圆锥体积怎么求

今天啊，王老师来讲六下第三单元圆柱和圆锥当中的有关旋转的问题，将下面的图形分别绕着轴旋转一周，得到的图形的体积各是多少立方厘米？ 那么同学们想一想，我们知道圆柱体，我们是将一个长方形给它固定在一个小棒上，快速的转动，他所转动的轨迹就是一个 圆柱体，那这个圆柱体的里面圆的半径呢，就是四，高呢是三，那么转动的轨迹是一个圆柱，那圆柱的里面半径知道了，高也知道了，那这个圆柱体的体积我就可以求出来了。我把它转动的轨迹呢，简单的给它画一画啊， 我们简单的画一画它转动的轨迹，当然我画的不是很标准啊，转动的就是一，这样一个一个一个圆柱体，那底面半径知道了，高也知道了，那圆柱体的体积。 v 啊，就等于 pi r 的 平方 h， 那就等于三点一次乘四的平方，然后再乘三，四的平方是十六十六，乘三是四十八，四十八倍是一百五十点七二 立方厘米。圆柱体它的体积我们就求出来了。那么右边的这个 直角三角形，各位他转动的轨迹啊，他转动之后呢，得到的是一个圆锥体，我把他的转动的轨迹呢，简单的给他画一画啊，一个圆锥，那这个圆锥 底面的半径呢？是也是四厘米哎，高也是三，那么圆柱和圆锥他们是 等底是不等高，那我们知道等底等高的，这个圆锥是圆柱体体积的三分之一啊，所以那圆柱体的体积我求出来了，那这个 v 锥圆锥体的体积啊，那就等于啊，三分之一的 v 柱 圆柱体的体积我求出来了，因为他俩等底等高啊，对不对？所以啊，也就等于三分之一乘一百五十点七二，那 三分之一乘一百五十点七二，求出来是五十点二四立方厘米啊。这道题其实非常的简单，就是一个旋转的问题，关注王老师，让数学变得 very easy。

圆锥体积为何是圆柱的三分之一？怎么算的？先证明锥体积正比于底面和高，有人不是很懂，所以这里证明一下，就把它想象成由很多个细长方体组成的， 越来越多，越来越细，最后就等于圆锥、圆锥的高增减，这些长方体的高同比增减， 圆锥底面增减，这些长方体的上下面同比增减，所以其体积正比于底面和高的乘积。再看一下斜形，我们将它一分为二，接下来证明上面体积是下面的两倍， 下面部分的底面是三角形，体积正比于二分之一，绿橙黄、橙蓝。注意，这里有个二分之一上面体积，它的底是右边的面黄线为高，正比于绿橙蓝，橙黄是下面的两倍。 换句话说，下面体积占蟹形的三分之一。接下来把蟹形压薄，然后拼成一圈 形成圆柱，而下部分就拼成了圆锥，所以圆锥体积就是圆柱的三分之一。

三十秒动画让你领悟圆柱圆锥倒置转换问题，此类问题重点抓住水的体积不变，圆柱和圆锥的底面积相等。先看第一想象，我们有魔法可以控制水静止不动。切开， 先让圆柱里的水下落体积不变，剩下高十八厘米是圆锥里的水。先来从公式理解一下圆锥与圆柱之间转换的关系。转化过程，体积不变，所以相等，别忘了这里的底面积也相等，所以柱体的高等于三分之一，锥体的高。 回到题目，这个锥体的水下落体积不变，转换成柱体，其高就是锥体的三分之一，等于六厘米， so easy！ 再看例二，倒立过来水不动，这里是柱体转化为锥体，那就先把锥体填满水。已知锥体的高度是十五厘米， 那他就只能装柱体里五厘米高的水，柱体还剩七厘米的水，下落填满高度还是七厘米，最后就是十五加七等于二十二厘米了，是不是 so easy 呢？

面动成体是六下以及小升初数学里面出题老师最喜欢的题型之一，因为它能充分考察孩子的空间想象力以及拆解能力。接下来我们看一下今天的这道题目。在三角形 a、 b c 中， a b 是 等于五的，如果以 a b 为底，它的高就是三。 现在以 a b 所在的这条直线为轴，旋转一周后能得到一个立体图形。题目问的就是这个立体图形的体积是多少？首先我们要想象到并且画出这个旋转后的立体图形，好给三秒钟的时间给大家思考一下。 没错，这个立体图形它就长这个样子了，但是该立体图形如何求它的体积呢？接下来吴老师画出一条透视的弧线，大家应该就知道了，我在这里把这个 c 点和这个 c 撇点这里画一条这个弧线出来。 好了，现在大家是不能发现这个立体图形，它是由上下两个圆锥组成的， 并且这两个圆锥有一个共同点，他们的底面是相同的，因为他们的底面是共面。好，提起圆锥，我们回顾一下圆锥的体积公式，体积 v， 它是等于三分之一的底面积乘以高。好，现在我们把上面的这个圆锥 这条高，我们称作为 h 一，下面的这个圆锥的这条高，我们把它称作为 h。 二。那现在整个立体图形的体积，它是不是等于上面的这个圆锥的体积三分之一 s h 一， 加上下面的这个圆锥的体积也就是三分之一 s h 二。好，我们看一下，由于底面积相同，这个三分之一都是一样的。那我们提取一下公因子，它是不是三分之一底面积乘以什么 h 一 加 h 二啊？ 好，公式就出来了，那接下来我们只要把所有的数据还原回去就可以了。好，首先一个圆锥的底面积是不是拍 r 的 平方？好，所以它是三分之一乘以三点一四， 再乘以 r。 好， 这里的 r 是 多少？你看一下，我连一条虚线，大家就会发现，这里的 r 就是 原来这个三角形以 a b 为底的时候它的高，所以它就是三了。这里 那也就是说它是乘以三的平方。好，现在看一下 h 一 h 二分别是多少我们并不知道，但是 h 一 加 h 二加起来是多少？加起来是不是五啊？所以最后再乘五， 那最终我们就能算出来它是等于四十七点一的，这就是本道题目的答案了。最后总结一下这种面动成体的题型，第一步我们要想象得到 旋转后是一个怎么样的立体图形，那第二步就是我们要学会把这种不规则的立体图形拆分成两个或以上的规则立体图形，最后就能通过体积公式实现轻松的解析。

掌柜的大生意来了，知府大人定下了元宵节的压轴甜品，指明要咱们做时做高高尖尖的冰雪奇峰。 尖尖的冰雪奇峰，咱们店里只有做纸桶子冰块的经验，要把纸桶冰削成尖塔的形状，这用料到底该怎么算？对啊，如果是这个直上直下的圆筒子，我知道要用多少冰，可这上面削尖了，冰块全变少了，这尖塔到底藏着多少分量？ 各位聪明的看客，这尖头冰块的用料实在是个大难题，你们敢不敢跟我一起帮掌柜的破解这冰雪奇峰的秘密？ 掌柜的，您看，这两个木块，他们占的地方一样大，个头也一样高，这就是咱们常说的底和高完全一样， 底一样高一样。可原本直上直下的木柱，被我这么一削，周围的木料全掉光了。大家仔细瞧瞧，这剩下的尖头木块，跟原来那个纸桶子相比，到底是什么关系？ 光看木头看不准，咱们用白糖来试试。 我把这个尖尖的杯子装满白糖，倒进这个跟他同底同高的直筒杯里，到底倒几次才能刚好装满呢？慢着，做买卖不能全靠瞎事，得动脑子。既然这两个杯子底盘一样大，个头一样高，这装糖的次数里必定藏着一个固定的死里， 你们觉得究竟倒几次才最合适？ 看明白了吗？圆锥的体积就是和它等底等高圆柱体积的三分之一。拿笔跟我一起记下这个生财的法宝公式。 好嘞，规律找出来了，现在要动真格的了。我已经量出了这座冰封底面圆圈的大小，也量出了它的垂直高度，可这到底怎么算啊？ 冰价昂贵，一分一毫都不能算错，咱们已经知道了纸桶子的算法，也知道了那个关键的倍数关系，把这两样法宝拼在一起，这尖塔冰封的用料究竟该用什么神妙的法子算出来？ 太棒了，有了这个绝妙的算计法子，不管要多高多宽的冰雪奇峰，咱们都能分毫不差的把材料算的清清楚楚，一点都不浪费。哈哈， 万变不离其宗，只要看破了这形状之间的联系，纸桶子也好，尖塔也罢，全都在咱们的掌控之中，这就叫大智慧换来大生意，多亏了大家帮忙，这冰雪奇峰才能轰动全城，原来形状里藏着这么多神奇的秘密！ 各位看官，准备好跟我阿宝一起迎接下一个不可思议的挑战了吗？咱们下次见 各位看官，今天咱们一起破解了冰雪奇峰的秘密，那么这节课你最大的收获是什么呢？

今天我们来讲两道有关圆锥的进水问题，我们先来看第一题，把一个底面直径为四厘米的圆锥形铅块浸没在装有水的底面半径为六厘米的圆柱形容器中，水面上升了一点五厘米，水位溢出， 求铅块的高是多少厘米？我们先来分析一下条件，告诉了圆锥形铅块的底面直径是四厘米，我们简单标一下，圆柱形容器的底面半径是六厘米， 原来容器中装有一些水，把铅块放进去之后，水面上升了一点五厘米，物体完全浸没在水中，那我们可以得到一个等量关系， 上升这一部分水的体积就等于物体的体积，也就是上升水的体积等于圆锥形铅块的体积。然后我们来看这两个体积分别怎么计算。 先看上升水的体积，水是在圆柱形容器里，那么上升这一部分水，它就是一个圆柱形，所以它的体积我们就用圆柱的体积公式。底面积乘高， 也就是 pi r 的 平方 h， 这里的高指的是上升的高度一点五厘米，已知容器的半径是六厘米，我们可以直接代入求值，三点一次乘六的平方乘一点五，这是上升水的体积。 再来看圆锥的体积，圆锥的体积公式是三分之一，底面积乘高，也就是三分之一 pi r 的 平方 h。 需要知道圆锥的底面半径和圆锥的高，已知圆锥的直径是四厘米，我们可以先求出半径四除以二 等于两厘米，圆锥的高度不知道，先用 h 来表示，那圆锥的体积就是三分之一乘三点一，四 乘二的平方，再乘高 h， 它们的体积是相等的，我们要求的是圆锥的高。 第一种方法可以列方程，我们可以设圆锥的高为 x 厘米，再把方程列出来，三点一四乘六的平方，乘一点五等于三分之一乘三点一四乘这里的半径二，我们需要用直径除以二来表示 四除以二的平方，再乘高 x， 然后解方程就可以了。第二种方法用算数法。第一步可以先求出上升水的体积，三点一四乘六的平方，乘一点五等于一百六十九点五六立方厘米。 第二步，我们求出圆锥的底面积，先求圆锥的底面半径四除以二等于两厘米，再求底面积，三点一四乘二的平方等于十二点五六平方厘米，最后求圆锥的高。已知体积和底面积， 我们用体积除以三分之一除以底面积就是圆锥的高，一百六十九点五六 除以三分之一，除以十二点五六等于四十点五厘米。最后答一下这道题的关键就是要理解上升水的体积就等于圆锥形切块的体积，然后要知道这两部分体积分别怎么计算。 上升这一部分水是一个圆柱形，所以我们用圆柱的体积公式，底面积乘高，圆锥形切块就用圆锥的体积公式。我们可以根据这个等量关系列方程来解答，也可以用算数法。 需要注意，用算数法求圆锥的高，他应该等于圆锥的体积除以三分之一，再除以圆锥的底面积。 我们来看第二题，一个底面直径是二十厘米的圆柱形木桶中装着水，且水中完全进入一个底面直径是十八厘米， 高是二十厘米的铁质圆锥。当把圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？这道题是告诉了圆柱形木桶的底面直径二十厘米，告诉了圆锥的底面直径和高。 原来圆锥是在水里，将它取出后，水面会下降，让我们求下降的高度。同样有一个等量关系， 下降这一部分水的体积就等于圆锥的体积。然后看这两部分体积分别怎么计算。 先看下降这一部分水，它是一个圆柱形，所以用圆柱的体积公式，底面积乘高。已知圆柱的底面直径是二十厘米，我们可以先求出半径 二十除以二等于十厘米高度。不知道我们就用 h 来表示，那下降水的体积就是三点一四乘十的平方乘高度 h。 再看圆锥的体积，它的体积公式是三分之一底面积乘高。 已知圆锥的底面直径是十八厘米，可以先求出半径十八除以二九厘米，高度是二十厘米。所以圆锥的体积是三分之一乘三点一四乘九的平方，再乘二十，它们的体积是相等的。 如果用方程，我们把这里的 h 换成 x 就 可以了。如果用算数法，第一步，我们先求出圆锥的底面半径 十八除以二等于九厘米，再求圆锥的体积三分之一乘三点一四乘九的平方乘二十 等于一千六百九十五点六立方厘米。第二步，求圆柱的底面积，先求出圆柱的底面半径二十除以二等于十厘米，圆柱的底面积三点一四乘十的平方等于三百一十四平方厘米。 第三步，就可以求下降的高度，用体积除以底面积一千六百九十五点六除以三百一十四， 等于五点四厘米。最后答一下，有的同学可能不太理解，为什么用圆锥的体积除以圆柱的底面积求出它下降的高度，因为圆锥的体积和下降水的体积是一样的， 所以这一部分体积实际上就是下降水的体积，也就是这个圆柱的体积。那体积知道了，我们要求它的高，就应该除以圆柱的底面积。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

今天题目是下图， a、 b、 c、 d 是 直角梯形，以 ab 为轴，并将梯形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米呢？将这个直角梯形旋转一周后， 应该是这样的一个图形，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，所以我们要算的其实就是一个圆锥的体积加上一个圆柱的体积。先算圆柱的体积，圆柱的体积为底面积乘高。先算底面积， 底面半径为两厘米，所以底面积就是四派，再乘上高两厘米，四派乘二是八派。二十五点一二立方厘米，再算圆锥的体积。圆锥的体积公式为， 底面积乘高，再乘上三点一四，先算底面积，同样底面半径也是二，算出底面积之后再乘上。 由于这条高为五，所以上面这条高就应该用五减去二，上面这条高就应该是三厘米，再乘上三，最后还需要乘上一个三分之一，这里可以直接约分，也就是四排为十二点五六立方厘米， 所以这个体积就应该是二十五点一二，加上十二点五六，算出体积就为三十七点六八立方厘米。

这一节课我们一起来学习圆锥的体积公式，看到这个冰激凌，你能想到什么呢？找到哪些数学信息，能提出什么数学问题来呢？ 我们会发现圆锥形 b 七零包装盒的底面直径是六厘米，高是十厘米，圆锥形包装盒的体积是多少立方厘米呢？ 其实求圆锥形包装盒的体积就是求圆锥的体积， 圆锥的体积怎样求呢？我们想一想，圆锥的体积与什么有关系呢？ 与我们学过的圆柱的体积公式有关系吗？我们一起来看一看。这个圆柱和这个圆锥放在一起比一比，我们会发现它们两个的底面积是相等的， 羹也是相等的，这个圆柱和圆锥等底等高。 我们用等底等高的圆柱和圆锥做一个实验，把圆锥体容器中盛满沙子，然后完全倒入圆柱体容器中，我们会发现 圆锥体中的沙子正好占圆柱体体积的三分之一，也就是说圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。 因为圆柱的体积等于底面积乘高，那么圆锥的体积应该就等于底面积乘高，然后乘三分之一一。 我们我们用字母表示为表示体积，哎， s 表示底面积， h 表示高，那么那么圆锥的体积可以用字母表示为 v 等于三分之一 s h， 这知道了圆锥的体积公式，那么我们就可以用这个体积公式求这个并积零和的体积了。 用三分之一乘三点一四乘六六除以二的平方乘十， 求得等于九十四点二立方厘米。答，答，这这个圆锥形包装盒的体积是九十四点二立方厘米。 一起来总结一下今天学习的内容。今今天我们学习了圆锥的体积公式， 圆，圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一， 所以所以圆锥的体积公式等于底面积乘高乘三分之一， 用字母表示就是为等于三分之一 s h。 好 好，今今天的内容就讲到这里，谢谢，谢谢观看，再见。

六年级的必考题型一个圆柱和一个圆锥底面直径之比是二比三，它们体积之比是五比六。圆柱和圆锥高之比是多少？ 我们先把题目里面的已知条件列出来。圆柱和圆锥体积比五比六，底面直径之比是二比三。已经知道了体积比要求高的比，那我们根据直径的比，求出来底面积的比。 圆柱和圆锥底面积都是圆形，圆形直径的比是二比三，半径的比，它就等于直径的比也是二比三。那两个圆面积的比就是半径的平方米，也就是二的平方比三的平方，二的平方比三的平方，它就是四比九。 体积比是五比六，底面积的比是四比九。我们现在去求高的比， 圆柱的体积是五，底面积是四，他的高就是体积除以底面积五除以四，四分之五。圆锥体积是六，底面积是九，那圆锥的高，他得先用体积六乘三，再去除于九，那圆锥的高他就是二， 那高的比就是四分之五比二。我们给他画成最减整数比，比的前项和后项同时乘四，四分之五乘四等于五，二乘四等于八，那圆柱和圆锥高的比就是五比八。这道题我们选择 a 选项。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习圆锥的体积，我们来通过实验探究圆锥和圆柱体积之间的关系。 需要准备圆柱和圆锥形容器，有一个非常重要的条件，他们必须等底等高，这个是等底。圆锥和圆柱他们的底面积是相等的，这个是等高。 两条平线之间的距离处处相等，满足圆锥和圆柱等高。然后来做实验，用倒沙子或倒水的方法试一试。我们来观察一下， 把圆锥里面装满水，往圆柱里面倒，看几次能把圆柱倒满。这是倒了一次，再装满水继续倒，这是两次，再倒一次。哎，发现把圆柱倒满了三次正好倒满，那说明什么？ 说明这种情况下，圆柱的体积是圆锥的三倍。什么情况下圆柱与圆锥等底等高？ 在这个前提条件下，我们可以得到圆柱的体积是圆锥的三倍，那么反过来，圆锥的体积是圆柱的三分之一，同样可以得到他们的体积比。圆柱的体积与圆锥的体积比等于三比一。 我们知道圆柱的体积等于底，面积乘高，那等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱的三分之一，所以圆锥体积就等于三分之一。圆柱的体积 等于三分之一，底面积乘高，用半径表示，就是三分之一 pi r 的 平方 h， 这样就推出了圆锥的体积公式。 那我们观察一下这个图，这是一个圆柱，里面是一个圆锥，那圆锥跟圆柱之间的关系就是等底等高， 说明圆锥的体积等于三分之一。圆柱的体积，那想一下，这个圆柱除了圆锥之外，剩余这部分的体积跟圆柱什么关系？圆锥体积是圆柱体积的三分之一， 那么剩余这部分的体积应该是圆柱体积的三分之二，这个关系我们也要清楚。接下来看一道练习题。工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥，这堆沙子的体积大约是多少？ 如果每平方米沙子大约重一点五吨，这堆沙子大约重多少吨？先看第一问，求这堆沙子的体积， 它近似于一个圆锥，那我们就用圆锥的体积公式，等于三分之一底面积乘高，也就是三分之一 pi r 的 平方 h。 需要知道圆锥的底面半径和高，那已知圆锥的直径是四米，我们先求半径 四除以二等于两米，高是一点五米，可以直接代入求值。三分之一乘三点一，四乘二的平方乘高一点五，在计算的时候看能不能减变， 比如这里的三分之一可以和一点五结合，三分之一乘一点五等于零点五，也就是三点一四乘四，再乘零点五， 四乘零点五等于二，三点一四再乘二，等于六点二八平方米。这是第一问。第二问，求这堆沙子大约重多少吨？已知每平方米沙子重一点五吨，我们需要先求出有多少平方米的沙子，再去乘一点五，那有多少平方米的沙子， 实际上就是求沙子的体积。那第一问我们已经求出来了，那第二问，我们用六点二八乘一点五就可以了，等于九点四二吨。最后答一下， 今天主要讲了圆锥的体积等于三分之一底面积乘高，如果用半径表示，就是三分之一 pi r 的 平方， h 要求圆锥的体积，我们需要知道圆锥的底面半径和高，这样套公式求体积就可以了。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

同学们大家好，我是宁夏长庆小学的胡雪莹老师，特别高兴今天能和同学们共同学习圆锥的体积。 上课之前，请同学们准备好以下学习用品，等底等高的圆柱与圆锥形模型量杯、适量的水和沙子。 相信大家都吃过这种圆锥形包装的冰激凌，那么你知道图中原锥形包装盒的体积是多少立方厘米吗？ 要解决这个问题，就要知道如何计算圆锥的体积。怎样求圆锥的体积呢？ 任务一，猜测圆锥的体积与什么有关？建议一想一想长方体、正方体、圆柱的图形特征以及它们的体积计算公式。二，猜一猜圆锥的体积与什么有关？ 我们一起听听同学们的猜想吧！小童说， 我们前面学过长方体、正方体、圆柱，它们的体积都是底面积乘高，所以我猜测圆柱的体积应该与底面积和高有关。小童能联系旧知，解决新的问题非常的好。我们再来听听小雅是怎么想的。 我是这样想的，如果有一个确定的圆锥，任意圆柱的体积可能很大，也可能很小，他们的体积之间应该没有固定的关系。所以我猜测圆锥的体积应该和与他等底等高的圆柱的体积有关。 这位同学真会思考，小雨还有不同的想法。我们知道长方形以它的一条边为轴，旋转一周，形成一个圆柱。 沿着对角线，从长方形中分出一个直角三角形，以同样的边为轴，旋转一周，形成一个与圆柱等底面积等高的圆锥。因为直角三角形的面积是长方形的一半， 所以我猜圆锥的体积可能是与它等底等高圆柱体积的二分之一。小雨说的有理有据有依据的猜想有可能成为最终的结论。对于它们的猜想，小词还有一个建议， 这些都是大家的猜测，我们做个实验验证一下吧。屏幕前的同学们，你们是怎样猜的？快速评价一下吧！ 任务二，实验探究圆锥的体积与圆柱体积之间的关系建议一，你想选择什么实验器材，用什么方法去验证。二、做实验，探究圆锥与圆柱体积之间的关系。 三、推导出圆锥体积的计算公式。接下来我们就一起进行实验验证吧！屏幕前的同学们也可以准备好学具，动手做一做，试着推导出圆锥体积的计算公式， 我们看看这几位同学是怎么做的。我选择的是底面积和高都相等的圆柱与圆锥形模型， 使用的是排水法。首先量出杯中水的体积为三百五十毫升，将圆锥模型完全浸没在水中， 测量出水和圆锥模型的体积为三百八十五毫升，水面上升的三十五毫升。拿出圆锥模型，把圆柱模型完全浸没在水中。 测量水和圆柱模型的体积为四百五十五毫升， 水面上升了一百零五毫升。我发现放入圆柱模型后，水面上升的高度是放入圆柱模型后水面上升高度的三倍。小瑞利用排水法探究了圆锥的体积，我们再来看看小希是怎么做的。 我选择的是等底面积等高的圆柱与圆锥形容器水使用的是倒水法。首先我们在圆锥中倒满水， 再将圆锥中的水倒入圆柱中。第二次， 第三次， 我们发现三次刚好把圆柱形容器倒满， 他把圆锥里装满水，倒入与他等底等高的圆柱形容器中，三次倒满。如果把圆柱里的水或者沙子倒入圆锥中，会是什么情况呢？我们一起看看小颖的实验过程。 我们选择的是底面积和高都相等的圆柱与圆锥形容器。沙子使用的是倒沙法，先将圆柱形容器中装满沙子，再倒入圆锥形容器中。重复以上操作， 第一次， 第二次， 第三次，圆柱形容器里的沙子刚好被倒完。同学们通过实验你们得出了什么结论？能推导出圆锥体积的计算公式吗？ 从实验中我们得到圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一。因为圆柱的体积等于底面积乘高，所以圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一，用字母表示为 v， 圆锥等于三分之一 s h。 在探究圆锥体积的过程中，你们还有什么疑问？我建议做实验时不要把水或者沙子洒到外面，尽量减少误差 小满。说的真好，误差的存在可能会影响实验的准确性，因此我们在做实验的过程中要尽量减少误差。 我觉得用实验得到的结果是不严谨的，还有其他的验证方法吗？这个问题提的真好，在小学阶段，由于知识有限，只能用实验法，将来还会利用积分等方法严密的推到圆锥体积的计算公式。 你是怎样验证的？对照下表评价一下自己的表现吧。现在我们知道了圆锥的体积等于三分之一乘底面积乘高就可以解决这个问题了。 冰激凌包装盒的底面直径是六厘米，高是十厘米。圆锥型包装盒的体积是多少立方厘米？请你在纸上写一写，算一算。 我们听听小南是怎么算的？我是这样算的，根据圆锥的体积等于底面积，乘高乘三分之一，先算出底面积，三点一四乘六除以二的商的平方等于二十八点二六平方厘米，再算体积二十八点二六乘十乘三分之一。 计算时，可以先算二十八点二六乘三分之一，再乘十，先约分，再计算，结果等于九十四点二立方厘米。答，圆锥形包装盒的体积是九十四点二立方厘米。 小南不仅介绍了计算方法，还为我们提供了一个计算技巧，在计算圆锥的体积时，列出综合算式后，可以先约分，再计算。 工人叔叔遇到这样一个问题，一个圆锥形沙堆，底面直径是三米，高是零点八米，用这堆沙子填一个长五米，宽两米的沙坑，沙坑中沙子的厚度是多少厘米？ 得数保留整数，请同学们先想一想，再算一算。 我们来听听同学们的想法。小新是这样想的，已知长方体沙坑的长是五米，宽是二米，要计算沙子的厚度，就要先算出长方体的体积。因为把圆锥形的沙子铺到长方体沙坑里， 也就是把圆锥转化成了长方体，转化前后体积不变，所以我觉得长方体的体积等于圆锥的体积。 小新分析的真好，我们看看小井是怎么算的？我是这样算的，先算沙堆的底面半径三除以二等于一点五米，再算沙堆的体积。 根据圆锥的体积等于三分之一，乘底面积，乘高列示为三分之一乘三点一，四乘一点五，乘一点五，再乘零点八。计算时，三分之一与一点五可以先约分再计算。结果等于一点八八四分米， 因为长方形的体积等于圆锥的体积也是一点八八四分米。 最后计算沙坑里沙子的厚度，因为长方体的体积等于底面积乘高，所以沙子的厚度也就是长方体的高等于长方体的体积除以底面积， 列式为一点八八四除以五乘二的积等于零点一八八四米。在这里，同学们一定要注意换算单位，并保留整数。 零点一八八四米等于十八点八四厘米，十八点八四厘米约等于十九厘米。答，沙坑中沙子的厚度是十九厘米。 感谢小景的提醒，我们在做题时也要像他一样细心哦！正如这两位同学的分析，解决这个问题的关键是把圆锥形沙子转化成长方形形状的沙子后，沙子的体积始终不变。 这是小敏做实验过程中的一幕，请你仔细观察。有什么发现吗？ 我发现把圆锥里的沙子倒入与它等底等高的圆柱形容器中， 沙子的体积不变，底面积也不变，高发生了变化。圆锥型沙子的高是圆柱形沙子高的三倍，所以我猜测等体积等底面积的圆锥与圆柱 圆锥的高是圆柱高的三倍，它的推测正确吗？我们听听小智是怎么推理的。 我们知道，圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一，圆柱的体积等于底面积乘高，因为圆锥的体积等于圆柱的体积，圆锥的底面积等于圆柱的底面积，所以圆锥的高乘三分之一等于圆柱的高， 那么圆锥的高等于圆柱的高乘三。因此，我得出的结论是，等体积等底面积的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱高的三倍。 经过推理，我们得到等体积等底面积的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱高的三倍。那么等体积等高的圆锥与圆柱，它们的底面积之间又有什么关系呢？ 我们听听同学们的想法吧！如果圆锥与圆柱的体积和高都相等，我觉得圆锥的底面积要更大一些，可以弥补圆锥上面少的部分。 这位同学通过直观想象，觉得圆锥的底面积应该更大一些，可是它们的底面积之间有没有倍数关系呢？ 我觉得可以像上面那样推理，圆锥的体积等于三分之一乘底面积乘高。圆柱的体积等于底面积乘高。因为圆锥的体积圆锥的高等于圆柱的高，所以圆锥的底面积乘三分之一 等于圆柱的底面积，那么圆锥的底面积等于圆柱的底面积乘三。因此，我得出的结论是，等体积等高的圆锥与圆柱圆锥的底面积乘三。因此，我得出的结论是，等体积等高的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 看了小敏的推理，相信同学们已经明白了，等体积等高的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。同学们，这节课的学习已经接近尾声，相信同学们一定感受颇多，我们一起来听听小丽的收获。 通过这节课的学习，我知道了研究问题的一般步骤和方法。当我们在生活中遇到问题，可以把它转化为数学问题去解决。结合已知的知识和经验去分析猜想，再动手操作， 实时实验去验证。根据实验结果归纳推理出圆锥的体积等于三分之一，乘底，面积乘高。利用公式去解决一些生活中有关圆锥体积的问题，当然也可以用今天所学的知识去解决新的问题。 希望同学们和小丽一样，不仅学到了新知识，也获取了解决问题的一般方法。屏幕前的同学们，你们想知道这节课自己的学习情况吗？根据以下两个目标，给自己打上对应的等级， 经过课中和课后评价，完成这个总评表，相信同学们一定能获得优秀。这是今天的课后作业，今天的课就上到这里，同学们再见！

的圆锥，圆锥呢？从三，这个三角形的这个顶点向中心的圆心 的之间的距离，圆锥它就只有一条高，就是从顶点向圆心发的这一条高，其他的高取了其他，如果还有其他的，那就全都错了，只有这一个是对的，那这个这中间是个高，那么 现在我们要求它的体积，那圆锥的体积该怎么求呢？圆锥的体积我们想一想，经过史啊。首先圆锥的体积和圆柱有很大的关系，而且我们必须得得到一个条件，他们得等底等高， 他们得等底等高。那么如果我们给他拆下来，把这一个侧面积都给他铺平了，我们会发现他这个三角形是这个长方形的， 他是他的两倍，他是一倍，那么我们给他变成了立体图形之后，他还会是他的两倍吗？经过实验测的证，我们会发现他的体积是他的体积的三倍， 所以说那他的体积是他的体积的三倍，我们就可以求了。上回我们已经推导出来了圆柱的公式， v 等于 s h， 那 既然是他的三倍，那这是圆柱的公式，我们只要反向给它除以三就可以了，那么为了方便，我们就可以直接写成 v 等于三分之一 s h。

我右手是一个什么圆锥？那我现在把这个圆柱和圆锥放到一个平面上啊，你发现了 他俩的这个高度一样，哎，高度是一样，所以这个圆柱和圆锥他俩的高就是相等的。哎，一样的啊，那现在我再给你们变一下啊，这个圆柱和圆锥 他是不是底面什么形状？圆，他是什么形状？圆？好，那我先把这两个圆合起来，成火箭了，成火箭了， 重合了。不？哎，那说明他俩的底面的这个圆形也是一样的。哎，那我就可以称为这个圆柱和这个圆锥，他俩就是什么相等？底面相等，还有什么相等？高相等，那他俩就是等底等高的圆柱和圆锥， ok？ 不 等底等高的圆柱和圆锥啊，那你说他俩体积相等吗？不相等，肯定不相等，是不是？那他俩体积有没有关系啊？ 所以接下来我们就实验演示一下它的体积到底有什么关系啊？我们以圆锥来啊，我现在准备了什么水？那我现在把我的圆锥给它盛满水，好，差不多 平的啊，那我现在要把这个水干什么呢？你们猜猜我要干什么？倒这里，哎，是不是倒这个圆柱里？那我现在倒了啊， 好一半呀，这是一半吗？再看一半，三分之一，哎，看着大概像不像三分之一的样子啊？然后你真正的教具，你的圆柱上应该是有一个刻度的，你看我倾斜一下，看见这个刻度了，不？ 看看是不是有刻度，这是几个刻度啊？三个。这顶上几个刻度？三个三个。再看几个？两个，哪有三啊？这一个，这两个，两个。哈，那我对于一条线来说有两个刻度是把它分成几份？ 三份。哎，分成三份，那也就说明我现在水是他的多少三分之一啊？来，再接着来啊， 我再转灌满这个水不太够了，灌这个我再往里倒一个圆锥。哈，那你想想它到哪了？到三分之二。哎，是不是到三分之二这了？嗯， 好，那它现在是不是圆柱满了？那我再问一下啊，我们刚刚说了，这个圆柱和圆锥什么关系？ 刚才这四个字，哎，非常好。是不？等底等高。那等底等高的圆柱和圆锥，我们通过实验发现圆锥的，你说把水装里是不是相当于可以这个厚度忽略不计？我是不是可以算算它的体积啊？那圆锥的体积就是圆柱的。哎，咱们这。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的最后一个立体。例七，计算不规则物体的体积，那如果这个容器它不是圆柱，它是一个不规则物体，我们又该如何求它的体积呢？来看例七， 一个底面内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平。 无水部分是圆柱形，高度是十八厘米，求这个瓶子的容积是多少？这个瓶子它是一个不规则物体，它的容积能直接计算吗？ 不能直接计算它的容积，那我们能不能把它转化成圆柱进行计算呢？首先我们来看一下瓶子的容积，它包括几部分， 一部分是有水部分的体积，一部分是无水部分的体积。无水部分是个不规则形状， 不能直接求。那我们通过瓶子的倒置把它转化成规则图形，这样瓶子里的水倒置以后，水的体积并没有变化。水的体积加上十八厘米高圆柱的体积是不是瓶子的容积？ 那接下来咱们一起来演示一下。下边是油水部分的体积，它是个圆柱，底面积乘高，可以求上面是个不规则物体怎么办？来我们给他把容器倒置， 这样把不规则的无水部分是不是就转化成了规则图形圆柱，所以瓶子的容积就等于油水部分圆柱的体积加上 无水部分圆柱的体积，那油水部分怎么求呢？底面积乘高，无水部分也是底面积乘高，题中给的是底面直径，直径除以二是半径， pi r 的 平方求的底面积 乘油水的高度就是油水部分圆柱的体积，再用 pi r 的 平方底面积 乘无水部分圆柱的高度，那就等于无水部分的体积，因为他们都有相同的底面积。利用乘法分配率三点一四乘十六乘七加十八的和最后结果等于一千二百五十六立方厘米， 结果问的是毫升，因为一立方厘米等于一毫升，所以等于一千二百五十六毫升。那除了这种把它转化成有水部分的圆柱和无水部分两个圆柱的体积， 你还有别的方法吗？瓶子的容积一部分是有水部分的圆柱，另一部分是无水部分，把它也转化成了规则的圆柱， 如果可以平移，我们把这两个圆柱平移在一起，这样是不是就组成了一个高是七加十八等于二十五厘米的 新圆柱的体积？那我们第二种方法就可以直接求出这个新圆柱的体积就可以了， 它的底面积就是 pi r 的 平方，那么它的高度就是有水部分加无水部分总的高度 就是新圆柱的体积。底面积乘高等于一千二百五十六立方厘米，等于一千二百五十六毫升，这种方法是不是更简单？ 好了，孩子们来回顾反思一下我们今天学习的内容，利用的是体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来进行计算体积。 其实呢，这样的方法我们并不陌生，在五年级的时候，我们计算土豆的体积时，是不是也用了这种转化的方法？好了，根据上面这道题的经验，我们来小试牛刀，看这道题， 一个饮料瓶内直径是六厘米，里面水的高度是十厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是九厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 通过刚才的学习，我们知道瓶子的容积一部分是油水部分圆柱的体积加上无水部分，它是不规则图形，我们通过瓶子倒置转化成了规则的圆柱体， 所以瓶子的容积就包括油水部分的圆柱加上无水部分的圆柱组成的新圆柱的体积。 所以我们先求出新圆柱的高度，十厘米加九厘米等于十九厘米，再用底面积派 r 的 平方乘新圆柱的高度，就等于瓶子的容积五百三十六点九四立方厘米。最后结果问的毫升一立方厘米等于一毫升，所以等于五百三十六点九四毫升。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先我们知道了求不规则物体的体积或者容积，我们利用转化的方法，把不规则物体转化成规则物体，在转化的过程当中 体积不变，并且我们得到了求瓶子容积的模型，把瓶子的容积转化成有水部分和无水部分新圆柱的体积。 心圆柱的高就是有水部分的高度加无水部分圆柱的高度，它的底面积就是这个容器的底面积，所以用底面积乘高就等于心圆柱的体积，也就是瓶子的容积。如果这节课你觉得学的还不错，给自己点个赞吧！

今天给大家分享一道六年级下册圆锥的体积来看题。一个圆柱形容器，底面直径为四十厘米，高三十二厘米， 里面有一些水，把一个底面半径为十厘米的圆锥完全浸没在容器中，水面升高了两厘米。圆锥的高是多少厘米？来看水面为什么会升高呢？ 是因为它放入了圆锥， 那上升水的体积 就等于谁的体积呢？等于圆锥的体积， 它要求圆锥的高，圆锥的高是跟它的体积有关，那我们要得先求出圆锥的体积。圆锥的体积怎么求呢？它等于上升水的体积，所以我们可以求出上升水的体积，其实就是圆锥的体积 来求一求上升水的体积。它是在这个圆柱形的容器当中，那就是以这个为底面积，那它的底面直径是四十，底面半径就四十，除以二 三点一四乘二十的平方，再乘它上升的高度是两厘米， 等于两千五百一十二 立方厘米，这是上升水的体积，其实就是圆锥的体积。我们知道圆锥的体积公式等于三分之一 s h， 我 们已经知道它的体积是二千五百一十二，要求这个高。 我们用二千五百一十二，先除以三分之一，再除以它的底面积。 它的底面半径是十，那它的面积就是三点一四乘十的平方，等于七千五百三十六，除以三百一十四， 等于二十四厘米，求出圆锥的高是二十四厘米。同学们，这道题你学会了吗？