丢番图方程是什么

这是一个比较有趣的不定方程，也叫丢翻图方程，知道 a 方加 b 方等于二零零九，而且 ab 都是正正数，要求 a 加 b 等于多少啊？大家可以暂停挑战一下，能不能把 ab 都给求出来， 我们看该如何解决这问题啊？如果单独的去讨论 a 或者 b 是比较棘手的，因为这是一个方程，有两个未知数。我们先来看看这个长数项有什么特点。 末位数是九，这个可不可能是三的倍数，不可能，是不是七一十一或者一十三的倍数呢？要不要一个一个的试呢？实际上有一种简单的做法，如何快 快速判断一个数是不是七的倍数？我们把这个数的末位数拎出来 乘以二，剩下的数拎出来两百两百减去末位数乘以二，等于一百八十二， 形成的新的数很显然是七的倍数。如果对这个计算也感觉麻烦的话，用相同的操作，把末位数拎出来二， 把它乘以二，然后剩下的一十八减去二，乘以二等于十四，这个一眼能够看出来是七的倍数，所以二零零九是七的倍数啊，二零零九是七的倍数，那这个是个什么 么原理呢？在数学思维训练的状态里面，曾经分享过他的推导方法，感兴趣的同学可以去订阅一下。二零零九是七的倍数的话，我们就可以把二零零九除以七， 大部分除以七用的是这种方法，但是我们要找的是它的因素有哪一些，所以我们采用另类的一种除法，叫短除法，二零零九 除以七得到二百八十七，而二百八十七除以七得到四十一啊，所以我们得到他的三个因素，七七四十一， 二零零九，可以写到七乘以七乘以四十一。现在方程变成了 a 方加 b， b 方等于七乘以七乘以四十一。写到这一步，我们自然能够联想到 ab 也许是七的倍数啊。如果 ab 是七的倍数的话， a 等于七， m， b 等于七， n 代入的元式，我们会发现， m 方加 n 方等于四十一， 而四十一恰好是两个完整平方数，二十五和一十六的和，那么 m 等于五， n 等于四，或者 m 等于四， n 等于五， 我们就很快的解决了这个问题。但是这一步只是我们的推测，我们如何严谨的求出来呢？证明 a、 b 都是七的倍数呢？我们用求余的方法， 这个是解不定方程经常用到的一种方法，使用求余的方法看到余数的特点，然后到底 a 的平方， b 的平方去除以哪一个数呢？很显然，除以七吗？ a 可以选 七 k， 七 k 加减一，七 k 加减二，七 k 加减三，总共是七种数啊。那么 a 方除以七得到的余数， 大家可以把它平方之后啊，自己写一下啊，我这里直接写答案啊。七 k 的平方除以七，余数是零，这个的平方除以七余数是一，七 k 加减二的平方除以七，余数是四啊，这个余数 数是二，我们看啊， a 方 b 方之和除以七的余数是零啊， b 方也只可能取这几种数， b 方除以七的余数也只可能是零一十二啊， 他们相加之后，除以七的余数是零，只可能是每一个都是七的倍数啊，因为一 和任意的余数相加，都不是七的倍数，四和任意的余数相加，也不是七的倍数啊。同理，二也一样啊，这一步是一定要 简单的推，你介绍一下的啊。根据刚刚的论证，得到 a 是七的倍数， b 是七的倍数，代入的原是把七消掉，得 到 m 方加 m 方等于四十一， m， n 都是正整数，那么 m 方是小于四十一的啊。 也就是说， m 大于或等于一，小于或等于六， m 只可能取一二三四五六，那么 m 方只能取一、四九、 一十六、二十五、三十六。对应的 n 方求出来，四十一，减去一、四十、三十七、三十二、 二十五、一十六和五啊，那很显然， n 要是真整数的话，这些都不符合，只剩下二十五、一十六了。得到的 解释， m 等于四， n 等于五， m 等于五， n 等于四啊，我们就成功求出了 m， n 也求出了 a、 b 啊， 那么 a 加 b 只可能是六十三啊。解决此类问题最重要的是速感啊！那如何培养速感呢？一个是多看数学类的科普书，另外一个多做计算， 了解这些数字之间的特点啊，从小培养计算能力，实际上可以用一种游戏啊，叫速度游戏啊。 ok， 更多的有趣的数学问题，可以翻看我的合集和订阅我的专栏，关注我，让学习变得更有趣点。

用方程决斗的数学家，代数天才塔尔塔尼亚，笔尖代数之王，丢翻图一个能打的都没有。要想当年十五世纪数学界遇到那个绝世难题，那就是一元三次方程。丢翻图后，八百年都没人能够找到一元三次方程的通解。别说通解了，当 谁要是能想方设法解除哪怕一个一元三次方程，那就算得上是数学家了。博罗尼亚大学的数学家费罗倾尽一生终是突破了这个难题，解开了其中一类一元三次方程大概长这样，也就是没有 x 平方向的方程。 费罗还没来得及高兴，就两腿一蹬，撒手人还了。不过费罗有个学生叫菲尔，继承了费罗观音渊三次方程的解法。菲奥尔这货吧，既不聪明也不努力，跟我一样就是个混子。但现在不一样了呀， 单词方程的解法在手，那就是手握屠龙宝刀啊，这还不神挡杀神，佛挡杀佛。菲尔决定玩把大的，他竟然跑去挑战当时最牛逼的数学家塔尔塔尼亚。挑战的规则很简单，双方可给彼此出一堆方程，谁解除了对方的方程，谁就 就赢了。菲尔尔就给塔尔塔尼亚出了一堆一元三次方程，全是没有 x 平方向的，因为他只会这个。他的打法很简单，这是我老师的独门决定，你塔尔塔尼亚肯定解不出来，就算我也解不出来你出的方程，那咱还是打个平 平手，跟你这么牛逼的数学家打成平手，我照样能一战成名。菲尔自信立于不败之地，就跟塔尔塔尼亚三十天来解这些方程。但千算万算没算到的是，塔尔塔尼亚竟然在期限的最后一天悟道了，完美破解了菲尔尔的一堆方程，大获全胜。聘礼天下，菲尔尔惨淡收场，终是不成大器。后来，塔尔塔尼亚又花了六年时间，找到了所 所有一元三次方程的解法，登顶神坛。笔尖代数之王丢翻图关于丢翻图，塔尔塔尼亚的数学传奇，给大家推荐一本好书，代数的历史。这本书给我带来非常大的震撼，没有比这更加逻辑清晰的代数介绍图书了。这本书从未知量讲到三四次方程，又从五次方程到举行素证，从群论到代数几何，本书不 讲无名之辈，里面全是代数大神，比如丢翻图、华拉子密塔尔塔利亚、伽罗瓦、阿贝尔柯西等。作者的文峰幽默通俗，将枯燥的数学知识写成了普通人都能听懂的故事，趣味横生，精彩绝伦，强烈推荐此书！

这是几年前同学给我的比特币算法， 这方程我几年我就解不开， 只有问 ai。 回的立方加一百零九，括号负一百一十二，扩回的平方加两百二十四，括号负一百一十二，扩回 等于负一百四十万四千九百二十八加一百零九，乘以一万两千五百四十四，减两万五千零八十八，等于负三万七千六百三十二小于零。 三、结论，整数解在整数范围内最明显、最简单的一组解释。四、实数解所有解在实数范围内方程 y 的 平方等于 x 的 立方加一百零九， x 的 平方加两百二十四 x 的 解释一，当 x 的 立方加一百零九， x 的 平方加两百二十四， x 大 于等于零时， y 等于正负根号， x 的 立方加一百零九， x 的 平方加两百二十四 x 二、当 x 的 立方加一百零九， x 的 平方加两百二十四 x 小 于零时，无实数解。如果你需要，我可以帮你画出这条椭圆曲线的图像，或者找出所有有理数解。 这张图片上的手绘图正是我们之前讨论的椭圆曲线。 y 的 平方加一百零九， x 的 平方加两百二十四 x 的 标准形状， 它由一个左侧的封闭小环和右侧的开口分支组成，整体呈现出八字形或形斜轮廓。 图像解析一，结构组成左侧封闭小环位于 x 轴上的两个交点负一百零六点九零零和负二点一零零之间是一个上下对称的闭合曲线，右侧开口分支从原点零零出发， 向右上方和右下方无限延伸。同样关于 x 轴对称。二、关键特征，对称性整个曲线关于 x 轴对称，这是因为方程中只有 y 的 平方向。焦点 曲线与 x 轴交于三点负一百零、六点九零零、负二点一零零和零零定义域在实数范围内，只有当或 x 大 于等于零时，方程才有实数解。标准图像对比 为了更清晰地展示，这里是用精确计算生成的标准图像。这张图清晰地展示了曲线的两个部分，左侧的小环和右侧的分支与你手绘的八字形完全吻合。 如果你需要，我可以帮你找出这条去线上所有的整数点，或者用更精确的坐标点列表来辅助你绘图。需要我继续吗？

丢翻图是古希腊的一位数学家，人们对他的生平事迹知道的很少，但却流传有一篇墓之名，叙述着他的生平。过路人，这里安葬着丢翻图，下面的数字可以告诉你他的一生有多长。 他生命的六分之一是幸福的童年在过了生命的十二分之一，他的面颊长出了胡须， 又过去生命的七分之一，他建立了幸福的家庭。五年后，天赐贵子，他感到很幸福，不料命运给着孩子的生命时长只有他父亲全部生命的一半。 孩子死后，丢翻图的悲伤只有用数学研究去弥补，最后又活了四年，便结束了尘世的生涯。 过路人，你知道丢翻图活了多少岁吗？长眠于如此奇特的木质名下，丢翻图对于数学的热爱可见一般，那么他到底活了多少岁呢？ 如果用算术的方法来计算他的岁数，估计费很大的劲，到最后也不一定能列出算式来。 但如果我们用方程来解决这个问题，就会变得很简单，不妨就用字母 x 来表示丢翻图的岁数。 按照提议，不难列出关系式，六分之一， x 加十二分之一， x 加七分之一， x 加五加二分之一 x 加四等于 x。 像这样含有未知数的等式就是方程。根据方程的定义，你能判断出下面哪 先是方程吗？根据方程的定义，只要同时满足两个条件，一是含有未知数，二是一个等式。那么这个式子就是方程 六加一等于七，有等号，是一个等式，但没有未知数，不是方程 x 减四加六，有未知数，没有等号，不是等式，也不是方程 二。 x 减五等于一，有未知数，有等号是等式，所以他是方程。 x 的平方乘 y 减 x 加五， y 的平方等于十，有未知数，有等号是等式，它也是方程。答案选 cd。 在我国古代，把未知数称为圆，有几个未 之数就有几个圆。比如二 x 减五等于一，和 x 的平方乘 y 减 x 加五， y 的平方等于十。二 x 减五等于一， 有 x 一个未知数，所以是一元方程。 x 的平方乘 y 减 x 加五， y 的平方等于十，中有 x 和 y 两个未知数，所以是二元方程。 另外，未知数的最高次数决定了方程的次数。比如二 x 减五等于一，中 x 的次数是一，是依次方程。而 x 的平方乘 y 减 x 加五， y 的平方等于十。 第一项 x 的次数是二， y 的次数是一，加一起次数就是三。第二项 x 的次数 数是一，第三项外的次数是二，其中最高次数是三，因此这个方程是三次方程。把元和次数合起来，二 x 减五等于一，就是一元一次方程。 x 的平方乘 y 减 x 加五， y 的平方等于十，就是二元三次方程。 那只含有一个未知数，未知数的次数是一的方程都是一元一次方程吗？不是的，比如 x 分之二加一等于五，它并不是一元一次方程。 一元一次方程还需满足等号，两边都是整式。这个方程中分母含有未知数，不是整式，所以它不是一元一次方程。但是如果把 x 和二的位置换过来，未知数是在分子中，那他就是一元一次方程。看来，判断一个方程是否一元一次方程，需要满足三个特点，一是只有一个未知数，二是未知数的次数是一，三是等号，两边都是整式。 下面根据一元一次方程的特点，你能判断出下面哪个是一元一次方程吗？ x 分之一减八等于四，这个方程中分母含有未知数，不是整式，所以不是一元一次方程。 六 y 加三等号都没有，连方程都不是，更别说一元一次方程了。七、 x 减六等于零，只含有一个未知数， 且未知数的次数是一。等号两边都是整式，是一元一次方程。三 x 加二， y 等于八，和 x 的平方减二， x 等于三分之二，最容易排除。三， x 加二， y 等于八，两个未知数不是一元， x 的平方减二， x 等于三分之二，最高次数是二，不是一次，所以他俩都不是一元一次方程。这题答案选 c。 根据一元一次方程的定义，还可以计算这样的题目，如果 m 减四的叉乘 x 的 m 的绝对值，减三的叉次方加二等于零，是关于 x 的一元一次方程，那么 m 的值是多少？由题知道。 m 减四的叉乘 x 的 m 的绝对值，减三的叉次方加二等于零是关于 x 的一元一次方程。根据一元一次方程的定义，可以判断 x 的系数 m 减四不等于零， 若等于零的话，未知数就消失了，且 x 的指数 m 的绝对值减三等于一， 因为 m 的绝对值减三等于一，解得 m 的绝对值等于四， m 等于正负四，如果 m 等于四，这样 x 前面的系数就为零了，不可以，所以 m 不等于四， 也就是说 m 只能等于负四。在方程中未知数 x 的具体数值，也就是使方程左右 右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。讲到这里，我们赶紧来揭晓丢翻图到底活了多少岁吧！方程的解为八十四， 也就是说丢翻图是活了八十四岁才跟这个世界说拜拜的，即未知数 x 等于八十四时，等号的左右两边相等， 把八十四带入方程中。十四加七加十二加五加四，十二加四等于八十四，八十四等于八十四，等号成立。 所以，判断某个数是不是方程的解的最好方法就是把它带入到原方程中，如果等号成立，那它就是这个方程的解。

媲美欧基里德与阿基米德，代数之父丢翻读一本算术惊艳天下，连天才费马都甘拜下风。一六三七年，数学天才费马提出著名的费马大地理大概是这样的，虽然等式 x 方加 y 方等于 z 方，有无数个整数减，但与其形式的等式 x x 方加 y 的 n 次方等于 的恩赐方，当恩大于二十，则是永远无解的。这个定理碾压数学界长达三百多年。然而，即便天才如废马，他也是在一个前辈高人的启发下才搞出这个定理的。这个前辈高人就是大名鼎鼎的丢翻图。丢翻图是古希腊时期的大神，在他之前根本没有代数这个东西，数学主要研究的都是 几何，因为当时的必达格拉斯协派兴奋可以在数的基础上建立数学、音乐和天文学。但好巧不巧的是，五里数刚好出现在这个时期，而他们又解释不了这玩意。于是这帮小机灵鬼干脆就不玩算数了，直接把兴趣转向几何。因为几何可以用任意长度的线段来表示五里数吗？欧经理 的几何原本就是在这个时期出现的。几何原本一出，瞬间席卷整个学术界，希腊全民开始玩几何。欧基米德还在亚历山大城创办了学校，连伟大的阿基米德都是这个学校出来的，仍然是沿用几何方法来解题。 直到公元前三世纪，亚历山大学派的数学开始衰落，就翻图恰逢几时，横空出世，写出了一本影响深远的剧组算术。费马就是看了算术的一本，才搞出了费马大定理。虽然算术只有不到一半内容流传了下来，但却惊艳了整个天下。在算术 中，丢翻图针对代数问题发展的第一个字母符号体系，更是将研究范围扩大到了很多类型的方程，包括高次方程、多变量方程以及同类方程的方程组。书中不仅有媲美现代的精巧代数技法， 甚至还隐约提到了复数的概念。丢翻图几乎是凭一己之力将数学推进了代数时代，被后世尊为代数之父。关于丢翻图、废马和代数等知识都是代数的历史遗书中的科普， 全是各种传奇的数学大神，比如迪卡尔那个朗日牛顿、莱布尼茨尼曼等等，大家完全不用担心看不懂，作者简直是在用讲故事的口吻跟你讲代数，就像你看科幻，不见得看懂了，但是完全不影响你看的爽。至少在你看完之后，会给你多出一种看待世界的眼光，也能在人群中多些谈资。这本书真诚推荐给大家。

下面咱们看这道题，这道题是非常著名的丢潘图年龄问题。看题目，古希腊数学家丢潘图，他的墓碑上记载着这样一段话，他生命的六分之一是幸福的童年， 在度过生命的十二分之一，他的两颊长起了细细的胡须，又度过了一生的七分之一。他结婚了，五年后，他有了儿子，感到很幸福，可是呢，他儿子只活了他全部年龄的一半， 而是去世以后，他在极度痛苦中度过了四年，与世长辞。求丢潘图的年龄是多少？ 好，下面咱们来把这个题当中所牵涉的量， 用一种非常直观的方式给它表示出来。在上一节课当中，咱们说了那个直观分析的方法，所谓直观分析，就是把题目中的数量关系用直观的方式，直观的方式一般包裹 表格和视意图，但你看这个，咱们是用表格还是视意图更容易表示 出来，他更直观，显然就是用示意图。好，我在这里画了一个示意图，大家看这一个线段，从这头到这头，这整条线段表示丢盘图一生的年龄啊，这就是丢盘图的年龄， 他的寿命，整个寿命就这么长，就这个线段表示的就他的整个寿命的长度。然后他说他的生命的六分之一，这一段六分之一 啊，生命的六分之一是童年，然后又过了生命的十二分之一，这一段， 哎，这一段十二分之一，他两家长胡须了，然后又过了生命的七分之一， 怎样啊？他结婚了啊，这一段七分之一结婚了，然后结婚之后五年，哎，到了这里，他有了儿子啊，有了儿子，然后他儿子又度过了丢盘龙年龄的一半，哎，这就是二分之一， 他年龄的二分之一，然后他儿子就去世了，去世之后呢，他很痛苦，然后在世上又挣扎活了四年，哎，这节就是四年，最后与世长辞，他就走完了他整个的一生。但你看 现在让咱们求什么？就是让咱们求丢憨土的年龄，就他这一生总共多少年？多少岁？其实，但你想一想，你看这一两之间的关系，是不是表述很清楚啊？啊？表述很清楚，他的童年 加上他从童年到他长胡须，到他结婚，然后加上结婚后的五年，再加上他生命的一半，再加上这最后的四年，正好等于丢憨土的年龄，是不是？你看 很很直观的把这个这一生他的年龄给他表示出来了？下面呢，咱们就来解答一下这个题，因为他问的就是丢盘的年龄是多少，所以咱们就舍丢盘的年龄是 x c 舍丢盘图 年龄为 x 啊，年龄为 x， 好， 它的年龄为 x 是 啥？那所以这个线段总长表示的就是 x 啊，就是 x， 然后他的童年是他总年龄的六分之一，那所以这一段就是六分之一 x。 同样他童年之后到他长胡须是十二分之一，所以就十二分之一 x， 然后从他长回到结婚，七分之一，所以就是七分之一 x， 对 不对？然后他是一从出生到去世，经过了他年龄的二分之一，所以这就二分之 x， 然后把这些加起来等于多少就等于他的年龄 x。 是 不是？你看这个数量关系非常的直观啊？非常好寻找，就是咱们用了这种直观的 视角方式，把它的数量关系给它表达出来了，所以列方程也很好列，那就是六分之一 x 加十二分之一 x， 再加上七分之一 x， 你 看再加这个五，再加这个二分之一 x， 再加上这最后的四年，他又等于他的总年龄 x， 是 不是？你看这个方程就很快就列出来，然后解这个方程，解 得到 x 等于八十四，那所以丢判图 的年龄为 八十四岁，也就是说这个丢环组这一生总共活了八十四年 啊，他在八十四岁那一年，于是长辞了，这样呢，就把这个题算出来了，所以大家你看咱们拐弯的人来反思总结一下，像这样的题目，其实的牵涉量是很多的啊，牵涉量很多， 童年张福一这一节，还有结婚这一节，还有他有儿子这一节，还有他二十年了一一包，包括他痛苦的那四年。你看这里面的量很多，但是量很多，如果凭空去想象，在咱脑子里去想象的话， 就比较困难，把他之间的关系表示出来就比较困难。但是呢，咱们通过这种视角的方式，把他的这些量表示到这个线段，用线段表示出来，就变得非常的明显，他们之间关系就非常明显，很容易得到其中的 这些等量关系，是吧？好，很容易就得到这等量关系，然后根据这等量关系就把这个方程列出来，然后解这个方程，就把这个问题 解答出来了。所以这个题呢，就是给咱们那个直观分析那种解决问题的策略一个很好的案例。但你你以后要多研究这样的题，你把这种题的分析方式你熟练掌握以后，再遇到 这个类型的题，你不要害怕，它里面牵着好多好多量，你只要把这个量用直观的方式给它表示出来之后，你很容易看出这量之间的等量关系，你找到等量关系了，那列方程就是易 易如反掌的事，是不是？哎，所以说丢盘头年龄问题是一个非常好的用直观方法来解决问题的案例，希望大家能够掌握，能够理解好。关于正题，咱们就讲这么多。

在整饰的加减中，我们曾经已经知道，用字母表示数是进入代数世界的钥匙。那么如何才能算迈入代数世界的大门了呢？在这里，就必须要引入另一个超级重要级的东西，防城。 在方程这里，我们大脑中的概念从用字母表示数进化到了用字母表示未知数。掌握了方程相关的技能，你才能算彻底，和小学生说拜拜。 实际上，袋鼠与算数最大的区别就是袋鼠中引入了未知量，这可是非常厉害的发明，它的重要性就相当于远古人生活中的火 大。航海时代的指南针，工业革命的登记机，那都是划时代级别的。不起眼的小小 x 有那么厉害？ 我知道你不信，没关系，让代数支付。丢潘图穿越一千多年来说服你。丢潘图的墓碑前刻了一首诗， 过路人啊，这里安葬着丢潘图。下面的数字可以告诉你他一生有多长。 他生命的六分之一是愉快的童年。再过了生命的十二分之一，他的面颊上长了细细的胡须， 又过了生命的七分之一。他走进婚礼的殿堂。五年后，天赐贵子，他感到很幸福， 可是命运给着孩子光辉灿烂的生命，只有他父亲的一半。自从儿子死后，父亲的悲伤只有用研究数论去解脱。又过了四年，他也结束了尘世的生涯。 如果想要用算数的方法求出丢盘图，活了多少年，那可真是要费好大一番功夫。不过，如果我们引入未知数，把丢盘图的年龄设为 x， 就可以把它生命的六分之一表示为六分之一 x， 这样以此类推，每行分别是十二分之一 x， 七分之一 x， 二分之一 x， 最后加在一起就是丢。叛徒一共活了多少年？也就是 x 了。 六分之一 x 加十二分之一 x 加七分之一 x 加五，加二分之一 x 加四等于 x。 如果你学会了解一元一次方程，就能很容易得出 x 等于八十四，也就是由叛徒一共活了八十四岁。为啥用算数算起来很糊涂的问题，用方程做起来这么简单呢？秘诀就是用 x 表示未知数之 后，我们就不把它藏着掖着，而是把它和各种已知树一起运算了。不知不觉中，方程的思考方式变得更直接，更自然，因此也就具有了更多优越性。 九世纪的时候，阿拉伯出现了另一位对袋鼠做出重大贡献的人，他就是我们的老熟人哈喽紫米。 他写了一本书叫做代数学，里面详细的介绍了解方程的方法、还原与对销，也就是我们即将要学的一项与合并同类项。因为花篮子女的贡献实在是太大了，代数这门学科好几部啊，也就用他的著作代数学命名了。 说起对方程的研究，我们的祖先中国人也是很给力的，他们早就知道很多实际问题可以用方程解决。比如汉代的九张算术里，记录了很多 用方程来解的应用题。到了后来，当代的数学爱好者给了列方程解应用题一个专门的名字，田园术。 我们今天说，设 x 为某某，在天元数里就叫立天元，一为某某，然后再用算筹来辅助解方程。我们这一张的标题一元一次方程，其中的元就来自天元数。 介绍了这么多，你是不是有兴趣自己试试看了呢？方程可真没啥难的，我们的祖先白小棍就能解决的问题，你做起来肯定更得心应手啦！