新八下浙教版数学二次根式怎么解

这三句口诀吃透，开学做题，又快又准。在这里面我给出六个式子，请问其中有几个最简二字根式？很多同学说，亮亮，哈，在这里面我老是出错，对吧？其实最简二字根式，大家记住啊，它是个三无产品，什么意思呢？ 首先第一个，根号下无分母，举个例子，比方说像根号下的三分之一啊，对吧？你根号里面是不是带有分母？那不行，你不是最减二次根式，再比方，根号下的，呃，这个七分之十六呀，你只要根号下里面带有分母，都不是的。再举个例子，根号下的零点五， 因为你这个零点五呢，相当于二分之一，所以呢，它也是根号下有分母，因此它们都不属于最减二次根式。 好。第二个，分母下无根号是什么意思呢？举个例子，比方说根号五分之一，你会发现，喏，我们这个根号下它有分母吗？根号下是一个单独的数字五，对吧？那根号下无分母，那它是最减二次根式吗？也不是的，因为你要注意啊， 分母底下是不能有根号的，你看你这个分母是不是一个根号五呀？那不行，再比方，你这个根号三分之一啊，对吧？哎，你这个根号十三分之八呀，只要我们分母里面有带有根号的式子，他都不属于我们的最减二次根式。 好。第三个，根号下无开得进方的因素或者因式。什么意思？举个例子，比方根号十六，他是最减二次根式吗？你这个根号十六，他可以直接化解，把十六拿出来，对吧？他等于四。 再举个例子，南泥里面也未必非得就是一个完整的啊，完全平方数，根号八。那你这个八它不是平方数，但是这个八里面有一个可以开方的四，对吧？它是根号下的四乘以二， 你这个四拿出来呢，它是二倍的根号，对不对？所以你吧，你里面含有平方数，还有开得进方的四啊，所以你还有开得进方的因素，因此你不是最减二次根式。我们再举个例子，比方说根号下的二倍 x 的 平方，喏， 这里面 x 方，它是不是开的进方呀？所以你含有开的进方的音式，对吧？哎，你可把它变一下，等于根号二乘以根号下的 x 方吧，这个可以直接开方出来，因此它呢，它也不是最减二次根式。 好，接下来我们来判断。首先第一个呢，我们知道根号下无分母，你这个根号下五分之三，所以很明显不是的。好，第二个，分母下那么大一个根号期也不是的。 好。第三个，分股底下不能有开得进方的数，或者开得进方的式子，你这个根号是八呢，它里面有一个开得进方的四，对吧？哎，所以你会发现你这个四呢， 它可以把它给化简出来，它等于二倍根号七嘛，所以它是不是对减的，它也不是的。好，根号十五，是吗？ 你会发现根号下有没有分母？根号下是一个整数，没有分母，分母下无根号，我连分母都没有，对吧？分母底下怎么会有根号呢？根号下无开得进方的数或者式子，我里面有没有开得进方的数或者式子？没有，所以它是一个最减二次根式。 同样道理，我们第五个，它也是最减二次根式，那相反的最后一个呢？它不行。为什么你会发现它在这里，九是一个能开得进方的数， a 方是一个能开得进方的因式，对吧？与此同时，你会发现 b 的 五次方里面还可以拿出一个 b 的 四次方出来，所以它可以怎么样写成根号？下 九可以开得进方， a 的 平方可以开得进方，以及 b 的 四次方也可以开得进方，剩下再乘以什么呢？乘以 b， 所以这里面有很多可以开得进方的因素或者因素。那因此呢，这个开方我们就不再说了，所以最终呢，它也不是最简二次根式，因此只有两个，你们做对了吗？跟着亮亮无脑学习。

八年级下学期第一章之二二次根式的乘除急速扫码别问我都懂，超易懂的学科攻略！本期视频我们将为大家讲解二次根式的乘法与除法，以及它们的一些化简技巧。我们先看二次根式的乘法。 在进行二次根式的乘法运算时，我们将被开方数相乘，根指数保持不变，用字母表示为根号 a 乘根号 b 等根号 a 乘 b， 其中 ab 都必须是大于等于零的，那当多个二次根式相乘时，我们也依旧按照该法则进行计算。 而当二次根式前面有系数时，我们叠类比单项式，成单项式。被开方数的 g 作为被开方数， 那在这个章节中，我们经常会将乘法法则进行利用，来处理二次根式的化解问题。利用乘法法则，我们可以得到积的算数平方根等于积中各个音式的算数平方根的乘积。 这里需要注意，在利用法则时，我们一定要确保其中 a、 b 都是大于等于零的。例如，我们在计算根号负二乘根号负三，而写成根号二乘根号三。 接着我们来看一个简单的化简问题，这里要划见这个二次根式。我们首先看这两个数相乘是否产生能开方的因素。这里三十三可以拆成三乘十一，四十四可以拆成四乘十一。 所以利用乘法法则，我们就能得出它等于根号三乘根号十一平方，再乘根号二平方开方后，就能得出它等于二十二根号三。 接下来我们再看二次根式的除法法则，二次根式相除，我们将被开方数相除根指数保持不变。由于除数不能为零，所以这里 a 大 于等于零， b 大 于零，那同样，当多个二次根式相除时，也依旧可以按照该法则进行运算。 而当二次根式前面有系数时，我们把系数的商作为系数，被开方数的商作为被开方数 大于二次根式的乘法。类似，利用除法法则也可以达到对二次根式进行化简的目的。例如，要化简这样一个二次根式，我们可以利用二次根式的除法法则。 由于被开方数必须大于等于零，所以我们应该先将它改写成根号一百六十九分之五十，再利用除法法则进行化简。 啊，好，那了解完二次根式的乘法与除法法则，接下来还有一个我们必须要知道的概念，最减二次根式。当被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得进方的因式或因数时， 我们称它为最减二次根式。例如，类似三根号三，二分之根号 x， 平方加一 x 分 之根号二这样的式子都是最减二次根式。 那在进行二次根式的运算时，运算的结果一般需要化成最简二次根式。在化简时，如果分母还有二次根式，通常我们可以通过将分子、分母同乘它所含的二次根式 来将它转化为最简二次根式，那这个把分母去根号的过程，我们就称为分母有理化。接下来我们重点讲解一下二次根式的几种常见的化简类型。 首先，第一类，直接利用二次根式的性质进行化简类型的题目。这类型的化简通常有以下四种情况， 当被开方数中有能开的进方的因素或因式时，通常直接将这些因素或因式进行开方。比如这里十八含有能开的进方的因素。九、化简后就是三根号。二、那当被开方数是带分数时，我们先将带分数化成假分数，再进行分母。有理化， 那当被开方数是小数时，通常我们将小数化成分数，再进行化简。而当被开方数是多项式时，则需要先对它进行一次分解。这里因为 a 平方加 b 平方是大于等于零的，所以我们可以直接将它进行开方。 接下来常见化简类型的第二类，根据字母的取值范围进行化简。这道题已知 a 小 于 b， 要化简根号负 a 立方乘 b， 那 我们看根号里面包含了能开得进方的音，是 a 平方，但是已知条件中并没有明确 a 是 否为非固数， 所以这里我们不能直接对它进行开方。那这种情况，首先我们要联想到和次根式中最常用的一个隐含条件，被开方数大于等于零， 即负 a 立方， b 大 于等于零，那由于这里有一个负号，所以 a 立方 b 必须是小于等于零的，那两个数相乘要小于等于零，他们只能是一正一负。又因为 a 是 小于 b 的， 所以只能是 a 小 于零， b 大 于等于零， 这样 a 平方进行开方后，就应该是负 a， 所以 化简的结果就是负 a 乘根号负 a b。 最后，常见化简类型的第三类，复合二次根式的化简。我们看这道题，类似这样二次根式中跑的另一个二次根式， 我们就称为复合二次根式。那化简这类复合二次根式，我们通常可以利用配方的方式，通过将二次根式里面的这个部分配成一个完全平方式，也就是说把这个部分改写成 a 平方加 b 平方加减二 a b 的 形式， 那这里配方的套路就比较单一了，通常带根号的这个部分，我们把它当成二 a、 b 来进行配方， 前面这个部分我们就当成 a 平方加 b 平方，也就是说 a 平方加 b 平方等于七， a b 等于根号十。 接下来我们就要想办法凑出两数相乘等于根号十，并且他们的平方和等于七的数字。这时候记住了，一般我们从 a b 的 值入手来进行分析，两数相乘等于根号十，他可以是一乘根号十，也可以是根号二乘根号五， 那当然他们也可以是负一乘负根号十或负根号二乘负根号五。但是这里我们无需考虑 ab 的 正负性，因为无论正负，他们最后的化简结果都是完全相同的。接着我们看他们的平方和等于七，那显然这两个数就是根号二乘根号五。 接下来因为内部的这个二次根式前面是加号，所以我们要配成 a 加 b 的 和的平方的形式，也就是根号二加根号五的和的平方。这样化简之后，答案就是根号二加根号五。 接下来这类型的题目还有一种升级版的套路，就是当里面这个根式不是二 ab 的 形式，并且这个被开方数也无法进行开方，得出二 ab 时， 我们可以通过主动的将它乘一个二之后，外面再补一个乘二分之一的方式来达到凑出二 ab 的 目的。 这里我们把这个二分之一化简后，就是二分之根号二，根号里面剩下的就是八减二根号十五。接下来我们同样利用上一道题的方法，可以得出 a 平方加 b 平方等于八， ab 等于根号十五， 那根号十五可以看成一乘根号十五或是根号三乘根号五，因为这里他们的平方和等于八，所以就应该是根号三乘根号五， 其它可以配方成根号五减根号三的差的平方。因为根号五是大于根号三的，所以开方后就是根号五减根号三。最后化简的结果为二分之根号十减根号六。 好了，本期的内容就到这里，你学会了吗？拜拜。

这是很热的代数难题，层层根号又叠，一层成方，密密麻麻看人头晕，这真是给初中生出的题。但只要看完本期，苍蝇姐拍胸脯保证，哪怕是刚预习八年级下册同学都能轻松的拿捏！ 下面就带你解锁二次根式以及性质，搞定预习第一课，先来搞懂核心的概念，这个所谓的场，在实数中我们就学过，其实就是根号啊！根号 a 表示 a 的 算数平方根，其中的 a 叫做被开方数。注意了， a 可以 是正数，也可以是零，因为根号零等于零， 但绝对不能是负数，毕竟负数可没法开平方，所以被开方数一定要是非负数。由此我们得出了二次根式的定义，把形如根号 a a 大 于等于零的式子叫做二次根式， 其中必须有二次根号，以及被开方数 a 必须非负数，二者缺一不可。要注意，被开方数 a 可以 是数字，也可以是单项式、多项式和 分式。这下开学考必考的定义判断题是不是瞬间就有思路了？算出来的扣一，没思路的扣二。这里呢，还有个一混淆的点，要划重点，根号九算不算二次根式？虽然化简结果为三，但是根号九仍然是二次根式， 判断时只看原始形式，不看化简后，只看化简前，可别记错啦！接下来是核心性质，记牢就能通杀大半！题型性质，一根号 a 的 平方等于 a， a 大 于等于零， 它具备独特的双重非负性极，本身也是非负数，被开方数 a 也是非负数，那至此组成了初中数学的非负三人组，分别是绝对值、平方和二次根式。常用它们有意义的条件出题， 比如这道题，你认为正确答案应该是什么呢？完整的讲解过程，一定要看洋葱学员二次根式的定义。这节课 我们观察这两个式子，结果共同为三，说明当平方出现在根号内，根据运算顺序，先平方再开方，得到的可以是正数、负数和零。而上面的式子，三和三是相反数，能同时表示自己和相反数的只有绝对值。 性质二，根号下 a 的 平方等于 a 的 绝对值。这里要注意分类讨论， a 大 零时结果是 a， a 小 零时结果是负 a， a 等于零时就是 零。那回到开头的难题，其实三角只要再说一个公式就能破。根号四十五，它本质是四十五的二分之一次方，那这里有多少个二分之一呢？十五次，因为开了十五次根号，式子就变成了四十五的二分之一次方，一直到十五次二分之一。 之前学过同底数、密底数不变，指数做乘法，又变成十五个二分之一次方相乘，也就是二分之一的十五次方，等于三万两千七百六十八分之一， 原式就变成了这个样子，也就是四十五的平方，结果就是二零二五，是不是超级简单呀？那再回到这两个性质考试常考的两类题型，就是二零二五，是不是超级简单呀？那再回到这两个性质考试常考的两类题型，这道题应该就会计算了吧， 把答案写在下面吧。以上就是本期的全部内容了，想要拔高冲刺重难点，一定要看二次根式定义的应用和根式性质的应用。这两节题课关注三姐，专门让你提别人提不了的分，我们下期再见。

八年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来探讨二次根式的加法和减法。今天呢，我们一起来学习第二个知识点，利用乘法公式来计算二次根式。 请同学们来回顾回顾前面所学的知识，大家还记得整式乘法认算中的乘法公式有哪些吗？ 首先我们学习了平方差公式， a 加 b 的 和乘 a 减 b 的 差是不是等于 a 的 平方减 b 的 平方呢？ 同志们，这个一定要死记硬背啊，这个公式，这是平方差公式，平方差公式 a 加 b 的 和乘 a 减 b 的 差就等于 a 的 平方减 b 的 平方。 好，我们还学习了完全平方公式，完全平方公式 a 加 b 的 和的平方，是吧？就等于 a 的 平方加二 a， b 加 b 的 平方 啊，这个要顺过来，可以反过来，你还要知道是吧？那么遇到了 a 的 平方加上二 a， b 加上 b 的 平方，是不是等于 a 加 b 括号的平方 是吧？如果遇到了 a 的 平方减 b 的 平方，你是不是可以把它还原成为 a 加 b 的 和乘 a 减 b 的 差，对吧？啊，那么反过来 我们还有一个，那还有一个 a 减 b 括号的平方， a 减 b 的 差的平方是吧？ a 减 b 差的平方就等于 a 的 平方减这个减号啊，这里是减号减二 ab 加上 b 的 平方加上 b 的 平方，反过来 a 的 平方减二 a， b 加上 b 的 平方，就等于 a 减 b 的 括号的平方。 好，那么整数的乘法公式对于二次根式的运算也是适用的，大家一定要记住，对于我们的二次根式的运算也适用啊。前面我们已经知道了二次根式的运算类比整数的运算 啊，所以都是适用的啊，就和我们的整数运算一样的啊，都可以用好了， 我们来利用刚才的几个公式来做做这些题目考察。利用乘法公式来计算二次公式来看，第一个，根号五加上三的平啊，和 乘以根号五减根号三的差，其实这是什么平方差公式吧， 是吧，平方差公式啊，那么第二个呢？根号三加二括号的平方，这是完全平方公式，对吧，我们也要能够套得上去啊，套得上去啊。第一个，这怎么解？就等于啊，根号五的平方 减根号三的平方吧，其实就是什么五减三等于二等于二，它就等于二，你看看多简单呀，是吧？啊，就用这个公式，我们把终结过程都省略了。 第二个，是不是根号三的平方减去二乘根号三乘二 加上啊？哎，刚才是加上啊，加上二的平方，是吧，是吗？这是完全平方公式。完全平方公式，这又变成了什么？ 三加上四倍的根号三加上四，对吧？其实就是七加上四倍的根号三，七加上四倍的根号三， 同志们，这个容易吧，只要套我们的公式就可以了。好了，拓展计算，同志们看看这两个啊，这两个就把它提升了，那它的难度又提升了，是吧？啊， 二倍的根号三减去三括号的二点二五作法乘啊， 二倍根号三加上三括号的二点二五次方，同学们看看这个，这个数字还是有规律啊，对吧？数字有规律啊，那么你可以采用刚才的我们把它进行变化呀，是吧？啊，你看看，我们可以把它写成这样的呀， 把它写成这样的，都是二零二五次方吧，那我们可以括起来，求你们的二零二五次方，是吧？括起来求你们的二二零二五次方 啊，也就是三的平方啊，乘以四的平方， 那我是不是可以三乘四扩的平方？那么这个啊，现在可以用平方差公式了，是吧？是不是就等于负一的二零二五字方， 负一的二零二五次方。同学们，他是什么？基数次方，单数次方，所以说他还是等于负一，他就等于负一，是吧？你看二零二五次方，不是偶次方，是基次方，所以说他仍然是负号，仍然是负号，仍然是负一 啊，仍然是负一啊。那么第二个题目，同学们，你看看 原式等于哎，我们也可以把它进行变化，也可以把它进行变化，是吧？啊？他就等于什么？一的二零二四乘法乘括号七加上四倍的根号三，减去根号三 啊，那么是不是这些就是七加上四倍的根号三，减根号三，是不是就是七加上三倍的根号三，是吧？ 啊，是不是七加上三倍的根号三。最后的结果就是这样的，同志们，看看中间的变换过程，看看别人他去运用了哪一个算理，哪一个公式来算的，我们要搞清楚这个原理。 好，请同学们计算这两个题目，计算这两个题目啊，那么计算这两个题目的话，同学们，其实这两个题目的话， 第一个题目完全平方公式，对吧？第二，完全平方公式啊，完全平方公式要能够做的滚瓜烂熟啊，等于多少啊？等于九减四倍的根号二， 这个题目我们可以利用啊，平方差公式的逆运算，是吧，根号二减去根号三，后面有个根号二加根号三是吧，其实就是什么根号二的平方 减去根号三的平方就是二减三等于几啊？等于负一 啊，等于负一，其实就是啊，负根号五减去根号七是吧？负根号五减去根号七啊，最后是不是负根号五减去根号七啊？好， 有关代数式的二次根式的运算啊，这里有代数式啊，那么 x 等于根号三加一， y 等于根号三减一， 那么求 x 的 平方加上二， x， y 加上 y 的 平方的值 啊！到这里的话，我们就可以把欸 x 的 平方求出来， x 乘 y 的 x 乘 y 求出来， y 的 平方求出来，分别求出来，然后再带进去，也可以吧， 是吧？啊，那么或者是我们把最后的这一个把它进行变化呀，那么 x 平方加上二 x， y 加上 y 的 平方是不是就是完全平方公式的反过来的是吗？是不是 x 加 y 括号的平方是吗？括号的平方 完全利用了刚才我们所学的那几个公式啊，那么现在已经好求了，把 x 等于根号三加一， y 等于根号三减一，把它带到这个简单的式子里面去 啊，那么是不是就是二倍的根号三，二倍的根号三的平方啊，其实就等于十二， 对吧？把它带入到式中啊，把它带入到式中，是不是二倍根号三括号的平方其实就等于多少？等于十二，等于十二，同学们，看你是否做对了，二的平方乘三， 是不是这个就是二的平方乘三，二的平方是四吧，四乘三是不是等于十二？ 看看这个题目啊， x 等于根号三，减根号二， y 等于根号三，加根号二。现在求 x 的 地方乘 y 加上 x 乘 y 的 地方， 那么这个里面我们完全可以抽出一个 x y 出来啊，提取一个 x， y 的 出来，就是 x 的 平方 乘 y 啊， a 平方乘 y 加上 x y 的 平方啊，我们可以提取，也可以先把这个式子进行化简，进行化简 啊，进行化简化到最简单的，然后再让他们再把这两个带到它里面去，是吧？啊，因为 x 等于什么？根号三减根号二， y 等于根号三加根号二，所以 x 加 y 呢，就等于根号三 减去根号二加上根号三加等于二倍的根号三， x 乘 y 呢，就等于这个三减二等于一，对吧。现在我们把它提取一个 x， y 出来， 是不是就变成了什么 x 的 平方加上 y 的 平方加上 y 的 平方啊，现在再把它带进去啊，是吧？啊，那么 这个就是什么 x y 乘啊， x 加 y 括号的平方是吗？减去二 x y 啊，二 x y 啊，最后的话，把它带到这个中间去，带到这个中间去，再进行计算，它就等于多少，等于十，等于十 啊，就等于是他说看你是否做对了，是不是做对了。好了，我们今天呢就一起学习了二次公式的运算， 希望同学们呢能够把所学的知识呢，都运用到我们的计算中间去，知识你是越用越熟练 啊，越做越顺手，所以说，希望同学们呢多做题，巩固我们前面所学的知识。最后啊，老师也布置一道题目，考考大家巩固前面所学的知识， 打开书到课后的练习，在练习中呢，选三个题目做一做，在你配套的练习册中，选几个题目做一做，看看今天的这节课你是否都学好了？好了，我们今天这节课上到这里，再见。

这道题太难了啊，双重二次根式的化简可谓是我们整个八项二次根式这个计算章节的王炸题型，为什么？因为这类题目隐晦的考察了你构造的思想，今天我用一个视频，三个步骤带你搞定这类亚洲题。 那有关于二次根式这里的题型啊，老师也给大家准备了计算必刷的五十题，这个假期家长们就可以帮孩子打印出来，逐个题型来进行练习，每天十道题，把计算能力咱一定要提升上去，速度提上来啊。下面咱们一起来看这道题， 想想这道题，我想化解双重的这个二次根式，把它的帽子摘下去。那怎么样才能把二次根式小帽子摘下去呢？咱们想到二次根式的性质， 是不是？我们有根号下 a 方等于 a 的 绝对值的这个性质对不对？所以如果我把根号下的这个家伙变成谁的平方的形式，咱们是不是就可以摘帽了？这个就叫做摘帽仪式。 那怎么把它变成谁的平方形式呢？咱们这个时候就搬救兵了，这个救兵就是我们所说的，哎，完全平方公式，完全平方公式长成什么样啊？ a 方加减二 a b， 再加上 b 方的形式对不对？那你看，这有一个二乘根号三，好像是一个二 a b 的 形式，所以我要把二乘根号三，就可以写成二乘根号一， 再乘以根号三，可不可以？哎，那这个时候我们还要拆前面四，我得拆成两个数， 我得让对应他们满足 a 方加 b 方，哎，两数相加等于四，而且这两个数开方之后相乘得等于这里 ab 的 形式对不对？也就是等于这个根号三形式， 所以找两数相乘等于根号三，哎，对不对？那两数相乘等于根号三，这两数的平方相加还等于四，这两个数是啥呀？ 不就是对应哎一的平方和根号三的平方吗？对不对？哎，这个时候你会发现这个式子有首平方，有尾平方，哎，中间是不是还有 g 的 二倍呀？所以构造出了一个完全平方形式，它就直接等于一加根号三的完全平方了， 再加上外面的小帽子对它进行化简，而一加根号三一定是正的，所以去掉我们的小帽子，它就直接等于一加根号三了，完美的脱帽仪式。 那下面啊，给大家留一个小小的练习，大家自己做一做。请你啊来给它化简一下，还是一样凑完全平方公式，找两个数相乘等于它，找这两个数的平方相加等于它。那下面请你自己做一做，把答案留在下面。

来，同学们看看这样的二次根式比大小的问题，你有思路吗？ 好，如果没思路的话呢，也不要着急，今天教你一招分子有理化的大招，可以迅速秒杀这类题。好，那么首先要想有分子，我们得把这两个都变成分数形式，那其实也就是变成 一分之根号七减根号六，把它变成一分之根号六减根号五就行了。那接下来怎么把这个分子进行有理化呢？也就是把分子当中的根号全 去掉，怎么做到呢？来，同学们看一下，这两个分子呢，都是两个根式相减的形式，那你有没有联想到一个乘法公式啊？就是 平方差公式。那我们只要给这个分子和分母同时乘上根号七加根号六，你来看一下分子是不是就变成了根号七和根号六两数之差，以及两数之和的乘积的形式，那么根据平方差公式，我们就可以把它写成根号七的平方，减去根号六的 平方，那分母呢？还是根号七加根号六，那根号七的平方减去根号六的平方，其实也就是七减六等于 一，那么其实这个数它就变成了根号七加根号六分之一了。那么同样的方法我们也来处理一下这个式子，我们给分子和分母同时乘上根号六加根号五，那么就是这样的，那根据平方差公式呢，我们可以把分子写成根号六的平方，减去根号五 平方，那其实也就是六减五等于一，那么最终这个式子呢，就变成了根号六加根号五分之一。那么现在同学们来看，能不能比较这两个数啊？分子相同的情况下，分母越大，这个分数呢，他反而就越小， 对不对？那我们看一下分母啊，根号七加根号六和根号六加根号五，这两个数谁大谁小，那肯定是 它比较大，所以说呢，这个分数反而是它比较小，那么我们就写上小于号，所以我们就得出根号七减根号六是小于根号六减根号五的。那么今天这个分子有理化的二次根式比大小技巧，你学会了吗？别忘了关注小七老师，带你学习更多有用的数学技巧！

家人们八年级数学下册的二次根式的混合运算一定不能出现错误，因为他在考试中是必考内容的， 那么我们的计算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减。通过两个例题去给大家讲解一下。 看第一个，根号三乘小括号，根号六加根号八，那么看一下，我们利用乘法分配律给它打开，等于根号三乘根号六，加上根号三乘根号八。 第二步，根据我们二四根式的乘法，那么得到根号十八，他呢等于根号二十四。很多人算到这就结束了，一定要化减， 根号十八是不是等于根号九乘二，根号二十四呢？等于根号 等于根号四乘六，所以根号九乘二的话等于根号九乘根号二，根号九是多少吧？三呢，这是三倍的根号二，加上根号四十二， 那就是为二倍的根号六，这个是最后结果来看这个，这个的原型其实是我们上八上学的因式分解的多项式乘多项式。首先根号六和它相乘，根号六乘根号六， 减去根号六乘三，就是三倍的根号六。然后用二分别和他们两个去相乘，加上二乘根号六，就是二倍的根号六， 减去二乘三减六。所以这根号六乘根号六，减去三倍的根号六，加上二倍的根号六减六， 是不是他俩合并等于就结果等于负根号六？所以说我们去做二次根式的混合运算的时候，找准运算顺序，这个结果一定要写成对减就可以了。

给你三秒，能算出这两个根号的和吗？算不出来的，赶紧看！已知两个根号的差是二，那么求这两个根号的和是多少？好，那我们现在来观察一下这道题目，你看 这一部分和这一部分是不是相同，那么这一部分是不是和这一部分相同？那碰到这种重复出现的式子怎么办？我们可以用一个简单的字母来替换，它就是换元。你看， 我可以令这一部分为 a， 那 么这也是 a， 那 如果我令这为 b 的 话，那么这一部分也是 b， 那 么你看这道题目现在变成什么了？是不就变成了？已知 a 减 b 等于二，求 a 加 b 是 多少？ 好，同学们，那你先来看 a 减 b， a 加 b， 你 想到什么？是不是平方差？公式对吧？ a 减 b 乘以 a 加 b， 是 不是等于 a 方 减 b 方，那 a 减 b 是 多少？是二呀？所以二倍的 a 加 b 等于 a 方减 b 方，那么 a 方的话就是根号二十五减 x 的 平方， 再平方，那 b 方的话就是根号十五减 x 的 平方，再平方，那么你给它先开方，再平方是不是就还回去啦？所以这部分就是二十五减 x 平方，那这个也是一样的，先开方，再平方，又还回去了，所以再减十五减 x 的 平方，也就是减十五加 x 的 平方。好，那么你看这两个是不是给消掉了？二十五减十五就是十嘛？那么 二倍的 a 加 b 等于十，那 a 加 b 等于多少？不就是五吗？那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，大家把我整理的二次根式八大题型拿去练习，轻松解决二次根式的所有问题。

八年级下学期第一章之一二次根式的速成攻略啊！放过我吧！超易懂的学科攻略！本期视频我们将为大家带来二次根式章节的第一课，二次根式的定义与性质 那什么是二次根式呢？我们把形如根号 a， 其中 a 大 于等于零这样的式子叫做二次根式， 这个符号称为二次根号。那在写根号 a 的 时候，其实我们省略了根指数二根号 a 里面这个数 a， 我 们称为被开方数，它可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但是它必须是大于或等于零的。 在判断一个式子是否为二次根式时，我们只看它的原始形式。比如根号四，虽然它计算后的结果为二，但判断的时候我们只根据它的原始形式来判断，所以根号四是二次根式。 那在二次根式章节中，我们经常会遇到类似这样的问题，要求 x 的 矩阵范围使某个含有二次根式的式子在实数范围内有意义。 这种类型的题目非常简单，我们只需要清楚十二次根式有意义的条件，那条件只有一个，就是被开方数为非负数。反之，要是二次根式无意义，则被开方数小于零 这道题。根据这个条件，我们可以得出 x 减五大于等于零，并且八减 x 大 于等于零。解这个不等式组，我们就能得出五小于等于 x 小 于等于八。那由于这里是一个分式，所以我们还要使分式有意义，也就是 x 减五不等于零， x 不 等于五， 所以最后 x 的 取值范围就应该是五小于 x 小 于等于八。接下来我们要介绍的是本节的一个难点，二次根式的性质。 首先，二次根式具有双重非负性，他说的是一个非负数的算数平方根是非负数。这句看似很复杂的话，其实说的就是两点，一个是根号 a 是 大于等于零的，另一个是 a 大 于等于零。 那二次根式的双重非负性经常会应用在类似这样的问题中，比如根号 a 加绝对值， b 加 c 平方等于零，要求 abc 的 值，那由于它们都是非负数，且和为零，那就只有一种可能，那就是它们分别为零。 那除了双重非负性外，本街还有两个非常容易混淆的概念是你必须要知道的，一个叫做非负数算数平方根的平方，另一个叫做一个数的平方的算数平方根。 我们先看左边这个式子，由于 a 是 非负数，所以它的算数平方根的平方就等于它本身，即 a 的 算数平方根的平方等于 a， 那这个性质我们经常可以用在类似这样的化减场合，比如三的算数平方根的平方化减后等于三， a 平方加一的算数平方根的平方化减后等于 a 平方加一。 我们再看右边这个式子，由于 a 的 取之范围是任意时数，所以 a 的 平方的算数平方根就等于绝对值 a。 既当 a 大 于等于零时，根号 a 平方等于负 a。 通过上面的比较，我们可以看出， a 的 算数平方根的平方与 a 的 平方的算数平方根，它们在意义、运算顺序、 a 的 取值范围以及结果的表达形式这几方面都是不同的，那我们在进行化简时，就必须先理清它们的形式，再进行化简计算， 那当平方在二次根号的外面时，我们可以直接得出化简的结果，那当看到平方在二次根号里面时，必须根据 a 的 取值范围来进行化简， 那当然它们之间也不是毫无关联。我们观察这两个表达式，可以发现它们的计算结果都是非负数，并且当 a 是 一个非负数时，它们的计算结果是相同的。 接下来我们通过两道例题来熟悉一下它们的性质。第一道题要使这样一个等式成立，首先我们要理清它成立的条件， 要使 x 减一的平方的算数平方根等于 x 减一算数平方根的平方，也就是我们在之前的这个表格中提到过的这种情况。当 a 是 一个非负数时，它们的化简结果是相同的。 记 x 减一大于等于零时，该等式成立，所以这道题的答案为 x 大 于等于一。接下来我们再来看到二次根式的计算题， 那在化简这类二次根式时，首先我们要知道，无论是非负数算出平方根的平方，还是一个数平方的算数平方根，他们的计算结果都是大于等于零的。 接下来第一个式子，平方在根号里面，所以它等于绝对值负三。第二个式子，平方在括号的外面，因此我们可以忽略到这个符号化简后就是二。 最后这个式一样平方在根号的里面。化简时，我们就需要加上绝对值符号，那由于一是小于根号二的，所以它化简后就是减去括号根号二减一，在进行计算后可以得出结果为六减根号二。 最后这道题是一个求值问题，那要求 x 减九百九十九平方的值，显然我们需要通过已知的等式来寻找答案。 这里一致的等式是一个绝对值加上一个二次根式，但是他们相加的结果并不是零，所以我们无法利用绝对值和二次根式的非复性来解析。那这种情况千万要记得，二次根式中还以它的一个条件被开方数的非复性， 也就是 x 减九百九十九是大于等于零的。 g， x 是 大于等于九百九十九，那这个 x 的 取值范围要怎么使用呢？我们看这个绝对值有 x 大 于等于九百九十九，我们可以得出九百九十九减 x 是 小于等于零的。 也就是说这个等式我们可以化简为， x 减九百九十九加根号 x 减九百九十九等于 x， g 根号 x 减九百九十九是等于九百九十九的。 那这时我们再看我们要求值的这个式， x 减九百九十九平方，那如果我们将这个等式的两边同时平方， 根据一个非负数的算出平方根的平方等于它本身，我们就可以得出 x 减九百九十九等于九百九十九平方。再进行一向后就能得出 x 减九百九十九平方等于九百九十九。 好了，本期的内容就到这里，你学会了吗？拜拜！

咱们上个视频学会了八下数学的二次根式，那么明白了什么是二次根式？我们根据两个特征去判断，第一个是不是有根号，二次根有二次根号， 第二个呢？被开方数是不是大于等于零的？我们根据这两个特征去判断，那么看你学会了没有？第一个 判断下列各式哪些是二次根？是第一个是不是有二次根号啊？并且被开方数六大于零的？第一个是的。 第二个，同样的是不是有我们的是不是有根号？负两千零二十六，是不是有二二次根号？但是呢，它是一个负数，不符合条件，它不是。 第三个，这个是几次根号？这不是三次根号吗？我们这个二次根号，这个二次省略不写的，他并不是代表是一，他代表二，省略不写的，但是他的三次根号他也不是。 第四个。第四个，纯第一个条件是不是有二次根号，对不对？同样的， x 的 平方是不是永远大于等于零呢？它也是第五个， 第一个特征具有二次根号没问题。第二个， a 加一肯定是大于零吗？或等于零吗？ 他也可能是小于零的，也有可能是等于零的，也有可能是大于零的，是不确定，对不对？所以说他呢，不一定是二次根式不确定，因为你没办法确定 a 加一的范围，是不是因为 a 没告诉你假设范围。 那么看第六个又来了，一加二 x x 小 于负二分之一了， x 的 取值范围告诉你们，你想想， x 如果小于负二分之一，那么一加二 x 是 不是必然是一个负数， 那么它是一个负数的话，它肯定是不符合条件的，不是，看第七个，第七个人说这是不是啊？有人说不是啊，没办法判断呀。 八年级上册数学因式分解白学了吗？这是一个什么呀？完全平方公式，是不是可以得到 x 减一的平方？ 他必然是大于等于零的，所以他肯定是了，对不对？第八个肯定人错了， 有人说了根号九等于三，三三不是二次根式，所以说他也不是，这是不对的，不能化解， 不能换件，你就看符合不符合特征就行了。第一个有二次根号吗？有没问题？第一个条件，第二个它是大于零呢？是符合这两个条件都没问题。家人们通过这个视频现在是不是更清晰一点了？

这道题目呢，百分之九十的初二同学，第一步就错了，你敢不敢挑战一下呢？我们一起来看，如果 x 平方减三加一等于零，那么求这个式子的值是多少？好了，各位，那我们现在来观察一下这个式子，你看这个 x 是 不是在分母上呢？ x 在 分母上说明什么？说明 x 不 等于零，对吧？那么它不等于零的话，我是不是可以给它的左右两边同时除以 x， 你看这一项除以 x 就是 x， 这一项除以 x 是 负三，那么一除以 x 是 x 分 之一，那右边除以 x 还是零。那我们现在要求什么？ 要求 x 平方加 x 平方分之一。那么你把这个式子给它整理一下，就是 x 加 x 分 之一等于三。好，那我怎么才能出现平方呢？ 我给它的左右两边同时平方就行，那么左边是一个完全平方公式，给它展开，就是 x 平方加 x 平方分之一， 再加二乘 x 乘 x 分 之一。好了，那你看这两项是不是约掉了，所以 就是加二，那右边是九，那么 x 平方加 x 平方分之一，不就是七吗？那你把它带进去，就是根号七，减二就是根号五。 那今天的这道题目大家听懂了吗？那二次根式这里呢？一共有八大题型，你把我整理的二次根式八大题型拿去练习，轻松搞定这里的所有问题。

这类二次根式求最值问题啊，年年考，孩子年年不会竖形结合，这样的提分神器呢，课本上讲的是蜻蜓点水，老师呢，更是讲的不痛不痒，但是有些学霸却用的太六了，就像这道题， 很多孩子呀，看到根式求最值，脑子里面除了配方就是代数法，那么今天呢，老师就用竖形结合的方法，带你彻底学会这类题，考场遇到直接拿分！好，我们来看题， 其实这种题啊，考场上往往是以什么样的形式出现，阅读材料的形式出现的，那今天呢，我们就抛开材料，直击本质，给大家说一说啊，这种题怎么做？首先呢，我们的回归书本啊，书本上关于我们根式求最值的最浅显的知识点在哪啊？在勾股定律里面。 好，咱们复习回忆一下啊，如果你拿到一个直角三角形，我知道了什么呀？直角边是 a 和 b， 那 么斜边是多少呢？来表达一下，就是根号下 a 的 平方加 b 的 平方，为什么呀？因为咱们都知道直角三角形勾股定律， a 方加 b 方是不等于它的平方， 它平方一开方，是不是根号就没了，就是 a 方加 b 方了呀，对不对？ ok， 所以 说你看根号下面平方加平方就是勾股定律。所以说，咱们可以把这样的知识点迁移到 我们对应的这个题当中，你会发现啊，根号 x 方加九，我写成平方加平方，是不是应该写成根号加 x 方加三的平方？ 能理解。好，那这个我也想写成平方加平方，但这里苦于多了一个什么负十四倍的 x， 所以 怎么办？需要用到配方的知识，好，再次迁移到另外一个知识点啊，就是配方。那配方怎么用呢？咱们也来同样的迁移一下啊，配方的知识点是什么呀？叫做一半方的原则 啊，什么意思呢？就是看好了啊，就是 x 方减十四， x， 好， 注意，一半的平方是他的一半，对吧？好，那就是七的平方就可以了，因为他呢，就能写成 x 减七，完全平方公式就出来了， 但你会发现原来是六十五，对不对？六十五减去四十九，答案是几？是不是十六？ ok， 所以 说呢，这里面我们就继续给他再加一个十六，也就是四的平方， 可以吗？好，那这边呢，就是加上四的平方，所以说原题目的这个式子就变成了什么？这个式子就变成了根号下 x 减七括住的平方，再加上四的平方。好，那我们来写下这个题的过程啊，首先呢，第一步写个解字 原式整理一下啊，根号下 x 方加三的平方，好，再加上根号下，这边整理是 x 减七的平方，再加上四的平方，现在求的是它的最小值。好，这是我们的第一步，结合书本知识点反馈到对应的题型当中。好，第二步呢，我们要讲一下什么叫竖形结合 好，咱们来看一下啊，我先打个草稿好不好？来把它表示一下，是 x， 那 这个地方是不就是根号下 x 方加三 草稿纸，好吧，然后另外一个地方呢，咱们去想啊，一个你就要把四和 x 减七怎么放置的问题，好，比如说他能不能放成 x 减七，他能不能放成是四， 对吧？这里是一个直角，那这条边是不是根号下我就不写了，对吧？ x 减七的平方加四的平方是不是？好，那现在求什么呢？各位，大家琢磨一下啊。求的是，这是 a 点啊，这是我们的 p 点，这是我们的 b 点，求的是啥？大家想想回忆一下，这样的知识点在哪出现过？好，这是一条直线， 是吧？然后呢，我求的是这个点是三吗？到河边的距离是三，这个点到河边的距离是四，我求的是他加他的最什么值？最小值，你求的不就是最小值吗？ 是不是？但这里面有个小小的问题，什么问题呢？大家去琢磨啊，你这个长度现在来说是不是 x 加上 x 减七，因为 x 是 一个动点，我不知道它在哪，那怎么办呢？各位， 哎，有个好的方法，是什么方法？大家琢磨啊。 x 减七的平方是不是和七减 x 的 平方是一样的，对吧？偶次方里面是相反数，其实道理是一样的逻辑，所以说这个题我就把这个 x 减七啊，变成什么 七减 x， 那 这样的话，你想想这段长度是不是 x 加上七减 x， 等于七是一个固定的状态了， 能理解吧？好，所以说呢，我们来整理一下啊。好，我们再次把这个十字整理，整理成啥呢？等于根号下 x 方加三的平方，再加上根号下，哎，七减 x 的 平方再加上四的平方。 好，到这里呢，我们利用刚才所学的竖形结合的思路来再次给大家重新换个草稿啊，来整理一下啊，这里是三， 这里是我不知道的是 x， 对 吧？那这个地方就是它，好吧，然后呢，另外一个地方来看一下啊，现在这一段呢是多少？是不是七减 x 这段呢？是四直角，那这里是，这段，就是我们它的根号，是不是？我现在求什么？是不就是它加它的最小值？来回忆一下，将军一马怎么做？ 将军一马模型怎么做呀？是第一步先对称，因为什么呀？各位，求的是折线相加最小，对吧？怎么办呢？是不是贡献原则，把它翻折下去，翻到这里来，依然这里是三，这里是直角，那这个线段是不是和它是相等的，对吧？而且你刚才的这个地方是 a 点的话，翻下来这里是不是 a 一 撇点， 是不是？好，然后紧接着这里是 b 点，好，现在求的什么？各位，求的是 a p， 因为 p 点是在上面动的，是个动点，对吧？求 a p 加 b p 的 最小值，就变成了求 a e 撇 p 加 pb 最小值，什么时候最小？各位思考一下，是不是三点共线的时候，哎，当前请当它 它两点一连，那这个是不是我们真正的 p 点，对吧？然后这个时候你会发现 a p 在 这里啊，它加它最小值，因为把它翻折下来，是不是 a 撇 p 加 b p 最小？那现在怎么求这个最小值？各位，哎，把它构造一个直角三角形，求斜边构造直角三角形，是吧？然后这里呢？是四， 对吧？然后呢，我们现在是把它对称下来了，是吧？ ok， 这里是七，对吧？然后呢，这里是个翻折，你看啊，我是把三啊这样子平移过来，这里是三啊，其实这里是三， ok， 那 因此就是七七斜边是多少啊？等腰直角三角形，答案是七倍根号二，所以说 他的最小值为七倍根号二就可以了，好吗？哎，这个题你看啊，他的核心思路就是利用我们的什么数形结合，把它转化成我们刚才所描述的那个模型。 ok， 我 再来画一下啊，就是这里是三啊，这里是 x， 然后这里是七减 x， 然后这里是四， 然后呢，我们的方法就是第一步先对称，三对称到这个位置，这里是三，然后呢，连接他来，对吧？然后呢，这里构造一个直角三角形， 是吧？这里是三，这里是四，这里是七，那么这个边就是我们的七倍根号二，各位，这个题你看啊，从书本上的一个知识点，两个知识点，三个知识点综合成一个对质问题，所以说这个题难度有点大，需要大家好好体会，各位，你听懂了吗？

我们今天学习二次根式的除法，那么它的原理就是根号 b 分 之 a 等于根号 b 分 之根号 a。 那 么通过两个例题，我们如何去做？第一个它是一个代分数，看到代分数，我们把它先变成假分数，它就等于根号 九分之五九，四十五，四十五加四呢，等于根号九分之四十九。 好了，我们看一下，通过它得到等于根号四十九，那么这呢变为根号九，根号有是几啊？三，根号四十九呢？七，这个是很简单。第二个错的人太多了，同样的，我们先根据， 根据我们这个把它拆成根号一百二十一，乘 b 的 五次密，这呢乘根号八，乘 a 的 三次密。接下来我会把数字和字母区分开，那么等于根号一百二十一 乘，看一下这 b 的 五次方，我把它拆成 b 的 平方的平方，这是不是 b 的 b 的 怎么样啊？四次方还差一个对不对？再乘根号 b， 这呢变为根号八，乘根号 a 的 平方，乘根号 a 到这能不能跟上？好，我们看一下写这了啊，根号一百二十一等于十一，那么这 b 的 平方，根号下 b 的 平方的平方就等于多少吧？ b 的 平方，这呢根号 b。 看一下我们的 分母，根号八，根号八的话，我把它变成多少呢？根号四乘根号二，就是二倍的 根号二，然后呢，这呢，这是 a 乘多少呢？根号 a， 那 么我们把这个根号二，根号二的话，放到什么呢呀？放到这个分子分子上，分子上面去，它乘根号二就等于，那它是不是就等于多少呢？二倍的 根号二，二和 a 相乘等于二 a 乘根号二 a， 然后分之十一 b 的 平方根号 b 关注大高老师，我们这寒假每天都有公益直播的。

十个人八个错，还有一个是蒙对的，这道题你要是能算对，那么八下二次根式的化解模块你就稳了。 我们来看一下负的根号下负四 x 的 三次方，让我们来化解这个式子。你要想从根号里出来，你得有平方的形式。先回顾一下我们的化减，根号下 a 的 平方等于 出来，能不能直接就等于 a 了呢？肯定不行啊，你并不知道 a 的 正负，所以我们必须加上绝对值，然后再看看能不能确定 a 的 正负。知道正负 a， 我 根据正负去绝对值，如果不知道，咱就得分类讨论。 那我们来看这道题。看到被开放数是可以拆成平方形式的等于负的根号下这四，首先是可以开出来的负号，我们先放前面 x， 拿出一个放前面，再乘以四 x 的 平方，我们可以看到它整体是二 x 的 平方。 根据我们根式的运算法则，我们知道根号 a 乘上根号 b 是 等于根号 a 乘 b， 因为这样写就已经默认了你 a 得大于等于零， b 得大于等于 零。但如果我们想反向的拆，那你得有什么要求啊？哎，这里 a 乘 b 结果是大于等于零，那你拆的时候，你就得保证每个被开方数都大于等于零。现在我们想把它拆成两个，那它是大于等于零的吗？ 这里它让我们化解就一定是有意义的。所以这里的被开方数负四 x 的 三次方就一定是大于等于零的，那你能得出什么结论？ x 肯定是个什么数，一定是一个负数， 当然还有零，我们大胆的拆即可。等于负的根号下负 x 乘上根号下二 x 的 平方等于负的，根号下负 x 乘上，这里根号平方抵消掉，但我们先加一个绝对值，我们要想去掉绝对值，就要判断 x 的 正负， x 是 小于等于零， r x 自然也小于等于零， 所以它的绝对值应该等于负的二 x。 我 们把前面抄下来，好整体去整理符号，这里有个符号，这里有个符号，变成正的了。最后的答案就是二 x 乘上根号负 x。 好 多同学看到根号下有负数就非常的紧张，其实我们只需要保证整体是大于等于零的即可，千万别被这个符号吓到，你会了吗？

像这样根号下边又是一个根号，要我们去化解它，这种问题呢，就是我们八下数学的一个重难点，双重二次根式的化解问题。那么今天呢，我们就一条视频，把这类问题的方法原理全部学透好。那首先我们怎么去开根号，把这个根号去掉呢？有两种方法啊。第一种呢就是给这个根式 整体平方，那么结果就是这个根号下边的原数。那第二种方法就是在这个根号底下去凑平方，那么开根号出来就是带一个绝对值的，因为你看这个平方下边的底数，它有可能是正，有可能是负，有可能是零，但是开根号出来之后呢，它只可能是 正数或者零，也就是非负的，所以要带一个绝对值出来。那么我们来看一下，这道我们能不能凭空给他套一个平方啊？不行，对吧？所以说我们只能用第二个方法来开根号，那也就是需要把这个根号下边的八加四倍的根号三凑成平 平方，那它是一个多项式啊，我们要凑完全平方，那回顾一下完全平方公式，比如说和的完全平方公式，应该是首平方加尾平方，然后呢首尾的两倍放中央，那么我们把这个 a 和 b 换成 根号 a 和根号 b 的 话，就是这个样子，首平方根号 a 的 平方其实也就是 a 尾平方，根号 b 的 平方其实也就是 b。 那 我们来看一下，我们能不能把这个式子对应到这个结构当中。那你可以看到，哎，有根号的这个项是 四倍的根号三，但是在这里边呢，哎，有根号的这个项前面的系数应该是二，那我们把这个四变成二，能不能变？可以啊，我们把这个 四啊想成二乘二，那么你把这个其中一个二塞进根号里边不就行了吗？那塞进根号里边是不是就变成根号 四啊？所以呢，其实也就是变成二倍的根号下三乘四，也就是根号十二，那么现在这一项和这一项它就匹配上了，所以说在这里边的 a 乘 b 就是 十二。那接着我们再看一下，这个式子的剩下部分，其实就是 a 加 加 b， 那 它俩只能出在这个八这里了，那我们需要把这个八拆分成 a 加 b， 也就是 a 加 b 等于 八。那我们来看一下这两个式子能不能找到两个数， a 和 b 乘积等于十二加和等于八的呀？一个是二， 一个是六，是不就可以二加六等于八，二乘六等于十二嘛？哎，所以说我们把这个八给他拆分成二加六，那么你看一下现在这个式子当中，你能不能看出完全平方公式啊？哎，如果不行的话呢，咱们再写一步，我们把这个二给他写成根号二的 平方，行不行？再把这个六写成根号六的平方，没问题吧？那我们再把这个二倍的根号十二写成二乘上根号二，再 乘上根号六。好，那么现在你看这个式子是不是完全对应到这个公式了呀？好，那么我们就可以把它写成完全平方，也就是 根号二加上根号六的完全平方。那么开根号出来其实就是根号二加上根号六。那咱们这里用不用加这个绝对值啊？不用啊，同学们，因为根号二加根号六，它就是一个正数嘛，你加上绝对值之后，还要开局对值，开局对出来 还是根号二加根号六，所以不用加绝对值好。那么掌握了方法之后呢，我们再来看一下这道题。这道题还是一样，我们需要去凑出像这样的一个式子，也就是根号下边 a 加 b， a 加 b， 它是一个数，比如这里的八， 然后呢，再加上二倍的根号下 a 乘 b， a 乘 b 也是一个数，这里的十二。好，那这道题你会看到它中间是一个减号，那也没问题啊，如果是减号的话，我们就用差的完全平方公式就可以了。但是有一个问题是，这回这个根号五前面它系数不是二怎么办？ 而且他也不是系数为四，刚才系数为四的时候，还可以把其中一个二给他塞到根号里边去，但是这回系数是一，怎么处理呢？来，同学们，像这种情况呢，我们就直接给这个根号下面的式子整体乘二 就可以了，也就是变成六，减去二倍的根号五。但是我们不能白白乘二，乘了二还要再除以二，这样就完全没问题了。那 接下来呢，我们可以先把这个式子改写成根号下二分之一乘上根号下六，减去二倍的根号五。那么现在这个式子就完全符合这个结构了，我们只要找出两个数，它们的和是六，它们的乘积是五就可以了，那这两个数应该是一和 五，对吧？一加五等于六，一乘五等于五嘛？那么我们可以把这个式子写成根号下五加一，减去二倍的根， 根号五。那么再进一步写一下呢，就是根号五的平方再减去二，乘上根号五，再乘上根号一，再加上根号一的平方。好，那么写成完全平方就是根号下根号五减去一的 平方，直接开平方就是根号五减去一。好，那么现在我们把这个式子乘一下，然后去化简，那么可以得到结果为二分之根号十减去根号 二。那么有同学会疑惑啊，这里为什么一定要写成根号五减一的平方呢？能不能写成一减去根号五的平方呢？哎，也可 可以啊，但是同学们，你看，如果你写成一减去根号五的平方的话，你给他开根号出来，是不是要带绝对值，也就是一减去根号五的绝对值，那由于一减去根号五，他肯定是小于零的，所以说开绝对值之后呢？那其实结果还是根号五减 一，那你还不如一开始就写成大减小呢，对吧？其实都可以好，那么同学们，双重二次根式的化解问题，你学会了吗？别忘了关注小七老师，带你学习更多有用的数学技巧。

家人们，我是大高老师，从今天开始咱们就开始更新我们的八下数学内容了，同时呢我们也陆续的更新七下内容，六下和五下数学内容，当然这不是咱们的直播课，直播课比这更更详细， 不过家人们可以去提前看一下我们这个小视频，对咱们后文的学习有很大帮助的，讲的是很详细的。 那么我们今天去学习我们八年级的二次根式，其实在我们的二次根式在我们七年级的时候，实数部分就已经学过了，当时我们学的什么呀？算数，平方根和平方根。那比如说像根号 a 的 话，这个呢 叫做什么呢？叫做二次根号，这个 a 呢叫做什么呢？被开方数，所以说看形如根号 a， 但是有一个条件， a 大 于等于零呢， 那么这样的叫做二次根式。那么首先这个我们这个 a， 它既可以是一个数字，也可以是一个含有字母的式子，你只要保证它是大于等于零的就可以了。比如说根号三， 他就是一个二次根式。同样的根号 x 平方加一是吗？ x 的 平方肯定是大于等于零的，那么 x 的 平方加一肯定也是大于等于零的，肯定是大于零的， 是不是？所以他也是一个二四根式，那么对里边是没有任何要求的。那看第二个我如何判断他是不是二四根式呢？他会给出你好多好多站去判断对不对？根据两点，第一点必须含有二四根号， 这个啊，对于含有二次根号，第二个被开方数必须是非负数，非负数就是大于等于零的。那么在这里边啊，经常有几个点是经常错误的啊，比如说有人说了负根号负根号三， 他是二次根式吗？他是的，那么他是哪种形？我是不是可以写成负一乘根号三呀？ 他是乘法关系，就是第一个了。形如 b 乘 b 根号 a， 那 么 a 大 于等于零，也是二次根式，那么相乘的关系，所以他也是一个二次根式。但是像这种 b 加根号 a 或者 b 减根号 a， 它就不是二次根式了，但是它是含有二次根式的式根，但不是二次根式。这这两个其实是 类似的啊，一个是乘，一个是加或减，第二个呢？当 b 是 带分数时，比如说我们写成了 二，有三分之二被的根号三，写成这种形式是错误的，应该把这个代分数写成什么呢？假分数就等于三分之八乘根号三。 那么我们去判断的时候呢，就是根据我们这个特征去判断他是不是二次根式。其次像这种特殊的这样的， 把它记住就可以了，家人们会判断了吗？下个视频的话，咱们弄一个例题，看咱们的判断能力学会了没有。

咱们今天讲的是八年级数学的第二个知识点，二次根式有无意义条件，那么这个知识点的话，在考试中通常会在一些简答题中啊，或者填空题中出现， 其实他是非常简单的，他的做题原理就是列不等式或列不等式组去解决问题就行，但他的底层逻辑是什么呢？根据我们这来的，什么情况下二次根式是有意义呢？那么这个被开方数必须是大于等于零的， 那么所以说当你看到给出你一个二次根式，那么它它在实数范围内有意义，那么肯定是这个 a 大 于等于零的，没有意义呢？就小于零， 那么看第一个，当 x 满足什么条件时，根号二减五， x 在 实数范围内有意义，那么看一下，其实这个二减五 x 是 不是为被开方数啊？ 那么如果说让他有意义应该怎么样呢？大于等于零解不等式就行了，所以得到负五 x 大 于等于负二，那么同时除以负五，得到 x 小 于等于 五分之二，这个是 x 的 取值范围。看第二个分式呢？如果说一看到分式必然要建立什么呢？不等式组，为啥呀？分母不能为零啊，是不是？所以第一个， 那么上面是这个二次根式，那么得到 x 加五必然是大于等于零的。第二个呢？ x 减二，你不能等于零， 所以我们得到 x 取值范围，这得到了 x 大 于等于负五，这呢 x 不 等于二，所以 x 的 取值范围是 x 大 于等于负五，注意，且 必须用这个字连接，且 x 不 等于二。那么我们总结的话，基本上我们这篇的类型题就分为四种，但是我写了三种，那么第四种是它们的组合的一个 这个题型。第一个呢是二次根式型，就是最简单的根据什么呀？跟上 a， 那 么知道 a 大 于等于零分式型，分式型的话，尤其是要注意谁啊？分母不为零， 同样的零次密呢？比如说 a 减二的零次密，那么看一下这个 a 减二能等于零吗？不能，也就 a 不 能等于二。 那么最后的一种就是把它们放在一起，放在一起的话就是把每一种题型要注意的点注意就可以了。家人们这个知识点是不是非常简单呀？关注大哥老师，咱们寒假我们每天都要直播学习的。

八下数学二次根式求字母的取值范围，是八下数学当中必考的重难点题型，虽然它只是一个入门的题型，但是很多孩子一碰到含根号、含分母的式子，就不知道如何列不等式了。 那这个视频呢？林老师就教会你一个方法，教你轻松搞定。你学会之后，再把林老师给你准备的二次根式八大题型包含的详细解析拿去练习，把这些题目都搞懂，二次根式绝对没问题。我们来看题， 求代数是根号内 x 减二，除以根号内三减 x 中 x 的 取值范围。做这类题，你一定要记住一句口诀，那就是根号内要恢复，而分母呢？要不能等于零？ 第一步，先看分子上的根号，你必须大于等于零啊！所以你得到了 x 减二大于等于零，从而 x 大 于等于二。 第二步，再看分母上的根号，这里有两个要求，第一个就是根号内必须大于等于零。第二就是分母不能为零，合起来就是三减 x 要大于零，减得 x 小 于三。 第三步，你再把这两个条件综合起来，取公共部分，得到二小于等于 x 小 于三。搞定 这道题的关键就是分子只看根号，而分母呢？既要看根号，又要不能为零。学会了这一招以后，同类题目再也不会犯错了，加油！