张宇1000习题册27版是谁讲解

好，我们看这个题方程好，有两个不等的时根 b 的 取值范围。那这也是啊，前面说过的问题了吧，做了好几个了，没有问题了啊，没有问题啊，好，咱们哎，能分离参数就建议哎，直接分离参数得了啊，分餐 好，当然啊，平时我们练习的时候多练习一下啊，不分餐，那就是函数哎，零点的问题，把函数图像画一画啊，分餐的话好不好分呢？好得很，是吧，这个 b 立刻就分出来了，负的 x 四次方呀， 减去一个四 x 呀，这个我们就看成 b 啊，就看成一个 y 直线吗？这就是曲线直线与曲线交点的一个问题是吧，哎，交点的问题啊，有两个交点的意思啊，他们两个有 两个交点转化问题了啊。把 f x 的 图像画一画， f x 我 们知道啊，它就是这个， 求导啊，这就比较简单吧，负的四倍的 x 三次方减去四，我们令导函数等于零，你解一下注点，负四解除提出来啊，加一个一 负四。好， x 三次方加一，同学们得会写啊，它是可以写成 x 加一 x 平方减，减去一个 x 啊，加一个一是吧。 好，这块你会发现它，它的 the 啊， the 是 小于零的吗？它就没有十根，十根的话就一个是吧，负一，比如说我们令导函数等于零的话， 可以得出来唯一的一个注点， x 等于负一，你看这个注点是极小之点还是极大之点呢？好， x 大 于负，一 看一眼就行了，大于负一的话， x 大 于负一，你就说取一个负二分之一是吧，这块是正的，前面一个负的好就是负的了啊，它就是负的，那么我们 f x 就是 单减的，那自然 x 小 于负一的时候， f x 那 就是单增，是吧？也就是说先增后减一负一这个点对应的是一个极大值点。我们再看一下两头的一个信息，因为考虑焦点啊，考虑一下两头 x 去负无穷的时候， f x， 你 看就是 f x 不 在这呢吗？ 它去负无穷的话，这是四次方，这一块不用去看了，四次方那就是正无穷了。天面前面有个符号，那就是一个负无穷呀。 再看一下啊，右侧取正无穷，一样的道理吧。一样的道理啊，你去正无穷的话，一样的，四次方，看左边就行了，都不用去看四次方，那还是正无穷。填个符号是负无穷。所以这个图像啊，画的基本没有问题的啊，可以简单画一下。 好负一啊，在这边的负一在这，那负一，它是一个极大值点，我们已经知道了，看一下这个极大值是等于什么啊？这个极大 值 f 的 加值，负一的话就是负一减去负四加零四就是等于三的嘛。负一对应的函数值是等于三的啊，假设这是一个三啊。好，左边呢是单增，右边单减。对， 那过零零点不？其实也不太关键。是吧，你这里怎么画都行啊，画个大概，这个也不不写到。这是个选择题吗？是吧，在草稿上写着呢，他确实过零零点啊，就这样的。 好，这就是曲线 y 二，我们像 y 一 呢， y 一 就这个 b 嘛，得与它啊，有两个交点。两个交点的话，是不是得往下来啊？往下来，往上不行啊，没有交点，所以它这个 y 一， 也就是这个 b 是 不是得是小于三呀？等于三都不行，等于三只有一个交点啊， 两个交点 b 小 于三，选 a 就 行了。好，那有的同学说我不想分叉，那我们就另出来 f， x 就 等于 x 四次方加上四， x 加个 b， 就这个函数啊，有两个零点是吧？什么时候有两个零点呢？你研究一下它的图像哎，四倍的 x 三次方加上一个四。好，我们同样把四提出来， x 三次方加一个一，你看跟刚刚上面是一样的，是吧？ x 加一， x 平方减一。哎，减 x 减 x 加个一 只是这里有个符号啊，我们这里没有符号了啊。好，我们令它导等于零，同样有唯一的一个注点， 也是 x 等于负一只，不过它单调性跟上面是相反的。它是左边啊，这里，这里是先增后减那这里就是先减后增了是不是？那我们看一下两头啊， x 去正无穷， x 去负无穷，先看左边吧。 去负无穷的话，这就不用去看看它是吧？是正无穷。那去正无穷的时候，这也不用去看看，它也是正无穷。所以啊，这里 x 去无穷吧，直接写去无穷，包含正无穷，负无穷了啊，这都是正无穷。 我们知道是先增后减的啊，负一这个点对应的一个函数值，我们看它是一个极大值点了。现在啊，极大值 好，负一带的话，一减去四是吧？加一个 b， 那 就是 b 减去一个三啊，对应的函数值是 b 减三。 好，先增啊，先减后增是吧？先减后增，你看是怎么怎么样才与 s 轴有两个零点呢？是吧？它有两个零点的意思， 这样是不行的是吧？这样也不行啊，必须得是这个样子的是吧？它的一个极。哎，这个搞错了，这是极角值啊。 它的极小值是不是必须得是小于零的，是吧？它对应的一个函数值啊？对，极小值必须得是小于零。等于零都不行啊，必须两个啊，两个角点，所以 b 就 小于三。 b 小 于三不就选 a 吗？是吧？这个，这个点对应的函数值是极小值。这边呢？是对应的函数值是极大值啊。好，这也很简单。跟前面一样呀，做好几个了。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题， f x 在 a 和 b 上面连续啊， b 先连续开弦可导，这个是微分中值定理的套话，是吧， 好证明啊，在 a b 开区间内啊，它是等于它至少有一个十根。那关于方程根的问题好考虑啊，罗尔定律，零点存在定理，简单的题目啊，你可以去画一下图， 是吧？你对于它来说，你把它挪过来啊，这把它挪过来之后，你拎成一个 f x， 或者把它挪过去拎成一个 f x， 你 这个图你咋画呀，是吧？这还有 f p x， 这不是具体的函数，那这肯定不是考虑啊， 它是抽象的函数啊，对于具体的函数，像这个这一张的第一道题目就可以啊，简单的题目可以啊，具体的函数可以穿针引线画一下。好，我们看一下啊，你零点存在定力，对于这个题也不行， 是吧？你把这个 f， 这个，你把它移过去，假设啊，我们拎成一个函数，你看一下 a 点对应的函数值啊， b 点对应的函数值，它们这两个函数值是不是一号的问题，同样的一个道理，跟刚刚说的啊， 你带过去你并不知道啊，是吧？把这个移过来之后，另出一个函数之后，并不知道他俩点对应的函数值，对吧？是长啥样啊，这还有一个导函数判定不出来，所以啊，优先就是这个啊，我们发现啊，就就剩啊，还剩罗尔定那个，是吧？当然了，这个题他其实还可以用 科技中指定律，我们两个都是都只说一下啊，跟着问题罗尔定律，哎，科技中指定律都可以去看一下。好，这个法一吧。罗尔定律， 罗尔定律，我们是不是得去找辅助函数啊，是吧？找辅助函数啊。好，你把这个啊这一块我们先整理一下啊， 看一下 b 的 一个平方减 a 的 一个平方 f 撇 x， 我 们给它啊，写成函数零点啊，等一个问题，把这里移过来吧，移到这个右侧啊，减去二 x， 你 右侧移左侧也是可以的。这个草稿啊，等于零，把它看成一个函数的话， 就是这个函数等于零。哎，至少有个实根，你得正出来。我们现在想着用罗尔定律吗？找大 f x， 找辅助函数，也就说谁的导函数是它呢，那就是它去求积分，就 就是大 f x 啊，这求积分很简单啊，它的积分的话就是 f x， 这是常数吗？带上就行了。这边积分不就是 x 平方吗？是吧。所以我们的大 f x 就 等于 b 的 平方减 a 的 平方 f x 吗？减去 x 的 平方。好， f b 减去一个 fa， 是 吧？找到了啊，那我们接下来就是找两点的函数，值是相等的。那我们一般来说啊，你先去看一下题目，就两个端点，你先试一下，还不行的话，我们有些题目试一下中点来，先试一下两个端点啊， f a f b f a 的 话，嗯，直接写了，把它乘进去了啊，乘一个 fa， 减去一个 a 的 平方 fa 减去。对啊，乘进去啊， a 的 一个平方 f b 加上乘进去 a 的 平方 fa。 你 可以整理一下，该化简的，该消掉的消掉啊， a 的 平方 fa 没了啊，它俩消掉，那还剩的就是 这两块，抄一抄 b 吧，别抄错啊。好， f b 的 话，把这 x 换成 b 嘛， f b 的 平方乘以 f b 乘进去啊，减去 a 的 平方 f b， 减去 b 的 平方 f b 加上 b 的 平方 f a 是 吧？同样整理一下，看一下 b 的 平方 f a 没了吧。没了，你看跟上面是不是一样的。 b 的 平方 fa 减去它 好，一样的意思。你的大方向对的话啊，这个过程你写着写着发现哎，没问题的，是吧？那所以啊，大 f a 就 等于大 f b 嘛，那我们就可以在 你直接或者是由罗尔定律吧。由罗尔定律这些套话也可以写一写是吧？不想写的话，你把关键信息写到啊，有罗尔定律，那么我们知道存在一点可肯定啊，至少存在一点一点可在在 a 到 b 区间，使得你可以写中文啊， 使得大 f 撇可塞等于零是吧？它求导的话，其实就是这一块啊，等于把这里边的 x 换成可塞就行了。等于零嘛， g 再求导啊，从这看吧， b 的 平方减去 a 的 一个平方 f 撇可塞是吧？减去可塞的一个平方 大 f b 减去小 f b 啊，减小 f a 等于零嘛。好，那我们其实已经找到了啊，是吧，至少有一个十根这一个十根就已经找到了，那就行了呀。对呗，至少有一个就是可塞嘛。也。嗯， 也记吧，措辞一下啊，也记，把那个题目抄下来就行了，我就不抄了。好吧，这有点长啊，记点点点点，就这一块好，至少有个十根嘛。好，那反二 看一下啊，这个科技中指定律科技中指定律的话，我们是不是有两得找两个函数啊。你移向一下啊，我们在这里草稿上啊，看一下，可以把 这个 f b 减 fa 写到这里，你就按它那个形式写吗？除以这里移过来是吧。 b 的 一个平方减去 a 的 平方，左边的二 x， 哎，除到右侧除以二 x， f x 是不是你像这种啊，两个相乘的，可以去往柯基这一块去写一写，看一看嘛，对不对？好，你看它是谁求到的一个结果呀？你把 g x 要找到啊， g x 要找到谁求到结果等于二 x 啊，那很显然就是 x 平方呀，所以 g x 也就找到了，是吧。好，这这个思路就有了。 那么这个我也写一下吧，柯基终止定力。 好，这个过程，平时别懒啊，咱们考试都有步骤分的，养成写这个步骤的习惯啊。 那有科学中的真理啊，得，得写，得写一下啊。好， f b 减去一个 fa 除以就是 g x g g b 是 吧， g b 减去个 g a， 那 这里我们得来另。哎， g x 它是什么？ x 平方嘛？好， f b 减去一个 fa， 你 发现 g b 呢？ g b 就是 b 的 平方， g a 就是 a 的 平方，不就是这样吗？好， b 的 一个平方减 a 的 平方是吧，它就等于 f 撇可塞，除以一个 g e 撇可塞，而 g x 的 话就是等于二 x 呀，是吧，把 x 换成可塞就行了啊。哎，不对啊，把，对啊，把这里边的 x 换成可塞啊， g e 撇 记一撇可塞啊，啪，一个换成可塞啊，二倍的可塞啊，跟个嘴不听话。说的 好，你这我们就已经种种完了，对呗，已经找到了，至少至少存在一个十根就是这个可塞啊，所以你再交叉相乘，交叉相乘一下，就这个啊，这边啊，这边啊，交叉最左边和最右边的是不是就种完了啊？记 点点，点点点，我就不写了，这个过程，这个这些步骤你再写一下啊，用可疑中之力对这些啊，套话写一写。好吧，这就是咱们这个草稿啊。草稿放到一边了， 观察形式。哎，看一下啊，咱们常用的方法，用该用用不到的就是吧，不能用的就给它擦掉。那就大部分好了。还是二定力拉杆重力，拉杆重力出现科西重力的话一般是很简单的啊。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题， f x 在 x 等于一处，一阶导数连续好，出现了。一阶导连续啊，条件给的已经是挺充分的了，是可以用一次 洛比达的，如果出现极限啊，题目的话，可以用一次洛比达。好，前面讲的很详细了啊，这就不啰嗦了，如果同，有些同学没有听到啊，什么时候可以用洛比达，什么时候不可以用，用几次？你去看一下一千题第三章第四题啊，那个时候那个题讲的很详细了 好，一阶导连续可以用一次罗比达，一阶导在一，这个点等于二啊，求极限好，求极限的话啊，这方法是比较多的了，我们先看第一个方法，这是一个抽象函数，是不是抽象函数？是否可以具体化呀？可以啊，对列选填题直接就具体化，我找一个特殊函数是吧。 哎，满足题，一等于二，那自然很快就想到了二， x 是吧，求导之后就是二，你把谁带进去，它导函数都是二呀，满足题，好，那你看一下这个极限， x 去一正 f x 现在就是二， x 减去 f 一 f 一 不就是一个二吗， 是吧，底下 lone x。 我 们知道啊， x 去一的时候 lone x， 你 得立刻想到它等价于 x 减一，是不是 lone x 等价于 x 减一啊，这个不啰嗦了啊，记得非常熟练啊，同学们。 好，直接等价一下是吧，这 x 减一上面不就相当于二倍的 x 减一吗？这不就是一个二吗，就完事了啊。当然了，你不等价。哎，同学，有同学说这不是零比零吗？这题比较简单啊，你零比零的话，你落笔答也行。这个地方，因为这是具体函数了，那可以落笔答，是吧？好，那我们看一下啊，把二 把二的话看到了一个点处的一个定义，是吧？凑导数定义， 哎，怎么去凑一下一这一个点啊，它的一个导数定义的话，那不就是 f x 减去一个 f 一 除一个 x 减一，而这里刚好就是可以等价于 x 减一，这就直接就出来了，是吧？ x 取一，正好 f x 减去一个 f 一， 这底下就是可以等加一下呀，这不就是一这个点的导数定义吗？ 是吧，只不过啊，这里应该严谨点，写的话应该是右倒数，是吧，因为倒数是存在的，我不管你右倒还是左倒啊，都得等于这一点的倒数值，反正就是一个二，是不是？哎，这是二啊， 看一下还能想到什么吗？哎，有的人说，哎，你这不是写出来拉个脑的种植定力，可以种植定力了吗？哎，肯定可以用这两个方法的啊。好，那我们写一下 发三。哎，想到了拉式定力，你注意啊，他们是有条件限制的，什么时候可以用拉式定力，什么时候不可以用，哎，什么时候可以用啊？ b 区间连续开区间可导，这出现了 f 减 f， 可以 想到它，是不是可以想到它？好， 那我们现在看一下，有同学说，哎，这个上面我们先不写这个极限啊，先把这个 f 减 f 写一下。好，如果我们用拉拉式定律的话，那就是 f p 可三 x 减一，就分子这一块，你得满，你得满足，是不是？一到 x 这个区间上， b 区间上 f x 得是连续的，是吧？开区间可导啊。好，开区间可导 那，哎，我们就可以啊，用拉式定理了，你看满不满足这个条件呢？满不满足？好满足的啊，因为这里我们把这块再细加一下啊，一这个点的一个导数是等于二的，并且一这个点出一阶导函数连续。一阶导函数连续是什么意思啊？ 不就是 limit x 去一，我们这个时候研究的都是一证啊，对，咱就去一证研究一证了啊。嗯，从通过这里我们也可以看出来啊，这个 x 从这里啊，得是大于零的吗？我们研究啊，这个大于零的，去一证看这一块就行了，左边的就别看了。好， 一等号连续是不是 f x， 哎，这个极限就等于 f 撇一啊，是不是？哎，这样严谨写的话啊，这样写，那因为导数存在吗？它是等于二的啊，直接这样写了。 好，那二的话，是不是，哎，我们知道啊，是大于零的，也就是这极限是存在的吗？那根据保号极限的局部保号性的话，由这个一这个点的领域内，我们看右领域就行了。好了，我们研究右领域就行了啊，右领域 好，右邻域内啊，这个一阶导函数根据保号性啊，一阶导函数它也得是大于零的，是不是？哎，这一块啊， 那既然一阶导函数都大于零，那肯定就有一阶导函数啊，是不是也就是说一啊，看保号性嘛， f x 啊，在一的右领域内啊，一阶导数大于零，也就是一阶导函数是存在的呀， 是不是？好，我们就保证了啊，一到一到这个 x 啊，这个区间 b 区间 f x 是 连续的开区间可导 f p x 都已经写出来了呀，是吧，那就是可导的，所以就可以用拉式定力啊，这块要注意它的条件，因为它是抽象函数了，你必须要去看一下它符不符合。哎，这两条， 那具体函数的话，你，你是吧？具体函数的话，那你看这里，你说如果给出来一个具体函数，你朗朗住零点 f 减 f， 那 指指定的是满足，是吧？连续可导，一看就看出来了。好， 那既然可以用的话，我们这里啊就写出来了，这个就给他写到啊，这个分子上了啊，分子就给他换一下啊， x 去一正，对，这个给他换成了 f 撇克三， x 减一而分母，我们知道，就是等加 x 减一给他用一下嘛。好，这个时候 x 减 x 减一不就没有了吗？是吧，不就变成它了吗？ 而可塞，我们知道它是介于一到 x 之间的，是吧？好，那 x 去一正，那可塞呢？自然夹在中间也是去一正的， x 去一正，就相当于可塞去一正，这不就是一阶导函数连续是吧，可以用一下 它就等于 f 撇一，用一下，一等函数连续吗？在一的一个点，对不对？哎，咱说这是 x， 这可塞，这有啥区别呢？你用哪个变量都行，是吧？哎，这就是 f 撇一， f 撇一不是给了吗？就是一个 r， 对吧？好，我们再看一下啊，法式就是说这个什么科西中值定律，对，科西中值定律的话，得找出来另一个函数，这里有一个函数 f 减 f 了，我们再来一个 g， g 减 g， 是 不是？那 lone 的 话，它只出现了一个 x， 嗯，劳隐 x 出现了一个啊，相当于这一半，还有一半呢。那你一定要想到啊，出现劳隐的时候有一个劳隐一啊，是吧，给它显现出来，隐藏了，显现出来劳隐一，所以我们就找到了 g x 这个函数，它其实就是劳隐 x， 对 吧？你看啊， 上面的话就是 f 减去一个 f， 下面的话就是 g g 减去 g 嘛， g e 是 不是它的导它啊？求导。那把中指点带过来可算好？它求导 g x e 求导的话就是 x 分 之一嘛，是吧？对呗。所以说啊，这一块现在就写成它了，同样你得去看一下满不满足这个条件，必须键点去开弦可导，其实在这个地方我们已经说过了，对不对？对于 f x 是 可以用哎，可以可以写出来啊，它的一个导数的。可以知道啊，它的领域内啊，是存在导函数的， 就是可导的嘛。而 g x 的 话， g x 肯定也是没有问题的啊。 g x 它是一个你看出等函数肯定啊， b 项连于开项可导满足的，并且 g 一 撇，这个 x 就 在它定义域内嘛，是吧，不能等于零。为什么它不能等于零？因为它不能够分母等于零没有意义嘛，这也是满足的啊，咱们是这个这个可，你看这个，我们这是可塞啊，我写 x 呢，可塞介于啊 一到 x 之间嘛，是不是它不可能可塞分之一是不可能等于零的啊，满足题，好，这就是可以用科技中指定力了。现在我们去求一下极限了， x 去一正，这个这个是不是就是 l y x 减去 l y， 这就题目啊，得看出来了，好求极限啊， 好， x 去一正， x 去一正，也就可塞去一正嘛，对不对？这就可以改成可塞去一正，而这里的话，这不就是又可以用一这一点导函数连续吗？它就等于 f 撇一， 而可再去一，一分之一就是个一，是吧？乘以一，那就没有了啊，这里我们也写一下啊。写到这里呢，一到 n 之间。好，他就等一个啊。哎，我们是不是给漏了一个，可以用一次洛必达呀，咱们再补充上去啊。嗯，往上面写一下啊，再写到法令吧。法令 零，这个怎么零？零，这样写吧。好，可以用一次落笔的啊，因为它是零比零，是不是零比零的类型的极限？因为你让我去求一个极限，它肯定是存在的，存在的话你分母去零，你分子得去零啊，是不是？好？零比零极限才可能存在嘛。 那这个时候是 x 去一，那我可以落一次。可以落一次啊，那就底下就是 x 分 之一，上面可以落一次啊， f p x， 所以 这个 x 去一，这就是一个非零的常数。一了一的话，那还剩这一块，这可以用一节的函数连续，是吧？一节的函数连续，它就等于 f 撇一，这就是一节的函数连续。就这里说的这个意思啊，可以落一次，它就是这个意思， 是吧？这几个方法啊。嗯，都把对应的知识点回顾了一下，虽然是一个很简单的题目，梳理一下这个题就讲到这了。

好，我们看这个题， f x 连续可导函数，零小于 a 小 于 x 小 于 b 啊，很有这个不等式成立，那么 a、 b， c、 d 选哪个呢？ 我们看到了啊，这个型号的话，同学们要想到中值定力这一块辅助函数，两个常用的模型， 看啊，有一些导函数吗？有 f x 出现啊，这个是很常用的，记下来啊，两个都给记一记，背一背。你可以啊，课下的时候啊，你，你让他求个导，你去看一下他，为什么，哎， 出现这个型号的话，给他写成它。好吧，这个课下自己去写一写就记住了啊，必须记住。 好，那我们看一下啊，题目给的 f f p x， 它就是减去 f x 是 小于零的，是吧，我们想给它写成这个型号的，那也就是说 前面没有 x 啊，那 x 是 大于零的，那我自然是可以两边都除一个 x， 是 吧？两边都除一个 x， 那 就是 f p x 减去一个啊，都除一个 x 啊， 还剩一个 f x 小 于零。哎，有天说这是等于零，我这是小于零，也是可以用这个模型吗？可以啊，你这个你就不管他等于零了，反正他就是很像前面这个模型，是吧，哎，就等于零，我们现在小于零，没关系的啊，没关系，好，我们就另出来一个大 f x 啊， 大 f x 就是 等于好，小 f x 乘以 e 的， 这个是头，他头上啊，是 g x 啊，这个求积分。 g x 你 看是不是就这里？对，就这样，这模型啊，看前半边就行了啊。好，就是负的 x 分 之一，求下积分，这个积分觉得是没有人不会吧。好，有些人说没学到，没学到，你记一下呗。 x 分 之一，求积分的话啊，是笼引 x 绝对值前面有个符号 x， 对 于这个题来说啊，大于零啊，所以绝对值是可以去掉的，是吧？ 那这个符号呢，前面的符号可以挪到这里啊，对不对？挪到这里面啊，挪这里面的话，现在就是 f x e 的 好 lo in x 分 之一，挪进去的目的就是它是可以解出来，直接就是 x 分 之一了，所以就等于 x 分 之 f x， 是吧？好，这样我们就找到了啊，这个大 f x 你 看就是等于它了，那我们就是找大 f x 的 目的，你得知道啊，我们用这个模型的目的就是要让它啊，去求导中值定律嘛，是不是求导啊？求导函数。好， 那分母平方一下，分子不求导，分母求导减去，分子不求导，分母求导是个一，这个时候就会出现了，哎，就会出现了啊题目的这个信息了，是不是，这就说看到啊，这个型号的啊，哎，你得想到他的模型 打 f 找出来，找出来之后求导求导就会出现啊，这个信息好，他减他，那肯定是小于零的，是不是小于零的啊？ 小于零，上面是小于零，下面就是大于零的嘛，所以它是一个负的，这是负的啊， 这块不要去纠结这个小于号和等于号的问题啊，不要去纠结它知道这个模型的构成。好，这个就是这里的 f p x g x 就是 这个负的 x 分 之一。 好，那导函数小于零，我们求导的目的达到了啊，你看啊，那函数就是单减的了，是不是这一系列的啊？函数单减的话，那有了自变量 的一个大小关系，那么函数的对于啊，它的函数的一个关系的话，我们也找到了，那就是 fa 肯定就大于 f x， 你 单减吗？大于 f b 是 吧？好，那也就是 大 f a 是 谁呢？大 f 在 这呢啊，它其实就是小 f a 除以一个 a， 那 就大于小 f x 除以一个 x 大 于小 f b 除以一个 b。 现在根据根据已有的这个信息，我们就得到了这样的一个关系，看一下 abcd， a 说的 x 乘以 f a， 你 看 x 乘以 f a， 那 很显然是大于 a 乘以 f x 的， 它说的是小于，那就错了， b 呢？ b 选项啊，是 b 乘以 f x， 哎，大于它是对的，是吧？这个就对了， c 选项呢？ c 选项我们得不出来，你看，我们得的是 f x 除以 x， 我 们得不出来， x 乘以 f x 与 b 乘以 f b， 还后边这个，这 c 和 d 根据已有的信息，我们得不到它到底是大于号，还是说小于号得不到？ 得不到你就不要去选呀，也就相当于题目给的信息不足，我无法判定出来 c 和 d 无法判定你就不能选呀，而我们能够确确实实根据已有的信息得出来了这个 b 选项， b 就是 可以选的。好， 这里我们补充两句啊，就是看到啊， x 乘以 f x， 看到 f x 的 话啊， 以后看到的时候，哎，你可以平时整理一下他小于零的啊，咱小于零，小于零，先不说他是谁，他就是 f x 比上 x 求导的分子呀，是不是？哎，他 这个分母我们也写一下，求导的话，分子求导，分母不求导，减去分子不求导，分母求导，是不是？这个我希望同学们直接记下来啊，因为他有时候他出现，他频率还是比较高的啊，后续我们还会见到就出单出现这一块，你得想到啊，他的一个辅助函数，其实也就是说我们这里啊， 搞半天，是吧？搞出来的，他这是可以记下来啊，记下来啊。好，那就补充到这了啊。

好，我们看这个题， f x 好， 等于它，乘以它乘以它。那让我们求的是 这个方程的实根的个数是一阶导函数等于零，这不是一个方程了吗？是吧？像这个方程根的问题的话，哎，我们可以给它转化为函数零点的问题。函数零点的问题呢？可以转化为方程根的问题，它其实就是等价的意思，对不对？这是一个方程，我们可以看成一个函数零点的问题，没问题吧？ 好常见的想法，这个得想到啊，罗尔定律用的比较多。好，那零点存在定律也会用到，那么或者呢？用穿针引线，我们中学学的方法把 f x 的 图像画出来， 你看啊，他给出来这种型号的这个 f x 表达式的话，这个很快就可以把 f x 的 这个图像画出来，画出来之后的话，一阶导函数等于零，表示的就是切线的斜率等于零啊， 是不是？也就是说 f x， 假如你画成这个样子的话，你就找一下它的这个切线为水平的，哎，有几条是吧？有几条水平的切线不就行了吗？水平的有几条水平的一个切线，那不就是水平的切线呢？斜率不就等于零吗？是这意思吧。好，那我们哎都讲一下， 首先看一下罗尔定律，哎，讲这个最常用的啊，跟我们的高数相关的知识点的话， 罗尔丁尼看一下，哎， b 间连续开篇可导，哎，存在，哎，一个可塞在这个区间上啊，使得 f 撇可塞等于零。我们看一下啊，这一个 f x 等于零的话，它有几个零点啊？这个可以看出来，一个是零， 一个是二分之三，是吧？哎，一个是四四分之五，对不对？ 没问题吧？好，那我们这个时候啊，你把这个数轴是不是可以画一下零啊？二分之三不就是四分之六了吗？所以四分之五在这啊，四分之六，这就是二分之三。 好，这几个点的函数值都是相等的呀，是不是函数值相等的呀？你看函数值相等，那么在这两个函数在这两个点之间，就会至少存在一个点可塞一吧，是不是使得 f 撇可塞一就等于零 在这两个点之间啊？好，在这两个点之间呢，因为这两个点对应的函数值相等呀，它也满足前两条是吧？三条都满足。那么在这个两点之间啊，至少存在一个点可三二，使得 f 撇可三二等于零。 那我们其实你已经可以看出来了啊，一阶导函数等于零，现在就至少会有两个根了，你已经找到至少已经找到两个根了，所以至少会有两个根，对不对？而他说的得是个数，你得确定出来呀，你至少是不行的，我怎么给你确定出来呢？ 我再根据啊，你这个一阶导函数的话，它其实是一个一元二次函数了，是不是这方程的话就是一元二次方程呀？一元二次方程的话，最多，哎，就有两个实根， 一个是至少，一个是最多，一个是至少，一个是至多。那最后就是把它哎，确定出来了，就是两个根，是吧？选 c u 型来通过罗尔定律，至少哎，也就是 f p x 等于零，至少有两个根，是吧？ 这也写一下啊，再根据好。 f x 等于零，这是一个一元二次方程了啊，一元二次方程最多 好，有两个是个，又最多两个，最少两个，那只能是两个呀，是吧？所以啊，就选二行了，两个。好，那我们再看一下，这是常用的啊，一个想法的啊，一个最多，一个最小， 你最多最少就把它确定出来了。法二的话，那我们零点存在定力可不可以用呢？你想一想啊，我们零点存在定力的话啊，是这样的，就是说两个点之间我们去确定一个啊，一个区间，就说这一个左端点和右端点的话，函数值 是一号的，对不对？函数值一号的话啊，在这两点之间呢，至少会存在一个，哎，一个零点对不对？函数至少会存在一个零点。那你这个时候啊，你注意啊，我们现在是给出来的是 f x， 对吧？我们给出的是 f x 啊，你现在呢，是一阶导函数等于零，是讨论的是一阶导函数的啊，零点的问题。所以说你，你现在啊，你要么就是说我们的法三先上来也行啊，这里我直接就写了， 就说反三的话，我们直接就把 f 撇 x 拿过来。好，我就研究 f 撇 x 啊，它的一个性质，我把 f f 撇 x 这表达式肯定可以求出来呀，是吧？ f x 有 了， f x 自然就有了。好，我另成一个 g x， 我 把 g x 啊，研究一下它的一个图像， 你求个导。好，导函数等于零，那就解出来一个注点，唯一的一个注点，你会发现它是一个极小值点，这都没有问题吧？这是根据第二充分条件把它判定出来是个极小值点。好，那既然是个极小值点的话，那这个极小值我们是可以求出来的，求出来之后你发现它小于零。好，那 g x 的 话啊，它是一个一元二次函数，所以说 他既然这个极小值吗？是小于零的，所以他就是这个这个情形，是吧？他的图像啊，大概就是这个样子的，所以他就是有两个，两个十根，对不对？那这个时候也是没有用到零点存在定力的，这个题就用不到，对不对？对于零点存在定力用不到呀。啊，那，那还有这个哈，中学的啊，咱们这个穿针眼片， 针针引线，再回忆，再回忆一下啊，再回忆一下，好，记，穿偶互穿是啥意思呢？我们先把哎这个坐标写啊，画一下，这是 x， 这是 f x， 好， 那我们把这个零点啊，这几个零点写过来，一个是零，一个是四分之五，一个是二分之三。 鸡穿，我不穿，啥意思？想起来了没有？想起来没有，你看一下啊，他的一个头上的这个次方，现在都是一次方，是不是一次方不就是基数次方吗？我们说的这个鸡 穿，就是说基数次方的时候穿，我们从右上角穿，你可以看一下， s 区域无穷的时候是不是去 s 区域正无穷的时候是不是去正无穷。所以啊，要从右上角往下面穿， 好，因为啊，这个点，你看一下这个零点啊，他对应的这一个啊，头上的这个次方是基数次方，所以穿过来，穿过来啊，好，又到了啊，一个零点四分之五，你发现这也是一次方，基数次方就穿过去， 他又到这了，哎，这也是一次方，是吧？也是基穿啊，穿过来了，所以他的图像啊，大概就长这个样子的， 是不是？如果啊，这是一个平方的话，你会不会画呢？我们也画一下，如果这是个平方的话，这个零点的话是四分之五，是不是？那我们就 用一个啊，蓝色的线画一下。你知道这个东西啊，这是击穿过去了，好，好到四分之五，这个你注意啊，他这个次方是一个偶数次方，偶就不穿，不穿的话就弹弹啊，不，不，往上啊，往下就是弹回来，弹回来， 弹回来了啊，好到这，哎，又传又传过去了，就这意思啊，这个到这时候弹回来了。好，这个知道就行了，那我们说找一阶导函数啊，哎，这个等于零的，等于零，哎，有几个十根的话，其实就是啊，找函数， 它的一个水平的切线有几条是吧？水平的切线斜率等于零吗？切线斜率等于零啊，看一下这里，这里有一条吗？ 是吧？一条两条，不就两条吗？就选 c 就 行了。对，常用的方法啊，记一记，梳理一下啊，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题已知它大于等于它横成力。横成力是我们高中学的一个问题了，是不是 a 的 一个取之范围？你要想大于等于它横成力的话，也就是说左边的最小值 都得大于等于三分之十，是吧？而你注意一下啊，求的是 a 的 一个取值范围，那么我们优先采用的方法是把这个 a 分 离出来，又称为分离参数啊，这个也是我们考研需要掌握的啊。一个方法把参数分离出来， 或者我们刚刚说的啊，它大于等于三分之十，你把它看成一个 f x， 好， 求它的一个最小值 是吧，让它最小，只要大 a 等于它，你把这个 a 给解一下，这个就不建议用这个方法了，你可以去写一下，会很很烦人啊，也没有没有把 a 分 解出来舒服啊。这样的题，优先选择把参数分离出来， 怎么分离呢？去慢慢分吧， x 的 一个平方加上这是 x 的 负三次方分之，可以这样写吧， a 是 吧，大于等于一个三分之十。那个带 a 的 我写到这里， x 平方就挪到右侧了啊， 因为 x 是 大于零的，那 x 三次方肯定也大于零。那大于零的话，我左边和右边都乘一个 x 三次方，这个不等号就不用变化是吧？乘以 x 三次方啊，我把它先乘一下负的 x 的 五次方了，是吧，再加上三分之十倍的 x 三次方。好，现在问题就转化为 a 大 于等于，它是恒成立的了，所以 a 得大于等于这一块的最大值， 这才是恒成立的问题吗？我大于等于的最大值吗？那自然所有的都大于了，是不是？好，那我们就转化为求这个函数的最大值了啊，把它写过来， 负 x 五次方，加三分之十倍的 x 三次方，求最值，那我们就求导研究函数的形态，是吧？负的五倍的 x 四次方，加三下来的十倍的 x 平方，我们令导函数等于零，解一下注点， 是不是减下注点啊？注点是可移的一个极值点吗？瞅一下这个五，因为 x 啊，它是大于零的，所以我们是可以需要都除一个 x 平方吧，都除一个 x 平方的话， 那其实这就是平方了，加上一个十等于零，是吧？那把十挪过来就是一个负十，好，除一个负五，负十除以负五就是一个二，所以你可以看出来啊，注点 x 等于正负根二，那我们肯定取的是根二，它大于零了，对不对？好，那我们再看一下 x 大 于根二的时候，导函数的一个符号， x 小 于根二大于零的时候，导函数的符号，是吧？你看这个注点啊，它是一个 极大之点还是极小之点？但根据啊，根据这个题的话，其实你可以，嗯，猜出来，是吧？你求它的一个啊，最大值的话，那么我们解出来了一个唯一的一个注点，那么它一定就是极大之点，也一定就是最大之点，是不是这个根儿啊？ 这肯定是一个啊，极大之点，你可以看一下 a 大 于根儿的时候，导函数是不是小于零，函数是不是单减的， 是吧？那你 x 大 于一个二的时候，那确实是的啊，或者一开始的时候，你就是这样去解啊，你是哎，去解它大于零的时候，这就是函数，这个，哎，函数啊，单增的区间，或者小于零的时候，把函数单减的一个区间解出来啊， 对不对？其实一样的呀，我们除以一个 x 一个平方，这个还用啰嗦吗？负啊，五 x 平方小于一个负十，你除一个负五，就得变成这样的了，对不对？所以 x 大 于根二的时候啊，一到函数是小于小于零的，函数就是单减的嘛。这解决实际问题的话， 你选选择填空题就不要去，没有必要写那么多了，这个就是读大题的一个过程了，你其实心里已经清楚，这就是一个极大之点，你就把它带到啊 函数里面，这就是啊函数的一个最大值。好，根二一带我看一下，在这呢，负的根二的一个五次方，加上三分之十的 x 就是 根二，它的一个三次方。看一下， 先看他吧，根二的三次方，那就是二倍的根二，前面又乘一个十，那就是二十倍的根二，又除以个三，就是这一块，再减去前面根二的五次方，那就是根二的四次方，再乘一个根二，根二的四次方就是一个四了， 是吧？其实就是他这个除一个三的话，他就变成十二了，所以这是三分之八倍的一个根二，所以这一个函数的最大值就已经求出来了。而 a 呢，要大于等于这个最大值，那就写过来了。 a 又大于等于三分之八倍的一个根二， 或者我们说，哎，我们通常啊，写成括号的一个根二到正无穷这样写啊， 不过那些也是 ok 的， 也是 ok 的， 这没问题啊，这题就是高中的横乘力的问题。那我们先说到，哎，求它最大值的话，你就求导是吧，把函数形态研究一下。好，这个题讲到这了。 好，我们看这个题，函数连续二阶导函数如下，二阶导函数，求曲线的拐点的个数。这样的题目很简单，记住它的一个流程，第一步啊，先去把可移的拐点的横坐标找一找， 找完可疑的啊，这个拐点，那么我们再根据定义或者是充分条件判定这些可疑的点是不是拐点，是吧，跟这里啊，判定基值点是一样的，对应着去记吗？ 好，这个我们也称为啊，这个必要条件是吧，拐点的必要条件，如果某一个点他是可导的，并且他是拐点的话，他一定要满足二阶导函数是等于零的，是不是他也有可能啊，拐点也有可能是不可导的点，所以先把啊，我们先把这个二阶导函数等于零的点找出来三个， 他们很可疑，给他找出来了，有没有不可导的点呢？二、二阶导不存在的点，有零这个点， 你看零这个点啊，这左边，你看这个二阶导函数啊，去正无穷了吗？是吧？右边啊，它去负无穷了，所以在这个点处，它是吧，左右导出是不存在的啊，这就不可导。 好四个可疑的点，那它它们到底是不是拐点呢？你可以根据定义拐点的话，简单的一句话啊，它就是改变凹凸性的一个点，是吧？拐点是 拐点，是改变凹凸性的一个点，也不能说是改变凹凸性的点吧，应该是说，哎，拐点呢，它的一个左边和右边函数的凹凸性发生变化了，是不是？哎，这样去表述啊，这个都知道 好，或者我们根据第一充分条件，因为这给的是二阶导函数的一个图像呀，那么如果二阶导函数在这一个点 的，哎，左右两侧函数啊，二阶导函数的一个符号发生变化了，发生变化了，其实就是凹凸性，哎，变化了，发生变化了吗？是不是？ 好，所以我们就看啊，这个点的左右两侧的二阶导函数有没有变号的问题。这个第二第三冲调线其实用不上了，是吧？好，我们就用啊，第一冲调线就行了。 那先看 x 一 这个点啊，左右两侧，你看左边是负的，右侧是右边啊，是正的，所以左右两边二阶导函数符号发生变化了，那这个点就是拐点 x 二的点呢？左右两侧一正一负，是吧？一负一正啊，它也是拐点 x 三呢，你看左边右边是吧？这个 二阶导函数符号没有发生变化，都是正的，他就不是零。这个点呢，左边二阶导函数的一个符号是是正的，右边呢，二阶导函数符号是负的，所以他也发生变化了， 所以三个呀，三个拐点，对不对？这个就很简单啊，记住他的一个做题流程就行了。好，这个题讲到这了。

好，我们看这个题，这数三部分啊，一元函数微分学的经济应用。这块题目啊，是很简单的，但需要你记一记啊，概念啊，这公式啊，怎么去写？经济意义啊，怎么去表述，记一记就可以了啊，这个不能够失分这块啊。 好，这个都记住啊，都记住，怎么去写啊，怎么去写？价格对价，需求对价格弹性，收益对价格弹性，这不就按照定义去写吗？好，这里需要特殊。 嗯，补充一句话，就说，如果题目没有特殊的要求，你就这样去写。好，有特殊的要求，你看题目说了，这个弹性要大于零，那你要注意了，这个地方就要填个负号了。因为什么？因为我们知道 q 关于 p 是 单减的函数， 价格比如说增高了，价格你提升了之后，我们需求肯定需求量肯定减少了，价格低的话，那我需求自然就增多了，是吧，水涨船高啊。 好，那 q 关于 p 既然是一个单减的函数的话，那 q 对 p 进行求导就是小于零的，对吧？导数小于零才单减嘛。好，所以这一块就是一个负的，再添个负号不就是正的了吗？就满足题了。好，这块单独记一记就行了啊。好，我们去看一下这个题目啊， 当然求的是需求弹性和收益弹性。我们先看需求弹性 q 对 价格的弹性啊，那就是 d q 比上一个 d p， p 除以 q 来公式给，记住啊，记住。 好，那 q 对 p 求导，我们先看它对 p 求导的话，那就是 e 的 三分之 p， 四方负函数求导，还有一个负三分之一，是吧？这里啊，求个导， p 除以 q， 你 看我们这里都写成了 p， 是 吧，所以这个 q 啊，你赶紧哎，给它写成 p 的 啊，这个表达式含 p 的 又表达式了啊， 因，因为我们都写成啊，带 p 的 话，好把这些值与带啊，这个化简一下呗，负的三分之一先写过来，它跟它不就消掉了吗？还剩一个 p 啊， p 写到这。 好，这块写完了，那我们把 p 等于三四五一带，把这个需求弹性就求出来了。再解释一下经济意义，我就直接写了啊，省点劲。我们看一下啊，这个 p 等于三的时候， q 对 p 的 啊，这个价格弹性，需求价格弹性的意思啊，三除以三是一个一是吧？就是负一了，那么经济意义你写一下经济意义啊，就是价格是不是从三哎，上涨百分之一或者下跌百分之一，你注意这里了啊，这里看一下。 这个，我们求得的是负的一个值，负的值你自己上涨，那这对应的就得是减少，是吧？如果你求得的是一个正一的话，那这上涨对应的应该是增加，这个注意了啊，这个得对应好，对，从三上涨，那对应的这个就是减少啊，下跌对应的是增加，因为我们求得的是负一啊， 那就是百分之一嘛，是吧，把一往这一填好。 p 等于四的时候，求一下这个弹性啊， 用小数表示就行了啊，咱们写百分之多少啊，四的话就负的三分之四，就是负的一点三三啊，就这样写就行。负一点三三好，经济意义就是从四上涨 百分之一的时候， q 就 相应的是减少，因为还是求得的是负的一个值啊。好，就是一点三三是吧，咱们这个都带百分号了啊，都带百分号了，你只需要把这前面的数抄一下就行了。好， p 等于五的时候， 五的时候就是负五除以三，负一点六七啊，负一点六七，这个写的就不太对照啊，没有对，对上这个同学们，这个对上了啊，经济一好，他还是个负的啊，所以上涨对应的就是这里的减少啊， 这负一点六七，这个就写一点六七就行了，因为你已经写的是减少了。好，继续。我们把收益弹性函数啊，求一下收益，收益 对价格的弹性是吧，它就等于 d r 比上一个 d p， p 除一个 r， 那 我们得把 r a 求一下吧，收益不就等于这个价格乘以需求量吗，是吧。好， p 乘以 q 就是 e 的 负三分之 p 次方向再过来啊， p 除一个 r， 现在已经求得了呀。 好， r 对 p 进行求导，对 p 求导的乘法求导公式啊，先是左边求导 是 e， 右边不求导，加上左边不求导，右边求导，求导的话，这里还有负三分之一，写到这里了。 好，我们看一下啊， p 跟 p 消掉了，消掉之后呢？这里啊，是 e 的 负三分之 p 四方，他又倒数一下，不就是 e 的 三分之 p 四方吗？乘进去就把它跟它都变成一了，乘进去，是吧，所以就等于一减去一个三分之 p 啊，是吧？好，这里一样啊， p 等于三的时候，我们去算一下 这个收益弹性是吧，含函数的一个值等于多少了啊？现在三的时候，一减去三除以三是个一吧，那就是零了啊，零的话，你看啊，这里应该是从三上涨的话，就不应该是减少或增加了，这里就应该写不变，是吧？ 收益相收益就好，不变了呀，这零呀。好，这就这样了，那继续啊。七等于四的时候， 一减去四，除以三，四除以三，其实我们刚刚已经算过了，它是一点三三，一减去一点三三，负零点三三 仅仅意义就是，哎，从四上涨百分之一，你看是负的，所以啊，上涨对应的这里应该是减少，这里写个零点三三。好，这没什么意思啊，你别算错就行了。 好，那五的时候，你对是一减去这个上面的三分之 p 嘛，就相当于一减去 一减去三分之 p， 是 吧？ p 是 一个五除以三嘛，这里是。呃，零一点六七啊，咱们刚刚算过了，一点六七，一减去一点六七，负的零点六七， 负的零点六七。好，对，从五上涨，仍然我们求的是负的值啊，上涨对应的是减少零点六七就行了，用小数来表示，因为你带百分号了吗？好，记一记没什么技术含量吧。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题。哎，求弹性。哎，解释经济意义，这个我觉得是没问题了啊，都记一记跟前面题一样的啊。好，题目并并没有说。哎，这个 it 啊，大于零是吧，直接就，哎，根据我们定义就把它当成定义就行了，就写就行了。好， p 除以 q， q 不 就是四加五 p 吗？ q 对 p 进行求的不就是一个五吗？这就完事了。好，我们再把这个 p 等于六一代啊。 p 等于六的时候， 弹性等于多少？五乘以六四加上五乘以六 五六三十五，六三十三十四，是吧？出一个二的话，出一个二的话，这个给他改成小数啊，零点八八可以算一下。好，这就是经济意义， 经济意义啊， p 乘六上涨，我们看这是一个正的了，是吧？所以你上涨对应的就不应该是减少了，这个专门画一个横线啊，这里咱们就给它改过来，是吧？这里就写增加 好下跌，那对应的就是减少了零点八八百分之零点八八就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，设某企业每周呢生产某产品 x 件总成本呢？好，在这写着需求函数呢，在这。好，其中呢， p 是 产品的单价，每周生产多少件产品的时候，企业获利最大呢，那最大利润是多少呢？好，我们把利润函数写出来，去求 最大值不就行了，是吧？相当于求一元函数的最值。问题了，我们看一下啊，生产多少件，你可以设出来，我们设生产就每周嘛，生产 x 键，好，企业获利最大。简单写一下啊， 那利润函数我们就用 l x 表示，行了，它就等于你的收入减去你的成本，是吧？我们生产 x 键的话，成本已经有了，收入呢？收入就是这 x 键都卖，卖出去，是吧？好，乘以 它每一键的一个价格，这不就是收入吗？减去，因为全部卖出去之后啊，我们才能说这个企业获利最大嘛。减去的 x 键的总成本，减去 c x， 是 吧？ 好，那 p 的 话， p 的 话，你现在要给它写成一零一减 x， 为什么呢？看一下就知道了啊。 好， c x 呢，是关于 s 函数啊，是吧？减去它，减去它，加个一，你这里如果写成一个 p 的 话，你这怎么去求这个利润函数的最大值呢？是吧？我们都给它写成啊，这个 x 来表示的式子，这样的话就是一元函数求最值问题了，整理一下， 这是不是漏一个 x 啊？好，负 x 方负 x 方负二 x 方减 x 加一零一 x， 那 就是加一百 x， 再看一下，再加一个一，是吧？好，求一元函数的最值。那就求倒呀，找找 这个注点啊，注点，把极值点找一找，是不是好，对，他求导的话，二二得四 x 加上一个一百，我们另一节导函数等于零，哎，得到唯一的注点。同学们做这样的题啊，你做几个之后就发现啊， 一般来说就一个啊，注点，唯一的一个注点，那么它就是极值点，那它也就是最值点啊。好，对， s x 等于一百， x 等于二十五嘛，是吧，你简单说明一下啊。好，你可以用 嗯，判别极值的第一充分条件或第二充分条件来说明这个注点呢，就是啊，它的一个极大值点。 好，一般来说我们就用二阶充分第二充分条件说，因为你会发现这样的题啊，求二阶导是非常简单的说，求二阶导的话就是一个，你看就是一个负四呀。那所以啊，我们把二十五带到二阶导函数里面，他肯定也是负四呀，谁带进去的都是一个负四 负四，我们这是小于零。所以啊，这个注点呢，就是及大致点，是吧， 它是一个极大知识点，其他图形你可以大致知道，左边就是单增，右边是单减，是吧，这是一个极大知识点，所以唯一的一个极大知识点就是最大知识点呀，对不对？这样的题啊，好，是极大知识点，那也是最大知识点， 你不可能再找到某一个点的函数值比这个点的函数值还大了，你找找试试，找不到的啊。好，这个时候我们要把最大的利润去求一下，是吧？所以啊， x 等于二十五的时候，把这个题目问的回答一下啊， 每周生产这样写啊，最后再下结论吧。先把 l x 啊最大值求一下啊， 最大值为 f 二十五吗？那什么 f l 二十五这个函数在这呢，那就是负二乘以二十五的一个平方， 除以二十五的平方加上一百乘以二十五，再加个一一一二五啊，你给大家算过了，这个 认真算没错了，所以每周这个下个结论嘛，好，问什么你就最后啊下个结论，生产二十五件是获利最大， 平时养成啊，做题的步骤完整的一个解答的这个习惯啊，利润最大，获利最大为一二五元。 行了，当然了，这里你也可以用第一充分条件去判定， x 大 于二十五的时候是吧， e 的 函数在那是小于零，函数单减，哎，那小于二十五的时候，好，就是函数单增嘛， e 的 函数是大于零的 都可以啊，一般来说二角用第二充分条件更快一点啊，是吧，这个步骤写的更少一点。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题，某厂生产 q 件产品，哎，总成本价格函数 p 是 产品的价格，如果需求量就等于产量的话，第一问，求需求对价格的弹性求就行了。第二问， q 为多少的时候利润最大还是求最大利润的啊，把利润函数写出来，哎，求最值 好，弹性的话，我们看一下啊，题目并没有说弹性啊，大于零的问题，那就是，哎，正常去写就行了。需求对价格的弹性，那就是 q， d q 比上一个 d p， p 除以 q， q 呢是 q 等于多少 p 是 吧？再减一下呗。这样啊，两边都平方一下，这就是四 四万呀，是吧，除以 q， q 就 等于四万除以 p 的 平方啊，四万，这可以写的啊，因为它比较简单啊，除以 p 的 平方。 好 q 再对 p 求导啊。 q 了啊，我们还是写一下啊， q 等于四万 是吧，除以 p 的 平方，对 p 进行求导的话，其实我们再写一步好一些，这样就是过度的太太大了，是吧，咱们在上面再写一步吧。 好，因为 p 呢是等于两百除以一个根号 q， 所以 q 呢就等于四万除以 p 的 一个平方。好，弹性是 q 对 p 啊，需求对价格弹性 d q 比上一个 d p， p 比上一个 q 啊，再写一遍啊，二百除以。 sorry， 你 是 q 改成 p 吗？ p 是 q 啊，四万 递上一个 p 的 平方， q 对 p 进行求导，它对它进行求导的话，咱这样呗，就这样写，写到这里。好，四万往这一放， p 的 负二次方求导，那就是负二下来， p 的 负三次方，是吧？好， 这里给他整理一下啊，二四得八，负八万， p 的 负三次方。把这里写到这里就行了啊，负的八万， p 的 负三次方。 整理一下啊， p 的 负三次方，不就是 p 的 三次方分之是吧。负的一个八万，这上面呢有一个 p 啊，下面呢？下面的话是四万 是吧？这是八万啊，八万除以四万的话，就是一个二了，这个 p 的 平方就上去了， p 的 三四方一消，不就是一个负二了吗？好，这就行了啊。好，第二问， 那我们把利润利润函数求一下啊，他这个题啊，我们他说 q 为多少的时候，所以我们要写成关于 q 的 一个函数，是吧，利润的话就等于收益减去一个成本。 如果啊，他自己都写成 p 的 函数，你这里也写成 p 的 函数啊，好，写成 q 的 函数，那就把 p 等于多少 q 写过来， p 等于多少 q 在 这呢。二百除以一个根号下 q 减去 c q， 那 就减去题目量啊，一千，再减去个二 q， 整理一下， 左边的话就是二百 q 除以根号 q， 那 就是根号 q 减去一个一千 一元函数，求最值的问题嘛，可以去求导解出点，求一下，求导的话，根号 下求导，我们知道它是等于二倍的，根号下 q 分 之一，再乘以这个前面那个两百啊，再减去一个二是吧，二百除以一个二的话，就是一个一百了啊， 根号 q 分 之一是吧， q 的 负二分之一，四方呀。啊，减去二，好，我们就令啊，还是这样去写吧，这样写的有点别扭啊。 根号 q 分 之一百减二，我们令导函数等于零，解住点好，一般来说这种题数三呢，就一个住点，唯一的一个住点，它就是极致点， 也是对之恋好，解一下啊，一百比上根号 q 就 等于个二嘛，两边都平方一下，两边先都除一个二啊，好，这就是一个五十，根号 q 乘过来看，那 q 就 等于两千五啊，这什么 x 呢？ q 啊， 五十的平方吗？两千五。那我们说了啊，用第二判别技术的第二充分条件啊，这个是比较快的，是吧，你用第一充分条件写的字太多呀。 q 大 于它的时候单减单增， q 小 于它的时候，单减单增字太多了，直接用第二充分条件求二阶导。二阶导一般都是很好求的啊， 好，一百下来了，那是 q 的 这个时候可以写成 q 的 负二分之一次方求导，那就是负二分之一， q 的 负二分之三次方减个一嘛。好，这个二阶导函数， 嗯，等于多少呢？负负五十是吧？ q 的 二分之三次方分之一，或者还写成这个啊，负的二分之三次方， 总之这是一个正的一个值啊，是吧，这是一个正的前面一个负的，所以是小于零的。你把 q 等于两千五带过来，它也是小于零的啊，所以这个你可以这样啊，把两千五带过来。好，你直接这样，就你不想写具体的，直接这样就行了啊，它小于零，所以 q 呢？是 极极，这小 a 零极大值点啊，极大值点也是最大值点。 其实题目啊，他说的最大利润，其实你心里清楚啊，这二阶导就求出来就应该是小于零。你，你如果清楚了他的一个结果，肯定是啊，最大指点，极大指点的话，你这里不用看是吧，直接就小于零就行了。下个结论嘛，你心里清楚这件事吗？ 好，这肯定就是啊，因为他唯一的一个极大支点啊，他没有没有，没有别的啊，注点了，唯一的极大支点就是最大支点，你找不到别的点对应的函数值比这个点对应的函数值还大，你找找试试。找不到的啊。好，所以啊， q 等于两千五百，这是有没有单位呢？ q 是 没有单位的是吧，两千五百十啊。哦，有，有键啊，我看到了第一句话，这里这里啊，是，那么总利润最大，你要答问什么？要答什么啊？ 那么为多少呢？哦，还让求一下是吧？那就为 l 两千五百， 我们算一下吧。二百。这里啊，带过来根号下两千五百，这是个乘号啊，再减去二乘一个两千五百，减去一个一千， 根号下两千五百就五十嘛，乘一个两百二五一十，三个零一万，再减去五十，后边两个零五千嘛，再减去一千，减去六千嘛，那就是四千呀， 这个单位是万元哟，四千万元啊。好，那这个题还是跟前面类似嘛，对，弹性的公式记一记，利润函数会写，医院函数会求最值。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，某种商品数量为 x 单位时的平均成本价格函数，那么国家呢？向企业每件哎，商品征税，提 生产多少商品的时候，企业利润最大呢？好，在企业取得最大利润的情况下， t 为合值的时候，总的税收最大呢。 好，关于利润这一块啊，你看第四题，第三题也说到了，但是他们没有提到啊，税收的问题，你就当就不收税，是吧。哎，我们的利润函数就是收入减去成本就行了。而第五题提到税收了，那你的利润函数就得再减去税收这一块，是吧，这才是你的利润嘛。好， 那你看，这是 l q， q 的 话，就相当于哎，这个题里面的 x 是 吧？产量啊，好，那我们写一下， 一般来说，我们就是默认需求量就等于产量了啊，你产多少都都卖出去的意思，需求量嘛，好，嗯，利润函数，我们用 l x 表示，那生产多少件呢？你就说生产 x 件呗，设生产 x 件 商品的时候好，利润最大是吧？企业的利润最大，你可以补充完整它。 我们利润函数就等于我们说的 p 乘 qq 产量啊。这题呢，是用的 x 减去一个好这个成本函数收益减去成本，再减去税收。一件产品是 t， 税收是 t， 总共 x 件 七十等于什么？十减去二 x 给它转化为啊，一元函数啊，全部给它化为带 x 的 啊。这个式子好，乘一个 x 减去 c x c x 的 成本啊，你看这个平均成本是一啥意思啊？就是一件一件产品的成本之一，那么我们总共 x 减 x 减的话，那这个成本就是 x， 其实是吧， x 乘以一嘛， 减去一个 t x 化解一下，那就是负二 x 平方十 x 减去 x， 九 x 嘛， 九 x 再减去 t x， 那 就是九减去个 t x 呗。好，求一元函数的最实问题了，求导呀，求注点呀，还是在套路吧，负二负四啊，二得四 x 加上一个九减 t， 我 们令导函数等于零，去解个注点是吧？然后看一下这个注点 是极大值点还是极小值点，一般就解出来一个啊，看是不是四 x 就 等于九减 t， x 就 等于四分之九减 t 啊。 唯一的注点，那么它就是极值点，也是最值点。它既然问的是哎，最大是吧，那肯定它就是一个极大值点，也是最大值点啊。你可以说明一下，一般用第二充分 判别极值的第二乘分条件啊去求，因为这个求导比较方便啊，直接就负四了。那所以啊， l 撇撇，你把四分之九减 t 带进来，它也是等于负四，负四小于零，根据第二乘分条件，所以 x 判别极值的第二乘。分条件啊， x 等于四分之九减 t 为 极大值点，极大值点，因为唯一的极大值点也为最大值点。 哎，这这题的套路写法步骤大家写几个都记住了是不是？那最大值他有说吗？他没有让我们去求，他只是说生产多少件商品的时候利润最大，那你就直接说 x 等于四分之九减 t 十， 好，企业利润最大，这就行了是吧？你没有必要再求最大利润了，你求错了还给你 扣分呢，是吧？别求啊。好，第二问，在企业取得最大利润的情况下，那不就是用第一问了吗？什么时候企业取得最大利润，那就是 x 等于四分之九减七啊，这个就要用到第二问，哎，在这情况下，这个就赶紧哎，用到这个后边的解析了啊。条作为条件了，总的税收我们给它设出来啊， 总税收我们可以为 s x 的 话好求这个 s x 的 一个最大值。好，税收的话就等于 什么呢？等于 t 乘以 x 啊，咱们前面已经说过了是吧？一件产品的税收是 t， 总共 x 件就等于 t 乘以 x， 而我们这个前提就可以用了啊。给定的这个前提啊， t 乘一个 x 啊，就乘一个 t 嘛， 这，这是 x， 再都乘一个 t， 那 就变成了它。好，这又变成了一元函数求最值的问题了是吧？我们同样哎，去求导， 求注点嘛这是求导，简单呀，九减去个二 t， 好， 我们另一阶导函数等于零，去解注点，发现唯一的一个注点是吧？唯一的注点 t 等于多少？这一看二 t 等于九吗？ t 等于二分之九，四点五或者二分之九都行啊， 那同样，我们用第二判别极值的第二充分条件啊，去看一下这个点，他肯定就是一个啊，极大之点也是最大之点四分之，对吗？求个导吗？就这里负二是吧，就是负二分之一，很显然啊，它是小于零的。哎，所以啊，我们把 四点五带进来，它也是负二分之一小于零，所以这个点不是 x 了，是 t 好， 为极大值点， 也为最大值点。唯一的一个啊，极极值点就是最值点，最大值 点没啥问题是吧。哎，这个点就是再再点出去的最大值啊，因为两边他都是减是吧，往往两边去的话，都是没有这个点对的函数值大呀。好，他说什么呀？ t 为和值的时候是吧，那就是 g， t 等于四点五十。好，总的水手 最大，它问什么你就答什么啊，这些关键的点给它踩到啊，踩到就行了，踩分点嘛，是吧，说明一下，在这点取得最大值，那总税收最大的时候，那就是 t 等于四点五的时候啊。好，这个题就讲到这儿了。 好，我们看这个题设价格函数啊，好， p 等于两百减三 x， x 的 需求量成本函数，那么 t 是 每件商品的税收， 在利润最大的条件下，税收也达到了最大。求，这个题跟第五题啊，很类似是吧，就这个题，题是什么啊？题就是每件商品的一个税收上一问也是的啊，也是的。好， 呃，同样的一个套路，写一下就行了。我们先把最大利润先求一下是吧？什么时候最大利润吗？那就是收益函数减去成本函数减去税收。你注意了啊，这个税收的话已经在这里面体现了，你不要再去啊，再减一部分了，你就多余了，是不是？你观察一下啊，他跟第五题的区别。 好，收益的话就是 p 乘以 q， 这个，这个题是 x 啊，好，减去一个成本，不要再减税收了，这里边已经包含税收了啊。好， p 就是 两百减去一个三 x， 再乘一个 x 减去啊，成本七十五减去七十五，减去八十 x 减去 t x， 好， 再加上 x 平方，你说是减去这一块啊， 好，再整理一下啊，整理一下，写到这里的 x 的 平方，负三 x 平方，那就是负二 x 平方，这里跟这里好，二百 x 减去八十 x， 那 就是一百二十 x， 这还有一个减 t x， 好，还有一个减去七十五，可以了啊，什么时候利润最大？你就求导解柱点负四 x 吧，加上一百二十，减去个 t 好， 令导函数等于零。解柱点你会发现，哎，一般来说就是唯一的一个注点，就是极大之点，就是最大之点 x 的 话，那就等于一百二十嘛，减去 t 除以四就不行了吗？这个它是一个填空题，就不要再写那么多了，是吧？其实你心里知道，这个点就是一个最大值点，做考试的话就不要像上个题啊，又写的这么多，不用了啊，填空题不用。 好，那在这个条件下是吧？哎，税收呢，也达到了最大值，那我们先把把税收 好写一下，税收呢，就是 t 乘以 x， 每一件是税收， t 总共 x 件，这总的一个税收，在这个条件下，我们要使得它达到最大。这个这就是给的一个前提条件嘛。好，这个条件拿过来， t 乘一个 x x 先超过来啊，再都乘一个 t 嘛， 他就变成他了，他达到最大的时候，看一下大题是多少。对，一元，又是一元函数，求最值的问题。求导，那就是一百二十减去一个二 t， 令一阶导函数等于零，解注点呀，是吧？注点也是唯一的一个 t 就 等于六十嘛。 所以在这个点处啊，就是使得 s x 达到最大了，所以在这个点处啊，就是这个注点。就是啊，就这个最大之点， 是吧？做一小题的话，嗯，就这样就行了。那做一大题就跟第五题、第四题，这样的话，你还是要说一下是吧？做一大题的话，你求一下二阶导，说一下它是极大值点， 这就是一个负四，是吧？那我们把四分之一百二十减 t 带到二阶导函数里面，也是负四小于零，所以这个点呢？哎，这个点啊，就是极大值点，也是，哎，最大值点， 这这这些套话啊，你，你点一点，点一点，包含包括这里也是一样的，用第二成分条件更快一点嘛，这个步骤写的更干脆，轻就快一些，是吧？省点劲啊，这个二阶导函数了啊。二阶导函数， 这很显然就是四分之负二，也是负二分之一吗？小于零，那我把这个六十带过来，他也是小于零，都是负二分之一吗？所以啊，这个点呢，就是极大之点，小之点啊，我就不选。不是极小之点啊，是极大之点，最大之点。 套话啊，就这个意思啊，我就轻轻点水一下啊，答题的话就是再补充一下这个步步骤啊。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题对于 k 的 不同的取值情况，确定方程。好，十根的个数，证明一下你的结论。 那这题啊，其实就是我们前面说的代参的一个问题是吧？啊，我们可以啊，分离参数，也可以不分离参数，那么还是建议啊，能分离参数参数比较好分离的，你就分离参数，把问题转化为直线与曲线的焦点问题。 那焦点到底有几个？你就根据啊，这个情况你自己看一下是吧，讨论一下你不分餐的话啊，不分餐的话，对于像这样的题目啊，填空题啊，这个选择题啊，他已经明确的说了两个零点， 还说一个零点，都已经告诉你了。这种不分餐的话还可以啊，它这个过程也没有很多，很复杂，但你像这种啊，它，它都是它让你讨论是吧？讨论啊，这个根的一个个数，根据 k 的 一个取值，这个根的个数可能是不相同的嘛， 这样的题目啊，没有确定啊，几个零点几个根你就不要啊，不建议不建议用啊，函数零点的问题，我们会讲一下，这个题会讲一下，你会发现啊，很讨论的，很烦人，那以后你就发现，以后你就会啊，哎，就是这种类型的啊，你就 没有确定的，就直接分解参数就行了，再写一写你就知道啊，它的过程非常繁琐。好，那我们就翻译是吧推荐的啊，能分解参数就分解参数就完事了。分餐 那对 k 不是 很好分离出来吗？是吧， k 的 话就等于，那就是负的 x， 三次方加上一个三 x 吧，我们就是哎，领 y 一 就等于这个 k， 这就是直线，哎，曲线就是 y 二，我们列成 f x 吧，就等于负的 x 三次方，好，加三 x 直线与曲线，哎，转化为焦点的问题了，是吧？好，也就是咱就直接写就行了。 f x， 那 把它的图像研究一下，换一下。求导负的三 x 平方加上一个三，是吧？负三提出来， x 平方 减去一个 e， 对 不对？我们令导函数等于零，好，解出来两个注点， 两个注点的话，很显然一个是一，一个是负一，是吧，那是不是极值点呢？是极大值点还是极小值点呢？如果是极值点的话， 这个你可以用第一充分条件，也可以用第二充分条件，你看，求二阶导，也很方便啊。我们用第一充分条件的话，你看 x， 我 们令导函数大于零，等于它单增的区间。导函数大于零的话，你这块得小于零，也就是 x 在 负一到一之间， 你看一下啊，我们这里 x 啊，它是属于负无穷的，正无穷的，对不对？定域啊，你写一下，别忘了它在哪讨在哪区间，讨论吗？好， 嗯，单调性的时候，你的整套带不带都行啊？讨论单调性 e 阶导函数呢？我们说了啊，就是大于零的，那函数呢？就是单增的是吧？那 x 大 于一或者 x 小 于，哎，这样写，小于负一的时候， 那自然 f 撇 x 就是 小于零， f x 就是 单减，是吧？这个时候你其实就知道了啊，谁是极大值点，谁是极小值点了，你看啊，一这一点的左右侧啊。 l 大 于一的时候，函数是单减的， 一的左侧啊。 l 小 于一的时候，好，就它。我们说极大值点，极小值点是这个局部的信息啊，一个小领域内去考虑啊，不要去考虑那么那么远啊， 接近一，从左侧接近一的话，在小零一代，这个函数是单增的，所以一这个点是一个极大值点，是吧？那同样的道理啊，负一这个点就是极小值点，或者你根据第二充分条件也可以判定出来啊。第二充分条件的话，判定极值的第二充分条件。求二阶导函数，因为二阶导很简单呀，二三得六，负六嘛。 x 啊， 好，你把注点带过来，一个是一，这一点就是负六，负六小于零，所以一这个点就是极大值点，是吧？ f 撇撇，负一呢，它就值六了， 六大于零，所以啊，负一这个点呢，就是它的极小值点，是吧？所以我们可以写一下啊， f x， 它的一个极大值 下角就是 f 一 嘛，一的话是负一，加上一个三就是一个二，是吧？极角值， 这是 f 负一，负一的话，一减去三是负二的，是吧？是负二。我们要画 f x 的 图啊，这些关键的信息看一下。那我们定义域是负无穷的。正无穷啊，看一下两侧啊，它的一个趋向 x 趋正无穷的时候， 看一眼就行了。正无穷，这就不用看了，看这边，那就正无穷，填个符号就是负无穷呗。负无穷啊， x 去负无穷了，看一下两端看一下，负无穷的话再也不用看了，是吧？你看这个带三次方了，太牛啊。 x， 三次方的负无穷的，三次方的负无穷啊，听个符号就正无穷了，正无穷。所以关键信息我们已经找差不多了，你就画画图就行了，是吧？画画图啊，就挂在这吧。 好，这 x， 这是 f x 关键点，负一一一对应的一个函数值呢，是二是吧？是二负一，对应的函数值呢？是负二负二，这是二 负一。这个点啊，它是一个极小指点。极小指点啊，那左边呢，它是单减的对吧？你就是极小指点嘛，左边单减，右边单增啊，我们换一个笔吧， 左边单减到这到达这了。好，接下来单增它过，它是不是过零零？这个点也可以注意一下啊，别画的太太不准确了啊，你该一关键的点，别搞错啊。好， 这就是极角的点是吧，这里啊极角值啊，这个点取的极角值，这边呢是单增，右边 a 单减是吧？好， 这就是一个啊，极大值。好，我们这个 f x 图像已经画出来了，现在就是 y 曲线已经画出来了， y 一 等于 k， 根据 k 的 取值，不同情况啊，就看一下它们交点说它与 y 二交点的个数啊，也是不同的， 看一下吧，直接就这样换一个笔了啊，咱们换紫色的好，看一下。 k 呢，咱们从下面往上看好不好？好啊，这个我觉得啊，应该再往上往下来的，这个再往上来的好， k 在 这儿的话， k 在 这儿的话，都是以与 f x 嘛， y 一 与 y 二有一个交点，直到到这儿的时候会有区别 是吧，到这的时候会有区别，所以我们可以看出来啊， k 小 于负二的时候，小于负二，就这个下边是吧？小于负二与这个蓝色的线就一个交点吗？一个交点的还有没有呢？有对应的啊，这个点之后啊，我们画横线是吧，也就是 k 大 于二 小于负二和大于二与这个蓝色的线啊，直线与曲线就是一个交点吗？好， k 的 不同取值啊，焦点的问题，其实这里面十根的问题嘛，对吧？我们转化问题来啊，这个时候呢，方程有一个十根， 哎，他说证明你的结论，你就说我这个如图，是吧。这你可以写一下 f x 图像如下，这就可以了啊，你去看图吧啊，这是我的证明。好，那继续啊，我们再看一下啊，这个往上整，这里这里有一个。 哎，这个关键的一个点吗？也就说 k， 一个是等于负二，一个是 k 等于二。好，就这两条线，这一条和这一条，它与蓝色的线是不是有两个交点？你看左边一个，右边一个，是吧，两个交点也就是方程，有 圆方程嘛。好，就有两个实根，咱们继续看，往上走啊，这个往上走，这就有三个角点，那就是三个实根，同样这个上面的啊，往下走是吧？三个实根， 这我们可以看出来， k 呢得是大于负二， k 呢得是小于二，是吧？这个很清晰明了呀，有三个实根，这就行了啊， 所以这就 ok， 结束了。好，那我们再看一下啊，这个不分三，你把它看成函数啊，求零点的问题，这个讨论就有点繁琐啊， 等我一下换一页，好，继续啊。反二，好，同学，有些同学不想分三，不想分三啊，你就会 有点啊，有点辛苦了啊。好，我们另这一块就是等于这个 f x 嘛，看一下啊，它与 x 轴交点的一个问题，是不是有它零点的还是五零点的问题，就把 f x 的 图像画一下，讨论 k 啊， f x， 求导啊，这是三 x 平方减去一个三， 是不是我们令导函数等于零，你截两个注点也是这两个点啊？三，直接直接这样写了啊，就可以一点就看出来了啊，所以可以得注点有两个 x 等于负一， x 等于一吗？他跟我们刚刚啊，你看一下求得的话，这前面他是有个符号的，我们现在没有符号了，所以他的极大值点，极小值点就相当于去互换了，是不是？这个过程的话，也可以再简单写一下啊。 x 大 于一 或者 x 小 于负一的时候，这块啊，是不是大于零的乘以三也是大于零的呀？有一阶导函数是大于零的，那我们函数啊，就是单增的，这个你可以写文字哦， x 呢，在负一到一之间的时候， 好 f x 一 撇，那就是小于零， f x 就是 单减的是吧，或者你跟我们说的啊，第一位一样，你可以求二阶导函数啊。哎，水是极大之点，可以极小之点， 好 f。 所以 啊，你就就说一下这个 f x 的 极大值，极小值啊，对调了跟反一极大值啊，我们刚刚呢是一对点是极大值，那对于这个题呢，就是极大值就变成了 f 负一这个点对应的函数值了，你看啊，负一 负一的一个左边函数是单增的，右侧，哎，是单减的是吧？领域啊，小领域内， f 负一的话，负一加个三加个 k， 是 不是 k 加二呀？ k 加二啊，这就是它的极大值，那 f x 的 极小值 就是 f 一 关键信息嘛，即值啊，找写求一求一的话，一减三加上一个 k 就是 k 减二了， 是吧？好，这个时候我们就把 f x 图得画一下了是吧？可以啊，你先在草稿上画一下，画一下之后我们看一下怎么去讨论这些情况啊。 f x 关键的点就是负一和一。 好，你零他不过零，零这个点吧，是吧？ k 的 话，我们取值先。不不一样了，就不用管零这个点它对应的函数值了啊，你就知道负一这个点，它是一个极大值点， 一这个点呢，它是一个极小值点，那么极大值和极小值啊，它们到底是大于零？ 小于零还说等于零？比如极大值他可能是这样的，是不是？他也可能，哎，这图像啊，可能是这样的，也可能是这样的，而极小值呢，哎，因为这边必须必须得单减啊，这边必须单减的嘛。好，那极小值可能是小于零，那么极小值呢？就这种情况，他也是小于零的， 但这种情况啊，他可以是等于零，也可以大于零，是不是？所以他情况他可以是等于零，也可以大于零，是不是？所以他情况他可以是比较多的。有些同学啊，讨论讨论的就会 漏你漏情况了。那你就别这样了，你直接分解参数就行了。好，怎么才能不漏呢？不漏的话，你想想去搭配吧，你这样去搭配着来啊，你就说极大值， 极大值的话可能是大于零的，那它对应的是吧？对应的，哎，极小值，极小值就是 k 减二嘛， k k 减二，你就说嘛，他可能大于，在他大于的情况下，好， k 减二可能等于零， k 减二可能是小于零，这样你就不会漏，是不是？哎，你这样讨论啊， k 加二呢，也可能等于零，等于零的情况下呢，好，也就是极大值等于零的话，极小值呢，有三种情况，这就不容易漏了呀， 是不是？哎，所有的都考虑到，那么极大值呢，哎，有可能小于零，在它小于零的情况下呢，极小值可能大于零，极小值可能等于零，极小值呢？可能是小于零，你去减，是吧？九个九九九，九个部分，但有一些部分它是不成立的，所以你就可以淘汰一部分啊，我们去看一下啊， 对于第一组的话，这个 k 加二大于零，也就是 k 得是大于负二的，是吧？那对于这块呢，你注意啊，是这样，是一组，这一组，一组是吧？三组总共九组啊。 这 k 是 大于二，对于他来说 k 就是 等于二，对于他来说就是 k 小 于二，我们看一下 这一组行不行呢？两个都要满足啊，这两个条件都要满足， k 要大于负二， k 要大于二，所以就是 k 得大于二，同大取大好，可以，是吧？这组可以，那这组的话，图像你可以去画一下。他是啥意思呢？极大值大于零，极小值也是大于零 的，是吧？极大值大于零，极小值也得大于零，但是他要满足这一块啊，他得单减啊，这是单减的，这一段得是单减的，是吧？大于零啊， 两两个极值点对应的函数值，两个极值都是大于零的，是不是这种情况？哎，你画一下，你发现圆的轴就一个零点，所以 k 大 于二的时候就是一个零点，对不对？就一个零点啊，待会我们再去总结一下啊。好，这一组的话， k 要等于二，还要满足 k 大 于负二， k 大 于负二，还要满足 k 等于二，我们看 k 等于二，满足的话， k 等于二，是不是大于负二的？是的，所以这种情况，嗯，是可以解出来啊。 k 就是 等于二的， k 等于二的话，它它又是啥情况呢？你这个我就擦掉了啊，一个个来 好情况比较多，也就是极大值呢，是大于零的。极小值呢？是等于零的啊，这是大于零的极小值等于零的单减，那就减到这呗，是不是？哎，单减之后它后面又单增了啊。 所以看一下圆的轴有几个焦点啊？有两个焦点，也就是函数有两个零点，也就是十个有两个嘛，咱们就先写个括号，待会总结好再看。这种情况， k 要大于负二， k 要小于二。这个啊， k 要小于二，要大于负二，也可以解出来 k， 这啥情况呢？这几个焦点你必须得画图看呀。 极大值极大值大于零，极小值小于零的吗？好，极大值大于零，极小值得小于零，那小于零，是吧，这样的 后边是单增的呀。好，那我们可以看一下一二三，是吧这种情况啊。三个，三个焦点。好， 那就是三个十个的意思。继续啊，继续继续，再看这一组啊，一组一组的第四组了，你看费事不？这是 k 大 于二，这是 k 等于二， 是吧？这是 k 小 于二，这一组 k 大 于二，这，这是相当于 k 是 等于负二的吗？ k 等于负二，要满足，那负二的话，这个 k 大 于二，得满足啊。负二是大于二的吗？不可能呀，是吧，所以这个就解不出来， k 就 不用看了。 好，那 k 等于负二的情况下， k 还要满足，等于二，不可能，是不是？也就说不可能，极大值和极小值都是 都是等于零的，是画不出来这样图像的。好，再看一下， k 等于负二，还要满足。 k 小 于二， k 等于负二的话，确实小于二的，所以这一组解出来的是 k 等于负二， k 等于负二，那啥意思呢？要满足的是极大值 是等极大值点对应的函数值吗？极大值就是等于零的。极小值是小于零的吗？极大值等于零，极小值是小于零。哎，就这种情况吗？一个两个是吧？两个啊，两个零点，好，继续。 这是 k 大 于二，这个呢是 k 等于二，这个呢是 k 小 于二，这个呢是 k 小 于负二，是吧？ k 二小于负二，还要大于二，不可能的啊。 k 等于二等于二的话，二是小于负二的吗？不可能的，不用看， k 小 于二， k 小 于负，二从小取小。所以解出来的就是 k 小 于负二，是吧？ k 小 于负二，这啥意思呢？要满足你，满足你啊，极大值和极小值都是小于零的吧。哎，极大值极小值都是小于零的，那就是这种情况， 所以有一个焦点，是吧？这个时候，哎，就是有一个焦点，那你看吧，你这个，这个我们写着就很费事了，再加上你这个图吗？你怎么跟这个判卷老师去说明呢？ 对吧？这个措辞的话，你也得说好说好。嗯，好好想一下怎么去说给判卷老师，他懂你的这个意思啊，这是给大家讲那个过程书写的话，看一下怎么去写啊。那我们就可以这样 当是吧。哎，当这个 k 大 于二，一个零点的嘛，一个零点和这个 k 小 于负二，这这样的话，就感觉到 看见老师不知道你在写什么，是吧？为什么呢？那我们可以写一些文字吗？这是啥情况呀？也就是极大值大于零，极小值也大于零，是不是？或者这种情况我们看极小值小于零，极大极大值，极大值和极小值都小于零，也就说极大值 大于零，极小值大于零，或者极小值大于小于零，极大值小于零，这个能搞清楚吧？我写一下啊，这种情况就是当极大值，好，这是大于零的吧，极小值， 哎，也大于零十，对吧？他们都大于零的时候，我们是可以得出来有一个啊，十根的，或者当极大值，哎，两个都是小于零的啊，你看这个 极小值也小于零十 g， 哎，你还得说一下啊， g k 大 于二， k 可以大于二或者这个这个过程就不要再写到答题卡上了，小月负二的时候你总结这些就行了。好，这个十根个数， 十根为两个。行了啊，好，那再继续是吧，咱这个还是换一个笔吧，要不换成这个红色的。写到这里了啊， 第二个，我们看两个啊，两个根的情况，这是极大值大于零。好，极小值呢，是等于零。好，这个呢，是极大值等于零，极小值呢，是小于零的啊，这样写，当极大值，不然你直接下个结论，太唐突了。 当极大值大于零及小值等于零，是吧，或者你就把极大值及小值都写成啊，这个 k 加二来大于零，或者是这个这个 k 加二等于零啊，懂着，怎么写都行啊，让别人看懂。 嗯，等于零或或这种啊，几几什么呀？几大值，对吧，写个头疼啊。几大值小一点， 这是什么，哎，几小值的零，哎，在这呢，几小值是我搞忘了， 这搞错了，嘿， g 大 值是等于零的啊，在这呢， g 小 值小于零， g 小 值小于零， g， 你 直接总结了，也就是 k 等于二或者 k 等于负二的时候 是根，这个怎么两根呢？瞎写啊，一个是根为两个，下来就是三个的了。三个的啊， 就这就这一种情况啊，也就是极大值大于零，极小值呢？小于零啊，当 极大值大于零，极小值小于零 g g。 什么 k 小 于二大于负二的时候。好，十根，听我说的，放成了十根。个数啊，为 三个。你看这写的过程就比咱们法一写的过程多，很很烦，我觉得很烦啊。你不烦的话你可以写一写啊。 好吧，能分离三数还是分离三数？像这种啊，直接说明有几个零点的，不让你搁这讨论的。你这个还是 ok 的 啊。但还是减一啊，能分就分离吧。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题，这是一个分段函数，分段点是不是就是零这个点，分段点出这个点啊，他到底是不是可导的点，到底是不是基值点的问题？好，我们把这个相关知识点再往这放一下，这应该都没有问题了，可移的基值点，要么是不可导的点，要么是注点。好， 对于分段函数，在分段点处，哎，关于啊，它这个导数的话，我们是用导数的定义是吧？那个别题目也可以用导数进行定义啊，我们也都看一下啊，先看导数定义就是最朴素。哎，通用的一个方法是必须要掌握的啊。 可不可导，看它的左导和右导是吧？看它的右导线，你看，先看左导也行。 f x， 那 就是 x 零， x 减去 f 零， f 零的话， cos 零一嘛，一减一零啊，除一个 x 减零是吧？ 这 x 跟 x 消掉了，就剩一个 long x， x 去零正， long x 去负无穷，是吧？这已经看出来了，它右倒就不用算了，它肯定是不可倒的点。 那有同学说，我就想算一下啊，平时你可以算一算，考试没有必要啊。 x 去零负 零负的时候表达式啊，你可以看一下啊，这个 f x 表达式是可以直接写出来的， cos x 小 于等于零，这个 x 绝对值的话就是负 x 是 吧？ cos 负 x 不 就是 cos x 吗？它这个函数好，表达式直接写过来， x non x 啊， x 大 于零。好，这个时候是 cosine x 减一，底下除一个 x 减零嘛。 cosine x 减一，等价于负的二分之一 x 平方。所以上边分母分子啊，分子是分母的一个高加，这就是零啊，极限就是零嘛。好，这个就不多说了啊，那我们看一下它到底是不是极致点的一个问题， 有对象说他是非极值点，选个 d 你 就错了。哎，你不能够认为啊，不可导的点就是非极值点，咱们多次强调了，是吧，不可导的点很有可能是极值点，那这个时候怎么去判定呢？就用哎极值点的定义啊，是吧？第一第二第三充分条件啊， 去判定一下。好，假设我们先用啊这个定义定义的话， 看一下，如果零这个点它是一个极值点，那么它就是局部的，哎，老大，或者是局部的一个老小，你注意局部， 我们研究极值极值点的问题啊，都是研究的是函数的局部的性质，不要啊，研究的整个定义啊，我们看这个点到底是不是极值点，就看这一段的一个函数啊， 函数的一个图像，你大概知道就行了。好，这个点它是这个局部的啊，哎，是吧，函数值的一个最大值，对，或者是最小值，这个点呢，就是最大值点和最小值点。 那我们看一下 x， 哎，从左侧去零的时候，左边这个小零以内函数的一个正负情况，哎， x 小 于零，不要小太多啊，不要小太多， 不要小太多的话， cosine x， 那 就是它不可能超过一，是吧？减去一，那就是小于零的呀，所以左侧的啊，最小零域内就是小于零的凹凸性。我不管，我知道你小于零就行了。好， x 大 于，大于零，小于零，你也别给我大太多是吧？我们是局部的性质小，这个零域内啊，一点点这个小区间里大于零的话，你比如说这个是吧，你就取到零点零零零零二零零一就很很短啊，这个区间，那这是一个正的 l 零点零零一，这肯定是个负的，是吧？一正一负的话，那就是负的，所以啊，在右侧的零以内，好，这函数啊，他都是负的，所以零这个点就是局部的老大，因为零这个点的一个函数值，你可以看出来啊，那咱这样写， 就是一个零啊，是吧？哎，这个点就是局部的一个老大，他就是极值点，是极大值点，所以就选 b 了。 不可导的点，可可能他就是一个极值点，或者呢？哎，你用充分条件第一充分条件判定极值的。充第一充分条件是什么呀？ 好，这个用来比较多啊，就是在这一个点的左右两侧，一阶导函数是 e 号的， e 阶导函数 e 号的一个，那这个点就称为啊极值点， 我们看一下啊，它的零这个点的左右两侧一阶导函数的符号啊，我们去求一下导数啊， x 小 于零的时候，它就是负的。 c x 呀， x 大 于零的时候， x 求导，老鹰不求导， x 不 求导，老鹰求导是 f 分 之一，那就它了。好， x 小 于零的时候，我们看它的一个正负，不要小的太多啊，不要小的太多。好，我们知道 c x 是 这样画的，是吧？ 它从左侧去零的时候，不要小太多啊。 x 小 于零的时候，我们就认为它是一个负的，是吧？你不要给我看太多了啊，它就是个负的。好，负的，再一个负号就是正的，所以我们可以看出来啊， x 小 于零的时候， e 接等函数 怎么样？哎，是正的，那么函数呢，就是单增的呀， x 大 于零的时候， 导函数的一个正负，看一下，大于零不要大太多，是吧？我们研究的是一个小领域内的函数，它的一个形态， 大于零不要大太多，那它就是个负的，是吧？它基本上去负无穷了，加一个正的，加个一，那还还是负的，对不对？它是负的啊，好，也就是小于零，你看零的左右两侧啊，一阶导函数是 e 号的吧，所以根据第一充分条件啊，这个点它就是一个基值点， 这不要你判定啊，极大值点及小值点你也可以判定一下啊，先增后减，是吧，这是一个极大值点。你这样画是不太严谨的，因为你这样画的话，这个点它就是一个可导的点了，是吧？而我们知道零这个点它是不可导的，左边增，右边啊减，应该这样去画，哎，更严谨一点，是不是 这样好，这个点呢，我们是不是说它是一个尖点啊， 尖点呢？就是说这个点哎，是一个连续的点。在函数啊，函数在这一点是连续的，但函数在这一点呢，是不可导的啊，我们称它是一个尖点啊， 是吧？这个点不可导啊，你看可以看出来，是吧？左边的话，左边导函数，你也可以左边导函数，你看一下，你做一个，做一个切线，是吧？哎，你看切线它确实水平的，而右侧也做一下，它是一个以 y 轴为切线，所以这导数不存在吗？ 就这样画更合理一点，但无所谓啊，这个就是题外化了，你能够根据定义或者是充分条件把它判定出来是一个极致点就够了啊，就够了这一块，这一块，这基础知识啊，要理解到位了啊。 我们再补充一点，就是一开始的时候我们不是说分段点处好，这个求导的话啊，考虑导出定义，这个是通法，是必须要会的，除此之外还有导出了极限定律，哎，忘了说了是吧，再补充一下，有些同学想听，咱们就看一下他能不能用啊， 有些题目他是有限制，用不了嘛，所以你可以学，可以不学极限定律， 不想听的啊，直接就听第四题就行了。好的，选学内容啊，那第一条的话，同学们还记得吗？哎，看一下函数在这一点是不是连续的呢？ cosine， cosine 零一是吧，一点一零好，那么 它的一个右极限的话是零是吧？左极限啊，跟函数值右极限它都是相等的，所以啊，在这点是连续的。第二条满不满足呢？ 在去心领域内可不可导？你看去心领域就不盘这个零，这个点的话，导函数表达式都有了，那肯定是可导的呀，是不是第二条满足，那你看第三条呢？那我们就看一下啊， 导函数表达式，左边和右边表达式有了，我们就求啊，零的点是吧，导函数的一个极限， x 去零的时候，导函数极限看存不存在， 那从左边看的话， x 去零，负的话，这是去零的，所以它的一个左极限是零，右极限呢？看一下 x 去零，正好去零正，这是不是一个负无穷啊？负无穷加个一，你这个一，其实比如你看是吧，去去负无穷的啊， 那那左边的你会发现右边的一个极限啊，就不存在是吧，他根本就不满足。第三条啊， x 去零的时候 f 撇 x 好， 这个极限存在，他是不满足的，后边就不用看了，他就不能用导数减零的了，是吧？对，这个题就不行了啊？ 好，这个就是再看一下吗？这个掌握啊，就够考研的了，这是题外化了。好，你这题就梳理一下，那这个题就讲到这了。

好，我们看这个题，求这个曲线与这个曲线交点的个数，它换一种说法，你别不会了啊，它其实就是考察方程根的问题，就类似于我们这一张的第一道题的那个题目啊，方程根的问题，或者给它看成函数零点的问题， 还这能转换过来不？我们看一下啊，曲线与这个曲线交点的个数，不就是说它俩相等有解吗？是吧？我们进而啊，把右侧挪到左侧的话，好， 哎，是不是就是这个方程有根啊，对吧？哎，方程有根，那到底有几个根呢？咱咱自己去讨论一下啊，根据这个题目给给的啊，咱们去研究一下是吧，这不就是方程根的一个问题吗？ 好，我们把左边给它看成 f x 的 话，那不就是函数零点的问题吗？是不是而方程根或者函数零点问题啊，你用二定力或者是零点存在定力啊，它主要的一个思想或者中学的，你看能不能把图画出来，这个好像画不出来是不是？好，那这个题啊，咱就有两个想法， 首先你可以给它看成一个啊，方程根的问题，咱们就写到下面了。哎，那就证明一个法一，法一是什么呢？ 好，就是直接啊，咱也不去转化了，我不转化了，我不转化了，我就这根曲线和这个曲线，我都画一下图，我把你的图画一下，你的图画一下，我就直接看一下焦点的个数，我数一数就行了，但是你要画的啊，尽可能关键信息都得画出来。 好，那有些题目比较复杂的话，他的图像图像都不好画，那咱们就转化为啊，方程根或函数零点的问题了啊，还好啊，这两个曲线是比较好画出来的。咱们去画一下图啊，直接法一直接就是去画图，简单的题目就画图就行了。 好，你看这也是 y， 这也是 y 啊，容易搞混。咱们这样去啊，去令一下，我们令 f x 等于 e 的 负二分之 x 是 吧。哎，我们令这个 g x 啊，给它区分一下好， x 三次方减去三 x， 它们两个去画一下图，对于 f x 这个往这边写写吧，这样写的重复累赘了啊。减 x， 还有三次减三 x， 好， 它的图，这不指数函数吗？我们可以啊，整，稍微整理一下，你看负二分之一，这是 x， 这个我们可以整理成根号下一分之一的 x 方这个指数函数吗？是不是而这个底的话，哎，你会发现啊，他是在零到一之间，他没有大于一，没有大于一的话啊，他的图像这样画 单减的是不是？如果啊，这不是 a x 方吗？大于一的话，他单增的，现在单减了呀，这中学学的啊，你别忘了啊，别忘了。好，这是 x 啊， 这个图呢，我就给它换成别的颜色了啊，这个就是 f x 是 吧。 f x 图，给它画一画 g x， g x 的 话， 这是一元三次函数，我把 x 提出来，那就是 x 平方，减去一个三好，再整理一下，它是 x 加根三 x 减根三 好，这个函数是不是有三个零点呀？这个时候啊，可以用一下穿针引线去画图，好，把三个零点找一下，一个是零，一个是负的跟三，一个是正的跟三。 好，再换一个颜色啊，我们看啊，去正无穷的时候是不是正无穷呀。所以啊，他从右右上角啊，往底下穿好， 你会发现啊，他这个四方都是基数四方，所以啊，基穿到了这个点之后啊，穿过来都要穿，都穿过来啊，好，到这就是有问题了啊，你请问你穿过来之后是往上哎，跟他有没有交点呢？你有有有交点的话就是，哎，到这穿过来，没有交点的话， 那就是咱再画一个紫色的啊，好，到这穿过来，到这也穿，好在没有焦点，或者有两个焦点。已经画过了啊， 没有焦点的话那就这个样子，对不对？到底有没有不清楚？不清楚，我们去看一下啊，我们先假设他有的话啊，没有的话我们已经说了啊，这样去画咱就别画了啊， 看一下它的一个极大值，极小值其实不用去管了，是吧？我们其实关注它的极大值，你的极大值啊，到底是在这个蓝色的线下方还是在这蓝色线上方？如果 在蓝色线上方，那么它就是图，就是我们这样，我们这个绿色的线是不是这样的话可以看出来，哎，三个焦点对不对？三个焦点，那是不是呢？你去求一下这个点啊，对应函数值，好，那就是去求啊，这这个是 g x 是 吧？ g x 的 一个极大值，去看一下啊， 好，那我们研究 g x， 那 就去求导是吧，求导了啊，那就是三 x 平方减去一个三了吧，我们令导函数等于零，哎，你会发现有两个注点， a 个平方等于一 x 呢，就等于正负一，那正负一按你来说啊，它肯定就是这个意思了啊，这是一个一是吧？ 在注点了呀，在注点处，哎，取得极值，在这个点处取得极大值，在这个点处取得极小值，你看看是不是？你可以说明一下啊，我们关注的啊，是极大值就行了，这边肯定是有一个焦点了，是吧？这边肯定是有个焦点了啊。好， 那你这个可以简单说一下，你看 x 大 于咱们 g x， 令箭 g e 大 于零的话，也就是说 x 大 于一或者 x 小 于负一的时候， g e p x 是 不是单增的呀？ g p x 大 于零的啊， g x 就是 单增的，我就节省点了，同学们考试不能这样写啊，这个反二待会再说吧。好，那 x 在 负一到一之间的时候， 这都会减啊，大于零和小 a 零减一下区间，小 a 零。好， g x 就是 单减的，所以我们可以看出来啊，它左边是单增，右边是单减嘛，你看，那这个大于负一的时候， 大 f 一 到一之间是单减的，你可以看出来是对的，咱们画的就是没有问题的，那么小 f 一 的时候，哎，是单增的啊，就是咱们画这个图形，所以啊， x 等于负一，包括这里啊，也是没问题的，左边单减，右边单增为极大值点。 好，后边你这个也可以说一下啊，为极小值点，这个不太关注啊，关注它就行了。所以啊， g x 的 极大值，我们关注它啊，看它是等于多少。 那不就是 g 负一吗，是吧， g 负一你算一下呗， g x 在 这呢啊，负一一带我带进去负一的三次方减去负三，那就是加一个三，就是一个二， 所以负一对应的 g x， 它是这一点啊，函数值是等于二的。那我们看一下啊， x 等于负一的时候， f x 这个点，是吧，这个函数值我们也观察啊，现在就比较它俩的一个大小呢。好，又，因为 咱们的 f 负一。 f 负一是什么？对 e 的 二分之一次方嘛，是吧，那就是根号下一，而这个二的话，它是根号下四呀，是吧？所以啊，我们已经知道了啊，咱们画的这个图是没毛病的，是吧？也记 这个 g 负一，它大于 g f 负一，所以那么我们就可以啊。哎，你说一下 f x 与 g x 的 图像， 咱们就是用图像来解决的嘛，图像就如上你这个画的啊，这关键信息到位就行了啊。好，所以啊，这个 他俩就是有这两根曲线，有两有三个焦点吗？就紫色的是吧？这边是肯定有的啊，这边肯定是有一个点的吗？对不对？你这就画都画出来了，他就从右下方，从右上方啊穿过来的，是吧？他肯定啊，因为他有区域，这个他以 x 轴作为间隙线，这肯定是有个焦点的，你直接就这样写就行了啊。 所以 f x 与 g x 它交点的个数吗？有三个交点好就行了。稍等，我把这里啊擦掉。 好，有同学呢，总觉得啊，用这个画图法感觉不太严谨。那你实在觉得啊，不舒服。好，那我们就给它转化为方程根函数零点那个问题了，是吧？ 我们刚刚已经写了啊，在这底这个草稿上再写一下，就是这一个方程有几个根的问题，也就是说这个函数有几个零点的问题，是吧？你可以这样写啊。嗯， 它与它的焦点的一个个数就是圆问题吧，这样写，圆问题可以转化为 f x， f x 就 等于 e 的 负二分之 x 减去 x， 三四方减去三 x， 是 吧？也就是这个，你等于零的话就变成方程了，你写成函数的话，那就是函数的零点问题转化为零点，个数问题 应该是个数，是吧，有几个几个零点嘛。好，现在就是研究这样的一个函数就行了。好，那我们说了啊，考虑罗尔定律，哎，零点存在定律， 那对于罗尔定律，你想用的话，我们是不是找哎，找相同，找哪些点对应的函数值？两个点或者三个点对应的函数值是相等的，那么在这两点之间一定会存在一个一，咱们罗尔定律这样是这样用的，是不是？ 哎，这一个啊，可算一，可算二的话，它对应的函数值相等，那么我们找到的是一导函数等于零，在这个区间内一定有一个一导函数等于零的点啊， 那你想用的话，你还得去找，首先啊，你得找出来这一个函数的一个原函数，是不是再有呢？你原函数啊，找出来之后的话就是找大 f x， 还得找哎，哪些点对应的是吧？这个大 f 的 一个值是相等的。 你你你看你，你去看的话，你是看不出来的呀，你找找试试，你用眼睛看，你能看出来什么吗？哪哪哪些点的函数是相等吗？对于大 f x， 你 发现不行，那这个地方啊，它就用到了啊，罗尔定律的推广，我这里啊，缩小一下啊，稍等。 嗯，这样好，罗尔定律的推广什么呢？哎，这个函数啊，稍微 你看有一丢丢复杂吧。那但是我们去求导的话，哎，求导是比较简单是吧，求导的话，我们能够哎看到啊，如果啊，三阶导或者四阶导不等于零，那么我们就得出来 f x 啊，他最多有多少十根的一个问题，那我就求导，我看求到几阶导为止。 好，那我们这里啊，也去说一下假设啊，我们如果啊，这个题是三阶导函数啊，哎，你发现是不等于零了，那么我们根据罗尔定律推广这个记下来啊，会得出来， f x 最多就是三个实根，三阶导不等于零，最多有三个，最多啊，有三个实根。 好，那有同学说，为什么呢？你可以简单看一下啊，我们假设啊，就以这种情形在一道上，不等于零了。那么你说好，我们假设 f x 啊，就就是有四个实根的话，你用罗尔定律，你用罗尔定律，你会发现啊，它有四个实根吗？ 好，罗尔罗尔一次，罗尔两次，罗尔三次，你会发现啊， f 撇撇 back 在 这个点处，三阶导函数等于零了，那么与我们的假设就矛盾了呀，所以三阶导函数只要不等于零，那么最多就是三个十根，不可能有四个十根，这就是它的一个反证啊。好，那我们就求导嘛，看一下啊，到几阶导不为零呢？ f 撇 x， 那 求导我觉得是没问题的啊。好，这就多下来，来一个负二分之一是吧？ f 撇撇 x， 哎，我后边没求呢，这不行，这可不行，减去三 x 平方减去一个三 f 撇撇 x， 继续求啊，负二分之一 x， 好， 那就是四分之一了，减去二三的六 x， 是 吧？那你会发现，这个时候我们看不出来它不等于零啊。看不出来，因为这边大于零，这边 这不清楚啊，大于零的减去 x 的 一个曲值，也是从负无穷到正无穷吗？可以看出来它的定域啊， x 你 可以写出来， 看不出来它到底等不等于零啊？好，继续求三阶导。这个时候就可以了。看出来了，这个负八分之一是吧？减去个六了， 这个瞅一眼，瞅一眼啊，好，指数函数是一定大于零的，是吧？乘一个负的，那一定是小于零的，这个是负的，负的再减去一个正的，是吧？那肯定是负的呀， 所以说这个我们能确定出来它是小于零的。小于零不就是不等于零吗？对，小于零就是不等于零，你直接写不等于零，然后由罗尔定律的推广，这可以可以用啊，直接就记下来，直接用就行了，就是罗尔定律的推广定律啊。 好，那我们可以知 f x 这个函数啊，至多啊，也就是最多有三个十根了， 也就它等于零嘛，也就最多有两个零点的意思，对不对？ f x 等于你十根的话，关于根的问题，咱们应该这样去写了，是吧？这是方程哎，方程有十根，函数有零点，这样去搭配这个词语啊， 好，但是人家都说了啊，这个焦点的个数你给我确定出来，你给我说一个最多一个最少是不行的，那么我们想确定出来的话再去结合，要么是，哎，你找出来，像我们前面遇到的题啊，最多有你或者是再找一个条件，哎，你找一个信息出来，是至少有三个， 最多有三个，最少有三个，两个结合一结合，那就是三个。找根的话，好，那这个时候就想到零点存在定力了，是不是找一下用一下零点存在定力啊？那我们用的时候这个点是吧？零点存在定力，就找两个点对应的函数值，一大一个，大一零，小一零吗？在它之间一定会存在啊，一个零点的至少存在一个零点， 这个点又怎么找呢？好，所以啊，你对于这个啊，对这个函数的话，这个是一元三次函数吗？他的零点的话是很好看出来的，咱们在这里已经说了，你看，从这个图里可以看出来啊，这三个，三个零点， 所以说你还是啊，要有这个咱们这个法一的一个思想，这个点到底去哪里找？是不是找哪些点对应的函数值？你去看一下，是大 a 零小于零的问题，所以啊，还得回归到啊，这个比较比较好看出来零点的一个问题。 好，他的一个零点就三个，我们就想着，哎，把这三个点的函数值你去求一下，是吧，我们求一下啊，那就是 f 负的一个根三，求一下。好，那么 f 零对零，那么 f 根三， f 根三。好，这也写一下，这样吧，我就先一个个写了啊， f 的 根三的话在这呢， e 的 负负得正了啊，二分之根三是吧，减去 x 三次方啊，它的一个三次方， 那就是加上三倍的根三，减去一个三乘以 x。 这里看一下，有个问题没有，负的根三的一个三四方的话是负的，负的正，这个正的是没问题的啊，减去一个三乘以 x。 嗯，哦，这里有问题，这里应该是个加号，是不是这是个加号啊？你看一下啊，咱们再看一眼啊，刚刚是不是显漏了，它过来的话，不对不对，不对，它是一个减号， 他过来他是一个加号，这是一个加号，这才对啊，不然对感觉有点问题啊。好，这里减去的话是一个加号，那这里这应该是减号了，是吧，加上三 x 吗？三乘以 x 就是 负的根三了，这就是减去三倍的根三。 好，认真一点啊，我得认真一点啊。好，这就是看出来大于零了，对呗，我们再找一个点啊，对应函数值， 继续找啊，咱咱们能够想到的点吗？ f 零的话零，零一代的话 e 的 零次方是一个一。好，后边就是零了。好，这也是大于零。哎，怎么办？ 那我其实我想我我肯定是有了这个星期之后我肯定是想找到三个三个零点的，是不是？我想找到三个零点，那现在 找到两个点函数都答应了，我现在其实就想让他俩之间，哎，就这两个点之间的一个点的函数值小于零，对不对？这相当于啊，你该干什么？你去去给你凑出来的意思啊。 好，那我就想到了，哎，负一这个点，哎，昨天说为什么就想到负一这个点了，要么就是说这大于等于零，那么他俩之间的一个点，你想一想，哎，想到了负一是吧，零到负跟三中间就是整数，整数的话负的一个这个整数，关于整数的话就想到一个负一，是不是负整数啊？ 或者呢？好，我们还是从他这个角度出发，那我就是解一解他的一个注点，是吧？注点是很关键的点啊，要么零点，要么是注点。好，也是找到一个负一啊，负一的话 e 的 负一这里啊，负一，那就是 e 的 二的意思吧，那不就是根号下 e 吗？ 负一减去一个负一，那就是加一个一减去负一减去一个三啊，负一乘以三吗？好，再减三，加一不就是减二吗？减二二我们知道是根号四是吧？好，所以啊，这是小于零的，哎，你会发现啊， 这两个含点的函数值一个大于零，小于零，那么在这两个点之间一定会存在一个零点定力，是吧？你就这样写啊，我们现在已经知道了啊，至少有一个零点了。 那同样，哎，负一到零之间，哎，一一小一大，是吧？这个函数值是一号的嘛，所以在负一到零这两个点之间一定至少存在嘛，至少存在一个点，使得函数值等于零有两个零点了。那我们接下来就是 说了啊，还有后边的啊，后边的这个根三这个点还没有算呢，是吧？你可以写一下，根三的话是 e 的 e 的 负二分之根三次方啊，减去一个三倍的一个根三，再加上一个三倍的根三，这就是 e 的 负的二倍的一个根三，哎，你会发现这个时候是大于零的， 是不是？这大于零的零，这点函数值也是大于零的。那我们还想要找一个点的函数值是小于零的， 找谁呢？往后边再再挪一个呗，往根三后边的话，你找一个整数，整数就好，算一点嘛，是吧，那就是二了呀，根号四不就是二吗？好，找一，找二的话，你看一等二除以二是一啊，负一了， 二得四，二四得八，二三得六，那就是一分之一减去一个二，这很显然小于零。哎，我，我看到了，哎，小于零了，是吧？左边的一个点的函数值是大于零的，所以在根三到二之间肯定至少存在一个零点，这样我就找到了三个，对不对？也就是从这里啊，至多有三个十根，我接下来就是想找到， 找三个十根就行了。好，你就去试验一些点就行了啊，就试试看的太多，找一些关键的点啊，根三呀，负根三呀，零呀，哎，负一呀，或者一呀，然后这边或者找负二呀，右边的二呀，是吧，找几个就行了啊。好，所以啊，你就这样写了啊，有零点， 有零点，存在零零。好，那我们就知道啊，就是在 负根三负一在一块写了啊，哎，对对对的啊，那么在负一 到零之间，好，还有这边，这这这两个函数是对应的函数点对应的函数都大于零的啊，那你写哪个点都行，是不是你可以写零到二，或者是根三到二都行的啊，或者你直接去写零到二，或者根三到二， 好，在这个区间上啊，都至少存在，至少均存在。 嗯，存在一点的函数值，是吧，存在一点， 使得这个我就不写那么多了啊，你也可以详细写一下。哎，存在可塞一啊，可塞二啊，可塞三啊，是吧，使得啊，我们的这个 f， 这个用谁来表示呢？是吧，要不还是尽可能的写简单简写这个清晰一些吧。啊， 好，至少存在一点，这就是可塞一，是吧，哎，使得。 这个你看怎么措辞啊，使得 f 可塞一，好就等于零了嘛，那么在负一到零上，哎，至少存在一点可塞二，使得 f 可在二，哎，等于零，那么在根三二上啊，在区间上至少存在一点，可在三。是的，你考试还是要写步骤啊，平时不要太懒啊。 f 可在三等于零， 那么 f x 至少有三个是吧，至少有三个实根呀，因为我们找到了三个实根，就是说 f x， 哎，至少都是 ok 的 啊， f x 至少有三个 十根，也就是 f x 等于零啊，这个措辞看一下啊，等于零是个方程吗？至少有三个十根方程有十根函数有零点的问题，那么综上是吧？一个至少，一个是至多。那综上那 f x 等于零就是有三 个零点嘛，对吧？有三个零点， f x 可以 可以等于零，有三个十根。或者我们用另一种表述啊， f x 有 三个零点 也记焦点的个数是吧？我都不写那么多了啊。记焦点的个数啊，就是三。好吧，这真的是写不下了，这些咱们再补充一下啊，至少存在一点 这个强迫症啊。至少存在一点存在你就写中文的就行了。好，这个你找点的时候就认真一点去算一下啊，找几个点达到你的目的就行了。

好，我们看这个题，函数的极值点小于零。好， a 的 取值范围。那这一块呢，还是啊，把相关知识点我们再罗索一遍啊， 这个可移的拐点的横坐标和可移的极值点就对应着去记就行了。那这个题呢，我们就看这块了，可移的极值点。可移啥意思呢？也就说我们的极值点可能哎，存在于不可导点处，极值点呢，也可能是存在于可导的点处， 如果它存在于可导的点处，也就是说这个极值点是 x， 零它是可导的，极值点的话，一定是注点，要满足的是，好，这一个啊，这个极值点带到一阶导函数里面是等于零的。一阶导函数等于零的点，我们也称为注点嘛，是吧，它就是注点， 那不可导的点，它也有可能是极值点呀。哎，最常见的一个函数，咱总拿它当例子嘛，是吧，绝对是 x 呀， 绝对值。 x 在 零这个点处是不是取得极小值啊，是吧，零就是它的一个极小值点，你会发现，零这个点呢，是不可导的呀，是不是一导不存在的点，在这个点处，一导是不存在的呀，在这个点处是不可导的。 好，不要忘了啊，不要忘了这种情况。好，那我们呢，再说一下啊，就是说可导的极值点一定是注点，这个呢，咱们也可以把它啊，称为是 这个一阶可导点，是极值点的必要条件。总之呢，如果你这已经确定了啊，这一个点是极值点，并且它是可导的，极值点一定要满足的，就是 f p m 零等于零，也就说一定是 注点处取得，是吧，极值点一定是在注点处取得的啊，好，但是呢，注点又不一定是极值点，这个关系能捋清吗？ 也就是说我们可疑的基址点啊，就可能是在我们的基址点，可能是在柱点处取的，可能是在不可导点处取的，那，那，那到底啊，哎，这些我们把这个可疑的点都给他找到啊，找到之后你再去根据充分条件去判定一下好， 咱们的这些可疑的点到底是不是极值点，你可以根据好这个取得极值的这个定义啊，是吧，极小值点的定义啊，还有第一充分条件啊，第二充分条件，第三充分条件去判定一下这些可疑的可疑的极值点，它到底是不是极值点，是吧？哎，这是这些都是后人嘛。 你注点的话，你一个一个函数啊，可能有很多个注点，就一的一阶导函数等于零的点不就是注点吗？那这些注点到底是不是极值点呢？根据充分条件，根据定义啊，去判定一下是不是。 好，但如果你已经确定了这个点，它就是极值点，它还是可导的，一定要满足的。就是一阶导函数啊，它带到一阶导函数里面等于零，这个在后续的咱们证明题里面啊，它有时候会是一个小小的条件，记住啊， 好，我们看这个题，哎，他说极值点，那么你这个极值点是不可导的点呢？还是可导的点呢？我们求一下导函数，看一看是吧， 看一看，负的 a， x 方负 a 好 减去一个 e， 那 你会发现啊，他在每一个点处都是可导的吧， x 是 不是在负无穷的重无穷上去值啊，对不对？他定域吗？定域啊， 每一个点处都是可导的呀，是不是导数还能求出来呢？所以他没有不可导的点，所以这种情况不用看了，他的后人只能是，哎。在注点处 后，他的后人就是注点了是吧？这个极致点的后人就是在这个就是注点了，就只能是注点了。所以我们去找一下注点啊，我们另一阶导函数等于零好去得注点， 那我们得出来的注点呢？他，哎，他只有，可他是可能的基值点，但他不一定是基值点。那他到底是不是基值点，是不是得根据充分条件去决定啊？但如果你只解出来唯一的 一个注点的话，那你对吧？你作为一个填空题，作为一个选择题的话，你唯一的一个注点，那一定就是基值点了。 其实你按理你猜一猜，他不可能解出来好几个注点。你解出来好几个注点，我还是吧，你里面给的信息很少，我，我这个还要用充分条件，我或者用这个极致，是吧？极致点的一个定义能去判定的话，这个这个工作量就太大了，而且你给的条件太少了，都判定不出来哪一个注点才是极致点。 所以我猜测啊，它就是有唯一的一个注点，而这唯一的一个注点就一定是基值点了，对不对？我们刚刚已经说了啊，这个题目不可能在不可导点处取得基值点了，那它一定是在可导点处，那可导点处一定是在注点处，而这个注点呢？又只有唯一的， 那只有一个注点吗？它一定是在这个注点处取得基值点了啊。嗯，把这个唯一的注点找一找吧。零一当然等于零啊。哎， 好，他等于负 e 是 吧？我想把 x 解出来，那是不是把负 a 除过来呀？好，除一个负 a， 你 一旦除一个东西，这个东西就不能等于零。这个记住了啊，我们后续也会经常见到这样的题啊，你一旦除一个东西，特别是极数，那一张数一数三，同学，这东西不能等于零。好，那还有等于零的时候，你待会别忘了去讨论一下啊，单独看一下负一除以， 应该是除以，这是 e 啊，两边取对数，那就是负。 这是写的啥呀？重来啊，搞错啊，负 a s 取对数，那是 lone 的 负的 e 比上一个 a， 所以 啊，这个唯一的一个注点，你会发现啊，就来了，就等于 lone 负的 e 比上一个 a 除一个负 a， 是 吧。哎，唯一的注点就在这呢， 就一个，你就一个注点嘛。好，你一定就是极值点。你不再解释了吧，你一定就是小于零的嘛。待会我们把这个 a 的 取值去求一下。那还有啊，这个 a 等于零， a 等于零的时候，你看一眼呗， e 的 零次方就是个 e 嘛，所以就是 负 e x 加上前面这个 e， 它是一个直线呀，直线怎么可能有极值点呢，是吧，我不管你是什么样的啊，这个只要你是直线，不可能有极值点呢，是吧？我不管，你是表示的是局部的一个性质，它是局部的一个老大，局部的一个老小， 它在局部，它不可能是最大的，也不是也不是最小的，就没有极值点。或者你再去复习一下啊，咱们再根据这块知识点再去复习一下。好，你是一个函数是吧？那你要想 找一下你的极值点的话，要么是不可导的点，要么是可导的点，你看，我们求一下导，看一下它导函数直接是一个固定的值，而它没有不可导的点，每个点都可导的 好，那么你要是可导点的话，一定在注点处取得。注点处是啥呢？因为一阶导函数得等于零的点，你一阶导函数就是一个固定的值了，是吧？怎么可能再等于零再解出来，我们再让一阶导函数是吧？让等于零解出来一个点呢？解出来这个注点解不出来，是不是这是一个固定的一个值了， 你从这里也可以。哎，再去复习一下知识点啊。好，这种情况不用看了， a 等于零，不可能的啊， a 不 可能等于零，那我们就这里去解一下 a 的 一个去式法呀。好，这是零，负的 e 比上一个 a 除以一个负的 a， 它俩相处小于零，要么是你大于零，要么是你小于零，是吧？应该是这种 这种情况，或者分子小于零，分母大于零，是吧？ 其实眼尖的同学呢，在这个地方是可以先把 a 的 一个范围粗略的定一下啊。怎么定？你看指数函数呀，指数函数你得反应快一点，指数函数大于零的，指数函数是大于零的，那你可以看出来 a 的 一个范围是不是小于零的， 因为 e 是 大于零的，负 e 是 小于零的，小于零的乘一个小于零的，才有可能是大才才是大于零啊，不是才可能才是大于零。好， a 就是 小于零的，你看这里这种情况啊，负 a 的 话，小于零，这里就得出来的是 a 大于零，是吧？这，这其实就已经不行了啊，这，这种情况下，就这一个情况，直接直接就舍掉了，我们看这种情况好， a 呢，就是小于零，是吧？这，这个其实就是我们说的这种情况 好，还要满足啊， loin 是 小于零的，我们知道 loin 的 话是这样的嘛，它想小于零都是一个一，小于零的话就是定域嘛，定域的话是零到一之间嘛，它保证啊，函数小于零的嘛，所以就是负的 e 比上一个 a 要在零到一之间就满足题了。这边是 啊，横，这个是横成立的一件事情，是吧？因为 a 小 于零啊，它满足两个，两个是咋？ a 小 于零，小于零的乘一个负号就是一个大于零的，再乘一个大于零的，它就是大于零的。这块是严格成立的一件事，不用管了，我们管这块，把 a 去求出来。 好，你看啊，负 e 我 们除一个 a， 我 们想两边都乘一个 a， 你 乘一个 a， a， a 是 小于零呢，乘一个小于零的话，一定是不等号要变号了，是吧？这个 a 小 于号变大号了啊。好，都乘一个 a， 那 你这 a 不 就求出来了吗？ a 是 小于负 e 的， 这里 a 是 小于零的，同小取小是吧？你看这个这样去看的话，同小取小啊，所以 a 是 小于负 e 的， 所以就写 a 小 于负 e 或者。哎，我们通常情况下写成这种区间的这种小括号的形式啊，负无穷到负 e 好， 这样写也是 ok 的。 那有同学说我眼不尖，我这个没有看到是吧？我没有看到 a 小 于零，那我就这样，我把这种情况也看一下，你会发现啊，这，这也确实是是矛盾的啊，不可能满足他又满足他。 我们看你想零小于零的话，有自变量啊，自变量是不得大于一啊。对，自变量得大于一，也就是负的 e 比上一个 a 得是大于一的，而我要满足 a 大 于零。哦。 a 大 于零 好，乘一个括号就是小于零的，对吧？这也是大于零的。那整个的计数小于零的小于零的怎么可能大于一呢？你不可能又满足你又满足你，这是不行的。这这种情况不用去判是吧？不管你这里看没看出来 a 小 于零，你都是能够确定出来 a 是 小于负 e 的 啊。 好，把这个相关的知识点啊搞清楚了。搞清楚了什么是必要条件？就是充分条件，可疑的及时点。哎，也就是他的备选点嘛， 对不对？他的后人，他的后选点极有可能啊。是在这两种情况，极有可能是不可导不可导的点，或者是带注点出去的，没有其他的点，都不都，都没有资格作为这个及时点的后选点，是吧？都没有资格。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题，函数连续二阶导函数如下，二阶导函数，求曲线的拐点的个数，这样的题目很简单，记住它的一个流程，第一步啊，先去把可移的拐点的横坐标找一找， 找完可移的啊，这个拐点，那么我们再根据定义或者是充分条件判定这些可移的点是不是拐点，是吧，跟这里啊，判定基值点是一样的，对应着去记嘛。 好，这个我们也称为啊，这个必要条件是吧，拐点的必要条件，如果某一个点他是可导的，并且他是拐点的话，他一定要满足。二阶导函数是等于零的，是不是？他也有可能啊，拐点也有可能是不可导的点，所以先把啊，我们先把这个二阶导函数等于零的点找出来三个， 他们很可疑，给他找出来了，有没有不可导的点呢？二，二阶导不存在的点，有零这个点 是吧？你看零这个点啊，这左边，你看这个二阶导函数啊，去正无穷了吗？是吧？右边啊，它去负无穷了，所以在这个点处，它是吧，左右导出是不存在的啊，这就不可导 好四个可疑的点，那它它们到底是不是拐点呢？你可以根据定义拐点的话，简单的一句话啊，它就是改变凹凸性的一个点，是吧？拐点是 拐点是改变凹凸性的一个点，也不能说是改变凹凸性的点吧，应该是说，哎，拐点呢，它的一个左边和右边函数的凹凸性发生变化了，是不是？哎，这样去表述啊，这个都知道 好，或者我们根据第一充分条件，因为这给的是二阶导函数的一个图像呀，那么如果二阶导函数在这一个点 的，哎，左右两侧函数啊，二阶导函数的一个符号发生变化了，发生变化了，其实就是凹凸性，哎，变化了，发生变化了吗？是不是？ 好，所以我们就看啊，这个点的左右两侧的二阶导函数有没有变号的问题。这个第二第三冲调线其实用不上了，是吧？好，我们就用啊，第一冲调线就行了。 那先看 x 一 这个点啊，左右两侧，你看左边是负的，右侧是右边啊，是正的，所以左右两边二阶导函数符号发生变化了，那这个点就是拐点 x 二的点呢？左右两侧一正一负，是吧？一负一正啊，它也是拐点 x 三呢，你看左边右边是吧，这个 二阶导函数符号没有发生变化，都是正的，他就不是零。这个点呢，左边二阶导函数的一个符号是是正的，右边呢，二阶导函数符号是负的，所以他也发生变化了， 所以三个呀，三个拐点，对不对？这个就很简单啊，记住他的一个做题流程就行了。好，这个题讲到这了。

好，我们看这个题， f x 啊，在 a 到正无穷上面，一阶导连续条件还是挺充分的啊。好，这给了一个极限啊，等于零，这是 f p x 哦，你先观察一下选项， 看到了 f 减 f， 哎，有同学想到了什么呀，拉格朗中定义是不是好，又有一些同学呢，看到了 f x 呢，是一个抽象的函数哎，抽象的函数，我们说了，你可以具体化，是吧，你具体化也就是特殊函数法。好，咱们可以看一下啊，哎，就是特殊函数法， 找一个函数满足题意，而这方法的话，其实是用来排除选项的呦，它不是用来选选项的，是排除三个选项。好，排除法其实， 那你找一下哪个特殊函数哎，满足提议呢，其实随便找都行啊，一阶导连续的，你看这些初等函数都是 ok 的。 看到了啊， f 加加的减的哎，可以合到一起的函数，是不是 loon loon x 啊？你想一想，哎，这个我们知道， loon a 加 loon b， 这不写成，哎， lonely a 乘以 b 了吗？是吧？ lonely a 减， lonely b 写成 lonely a 除以 b 了。所以啊，哎，要想到这一块啊，出现相加相减是吧？对，对数啊，相加相减，给它写成真数相乘 相处的一个问题啊，变形。好，你看一下 a 选项，我们 f 二 x 加上 f x 啊， f 二 x 就 把这里的 x 换成二 x。 好， f x 呢，就是 long x， long 加 long 好， 写成真数相乘了，那就是二 x 的 一个平方。我们现在是 x 趋正无穷，它趋于什么是吧？ x 趋正无穷，那很显然， long 这块趋正无穷呀， 这就排除了 a 选项吧，它说零啊，错呀， a 是 错的了啊， a 是 错的了，排除啊。好，我们再看一下 b b 啊， 这个 f 二 x 减去，现在就变成了相减了， 相减不就是，哎，这里除以这里了吗？是不是就变成了 low in 二 x 除以个 x 啊，这就是一个二的呀，你为什么说等于零呢？好， b 选项我们也给排除了，是吧？ c 选项 c 选项 f x 加一，加减，哦，减去 f x 好 x ln x 加一，这就是它了， f x 就是 它，相减就是相处， 它俩相处啊，它相处不就是一加上 x 分 之一吗？ x 去无穷，这就去零了，那 ln 一 去零啊，是吧？去零 c 是 对的，但暂时不要去选，我们是排除选项啊，排除三个选项，选出一个对的，它可能就对了，对吧？再看一下 d 选项， f x 加一，加上 f x 好， 也就是他加上他，他加上他的话，就可以写成 他跟他相乘了，真数相乘，那就变成 x 平方，加上 x， x 趋正无穷呀，这整个趋正无穷呢，你看他说的去，他是去零的，错了错了，所以 d 也排除了，我们举了一个例子就可以排出三个选项了，那 c 就是 对的， 是吧？哎，你这个例子的话，你自己平时的时候，哎，就是总结，哎，这个记一下，是不是该记的记一下，你看到相加相减想到 no 呀，是不是好，或者呢？有的人说，哎，我，我想到了这个根号 x 也可以，你看，如果是根号 x 的 话， f 二 x 加上啊 f x 一 些常用的例子，你总结啊，记一下， 二 x， 那 就是根号下二 x， 是 吧？加上根号下 x， x 去正无穷，那他都是去正无穷的呀，是不是去正无穷的，所以 a 也是错的？好，你看 b 选项 b 选项呢？出现相减了，为什么要想到根号？这里也是有一点点依据的啊，出现相减的话啊，根号减去根号，那就可以有理化呀，是不是？哎，根号减根号，你得哎， 可以用油理化。所以说它也是有一点啊理论依据的，为什么会想到它？好，那看一下。 f 二 x 减去 f x， 好， 那就是根号下二 x 减去，是吧？根号下 x 呀， 好，这就是无穷减，无穷求极限了是吧？ s 去正无穷的时候，哎，这个时候就有理化了呀。所以啊，这个支点串到一起啊，有理化，那就是根号三二 x 减去 x， 分 子分母是不是都乘一个相加的呀？根号加根号好，底下也是啊， 根号加上一个，根号上面有理化了之后，那就是二 x 减去一个 x， 是 吧？哎，减去一个 x 就是 一个 x 底下好，底下你会发现啊， x 趋于正无穷的时候啊，它的速度快，因为它是一次方，它下面这两个啊，它都是二分之一次方，所以它俩的速度太慢，就可以忽略给它当直接当成一个常数，是不是？所以整个的话，其实就是趋于正无穷， 就能能能能知道吧。哎，就是咱们说的啊，抓大的一个思想，所以啊，他说零也错了呀。 b 又排除了，是吧？ c f x 加一减去一个， f x， 那 就是根号下 x 加一减去一个， 哎，是不是对的啊，减去一个根号下 x， 这还是啊，无穷减无穷嘛。无穷减无穷，出现根号了，自然想到有理化，是吧？ 嗯，我们分子分母啊，都乘一个根号，加上一个根号，那分子就变成 x， 加一减去 x 就是 个一了，它是区域无穷的，所以分之一，那就是个零， c 可能就正确了。先不选，先看一下 d 选项， f x 加一，加上 f x 好， 就等于根号加 x， 加一，加上根号加 x， 这都是区域无穷的，加到一起也是区域正无穷的，是吗？这个很好看出来的，不用油里画脸 好，那他说零也是错的，是吧？ d 也排除了，所以你举哪个例子，你都可以排除三个选项，把 c 就 选出来了。那我们呢？这个题你不用啊， 不用透出函数法的话，我们观察了，有一阶导函数，有 f 减 f 出现，有 f 减 f 啊， b 和 c， 你 要想到什么？咱们前面说过了， f 减 f， f 撇 x 与 f x 出现的时候，想到拉格朗中值定律，是吧？拉式定律。你看一下 b 和 c 啊，这，这个只能看的，看一下 b 和 c， b 选项，那 f 二 x 减去一个 f x， 那 就等于 f 撇可塞。可塞呢，是介于 x 与二 x 之间好，然后二 x 减 x， 那 就是个 x， 是 吧？可塞也是介于 x 与 二 x 之间。我们现在求极限啊， x 趋正无穷，极限趋正无穷，趋正无穷，可赛也趋正无穷。我们知道啊，它趋正无穷的话，这块极限是零，而 x 趋正无穷。 好，零乘以无穷。这类型的极限我们称为什么呀？它是七种未定式之一啊。那既然是未定式，你这这个极限的结果是不确定的意思啊，那你怎么给我确定下来是个零呢？那我肯定是不能选你的，是不是看一下 c 选项好， f 减去一个 f， 那 就等于 f 撇克三乘以 s 加一，减去一个 x， 那 就是一个一，是吧？哎，这个时候啊，你看 x 去，这个正无穷，我们两头求一下，去一下极限嘛。 x 去正无穷，求它的极限不就是求它的极限吗？ f 撇克三，而我们可三是介于 x 与 x 加一之间，它去正无穷，它也去正无穷。可塞不就去正无穷吗？是不是 x 去正无穷相当于可塞去正无穷啊？这不就是题里面的意思吗？好，它就等于零，它题里面已经给了，所以选 c 就 行了。 对，这个我们已经通过拉朗的中定义从 b、 c 里面选出来一个正确选项了。那你 a 和 d 你 就不用去纠结了。考试的时候是吧？那平时的时候我们纠结一下，那你就想把它排除掉。那你就说是举这个特例嘛？ 想排除就举例子，把它排除了，想去选谁，那就是招，对吧？定理啊，定义啊，去把它证明出来，证明出来。好，梳理一下这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊， f x 在 b 区间可导 c， 在 a 到 b 开区间内证明啊。第一问，存在一点可塞，使得 f c 减 f a 等于 f 撇可塞乘以 c 减 a。 哎，读完之后我们发现这不就是拉格朗日中指定律吗？那有同学就说了，哎，由拉格朗日中指定律得不行的啊， 这现在相，相当于是让你去证拉格朗而中指定律而不是某一个题出来之后。好，我们在证明的过程中用到拉格朗而中指定律。如果是用到拉格朗中指定律，我们直接就是由拉格朗中指定律可以得 a a a 现在是让你去证他了啊，让你证定理本身，你可不能直接由我们已知的拉格朗中定理的一个已经证得的这个结论去用是不行的啊。已经证得这个定理去用是不行的啊。好，那应该用什么定理去证呢？我们 这个学拉格朗中日定力之前，你想想，哎，学过什么呀？学过罗尔定力，咱们是不是先学的罗尔定力啊？哎，那先学的这个定力就是可以用的啊，就可以用，我们是用罗尔定力去证拉格朗中日定力的 好，并且我们其实也清楚的知道啊，罗尔定力其实就是特殊的，拉格朗日就是拉格朗日中日定力的特殊情况，对不对？我们再复习一下这一块啊， 看一下罗尔定律好， b 区间连续开区间可导好两个点的一个函数值相等，两个点的函数值相等。好，那么一定，哎， 能够找到一点可塞在这个 a 到 b 区间，使得 f p 可塞等于零。几何意义是什么呢？几何意义就是说，你看啊， f a f b 函数值相等这一连的话，好，这一根线的一个斜率， 割线的斜率是不是等于零的呀？好，我们在 a 到 b 区间上是能够找到一点可塞，使得这一点切线的斜率也是等于零的。哎，这就是解结合意义是不是在 a 到 b 区间内是有水平切线的？你看，拉到中指并里呢？好， 这前面这都是一样的啊，我们，哎，在 a 到 b 区间至少能找到一点可塞，使得什么呀？哎， f 撇可塞等于 f b 减 f， a 除以 f b 减 f， a 除以 b 减 a， 啥意思啊？好， f a 在 这， f b 在 这，它俩一连接的话，是不是，哎，一条割线啊，我们的称为一条割线啊。 好，这割线的话，是不是，哎，有一个斜率啊，比如这个割线斜率是个二分之一吧。好，我们在 a， 拉格朗中立理说的是 a 到 b 去减少啊，我们能够找到一点可塞，使得这一点的啊， 切线的斜率就等于这条割线的一个斜率。哎，这就是拉格朗中立定律，你看啊，劳尔定律的话，就是切线斜率是零吗？拉格朗中立定律，那没有要求切线斜率必须是零， 对不对？哎，这，所以说啊，这个罗尔定律其实就是朗朗中立理的特殊情况嘛，我们去正它的话，就是用它去正啊。那我们，哎，用罗尔定律去证明的话，关键点在于什么呀？找辅助函数是吧？找辅助函数 我们看一下第一问吧，先。好，待会再看第二问了啊。好，对于证明题的话，我们看到中值点啊，可以给它改成 x， 这样便于分析问题啊，便于分析问题。你看，我们给它改成 x 的 话啊，这个 c 减 a 呢，可以除过来，哎，你不除也行，我们先除过来啊， 除过来，你的要求分母不为零，当然不为零啦， c 是 大于 a 的， 所以我们知道 f p x 就是 f c 减去一个 fa， 是 吧？除一个 c 减 a， 好，你看我们构造辅助函数啊，你这个相等的话，我们把它可以移到左边，就右边移到左边，这就变成减号，是不是就等于零了？好，那大 f x 是 不是就可以构造出来了？就是哪一个函数求导完之后是它呢？哎，这很好，看出来吧。好，这是第一个想法啊， 证明，哎，不止一个想法啊。好，我们可以构造辅助函数，谁求导等于它呀？想一想，那不就是 f x 减去一个 f， 这个后面添一个 x 不 就行了， 是不是？如果你能够说明出来，哎，两个点的一个函数值相等，那么我们就。哎，由罗尔定律就可以知道。好，就存在一点可塞式的大 f 撇可再等于零，是不是？哎，大 f f 撇可再等于零，不就它等于零吗？就这样的一个倒着分析的一个流程吗？好， 那构造出来之后，哎，一般来说啊，你思路对的话，两个端点的函数值那就是相等的，你就直接写行了，或者你不放心，你先求求它，再求求它啊，我们求一下啊， fa 的 话，哎，这个是 c 是 吧？你看我们两个点是 a 和 c 啊， fa 减去一个，好， 把 x 现在换成小 a 啊，换成一个小 a， 好， 看一下啊，等于多少啊？这个有 fa， 这有 fa， 咱们是不是可以这样啊，把 fa 提出来啊，提出来，这就是一个一， 一的话，你看这是减减，那不就是加吗？加上 fa 提出来了，这还有一个啊， a 除以一个 c 减 a， 对 吧？ 好，这里啊，注意，还有一部分，减去一个 f， c 除以一个 c 减 a 乘一个 a， 你 这里先先别写这个了呗，咱先一点点的写啊， 不省那么多步走了啊。好，你可以化简一下这一块的话， c 减 a 分 之， c 减 a 加上一个 a 吗？这就没有了啊，那就是 c 除以一个 c 减 a 乘一个 fa， 后面抄过来啊。 c 减 a 好， 再看一下 f c 好， 把 c 一 带嘛， 认真算一下呗， c 一 带只有 f， c 只有 f， c 提出来，提出来好，一减去 这个系数是吧，后面加上，注意是加啊。好，这是通个分呗。 c 减 a 又减一个 c， 你 看还剩一个负的 a 好， f c 加上，你看跟跟上面是不是一样的呀？一样的啊，你看这里一模一样，这里 就是。哎，就由罗尔定律不就正出来了吗。好，哎，也写一下步骤吧，大 f x 在 好 a 到 c b 区间上连续 开，区间上可导由罗尔定律。哎，我不给大家省那么多，同学们也得仔细写一下，平时要练一下这个解答步骤，不要太懒啊。 可塞好 a 到 c 使得，这是使得啊，我就省一点事了啊。大 f 撇可塞好，它就等于零是不是？这个大 f 撇可塞其实就是它嘛。啊，我们给写过来啊， f 一 撇可塞减去好， 除以 c 减 a 等于零，也记记就是你啊。好，我再给写一下吧， 这就整完了。这是我们 a 令的辅助函数啊，用罗尔定律。那辅助函数维不维一呢？不维一啊，不维一我们还可以有别的啊。好，我们刚刚是把 c 减 a， a 给挪过来是不是？你不挪过来也行啊，你看 f e p x 啊， 把这里啊， c 减 a 斜过来，我们只是一个项，得了啊，一个项把它移过来， 减去一个 f c 加上一个 f a， 可以 吧，等于零嘛，好，你看啊，哎，这一块你只你看着这一块吗？你看着这一块的话，好，我们去想的是什么，谁求导等于它，现在你看到这一块也是一样的，谁求导等于它，这也很很好写出来，是不是 因为我们可以拎这个是分析的过程啊，你就直接这是，这是分析的，这是写写步骤了，谁求导等于它呢？那不就是 f x 乘 c 减 a， 你 可以一个，这是一个系数，写前面是不是， 哎，这是不是一个常数吗？对不对？加上一个 fa 减去一个 fc 好，乘一个 x， 这不就乘行了吗？你看他求到是不是等于他的呀，这一撇是不是，哎，对，求啊，也可以啊，你去验证一下，大 fa 也确实就是等于大 f c 的 啊，我就不给大家 再去仔细写一遍了啊，一个道理啊，就是一个用罗尔定律，只不过你去从哎哪一个角度哎去分析，把这个大 f x 啊给他找出来。 除此之外啊，我们还可以从几何上去构造出来这一个辅助函数啊，从几何角度也是很容易的，同学们需要掌握一下啊。从几何角度 好，几何角度，我们刚刚说到啊， a 跟 b 连接的话，哎，我们称为这条线是割线啊，我们把割线方程写出来，割线方程 啊，由，由于咱们这个题的话是 a c 啊，我们这里改成 c 了啊，好，各键方程都会写吧，点斜式啊，如果我们取的点是这个点， a f a 这个点吧，点啊，斜率的话会写吧， f c 减去一个 fa 除以一个 c 减 a 嘛，点斜式啊， y 减去一个 fa 就 等于 k a 的 k b 的 什么 x 减去的 a 嘛？好，我们再去整理一下啊，把 f a 挪过来，好再抄一下啊， 这个都会写啊，都会写好，那我们的大 f x 怎么令出来呢？ 好，你看啊， a c 这两个点，看到没有，我们的一个曲线的话，和这个割线在这两个点处是相交的呀，对不对？在这个点的话，我们的曲线 好是是过这个点吗？割线也过这个点哎，同样它也是，就是相交的意思，相交的话就好搞了啊，我们大 f x 就 出来了，就是曲线减去这个割线方程就行了。为什么呀？好，割线方程我写过了啊， 为什么？其实已经解释过了，那两那两个点啊，是相交的，他俩一减就等于零吗？函数值一减不等于零了吗？对不对？我们就找到了 两个点的函数值相等呀，因为相等就等于零吗？你看大 f a 是 不是等于大 f c 是 等于零的呀？你想想嘛， a 一 带 fa， 我 们说了 fa 就是 就在这呢，就是它呀，是不是？这一块的话， 函数值也是 fa 啊，对不对？你 a 一 代的话，你看 a 减 a 等于零了吗？ a a 这个点，一代对于这个割线的话，它也是 fa 这个点吗？是不是？哎， a 一 代 它跟它是相等的，一减就是零啊， b 一 代它跟它相减也是零啊，因为它们两个 现在这两个点是相交的呀，对不对？函数值啊，一减就是零，所以我们就找到了两个点的一个函数值相等嘛，然后有罗尔定律，对不对？剩下都是，都是这样的，一个步骤都是一样的，这些套话一写就行了， 是不是一求导啊，一求导你发现啊，其实就是就是就是他啊，咱们写一下吧，有罗尔定律是吧，存在一点 啊，可塞式的大 f 撇可塞等于零。好，大 f 撇可塞，你看 a 一 求倒啊，再求倒 f 一 撇可塞啊，后面的，你这是常数求倒等于零了啊，这边这里，哎，跟它一乘是吧，这个 x 求倒是一嘛，所以就剩一个它了。好， f c 减去一个 fa 除以一个 c 减 a 等于零，这个不就是这个东西吗？是不是？哎，只不过是我们从几何上去看了啊，好了解啊，这三个方法啊。 接下来我们看一下第二问啊，第二问，你大眼一瞟的话，哎，这跟第一问不差不多吗？那我直接就由拉格朗日公式定义，因为第一问已经证过拉格朗日公式定义了，那么第一问是可以服务于第二问的。同学们，记住啊，第一问一般都要用于第二问的， 那已经证完了拉式定义，第二问直接用就行了。好，有同学说，我直接在 a 到 b 区间上拉式定义好，就得到它了。好，你这个时候啊，你注意 a 在 a 到 b 区间上， 在 a 到 b 区间上。我们看一下第一问啊，这个可塞呢？可塞在 a 到 c 之间， c 在 a 到 b 之间啊， c c 在 这，而我们的 a 它在 a 到 b 之间呀， a 到 b 之间，那你 a 它有可能在这啊， 是不是你并不能说明出来 a 它是大于这个可塞的，所以你不能够直接拉屎定律啊。好，当然你在正的过程中想用这个可塞的，所以你不能够直接用了啊。那这个时候怎么办呢？好，同学们分析一下啊， 出现了两个中指点，那这就是双中指问题啊。双中指问题，咱们常用的一个方法就是分区间啊。分区间，你看第一问啊，我们已经知道了 c 在 a 到 b 之间吗？这个区间上已经用过一次拉士定力了，那你自然就想到这个区间上，我也用一次拉士定力。 好，那你先拉一拉，试一试是不是拉完之后我们看看能不能往我们的目标去靠拢嘛。你先分析分析嘛。好，我们写一下啊，第二问。 第二问的话，我们就是由第一问啊，第一问，你已经用已经证了拉式定律，我们就可以，哎，由第一问得了啊。好，我们就在 在这个 c 到 b 上。好，至少能够找到一点这个别用可塞了啊，用 a 特一啊。好，在 c 到 b 上，使得 f b 减去一个 f c 就 等于 f。 什么呀？一撇 a， 它一乘一个 b 减 c。 好， 我们的目标是不是它呀？好，它的话我们整理一下啊，你看来用红色的吧，还是 f 一 撇 a， 它乘一个 b 减 a 等于 f b 减去一个 f a 是 它吧。 那你第一问啊，你看你，你第一问，一般啊，它要用于第二问的，所以你把它也拿过来，哎，这你用一次拉伸定律这你用一次拉伸定律。你两个放到一起嘛，对不对？你放到一起，看能不能整理成咱们想要的这个格式嘛。第一问，你 整完了，你得用用啊。啊，一般都要用的啊，你看由第一问，哎，得到了这个之后，把第一问的也拿过来啊， f c 减去一个 fa， 好， c 减 a， 它俩整理一下嘛，你这是一个一式，这是一个二式的话，你你看看一加的话， c f c 是 不是加掉了，哎，我们这里本来就没有这个 f c 没有 c 的 事，是不是加一加你看就出来啊，这种格式了啊，加一下的话就是 f， 什么呀， f b 减去一个 fa， 好， 它加上 b 减 c， 这是一个 a， 它一啊。好，你看一下这个跟它像不像了呢？ 这是 f b 减 f a 这里有了啊，我们想要的是啊，它得等于它，你至于这个啊，你可以把这个 b 减 a 挪一挪啊，这个 这个 b 减 a 放到这里时候，你会发现有时候是非常碍事的啊，你挪到这里，这我也除一个 b 减 a， 好， 这也除一个 b 减 a， 这也除一个 b 减 a。 我 给大家写，好看一点啊，这个 c 减 a， 这个括号就去掉了啊，我把这个 哎往后写，就它写到后面，再看着舒服一点啊，包括这里，我可以往后面写啊，把这擦掉，好吧， 好，你看啊，我们的一个目标是不是正哎， f 撇 a， 它是等于哎，它除以一个它呀，是不是它除以它已经出现了啊，现在就是这个 a， 它，你怎么取啊？ 好，这怎么办呢？这里出现了 f 撇，这里出现了 f 撇。好这一块啊，同学们，哎，可能没有复习到啊，就是考到了这个导数介值定律，你看出现了啊， f 撇啊， f 撇，这里牵涉的一个知识点就是导数介值定律， 我们复习一下介值定律啊，确实有一点小偏啊，哎，同学们也也可以了解一下，介值定律的话咱们都知道吧，哎， f x 在 b 区间上连续的话， miu 介于。哎， 它俩之间的任意识数的话，我们在 a 到 b 区间上至少至少能找到一点可猜，使得 f 可猜等于没有，是不是 导数介值定理呢？我们不要求啊，这个导函数是连续的啊，只要求 f x 可导就行了，这个证明就不给大家证了啊。就是你，就你这个介值定理，知道啥意思的话，你知道有导数介值定理，这这个定理就行了啊。好 啊，这两个啊，两个端点的导数值不相等， miu 呢？哎，介于这两个端点的导数之间的话，好，那么存在至少能找到一点可塞啊。是的， f 撇可塞是等于 miu 的， 记住是很好记的，是不是你戒指定律知道了，这不就是一个导数的一个戒指定律吗？好，那我们去看一下啊，怎么去正出来呢？ 我们观察一下啊，这里有一个岛，这里有一个岛的话，那我们得去讨论一下啊，他俩的一个大小关系。为什么要讨论他俩大小关系呢？你去看一下系数啊，你看系数啊， c 减 a， b 减 a， 他 俩的一个系数如果相加的话，刚好等于一。哎，很神奇啊，这是专门凑好的啊， c 跟 c 消掉了， a b 减 a， 是 不是等于一？哎，我们比较一下他俩的一个大小关系啊，如果他俩直接相等的话，直接相等，那 因为它俩是相，它俩是相等的啊，所以我就可以把 f 一 撇可塞提出来嘛，提出来之后，那就是它跟它相加了，对不对？它俩相加刚好等于一嘛。好，所以这右侧就是 f 一 撇可塞，我们说 f 一 撇可塞就等于这个时候，如果它相等的话。好，你看我们这个时候取 a， 它 就等于这个 a 大 于一不就行了吗？ a 大 于一，我们确定的它就是大于可塞的，对不对？所以我们如果它俩相等的话，就知道能够在 a 到 b 区间上啊，找到一点 a， 它就是就是它这个时候啊， 好，是的，你看 f 一 撇 a， 它就等于它，是不是？好，那如果它俩不相等的话，不相等的话，你再去看一下。哎，你可以设一下它小于它，或者是它大于它，你正出来就行了，我们这里啊，主要用到一个导数，接着定点啊，放松一下就出来了。好，咱们写一下啊， 这个系数啊，等于一，不知道同学们看没看出来啊，我们这里啊，你比如说我们就拎成我们这里前面这里写的一个喵的话，这个你可以在草稿上写就行了啊，便于大家去理解而已啊，好，这个时候就讨论了啊，如果 f 一 撇可三就等于 f 一 撇 a 它一的话，好，那么咱们就知道了， f b 减去一个 fa， 就是 这个 miu 啊，这个 miu 就 等于 f 一 撇可三乘一个。哦，你俩相加，咱也写一下啊， 加上。好，你俩现在相等吗？你把谁提出来都一样啊。啊，这是一个一了吗？就等于 f 一 撇克三，因为你就等于 f 一 撇 a 它一嘛，好，我们现在就取 a， 它就等于 a 它一，因为 a 它一，我们确定了它是大于这个可塞的是不是？好，它是大于可塞的，哎，就满足了啊，你注意啊，你落脚点在落脚成这个样子啊，哎，咱们再把这个 b 减 a 挪过去就行了，是不是这小细节了啊，别记 好存在一点 a 它啊，再 a 到 b 上。是的，给大家写详细一点啊， f b 减去一个 fa， b 减 a， 并且我就是大于你的啊。好，如果 f 一 撇可在不等于呢？不等于它 不等于他的话，有两种情况吗？要么大于，要么小于，像这种情况的话，你就不妨设一种情况证出来就行了。你比如说我们设 f 一 撇可塞小于或者大于都可以啊， 那你在这种情况下你挣出来。哎，这个事挣出来之后，你就不用再说另一种情况了啊，另一种情况他同理的事，咱们在这个数学证明上是没有必要再去挣这个小于的啊，一种情况挣完这个就就挣完了啊。好， 现在的话啊，你看出现大于号了，或者你是小于号也也一样啊，都是这个不等号，不等号出现的时候，我们肯定要想到是 怎么样放松呀，对不对？放松啊，好，你看，我们证明的是想去证 f 一 撇 a， 它等于它吗？你得去看这个十字呀，对不对？你看这个十字啊， 好，这个 f 一 撇可塞在这呢啊，你看，我们需要一个系数，你就去凑这个系数呗。好，那我们自然就得到我，我来一个系数啊， c 减去个 a， 这个又乘一个它， 好，这个东西前面乘一个，它是不是就大于后面的这个啊？它也乘一个这个系数啊， 为什么？只要这个系数大于零就行了？ c， c 是 大于 a 的， 对不对？ b 是 大于 a 的， 那这是正的，上下都是正的，一除肯定也是正的啊，乘一个正的系数不等号是不变方向啊，这没有问题的。好，你看一下， 我们要把它就是它搞出来啊，你看这一块的话，已经，哎，已经有了，是不是，你再加一个它吗？好，加一个它就会出现我们说的这个 miu 了啊。好，再加一个就把这个后面抄过来就行了啊， b 减去 这样了啊， b 减 c 除以一个 b 减 a， f 一 撇 a， 它一。好，这边也加一个它啊，因为我们要去凑出来这个 miu 吗？是不是 miu 介于啊谁跟谁之间吗？好， 先去盯住左边的，我们先去盯住左边的，给它成个细数，待会再去盯住右边的，成一个细数，正好放两边啊，两边都有。 好，你看一下这一块的话，我们凑出来它就等于谁啊？它就是我们说的这个 miu 啊，对不对？就是我们说的一个 miu 啊， miu 大 于谁？你看啊， 它提出来嘛，提出来啊， f 一 撇 a， 它俩一加嘛，一加的话你会发现就是一个一，是不是就是一个一啊？这个放放缩出来啊，这个右边的了，再放缩出来一个左边的。怎么去缩缩呢？那就是盯住它啊，盯住它 前面乘一个系数，就是乘以它的系数了，刚刚是盯住它乘以它的系数，对不对？现在盯住它啊，乘它的一个系数还是由这个式子，这个式子的话我们能得到。好，乘一个系数是 b 减 c 除以个 b 减 a。 好，这边也是乘的啊， b 减 c 除以一个 b 减 a， 没问题吧？好，那这块有了，我们想要这个没有嘛，你再加一个它就行了，左右都加一个它啊，都加一下呗， 这个都加一下呗。 c 减 a 啊。 好，你看一下这一块啊，这块不就是缪吗？我们凑的就是这个缪，这边这就是缪啊，就是一个缪。来，你看这一块呢，你把 f 撇可三提出来， 提出来之后这两个系数一加，哎，也是一个一，对不对也是一个一啊，乘一个一也不用乘了，你看啊，这个缪呢，是大于 f 撇 at 一 的，又小于，看到没有？小于，对，小于啊，这是小于吗？小于 f 撇可三，这就是我们说的啊，缪介于好 f 撇可塞和 f 撇 a 它一之间的话，那么在这两个点之间，这两个点之间好，至少能找到一点 a， 它使得 由导数介值定义啊，能找到一点 a， 它好在可塞 a 它一之间，使得 f 一 撇 a， 它就是等于这个 miu 的， 而这个 miu 就是 我们说的就是它，是不是就是它嘛，就正出来了啊？ 好， f b 减去一个 fa， 接下来你再去把这个 b 减 a 啊，挪到这个左边就行了啊，就是我们说的啊，对，你再挪一下就行了。好，这里有导数 介值定力。 好，就是，哎，这件事啊， 好，这个确实有同学可能没有复习到啊，你这再去了解一下啊，了解一下。哎，这个知道这一块知识点的话，好在正的过程中看到了倒数出现的多的时候，想到他啊，想到他的话，其实也不难，你去观察一下这个系数，是不是这系数相加是一个一呀， 这个一的话就比较他俩的一个大小关系相等的话，哎，这个时候比较容易啊，直接取这个点就是一个 a， 它就保证了啊，这个 a 它是大于可塞的，那这种情况呢，你只需要啊，哎，正一个大于或正一个小于就够了啊，你看这个时候啊， 我们那个 a， 它是介于他俩之间吗？也保证了 a 它是大于可塞的，是不是？哎，这个你可以再去写一下啊，且吗且，是不是 这个 a， 他， 哎，就是打一科三的啊。好，大家再去梳理整整理一下这个过程啊，知道这一块主要考到了啊，拉拢中指定律对不对？那你第二问的话，咱们从几何上也可以去看一下啊，他在，他在说什么啊？你看，给这画一个图吧， 好， f x， 比如说长成这样吧，好吧，就长成这样，好，这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点的话，他说在这吧，好， b 点的函数值直接零吧，好，取特殊一点。好， 我们在 a 到 c 上使用一次拉伸定律啊，第一位嘛，那么在 a 到 c 上至少能找到一点可塞，使得这一点切线的一个斜率就等于这条割线的斜率，是吧？比如说斜率是一个 k 一 的话啊， 我们在 c 到 b 上用一次拉格朗日中指定力啊，表示什么意思？连接一下 c b 啊，这是，哎，怎么回事？这一条割线我们在 c 到 b 这个区间上，哎，至少能找到一点啊， 这个 a 它一啊，就这个啊， a 它一，使得在这一点的切线的一个斜率， 哎，就等于这一条蓝色的割线那个斜，对吗？比如说是一个 k 二，我们在在 a 到 b 上，哎，使用一次拉式定力。好，这个用一个红色的吧， a 到 b 上使用一次拉的拉式固定力。好，这是 连接 a 到 b 的 一个割线，我们在 a 到 b 上至少能找到一点 a， 它好使得这个使得成立嘛，也就是啥意思呢？ a 到 b 上至少能找到一点，比如说，哎，就是这个，这取的这个点啊，就是这个我们题里面说的这个 a， 它是吧？在这一点啊，切线的一个斜率 好，是等于这条割线的一个斜率，也就是说我们这个 k 样，这里的这块这块可以就理解为我们说的啊， 这个 f 一 撇 a 呢，就是我们说的这个红色的这个线的一个斜率嘛，是不是？你看我们这里啊，这个 miu 嘛，就相当于 miu 啊， k， 你 看是不是大于，大于就是比如说这个这块的话，是我们说的是一个 k 二，是吧？大于 k 二这块就是一个 k 一 嘛， f 撇 可三就是我们这里说的一个 k 一 嘛，对不对？其实，哎，就说明的啥意思呀？几何上说明的就是说好 a 到 b 区间上啊，我们找这个函数在一点的一个 切线的一个斜率呢，他会夹在夹在这两个区间上。好，那个函数在这两个点处的呀，切线的一个斜率之间，对不对？哎，这个 k 吗？大于啊， 大于，大于这个，这个可以，小于这个可以，是不是介于这两个啊，斜率之间嘛，就这个意思啊，就在几何上这样去理解好，把这个题再整理。嗯，整理整理啊，好，那这个题就讲到这了。

大家好，然后呢？嗯，这段时间呢，也也比较忙，也没有来得及给大家录制一些视频，嗯，然后从今天开始呢，我会正式的把二零二七年的章鱼一千题给大家完整的 讲完啊，二零二七年的章鱼的一千题给大家完整的讲完。然后呢？嗯，对于我这个视频讲解呢， 我可以说就是我会在里边进行大量的补充，因为我能力也不是很强啊，但是所以说我会给大家做到最细，比如说各种同类型的题目等等等等，包括设我会做出大量的补题，补题的数量可能高到五道甚至十道， 五道甚至十道，所以说，呃，对于我个人对于考研数学的一个经验来看啊，我认为 这一套一千题就是我的这个讲解，这一套一千题这个视频如果能把它跟下来啊，如果能把它跟下来，我认为数二啊，就是上一百分是没有任何问题，你不需要再做其他的练习册，因为我会把里边只要是和 啊考研真题卷上可能会涉及的一些高频的题，我都会把我的手稿补充进这些讲解中，大家能明白我意思吧？补充进这些讲解中，所以说你想拿超高分那可能有点困难，但对于考到一百到一百一而言， 我的这一套讲解视频是没有任何问题，没有任何毛病的。然后呢，我今天开始的话，尽量能拿出每天录制两个小时左右时间啊。然后呢，因为前段时间也比较忙，拍拍也是离开了，希望能对大家有帮助。 想考到这样一个分数段，跟我这套视频就完全可以做到，甚至不需要，不需要再做什么强化，因为我会把整体里边涉及的 重点的，高频的好的东西大量的补充在这套一千题的讲解中。好吧，那希望能得到大家一个很好的一个支持啊。那我们现在正式开始啊。 好，首先第一题是一道什么？第一题是一个条件问题，对吧？条件问题？那我们来简单复习一下啊。 哎。如果干什么？左边对吧？左边如果能推倒什么？这东西咱们就把它称为左边这个东西咱们把它称为右边。好吧，左边如果能推倒右边那干什么？我们是叫什么？我们是叫充分性成立啊我们是叫充分性，对吧？ 充分性成立。然后呢？嗯，如果我们是右边如果我们是右边能推倒左边呢？右边能推倒左边我们是叫什么？我们是叫必要型成立，对吧？反之，反之干什么？如果不能成反之如果不能推倒呢？ 反之如果不能推倒的话那我们叫什么啊？那我们就叫非充分或者非必要，对不对？那咱们来看啊，散方阿尔法加可散方贝塔等于一。能否推出散阿尔法加 cosine 贝塔等于零呃能否推出散阿尔法加 cosine 贝塔等于零。首先简单举个例子啊，来， 当什么？当我们的阿尔法等于谁？阿尔法等于二分之派时，阿尔法等于二分之派时，对吧？然后呢？比特等于什么啊？啊？贝塔等于我们的谁？阿尔法等于二分之派贝塔我们等于我们的零时贝塔等于我们零时。 好吧， alpha 等于二分之派 beta 等于我们零时。那咱们干什么？咱们是不是散方 alpha， 对 吧？散方 alpha 加上什么？加上我们的散方？ beta 上一方阿尔法加上我们上一方贝塔是不是应该是等于一？没毛病，对吧？哎？一加零是不是等于一对不对？那这个时候我们来看一下我们能否推导出来我们左边呢？是不能推导我们左边的，因为这边这个时候不能推导我们左边这个时候我们的萨尔法 加上谁加上我们的 cosine beta， 对 吧？萨尔法加上我们 cosine beta 是 不等于零的 不等于零的散尔法是多少？散？二分之帕也是一对吧？ cosine beta 很好想对吧？ cosine beta 是 多少？ cosine 不是 什么也是一对吧？一加一是等于二，不能推到左边，所以说这个等于一的时候不一定右啊，右边就能成立，能推到右边首先充分肯定是不对的， 对吧？分肯定是不退的，对不对？那我们来看一下右边是否能推到左边，对吧？呃？当我们什么啊？呃？当我们的这个萨尔法加上什么啊？当我们这个萨尔法加上谁 加上我们的 cosbyta 啊？当我们这个萨尔法加上 cosbyta 等于零的时候萨尔法加 cosbyta 等于零的时候，我们究竟能否推到左边呢？呃，应该是能推到左边的萨尔法加 cosbyta 等于零时啊。我们的萨方 我们的散方而法啊我们的散方而法加上我们的 cos 方散方而法加上我们的散方贝塔散方贝塔我们可以给它改一下吧。 散而法加 cos 贝塔等于零。嗯？提什么？提我们的谁提我们的散而法， 以我们的萨尔法是不是等于谁？等于我们的？负的考伞贝塔对不对？没问题吧？萨尔法加考伞贝塔等于零，以我们的萨尔法等于负考伞贝塔，没，没问题，对不对？以我们萨尔法等于负考伞贝塔。所以说这个时候是呢， 能推导出来这个东西等于一的，为什么我们把它进行一个调换？萨尔法我们是不是可以写成考伞方贝塔，对吧？ 抛散方贝塔再加上什么？再加上我们的散方贝塔，对不对？那没毛病啊，等于一啊，对不对？等于一啊。散，抛散方加散方横等于一，对不对？我们是可以推倒左边的，对吧？所以说右边可以推倒左边，左边不可以推倒右边，那我们是什么？是不是叫必要非充分， 对吧？叫必要非充分对不对？所以说二 b 是 正确，对吧？好，呃，那这个时候的话， 嗯，就是一道很基础的一个三角函数的题目啊，很基础的一道三角函数的题目，那在这里的话我们可以简单的对一些。嗯，三角函数的公式，嗯，进行一点点回回顾吧啊？三角函数的公式进行一点点回顾，嗯，我在这里简单的插一下啊。 好，嗯，其实大部分大家都知道啊，但是有这样子的一点公式大家可能不知道啊。先这里是什么？这里它是不是涉及考察到了一个什么？这里它是不是转换成了一个谁？ 转换成了一个散方 beta？ 散方 beta 加上什么？加上 cosine 方 beta 等于一，对不对？大家基础阶段呢？一定要对公式有足够的一个重视 有足够的一个重视，重视啊。好，呃，那这个是我们最常用的，对吧？大家都知道，那我们还有一些啊，嗯，是什么？是我们的 e 加上什么啊？ e 加上我们的 tangent 方啊？ e 加上我们 tangent 方贝塔等于谁？是等于我们的 它可能记得不？不是很牢固啊，那基础阶段然后呢？一加上什么啊？一加上我们的 pot 方？ pot 方 beta 等于谁？ 其实这道题考察的是什么？考察的是这样一个公式的转换，对不对？那万一以后啊，其他的题它是不是有可能考察到这样两个公式的转换，对吧？是不是有可能考察到这样两个公式转换？嗯，也未尝没有可能 啊。然后呢，我们在这里再对其他的三角函数公式简单复习一下吧。你比如说二倍的对吧？啊？是不是 sin 二 x 是 不是等于谁？不是等于什么？是不是等于二倍的什么？二倍的 sin x 乘以谁？乘以我们的 cosine x， 对 吧？二倍 cosine x 乘以 cosine x， 然后呢？我们的 cosine 二 x 呢？ cos 二 x 等于谁？是不是等于什么？是不是等于我们的 cos 方 x， 对 吧？是不是等于我们 cos 方 x 减去谁？减去我们的上一方 x， 对 吧？ 减去我们上一方 x 是 不是等于谁？是不是等于一减去什么？一减去二倍的什么？一减去二倍的上一方 x， 对 吧？然后呢？嗯，这是章与一千题的错题本， 这东西我感觉你可以把过程写的很详细，因为就是你的那种书上的空比较小，对吧？ 啊，如果有同学就是需要的话也可以跟我说啊，我这是有这个电电子版啊，有这个电子版有需要的话也可以给我说啊。来，那这里是什么？我觉得用刚开始打基础过程写详细比较重要，所以说用这种做题本的话可能会好一点点。 二倍的 cos 方 x 减一，对吧？二倍 cos 方 x 减一，然后呢？贪婪的二 x， 对 吧？这就是一些常见的一些二倍的，然后大家可能不太熟悉啊， 贪婪的二 x 是 等于谁是等于二倍的？贪婪的 x 二倍的贪婪的 x 除以什么？除以一减去谁一减去贪婪的方 x 除以一减去贪婪的方 x。 好 的， ok， 然后呢？嗯， cot 也也有一个公式， cot 也记一下吧。 out 啊， out 的 话用的不多啊，基本上没怎么，没怎么见考过啊。 out， 二 x 是 等于谁是等于二倍的？ cut 方二倍的。我一定会把这每道题讲到他的知识点挖掘到最细 啊。啊，不对，我背错了啊，可以说是全网最细，可以说是全网最细。每道题里边的补充对大家的这个帮助肯定是非常的大。 cot 方 x 减一，除以谁除？以二倍的 cot x 除以二倍的 cot x cot 方 x 减一，除以二倍的 cot x。 啊，好， ok， 那 我们继续第二道题 来。第二道题的话是一个，呃，证明题啊，第二道题是一个证明题，那这种证明题呢，就是想大家，张宇老师就是想大家把基本功打好一点啊。这种证明题呢，就是一个数学规划法。 首先你先去代代入举举例子，他说对任意正整数，对吧？那我们干什么啊？当什么？当我们的 n 啊？当 n 等于一时 当 n 等于一时，那我们可以得到什么？当 n 等于一时，我们是不是有谁？是不是有二的一次方，对吧？二的一次方加二是不是等于谁？等于四，对吧？是不是大于等于我们的一的平方，对不对？然后呢？当 n 等于二时， 当 n 等于二十，当 n 等于二十，然后呢？我们是什么？我们是不是二的什么啊？二的二次方再加二，对吧？二的二次方再加二，是不是大于谁？是不是大于二的平方，对不对？没问题吧？ 好的， ok， 当什么？当 n 等于三十，当 n 等于三十，我们有什么？当 n 等于三十，我们有我们的二的三次方，对吧？二的三次方再加二，二的三次方再加二是什么？是不是大于谁？是不是大于我们的 呃，三的平方，对吧？这三次方再加二是不是大于我们三的平方，对不对？这些肯定是显然是成立的，显然成立啊， 显然成立。然后呢？这是数学公式法，就是假设。呃，所以 即假设。假设 n 等于 k 时， 所以你假设 n 等于 k， 是 n 等于 k， 然后 k 你， 因为你前面判断的是一，你要要让 k 是 要大于等于三了啊，一二三你都判断过了，对吧？ 假设等于 k， k 大 于等于三十，然后呢？均有，均有什么啊？均有我们的谁大于等于三十，均有什么啊？均有。我们的二的 k 次方加二大于什么？大于我们 k 的 平方， 二的 k 次方加二大于我们 k 的 平方，明白我意思吧啊？假设 n 等于 k 时，均有二的 k 次方加二大于 k 的 平方。 数学规划法其实就是什么啊？首先第一步啊，你要数学规划法，我们稍微举一点例子。呃，总结一下它的步骤啊。第一步干什么？第一步其实就是举例子，对吧？举例子，你举几个例子以后你会发现什么啊？ 第一步就是举例子，你举几个例子以后你会发现啊，这个玩意是没问题，是成立的。明白我意思吧？第二步的话你干什么了？第二步的话就是，呃。你是干什么？你是就假设了啊？假设，哎，它是没问题的。假设， 假设啊，开始开始假设他是没问题的。第三步然后干什么？第三步的话就是，呃，假设他是没问题的，第三步就是干什么？第三步就是去 佐证这个最后一步了。最后一步怎么怎么说啊？我先写完。写完就好说了啊。好，那干什么则宜当什么啊？宜。当我们的 n 等于什么？即当 n 等于 k 加一时即当 n 等于 k 加一时。必有即当 a 等于 k， k 加一时啊，必有什么啊？必有我们的 二的什么啊？二的 k 加一次方，对吧？二的 k 加一次方加二一 啊提。当 n 等于 k 加一时。呃呃，把这个 b 去掉啊提。当 n 等于 k 加一时，二的 k 加一次方加二啊，等于谁？我提个二出来啊，提个二出来。二倍的谁啊？ 二倍的。然后这里是二的 k 次方，对吧？然后再加一，对吧。二的 k 次方再加一，二的 k 次方再加嗯，一，然后呢？ 我这里我这里给它构造一下我总给它构造一下。二的 case 方再加一，然后这里是什么啊？呃 当 n 等于 k 加一时，就是你现在假设这个东西假设完了，对吧？这是第二步啊，当你的话你要想办法往它上面这个形式去构造。你明白，你要想办法往它上面这个形式去构造。但你有没有发现这里是一，这里是也得变成一， 有没有可能我把它变成二，我把它变成二，那你干什么？你是不是比原来干什么？你是不是比原来多加了一个二，对吧？你是不是二的 k 加一，次方加四，人家是加二，你得把这个二给它减掉，明白我意思吧？ 你把这个二给它减掉，对不对？那是不是干什么？是不是大于什么？你现在要的是什么？你现在要尽可能的是什么？你应该这么说啊，使用这个假设，使用这个假设三步啊，你可以这么说，使用这个假设， 用这个函数。好， ok， 那 这里是什么？二乘以二的 cos 方加二再减二，对吧？二乘以二的 cos 方加二再减二，那是不是应该大于什么？这个二的 cos 方加二，是不是可以用上这个 k 方，对不对？是不是大于我们二倍的什么？ 平方减二，对吧？二倍 k 方再减二，对不对？是不是等于这个东西，对吧？大于二倍 k 方再减二，那是不是等于等于什么啊？二倍 k 方再减二，是不是？你可以把它提出来一个什么啊？ 呃，是不是大于等于谁？你是不是等于我们的二倍的这个 k 方减一，对吧？二倍的这个 k 方减一， 老表，对吧？二倍的 k 方减一，但是你要验证的什么啊？你要验证的，使用这个 k， 使用这个假设去验证，去验证 k 加一时是否成立。你可以这么说，去验证 k 加一时 是否成立使用这个假设去验证 k 加一时是否成立。那你可以这么说， 验证 k 加一时是否成立。好， ok 啊，你现在要验证 k 加一时是否成立，那你应该是听出来什么啊？要验证 k 加一时是否成立？我换一个蓝颜色的笔啊。要验证。哎。 要干什么？要验证 k 加一时是否成立即要证出什么？即要证出我们的二的 k 加一次方，对吧？再加二不是大于谁？是不是大于我们的 k 加一的平方，对不对？ 大于我们的 k 加一的平方对吧？哎这要验证 k 加一是什么成立。但你现在啊，你看二的 k 加一次方加二你要想办法让它说明它是大于什么你要想办法让它说明它是大于我们的谁 大于我们的 k 加一的平方。明白我意思吧它大于我们的 k 加一的平方。好的， ok。 那 这个时候 你怎么样说明这个东西是什么？二倍的 k 方减二那大于什么啊？ 是大于我们的 k 加一的平方呢？它是等于它对吧？它是等于它。呃如何说明它大于 k 加一的平方？你注意一点啊。嗯人家是整数 啊。 n 人家是正整数对吧？ n 是 正整数。嗯那所以说这个东西我们可以给他在这里稍微的变个形网怎么有点卡 换了个网，哎哎我们来讲一下啊你要证明对吧？咱们已经到最后了只用这个假设去验证 k 加一是是否成立。那你要证明这个东西大于什么啊？大于我们的这个 k 加一的平方。你直接找好像不太好找你直接找好像不太好找对吧？啊？ 直接找不太好找的情况下那我们怎么办啊？我们可以适当的给他放松我们怎么给他放松啊？呃我们啊不是放松我们可以给他做叉但他比放松要好一些 比放松要好一些我们可以给它做叉我们怎么给它做叉啊？来，那首先这里是什么？这里是不是大于谁？是不是大于我们二倍的谁？这个二的 cos 方加二是大于平方，对吧？那是不是大于我们的二 k 方减二，对不对？ 大于我们二 k 方再减二，对吧？那我们看什么啊？我们要证谁？我们接下来是不是变成了什么？要证我们的谁？要证我们的二的 k 加一次方 加二，对吧？大于谁？大于我们的 k 加一的平方大于我们的 k 加一的平方，是不是一？要证什么？ 如他是大于他的呀？如果你这个东西都等于我们 k 加一的平方，那是不肯定，没问题，对不对？你要挣我们什么啊？二的 k 方减二是大于什么啊？大于我们的 k 加一的平方，对不对？没问题吧？ 好，你要证他的话，你该怎么证？你要证他的话，你可以做差啊。两式做差的话是多少？是不是二？ k 方减二，对吧？再减去谁？再减去 k 方，对吧？然后减去什么？减去二 k， 对 吧？然后再干嘛？再减一，对不对？是不是等于谁？是不是等于 k 方？然后再干什么？再减二 k， 对 吧？ k 方 减什么？减二 k 再干嘛？再减三，对吧？是不是等于谁？是不是等于 k 减三？乘以谁？乘以我们的什么啊？乘以我们的 k 加 一，对吧？是不是等于 k 减三乘以我们 k 加一，是不是这个东西？你的 k 肯定是正整数，对吧？然后干什么？你的 k 肯定是正整数， y 轴 x 轴，你把它看成一个二三数啊？ 啊？这里是负一，这里是什么？这里是三，对吧？这里是负口 a 负一。你把它点在这啊， 你把它点在这，你可以把它设为一个二三数，对吧？你可以把它设为一个二三数，然后呢？你前面这些什么一二三 这些时候咱们都是已经都是过过了，对吧？一二三这些时候咱们都已经过过了，对不对？你所以说你这些东西是不用考虑了，是吧？都过了，你这些东西不用考虑了，懂，懂我意思吧啊？ k 大 于等于三的时候， 对吧？说你只要考虑这一边，对不对？懂我意思吧？你只要考虑这一边对不对？你有没有发现这一边干什么？这边肯定是大于零的，所以说干什么？你，你要你可以怎么说？这边要你这么说，要你看的话可能比那个 答案的方法要好想一点啊，我刚刚我想说这是我也看了下那个标准答案上的做法可能没这种可能。更好一点 啊，就是你去给他做叉，因为正是考研里边做叉这个思想还是比较重要的啊。干什么？你要正，对吧？要正他大于他一要正 你可以怎么说？弱啊？弱二， k 方减二大于他一，他大于他，然后你干什么？你现在做叉啊，你先做叉，然后干什么？因为什么？因为 k 大 于等于三，对吧？因为 k 大 于等于三 啊，所以说什么？所以说这个东西大于零横成立，所以说它一定是大于它，你可以去这么做叉，这么做叉比较好一点，所以说从上结论成立，你采取这样的三步走啊，先举例子，再假设， 然后呢？使用这个假设去验证 k 加一时是否成立，明白我意思吧。好， ok 啊，来我们来看下面了。哎，共享屏幕是开着的， 这个希望大家多多支持啊，我已经在百忙之中抽时间了。我也挺忙哎，那个我尽可能真的是讲到全网最细致 讲的真的已经很慢很细了。这实数 a 属于零到一。呃，竖列 x n 满足 x 零等于一。别对于任意正整数 n 均有它 名对任意乘整数 n 都有它啊，这干什么？首先你还是先举例子明白我意思吧。先举两个例子啊，那干什么？当我们的谁？当我们的 n 等于什么啊？ 当 n 等千千，他说什么啊？你这题目你看不懂，为什么？你先举例子举一举你就找到题目想让你干，他是不是让你用这个东西对吧？那你就举例子啊，当什么啊？当我们的 n 等于什么？当 n 等于一时，因为他说任意正整数吗？有什么有 x 一 能等 n 能等于一吗？能等于一啊，有 x 一， 因为人家有 x 零对吧？我以为没有 x 零啊。 x 一 等于 x 零分之一再加上 a 对 吧？那是不是等于谁？是不是等于一分之一再加上 a 对 吧？ 啊？是不是干什么？是不是等于一加 a 对 吧？啊？又因为什么？又因为 a 属于什么？ a 属于零到一对吧？ a 属于零到一，所以说什么？所以说 x 一 大于啊。当 n 等于二十，当 n 等于二十， 有什么？ n 等于二十？是不是有我们的谁？有我们的这个 x 二对吧？ x 二是不是等于我们的 x 一 分之一再加上什么？再加上我们 a 对 吧？ x 一 分之一再加上我们的 a， 嗯，是不是等于谁？ x 一 分之一再加上我们的 a， 嗯，那这个时候的话不太好弄 这个时候不太好弄啊。 x 一 分之一再加上我们 a， 你 得给它通分一下啊。 x 一 是不是等于一加 a， 对 吧？ 一加 a 分 之一对，你得给它通分一下。你直接看不太好判断啊，因为一加 a 是 什么？一加 a 是 一个 x， 一 是一个大于一的，你这个东西是一个大于零小于一的，加上一个零到一，你说不清楚，对吧？ 你得给他通分一下。通分一下是谁？是不是一加 a 分 之谁？一加 a 分 之一加上什么？加上我们的 a 乘以什么？ a 乘以我们的 a 加 a， 对 不对？懂我意思吧？那我们这边是等于谁？是不是等于一加 a 分 之谁？一加 a 分 之我们是什么？我们是不是我们的？呃，一加上谁，一加上谁，再加上我们的 a 方，对吧？明白我意思吧？ 再加上我们的 a 方，那就是显而易见啊，上面又有一加 a， 又有 a 方，除以一加 a 肯定是大于一的，对不对？举两个例子就可以了。举两个例子就可以了。 嗯，再往后带也行。那你就举三个，那你等会儿就可以大于等于三啊，那我们干什么？呃，再论乘以，这写不写都行。嗯，然后呢？假设。 假设什么？假设 n 大 于等于 k， k 大 于等于二十 啊，然后呢？分有 x 啊，均有 x， n 大 于一成立均有 x， n 大 于一成立。好吧啊，均有 x， n 大 于一成立。 所以说你将来要干什么？验证了，对吧？当什么？当 n 等于谁？当 n 等于 k 加一时，当 n 等于 k 加一时。 由归纳啊， n 等于 k 加一时，我们什么啊？呃，我们的这个 x 的 什么啊？ x 的 k 减一， 你肯定是 x 的 k 减一肯定是什么？肯定是大于谁啊？大于我们一的，因为这已经是在你前面的。什么在你前面的？这个 你现在只是要验证 n 等于 k 加一时是否成立，明白了？ n 等于 k 加一时是否成立？ k 减一前面已经是在这个范围内了， 在这个里边呢，是已经是咱们说过的了，你可以这么理解，明白吧？ 啊？你现在要验证的是 n 等于 k 加一时是否成立？ n 等于 k 加一，是 x 的 k 减一啊， n 等于 k 加一，是 x 的 k 减一大于一，对吧？然后呢？一小于什么啊？呃，一是不是？ 呃，小于我们的 x k， 对 吧？ x k？ 是 啊，不是口误啊， x k 是 大于一，你现在要使这个 k 加一种，明白吧？ x k 是 不是等于谁？是不是等于我们的 x 的 k 减一 分之一再加 a， 对 吧？这个东西是不是肯定是小于我们的一加 a 的， 对不对？ 大于一小于一加 a， 为什么？因为你这个东西首先是大于一的，大于一，一除以一个大于一的东西肯定是小于，那肯定是小于我们的一加 a， 对 吧？ a 不 变，那是不是落在这个中间，对吧？ 那我们什么啊？我们 x 的 k 加一呢，对吧？你要验证的是 x k 加一， x k 加一，是不是等于谁？是不是等于我们的 x k 分 之一，对吧？ 再加上什么？再加上我们的 a， 对 不对？ x k 分 之一加上我们 a， 是 不是应该是大于什么啊？ x k 分 之一再加上我们 k， 这，你这个东西啊，你这个东西是不是小于一加 a， 对 吧？ x k 的 最大值是不是一加 a？ 放松，它的最大值是不是一大 a？ 那 你这东西要想取最小，来听我说。你这个东西要想取最小，你是不是 x k 要取到最大？ 所以说它的最小是不是就是你 x k 要取到最大于我们的一加 a 分 之一，明白我意思吧？再加上 a， 对 吧？那这个等于干什么？你给它通分一下，是不是和刚一样？是不是等于我们的一加 a 分 之一加 a 再加上什么？再加上我们 a 方？ 两个东西是不是已经拿出来一个一了，对吧？不是大于一，所以 n 等于 k 加一时结论也成立，所以综上所述，对于任意的整数 n 由我们的 x n 大 于一恒成立。 哎，这个题就结束了，这个题还是他这个，其实刚开始他出了这么多这个整名。嗯，也不知道 考研的话对这方面的一个要求的一个把控没有没有那么高啊。嗯，这个是二 a 三次方加 a b 方。嗯，且处在这里是干什么？ 等一下我看一下，因为我这是二七版，二六版我手里可能没有二七版， 看一下有没有一些题是和二七版的是发生了一些变化。呃，前面几题也没变化来看这边啊。嗯，其实都一样，其实题不用分什么哪版哪版 就做多多做就行，那个没什么太大的 区别。这个题他出在这里是有什么意义吗？呃，我我也比较好奇，他可能就想考你一个运算吧，这考你什么呢？也没什么东西。 我，我没看明白。哈哈，他应该就想考你个运算，然后咱们成立一下二 a 的 什么二 a 的 五次方 b， 然后再干什么？再减去谁，再减去二 a 的 四次方，然后是 b 方，对吧？然后这里是加上谁加上我们的 a 的 三次方，然后是 b 的 三次方，对吧？然后减去谁？减去我们的 a 方，然后是 b 的 四次方，对不对？然后加上谁加上我们的 a 方，然后是 b 的 什么？ b 的 四次方，对不对？就没有了，这个没有了。 嗯，这题就这，就这么简单吗？然后这里是什么？这里是不是二 a 的 什么啊？二 a 的 五次方 b， 对 吧？二 a 的 五次方 b， 然后减去什么？减去我们的二 a 的 什么啊？二 a 的 四次方，对吧？ 减去我们二 a 的 四次方 b 方，二 a 四次方 b 三次方，然后减去谁？减去 ab 的 五次方？ 他应该就是想搞你这个看一下，没找到二七，二七好像已经发布了， 下面是要你证明什么啊？啊？对，屏幕上没什么问题。 好， ok， 我 们继续啊。嗯，然后这里是什么？这里的话是一个大除法啊，大除法也就是说一个高阶音质分解，这个是我们的这个必备的一个技能， 这个是我们必备的一个技能，一定要把这个这个技能给它做好啊。其实刚开始这些东西更多的是一个 读高中的一些知识，和咱们真正的高等数学还不占关系啊。这大除法什么意思啊？ 不是和你正常除法一样，明白吧？你 lamb 大 方，你这里就上 lamb 大 方，我也，你只要你给它乘，明白吧？然后这里是不是 lamb 四次方？乘下来，然后它和叉也得乘？是减去我们的二 lamb 大 什么？二 lamb 大 三次方，明白吧？ 然后呢？这两个开始做差负三减负二是不是加二？是变成负栏木大三次方，对吧？负栏木大三次方进去啊，然后这里是谁？这里是不是减去我们的栏木大？你进去减去我们栏木大，明白吧？ 减栏木大，然后给它乘下来，这是多少？这是不是负栏木大三次方，对吧？然后这里是什么？这里是减去二栏木大方， 选去二栏木大方，你这里你可以，你给他抄下来啊。六栏木大方，六呢？栏木大方，然后呢？这里是什么？嗯，他和他减掉了负六，栏木大方减，他是不是加二？是不是负四， 对吧？负四，栏木大方，是不是负四？栏木大方在干什么？再加上我们的十六倍的栏木大，对不对？四栏木大方，加上十六倍栏木大，你可以给他提一个负四出来， 它是不是变成 lamb 大 方，对吧？ lamb 大 方，然后是干什么？然后是不是减去谁？减去我们的四 lamb 大， 对吧？你可以给大家提一个复式出来 lamb 大 方，减去我们四 lamb 大 是不是等于谁？呃。是不是？这边的话，呃你先。嗯？ 欸？负六，我哪里算错了？负六？呃。负 number， 负 number， 这里是然后负啊，这里是加二，对吧？ 来 number 和负 number， 负 number 三次方，然后它俩相乘，这里应该是加二，看见了吗？这里应该是加二，明白吧？负六减二是多少？ 二是不是负八，对吧？负八，你是写错了啊，我说怎么没办法算呢？负八，你可以把负八提出来，那是不是就是负八倍的谁？然后是不是 lama 方，然后干什么？然后是不是减去什么？减去二 lama， 对 吧？这个东西啊，除以它是不是商什么？是不是商负八， 那就剩一个负八了，对吧？是不是商负八，对不对啊？商负八，然后是什么？然后是不是负八那么大方。其实就跟咱们正常除法一样十六那么大等于零。 上完了。兰木达方减兰木达减八啊兰木达方减兰木达减八兰木达方减兰木达减兰木达减八。好，嗯，这里的话我在这里再补充一道大除法带大家算一下。补充一道大除法啊大除法 我这里再补充补充点大手法带大家算一下啊。哎所所以说我这其实都是都是客户都是花时间了啊。嗯花了很多精力去找一些类似的东西， 我能力有限尽可能给大家做好，希望大家给我点个赞，点个关注，谢谢啊。 停到这里如果有人真的停到这里希望能给我点个赞，点个关注。好，呃，那我们来继续看这边啊。呃这里 open 是 打开了吧。好，我们我们再补充一点大除法啊大除法和英式分解，因为其实呃对于一个高等数学，对于一个数学而言其实它的计算的基本功还是比较比较重要的啊然后呢我们来分解一下这样的一个式子啊， x 三次方 x 三次方。嗯加上什么啊？加上我们的六 x 方加上我们六 x 方，六 x 方然后再加上十一 x 加六等于零 加上十一 x 加六等于零。好，我现在让你把这个方程英式分解。你怎么英式分解啊。首先你看什么？你去猜根明白了，他有一个根一定是非常好猜的啊。首先你去找他的一个根，他有一个根一定是非常好猜的，明白我意思吧 那这个根比较好猜的，你看一下啊就是无非就是一负一零那些东西你看一看，明白吧？一肯定是不行，负一呢？负一行，这里是什么？这里是六加 六十二，十二减一，再减十一，负一行，对吧？所以说有啊，一定有一个根，对吧？有一个根是 x 一 等于负一，那如果他，他进行因式分解，你是不是一定能分出来这样一个东西，对吧？ 因式分解不就是什么什么东西乘起来等于零吗？对不对？他是不是一定能分出来这样一个东西，你才能有一个是负一， 明白我意思吧？所以说你这边这个大除法你要除什么啊？你首先你要先猜根，明白吧？你就要除什么？你就要除我们的这个谁，除我们的这个 x 加一，对不对？你就要除我们的谁？除我们这个 x 加一，对吧？明白我意思吧？ 和我们这个 x 加一，好，和我们这个 x 加一呢？这里是谁？这里是不是 x 方，对吧？ x 三次方，然后这里是谁？这里是不是加上 x 方，对吧？不简单啊，这个是不是谁？ 嗯，加上 x 方，然后这里是五 x 方，对吧？五 x 方加上什么？加上十一 x， 对 不对？然后你这里加上个五 x， 加上个五 x， 这里是不是五 x 方，对吧？然后这里是加上一个五 x 五 x， 然后你这里减下来是六 x 加六 除以 x 加一，是不是还剩一个六？那是不是六 x 加六，然后是不是等于什么？是不是等于零？所以说这个音质分解就是 x 加一乘以谁乘以 x 方加五 x 五 x 加六等于零，对吧？还是很好理解的啊，这个大除法对不对？ 还是很好理解的啊。嗯，我们再来简单的除一个吧再来简单的除一个啊，然后呢？这个 x 三次方， x 三次方加上什么？加上我们的二 x 方， x 三次方加上我们二 x 方，然后是减去谁？减去我们的五 x， 减去我们五 x 再干嘛？再减六减去我们五 x， 再减六等于零啊？嗯，再来简单除一个，减去我们五 x， 再减六等于零。 好的， ok， 那 这个的话是什么啊？减去我们五 x， 再减六等于零。 这里的话是看一下它根，对吧？猜一下它根。嗯，看一看啊。嗯，有能猜出来谁啊？嗯，先看看零负一，负一负一没问题。负一 减六，对吧？然后二减六是多少？是不是负四，这里是多少？这里是不是加五，对不对？ 五减四是不是等于零？负一没问题。所以说还是有一个 x 加一，对不对，明白我意思吧？还是有一个 x 加一，那我们这里是不是 x 三次方加上二 x 方，二 x 方减去谁？减去五 x， 对 吧？ 然后再干什么？然后再减六，然后这里是谁？这里是不是我们 x 加一，对吧？明白我意思吧。那咱们这里是不是 x 方？ x 三次方加上 x 方，然后这里是谁？这里是不是 x 方减五 x， 然后这里的话是加上 x， 然后这里是 x 方加 x 五，这是负六 x 减六，对吧？把六提出来是不是负的？ x 加一对不对？除以它是不是减六没了？ x 方加 x 减六， x 方加 x 减六，是不是可以分解成 x 减二乘以谁乘以 x 加三，对吧？ x 减二乘以 x 加三等于零，对不对？这大乘法简单举了几个例子啊？大乘法简单举了几个例子，然后呢？嗯，我们来看一下，因为这个二七版，这个应该是。 嗯，二七版的这个应该是。题目上是有一点点变化啊。我看下第几题这个变了啊。第五题，第六题，第六题没变。嗯，第六题没变。 第七题，第七题，第六题，第六题没变。还是这个东西第七题也没变，第七题也没变。哎，都没变，都没变，现在继续 第六题第七题都都没变。好，那我们来继续看一下啊。呃，那我们这个对于这个第七题而言，第七题的话就是一道很基础的这样的一个 值的代入啊，那这样一个值的代入，它肯定不可能让你从头带到尾，明白我意思吧？肯定要找规律啊， 你看，要找规律，它肯定不可能让你从头带到尾，你要找规律从头带到尾是不可能的。如果你这个东西一直给你 f 一 加到 f 一 千， f 二分之一加到 f 一 千分之一呢？ 所以说你这个能带，但是他肯定不是考察你这个，你要给他找规律。嗯，其实这种题一看基本上是这是就是这种 f x 和什么和 f x 分 之一 这样的一个组合，明白吧？可以先给他加一加，试一试看有什么关系。好吧， f x 等于谁？是不是等于什么？是不是等于我们的一加 x 方？一加 x 方分之 x 方，对不对？ f x 分 之一， f x 分 之一是等于谁？是不是等于什么？是不是等于一加上谁？一加上我们的 x 分 之一 x 分 之一的平方，对吧？然后分之谁分之 x 分 之一的平方，对不对？没问题吧？ 那这里应该是等于谁？是不是一加上什么啊？一加上我们的 x 方分之一，对吧？ 然后这里是谁啊？这里是不是我们的 x 方分之一，对不对？然后这里给大家通分一下，是不是上面乘 x 方，下面也乘 x 方，是不是 x 方加一对吧？ x 方加一对不对？我们来看一下，给大家加一下。 f x 加上什么啊？加上我们的 f x 分 之一。 f x 加上我们 f x 分 之一是等于谁？ 是不是等于我们的一加 x 方，对吧？一加 x 方分之 x 方，再加上什么啊？再加上我们的一加，哎，你看，哎，正好有规律。 分之一，对吧，是不是等于谁？是不是等于一加 x 方分之一加 x 方是不是正好等于谁？是不是正好等于一，对不对？那这个题基本上结束了，对吧？呃，你这个，哎，这是什么？有几对一啊？一一 二三，三个三，对吧？然后 f 一 带进去是多少？是不是二分之一？二分之三？二分之六加二分之一？所以最后答案多少？二分之七对不对？ 用题基本上就是找找找规律，可以看它规律。然后我们来看一下这个啊，嗯，这个的话是一道小小的一个证明题，这个的话是一个小小的证明题。这前面到这现在开始还没有一道高数题， 都是偏初高中的一些知识点，还没有一道高数题。然后我们来回来再看一下。好，嗯， 第七题，第七题的话均有，对于任意的他均有，他当他是。嗯，这名题就是怎么说啊？他的一个证明题对于考研里边肯定是比较难的。嗯，总体的一个思路的话肯定也比较困难。 嗯，怎么说？嗯，就可以考虑放养啊。嗯，现在要证八 啊，当 a 它属于它时，证明它，对吧？咱有什么啊？咱有什么要注意这个？有的这个东西啊，咱有的是这个东西。 好，我们来看一下啊，当 a、 b 属于它时，要你看一下能不能先把这个二分之一先给它搞出来。嗯？能不能先把这个二分之一先给它搞出来啊？嗯？我们来这样啊， 当什么啊？当我们的 a 减 b 的 绝对值，当我们 a 减 b 的 绝对值小于等于二分之一时， a 减 b 的 绝对值小于等于二分之一时。有什么啊？有我们的谁？有我们的就是 a 减 b 的 绝对值小于等于二分之一。你有举个例子，比如说 a 等于 二分之一等于多少？ b 等于什么？ b 等于我，这是零点五，对吧？ b 等于什么？ b 等于我们的十分之六，行吧，零点六， 是不是 a 减 b 绝对只小于等于二分之一十？咱们是不是可以直接套上面这条式子，对不对？咱们可以真的是不是可以直接套上面这条式子？ a 减 b 绝对只小于二分等于二分之一十。有什么啊？有我们的这个什么啊？ 你把这个 a 减 b 是 不是都都是可以解决的，对不对？有我们的 fa 减去什么啊？减去我们的 f、 b 的 绝对值，对吧？减去我们 f、 b 的 绝对值，是不是小于等于谁？小于等于我们的 a、 b 的 绝对值，对吧？ 然后是不是小于等于谁？小于等于二分之一，对不对？这时候是不是正出来了，对吧？这时候正出来了。 a 减 b 绝对值小于等于二分之一，是，这时候正出来了。然后呢？当什么呢？那 a 减 b 的 绝对值大于二分之一时候呢？你还没有懂，对不对？当 a 减 b 的 绝对值大于二分之一是什么？ a 减去的绝对值大于二分之一时，我们有什么啊？我们这个时候不妨给它规定一个大小啊？不妨设。设什么啊？设我们的谁不妨设？嗯，零小于等于 a， 不 妨设零小于等于 a， 然后小 小于 b 小 于 a 小 于 b 小 于等于一，这个时候则有什么？则有我们的这个 b 减 a， 嗯，肯定是什么啊？则 b 减 a 大 于二分之一，不妨设我们的这个上一个大小关系啊，则 b 减 a 肯定是大于二分之一的。为，为什么？因为我是为了给它去绝对值，明白我意思吧？ 啊？因为这个时候咱们是手动相当于给它规定了一个 ab 的 一个大小，明白吗？手动给它规定了一个 ab 的 大小，然后呢？ b 大 于 a， 那 a 减 b 大 于二分之一，嗯，你显然是 a 减 b 是 一个负数， 就说你把它去绝对值，是不是其实是 b 减 a 大 于二分之一，明白吧？这个时候是为了给它去绝对值啊，于是有我们什么啊？于是有， 于是有什么？于是由我们的这个 fa fa 减去什么啊？减去我们的这个 f b， 于是由我们这个 fa 减去我们 f b 的 这个绝绝对值， 应该是等于什么啊？应该是等于我们的这个，因为你这个 f 零是等于 f 一 的，你可以手动给它进行一个 f 零 f 一 的一个加减啊。嗯，等于等于我们的这个 fa 减去我们的 f 零， 你减去一个 f 零，你肯定要加上一个 f 零，明白我意思吧？减去我们的 f b 在 干什么啊？ 再加上一个 f 零，加上一个 f 零，你可以给他换成 f 一， 明白吧？加上一个 f 零，你可以给他换成 f 一， 因为人两个人相同的嘛，对不对？所以说你可以给他调整一下式子啊，是不是等于谁？是不是等于我们的这个 fa， 对 吧？ 是不是我们等于我们这个 fa？ 去什么啊？减去我们的，然后喝口水休息一下啊， 这是第七题， 这样呢，还是比较细的啊。那我们这里是什么？是不是有我们的 fa？ 减去我们的 f 零，对吧？减去我们的 f 零，然后再加上什么啊？再加上我们的 f 一， 对吧？ f 一 减去什么？减去我们的 f b， 对 吧？加上我们 f 一 减去我们 f b 的 这个绝对值，对不对？ 好，那这里是什么啊？啊？这里的话涉及了一个一个放缩不等式，大家可能不知道啊，对于大家这个考研这个新手可能有一定的不知道放缩不等式是什么啊？就是 a b a b 均为实数， a b 均为实数的情况下， a b 均为实数， a b 均为实数的情况下，我们有什么？我们有我们的 a 加减 b 啊， a 加减 b 的 绝对值是小于等于我们 a 的 绝对值，再加上我们的 b 的 绝对值， a 的 绝对值再加上 b 的 绝对值，然后呢？ a 的 绝对值 减去我们的 b 的 绝对值的绝对值是小于等于我们的 a a 减 b 的 绝对值。很简单，小于等于我们的这个 a 减 b 的 绝对值，明白我意思吧？好的， ok， 那 我们继续往下啊，小于等于我们这个 a 减 b 的 绝对值，那对于这里而言啊，小于等于我们 a 减 b 的 绝对值，那我们这个东西是不是可以给它看成这个，对吧？ 来，你，你把它这个，你我给你圈起来啊？你这个蓝颜色的，你把它当成 a 啊？你这个蓝颜色的，你把它当成什么？你把它当成 b， 然后中间是加，明白我意思吧？啊？然后干什么？就说你这边是不是小于等于谁？小于等于什么？小于等于我们的 fa 减去 我们的 f 零，对吧？减去我们的 f 零， fa 减去什么啊？减去我们的 f 零的 绝对值啊？ f a 减去我们 f 零的这个绝对值，再加上什么啊？再加上谁？再加上我们的这个 f 一 f 一 减去谁减去我们的这个 f b 的 绝对值，对吧？再加上我们 f 一 减去我们 f b 的 绝对值，懂我意思吧？ f 一 减去 f b 的 绝对值，那这个时候，呃，它是什么啊？这个时候我们又可以得到什么啊？嗯？ 它是不是小于等于谁？它是不是小于等于什么啊？小于等于我们的 什么东西啊？想一下，到这里以后，放松到这里以后，它应该小于等于什么啊？小于等于我们的，因为你这个 a b 是 有这样一个大小关系，对吧？你 a b 是 有这样一个大小关系啊？ 嗯， f 一 减去 f b， 嗯，对于这个整体这个式子上而言啊， f a 减去 f 零，我们现在是可以用这边的，对吧？ 是不是小于等于谁？小于等于我们的 a 减零的绝对值，对吧？这个也是可以用这边的，对吧？ f 一 f 一 减去 f b， 对 吧？ f 一 减去 b 的 绝对值，懂我意思吧？加上谁？加上一减去 b 的 绝对值，明白吧？ 加上一减去 b 的 绝对值，那这里是等于谁啊？这里是不是就等于谁？等于我们的 a， 对 吧？因为你 a 一定是正数嘛，一减 b， 一 减 b 是 正的， b 小 一点，那加上一减 b 没问题，加上我们一减 b， 明白我意思吧？没问题啊，那是不是等于谁？是不是等于一减？去什么？你给他调整一下，是不是等于一减去 b， 再减去 a？ 一 减 b， 是 不是一减 b 减 a 是 不是变成加 a？ 然后你再给他放缩一下，因为你的 b 减 a 大 于二分之一，一减去一个大于二分之一东西是不是一定是小于二分之一？ 是不是一定是小于二分之一？那这个就听出来了啊， a 减 b 的 绝对值大于二分之一时，它小于二分之一时，它小于等于二分之一。 小于等于二分之一。所以综上，当 a b 属于零到一时啊， f a 减 f， b 的 绝对值小于等于二分之一 啊。但这个题比较重要的是什么？比较重要的是这两个放缩不等式啊， a 加减 b 的 绝对值小于等于 a 的 绝对值，加上谁加上 b 的 绝对值。然后呢？哎，又后面的这个 a 的 绝对值，减 b 的 绝对值小于等于这个 a 减 b 的 绝对值。

好，我们看这个题， y 的 对角值，你看到了啊，这是 a 加上一个 b， 你 会发现 a 跟 b 都是大于零的。那最先想到什么呀？咱们中学的 a 加 b 大 于等于二倍的根号加 a， b， 是 吧？哎，它跟它一乘是个一嘞， 所以啊，用中学的方法的话，就能求出来了。这题是比较简单的好， a 大 于零， b 大 于零，那么 a 加 b 就 大于等于二倍的根号，加 ab， 什么时候取等呢？ a 等于 b， 是 取这个等号呢？这都知道啊。 好，这个 y 呢，就等于 e x 方加二分之一的 x 分 之一，是吧，这一块我们给我们给它写成啊，分式的结构。好，它大于等于二倍的根号下它俩一乘，它俩一乘，这是一个一了，还剩一个二分之一啊，对不对？根号下二分之一就是根二分之一乘一个二，这就是一个根二。 对，那 y 大 于等于根二，那它最小值不就是这个根二吗？往这一写，那是什么时候去等呢？也就是 e x 次方等于 a 跟 b 相等吗？二倍的 e x 次方分之一十， 也记 a 等于多少？是呢，取的好，这块跟它一乘的话，是二倍的 e 的 二， x 方等于一二，挪过来两边取对数。二， x 等于零二分之一，是负的零二好， x 呢，就是就是它是吧，这是一个最小值点了吧？ 负的二分之一倍的零二，好， x 等于它的时候啊，取得在这个点处啊，取得最小值好，初中了，哎，中学的方法初中应该就学了，是不是好把，二就是，我们呢， 不用初中中学的方法了。那用什么呢？函数求导，研究函数的向量是吧？函数向量它怎么走的呀？那就是去求导啊，求导的话， e x 方 好，再加上二分之一倍的 e 的 负 x 负 x 求到这里，负还是求到一个符号，是吧？所以这里就是 e x 次方减去，我们给他这样写啊，写成这样，这样的话是通个分嘛？ 好，那这就是二的 e 的 二 x 次方减去了 e， 导函数等于零，我们令导函数等于零去解柱点，是吧？ 好，得，注点能得出来不？二一二 x 减一等于零，跟刚刚是一样的啊，这里算得了一结果是吧？这里一的二 x 方等于二分之一，好，取对数对，一样的啊，好， x 等于负的二分之一倍的 low in 二，是吧？注点就是它，你就唯一的一个注点，那么一定是它的极小值点，也是最小值点，是吧？这是一个实际问题啊。 好，那如果作为大题的话，你还要这样去写一下，你在 x 大 于负二分之一倍的它的时候，好， 那我们的 e 阶导函数，因为你已经知道它是一个最小之点，是吧？它应该是这个样子。好，往后边的话，大于它的话， e 的 函数应该是大一点的，对不对？单增的函数好，那么 x 小 于负二分之一等于二的时候， 你看 x 啊，这个是属于负无穷到正无穷的。它定义啊，好，一阶导函数是小于零，你也可以说一下啊，函数这里是单增，这里是单减啊。大题的话，所以呢，这个点呢，就是极小指点，我们按大题的步骤啊， 极小指点也是最小指点，因为你就一个极指点， g 最小指点， 那我们的一个最小值的话，就等于好 y 把负的二分之一倍的零。二二一代好， e 的 负的二分之一倍的零二，你这个还得慢慢求一下呢，是吧？ 再看一下，加上二分之一倍的 e 的 负 x， 负 x， 把这个符号去掉了，还剩的是二分之一倍的零二。 对，我们把这个负的二分之一是不是可以挪到这个二的一个头上呀？二的负二分之一次方，负二分之一次方的话，可以给它写成二的二分之一次方分之一，二的二分之一次方不是根号二吗？可以这样写啊，根二分之一，好，后背 这里的话就是 low in 根二了吧？ e 的 low in， 它呢？就是根二分之一，后边就是二分之一倍的根二。哎，这个 没有问题吧？二分之一倍的根二再加上根二分之一。哦，我们这里这里都乘一个，这里都上下都乘一个根二，这是一个二，是吧？好，就是两倍的它呀，这是一样的嘛？两倍的它的话就是 搞复杂了啊，就这个根它跟它是一样的。二分之根二不就是根二分之一吗？是吧？脑子短路了啊？根二，好，朱老师的方法，这个不等式，该记的要再记一记，回顾一下。那用我们这个 高数的一个知识点的话，就是求求导，是吧？研究函数的一个形态，那它函数图像啊，大概，大概啊，就这样去画它，那其实它这个凹凸性的话，你也不用去管啊，你知道大概是这个样子就行了。好，那这个题就讲到这了。

二七版张宇一千题评测到底改了啥？二七版一千题，二六考完一个月才出来，张宇老师说这版更贴近二六真题，但二六真题其实挺常规的，以前基本都见过。 所以二七版虽然有一些二六真题改编题，但说实话不多，风格上也没有二四二五考完后那种大变化，跟二六版差别不大。咱们来具体看看张宇老师对二七版的建议。 智能型选手看这里，你刷智能型的时候， ai 才会同步推进一千题，而且八八零六六零的题型也都覆盖了，点题号就能看到智能型哪些专题要练到几级，这题你就能自己搞定了。智能型等级练到三满一千题，八八零六六零一刷 正确率都能到百分之八十到百分之九十以上。章鱼老师提到的第一点是二七版加了知识点，一般的就是几十年都不考引力，就是二五年考完之后就是几乎所有人都认为这个引力不会再考了。 我觉得就是我以我这二十多年对命题组的这个了解，他们往往出其不意， 可能再出一年，那二七版应该也加了一些，他觉得会再考得冷门点。其实冷门知识点覆盖最全的一直是智能型。说到冷门知识点，其实智能型覆盖最全，比如章宇老师一直强调的引力，智能型同学都说我做过好多次了， 而且二五年第一次考的时候，智能型就有了， 类似的还有二四年暑一又考了复历业，二三考了复历业之后，老师都说十五年一次的冷门考点，二四不会考了，结果是二三二四二五连考三年， 二四暑二的区律员所有习题册，包括一千题都没有，现在有的是二四考完才加的， 还有二三年复利业，二两年方向导数，二一年欧拉方程，以及更多计算里的小知识点。智能型不但都覆盖了，还会针对性训练。章鱼老师提到的第二点就是计算量大， 这个刷二六版的也不用担心，因为一千题一直计算量都很大，智能型会专门训练你的计算能力。其实很多计算问题本质上是小知识点，小概念，没搞清楚， 为什么很多人刷一千题感觉吃力，很多人有这样的无力感，明明每天都在学，但就是建立不起方法体系来， 这样做效果是很差的，吃力不讨好。打个比方，习题测讲一例题的难度是十五层楼，但是我们要从第一层楼爬到第十五层楼，你是不是要先爬到五层楼，再爬到十层楼？ 很多同学第一层第二层都没有好好的掌握，他就一定非要一步到十五层楼。这样做，你只会发现，最后上考场一百五十分的题目，有一百二十分是自己看上去很熟悉，但算不对的是忘记了最基本的做法的，到时候再后悔就来不及了。 六六零八八零一千这些习题册只能帮你从一百到一百三十，他们帮不了你从零分到一百分，所以大家学的很痛苦，因为你根本还没有一百分的水平，靠老师讲是讲不到一百分的， 换句话说，从零分到一百分这个过程要靠我们自己来补充。二一石二鸟的解决方案问题二，那你是怎么解决的呢？ 我们遇到很多同学是很怕考研数学的，学长对他们有什么建议吗？学长回答，我的基础也不好，我是二一一工科专业的数学，就学过大学里面的那几门课，但我们学校考试简单，和考研绝对不是一个级别的。我开始也是很怕考研数学，所以很理解大家的感觉。 很多同学可能从小到大数学都不怎么好，然后学的就很有阴影，其实大可不必害怕。一、知识点切片考研数学没有那么难，它主要是量大，知识点多，但题型相对高考来说比较固定。 这个题型的固定要建立在你对知识点的划分非常细致的基础之上，不是那种像讲义上课很粗的一个划分。如果你对知识点题型有一个很细致的划分， 能够把每一个知识点、每一个基本题型的标准解法都掌握了，把它从各个角度切片，那么拿到一个新题就能看到它的一个变化点，然后用标准的对应方法就能解题。 知识点多角度切片。二、进度条我的这套想法一部分也是用了智能行之后形成的。为什么大家学的这么痛苦，是因为大家根本没有一个进度条，也就是说，我根本不知道我学了这么多，到底学了多少，还有多少是我没学的。 虽然有的人会说我每天做十题，但是这不是进度条，因为做十题不等于掌握了考点。假如我告诉你这样的一个事实，考研数学所有的东西，他一共就六百六十个考点，虽然听起来很多，但是假如他就六百六十个， 弄懂了，就没有新的了，你还会畏惧考研数学吗？假如我再给你一个真正的解析能力的进度条，你是不是会觉得我接下来复习要有动力的多，我会有规划的多，我只需要一个考点，一个考点的去突破，我不需要再去天天琢磨到底接下去应该刷哪个题型，测 刷知能行，太干了，停不下来。三、拆解三十年真题大纲知识点要拆分六百六十个知识点，总结他的各种用途，以及他的组合题型和变化，你自己做，一没有时间，二没有这个数学能力，所以知能行就帮你做了这件事。 知能行就是对三十年的真题以及大纲知识点都进行了非常详细的拆解，然后他的复习题要写了每一个考法后面的标准，对于每个考点， 你都能够找得到一个精准的题库，并且可以有足够的练习，保证你不会忘。只要像打游戏一样，把六百六十个属性都练满，让进度条往上涨，是不是练起来就会很笃定？ 拆分知识点再组合起来。四一十二鸟，一千八百，大约覆盖百分之八十的知识点，六六零是百分之七十五左右。八八零一千题，大约百分之八十五，那只能行，就是将近百分之一百覆盖。 用智能型这一套方法刷到三级满六六零八八零一千题，这些习题测一刷，正确率都是百分之九十左右，也就是说，他不但把你从零分拉到了一百分，而且到了一百二十分左右的水平。接下来就可以刷难题，新题超越卷去提高了。 我刷六六零只用了一星期不到，八八零一千题也就三到四个星期刷完了。所以智能型打好基础后，习题册可以刷的很快，不用再局限于一本习题册了。 所以一、先刷智能型，二、他至少能帮你从零分拉到一百二十分。三、后面刷其他的题就快了。四、可以覆盖多本习题册，模拟卷上难题、新题 神龙大侠已练成。从一般的基础到强化到冲刺，规划来说，一、智能型覆盖基础到强化阶段，也就是现在到九月。二、基础和强化的分界点我觉得不太重要，因为它是根据每个人不同的水平在变化的， 你只要在九月达到一百二十分的水平，你这个专题快点，那个专题慢点都不重要。三、强化阶段，智能型的综测会变少，六六零八八零一千有 ai 猜，这时可以把六六零八八零一千都做了。 四、冲刺阶段，智能型每天半小时用来保持手感，这时你的水平已经很高了，可以多写模拟卷。这个规划我觉得是比较稳的，智能型会把考点切片位给你，你只需要执行，狠狠的执行，能做到吗？

二七版的章宇一千题到底改了啥？咱们三分钟讲清楚。首先出版时间，他是在二六考研结束整整一个月后才上市的。章宇老师明确说了，这次修定就是为了更贴近刚刚考完的二六真题。但是重点来了，因为二六年的真题本身比较常规， 以往的老题基本都覆盖了那些考点和套路了。所以二七版一千题里确实有根据二六真题改编的新题，但数量不多。整体风格上它没有像二四二五考完那次一样的突变，说白了， 它和二六版没有本质的区别，大家不用过度期待一次大换写，那到底该怎么用呢？咱们接下来具体聊聊章鱼老师给出的使用建议。智能型选手刷智能型的同时， ai 才会同步推进一千题 同时覆盖八八零六六零题型点，每个题号会告诉你智能型的哪些专题需要练到等级几，这道题就能自己做对了。智能型等级三满一千题，八八零六六零一刷正确率都在百分之八十到九十以上。章鱼老师提到的第一点 是，二七版加了知识点，其实引力二五就考过，但章鱼老师说几乎所有人认为二六不会考了，而章鱼老师认为会再考一次，所以二六的一千题就有。 那么二七版应该也加了一些章鱼老师认为会再考的冷门知识点。其实冷门知识点覆盖最全的一直是智能型，比如章鱼老师一再强调的引力智能型，同学说做过好多次了，当时卷子一发下来，我们考场的人全都在那说，我靠，应该是看到引力的题目了，老头杀了个回马枪。 对啊对啊，智能型其实做过好多次了，确实有东西。智能型。智能型引力题是原题吧。对，引力好像是原题， 而且二五年第一次考引力时，智能型就覆盖了，那个万有引力是真多亏智能型。同样情况的还有二四年， 鼠一又考了复利业，二三考了复利业之后，老师都说一五年一次的冷门考点，二四不会考了，结果是二三二四二五连考三年，当时他给我推一堆复利业急数，可把我急坏了，我还说他抓不住重点来着，什么才是重点？ 还是感谢智能行我那个复利液做对了，因为智能行天天推二四数二的区绿园所有习题册，包括一千题都没有覆盖。现在的区绿园是二四考完之后加上去的数二第一个填空。区绿园，我一看卷子给他撕了。区绿园智能行考过很多， 说二哪个老师教过去绿源方程，还有二三年的复立业，二两年的方向导数，二一年的欧拉方程，以及更多的计算中涉及的小知识点，智能型不但都覆盖了，而且会针对练习。章鱼老师提到的第二点是二七版计算量大，这一点说二六版的同学也不用担心， 因为一千题向来的计算量都是很大的。智能型会训练你的计算，其实很多计算问题都是小的知识点概念不清造成的。没智能型二四数学的计算我能往死里错，对计算量的帮助就很可以。真题预测我保底一百二，估分就一百二，拿捏的我死死的。为什么很多人 刷一千题感觉吃力？很多人有这样的无力感，明明每天都在学，但建立不起方法体系来。跟了张宇的基础，我感觉我可能想换个老师，感觉概念体系很凌乱，且没法细 致。其实，大家觉得刷题难，是因为很多同学都在盲目刷题，为什么这样刷题效果差？这就像爬楼梯，如果习题测的难度相当于十五层楼，你需要从第一层开始，循序渐进地往上爬。假设第一到三层是基本概念和简单应用，第四到七层 是单一知识点的标准应用，第八到十层是多知识点的简单组合。第十一到十五层是综合性强、技巧性高的难题。张宇，一千题， 假设你已经站在第十层左右，但实际上很多同学可能才在第三到四层。许多同学连一两层都没有牢固掌握，就急于挑战十五层。 结果就是，考试时一百五十分的题目中，有一百二十分是似曾相识却解不出来的。这往往是因为忽视了最基本的答题方法、传统习题测的局限性。六六零题、概念题不错，但仅靠它应对选填题是不够的。八八零题，主流知识点的综合性较好， 但二四被爆了冷门。一千题综合性强，但知识点覆盖面不如八八零。这些习题册能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。所以大家学得很痛苦，因为你根本还没有一百分的水平，而单靠听课很难听到一百分。 这就是为什么即使换了习题册，问题依然存在，因为根本问题不在于教材选择，而在于缺少 从零到一百分的系统训练方法。因此，从零分到一百分这个过程要靠我们自己来补充更高效的学习方案。很多同学可能从小到大数学都不怎么好，因此对数学产生了心理负担，其实大可不必害怕。一、知识点切片考研数学其实没那么难， 主要就是量大，知识点多。但相比高考，考研题型反而更固定，关键是要把知识点划分得够细， 而不是像课本讲义那样粗略划分。以函数极限为例，传统教材可能只分为三个类型的不定式，而其实在每个不定式下，都有几套适合不同场景的技巧， 什么时候用等价代换，什么时候用泰勒并不是粗略的知道方法就可以。当你能够精准掌握每个细分的知识点，熟悉各个基本题型的标准解法，遇到新题时就能识别它的变化点，找到对应的方法来解决知识点。多角度切片二、进度条为什么大家学的这么痛苦？ 因为完全不知道自己的真实进度。每天做十题这样的表面计划不是真实进度，因为做十题不等于掌握了考点。举个例子，每天写十题，半年就是一千题。为什么很多人模考还是分数很低？因为大多数人 没有系统地掌握各个子知识点，而是盲目的刷各种题型，没有形成知识体系。假如你知道这样一个事实，考研数学一共就六百个考点，虽然听起来很多，但是假如它就六百个，弄懂了，就没有新的了，是不是突然感觉没那么可怕了？假如你再有一个 真正的解析能力的进度条，你是不是会觉得复习会更有动力，更有规划？只需要一个考点一个考点的去突破，不需要再去天天琢磨到底接下去应该刷哪个题型。测智能型的能力条三、拆解三十年真题大纲知识点。要拆解六百个知识点， 总结他的各种用途，以及他的组合题型和变化。你自己做，一没有时间，二没有这个数学能力，所以智能型就帮你做了这件事。智能型对三十年的真题以及大纲知识点都进行了非常详细的拆解，他的复习题要 写了每一个考法后面的标准，对于每个考点都配备了专门的题库，让你从各个不同角度反复练习，直到真正掌握。与传统习题策不同，智能型不只是提供题目和答案，而是构建了完整的学习路径。 从基础概念讲解，到核心解析方法训练，再到综合应用，每道题都有详细的解析思路说明，不仅告诉你怎么做，更告诉你为什么这么做，帮助你真正理解解析逻辑。只要像打游戏一样，把六百个属性都练满，把进度条涨上去， 是不是练起来就会很笃定？拆分知识点再组合起来，我们跟踪分析了使用 ai 猜反馈正确率且等级三在百分之九十以上的五千名同学，其中百分之八十三的同学习题测的一刷正确率在百分之八十五以上。据后台反馈，很多同学的模考成绩 在使用智能型一个月后有大幅提高，当然这需要你投入足够的时间和努力，没有任何捷径可走。智能型刷到三级满六六零八八零一千题，这些习题测一刷正确率 都在百分之八十到九十以上，也就是说他不但把你从零分拉到了一百分，而且到了一百二十分左右的水平。接下来就可以刷难题，新题超越卷去提高了。所以一、先刷知能行，二、他至少能帮你从零分拉到一百二十分。 三、后面刷其他的题就快了，对照 a 代猜，一星期可以完成一本习题，测四，可以覆盖更多模拟卷上难题。新题刷完智能型，现在八八零很流畅，今天做了一千强化第三章，准确率蛮高的，这让我感觉到不真实，神龙大侠已练成， 这里是完整的复习时间表。一、智能型覆盖基础到强化阶段，也就是现在到九月主攻智能型，这时不用太纠结基础和强化的界限，不同，专题的进度可以有快有慢，重点是九月前 要达到真题一百二十分的水平，记住达到目标才是关键，具体过程因人而异，针对基础特别薄弱的同学，可以先跳过难度大的证明题专题，如中执定律、导数证明。二、强化阶段，全面提升智能型。一个专题到等级三，后期综合测试会减少， 这时可以配合 ai 猜，开始刷六六零八八零一千题的对应专题，这时你已经有一定的解析水平。一、刷习题测正确率在百分之八十到九十以上。三、冲刺阶段，巩固提高 智能型已经等级三满格，每天一般练半小时，保持手感。重点转向模拟卷，包括近五年的超越卷数一、数二、数三的题都可以练习。这个阶段要特别注意做题时间的控制，考研数学考试时间紧张，需要训练自己 在有限时间内高效答题的能力，可以进行多次限时训练，模拟真实考试环境。这个规划既稳扎稳打，又循序渐进。智能型会把知识点 细化成易消化的小块，你要做的就是坚持执行。记住，数学学习是一个渐进的过程，不要期望一蹴而就，即使今天只理解了一个小知识点，也是向着目标迈进了一步。每个人都曾经历挫折，但只要方法正确，坚持下去，一定会看到进步。加油，你一定能行的！