抛物线的题怎么做四川单招

马上三月份了，开始押题，抛物线是常考知识点，那么这两个是抛物线必考项，即使你没学过，你也能做。来看怎么做。第一题，抛物线外方等于八， s 的 焦点坐标。第一步看这个一次项，也就是常数，后边系数是 s， 它的焦点坐标就是 s， 零， 那么 s 等于几呢？这个八八除上四或者乘上四分之一都行，等于二，那么结果就是 a， 二零。同样的道理来。第二题， y 方等于负六， s 焦点坐标，这里是 s， 那 么就是 x， 零， 这 s 怎么算？前面系数是负六，负六除以四，负六除以四，那么等于负二分之三，这道题也选择 a。 大家看准线方程，准线方程一样来，这里是 y， 那 么准线方程一定是 y 等于什么？前面系数是负四，那么就负四除上负四，记好了。准线方程除负四， 那么就等于一，那么这道题选择 a， y 等于一，对不对？这是 y， 一 就是 y 等于几，前面十，那就是十。除上负四等于负二分之五，这道题选择 a。

二六年单招数学必考题型，抛物线的纯狗分技巧，哪怕你现在什么都不会，公式也不会背，甚至连题目都看不懂，主播今天教你的学习技巧，只教你秒出答案，绝对是你花大几千也买不到内容！ ok， 咱们直接抛物线的焦点坐标直接除以一个四。前面这么多废话直接不用给他看，来 四 s， 那 就是 x 九 x 零四除以四等多少看一，所以一一选 a 直接秒了 来第二题，抛物线 s 平方等于负八来解，给他划掉来负八 y， 那 就在 y 角零 y 负八，直接求一个四等于二等于负二，呃，零负二选 b 解秒了。第二题来第三题， y 等于四分之一 x 平方的焦点坐标来，把这个四分之一给他划剪掉。同处时除以一个四，同时乘以一个四，变成什么 四 y 等于 x 的 平方来四 y， 那 就在 y 轴上嘛，零 y 同除一个四等于多少？四除一，四等于什么？零一选 b， 即秒杀来第四题，准线方程式，那就是除以一个负四 除以一个负四来在外角你看前面就不用看在四 y， 那 就是 y 等于什么？ y 等于四，再除以负四除以多等于负一， y 等于负一，选 d， 直接秒杀来第四。第五题， y 等于负三， y 的 平方，先把这个三给它消掉，同时乘以负的三分之一等于二，就等于负的三分之一等于负三分之 s 等于 y 的 平方来剪线方程式也是，同时除以同时以多少，同时以负四， 同时一负四，这个是 s 轴，那就是 s 等于什么？同时一负四负四，负四等于十二分之一选 b 直接秒了，学会了没有？老铁们，书包后续还会更新更多斜修技巧，助力每一位小漫步向岸！

池头告诉身体，告诉数学，秒出答案。那今天我们来看一道全国二卷的第十题。已知抛物线的准线为 l， p 为抛物线上动点过 p 做圆 o 的 一条切线， q 为切点过 p 做 l 的 垂，垂线垂足为 b， 则来我们先把图简单画一下， 点击坐标零四，半径为一啊。然后他现在说 p 为这上面一个动点， q 为切点过 p 做 l， l 是 谁啊？准线吗？准线方程为什么 s 等于负二分之 p 得负一， 所以 l 方 l 直线方程在这好点 f 坐标一零在这里。现在 a 选项问直线 l 和圆 o 垂直啊，相切对不对？正确，所以 a 选项正确。接下来二 b， 当 p a b 三点共线时， p a、 b 三点共线 来往这里画，问 p q 得多少？那么点 p 此时的坐标为多少啊？纵坐标得四，我们现在是知道的。由于方程为 y， 方等于四， x 把 y 等于四，往里代均匀算， s 等于四， ok 了。点 b 在 这里点 p， 此时坐标知道。然后现在问 p q 得多少？来简单画个图 做垂线。点 q 坐标，此时 p a 的 长度等于四，半径等于一，所以 p u 的 长度为根号下，它方减，它方得根号十五，所以二 b 正确。接下来四选项，当 p b 得二时，好重新画图。 这是直线 l 来这么画 b， p p b 等于二的时候，它得一，它也得一呗，对不对？点 p 的 横坐标不就得一吗？那横坐标得一，纵坐标代入呗。代入到这里是得正负二，我们先以正二为例， ok 吧。那么点 a 的 坐标在上面 零四，这个高度等于二，那上面高度长度也得得二。这是一个等腰三角形，它的根号五，它的根号五，它方加它方。五加五等于二的平方吗？不得。所以此时垂直吗？不垂直，所以 c 选项错误。接下来看四 d 四 d。 说 pa 得 pb 的 时候。好，那接下来我们重新画图， 点 e， 坐标零，四画抛物线。点 p， s 零 y 得多少？不知道 pb 好， 家长我们来写一下啊。 pb 的 长度等于 s 零加二分之 p， 比如加一，那么 pa 的 长度等于 s 零方加 y 零减四的平方。好。整体开根号 发现要求 pa 得 pb， 所以 它方得它方呗。 s 零方加一加二， s 零等于 s 零方，加 y 零方加十六，减八倍的 y 零 约调约调。由于 s 零等于四分之 y 零方，我们将它代入一加二分之 y 零方等于 y 零方加十六，减八倍的 y 零移到右侧。二分之 y 零方减八倍，零加十五等于零。 好。接下来有没有两个角我们看的它？由于在这个式子中 y 零是属于 r 的， 看的它 b 方减去四 a c， 它们两个相乘，四乘二分之一乘它减三十， 这是大于零，所以相当于 y 零有两个解。那么这样的点 p 就 一定有两个啊，所以四 d 正确。综上所述，教材选 a， b d 好， 下课！

hello， 大家好，我是汉辰单招张老师。今天我们通过四道题来学习一下抛物线的一个三个知识点啊，最主要考的三个知识点， 一个就是我们的焦点，一个是准线，一个是我们的交准句。那大家给他记住那书上的公式啊，写有很复杂，负二分之 p 和二分之 p 什么东西啊？ 啊，那我们今天给大家说一下，大家把这个记住就行，那焦点的话，大家就是除以四，然后准线就是除以负四啊，如果让你求交准句，那就除以二，大家给他记住这个，然后你做这个题就可以很简单。 那首先来看第一题， s 平方等于负四， y 让我们求焦点，求焦点除以四，那谁除以四？那只有一个数字呀，是不是负四，那就是负四，除以四那就等于负一，对不对？在这里面，那我们要知道，你看下面都等于有负一的，有 b 和 d， 那 是 x 等于负一还是 y 等于负一？我们在 抛物线里面重点看一次项字母啊，一次项是 y 对 不对？所以应该是 y 等于负一，所以我们选的是二号 b 选项。那接下来再来看第二题，抛物线让我们求它的准线，准线是除以我们的负四，准线除以负四，那谁数负四就是 带数字的，但在这里面要注意啊，这是 x 等于十六，外方。我们抛物线的方程必须是外方等于二 p x 或者是 x 方等于二 p， y 就是 平方，平方必须在左面，依次方在右边啊，这大家要注意，所以我们要让它互换位置， 那就是外方等于多少 x 对 不对？互换位置的时候，中间数变倒数，就是变成十六分之一 x， 对 不对？互换位置的时候，中间数变倒数，就是变成十六分之一 x， 所以在这个里面的话，那变完以后就是外方等于十六分之一 x， 那 就是十六分之一，除以我们的负四，那十六分之一除以负四啊，除以一个数等于乘以它的倒数，对不对？所以十六分之一乘以我们的负的 四分之一啊，所以等于负的六十四分之一。在这里面也是，谁等于负的六十四分之一啊？啊，那只有，而只有一个选项，只有 c， 那 就直接选 c 就 行了啊。在这里面也要注意啊，就是要看一次项 x 等于啊，那这里面没有一设坑，如果有 y 的 话，你要注意是 x。 那接下来看第三题，让我们求交点到准线的距离，也就是我们的交准距，指的就是交点到准线距离，交准距是除以二啊，那就是 x 前面数是一，对不对？那就是一，除以二等于二分之一，所以我们选的是二号 b 选项。第四题的话，它是一个反向求的一个题， 它告诉我们准线等于负二，让我们找下面哪一个符合这个题。那大家有两种思路来做，要么就是挨个来排除 a、 b、 c、 d 啊，然后求出来 谁的哎，谁的准线 x 等于负二，对不对？要么你就来思考准线怎么求出来的？准线是不是除以我们负四求出来的？那你反向往回推，是不是就乘以负四就行了，对不对啊？乘以负四，那就是负二啊，那就是负二乘以我们的负四，所以等于我们的 八，对不对？它是 x， 就 直接就是八 x， 八 x， 所以 是 a， 外方等于八 x 啊。或者说大家也可以反向求，就是说 a、 b、 c、 d 四项你正着来推，也就是准线， 准线除以负四，也就是说谁除以负四等于负二，那就接着来看 a 选项，那八除以我们的负四，是不是正好等于负二？后面跟的 x 就 x 等于负二，那这个里面的话，那他除以负四，那就是正二，那就是他的 x 等于二。是的准线， 那这个的话就是八除以我们的负四，那就是 y 应该等于我们的负二，对不对啊？你可以从 a、 b、 c、 d 四个选项当中来求，也可以从上往回推啊，那这是这四道题。

大家好，这个视频呢，接着来讲一下二零二五年四川省单招数学整体的填空题。 我们来看到第十一题。这个第十一题考察的知识点是向量的平行，向量的平行的处理的原则就是把这两个向量的坐标 并排着写，然后交叉相乘相等就可以了。交叉相乘相等， x 一 乘以 y 二等于 x 二乘以 y 一， 那所以在这道题目当中， a 向量等于三的 m， b 向量等于一的三，交叉相乘相等，所以 m 等于九。这是填空题的第一题。接下来看到填空题第二题， 在等比数的 a 当中， a 一 等于二， a 五等于八。第一个需要注意的是，这是等比数的，不要把它整成了等差数的，再来要求 a 九的值。我们可以根据等比的中项的性质进行计算观察，发现 a 一 a 五 a 九，那么 a 五的平方就等于 a 一 乘以 a 九，所以代入数据，八的平方等于二倍 a 九，也就是二倍 a 九等于六十四，所以算出来 a 九等于三十二， 因此这道题的答案等于三十二。填空题这道题一起来读下题目 已知圆锥的体积为六倍，根号二拍立方厘米，且它的侧面展开是一个半圆，则该圆锥的底面半径为多少？根据题干当中给的信息，我们优先的先画一个圆锥， 而他说圆锥的体积，知道了圆锥的体积为锥体的体积，它都是三分之一倍 s h， 我们不妨设这一个圆锥的半径为 r， 圆锥的高为 h， 圆锥的母线为 l， 所以 在这个地方有一个自然而然的勾股定律的式子， l 方等于 r， 二方加 h 的 平方 又来很关键一个信息，别人说侧面展开是一个半圆， 那我们就要思考了。这个侧面展开是一个半圆，当他的侧面展开了之后，这个新的扇形半径就应该是 l， 而这一段弧长 应该等于底面圆的周长，所以他应该等于二拍小二。假如我们把这一个半圆给他补全，补成一个完整的圆，所以可以得出这么一个结论，二拍 r 该等于这个大圆的周长，应该是二拍 l， 所以该等于二分之一被二拍 l， 二拍二拍底调，所以 r 等于二分之一被 l 推出来， l 等于二 r， 那 在这一个扇形当中，我们得出这么一个结论呢，回归到圆锥里面来， l 等于二 r， 这是 r， 因此一比二比根号三 h 就 等于根号三 r， 所以我们就可以算这一个圆锥的体积的表达形式了。所以微锥体，那不就等于三分之一乘以拍 r 方，再乘以高为根号三 r 化简整理一下，就变成了三分之根号三倍拍 r 的 立方，则 三分之根号三倍拍 r 的 地方就等于六倍根号二。拍好了，来约分，约一个拍，约一个拍，然后把这个乘过去， r 的 三方就应该等于六倍根号二，乘以根号三分之三，那这个地方约一个是根号三，所以就变成了六倍根号六。 而六倍根号六，我们又可以拆成根号六的平方乘以根号六，那不就等于根号六的三次方，所以 r 的 三次方等于根号六的三次方。得出 r 等于多少呀？根号六，所以这道题最终答案等于根号六。 nice！

单招想考高分？张老师来帮你！今天张老师为大家讲解四川单招通用技术的高频考点。还有二十多天就要考试了，帮助大家走捷径备考，同学们可以收藏，家长可以转发给孩子。 一、标准件的定义连续两年选择题考到我们只需要记住，标准件是只有通用规格的零件，可以在市场上直接购买并替换。对应题目是二四年的选择题十七题。二、结构的类型 实体结构结构本身是实心的结构，外力分布在整个体积中，比如实心强大坝壳体结构。结构体是层状的结构，外力作用在结构体的表面，比如贝壳和头盔 框架结构，框架体由细长的构建组成，支撑空间而不充满空间，比如铁架塔。 对应题目是二四年的选择题十七题和二五年的判断题四十六题。三、技术活动和科学活动技术活动侧重于改造自然设计，制造科学活动侧重于认识自然发现规律。 二四年考的遗传规律属于科学活动，二五年的 deepseek 属于技术活动。四、技术设计的原则包含科学性、创新性、经济性、安全性、可持续发展性等原则。对应题目是二四年的选择题二十一题和二五年的选择题二十三题， 都是考察的可持续发展性原则。五、技术发明和革新发明是指创造、发明自然界原本没有的事物。革新是指对原有的技术加以改造和提高。对应题目是二四年的选择题二十二题和二五年的判断题四十五题。 指南针和风筝都是自然界原来没有的事物，所以属于技术发明。六、实验的类型按实验的目的类型分为安全实验、功能实验、性能实验和寿命实验。按实验的手段分为常规实验和强化实验。过去两年的对应题目如下， 七、系统的分类按照组成元素的性质分为人工系统、自然系统和复合系统。按照组成元素的形态分为实体系统和抽象系统。二四年的水族箱和二五年的城市交通系统都属于人造系统和实体系统。 八、三、式图我们要掌握主式图、左式头、俯式图的画法。二四年考的左式图，二五年考的俯式图。注意，制图规范中可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线表示。这个知识点掌握后式属于送分的内容。 九、设计流程我们要知道流程设计的步骤以及流程的环节优化。连续两年的选择题和判断题都考到了。十、产品使用说明书 产品使用说明书主要侧重于使用方法、注意事项、维护保养和安全警告。连续两年的判断题考到。 十一、结构的稳定性、结构的强度与材料以及结构的连接方式，这个属于重点的考试内容。十二、系统与控制 这是连续两年综合题的重点。二、四年的无人机定缸控制和二五年的鱼缸水温自动控制，两者其实本质一致， 都是典型的闭环控制系统。我们要知道闭环系统判断的标准在于是否存在反馈环节，只要出现传感器检测反馈给控制器、调整执行器，那么必定是闭环系统。 同时我们还需要掌握系统的特性、干扰因素包括方框图的画法。张老师最后再次强调，大家一定要把过去两年的真题彻底消化，张龙龙单招问题帮你全搞懂！

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从今天开始呢，我每天会做两到三套的一个数学练习录制给大家，仅供大家参考。 我们先看一下二五年这个河北单招的考试题。第一道题的话，考了一个非常简单的集合，上并下交，那咱们要求 a 集合跟 b 集合的并济， a 集合当中是负四和四， b 集合需要我们处理一下， x 呢，它是等于四的， 这个时候把 a 集合当中的元素和 b 集合当中的元素放到一起，就选择 e 选项元素，它是具有互异性的，所以不能相同啊。第二道题考了我们一个根式的计算问题，开三次方咱们可能不太会算，那么我们就把根式转换成分数指数密去做。那在这先给大家复习一下这个根指互换的公式啊， x 的 n 次开 m 次，那么底数不变，里面的放到分母，这样的话，你看啊，三次根号二， 就等于二的三分之一次。同理啊，三次根号四，那就等于四的三分之一次，原式就会变成二的三分之一次，乘以四的三分之一次，它俩的指数一样，那就把指数提出来啊，把这个底数放到一起，有八的三分之一次，这个八咱又可以变成二的三次方。 第二的话呢，底数不变，指数相乘呀， 结果是二啊，选择 b 选项。 第三题是一个非常简单求函数值的问题，求 f， 零是多少，实际上是 x 等于零的时候，我们这个函数值是多少，就把 x 换成零就可以了啊，二的零次加上一二的零次是一啊，结果是二，选择 b 选项。 那第四题的话，是一个不等式的问题，不等式我们先看一下，它已经写成乘积的形式了，那咱们观察一下，这两个 x 的 符号是相同的，那 x 一 是得一的 x 二它是得三的。不等式的符号是大于等于套股结论就可以了啊，大于取两边，所以选择 a 选项啊。 第五题的话呢，求函数的定义域问题，那我们就看未知数出现在了哪些位置上。分子上有一个根号， 那么对应的这个五减 x， 它要大于等于零，解出来 x 小 于等于五，除了在根号里面，它还出现在分母上，所以分母是不得零的， x 它就不得二，所以小于等于五的时候，又不能等于二，那就选择 a 选项啊。 第六题是一个三角函数的问题，那我们做三角函数之前，你要确保自己这些特殊值都已经背下来了，而且每个象限对应的三角函数值的正负我们要非常清楚啊。首先我们看二百二十五度，它的中边应该是落到第三象限吧， 那第三象限的这个是正弦值呀，正弦值它应该是负的，是吧？那你通过分析完这两点，我们就可以排除掉 b、 c 答案选项选择 a 啊， 那是本来这个二百二十五度，他用我们的这个诱导公式，可以把这个二百二十五度拆成什么呀？一百八十度加上四十五度是吧？那么一百八十度他是九十度的两倍，所以名称是不改变的。 符号的话，咱们说符号看象限，二百二十五度他在第三象限，那他对应的正弦值就是负的，我们需要在诱导的结果前面添一个符号就好了。那咱知道三以四十五度是二分之根号二呀，所以最后的结果就是负的二分之根号二。 第七题，求抛物线的准线方程。做所有的圆锥曲线的问题，我们都要看它给的方程是不是标准方程，那这道题它给的是标准方程，求准线方程的话呢，我们直接用十二乘以什么呀，负的四分之一就好了啊，它是等于负三的， 那究竟是 x 等于负三还是 y 等于负三呢？我们就要看一下焦点在哪个轴上啊，咱们说判断焦点在哪个轴上，就看谁的指数是一次，这边 y 是 一次，所以说焦点在外轴，那么准线就是 y 等于负三。选择 c 选项啊， 八 t 把七十五度化为弧度，角度至往弧度至去转换，直接用角度除以一百八十度，再加一个 pi 就 可以了，结果是十二分之五 pi 啊，选择 c 选项，那如果说把弧度至转换成角度至的话呢，就乘一百八十度就好了。 第九题非常简单，我们看这个函数的图像，首先你要认出来它是哪一种函数类型啊，它长成了反比例函数的样子，而且 k 呢，是等于负一的，它一定经过二四象限。选择 c 选项啊。 第十题是一个负数的计算问题，那我们算负数的乘法，直接按照等式的乘法运算就好了。二 i 减去负一，结果是二 i 加一选 a 选项。 第十一题的话，是一个包含三点函数的最值问题，一旦涉及到三点函数的最值问题，那么我们只需要关注一下三点函数部分就行了。 复习一下啊， a 倍的 omega x 加上 f， 那 这个函数的最值啊，最大值是 a， 最小值是负 a， 我 们回到这道题里面，三点函数的系数呢，是得一的，所以说三点函数的最大值是等于一，我们要让整个函数有最小值，直接用三减去后面的这个最大值，得到的就是最小值。选 c 选项啊， 而体求椭圆的离心率，离心率公式， a 分 之 c， 只要找到 a 跟 c 就 行了，看一下这个椭圆的标准方程，二十五大于十六，所以焦点在 x 轴上，那么 a 方就是二十五， a 就 等于五， b 方是十六， b 就 等于四。 c 方椭圆当中 a 方最大，那么 c 平方就等于 a 平方减去 b 平方也就是二十五，减去十六等于九， c 就 等于三，所以离心率是五分之三。选择 c 选项，这三 t 比较简单，求期望，我们要去求期望的话，直接各组相乘作和就行了，二乘以零点五，加上四乘以零点二，加上六乘以零点三，一加零点八，加上一点八，结果是三点六，选择大选项 十四题单纯考了二倍角的公式，那如果你背下来的话，我们就非常清楚，它是余弦的二倍角，我们给它转换成 cosine 六分之 pi， 也就是二分之根号。三、选择 c 选项，如果这个公式你没有记住的话，我们该怎么去蒙呢？你就记住啊，平方我们都会转换成余弦的二倍角， 那么乘积的话呢，都会转换成正弦的二倍角就行了。好，十五题看一下啊，要去求第四组的频数是什么，那这边先给大家复习一下公式啊，频率是等于频数除以总数啊， 而且频率的和应该是怎么样？频率的和啊，应该是等于一的，我们看啊，样本有四十个，把它分成四组，第一组的频率是零点一，第二组的频率是零点三，第三组的频数是十六。第四组的频数是什么？那我们先可以求一下第一组的频数呀。用四十乘以零点一，结果是四，第二组的频数是四十乘以零点三， 结果是十二。把第一组、第二组、第三组的频数加起来，再加上第四组的频数，它应该是等于四十的。所以啊，我们这个第四组的频数就应该是等于八的。 选 c 选项，让我们去求直线方程，那这道题给了点，给了请斜角，其实给角和给斜率是一个意思，直线的斜率等于请斜角的正切值，所以这道题的斜率呢，是弹性题，四十五度也就等于一，有斜率有点，用点斜式，先把直线方程列出来， y 减去负一等于一倍的 x 减三，把它整理成一般式就好了啊。 y 加一等于 x 减三， x 减去 y 减去四等于零。 选大选小十七题是对数的计算，但是它是对数的乘法。我们有关对数乘法的计算只有一个公式， log a 抵 b 乘以 log， b 抵 c 乘以 log， c 抵 d。 啊，那如果真数和底数是一样的话，我们做乘法的时候可以互相抵消。 所以我们看这道题，底数是五，底数是三，然后真数是二十七和五。那么从这道题上面来看，我们需要把二十七给它换掉，换二十七的时候可以变成 log 五抵三的三次方，那按照公式给它写成三倍的 log 五抵三，这样的话，原式就会转换成三倍的 log 五抵三乘以 log 三抵五， 它们两个真数和底数都互相抵消，结果就剩一个三选择 a 选项啊。十八题，我们判断两个函数是不是同一个函数，其实只需要看两点，一是定义域， 二是化简后的形式啊，化简后形式是不是一样的？那咱们看一下 a 选项啊， a 选项，第一个函数，它的定义域是二，那第二个函数它的定义域是不是 x 不 得零，所以 a 三排除掉 b 选项的话呢？第一个函数的定义域是二，第二个函数的定义域也是二，那它们的定义域一样。再去看化简之后的式子啊， f x 等于一。后面我们知道啊，散引方加 cos 也一样选择 b 选项啊， 让 c 选项 c 选项，它俩的定义域都是二，但是它们两个这个形式很明显是不一样的，所以 c 被排除掉啊。好多同学对于大选项有很多的疑问，就说后面这个式子，它不是可以化简成二倍的 log x 吗？但是啊，我们判断定义域都是要看化简之前的式子啊，你看化简之前第一个函数定义域是 x 大 于零就可以了，所以它俩的定义域是不一样的啊，啥也不选。 第十九题，这一个抛物线外方等于六， x 的 交点与 x 轴垂直的直线啊，和我们这个抛物线交于 a b 两点，那么确 a b 的 距离是什么？这个我们在笔记上有啊，过焦点和坐标轴垂直的直线和抛物线构成的线段应该是等于二 p 的， 那么这个给的是标准方程， p 是 等于三的，那二 p， 这就是六啊。所以选择 a 选项，我们可以回去去翻一下笔记啊，它的图是长成这样的， 笔记上都有二十题，这道题它让我们去求 b 这条边是多少，咱们看它给的已知条件，当它给了两个角的时候，第三个角我们是一定可以算出来的。那通过它这三个角我们就可以分析出来这个三角形，它是一个顶角一百二十度的等腰三角形，顶角一百二十度的等腰三角形。三边关系是一比一，比 根号三。那我们现在知道啊， a 这条边的长度是三，也就是最长的这条斜边，使得三根据它们的一个比例关系，小 b 啊，小 b 这条边，它就应该等于根号三啊。选择 c 选项 这道题，这样做肯定是最简单的，但如果说我们想用正弦定力或者是余弦定力，它也是可以去做的啊。在此咱们就不说了， 看一下二十一题啊。二十一题非常典型的直线和圆的位置关系，那么我们做这种题，第一步先找到圆心和半径呀，圆心零零，半径是根号三，第二步的话去算圆心到直线的距离， d 呢，就等于零减零，加上二 比上我们的一方，加上负一的平方二除以根号二，那咱们这个根号二小于谁啊？根号三，那圆心到直线的距离小于半径 就是相切的啊，相交的，它经不经过圆心，你直接把圆心往直线方程里面去代入一下就行。零减零加二，它是不是不得零呀？那等式不成立的话，它就不经过圆心啊，所以选择大选项。 二十二题是一个导数问题，导数的话，我们基本出等函数，它的导数求导公式要背下来，复合函数的求导我们也要清楚，这个非常明显，它是一个逆函数，复合了一个依次函数呀， 这个底数是一个一次函数的形式。那咱们说复合函数求导的话，就是里导乘外导，里面是一次函数，那它的导数是三啊，外面是一个指数含，外面是个密函数，密函数咱们在求导的时候，把指数挪下来，里面是无边的，结果就六倍的三 x 减一，整理一下，十八 x 减六啊，选 c 选项， 二十三题看一下等差数列等差和等比，我们做一下这个重点标记啊， a 一 等于三， a 三等于七，前 n 项和是三十五，去求这个 n 是 多少？做这种问题我们看啊，它给你两项的目的是为了让你去求公差。公差我们说是数值的差，除角标的差，也就是七减三，除以三减一， 结果等于二。既然是前 n 项和公式， a 一 加上 an， 结果是三十五，再入一下 a 一 是三，那 a n 我 们怎么去处理呢？公差有了，首项也有了，那 a n 咱们直接套公式，等于 a 一 加上 n 减一倍的 d， 三加上二倍的 n 减一，结果是二， n 加一， 把它代入就行啊，结果是三十五，那么 n 倍的里面是二， n 加四等于七十 n 算出来，它就等于五。选择 c 选项啊， 看一下咱们二十四题啊，二十四题这种，它说以线段 m n 为直径的圆的标准方程是什么？ 这种问题啊，咱们在做的时候，其实我们根本就不需要老老实实地去按照找圆心啊，求半径这样的方式，把它的标准方程导出来。既然他说我们这个圆它经过这两个点，那咱们直接把点带入到 选项当中去验证一下就行。比如说 m 点和 n 点，咱们先往 a 选项里面去带，那就是一减去二的平方加上三减去四的平方，算出来它是等于二的 a， a 貌似是符合，那我们两个点都要验证一下啊。再把 n 点带入到 a 选项当中，去三减去二的平方加上五减去四的平方，哎，也等于二，两个点都符合的话，那就一定是选 a 选项了啊。 我们可以拿 b 来做一下这个验证啊。 b 选项我们还是把 m 点带进去，一减去二的平方加上三减去四的平方，它算出来是二，不等于这个八，所以 b 选项肯定不是啊，以此类推啊。 c 叉也是这样去验证。 二十五题，这道题还是一个竖列的问题，等比竖列给了 a 一、 a 四和 a 七这三项，看一下它们的角标啊，一、四、七，我们看一下这个角标，可以找到它们角标的关系啊。角标的和相等那么数值的乘 以 a 七，那负 a 四的平方一样， a 一 是八分之一，所以我们的 a 七它就应该等于八啊。选择大选项 二十六题是一个非常典型的二项式的问题，他说展开式当中第四项我们要非常清楚，二项式，展开式的通式啊。 c n k， 第一项的 n 减 k 次，第二项的 k 次，那这道题当中让我们去求展开式的第四项， 所以说 k 就 应该等于三， n 的 话指数是六，所以 n 是 六， k 是 三。第一项是负 x 的 平方，六减三是三呀， x 分 之一的三次啊。我们第二项的指数和上标是一样的，给它整理一下，给负一提到前面去， 里面就变成 x 平方的三次，咱把 x 分 之一变成 x 的 负一次，再进行整理啊。负的 c 六三， x 的 六次， x 的 负三次，同底数密相乘，底数不变，指数相加呀。 c 六三， x 的 三次。所以我们从选项上面来看啊，首先它得是一个复数，那就从 ab 两个选项里面去选，其次的话，这边 x 的 指数是三次，所以选择 b 选项，那我们实际去算一下， c 六三，它应该等于 a 六三除以 a 三三啊， a 六三的话，六乘五乘四， a 三三，三乘二乘一，结果也是等于二十的，还是 b 选项啊。 二十七题，这道题啊，二十七题，我们可以用一个非常简单的方法去解决这道题， 去解决共起点，然后终点共线的这种向量的和差问题。咱们可以用爪子定理，首先看他说搭点在 b c 边上，并且满足 b 搭等于两倍的搭 c， 这样的话我们就知道，如果说 b c 是 一的话，那 b 搭就是二，也就是 b 搭占整个 b c 的 三分之二， b， c 占整个 b c 的 三分之一。 爪子定律是怎么操作的呢？你就把它们这个比值啊交叉一下就行。所以 a 搭向量，它就等于三分之二倍的 a， c 向量加上三分之一倍的 ab 向量啊。 这块啊， ab 向量是小 a， a， c 向量是小 b 三分之二， b 向量加上三分之一倍的 a 向量，那就选择 a 选项啊。 二十八题，这种双变量的最值问题，最简单的方法就是消元啊，把两个变量变成一个变量， x 乘 y 得一，那么 y 就 等于一除以 x， 我 们把 y 给它换掉，你就换成 x 分 之一。平方呀， 就变成这样子，这是非常典型的基本不等式的结构啊，它应该是大于等于二倍的根号下， x 方乘以 x 方分之一啊，这样的话，你看 我们整体的最小值就是二，选择 c 选项啊，为什么可以直接这样求啊？因为 x 乘外，它得一的话，它们两个肯定是都不能得零的，它既然都不得零的话， x 的 平方呢，这个一定是大于零的啊，它后面也是大于零的， 所以就可以利用基本不等式的公式去求它的这个最小值了。二十九题，飞机飞偶，首先看一下啊，这个 a 选项， a 选项我们看啊，它是一个 b 函数的类型，那 指数是三次，所以它应该是一个什么呀？奇函数啊， b 选项的话呢，还是两个密函数的和呀，这个指数是四，指数是偶数，那它就是个偶函数，后面指数是二，也是偶数，它还是偶函数，偶函数加偶函数还是偶函数啊。那么大选项，你看指数是三，指数是三的话呢？ 那么指数是基数，结果就是一个基函数啊。 a b 大家都排除掉了，所以选 c c， 这是一次函数，但凡是能写出来的一次函数，全都是非基非偶的，我们记住就行啊。三十题，这一个去求 a， e， c 和我们这个平面 a b b e a e 假角的正切值。 首先啊，它既然说这个三棱柱是正方体的一半，那么你看着它比较别扭的话，你可以把它补形成一个正方体呀，我们把它补形之后，再去做这道题，它就简单多了啊。嗯，那这块是 a e c d e p， 求的是 a e、 c 也给我们画出来了，和我们平面，就跟前面这个平面，前面这个面假角的正切值，那我们需要先把这个线面角给它找到啊，找线面角的时候啊，找到我们的交就是斜足和垂足， 你看 a、 e、 c 和我们的平面交在这个 a、 e 这个点，所以 a、 e 是 斜足啊，那么去找这条线的另外一个端点 c， 过这个点向我们的这个平面做一个垂线，那你看非常明显过 c 点向这个面做垂线垂足，这不就是我们的 b 吗？那接下来我们把垂足和斜足给连上， 垂足和斜足给连的直线和我们 a、 e、 c 这条线构成的夹角就是线面角。 那从图像上来看的话呢，这个 a、 e、 b、 c 很 明显这是一个九十度的角呀，所以要去求这个假角正切值的话，我们只需要求什么呀？咱们只需要把这个 b、 c 的 长度求出来，还有 a、 e、 b 的 长度求出来就可以了啊， 如果这个假角我们是角一，那角一的正切值它就应该是 b c 除以 a e b 啊， b c 的 长度，正方体的长度不知道，我们可以给它设一个啊边长，比如说是一 b， c 的 长度就是一 a、 e、 b 的 话呢，就应该是根号二啊，所以啊， 正切值是二分之根号二，选择 c 选项。如果这道题我们用几何的方法找不出来渐变角的话，那么咱们也可以用空间向量的方式啊， 还是先把它补形成一个正方体，这样的话比较方便我们去见系，那就说让这块是 z 轴啊，这是圆点，那这块是 x 轴，这个地方是 y 轴，见好系之后去找到我们的坐标啊， a e b e c e c。 嘿，好，去找一下坐标，找坐标的时候，按直线的这两个坐标肯定都是要找的边长还是给它设成一，那这样的话， a 一 这个点，它的坐标应该是一零一 c 这个点它的坐标是零一零， 这样的话，把 a e c 向量写出来后，减前负一一负一，再去看一下平面， a b b e a e 去求面的什么呀？法向量啊， 法向量是个什么东西呢？就是垂直平面的向量，都叫做法向量。你看一下啊，在正方体当中啊，和我们的 a 一 a 好 的， a b b 一 a 一 这个平面垂直的，那就是 a o 垂直于这个平面吧， 那么我们就可以去写谁呀？去写 a o 这个向量就行了。 a o 这个向量的话，那 a 点坐标一零零呀， o 点的话呢？零零零啊， a o 向量 b 零零。找到法向量，然后找到我们这个直线的这个向量之后，我们去代一下公式啊，线面角的公式，求出来都是正弦值，它的话等于上面就是 a c 向量乘以 a o 向量比上 a c 的 膜 和我们 a o 的 模啊。上面的话呢， a e 向量乘以 a o 向量是一下面的话， a e 的 模长啊， a e 的 模， a e c 的 模长是根号三呀， a o 的 模长是一，结果是三分之根号三啊。但是我们求的是什么呀？求的是正弦值， 别忘了把它转换成正切值啊。正切值，那正弦值咱们说是 y 比上二，所以说直接令这个 y 等于根号三，二等于三就行了。把我们的 x 解一下啊，那这个二方减去 y 方就等于九减去三呢？九减去三是六吧， x 是 根号六啊， 这样的话， x 是 根号六， y 是 根号三，正切值是 y 比上 x 这个根号三除以根号六，结果还是谁啊？二分之根号二啊，如果说用几何法解决不了，就用向量的方法。好，三十题，我们就先说到这 来看，下边啊，给了两个向量 a b 去判断它们是不是平行的，那判断两个向量是否平行，利用这个公式呀， x 一 y 减去 x 二 y 一， 如果得零的话就平行，不得零就不平行啊。咱们来看一下，负八乘以负三减去四乘以六， 二十四减二十四得零啊，所以三十一这个是对的。下面这个三十二题 等差数列啊， a 一 是负一， a 三是二零二五 a 二，那首先看 a 一 a 二 a 三，这一看啊，就符合我们的等差中项呀， 二倍的 a 二，它是等于二零二四的， a 一 加上 a 三呢，也是二零二四，这是相等的吧，所以三十二也是对的啊。三十三题，这一个啊， 这是我们和差公式的问题啊，看一下啊，塞扣减扣塞写回去是正弦的什么呀？两角叉的展开式吧， 所以你看这块是塞六十度，塞六十度应该是二分之根号三啊，就错了。三十四题，求最小正周期，求最小正周期的话呢，如果说你不会化简成一个三角函数，我们可以怎么快速的去判断它的周期给的对不对？你就记得啊，只要是和差，周期就不变，如果是乘积或平方的话，周期变成原来的一半。 现在这道题呢，是和的形式，那按照我们正弦的啊，求周期的公式，这个 omega 是 x 的 系数，它是一，然后这是和差，咱们说和差周期是不变的啊，所以三十四题是对的。那这道题正经的解法它应该怎么去解呢？首先它这是， 这是两个三角函数啊，那我们需要给它变成一个才能去求周期，两个变成一个的话，就得用到辅助角公式嘛。 看一下啊，五角公式就要把这个系数平方和的根给提出来，然后给它转换成一个三角函数就行了。所以说看一下啊，它的系数都是一，咱们把一方加一方提出来， 里边就变成二分之根号二 sine x 加上二分之根号二 cosine x 啊，那二分之根号二可以变成 cosine 四十五度，后面这个就变成 cosine 四十五度呗，那它就变成 x， 加上谁呀？四分之 pi 啊，变完之后，你看 x 的 系数是不是还是一，所以周期二 pi 除以一还是二 pi 啊。 斜修就是和差的话，周期不变，乘积或者是平方的话，周期变成原来的一半。 三十五题， x 等于三，是 x 的 绝对值等于三的必要不充分条件，这个是错的啊，因为后面 x 的 绝对值的三，所有做我们这个逻辑问题的时候啊，都要把这个范围解到不能再解为止， 所以后面我们这个绝对值处理完之后，它可能是三，也可能是负三。那从范围的大小上来说，前面的范围小，后面的范围大，我们说小范围可以推大范围，那也就是前推后前推后的话是充分，不必要啊。所以三十五题是错的， 看三十六啊， e 的 x 次和我们这个一分之一的 x 次，它是关于 y 轴对称的，这个是对的啊， e 的 x 次，那你看 e 分 之一的 x 次，它可以转换成 e 的 负 x 次吗？你看啊，我们这两个函数横坐标是怎么样的呀？互为相反数的啊。横坐标互为相反数，那它就关于 y 轴对称啊。 三十七题，这一个啊，平面啊，这三个都是直线，那我们看一下啊，去证明线面垂直。证明线面垂直的话，我们都有固定的数学语言呀，我们得怎么样呀？ l 它要垂直什么呀？两条相交的直线啊，那这里边它只告诉我们 m、 n 在 面内，然后 m， n 和 l 都垂直，但是是不是没有提到 m 和 n 是 相交的呀？ 如果说没有它俩相交的话，这个肯定就不对啊，必须是 l 垂直于平面内的两条相交直线，才可以判断线面垂直啊，所以三十七也是错的。 看三十八题啊，三十八题，这一个，从四个人当中随机地选两个人去担任某项公益活动的志愿者，他说甲乙恰有一人被选中的概率是三分之二。 四个人选两个人啊，四个人选两个人，总共的情况有多少种呢？甲乙甲丙还有甲丁，然后呢？乙丙乙丁还有丙丁，总共的选择情况是有这六种啊，他说甲乙恰好有一个人被选中的概率，那就是甲和乙出现，但是不能在一块的 这一个，这一个，这一个，所以是有四个啊，总共的情况有六种，符合要求的有四种，结果是三分之二啊。三十八，这个是对的。 那么再往下看啊，三十九，这个函数和 x 轴有两个交点，我们直接去画图就行啊， 观察一下， x 方加一， x 方加一，我们在画图的时候，对称轴是 y 轴，顶点坐标是零一，但是它给规定的范围只要大于零的部分，只要大于零的部分的话呢，我们把小于零的部分给它去掉就行了啊。 然后 x 小 于零的时候呢，它是开口朝上，但是它现在顶点就变成什么呀？零负一了啊，现在它的范围是小于等于零的，所以我们只要小于零，小于等于零的部分就可以了，把右边的给它擦掉就好了啊， 这都不要了。所以你看啊，画完这个图之后，它跟 x 轴是不是只有这一个交点呀？这三十九题是错的啊， 那四十题这道题就更简单了，球的体积直径是二十二，半径是不是十一？那球的体积公式三分之四派二的。什么呀？立方啊，你看这是平方，他肯定就错了啊。好，到此，我们这套卷先讲到这。

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二零二六年四川单招报名人数虽然少了，但是好学校竞争照样卷出天际。今年一百零一所院校招生热门，公办独木桥却越来越窄，下面这四所，名额少，分数高，专业强，想捡漏基本不可能。第一所，四川电力职业技术学院，电网体系全网独一档， 电力类专业进供电局发电厂的机会远远超其他院校。二零二四年三百八十九，二零二五年飙到三百九十三，全省第一，关键是普高计划每年只有一百个左右，想上这所，你得是全省一千分之一的尖子生， 普通分数别盲目冲，那是学霸的战场。第二所，成都航空职业技术学院，航空部直属专科里的战斗机、 飞机维修、发动机维修，这些专业技术含量高，稀缺性强，很多本科生都抢着报。二零二四年三百五十二，二零二五年三百五十九年年涨，毕业进航空工业集团、民航企业都是硬通货。第三所， 四川铁道职业技术学院，就业铁饭碗，分数涨的最快。铁道机车、铁道运营这些王牌，每年大量毕业生直接迁成都铁路局。二零二四年三百四十三，二零二五年直接跳到三百五十八，涨幅全省最快，现在想进至少 全省至少全省前百分之二。第四所，四川中医药高等专科学院，医学专科天花板 今年明确升本，更名为绵阳中医药学院，分数线肯定还要涨一波。二零二四年三百五十九，二零二五年三百五十六，依然稳居前列。 学护理、口腔医学考编进医院都是硬实力。划重点，二零二六年单招上岸策略第一，认清现实，这四这四所不是随便抱抱就能上热门专业录取率不足百分之三十， 普通分数别盲目充，避免滑档。第二，分层报考三百六十分以上的大胆充这四所，或者同级别顶尖公办，三百五十、三百到三百五十分，选性价比高的公办，比如区域性重点职，高职三百分以下的重点保录取，别挑专业，先有学上再升本。第三， 关注新风口、激光装备、人工智能、集成电路这些新兴产业，新增了不少优质专业，竞争相对较小。 中分段考生值得看。选学校就像选未来，既要仰望星空，也要脚踏实地，拿不准自己分数适合冲哪所学校，点关注私信我规划，我帮您清晰分析，稳稳上岸！

招生计划基本不变，电网的人才储备摇篮，飞行器数字化制造技术今年没招，但是电气自动化、机电一体化，还有航空材料表面处理技术今年都可以报。原成都纺织高等专科学校今年已明确升本，纺织类王牌专业持续招生 二六届招生计划少，王牌专业所招严重，这个学校今年要谨慎报考。新增王牌专业，机械制造及自动化， 想走机械类的高分儿同学闭眼报王牌专业都保留。招生计划小涨一百多个，今年上岸更容易。新增卫星导航通信技术和无人机应用技术，但是今年计算机类专业基本没招拢。招生计划双高里面最多，也是今年比较容易上岸的双高一项之一哦！