EGA代数几何教材

一九九七年过去了，我很怀念他。

最近期末考试完在做这本书上的习题，虽然我只是个初学者，但是我觉得这本书被这么多人推荐还是有它的道理的。 这个书他的论文我觉得确实像很多人说的那样，就是写的不够详细，然后对初学者来说可能有很多跳步之类的，你可能得翻看其他的书，比如我就是看那个告辞那本书， 那个德国人写的那本书，但是这个书的好处就是他给了很多那种例子，而且这些例子和题型 都是有很强的几何背景的。就是你学完一个定义之后，你很想用一些例子来算一算，有的时候例子比那个定律本身更重要，这本书他就有很好的那种几何背景。 我大概是做到了。啊，我才刚开始做，我应该是做到了。呃，十八题。对， 有些题比较难，特别是那种带，像这种带比较带一个名字的在前面这种 一般在其他书上都是作为定例，在正正文中讲的这个书这方面就做的不太好。不过你想想他只有几百页，能够写这么多内容，肯定是要挑一些东西的。 这个书还有一个好处就是这上面的题型你在网上基本上都能找到答案， 所以很多人建议我做一下这上面的题型，反正比我们老师讲的那个 uh factor of point 那 种东西真好太多了，我现在真觉得这书真的好读，哼。

八零后的初中几何和代数。一九九七年过去了，我很怀念他。

八十年代的初中几何和代数。

这套初中数学自学读本真的太适合自学党了！他的作者是北京四中周长生老师，全套三本，两本代数，一本几何。看这本代数，第一章不急着讲知识，而是先教你怎么学数学，了解数学的特点。第二章带着复习小学内容，打好基础再出发。第三章才开始正式进入 初中代数，循序渐进，衔接超丝滑，一点都不费劲。尤其是讲有理数分类和解方程这些难点，讲的特别透，课后习题质量很高， 紧扣知识点，做完就能自己上手练。我的方法就是认真读完每一节，把课后题踏踏实实做一遍，真正理解透。跟着这套书学下来，感觉思路清晰多了，自己学也很有把握。 初中数学别再乱刷题了，真正拉开差距的，是百分之九十家长不知道的自学能力。这套初中数学自学读本一共三本， 作者是北京四中周长生老师。他不讲题海战术，只解决一个核心问题。 如何让孩子自己会学数学，会想问题？书里提出的一读二想三归纳，正是学霸突破瓶颈，走向卓越的实操路径。更震撼的是，他把数学思维讲透了，从差异找共性，用归纳推演绎，从知识碎片到融汇贯通，这正是高手分析问题的底层逻辑。好！ 毫不夸张的说，这套书系统连贯、层层递进的方法论，秒杀了网上绝大多数碎片化学习的建议。它弥补了传统教材知识割裂的短板，正是孩子从被动听课到主动思考的关键飞跃。如果你也想让孩子真正掌握数学思维，脱离题海困境，这本书闭眼入。

竖形结合求最小值，画一个直角，三角形边长分别为二 y 和 x。 根据勾股定律可求得斜边，所求最小值就是这两条边和的最小值。底边延长，二 x 连接一下再复制一个，也就是求这两条边和的最小值。 注意到，当 abc 三点共线时，线段 a c 最短，这个角标为西塔角，右边为直角，与上边的三角形是全等的。这条边为二乘 x 加 y 等于十，黄色边为根号五 x。 塞二西塔等于两倍，塞西塔 cosine 塔边长带入等于五分之四，最小值就是五分之四乘十等于八。

这本书从几何视角讲明白了限行代数的本质，他先告诉你什么是限行代数，接着讲解了向量相关的几何意义，行列式的几何意义，矩阵方程组的几何意义以及二次型的几何意义。 作者采用大量的图解来进行解释，比如矩阵加法其实是多个向量的叠加，而矩阵乘法可以看成是对图形的旋转、缩放、变换，以及矩阵的质就是列空间的维数等等，把抽象的概念变得直观易懂。 很多同学学现行代数只靠记忆公式，觉得很吃力。这本书能帮你真正理解现代背后的原理，学起来会轻松很多。特别棒的一本书，强烈推荐！

好，各位同学，咱们接下来继续讲向量代数与空间解析几何的大体，整体里面的大体主要是从二零一零年到二零二四年。哈。 首先我们看第一题，求过点，一二负五，并且与直线二 x 减 y 加 z 等于一， x 减三， y 等于三平行的直线方程。这道题啥意思？求直线方程对不对？ 说到底，就算求直线方程，直线方程咋写？我们写出来它的一般形式是不是？我们通常都是这样写， x 减去 x 零比上 m 等于 y 减 y 零比上 n 等于 z 减 z 零比上 p。 现在两个问题， x 零 y 零是啥？ x 零 y 零 z 零是直线方程过的点吧， 对不对？这是不是有了 x 零 y 零内零？第二个问题， m n p 是 啥？ m n p 是 不是直线方程的方向向量呀？ s 等于 m n p， 我 们用 s 向量来表示直线方程的方向向量啊。 好，那就是说现在距离我们把这道题写出来只差，就是因为我们不知道直线方程的方向向量，我们只要我们只要知道直线方程的方向向量，就能把题做出来，是不是？那好，我们接着推 已知他给你的这条直线和让你求的这个直线方程，他们两个啥关系？平行吧，那你说这两条直线的方向向量也是平行的， 假如说给你的这条直线，他的方向向量是 s 一， 你知道吗？让你求的这条直线，他的方向向量是 s 二，那现在是不是 s 一 平行于 s 二啊？两向量平行对应分量成比例。那我在写的时候， 我本来是要算，是要算让咱们求的这个直线方程的方向向量 s 二呢？但是因为他们这两个方向向量呢，又平行，所以不管我求 s 一 还是我求 s 二都可以，都没问题。其实就是我求出来的 s 一 可以写成 s 二，反正咱们在写的时候， 在写的时候算出来的方向向量，在写的时候也是也是要化成这个最简形式的吗？对不对？那好，接下来我们就把目标转换到了求已知直线方程的方向向量上， 他给你的这个直线方程呢？是一般式方程，就是说有两个平面，分别是平面一和平面二来表示的这条直线由两个平面方程所表示，是不是？那你说这条直线， 就是说已知的这条直线，这个直线方程的方向向量和这两个平面是啥关系？和这两个平面是平行关系吧？就是说 s 一 他平，他和第一个平面是平行关系，和第二个平面也是平行关系，那和这两个平面是平行关系， 那和这两个平面的法向量是不是垂直关系啊？对不对？法向量是垂直关系吧？那就是说 s 一 既垂直于 第一个平面方程的法向量， s 一 也垂直于第二个平面方程的法向量，是不是？那现在是啥？现在是我已知我已知 n 一 n 二向量，是不是？求一条 既垂直于不写了？求一条既垂直于 n 一 向量，又垂直于 n 二向量的向量是不是？那好，现在这个问题，那我们求出来的这个向量是不是就是已知直线方程的方向向量？ 刚好我们已知直线方程的方向向量和让咱们求的这个直线方程它的方向向量，他们两个又平行，是不是？我们只需要写出的最简形式，我就知道它的点，我是不是就可以把答案写出来了，对不对？所以现在的问题就变成了， 第一，先把这两个平面方程的法向量， 我们通过差乘运算，是不是去求出已知直线的方向向量，也就是咱们要求的这个直线方程的方向向量，对不对？那有点，有方向向量，我们就把题就写出来了嘛。那好，我们写一下，换个颜色啊， 减 u t 之 n 一 向量等于二负一一吧， n 二向量等于一负三 零吧，对不对？故所求直线方程 方向向量 s 就 等于 n 一 向量叉乘 n 二向量 i g。 你 们在写的时候啊，就写到这就可以了，就是二负一一，一负三零，写到这就行了，不需要说你再一步一步给它算出来，在这直接写答案等于啥？三一负五 负物啊， 你看咱现在刚刚，其实我们其实正正常来说，我们求出来的这个方向向量是已知这条直线的方向向量，但是他和他的方向向量又是平行的，所以就是说我们没有那么多的要求，直接这样写就可以，没问题啊。那现在有点 有点有方向向量，可不可以写直线方程啊？可以吧。故所求直线方程为， x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y 零比上 n 等于 z 减去 z， 零减去负五，是不是等于加上五啊？ z 减 z， 零 比上 p 吧， p 是 负，对不对？这是咱们的第一题，第一题我们因为这头一道题嘛，第一道题我们就把这个式子给它拆出来算一下，就算这一道啊，二今 他其实这个呢，是先行代数里面的知识，一个很简单的三阶行列式的计算。嗯，这个大家记住就行了，不用说想那么多。二负一，一 一负三零他咋算的？他在计算的时候就是 去掉第一行，去掉第一列是不是剩下去掉第一行，去掉第一列，那就是负一的， 你看，去掉第一行是一，去掉第一行，去掉第一列负一的一加一四方是不是乘以主减负？你看，去掉它，去掉去掉这一行， 去掉这一行，是不是剩下这四个数字？这个二减横的是对不对？那就主减负，主就是左上跟右下， 这是这是这连起来就主对角线，剩下这条就负对角线，主减负，那就是负一。乘以零是零减去一乘以负三，是不是负三呀？零减去负三，是不是零加三，对不对？主减负， 加上第二条，你看啊， 去掉第一行，去掉第一列，接下来就该这是二几二负一，接下来就该 去掉第一行，去掉第二列，那就是负一的第一行，第二列，对不对？剩下的是不是二一一零啊？这个行列是主减负，对不对？二乘零是零吧，零减一是不是 再加上看，去掉第一行，去掉第三列，是不是负一的一加三啊？乘以啥？这是不是就剩下二负一，一负三，二乘负三等于几？负六，对不对？减去 负一乘一是负一，减去负一等于加上正一吧。那最后是不是就等于？你看负一的平方是一，对不对？零加三是三吧， 负一的三次方是负一吧，负一零减一是负一，负一乘负一是一吧， 这负一的一加三是四，负一的四次方是一，对不对？这是一一乘以负六加一是负五吧，所以就是三一负五，正好对应这个三一负五，这是咱们这个三阶行列式的一个计算哈。 接下来继续看第二题，你看第二题是不是还是 求过点 a 二负三负一，并且与直线 l 这个直线呢？还是给你两个平行方程表示的？是不是平行的直线方程？ 直线方程让咱们求的这个直线方程和给的这条直线还是平行关系，是不是？那跟上道题一模一样？你看啊，也就是说你要求直线方程，你是不是得知道这个直线方程过哪个点？过的点有了，是不是还要知道这个直线方程的方向向量啊？ 这个直线方程和这条直和已知的这条直线是平行的，那让咱求的这个直线方程的方向向量和已知的这条直线的方向向量是不是也是平行的？也是平行的？ 再说了，两两直线平两向量平行对应分量成比例嘛，是不是？也就是说我只需要算出已知直线的方向向量就行，那已知的这条直线又是由两个平面所表示的， 那平面一和平面二是不是啊？那就是说已知的这条直线， 已知的这条直线，他的方向向量是不是既垂直于平面一的法向量，又垂直于平面二的法向量，对不对？所以你就这样写就，然后你通过平面一 n 一 叉乘 n 二算出来的向量就是这个直线 l 的 方向向量。这个直线 l 的 方向向量呢？又和让咱们求的这个直线方程，它的方向向量是平行的。 对，他们两个平行，那我们就取最减形式就行，化成最减形式，然后把点带进去就行了嘛，就这样写减 由题知，这两道题一模一样， n 一 n 一 向量就是平面方程一的发向量是二三负一吧。 n 二向量等于啥？大家看到这儿，你可不能不会写啊，它是不是相当于一 x 加上零乘以 y， 再加上二乘以 z 等于一啊？所以 n 向量，所以平面二的法向量是不是就是一零二啊？一零二，那就是故所求直线方程， 故所求直线方程的方向向量 s 向量等于 n 向量，差乘 n 向量。连计算方法都一模一样，是不是？ 它是啥？二三负一一零二，它最后算出来等于啥？它最后算出来？答案是六负五负三。大家下去的话，一定要自己算。 那你看啊，我现在知道了直线方程的方向向量 s， 又知道它过哪个点，那我是不是顺理成章就可以把直线方程写出来了？故所求直线方程为， 故所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减去 y， 零减去负三等于加上正三吧。 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p 吧，对不对？这是我们的第二题， 其实这种题其实为啥说要从一零年给大家说到二四年呢？主要就是限量这一块的大题，并不难，考，法呢，也相对固定。大家呢，只是说学完之后没梳理，特别是自学的那种，学完之后没梳理就有点蒙蒙的， 就这样。所以说我说给大家来梳理一下，可能讲的还是有一点乱，有一点乱。嗯，有问题的话大家在后台说吧， 随后应该会保持不说每天都更吧，最起码不会像之前这样，就是很长时间更一次，不会出现这种情况。这是咱们的第二天， 接下来我们看第三题。一、平面过点一零负一，并且平行于向量 a， 也平行于向量 b， 让你求这个平面方程，让你求这个平面方程。平面方程咋写的？是不是 a x 加 b， y 加 c， z 加 d 等于零？或者写成 a 倍的 x 减去 x 零，加上 b 倍的 y 减 y 零，加上 c 倍的 z 减 z 零等于零，其实这个 d 就是 负 x 零减去 b， y 零减去 c， z 零就是它是不是？无非就是一个化简了，一个没化简。大家知道这个那么好， x 零 y 零 z 能大家知道是啥是平面过的这个点点？我知道了，那就是 abc 了。 abc 是 啥？ abc 是 平面方程的法向量吧，你看让你求直线方程的话， abc 是平面方程的法向量，对不对？那直线方程呢？你写的就是它的 s， 叫方向向量，这个大家要有所区分啊。直线方程的方向向量和这条直线，它们是 说的笼统一点，叫平行关系。平面方程和平面方程的法向量，他们是垂直关系，是不是？你看让你求的这个平面，让你求的这个平面，平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 是不是 其实准确来说是让你求的这个平面方程，既平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 你说 让你求的这个平面方程，他的法向量是不是既垂直于向量 a， 也垂直于向量 b？ 那 现在的问题不就绕，不就又绕到了 已知向量 a 和向量 b， 让你求另一条既与向量 a 垂直，又同时垂直于向量 b 的 向量吧，是不是？那我们就写一写呗，换个颜色啊，这个大家能懂吗？ 我们再捋一下，再捋一下啊，你看，就是说让你求的这个平面方程，它既平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 你说，让你求的这个平面方程，它的法向量是不是既垂直于向量 a， 也垂直于向量 b 啊？ 对不对？就是这样一个理，那也就是说，我已知 a 向量和 b 向量，我需要找到另一条同时垂直于 a 向量，也垂直于 b 向量的向量，是不是？我们就写一下解。 由提之， a 向量等于二，一负一， b 向量等于一负一二，那就是故所求平面方程。 故所求平面方程的法向量 n 等于 a 向量差乘 b 向量等于啥？ i j k 是 不是？ a 二一负一，一负一二，最后的答案等于啥？它们差乘之后，最后的答案是不是等于 一负五负三，对不对？那你看，我现在知道了平面方程的法向量，也知道了平面方程，过了这个点，那我是不是就可以写平面方程了？故所求 平面方程尾，故所求平面。 这不就是 a b c 吗？ a 倍的是不是一倍的呀？一倍的 x 减去 x 零，对不对？加上 b 倍的，那加上负五乘以，那是不是就减去五倍的 y 减去 y 零， z 减去 z， 零是几？ z 零是负一， z 减去负一，那不就 z 加上正一吗？ 等于零，这是没有化简的，你也可以写成化简之后的形式。化简之后的形式呢，它就是 x 减去五， y 减去三， z 等于几？ x 减五， y 减三， z 等于四。这是我们的第三题。 四、已知点， a 二负三负一 b 一 二负二 c 二零一，求三角形 abc 的 面积。 嗯， s 三角形 abc 等于二分之一倍的 ab 向量差乘 ac 向量的摩长，是不是？这是因为啥？这是因为我们知道一个以 a 向量 b 向量为 林边的三角形的面积为 二分之一倍的 a 向量差乘 b 向量的摩擦，就是因为这个，所以我们才能直接写出来这个答案，写出来这个式子啊，不是，答案是这个式子，行，大家看一下啊。接下来我们就直接写了，减 由提之， a b 向量就是 a a 点和 b 点两点，确定一条直线是不是这条直线，那就中点坐标减去起点坐标一减二，是不是负一 ab 向量它等于啥？负一五负一 ac 向量等于啥？中点坐标减起点坐标嘛， ac 向量是不是等于零三二，对不对？故 所求三角形 abc 面积 s 就 等于二分之一倍的 ab 向量差乘 ac 向量的模长等于二分之一倍。嗯， 我们先说，我们先写答案，二分之一倍的根号下一百七十八 二分之一倍的更换价一百七十八加，这个是 ab 向量叉乘 ac 向量的模尺啊，我们在这拆开来写， ab 向量叉乘 ac 向量，它等于啥？等于 i 减 k 负一五负一零三二，它等于十三二负三。 是这样的啊，那就是说 ab 向量叉乘 ac 向量的模长呢？不就等于根号下十三的平方加上二的平方是四吧，加上负三的平方呢？不就是九，是等于根号下一百七十八的 就是这个。这是咱们的第四题，你看，又出现了这种题。五求过点 a 一 二一与且与直线 l 是 有两个平行方程所 表示出来的直线方程啊，平行的直线方程就是让你求这个直线方程。要想写出来直线方程，我们是不是得先知道他过哪个点，还得知道这个直线方程的方向向量对不对？然后我们根据题目呢，可以知道 已知直线方程方的方向向量 s 一 和让咱们求的直线方程的方向向量 s 二，他们两个是平行的吧，对不对？两向量平行对应向量成比例，看似不在求 s 二，实际我把 s 一 求出来，直接写就可以，对不对？只不过我们写成对减形式， 为了方便来讲，我们写成对减形式，那现在我们就变成了求 s 一。 你看啊，这个直线 l 是 由两个平面 所表示出来，分别由平面一和平面二所表示出来的，那是不是我们这个直线既平行于平面一，也平行于平面二啊？ 那直线方程的方向向量是不是也是平面平行于平面一，也平行于平面二？那么我们直线就是直线 l 的 方向向量 s 一， 是不是既垂直于平面方程一的法向量，也垂直于平面方程二的法向量？那么我们 知道平面方程一的法向量 n 一， 平面方程二的法向量 n 二，要求另一条与它们两个既垂直于 n 一 向量又垂直于 n 二向量的方向向量 s 一。 是不是通过差乘啊？ 我们写一下解，由题知， n 一 向量等于二负四一， n 二向量等于三负二负二吧， 三负二负二，那故所求直线方程 方向向量 s 向量等于啥？是不是等于 n 一 向量叉乘 n 二向量等于啥？ i j k 二负四一三负二负二， 他等于啥？他是不是就等于十七八这个呢？咱们这个三间行列式我们在第一道题的时候已经给大家讲过了，我们就不再往下继续讲了啊。 然后我们你看现在是不是知道了，现在我们知道直线方程的方向向量了，是他也知道过哪个点，我们就顺势写出来他的这个直线方程不就行？故所求直线方程为 直接写吧。所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这就是咱们的直线方程，大家看一下，我们继续看第六题，那不是还这一样吗？ 给你一条已知的直线方程，是有两个平面，是分别有两个平面方程一和平面方程二所表示的，是不是？然后让你求过点 a， 并且平行于直线，平行于这条已知的直线方程 l， 它的一个直线方程。 那你看那不是最后还让你写这个直线方程吗？那要想写出来直线方程，我们得知道这个直线方程过哪个点吧？ 是不是知道过哪个点？是不是还得知道这个直线方程的方向向量 s 呀？那你看让咱们求的这个直线方程的方向向量和已知的这条直线方程，它的方向向量就是直线 l 的 方向向量，是不是平行的呀？ 那也就是说我们只需要写出直线 l 的 方向向量，是不是就可以把这个直线方程写出来了？知道直线 l 的 方向向量，就可以把直线方程写出来，因为它们两个平行对应向量成比例，我们算出直线 l 的 方向向量之后， 把它画成最减形式，然后用到咱们这个直线方程里边，行了嘛？那好，现在的问题就转变成了，我们求直线 l 的 方向向量， 求直线 l 的 方向向量。这个直线直线 l， 它是不是有两个平面方程来表示的？那也就是说直线 l 既平行于平面一，也平行于平面二， 对不对？那就是说直线 l 的 方向向量是不是既平行于平面一，也平行于平面二？我们继续往下说，是不是就直线方，直线 l 的 方向向量，既垂直于平面一的法向量 n 一， 也垂直于平面二的法向量 n 二啊， 对不对？那现在我们知道 n 一 向量，知道 n 二向量，我们找另外一条既垂直于 n 一， 又同时垂直于 n 二的向量，是不是就能找到？通过叉乘就能得到了？是不是？减由 t 值 n 一 向量一二三 n 二向量三五七。故左求直线方程 方向向量 s 向量等于 a 向量。叉乘 n 二向量等于啥？ i j k 一 二三三五七等于啥呀？ 他们差乘之后的结果是负一二负一，对不对？你看，现在我们知道了直线方程的方向向量，也知道过哪个点，我们写直线方程不就好了吗？故 所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p。 这是不是咱们所得到的这个直线方程呀？是不是这是咱们所得的直线方程？ 我们继续看第七题，你看，其实考题的这种套路都很一样， 都很一样，咱不说一模一样吧，最起码套路是一样的。你只要说看到这种题，你认清他在问你啥，咱们挨个分析了这么多道，你现在应该也有一点自己的判断力。我们最后来分析一下这道题 过这个点，并且与直线平行的直线方程，还是让你求直线方程，对不对？还是让你求直线方程？你要求直线方程呢？我们得知道第一知道过哪个点， 这是第一。第二知道它的方向向量对不对？知道直线方程，方向向量有这两个，我们就可以写出直线方程过哪个点，咱们知道过九八五吗？是不是？ 那方向向量呢？他咱方向向量目前来讲，题中并没有很明确的表示，但是他我们知道啥？我们知道让咱们求的这个直线方程和给咱们的这条直线，他们两个是平行的， 他们两个是平行。也就是说我知道已知的这条直线，他的方向向量就可以直接写出要让咱们求的这个直线方程。 你又看，已知的这条直线是由两个平面来表示，分别平面一、平面一和平面二。你看啊，这条直线是不是既平行于平面一，也平行于平面二啊？ 那这条直线的方向向量是不是既平行于平面一，也平行于平面二？ 那么这条直线的方向向量是不是既垂直于平面一，也垂直于平面二？你看啊， 方向向量和这条方向向量和直线，其实它们是共线，也是平行关系嘛？是不是说做农村也就是平行关系，但是平面 和法向量，他们是垂直关系，是不是？那也就是说我的这条直线，我的这个直线平行于平面一，也平行于平面二，那不就是说我的这条直线垂直于 平面一的法向量 n 一 也垂直于平面二的向量 n 二吗？对不对？那现在不就是说我知已知 n 一 向量和 n 二向量，求另外一条既垂直于 n 一， 又垂直于 n 二的向量，是不是？ 就这道题，我们继续往下写啊？解，由题知， n 一 向量等于三二零吧，是不是？因为它就是三 x 加二， y 加零， z 加一等于零嘛？ n 二向量 是不是等于零二一啊？对不对？那故所求直线方程 方向向右 s 等于啥？ n 一 向量叉乘二向量等于啥？ i j k 等于啥？三二零零二一叉乘之后的结果是， 二负三六，对不对？那现在我们知道了直线方程的方向向量也知道过哪个点，我们是不是就可以写出直线方程呀？过，所求直线方程为， x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这是咱们的第七题 第八题，已知向量 a b c 让你算 a 向量叉乘 b 向量点成 c 向量，那我们就顺着计算呗，是不是？姐再也不会出这么简单的计算题了吧？ 一步一步算呗， a 向量叉乘 b 向量等于啥？哎， j k 四四零三二八，它等于啥？它是不是等于三十二负三十二负四， 对不对？那好，那 a 向量叉乘 b 向量再点乘 c 向量等于啥？ 他是不是就等于三十二乘以一？是不是加上负的三十二乘以零，再加上负四乘以六吧，等于啥？你看负三十二乘零，这没了， 那不就三十二乘一是三十二吧，四六二十四，负四乘六是负二十四吧。减去二十四等于几等于八，是不是？接下来我们看第九题， 求过点负三负二零，并且与直线 l 垂直相交的直线方程。只不过有些不一样的是， 前几道题让你算直线方程呢，都是给了你有两个平面刻画出来的，就是有两个平面所表示出来的这种直线方程。现在呢，直接给你的是直线方程的 点向式，这个是点向式，直线方程直接给你的是点向式的直线方程。那好，那还是一样的嘛，我们要先写出来直线方程，要想写出来直线方程，得先知道点吧，点有了对不对？让你然后再知道直线方程的方向向量。 那好，我们分析一下直线方程的方向向量，就是让咱们求的这个直线方程，它的方向向量和直线 l 就是 已知的这条直线，它的方向向量有什么关系？ 垂直关系吧，因为直线 l 垂直于让咱们求的这个直线方程嘛，是不是？当然了，那就直线 l 的 方向向量也垂直于直线方程，让咱们求的这个直线方程的方向向量， 那咱们又知道，那既然它们两个垂直，你看啊，如果 a 向量垂直于 b 向量，是不是就能够推出来 a 向量？点成 b 向量是等于零的，对不对？ 咱们现在最好的办法就是把这个垂足坐标给它设出来，你看你设成 a、 b、 c 可不可以？可以，理论上来讲可行，但是好几个参数你没有办法解，对不对？没有办法解，你看为啥我说设这个垂垂足坐标， 你看直线 l 和直线方程是垂直的，直线方程还过这个点，那你说让咱们求的这个直线方程是不是和直线 l 一定有个交点呀？ 他们两个还是垂直关系，就把他们两个的这个焦点设成垂足坐标了是不是？你看终点坐标减去起点坐标也好，你把他看成终点，他看成起点也好，他看成终点，他看成起点也好，他们两个相减，你是不是就能得到这条 让咱们求的这个直线方形的方向向量？只不过带参数还是三个未知数，你不好解对不对？那么有没有一种办法是我们可以把它变成只有一个未知数呢？这样我们就好解了吧，说干就干啊，我们想一下， 他现在给你的这个直线方程是点向式、点向式的直线方程，我们可不可以把它转换成参数方程的形式？就是说变换成 x 等于 x， 零加上 m， t， y 等于 y， 零加 nt， z 等于 z， 零加 pt， 这个 t 呢？是参数是不是？你看你转换成这种形式之后， 这 x、 y、 z， 那 不就是这几个点吗？ x、 y、 z， 那 不就这个直线方程上面就是已知直线 l 上面的一个点吗？是不是那两个点不就出来了？终点坐标点是起点坐标，是不是让你求的这个直线方程，它的方向向量就出来了？ 你又你又知道已知的这条直线他的一个方向向呢？他们两个有什么样的过垂直吗？他们两个点乘又等于零，那我自然就可以把 t 减了，是不是？这是一个思路啊，我们写一写减 由题之直线 l 参数化后就是参数方程化嘛？参数化后为 x 等于 x 零，那不就是零吗？ x 能加上 mt， m 又是一，是不是？你看 m、 np 分 别是一一负一吗？ y 等于 y， 零加 nt， z 等于 z 零加上 pt 吧。 p 是 负一，那不就一减 t， 是 不是？ 然后我们再写一下，且直线 l 方向向量为 s 一， 它等于啥？是不是等于一一负一啊？对不对？那么我们你看啊，现在 就是说直线上面的点我们是不是给它射出来，也就是说转换完之后 x y 那 不就是直线上面的点了吗？对不对？那直线方程的方向线也写方直，就是说直线 l 的 方向线我们也写出来了，我们只需要把这个直线方程它的方向线给它表示出来不就行了吗？ 直线方程，那就所求吧，所求直线方程方向向量 我们给它写成 s 二吧，所求直线方程 方向向量 s 二等于啥？终点坐标减去起点坐标，是不是？ 那不就变成了？其实不管你谁减谁都无所谓的，你可以把直线上面的点看成是终点，你也可以把这个点看成是终点，都无所谓的， 那不就可以给它写成 t 减去负三，那不就 t 加上三吗？二加 t， 你 看啊，二加 t 减去负二，那不就加上二四加 t， 这个是一减 t 再减去零吗？那不还是一减 t 换个颜色啊， 你看我们又知道啥？我们现在是不是 让你求的这个直线方程，它的方向向量 s 二写出来了，对不对？已知的这个直线 l， 它的方向向量 s 一 是不是也有了？ s 二和 s 一 又是垂直关系，对不对？那不就是我们接着往下写啊， 那不就是因为 s 二垂直于 s 一， 故 s 二点乘 s 一 是等于零的吧？ 那是不是就能够推出来他们两个点乘，那不就 t 加三加上四加 t 是 不是？你看啊，一减 t 乘以负一，那不就等于 t 减一吗？ 加上 t 减一，它应该等于零吧？你注意看啊，一个 t， 两个 t， 三个 t， 三， t 三加四是七吧，七减一是六吧，三 t 加六等于零， 是不是就推出来三 t 加六等于零。继续写吧，是不是就推出来 t 等于负二啊？ 是不是？现在是不是就推出来 t 等于负二？那现在就是将 t 等于负二 代入 s 二等于啥？是不是就等于一二一减去负二是不是三啊？那看 s 二是啥？ s 二是咱们要求的这个直线方程的方向向量， 就是这个直线方程，它的方向向量有了吧？一二三点有没有？有，那不就是故所求直线方程为， x 减去 x， 零减去负三，那不就加上正三吗？比上 m 等于 y 减 y 零，比上 n 等于 z 减 z 零， z 减去零，那不就是 z 吗？ z 减 z， 零比上 p， 是 不是十过点一，负一二做直线， 他的一个垂线，然后让你求垂足的坐标，我们来写一下啊，假设我画的这条蓝色的线就是已知的这条直线， 做他的一个垂线，那不就长这样吗？刚好这个垂线呢？又过一负一二的这个点，是不是让你求垂足坐标？垂足坐标，那不就是垂线和直线的一个焦点吗？ 对不对？垂线和直线的交点，那你看啊，垂这条垂线，我现在是不是知道了一个点，一个点在直线上， 一个点呢？是不是？我是已知的那两点，是不是可以确定一条直线？那有直线，我是不是就能写出来这个直线的方向向量， 那刚好我们这个垂线的方向向量，我们给它写成 s 一， 直线的方向向量呢？我们给它写成 s 二，在这我们是不是就是 s 一 点乘 s 二等于零？ 哎，你会发现他们有关系。我能确定一个等式，是不是那一个式子可以确定一个变量。理论上来讲，我们可以把垂直坐标设成 abc， 或者设成 x， y、 z 都没问题，理论上也是这样的，但是一个等式确定一个变量，三个变量，你是确定不出来的吧？那所以在这我们就要想，我有没有一种办法是我可以只出现一个变量，然后表示出来直线上的所有点。 刚好我们就想到了参数方程参数化，我们写一下啊，解直线方程参数化后，等直线方程参数化后， y 等于 y， 零加 n t， z 是 不是等于 z， 零加 p t 啊，对不对？那参数化后是这样，那么我们可以直接写呗，设直线上的点 点 q 吧。 q t 等于啥？ 是不是就等于直线上的点 q t， 那 就是说我们现在就是已经在设这个垂足了，对不对？直线上的点 q t 是 等于啥？ t 减一，一加二 t， t 是 不是那 直线的方向向量？方向向量 s 一， 不写 s， 也就 s 吧， s 等于一二一，对不对？那 垂线过 b 点过的这个点，我们给它加上成 b 点嘛？过 b 点一负一二，那这条垂线那不就是 b？ q 向量是不是等于啥？ b q 向量，那就 q 减去 b， 那 不就是这是 q， 这是 b 呗，就是 b q 向量，那是这样的，那就 q 减 b， t 减一，再减一，那不就 t 减二， 然后 t 减二， b q 向量，那就是 t 减二，二， t 加二， t 减二，你看啊， b q 向量不就是它吗？ b q 向量，那我们就把这个 s 向量擦了啊，对吧？那 b q 向量是不是垂直于 s 向量？那就因为 b q 向量垂直于 s 向量，那就能够推出来 b q 向量点成 s 向量， 它是不是等于零的？那是不是就能够推出来？你看 b q 向量点成它点成 s 向量，它等于啥？是不是 t 加二加上四， t 加四加上 t 减二等于零啊？那不就是六 t 加六，哎， t， 不 不，这是 t 减二 t 减二，不是 t 加二 t 减二，那不就六 t 等于零吗？是不是推出来 t 等于零，六 t 等于零及 t 等于零。现在我们算出来的参数 t 是 等于零的，那也就是说还是根据还是按咱们分析的。这样来说嘛，我们接下来该算垂直坐标了，是不是？垂直坐标呢？不就是将 t 等于零 带入到参数化之后的这个参数方程里边，不就好了吗？是不是？那就写呗，将 t 等于零带入参数方程，得 减的垂足坐标 给它，垂直坐标为 t 等于零，那不就是负一一零，是不是？为啥这样，我们说一下啊，你看啊，因为我们把这个直线给它参数化了，换成参数方程了，是不是？那就这样， 那就是说 x、 y、 z 就 已经是我们这条直线上的一个点，就是这条直线上的点，他们呢？垂线和直线方程相又有一定的关系，但这个关系是在 t 等于零的时候才满足的， t 等于零的时候满足我们，所以我们将 t 等于零代入到参数化后的直线方程里边，是不是已经解出来垂直坐标了，是不是？这是我们的第十题，我们看第十一题求过点 p 五负一二， 并且与平面派一二 x 加三外减七， z 等于负十四和派二 x 加二外减三， z 等于二十，他们的交线平行的直线方程。 你看第十一题，是不是和我们做的这种题，第七呀，第六呀， 第五呀，这种题是不是一样呀？让你算直线方程，你得知道直线方程的点和直线方程的方向向量是不是？但直线直线方程的方向向量呢？你现在并没有直接给到你，你知道你知道的是 让你求的这个直线方程和给你的这个直线方程，他们两个是平行的，那这两条直线方程的方向向量是不是也是平行关系啊？ 而另外一条而已知的这个直线方程，它是又是有两个平面，分别它是，它又是有两个平面派一和派二表示出来的，是不是？那就是说另一条直线方程，它平行于平面派一，也平行于平面派二， 也就是说已知的这条直线方程，它的方向向量平行于平面派一，也平行于平面派二。那是不是就是说已知直线方程的方向向量，它平行于 平面方程的法向量 n 一， 既垂直于平面方程的法向量 n 一， 又垂直平面方程的法向量 n 二。啊，那不就是已知两个平面方程， 已知两平面方程呢？发现了 n 一 n 二，让你求另外一条与 n 一 n 二分别垂直的向量，是不是同时满足这样一个条件的向量？就是咱们要算这个直线方程的方向向量。我们来重写一下 减，由题值 n 一 向量等于二三负七，二向量等于一，二负三，故所求直线方程 方向向量 s 等于 n 一 向量叉乘 n 二向量 i j k 二三负七，一二负三等于啥？是不是等于 五负一正一啊，对不对？故所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y， 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这是我们的第十一题， 接下来咱们看第十二题，那是不是就是直线和平面的夹角呀？那直线和平面的夹角是啥？ sin theta 等于啥？等于直线方程的方向向量点成平面方程的法向量 n 比上 直线方程方向量的模长乘以平面方程法向量的模长，是不是？那你不就算直线方程的方向向量和平面方程的法向量吗？我们就写一下呗。解 u t 之 直线方程啊，不由题知，直接写吧。 n 一， 那就是平， n 一 等于一负一零， n 二等于一一一 n 一 和 n 二呢？它分别就是直线方程，就是给咱们这个直线方程不是有两个平面方程表示出来的吗？分别就是平面方程一和平面方程二的法向量。故直线方程 方向向量 方向向量 s n 一 向量叉乘 n 二向量等于 i j k 一 负一零一一一，它等于啥？ 它是等于负一负一二的。现在我们知道直线方程的方向向量，那 平面方程 法向量 n 向量等于啥的，它是不是等于一负二一啊？那好，我们接下来往下算， s 向量点成 n 向量等于啥？你看负一乘一 负一吧，负一乘负二乘二吧，二乘一二吧，等于几？等于三？ s 向量的模长，那不就等于 根号下负一的平方？一负一的平方一，二的平方是四，等于几？根号六、 n 向量的魔长，一的平方是一吧，负二的平方是四，是不是也等于根号六啊？那你看，所以 sin theta 就 等于 s 向量，点成 n 向量，比上 s 向量的摩擦，点成 n 向量的摩擦等于啥？三、六分之三是不是等于二分之一啊？ 那是不是就推出来故 theta 等于多少？ theta 是 不是等于六分之派？那比如说极直线方程与平面的夹角为直线方程 与平面方程加角为六分之八，多少度？三十度。那么我们在这总结一下啊， 平面方程 与法向量垂直吧，它们是垂直关系。那直线方程 与方向相等 平行吧。那 a 向量平行于 b 向量，那是不是就是 a 向量与 b 向量各对应分量成比例？ 那 a 向量垂直于 b 向量，那不就是 a 向量点乘 b 向量等于零吗？以 a 向量 b 向量为 邻边的三角形，面积为二分之一倍的 a 向量差乘 b 向量的模长，是不是？那你看，已知 a 向量 b 向量，求另一条与 a 向量 b 向量 垂直的向量 用叉乘。其实这样写的话，大家可能有点 看起来有点复杂，我们拿个式子来决定啊，比如说 c 向量等于 a 向量，叉乘 b 向量，那么 a 向量就垂直于 c 向量， b 向量呢？也垂直于 c 向量。也就是说，我知道两条，我知道两个向量，我要找另一条与它们两个都垂直的向量，我就用叉乘。叉乘得到的向量一定垂直于这两条向量的任意一条向量，并且是同时垂直。