5个小正方体可以有几种摆法怎么画图

今天与大家分享第一单元里面常常会出现的一种题型，我们来看题目，如果在下图中再增加一个同样的小正方体，要保证从左面看到的图形不变，有多少种不同的摆法，至少有一面重合。我们先来看， 在不增加这一个小正方体的情况下，咱们从左面来观察这一个几何体，我们看到的是什么样的图形，咱们把它画下来，其实这是咱们上学期学过的知识，对吧？观察物体好， 站在这个地方看这个图形。看，其实我们就可以这样想，有一双手，嗯，把这个图形推推推推、压扁、压扁压扁，这样压扁压扁、压扁，其实最后压扁之后，我们看到的这个图形应该是长这个样子。 好，这是我们以前学过的知识哈，就是从左面来观察这一个几何体，我们看到的图形应该是这个样子。好了，就是不增加这个小正方的情情况下，咱们看到的是这个样子。现在题目中说要让我们增加一个同样的小正方体， 也要保证从左面看到的是这样的图形，怎么办？那我们增加的这个小正方体的位置是乱放吗？不是，它应该放在原有几何体的左面，或者是原有几何体的右面，什么意思？同学们，我们来看， 这是这个小正方体，它可以放在这个几何体的左面。好哪哪里呢？比如说二号的左面，大家看这个位置可不可以？如果放在这，现在从左面观察这一个几何体，仍然看到的图形是这个样子，对吧？所以二号的左面可以，还有呢？ 一号的左面也可以，大家看，现在看过来仍然是这个图形，二号的左面可以，一号的左面可以。还有没有还有五号的左面呀？五号的左面也可以。所以原有几何体的左面的话，一共是几个位置？有几种 几种摆法？三种，二号的左面、一号的左面以及五号的左面。好，咱们把它记录下来，二号的左面，呃，一号的左面，五号的左面，二号的左面有一个位置，一号的左面也有一个位置，就是一种摆法，一种摆法，五号的左面也有一种摆法。那么摆在原有几何体的左面一共就是几种摆法，这 三种白发，对吧？三种不同的白发。好了，然后我们再来看，把这一个小正方体给它增加在，就是摆放在原有几何体的右面又有哪些位置呢？ 首先五号的右面这个位置可不可以？可以，咱们从左面观察，这个几何体仍然是这一个图形，对吧？所以五号的右面可以记录下来，五号的右面。好，继续 四号的右面可不可以？可以，四号的右面，而且五号的右面是有一种白法，对吧？好， 这里四号的右面也有一种白法。然后还有吗？同学们有一个特别容易漏掉的地方，就是一号的右面，一号的右面，大家看这个位置可不可以？如果摆在这，咱们从左面观察，仍然是这个图形，所以一号的右面这个位置可以，一号的右面可以。好，记录下来，一号的右面是可以的。 只有一种摆法吗？不是，大家看一号的右面，除了这个位置以外，你看这儿可不可以？也可以，这个地方也是一号的右面。 好，一号的右面此时就有两种不同的摆法了哟，然后继续看。那有同学说，老师，这个位置呢？可不可以？不可以？为什么？ 因为题目中还有一个要求，这至少有一面重合，现在有一面重合吗？没有，所以这个位置不行。那么一号的右面就有几有几种白法。一二，一号的右面有两种不同的白法，咱们记录下来，一号的右面有两种不同的白法， 那么合起来，咱们把这个小正方体摆在原有几何体的右面，一共就是四种不同的摆法，那么最后合起来一共有多少种不同的摆法呢？三加四就是七种不同的摆法，所以这就是有七种不同的摆法。好，咱们就梳理完了，而且是非常有序的把它给梳理完了。 好，同学们，咱们接着往深一点来理解这道题。那么如果这这这里是保证从左面看到的图形不变， 那这变一下，如果是保证从右面看到的图形就是不变呢？有多少种不同的摆法？一样的。如果是保证从右面看到的图形不变，咱们增加的这个同样的小正方体也是应该放在原有几何体的左面或者是右面， 那所以也是有七种不同的摆法。也就是说要保证从左面或右面看到的图形不变，咱们增加的那一个小正方就应该放在原有几何体的左面或者是右面，明白了吗？好，那咱们继续拓展。 那如果是要保证从前面看到的图形不变呢？那从前面看到的图形不变，那咱们增加的那个小正方就应该放在原有几何体的前面 或者是后面，对吧？那咱们来说了一下原有几何体的前面有哪些呢？有一号的前面，有三号的前面， 有没有五号的前面呀？这样可不可以？不可以，同学们看这个下面没有了，这个要落下来，这是不行的，五号的前面不行啊，还有哪四号的前面？好，现在咱们记录下来。有。呃，一号的前面，有三号的前面，还有四号的前面，而且分别都是有一个位置，就是一种摆放。好，这是前面，我们再来看后面呢。 那摆在后面的话，好，老师把这里调整一下，要把这个图形摆在后面，可以摆在二号的后面，三号的后面，四号的后面。好，记录下来。可以摆在二号的后面，三号的后面，四号的后面，而且分别都是只有一亿种不同的摆法，就是一个位置 好了，那合起来一共就是多少种？有六种不同的摆法，所以保证从前面看到的图形不变就有六种不同的摆法。那同学们，这保证从前面看到的图形不变。那也可以把这改成改成什么？从后面，从后面看到的图形不变也是一样的，有六种不同的摆法。 好，现在这也梳理出来了，那同学们，接下来你们应该知道老师要问什么了，那要保证从上面看到的图形不变呢？ 那从上面看到的图形不变。这一个小正方体呀，咱们就应该增加在，就是应该把它摆放在哪，就摆放在原有几何体的上面。哎，同学们，刚才，哎，从左右看到的图形不变。摆在左右， 从前后看到的图形不变，咱们摆在前面或者后面，那从上面看到的图形不变，那就是摆在上面或者是下面吗？不行，因为这个图形的下面咱们能不能摆？不能这个下面就是咱们，因为这个下面咱们摆不了小正方体呀，对吧？所以这它就只有一种摆法，就是摆在， 就是摆在那个原有几何体的上面。哈，你看这里都是有两种，两种就是两个方向嘛。哎，这里只有就是摆在原有几何体的上面。好，现在咱们来数一数可以摆在哪些小正方体的上面？可以摆在 二号的上面可以，一号的上面可以，五号的上面可以，四号的上面也可以，而且分别都是有一种摆法。 好，老师记录下来。摆在原有几何体的上面可以摆在哪些上面呢？一号的上面，二号的上面，五号的上面，还有四号的上面，而且分别只有一种白发，那合起来就是有四种不同的白发， 所以要保证从上面看到的图形不变，一共就有四种不同的白发。好，这一这一种类型的题是咱们第一单元里面常常会出现的题型，大家一定要好好的把它理解清楚。其实总结来说就是这三句话， 要保证从左面或右面看到的图形不变。增加的小正方体应该放在原有几何体的左面或右面，这是第一句话。第二句话要保证从前面或后面看到的图形不变，咱们增加了那个小正方体，或者增加，增加的那一个，或者增加的那两个小正方体 应该放在原有几何体的前面或者是后面。第三句话要保证从上面看到的图形不变，咱们增加的小正方体应该放在原有几何体的上面，就是这三句话， 而且刚刚老师说的时候，其实大家注意听了的话会听到一个细节，我刚刚没有刻意去说增加一个，因为无论增加一个、两个、三个，或者是四个、五个、六个等等。 嗯，不管是哪个数量的小正方体，咱们增加的位置都应该是这个样子，与这里的数量是没有关系的。如果大家理解不过来，大家可以拿出小正方体把它摆出来，边摆边想， 就是一定要多去想，因为咱们第一单元就是观察物体，他一定离不开咱们，一定要认真的去想，我们就想站在哪个位置，我们观察到的应该是什么样子的图形。好了，那今天的这道题咱们就分享到这。

叮咚我说你搭游戏开始，小方块排排坐，跟着我搭出快乐乐呵呵，好嘞， 豆包，我说你开始搭吧。今天学按指令搭图形，先搭所有可能，再排除不对的单方向，看搭法不唯一。指令一，用三个正方体搭立体图形，从正面看是三个正方形， 这四种摆法都符合要求哦。指令二，从右面看是两个正方形，只能是这两个了。指令三，上面的正方体在右面哦，就只剩这一个了。 现在我用三个正方体搭一个立体图形，从正面看是两个正方形，第三个正方体可以放在以下位置哦！这四种摆法都可以做到。 豆包豆包，别怕，我们一起稳住，等雨停了，就能重新搭出最棒的立体图形了！

判断小正方体的个数与摆法啊？第一个判断题啊，如果从正面看到的一个几何体的图形是这个样子的，就是给我们从前面看到的效果，对不对？祖师图啊，这个几何体一定是有两个小正方体搭成的，那你想一下，一定是两个吗？ 对不对？你比如说我们这个是一号，这个是二号，我们可以在一号的前后，二号的前后都可以添加呀， 因为我们前后添加是不改变从正面看到的效果的，所以它不一定是两个、三个、四个、五个、六个都行，在前后添加都是可以的啊，所以第一个就是错了，你可以自己摆一摆，好不好？大家自己摆一摆啊， 你如果画出来的话就是这样子的，他不是有两个吗？你看，因为他给你的都是平面图形，那这个是一号，这个是二号，我们一号和二号的前后都是可以添加的啊，都是可以添，想添几个添几个啊。 然后第二题，一个物体从左边看的形状是这四个，他说这个物体不一定是，那这个说法就对，不一定是由四个正方体摆成的，因为可以左右添加呀， 是不是我们可以左右添加的啊？左边添加，右边添加都行，所以不一定是四个，他和第一题考察的点是一样一样的啊。然后第三题 有三个小正方体，说了啊，明确是三个小正方体摆成一个物体，从正面看到的效果是这个样子的，那么这三个小正方体只有两种摆法。好，那你想一下，从正面看是这样的，我给他画出来好了。 来，你看一下有几种填法，只有两种吗？这个是一号，这个是二号，还需要一个对不对？而且不改变。从正面看，我们可以在一号的前后添加，一号的前面有一种，一号的后面有一种， 二号的前面有一种，二号的后面有一种，所以它不是说只有两种摆法呢？这种说法也是错误的。第三题也错了啊，来看一下第四题 啊。第四题说下列几何体是由几个正方体组成。那这种的话，其实你硬想也能想到，因为图形不是很难 啊，为了防止咱们出错呢？怎么办？用俯视图标注呀，还记得吗？我们知识点三又给大家去讲俯视图标注， 是不是？然后我们的个数就是里边的数字相加，而且他给我们从上面看到的效果了，看到没？从上面看到是这个样子的，然后左边是一二，右边啊，左边是一二，正面是二一，你就填上去呗，看到没？填上去啊？ 你凡是能看到一层的那一行，那一列都是一，能理解什么意思吗？你比如说我从这里望去是一层高，那这个里面可能出现两层、三层吗？不可能的， 哪怕你出现两层高，你这个外面就要填二了，你看到的就是两层高了，所以这里只能填一。同样的道理，你从这里望过去是一层高，说明你这里也得填一，那你剩下的这个肯定是二喽， 对不对？所以总共有几个小正方体呀？五个，因为它的个数本来就没有那么多，所以我们有时候你不用不用这。

大家好，我是五二零班的张一可，今天教大家如何做一个正方体。首先先画出十二个边长为五厘米的小正方形， 然后再将左下角的三个小正方形和右上角的三个小正方形分别撕掉。 接着我们再把每个正方形的衔接处折叠压实， 我们再把右下角和左上角分别打两个孔， 穿线后在右下角的正方形背面贴上双面胶，固定在卡纸上。 最后我们再把两条线轻轻一拉，就变成了一个完美的正方体了。接下来我们再来制作一个长方，首先在 a 四纸上画好 四个长为十二，宽为五的长方形， 再画两个边长为五厘米的小正方形， 然后将多余部分撕掉。 接着我们再把这六个地方打上孔， 再把各个图形的衔接处折叠压实， 再把线依次穿入孔内， 在底面贴上双面胶并固定在卡纸上。再把两条线轻轻一拉，一个长方体就做好了。 在制作前，我先梳理了它们的特征，正方体有六个完全相同的面，十二条长度相等的棱，八个顶点，长方体则有四个长方形面相对的棱长度相等， 相对的面完全相同。动手实践不仅让我牢牢记住了长方体和正方体的特征，更锻炼了我的空间想象能力和动手操作能力。 今后我会更积极的动手实践，在实践中探索数学的奥秘，让学习变得更有趣、更扎实。

正方题，找对面，我们先记住一个小口诀，同行同列跳，一跳，哪里面多哪里跳，跳过一格找对面，对面不，再拐个弯，好，我们来看第一题二的对面是谁？好，这里是二，二要往右跳，因为右边的面多。嗯， 二跳过了三找到了四，所以二的对面就是四，三的对面是谁啊？这里是三，三也要往右跳。三跳过了四，找到了五，所以三的对面就是五， 好，六的对面是谁？好，这里是六，他的左边右边下面都没有，只能往上跳。六跳过了五，咦，没有了，对面再拐个弯，拐个弯找到了一，所以六的对面就是一， 好，下面我们来看第二题三的对面是谁啊？三就要往右跳了，三跳过了四，找到了五，所以三的对面就是五。 一的对面是谁？好，这里是一，他的上面左边下边都没有，只能往右跳。一跳过了二，咦，没有了，拐个弯，所以一的对面就是四， 二的对面是谁？好，这里是二，那二就要往下跳，因为下边的面比较多。二跳过了三，一没有了拐个弯，所以二的对面就是六， 好，下面我们来看第三题一的对面是谁？好，这里是一，他的上面下边左边都没有，只能往右跳。一跳过了二，拐过弯找到了四，所以一的对面就是四。 三的对面是谁？好，这里是三，他要往右跳。三跳过了四拐过弯找到了六，所以三的对面就是六。 二的对面是谁？好，这里是二，他要往下跳。二跳过了三，拐个弯找到了五，所以二的对面就是五， 好，下面我们来看第四题一的对面是谁？那一，我们就要往右跳了，一跳过了二找到了三，所以一的对面就是三， 四的对面是谁？好，这里是四，他也要往右跳。四跳过了五找到了六，所以四的对面就是六，对 二的对面是谁？好，这里是二，他也要往右跳。二跳过了三，拐个弯找到五，所以二的对面就是五。 好，正方形找对面。你学会了吗？会了。那下节课不见不散，拜拜。

用同样的小正方体搭一个几何体，从前面看到的是三个面，前面看也就是我们的祖式图，也叫正面看，对吧？当然我稍微倾斜一点，我们能看到现在至少有三个小立方体，我们看它的问题。 第一，如果用了四个小正方体，有几种不同的摆法，这个时候就要考验你是否理解主式图、俯式图、左式图，哎，什么叫做再加一个？其实这四个是不是就是再加一个的意思？那我想问一下，我能不能把它摆放在这个位置， 哎，这个时候你看看，从正面看，我们是不是就看到了两列啊？主视图是确定列数和层数的，所以你新增的这一个不能放在他的左边或右边，你就会新增了列数。 所以这个蓝色的应该怎么放来？你再想一想，这个蓝色的是不是只能放在这一列的前面或者后面？我们来演示一下啊？ 如果原子老师把蓝色的放在了这一列的前面，我们来看正面是不是还是三个面？有没有影响？没有影响，那同样的，我把这个蓝色删掉了，我把它放在了这一列的后面，所以你会发现啥？ 是不是正面看依然是三个面的，所以如果用了四个小正方，他一共有两种不同的摆法，为了不改变你的主视图， 可以在这一列的前方或后方各紧挨着放一个，这个很重要，是挨着放啊，不能跳一个对不对？那也会有影响。所以这是我们第一问，有两种不同的摆法。那请问第二个，如果用了五个小正方体，有几种不同的摆法呢？ 如果你掌握了第一问，那第二问就好做了，现在五个是不是也就是基于原来三个的基础上新增了两个？那我们来看一看，这两个可以怎么放？依然是不能放到左右，对吧？就会新增列，那我们能不能放在前面 来看一看，放在前面可以吧？第一个，第二个，我用绿色，可不可以？这个时候我们从正面去观察，是不是依然是三个面，稍微过来一点点，是不是？是不是依然三个面？ 同样的这两个我是不还可以都放在后面呢？是不是？这是第二种方法？这是最常规的，很多同学说，老师是不是也有两种，你别忘了你从前面看到的是什么 列数，对吧？哎，反正这一列最高有三层。那我这两个可以怎么放？叠放，哎，落在一块儿放来，你看一下，我把这个绿色删掉啊，我把放太放在蓝色的上面， 哎，仔细来看，是不是依然是三个面？哎，那也就是说叠放也是可以的，那么既然可以在前面叠放，是不可以还在后面叠放啊？所以现在就有四种了， 那请问还有没有呢？哎，很聪明。那老师反正前后都可以放，我把这两个拆一拆，分分家，前面放一个，我们后面也放一个，哎，请问一下，现在我们的正面 看一下啊，是不是依然是三个呀？对不对？你看前面看到三个面，是不是？所以我们来把答案先填进去， 第一种，如果用了四个小正方体，有两种不同的摆法。第二个，如果用了五个小正方体，有五种不同的摆法，那这个地方我们再来小节一下，主式图到底给到你的信息是什么？主式图就是从前面看， 前面看我们能够确定的是列数一列，对吧？而且能够确定的是它的层数， 如果不想改变我们的主视图，可以在它的前后方紧挨着，平放或者叠放都可以。好，那这就是我们第一个立方体移动的经典题型。

用四个同样的小正方体摆出，从前面看是是三个小正方形的这样的几何体，那么有多少种摆法呢？我们一起来看一看。那么我们如果，从， 我们如果从前面看是三个小正方体的时候，那么我们可以从从后面摆一种，两种，三种， 那么我们也可以摆在前面四五六，那么他现在是有一个一行，那么我们可以把它摆成两个一行，我们可以有六种，现在有六种啊， 我们有七种，七种摆摆在后面也可以摆在前面八种，我们从前面看都是由三个小正方形组成的，那么我们现在还有没有其他的摆法呢？那么我们一起来看， 我们可以把它往后移 九种，那我们也可以把它往前移 十种，那么像这样的摆法，我们也可以移动其他的位置。 那么先来看从前面看都是由小翻个小正方形组成的啊，那么像，像，像这样我们根据从一个方向来来摆小正方体的时候，我们有很多种摆法。

观察物体经典题型今天来喽，请你一定要收藏保存，那么园子老师在这给大家进行了一些分类，有利方体移动的，确定个数的，还有综合题型，那我们今天先来深度讲解立方体移动也是大家操作上比较困难的一个点， 那么我用我的交互平台带着大家一起来学。第一个题型，用同样的小正方体搭一个几何体，从前面看到的是三个面，前面看也就是我们的祖式图，也叫正面看，对吧？当然我稍微倾斜一点，我们能看到现在至少有三个小立方体， 我们看它的问题。第一，如果用了四个小立方体，有几种不同的摆法，这个时候就要考验你是否理解 主视图、俯视图、左视图，哎，什么叫做再加一个？其实这四个是不是再加一个的意思，那我想问一下，我能不能把它摆放在这个位置， 哎，这个时候你看看，从正面看，我们是不是就看到了两列啊？主视图是确定列数和乘数的，所以你新增的这一个不能放在他的左边或右边，你就会新增了列数。 所以这个蓝色的应该怎么放来？你再想一想，这个蓝色的是不是只能放在这一列的前面或者后面？我们来演示一下啊？ 如果园子老师把蓝色的放在了这一列的前面，我们来看正面是不是还是三个面，有没有影响？没有影响，那同样的，我把这个蓝色删掉了，我把它放在了这一列的后面，所以你会发现啥？ 是不是正面看依然是三个面呢？所以如果用了四个小正方体，他一共有两种不同的摆法，为了不改变你的主视图， 可以在这一列的前方或后方各紧挨着放一个，这个很重要，是挨着放啊，所以这是我们第一问，有两种不同的摆法。那请问第二个，如果用了五个小正方体，有几种不同的摆法呢？ 如果你掌握了第一问，那第二问就好做了。现在五个是不是也就是基于原来三个的基础上新增了两个？那我们来看一看，这两个可以怎么放？依然是不能放到左右，对吧？就会新增列。那我们能不能放在前面 来看一看？放在前面可以吧？第一个，第二个，我用绿色，可不可以？这个时候我们从正面去观察，是不是依然是三个面，稍微过来一点点，是不是？是不是依然三个面？ 同样的这两个我是不还可以都放在后面呢？是不是？这是第二种方法，这是最常规的，很多同学说，老师是不是也有两种？你别忘了你从前面看到的是什么 列数，对吧？哎，反正这一列最高有三层。那我这两个可以怎么放？叠放，哎，落在一块放来，你看一下，我把这个绿色删掉啊，我把放太放在蓝色的上面， 哎，仔细来看，是不是依然是三个面了？哎，那也就是说叠放也是可以的，那么既然可以在前面叠放，是不可以还在后面叠放啊？所以现在就有四种了。那请问还有没有呢？ 哎，很聪明，那老师反正前后都可以放，我把这两个拆一拆，分分家，前面放一个，我们后面也放一个。哎，请问一下，现在我们的正面 看一下啊，是不是依然是三个呀？对不对？你看前面看到三个面是不是？所以我们来把答案先填进去。 第一种，如果用了四个小正方体，有两种不同的摆法。第二个，如果用了五个小正方体，有五种不同的摆法，那这个地方我们再来小解一下，主式图到底给到你的信息是什么？主式图就是从前面看， 前面看我们能够确定的是列数到底有几列一列，对吧？而且能够确定的是它的层数， 如果不想改变我们的主视图，可以在它的前后方紧挨着，平放或者叠放都可以。好，那这就是我们第一个立方体移动的经典题型。我们接下来来看第二个题。 第二个题，改变图中图色小正方题的位置，使几何题从前面看到的图形不变。前面咱们看到了几个面，来正面观察是不是有四个面，一二三四在这，对吧？好，那么从左面看是 第一行一个，第二行两个，有几个位置可以选择，那这个时候我们先还原一下，哎，请问一下子，你左面看到了几个面？你先思考啊，我们扒扒过来， 扒过来，对不对？哎，请问一下，咱们的左面你看到的是几个面呐？哎，我看到的是第一行有两个，对不对？左面看第一行有两个，第二行有一个。老师，那跟他题目要求的不一样，哎，非常棒，你已经发现了不同的地方， 哎，那老师，那我是不是要把红色的哎，把它删掉啊，然后把这个红色的放到蓝色的上面， 哎，如果你是这么想的，就刚好掉坑。为什么他要改变涂色的小正方体的位置，而不是改变原有红色就是他白色的立方体，所以你这个错误了啊，所以读题审题要很清楚。那请问现在我们应该怎么去移动呢？ 你的左面看第一行只有一层，第二行有两层，我们是不是把这个蓝色的调个个？原来你在第一行，这在第二行，现在我把这个蓝色的换个位置，跳到它前面，可不可以？ 哎，我们试一试把它删掉啊，我把这个蓝色的补在这。哎，请问现在是不是左式图第一行一个，第二行两个了呀？ 哎，所以当我左视图的时候，我确定的是横竖以及横竖。确定啊，那么请问有几个位置可以选呢？来，大家再来看看刚才蓝色圆子老师放在哪了？我是不是放在了最后面呢？ 对吧？放在了第三列，那现在这个蓝色还可以怎么放？我们换一个颜色，我是不是可以放在这？ 咱们是不是还可以放在这啊？所以他一共有几种方法，请问是不是一共有三种方法？那现在通过左视图，我们是不是就能够小节到？你看到的其实是行数有几行， 以及最高有几层，也就是层数。这个方法好不好？这个交互软件是不是特别好用？刚才讲到了主视图， 现在讲到了左视图，那接下来你猜猜我讲什么呢？哎，聪明的同学应该猜到了，我们要讲俯视图，从上往下看，我们一起看题。好，接下来我们来看看第三个题。 如图，一个几何体由九个相同的小正方体组成，我已经拼起来了，那么要保证从上面看到图形不变，最多可以拿走几个小正方体，我们从上面看， 哎，这个地方应该是这样的，对吧？是这样的啊，对吧？你是不是看到了三个蓝色，两个黄色，对吧？是不是两个黄色？那么现在为了保证你从上面看看的 不变，那应该怎么拿？你要去注意，从上面看，我们看到的就是栋数，由一二三四五五栋楼，也就是这个 地基布局，对吧？那么我要保证看到五个面一共有九个，是不是剪掉四个就可以了？怎么剪？我是不是可以把黄色的上面两个面保留，拿走这一个， 底下的这一个同样的蓝色的，我们看到后面啊，你依然要保证上面的三个面要看到，所以你要拿走的是一二三四， 再加三个，是不是四个呀？所以我们确保你看到的是五个面，一共九个，拿走四个就 ok 了。这道题很简单， 第二个要保证从前面看到的图形不变，最多可以拿走几个小正方体。哎，我们来看看正面看，你一共看到的是一二三三列， 第一列最高有三层，第二列最高有两层，对吧？最后一列只有一个。那也就是说我们从正面看，其实是不看你前面到底累计放了多少个，我以最多的为主。那所以我是不是可以把 这三个黄色全部都擦掉？那你看看我的主视图，从前面看是不是不变的？因此我们先把答案填进去啊， 第一问最多可以拿走四个，第二问最多可以拿走三个。好，那么我们来小结一下，也就是最后一个俯视图，俯视图在干什么？他在确定你的栋数 有几栋楼，或者也就是说我们的地基对不对？刚才这两个我再把它还原一下。 好，你们看到的，哎，我们从上面看是不是就可以看到他到底有几栋楼啊？对不对？也就是一栋、两栋、三栋、四栋、五栋，你住一栋 一单元，他住二栋一单元，对不对？所以是栋数，并且能够确定有几行，两行，蓝色一行，黄色一行，所以这个地方叫做行数， 还可以去确定什么他的列数，第一列，第二列、第三列。所以我们在学习三式图的过程中一定要搞清楚主式图、 左式图、俯式图给你带来的信息，相信今天的视频对大家一定非常有帮助，如果有帮助你可以在评论区夸夸我，哎，让我有更更多的动力来去做后面的教学展示。如果你也需要哎， 我拿这个交互软件去动手实操一下的，也可以在评论区喊喊我，我会看到你的。好的，咱们下一个视频见，拜拜。

练习一、第一题用五个同样的小正方题按要求摆几何体一、从前面看。二、在第一题的基础上，从上面看是 第二题。第二题，把下面两个小题分别是从不同方向观察到同一几何体所看到的图形。请分别把被观察的几何体摆出来。一、 从前面看，从左面看，从上面看。 第二题，从前面看，从左面看。 从上从上面看。 第三小，第三、第三题。第二小题，从前面观察一个几何体看到的图形，和从前面观察五图形五所看到的一样。这个几何体是用五个小正方形摆成的，它有多少种不同的摆法？ 第第一种，第一种。第二种。第三种。第四种， 第五种，第六种，第七种。

同学们大家好，今天我们学习新的一种题型，增加或减少一个小正方体，使其从某个方向看到的图形不变。 来看此题，用四个同样的小正方体摆成的几何体，然后我标上的数字，方便于大家学习。我们看第一问，保证从上面看到的图形不变，那么就是这个方向看到的图形不变，我们看到的是一个这样的图形， 他说有几种不同的摆法，我们是不是可以摆在什么位置呢？我们可以摆在这个一的上面，是不是四的上面，三的上面都是可以的，所以我们一共有三种摆法。好，我们看下一题， 如果从前面看到的图形不变，前面就是这个方向，他说有几种不同的摆法， 那我是不是可以放在这个一的前面，然后一的后面，二的前面，二的后面，三的前面，三的后面。所以呢，我们一共有六种摆法。看第三题，保证从左面看到的图形不变，左面呢，就是从这个方向看， 然后我们可以放在什么地方呢？可以放在这个一的左边，然后可以放在四的左边，然后四的右边还可以放在三的右边。所以我们一共有几种摆法呢？ 一二三四种摆法。通过观察我们发现什么规律呢？就是从哪个方向看，然后就把这个图形加在这个视线延长线上，同学们，这个规律一定要记住啊。

张老师和孩子们来分享一道五下数学第一章观察物体三经常涉及到的典型题目。首先我们来读题，如图所示，如果添加一个同样的小正方体， 使从前面和左面看到的图形都不变，那么这个小正方体应添加在什么位置？要解决这个问题，首先要明确从前面和左面看到的图形分别是什么样的，可以先画出原来这个集合体从前面和左面看到的图形。 第二步，我们就可以分析这两个图形了，从前面看不变，要是从前面看到的图形不变，就意味着这个集合体的层数和列数都不能变。 这就要求我们新添加的小正方体只能摆在原来集合体的前面或后面，并且要和已有的小正方体对齐，这样从前面看过去，他就会被挡住，图形自然就不会改变。 从左面看不变，要是从左面看到的图形不变，就意味着原来的集合体层数和行数都不能变。这就要求我们新添加的小正方体只能摆在原来集合体的左面或右面，同样也要注意和已有的小正方体对齐。 第三步，我们就可以综合条件找到唯一的答案。把两个条件结合起来看，要满足从前面看不变，小正方体只能在前面或后面。要满足从左面看不变，小正方体只能在左面或右面。 同时满足这两个条件的位置就只有图中标出的两个蓝色小正方体的位置了。把小正方体放在那里，既能被前面的正方体挡住，又能被左面的正方体挡住，从两个方向看，图形都不会发生变化。 最后我们来总结这种题型的方法，通过这道题就可以总结出添加小正方体并使从某一方向看到的图形不变的通用的方法。如果从前面看不变，要摆在已有小正方体的前面或后面。 如果从侧面看不变，要摆在已有小正方体的上面。

五年级下册数学第一单元无非就这五个考点吃透，考试不下九十五、五年级下册数学第一单元观察物体五大考点， 考点一，根据立体图形观察物体二，根据立体图形绘出物体的三式图。考点三，根据平面图形还原立体图形。考点四，根据平面图形确定正方体的数量及范围。总结了五大考点，家长打印出来让孩子练一练吧！

同学们好，今天郭老师来分享的是五下第三单元，长方体和正方体的表面积该如何计算？先跟老师看一下这道题，说制作尺寸如下图所示的长方体和正方体的保温箱在这呢，长方体和正方体， 然后问你各需要多少平方分米的保温板，你看他这用的单位是啥平方分米，那我们想想什么时候用平方啊？求周长的时候吗？不是求啥的时候，求面积的时候对不对？那他让我们问咱做这个保温箱需要多少平方分米的保温板，其实问的就是啊， 这个长方体或者是这个长正方分米的保温板，其实问的就是啊，这个长正方体的六个面的面积之盒啊，那 六个面的面积之合，我们就管它叫做啥表面积，所以长方形或正方的啊，六个面之合就叫做它的表面积。我们先了解表面积是什么，同时我们也要区分开啊，面积和表面积它是一个吗？不是，面积指的是啊， 这个一个面的面长方形对不对？我们一个面，我们管它叫做啥面积，那表面积呢？ 是六个面之盒，这一定要区分开啊，那我们下面同学们就知道了啊，想求这个保温箱，那我把 六个面，每个面每个长方形的这个面积求出来不就完事了吗？再相加对不对？那下面我们就开始跟老师一起求一下啊。先以这个长方体为例，那上下每个面的面积我们看啊，比如说上面这个六分米 球，上面这个面他是不是长也是六，他俩是相对应的，因为长方体相对的面面积相等对不对？所以 他的长是六，那宽呢？宽就是五分米，所以就用六乘五来表示一个面的面积啊。那前后呢？也就是前面这个面， 他的长和宽长应该就是啥？六分米，宽就是应该是这个长方体的啥高，所以长应该是六分米，宽就是四分米，他的面积就用六乘四来表示。那左右每个面呢？左右每个面啊？ 他应该就是这个面和他相对那个啊？我们看一下同学们仔细看看他的长应该是多少？他的长其实就是这个长方体的啥 宽是五分米，那它的宽呢？就是这个长方形的高是四分米，所以它的面积可以用五乘四来表示。那我们现在知道每个面如何表示了，对不对？那我们就用上面上下 上下两个面相加，对不对？上去上面加上下面，然后前后左右把六个面的面积都加到一起，就是这个长方体的表面积。但是这个这样算啊，我感觉有点太麻烦了，因为我们知道 相对的面面积相等，那我们可以怎么办？用六乘五之后，再乘上二，表示两个面的面积，这表示啥？ 上下两个面的面积。这表示啥？前后两个面的面积，这表示左右两个面的面积。是不是这样看着咋的更简单一些，也防止你列式的时候出错，对不对？一共还是六个面的面积，那我们下面就可以把长方体的一个表面积公式进行一个整理啊， 可以用长乘宽乘二来表示，对不对？然后这是表示啥？上下的，然后呢？前后的可以用长乘高再乘二。为啥这是乘高了呢？因为 前后每一个面的面积也是长方形，是长乘啥宽？那为啥这变成高了？因为它的宽就是这个长方形的啥高，这了解了吧？然后左右的面积我们用 啊长宽乘高来表示，左右在这呢，对不对？他的长其实就是长方体的宽，他的 宽呢，就是这个长方体的高，所以是啊，宽乘高，再乘上二，我们也可以把它整理成第二个这种类型啊。所以你在计算一个长方体的表面积的时候，你用第一个还是整理过后的第二个都可以。 那长方体的我们知道怎么求它的表面积了啊？那正方体呢？其实更简单，求出一个面的面积，再乘上六就完事了。因为我们知道啊，正方体六个面的面积怎么办？相等。那一个面的面积可以用棱长乘棱长，这表示的是啥？一个面的 面积对不对？它有六个面，所以再乘上六，用字母可以表示为 a 乘 a， 再乘上六。同学们，你们学会了吗？学会了的话啊，老师给你放了一道题来考察考察你， 拜拜。

我再跟大家说，像这种建模思维啊，在他的应用场景是非常广泛的，你像这种题啊，咱们在小节出街都都应该见过，对吧，很多孩子不会做这种题，很头痛的啊，说什么是一个正方题，哎，展开之后啊，问我们一和谁相对 对吧啊，有的人呢，就是在草稿纸上画个图，在那把图抠出来去折叠的啊，动手能力对吧，动手能力强的就在那折纸 啊，还有的就是在脑子里在那不停的想啊，想啊想，哎，怎么折呀，对吧，在那考自己的空间想象力的。 我跟你说，你千万别这么干啊，等你这么干完之后呢，这个黄花菜都凉了啊，你知道高手做这个题是怎么做的吗？家长们啊，你千万不要说，哎，我要折一折对吧，我折一折能把它折出来，效率太低了 啊，折叠这种事情，电脑可以做，人脑呢，很多人是想不明白的啊，你看刚高手怎么做的啊，我做这个题只需要五秒钟 啊，家长们别眨眼，看好了啊，咱们还是用一个数学模型，叫做小马过河，我们把这个呢画成是一只小马，然后在旁边呢给他画一条小河，然后这个小马呢，他就过了这个河，对吧？过完河就找到相对面了 啊，没了答案就是四啊，就做完了，快不快啊，想不想听原理呢啊，想听的可以打个想，好不好就做完了啊，也就是如果孩子他能掌握这种建模的思维，他以后做这种题也是五秒一道，五秒一道 啊，所有类型的题啊，你不管问谁的相对面，只要是相对面问题都能这么做的啊，因为这是建立了数学模型，数学模型就是把这一类题全都融进去了， 对吧？也就是你这一类题，只要就会这个模型都 ok 的 啊，咱们的训练营是小街出街都能报名的啊，我们讲的就是思维的这个开窍啊，因为咱们思维这个东西是不分阶段的啊，所有阶段他用的思维是相通的 啊。来，我给大家讲一讲他背后的思维逻辑好不好？大家听一听啊，你听完你就知道很简单了，思维这个东西没有你想的那么难的啊，你都很多年没读书了，你只要在直播间听上两三分钟，你都能开窍的，你更别说孩子了好不好啊？来，我现在给大家来展示一下啊，这个模型思维他是怎么去建模的呢？ 我先给大家画一个四个方块的一个折叠的一个图案。来，我问一问大家，如果我给你四个方块，你能不能在大脑里面对它进行一个折叠呢？就是把它围成一圈，因为咱们六个方块这种弯弯曲曲的你想不明白，但这种简单的我们是可以去想出来的嘛， 你就这样围起围起来吗？比如说我现在给大家拿一张纸，哎，我这现在就四块，对吧？然后我就折一下，哎，围成一圈了，哎，那还能看到你们围成了一个，这个上下都是透着的，对不对？来，我给大家画出来啊，就是我也把它围成了一个正方体，但这个正方体好像缺了两个面，长啥样呢？画一下啊，也就是这样子。 好，我们来看啊，给给大家这个不封口了啊，就留留一点点啊，找找感觉对不对啊？围成了一个近似的一个正方体啊，但是有点尴尬，就缺了两个面。那么大家看啊，这个正方体呢，他现在是不是缺了？上面缺了个，缺了个盖子啊？ 对吧？能感受出来吧？上面缺了个盖子啊，下面缺了个底，那现在怎么办呢？我想把这个正方体给它补充完整，怎么补啊？啊？你看盖子在上面对不对？那我要想补充完整，我是不得在上面给它加加一块啊。那你你可以 假设一下，我现在有有一个胶水，对吧？我要在上面给它加上一块。那怎么加呢？上面随便找个位置吧，我随便找个位置给它加上一块，待会咱们就拿个胶水给它糊上去，好不好 啊？就这里啊，我给他加上一块，然后给他盖上，然后这个底呢？一样的啊，我们需要给他加个底，对吧？那这个底呢？他是在下面的，所以我们就在下面随便找一块给他补上去就好了。你比如说我就找这一块吧，好吧，找这一块给他补上去，那么补完以后，大家看盖子跟底 都有了，这个正方体就补完整了。那么你仔细观察啊，接下来就是讲重点了啊，你会发现盖子跟底之间是什么关系呢？是不是相对的关系？ 没问题吧？上跟下是相对的，那我们会发现相对的两个面之间永远存在着一种关联，就是中间隔着一条街啊，或者说隔着一条小河，所有相对的面都是这样子，就中间一定会隔着一条小河的，所以我们就建立了这个小马过河的这个模型， 就这个模型就是通过这个盖子跟底之间的关系，我们找到了这样的一个关系啊，然后建立了一个这样的模型来，那这个模型是能够让你在所有场景下都应用到的。

教会你五下数学关于正方体的基础知识。我们来看，一、正方体有几个面？对正方体有六个面，每个面都是什么形状？对，每个面都是正方形， 且就是这六个面都是完全相同的正方形，且完全相同。好，再看。二、正方体有几条棱？对正方体也有十二条棱， 所有的棱长度相等。因为正方体的每个面都是正方形，正方形的特点是四条边都相等，所以正方体的这十二条棱的长度也都相等。 三、正方体有几个顶点，对正方体也有一二三四五六七八八个顶点。 好，再往下看正方体的棱长总和怎么求？我们知道正方体一共有十二条棱，这十二条棱的长度相等，那这十二条棱的长度之和就是正方体的棱长总和。所以我们可以列一个公式，正方体的棱长总和等于棱长乘十二， 因为他有十二条长度相等的棱。根据上面的正方体的棱长总和等于棱长乘十二，我可以推导出来，正方体的棱长等于什么？对，正方体的棱长就等于正方体的棱长总和除以十二。好，我来写下来， 正方体的棱长等于正方体的棱长总和除以十二。好，同学们，关于正方体特征的基础知识你学会了吗？这两个公式大家一定要记牢记住，好，同学们，记得给孙老师点赞加关注！

今天我们学习一下正方题，展开找对面，我们先记住一个小口诀，同行同列，跳一跳，对面不再拐个弯。我们先看一下第一题，一的对面是谁？一，他没有列，他有行。 一跳过了二找到了三，所以一的对面是三，四的对面是谁？四，他没有列，他有行。四跳过了三找到了二，所以四的对面是二。 五的对面是谁？五，他没有行，他有列。五跳过了二找到了六，所以五的对面是。哎，所以五的对面是六。 我们看一下下一题，一的对面是谁？一，他没有列，他有行。一跳过了二，再拐个弯是四，所以一的对面是四，二的对面是谁？二， 他行，如果跳到一的话，他上面又没有数字，所以二跳到了三再拐个弯，所以二的对面是六，三的对面是谁？ 三，他行的数字比较多，所以三跳到了四找到了五，所以三的对面是五。今天学大家再见。

同学们好学习！根据平面图形摆几何体，按要求摆一摆，用四个同样的小正方体摆出。从前面看是这样的几何体， 要求从前面看是一行连续的三个小正方形，这样的一个面可以怎么摆呢？小明，这样摆，先摆出连续的三个正方体， 然后在后排靠左摆出一个。小红这样摆，先摆出连续的三个，第四个摆在后排的中间。 这两种我们从前面看，都是一行连续的三个小正方形的面， 你是怎样摆的？一起动手摆一摆，可以把第四个摆到前面， 也可以把第四个摆在后排靠右的位置，这样我们从前面看到的面都是连续的三个小正方形。 如果再增加一个同样的小正方体，要保证从前面看到的图形不变。可以怎样摆？试一试， 要求是看到的图形不变，还是连续三个小正方形？ 小明，这样摆，先摆出连续的三个小正方体，再把后两个摆在后边的左边和右边。小红也是先摆出一行三个， 把剩余的两个摆在后排。还可以怎样摆呢？一起来摆一摆，可以这样摆，也可以这样摆， 还能怎么摆？ 也可以把它剩余的两个摆在前面，这样我们从前面看到的仍然是一行三个， 也可以这样摆。 通过摆一摆，你有什么发现？我们来总结。我发现，根据从一个方向观察到的图形摆小正方体， 使小正方体的行数、列数、层数符合要求，摆法是不为一的，这就是一面之见，不为一。 来学习列二。下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形，你能摆出这个几何体吗？ 这道题要求我们从三面观察一个几何体要符合这三面的要求。首先从前面看是一行连续的两个正方形， 我们先摆出从前面看到的是连续的两个正方体，然后从左面看也是 一行连续的两个，那我们就得再增加一个，在后排靠左再加一个，这样我们从左面看到的就是一行连续的两个小正方形。 这样摆也可以，这样也行啊，这是由四个正方体组成的几何体， 我们摆出了三种，再来看还要符合，从上面看是这样子的一个图形， 很显然我们的第二种和第三种是不符合的，只有第一种从前面看，从左面看和从上面看都符合。 最终我们确定了这个几何体是我们需要的，是符合要求的。摆完后观察一下，说一说你有什么发现， 我们来总结。我发现要想摆出符合从前面、侧面和上面看符合要求的几何体，可以先从前面确定基本形状， 然后结合另外两面进行调整，再结合三个面要求，排除一些不满足条件的，最后确定几何体的形状，这就是三面合一，看形状为一定。 通过学习我们来总结，根据平面图形摆几何体， 摆几何体时，先从一个方向确定基本形状，然后结合另外两面进行调整，最后再进行验证，这样我们就可以摆出符合要求的几何体了。

五下第一单元必考用同样的小正方体打一个几何体，从前面看到的是这样的图形。第一问，如果这个几何体用了四个小正方体，有多少种不同的摆法？我们从前面看到的是三个小正方体，如果想不改变看到的形状， 那第四个小正方体只能在三个小正方体的前面或者后面，所以答案就是有两种情况 再看。第二问，如果用了五个小正方体，有多少种不同的摆法，那看到的还是这三个小正方体。如果再增加两个小正方体，还能不改变看到的形状， 那增加的小正方体还是只能在前面或者后面。这样就有了三种情况。第一种情况，都在前面，这时就有两种摆放方法，他们可以在一排，也可以在一列。第二种情况，两个小正方体可以一前一后。 第三种情况就是他们都在后面，这时同样也有两种摆放方式，所以一共就有五种摆法。