果想要证明它们两个全等的话， 第一个条件就是它已经有了一个它己，它已经有了一条边相等，我们再继续来找剩下的两个条件。 首先第一个我们可以看出来这里有一个八字倒角的关系，我们注意来看这个三角形 a、 e、 a、 d、 c 和四角形 c、 e、 b， 在 这里呢，我们可以看出来它是一个八字的模型，那所以如果这两个角相等，那么这两个角就相等， 那么这两个角角相等吗？这个角是角 a、 d、 b， 这个角是角 a、 e、 b， 那 么 a、 d， b 和 a、 e、 b 相等，那么也就是这两个角相等，所以呢角 m、 a、 e 就 会等于角 e、 b、 c， 那么也就是因为角 a、 d、 b 等于角 a、 e、 b， 那 么所以根据八次倒角的关系，我们就会得出角 m、 a、 e 就 会等于角 e、 b、 c， 或者说 c、 b、 e 都是一样的。那现在我们已经找到了一条边和一个角的关系，那么其实剩下一个，那么剩下一个还有一个角，那就是这两个角相等，角 a、 e、 b 等于角 a、 e、 m 这两个角相等，它们都等于九十度，所以呢，这就是我们的第三个条件，第一个、第二个和第三个，那么我们用的是一个角边角即为 a s、 a 的 条件， 我们就写在三角形，首先第一个三角形是三角形 a、 m、 e 和三角形， 在这里呢，我们需要注意它这个字母之间的对应，首先点 a， 它对应的是点 b， 或者说角 a， 它对应的是角 b， 然后呢角 m， 它对应的是角 c， 然后呢点 e， 它对应的还是点 e。 其实在这里我们也可以把它写成直角三角形，也就是 r t 三角形 a、 m、 e 和 r t 三角形 b、 c、 e， 这写不写都可以差不多， 那所以呢，我们就列出我们的三个条件，第一个条件是角，这两个直角相等，即为角 a， e， m 等于角 a， e b， 它们都等于九十度，在这里我们已经证明过了。然后第二个是一条边的条件，这个是我们已知的条件， a， e 等于 b e， 然后第三个条件仍然是一个角，我们也就利用八字倒角倒出来的一个角 m a， e 等于角 e， b c。 所以呢，我们就会得出直角三角形 a a， m e 和直角三角形。 直角三角形 a， m， e 全等于直角三角形 b， c， e， 我 们用的是边角边角。 我们证明完这两个三角形全等之后，我们来看它，需要让我们求证的是 d e 平分角 m d， b， 我 们来看 d e 平分角 m d， b。 在这里呢，其实我们可以用画辅助线的方式，首先第一个观察一下这个角，看看这个这个三角形 a， m， e， 我 们来做两条辅助线。写这边 我们可以说过点 e， 那 么我们也就是过点 e 做三角形 a， m e， 那还少个 a 做三角形 a， m， e 和三角形 b， c， e 的 高，也就是个刚才我们正等的两个四角形， 那么既然它们是高，所以呢，它们就一定是直角。在这里我们尽尽量要画的标准一点，而且它过点 e 做的高，它一定是要在线段 a m 上的。然后呢，在这个三角形 b， c， e 里面，它过点 e 做的高，是要在 b e， b c 上面的， 而且呢，因为它们两个在 a m e 和 b c e 这两个三角形全等的话，那么它们的高也是相等的，也就是三角形全等。三角形对应高相等的性质，所以呢，我们可以得出， 嗯，在这里我们可以标上 p 和 q， 或者说 r 和 p， 那 么所以 r e 会就会等于 p e。 再来观察，由于我们需要求证的是 d， e， 它平分了角 m， 角 m， d， b， 又由于它的平分线是这条 d e， 那 么这条从 e 出发的点，然后呢？做垂线到 d m 的 时候，它这条是一个直角，然后呢？ e p 从点 e 出发，然后呢，它在向 d b 这条线做垂线的时候，那么它也是一个直角，那么既然这两个角都是直角，并且相等，并且二 e 等于 e p， 那 么所以我们就可以证出来 d， e， 它是等于 d e， 它就是角 m d， b 的 平分线， 那么这个原理就是说它在这个图上可能会比较乱一点，可以再另外画个图， 那么假设，比如说 a， b， c 和点 p， 那 么这个图形跟这道题无关，但是我们还是利用的这个东西，我们首先假设 b p， 它平分了角 a， b， c， 那 么所以从这条直线 b， p 上做一条垂线到 ab 垂线，那么它一定就是直角，然后呢，再从 p 这条直线上做一条垂线到 bc， 那 么它也是直角， 我们可以给他说字母是，比如说 m 和 n， 我 们这里设成点 d， 那 么如果这两个是直角，并且 m d 等于 d n 的 话，那么所以 b p， 它就平分了角 abc， 那 么所以在这题对应的就是因为这两个都是直角，它们相等了，并且二 e 等于 pe， 那 么所以 d， e 就 平分了角 m， d， b。

啊，大家好，首先祝大家新年快乐。然后这个昨天在评论区里边有一位同学说他自己不会画辅助线，然后让我教一下他这个辅助线怎么画。 首先呢，这个在初中的八年级，然后用到辅助线主要有呃五种，然后我们看第一种， 第一种看见角平分线就往两边做垂直，然后这是一条这一条角平分线，然后你就往两边做垂直，然后这个一般是在那个基础的选择题或者填空题里面出现的， 第二个是在大题里面出现的，呃，第二个是两元一线，呃，然后呢就是 在那个倒数第二题里面出现，这是一条一次函数，然后让你找这两个点为边的等腰三角形，以这个点 这个长为半径做圆，这个点这个长为半径做圆，然后再做一个重申线，这样呃，如果说他要让你求 x 轴上点的话，这样你就呃，你就去那个 呃，你就去这个呃，就是给他求一下他的就是坐标就可以了。 第三个是手拉手里边的，呃，一个辅助线，就说他是他的原本的形状是 就是这样一个圈围起来的，中间一条横，他如果告诉你这里是四十五度，这里四十五度，你就可以分别在这里做垂直，然后和在这里做垂直，这样就得到了一个手拉手，然后这两个 这两个三角形全等，然后看你在求什么，就可以再给他求一下，然后这里垂直的原因是拉手线的加角等于等于零角， 之后是将军一马，然后最小值问题，这是在画图里，画图题里边第三问经常会出现这种，呃，然后 这是假如说一条直线，然后这一个点 a， 这一个点 b， 然后求这个在这个点 p 是 在这条线上动点， 然后求 p a 到 p b 的 最小值，以及此时它点 p， 这样你就把 b 给对称过来，然后再连 a 和 b 撇与这条线的交点，就是 p 点， 之后是刮动原理，这个刮动原理呢，就是说呃两个动点，他与一个定点有关系，他这个 这个角与定点的连线和这个点对定点连线，他的夹角是呃定值。 就比如说这个题目是呃连接 pa， 以 pa 为斜边做等腰直角三角形，这个就是这里是点 q， 这是点 p， 然后它的运动轨，然后点 q 的 运动轨迹和点 p 的 运动轨迹一样是直线， 然后根据刮度原理的一个内容是，呃，就是这个主动点的轨迹和从动点轨迹的夹角，等于这个与呃与定点的这个连线的夹角， 然后比如说这一点 q， 我 们可以再画出一条特殊情况，就是就是当他在这个地方时候，然后就是点 q， 呃，刚好在这个 刚好在这个 o 点的时候，然后这时候呢点 q 连接点 o 就 得到他的轨迹，然后他一般是让你求谁和谁的最小值， 然后比如说这个时候他再给你一个这样一个点，然后你呃向他的轨迹做垂线，这样垂线的最短，这样你就把他做出来了。

相交线与平行线，大家就要明白一些定律啊，要理解，然后记住两条直线的位置关系啊，它无外乎就是相交和平行啊，前提是在同一个平面内啊，平面几何，必须要有这个前提，然后呢才能说它的位置关系，不是相交就平行， 明白没有这里的相交啊，相交以后就会出现对顶角，还有邻补角，他们 一些重要的一些知识点，就是对顶角相等，零补角互补，什么意思呢啊？来给大家画个图，就在一个平面里啊，你会看到两条直线，要不就是两条线平行，永远不会相交啊， 要不就是他们就是相交状态，相交状态就会出现对顶角啊，这个角和这个角就是对顶的啊， 说白了就是相对吗？对顶吗？啊？这叫对顶点，对顶角的这两个角是相等关系，这个等于这个，这个又等于这个， 明白没有啊？知道这个以后，我们像角度会用到这些原理，那么邻补角互补什么意思呢？比如说这是角一，这是角二， 也就说角一和角二之间是互补关系，什么意思呢？也就说角一加角二啊，它俩是邻角关系，它俩加起来是 互补关系，一百八十度，就这意思，这就是我们讲到这个概念里面的这个意思，拆开了就这个意思啊，平行大家能明白，就是永远延长不相交啊，我画了个大概啊，不是很标准，大家，大家知道这个模型行，样子行。好，接下来这张我们还会学到垂线， 垂线是什么意思呢？垂线就说两条线啊，他俩构成一个九十度角，什么意思啊？比如说啊，这是一条线，那么这条线直直的下来，如果说用两脚去量他是个九十度，那么 l 一 啊，线 l 一 和直线 l 二，它们就是相互垂直关系，也就说 l 一 是 l 二的垂线，也可以说 l 二是 l 一 的垂线，它们互为互相垂直嘛，互为垂线，懂了吧？好，垂线段最短是什么意思呢？ 垂线段最短什么意思呢？就说如果做了一条线啊，这是一个，这是一个点，然后连下来，他的这一段叫做垂线段啊，这个这个点，那么这一段就叫做垂线段。 垂线段最短什么意思？就说在直线的外啊，有，嗯，有一个点，这个点可以在连接这个直线的 所有的某一处点，连接，连接，连接啊，可以连接，那么唯有哪一条线最短呢？就是直直的下来，这个， 这叫垂线段最短，其他线都比较长，看都比较长，就这意思啊，大家明白这个意思了吧？好，这就是第二张里面的我们涉及到的啊，相交平行垂线的问题，那么接下来我们还会学到 啊，三线八角识别同位角、内错角和同旁内角，这个什么意思呢？就是两条平行线啊，我画画个大概啊，因为我，因为我没有拿尺子，所以画的有可能不是很直，不是很标准，但是大家能看来啊， 假如我画这是两条平行线啊，平行线有一条，哎，斜线下来了啊，前期是两条平行线，然后有一个斜线下来，然后呢就会产生啊，同位角，这就是同位啊，朝这个同一个方向，同一个位置，叫同位角 啊，比如说这个角啊，这个角和这个角又是同位角怎么了？同位角怎么样相等，也就角一和角二是相等的，角三和角四是相等的， 明白没有？角一等于角二，角三等于角四，听懂没有啊？这叫做同位角。什么叫内错角呢？就是这个角。来，大家看一下，这个角我们可以命名为角五啊，你说这个角五和角四是相等的， 我给这命名一个六啊六，你说在这个，在这个错位，内错就是内，然后错位吗？所以叫内错。那么在这个平面的图形里面，我们看到的这个内错角是谁和谁啊？五啊？角五 和角四，它俩互为内错角，内错角怎么样？相等，然后呢？角六和角二是不是内错？互为内内，然后又错位，所以叫内错。 明白没有啊？他俩就是内错角，他俩互为啊，他这两组都叫互为内错角，内错角相等， 然后角一、角二、角三、角四，他俩叫同位角啊，同一个方向，同一个位置叫同位角，同位角也会相等啊，互为相等，互互相相等，明白没有？ 那么什么叫同旁内角呢？同旁内角就是同一个方向啊，同一个旁边， 然后内角里面的角叫同旁内角。那对这个图形里面谁和谁是同旁内角呢？对，角五和角二，同旁内角，它怎么样呢？有个定律就是加起来等于一百八十度 啊，这个是同旁内角，这个就是同旁内角。什么意思啊？我们 根据字面意思。同旁吗？同一个旁边吗？然后内角内内内里面的角吗？所以呢，我们看角五和角二，在图形里，角五和角二是不是同一个旁边，然后又是里面的角，所以叫同旁内角。同旁内角互补啥意思？也就是加起来一百八十度， 记住了没记住这个定律吧，那么对于这个图形里面，整个平面图里面，我们还可以看到一组同旁内角，谁啊？角六和角四，是不是？你说角六加角四也是互为同旁内角，他也是加起来一百八十度，哎，他俩都叫同旁内角， 大家明白了没？好，这就是我们三线八角里面涉及到的一个知识点啊，今天老师几分钟给大家把几堂课知识全部都讲完了，来，大家对着这个图形啊，记下笔记理解一下， 是不是通俗易懂啊？好，接下来我们把一二三讲完以后，哎，我们开始讲平行线，平行线，这就是刚才老师在讲的时候给大家已经讲完了 啊，理解一下是不是很容易，读一下就记住了，就刚才老师，哎这块板书给大家讲过的一个具体知识，其实就是糖啊，好了，接下来这张我们还会学到一个啊，做一个角等于已知角啊的一个尺规作图的一个 学习，这个呢，关于这个呢，老师在这里呢，给大家，在 ppt 里面给大家用个文字给大家描述一下啊，大家理解一下，然后课后呢用尺规啊操作，按照文字操作就 ok 了，很简单啊，好，给大家看一下， 好，那关于尺规作图，求一个，比如给你一个既定的一个角 a o b 啊，让你画另一个图，画出来一个图跟它一模一样啊，也是也是个 o 撇 a 撇 b 撇啊，这就这个题的一个最终要求， 那么你的过程应该怎么做呢？好，大家来把这个截屏一下啊，截屏一下，截屏一下，按照这个一步步来啊，做法一步步来啊，你就能做出来！好了，北师版七年级下册里的本章数学咱们就讲完了，手机前的同学们，还有热心孩子学习的家长朋友们，你们是否有收获呢？ 如果江英老师的讲解对你有帮助，欢迎你关注，长按点赞、转发、收藏、评论，感谢你的善举！好了，把江英老师关注好，平时有什么学习上的棘手的难题， 还有无处下手的学习方法，都可以随时跟佳颖老师交流，关注佳颖老师的好处。二呢是后期你还会第一时间收到佳颖老师更新的更多有用的免费知识，让孩子的学习从此变得更加简单、有效、优秀。 好了，下一章讲解，我们再见！关注佳颖老师，收看更多精彩合集与有用的知识。