诱导公式表

今天这期视频咱们讲诱导公式啊，那么讲诱导公式之前，我们先要了解一下诱导公式它指的什么意思啊？ 我们以这两个诱导公式为例，我们说有一个任意角 off 角啊，那么它呢，如果说进行了某类运算之后，会得到一个新的角， 这个新的角跟原来这个角呢，它们的三角函数之间会有一个等量关系啊。例二也是如此啊， alpha 角进行这样的运算之后，跟原来这个角它们的余弦之间啊，会有这样的一个互为相反数的等量关系 啊。诱导公式所有的大体都是这样的一个逻辑。好吧，那我们先举个例子去具象化的理解一下这个例一，这个诱导公式，它为什么一直都会是这样的关系呢？我们现在画一个 平面直角坐标系，再画一个单位圆啊，那么现在假如说啊，来这里呢，是一个 alpha 角，假如说 alpha 角在第一象限，那么 pi 加 alpha 应该是什么？ 是不应该是在 alpha 的 基础上逆时针转了 pi， 那 么 pi 加 alpha 的 中间就应该是跟它是一个反向延长的关系对不对？那这个角就是 pi 加 alpha， 那 在这里你明显能够看出来，我 alpha 角的一个正弦值， 跟这个派加 alpha 的 正弦值应该是互为相反数的关系，这是当 alpha 角为第一象限的时候，符合这个诱导公式对不对？好，那么你如果说这个 alpha 角呢？现在它如果说是一个第二象限角， 这是个 alpha 角啊，那么在 alpha 的 基础上，我再给它加个 pi， 其实就应该是再逆时针转到这对不对？好，那其实就应该中边落在了这里，中边落在了这里的话，来我们的这个 pi 加 alpha 就是 这个中边嘛，对吧？它的一个正弦值应该是 a 撇 t 撇原来的正弦值， a t 正弦值还是互为相反数的关系啊？依次类推啊。你如果说让这个 alpha 角作为一个第三象限角出现的话， 那么我的这个 pi 加 alpha 是 不是应该也是反向延长？它们的正弦还是互为相反数的关系？同样的，如果说 alpha 在 第四象限角，我还是给他反向延长，就是 pi 加 alpha， 对 不对？它们的正弦值还是互为相反数的关系 啊？那通过这个具象化我们就能理解了啊。诱导公式其实就是我任意的取一个角，那么在这个角的基础上加个派，跟原来这个角他们的正弦值是互为相反数的一个等量关系，这个是我们通过科学研究得到的最后的一个结论公式，可以理解吧。哎，那么我们 例二也是如此啊，假如说有这样的一个 alpha 角出现，假如说它是第一象限角啊，然后派减 alpha， 我 们的派减 alpha 跟 alpha 角，其实它是一个相加等于派的一个互补关系，对不对？那互补关系的话，那现在我们的这个 哎，画一个这个蓝的这个是不是就应该是派减 alpha 角？我们得使使边落在 x 轴上，对不对？那你看是不是能看出它俩互补？首先我们先画一个，它和这个红的是关于 y 轴对称， 关于 y 轴对称，为什么就互补呢？你看这个小角，我令它为 alpha， 那 这边是不是这个角大概应该跟这个 alpha 一 样大，对不对？那这个 alpha 加上这个派减 alpha， 那 你看是不是加一块是一个一百八十度？好吧，那所以说我们的派减 alpha 的 中边跟 alpha 的 中边应该是关于 y 轴对称，那么不难看出来， 我们这时候看的要是 o a， 一个是 o a 撇他们的方向相反，大小相等于弦值，就应该是互为相反数的关系 好吧，哎，这是 offer 在 第一项线角的时候是成立的，那如果说啊，我们的 offer 在 第二项线角，这个你自己去研究一下啊，我的 offer 如果说在第二项线角的话啊，然后我们的派减 offer 其实跟它怎么样？余弦值也是互为相反数的 啊，第三象限角也是如此。往后我就不过多赘述了啊，就是说我们的诱导公式其实就是根据啊，我们的无论这个阿尔法为任意一个角的情况下呢，它都满足这样的一个关系。那现在啊，我们知道了诱导公式的意思，现在最重要的就是怎么把这一系列诱导公式给它记住， 那记忆的口诀来了啊，重中之重就是即变偶不变符号看象限对不对？我们会发现来它其实诱导公式指的是 每个原来的角的三角函数值，跟原来这个角的基础上怎么样做，怎样的运算得到那个角的三角函数值有等量关系。所以说我们现在诱导公式所有的后面的这个等号对应的角都是单独的，原来的这个 off 角 能理解吧？而前面呢，是在 offer 的 基础上进行怎样的运算？那现在我们要看啊，以第一个例子为例，你前面出现了一个 set 派减 offer 啊，那么后面的这个角一定是个 offer， 我 们先确定下来，那么这个 offer 前面这个到底是正弦啊还是余弦啊？我们要看什么？要看口诀的第一句叫即变偶不变 基友指的是谁？来，在这里记住啊，指的是我们前面的这一坨 off， 前面的这个东西看他是二分之派的多少倍啊？那这个明显派是二分之派的一个二倍，对不对？哎，那其实就是二分之派的一个偶数倍， 那么偶对应的是什么？偶对应的是不变。如果前面这个东西它是二分之派的偶数倍，那么后面这个 alpha 对 应的三角函数值跟前面的这个是不变的，所以说这个地方也是塞 啊。然后下一句符号看象限，符号指的是什么呢？就是说前面这个到底是正是负啊，那么这个符号到底是正是负呢？看的是什么？看的是前面的这坨东西的一个象限 啊。那有同学问了老师啊，那这个 alpha 角不是任意角吗？它都不没定下来是第几象限呢？我怎么能判断它的象限呢？哎，这个时候我们还有一个特殊的处理，就是我们在记公式的时候要把这个 alpha 呢当做一个锐角 啊，也就是第一象限角，那么第一象限角假如说 alpha 在 这 alpha 加上 pi 是 不应该 第三象限角，第三象限角的正弦为负。好吧好来，你看，全看的都是前面的这一坨东西，而且看的是正弦， 第三象限角的正弦为负，那么这个时候来这个符号就写在这，又的公式就写完了啊。那我们记住啊，符号看象限看的是谁的象限啊？我们可以把它说成是符号看前线啊，上前线了， 对不对？哎，怎么样去理解啊？好，那我们按照这个逻辑再去看下一个，下一个的话呢？ cosine 二分之 pi 啊， pi 减去 alpha， 那 那后边的话，首先一定是个 alpha 自己，对不对？那好，那既然是这里应该是赛还是个 cosine 的 话，我们现在拿不准我们要看什么，即变偶不变，对不对？ 这里是一个 alpha， 放在这，那前面这个 pi 是 二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说不变不变的话呢，前面是 pi， 后面就也是 pi， 符号看象限，那这个地方到底是正是负呢？我们要看来前面的这个东西的一个象限啊，前面这个东西，我还是要把这个 offer 当做第一象限角来处理， offer 在 这，那么负 offer 就 应该在这负 offer 再加个 pi， 其实呢，落在第二象限，第二象限的余弦为负，所以说这个地方就是负， 好吧，那我们再看第三个，第三个的话，它是什么来二分之派是不是减去一个 alpha， 后面一定是 alpha， 那 这个时候我就要看来既变偶不变，对不对？好，那么这是二分之派的一倍，那就应该变了，所以说 cosine 就 要变成是对应跟它对应的那个正弦， 哎，变了吧。好，变了之后我们再看啊，符号看象限还是看前面的符号看前线吗？这是 alpha， 这是负 alpha 负 alpha 再加上一个二分之派，加上一个九十度 啊，那还落在第一象限，第一象限的余弦为正，那这个地方就应该是一个正的，正的， 好吧，好，那这个诱导公式就成了啊，那我们利用了这三个例子，大体的去理解了一下我们的基变不变符号看象线的一个规律啊。好，那我现在带大家去把所有的诱导公式按照这个逻辑去梳理一遍。首先诱导公式一，它最简单，它指的是在原来这个角的基础上，我转了整数圈， 其实就是中边位置没有变化，对不对？那如果说中边位置没变化，那其实我们 来这是阿尔法，然后转了整数圈，中边位置没有变化，那其实还是这个中边，那还是这个中边的话呢？正弦没有变化，余弦没有变化，正切也没有变化， 对不对？那么我们如果按照基变偶不变的逻辑呢？其实也可以这样去理解，就是这个二 k 派呢，其实就应该是二分之派的一个四 k 倍，四 k 一定是个偶数，二分之派的偶数倍，那这个怎么样来？跟前面有没有变化？同样这个也没有变化 符号看前面的象限，你把它当做一个锐角，锐角加整数圈，还是第一象限的锐角，对不对？第一象限的正弦为正，那这个地方就是正。第一象的余弦为正，那这个地方也是正，这里正切啊，第一象限为正，这里也是正啊。拿记忆口诀也能够去理解诱导公式一 啊，那我们再看一下诱导公式二啊，我们挨个去给它添一下。好，后边一定是 alpha 啊，那前面的话呢？怎么样看啊？前面的话是二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说即便偶不变， 对不对？符号看前线符号的话，那现在看来，前面的这个应该是把 alpha 当做第一象限角，或者当做锐角的情况下，再加个 pi 派加 alpha 应该是第三象限角，第三象限角的正弦为负，所以说这个填负号啊，那这个的话，因为不变嘛，后面就应该是 cosine alpha， 那 么来，第三象限角的余弦是不是也为负，所以这个地方也是负 啊？那这个来应该是贪进的 alpha， 那 第三象限的正切，我们是不是负的？比负的应该是为正，对不对？那所以说前面的正切为正，这个地方也是正， 好吧。诱导公式三，哎，这里看一下，最后肯定是 alpha 啊，但是这个地方我们要注意看啊，它的话可以写成一个 零倍的二分之派，然后再减去一个 alpha 零，二分之派的零倍，其实就应该是零，也是偶数吧。 哎，好，那么也就是偶数倍的意思，偶数倍的话，那就应该怎么样？应该不变，对不对？那这里不变，这里也不变， 这里也不变啊。符号，看前线，那我们还是把 alpha 当做锐角啊。那 alpha 在 这，我的负 alpha 呢？就应该是在这，对不对？负 alpha 的 正弦为负， 负 alpha 的 余弦为正，负， alpha 的 正切为负。好的，这三个月的公式搞定了。 右导公式四， alpha 放在这，既变，偶不变，这个是二分之派的一个偶数倍，对不对？那肯定是不变，那这里就不变，这里就不变，这里就同样的也不变啊。好，符号，看前线，那我们看一下， alpha 如果还是当做锐角， 这是 alpha， 那 么这个应该是负 alpha， 对 不对？负 alpha 再加上一个 pi， 那 就变成了一个第二象限的一个角，第二象限的角的正弦为正，那这就是正，余弦为负，这就是负，正切为负，那这就是负。诱导公式第四组，搞定。 诱导公式第五组，后边还一定都是阿尔法。好，那这个时候我们看是不是二分之派的一倍，对不对？好，那基数倍的话，那这里就要变，那这里变余弦，这里呢变正弦啊，那这个也要变，变成什么？来，我先给大家写上，这个叫口弹琴啊，其实呢，我们说啊，来，这个叫什么名？ 这个是不是叫正弦？他叫什么？什么弦，对不对？来这个叫什么名？这个叫余弦， 它也叫弦，它俩是相互对应的啊，那么这个弹进它叫正切啊，然后呢？口弹进它叫余切，它俩都叫切，这两个切相互对应，相互转换，那其实这个余切跟正切啊，是这样的关系，我们随便画一个直角三角形吧啊？ abc， 我 们的这个 a 角的一个正切应该是 bc 比上 ab， 对 不对？对比邻， 我们的这个 a 角的余切的话啊，那其实就应该是 a b 比上个 bc 就是 我的邻比。对，其实它俩正好是个互为倒数的关系好不好？所以说如果说一个 alpha 角的一个余切，它应该就等于是 alpha 角的正切分之一 啊，我们就先讲到这啊，让你知道一个正切的对应是余切就好了，好不好？那么现在来我们看这， 呃，我们还是把这个 alpha 角当做第一象限角来看，如果 alpha 角是第一象限角啊，负 alpha 角就应该是在这，然后在负 alpha 的 基础上加一个九十度 啊，加一个二分之派，那么二分之派减啊，其实应该是第一象限的一个角，第一象限的角来符号看前线，第一象限的角的正弦应该为正，这里就是正，第一象限的这个余弦应该是正，那这里就是正啊，那么第一象限的这个正切也是正，那这里就是正， 好吧。当然这个你也可以把它理解成什么呢？就是 alpha 跟二分之派减 alpha， 它俩的固定关系就是相加，等于二分之派就是互余的关系，对不对？那既然互余的关系，你可以把它理解为在一个直角三角形当中，这是 alpha， 然后这个就应该是二分之派减 alpha， 对 不对？你的正弦，我的余弦，我的余弦就是你的正弦， 对吧？你的正切啊，就是刚才所说的你的正切，那就是我的余切喽，对不对？哎，这个诱导公式五可以这样去记忆和理解，我们再看诱导公式六啊，诱导公式六后面一定是 alpha， 然后看一下，这是二分之派的一倍，也就是基数倍，所以说要变， 要变，那这个也是要变的，变成 q 弹金的，对不对？或者是变成一个弹金的 alpha 分 之一变成这个样子啊？好，那我们再看符号，看前线，我们还是把 alpha 当做第一象限角 alpha 在 这再加一个二分之派 第二象限了吧。第二象限的正弦为正，那这就是正，但是第二象限的余弦为负，这就是负。 第二项线的正切为负，这就是负啊，所以说它等于负的 q 贪心的算法，或者等于负的贪心的算法分之一， 那这是我们的诱导公式六啊，那我们再看一下广义的诱导公式啊，那他也可以按照我们的这个基变不变符号看象限来记忆啊，就是比方说第一个那扣塞二分之三派加上算法后边的话，一定是算法 啊，那么二分之三派是把二分之派的一个三倍叫基数倍，所以说基变，那这里就要变符号，看前线前面，那你就直接看前面，把它当锐角。阿尔法在这加上二分之三派，是不是加上了一个半圈，又加上以九十度， 那现在中边落第四象限，第四象限于弦为正，那这个地方就是正，有的公式直接写出来了， 对不对？当然了，你要是说非要是用前几个常见的诱导公式去推导他们之间的关系，也不是不可以，你可以让它啊，来 cosine， 把它写成一个 pi， 加上二分之 pi 加上 r， 对 不对？好，那你可以把它先暂且看做一个整体啊，那根据诱导公式， cosine pi 加上一个 a， 应该就等于来我们的什么？是不是基变不变，那就应该是等于 cosine a， 把它看作第三象限角， 对不对？ a 的 话，第一象限加个 pi， 第三象限角余弦为负，这个地方就为负吧，对吧？你可以先去利用这样的一个诱导公式，那么就会得到它就应该等于是负的一个 cosine 二分之 pi 加 alpha， 啊，这是第一步。然后我们再怎么样来，在这我们是不是又可以把它利用一个诱导公式，它就应该是 sine alpha， 那 并且是不是负的，对吧？ 负 sine alpha 吧。啊，然后前面又加一个符号，负，负得正，那就最后就变成了一个什么呢？变成了一个正的 sine alpha， 哎，跟这个结果是不一样，但是你会发现怎么样？我如果用这两步的话，没有这个这么快， 对不对？哎，这就是广义的又有公式，那广义的又有公式，我们也可以看一下这个。下面这个啊，如果说出现了 sine 二分之九 pi 加上一个 alpha， 后边一定是 alpha， 这是不是基数倍？所以说要变那符号，看前面的象限，把它当做一个锐角，当做一个锐角的话，这是一个 alpha， 在 alpha 的 基础上，二分之九派有点太大了，你可以把它看成是二分之八派加上一个二分之派，对不对？这是就四派，四派就两圈， 那在 alpha 的 基础上先转两圈，中边肯定又落在了原位置上，对不对？然后再加个二分之派，那中边就正完事，对吧？ 好，那么诱导公式搞清楚了，我们看利用诱导公式啊，去解决一些个这个，给一个这样的大角去求具体的值。六分之三十一派看起来太大了，对不对？哎，那就应该让它等于一个来看这里啊，五六三十，对不对？那就应该是五右六分之一派，那就这样写 cosine 五派加上个六分之派，这样写行不行啊？然后你再看啊，那既然说你可以用两种方式去做 啊，它五派的话，你依然可以把它写成一个 cosine 四派加上个派，再加上个六分之派，可不可以？那这个四派的话，多转了两圈，它就等于 cosine 派加上个六分之派，这个是用的就是诱导公式，一，对不对？在这个角的基础上多转了两圈，我们的余弦值 是一样的。好吧，那到这个步骤，那现在我们就可以看，这是一个单独的 pi， 你 可以把这个当做一个 alpha 角，我们现在利用的就应该是 cosine pi 加上 alpha， 应该就等于一个 cosine alpha 是 不变，然后看前线，这不第三象限角吗？第三象限角余弦为负，那这个就是负， 对不对？那所以说这个位置就应该是等于负的一个 cosine 六分之派。 cosine 六分之派等于多少啊？是不是 cosine 三十度啊？那是不是就应该是二分之二三，这就是负二分之根号三了，对不对？好的，那么这是我们的第一个做法。第二个做法是什么呢？就是我们直接你看啊，来，这不五派吗？ 对不对？你扣赛。五派加上一个六分之派，他就应该是一个二分之派的一个十倍，是不？偶数倍，对不对？偶数倍的话，他最后一定是什么函数名是不变，不变的话，那在五派的基础上，那我就把这个直接六分之派写在这了， 对不对？那么符号看前线，这个时候你要注意啊。来，如果说你现在对标的诱导公式就应该是 cosine 五派加上一个 alpha， 你 要把这个 alpha 当做第一象限角来去看这边这个位置的一个正负， 对吧？那第一象限角我们简单划一下，那在这啊，然后加了五派，其实就是说加了四派，又加了一个派，对不对？加了四派，中间落在这，又加了一个变，又加了一个派，是不是就在了这个啊？他的对面的这个位置上，对不对？第三象限，第三象限与弦为负，所以说这个地方就为负， 好吧，好的，那这个地方就是负呗，那 cosine 六分之 pi， cosine 三度就是负的二分之二三，这两种方法都可以的，好不好？好，我们再看一下题型二叫利用诱导公式啊，求解，给值，求值，问题就是他给了你一坨的值，然后又让你求这样的一坨的值。 好，这里注意看一下啊，就是我的前面的这个角呢是十二分之 pi， 后面这个角呢是十二分之七 pi 加上一个变量 x， 它们之间有一个什么关系呢？想要找到它们之间的固定关系，我们就可以采取一个来，明显它要大一些，对不对？采取一个运算方式，让它把变量消掉，那相减十二分之七派，减去十二分之一派等于十二分之六派，也就是相减等于二分之派的关系，对不对？ 好，那么现在我 x 加上一个十二分之派，应该就等于是二分之派加上一个 x 加上十二分之派。 啊，那这个角就等于来这不是有一个二分之派，那它就跟诱导公式有点关系了是不是？好，那么现在我们要求的这个东西 就会变成是 cosine 二分之派 加上一个括号 x 加上一个十二分之派。扩回，那现在你想要去用诱导公式，是不是就应该对标到 cosine 二分之派加上 alpha， 它应该是等于什么？是不应该是等于 cosine alpha？ 然后这里看是不是第二象限角余弦为负 对标的这个右的公式，所以说它应该就等于来把这个角就对标成这个角呗，那它就应该等于负的塞沿 x 加上十二分之派，是不这样子啊？好，那么来塞沿这一坨不有吗？三分之一，所以说最后就应该是负三分之一。 嗯啊，那我们再看一下下一个，下一个的话呢，看这是不是 alpha 加上六分之派，这个是 alpha 减去三分之派，他俩有个什么固定关系呢？是不是相减才能找到固定关系？他大他小 他减，他发现六分之派减去负的等于加上正的加三分之派，就是加上六分之二派，等于六分之三派，其实就是相减等于二分之派的关系， 对吧？那现在在这呢啊，我们其实要求的呢是这个角，对不对？我为了简写，我们其实可以在这进行一首换元，我之前讲过，换元不就是为了写起来简单吗？要不这一坨这一坨的总来写很烦的，对不对？ 那所以说我的 off 加上六分之派，这个角就等于二分之派，加上一个 t， 行不行啊？那么现在来这个角等于二分之派加 t， 那 已知我就可以把它写成一个 cosine 二分之派加 t 了啊，那好，那这个诱导公式我们就应该等于是是负的 sine t， 对 不对？好，那你看，要求的是 sine t， 那 现在负 sine t 等于负三分之一了，我的 sine t 不 就等于三分之一吗？那要求这个东西就三分之一，你看画圆之后写起来是不是舒服一些啊？ 啊，我们再来一个，再来一个，这是三分之派减 x， 这个是 x 加上个六分之七派，你会发现它俩是一个什么固定关系？是相加应该等于来，这是六分之二，六分之七，是不是相加等于六分之九，六分之九就是二分之三派，对不对？相加等于二分之三派， 那这个时候我们看啊，要求的是它，我们就不妨呢来，为了好写，我就令它等于个 t， 好吧，那令它得 t 的 话，那么已知的这个东西，三分之 pi 减去 x 就 等于二分之三 pi 减去一个 t， 那 么现在我的 sin 啊，括号把它写成二分之三 pi 减去个 t， 根据诱导公式来，这是不是积？所以说要变， 对不对？然后符号看象限，符号的话来把它 t 当做第一象限啊。第一象限的话，那负 t 在 这负 t 加上个二分之三排，加半圈，再加一个直角，那就第三象限，第三象限的正弦为负，这个地方就是负的。 好吧？好，那确定了诱导公式了，那就应该是这个应该就等于负的五分之三 搞定啊。好，那么整个这堂课我们的诱导公式的包括诱导公式的常见题型就讲到这里了。

谁说三角函数难，都在一个单位员诱导公式有六个，一半都在转圈圈，剩下一半做反转诱导一，转整圈诱导二，转半圈诱导六，半半圈诱导三，竖着翻诱导四，横着翻诱导五，斜着翻。咱们先来转圈圈， 加二 k 派转整圈，因为二派是周期，所以谁都不用变，加一个派转半圈，正弦余弦都变号，只有正切 不用变。加半个派半半圈转完正弦变余弦，余弦变成负正弦。竖着翻，用菱键翻完余弦不用变，横着翻，用派键翻完正弦不用变，最后一个斜着翻都用二分之派键，正弦翻完是余弦，余弦翻完是正弦。我是杜明老师，关注我，你真棒。

تولۇق ئۈچىنچى يىللىق ساۋاقداشلار ياخشىمۇسىلەر ئالدىنقى قېتىمقى ۋىلوگىيەمىزدە بەزەن بىر قىسىم ساۋاقداشلار 三角汉书 نىڭ 有道公式 غا مۇناسىۋەتلىك سوئاللارنى سورىغان بولدى ھە بۇ قېتىملىق مەزمۇندا ساۋاقداشلارغا 喝茶公式 بىلەن 游道公式 ئىككىسىنى بىرلەشتۈرۈپ ئازراق بىر نەرسە سۆزلەپ بەرمەكچى ساۋاقداشلار پايدىلىنىپ قالساڭلار بولىدۇمەسىلەنگە قارايدىغان بولساڭلار بەرگىنىدە كۇسارھە ئاۋۋال 合查公式 ئارقىلىق 三二发家乡贝塔 يەنى 展开 قىلىدىغان بولساق。 他会变成三二发成商，三贝塔在进取三二发成三贝塔 and harden to the person。 那么 cosine 阿尔法 cosine 比他。嗯，没有直接的跟这个弹震的阿尔法和弹震的比比它有关系。但是我们学过一个公式，也连任何一个交来说，弹震的阿尔法就等于 sine 阿尔法。比上 cosine 阿尔法，这里面的阿尔法不等于九十度，也连不等于二分之拍。 嗯，这里我们知道 san 阿尔法就是 tangent 的阿尔法成商 cosine 阿尔法ئاندىن sm 备塔 بولسا 弹针特备他充三二发 ئىككىسىنى 张开 قىلىۋېتىدىغان بولساق ھە。 他会变成弹针，二发成商 cosine 二三比，他会变成快餐成双弹针对他ئەمدى ئالدى يەنە ئوخشاشلا كۇسارژژژژژژژژ ئەمدى قارايدىغان بولساق ياڭ كۇسار كۇسار كۇسارئەمىسە。那就等于间接 cosine 二法加上比特的 m 的 百叶呢？在这写上一个 m 好， 这个弹振二法乘弹振比特就等于 r 了。那就说明 cosine 二法负的 cosine 二法乘 cosine 比特就等于 m。 把符号乘过来的话，它会变成负 m， 然后或者是 𫪈 比特二法减比特，我们展开的话，它会变成。 就等于 cosine r 发成 cosine 比特，再减去加上 sine 而发成 sine 比特。然后我现在把这个 sine 而发 sine 比特。我们拆开来写的话， cosine r 发成 cosine 比特，比特 e 加上弹性的 r 发成弹性比特。 因为探针的二法加上探针被它就等等于二，则把这个二带进去，它会变成三倍的 cosine 的 二发乘 cosine 被它。因为把它的 cosine 的 二发乘 cosine 被它，我们求出来的是负 m， 则它会变成负三 m。 所以 我们这一道题选择的答案是 d 答案。

谁说三角函数难，都在一个单位员诱导公式有六个，一半都在转圈圈，剩下一半做翻转诱导一，转整圈诱导二，转半圈诱导六，半半圈诱导三，竖着翻诱导四，横着翻诱导五， 斜着翻。咱们先来转圈圈，加二 k 派转整圈，因为二派是周期，所以谁都不用变，加一个派转半圈，正弦与弦都变号，只有正切不用变。加 半个派半半圈转完正弦变余弦，余弦变成负正弦。然后咱们做翻转，竖着翻用零减，翻完余弦不用变，横着翻用派减，翻完正弦不用变，最后一个斜着翻都用二分之派减正弦，翻完是余弦，余弦翻完是正弦。我是杜明老师，关注我，你真棒。

哈喽宝宝们，今天咱们讲的是三角函数的诱导公式问题。来看这道题已知三阿尔法加三分之派等于五分之三，则三二阿尔法加六分之派等于多少？好，那我们就用换元法设 t 等于 r 法加三分之派，则 r 法等于 t 减三分之派。因为三 r 法加三分之派等于五分之三，所以 三 t 就 等于五分之三，所以这个三二阿法加上六分之派等于 三二倍的。把这个阿法换成 t 减三分之派，也就是三二倍的 t 减三分之派。然后再加上后边的六分之派， 等于把括号展开。三二 t 减三分之二 pi， 再加六分之 pi， 也就是二 t 减二分之 pi。 这儿我们就会发现，二 t 减二分之派，它是在第四象限，第四象限根据诱导公式，奇变偶不变符号看象限二分之一，这个 分子一是基数，咱们要变名称散变成扣散，扣散二 t， 然后第四象限的角散值是负的，所以咱们前面要加上负号， 它也就是负的扣散二 t 等于这有扣散二 t， 那 咱们就用二倍角公式， 负的一减去二倍的三替方等于负的。括号里一减去二，乘以五分之三的平方 等于负的二十五分之七。有其他问题可以给老师留言，拜拜宝子们。

今天呢，我们单独去讲一个知识点呢，就是关于我们的诱导公式，那同学们会说，哎，有什么好讲的？这个公式，那个这么简单，对吧？我们抽了一个单独的一个点，如何快速的干嘛写出特殊角？ 因为在我们的教学当中有非常多，应该说大量的同学干嘛呢？在写特殊角的时候，使用诱导公式非常的慢，那你们看一下，你们是不是这么做的？我打个比方说哈，我想一下啊，六分之七派， 对吧？那么诱导公式，那么就想想，哎呀，我们希望把它变小，然后呢用既变偶不变偶，是不是？那么就是派加上六分之派，这个时候呢，我们怎么去理解？首先看符号，把它理解为一个锐角啊，它确实也是一个锐角，然后这个时候呢，第三项线三也是负的，对吧？然后呢，既变偶不变偶它不变，然后这个时候呢？干嘛？哎，就是是关于 六分之派这样子，那这个时候呢，在特殊角三眼六分之派，那么就负二分之一，我们如果每个都这么做的话，在我们的高考当中，他太过于慢，太慢了啊，所以我们为什么一直在强调，在我的课堂当中一直在强调基础，基础，基础，而在三角函数当中，基础就是单位元，永远都不能啊，干嘛去 玻璃单位员去看，我们会知道哈比，比方说，呃，这个角度，这个角度，我们都是所有的角度，坐在零到二分之派里面去研究啊，这是六分之派，这是六分之五派，这是六分之七派，这是六分之十一派。那么我知道一个点了，他们所有的这些角度，因为撒眼在单位员当中，他基本的定义就是来描述他的纵象属性的， 所以我会知道一个点， sine 的 那个六分之派和 sine 六分之五派，它们的绝对值，包括这里 sine 的 多少，六分之七派，还有 sine 的 这个啊，六分之十一派， 它们这些它们之间的这个绝对值是相等的，都等于二分之一。那我们为什么看它的绝对值呢？为什么要看它的绝对值？那是因为什么东西？因为此时我们会知道属辛它的数值，它就等于二分之一。我们会找到一个什么样的规律，就是只要是六分之多少， 哎，我们会发现一个东西啊，当然前提是什么？他是最减分数，好吧，就是我约了分，我不能说我六分之九派，这不算啊，对不对？那么我们要知道这个东西只要他约了分，最后最减的这个只要是六分之多少，他一定是二分之一， 那么所以当我们看到这个时候，我们就会知道它是二分之一，那么无非就是正二分之一还是负二分之一的问题。那么这个时候我们六分之七排第三项线负的，所以我们可以直接出来是不需要通过诱导公式这样的步骤的，诱导公式我们只需要做一些有代数式的一些角，对吧？是不需要这么去写的。还有另外一个东西，什么呢？很多同学像撒眼派要想很久很久， 撒眼派对很多同学来说是要使用诱导公式的，非常多哈，就是我要想我要用什么呢？要用二派，然后把它等于派加零， 对吧？那么这个时候我在不需要这样子的东西，不需要这样子转换的，我们为什么心中一定要有单位员？他的定义就是单位员而来，所以派我们这个单位员一定脑海当中要有这个单位员，哈， 我们脑海当中有单位圆，这个角的中边，我们在大脑当中就会有一个这样的东西，他的纵坐标的属性就是零直接出来，所以这个单位圆是非常非常重要的东西，我们要有单位圆，结合不一样的公式，我们会有很多新的理解。那么关于这个东西的时候，我们就知道，三眼只要是三分之多少， 就是二分之根头三，对吧？三眼的啊，三分之二对吧？啊？三分之三不算，他一定是 二分之根到三，那么相对应的开三的三分之多少，那么就是二分之一，开三的六分之多少，多少就是二分之根套三，然后看那个象限，对吧？所以是这样子去使用的，所以这样的特殊角，特殊角我们一定非常快的能看出来，而不是还需要用，用到我们的这个诱导公式这样举去写，那么这个过程就太满了，太满了。

初中阶段建议掌握的锐角三角函数诱导公式主要有两套， 一位互为余角的正弦与余弦交叉相等，即若 a 加 b 等于九十度，则角 a 的 正弦等于角 b 的 余弦，角 b 的 正弦也等于角 a 的 余弦。这种情形强调角 a 和角 b 是 直角三角形的两个锐角， 或也可表示为， x 的 正弦等于九十度减去 x 的 余弦， x 的 余弦又等于九十度减去 x 的 正弦。这种形式感觉更加独立于直角三角形之外，算是一个进化版本，有利于衔接高中三角函数的知识。三角函数的诱导公式有很多，这一套是初中九年级学生一定要掌握的。 比如，当 a 等于三十度， b 等于六十度时，六十度的正弦就等于三十度的余弦。 由含三十度角的直角三角形的三边关系可知，三十度的余弦等于邻边比斜边就是二分之根号三。而六十度的余弦又等于三十度的正弦，还是由这个直角三角形的三边关系得到，它们都等于二分之一， 而当 x 等于四十五度时，它的余角是本身就可以得到四十五度的正弦等于四十五度的余弦。 在等腰直角三角形中，由腰底比可知，四十五度的正弦和余弦都等于二分之根号二，正弦等于余弦的锐角。四十五度是唯一的另一组诱导公式，教材没有要求， 但初中生最好也掌握起来，那就是互为余角的正切与余切交叉相等，即 若 a 加 b 等于九十度，则角 a 的 正切等于角 b 的 余切，角 b 的 正切也等于角 a 的 余切。这种形式也是强调角 a 和角 b 是 直角三角形的两个锐角的 或也可表示为， x 的 正切等于九十度。减去 x 的 余切， x 的 余切又等于九十度，减去 x 的 正切。 比如六十度的正切就等于三十度的余切就是根号三，而六十度的余切又等于三十度的正切，结果是三分之根号三。 而当 x 等于四十五度时，它的余角是本身就可以得到四十五度的正切，等于四十五度的余切。 在等腰直角三角形中，腰相等四十五度的正切和余切就都等于一，正切等于余切的锐角四十五度也是唯一的。 下一个视频给大家准备了几道原创的题目，来强化这些诱导公式的掌握和运用，敬请关注。

好，我们先来说一下这个诱导公式啊，诱导公式， 那么诱导公式呢，它的作用是什么？我们要知道啊，它的作用，它的作用就是把我们的这个比较大的角啊，大的角，这个大角指的是绝对值啊，绝对值，比较大的角 啊，绝对值比较大的角呢？我们最后转换成我们的锐角啊，转换成锐角帮助我们去求值啊，帮助我们去求值的，它的作用呢就是帮助我们求值，把一个大的角呢转换啊求值。 那么诱导公式的核心点啊，核心点就是关键点呐啊，关键点就是那十个字叫做基变 啊，基变偶不变， 偶不变，符号看象限 符号看象限，既变偶不变，符号看象限。那么这十个字呢就是我们诱导公式里面的啊，关键就是核心，你把这个要 啊理解啊，这十个字要理解好下来之后呢，把这十个字呢啊，我给大家来讲清楚，讲透彻，你就知道诱导公式有多简单了。 好，首先我们第一个来解决这个即变 偶不变 啊，即变偶变，什么叫即变？什么叫偶不变呢？就像说啊， 基变啊，什么叫基变？就是出现，出现什么呢？二分之派啊，二分之派的基数倍的时候 啊，的基数倍的时候呢？我们的名称改变。 欸，什么叫名称改变呢？那么名称改变我这就给大家标出来啊，名称改变的意思就是把我们三角函数中的欸 sign 阿尔法呢？我们变成 考 sign 阿尔法，把我们的考 sign 阿尔法呢？欸，变成我们的 sign 阿尔法啊，这就是名称改变。 好，现在我们需要搞清楚二分之派的基数倍是啥？是什么啊？二分之派的基数倍是什么？我们需要搞清楚 怎么叫二分之派的基础派，就是你看见什么呀，比如说二分之一派啊，二分之三派，二分之五派，二分之七派，二分之十一派，就这类的时候当然有正负 啊，正负啊，有正负，那么这类的时候呢，我们名称就要改变啊，名称要改变， 二分之基础的派。好，我们顺把这个呢，我们举个例子来给大家啊，顺便说了，我们举到这上面啊， 哎，你比如说这地方有一个三音，二分之三派加一个 r， 看出现二分之三派了，我们立马知道这个式子就变成啥呀，靠三音 r 法，我们现在只说的是名称啊，不管符号来，靠三音 r， 哎，如果出现一个靠撒引，比如说二分之啊，七派啊，负的二分之七派，减去一个阿法，这样的，你只要看见二分之七派，这个的时候呢，它立马变成谁啊？哎，撒引，阿法 啊，变成三音 a 法，哎，再比如说，哎，三音，哎，二分之九派加法，那立马就换成啥呀？考三音 a 法啊，就是把三音换成考三音，把这考三音换成三音，这就是名称改变叫做 啊，这步呢就非常简单，就题目中你猜点这些，你变名称就行了。好，这就叫做积变，我们就这样去理解。那么第二个呢，叫做啥呀？偶不变 啊，偶不变，那么偶不便是啥意思呢？就出现二分之派的 l n 这个颜色写上啊， 二分之派的什么呀？说偶数被 啊，偶数被的什么呢啊？这地方有个被字哦，没有被啊，这它乘以偶数就可以了啊，偶数被的什么呢？哎，我们说这个名称怎么样 啊？名称不变啊，名称不变，也就是说，哎，你看到什么 啊？看到这个撒引，哎，阿尔法，哎，它还是什么呀？哎，撒引啊，不是撒引啊，就撒引还是撒引啊？靠，撒引呢？哎，对应的还是什么呀？哎，靠，撒引啊，就是名称不变。 好。什么叫做二分之派的偶数倍？大家想一下，如果，哎，出现这样的二分之派的二分之派，它的两倍，它是什么呢？是不是派， 哎，二分之派的四倍，偶数倍几啊？哎，是不是二派？好，二分之派的 六倍，它是啥呀？是三派，二分之派的八倍，这是啥呀？是四派。 哎，你这样一一观察之后呢，你看，你会发现出现这个派，二派、三派、四派啊，这一类呢，都是二分之派的偶数倍。 那么我们把这个一整理的话，就啥意思啊？一整理的话，这个就可以换成啥呀？二分之派的偶数倍。就是， 哎，就是啥啊？整数，哎，整数个派的时候呢，它名称就怎么样不变啊？整数个派的时候呢，名称就不变。 好，这就是我们把这个既变偶不变啊，既变偶不变呢。这样说一下，你看我们举个例子，还是我举到这，举到这边啊？你比如说你看见这样的 sign， 哎，五派加阿尔法，哎，它转换的时候肯定先转换成什么呀？是不是 sign 阿尔法 啊？就是撒引，原来是撒引，那后面就撒引你比如出现一个考撒引说，哎，一百一十一派减去一个 r 法，那立马就写成什么呀？考撒引 r 法。因为一百一十一时，这个整数和派啊，整数和派，它名称不变。 哎，比如说撒引啊，这复的八派加 r， 它还是什么呀？哎撒引和法。 好，这就是我们所说的啥呀？既变而不变，就这个意思，核心就是看二分之派格啊。就是，呃，二分之几派的时候呢？名称改变，整数个派的时候呢？ 名称不变。好，这是我们的第一个点，叫做既变而不变。好，我们就给大家先这样解释一下，我。

初中阶段的锐角三角函数诱导公式强化练习一、已知阿尔法和贝塔都是锐角，且阿尔法的正弦等于贝塔的余弦，那么下列哪组关系是正确的？ c 表示锐角，阿尔法和贝塔互余。已知阿尔法和贝塔的和等于九十度就是互为余角，且阿尔法的正弦等于 x， 那 么贝塔的余弦是多少？ 也是 x 互为于角，正弦于弦交叉相等。已知 a 加 b 等于九十度，就是互为于角，且角 a 正弦的两倍，加角 b 于弦的三倍等于一求角 a 的 正 弦等于角 a 的 正弦，因此角 a 正弦的五倍等于一角 a 的 正弦就等于五分之一。 已知 a 加 b 等于九十度，就是互为余角，且角 a 正切的五倍。减去角 b 余切的三倍，等于三求角 a 的 正切， 角 b 的 余切等于角 a 的 正切，因此角 a 正切的两倍等于三角 a 的 正切就等于二分之三。 九十度减去阿尔法的正弦等于 x， 那 么阿尔法的余弦是多少？ 九十度减去阿尔法，表示阿尔法的余角，余角的正弦等于 x。 圆角阿尔法的余弦就等于 x。 下一个视频要分享的是锐角三角函数不会被放大或缩小的证明，敬请关注。