石家庄高二数学考试立体几何

立体几何你没有刷过这三十道基础大题的话，你千万别说你空间想象力不行，因为立体几何对逻辑构建的要求本身就很高，他 需要你把常见模型和辅助线做法刻在脑子里。尤其是高二同学，不要急着学普型法、向量间隙的技巧，先用传统几何法把自己的空间想象力锻炼出来。你看这道二零一八年全国卷的折叠问题， 很多同学觉得难，如果你能沉下心，把这三十道基础题老老实实推一遍，把每种图形的辅助线做法都练成肌肉记忆，到时候什么三垂线、定力等体积法自然就融会贯通了。拿走，下载打印吧！你的突破从今晚开始！

为什么数学考试全选 c 都比你在哪些阿赛正确率要高？因为新高考模式下，选择题都是机器阅卷，对了就直接给分，不信你可以问一问 deep sea， 但是正确率地道，让你扣的喊娘！ 大家好，我是阿月学姐，如果你高二高三数学还在五十到九十分卡着基础，若做题慢，简单题多分，中档题拿不全，今天我就给你分享三个我们新自带内部学员的高中数学立体几何秒杀大招，用过的同学都说好，学会它，分分钟超越学霸！ 一碰到圆锥内切球这种压轴题，传统方法是怎么做的？一步两步，三步四五步，妈耶，浪费的要命！如果我来做，直接记这个公式，其中 l 是 圆锥母线， h 是 高， r 是 底面半径。回到题目，圆锥的母线和半径铁杆都给了， 先利用勾股定律算出高度 h 等于三，再利用半径公式代入一下，算出内接球半径是一，内接球表面记公式应该都知道吧，代入一下，答案是四派， 多简单。那如果是圆台内接球问题呢？那就更简单了。记住，对于任意一个存在内接球的圆台，上下底面半径为 r 一 r 二，那么不用画图分析它的内接球半径直接就等于根号下 r 一 r 二。 回到题目，台体存在内接球， r 一 等于一， r 二等于二，那么就可以直接秒出内接球半径等于根号二，代入球体表面积公式答案等于八派。 怎么样？是不是瞬间秒杀？这时候有崽崽要问了，学姐，如果是外接球呢？那就更更更简单了，比如这道外接球球体积的题，体干都不用看，只要球体积的，我们就离每个选项等于三分之四。排 r 的 三次方反推出来的半径只要开三次方的都不对，直接选 a 是不是很简单呐？当然，你只学立体几何的秒杀方法肯定是不够的。像这样好用的解题模型啊，还有很多，包含高考数学的方方面面，如果你高二高三数学五十到九十，想要 提分，必须要学我们的系统秒杀课。我们团队啊，深耕高考数学十年，首创系统化秒杀模型，累计帮助了数十万学生高考逆袭后台发年及加分数，每日限一百名。

为什么基础再差，立体几何也能轻松学会？因为你不知道这些公式能帮你快速拿分，甩开对手。今天十秒教你快速算出圆台内切球半径。当你的对手还是在画图分析球半径，你反手一个公式直接秒杀。对于任意一个 存在内切球的圆台，上下底面半径为二一二二，那么可以直接得到二，等于根号二一二二 直接秒杀。我们来看这道题，圆台存在内切球，二一等于二，二二等于四，那么就可以直接算出内接球半径，等于二对二带入球体表面积公式，那就等于怎么样？你学会了吗？快来试试这道题吧！

高二数学最难的立体几何全部吃透，稳进班级前三！高二一轮数学立体几何新版二十一个母题题型一，空间一面直线夹角的求解题型二，空间直线与 平面夹角的求解题型四，空间点线面间的距离求解。完整版分享！

这道二零二三你卷的立体几何被评为近几年最难。立体几何不仅在于它体量大，有三个问，更在于它很难解析，第一问就上难度，如果是你，你能做出来吗？

大家好，欢迎来到星星子爱数学这期视频，我们就开始讲解这个每日一题， 因为这个数学是需要刷题的，所以我们要考虑每个人做题的感受，所以我们增加这种每日一道题的这种刷题训练。嗯，所以大家希望可以把这些题都做了，然后并且把我做的这些题的方式按照，嗯，可可以通过自己的方式先做一遍，然后按照 这个对答案的方式跟我去按照我的思路来来一遍梳理。嗯，你会看到你有可能会跟我答案一样，然后有可能和我答案不一样，然后你会看到你搜完的答案可能和我还不太一样，因为我做的答案肯定是我用我的方法去讲，然后我也可能会对比一下和答案的方式， 一般来说啊，我自己做出来的答案肯定要比这个答案是要更好一些的，所以我也推荐同学们不要去盲目的看答案，因为有些答案他是不是特别好的。 然后这期视频就开始这个把，我们在这个系统课里面不是有很多部分的题没有讲完吗？所以我们就通过这种每日一题的方式，把那些系统课里面没有讲完的那些题，我进行每日的刷题，然后我会在每次发布每日一题的时候，我将会把下期视频讲的题目发在每日一题的这个评论区，大家可以提前做。嗯， 大家也希望这个，嗯卡着点，比如说一道大题需要在十五分钟内绝对完成，除非他是十七分的题，你就按照分值来写，如果是一道五分的题，你就要得在五分钟内完成，六分的题就在六分钟内完成，十三分的题就在十三分钟内完成，十五分的题就在十五分钟内完成。这样的话你高考也能做完试卷。所以大家，嗯， 注意好时间，然后大家还要得做好这种每日的刷题训练。这个数学要是不刷题的话呢，你学的那些东西都是白费的，所以每天有一定的训练才可以。所以，嗯，可以看一下这些视频。 今天的每日一题是上次正式课中有一部分因为剪辑的失误乱码的一部分题，呃，就那道题是乱码了，所以我把这个乱码的视频，我把它弄成每日一题发过来 看一下。啊。这道题他说四棱锥 p 高， abc 得它的底面边长为二的菱形，它是菱形，下面是菱形，我们一般就会想到什么下面边长是二，那菱形，我们一般都想到的是四个边都相等，对吧？好，把对角线相连，就是垂直，对吧？好，把对角线连上，所以想到菱形，我们就连对角线。好，我把对角线连起来，它垂直，好，垂直。嗯，好， 那现在我垂直了，那现在菱形也完了。那现在他说了什么？没有了，对吧？他又说了个角 a、 b、 c 为三分派，三分派多少度？六十度，对吧？这个实在不行啊，你如果不会，这个多少派，多少派是多少，你把派当一百八十度来，除以三等于十六十度，好，嗯，小差距。好，那角 a、 b、 c 就是 六十度，这个角是六十度。哦，好了，那我就把它先拉出来，我给你看一眼。啊，来，这个菱形 啊，大概就这么画一下，好，这菱形就叫 abc 的 好， abc 的 好，然后我对角线互相垂直，垂直，好，它是边长为二，又是六十度，对吧？六十度的等。你看这个这边，你看 abc， 它是一个等边向量，对吧？那它又是六十六度等边向量。对，幺向量，所以有 a c 也是二，那中间又会平分，所以是一，对吧？好，那我这又是个角平分线，就是它三线合一嘛，也是角平分线，所以它是三十三的角向量，就是一二，刚好三，对吧？所以这个边是刚好三，这也是刚好三， 这就完了。所以这个，这个是根号三，这个是根号三，这个是一，这个是一。好，我该标的长度标完了，那他他给我说了个 p a 等于 p c 啊， p a 等于 p c。 哦，这个你看 p a 和 p c 相等，都等于根号二，根号二，然后呢？ a c， a c 是 多少？ a c 是 二，对吧？中间有一个点啊，这个是二。好， 哎，这又是等幺幺型，等幺幺型又有一个三线合一嘛，对吧？好，那现在我要给证明什么？证明 a c 垂直于 p d， 你 看 a c 在 哪？ a c 在 下面， a c 要垂直于 p d， 看着好远，对吧？那这么老远的线，我要怎么去证明呢？是不是也要得用一些很多知识点？你看 a c 和 p p 的 很远，那我们的连接点在哪？我发现连接点在这，这个平面是连接点。哎，如果能正出来，如果能正出一个垂直，你看我要得正，他和他垂直，要么我先正线面垂直，我就能正出这个，这条线和这条线垂直，对吧？要么我就通过各种勾股定律算出来，它就垂直关系就可以了。那但是这种意面呢？它又不在同一个方向形里， 那我就不能用拼音法，用固定来读，对吧？好，那我再想一个方法，那我刚看到了，我刚分析到这三行，对吧？这三行我说的等腰项，对吧？那中点，那我把中点设为一个值，叫做 o 版，对吧？叫 o 点。好，那这样的话，我甚至都连到这个 o c 和 p 的 有点关系呢，是不是把 o p 给连起来，这样就有关系了，对吧？好，首先我 a c 是 不是和 p o 垂直，对吧？这是我这三相合一的来的吗？ a c 和 p o 垂直，然后呢？还有关系吗？ 你看 a c 还要跟 p 的 要有关系的话，那我这 a c 要如何去搭上这个 p 的 呢？有没有办法 啊？我现在目前看不出来，对吧？好，那我把这个，嗯 b， 你 看 bpo， 你 发现我在这里面有一个 bpo， 对 吧？那我把 bpo 这个三角形可不可以把它给分析一下？那我稍微分析一下这个 bpo 吧。好，因为我感觉就直觉来了啊。好，那 bpo 这三角形，那 bpo 我 知道它是刚好三，然后呢？ ppo 我 不知道多长，然后呢？ bp bp 我 也不知道多长， 那先放着，那 p o 的 话，其实我知道 p 有 多长，从哪知道？我从这等腰线可以看出来，这边这边，对吧？这边是根号二，你看这边又是一，这边又是一，那我直角三角形，所以它也是一嘛，所以我 p o 也等于一啊，对吧？一，根号三，那 b p p 我 知道吗？哎， b p 不知道，对吧？ b p 就 放着吧，那 b p 我 不清楚多长。 那，那没有办法，那这条感觉这种感觉没有了，那现在我要如何去证明这个 p 的 和这个 a c 垂直呢？你看 a c 和 p 的 垂直呢？你看 e 面垂直呢，对吧？我能找到它的平行线，比如说平行线是哪个呢？你看 p 的， 我们仔细看一下啊。哎，这条 a c， 我 发现啊，我发现了，你看 a c 和这个 p 的 要垂直，但是我现在找到个 a c 和 p o 垂直，哎，那我可以正什么 a c 和 p o 的 这个平面垂直，线面垂直嘛？好，那我只需要正什么 a c 和 o 的 垂直，那这不就直接出来了吗？菱形对角线垂直吗？这不就完了。好，因为什么 a b c d 为菱形，对吧？ 所以这个，嗯， a c 垂直于 b 的 好。嗯，取 b 的 交 a c 于 o 点好，这样就行了。好，所以 o o o 的 垂直于 o 的 垂直于 a c， 好， 这样行了， o 的 垂直于 a c。 好， 然后再你看啊，在 三角形 p a c 中，我是不是存在等腰这样形，这个 p a 等于 pc， 所以 三角形 p a c 为等腰，等腰三角形。 哎，所以它会怎么样？我这个 p o 垂直于 a c， 哎，这就完了。看 a c 和的 o o 的 垂直， a c 又和 p o 垂直，那我还在写一个什么 p o 和 o 的 交于 o 的 交于 o 点，然后 p o 属于面， 什么 p o 的， 然后这个 o 的 p o， 那 我觉得 o 的 和 p p o 都属于平面。那你看平面内的两条相交直线，一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直，对吧？所以 a c 垂直于面 p o d， 那 这样的话，我只我要得证什么 p d， 是 吧？好，那 p d 是 不是在这平面内呢？对吧？在平面 p o d 中，所以 a c 垂直于 p d 就 结束了。好，这就是证明方法。这个证明应该比较轻松吧，大家可以很清楚，可以看的到，所以列结合的题还是比较好做啊， 所以大家要有点信心，这个刷题是可以提分的。好，那我们再看第二个，第二个的话，它给了什么？ p b 和 p d 的 组成的余弦值，对吧？好， 那我要开始第二个，开始渐细了，对吧？那现在我在菱形这里，我是唯一知道什么，唯一知道对角线垂直，那我现在不知道第三个垂角线在哪里，对吧？第三垂角线我不知道在哪，他给了若 p b 和 p d 所得的余弦值为，这个你看 p b 告诉了 p d。 啊，这两个的余弦值告诉了，然后 p b 小 于 p d， 所以 p d 还是动点。好，那我要求直线 c d， c d 与平面 p b， c c d 与 p b， c d 所成的角线。啊，那我要开始渐细了，对吧？好，那我剪一下。嗯，我想这样剪好，然后这个为， 嗯，可不可以这样解析，可以，对吧？好，那我们标一下吧，这个是 z 轴，然后哪个是 x 轴，哪个是外轴？有 x 向外，对吧？这是 x， 这个是 y。 好， 我们要得写清楚。第二个，以 o 为圆点， 这个 o b 向量为 x 轴， o c 向量为 y 轴， o 垂直于面 abc 的 为 z 轴，间隙 如图。好，写好了，对吧？那写好了，我们就可以开始点坐标。我要得，求什么？你看，我要得，先表示这个 p 点，对吧？我要先表示 p 点，因为 p 点它在动，对吧？那我先把这个 p b p 的 这个关系里面，我是不是可以算出来这个 p 点坐标呢？你看， p b 和 p d 所成的余弦值为三分之杠三。那我是可以通过列这个 p b 和 p d 的 向量所得的角等于三分之杠三，我可以算出 p 点坐标， 可以吧？好，那现在 p 点我知道什么情况，那我把 b 点和得点先写出来来，得点，得点，它是负。呃，你看啊，得点啊，我看一下，它是在负的，根号三到零到零，对吧？然后 b 点，它是在根号三到零到零，根号三到零到零。好， p 点，那 p 点它在哪？它是不是在 x 轴和？你看 x 轴和 z 轴这个位置的平面内，就是，它不在外轴，它外轴的分量为零，对吧？那我直接写零，然后，但是我不知道 x 和 z， 对 吧？那我就果断设 a 和 b 就 完全可以吧。 好，那这里面呢？ a 肯定是，要怎么样？你看 a 是 什么？ x 的 分量，那我这个在图里面表示出来的 x， 它明显就是在 a 是 x， 它上面，它绝对是正的吧？那 a 肯定是大圆的，那 b 呢？ b 就是 我 z 轴上的分量，那 z 轴上的分量我发现明显在上面，对吧？那肯定 b 也是大圆的。好，那好了，那我们告诉了 p b 和 p d 所得的相值，那 p b， p d 是 吧？那我就可以写 p b 相等了，对吧？ p b 相等，等于根号三减 a， 对 吧？然后零到负 b， 对啊，对吧。然后 p 的 向量，那 p 的 向量就是负的，根号三减 a 到零到负 b， 好， 嗯，然后 p 和 p 的 所得弦值相等，那那弦值来 cosine 角， p b 向量和 p 的 向量所形成的夹角等于， 那他们是不是 p b 向量变成 p 的 向量，然后再比上 p b 的 模乘 p d 的 模，你看我备注那个公式，我就能直接开始用了，对吧？ p b 乘 p d 就是 对应相乘，那它就是平方差嘛，对吧？平方差 p b 乘 p d， 你 看对应相乘， 相乘一下，这个乘以在一起就是三，再减。你看，呃，这边是负 a 加高三，负 a 减高三就是负 a 的 平方就是 a 方，然后再减高三的平方就是三，对吧？这是什么答案嘛？然后再乘零，加起来零，对吧？然后再加上 b 方，上面就出来了。下面，下面的话就是模嘛，各自的模，各自的模的话，根号下，那这个算吗？根号三减 a 的 平方就是三，减二倍，根号三 a， 然后再加 a 方，对吧？ 就是，然后再加上 b 方，都没问题吧？然后再乘根号下，谁乘谁，那就是负的，杠三，那就是负的，杠三的话也是三，加上二倍根号三， a 加 a 方，然后再加 b 方，对吧？这是我的分母。那两个模也算出来了，平方也有了，对吧？好，然后我还有一个什么条件，你看 p p 点，他这边是不是还有一个叫做 pc， 对 吧？我可以把 c 点 表示一下，你看 pc 向量就是 c 减 p， 那 就是负 a 到，嗯，一到 b 负 b。 好， 那我要计算它的膜，也就是它的长度，你看 p c 的 膜等于多少？等于根号二。 p c 的 膜哪根号二，那就等于它的平方嘛。根号下 a 方加一，再加 b 方，对吧？这是我的答案吗？那我可以两边平方和两边平方，我得到 a 和 b 的 关系呢？ a 和 b 的 关系就是 a 方加 b 方，等于来，我减都是减一，那是 a 方加 b 等于一。 哎，我在下面还有什么关系啊？我上面下面是不是有 a 方加方， a 方加方，对吧？这，这这，对吧？ a 方加方，所以我可以把 a 方加方全部换成一嘛，对吧？好，那口算隐，你看口算隐这个这东西它等于相当 a 方加一等于一减三等于负二，对吧？然后比上这大坨的话，就 a 方加平方一，一加三等于四，四减二倍，根号三， a 开根号，对吧？然后再乘根号加四加二倍，根号三， a 会算吗？这是三乘三，对吧？二，得四四四三十六，十六，对不对？四三十二， 对吧？好，这个然后再开根号，那这就是我的呃，分母，然后分之二，它要等于多少呢？来，我直接打个绝对值吧，可以吧？然后口三值它等于多少？他说余弦值等于三分之三。三分之三。那 我通过这个式子我可不可以解出来呢？完全可以吧。来，这个下面的话可以提个数叫做十六，我提出去等于十六，可以提个四出去的话是二倍根号下四再减去十二。我提了个四出去，那就是三， a 方分之二，对吧？二约掉一等于三分之一，那四减三， a 方等于三嘛？那 a 方就等于 方，我这么一算等于三分之一，那 a 就 等于三分之根号三，它就解出来了 a， a 等于三，根号三，所以这块内容在草稿纸直接算，对吧？然后会算。那自己算出来 就拆掉了啊。会算吧？好，我刚算了一遍， a 等于三分之根号三，所以 a 最后等于三分之根号三，对吧？这是我刚解的过程，你刚不会不会解的，刚自己看一遍啊。然后我 a 又算出来了。 a 算完以后 p 点坐标是不是重新可以解出来了？所以 p 点坐标就是三分之根号三到零到 b， b 是 多少？那 b 等于一等于一减一方，一减去三分之根号的平方，三分之三平方多少来着？ 根号三分之一的三分之二，三分之二开，根号就是三分之。嗯，刚好六。三分之六吗？三分之刚好六，那 b 是 不是这个答案，对吧？我把 b 算出来应该没问题吧？看一下， 对，没问题啊，那 p 点我就算对了，那 p 点我算出来了以后，那我 p 点的值我就知道了。那我最后得干嘛？我得求直线线面角线面角线面角线面角，算出来叫做正弦值，对吧？然后最后要求余弦值。这题就稍微复杂一些，那线面角的话，我得写什么？ c 的 向量，对吧？ 看啊， c 的 向量，大家写一下， c 的 向量是？嗯，多减 c 是 负的，根号三到负一到零嘛，然后 pbc， pbc 的 话， pbc 啊，三个点 pbc。 嗯，我可以写 p b， 我 可以写 c， p b 好 像可以写吧。那 p b 向量， p b 向量就是多少呢？三分之二倍，根号三到零到负的三分之根号六，对吧？然后我还可以写个 c b 嘛。 c b 向量，那就等于这个算出来是根号三到负一到零嘛，对吧？然后你也该有的套路，你要有一下，叫设面 p b， c 的 反向量 为 n 等于 x， y z， 对 吧？然后你还要写一个 p b 乘 n 等于零， p a c b 乘以 n 等于零，然后你把 n 一 写，那这个过程就不写了啊。你顺着我那个做法做的话，没有化解的速度，就是刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三， 然后你把它化解一下，化解不了，那就这答案。好，那刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三。那这个 n 我 就算出来了， n 算出来了以后呢？来算一只。那我还可以算出来这个射什么？射 c 的 与面 p b， c 的 缩成角 v c 它，对吧？然后我算的是算 e c， 它，那就是等于口算也。什么？口算也？ c 的 和 n 的 相等值，对吧？然后再对对值。那最后这个口算值，我也不我也算了啊，算出来等于。嗯，算出来，最后化简是二分之根号二，大家踊跃的下去算一下。然后算之后，我算出来，我要算最后的余弦值。口算 e c， 它等于根号下一减去算也方 c， 它，对吧？那这算出来就等于二分之根号二。 好，所以我最后的左乘角的余弦值就是二分之二。最后答一下就行了。这题就比较轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多，但是他也没有逃离我们之前说过的那个思路，所以他也不难。嗯，也还是那个，也还是那个方法吧，对吧？没什么，没什么新奇的点，只不过是我多用一次还是少用一次的问题。那我放这。好， 那大家回去算一下啊。这边我忽略了几个知识点，忽略了几个向量，比如说这个，嗯，怎么算的？然后还有这个口算能力弱的话，你就必须得好好算一下啊，你要自己来一遍，所以答题卡呈现成答题卡，最后呈现出这样一个效果，这就差不多了，不需要把你所有计算都放上去啊。好， 一定要点赞、关注、收藏并推荐哦，咱下期见。

立体几何点不在轴上就不会写坐标？两招教会你，再怪的点都能写对！同学们，我们接着讲间隙完最关键的一步，写点的坐标。在轴上的点很好写，但很多题里点不在坐标轴上， 比如这道题里的 e、 f 点，很多同学就蒙了。今天我教你两种最实用最稳妥的方法。第一种，往坐标轴做垂线，分别像 x 轴、 y 轴、 z 轴做垂线段，垂线段的长度就是坐标的绝对值。再看方向， 在正半轴就是正，在负半轴就是负，一步一步来，绝对不会错。第二种，钟点公式法，如果这个点是线段钟点，而且两个端点都在坐标轴上，坐标很好奇，那就直接用钟点公式，两个端点的坐标对应相加除以二，瞬间就能算出终点坐标。 不用画图，不用做垂线，直接算出来。比如这道题里 e、 f 点分别为 p b 和 p d 的 中点，所以我只要知道 p 点、 b 点、 d 点的坐标分别相加除以二即可得 e 点、 f 点坐标一目了然，很简单，总结一句， 不会看点就做垂线，是中点就用公式。这两招学会立体几何里任何点的坐标你都能文文写对，为后面求法、向量、求角、求距离打下最稳的基础。关注我，立体几何拿满分！

例题，几何法向量总算错，总带分数，这招赋值技巧一，用计算直接少一半！同学们，我们接着这道真题往下讲，求法向量。 其实法向量特别简单，在一个平面里找两条相交向量，分别和法向量做点击等于零列方程组 x、 y、 z 三个未知数，两个方程必然可以用一个变量表示。另外两个重点来了，为什么我们可以随便令 x 等于一， z 等于二这种特殊值？ 因为一个平面的法向量有无数多条，只要垂直这个平面都叫法向量，方向一样，长度不同而已。所以 我们的原则只有一个，怎么好算，怎么取，怎么整，数怎么来，能取整绝不取分数，能消掉根号，绝不带着根号。能让数字越小越好，越整越好。比如算出来有分数三分之一，你直接令 x 等于三，瞬间全部变整数，有根号也一样，放大倍数，把根号消掉， 这样后面算二面角点面距离时，计算量直接减半，还不容易错，再送你一个考场小套路，高考立体几何第二个，一般有一个平面是躺平的， 比如侧面底面。法向量直接看出来，根本不用算，直接拿来用，这就是做题速度快的秘密。下一个视频，我们就用这个最减法向量，直接算出二面角的余弦值，把这道大题彻底收尾。

呃，我们通常画洁面呢，跟画胶线它的原理是一样的，因为洁面是由胶线构成的，对吧？然后我想在适当的请大家回忆一下，我们昨天说了，画胶线有什么方法，基本是十三是吧？还有就是 线面平行的性质定律，亦或是面面平行的性质定律是吧？好的，没有问题。那么我们在画洁面的时候呢，由此可以衍生出应该是有三种方法，分别是第一种我们叫直接法， 然后第二种我们叫平行线法，第三种方法我们称之为延长线法。然后这个直接法呢，我给大家举个例子啊， 好，然后我们这个直接法呢，它的原理非常简单，比如说我现在知道这个平面跟正方体，或者是跟某个跟某个多面体，它的焦点是有哪些的，我直接连接这几个焦点，应该也就能够得到一个完整的洁面。 好，比方说我现在呢，给大家画一个，我这呢有个点 b， 这边呢有个点 a， 这边呢有个点 c， 这边呢有个点 d。 那 么我连接这几个点，我得到的应该就是这个蓝色平面和这个正方体相交，然后得到的一个完整界面，假定它是一个平面啊， 这叫直接法 ok 吗？非常简单。其实啊，当然他的局限性是比较强的，通常情况下呢，只有他告诉我我是有哪些公共点的，并且他都在几何体的外表面上，我才能用这个方法，然后找到他的对应结面， 这叫直接法 ok 吗？好，最简单的。然后在这个里边呢，我们通过题目来渗透一下这个方法，看一下咱们的二杠一。好，那么接下来呢，我们再看一下这个里边的第二种方法，我们称之为平行线法，那么它的原理是什么来着？还能回忆起来吗？ 平行线法，它指的是有一条直线和一个平面是平行的，另外的一个面呢，经过这条直线，然后交线跟他应该就是平行关系， 或者说呢，有两个平面是互相平行的，第三个平面同时和这两个平面是有交线的，是吧？两条交线应该也是平行关系。 那么在这个方法里边呢，一定是你已经发现了它存在着一个线面平行，亦或是面面平行，我才能够用到这个方法， ok 吗？好的，那么接下来呢，我们也是通过题目来渗透一下，看一下咱们的二杠二， 然后在这个正方题当中呢，他说点 p 是 bb 一 的中点 p 点在这个地方，然后要画出经过 a 一、 b 一 和 p 这三个点的界面，但是我们要找的是完整的这个界面，然后连完之后呢，大概就是这个样子的，是吧？但是我觉得大家应该能想象到，我这个平面他还可以再延展， 他延展完之后呢，他跟正方体的后边，包括右边有没有交线都是有的，是吧？我都得找到这两条交线。那么在这个里边呢，我们就可以用到平行线法， 因为我发现在这个结面当中存在着一条直线跟正方体的某个表面是互相平行的，比方说这条线和这个面是平行的， 是吧？然后这个面呢，又经过这条线，这个面呢，和这个面应该有交线，所以说这个交线应该跟它是什么关系啊？平行的，那么也就意味着你只要过点 p 做出它的，也就是它的平行线应该就行了。那怎么做呢？ 我就直接找 c c e 的 中点，然后假定这个中点是 q， 连接 p q， 再连接第一 q， 应该就能够找到这个完整界面，因为我应该也能发现这条线跟后边这个面是互相平行的，这条交线正好跟它也会是一个平行关系，它正好是满足的， ok 吗？好，这道题方法就是平行线法，可以在旁边补充一下，就是存在着线面平行， 然后这个结面呢，正好和这个面有交线，我们也就能知道这个交线肯定和这条直线是互相平行的，根据这个原理也就可以找到这个交线的位置， ok 吗？然后整理好之后呢，我们再来看一下这个记法二的一个拓展二杠三， 也是希望大家能够用这个方法找到这个完整洁面。你自己再画一个正方题，反正我这画是很方便的。然后这个延长线法呢，我们通过一道题目来渗透吧，直接讲有点抽象，先看一下咱们的二杠四， 然后在这个题目里边呢，他说 e 点、 f 点、 q 点分别是这三条的中点，然后想画出过这三个点的洁面，标注一下，这个题能用平行线吗？ 咋画呀？先过点 q， 做 e f 的 平行线， c c e 上的什么点？中点连接 q 点和这个点是吧？ 然后应该能发现这条线和这条线是平行的，是吧？好的，没有问题。而且我这个平面呢，和正方体的这个对角面应该有交线，是不是？好的，没有问题。那再然后呢， 就可以像刚才一样连接这两点，然后过这个点做他的平行线，依次类推就可以了，是不是？好的，没有问题，取消吧。那么在这道题目里边呢，咱们能不能尝试用延长线法找一下这个交线， 延长某条线，是吧？并且在这个过程当中，大家也可以尝试延长几何体外表面的某条棱，让它们相交找焦点， 循环往复，也就能够找到它的所有的公共点，连接起来也就能够形成这个界面，这叫延长线法。 好的，我们来试一下。我们在延长的时候呢，需要注意啊，最好是先延长在几何体外表面的这条交线。听懂我的意思啊，最好先延长位于几何体外表面的这条交线，就是要么先延长它，要么先延长它， 都可以，但不要延长他，他在里边， ok 吗？好的，没有问题。比方说啊，我在这个里边想研究啊，想延长 e、 f， 那 么你考虑一下我延长他之后，他会和正方题的哪条棱的延长线有交点， 你琢磨一下，你延长它 a d 或者是 b、 c 都行， ok 吗？好的，我们来操作一下。所以我现在呢，先把这个 e、 f， 比方说向上延长啊， 比方说先向上延长，然后再延长谁 d c， 好 的，没有问题，再延长 d、 c 两条延长线的焦点，我给它标注一个字母，比方说我设成 这，然后在正方体的外表面上，哪个点和这同时在一个平面当中，通过连接这两点能够形成一条交线，当然那个点也得在这个平面内，有吗？有吗？现在 还没有。那先不管它，我还可以怎么做？向下延长，我再延长谁 b a， 好 的，它们会有交点， 然后我假定这个点是 h， 然后我想问一下这个 h 点它和哪个点同时在两个平面当中哎？ q 点，所以我们只要把这个 h q 连接一下， 应该就对应着这个结面和正方体的左面的交线， ok 吗？好的，没有问题。 那再然后怎么办呢？我其实还得找到他和上边这个面，包括后边这个面相信是什么，是吧？我现在还不够是吧，那我可能还得再延长。还要延长谁呢？你考虑一下 q 谁？ q e 往哪延长？ 往这边还是往这边？嗯，可以啊，你都试一下啊，比方说往这边， 那再延长谁？你先别画啊，你先看我画啊，它会和正方提到哪条棱的延长线有交点？ b e a e 是 吧？好的，那我往这边走一下，然后这个交点我先不管了啊，它和哪个点同时在两个平面当中呢？你能找到这个点了吗？ 那没什么意义啊，你得往上找了是吧？有吗？这不就是这条线吗？没有意义啊，我连它是吧，找其他点没有是吧？那反方向这个我我不管了，我不要了。 反方向延长再延长谁？ bc， 这是两个面 a 啊， b b 一。 好的，没有问题。然后这两条延长线呢？存在，你先别画啊，你们先别画，先看我画啊。好，这两条延长线存在什么交点？它和哪个点也同时在两个平面当中，有吗？ 这个点是在前边这个面里边，还有哪个点在前面就它了没了呀，是吧？然后这个点是不是也在这个面当中？还有哪个点也在这个面当中？ f 点，所以我可以连接它和 f。 好的，先别画，先别画，看我好看，我画完你们再写啊，然后怎么办呀？我这个线都出去了，是吧？我这个线都出去了，我不能找这个线呀， 我应该是把它再进行延长，是吧？延长到什么地方？它会和谁相交？它会和 c c 一 存在交点， ok 吗？好，然后我找到这个点，那你能不能发现这个点同时在正方体的哪个面当中呢？ 后面和右面是吧？那还有哪个点也在正方体的后面这点？所以呢，我在连接 j h， ok 吗？然后也再进行延长，它会和哪条线存在交点？ d e c e。 好 的，然后这个点呢？ 右在正方体的后表面上，也在正方体的上表面上，是吧？好的，没有问题。再然后呢？ 哎，可以的，延长 q h， 或者说刚才我还延长了这条线和它嘛，是吧？这两个点是不是也同时在正方体的上表面上？ 那我只要连接这两点，其实也行的，一样的，是不是？好的，然后这样子的话呢，我就能够找到所有的这些焦点，应该就是这个点，这个点，这个点，这个点，这个点和这个点 ok 吗？ 但其实我们刚开始这样做的话有点麻烦，其实我觉得我们直接这样做就好了，刚开始换个颜色啊，直接把它延长到这个地方，然后呢，我能直接找到这个点， 对吧？然后刚才呢？我这个点是通过延长他和他得到的，是吧？我们有没有什么其他方法？其实是不是也可以再延长他呀？ 延长他，然后延长这条棱是不也行？然后我再把这个点跟他进行相连，就能一步到位，直接找到这两个点， 这样会更快一些。能不能理解？好的，没有问题，那么综合以上我们也就能够形成这个完整洁面，咱们画一下 应该是一个这样子的正六边形， ok 吗？好的，可以把过长自己完善一下。我们在延长的时候呢，优先是延长位于几何体外表面的这条交线， 然后再延长几何体的某条棱，让他们有焦点，对吧？找到这些焦点然后连接起来，也就能够形成完整洁面。

好，我们开始今天了，我今天不调侃你们了，为啥呢？因为你们开学，我也开学，嗯，并不是很想开学。 来，我们看一下我们今天的题啊。首先，呃，这个是天津的，天津的高考题，他并没有什么难度啊，但是有些同学估计，嗯，想不到的话，还是容易出错。我们看一下阿尔法，贝塔为两个不同的平面，则下列 结论中正确的是。首先第一个，如果 m 平行于 r 法， n 平 n 属于 r 法，那我们可以看一下，如果这样，这是 r 法平平面，这是这些 m， 那 如果你 n 再这样的话，所以说 a 不 对啊。 然后 b 选项的话， m 垂直于 r 法 n， m 垂直于贝塔，则 r 法垂直于。嗯，垂直于贝塔，那我们看一下，它这里边说的是 m 垂直于贝塔，那我们看一下，它这里边说的是 m 垂直于 r 法， 比如说这是阿尔法，这是贝塔 m， 所以 说 b 选项错误， c 选项的话，应该是正确选项啊。如果 m 平行于阿尔法 m 平行阿尔法 m 呢，又垂直于贝塔，那就这样，所以说这时候阿尔法、阿尔法和贝塔是垂直的。然后 d 选项，如果说你 m 在 阿尔法面内， r 法垂直对他的话，这个肯定不一定啊。看，比如说你的被他长这样， 所以只有 c 选项是正确的。好，第二题，看一下你的圆胎，它的侧面展开图是一个半半个圆环，侧面积是四胎，那我们看一下，我们假设这里边你这个侧面积里边的小圆半径是 r 大 圆半径是 r 大 r， 那所以说你这个面积 s 等于二分之派，因为是以半高圆环啊，二分之派，二方减小二方等于四派，那所以说我们可以得到大方和小二方的关系等于八。好，然后我们再看它要的是形成的圆台， 剩下底面积的绝对值是差。好，我们看形成圆台之后，把这个记为小 r 一， 这个呢就为大 r 一。 那我们看一下你小小 r 和小 r 一 之间的关系是什么呢？因为你小 r 的 半所对应的半圆是小 r 一 所对应的圆的值。呃，小 r 所对应的 半周长是 r 一 所对的周长，所以说也就是 r 一 是等于二派分之，派二的就等于二分之二。同理，你的大 r 一 等于派 r 一， 派二比上二派等于二分之二。 那所有说二一二一二二他们之间有这样的关系，那我们看一下他的上底和下底面积之差的绝对值，应该就是派二一的平方减派二一，小二一的平方就等于四分之派 二的平方减四分之派小二的平方。那也就是提出一个四分之派 二方减小二方，二方减二方等于八派八，所以说就等于二派， 这个是找他们的关系就行了啊。好，第三题，三棱锥，然后 a e 等于 e， b a e 等于 e， b e 是 中点，然后 a f 等于二倍的 f， c 三等分点， ag 等于三倍的 g d 四等分点。然后他说，嗯， ve 是 表示的 va 杠 e， f， g， 然后 v 二表示的是 v a 杠 b， c， d， 然后我们去看 v 和 v 二的比值，它都是以 a 为顶点，那我们现在转换一下顶点啊。 嗯，因为你 ef 在 平面 abc 内，所以说 a e f 这个平面的面积和 abc 的 面积有关系，所以说我们把 v e 表示成什么呢？ v g， a， e， f， 同理，你这个 v a， b， c， d， 它写成 v d， a， b c， 那 所以这个面积就等于什么呢？三分之一乘 g 点 d， g 到 a、 e， f 的 距离，再乘以 s 三角形 a， e、 f， 然后它的面积 v 二的体积就等于三分之一，乘以 d， d 到 abc 的 面积跟距离乘以 s 三角形 abc， 那 所以说 v 一 比 v 二，其实也就等于 d g 到 aef 的 距离乘以 s 三角形 aef 比上 d， d 到 abc 的 距离乘以 s 三角形 abc， 那 你看一下，我们看一下它们两个的比值啊， 这个距离之比，因为点 d 呢，是四等分点，所以说距离之比是四分之三。 好， s 三角形 aef 和 abc 的 面积之比， f 到 f 到 abf 是 ac 的 三等分点。那所以说你看一下这个面积的话，乘，这是乘啊，乘以，嗯，二分之一，或者说我们这样写 就用都是对 a 的 话，就是二分之一 a， e 乘以 af 乘以三 a 比上二分之一， ab 乘以 ac 乘以三 a， 那 所说三 a 三 a 约去 a e， 二分之二分之一去 a e 比 abafbc， 所以 说就是，嗯， 三分之一乘以三分之一，所以四分之三乘三分之一等于四分之一。好，这是一个体积的转换啊。好。第四题的话，他说圆锥的轴结面顶角是三分之二，派一个顶角 等腰三角形。既然轴结面是等腰三角形的话，也就说这个圆锥他的最大就这个角， 轴结面这个角是三分之二，派三三，他说的是过顶点的所有结面里边。我们看一下过顶点的所有结面 应该全都是什么呢？全都是等腰梯， 等腰三角形。都是等腰三角形的话，你上面的顶角阿尔法呢？是， 嗯，大于零度，小于三分之二 pi， 那 所以说你那个结面的面积 s 应该等于二分之一， l 方乘以三阿尔法，也就等于二分之九乘以阿尔法。阿尔法在什么时候最大呢？当阿尔法等于二分之 pi 的 时候，面积有最大二分之九。 好，我们看下一道题，这道题首先是一个正三棱锥，正三棱锥，我画一个正三棱锥， s， a、 b、 c 侧楞长为一，然后 ef 分 别是 sa 和 sc 上的动点，它说的是让当你 b、 e、 f 它的周长最小的时候是根号二。那我们做一个什么工作呢？把你这个三棱锥的侧面给它展开。怎么展呢？就是你这样这样 沿着把 s、 b 这个就相当于撕一个口子，然后 s、 b 这样 b 撇啊， b 撇。 好，那这时候你 b、 e、 f 它周长最小的时候是什么呢？这是 b 撇， e、 p 撇。那周周长最小的时候，其实也就是 b 撇， e、 f， b 撇撇，他们在同一条线上，那就是我们这个图，嗯，有点抽象， 最小的时候是根号二，而我们这 sb 撇啊，一，他一，那也就这时候他是等于九十度的。他问你这时候三棱锥的，嗯，侧面积，那我们看一下，这时候其实你这里边每个角这是多少度？三十度，然后一，一，那有这些的话，你每个面的面积就可以求了。 测面积就是三个三乘以二分之一， s a 乘以三十度等于四分之三。 好，这是第五题。好，接下来这个第六题稍微好玩一点。啊，我，我不知道你们大概能够想到那个是什么样的图形，不能，就是你不行的话，你就，嗯把这个自己找一个长方形的水瓶子， 嗯，然后装水去看一下，试一下。你先不要纠结这个四十五度，你就看一下水平面，可能是这样的，也就是不超过这个角角， 也有可能超过这个角角往上面去的。不超过这个角角的话，从我们主视图的方向看，它是一个三角形，但是你别忘了它是一个什么呢？长方体，那所以说它是一个三棱柱， 而这里边超过这个角角的话，下边他是一个长方体，上边是一个大的三棱柱。那好，我们看一下他这两种情况的话，我们一个一个去考虑啊。如果是这种情况的话，那也就是假如说我们设它的腰长是 a a， 因为他说你本来的水的体积是四百毫升，然后 嗯嗯边长为十的，这水平面是不是哦？他要的是墨水，墨水平，那我们看一下，如果是四百毫升的话，也就是说你你有什么呢？你应该满足的是二分之一 a 方等于四百， 比上十等于四十，因为你这个三层就是他的体积，或者说我换用另外一种方式去表示他这个， 嗯，体积我记为 v 一 吧， v 一 其实也就是这个三角形的面积，二分之一 a 方乘以你的高高，其实那那就啥呢？你长方形的长，长方体的长乘以十应该等于四百， 那也就说你这个 a 应该等于多少呢？四倍根号五，但是四倍刚好是五是大于八的，也就说它这个本来我们不超过这个角角的话， a 应该小于八，但是现在按照它满足体积等于四百的话，你这个 a 是 大于八的，所以说这种情况不存在， 那也就说应该是这种 v 二的情况。 v 二它的体积分两部分，那假如说我们把这一段的长度记为 b， 那也就是它的体积分为下边的长方体、长方高，分别是八乘十乘以 b， 再加上这段是八、八 八乘八乘二分之一，这是三三棱柱的体积，再乘以十，它等于四百。我们去解一下，你这个 b、 b 是 等于几呢？一是可以的， 那所以说接下来就求他接触的面积，那你这面积 s 是 什么呢？首先前边是这样一个什么呢？梯形，梯形，前边一个，后边一个，所以说这是两个。还有底面这个面积，所以说就是二乘四十 加上一乘十加九乘十加八乘十，等于二百六十，所以这是他最后的面积啊。 好，这是第六题。然后接下来我们看一下第七题。第七题也是一个体积转换。首先平行六面体 p 是 a、 e、 d， a、 e、 d 上的一点，然后他说三棱锥 哪个呢？ v、 b 一 杠 a、 c、 p， 好 比上 v、 a、 b、 c， d 杠 a 一 b 一 c 一 d 一 的体积，那我们去看一下你的 v b 一 杠 a、 c p， b 杠 a、 p、 c。 那 我们看一下啊，这里边 p 点所在的直线是谁呢？是 a、 e、 d， 因为 p 在 a、 e、 d 上，而你的 a、 e、 d 呢？ a、 e、 d 又平行于 b， e、 c、 e、 b、 e、 c， 所以说你 a、 e、 d 平行于面 a、 b、 e、 c， 它平行于这个面的话，也就这个线上的任何一点到 b 面 a、 b 一 c 的 距离都相等，所以说 d p 到 a、 b、 c 的 距离就等于 d d 到 a、 b、 c 的 a、 b、 c 的 距离。 那所以说这时候我们就可以把这个三棱锥的体积，本来它的体积等于三分之一，乘以 d， p， 杠 a， b， e， c， 再乘以 x 三角形 a， b， e， c 现在就等于三分之一 d， d 到 a， b， e， c 的 距离乘以 x。 三角形 a， b， e， c， 它就等于谁呢？就等于三分之一 v， d， 杠 a， b 一 c 的 距离，那我们再把它轮换一下，整顶点就等于什么呢？哎，这个没有三分之一了，就等于 v。 我 现在让以 b 一 b 一 杠 a， d， c 的 距离的体积，它就等于 二分之一 v， b 一 a， b， c， d 就 等于三分之一乘二分之一 v， a， b， c， d， 杠 a 一 b 一 c 一 d。 好， 它的一比六是这样来的啊， 好，那接下来我们看一下第八题。第八题，这个是茂名的一模题，我们看一下难度有没有啊？首先，嗯，这道题是，如果说没有图的话，你能不能想到啊？首先你看一下，如果是没有图的话，我们画一个正方体， 正方体，然后 abcd， 我 们看一下假设没有图啊， a 一 b 一 c 一 d 一， 然后 a， e 等于二倍的 e， a， e 三等分点 c， f 等于二倍的 c， e， f， c， e， f， c 三等分点，然后过 b， 这是 e f 平面 所结的周长。我们先想一下你这个接下来它的，嗯，它的那个结面怎么画啊？结面的话，我们上一节课说要干嘛呢？要找平行线，那我们看一下往上边去找平行线的话来，或者说过 f 点做 e， b 的 平行线， 假如说平行的话，假如说这是 n 点， n 点平行的话，我们需要知道 n 点在哪里？如果 若 n， f 平行于 e， b 的 话，应该有 s。 三、三角形 e， a， b 和三角形 f， c， e、 n 是 相似的，也就有什么呢？ e， a 比上 ab， e， a 比上 ab 应该等于 c， e， f 比上 c， e， n 等于一比二。 cf 是 等于多少呢？是等于二， 它冷场为六的话，它是二，二比四。嗯，等一下，我看一下。我说呢，这不是二分之一啊。 e， a， b 上 ab 应该是等于 四比六，那所以说 c、 f 是 二，所以说 c， n 是 三，所以说 n 为中点。 那你同理，同理什么呢？过 e 点做平行线，也就会得到 a、 d 的 中点 m， 所以 说那也就是 m 和 n 点是 是中点，然后去求。那我，那，所以说这个图形出来的话，那它的面积就好求了吗？这个面积的话，你看一下。嗯， 你这里边去算他们的长度。 n、 f， 这是二三，这是 n， f 等于 a 等于 e， m 等于根号十三，然后 b， e 等于 b， f 等于，这是四六，所以说等于二倍，根号十三，然后 n、 m、 n 的 话，三三就等于三倍根号二。那所以说，哦，对，他要的是周长，就是加起来六倍根号十三加三倍根号二。那你看一下，如果要面积的话，能算不能面积？面积的话，你把它给分割一下就行了啊。好，这是第八题。 好，第九题的话题好像有点简单，其实很快就可以过了。圆柱内有个棱长为二的正方体，各个顶点都在圆柱上，剩下 轴结面为正方体。注意啊，你里边有一个正方体的话，轴结面是正方体的。轴结面正方体的。嗯，不是正方体的对角线的结面，所以说对角线不是正方形啊。所以说 a 是 错的。 b 选项过正方体的中心， 将平面圆柱体积分成相等两部分，这个是肯定的，只要是过中心的位置，都是可以 将体积分成两部分。圆柱的表面积的话，那我们看一下，棱长为二，这是二，那半径这是什么呢？根号二，这是二，那所以有半径有高，那表面就可以求 好 d 选项。如果圆柱的圆柱的上下底面是一个球的两个结面，该求的体积，那其实也就是让你求这个圆柱的外接球。圆柱的外接球，也就是说球心是连接你这个正方体正中心的位置和 a 一 去求就行了。刚才说了，这是一，这是根号二，那所以这是根号三，二等于根号三， 剩下的自己算好。这是第九题。第十题的话，我们看一下第十题，这道题答案给的方法是，嗯，见了坐标系，其实不用见坐标系，你直接看图就能够出来啊。首先你要知道 e 是 在哪呢？ a c 上的一个终点， a， c 上的终点，屁是你 b c 上的一点，可以取到 b 和 c， bp 等于拉姆，那被的 p c， bc， 一 会儿在这上面进行移动，等于二分之一的时候，正好也就说你那个 p 点呢，就是中点 终点，然后他说这时候 e p 平行于 a d， 那 肯定要中位线，所以说 a 选项正确，然后 b 选项，他说当你当中的等于二分之一的时候， e p 垂直于 a c， 它底面是长什么样呢？底面是这样， 所以说你 e p 和 a c 都不垂直，怎么会和你 a、 c e 垂直呢？ b 选项错误， c 选项它说的是存在拉姆的，使得 a e e， a e 在 哪呢？在这 和你的 c、 e、 p 平行。来，你看一下啊，你这时候它两个是什么直线啊？意面直线呀，所以 c 选项不对， d 选项拉姆呢？会使得 e p 平垂直于平面。 a 一 b a 一 a a 一 a c c e e p e p 那 那我只要垂直垂直 ac 吗？垂直 ac， 那 也就是当你 p 点是 b 点的时候就可以满足。 所以说第十题简单啊，选 a d 好 看。十一题 谁提这道题啊？能做不难？来，我们看一下三棱台侧面 a a c a c c e a e 是 等腰梯形，且与底面垂直，这个垂直条件很强的啊。 a c 一 等于一， a a 一 等于根号二， a c 等于 bc 等于三 a 三三 ab 等于三倍根号二，三倍根号二。那这不就是告诉我们这个角是直角吗？这个角是直角的话，那所以说 bc 垂直于 ac， 这是 ac， 是 两个垂直平面的交线，所以说 bc 就 垂直于 垂直于面。 a c c 一 a 一， 那 a 选项是正确的。好， b 选项他要的是 v a 一 杠 abc a 一 杠 abc 和 b b a 一 b 一 c 一， 它的体积，那我们看一下这个体积应该怎么求啊？那就是他们的体积关系是怎么来的啊？那我们看你这个 v a 一 杠 abc， 它是等于什么呢？它等于三分之一乘以 h， 这个 h， 我 们记作是你这个它 a 一 到底面的距离 h 乘以 s 三角形 a b c 没有问题吧？好，那你应该要 v b 杠 a 一 b 一 c 一 b 杠 b， 它也等于三分之一，什么呢？乘以 h 乘以 s 三角形 a 一 b 一 c 一， 那这两个三角形它因为是三棱台，它上下平面是平行的，它的边长之比是一比三的话，那它面积之比是一比九，所以说 b 选项是正确的， 好，这是 b 选项啊。好， c 选项的话，我们看一下 v a 一 杠 abc 和 v b 杠 a 一 c c 一 b 杠 a 一 c c 一， 那我们也是来个转换嘛，让它等于 v b 杠 a 一 ac， 好， 它是 b 杠 a c c e， 那 我们看一下它其实也就是，嗯，最后的体积之比，其实转化成了三角形面积之比。哪个三角形呢？它的体积等于三分之一点 d b 到 a， e， a， c 的 距离，它等于三分之一啊。还有乘以 s 三角形 a， e， a， c， d， b 到 a 一 c， c 一 的距离乘以三角形 a 一， c c 一， 这两个距离还是相等的，所以说面积之比就是它们两个的三角形的面积之比之比。三角形 a 一， a 一 a c， 这个三角形 和三角形 a 一， c， c， c 一 和这个三角形，它们两个同高，嗯，同高，但是底底是什么呢？一比二比上一， 那三比上一，所以说体积之比应该是三比一，所以说它应该等于三倍的它啊，所以说 c 选项是错误的。 三棱台的体积，那我们看一下这里边三棱台上下底面积都有，只差一个谁，那高，那这个高在做的时候，刚才其实这个 h 是 可以求的，这是一一一， 然后刚才说是等腰梯形，那所以说这个，嗯，高，也就是一了一，一根号二吗？ 所以高是一，那所以 v d 选项 v 就 等于三分之一，乘以二分之一，加二分之九，加根号下二分之一乘二分之九，等于六分之十三。好， d 选项结束。 好，十二题的话，这道题也比较简单，你们自己做吧。 十三题，我们来看一下三棱，嗯，三棱柱，它有水侧棱， a a 一 的长度等于十八， 然后底面三角形，三角形 ab 边上的高，这个长度是 h， 那 也就是这个 c 一 到 ab 的 距离，这个是 h。 好，他说的是当 a、 b、 c 置为底面的时候，高度为十六，那这个长度是十六，那我们看一下，我们设 s， 三角形 a、 b、 c， 就 把它设为 s， 那 所以这时候微水也就等于十六， s 就 为微水。 那我们看一下温水，他在不管是你竖着放还是横着放，他水的体积是不变的，那我们看一下，这个，他要的是这个高度啊。上边，嗯，这里边， 那刚才是横竖着放，我们看一下，横着放，横着放，它的 v 水还是等于十六 s， 但是我们换一种计算方法，也就什么呢？它还等于这个，呃，四棱锥的体，四棱柱的 体积，四棱柱体积在算的时候，它底面积是这个等腰梯形高是这个 a a 一 的长十八，那也就说你这个这个面积就为 s 一 s 几，它是等于十八 s 一， 而你的 s 一， 我把这个梯形的高，也就是我们水面的高借为 h 撇儿， h 撇儿，那它应该，那我们看一下，嗯，你这里边本来是有它 s 和 s 之间的关系，那所以说 s 撇儿 比上 s 等于十六，比上十八等于八比九。那然后我们看一下，那你这里边梯形的高，我把它设为 h， 它这个 h 一， 呃，梯形的高设为 h 一 的话，它和这个 h 是 有关系的。是什么关系呢？ 根据我们这个，嗯，它两个面积的比值是八比九的话，这两个三角形面积的比是八比九，上边和下边这个比值应该是一比边，长之比是一比三，那所以说 h 减去 h 撇比上 h， 它括号的平方是一比九， 所以说 h 撇是等于三分之二。 h 刚才其实到这个九的时候，你应该就考虑到它跟三有关了啊， 这个十四题也是考察你空间立体想象能力的，它重叠的时候， 它这里边 a、 e、 c 和 b、 d， e 都经过了正方体最中心的那个位置，也就是这个 e， 现在它到底面的距离其实也就是 b、 d 和 a、 c 的 正中间的位置。 那所以说你看一下他这时候再分割出来这个体体，那如果要求的话，我们再把它分割，我们去找 b、 c 的 中点连接，找 a、 d 的 中点连接，那首先你看一下这个 e、 e、 abc、 d 这个中点，我记 f、 f 撇，那所以说 v， 嗯，要求的体积就等于 v a， b， e 杠 f 撇 f e， 再加上 v e 撇 杠 f 撇 f c、 d， 也就是一个三棱柱和一个四棱锥体积相加，这样的话你应该就好求一点， 那那你们自己求吧。哦，还有就正方体体积是是十六倍根号二的话，那也所以说 ab 的 三次方等于十六倍根号二， ab 等于二倍根号二，那你求吧，这是根号二，根号二，二倍根号二，根号二，二倍根号二，他说体积很好求了，自己求了啊，三分之十倍根号二，好结束。

为什么高考例题几何大题中，命题人往往最偏爱向量法，因为间隙就是例题几何最稳的解题路径。今天这节课，主播就用五分钟带你轻松掌握间隙，设点求值，无人扶，你轻盈至，主播助你上大分开整。 各位同学好，那么今天呢，我们来讲一下向量的坐标表示。首先呢，一定要有一个平面直角坐标系。一般来说，一个向量是由两个点组成的，一个就是它的起点，比如说 a 点是 x 一， 逗号 y 一， 接下来还有一个 b 点， b 点的话是 x 二，逗号 y 二。那么如果 a 是 起点， b 是中点，那这个项链是不是可以从 a 指向 b 的 一个项链项链 ab 应该怎么样用这两个点来表示呢？很简单，它写出来就是 x 二减 x 一， 逗号 y 二减去 y 一， 就这么简单，可以吧。核心来说，其实后减前后面点的坐标，减去前面点的坐标。来，我举个简单的例子啊，点 a 是 三二，点 b 是 四一，好，那我问你，向量 a， b 等于多少？ b 的 坐标减去 a 的 坐标，所以四减三应该是等于一， 一减二的话，得以得到等于负一，所以我们就可以得到答案，应该是等于一，逗号负一，可以吧？ ok， 这就是一个简单的点乘向量的一个非常重要的运算。好，那除此之外，那如果有向量，那肯定是有向量的之间的运算。如果我说这是 a 向量，那假设 a 向量是 x 一， 逗号 y， 这是 b 相量的话，我们写出来应该是 x 二都好， y 二好。这个时候我问 a 和 b 它有些什么样的运算？其实无非就是加减乘除嘛。第一个， a 相量加减 b 相量等于应该是它们的坐标加减坐标，是吧？ ok， 第二个啊，就是相乘 楞打倍的 a 向量，如果乘一个式子的话，应该是等于括号楞打 x 一， 逗号楞打的 y 一， 对吧？那如果我要算 a 的 模长的话，等于多少？等于根号下的 x 一 的平方加上 y 一 的平。 好，接下来其实还有一个叫数量机， a 向量点乘 b 向量，实际上是 x 一 乘以 x 二，再加上 y 一 乘以 y 二啊，这是数量机，这其就向量的基本的坐标的计算其实不难啊，你们记住这两个常见的点就会，第一个如何去设点， 第二个如何去设动点。如果我知道一条线，这是 a 点，这是 b 点，这是 p 点。假设 pa 比上 p b， 我 们可以得到应该是等于 x 比上 y， 那 么我们是不是可以知道一个结论， p 点的坐标等于 a 的 坐标加上某个 b 的 坐标，它的分母啊， 意思就是他们的比值相加就是 x 加 y 分 子的话，分别是找的是隔壁，所以对的是 y 倍的 a 和 x 倍的 b， 好 吧， ok， 这就是一个简单的已知比例的设点方法。我举个简单的例子， a 点在这里是一二啊， b 点在这是三四。好，那 接下来 p 点在这，这个分数应该是六比五，那接下来 p 的 坐标应该是等于多少倍的 a 加上多少倍的 b 啊？他两个系数，注意，他的分母一定就是把这俩比例把它给加起来，就十一五加六等于十一 分子的话，就找隔壁啊， a 对 的是隔壁的五， b 对 隔壁的六，所以我们可以得到是十一分之五倍的 a 加上十一分之六倍的 b， 大家有没有问题？第二个就是如果我会涉及到动点的话，应该怎么去设，那么就是 p 的 应该等于 number 倍的 a 加上括号下的 e 减 number 倍的 b， 对 吧？这就是动点的 设点方法。那我们来看一下这题啊，这题我在这里给他稍微给大家去讲几个方法。首先第一个，他说这是一个边长为一的等边三角形，然后他说 d 是 b， c 边上的动点，这是我们的 d 点。然后呢他说如果做 d， e 垂直于 a， b， d f 又平 菱形于 a， b 交 a， c 于 f， 那 问如果是两倍的 b， e 加 d f， 它的值应该等于多少？直接用间隙是不是就可以了？来，我们是不是可以以那个 a b 的 中点为 o 点，然后呢？如图，间隙由于这个边长为一的等边三角形，所以你看这是不是边长为一，这是不是二分之一，二分之一？对， 所以我们可以看到这是一，也就是说整个高度我们可以得到应该是等于二分之根号三。所以你看我们简单的找到几个点， a 点的坐标其实负二分之一，逗号零， b 点的坐标其实就二分之一，逗号零， c 点的坐标我们可以得到应该是零逗号二分之根号三。好，把这些都找到之后，那接下来 d 点的坐标是多少？哎，有没有发现 d 点的坐标它是在这个 值上面移动的，所以它是个动点嘛？那也就说我们用动点的射点的方式是不是就可以了？也就说 d 点应该等于 luma 倍的 b 相量，是不是加上 e 减 luma 倍的 c 相量， 求出来应该是多少？ number 倍的二分之一零，再加上一减 number 倍，括号的二分之零，逗号二分之根号三，那也就是说他写出来应该是二分之一倍的 number， 逗号二分之根号三倍的括号下的一减 number。 这就是一个最简单的设置， 这个大家听懂了没有？那第一点的坐标有了，那一点的坐标是多少啊？做垂直，我们可以发现一点的横坐标， 就是一定是跟 d 点的横坐标是一样的，所以我可以得到是二分之一 number 逗号零。那由于这里是做平行， f 点跟 d 点刚刚好是关于我们的 y 轴对称，所以 f 点的坐标是负二分之一倍的 number， 逗号二分之，正好三倍括号的一减 number， 我们可以看到 b 一 向量，其实求出来应该是等于二分之一倍的 number 减二分之一逗号零，所以看到二倍的 b 一 向量，其实求出来应该是 number 减一逗号零。那么 d f 向量又应该等于多少啊？ d f 是 不是也是两个相减，应该是等于负零，打逗号零，那 所以我们就可以看到二倍的 b 一 向量，然后再加上 d f 向量，这应该等于多少？加起来是等于负一逗号零呗。那负一逗号零，那我们可以发现它的魔长哎，就很简单了，其最终可以得到，这是等于一， 所以这道题目核心得到就是等于一。这就是怎么去设点来。这题我们从另外一个角度告诉大家，有没有什么更好的方式去解决啊？这道题目啊，他告诉了我们 d 是 b， c 边上的一个动点，就所有的动点，你要记住，只要他涉及到终点，加上一个固定值， 无论他怎么动，然后最后让你去求一个定值，那这个时候你就可以有一个非常重要的方法，你就把它改成特殊值就可以了，也就意味着我可以直接用特殊值去解决这种问题。那这里第一点的特殊值你觉得放哪算特殊值？它是不是可以放在一个终点的地方？ 第一点我就把它改成中点，做垂直，做平行，这一段长度是二分之一，因为我们知道 bc 长度是一吧，所以一 b 长度我们可以得到，算出来这是不是应该等于四分之一，没问题吧？而我们知道这里的 d、 f 的 长度啊，因为是中位线，是不是也应该是二分之一，所以我会发现 d、 f 的 长度 其实就应该等于二分之一。那二倍的 b、 e 的 魔长啊，其实可以求出来应该是等于多少呢？也是等于二分之一，所以二倍 b， d、 e 的 魔长再加上 d、 f 的 魔长啊，这两个加起来其实就应该等于 e， 就 这么简单，对吧？ ok， 就 如果我们要去求它，就是这么简单，这就是终点特殊值的方法，可以理解吧？ ok， 好， 这是一个非常非常重要的方法，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。 苦练十年，不如名师指点，每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

大家好，欢迎来到欣欣子爱数学，今天我们的每日一题是这道题，我们来看一下，他说三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， 哦，我们要得知道啊，内内接于圆 o， 那 我们他说三角形在内接于圆 o， 那 说明这个三角形的外接圆就是这个圆啊，我们要得知道这条件，然后他说 ab 是 圆的直径，哦，圆的直径。你看啊，这个圆的直径是 ab， 那第二、第三条这个顶点，我们我们在初中学过，那如果这个三角形的顶就是三角形，他就是三角形的外接圆，如果这条边是我的圆的半径，那我这个这个点如何动？无论是在这样子还是这样子，那他都是垂直，对吧？我们知道这一条线，好， 那我们就知道了这样一个条件，那 a、 c 就 垂直于 c、 b 啊，这条垂直的，然后他又说了个 c、 d 垂直于平面， a、 b、 c， 哦，那就是这个 c、 d， 它是垂直于这个底面的啊，那非常好。哎，那我们发现了它垂直于这个底面的，垂直于这个底面的任何一条线，哦，所以三个线垂直，那等会第二问，怎么间隙啊？哎呦，我们就按照这个方向去间隙，对吧？然后 这个方向，然后这个 c 的 方向键来，我们间隙条件都出来了，对吧？来，我们我们再第一问，再继续看啊，我们第一问继续看，他说这个 e 为这个 a 的 中点，你看 a 的 中点是 e， 哦，点 e 是 a 的 中点。然后我们要得证明什么， bce， 你 看 bce 这个平面和 a、 c 的 垂直。 哎，那 bce 这个平面中哪条线和 a、 c 的 垂直呢？我们是不是这个，呃，这个 bc 这条线和这个 a c 的 这个平面垂直， 这，这显然，对吧？我们渐细的话，我们必须得三三两两。垂直嘛，那必然。这个，呃，比如说我这个渐的是 z 轴，那这个就是 x 轴，这是 y 轴，对吧？那必然。 y 轴是垂直于 x 轴的， y 轴垂直于 z 轴的，那 y 轴垂直于这个 x o z 这个平面的，对吧？所以说明这个，呃， bc 就 垂直于这个平面 a、 c、 d 嘛，这，这必然的嘛？好，那必然呢？ 那然后我们线面垂直，那是不是就是面面垂直？那我这个 bce 这个平面，那 bce 是 不是在这个 bce 这个平面内？好，我线面垂直了，那面面就垂直，对吧？好，那这个我们该怎么去写这个条件呢？是不是因为这个？呃，因为这个 ab 是 直径， ab 为圆，呃，这个圆 o 直径， 哎，所以，嗯，直径写好。然后，所以呢？所以这个 a c 是 不是就垂直于 c b？ 好， 那 c， b 垂直于 a c， 然后我又因为这个得 c 是 不是垂直于面 a， b， c， 哎，然后这个 c b 在 这个面 a， b c 里， 所以这个得 c 垂直于 c b， a， c 垂直于 c b， 那 a c 和这个得 c， 它交于点 c， 所以 说明我的这个，呃，你看，啊，哦，我还要得写一个什么，那 a c， 然后得 c， 再面， 哎，我们，我们要得写一个再平面，你看，在平面这个 a、 c、 d 中，哎，所以谁？所以这个 d c， a， c， d， 对 吧？ 好，那 c， b 就 垂直于面 a， c， d， 对 吧？好， c， b 就 垂直于面 a， c、 d， 然后这个，因为 c、 b 在 这个平面，这个， 呃，那个我们要所求的是 bce， 对 吧？ bce 中，哎，所以，所以我们可以说面 bce 垂直于面 a c 根，好，我这个过程就写好了，那第一个非常轻松，对吧？我们再看第二个，那间隙条件我们都有了，然后我们就去标一下嘛， ab 等于根号五，哎，这个，呃，斜边是根号五，然后 bc 等于一，哦，这个边是一，然后 c 得等于二倍根号三，二倍根号三。好，那 x、 y、 z 轴上的所有点都出来了，但是我这个 x 轴上的点还没有出来，对吧？来，这个斜边是根号五，这个零边是一，那就是五。减一等于四，那就是二嘛，对吧？这个边就是二，好，那我们就开始间隙，对吧？你那个第二个，那个间隙过程，你不要忘记以 c 为 昨天那个。这道题比较难，对吧？我没有写那些间隙过程呀之类那些过程，对吧？那今天我们再复述一遍啊。以 c 为圆点，然后 c a 向量为 x 轴，那不要忘记向量啊。呃，然后 c b 向量为 y 轴，对吧？然后再写这个 c 的 向量为 z 轴间隙 啊，如图，大家写好，然后我要得写 c 点坐标，对吧？零到零到零，哎，我要求的是啥？我要求的是 b c e 平面和 b d e 平面，对吧？那就先要写 b 点， c 点， e 点，然后 b， d， e， 对 吧？ b， d， e， 哦，还有一个得点，好，就这四个点，对吧？好， b 点坐标，我们看一眼 b 点坐标，它是在外轴上，对吧？那就是零到 一到零，对吧？好，一点，坐标，一点坐标，它是在这个 x、 o， 这个 z 这个平面，对吧？一点还是这个 a 的 中点，对吧？那中点的话，那它是在 x 轴的中点上五， z 轴的中点上，对吧？那我们看一下，一点坐标，它就是 x 呢，就是一到零到二倍杠三，就是根号三，对吧？好，一点就出来了，得点坐标，得点坐标就是零到零到二倍杠三， 零到零到二倍根号三。我们要得写那个 bce， 对 吧？那设面这个 bce 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 好， 然后 b c e 的 话呢？ c 点是圆点呢？就是写 c b 向量，然后再写个 c e 向量等于，呃， 零到一到零，对吧？然后 c e 向量呢？就是呃一到零到根号三，对吧？好，我们再直接写。呃，这个我们还要得写一个过程，叫什么？两个向量，向量和向量乘积，对吧？ 来，我们要写一下向量和向量乘 n 等于零，然后这个 c e 向量点乘 n 等于零，对吧？然后我们要得写 n 了， n 等于来求 x 反 x， 它乘它减它乘它哦，刚好三。然后求 y 等 y， 它乘它减它乘零哦，零 go 求 z 等 z， 零乘它减它哦，负一，对吧？我 n 就 出来了，然后我还要再写一个设 面，哪个平面？来两个平面嘛，对吧？ b 得 e， 对 吧？ b 得 e 的 法向量雷 n m 等于 x 到 y 到 z， 好， 然后我们写一个哪个向量比较好？写，我们是不是 b 的 向量比较好？写 b 的 向量等于零到负一到二倍根号三，对吧？然后呃，我们再写一个 e 点的话，我们是不是 b e 也比较好写 b e 向量好， b e 向量呢？就是一到负，一到根号三，对吧？好，我两项量出来了，我们再写一个 m 点乘 b 等于零，对吧？把 m 乘 x 乘 x 乘它减乘它哦，那就是 这等于多少负的根号三，再减去二倍根号三，再乘负一，对吧？那就加上二倍根号三，二倍根号三减三等于根号三，对吧？然后求 y 档 y， 它乘它减它乘它，哦，那就是二倍根号三，对吧？然后求 z 档 z 它乘它，减它乘它，哦， 那就是一嘛，对吧？好，我法向量就求出来了，法向量求出来了，我就把它擦干净啊。好，我法向量，两个法向量都出来了，对吧？我要写什么？两个平面的二面角，对吧？二面角的余弦值。你看两个平面，平面与平面所成角，呃，如果他说是二面角所成的角，那就是嘛，那就肯定都是有正有负，对吧？那，那无所谓，我们都直接求就行了。设 这个面，嗯，你看啊，设面 bce 与面，这个 b 的 e 所成 角为 c， 它，对吧？然后我们写口三也 c， 它等于口三也角 m 和 n 的 加角，对吧？好，嗯，对对对对，对啊。来，我们直接算，要是 m 点乘 n 比上 m 的 模点乘 n 的 模，对吧？好，然后算一下， m 点乘 n 的 就是 n 在 上面啊，刚好三乘刚好三，就是三，对吧？三，然后二倍刚好三没有了，然后再减一，对吧？减一比上下面， 哎，我们再算一下，下面啊，下面的话就是，呃，上面的膜就是根号三的平方等于三，加一等于四，就是二，对吧？然后再乘以根号下，呃，三的平方等于根号三的平方，三，对吧？然后三，再乘四，三，四，十二，十二，十三，十四、十五、十六，十六，对吧？十六的话，那就是四嘛？好，那就是四， 这边就是四。来，我们直接写三减一等于二，二二约掉有四分之一，所以口三也塞它等于四分之一，好，我们就直接写答案，对吧？好，这个平面与平面所成二面角的余弦值啊，你就再把它答一遍，平面与平面所成角的二面角的余弦值等于四分之一。好，这题就答完了。好，这样的，呃，答一下就完了。好， 昨天的那个格式一定要不要忘记啊，昨天我讲的时候我好多东西都省略了。 如何去间隙，你要得把间隙过程写好，然后点坐标写好，你还要得写一下这个设这个平面。呃呃，这，这就不用写了，然后再写这个设这个平面的反向量为 x y z， 然后写出这个反向量，对吧？呃，然后还要得写这个线面角设这个哪个线和哪个面做成的角为 c t， 然后线面角等于它，然后往里面带着，一算啊，就出来了就。 呃，我们要得，一定要注意格式要怎么写，一定要在控制在它是十三分钟内把它的过程也写出来。好，大家加油。