高中数学教资考试教案设计标准答案

科三教案各种各样的模板一大堆，不知道该买一个那么多东西，多写了怕没时间，少写了怕扣分。接下来我来给大家讲一下，教案到底应该写哪些，重点在哪里？有了这个万能通用模板，咱直接无脑过。教资、教学设计分为这三个板块，教学目标、教学重点和教学过程。这三个点可能一起考，也可能分开考，所以大家都要准备一下。我们来看教学目标， 了解什么什么的概念，理解并应用，解决什么问题。这个我们根据题目给你啥你就写啥，然后通过合作探讨，提升什么能力，感受哪个与生活的联系，感受什么魅力，提升兴趣。这个是跟我们所选科目学科有关，只要你学，你要学数学的话，感受数学与生活的联系，提升数学逻辑思维能力。 教学重难点，重点一定是去掌握概念，难点是解决问题，他是跟什么有关？跟题目有关的。好，我们来看教学过程。教学过程分为五部分，导入新课、新课教学巩固练习、课堂调节、布置作业，缺一不可啊。导入新课我们可以有很多导入方法， 问题导入就是问答，一般我们不不用这个直接导入，因为我们必须要写一个导入新课的过程。哎，你直接导入，直接成了讲出新课了，就找这个环节了啊，然后复习导入。比如说我们上节课讲到了什么知识，哎，这节课通过上一节课，通过上一节课的知识引导到下一节课就是复习导入、背景导入、多媒体导入、故事导入、悬念导入、情景导入 等等，都可以当做我们一个导入，现在我们来以问题导入给大家讲一下，这是比较好写的。问题导入其实是大家比较常见的一个导入方法，一定要说到老师，学生，老师， 老师播放什么都没提到，学生观察思考，提出问题，提出两个问题，一个也行，两个也行，然后是学生活动，学生思考过讨论，然后老师去进行评价，引入新课。我们 导入新课的最后一个环节一定要有引入新课，新课教学是都是与题目相关的，我们老师展示什么什么引导学生思考观察，提出问题，组织学生自主思考小组讨论，小组讨论，这个是我们经常用到的，这个大家可以写上，然后学生通过思考后得出 重复练习的话，我们就说老师通过多媒体展示不同类型不同层次练习题，或者你不说这么复杂，你就直接说老师通过多媒体展示练习题目，引发学生独立思考，并且作答。 学生完成后老师给予评价，一定要有这么一个评价的过程，练题、答题、评价，然后我们要有课堂小结，课堂小结是干啥？一定不是老师去讲述，一定要是老师引导学生去畅谈收获，让学生去问答，然后最后再说布置作业，让学生完成练习，或者是老师引导学生去畅谈收获，让学生去问答，然后最后再说布置作业，让学生完成练习，或者是老师去问答，然后最后再说布置作业，让学生完成。是教师自主设计完成，是一样的， 大家记住这个模板教资面试的时候也会比较轻松，希望这几天的教资视频能为大家带来帮助，把教资必过打在公屏上方，大家一起沾沾喜气。

教学设计的话，我们从三方面来看，教学目标、教学重难点、教学过程。教学目标分为三个方面，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观模板。知识技能方面，我们说能理解并记忆什么概念， 然后描述了什么图像，会比较不同图像的一个性质变化，或者说是掌握法则，然后规范什么知识点，解释什么知识点，比较运用、辨别， 然后最后是应用什么知识点解决实际问题。过程与方法。学生通过自主思考、小组合作、动手探究的学习过程，提升发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，感悟 什么样的数学思想。数学思想包括数形结合从特殊到一般转化思想、分类讨论思想、模型思想、 代数思想、统计思想、情感态度、价值观，激发求知欲，培养良好的数学思维习惯，勤于动脑的学习习惯，增强学好数学的信心，体会生活中处处有数学。第二个我们来看教学重难点。 教学中难点的话我们需要分开来写，也就一个是教学重点，一个是教学难点。教学重点的话就是这节课我们需要掌握的一个知识点。难点就是在 理解过程中，学生难以接受或说老师难以教授的一个知识点。我们来看教学重点，需要理解和掌握什么样的概念、性质、法则、特点、意义、方法、图像， 然后应用什么知识点去解决问题。教学难点就是我们需要去理解他的一个定律啊，或性质啊，或者推论或者公式等，或者说他的一个推导过程，证明过程，然后再应用这个知识点去解决实际问题。 最后一个是教学过程，教学过程分为五个大方面，分别是导入新课、讲授新课、巩固练习、课堂小结、作业布置。 导入新课分为四部，分别是教师活动、学生活动、教师活动设计意图。 第一步，教学。教师活动包括四方面内容，教师展示、创设环境。或者说教师复习新的知识点，指引学生仔细观察并思考，再引起学生的求知欲，提出以下问题。 这四个方面包括，展示、创设环境、指引观察并思考， 引起求知欲、提出问题。学生活动分为三方面，救问题、 进行交流讨论、表述想法。积极表述自己的想法。总结来说，三个内容就是就问题交流讨论、表述想法。然后下面再写预设一、预设二，这就是学生的一个答案或者知识点。 第三步，教师活动，师生交流互动，总结点评。学生们的回答，顺势引出课题。 教师活动分为三方面内容，交流互动、总结点评、引出课题、 设计意图。此环节可以，一、将前后知识衔接起来，达到温故而知新的目的。二、激发学习兴趣，通过问题引导学生观察思考，从而寻找数学信息，提升学生发现和提出问题的能力，培养学习习惯。 二、讲授新课，讲授新课。从三个大方面来说，一、初步感知。二、自主探究，得出结论。三、总结，归纳、理解、记忆。 一、初步感知。从教师活动和学生活动两步来说，第一步，教师活动。教师活动分为五个方面， 教师提出关于该知识点的一个相关的简单问题，教师组织学生开展对该问题的交流讨论。 分组或同桌两人教师进行巡视指导、交流讨论结束后，随机提问学生讨论的结果，并进行评价补充。学生互评。这里的五个方面表示为提出问题，组织交流讨论、巡视指导、 提问结果、评价补充。第二步，学生活动学生活动主要就是一个方面的内容，根据问题探讨出结论或预设就是探讨结论。 二、自主探究得出结论自主探究得出结论。分为两步来走，教师活动、学生活动。教师活动包括四个方面内容，教师再次抛出问题，关于该知识点的一个三观较难的问题，给予一定时间组织学生思考并抢答， 让学生互评。这四个方面包括，抛出问题，给予时间组织思考并抢答。学生互评， 学生活动。第二步包括两方面内容，通过自主探究，学生回答出什么样的知识点。两方面内容分别是自主探究、回答。 三、总结、归纳、理解、记忆。分为三步来着，教师活动学生活动设计意图。第一步，教师活动 学教师组织学生梳理和总结本节新课的重难点。学生活动包括两方面内容，理解并记忆相关的知识点，有疑问可与老师再次交流。两方面内容总结来说并是理解并记忆。知识点，有疑问再交流。 设计意图也分为两个方面，通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生思考问题，并进行进一步的讨论，体现了教师的主导性作用。 学生采用小组讨论和自主探讨等多种学习方法进行问题的探讨，增强了学生之间的交流合作、信息共享意识和语言表达能力，提高了解决问题的能力，养成了探索式学习的习惯，这也是发挥学生主体作用的重要途径。 三、巩固练习教师通过多媒体展示有关于本节课的内容， 不同类型、不同层次的练习题目，引导学生独自思考并作答或者找学生代表在黑板上进行白描，完成后教师针对结果给予评价并总结。 总结来说，分为四方面内容，展示题目、引导思考并作答。找代表、白描 给予评价并总结设计意图。设置不同层次的练习题目，不仅能使学生新学的知识得到及时巩固，也能使学生的思维能力得到有效提高，使其更好的学以直用。找学生代表在黑板上演示，也充分体现了学生的主体性地位。 四、课堂小结教师引导学生从知识、能力或情感的方面畅谈本节课收获针对学生的回答，采用多种方式进行评价并总结。 这个点分为三方面，引导学生畅谈本节课收获。评价并总结设计意图，在小节环节让学生先自评，接着让学生护评。最后教师表扬全班学生，不仅可以检验学生对本节课 重点内容的认知情况，更进一步增强学生的自信心和荣誉感，使他们更加热爱数学。五、布置作业学生完成课后剩余练习题 或教师自主设计一道能用本节课所学知识点解决的生活实际问题。设计意图，对本节课知识进行再巩固再认识。

上课，同学们好，老师好，请坐！我们知道解析几何是塑形结合的学科， 通过几何建立直观，通过代数与表达圆锥曲线，在研究过程当中 对他们的几何特征的认识是我们的第一把握。研究对象的几何特征，明确面临的几何问题，然后再运用我们的代数法来解决几何问题。所以我们要重视先用几何的眼光观察， 然后再用代数法进行推理、论证和求证，这是我们的基本式，所以不要忽视几何要素的分析这一环节。我们今天 就在几何直观的视角下来研究直线与圆锥曲线和位置关系。那么直线与圆锥曲线有哪些位置关系？比如说直线与椭圆有哪些位置关系？ 哎，对了，相交相切是相离。如果我们从几何直观的视角下来研究这三种位置关系，他像有怎样的区， 以以焦点个数作为我们的区，如果我们从代数角度，我们怎么样来都要进去。 泰克老师，首先连力局限于曲线方程，第二 是判断他的叛变是怎样他的正负情况。当然对于圆锥曲线，他在我们的高考的训练当中都是以重要核心来抓进行考察，给大家感受技术量大， 思维品质高，对我们的高分带来了一定的难度。为什么它是几何与代数共同来解决一个问题？ 好，那么今天我们怎么样以一种正确的路径来研究圆锥曲线问题呢？我们从一个高考。

好，我们来看案例平息。案例平息分为四个大方面，分别是教学目标的平息、教学过程的平息、错误归音的平息、改进建议 教学过程的平息呢？我们又分为四个小方面，分别是导入的平息、教学方式的平息、是否体现教师主导性与学生主体性的平息，以及提问提问技巧的平息呢？又分为对教师和对学生。 我们首先来看第一个教学目标评价的一个模板。教学目标评价模板分为四个点，一、反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。那么题中的教学目标包含了 概括一下材料否和否，或说违背了这要求。第二个格式要规范，用词要考究。题目中的教学目标包含了什么， 就是概括材料符合或者说违背了这要求。三、注意教学目标的层次性，一般包含四 g、 四能和情感态度。题中的教学目标包含了概括材料符合或者违背了这要求。 那我们说一下四 g 是 什么？那么四 g 是 指教基础知识、基本技能、基本思想和基本活动。四能指的是发现问题能力、提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。 四、实在具体不浮华。要防止教学目标高大全，有的甚至是假大空目标、远大空洞形同虚设。其中的教学目标包含了概括材料符合或者说是违背了这要求。 第二个教学过程中导入的平息。首先我们要了解一下导入分为哪几种？导入分为三种导入，分别是复习导入、情景导入、直接导入。复习导入的优点在于通过复习学生之前学过的 什么知识点，然后检验学生知识点掌握情况，同时建立新旧知识的联系，提高学生的知识迁移能力和解决问题的能力，也为接下来学习什么新的知识点，然后起到铺垫作用。缺点在于复习的内容没有与本节课相关， 或者说是复习内容与新授的一个内容联系不紧密啊，或者说是衔接过度不好呀，这个随便选一个型就可以，然后提出的问题不具有层层引导作用，未能激发学生的学习兴趣，这三个小点就是他的缺点。 第二个，情景导入。情景导入的话，我们只说它的优点，通过创社生活情景的方式提出思考性问题，启发学生思考，进而引入新课。 该导入方式打破了数学传统枯燥的学习模式，不仅激发了学生学习兴趣，也增强了学生的学习动机，活跃课堂气氛，达到课为使性引浓的效果，符合课标中导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良好数学情感的课程基本理念。 三、直接导入直接导入的优点是直接了当，节省时间，课堂效率高。缺点在于未层层递进式提出问题，启发学生思考，进而引入新课。为激发学生的学习兴趣，对学生数学思维和学习习惯的培养为起到促进作用。 好，我们认识了三个这个导入的方法，分别是复习导入、情景导入、直接导入他们分别的优缺点。这里面呢，情景导入只有一个优点，没有缺点。我们再来看一下平息这个导入答题的一个模板， 我们首先说他的优点，那么案例中这个老师采用了什么导入方式呢？比如说是复习导入的方式，或是情景导入的方式，或者说是直接导入的方式，然后你直接说他的一个优点就可以， 就比如说我们以情景导入为例，这样说，就说案例中我们这个老师呢，采用了情景导入的方式，通过创社生活情景的方式提出思考性问题，启发学生思考，进而引入新课。该导入方式打破了 数学传统枯燥的学习模式，不仅激发了学生学习兴趣，也能增强学生的学习动机，活跃课堂气氛，达到科位意识性浓的效果，符合课标中导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良好数学情感的课程基本理念。 然后再加一句，案例中，那么这个老师，比如说这是呃，王老师，然后就你需要把他姓写上，就王老师首先提出了什么，就描述一下他的一个做法，然后有律于什么， 有利于什么，那么有利于的话，我们就可以从呃他的一个学习习惯呀，或者说是思考引发思考呀，或者说是激发学习学生学习兴趣这几方面来说，然后因此值得发扬和学习。而缺点在于，缺点在于案例中呃这个老师采用了什么的导入方式？该导入方式具有什么特点？ 虽然怎么样，但违背了课标中什么的课程基本理念？我们一般这个横线都填的是这个，但违背了课标中导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣的课程基本理念。案例中，然后这个老师的一个做法怎么样，然后不利于什么样，应当于以修正 违背了课标中导入环节要启发学生思考，激发学生兴趣的这个课程基本理念，你像复习导入和这个直接导入都是违背了的。 我们再来看教学过程中的这个教学方式的平息。教学方式的平息我们首先来熟悉一下它的问题形式，就比如说请平息该教学片段中教师教的方式，学生学的方式。然后或者第二种，仅针对给出的教学片段，对两位老师的做法加以平息。 教学方式评价模板教学方式评价模板分为三方面，创设情景问题、多种教学方法融合。第三个的话是评价内容多样化，创设情景问题，呃，案例中该老师创设了合适的教学， 仅仅层层递进的提出问题，引发学生的思考，有利于激发学生的一个学习动机和兴趣，我们这些讲都是优点啊。然后再去看第二个多种教学方法融合。案例中 x 老师在教授什么样的知识点过程中，选择讲述法、提问法和小组 讨论法等多种方法进行教学，有利于学生更深入理解和掌握知识，建立良好的课堂师生关系，达到良好的教学效果。 三、评价内容多样化教学评价是教学是数学教学活动的重要组成部分，评价应以把应以课程目标和内容标准为依据。评价要关注 学生数学知识、知识智能的掌握，还要关注学生学习态度、方法和习惯，更要关注学生学习数学核心素养水平达成。案例中，那么这个老师这个材料他符合要求，缺点在于案例中这个老师在教出什么样的知识点时，只采用了这一种教学方法， 虽然该种教学方法有什么样的优点，但是这个方法也具有什么样的缺点？而之前有一种教学方法违背了普通高中教学课程标准中多种教学方法相融合的课程基本原理、基本理念，不利于达到良好的学习效果，因此应当加以修正。 评价应以课程目标和内容标准为依据，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。评价不仅要关注学生的一个学习结果，更要关注学生在学习过程中发展和变化。案例中得到老师的一个行为，然后不符合要求。 然后第三个就是是否体现教师主导性与学生主导性的平息问题。形式分为两种，一、有效的数学活动是教师教与学生学的统一，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。请说明两位教师的教学是否符合要求。二、该教师在课堂教学中主要充当了什么角色？ 我们现在来看一下这个答题模板。一、组织者在教学过程中，教师应准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案，组织学生活动。 然后后面就可以跟案例中我们这个老师的一个做法，然后符合或者不符合这要求。第二个引导者，通过恰当的问题引导学生积极思考，求知求真，激发学生的好奇心，通过恰当的归纳和示范，使学生理解、掌握技能，积累经验，感悟思想。 在案例中，那么这个老师的一个行为或者做法符合或者不符合这些要求。第三，合作者在教学过程中，教师应以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折，分享发现和成果。 同理，在教在这个案例中，然后教老师的一个做法是否符合或者不符合这要求。我们再来看学生主体性的一个体现。学生主体性四、 学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。学生获得知识必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索的方式。 学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的时间，就是在课上课过程中，不仅要注重学生的主体地位和自主发展，还有正视学生的差异，尊重学生的个性。 我们来看第四个小方面，提问技巧的评析。提问技巧的评析首先我们来了解一下问题的一个形式， 比如说请对该教师的课堂提问做出平息，并说明理由。结合上述案例，谈一谈教师应如何看待学生提问不在 教学预设的情况，那么这个是他是平息学生的提问。然后第三个针对某同学的问题，是否存在这样的问题，仅仅这个是点评学生的问题， 所以说我们分为两个大类，一个是对教师的提问评析，一个是对学生的提问评析。我们来看这个答题模板对教师的提问评析。我们从五个原则来说，目的性原则遵循渐进性和充分思考性原则。启发性原则、兴趣性原则、全面性与及时评价性原则。 上面看第一个目的性原则。教师课堂提问应主次分明，紧扣重点，针对难点。案例中，那么该老师的什么行为体现或说违背了这原则？ 遵循渐进性和充分思考性原则。教师课堂提问要考虑到学生的认知顺序，遵循由浅入深、由易到难、由表及理等一系列的规律，循序渐进，步步深入案例中。那么该老师首先怎么样？其怎么样体现或者说违背了这原则。三、启发性原则 教师课堂提问应具有引导、启迪学生的思维，使之因其而发，而不是仅仅提问学生对不对。 四、兴趣型原则教师课堂提问应能够使学生集中注意力，能够对所学知识更好的感知、记忆、思维和想象。五、全面性与及时评价型原则教师课堂提问要面向全体学生，使每一个学生在原有基础上能够得到应有的提高和发展。 教师对学生的回答要做出明确的反应，以便达到良好的课堂学习效果。对学生提问平息的一个答题模板， 在教学过程中，生生方方的互动往往会生成一些新的教学资源，学生在课堂中遇到的问题就属于课堂生成的新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，事事调整于案，使教学活动收到更好的效果。 对于教学预设之外的提问，教师首先应迅速判断问题的价值，该问题是否有利于教学目标达成，再根据不同情况做出不同处理。那么对于有利于教学目标达成的问题，应该以语积极的语语解答。那么对于不利于教学目标达成的问题，就委婉的一个回避， 或者说结合教学经验转化成对有利于教学目标达成的一个问题再进行解答。案例中，学生提问了什么，然后他的是有利于或是不利于教学目标达成的一个问题，再进行解答。案例中，学生提问了什么，然后他的是有利于或是不利于教学目标达成，教师应当怎么样？ 第三个大点第二个大点，教学过程的平息，我们已经完成了教学过程的平息是导入平息，教学方式的平息是否体现教师主导性与学生主体性的平息。第四个的话是提问技巧的平息。提问技巧平息又说了对教师和对学生，对教师的话，就是五个原则。 好，我们再看。第三个大方面，错误归因的平息。错误归因的平息。我们先来熟悉问题形式，比如说，呃，请指出该 题目中的一个错误，并分析产生错误的原因。第二个，如果你是这位老师，请指出该解法存在的错误。第三个，请分析学生甲和学生乙解法的各自特点。第四个，你如何评价这两位学生的解析过程？那么总结来说就是这问题形式就是对于这个解析过程有什么错误让你指出来。 然后平息的话，我们从两方面，一个知识层面和心理层面。首先我们先来了解一下 平息原则，学生在计算中出现错误大致有知识和心理两方面的一个原因，知识方面的话分为三个小部分，概念不清，算理不明，口算不熟，笔算不准。第三个的话是书写欠规范。然后心理方面的话分为四个小方面，原因一，感知比较粗劣，就是粗心。 第二个缺乏耐心。第三个注意力不够集中。第四个，思维定式干扰。然后对这方面就可以说，嗯，学生， 哪一个学生呢？然后在解析过程中出现的错误及原因如下，比如说一圈一，在什么什么的过程中出现了什么什么的错误，属于知识方面的原因，然后属于什么呀？比如说属于概念不清，算理不明，或者属于口算不熟，笔算不准，或者属于书写欠规范。然后 第二个，或者说在什么过程中，然后出现了什么的错误，属于心理方面的原因，然后这个属于，比如说属于感知比较粗略，粗心，或者说属于思维定时干扰，就说在什么过程中出现了什么错误，属于什么方面的原因，属于什么，然后往后细分就好。 最后改进建议。改进建议的话，呃，我们先了解他的问题形式，分为两个方面，选第一个的话，针对什么的知识，谈谈如何提高学生的什么？第二个，假如你是教师，针对学生的问题，如何组织进一步的教学，完成该课题的一个教学任务？ 答题模板，如果我是该教师，遇到这样的问题，这样的情况，我会进行如下操作，一、知识呈现分为三个小部分，一、知识呈现 的改进建议，教学方式的改进建议三、必要的巩固练习。第一个知识呈现的改进建议认真分析学生出错的原因，找出出错的根源。加强，比如说加强计算法则、运算顺序、运算性质、公式定律性质的一个教学，然后理解算理或者理解一个推导过程， 组织学生前后讨论，独立思考，利用课堂中的问题解决学生的困惑。第二个教学方式的改进。建议，认真研究学生树立正确的学生观， 由于有什么知识点在学生以往学习中已经接触过，从而可以利用旧知引出新知，顺应学生思维发展的规律，并且重视创设情景和知识总结，帮助学生构建数学体系。四、 三、必要的巩固练习在学生掌握该知识的基础上进行分层练习，形式多样，讲究时效，做到围绕重点、难点强化练习，围绕易混点、易错点对比练习。比如说怎么样？

上课起立，老师好，同学们好，请坐，谢，老师 好，今天呢，我们一起进入直线与抛物线的位置关系的学习，好，那么我们先来看问题一， 我们已经安排了课前预习任务，那么大家已经进行了自主的学习与探讨，那么今天呢，我们一起来看一下这个问题， 那么在探求之前，我们先看这个问题，直线 a， b 交抛物线于 a， b 两点 o， a 交我们的准线于得点，那么证明 b 的 平行于对称轴， 那么这里的对称轴就是 x 轴啊， x 轴，所以那么要证明 b 的 平行于 x 轴相当于是证什么 有斜率为零为零。好，斜率为零，那斜率相当于是什么呢？要相当于是求什么 y 点 y 多除以 x， b 减 x 多啊，那么换句话说就是要找 b 多的 坐标，坐标好，坐标，那这里我们就相当于是把这个几何问题代数转化成代数问题来求解。好，那么在这个过程当中，我们那么看一下这个整个的一个变化过程，你看啊， 那么建立坐标系来求解。这个过程中，那么同学们 根据刚才的这个变化过程，那么大家心里面都有一个自己的想法。好，现在那么给大家一点时间，请同学们交流一下你这道题的一个想法和思路，那么待会我们找同学上来分享来分享一下， 然后我们要找到一点和二点的方向，然后我们可以找到一点和二点的方向，然后一点和二点，三点，四点，五点，六点，七点。

下课，老师好，同学们好，请坐！ 我们知道解析几何是咱们历年高考中的一个主干知识点，那么涉及解析几何的问题呢，一般都具有运算量大、综合性强的特点，因此优化 数学运算，简化答题过程就变成了咱们解决这类问题所追求的一个目标。 那么这节课呢，我们就以北京二零二三年的十九题为例，咱们来看一下解析几何问题应该如何优化计算。 咱看一下这题啊，已知椭圆 e、 a 方分之二次方加 b 方分之 y 方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，它的离心率为三分之根号五 a、 c 分 别是椭圆的上下顶点， b、 d 是 椭圆的左右顶点，并且告诉我们 a、 c 是 等于四的。第一问，让我们来求椭圆的标准方程。这个题在上节课已经涉及了，然后给大家提前发下去了这个结果，大家一起说一下， 九分之二方加四分之二方等于一，那我们一起来看第二个。设 p 为第一象限内，椭圆上的动点 直线 p， d 与直线 bc 交于点 m， 直线 pa 与直线 y 等于负二交于点 n。 让我们来求证 m、 n 和 cd 是 平行关系。 这个咱们因为已经提前把这个题，呃，咱们上节课已经做了，这样的话呢，大家考虑一下，通过这个题干，你首先得到的关键词都有哪些？一个是动点还有吗？ 第一象限，第一象限还有吗？ m 平行于 c、 d， 其实我认为这动点和 m、 n 平行， c、 d 可以 作为关键词，至于说他在第一象限，这是对动点的一个限制，对吧？那么通过这两个关键词，我们发现这个问题实质上是在变化的过程中，我们在。

上课，同学们好，老师好，请坐！上节课我们复习了与距离有关的问题。课后，请同学们以小组为单位绘制思维导图。 大部分小组绘制的是思维结构图，而李艳红组的图有些特别，请他来谈谈他们小组的认识。 呃，我们组做讨论，结果绘制了，呃，是知识发展过程图。呃，因为上节课复习了关于典型们之间距离的公式。呃，就距距离的一些问题， 然后从定义、公式、推导以及应用的了解，帮助我们从定性作图的认识上升调到定量计算的认识。同时，我们也突出了呃，转化与化为思想空间问题平面化还有树形结合思想几何问题代数化。 呃，另一方面，我们也运用了呃，代数式的几何。几何几何含义帮助我们理解的问题很好，请坐！ 不同的思维导图啊，都能帮助我们整理距离概念，包括问题的归纳，到方法的归纳，再到方法的迁移，侧重于解析思路的探寻与复习。 哎，我们说学习数学的目的不只是为了解题，还要解决现实生活中的数学问题。而距离概念的深层，正是源于古代数学家对于现实问题的思考。今天我们回归本源，再理解距离概念。 中国古代先贤在斗转星移中发现了不变奥秘，天旋天书五倍距离处恒为北极星。 距离源于两点间距离是如何定义的？两点间线段的长度。在功力体系中，点线不加，定义长度指的是单位长度的倍数。 为什么用线段长度定义距离，而不是折线长度或是曲线长度呢？ 便于测量。没错，珠穆朗玛峰就记载了中国古代先贤的计算方法，基于勾股定理会治举尺进行计算，而勾股定理也是我们两点间距离公式的理论基础。

老师好，请坐啊，今天呢，我们来学习一个高三复习的专题，这个专题呢是以距离为核心概念展开的。 好，那关于距离这两个词我们并不陌生，对不对？对，来看一下。在距离呢，它有名词也有动词，那作为名词，我们在 平时的生活中会看到一些关于距离的名句，对吧？对，比如说距离产生美，还有我们经常说的世界上最遥远的距离，是吧？是，是以一种名词的形态来展示的。 那也有一些动词的形态，比如说我们同学们马上要面临的距离，高考还有多少天，是吧？是哎，然后呢，上个月啊，出台了我们的延迟退休的政策，老师们就开始关心自己离退休还有多少年，对吧？ 那对我们的国家来说呢？我们国家关心的是我们距离两个百年奋斗目标还有多少年？我们的第二个百年奋斗目标要在二零四九年的时候实现，是吧？是，还有多少年？二十五 年，非常好，还有二十五年，是不是？是那个时候呢？刚好我们同学们也是正在各自的工作岗位上，对不对？对，发光发热啊，为实现中华民族伟大复兴付出自己力量的时候啊。 好，那我们来看一下。呃，数学当中的距离主要有哪些？那老师通过查阅资料发现，数学当中的距离是不是有很多呀？是啊，而且我们都没有听过，是不是？是我们平时课本上说的距离， 其实指的是欧式距离啊，欧式距离简称啊，是欧基欧基里的空间当中的距离啊。那这里的距离我们其实可以简单的去了解一下，比如说曼哈顿距离。 那为什么要提曼哈顿距离呢？我们说虽然两点间直线最短，但是实际生活当中能走直线吗？不能哎，我们在街区当中是， 比如说你要从这个地方往这个地方送外卖，是不是？你要按街区去走，对吧？对，那这个时候的最短距离就是这里面的蓝色的线，那这个距离就叫什么距离？曼哈顿距离，还有鱼弦距离啊等等啊，感兴趣的同学可以下去查一下资料啊。 好，那距离呢？不光是我们数学上的一个名词，其实他在现代的生产科技，现代的技术当中有非常重要的作用， 比如说我们的指纹解锁啊，人脸识别啊，对吧？对，机器学习等等，其实都用到了数学当中的距离这个概念。好，我们通过一个小视频简单的先去了。

那么我是用哪些方法帮助我通过了数学教资的考试呢？第一个就是分析自己和分析试卷，在我发现听课非常浪费时间之后，我就没有再去听课了，而是把历年的真题拿出来看了一遍，就分析了一下题型。首先选择题是四十分，简答题是三十五分，解解答题是十分，论书题十五分， 案例分析二十分，教学设计三十分。可以看到最后的文字题一共有六十五分，那么这六十五分如果你发挥的比较好的话，模板背的比较熟悉， 那么你拿一个五十五分左右是没有什么问题的，因为总分是一百五十分，所以如果你想通过教四科三比较稳的话，你的卷面至少要拿到九十分，那么后面的文字题我们能拿到五十五分，所以剩下的题目你只需要拿到三十五分就可以了。那么这三十五分里面 我们有四十分的选择题，四十五分的选择题你对一个十五分不过分吧，那么我们就只剩下二十分了。这二十分里面，只要你的简答题和解答题 无药可救，那么你就是很可能会拿到这二十分。一分析下来，其实你会发现其实考教资真的很简单，只是一开始我们都把它想的太复杂了。 接着呢，我就在开始努力的背后面的模板了，用一到两天的时间我就背了百分之九十五，而且默写的正确率也非常的高，和资料上没有什么出入。提醒一下大家，如果要用我的复习策略备考的话，那么你一定要把后面的模板背的非常熟悉，而不是背几遍之后就当自己背过了。 第三个部分呢，就是基础题目部分，在考虑清楚我的备考策略之后，我就没有再听课了，而是直接刷题。在刷题的时候呢，我又把题目分成了几个部分，分别是数学分析、高等待数、空间几何和概率。在这四个部分里面呢，我的高等待数和概率是之前打的基础还行，只是忘了而已，所以 这两个部分的题目我就着重复习。而其他部分呢，就是遇到了就做，做了不懂我就会去问 ai， 如果看了答案之后，有什么值得记的东西，我也会去尽量的记下来，但是也老是忘记。 经过这样着重复习，前两个部分呢，在后面我遇到高等待数和概率的题目的时候，我的正确率就提升了一些，错的也没有那么离谱了。所以大家在复习基础的知识点部分，也要看一下自己之前比较擅长什么部分，就着重去复习什么部分，争取你会的部分就尽量不要错太多。到最后考前两天呢，有一天我还是在回学校的路上， 所以其实真的复习的时间没有特别多，最后就是抱着忐忑的心情上了考场。在考科目一的时候发现人还是挺多的，但是到考科目三的时候，考场就没有几个人了，而且出考场之后，我对答案发现我的选择题做的特别离谱，我就只对了两个。不过当时我的后面的文字题目做的还是比较好的，本来以为我都要过不了了，但是 没想到还是很幸运的过了，所以现在还有两个星期的时间，大家按照我的策略去复习，我觉得过的概率还是比较高的。最后呢，祝大家只需要考这一次就能够顺利考过交资。

好，很好，请坐，谢谢老师！前面啊，咱们共同学习了同角三角函数的基本关系，咱们先来共同回顾一下， 咱们学习了哪两个基本关系是平方关系和平方关系和商数关系。特别要注意的是，在商数关系里边，阿尔法的取值它是有限制的， 那么同角三角函数的基本关系的应用啊，主要是求值化解。还有正，那么上节课呢，其实我们已经研究了知道一个角的一个三角函数值去求他的其他三角函数值的这种求值问题。 那么今天呢，咱同样的从一个稍微复杂一点的求值问题出发，来开始咱们的探究来看这样一个问题， 已知， sine 幺八减去 cos 幺八等于负的五分之一， r 八在 pi 到二分之三 pi 之间求 pi 的 r 八的值，请大家动手尝试。 好，我看差不多了啊，哪位同学来讲讲你的想法呀， 再来说一说啊，那个呃整体的想法就是用呃平方关系去削圆。然后 首先就是题目中给条件是三幺二法减去 cos 三幺二法等于负五分之一啊，那就由 cos 三幺二法减去 cos 三幺二法等于负负的五分之一。然后由平方关系还有是 cos 三幺二法的平方加上 cos 三幺二的平方等于一 呃两个方程，呃，把第一个方程可以消去 cos 三幺二法啊，消去 可以得到关于三幺二的一个呃，一元二次方程，嗯，是什么？是二十五倍的三幺二的平方加上五倍的三幺二减去十二 等于。然后呃，可以解到两个解，一个是三幺二等于五分之三， 三幺二八等于五分之三，五分之三或三幺二八等于负五分之四，三幺二八 等于负的五分之四。然后由题目中呃给到 alpha 的 范围，因为是 alpha 是 大于 pi， 小 于二分之三 pi， 所以这个范围很重要，可以取舍这个三角函数值。对，然后所以这个它的正弦值也就是三幺二角就小一点，嗯，同时 cos 二角也小一点。 这里边需要求 cos alpha 的 呃负号吗？呃，不需要。嗯，然后呢？然后，所以 cos alpha 等于负五分之四，应该是把它带入什么？带入第一个方，第一个方程啊，第一个方程。 先说一下三幺二八等于负的多少呢？等于四，然后代入一得负三幺二八等于负五分之三，负的五分之三，然后由上述关系得到是三幺二八等于三幺二八。平方负三幺 二八，把数据代入 几啊？是三分之四，有没有问题啊？没有。那你能说说你整个解决这个问题的想法是什么？呃，首先就是由这个呃 平方关系和题目中所给的呃，一个关系是两两个方程，两个未知数，就你怎么想到这个想法？呃， 呃，首先这个题目中它涉及了呃 sine alpha 和 cos alpha 的 关系，然后呃同角函数，同角函数，同角三角函数的关系中有平方关系和商数关系。嗯，然后这个题目它求的是 tan 的 alpha 需要时候商数关系，我们， 然后只剩下一个平方关系，所以我们可以用正好两个方乘两个数可以解解出来它的值啊。就是，主要还是要去观察咱们的已知嗯 和所求之间的关系啊。你，你发现你这个是挣钱和余钱的差而要求的呢？可以用商数关系转化成挣钱和余钱的商，实际上也就相当于把我们要求的 这个 candy 的 alpha 给它转化成已知的什么 sine alpha 和 cos alpha， 消除已知和所求之间的差异，来寻求咱们解决问题的思路。很好，请做。 那么这个问题啊，我们在解决求职问题的时候，最基本的想法就是要观察已知和所求之间的差异，在消除差异的过程中可以寻求解决问题的思路。 在这呢，我们依据了化归于转化的思想方式的思想， 那我们刚才啊，是利用正弦和余弦的差，进而呢求出了正弦和余弦的商， 那么从运算的角度来看，你还能提出什么问题呢？求七七。好， 那如果我们不求 sine alpha 和 cos angle 的 值，你能求出 sine alpha 乘以 cos angle 的 值吗？可以求出它们的核的值吗？核，那大家动手试一试。 先来看这个积的问题来，可以把题目给它设为平方啊，把 因为 sine r 加， cosine r 加等于负的五分之一，所以呢， sine r 加减， cosine r 加的平方，平方啊，等于 二十五分之一。嗯，然后呢，把左边的化减化减以后就用那个。

上课起，同学们好，老师好，请坐！在智能时代，创新的重要性出现在数学中，也有一类创新形式题，新定义问题，我们今天将继续来探讨此类问题。 在此之前，同学们已经对引力中的这道高考题展开过研究。那么在这里有一个新的定义，也就是平面上点到线段的距离。那么你是如何来理解这个定义的呢？那请同学瞅瞅看 哦。我觉得可以把点到线段上的距离转化成点到线段上任意一点的距离的最小值啊，非常好，那能不能请你分享一下你第一题的一个做法？ 呃，我第一是，呃在线段上的函数方程和定义域写出来之后，呃，且两点之间距离公式，然后进行计算。好，一起来看一下啊。刘子俊同学的一个答题过程， 好，继续，嗯，然后计算出 p q 的 最小值是更好吗？很好，请坐。那么我们刘子俊同学，他利用了代数法将这个新的问题转化为了一个什么问题啊？ 什么函数最值啊？求函数最小值的问题。那么其他同学有没有别的想法来？林宇阳， 好，那我们也呈现一下你的一个解析思路。我是勾 p 的 p h 垂直线段所在直线， 可以求出 ph 的 函数，解析式是 y 等于负 s 加二联立 ph 与线段 l 的 函数，可以知道它焦点 h 的 横坐标是二点五，但是二点五不属于三到五的范围，所以 p 到线段 l 距离最小的就是 p 到三零的距离，也就是根号。 我是勾 p 的 p h 垂直于线段 l 所在直线，可以求出 p h 的 函数，解析式是 y 等于负 x 加二连立 p h 与线段 l 的 函数 可以知道它焦点 h 的 横坐标是二点五，但是二点五不属于三点五的范围，所以 p 到线段 l 距离最小的就是 p 到三零的距离，也就是根号啊，非常好，这位同学他采用了竖形结合。

华生哥 sir 老师好，听话，请坐。 那么在之前呢，我们学习的平面向量里面的两种非常重要的运算，向量计算以及数样机的运算，还学习的两个非常重要的定律， 通过限行运算，我们得到了向量共线的等价条件，那么通过平面向量基本定义，我们隐身出了向量的坐标。我们现在先来看一下，对于平面几何当中的这样一些元素，用向量如何来进行表示呢？ 群豪说一下，点 a 可以 转化，为什么这个就可以用一个向量 o a 来进行表示，那么相应的一个线段 a b， 你 可以把它 用 o b 减 o a， 嗯，减了 o b 减 o a， 那 么简单的说，也就是向量 ab 的 魔长长度是不是对应到向量里面，就是魔长的概念，那么这个角可以怎么表示？角是 向量，你可以表示出这个角的余弦值，余弦值。那么 cos 角 a o b 又如何用向量表达呢？用 点成向量 o b 除以向量 o a 乘 o b 的 模， o a 的 模乘上 o b 的 模， 也就是用数量积和模长就可以把夹角表示出来，是吧？好，请坐来。那么再看看下面这三种关系，垂直贡献以及三点贡献的向量表达如何来表示呢？陈安琪试试说说。 向量 a 乘向量 b， 嗯，也就是向量积等于零贡献呢？向量 a 等于两个单位的向量 b， 这个得要求 向量 b 不 等于零向量式这样表示。那么三点共线我们可以表示成 等于敢不敢这个 ac， 那 么我们由它是不还推导过一个共起点的等价条件，还可以把它表示成，如果说都以 o 为起点的话，向量 o a m 的 o b 换个数吧，别用 m 大 了，我们用了 m m 这个 o b， 那 么这个 n 和 m 的 关系就是，那么这个就直接表示成 e 减 m， 这个 o c 就 可以啊，好，请坐。那么这样我们看在平面几何当中的点长度，角度，包括这样一些位置关系，都可以通过向量的运算来得到相应的表达方式。因此呢，向量这一个工具我们就可以 来解决平面几何当中的很多问题。那么今天我们这节课呢，就往下来看一下如何利用象牙来解决平面几何的问题。 那么我们先看这样一个简单的例子，这个大家应该都很熟悉，三角形的中位线，那么中位线的这两个性质平行且等于底边的二分之一，大家在初中就应该已经正过了吧，还记不记得以前怎么正的？正过了 谁？再说一说，再一圈说说 p c 的 中底，嗯， p c 的 中底，然后连呃设为点 f， 然后连接 e f e f， 呃，所以 b f 等于二分之一 b f 等于二分之一 b c， 呃，然后呃，可以可以得到四边形 b f e b f e e 是 平行四边形，这是一个平行四边形，这为什么是个平行四边形呢？呃，因为它的呃，对， 要正的就是 d e 等于二分之一 bc， 是 不是现在还没正出来啊？那么好，你先请坐，我们看看这个是不是可以把这个图形呢？延长延长右边，往另外一边延伸一下， 我们现在如果说在这里把这个 d e 延长，并且让 d e 等于 e f， 这样我们其实就构造出来了两个 全等的三角形，对吧？那么通过这两个全等的三角形，我们可以更进一步的往下去推倒后面这个图形是平行四边形，所以刚刚姜雨轩其实大概方法应该还记得， 那么要推倒它是平行四边形的话，我们就可以利用刚刚的全等得到 c， f 等于 ad， ad 就 等于 d b 相等有了吧。那么再根据角度这一个角和这个角，通过全等三角形可以证得他们两个是相等着，那么这是不是又有了平行关系了？ 一组对边平行且相等，就说明这是一个平行四边形，那么再往下由平行四边形我们就能得到 d e 和 bc 什么关系啊？平行，而且 d f 和 bc 应该是相等，那么 d e 就是 b c 的 二分之一了。那么实际上通过刚刚大家的反应来看，就是这个过程的证明呢？略显繁琐。那么我们考虑一下， 是不是可以直接用项链的方法来把这里面的长度以及平行的关系都给它表达出来呢？ 向量 d， e 等于二分之一倍的向量 b c。 那 么如果要表示出这两个向量之间的关系，在向量部分我们最常用的方法是什么？基底法，那么在这里可以选 好，那公务员说一下你的证明过程。呃，向量 b c 等于向量 a b a c 减向量 ab。 先把 g d 选出来是吧？也就是你这里是取了 ab 和 d c 等 g d 把向量 b c 表示成向量 ac 减 ab， ac 减 ab， 然后项呃，向量 d e 等于向量 a， e 减 a d， 嗯，等于 a e 减 a d， a e 又是什么？ a 下面 a e 等于二分之一向量 a c 二分之一 a c a d 呢？二分之一 ab， 二分之一 ab， 然后呢就你把二分之一提出来，就等于二分之一向量 a c 减 a ab， 也就是二分之一倍大。 项链必须必须了，好好，请坐，那么这样通过这个项链的关系是不是就把平行还有长度的关系同时表达出来了？ 好，那么这样的话，我们用项链的方法来证明这个问题的话，他这个过程呢就非常简洁了， 我们可以把刚刚的这一个证明过程呢给他归纳一下看看。整个过程当中，一 开始其实我们就选定了一组肌体，那么我们把需要用到的 a、 d、 a、 e 包括 bc 全部转化为肌底来进行表达，也就是说把条件当中的中位线，这两个中点的条件运用象牙的语言转化出来了。 那么转化完了以后，后面我们在干什么？这是在干什么？ 在这进行像样的运算，是不都是些限行运算，那么下面就进行运算，运算完了之后，最后呢 又把这个项链的结果把它翻译成了这种文字语言，这种数学几何的表达。我们最后一步就是翻译，那么大家尝试自己来把项链方法解决平面几何问题的三部曲整理到你的穴位上， 我们在这里我们用到的转化的方法是利用了肌底来进行表达，那么我们可以再梳理一下刚才用肌底来表示这个问题时大概的步骤，第一步我们先干了什么呀？ 选基，第二步呢表示用基底表示其他项链，然后 运算，利用基底把表示出来的这些项链进行相应的运算，最后再干嘛又把这个运算结果翻译回来了，所以我们可以把基底法解决几何问题时的这个过程归纳为这样四步， 那么下面来我们通过这样一个问题来运用一下这种方法 做好了吧，那我们看一下这个是侯子君同学的结果，让侯子君来说说吧。第一步这是在干什么？射肌底，嗯，肌底，然后 表示表示，然后计算最后这四步，完成一个完整的过程，没问题吧？很好，请坐。那么我们再来看一下后面这样一个问题， 再来看看在这样一个平行四边形当中认真读题，让我们干什么呢？ 让你讨论的是探讨的是长度的关系，是吧？那么长度用项链你应该从哪里切入？那么尝来尝试完成这一道题， 可以尝试用多种方法来解决这个问题了。 咳， 这个问题呢，你不光需要把长度表示出来，最重要的是你要把长度之间满足的关系给找出来， 而且仅仅是这几条长度之间的关系和线条的长度之间的关系。 hmm。 好，那我们请向雨轩同学来讲解一下他的这一个结论吧。 先把那个 a c 和 b d 表示出来 a 四 向量 a c 就是 ab 加下下来 ab 加下来 ab， 然后向量 b d 就是 向量 ab 减下来 ab， 然后再用那个呃，把第一个式子和第二个式子两边同时平方，然后得到这两个式子， 然后就可以发现如果这两个式子相加的话，这两项可以，这两项可以相互抵消， 然后因为那个呃，像 a c 的 膜长的平方就是 a c 的 长度，然后以此类推就可以得出这个结论。 那么我有几个小问题啊，第一个问题，你为什么会想要把一两个相加，把那个数量机这一项给抵消掉呢？因为这个列出来的话会有一个角度，嗯，会有角度，这道题中讨论的是什么？ 长度有关系，你这个包含角质的这一项，是不是就应该把它给想办法抵消掉？好，那么 第二个问题，你能不能把最后这个表达式得到的结果翻译出来看我们刚才三步曲的最后一步是还怎么做啊？哦，两条对角线呢？平方和等于 两个边长的平方的和着两倍。嗯，那这两条边是平行四边形，任意两条根不相，两条零点的两条零边平方和着两倍，这样表述可以吧？很好，这样就把这个整的整好啊。 那么我们看一下对于这一个结果的描述， 我们可以把最后向量得到的这个表达式翻译成文字语言。对角线长平方和就等于，怎么没出现两倍啊？ 两倍呢？个别，个别几条边四是不刚刚好，所以把这个结论整理下来。 那么我刚刚看到有同学在运算的时候呢，也采用了一些不同的方法，我们在讲到刚刚下面的基础知识时，就提到过这里面两种最基本的方法，接力法刚刚一直在用，是吧？ 还有一个什么工具可以用坐标，那么这道题目可不可以尝试用坐标来解决它， 有没有同学是通过间隙来解决的呢？李勋泽叔叔，我看你好像画的坐标系， 就让 a 点为圆点，对，以 a b 轴为 x 轴，垂直于 a b 轴的外点，这样，然后呢？然后就假设 b 点的坐标为小 d， 倒放圆 a 就是 零零了。把 b 坐标设成 d 点， 然后 c、 d 的 坐标假设为 x， 倒放 y， 嗯， d 是 x y， 然后就把 a， d， a、 d 就 等于根号下 x 方加 y 方， a、 d 模的平方呢，就是 x 方加外放，然后 ab 模的平方就等于 d 方， 这两个解决掉了。还有然后 a、 c 模的平方就等于 x 加 b 的 平方加 d， a、 c 呢？得先出来向量 a、 c 的 坐标呀， 也就是 a、 c 坐标是 x 加 d 坐标，其实也就是点 c 的 坐标了，是吧？ c 的 坐标应该是 x 加 b， 然后 y 能理解吧？纵坐标和 d 一 样，横坐标在 d 的 基础之上又加了一个边长是吧？好，所以向量 a、 c 模的平方就是 x 加 b 的 平方，再加 y 啊。 还有一个呢， b、 d 的 平方， b、 d 的 平方就是根号下 b、 d 的 平方，就是 b 减 x 的 平方加百分之， 然后所以 a、 c 模的平方加 b， e 的 模的平方也就等于两倍的括号了。 a、 d 的 模的平方加 b、 e， 把这两个式子一加是不？中间这个交叉项又去抵消掉了啊，好好，请坐。 那么这道题目我们用坐标系的方法来解决它也不麻烦吧。 所以在这个地方呢，我们解决这种几何问题，除了用阶底之外，也可以尝试转化为坐标 来进行计算。那么用坐标来解决的话，最关键的就是把什么求出来就行了。把点的坐标解决掉是不后面就很好办了。 那么刚刚我们总结过基底法解决问题的这样几个主要步骤，对应的坐标法来解决问题的几个步骤，你能不能也实际总结一下吧，可以，大概多大为 稍远一点，纤纤细很重要吧。然后设坐标，剩下的就是运算翻译是不都是差不多的步骤的， 那么基底的选择，或者说一开始坐标系的选择将会直接影响到你后续计算的复杂程度，所以一定要适当的选择坐标系或者是基底。 下面呢，我们之前给大家布置了任务是吧，那么给了很多选题，各小组同学呢也会进行了充分的准备，我们就来展示一下各小组选定的这样一个问题的展示。那么哪一个小组 先来？那王希涵你们先来你们组是 先看一下，先说说你们组的选择题是什么？呃，我们组的选择题就是那个等腰三角形来占两个底角相等， 然后先由呃过 a 做 a、 d 垂直于 b、 c， 然后先表示出下列下列 b a 乘下列 b、 c 就等于 b、 a 的 膜乘 bc 的 膜，再乘股线夹角，然后呃项链 b， 项链 b、 b、 a 的 膜，再乘股线阿尔法就等于 呃项链 b、 d 的 膜就是项链 ab 在 项链 bc 上的投影，然后就转化成了 bc 的 模乘 b、 d 的 模，同理，然后向量 c、 a 乘向量 c、 b 等于 c、 b 的 模乘 c、 c、 a 的 模，再乘负线夹角，然后向量 c、 b 乘向量夹角，就等于向量 c、 d 的 模。也是下面 ab 在 b、 c 上的投影， 然然后最后就成了向量 c、 b 的 膜乘向量 c、 d 的 膜，因因，因为这个向量 c、 b 的 膜等于向量 c、 bc 的 膜，然后 因为怎么列三角形，三角合一， b、 d 就 等于 b、 c， 所以 像这样 b、 d 的 膜就等于像这样 c、 d 的 膜，所以这这两这两式就相等，然后再用公式把它列出来，就是 b， 像这样， b a 膜乘 b， c 的 膜 乘 c， b 的 膜乘 c， d 的 膜，然后因为呃 b， c 的 膜等于 c b 的 膜，然后 三角合一，这两个模也相等，最后就不限两个不限值相等，然后最后这个角的那个，嗯，好，也就是先用到的相的同眼的垫垫， 证明了这两个数量机相等，又把这个数量机用数量机的这个定义式展开了，其实相当于把这个数量机是不是进行了两次预算，也就蕴涵了我们数学当中最基本的算两次的思想，非常好。这边还有一种方法呢， 就是这里呢，我们把这个等腰三角形，把它两个直角设为 c 和 r 法，然后呢，我们为了简化表示，我们选择将向量 ab 这个表示向量 a， 向量 b， c 表示向量 b， 向量 b， c 表示向量 c 表示向量 c， 然后我们 进行一下这个心算，那么向量 a 的 话可以拆成这个向量 b 加向量 c， 然后再把它倒过来一个乘法，也就是向量 a 等于负的向量 b 加向量 c， 然后再得到向量 c 的 话是等于向量 a， 向量 b 拉倒过来乘个符号，然后我们会得到向量向量形的话，它两边相等，所以向量 a， 向量 c 的 摩擦相等啊，我没想到。就是摩擦的话，我们会跟平方有关系，平方的话就是模着平方会等于向量的平方，我们通过这个把它联系起来， 向量 a 的 平方等于这个向量的平方，就是向量 b 方加向量 c 方加上二倍的向量 b， 就是 b 的 膜乘上 c 的 膜，然后再乘上 cosine 夹角，这个 cosine 夹角其实这里没有， 就这里没有，就是好像没有拍上，就是这个，呃，因为他们的起点其实这里和这里，所以我们需要把这个向量移到这里来，他应该是一百八十度减去阿尔法，也就是派减阿尔法。 然后下面这个向量 c 的 这个模长等于这个向量 a 的 模的平方加上向量 b 的 模的平方，然后加上二倍的 a 模乘 b 模，乘上口径也是派减去 c 叉夹角， 然后呃，因为就是这两个，其实是因为 a， a 和 c 的 长度是一样的，所以他们平方也是一样的，我们连立这两个方程，就是列这两个等式会得到，就是可以把 b 方 a 方给消掉， c 方 b 方也可以消掉，然后 呃 b 模 c 模 a 模 b 模也可以消掉，最后得到一个 cosine 派减去阿尔法等于 cosine 派减去 c 塔，因为 cosine 派减去阿尔法等于负的 cosine 阿尔法， cosine 派减去 c 塔等于负的呃 cosine c 塔，所以会得到一个 cosine 阿尔法等于 c 塔，也就运用了这个两个角与弦的相等，得到了两个角相等，所以就是阿尔法等于 c 塔。 嗯，真好，讲解的很清楚，一般非常好啊。 哈喽，今天我们今天展示的这两种方法，其实我们会发现最主要遇到的应该还是肌底的计算，那么有没有同学有别的想法来证明这个问题？ 我们刚刚提到的两种方法，除了用肌底还可以用什么？ 你看等腰三角形就意味着有什么关系，那么可以尝试这个细节， 你有没有别的思路？取 b， c 中点 d， 然后设 d 为原理，嗯，然后设 c 的 坐标为 x， 标号零，嗯，所以 b 的 坐标就是负 x 标号，嗯， a 的 坐标设为零的毫半，嗯，我继续用， 嗯，然后是不就可以把这两个假角度用这一系列的坐标表达出来啦？来，很好，请坐。那么这个思路大家课下也可以继续尝试一下啊。那我看着你们小组是不是怼出来的这个面贴也是用坐标法解决的那一块来展示一下吧， 发现他们的小组很喜欢用坐标，好 能看清楚吧。我们组呢证明的是三角形的三条高线交于一点，那首先证明三条高线的话，是三条线打好正，但是我们知道两条线肯定是交于一点，所以说我们先做两条高证明。第三条就是， 就比如说我们先做 bc 边上的高和这个 c， b 边上就是 c b c a 边上高和 c， b 边上高，我们交于一点，设为 p x 和 y， 那 么我们只需要证明这个 p 它垂直于 bc， 就 可以证明这个 p 也是 bc 边上的高，也就证明了。呃，三求高交于一点。 那么我们先取先建筑坐标系，因为这个它是三角形，并不是直角三角形等腰三角形或者是什么三角形，所以说我们为了增加它的腐蚀性，对吧？ a 设为 a 多少零， b 设为 b 多少零， c 设为零多少 c， 这样可以保证所有的情况都可以取到。 那么既然已经设出来点的坐标了，之后就可以运算了。首先呢是，呃，取 bc 边上的坐标了之后就可以计算了。首先呢是取 bc 边上的坐标了 y， 那么 a p， 也就是 x 减 a 多少倍 b p， 也就是 x 减 b 多少倍 bc， 也就是负 b 多少 c， a c， 也就是负 a 多少 c。 那 么因为呢，这个 a c 是 垂直于 b p 的， 所以说 a c 乘以 b p 等于零，所以说把下面就是把坐标带进来， c a 乘以 x 减 b 加 c y， 它就等于零。我们把这个设为一式， 后面的 b c 乘以 a p 也是同理，我们得到的负 p 乘以 x 减 a 加上 c y 等于零，这是二十，我们接下来用二十减一就可以得到 a 减 b 乘以 x 等于零。 而下面上面设的这个 ab， 它是重在 s 轴上的 ab 点不能重合，所以说这个小 a 不 可能等于小 b， 所以 说为了保证这个是等于零的话，所以说 s 就 等于零。而当 s 等于零的时候，就是 c c p 在 这的时候就是刚好垂直于这个 ab， 因为 ab 是 x c 这个是 y， 所以 说刚好垂直 ab， 所以 说 p 在 ab 的 边上的高线上，然后又因为 p 在 边 bc 和 ab 的 高线上，所以说三角形的三条高就一点，嗯，大家听明白了吧？这里坐标的设法设置非常巧妙，非常棒， 大家有没有发现他这里这个坐标系的选择，包括一开始条件的设法，基本上已经是最大程度的简化的这个计算， 看我们最后证明的要证 c p 和 ab 垂直，非常特殊的把 ab 取到了 x 轴上， 那么要证 c p 垂直于 ab， 是 不是就等价于 p 的 横坐标等于零就可以了？ 那么这个垂直在这里设的就很巧妙，包括前面这几个点的设法，把它们都放到这个坐标轴上，这个坐标就会尽量的简单。所以呢，这一道题目的证明可以非常好的体现出来 坐标法的优势，以及坐标系的适当选择，对于解决问题的简化啊，非常棒。那么下面哪一个小组同学再来继续展示一下。还有这个正的是三条高线交汇点，你们有没有正其他的问题的？ 李一康，你们种的是什么？我们种的是三角形的三条中线交汇点，给大家展示一下看看。先把记录单给我，哎，你们的记录单很丰富呀，三张， 我们我们证明三条中线交汇点，我们我们使用的两个办法都用到了这样一个结论，也就是说这个 g 他 是两，呃，他两条中线的交点呢，是 这两条中线的三等分点，并且是靠近他这个边上的中点的三等分点都需要使用这样一个条件，所以说我们，呃，为了我们证明的严谨，我们先把这个条件进行了证明，我们这个条件我们运用的是几何方法，并没有使用向量方法。我们首先是取了这个 ap 的 中 a d 的 中点 p， 然后我们使这个 啊，然后因为他们，呃，因为他这个 e 和 p 分 别是 ac 和 ad 的 中点，所以说他们是中位线，也就是说一 p 就 等于一 p 平行等于二分之一的 c， cd 也就平行等于二分之一的 b d， 然后所以说， 呃，这个 dp 就 等于二分之一的 a d， 因为，因为这个他们是一个平行的关系，所以说他们有这个平行平行分线段这个成比例的一个关系，所以说，呃，他们也都所以说 这个 p g 比上 d g 也是有这个一比二的关系的啊。我们再看这个 p， 它是等于二分之一的 a d， 所以我们进行了一下乘法，我们就得出来这个 d g 就 等于三分之二乘二分之一的 a d 就 等于三分之一的 a d， 所以 说我们就证出来这个 g 呢，它是这个 d g， 呃，靠近呃 a， d 靠近 d g 的 三等分，呃靠近点 d 的 三等分点，所以说我们就证明出来了这样一个结论，然后在我们后来的两个方法中都会使用到。 先来看一下他们的第一种方法， 就是我们小组为了证明那个三角形的这条中线交于点，我们先取出两条中线，然后然后两条中线就是它肯定会有一个焦点，我们记为 o 连接 co 并延长交 边上至 a b 交 a b 于 f， 这样就确保了 c f 和 a d b e 这三线就共点了，所以我们只需要这命题就转化成要证明 f c f 这三角形的一条中线就行了。然后我们 我们就是采用基底，选用基底我们选，我们选 c b 和 c a 为基底，然后将我们要列出来的向量进行反复表示，最后用平面向量的基本定律列出一个方程 进行求解。首先我们设 co 等于，就是设 a f 等于 x 倍的 f， 向量 f， 然后设 co 等于 y 倍的向量 c f， 然后 co， 就是 因为这个地方 a o 等于两倍的 o d， 在 前面的那个上页已经讲过了，就 co， a o 等于两倍的 o d， 这个我们要在这用一下，就是因为 c， 就 像那 co， 他 就可以经过预算就得到这个东西， 然后 c， 然后 c o 等于外倍的 c， 向量 c f， 所以 向量 c 就 等于三分之一外倍的向量 c 加三分之一外倍向量 c b， 然后，然后我们再再用那个，再用这边，这边 ab 上面那个分分线段 f， 不是 分线段去表示那个 c f， 因为 af， 因为 af 等于 x 为 f， 然后我们进行矩阵转化就得到了这个结果。 cf 等于 x 分 x， 加一分之一加向量 c a， 加上 x 加一分之 x， 向量 c b， 然后就是平面向量的那个基本定律就得到了 x， x 就 得到了这两个，前面两个系数相等 解除了，解除了那个 x 等于一，所以那个向量 a f 就 等于向量 f b， 所以 f 就 为他们的中点，就证明了 c f 就 为三角形 a b c 的 一条中线，所以三条中线交于一点就得正 好也就是整个里面用到了平面向量。基本定律用到了定比分点的公式，还用到了这个算两次的思想来进行表达，那是不是把我们这节课讲到的这一点基本上都用到了非常棒，那时间的原因我们下一个方法就先不展示了， 那么咱们同学们还有很多呃，非常好的这样一些证明的问题啊，因为时间原因，我们在今天课上就给大家一一展示了。 那么刚刚这些同学其实用到的很多东西都是在三角形当中的，我们看证明了三角形的三条中线交于一点，三条中线的交点我们管它叫什么呀？ 叫做重心，我们可以通过这个图形来看看，你看我们随便移动这个三角形，这三条中线是不是始终都是汇于一点的，那么包括我们刚刚还正过那个是什么？是垂线，垂线，高线的焦点是垂线， 那么我们看垂心也是一样，而且这个垂心是不是有可能跑到外面去啊？那么三角形的这几个心里面还有哪个心有可能在外面呢？外心， 外心，外心是什么的焦点中垂线的焦点，他可以到外面吗？ 什么时候就到外面了？钝角三角形的外心就到了。还有一个还有同学证的是内心，其实也有证的哈，内心应该是三条角平分线的结论，他可不可能在外面，因为他是 内切圆的，是不始终是在里面的。那么关于三角形或者说平面几何里面相关的这样一些结论其实非常多啊， 那么大家可以用项链的方法尝试去证明这样一些结论，包括我们刚刚提到的这个四心的项链对应的表达式。大家可以先猜一下这个应该是什么的，正负正负，这个其实都用到过，这个呢， 数羊，吉祥等垂心，这个这个有证的哈，这个其实就是内心，最后这个很简单， 这个就是外型。那么大家课下可以根据我们这一节课的讲解，继续来补充完善你们的证明过程。那么最后我们把这节课的过程总结一下。 第一个最主要的就是三部曲，是吧？那么三部曲的转化过程当中其实非常重要，这里面涉及到了很多几何元素的项链表达，我们看看点 a， 把它表示成像样，距离就是夹角变成 曲线值，然后包括变线的等加条件。那么在这里面我们用到的两种主要方法是什么方法？ 新郎又接吻做调查，好，那我们今天就上小队下课，同学们再见，老师再见。