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从现在开始，那么我觉得到七月中这个就是基础阶段，你先要把知识学懂，什么叫学懂？学懂它是个什么概念呢？这个阶段的这个难点啊，就在于什么呢？对于每一个基本知识，你是不是能够把它复述出来？这个很重要。比如说刚才讲泰勒公式，你知不知道泰勒公式是什么？首先 n 阶带拉格拉余弦的泰勒公式，还有 n 阶带佩亚诺余弦的泰勒公式， 它们分别是什么样的表达式？分别在什么场合用？那么一般证明题，我们用的是在朗朗余象的一般做计算题，或者在局部位置，我们是用带培养余象。然后它的公式有什么作用呢？它的作用比如说第一个可以在解决无穷小的时候展开的精度问题，可以去讨论极限计算的问题，当然我们也可以用它的展开式去逼近，就是说用一个多项式 逼近一个曲线，那么逼近这个曲线的时候呢，我们就可以用多项式的导数运算，或者说多项式的积分运算去代替原来函数的导数运算或者积分。那么这样的话呢，会给我们需要的这个目标值，给出一个或大或小的误差的一个近似， 这个是有利于我们工作的。然后我们要去讲题目出现展开点在哪里，展开到第几节，然后把式子展开之后，我们怎么去？还能变形，消去相同的项，而留下我们需要的项。那么我说的这些话大家是不是能听懂？如果你过关了，你过关就无非就这样就可以了。

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各位二零二七考研的同学们，大家好，我是张宇，那么从今天开始啊，我们就要一起走上二零二七考研数学的征程了 啊，那么在二零二七的考研数学的复习过程当中，我想大家知道啊，我们有这样五本教材，在基础阶段， 这个基础阶段的三十讲有五个内容，一个呢就是我们现在要给大家讲的这个零基础 零基础的通关讲义， 这个内容呢是我们在大学数学啊，更严格意义上讲是考研数学跟大家中学数学之间的一些啊，这个衔接的知识， 就是说你在考研里头要做题目也好，想问题也好，做计算也好，那么是用的到的中学数学知识， 那么我们需要做一个全面的通关，所以把它叫做零基础通关讲义啊，这是我们的第一个材料啊，大家手里拿到的这个小册子，那么这是第一个，第二个呢就是我们的高等数学分册， 高数分册，然后呢我们就开始讲这个高等数学 啊，因为零基础讲完之后，那么大家就完全具备了开始学习高等数学考研的高等数学的内容的能力了，那我们就一点一点的开始学习， 那么在整个高等数学学完之后，那么大家再拿起第三本书，也就是那个，哎，一元积分学的一元函数，呃，积分学 通关讲义， 那么这个一元函数积分学通关讲义呢？它一共分成了七组， 那么七组训练题，我个人的建议，那么大家在整个高等数学学完之后呢，去做这个工作 是吧？当然有的同学呢，愿意在高等数学啊，学到一元积分学这块的时候呢，那么就拿出专门的一段时间去好好做一做这个一元积分学的七组训练题， 这个也可以，但是从进度上来说的话呢，你要中间要专门拿出一块时间来练啊，这个还是要花一定时间的啊，因为我告诉大家是这个内容，实际上就是， 呃，我在小册子里面写的是核心计算的通关讲义啊，那么我们可以认为这个一元函数积分学啊，那实际上就是一个核心计算 啊，是一个核心计算的这个通关讲义，那确实如此，就整个的你考研里头最难算的东西是吧，区分度最高的当然就是这个一元函数积分学的计算了 啊，所以呢，我们今年是新增加了这么一块啊，新增加这一块呢，那么我想建议大家就是等这个高等数学全部在学完之后呢，那么专门我们啊拿出一块时间来学 啊，也可以啊，那么穿插在这个高等数学分册里面啊，当你学到一元函数积分学之后，那么你学完了一元一元积分学，那么你可以做这个核心讲义，核心计算的这个通关讲义 啊，那么这是我们的第三本册子，那么上面呢，我们就等于把高等数学呢就全部说完了， 那么你把这个高等数学就把这三个册子都做完学完啊，搞懂吃透，实际上你就达到了 啊，传统意义上来讲的基础跟强化的所有内容，你再换句话说，你学完这三个时间可以上考场了 啊，但是呢，我的意思大家不能这样就上考场啊，当然因为什么，因为我们可能要奔着更高的目标去走， 所以在基础三讲的高数学完之后啊，就是高等数学啊，那么你经过学完之后呢，我们就可以进入，那当然是我们以后的事情了，是吧？啊，那么最后后面呢，就进入高等数学十八讲，那么就是那个专门讲解题的， 是吧？这知识呢，我们在这块学如何解析呢？我们放到高等数学十八讲里去讲啊，好，这是我们说的高数这块。然后第四本册子就是限行代数的分册， 新型代数的分册，新型代数分册，这样也包含两个内容了，一个呢就是零基础讲义，这个零基础讲义呢，由于新型代数相对比较少一些，我们就把零基础讲义呢跟新型代数分册就合在一起了啊，合成一本册子， 那么到这为止呢？呃，到这新一代数结束了，新一代数结束呢，数学二的同学就结束了，那数学二呢？只考这四个册子啊。然后呢，还有一个就是第五个册子，就是该理论与数据统计， 该理论与数据统计的 这个分册，那么这块呢，就是数学一和数学三要学的啊。呃，那么这个概率论与数学统计，它的零基础呢？就是第一讲， 因为整个的概率统计的这个教学的这个体系的安排啊，它就给了大家一个第一章，或者叫第一讲， 叫随机事件与概率。那么随机事件与概率，严格来说他并不属于大学的概率论里面的基本知识啊，因为大学的概率论实际上是要以随机变量作为研究对象的，而第一讲里头没有涉及到他的研究对象，所以呢，其实他是个零基础， 所以我们概率统计的零基础跟专业的内容呢，也是合在一起的啊，所以大家要注意啊，就是高等数学有个零基础，因为太重要啊，而且相对内容来讲也不少，所以要单独拿出一块来。但现代数也有零基础，概率统计也有零基础 啊，注意啊，都有这个，相当于是预备知识的这种零基础啊，分别都在这个分册里头了。 那么这样呢，我们这个整个二零二七的考研，数学的基数三讲，那么就是五块内容啊，就是这么多，这块是数学二不考的啊，数学二只有前面的四个内容啊，四个册子，那么数学一三呢，就是五个册子。

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好，我们来看五点一， f x， g x 具有二阶导数， g 两撇 x 小 于零，如果 g x 零等于 a， 是 g x 的 极值， 当你读到这儿的时候，你立刻能够得到 x， 零是 g x 的 一个极值点，没问题吧？是 g x 的 极值点， 而 g x 是 不是一个可导函数啊？我们根据费马定律，这个费马定律啊，考的很频繁啊，必须给他记熟练了。费马定律是什么？一句话， 可导函数的极致点一定是注点。再写一遍啊，可导函数给他背熟练了， 极值点一定是注点，所以能得到什么信息呢？ 哎，你这个 g x 就是 a 可导函数是吧，你的极致点，那就是注点，那也就能得到 g 一 撇 x 等于零啊，对不对？注点就是一阶导函数等于零的点， 等于零的点，那不就是，哎，这个 g 一 撇 x 零等于零吗？我们能得到这样的一个信息啊，好， 让我们求的是什么呀？这样的一个负函数啊，在 x 零处取得极大值的一个充分条件。好，这个题我们可以看到啊，牵涉到二阶导函数了，那么考察的就是判别极值的第二充分条件。好，第一、第二、第三充分条件啊，希望大家都是非常熟练的 这题考到啊。第二种的条件，那既然是在 x 零处取得极大值，要满足在 x 零处，一阶导数等于零。好，二阶导函数在 x 零处得小于零。是，这就是一个关键信息。好，就用它来做题了。那我们可以令这样的一个复合函数 f g x 好，是不是可以令它为一个 y 啊，它是一个复函数，我们，哎，要满足提议的话，必须得是 y 一 撇 x 零得是等于零， y 两撇 x 零得是小于零。好，这样得到我们的 a、 b、 c、 d 的 某一个选项啊。 好，我们去求 e 阶导函数啊，对 x 求导啊，是不是对 x 求导，负函数求导啊，考，考点，负函数求导。先是外层求导，这，这带上啊，这带上，好，在内层求导， 一层一层的求，我们把 a 零带进来，你看一下， x 等于 x 零带进来。 g x 零的话， g x 零是不是等于小 a 呀？小 a 呀，也就是 f 撇小 a， 后面呢？乘一个 g， e 撇 x 零， g 一 撇 x 零，我们已经知道是一个零呀，所以这是零，他满足这个了，继续我们要求二阶导，二阶导，这是一阶导啊的基础上，这些求二阶导。好，这是看成一个函数，这看成一个函数，用乘法求导公式，左边求导 是 f 撇撇 g x， 你 注意，还没完事呢，左边求导啊，要外层求完，还要内层求呢。这是左边求导，乘以，右边不求导，那就乘一个它，那就是一个平方了，再加上左边不求导， 右边求到就它好，求个到就是二阶导了，是不是？是的啊，好，我们把 x 等于 x 零带过来看一下。 那 g 一 撇 x 零是等于零的呀，带 g 一 撇的啊，把 x 零一带的话，这肯定是一个零了。那这边呢？好，就是剩的啊，就是 f 撇小 a， 题目给了啊，好， g 两撇 x 零， 是这样的吧，而既两撇 x 小 于零，你这个这个 x， 是 吧？在定域上啊，都满足这样的一个不等式，你这个 x 零带进去也是小于零的，所以这是小于零的哦，这是小于零的，我们要使得它怎么样呀？ 好，小于零呀，这是小，要小于零，这是一个小于零的，是负的了，所以这个必须得是正的，正的跟负的相乘才是一个负的，所以我们能得到 f p 小 a 必须得是大于零的，那就选 b 就 行了， 是不是？这样的话啊，根据充分第二充分条件就可以得到了啊，这个含负函数在零处取得极大值啊。好，这个题讲到这了， 好，我们看五点二， f x 在 b 区间上可导，那我们能得到 f x 在 b 区间上连续，是不是？哎，在一个点处可导，一定能得出连续，在一个区间上可导，一定能得到在区间上连续啊。好，并且 在 x 等于 a 处取得最小值， b 处取得最大值，看一下选项让选什么啊？ 在 ab 两个点的啊，这个一个是右导，一个左导，哎，是大 a 零，小 a 零的问题。好，那这个题的考点我们看一下啊，就是 b 区间上连续函数， b 区间上连续函数，它一定是存在最值的，这一点要知道。好，那它 啊，没有考到啊，怎么去找出来啊？这个 b 区间上的最小值和最大值， 那怎么去看这两个点处的一个导数情况呢？其实用导数的定义就行了，那对于这样的题也有简单的一个总结，你可以啊，哎，去看一下，但不必，不必死记，硬硬背啊，不必死记， 因为什么？因为根据导数的定义就行了，他考到的是带在端点处好取得最值这一块的一个必要条件。我们看啊， 哎，你不是让我们判定的就是好这个两个端点的一个转左端点的右导，右端点的一个左导数的情况吗？哎，我根据这个导数定义就行了呀， 导数定义再根据，再结合题目的一个信息就够了， 所以没有必要啊，死记硬背。那第三条呢？这个需要记下来，那如果在 b 区间上可导，在 这个 c 处取得最小和最大值的话，那么 c 这一点的一个导数一定是等于零，这就是费马定律。哎，我们上个题是不是也考到了费马定律，考的频次非常高，一定要记住啊。好，可导函数的极值点一定是注点， 而 f x 在 b 区间内部，是不是？哎，你在区间内部，那么你最值点一定是极值点， 所以说这个 c 这个点就是极值点呀，对不对？你极值点的话，一定能满足啊，这在这一个点处的一个导函数等于零，因为这个点肯定是注点的意思，这个没有问题吧， 有问题的同学再去复习一下这一块。好，必须让连续函数一定有最大值，最小值。你看，我们取去求最大值最小值的一个步骤啊， 先在这个开区间内找可疑点，要么是注点，要么是不可导的点，其他点都不配作为啊。这个可疑点是不是 好，因为它是可导函数吗？是不是就没有这种情况？所以，那我们找到的就是注点，然后再把端点哎找到，是吧？哎，端点的值 和这个注点的一个函数值求出来，把这些函数值求出来之后，比较最大最小，因为已经知道了。好，我们那个最值不是在端点处取得，那就是在内部取得，在内部取得的话，那就是注点处取得，是不是可导函数的一个 啊？极值点那个注点不就是极值点吗？是不是那一定满足的？是啊，这个费马定律，可导函数的极值点一定是注点。 好，这是扩充啊，我们回归这个题目啊。好，根据导数的定义就行了，我们瞅一下啊。好， x 去 a， 正，是吧？好，导数的定义得会啊， f x 减去 fa 除以 x 减 a， 那我们要知道什么呀？好，你既然在 a 处取得最小值，我们就知道 f x 一定是大于等于 fa 的， 因为 a 这个点是整个 b 区间上的一个最小值点，那么对应的函数就是最小的， 是吧？哎，我们这个是大于等于啊，那还有能得到什么呀？在个 b 处啊，是取的最大值，那在这个区间上面好， f x 都是小于等于 f b 的， 完全可以等取等号啊，是吧，你这，你可以是个长值函数， f x 就是 个长值函数，那么每一点都是最小值点，每一点都是最大值点，这是 ok 的 啊，所以等号带上，没问题，这个题目得到的信息，这是题目的给的信息啊。好，我们看一下， 那我们知道 f x 是 大于等于 fa 的 哦，所以这个分子是不是大于等于零的正的啊， 而我们是从右侧去 a 的， 从右侧去 a 减去一个 a， 那 肯定也是大于零的，所以我们能得到的是 a 大 于等于零啊，是不是这个是大于等于零的极限？大于等于零啊，好，这是不是就得到了啊？这个 a 不 能选，这个 b 也不能选了，再看一下 好， b 这点的左导数， x 去 b， 负就导数定义就行了。再结合题目的信息，好， x 减去 b 看一下， 我们知道 f x 是 小于等于 f b 的， 那你小于等于 f b， 你 减去 f b 肯定是小于等于零，那就是负的。哎，最多就等于零嘛，咱们看负的其实就够用了嘛。 好，那 x 是 从左侧去 b 的， 从左侧去 b 好， 又减去一个 b 的 话， 它是负的，是不是？也就是说你是没有 b 大 的呀，哎，你减去一个比自己大的一个数，肯定是一个负的。好，那么负的跟负的一除的话，那就是一个正的大于等于零，是不是？ 因为你是可以取零的吗？好，那可以看出来啊，也是大于等于零的，那这个就不能选，那就选 d 就 行了，这就完事了。对，好，那这个题就讲到这了。 好，我们看五点三曲线的渐近线的条数，那考察的就是渐近线的知识点啊。 哎，三种你都要考虑，你像今年考题啊，整体就考到了啊，填空题好，考到这个渐进线，你得注意啊，趋于无穷，他分左右去正无穷和负无穷啊。 对，这个题的话啊，你分左右其实是一样的，但对于今年的整体他就不一样啊，可以去看一下好曲线的。呃，有没有。先看有没有水平渐进线， 那就让他去无穷。那去无穷就分正无穷和负无穷。我们先看一下啊，写个正无穷的话 再看，写个负无穷，你会发现啊，这就不需要区分对于这个题，因为你是正无穷也好，负无穷也好，你平方之后都是正无穷的，是不是？而且去无穷的话，这个必须要有一个抓大的思想 是吧？你求极限，有抓大的思想啊，像这些可以忽略不计，你这个常数是吧？你这是一次，你这是二次的啊，你这个比不了啊，你次量级不？你，你太弱了，所以可以忽略掉抓大啊， 忽略掉，你看这时候 x， 你 取正无穷，取负无穷一样的，是不是？那这个平方之后都正无穷了，没有，没有必要再分左右了啊。好， 那这直线的话，很显然就是一个一啊，所以我们可以看出来，它有一个，有一个水平渐近线，有一条水平渐近线，就是 y 等于一，也就是说，不管是 s 区正无穷还是趋于负无穷，它都是以 y 等于一为水平渐近线啊， 是吧，但他的图形，他的一个图形，咱们是画不出来的，但是你要知道他有这样的一个水平渐近线去负无穷的时候，哎，这样的啊，咱就随便画的啊，去正无穷，也就是这个意思，是吧？以 y 等于一啊为水平渐近线的意思。好， 有一条了啊，那既然有水平渐近线，那就不可能有斜渐近线，斜渐近线啊，同一方向上，你去正无穷去负无穷啊，这个 水平渐线是相同的，所以这个两个方向啊，正无穷和负无穷两个方向向，两个方向上都不可能有斜渐线了，因为他们讨论的都是去无穷嘛，所以 现在只需要看有没有牵直线一线就行了，是吧？牵直线一线去找无穷间断点呀。我们看一下这个 y 啊，等于 x 平方加 x 除以 x 平方减一。好，这是可以啊，先去化减的，同学们一定要先去化减啊， 你不化减的话，你后边你会发现你做的过程中你还是要化减，那图啥呢？不，不如一开始就化减， 把 x 提出来，底下 x 加一， x 减一，那其实这个 y 它是不是就是 x 除一个 x 减一啊？ 那我们可以看到无穷间断点，那其实就是 x 等于一，如果你不化减的话，你可能会，哎，再多讨论一个点，就是 x 的 平方减一等于零吗？是吧？没有定义的点啊。分母等于零的点， x 等于负一，好，假设啊，你没有去化解， 那你把这个点考虑了，你最后发现这个也是要排除的啊，我们一个个看好，如果你化简了，那我们就看 s 等于一嘛。好，是不是它的铅值减一下啊？去一的时候它是否去无穷？ 好，它其实就是 x 比上 x 减一嘛，这样，这个 y 啊，对不对？这就是 y 啊， x 去一的话，分子是一个常数啊，分母的话，一减一是小于零的呀，我不管你去一正还是一负的，都是小于零的，是吧？ 好，零分之一个常数的话，要么正无穷，要么负无穷嘛，反正就是一个无穷，所以是 ok 的， 来一这个点是没有问题的，所以它有一条这个铅直渐近线，那如果你没有化简的话，好，你去看 x 等于负一，好，是不是铅直渐近线吗？那你要是 去求极限呀， x 趋于负一是吧？好，你，你没有化简，就把题目抄过来就行了。 x 平方减一，好，你在这个阶段的话，哎，你可能又想到了去化减， 是不是？你可能想到化减，那你他说我还没有想到去化减，那你没有想到化减，你求极限了，现在是不是要判定类型了呀？你判定类型的话， x 去负一的话，负一的平方是一个一，这就是负一，一减一是零，所以是零比零，那你零比零，你可以落一下， 是吧？你摞一下，你看底下的话是二 x， 这是二 x 加一啊， x 去负一，那这个时候直接是可以带进来了吧，是吧？这连续函数啊，直接带就行了。好，负一， 这就是这就是这就可以看出来啊，它并不是无穷的呀。负二乘一个啊，负一乘一个二嘛， 这是负一乘一个二，再加一个一，是吧？上面是负一，下面是一个负二，所以它就是一个二分之一吗？它不是无穷啊，其实在这你能看出来它不是无穷，所以它就不是牵制间接地线， 对不对？其实你看这里啊，你看 x 去负一，很显然嘛，负一除以，这是负一，负一就是一个负二，所以是二分之一嘛，根本就不是间断点。如果一开始你化简的话啊，没化简没事，你多个几十秒的时间也能看出来它并不是。 哎，牵制减一线，所以就两条嘛。两条啊，所以我们写个二就够了。哎，就 ok 了。好基础知识啊，那这个题就讲到这了。

好，我们看五点四曲线在零零处的切线方程好点已经有了，我们现在求一个斜率就行了，是吧。哎，曲线啊，在这一点的一个斜率怎么去求呢？斜率就是等于啊，曲线 对 y 对 x 求导嘛，导函数啊，哎，在零这点的值是不是就是斜率啊？ 好，那这个导函数怎么求呢？那这就牵涉到引函数求导的问题了，是不是引函数求导呀。方程两边同时对 x 进行求导， 我们知道，这就牵涉导负函数求导了啊。这个看成一个整体，贪进的求导的话，贪进 x 求导，是不是 second x 平方呀？把这里看成一个整体， 好，那就是 second second 就 相当于 x 啊，它的一个平方，这是外层求导，是贪念的内层内层求导啊。好， x 对 x 求导， y 对 x 求导是吧。方程确定的一元引函数哦。 y 关于 x 函数啊。好，后边儿 e y 那 负还是求倒。这个没有问题啊。那我们把 x 等于零， y 等于零带到这里面啊，我们现在需要把 y 一 撇零求出来，是吧？好，把 x 零 y 带过来啊。这一带的话， x 零 x 等于零， y 等于零，这就是 second 四分之拍，那就等于 e 比上 cosine 四分之拍是吧。 靠近四轮胎的话是二分之根二，根二分之一，再分之一，那就是一个根二呀，所以这是根二的平方，那就是一个二。好，乘以一加上 y 一 撇，等于 e 的 一次方啊。 y 一 撇 哦，零啊。 sorry 啊，这个带的带带的是零啊。 y 等于零一的零次方是一零次方一啊，好，这是二加上二 y 一 撇，把后边的 y 一 撇移移到左边，那这就是 y 一 撇 就等于个负二， y 一 撇等于负二，也就是 y 一 撇。零呀，我们是把零零的点带进来的嘛。是，所以这就是一个负二， k 等于负二，就求出来了。点斜式把切线方能写出来啊。 y 减去零，等于 k 倍的 x 减去个零，也即是 y 等于负二， x 完事了。好，一元以函数啊，求到，那这个题就讲到这了， 好，我们看五点五曲线的拐点坐标，拐点的话，我们主要是看二阶导是不是，那如果这一点二阶导等于零，并且这一点好，左右两侧二阶导这个符号是 e 号的 这两侧啊，二阶导符号是一号。好，那这个点就是拐点，当然了，那么拐点作为拐点的这个点也可能是不可导的点， 所以啊，要注意这两点。好，我们先去研究可导的点呀，是不是？ 那我们看一下，对他进行求导呀，求到二阶。好，你可以直接啊，两个相乘进行求导，也可以给他拆开啊，拆开的话好像简单一点，拆开的话就是密函数啊，进行求导啊， x 三分之五，减去五倍的 x 三分之二次方，是不是好，一阶导得会求密函数的导函数很简单呀。好，前面是三分之五。 好，后边的话是 x 的 负三分之一次方。好，三分之二跟五相乘，那是三分之十了。二阶导， 这就是减去三分之一，前面那就是三分之五乘以三分之二，九分之十，后边 x 的 负三分之四次方，负三分之一跟负的三分之十相乘，这就是一个正的九分之十。我们提一下公因式啊，九分之十， x 的 三分之四次方分之一。我们这样啊，再写一步，大家看一下啊，给他写成这个样子分数的形式啊， 这样便于我们去讨论啊，以及提共音式，九分之十可以提出来，这个啊，直接可以作为共音式。我们看啊， x 三分之四次方分之一， 如果把它提出来，你看看啊，它跟谁相乘？是 x 的 三分之一次方分之一啊，那不就是 x 吗？是吧？好，那后面的话就是加个一了呀，我们把它整理成这个样子的目的是什么呀？这个 x 的 三分之四次方， 它可以写成什么呀？ x 的 四次方，然后开三次方根，这个得，知道吧，所以这一部分是不是得 大于零呀？你在分母上这个情况， x 是 这种啊，我们求二阶导。你看啊，这个 x 不 能等于零呀，你看啊，这个如果等于零，它在分母上没有意义了，一定要注意， 那你不能等于零，你这个啊，四次方了哟，所以你是大于零的啊，这一部分他就是大于零了，你再开三次方，他也是大于零的，这整个这一部分都是大于零的。 后面是 x 加一，我们现在就是令二解导等于零呀，是不是二解导等于零，解出来这个 x 零解出来，这个可移点好，解出来这个可移点， x 就 等于负一啊，我们现在就去验证啊，这个负一这个领域内 左零域和六零域，你这个二阶导异不异号的问题啊，好，从左侧 区域 x 等于负一，这个点的话，哎，就是在这个领域内啊，我们区域负一，从左侧。好，那这个 负一区域从左侧区域负一的话，加上个一，他是不是负的呀？所以啊，这边是负的，这边是横正的，那你就是二阶导是小于零的。好，我们从右侧去一，哎，去负一啊，去负一啊， 那加一个一，它就是一个正值，是吧？它是一个正值，也就是二阶导大于零的，你正的，你这边也正的，所以整个二阶导是大于零的，所以在负一这个点左右领域内，二阶导是一号的，并且这一点的二阶导等于零，所以这个点啊，再把它的 y 值求出来，这个点就是极值点， 我们把负一带进去， y 是 负六。好，那我们还要验证 x 等于零这个点呀，不可导点也可以作为拐点，这个不要漏掉啊。好，我们去看 x 零这个 x 零等于零这个点啊，也就是等于零这个点。哎，你左边右边，如果你二阶导 e 号的话， 二阶导一号仍然可以做一组拐点。好，你不管 x 从左侧去零还是从右侧去零。好，你加一个一，你都是大于零的呀，前面也是大于零的，所以二阶导是横正的， 也就是左边二阶导大于零，右边二阶导大于零，你不是一号的，所以这一点就不是啊，这拐点了是不是？好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看五点六啊。函数在 b 区间上的最大值，这是连续函数吧， 那么考察的知识点同学们要知道， b 区间上连续函数，它一定是存在最值的，有最大值也有最小值，怎么去求呢？这个过程也是非要掌握的非常熟练啊。 首先在开区间内，哎，找可疑点，可疑点呢，要么是注点，要么是不可导的点，不可能是别的点了啊。 那注点的话，我们去看一下啊，咱们先说开区间内啊。好，先把这个导函数求一下吗？一减去二倍的 c x。 好，令，一阶导函数等于零，那就解出来了。好，注点是吧，不可导的点。对，这个题不存在是吧？都是可导的点啊，所以开区间内，我们把注点找到， 再把两个端点找到。好，那把这些点对应的函数值求出来，比较大小就行了，没有必要非得判定啊。开区间内的这些这些注点到底是不是极致点？不需要判定，我们只需要找到即可。好，我们令它等于零，能得到什么呀？ 二倍的 c， x 等于一，也就 c x 等于二分之一，那也即是 x 等于 c， 多少等于二分之一啊？ c 三十度呀， 好，看一下啊，是不是只有这一个点呢？是的，在零的二分之一拍只有只有这样一个点。三十度啊，六十拍， 唯一的一个啊。极值点，我们没有必要判定他是极小值点还是极大值点，就放在这就行了呀。待会去求一下 f 六分之 pi， 或者现在就给他求出来。好， x 的 话 是六分之 pi 加上二，在这呢啊，乘以 cosine， cosine 六， cosine 三十度吗？是二分之根三呀， 是吧，所以是六分之拍加上根三没问题哦。好，接下来把两个端点的函数值求出来是吧？两个端点啊，也就是 x 等于零的时候。好，这个 y 等于多少？我们就写 f 零了啊。令这个 y， 我 们就令 y 等于 f x 的 意思啊。 看一下，或者你就看不舒服，你就再写成乖，也行啊，一个意思的，零，一代的话，零加上二，乘以 cosine 零。 cosine 零是一，就是一个二。好， x 等于二分之派， 总共这几个三个点嘛。把函数值一求好， y 二分之派， x 是 二分之派，加上 cos 二分之派是零。哦，那就不写了啊，好比较这三个点对应的函数值的大小。 那我们得知道拍拍是约等于啊，你三点一次，一五九二六，三点一次就够用了啊，那这里还有个根三好，对于根二根三，哎，同学们也得记得很熟练啊，根二的话，一点四一四，这个没问题吧，根三呢？ 哎，记记几位就行了啊。好，一点七三二，一点四一四，一点七三二，一点四一四，一点七三二啊，记住了， 好，我们去看一下。主要是看这这个跟这个啊，先看他俩吧，他俩好看一点啊，这个拍的话，你就是三点一或者三是吧，你这个三跟都比出来了啊，三除以二是一点五吗？一点多是吧，这是一点多，他不可能是超过二的呀， 所以他俩比的话，那肯定是二是大的，那这个就不用去看了，那再看他俩谁大谁小，看一下这里呢，拍的话，三点一是三点一， 三点一四吧，你再如果是不放心的话，写两位除一个六，再加上根三，一点七三二是吧，你三点一四除一个六啊， 五六三十十四二六一十二是吧，零点五二多啊，零点五二，再加上一点七三多，好，这也很显然啊，是吧，哎，二点多了啊，二点多，他就是大于这个二的，这是二点多啊，二点多， 二点多，咱也不说了啊，反正他是大于二，那他就是最大的是吧，他最大的啊，他大于二，所以最大值就是他 就求出来了。好，六分之拍加上根三，这计算没有什么意思，你把这个过程给记记熟练了啊。好，这个题讲到这了。

好，我们看五点七斜进进线方程。那这个又考察到斜进进线啊，那有两个想法，首先通法， 通法就是去求一下 k， 去求一下 b， 通法就够我们考研用的了啊，那对于一些题目啊，一些仅仅限于一些题目啊，可以用它的展开式去求斜进进线。 那我们说了啊，通法就够考研的了，那学有余力的同学，哎，可以啊，去了解一下他的展开式啊，去求斜进一线。好，那我们再去复习下斜进一线啊，他的定义他怎么去定义的呢？ 也就说 x 去无穷的时候，我们这个曲线 y 与一根直线是无限无限逼近的呀，你看他减去这根极限的，他减去这根 直线的啊，极限是等于零，那不就是它无限逼近于哎，一根直线吗？是吧？啊，我趋于无穷的时候啊，我这个曲线趋于无穷的时候，我是，哎，你看逼近于某一个直线的，是吧？假设这他这他斜径线的话。 好，那我们根据极限于无穷小的一个关系的话，是不是可以把 y 给解出来呀？ y 是 不是等于 k， x 加 b 加一个无穷小量呀？ 好，无穷小量什么意思？就是 s 去无穷的时候啊，它的一个极限是等于零的。这个啊，我们这个就是啊，它展开式去求斜径线，斜径一线啊，就给它写成 y 等于一个直线加一个无穷小量，那前面这个就是斜径一线的意思。 好，这个题两个方法都可以啊，我们都去写一下，先看一下通法， 通法去求 k， 去求 b 是 吧？ k 的 话好， x 去无穷，无穷的话，也分正无穷和负无穷啊。那我们先看一下这个 y 比 x 是 长什么样的，再看一下要不要去区分啊？要不要区分 y 的 话，那就是二 x 减一，除一个 x， 好， 还有一个啊， e 的 x 分 之一。 好，你会发现啊， x 去无穷，你去正无穷也好，去负无穷也好，那我们有一个抓大的一个思想，那抓大的话，这就不用去看了，是吧？这块就是一个二呀，你去正无穷也好，负无穷也好，这就是一个二前面， 那这里呢？ x 你 无，无论去正无穷还是负无穷，你分之一，倒数之后就是去零啊， e 的 零次方就是一个一啊，是吧？所以没有必要去区分左右了啊，那就是一个二，二乘以一嘛，就是个二 k 就 求出来了。好，我们把 b 求一下， b 的 话， 是 y 减去 k x， 是 吧？这样的啊，好，把 y 再写过来， y 的 话是二 x 减去一个一，我们说了没有必要啊，区分正无穷负无穷了，是一样的。好，这是 y 啊， 减去一个 k， x 求极限了啊，判定一下类型，无穷减无穷，是吧？好，那这有个二 x， 你 会发现这有个二 x 成个什么？我们是不是可以把这个二 x 作为一个所谓的公因子给它提出来看一看呀？ 这常见手法啊，你先观察一下，整理一下。好，二 x 作为公因子的话，那前面有一个它 e 的 x 分 之一，好减去后面就相当于一了嘛。那这还有这一块给搞过来啊，减去 e 的 x 分 之一次方整理了之后呢？ x 去无穷， x 分 之一，我们知道它是去零的，是吧？你去零，这个时候要想到倒带换呀， 倒代换啊，我们把求极限去无穷给它转化为去零，是比较熟悉的啊，一个求极限的一个方式啊，是吧？哎，去去零的话我们比较熟悉啊，有倒代换啊， 常见手法啊，去无穷的时候，要想到好 t 令 t 等于 x 分 之一， t 就 去零了，是吧？你这个 x 的 话就等于 t 分 之一了啊，好，二，我们就抄下来， x 就是 t 分 之一了， t 分 之一这上面的话是 e 的 t 次方减去个一，后面 e 的 t 次方，是吧？好 x 啊， t 啊， t 去零的话， e 的 t 次方减一，那不就是等价于 t 吗？ t 除一个 t 是 不是等于一啊？好，所以前面就是一个二，那左边这个极限就是一个二减去好 e 的 零次方就是个一，极限就是个一，二减一就是个一， 是吧？所以 k 跟 b 就 求出来了，我们就得出来了。这个斜进一线啊， y 就 等于 k， x 加 b 就是 二， x 加 e 啊，就写过来啊。 好，我们已经说过了啊，去正无穷负无穷是一样的，所以它就这一根斜进一线，我们再看一下 法儿，哎，就是哎，力线利用啊，这个定义啊，斜径线的定义，再根据极 这个极限与无穷小的一个关系啊。我们知道 y 是 等于 k， x 加 b， 加上一个无穷小量，写出来这个形式的话，我们就得到了啊，这个 k x 加 b， 它就是斜径线， 好，怎么去怎么去给它写成这形式呢？它的展开式，因为看到 e 的 x 分 之一， x 区域无穷吗？我们知道 e 的 x 次方 x 区域零的时候，它的一个展开式是一加 x 加 x， 平方除以二的阶乘加 x 三次方除以三的阶乘。好，点点点。那 现在啊，哎，这个是 x 去无穷，那 x 分 之一不就是去零了吗？所以 e 的 x 分 之一去它是去零的就可以。哎，利用展开式了啊，那就是一加上 x 分 之一，加上 x 分 之一这平方， 是吧，再除以二的阶乘啊，那就这样的。好，那是 x 分 之一三次方啊，再除以个六， 这样的，是吧。其实写到这就够用了。就写到写到这里啊，写到这里就够用了。如果你不知道写到哪里够用，你可以写到三次放。写三次放你可能更放心一点，是不是你写到三次放 ok 的 啊， 你放心，最后他会啊，有一部分就，哎，就消掉了。好，那我们把这个 y 写过来了啊。二 x 减一乘以 e 的 x 分 之一次方，二 x 减一好， e 的 x 分 之一就写过来了啊，写成一加上 x 分 之一，加上 他用不了这么多。只是说有有些同学，哎，我一开始不放心，不放心你就多写一点啊，到后面你做题多了你就知道啊，用不了这么多了。好，我们给他展开嘛，是吧。呃，不是展开了啊，给他盛开了。好，二 x 乘个一， 再加上二 x 乘一个 x 分 之一，是不是一个二啊，再加上二 x 乘以这一块，那二根二消掉了， x 跟 x 消掉了，还剩一个分母的一个 x， 去吧，二根二消掉啊，好，再往后面啊，再加上 好，二 x 除一个六， x 三次方， x 跟这里消掉一个。这里这里。好，写到这了啊，好，后边啊，后边一个高阶的话，我们待会再写，统一写到后边吧。就是，那你写到这里也行啊，也就是加上一个 x 乘以 x 三四方的一分之一的一个高阶的话，那还剩的就是 x 平方分之一的高阶，对吧？好，继续啊，减去一个一，再减去一个 x 分 之一，再减去一个一，比上二 x 平方再减去一个六，比上啊，这个啊， 再减去，减去写加，那你高阶的话，写减加都是一样的意思，我们看 好削一削啊，削一削二 x， 那 就写过来，那加一个二，减一个一，是不是加个一啊？是不是加 x 分 之一，减 x 分 之一没有了，剩下的啊，通通都就可以写为一个 r 分 了，你看这一块。 好，这，这，这是吧，这儿这儿，这儿， 你看， x 趋于无穷的时候，这个 x 平方是不是也是趋无穷啊？无穷分之一是趋零的呀，你这也是趋，对吧？高阶零呀，趋零呀，你这也是趋零趋零啊，所以啊，这就可以看为一个无穷小量就行了。 好，所以我们就写成了这样的一个形式，那左边这个二 x 加一就是它的斜进一线方程。 好，都了解一下啊。哎，有一些你想这个题目比较简单的话，我们再展开式，这个也很快，那当然了，最重要的就是通法是必须要掌握的啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看数一数二啊，取线上取率为二分之二的点的坐标，那我们要知道取率的一个公式，取率半径的公式啊。 好，那取率得等于二分之二吗？那取率的话啊，取率啊，在这呢啊，取率的话，要求二阶导，要求一阶导啊，所以我们就是求导就行了啊。好，先求一阶导，一阶导就是二 x 加一，求二阶导，那就是一个二了。 好，这个曲率啊， k 它就等于二阶导的绝对值。好，那就是一个二啊，除以一加上一阶导的平方，那二 x 加一嘛，一阶导的平方喽。 是，它好在二分之三次方啊，它是不是要等于二分之根二啊？ 我们交叉相相乘啊，交叉相乘相等，那它跟它相乘就等于四嘛。那所以一加上二， x 加一的平方的 二分之三次方，是不是就是四除以一个根二呀？好，四除以一个根二，那都乘一个根二的话，这里乘一个根二，再写，再写一步吧， 这是个二，所以是二倍的根二。这个东西三次方再开方是二倍的根二，所以这里边是不是等于二呀？如果你看不出来的话，你就一点点的。好，这是二 x 加一个一的平方，先三次方嘛。 好，三的方之后，开方之后是二倍的根二，如果我不开方了，我不开方的话，是不是二分之二倍的根二啊？的平方呀？二得四，二，四得八。对，所以是八啊，八开方出来啊，他取了一个正的。 好，谁的三次方等于八呀？那不就是二吗？一加二， x 加一的平方，这是不得是个二啊，那这块是不得是个一啊？二 x 加一的平方也是个一啊。那所以我们能得到二 x 加一，要么是一，要么是负一啊， 所以可以得到二， x 等于零， x 等于零，或者二 x 等于负二， x 等于负一。而题目说 x 小 于零，所以这个不取取它，那取 x 等于负一啊， x 等于负一的时候，我们看 y 等于多少， x 等于负一。负一负一的平方是个一啊， x 的 话是负一，那就是一个零，一减一是零啊，坐标就求出来了啊，负一零，又考到一个曲率公式啊，曲率和曲率半径记记数量了啊。好，这个题讲到这儿了， 好，我们看五点九，设函数 y 等于 y， x 由方程所确定。哎，方程确定了，引函数啊， 是求 y 等于 y， x 的 注点，那就要求一阶导，令一阶导等于零，就解出来注点了，并且判定一下它是否为极值点。 这里考察的是一元引函数极值的问题，咱们真题里面，哎，前些年啊，考过多次，要知道怎么去做这样的题目啊。好，方程两边同时求导。好， 我们求完导之后是不是，哎，有这个一阶导函数啊，令一阶导函数等于零，去解柱点啊，找到柱点，接着呢。等式两边啊，一阶导函数啊，这个他会求完导之后，不是得到一个，得到一个等式吗？好，这样的一个等式啊，再去，哎，等式两边同时求导。 好，我们利用判定极值的第二充分条件啊，去讨论一下极值的情况啊，是根据第二充分条件的 好，要知道啊，哎，一元一函数机制问题，怎么去做？哎，就这样的两步，求一次倒，再求一次倒就 ok 了啊，不要用第一充分条件，我们看为什么。写写写，写等式两边， 方程两边吧，是吧，圆方程啊，这大体你步骤得写点啊，同时对 x 求等， 看一下二三得六， y 的 一个平方，然后 y 对 x 求导啊， y， 关于 x 函数啊，别忘了二二得四，对 y 再来一个 y 一 撇，加上二倍的。好，后边这块 x 求导是个一， y 不 求导， x 不 求导， y 求导。 好，后面减去二 x 等于零。对，这个二可以重进来啊， 那也记，可以把二都消掉吧。都有一个二呀，都消掉啊。好。三， y 的 平方， y 一 撇减去二 y， y 一 撇加 y 加 x， y 一 撇减 x 等于零啊，这是一式 我们令啊。一阶导函数等于零，可以得驻点 注点。不就是一阶导函数等于零的点吗？瞅一下，一阶导等于零，一阶导等于零等于零啊。那可以得到的是 y 等于 x 是 吧。 得到 y 等于 x， 这还没得到注点呢啊。我们可以得 y 等于 x， 那 么可以把 y 等于 x 带入圆方程啊，是吧。把 y 等于 x 带入圆方程。 好，可以得看一下 y 都换成 x 啊。二 x 三次方减去二 x 平方加二 x 平方减去 x 平方等于一起。 这里消掉了啊，还剩的是二 x 三次方减 x 平方减去一个一等于零。好，一元三次方程，我们说一元三次方程怎么去解呢？先去猜一个根，先去猜一个根。 猜根的话啊，不要乱猜啊，你猜零啊，正负一，正负二其实就够用了啊，一般不会逃出这几个范围。我们看零不行是吧，哎，一呢，一发现就行了。二减一减一嘛。所以他有一个根是不是一啊， 也就是说能给他写成 s 减一乘以一个一元二次函数是吧。他可以写成他两个相乘。那 一般来说，这里的一元二次方程啊，他是没有实数根的，也就是嘚瑟小于零。一般就是这样的啊，一般这样的好。 所以啊，你如果有做题的经验的话，其实你没有必要再去知道啊，后边两个负根是谁了。我，我现在讨论都是咱们都讨论实根的情况啊，负根不要去讨论就行了。所以你其实就可以解的啊。所以 x 等于一记为 唯一的一个注点就行了。这就是你猜出来那个对吗？这就行了啊，你不信的话。好，不信我们去看一下。那对于这一块的话，怎么写出来一个一元二次方程呢？你看不清楚的时候就直接写 a x 平方加 b x 加 c， 是吧？哎，它乘出来不就是一元三次方程吗？你代定系数，把 abc 代定出来就行了。好，它俩相乘呢，得是这玩意吗？好，这里有一个负一，负一怎么能乘出来呢？那肯定是这个负一跟这个 c 相乘，所以 c 肯定是等于一的，是吧？肯定是等于一。好，那再看一下啊，它跟 谁跟谁相乘能够得出来三次方的这一块呢？那只有他俩相乘，没有别的情况，只有他俩相乘，那就是 a x 的 三次方就得等于二 x 三次方，所以 a 就 等于个二，是吧，你很快就确定出来这个 b 啊，是等于多少了？你看一下，谁跟谁相乘出来是一个。 嗯， x 平方呢？好，它跟它相乘是有一个 b x 平方，是吧？还会有谁有 x 平方呢？这里啊，它俩相乘也就是负二，是吧？ x 平方，所以 b 减去一个二， x 平方啊， 那这里呢， s 平方前面的系数是不是负一啊？代定一下啊，所以这是等一个负一，所以 b 就 等于 b 减二等于负一嘛， b 就 等于个一啊，是不是，是不是可以看出来啊？所以啊，我们可以看出来 这有一个一二次方程。好令它等于零吗？那你解出来是负根，因为得它是小于零的，可以看出来吧， b 的 平方减去 c， c 是 小于零的。 b 的 平方啊，减 c， c 小 于零，所以咱们就不讨论啊，不讨论负根的情况，只讨论十根的情况啊，哎，记住了啊，只讨论十根的情况。 好，这个我就放到一边了，你知道啊，知道这个意思，那放到一边啊，放一边。 好，注点已经找到了，接下来呢，我们去继续一是两边这个做题的步骤啊，对，同时对 x， 哎，再去求导，把二阶导搞出来啊，好，求导的时候要认真了啊，就三，我们可以写到最前面那 y 的 一个平方求导公式啊，那就是二 歪，然后歪一撇，这左边求倒，右边不求，又多一个他是吧，多个他你平放一下，再加上左边不求倒好，右边求倒， 这是他两个啊，乘完他俩乘完的倒数减去二倍的好，然后再歪求倒，右边不求倒，再加上左边不求倒，右边求倒好，再加上歪一撇，到这了啊，再继续加上 x 求倒， y 一 撇不求倒， x 不 求倒， y 一 撇求倒，那就是这个好，再减去个一是等于零的， 瞅一下啊，那其实也没有必要非得去整理啊，我们现在得到一个二式，我们把值带进来就行了啊，把 x 等于一，我们知道啊，这时候是 y 等于 x 吗？ x 等于一，也就是 y 等于一以及 y 一 撇 一等于零，带入二式，把二阶导啊，在一这个点的一个值求出来就行了，可以得 二阶导在一这个点的值。好，这里认真去看一下就行了，我们主要，哎，可以盯住啊，一阶导函数啊，在一这个点的值是等于零的，带一阶导的啊，哎，这都是对，都等于零了，是不是这块等于零了啊，那看这一块也就是三 y 的 平方， y 等于一啊， 那就是 y 两撇一，再减去带 y 一 撇的啊，零了啊，那还剩这里，也就是减去二倍的 y， y 就是 个一，然后 y 两撇一 好，后面 y 一 撇的， y 一 撇的啊，都是零了，再加上 x 是 个一， y 两撇减一等于零，所以可以看出来啊，二三减二 是个一，一加一是一个二，二倍的 y 两撇一等于个一，所以它就等于二分之一，是吧？这是等于二分之一的，这得认真算对了。好，这个可以看出来啊，一这个点的二阶导函数是怎么样的呀？大于 零的，所以一这个点，这个注点就是就是什么呀？极小支点，对吧，就算出来了，哎，就已经求出来了啊，这个是不要的，所以 y 等于 y， x 的 注点 为 x 等于一，它是极小支点， 这就行了。为什么我们要用第二充分条件判定极致用第一充分条件呢？第一充分条件的话是什么呀？得是。好，你知道这个点是注点了，要判定一下啊，一这个点的哎，右侧和左侧理解导函数的一个正负 是不是？那我们通过这里，你看不出来一这个点的一个右侧和左侧，一这个点的右侧和左侧页导函数的正负情况呀，看不出来，是不是，哎， 有些人说我能不能把页导函数给解出来，可以去解出来他的一个表达式。没必要，你太复杂了，你会出现分式，是吧？你看这 y 一 页页导函数在在这了啊，这里有这里有，这里有，你再去整理一下，他等于多少呢？等于是吧，再去整理这些式子。没有， 不建议，不，这不建议这样做啊，你会做的越来越乱的，所以直接，哎，求一次导，再求一次导，用二阶导函数去，哎，用二阶充分条件去判定多好呢？这样的题啊，记住他的一个思路，他的一个做题的步骤，就这样的就 ok 了。好，这个题就讲到这了。

二期考研章宇数学基础三人讲使用指南啊，那么今天这个视频呢，主要是去给我们二期考研同学去讲一下关于章宇老师的基础三人讲的一个使用。然后接下来呢，我也会从多个角度多个维度去分析这套书的一个优势。 首先啊，就是不得不去说一下我们去选择章宇老师的一个原因。呃，其实当时在我考研的时候，其实我也有过，就是在蓝开和红开的一个之间的一个纠结， 但其实让我当时决定蓝开的一方面是我觉得基础三人奖他是一本呃愿意去画很大篇幅去对每一个特别细致的考点进行展开的一本书， 不论说是大家的基础如何，呃，这种详细的展开呢，如果说是对高峰型选手，那可能能够帮助大家去更好的拔尖，如果是可能对于大家平时一些基础相对薄的同学，他其实也能非常好的照顾到大家的一些痛点， 可以说是非常的全面。那么另一方面呢，我觉得就是张宇老师的一个讲题风格，那么张宇老师本人的讲课风格呢，也是非常分寸，但他有不失一定的严谨性啊。与此同时呢，我觉得张宇老师是一个能给到我情绪价值的一个老师 啊。所以综合以上两点，我觉得大家在基础阶段去选择张宇老师的基础三人讲去作为我们的开端，绝对是一个非常正确的决定 啊。其次呢，就是我想去详细的聊一聊关于基础三人讲的一个使用。首先就是我认为基础三人讲可能是大家考研数学以来最重要的一本书， 也正是因为如此，所以我觉得大家对于这套书的一个要求绝对不是说简单的去过一遍，这里呢，我非常推荐大家去详细的过两遍去学透这本书。 第一遍时候大家主要是跟着章鱼老师的课程去学懂学会，然后在这个过程中去详细的做每一个在呃基础三人讲上出现的一个例题，还有课后题。 那么第二遍就是大家需要独立自主去完成三人讲的一个过程，在这个过程中呢，你就需要去独立的去完成课本上的每一道例题，这一遍呢，你不仅完成了例题，而且完成了一个真正的输入，在这个复习的过程中呢，你会发现你的效果会更好。 然后的话，大家再配套上章鱼老师的一个一千题，你去复习一张，然后再去相应的做一张对应的题集。那么等到大家基础阶段结束了以后，如果大家完成了以上我说的一些步骤的话，你会发现你的基础可以说是相当的扎实。 呃，与此同时呢，今年的基础三十讲还更新了一本就是核心计算通关讲义，这里也是非常完整的去归纳了所有的一个积分的计算类型，也是可能考虑到大家就是一个平时关于积分学习的一种不弱性，所以这本书也是非常好的去解决这样一个痛点。 呃，大家在学到积分阶段的时候，再配套着这个通关讲义的练习，我觉得大家的积分能力就应该能得到一个很好的提升。 那么最后呢，我觉得基础三人奖是一套非常值得大家去仔细研究的一套书，最近呢，我们的云图图书淘宝旗舰店也是在年货节上有一个满二百减四十五的一个活动， 同时呢，我们的基础三人奖也有一个专属的活动，也是说大家在云图图书的淘宝旗舰店去给我们淘宝客服去发送张宇基础三人奖，他会给大家去返一个二十元的券， 总体来说也是非常的实惠。同时呢，我们一月份马上就要出我们的章鱼一千题，然后一千题呢，我就非常推荐大家去跟进着我们的技术三人讲去综合完成， 大家也可以在接下来的时间去留意一下啊。最后呢，在新的一年呢，我希望我们二期考研的同学能有一个非常顺利的开端。那么以上就是本期视频的全部内容，大家再见。

张宇，三十讲用二七版，二六版还是二五版？每次推新书，全网都会炒作版本焦虑，大家担心的是选错了版本，会不会漏了重要知识点？别担心，三十讲的核心知识点，三个版本都覆盖了 二七版，主要删除了二六版的一些不必要的拓展内容和太难的例题，精简程度介于二六版和二五版之间， 所以很多二六的同学大力推荐二五版。但是你真正该担心的根本不是书，而是这件事， 听完课题能作对吗？后台问题一张云老师说一千题对百分之四十很正常，但抖音 up 说一千题一刷不到百分之五十正确率，赶快换老师听谁的？ 换老师再听一遍课是考研路上最奢侈的弯路，你浪费的不是钱，是命一样的时间。问题的根源根本不是老师，而是你以为懂了，但一测全是漏洞。用智能型 ai 教练一测就知道，你所谓学完的一章， 里面可能爬满了你没察觉的薄弱点。所以，当一千题正确率不足百分之四十，真正该做的不是怀疑选择，而是启动精准打击。在智能型锁定薄弱专题大约十二小时，专项突破到等级二，你再回去做题，正确率会直接飙升到百分之八十到百分之九十。你不是不行， 你只是需要先把漏洞补上，再去证明你行。 ai 时代，学习方式该升级了，动画、视频、树形结合，一看就懂。今天咱们来学习泰勒展开，你看这个指数函数 e 的 x 次方 deepsea 随时答疑。智能型 ai 教练定制训练，专门针对你的薄弱环节， 这样一刷一千题就能达到百分之八十到百分之九十正确率。可能章鱼等那些明示说的知识点吃透，应该是像智能型那样真正的练题，然后对知识点不断的总结理解过后的那种吃透。 对，这就是吃透。智能型天天做综测，只要一个考点你不能平推，他就一直给你出。用智能型之后，确实自己做题比之前总结知识点，联想知识点要快很多。下面我们来看看怎么用好 ai 工具，有哪些实用的 deep seek 提示词。 一、先结合智能型的知识点，看三分钟的动画视频，用 deep seek 提示词搞懂基本概念，需要的话再听三式讲。 点开智能型右上角全程计划，每个部分都列好了重要知识点，点击查看参考资料。现在多了一个跳转 b 站视频，这是一位热心学姐为智能型每个专题开头的知识点专门做的动画视频， 质量非常高。例如今天来给大家介绍极限的严格定义，咱们先从一个老朋友可以试试这个提示词。还有这个提示词也很实用， deepseek 的 回答会很清楚，按知识点列表一个个问，一个个打勾，搞明白为止。这阶段的目标是理解每个知识点的含义， 后面系统会训练你运用，做题时加深理解。记住智能型的函数极限框架很有用，刷题时多看，先定类型，再选方法，就能求所有极限。 学一张刷一张，及时巩固，保证不忘才能有复利效应。别人在遗忘的时候，你在收获复利之能行，会找出你最基础的薄弱点，避免自以为会了的错觉，尽早打好基础，每天优先做综测，这样就不会遗忘。到六月，复利效应会让基础扎实的同学拉开差距。 等级二的综测最多最密，因为初学要快速巩固，等级三以上会慢慢减少，细水长流才能记得久。这样就能避免二六届同学的问题。因为基础不牢，强化阶段知识点连不起来，提高有限。到暑假才发现前面时间都浪费了。在 ai 高速发展的今天， 用好工具能让学习效率提升很多。 deep seek 加智能型，不止帮你理解知识点，还能确保真正掌握。考研路上，与其被动听课，不如主动用这些工具，让学习更高效。

如果你已经确定高速基础跟章鱼现在开始一点也不稳，而且目标直接给我定在一百一以上。前中期的超详细攻略咱们可以看一下。首先是上， 如果你的一千 a 正确率在百分之七十左右或以上，我建议你加刷一本六六零。高速基础学完之后直接复盘讲义，并把错题复盘完之后直接开现代，现代基础学完，紧接着开现代强化。 那么咱们学现代的时候分为两条线，第一条线是高数复习线，高数复习线就是二刷三十奖并完成六六零的剩余部分，完成六六零之后再去刷一千币，一千币刷不动直接做八八零。然后是现代学习线，现代学习线这条可以参考我的视频现代满分攻略。 现代学完之后仍然是复盘讲义加复盘做题之后开高数强化，高数强化直接看专题课加讲义，完成八八零以及一千题的剩余部分。 如果讲一看完了，但是题目没有完成，那么咱们接着学。如果是数二的话，你就把八八零或者一千题剩余部分完成之后开真题，开模拟卷就行。数一数三，那就是在概率论学习的时候，复盘高数现代错题，并完成八八零和一千题的剩余部分。 概率论可以直接跟分号，那么这个时间参考你可以看一下。如果你是这条路线，建议你的目标直接给我定在一百三， 然后是这一千 a 的 知识点，在百分之五十到百分之七十中间，我建议你只刷一本习册集一千 a， 然后付款完奖一和错题直接开现代，现代基础学完紧接着开现代强化 也是分为两条线，第一条线高数复习线二刷三十奖加六六零，六六零刷完了之后可以买本八八零刷，然后现在学习跟刚才一样，现在学完了，咱们直接开高数强化，高数强化上一千币跟章鱼， 然后同时二刷你的现代错题和一千题的现代部分，这一部分完成之后，如果是数二的话，也是一样的，把八八零和一千题的剩余部分完成，如果是数一数三，那就是学概率的时候复盘高数现代错题加完成八八零或一千题的剩余部分， 那么这个时间参考在下面，如果你是这条路线，你的目标也给我定到一百三，最后就是稍微差一点的情况，目标就定在一百一以上， 这一千 a 的 正确率低于百分之五十。我这里给你提供了三个策略，策略 a 是 换一本习题册，如基础七百题，如果你想在基础阶段刷完一千题的话，那就是基础阶段先刷七百题，完成七百题之后再刷一千 a， 但是因为刷习题册变多了，所以基础阶段耗时较长，但没关系， 你按照这一条路线走的话呢？一千 a 正确率不错，那么直接开现代和中计划一样，目标直接改成一百三，那正确率不行的话，就直接跟吴老强化，后续学习以坐透八八零为第一目标。 策略 b 的 话就是换老师，可以试试武忠祥老师或者中央新老师。那么策略 c 就是 保持现状，基础学完之后直接强化跟武忠祥，后续学习以坐透八八零为第一目标。 那么下的这种情况，我后续会单独出一个视频，详细的说明一下具体怎么规划。那么本期视频就到这里，下一期视频咱们讲一下红开怎么去规划。

零基础篇的内容是高度浓缩的啊，关于多项式的问题，他的知识点是海量的啊，我不可能在一个短短的几十页里头不到五十页吧，在这么一个窄的篇幅里面介绍所有的关于多项式的计算方法等， 所以同学们有个标准啊，这个标准呢，我想在这里说一下，你就只要记住我在三十讲里面的零基础篇我举的例子，那么在考试当中他能考的也就是我们的例子的这种方法，他不会再出现其他的类型的问题 啊，我再说一遍啊，就是你，你即使讲的零基础篇啊，你，你写了这么多知识点，那么如果知识点之外我还有没有变化呢？这个知识点能变化吗？ 啊，我，我就告诉你，你不要深究，我们已经把考试大纲里头需要大家做的和在历年考试当中引起同学们解析的出现的困难的这些点，已经给大家做了这样一个规划，所以他就不会再出意外，因为零基础篇是新加的，新加的东西以往都没有，就是从第一讲开始的，而新加的内容呢，也往往就是历届的同学问的问题。

三十六讲，我说一下啊？三十六讲是奔着怎么解决来的？三十六讲是不讲知识的啊。你要说我三十六讲它的公式，一的 x 展开是多少？一加 x 分 之一展开是多少？烙一加 x 展开三 x cos cos 展开分别是多少？这个我不可能再重讲的。那重讲这个，那你不如回看三十讲， 那这个时候我我一再跟大家说，知识会了，就不要什么老是重复，这样重复的你的编辑收益会越来越低啊。你会的东西你要重复学它干什么？所以有时候我说课要少听，目的就在这，懂了的东西就不要再听了。

考研还在发愁数学的友友为啥要首选章鱼老师的基础三十讲加一千题备考呢？还不是因为三十讲的知识点通俗易懂，书课同步适配底子差的同学搭配一千题的经典题，解析比题测都厚，思路清晰，跟着学就能帮数学差的你实现基础加解析能力双突破。

各位二零二五考研的同学们，大家好，我是张宇，二零二五版的题源一千题，今后呢我就称其为叫做题源千题，或者简称千题，这个名字是很好记的，就是一千题，那么二零二五版的一千题呢，是全部重新编制的，那么我在前页里面给大家写了啊，就是 二零二五版这个一千题，它的每个题都是严格根据考研现在的这个数学命题的过程啊，把它写成了模题的过程， 所以这个二零五版的一篇题是每道题都是达到了考研数学的这个质量，所以它不同于一般的题型。那么这个今天的版本呢，也分成了 abc 啊，我们把它叫做基础篇、强化篇和综合篇，这个书呢是分成两侧， 这个册子呢就是所有的题目，这个册子呢就是所有的答案，这个答案是详解，所以答案的书呢会比习题册要厚好几倍。事实上呢，我认为呢，这个答案的这个写法上来讲啊，就是在新版的里头呢，是给大家也是做了非常多的这个批注的，就是有些画龙点睛之笔放在这个这个增加的这个习题。

章宇三十讲啃不动怎么办？学长去年也被三十讲折磨过，听课时觉得都懂，一下笔就猛，基础题正确率才百分之四十。 他后来才明白问题出在哪。第一，就把内容炫技太多，很多高难拓展，其实考研根本不考，白白消耗时间。第二，光听课看例题根本不行，知识点看似懂了，但一到自己选题自己判断怎么做时，漏洞全出来了。第三，刷题就像大海捞针， 不知道自己的弱点在哪，总是重复做已经会的，真正的薄弱点一直没被发现，还总是学了就忘。 但这不是老师的问题，而是视频课程的局限性，不同学习能力的人需要不同的节奏和重点，想学的扎实，关键是看一张刷一张题，及时查漏补缺，建立自己的学习节奏。智能型 ai 教练刚开始在美国伊利诺伊大学的概率课上使用时， 就是因为很多同学听课吃不透。一九年开放给考研同学之后，发现大家在高数现代上也有同样的问题。知能型的知识点分的很细，会找出你隐藏的弱点，把不懂装懂的，不知道自己不知道的都找出来，瞄准突破口， 用针对性的基础题把它补上。再回到综合题，就会发现能够融会贯通了。很多人刷到知能行等级二满，找出来一堆薄弱点后才发现，原来之前听课只听懂了百分之五十。原来老师有这么多话想对我说。相比较而言，伍忠祥的基础阶段难度较低， 是六六零简单题的难度，他会画出一些六六零重点题给基础阶段，缺点是基础阶段结束，解题能力还比较弱，强化阶段需要花的时间会更多。张宇的基础阶段，对标一千题，基础篇计算量较大，难度较高， 缺点是对基础薄弱的同学上手较困难，所以听课觉得很熟悉，一日千里，但看到题就萌， 知识点联系不起来。这是因为很多同学不懂怎么去打基础，以为基础就是听老师讲，不知道刷题才能最高效的联系知识点，知识点兼有联系，感觉就不那么散了，能够融会贯通了。

hello， 大家好，我是 no no 学长啊，我今天呢，我针对我后台好多小伙伴私信我说张宇三十讲用完以后 写他那个，写他这个一千题特别的费劲，怎么办啊？我这本是二六版的一千题啊，写一千题特别的费劲，怎么办？情况哈，我这里跟大家说一下啊，这本三十讲的话，你们拿到手的话应该是特别新的白皮那个版 啊，我这个是二五版的，我这个已经可以看到被我翻的特别特别的烂了，皮都有点掉了那种状态 啊，怎么用呢？我告诉你们，就是你们去看完这个课，然后上面的这个课后题啊，每每张的这个课后题啊，自己做一遍之后呢，不要看他答案，就自己自己做，自己做完以后呢，如果有不会的你就把它 呃，把它就是记到这一个像这样一个本上，像这样的一个本上啊，我是数学吗？数学二，这是我当年用的啊，就是把这个题啊，就直接写到这上面，写到这上面如果没有写的话也没有关系，你就是每周大概拿出 一天的时间，你像我的话就喜欢放在周六那天来整理一下这周不会的题，比如说我第一张啊，第一张这个算是 第一张就是极限吧，极限这这块吧，极限函数这块我有很多的不会的呀什么的，然后我做这个上面，我做这个题，做这个题我就把它圈出来，圈出来以后呢， 把它圈出来，圈出来以后呢，我就做一个标记，当然我这上面写的特别的乱，我建议你们不要写像我这样写的这么特别的乱，这上面最好不要有任何的痕迹，因为你下次二刷的时候这上面一旦有任何的痕迹都会 提示你，一提示你考场上是没有人会提示你的，所以建议不要跟我一样这么做哈。呃，其次的话就是标完以后呢？嗯，你像下周的时候我就拿出这个本，呃，就是 呃第周六嘛，周六拿出一个本，你像这个题假如这个题不会了就拿这个本就这么盖着嘛， 然后在这写自己写一遍，写一遍之后呢再去对那个答案。我的建议是对答案就行，不要看那个视频，你第一遍不会的时候去看那个视频，第二遍的时候自己做，如果还没有做出来再去看那个答案，自己想尽量的多思考。你考场上是没有答案让你看的， 也没有视频让你看是没有视频让你看的。好吧，你就自己想，想完以后如果实在不行了再去看那个讲解视频，就这样来回的往复就能把这个题做对。好吧，一开始做的时候好多人跟我说有现在有那个零基础篇什么的。那个零基础篇 啊，就是好像是高中啊什么的，因为我没我也没有看那个零基础篇是什么，就是好多高中的知识帮你巩固一下啊。零基础可以做，也可以选择不错，也可以选择不做，具体就是看你自己的情况吗？ 啊？这个用的话就像来回积累就会积累这么多，你这样的话就会把这个一千题这整一本的一千题里面的所有的基本上都 会了，也不能说完全会吧，肯定有个别难的题会，然后这个就是我一千题啊，教大家怎么用哦。我是跟着张宇三是讲还有这个一千题 啊，现在的话，我的建议是你们过完那个高数，高数，高数的基础吗？基础， 基础它分为 ab 嘛？你先高，过完高高速的这个基础阶段，然后再强化阶段嘛？基础阶段过完以后呢？一千题也做完了，做完以后再开这个强化。因为现在的话啊，还早呀，现在还比较早，现在我的去，我那年开始的时候就是 这个时候开的，所以说建议大家还是准备一个这样的，准备一个这样的本子，这样的一个本子， 对，对于你们来说这个本子的话就是方便你们整理这个错题，每天巩固一下，就这么一个本子，网上买很便宜的，就这这样的一个本子啊，这就是我今天的分享，谢谢大家。