立体几何安徽单招线线角

立体几何中如果涉及到定角，比如求某个二面角的余弦值，一般都是要间隙圆折。 p o 中 ab 是 底面圆 o 的 直径，且 ab 等于四，说明半径为二， c 是 圆 o 上一于 a、 b、 d 点既然是圆周上的，说明这里是九十度。就翻译题目的时候，就把那些能写的都写上。 pa 等于二倍根，三，无限长都是二倍根，三是这两个二面角。 pa、 c、 b 和 p b、 c、 a 分别是 alpha 和 beta， 求它们正切值平方的倒数之和的值。第一题我们要关注 alpha 和 beta 这两个二面角，二面角要么间隙，要么转成平面角。 这道题目可以是用间隙来做，但是那样子有点不需要，我们不需要把间隙用来第一问，就可以找到二面角的平面角。因为我们要找的就是在 p a、 c 面内垂直于 a、 c 的 和在 a、 b、 c 面内垂直于 a、 c 的 这两个等腰，所以这里取中点连接自动垂直， 这里设为 d。 那 么另外一个垂直呢？这里垂直，我们就让它平行于它，那很明显连接圆心就是这两个平行，所以这两个垂直。 同样的方法取中点连接，可以找到 p b、 c、 a 的 平面角， 所以 p、 d、 o 就是 二面角， p a、 c、 b 的 平面角。另外一个就是同理， p e、 o 是 二面角， p b、 c、 a 的 平面角 叫 p e、 o 上面角 p b、 c、 a 的 平面角都找到了各自的平面角，那就通过这个里的 alpha 和这里的 beta 去计算 tan 的 值。看 tan 的 值，要找到直角，这也很好找呀。因为 p、 o 垂直于底面，所以这两个都垂直于 p o。 找到两个直角，分别就可以翻译出 tangent alpha 和 tangent beta。 平方取倒数再相加， 因为它们取完倒数之后， p、 o 呢，都跑分母去了，所以直接把 p、 o 通分到分母。需要平方分子 o d 方交 o、 e 方，它们各自是 a、 c 和 c b 的 一半，所以平方之后是四再分母， a c 方加 c， b 方就是 ab 方， ab 方是十六，所以等于十六。移上四乘以 p o， 这里是二倍根三，这里是二，所以就是二倍。根号二。平方之后八等于二分之一。一问结束 第二问。如果已知了 tangent 的 alpha 和 beta 之间的关系是根三倍，那么要求出余弦值。此时就可以根据我们第一问求出来的结果和第二问单独的条件，可以得出 alpha 和 beta 的 正切值。 这里有三在分母，然后这里是一倍，所以一共是三分之四倍。 tangent 的 alpha 平方分之一等于二分之一，所以 tangent 的 alpha 方是三分之八。 线段的倍呢，应该是二倍，根号二。根据这两个值，相当于就是定出来了 c 点的位置，我们就可以根据 c 点来进行间隙。 因为 c 是 我们主要的研究中心，所以就把 c 建在圆点处，要求出这四个点的坐标， p， a、 c， b， c 是 零零零，没什么说的。 a 呢， a 是 在 x 轴上的，要求出 a， c 的 长度，就要求出 o、 e 的 长度，那么乘二之后就是 a、 c 的 长度，而要求 o、 e 的 长度可以通过看成的贝特来求，这是二倍根号二。看成的贝特也是二倍根号二，所以这里是一。 b 呢， b 要求的是 bc， 也就是 o d 的 长度二倍，因为 o， e 是 一，所以 o d 肯定是根三零二倍，根三零。 p 点的值是最后一个求的，因为它比较多一点，每一个都是非零的。 g 轴应该是 p， o 的 长度是二倍。根号二这两边呢，分别是 o， e 和 o， d， 这四个值都求出来了，就可以求出每一个平面内含有的两个向量，这两个向量就能确定出它们的法向量。由于这里是余弦值，所以一定要一个朝内一个朝外， 如果能看出顿锐就不需要，但是这里不容易看出来顿锐，如果你火眼金睛能看出来，当然就可以直接通过顿锐来判断，就不需要一个朝内，一个朝外 x， y， z， 然后另外一个也是 x， y， z 加个角标列出方程。由于 c 是 圆点，所以我们肯定是以 c 什么这样子的形式去写出我们的向量，因为就直接抄坐标就行。 一个朝内朝内的向量看起来是不是向下的，所以 z 一 应该是负数，我们就让 z 一 是负根三 x 一， 这里显示的是零， y 一 呢，应该是二倍根二。同样的方法求出 m 向量 朝外的应该 z 是 正的， y 是 零， z 取正值就取根三 x 值，不用就直接 z 值取一就行。 因为根三 y 二是零二，所以自己就直接取一，然后 x 取负二倍根号二，这是 m 和 n， 并且一个朝内一个朝外，那么就用点击再除以魔的乘 积，等于点击点击之后零，这也是零，所以只剩负根三，再除以这里的魔应该是根十一， 这里的呢，八加一是九，就开根是三，所以乘三，最后是负根号三十三分之一。感谢大家的收看！

各位同学大家好，今天我们来讲一道立体几何中夹角的问题，我们看一下题，在长方形中 啊，底面是一个正方形，侧棱都告诉我们了，让我们求一面直线的夹角，我们知道求一面直线的夹角常用的方法就是平移，平移成共面的直线就是相交线。我们来看下第一种方法，平移 体对角线确实是不好平移的，我们可以平移面对角线，面对角线 a、 d 一 可以平移到 b、 c 一 上去，但是这样平移以后仍然是一面直线，所以这种平移方法不好， 你再平行在这个面上，再平行它也不是相交线，这样平移不对，我们需要换方法。那怎么平移？平移到内部，也就是中位线的位置， 来大家看一下，那这样的话哦，这条线与它平行，那这个夹角比如角 r 法吧，就是我们要求的，我们要求完求这夹角怎么求啊啊？封闭起来勾造成三角形，把三边都求出来，我们来求一下三边，看一下好不好求 先求出来。 a 一 d 一 根号三，这个就是四啊，根号四也就是二，那么 o、 m 就是 一。 dm 这边是直角三角形，一二分之一，一加四分之一，四分之五开根，二分之根号五， 那 o、 d 就是 b、 e、 d 的 一半，而 b、 e、 d 就是 什么长的平方，加宽的平方，加高的平方啊。勾股是根号五，那么 o、 d 就 等于二分之根号五。 好，在这个三角形 o、 d、 m 中，我们就知道三边的长度，求下角用什么方法与弦定力考三角 d、 o、 m 等于邻边的平方和 减去对边的平方除以二倍的邻边相乘，分别带进去，我们可以求出这个答案是五分之根号选 c。 这是我们的第一种方法，平移。 这就是我们讲的第一种方法，平移，其实这个地方平移的是中位线啊，有的同学看不出来中位线，那我们进行第二种方法。 第二种方法就是整个线段的平移，那我们怎么平移呢？来，我们把整个的四边形给它平移，来，我们来平一下啊，先把它擦掉， 我们把四边形 a 一 a d d 一 给它往下还是在一个面上啊？往下平移一下，那这样平移的话，对角线是不是就平移过来了？嗯， 是不是与这个体对角线就会相交于点 d 了？我们假设这个是 a 三 a 二吧，封闭起来， 勾成一个三角形，那我们求它加角在哪里哦？这个角可能是钝角，看着像啊，但是没关系，不管它对角还是锐角，最后我们都是要取锐角，余弦值的话都要取绝对值。 我们现在要把这三边求出来，刚才已经把 b 一 d 求出来了， d 一 a 就是 我们的 d a 二，是吧？还差一个 b 一， a 二 b a 二怎么求？大家看这个，只要能行 大的直角边是一，这个直角边是二倍根三，勾股定力可以求出来 a 二 b 二，然后再用余弦定力求出来这个夹角的余弦值就可以了。最后答案要去绝对值，因为我们的线与线的夹角是锐角。 好，这是第二种方法，我们再来看一下。第三种方法则是间隙， 也就是坐标化，向量的坐标化啊，我们直接求向量的夹角， 把坐标求出来，求向量夹角求出来以后，不要忘了再给他截个绝对值，用数量积公式转化成像量的加角公式好，还有一种方法。第四种方法就是要转化成基底层角公式好，还有一种方法就是要转化成基底层。角。公式好，还有一种方法就是要转化成基底层。 在这里我们以 d 点为起点，像以向量 d a、 向量 d c、 向量 d d， e 为基底，去表示出这两个向量，向量 a d， e 和向量 d b e， 然后让基底去求夹角，这样也是可以的。不管用哪种方法，我们都都要会做这四种方法，大家可以课下好好的去看看，去练一下。 我们今天的课就讲到这里了，大家听懂了吗？不会的同学可以评论区留言，喜欢的同学点赞收藏，我们就先上到这里了，再见！

今天这节视频重点讲思路，讲大家如何去做辅助线，讲大家如何去想对一些书写的规范。比如说啊，你想说明线面平行的时候啊，找到线线平行了，你还得附加条件。说啊，你这条线呢，在这个面上，以及这条线不在这面上，这些附加条件，这些书写规范，今天不做要求， 要不然这视频太墨迹了啊。今天这个视频的主要作用是帮大家串思路，你得先会正了，你再去想书写过程。 ok， 那 我们正式开始啊，三棱柱八八八八， e 是 a b 的 终点， e 是 a b 终点，然后让我证明 b c， e 跟 a e， c 是 平行的。 说实话，这题老生常谈了，大家看，这是线面平行，不是几个方法，给我打个数出来，一个两个还是三个还是四个来着？在这呢，你要么找平行四边形，你要么找中位线，你要么做平行面，咱一个一个试。 首先用神奇的目光或者神奇的小尺子，你把这个线往那个面上去移，大家自己看，你这条线太长了，对不对？太长太大了，这个这个面他根本容纳不下你这么长的东西。所以咱如果想主动找什么平行四边形，稍微有点难，那你也别在一棵树上吊死怎么办呀？做中立线喽， 看好中位线。第一步，你得在这个线跟面之外上选一个点啊，你选谁呀？那有同学想，哎，我选 b 一， 哎，你这么一选完，你跟这一个端点连完之后，你要想跟这面怎么有交点？你这么交，这是交出去了，不是特别好做。所以这个 b 一 啊，不能用 啊，你整个图形，你就一二三四五六七，一共七个点，你 b 不 能用，你只能用谁？是不？只能用 a 来这 a， 我 跟两个端点进行连接，一个 两个。那我现在关心的是这两条线和我这个大黄面，它的焦点在哪？上面这好看不？这我都交出来了，这焦点必然在 a、 a， e， c， e， c 那 面上吧。我设一下这点焦点之一。 第二个，这条线跟黄面有没有焦点？傻了，那不就点 e 吗？我不用设了，我现在需要做的是把这俩焦点连起来。我需要说明这 e、 g、 e 是 不是 b、 c， e 的 中位线呀？ 多笨的宝贝才能看不出来啊？你 e 是 a、 b 的 中点，那 g 是 a、 c， e 的 中点，因为侧面是一个平行四边形，平行四边形的对角线肯定是相互平分的，所以在整个大三角形当中，这俩中点一连接，必然是中位线。 那就证明完了， e、 g 跟 b、 c e 线线平行，那因为 e、 g 呢？在这个面上， b、 c， e 呢？不在那面上，所以线面就平行了。第一个，乘法结束， 接下来再来一个乘法，先证明线线平行步。第一，咱可以做平行面，对不对？哎，平行怎么做来着？过俩端点做这面上某条线的平行线，比如说过 b 点啊，做平行线，我觉得做 a、 e 平行线特别好做。 大家看啊，我把这条线一到穿过 b 这位置的时候，我发现，哦，我这么一做，看这点很明显，它应该是一个终点。我做一下， 那究竟这两条线是否真的平行，那你就去研究这侧面上的事呗。这侧面是一个平行四边形，因为他不是三棱柱吗？那具体他没说是直的，所以呢，这个地方我也不敢说他是直角啊，我就直接画一个普通情况， b 一 是上面的终点， e 是 下面的终点，这你考试的时候都不用一步一步正，你就说，显然他是一个平行四边形，因为对边平行且相等呗，所以有了两条绿线平行。 哦，那过 b 点主动做了个平行之后，我发现，哎，这三点就已经确定一个面了。我为了说明真的是面面平行的，我找到一对平行还不够，还得找另外一对，哎，能找 b c 一 不？不能， b c 一 是你最后要正的，你得找另外的这条线，这条线跟刚才咱这面上有没有某条线肯定是平行的。傻了， 神奇的目光，我把这条线往下移移移，往这面上去推一下就推到 e c 了。呀，咱知道上下底面肯定是全等三角形，那我做了这个中线出来，它俩肯定平行，所以两对线线平行，我就找到了两对线线都平行了，那它这两条线所形成的面 a e， e c 和 c e b 啊，这点没设，这两面面平行正完了，这是面面平行的做法。 好嘞，第二问，它设 f 是 a a e 的 中点好，然后 b f 跟 a e 这焦点，它是一个大 m， 然后呢， c f 跟 a e c 也有个焦点，这焦点呢，是一个大 n， 怎么样让我证明是 m n 跟 b c e 平不平行， 最最后落这点，它是线线平行。哎，线线平行怎么正来着？是不告诉大家有两个思路，第一个思路，你用平面几何去做。第二个思路，你用力的几何的线面平行去做，你看有没有一个现成的线面已经平行了，然后你再去过这面做个交线出来，那交线跟着线一定平行。两个方法我全都讲，因为对这道题来说，那的确两个方法真的都能用。 首先我用立体几何方法，大家看啊，在题目里面有没有一个线面平行，我已经已知的哦，第一问是不就有啊，我不是都知道了吗？绿线跟蓝面平行啊，我刚正完，我不能忘了哦，那大家自己看 m n 是 啥东西？ m n 好 像是 c e b f 这面上的线吧，我连接一下， 而且 m 好 家伙，还是这蓝面跟绿面的焦点嘞，所以用这几个方法，啥辅助线都不用，绿线跟蓝面是平行的，经过绿线我做了一个面，结果这两面呢？还有交线呢？交线跟我原来这些必然平行，直接结束 哦，那我光讲这个我觉得还不太够，因为有时候大家真识别不出来这个线面平行，有的人真忘了哈，所以我不能强求大家一定得会这个方法，大家还得会第二个，用平面几何的知识去做 哈，让我证明 m n 和 b c e 平行不？题目中说 m n 怎么来的，它是 c f 和 b f 这么交来的， 那大家自己看喽，我想说明他俩平行不平行哎，我只要证明这俩三角形是否是相似的是不就行了。换角时，我只要证明这边的比例关系跟另外这边的比例关系，这 m n 是 否都是各自边上的相同的极等分点喽？那我按照这个思路来想一想啊。 首先我来看一下 n 点，它是极等分点，绿的比粉的，大家能不能用平面几何知识告诉我，我已经看出来了，大家看出来没哦，这是绿的比粉的，这是不是绿的比粉的呀？这是不是绿的比粉的呀？因为这个绿三角形跟粉三角形居然是相似的嘞，因为这俩不平行线吗？ 相似比是几比结， f 是 中点，所以 a、 e、 f 应该整个 c、 c 的 一半是一比二，一比二，一比二，所以 n 点应该是一个一比二的三等分点。好， n 点这事我证明完了，我问大家， m 点它是这几等分点， 那这图形现在已经太复杂了，对不对？哦，那你看看 m 点是几等分点的话，这个问题好像正好是在侧面上的一个问题，我把这侧面单独拨出来给大家看， 像扒皮一样。刚才已经扒过了，说了，这侧面它是个平行四边形， a、 b、 b、 a、 e、 f 都是各自的终点，各自连一下。 现在我想知道这 m 点究竟是这蓝色 f m 比 mb 这条线段上的极等分点，大家能不能看出来？有没有一步到位的方法？ 这可不是高中数学知识哦，这平面几何知识，我把 a、 e、 b 连起来，大家能不能看出来？你看，在这整个大三角形里， a、 e 是 一个边上的一个中线，同时 b、 f 也是这三角形的中线，俩中线相交，这心是重心吧？重心有什么性质？ 那么妥妥的把中线分成一比二的性质吗？所以这 m 点它也是一个一比二哦，一比二，一比二，平行线线平行类结束。 这咱也可以把一整个立体几何问题分解成两个不同面上平面图形的问题，用平面几何来做。 ok， 这就是今天要讲的第一个平行证明的小例题。呃，难度还好吧？

不严谨，不严谨知道吧？人家所问的是屁是一个洞点，就屁不管在哪，他俩屁股都垂直。懂我的意思，没有一步一步来标这个条件啊。来看， m n 分 别为零 bc 和 c c， e 的 一个中点，对不对？嗯，好， m 是 谁啊？ b c b c。 好， 我找一下 b c， 那 m 是 不是在这？对啊，它是 bc 的 一个中点，然后 n 是 c c e 的 中点，那是不是它啊？ 继续 p 为零， ab 上的任意点，比如说这个点 p 在 这，好吧，好，我们看第一个 a 选项， a 选项他说 a p 垂直 m n， 那 判断这个是否正确，那么首先是得把这个 m n 给连起来，对吧？ a e p 连起来好， m n a e p 连起来，然后还得把谁连起来？ a e p， 哦， m n a e p 是 不是都连起来了？先间隙， 也就是说他现在让你看到是 a e p 是 否是垂直， m n 的 对不对？这个是否是垂直的，怎么做啊？你要想看到它是否垂直，如果垂直的话，他一定会满足什么？数量 积等于零，那如果数量积不等于零，他是不就不一定会垂直了，对不对？好，我们来看， 那首先你如果用向量的摄像机来做的话，你首先得间气，对不对？那间气的话，我们这三个轴得怎么样？两两互相垂直，对不对？两两相互垂直啊， 那正方体这个是不是正好就这个长角？所以说这个就是什么轴？ a 轴 a 轴，这个是 y 轴，这个是 s 轴，对不对？好，现在人家又告诉你，这个棱长是二，二，对不对？ 那么来看啊，棱长是二，那 a e p 向量 a e p， 那 你肯定得知道 a e 的 坐标吧？来看看 a e 的 坐标， a 的 坐标是不是先往 s 轴垂线特别线二就是横坐标是二，竖坐标是不是也是二？好， p 点的坐标呢？ x， y， z 横坐标是多少？是不往这边坐一圈，这是几二二做坐标呢？知道吗？不知道，那就是 y 零，是不是 y？ 竖坐标是零，但是这里的 y 它是有一个半回的。 y 是 在哪？ 零啊？是大于等于零，小于等于二，这是个 y 的 一个曲范围，因为它是只在这条线上，中间一个对。好，接下来继续继续。 那是不是还有 m n？ 好， 那 m 的 话是不是也是横坐标？往这做垂线，横坐标是零，纵坐标是零，零好， n 点的坐标二， 横坐标是零，做坐标是二，竖坐标是一。不要说话，立直圈零二一，对吧？嗯，好，是不是零二一？ 你看，讲多精彩，你就不应该睡，是不是零二一？那接下来你是不是得表示一下向量 a p 对， 对不对？向量 a p， 它等于什么？ 什么坐标减什么坐标？中点坐标减起点坐标，那象限 a 一 题就是二减二是零，外外负二负二，对不对？ 然后是项链 m n， m n， 对 吧？项链 m n 等于多少呢？零一一，零一一。然后接下来你要算一下，项链 a e t 点成像链 m n， 那 项链 a e t 点一下，然后这是什么积数？数量积数量积的坐标运算是如何计算的？对应相乘再相加。所以说零和零是零， y 等于一，是 y， y 减二， 这 y 减二好， y 减二，它是一个对角吗？不是的。当 y 取得二的时候，它是不是等于零？它来去对不对？当 y 等于其他的数，它是不是就不等于零的？所以说此时你可以写到一再减 什么 a， e， t 与 m n 怎么样？垂直的时候不一定是不是垂直， 是不是不一定垂直？是不是不一定垂直？好，这是这一个啊。 a 是 船， 谁的船？ a 选他肯定是错的呀，他不垂直啊，他不一定不是说不垂直，他不一定垂直。 当 y 等于二的时候，它是不是垂直的？那 y 等于其他数，当 y 等于一的时候，它垂直吗？不垂直，不垂直啊。所以说一选项是错误的，说 就是 a e， 然后那个 p 在 点 e 的 时候不对角线吗？然后那个你说把 a e 连起来，对吧？对角线，然后他那个 m i 两个不都是终点和那个 b c e 周围线俩平行，然后这个 a e d 到那个面也是对角线，然后对角线。对 啊，你说他是和这个对角线垂直的，然后这个对角线和这个是那个的，然后垂直的啊。那你只能说明就是 y 等于二的时候它也是垂直的。 但是，但是，但是你不能说明就是其他地方它是否垂直。你没有正出来， 不严谨不严谨知道吧？人家所问的是屁是一个动点，就屁，不管在哪，他俩屁股都垂直。懂我的意思没有？好，就这一份啊。

勾股定律不管用，这招线面垂倒线线垂才是立体几何垂直的真正王者！同学们，我们接着讲证明线线垂直的第二种方法，线面垂直传导。线线垂直。这是高考里考的最多最万能、最核心的一招，百分之九十的大题都靠它！我直接给你最干脆的定律， 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线。白话记法，线垂面，则线垂面里所有线。做题思路就三步，超级固定， 一、先正一条直线垂直于平面里的两条相交直线。二、得出这条直线垂直于这个平面。三、 直接推出这条直线垂直于平面里你要正的那条线，这就叫传导线面垂直，自动出现线垂直，他比勾股定力强太多，不用算长度，不用开方，不用算平方，纯靠定力， 稳到不会错。这招学会立体几何垂直题，你就真正开窍了。下节课我们讲第三种垂直方法，面面垂传导。