七下数学探索直线平行的条件思维导图

大家好，七年级下册数学第十章相交线、平行线与平移今天我们一起来做一个总复习。 这个单元主要讲同一平面内两条直线的位置关系，它分为两种，一个是相交的位置关系，一个是平行的位置关系。我们先来看相交的位置关系， 像直线相交，对顶角相等，过一点，有且只有一条直线垂直于已知直线。在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线的这段垂线段就是点与垂足之间的线段，我们可以画一下，看一下， 再连接指向外一点一直向上。 垂线段是最短的点到直线的距离，它就是垂线段的长度。 情况就是两条直线被第三条直线所结，当两条直线被第三条直线所结时，会出现同位角、内错角，还有同旁对角 出现四对同位角，内错角两对，同方内角两对，所以这个就是叫做三线八角。同位角它就是 f 型，你看这个角与这个角就是同位角，内错角它是 z 型， 这个角与这个角就是内错角。同旁内角是 u 字型，这个角与这个角就是同旁内角。 条直线被第三条直线所结，如果同位角相等，则这两条直线平行，如果内错角相等，则这两条直线平行。如果同床内角互补，则这两条直线平行，这个就是平行线的判定。相反， 如果我已经知道这两条直线平行，那么就会出现两直线平行。同位角相等，内错角相等，同方位角互补，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 接着我们就学习了平移，一个图形与他经过平移后所得的图形中连接，各组对一点的线段互相平行，而且相等。平移，只改变图形的位置，不改变图形的大 和形状。好了，七年级下册数学第十章我们今天就复习到这里，以后我们每天都会拍七年级下册总复习试卷上的题目。好了，我们明天再见。

大家好，今天我们一起学习一下平行线。你看，这条笔直伸向远方的马路路边的白线，就像两条永远不会吵架，也永远不会碰面的好朋友。 定义来了，在同一个平面内不相交的两条直线，就叫平行线，注意避坑啦！一定要强调，同一平面，要是两条线一上一下，完全不在一个平面，虽然不相交，也不能叫平行哦。 在这个平面里，直线要么相交，要么平行，没别的路可走。那怎么画平行线呢？ 记住咱们的六字口诀，一贴，二推、三划。这里有个非常有名的基本事实，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 就像你站在路边想画一条跟马路平行的线，只有那么一个唯一的方向。另外啊，如果 b 和 a 平行， c 也和 a 平行，那么 b 和 c 自然也是好兄弟，它们互相平行。 好，这他们，咱们怎么判定两条线是不是平行呢？停顿，这就是有角顶线。 记住这三个绝招，第一，同位角相等。第二，内错角相等。第三，同旁内角互补，也就是加起来等于一百八十度。 只要这三个条件里有一个成立，嘿，这两条直线就一定乖乖的平行了。咱们来看个实战，如果两条直线 b 和 c 都垂直于同一条直线 a， 它们平行吗？ 你瞧，垂直意味着角度都是九十度，既然角一等于角二都是九十度，这不就是同位角相等吗？所以啊，结论很明确，这两条直线一定平行。 同学们，咱们的工具箱里现在有两栏工具了，左边是判定，是看角相等来证明线平行，右边是性质，是已知线平行去推算角相等。 你看它们长得非常像，但逻辑方向是完全相反的，千万别拿错工具喽！真正的高手啊，会玩逻辑接力。 有时候我们要先用判定工具证明线平行，然后利用这个平行，反手掏出性质工具，去求另一个未知的角。这就像是一场环环相扣的推理，从已知到未知，逻辑之美就在这里， 避坑指南来喽！很多同学会把这两个概念搞混，请记住，判定是因为角所以线，它是寻找平行的证据。而性质是因为线，所以角，它是利用平行的结果。 下次做题前，先问问自己，我是想求角呢，还是想证明线平行呢？想清楚了再动笔，保你不出错。瞧瞧这个三角形里的例子，简直是逻辑双截棍。 第一步，因为角 a、 d、 e 和角 b 都是六十度，同位角相等，所以 d、 e 平行于 bc， 这是用判定。 第二步，既然线已经平行了，那么内错角角 c 就 一定等于角 a、 e、 d， 也就是四十度。这是用性质，你看，熟练切换工具，难题迎刃而解。 按情描述，我们要给屋顶加根横梁 d、 e， 必须让它跟底下的 b、 c 平行。已知角 a、 b、 c 是 三十一度，那么角 a、 d、 e 该是多少度呢？ 依据同位角相等，两直线平行，咱们的衡量角度也必须是三十一度。结案，屋顶稳稳当当的了。这次是挖水渠，水渠转了两次弯，最后还得跟原来的方向保持平行。 第一次拐角 a 是 一百三十五度，第二次拐角 b 应该是多少？根据两直线平行，同旁内角互补，用一百八十度减去一百三十五度，得到四十五度。 或者你延长一下线段看看，利用内错角相等，也能推出来条条大路通罗马，对吧？侦探请注意，这一堆选项里，谁才是证明 a 平行于 b 的 确凿证据。 选项 a、 b、 c 都差点意思，只有选项 d、 l 一 等于 l 三，因为它们是完美的同位角关系。 记住，只有找准了位置关系，证据才有效。咱们再来深度浅问两个问题。问题一，角一等于角三时，直线平行吗？ 当然，因为它们是内错角。那如果角二加角三等于一百八十度呢？也平行，因为同旁内角互补，只要判定工具用的对，再乱的线也逃不出你的法网 来。看这个复杂的证据链，已知线已经平行了。第一步，通过内错角相等算出角二等于八十度。第二步，通过同位角相等算出角三等于七十度。 第三步，利用平角是一百八十度的常识，算出角四是一百一十度。你看几何题就像拨洋葱，一层一层拨开，真相就大白了。在梯形铁片里，上下底 d、 c 和 a、 b 是 平行的， 既然平行，那同旁内角互补，这把宝剑就可以出鞘了。 a 加 d 等于一百八十度，算出 d 是 八十度。同理， c 就是 六十五度。记住，梯形里平行的那两边才是我们解题的关键哦！ 好了，咱们的平行线之旅到站了。我们掌握了三大判定和三大性质，核心就是处理线与角的关系。 数学的逻辑就是把复杂的问题化归为基础之事。只要你心中有这张地图，几何题就再也难不倒你。好了，今天就到这里，下次再见！

你已经学过三种平行线的判定方法，这个视频我来给你讲讲这些判定中的易错点。比如告诉你，角一和角三是内错角，角二和角四也是内错角。如果要让 a、 b 和 c、 d 平行，应该让哪组内错角相等呢？完了，晕菜了，怎么看着都可以，别激动， 咱先来看看最基本的情况，内错角相等，两直线平行。这里的两条直线刚好就是 z 字的上下两横，简单的说就是内错角相等， z 的 两横就平行。那么现在问题就理清楚了， 想找平行就得画 z 字。再回到刚才的问题，先看角一和角三构成的 z 字，上下两横分别是 a、 d 和 b、 c。 也就是说，角一等于角三时，只能得到 a、 d 平行于 b、 c。 再来看角二和角四构成的 z 字，这时 z 的 上下两横分别是 a、 b 和 c、 d。 所以 角二等于角四时， a、 b 平行于 c、 d。 看来要满足 a、 b 平行于 c、 d， 只能让角二等于角四。好了，总结一下，平行线判定时，最容易错的就是找错内错角，在找的时候，你得死死盯住这字形，这两横要平行，就得让所夹的内错角相等。

大家好，有思路就有出路，分类思想在平行线的相关计算中用的非常之多。什么是分类思想呢？简单来说，在解析时，根据问题的不同情况进行 分类讨论，确保不遗漏任何一种可能性。其思维过程可以分为，第一，确定分类的对象。第二，确定分类的标准。 第三，层层分类讨论，最后合并归类。结论，在思维导图中，按点的不同位置分类，按先的不同位置分类，这就是分类的对象。下面我们举例说明。 已知 a、 b 平行于 c、 d， 角 b、 a、 d 等于五十度， b 为 c、 d 上的一点，点 p 在 直线 a、 d 上，当点 p 在 直线 a、 d 上运动时，求角 p e、 c 与角 a、 p、 e 之间的数量关系， 思考一下这里的分类对象是什么？分类标准又是什么？通过分析之后，我们知道点 p 这个动点就是分类的对象。然后点 p 在 a、 d 的 延长线上，点 p 在 a、 d 之间，以及点 p 在 d、 a 的 延长线上，这三类就是分类的标准。有了对象和标准之后，我们开始进行讨论计算。为了简化书写，我们设角 p、 e、 c 等于角一，角 a、 p、 e 等于角二，角 a、 d、 c 等于角三。因为 ab 平行于 cd， 角 b、 a、 d 等于五十度，所以角三也等于五十度，这是因为内错角相等 于。当点 p 在 a、 d 的 延长线上时，而这个点上的时候，可以知道，角一等于角二，加上 角 p d、 e， 一个三角形的 y 角等于与它不相邻两个内角的和。这里角 p、 d、 e 是 等于一百八十度， 减去角三的角三又等于五十度，所以就等于角二加上一百三十度，所以角一减去角二就等于一百三十度，即角 p a、 c 减去 角 a， p e 等于一百三十度。二、当点 p 在 线段 a、 d 之间时，角一就等于角三加上角 d p e， 角三等于五十度。角 d p e 是 等于一百八十度。 减去角二，所以角一加上角二就等于两百三十度，即角 p e、 c 加上角 a， p e 等于两百三十度。第三，当点 p 在 d a 延长线上的时候，角一就等于角二，加上角三就等于角二加上五十度， 所以角一减，角二就等于五十度，即角 p e、 c。 减去角 a， p e 就 等于五十度。 下面开始合并计算，我们是角一、角二、角三，因为 a、 b 平行于 c d， 角 b a、 d 等于五十度，所以角三等于五十度。 分别讨论有三种，如图二，当点 p 在 a、 d、 d 延长线上的时候，我们得到的结论是，角 p e、 c 减去角 a， p e 等于一百三十度。第一个是指，如图是当点 p 在 线到 a、 d 之间的时候， 我们得到的结论是，角 p e、 c 加上角 a p e 等于两百三十度，这是第二个是指。如图六，当点 p e 在 d a 的 延长线上的时候，得到的结论是，角 p e、 c。 减角 a p e 等于五十度，这是第三个是指。小节本利中用点 p e 在 直线物理上运动时，有三个结论，用到的思想就是分类思想，分类讨论，一题多解。如果有点和线的位置不确定的情况，我们在解析的时候一定要多一个心眼，注意分情况讨论， 以避免漏解。以上方法你学会了吗？欢迎在评论区留言讨论！

好，今天我们开始第七章的学习平面图形的认识。二、首先来看七点一，探索直线平行的条件。一、在上新课之前，我们先来复习一下之前的知识点。 怎样的两条直线叫做平行线还有印象吗？ 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，这是平行线的定义。平行线的定义包含三层意思， 一、在同一平面内是前提条件。二、不相交是指两条直线没有交点。三、平行线指的是两条直线，而不是两条射线或两条线段平行的表示。下图中的两条直线互相平行， 记作 a 平行于 b 读作 a 平行于 b。 也可以记作 a、 b 平行于 c d 读作 a b 平行于 c、 d。 这里面需要注意的是，直线可以用一个小写字母或两个大写字母来表示，直线 a 和直线 a、 b 是同一条直线，直线 b 和直线 c、 d 也是同一条直线，这里需要大家记住。接着看一下平行线的画法。 首先画一条已知直线，将三角板的一边与已知直线完全重合， 将直尺与三角板的直角边靠在一起，将三角板往上推，画出直线， 所画的直线与已知直线平行，这就是平行线的画法。平行线画法分为四步，一放、二靠、三推、四画， 这些都是我们之前学过的一些知识，今天我们开始学习新的知识。两条直线 ab 与直线 c 相交。我们来看一下直线 a、 直线 b。 直线 c 相交，则称直线 a、 b 被直线 c 所结，直线 a、 b 称为被结直线，直线 c 为结线。在 a、 b 被 c 相交的过程中，我们发现形成了八 角一、二、三、四、五六七八这八个角，我们把它表示出来，好，表示出来以后，我们看看这个图形，就是我们所说的三线八角图。 三线八角图有什么用处呢？就是我们今天所要研究的这八个角的位置。首先我们来看线，再看一下三线八角，直线 i、 直线 b 被直线 c 所结， a、 b 称为被结线， c 称为结线，形成了八个角。这八个角中，今天我们先来研究角一角二的位置特征。我们首先来看 看一下角一角二长出什么样的特征啊？他在直线 a 的上方，角二也在直线 b 的上方，并且角一角二在直线 c 的右侧，大家发现了没有，他们在被结线的 同侧，也就是说在被结线的上方，且都在第三条直线，也就结线的同旁右侧。那我们将角一与角二这样的一对角称为同位角。好， 同位角，两条直线 a、 b 被第三条直线所结而成的八个角中，像角一与角二这样的一对角， 我们称为同位角。再来看一下刚刚学过的角一角二的位置特征。角一角二分别在直线 ab 的上方，并且在直线 c 的同旁，也就右侧，那这样的一组角称为同位角。 那我们来看一下同位角的特征，大家能明白吗？那我们找一下角三和角四， 看看是不是同位角。我们发现角三角四在直线 a、 直线 b 的上方，在直线 c 的右侧，左侧，那么说角三角四也是同位角。 再来看一下角五和角六，角五和角六在直线 a 和 b 的下方，在直线 c 的左侧。哎，我们发现角五角六也符合角一角二所在的那种特征，那所以角五和角六也是同为角，角七和角八呢？我们发现他也在直线 a、 直线 b 的下方，在直线 c 的右侧， 所以说角七、角八也是同位角。所以我们总结出同位角的特征， 在背叠直线 a、 b 的同侧，同为上方，同为下方，同为右方，或者是同为左方， 且都在结线的同旁，你看都在结线的同一旁，所以同位角的特征是在背结直线 a、 b 的同旁，在结线 c 的 同旁。记住了啊，好，我们来看一下例题，如图，角一与角 c 是同位角吗？我们来找一下角一、角 c。 我们看一下角一和角 c 的两条边。角一的一条边是 d、 e， 另一条边是 a e。 角 c 的一条边是 b、 c， 另一条边是 a、 c。 我们发现角一和角 c 有一个共同的边在同一条直线上， 所以说这条指所在的直线，就是他们的节线 a、 c 所在的直线是节线 d、 e 所在的直线和 b、 c 所在的直线是倍节直线。我们发现角一角 c 在倍节直线 d、 e 和 b、 c 的上方，在结线 i、 c 的左侧，所以角一、角二是同位角，那它是同位角的话，是直线谁啊？直线 d、 e、 b、 c 被直线 i、 c 所结， 大家明白了吗？好，继续看角二与角 b 是同位角吗？我们再找一下角二的两条边，一个是 a、 d 所在的直线，一个是 d、 e 所在的直线。 接着来看一下角 b 的两条边，一个是 a、 b 所在直线，一个是 b、 c 所在直线 i、 d 跟 i、 b 所在直线是同一条直线，因此 i、 b 所在的直线是结线。第一， e 和 b、 c 是背结直线，我们发现角二和角 b 在结背结直线 d、 e 和 b、 c 的上方，在结线 a、 b 的右侧， 所以角二和角 b 是同位角，是直线 d、 e、 b、 c 被直线 a、 b 所结形成的同位角。好，再继续看角三与角 c 是同位角啊。我们找一下角三的两条边， 一条是 b、 f， 一条是 d f。 角 c 的两条边，一条是 b、 c， 一条是 i、 c。 那我们会发现 b、 f 和 b、 c 在同一条直线上，所以说 b、 c 所在的直线就是节线 d、 f 和 i、 c 所在的直线就是被接直线。 角三和角 c 在背截直线 d、 f 和 i、 c 的左侧，在结线 b、 c 的上方，所以符合同位角的特征。那么角三和角 c 是同位角， 是直线 d、 f、 a、 c 被 b、 c 所结的同位角。 看一下练习。如图，角一、角二是同位角的是。我们首先来看 a， 角一的两条边是 这边和这边，角二的两条边是这边和这边。我们发现角一和角二有一条边在同一条直线上，所以他们符合是三线。 再来看一下他们都在背节直线的上方，在节线的右侧，所以角一角啊，是同位角。我们继续来看一下 b， 我们看到角一的两条边是这一条和这一条，角二的两条边是这一条和这一条，那我们发现他已经有四条直线了，不符合我们三线八角，所以他是错的。 再来看一下第三个，角一的两条边是这边和这边，角二的两条边是这边和这边， 那我们发现也是四条线，所以他也不符合三线八角。第四个，我们来看一下角一的两条边，是这条边和这条边，角二的两条边是这条边和这条边。那有的同学就说了，老师这个是三线， 这个是三线。但是看看同位角的特征，必须在节线的同旁，它符合在节线的同旁都在左侧，可是一个是在背节直线的上方，一个在背节直线的下方，所以角一和角二不是同位角。因此这个题目 只有 a。 角一和角二是同一角。我们继续来看一下。在下面有三个图，我们观察一下 角一。第一个图里面角一和角二是不是同位角。是的，第二个图里面角一和角二也是同位角，第三个也是同位角。再来看一下角，第一个图里面角一大于角二，第二个图里面角一等于角二， 第三个图里面角一、角一、角二。那我们把第一个图里面的直线 a 和直线 b 延长，我们发现他们相交。 将第二个图里面两个图两条直线延长，发现他们是平行的。第三个我们延长以后发现他在上方也是相交的。那我们发现当同位角相等的时候， 两条直线平行，当同位角不等的时候，两条直线不平行。所以我们现在再来看一下角一与角二在位置上是什么关系。首先角一跟角二，角一和角二在位置上是 同位角的关系， 因为他们都在两条结背结直线的同侧在结线的同旁。在两条背结结线的同侧在结线的同旁， 所以角一和角二是同位角的关系。当角一和角二满足什么关系的时候，两直线平行呢？那发现第一个图角一是大于角二的，我们也发现 了角、直线 a 与直线 b 不平行。第二个图是角一，角二是相等的，那我们发现直线 a 和直线 b 是平行的，所以我们可以得到 当角一不等于角二时，两条直线 ab 不平行，当角一等于角二时，两条直线 ab 平行。因此我们可以得到判断两条直线平行的方法， 两条直线被第三条直线所结，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单的说，同位角相等，两直线平行。 用几何语言来描述一下，因为角一、角二是直线 a、 b 被 c 所结的 同位角，且角一等于角二，所以直线必平行于 i， 理由是同位角相等，两直线平行。 这个就是判断两条直线平行的方法。大家一定要记住同位角相等，两直线平行，并且要学会用几何语言来描述。 我们通过前面画平行线的原理，我们知道前面呢？画平行线是这样画的，是不是是先拿画一条已知直线，三角板靠在上面，然后往上推的，然后构成的 这两条直线是平行的，那我们来看一下，我们把它往下平移，我们发现是角一等于角二 啊，我们发现角一、角二是同位角，同位角相等，两直线平行，他利用的是同位角相等，两直线平行这样一个原理。同样的，我们看看这幅图也是这个道理。 十八、同位角相等，两直线撇应，因此 我们得到判断两直线平行的定理条件就是两同一角相等，两直线平行。 我们看一下立二立二是如图，角一等于角二，角一等于角二，角 二等于角 c。 我们用一个等量代换角一等于角二，角二等于角 c 的话，那我们可以得到角一等于角 c， 角一等于角 c。 我们发现角一等跟角 c 相等， 角一和角 c 在 c、 d 和 a、 b 的上方，在 a、 c 的右侧，所以角一和角 c 是同位角，因此 a、 b 平行于 c、 d。 同样的角二跟角 c 相等，那么 b、 d 跟 a、 c 也是平行的，所以我们先写出结论， a、 b 平行于 c d， a、 c 平行于 b、 d。 再写出理由， 因为角一与角 c 是 a、 b、 c、 d 被 a、 c 结成了同位角，且角一等于角 c， 所以 a、 b 平与 c、 d。 理由是同位角相等，两直线平行。同理 i、 c 平与 b d。 好，今天的课就到这。

hello， 大家好，这节课咱们来学习第二章，相交线平行线的第二节，探索直线平行的条件的第一课时。 在生活中，人们经常会用到平行线，比如说图一， 装修工人要在墙上定木条，如果木条 b 和木条数值的木条垂直，那么木条 a 与数值木条所成的角度是多少度的时候，就能让 a 跟 b 是 平行的。 那么这个根据我们的生活经验，其实大家就能够感受的到，如果 b 跟这个墙这垂直，那我 a 是 不是也得垂直，他们两个就能平行啊？ 垂直的话就代表着它们的到强的度数都是相同的。如图二，如果木条 b 不 和竖直，木条垂直的时候，这时候咱们怎么能够让 a 跟 b 平行，就不太好实现了。 那么我们在学平行线的判定条件呢，就是为了解决如何能够使两条直线平行，那么使两条直线平行的这个方法，咱们就叫做平行线的判定的条件。 我们一起来走入今天的一个探求过程。嗯，探求一同位角的概念。 我们首先先来认识一下什么叫做同位角，怎么去寻找它们的一个相关性。 如图一所示，三根木条两两相交，分别交出了角一，角二固定木条 b， c， 让 b、 c 固定住，然后呢，我们来转动这根木条 a。 第二个图如图二所示，在木条转动的过程当中，会发现角二发生了变化，以及它和角一的大小关系也在变化， 你发现木条 a 与木条 b 的 位置关系也发生了哪些变化？ 有的时候是平行，有的时候是相交，那木条 a 何时和木条 b 是 平行的，与同伴进行交流， 通过旋转呢？其实咱们能够看得出来，当图二中的 b 二幅图这种情况的时候， 木条 a 跟木条 b 应该是平行的。这个时候咱们同学来量取一下角一和角二的度数，你就会发现这两个角的度数是相等的， 所以我们从角度的方面来说明，两条直线平行，就可以说当角一跟角二相等的时候，这两根木条就 平行了，哎，我们继续看这图二中的三种情况，第一种情况的时候，角二比角一要大，这个时候 a 跟 b 是 不平行的。 第二种情况，角一和角二是相等的，而在这种情况下， a 跟 b 是 平行的。第三种情况，角二比角一要大，这时候 a 跟 b 也是不平行的。 改变图一中角一的大小，哎，图一中角一就像我上面这三幅图一样。 接下来呢，我把角一改变一下，然后按照一中的方式再做一做。我们能不能发现，当角一角二满足什么关系的时候， a 跟 b 才平行， 其实我们变化之后，我也会发现，只有当他俩相等的时候才能够平行。 下面我们来思考这个问题，观察角一跟角二的位置，你能发现什么特点？ 咱们会发现呢？角一和角二它都在右上角的这个位置，哎，就属于相同方位上的角，都有点近似，于是在东北方向的那个位置，那角一角二是不都是啊？ 哎，那么我们再看角三角四呢，是不是也都有点类似于在西北方向的那种感觉？角七角八是不是也类似于在同一个方位啊？角五角六呢，也在同一个方位， 那么我们把这样在同一个方位上的这种角，咱们管它叫做同位角，哎，就相当于简称了吧。在同一个方位上的角，咱把它简称为同位角。 直线 abcd 被直线 l 所截，它会产生八个小角， 咱们把这幅图叫做三线八角图啊，三条线八个小角的图叫三线八角图。而像角一跟角二这样位置关系的角，他们的特点是，第一个 都在被截直线 a、 b、 c、 d 的 同一侧，哎，在同一个侧面，而且都是在上方， 在截线 l 的 同一旁，哎，都在上方，都在 l 的 右侧， 并且他们的相对位置是相同的，哎，都在上方，都在右侧，相对位置都是右上，那么我们就把这样的角叫做同位角。 像角一跟角二这样位置关系的角，咱们就管它叫同位角。所以你能总结出同位角的定义吗？咱们就总结出这样的一个，呃，定义啊，主要是要会找，这是最重要的。然后我们一起来总结一下它的概念吧。 首先是两条直线被第三条直线所截，位于两条直线同一方，而且在第三直线同一侧的两个角，就叫同位角。 哎，大家也可以像我最开始教大家一样，你可以理解成啊，他们都在东北，他们都在西南，哎，类似于这种的，他们就叫同位角。 那么让我们在图中再找出其他的同位角，刚才我们是不是已经找过了呀？哎，比如说角三和角四都在，呃，西北，角五跟角六都在东南，角七跟角八都有点类似于在这个西南的意思啊， 一定要会找这个同位角啊，前提条件是三线八角图，呃，变式图形图中的角一跟角二，它们也都是同位角。比如说第一个是左边这两条线被倾斜的这条线所截，产生了角一跟角二 啊。右侧的包括下边这两个，它们也都属于同位角。相同方位上的角有些大有些小，但它们的关系就叫同位角。 在形如字母 f 的 图形中都会存在这种同位角，我们看上面这四种图形，是不是都有点类似于像 f 型啊？ 下面我们对应着做一道练习哈。下列图形中，角一跟角二不是同位角的，是。咱们依次来看一下。首先先来看 a 图， a 图的话呀，我们可以把这个角一跟角二看成是 右侧的这两条线被左侧这条线所截，在同一个方位上的角，只是角移大了一点，它们都相当于在东北方向。然后 b 选项呢，这个就不是了， b 选项这里边，哦，这个好像也是啊，这个也是啊，咱们来看一下啊。 b 选项我们可以看成是角一，由中间上边这条线，角二呢？下边这条线被 这块不知道能不能看到啊？被倾斜的这条线所截产生的角一和角二，哎，也就是相当于什么呢？中间这两条平行线，咱们把它拿掉， 当你把中间水平这两条线拿掉之后，他们刚好形成了我们同位角的三线八角图 啊，所以 b 是 可以的。再来看 c、 c 的 话，咱们看角一角一的两条边，你看好，角二的两条边，你看好，你发现 这四条边没有重合的，说明这两个角的产生是由四条线组成的。而我们三线八角的话呀，它一定这两个角的产生是由三条线所产生的，那就比如说 b 选项， 把中间两条线去掉，是不是这三条线产生俩角？ a 也一样啊，看三条线产生俩角，并且他们在同方位的，那就满足三线八角。同样的 d 选项，咱们把这个水平这两条线拿走， 哎，是不是剩下三条线刚好产生了角一跟角二，并且它们在同一个方位上也属于同位角，所以这道题选 c 选项，这个题非常好啊，能够检验我们对于同位角的一个理解。 接下来呢，同位角的判断方法，在这里边我们有一个简单的归纳， 判断两个角是不是同位角的有效方法，有一个方法叫做描图法，一， 把两个角在图中描画出来，就画这两个角，看看它们有几条线组成的啊。第二，找到两个角的公共边，如果这一个角是有两条线组成的，如果这两个角没有公共边，那么这两个角一共就是由四条线组成的， 就肯定不符合。当出现一个公共边的时候了，那么他满足三线八角 还要判断方位的问题，是不是，哎，所以第三步呢，在判断所属的这个字母的类型是不是 f 型，哎，因为这个同位角最后产生一定是类似于 f 型的。 好，下面我们再做第二个判断，利用同位角来判断两条直线平行， 将其特殊位置抽象成几何图形。在前边我们进行旋转木棍的时候，是不是出现了平行的这一特殊位置啊？此时角一跟角二，咱们现在知道了哦，它们叫同位角， 当它俩相等的时候，我们就能够得到这两条直线是平行的，左边是一个呃实物图，我们在右侧呢，给它抽象成一个几何图形，也就是直线。 假如说 a、 b 分 别抽象成呃 l 一 和 l 二，它们被直线 b 所截，产生的角一和角二是它们的同位角。 在上面操作过程当中，我们就能够发现判断两条直线平行的方法之一，就可以说成这两个同位角相等，两条直线就能够平行了。那么我们来具体完整的总结一下 两条直线平行的判定方法。第一条，两条直线被第三条直线所截，这是前提条件，如果同位角相等，那么这两条直线就平行， 简称为同位角相等。两直线平行它有什么用？就是为了让你证明两条直线是平行的。通过这句话我们就会发现， 那你想证明两条直线平行，咱们就得先证明同位角相等，只要你能够证明同位角相等了，就能说明两条直线是平行的。 两条直线平行的时候呢，就像咱们垂直一样，我们也有平行符号，两条平行的小线，直线 a 与直线 b 平行，咱们就记作这个样子，读作 a 平行于 b。 下面我们再来看一下这里边是几是文字的描述，那么我们最终证明的时候，要落实到几何语言上边，也就是我们所谓的应用格式，咱们看具体格式怎么写。 因为角一得角二，所以 l 一 平行 l 二，那这个角一得角二在哪得的呢？是要通过你去证的。 哎，你需要说明，通过推理呀，论证啊得，只要你能得出角一得角二，你就可以立刻下结论，所以 l 一 平行 l 二了。所以我们其实证明两直线平行就是正这俩角 相等。哎，你要明确这个概念。好，下面我们来对应着做一道练习题，如图所示，角一得角二，哎，他俩离得有点远， 让我们来说明 ab 跟 cd 的 位置关系。解，先答 ab 平行 cd， 理由如下，因为角一得角二， 角二再借助一个角三，因为他俩离得远，离得远的话呢，就相当于是两个朋友，就两个人不认识， 但是最终呢，我是想让他们两个能够更好的建立起联系，就需要借助一个第三者，所以呢，角三在这里边就起到了第三者的作用， 角一跟角二相等，而角二我们还知道他一定是跟角三相等的，后边背了个括号，大家知道什么意思对不对？让我们解释原因，因为他俩是什么关系？对顶角，所以这个位置咱们就填对顶角相等， 所以你看，角一得角二，角二得角三，所以角一等于什么就等于角三了呗。为什么我们说管它叫等量代换，一定要记住这四个字叫等量代换， 所以 ab 就 平行 cd 了。哦，有角一得角三了，角一跟角三它俩有没有一定的位置关系啊？有，叫同一角，那么 倒数第二行字我要翻译过来就是同位角相等了，哎，你赶快给我得什么两直线平行了，所以最后的括号我们填的就是同位角相等，两直线平行。 好，下面我们再来探讨第三个事情，叫平行线的画法以及性质。 你能借助三角尺来画平行线吗？哎，小明同学呢，按照如图所示的方法，画出了已知直线的平行线，让我们来说明其中的道理， 它是怎么画的呢？这个图像大家不知道能不能看得清哈。 首先呢，他先画了一条水平的直线，相当于再借助一个直尺，然后在这个两一副三角板也可以啊，把一个三角板呢先固定在水平方向上，然后另外一个三角板， 如图二所示啊，如图二另外一个三角板呢？呃，使其一条直角边跟它重合，然后沿着这条斜边画一条黑线，大家看没看到，然后就到第三幅图上，第三幅图的话呢，是平移上边这个三角板， 到了某一个位置再画一条，再把这个斜边画一条直线，这样我们画出的这两条直线就一定是平行的。 为什么呢？大家能看到就是笔尖所在的这个位置，三角上面这个三角板本身呢，是两个四十五度的， 所以说呢，你在平移的过程中，四十五度没有发生变化，就相当于出现了两个四十五度的角，那么根据这个同位角相等，两直线平行，咱们就能知道你画的这两条线就一定是平行的了 啊。大家有兴趣可以自己用笔来试一下，因为你画出这两个四十五度，他俩的位置关系就是个同位角的关系啊。归纳一下，用三角尺和直尺画平行线的方法 叫两靠一移一划。哎，来咱看一下啊， 哎，两靠哪两靠？第一靠呢，是把这个两个三角板先在下面这个位置靠一次，然后第二次呢，把它移上去，再靠一次， 并且画出两条线，那么这个红线跟蓝线就一定是平行的，因为在左上角的这个位置 都是四十五度，两个同位角四十五度相等吗？我们根据的依据就是同位角相等，两直线平行，大家既要会画，又要能理解它的原理啊， 然后对应着呢，就有一个尝试思考，说，你能过直线 ab 外一点 c 来画直线 ab 的 平行线吗？你能画出几条？这个肯定是能画的，对不对？ 通过直线外的这个点 c， 咱们用直尺或者是三角板配合，一定能够画出一条和 ab 平行的线，但是能画多少条？ 除了你平行的这条线之外，如果你稍微倾斜一点，是不是就要跟下边 a、 b 相交了？哎，可能在延长线的地方相交。所以说呢，我们过这条直线外边这个点 c 只能画出一条跟 a、 b 是 平行的。那么在这里边 我们就有一个结论，只能画一条过直线外边的一个点，有且只有一条直线与已知直线平行啊，只有一条线跟它平行。 我们再来思考一下，在图中分别过 c 跟 d 画直线 ab 的 平行线 e、 f 和 g h， 那 么 e f 和 g h 又有什么样的位置关系？我们先用直尺给它画出来，先画个 e f 跟 ab 平行， 再画一个 g h 也和 ab 平行，那么咱们会发现，那这三条线肯定就都是平行的。 结论就是平行于同一直线的另外两条直线也平行，咱们把它叫做平行线的传递性。 几何语言怎么来写？我们尝试着看一下，也就是说，如果 b 平行于 a， c 也平行于 a， 那 么 b 平行于 c， 这个就是我们这个几何语言，它可以叫做平行线的传递性。 下面我们再对应着看一道练习题，如图所示，将一张长方形的硬纸片 a、 b、 c、 d 对 折后，打开折痕是 e、 f 把长方形平摊在桌面上，另外一个面呢？ c、 d、 f、 e 无论怎样改变位置，都有 c、 d 平行 a、 b 存在，对不对？ 哎，那这个是肯定正确啊，因为本身长方形纸片对边就是平行的，那么你对折之后， e、 f 也一定和每条边都平行， 那么你 ab 跟 cd 是 不是就平行了？应用的是不就我们刚刚所讲过的这个平行线的什么传递性啊？来，我们一起简单的看一下啊。根据平行线性质的推论就能得出答案， 因为 c d 平行 e f， 而 e f 又平行 ab， 所以 c、 d 永远都平行 ab。 好 了，下面我们对应着来看两道这节课的例题啊。来，第一个，如图所示，已知 直线 a、 b、 c、 d 被 e、 f 所截。哎，通常都要表述这个问题啊，谁哪两条直线被哪条直线所截？ 告诉咱们，角一加角二一百八。那咱们先看一下图，角一跟角二离得有点远，他们两个在图中好像并没有直接的一个位置关系，但是告诉他俩相加得一百八了，我就得找到什么第三者来建立他们的关系。 根据平角的概念呢，咱们能知道，正常情况下，这个角二加上他隔壁的那个是一百八 啊，那角一加角二也是一百八，那咱们是不是就能用等量关系得到角一跟某个角是相等的呀？哎，也许角一跟那个角之间就存在一定的位置关系呢？ 让咱们判断平行嘛，说明理由发没发现又是几问题？两问题，所以咱们得先做什么判断？答，平行 啊，这里借助这个角三啊。答，平行，然后写，理由如下，因为角一加角二等于一百八，这是已知，那咱们借助了角三之后，角二加角三也等于一百八平角的定义。 哎，这个东西已知条件不会告诉咱们，咱们看出来了，它就是存在的，像平角啊，对，顶角啊，只要它存在就可以当已知条件写。但是呢，我们在写的时候写平角的定义， 所以角一跟角三就相等，还记得这是什么原因了吗？角二跟角， 角一和角二，它俩是互补的关系，角三跟角二也是互补的，所以我们叫什么了？叫做同角的五角相等。哎，同一个角的两个补角相等吧，来，我们继续。 所以角一得角三，大家注意啊，这里不能写等量代换啊，要写同角的补角相等，角一得角三来看角一角三什么位置关系？它俩是同位角的关系啊， 那同位角的相等了，咱们是不就能下结论了？所以这两条直线就平行了，那括号的我们就写同位角相等，两直线平行。 我们现在刚开始接触这种几何说理啊，大家一定要把它好好的理解一下，因为后边我们的几何证明非常多，都要用到类似的说理情况。 下面我们再来看第二个例题，如图所示， t、 q 是 直线 e、 f、 y 的 两个点。第一，问，过点 p 来划直线 ab 平行 e、 f 过点 q 画 c、 d 平行 e、 f， 那 我们用直尺画出来就可以了，但是画的时候大家要注意，要写如图所示画出来， 并且字母要标注上啊，严格按照人家的要求来做啊。第二，问问咱们 a、 b 跟 c、 d 有 怎样的位置关系？为什么 考察的是不是咱们的平行线的什么传递性啊？哎，但是两问题还是得先答哎再说理由，因为 ab 平行 e f， 而 cd 呢，也平行 e f， 所以 ab 就 平行 cd 了。 好了，这就是我们这节课所讲的平行线的探索条件的第一个介绍了什么叫同位角， 并且呢，学习了直线平行的第一个判定条件，同位角相等，两直线平行。 同时呢，咱们也学习了平行线的两条性质，第一条是过直线外一点有一条直线，它平行。第二个呢，是平行线的传递性。大家记住啊，咱们现在学了两条性质了。 好的，后面有一些对应的题型，大家可以看一下。 好的，那么我们这节课的内容就上到这里。

这是一道七项必考题，百分之八十的人都会做错，你爱挑战吗？如图所示的长方形纸片 a、 b、 c、 d 将纸片 m、 n 折叠， m、 b 与 d、 n 交于点 k， 若角一等于七十度，则角 k、 n、 c 等于多少度？角一等于七十度。要注意下，角一和角二是一组同旁内角， 那么长方形的对面是平行的，那两直线平行，同旁内角互补，就有角一加。角二等于一百八十度。所以知道角二就等于一百八十度。减角一也就是一百八十度。减七十度等于一百一十度。 角二和角 mnc 是 折叠前后的，角是相等的，角二等于角 mnc 都等于一百一十度。角 mnc 和角一是一组内错角，两直线平行，内错角相等就等于七十度。要求角 k、 n、 c 就 等于角 m、 n、 c 减角 m、 n、 k 就 等于一百一十度。减七十度 等于四十度，所以角 k、 n、 c 等于四十度。

哈喽，同学们，大家好，欢迎来到光光老师的数学课堂。那今天我们继续学习七点二点一平行线的概念哈，但是来到了知识点三，我们来一起学习一下平行的公里。 那首先平行的公里是什么？来，我们一起看一下，他说是过直线外的一点，有，并且只有一条直线会跟这条直线平行， 那这句话已经很通俗易懂了，对吧？但是我们要注意一个细节，它有外字，看到没有？ ok， 好， 来我们看一下图哈，就更好理解了。比如说来，看到我们的图二，已知直线 a 在， 这对不对？那过直线外的一点点 p 做 a 的 平行线会有几条呢？那比如说，我们现在假设 b 是 跟 a 平行的，然后 c 也是跟 a 平行的，那很明显 b c 两条直线肯定会重合在一起，对不对？如果不重合的话，就不可能两个人都会跟他平行，对吧？所以我们就得到了他的公里哈，就是过直线外的一点，只有一条直线会跟已知的直线平行， ok， 要注意哈，是直线外的一点，那为什么要直线外呢？如果在直线上跟他平行，数就没办法了，数就会再跟他平行，数就变成重合了，对吧？所以我们要强调一下，是外哈。 今天知识点就到这非常简单，那我们继续来学习一下，来看一下考试会怎么考哦。 ok， 好， 来我们一起看一下。第一题， 他说如图， ab 已经平行 cd 了哈， ab 平行 cd， 然后呢，他又说 ab 也平行于 c e， 你 会发现 cd 和 c e 有 个公共点 c， 对 吧？ 那相当于就是过点 c 做 ab 的 平行线喽。那 c 处在平行线外对不对？所以可以得到 c、 d、 e， 得在同一直线上 过点 c 做 a、 b 的 平行线数只能做一条，对吧？那理由是什么呀？刚我们说的来完整的那句话，我们一起打一遍啊。过直线 y 一 点，有，并且且只有，有且只有一条， 直线与已知直线平行，对吧？注意，有，并且只有一条哈， ok， 非常好。好，那第二题老规矩哈，给同学们二十秒钟的时间来做一下哈，比较简单，来倒计时二十秒， ok， 好， 这题会有一点点逆向思维在里面哈，我们一起来分析一下。他说如图，在同一个平面内，前提有了啊，过直线 m， 直线 m 在 这哦，它的 y 的 一点 o 问，你跟直线 m 相交的直线最少要有几条？那我们考虑最极端的情况，我如果过点 o 刚好有有一条线跟 m 平行，那我就去掉一条了，对不对？那他至少会要有几条呢？ 我们说过直线外一点，说最多只有一条跟他平行，对不对？那剩下的这三条肯定通过延长一定会跟他相交，对吧？所以最少肯定是有三条， ok， 那 如果这题改一下，如果问最多呢？ 最多有几条，那最多肯定就四条喽。就四条都跟它相交，就没有平行的嘛？最多肯定四条，但是最少呢数一定至少要有三条， ok 吧？因为就算平行也只能有一条跟它平行，对不对？ ok， 今天的内容就到这边结束哈，那老规矩，上两题便是同学们暂停做一下，然后回头答案发到评论区一起互动，那今天就结束喽，拜拜。

我们一起来看一下这一道七年级下册关于平行线判定的题目。用一副三角板拼成如图所示的图形，过 c 作 c、 f 平分 d、 c、 e 交 d、 e 于点 f 是 说明 c、 f 平行于 ab。 首先我们要知道一副三角板，他们的度数 有一个等腰直角三角形，一个对角三角形啊，这个呢，就是等于三十度，这个等于六十度，这个等于九十度，这个等于九十度，这个等于四十五度，这个等于四十五度。所以 在这个图上面，这个角跟这个角就等于四十五度，这个角等于九十度，角 d、 c、 e 也等于九十度。题目上面告诉我们， c、 f 平分角 d、 c、 e， 那 么这个角 跟这个角是相等的，平分九十度，那么它们都等于四十五度，这就要证明这条线和这条线平行，我们知道它和它等于四十五度，而角 b、 a、 c 是 这个角， 角 a、 c、 f 是 这个角，它们是 z 字形，是内错角，内错角相等，两直线平行，那么这道题就可以做出来了，我们学一下解题过程，证明由题易得。角 b、 a、 c 等于四十五度，角 d、 c、 e 等于九十度。因为 c、 f 平分角 d、 c、 e， 所以 角 d、 c、 f 等于二分之一角 d、 c 等于二分之一，乘以九十度，等于四十五度，所以角 b、 a、 c 就 等于角 d、 c、 f 内错角相等，两直线平行，所以 c、 f 平行于 ab。 这就是这道题的解析思路和解析过程，大家学会了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

hello， 大家好，这节课咱们来讲相交线平行线。第二节，探索直线平行条件的第二课时， 李老师有一块小画板，如图，他想知道它的上下边缘是否平行， 于是呢，他在两个边缘之间就画了一条倾斜的线段 a b。 李老师身边呢，现在只有一个两角器， 他通过测量某些角度的大小，于是他就知道了这个画板上的上下边缘是否平行。那么你知道他是怎么做的吗？ 接下来呢，有几个方案啊，我们一起来看一下。比如说第一个方案，用角一跟角四的大小来进行判断， 他要想测上下是否平行，角一加角四永远都等于一百八，所以我们测它们两个好像并没有什么作用。 第二呢，用角二和角三是不是一样的道理呀？哎，角二角三它们也永远相加等于一百八，哎，也不能进行判断。 那如果我测量角二跟角四的大小，假如说角二跟角四相等，角一，角三相等，角一、角二 它们两个相加有一定的关系，角三角四相加有一定的关系，那么咱们能不能判断上下平行的呢？ 其实都可以，三四五六都可以，那具体的方法是什么？这就是我们这节课所要讲的另外两种 角的关系，以及他们的数量关系。如何决定平行线的啊？两条直线是平行的，那么下面我们就一起来探讨一下这节课如何用内错角和红旁内角来证明两条直线是平行的。 首先我们先来看一下右侧的这个三线八角图。 我们上节课讲了同位角的一个概念，哎，什么样的位置上的角叫同位角，那么除了相同位置上的角，我们其实上节课就能看得出来。还有一些角的位置并没有介绍，比如说在这里边， 角一和角二，它们是在上下两条线的内部，并且被直线 l 分 割在左右的两侧， 那这两个角它又叫什么角？来，咱们先看这两个角的特点，第一就是它们都被直线 a、 b、 c、 d 所截在内侧， 并且呢在 l 的 两旁交错开来了，而且它俩的位置是相反的，就比如说角 e 类似于在 这个西南侧，角二类似于在东北侧，就这个意思，满足这三个条件的角啊，咱们在数学里边把它们叫做内错角， 相当于是在内部被错开的角，哎，也就是角一角二的位置关系叫内错角。那么就像咱们上节所讲的同位角长得有点像 f 形一样，咱们看看这个内错角长得像哪个字母， 是不是有点像咱们那个大写的 z 啊？哎，像英文单词当中的这个 z 啊，你看 z 就 有一个两边内错开的角叫内错角，同时呢，角三和角四是不是也是内部被错开的角啊？所以内错角还有角三和角四，它一般都是呈两对出现的啊，在内部 角三、角四也是内错角。好，我们继续观察。那么除了内错的这种角之外，还有一种角，就是像角一角三角二和角四这种角，我们先观察一下它们角的特点是什么，第一个， 它们是在两条背结直线 abcd 的 内侧，也是在内侧，这是第一个特点。第二个呢，它们在直线 l 的 同一侧，哎，内部同一侧， 那像这样关系的两个角，我们在数学里边管它叫做同旁内角 啊，具备角一、角三这样位置关系的角，咱们管它叫同旁内角。那这个同旁内角可以看作是类似于哪个字母符号啊？咱们倒着看，是不是就类似于我们的英文字母 u 啊？ 哎，类似于英文字母 u。 那 么除了角一和角三是同旁内角之外，还有谁？角二和角四也是同旁内角。 下面我们对应着看一道小练习。现在呢，咱们同位角、同旁内角、内错角都学完了，我们就可以用这三个角来对它进行一个判断， 角一和谁是同位角？哎，大致相同方位上的角是谁呀？角四角四、角五跟谁是同旁内呀？得在内部同一旁，那就是角三， 角一跟谁是内错呀？内部被错开的，所以这里边是角二， m、 n 两条线被直线 a 所结，在内部被错开的啊，跟角二。 下面我们总结一下三线八角的一个位置关系，两直线被第三条直线所结构成八个角。当然还有大角、周角、平角的那个咱不算， 我们管它叫三线八角图，其中有四对同位角，两对内错角和两对同旁内角，它们的位置关系呢？同位角就形如 f 型内错角，形如 z 字形，同旁内角形如 u 字形。 下面我们再来做第二个探探究。我们商解利用了同位角，能知道怎么来证明两直线平行叫做同位角？相等，两直线就平行了， 那么内错角和同旁内角也具有相同的一个能力，它也能够证明两直线平行又是怎么正的。我们一起来看一下内错角满足什么关系两直线平行，那咱们来画个图看一下啊， 比如说角一跟角二是内错角，哎，那么根据我们同位角相等，两直线平行，我们就可以借助一个角三， 如果角三和角二是相等的，那么角一跟角三对顶角是不是也相等啊？ 哎，角二跟角三相等，咱是不是就能证明 a 跟 b 平行，那角一又跟角三相等，所以说角一只要跟角二相等，就能够说明这两条直线是平行的， 也就是相当于是侧面利用了内同位角相等，两直线平行，那就意味着只要是内错角相等，咱们都能够借助于同位角相等，说明两条直线平行。 那么因为他用的频率也比较高，所以呢，今后就不需要每次都要推导出来同位角相等来正，两只线平行了，就可以直接把它做一个判定定律， 只要内错角相等，就能得两只线平行。下面咱们来说一下这个过程啊，怎么说明的？如图，角一得角二怎么推？ a 平行于 b， 咱们借助一个角三， 因为角一得角三，为什么对顶角相等？角一得角二为什么已知条件？ 那接下来咱们是不是就可以借助等量代换了？所以角二就和角三相等，这步就叫等量代换， 角二跟角三的位置关系叫同位角，它俩相等了，咱是不是就能下结论了？所以这两条直线就平行了，根据的是同位角相等，两直线平行， 就像我刚才所说，咱们今后经常会遇到这种内错角相等，那咱用不用还像图中这么去证明啊？不需要直接拿出来用，因为角一得角二，所以 a 平行于 b 了，那在这里我们只是正一下。 呃，为什么内错角相等两直线是平行的？今后都不用直接用啊，直接拿出来用。那我们总结一下这个判定条件， 这是我们两直线平行的第二个判定条件，全称为两直线被第三直线所截，如果内错角相等的话，那么这两条直线就平行，简称为内错角相等，两直线平行。 下面我们再来看一下这个几何语言，也就是这个应用格式，在你经过说明能够得出两个内错角是相等之后，立刻就能下结论，它俩平行了。 所以呢，我们几何语言就是因为角一得角二，所以 a 平行于 b， 角一得角二。它，呃，可以是题目中告诉你的，也可以是你经过推理论证证明出来的，你只要能得到，就能够下结论平行了。 好，下面我们再来思考一下，同旁内角满足什么关系，也能说明这两条直线是平行的。我们看一下啊， 看一下右边这个图，角一跟角二的位置关系是同旁内角，它们两个如果相加等于一百八，我就能说明 a 和 b 是 平行的。为啥呢？咱们可以在这里边进行一个简单的证明。 呃，首先呢，我们还得借助一个同位角，就是角一的邻补角，给它画出来，标出来角三，因为角一加角二得一百八，这是已知条件告诉的。 而本身呢，角一加角三也等于一百八，这个是补角的定义，邻补角，也可以说邻补角的定义啊。 所以根据同一个角的两个补角相等，咱们就能得到角二得角三了，而角二角三的位置关系刚好是同一角，它俩相等的话，两直线就平行， 所以我们就会发现，哎，如果两个同位角他俩相加，同旁内角他俩相加，要是等于一百八十度的话，咱们好像也能够说明这两条直线是平行的，因为他们出现的频率也很高，所以呢，我们也把它作为我们 平行线的判定条件，可以直接拿出来使用。那么我们来总结一下这个知识点，两直线平行的第三种判定条件， 两条直线被第三直线所截，如果同旁内角是互补的，那么这两条直线就平行，简称为同旁内角互补，两直线平行。 几何语言呢？是这么来描述的，因为角一加角二等于一百八十度，所以 a 平行于 b， 元音打在括号里边叫做红旁内角互补，两直线平行。 啊 啊， ok 哦， a 啊。

七下数学最难的平行线，五大拐点全部吃透，考试直冲班级前三！七下数学平行线五大拐点，猪蹄模型、铅笔头模型、大脚模型、骨折模型、蛇形模型、 平行线五大拐点专项练习模型一，猪蹄模型过拐点做平行线，有多少拐点就做多少平行线模型二，铅笔头模型、模型三，大脚模型等，每天练习十分钟，全部吃透，你就是最强黑马！完整电子版可分享！

七年级数学下册平行线平行线是七年级数学下册几何部分的重要内容，也是学习平面图形角度关系与推理证明的基础。 在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线。生活中，铁轨、双杠、黑板的对边、书本的边缘都是平行线的常见例子，他们给人整齐、平稳的视觉感受。学习平行线，首先要掌握它的基本性质，经过直线外一点， 而且只有一条直线与这条直线平行，这一基本事实是划平行线判断平行关系的重要依据。 在划平行线时，我们通常使用直尺和三角板，利用平移的方法画出不相交的直线，保证两条直线始终保持相同的方向。平行线的核心考点是三线、八角与平行线的判定和性质。 两条直线被第三条直线所截，会形成同位角、内错角同旁内角、同位角相等，内错角相等，同旁内角互补， 是判断两条直线平行的重要依据。反过来，如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角也互补。 判定是由角的关系，推线的关系性质是由线的关系，推角的关系，二者不能混淆。在实际解析中，平行线常常与角的计算结合。我们可以通过已知角度利用平行关系求出未知角，也可以通过角的等量关系 证明两条直线互相平行。很多几何题目需要先判断平行，再利用角度关系进行推理，这是培养逻辑思维的重要过程。 平行线还为后续学习三角形、四边形、平移等知识打下基础。比如平移前后对应线段互相平行且相等。长方形、正方形的对边都互相平行，梯形也有一组对边平行， 可以说平行线贯穿了整个平面。几何的学习学习平行线不仅要记住概念和推理，做题时要认真画图， 标注已知条件，一步步理清思路，做到有理有据。掌握好平行线，能让我们更轻松的应对几何证明与角度计算，提升数学思维能力。 平行线看似简单，却是几何世界的重要基石，认真学好这一部分，能让我们在数学学习中走得更稳更远。

哈喽，同学们，大家好，欢迎来到光光老师的数学课堂，那今天我们继续来学习七点二点一平行线的概念哈，但是我们今天来到了知识点二， 我们一起来学习一下平行线的画法，之前我们学习了垂线的画法，对吧？那今天来学习平行线哈，那同样的老规矩，我们先把知识点快速过一下，然后老师给同学们进行示范哈。来，你看，第一步说要一放， 放什么呢？放三角板，把直角三角板的一条直角边跟已知的边重合。然后第二步是靠二靠，靠谁呢？靠直尺，把直尺靠在直角三角板的另一条直角边上， 然后三是移，移的话是直尺是固定不动的，是移动三角尺，然后让他跟直线外的已知的点进行重合啊，然后接下来四画，就可以沿着三角板画直角边，就可以画出平行线了， ok， 这样讲依然是比较生疏，对不对？那我们一起来演示一下哈。 ok， 好， 来，接下来老师来演示一下哈。来，比如说我们现在有一条直线 ab， 我 需要过点 p， 直线外的点 p 哈，做出 ab 的 平行线，那我们的步骤刚说的是什么？我们一起再来回顾一下，一犯对不对？二靠， 然后呢？三移，然后呢四画，总共是四个步骤，对吗？ ok， 好， 来，我们一放。 一放是什么意思？是让我们的直角三角板跟 ab 重合，对吧？好，老师，来，我们一起来给它重合一下哈， 一放， ok， 好， 我一放就结束了，对不对？一放搞定。然后接下来二靠呢？二靠就需要有一块我们的直尺，让我们的三角板靠着直尺，对吧？把直尺移过来一点点，二靠， ok， 二靠我们就搞定了，对吧？三移是移动，谁是移动？我们的直角三角板来移动，沿着直尺进行移动。移动到什么时候为止呢？就移动到点屁 在另外一条直角边上为止，对吧？是目前这个状态，所以我们三移是不是就搞定了？那接下来最后一步，四画，四画是直接画出过点屁的这条直线，哎，我们的平线是不是就搞定了，对吧？好，来，我们一起来欣赏一下哈。 你看过点 p 时候做了 a、 b 的 平行线， ok， 好， 这一块是我们的画图。来，我们继续往下看，我们的考试会怎么考哦，咦，非常简单哈，这边考试也是很简单，老师先带着同学们一起来一下， 他说，已知三角形 a， b， c， 然后呢，过 a， c 的 中点 d 做了谁的平行线？ ab 的 平行线，对吧？问，你，正确的是来中点 d 要做的是 ab 的 平行线哈，那 ab 的 平行线是应该要平行 ab， 所以 a 很 明显错了，对吧？那 b， a、 b 的 平行线过点 d 做，很明显 a、 b 选项就对了，对吧？那 c 呢，是平行 bc， 去了 d 选项呢，是平行 ab， 但是呢，它的终点 d， d 是 谁的终点数？要 a， c 的 终点 d 应该在这，而不在这，对吧？所以我们答案应该选择 b 哈， ok， 好， 同样的给两分钟啊，不用两分钟了，一分钟的时间，来，请同学们画一下第二题哈，来，倒计时一分钟， ok， 好， 时间到，那我们一起来看一下哈。他说， 一起看一下吧，这个移上去一点哈，他说如图， m 是 直线外的一点，然后呢，过了点 m， 做了直线 m， n 交 a， b 于点 n， 看得出来，对吧？他现在要过点 m 做直线 c d， 使得呢？ c d 会跟 ab 平行，对吧？那相当于就是要做 ab 的 平行，对不对？ 那按照我们刚的经验，一落或者说一放是怎么放？说让直角三角板一条直角边 跟 a b 进行重合，对吧？然后呢？二靠说靠着一个直角，然后呢？你去移动谁啊？就移动这个三角板往上移动哈。 移动到什么时候为止呢？让三角板的另外一条直角边跟我们的 m 重合了，对不对？那我们通过过点 m 靠着这条直角边数就把线给它画出来了呀。好，我们一起来看一下哈。 来，一起看一下。哎，这条蓝色的线数就跟 a b 重合了，对吧？行，那我们今天课就到这边结束了哈。老规矩，上两题便是同学们自己课后一定要动手用尺规， 用直尺和三角板去画一下哈。那今天就到这里喽，拜拜。