六下第三单元怎样画圆柱

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

圆柱的侧面展开图 画区为直，长为一个长方形，长方形的长为 底面圆的周长，长方形的宽为圆柱的高。

天，我们分享一道圆柱侧面展开图的重点题型，看题，把一个边长是三十一点四厘米的正方形，卷成一个最大的圆柱，给这个圆柱配个底面，第一问，这个底面的面积是多少平方厘米？第二问，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 我们看其中的第一个信息，这是一个正方形，它的边长是三十一点四厘米，然后卷成这个词含有最大。 由这个题我们发现，把一个边长是三十一点四厘米的正方形卷成一个最大圆柱的时候，我们可以得出这个圆柱的底面周长 c， 它就等于这个正方形的边长，那就是三十一点四厘米。 同时它是一个正方形，那么它卷卷成这个最大圆柱的时候，它的高，正方形的边长就等于这个圆柱的底面周长，还等于这个圆柱的高，所以我们进而求出这个圆柱的高 a t 也等于三十一点四厘米。 这是我们通过分析题找出题中的两个突破口。然后我们看第一问，这个底面的面积是多少平方厘米。我们通过读题，通过分析题，我们知道这个圆柱的底面周长， 它就等于正方形的边长，那就是三十一点四厘米。那有由圆柱的底面圆的半径按，它就等于 c， 除以 pi 除以二，它就等于三十一点四，除以三点一，四除以二，它就等于五厘米。 底面圆的半径是五厘米，那么底面积 s， 它就等于派二的平方，就等于派乘以五的平方二十五，派七十八点五平方厘米， 所以这个底面的面积就是七十八点五平方厘米。这是这个题的第一问，那么这个题的第二问，这个圆柱的体积是多少立方厘米？我们知道圆柱的体积公式 v 就 等于底面积乘以高 底面积。在第一问中，我们已经算出来，他就是七十八点五，那么他的高呢？我们知道这个圆柱的高，他也等于这个正方形的边长，那就是三十一点四厘米，所以我们乘以三十一点四厘米， 他就等于两千四百六十四点九立方厘米。 这个题的突破口就在于用一个边长是三十一点四厘米的正方形卷成一个最大的圆柱，那么这个最大圆柱的底面周长和高他们相等，都等于这个正方形的边长，这是这个题的突破口。把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

关于圆柱体表面积的问题啊，他也是六下考试的重点，但是在我们的生活中，在我们考试当中，有的时候他不是让我们计算整个圆柱体的表面积， 你比如说有的时候考水桶、笔筒，求他们的表面积，我们这个水桶笔筒等，他只有一个底面加上一个侧面， 所以我们要推导出这样一个底册公式，就是只有一个底面和一个侧面的公式，这些公式在学校里你们永远都学不到，那今天王老师就教会你怎样推导圆柱体的底册公式，就是 s 底册。 哎，王老师，那还有底面积和侧面积公式来，同学们来观察。我们知道圆柱体底面是一个圆，那么这条中间的侧面展开之后，沿高剪开以后是一个长方形，这次长方形的是不是周长是 c 啊？ 那接下来我要把这个圆，我们利用转化的思想，把它转化成我们以前学过的近似的一个长方形。各位看看这里啊，我把它剪转化成一个近似的长方形，把它分 成若干个偶数等分。然后呢我把它转化成长方形，大家仔细看啊， 近似的长方形，这个是六上，我们就已经学过了。各位，那这个是不是派 r， 那 这个是不是就是 r， 因为转化前后它们的面积不变。那么接下来各位，我要把这个近似的长方形给他拦腰砍断。 为什么要拦腰砍断呢？因为我要把它把这个底面和中间的侧面给他放在一起。那为了更清晰的表达各位，我现在把这个圆给它擦掉，接下来同学们不要眨眼啊，仔细看啊， 我把它擦去以后来这个是不是拍耳？那么这拦腰斩断以后，上面是不是也是拍耳？把它俩怎么样给它接在一起？这是底面的周长拍耳加拍耳，是不是就是周长？所以啊把它分成两个， 这个是拍耳，这个呢也是拍耳，加起来是不是刚好是二拍耳？那么同学们来看，这一段是 这个宽是 r r， 那 么拦腰砍断中间分成一半，那上面这部分是不是二分之 r， 对 不对？所以这部分加上加上了这一部分，这个宽呢就是二分之 r 圆半径的一半。那现在我把这个底面这个圆和圆的这个长方形给它合二为一，那此时此刻那么这个底面积加中间这个长方形给它合二为一，那就是 这个长方形的长是不是 c 啊？也就是二派二乘宽，宽此时此刻变成了原来高，是不是加上这个二分之二， 所以就是 h 加二分之二，所以有了这个底色公式，只要告诉我们圆柱体底面圆的半径和圆柱体的高，我们就直接带入这个底色公式，从而求出它们的表面积，只有一个底面和一个侧面的表面积。 那对王老师所讲的，各位你学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 very easy！

长方形绕边旋转三百六十度组成圆柱体。六年级下册第三单元要学习圆柱与圆锥，老师会要求孩子准备好教具，他能还原课本上的推导过程。圆柱与圆锥的体积推导公式是这学期的学习难点，借助教具，孩子更容易理解推导公式。 你看，把一个圆柱体的体积是底，面积乘以高。 通过展开图可以发现，圆柱的表面积是圆柱的侧面积，加两个底面面积等。底等高的圆柱和圆锥可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。还有课本同步的变动成体系。一套六年级下册马上要用到的学具套装，都给孩子准备起来。

右图这个长方形，长是二十厘米，宽是十厘米，分别以长和宽为轴来旋转一周，得到两个圆柱，那么它的体积分别是多少？如果以长为轴宽绕着这个轴这样旋转一周的话，最终形成的圆柱的高就是二十厘米。 最终形成的这个圆柱底面半径是个圆，那这个圆的半径对应的就是原来这个长方形的宽，所以以长为轴旋转得到的圆柱高是二十厘米，那么底面半径呢？就是十厘米。 如果以它的宽为轴啊，让它的这些长都沿着这个轴去旋转一周的话，那形成的这个圆柱对应的高就是原来长方形的宽。一是高是十厘米形成的圆柱底面是个圆，那底面圆的半径正好对应的就是原来长方形的长，所以圆柱底面半径就是二十厘米。 我们来看这两种情况下形成的圆柱的体积是多少。以长为轴旋转成的这个圆柱，他的高知道，底面半径也知道，所以他的体积就等于三点一四乘底面半径的平方，再乘高 算出来等于六千二百八十立方厘米。以它的宽为轴，这样旋转成的圆柱对应的底面半径是二十，高是十，所以它的体积就是三点一四乘二十的平方，再乘十算出来等于一万两千五百六十立方厘米。 通过这两个图我们就可以总结出来，分别以长方形的长为轴或者是宽为轴来旋转一周，得到的这两个圆柱为轴的这个边对应的就是圆柱的高。和轴相邻的这个边啊，对应的就是圆柱的底面半径。二。 那通过这两个数据比较，我们也可以看出来，以较短的这条边为轴，旋转一周，所得到的这个圆柱的体积是比较大的。 来看例题，一个长方形，长五厘米，宽三厘米，以长为轴，旋转一周，形成圆柱 a， 以宽为轴，旋转一周，形成圆柱 b。 那 么 a 和 b 的 体积比是多少？刚才我们已经总结过了，为轴的边对应的就是圆柱的高， 所以呢，以长为轴，那么形成的圆柱 a， 它的高就是五厘米。那另外一条边对应的就是圆柱底面的半径， 所以底面半径是三，高是五，那它的体积就是三点一，四乘三的平方再乘五。圆柱 b 是 以宽为轴为轴的边是圆柱的高，所以圆柱 b 的 高是三， 底面半径是五，所以圆柱 b 的 体积就是三点一，四乘五的平方再乘三，那他们两个的体积之比我们就可以比较出来了。把相同的数字都约去之后，我们发现他们的体积之比是三比五。 下面四个图形的面积都是三十六平方分米，比如十八乘二、十二乘三、九乘四、六乘六，都等于三十六平方分米。 用这些图形分别卷成圆柱，那么哪个圆柱的体积最小，哪个最大？你有什么发现？我们先来看怎么卷的。取这样一个长方形，如果我们把它的两个长给它这样粘起来， 正好能够卷成一个圆柱体。把长卷在一块，对应这个圆柱的高就是原来长方形的长。那长方形的宽呢？对应的就是圆柱底面的周长。如果我们把它的两个宽啊给它这样粘在一起， 那对应的这个圆柱的高就是这个长方形的宽，那圆柱的底面周长就是原来长方形的长， 所以每一个这样的长方形，它都有这样两种卷法，那正方形呢？就有一种，所以这里一共三个长方形对应有六种卷法，一个正方形对应有一种卷法， 这七种卷法我们都分别计算一下它的体积。先来看第一个图，如果我们把它的宽给它粘起来，那圆柱的高对应的就是粘起来的这一个宽，所以圆柱的高就是二分米。那这个长方形的长对应的就是圆柱底面的周长，所以圆柱底面周长是十八。 底面周长知道了，我们就可以求出底面的半径，用周长除以二，再除以 pi， 所以 就是十八。除以二，再除以三，底面半径求出来等于三分米，代入圆柱的体积公式， pi 二的平方 h 就 等于三，乘上三的平方，再乘二， 可以算出圆柱的体积是五十四。第二种卷法，我们把它的两个长给它粘起来，那对应的圆柱的高就是这个长方形的长，那这个宽呢，对应的就是圆柱底面的周长，所以圆柱的高是十八分米。圆柱的底面周长呢是二， 底面周长是二，对应的。求出底面的半径等于周长除以二，再除以派派去三， 所以底面半径是三分之一。圆柱底面半径知道，底面的高知道，我们带入去求圆柱的体积等于三，乘上三分之一的平方，再乘十八， 可以算出这时候的体积是六立方分米。用同样的方法求出第二幅图，他们卷成的圆柱对应的体积是三十六和九。第三幅图，他们卷成的圆柱的体积分别是二十七和十二，这个正方形啊，卷成的圆柱的体积是十八， 这样比较不太好比。我们按照底面半径从大到小的顺序给他排列一下，底面半径是三的时候，对应的圆柱的体积是五十四，底面半径是二的时候，对应的圆柱的体积是三十六。 依次往下我们这样去给他排列下来，我们发现圆柱的半径越大，他对应的圆柱的体积也就越大。所以我们总结出来这个规律，圆柱的侧面积一定的时候，底面半径越大，那么圆柱的体积就越大。

六年级今天我们来学圆柱的认识拓展哦，妈妈买一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，现在用丝带将它捆扎起来，如图，需要多长的丝带？ 蝴蝶结用去十五分密。首先我们看这个是圆柱形的蛋糕盒，那么 将丝带将它捆扎起来，我们要求丝带的长度， 那就要考虑丝带它组成的部分是哪一些，有曲线部分，就是蝴蝶结部分，还有呢，在圆柱的上里面、下里面以及侧面的部分，那这些是直线部分。 从图当中我们能看到这个圆柱形，它的底面直径是八分米，高是四分米。那么我们先看上底面，这里是一条直径， 两条直径，那上底面是两条直径的长度， 那说明下底面呢？也有对应的两条，所以就是四条直径的长度，一条直径八分米，那四条我们用八乘四，再加上侧面部分， 这里有一条高，两条高，前面是两条高，那对应的后面呢？也有两条高，那总共就是四条高，一条高四分米，四条高那就四个四分米。我们用四乘四计算， 再加上蝴蝶结的这个部分。蝴蝶结部分是用去了十五分米，再加十五分米， 八乘四，四八三十二，四乘四等于十六加十五，三十二加十六，再加十五，最终等于六十三，单位是分米，需要六十三分米长的丝带。

六年级今天我们来学圆柱的表面积拓展。二，一个圆柱形的垃圾桶，上面留有一个直径六十厘米的圆形口，如图 就是这个是圆形口。做这个垃圾桶至少要用铁皮多少平方分米，注意单位不一致，最终要记得单位换算。从图中我们能看到，做这个垃圾桶需要用到铁皮的部分， 一个侧面加两个底面上面这个底面要减去直径六十厘米的圆形口部分，圆形口部分是不需要铁皮的。 从图中我们能看到，这个圆柱的底面直径是八十厘米，它的高是九十厘米。 知道底面直径知道高，我们可以先求出圆柱的侧面积， 圆柱的侧面积会等于底面周长乘高，底面周长我们用三点一四乘直径计算，再乘高求出来的就是侧面积会等于两万两千六百零八平方厘米。 接下来我们就要求底面积，这个底面直径是八十，那它的半径我们就用八十除以二求出来是四十厘米半径。四十厘米，那圆的面积我们就可以求， 那就是用三点一四乘半径的平方，这个求出来是下面这个底面的面积，那上面呢？还有这样一个底面，我们就可以乘二进行计算，但是因为中间他有挖空 一个圆形口，所以这个圆形口的面积我们要扣除，那就减去圆形口的面积。圆形它的直径是六十，那半径我们就用六十除以二求出来是三十厘米，那他的 这块面积我们用三点一四乘半径的平方，那就是两个底面积减去圆形口的面积，那求出来的就是底面积之和。 我们来计算，三点一四乘四十的平方，再乘二，等于一万零四十八，减去三点一四乘三十的平方，等于二千八百二十六。 一万零四十八，减去二千八百二十六，等于七千二百二十二平方厘米。 现在侧面积知道，底面积知道，那么圆柱的表面积我们就可以求，也就需要用到铁皮的总面积就能求。 那就把这两部分合起来，等于两万九千八百三十 平方厘米。那注意，这边是平方厘米作单位，而题目要求我们的是多少平方分米，那平方厘米和平方分米之间的净率是一百， 所以把两万九千八百三十平方厘米转化成平方分米作单位，小数点向左移动两位会等于二百九十八点三平方分米。 所以做这个垃圾桶至少要用铁皮二百九十八点三平方分米。

同学们好，我们接着来预习六年级下册的第三单元，圆柱的表面积。那再来看一下，题目中给我们的条件是，这个圆柱的上下底面的半径为二， 高呢是十，让我们求它的表面积。我们知道圆柱的表面是由三个面组成，上底面、下底面以及一个侧面。 好了，上下底面是两个圆，我只需要求出这两个圆的面积就可以了，那么侧面展开之后，它就是一个长方形，那我就再求出这个长方形的面积，加在一起就是这个圆柱的表面积了。 那先来求上下底面的两个圆的面积，也就是 s 圆，就等于二乘以 圆的面积，公式是 pi r 的 平方水乘以三点一四，再乘以半径是二二的平方，那就等于多少八乘三点一四， 也就等于二十五点一二，单位是平方厘米，是两个圆的面积。那么侧面积怎么求呢？ 侧面积展开后就是一个长方形呀，长方形的长就是底面圆的周长。哦，底面圆的周长我就可以求出了，这是长方形的面积，我也可以记为侧面积 就等于底面周长，就是二拍二，对不对？所以是二乘以三点一四，再乘以它的半径是二， 这是长，那么宽，宽就是它的高，高就是多少十，所以说再乘十就可以了，算出它就是四十拍四十乘以三点一次， 就等于十一百二十五点六，单位是平方厘米。好了，这两个面积需要怎么样 加一起才是这个圆柱的表面积？三个面的面积，所以是二十五点一二，再加一百二十五点六， 结果就等于一百五十点七二，单位就是平方厘米，所以圆柱的表面积你会求了吗？

我们分享一道课本上的附加题，这是一道常考常错的题型，看题。一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的底面直径与高的比。 那我们看圆柱的侧面展开图是一个正方形，我们看这个圆柱，这个圆柱沿着侧面上的高线剪开的时候，得到的展开图是一个正方形。我们知道这个正方形的这条边，哎，正方形的这条边就是圆柱的底面周长， 那么这一条边就是圆柱的高，因为它是一个正方形，正方形的四条边都相等，所以当圆柱的 底面周长和高相等的时候，圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以我们能得出圆柱的底面周长 c 就 等于它的高 h， 这是由已知条件的，我们得出这个条件。那么这个问题求的是圆柱的底面直径与高的比。底面直径我们一般用字母 d 来表示，那么高，我们用字母 h 来表示， 那么第一笔比上 h 等于什么？我们看 h 等于圆柱的底面周长，所以它就等于直径 d 比上它的底面周长 c， 那 么底面周长 c。 我 们又知道了，底面周长 c， 它等于派 d， 还等于二派 r。 那 现在我们求的是与直径 d 的 比值，那么我们选择的就是派 d， 这时候根据比的基本性质，比的前向后向，同时除以 d， 那 么就等于一比派。 这是这个题，它的突破口就在于侧面展开图是一个正方形，哎，就决定了这个圆柱的底面周长和它的高相等，这是这个题的突破口。把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

我们接着预习六下第三单元，圆柱。上个视频我们学习了圆柱底面面积、侧面面积以及底面周长的公式，那么这个视频我们就用图形来算一算，巩固一下我们的公式。好，首先我们求出 底面面积，底面面积，底面是两个圆，对不对？好，它这里给的是半径直径，我们就要求出它的半径，半径等于八除以二等于四。 好，公式，底面面积的公式是二二 l 的 平方。哎，这里为什么是二？ 因为上面一个底面积，下面一个底面积，是两个底面积，对不对？好，带进来，二乘以三点一四乘以四的平方 等于六点四八乘以十六等于一百点四八平方。好，这是底面积，那底面周长怎么求啊？ 这里已经告诉了我们它的直径对不对？底的底面直径，那么我们直接用直径来算就好了，怕 d， 三点一四乘以八，对不对？等于二十五点 一二厘米，这是底面周长。那么我们现在要求侧面记，怎么求啊？ 侧面记公式是用底面周长乘以高，对不对？好，他这里给我们的是直径，我们就直接用直径好了，怕地 乘以高 h。 哎，如果是用半径球呢？那就是怕二，怕 l h。 好， 带进来，三点一四乘以八，再乘以它的高，十二 等于二十五点一二乘以十二等于多少啊？ 三百三百零三百零一点四四平方。好，今天我们再增加新的一个公式，表面积， 表面积是根据底面积和侧面肌 相加两个面积就得到了表面积，那么底面积公式是二二 l 平方加上侧面积。怕 d h 或者呢？二怕 l h。 好，两个公式写出来了以后，把对应的结果相加一百点四八，加上三百零一点四四等于多少啊？四百零一点九 二平方零。好，今天我们把圆柱的所有公式讲了一遍，而且呢，我们 也用数字带进来求了一遍，同学们一定要记住下句，以后多练习。

下面哪个图形是圆柱的展开图？那通过这三幅图的观察，我们会发现啊，你看中间这三个图形都是长方形，说明啊， 这三个图都是沿着圆柱侧面上的一条高来进行展开的，对不对？ 那得到的长方形。那像这种情况，我们只要通过判断图中的圆的周长是否等于长方形的长，来判断该图是不是圆柱的展开图，对吧？好，那我们先来看图一 啊。图一，那它圆的周长是派地，对不对？那图一它的这个 直径是二厘米，那它的周长就是三点一四乘二，得到的是六点二八厘米， 那你看圆的周长是六点二八，那告诉我们，你看这个长方形，它的长也是六点二八，所以等于长方形的长。 说明啊，这个图就是这个圆柱的展开图。好，我们接着看图二，那它的周长同样用派递来计算，那图二告诉我们，这圆的直径是 四厘米，那它的周长就是三点一四乘四，得到是十二点五六厘米， 那十二点五六厘米，他告诉我们这个长方形的长是二十厘米，所以十二点五六不等于二十厘米。说明啊， 这个图形就不是这个圆柱的展开图。好，我们来看图三，我们同样的算出它的周长，那大家来看图三，它的直径是三厘米，那它对应的周长就是三点一四乘三， 算得等于九点四二厘米。我们来看，你看，他告诉我们这个长方形的长是三厘米，那显然九点四二不等于三厘米，所以啊， 这个图也不是该圆柱的展开图。同学们，你听懂了吗？

六年级今天我们来学圆柱的表面积拓展式，如图，一个圆柱形木料，如果结成两个小圆柱， 它的表面积增加一百五十七平方厘米。如果沿着底面直径结成两个半圆柱， 它的表面积将增加三百平方厘米。求原来圆柱的表面积，那要求原来圆柱的表面积，就得求出两个底面积和一个侧面积的和。 那我们看条件，如果说结成两个小圆柱，它的表面积增加一百五十七平方厘米，让我们知道把这个圆柱结成两个小圆柱呢，其实会多出 两个横截面，也就一个横截面是一个底面，那两个横截面其实是两个底面，那就说明这个圆柱它两个底面积和为一百五十七。 好，再看第二个条件，如果沿着底面直径啊，这样说这是底面直径来讲， 结成两个半圆柱啊，结成两个半圆柱，那表面积将增加三百平方厘米。那我们要知道这样结下来，那么它增加的表面积其实是两个长方形， 我们大致给它画出来啊，比如说这是一个长方形，左边一个，右边一个。 增加两个长方形的面积，那就是表面积增加三百平方厘米，那一个长方形的面积，我们就可以用三百除以二，求出来是一百五十 平方厘米。那接下来我们要观察一下这个长方形的面积跟我们圆柱的侧面积有什么关系。 那你看这个长方形，它的长相当于圆柱的高，它的宽就是底面直径，那长方形的面积是长乘宽，也就是说用高乘底面直径 求出来的这个长方形的面积是一百五十，那么我们圆柱的侧面积，它是 底面周长层高，那圆柱的底面周长，我们是用三点一四乘底面直径进行计算的， 那么底面周长层高就是它的侧面积，那现在我们能知道 高层底面直径是一百五十，那说明这个圆柱的侧面积， 我们就用高层直径，这个是一百五十整体替换进来，那就是用三点一四乘一百五十进行计算，求这个圆柱的侧面积。 所以第二步我们用三点一四乘一百五十，或者一百五十乘三点一四都可以求出来，是四百七十一平方厘米。现在圆柱的侧面积是四百七十一，圆柱的两个底面积之和是一百五十七， 那么它的表面积我们就用侧面积加两个底面积求出来是六百二十八平方厘米，所以原来圆柱的表面积是六百二十八平方厘米。

讲六下第三单元圆柱与圆锥其中的一个经典必考题，关于圆柱的切割，那今天我们只讨论第一种情况，叫竖着切，那如何竖着切？我们是沿着圆柱的直径给他切割，那沿着圆柱的直径竖着切割，我们就会表面积增多， 增多的两个面是一个形成了两个长方形的这样的一个横截面，那是什么样的长方形呢？那一条边就是我们的直径， 另一条边就是我们圆柱的高。好，我们知道了横截面的情况，我们再来看这个条件，第一个已知条件给我们的是底面周长是十二点五六，那么这个圆柱的底面周长是十二点五六，那么我们可以由派 d 就 等于 c， 根据这个我们就可以求出我们的直径是十二点五六，除以三点一四等于四厘米， 也就是我们直径是四厘米，那直径是四厘米，那对于这个横截面来讲，就说明了一条边是四厘米。再来看另一条边，就是它的高高是已知的，我们把它切开，形成了两个相同的部分， 两个这样的一条边为八厘米，一条边为四厘米的长方形，那么它的面积就应该是八乘四，再乘二等于六十四平方厘米。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第四课，是圆柱的体积。首先大家来回忆一下什么叫体积， 对，物体所占空间的大小叫做物体的体积。那大家继续思考，以前我们学习过哪些物体的体积呢？对，学习过长方形的体积， 正方体的体积，它们的体积计算公式是什么？还记得吗？它们的体积是多少，也就是看它包含多少个这样的体积单位。 一排摆了几个，摆了这样的几排，这表示一层摆了多少个，再乘这样的几层，就是它的体积。所以长方形的体积等于长乘宽乘高。那正方体呢？ 长宽高都相等，所以我们把它叫做棱长，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，长乘宽，求的是长方形的底面 积。棱长乘棱长呢，那也是正方体的底面积。所以呀，长方体和正方体可以用一个统一的公式，那就是底面积乘高。那如果用字母表示就是 v 等于 s h。 那 么大家想一想， 怎样计算圆柱的体积呢？圆柱的体积是不是也等于底面积乘高呢？我们该怎么样推导它的公式呢？那大家看一下圆柱的底面是什么形状？ 对，圆形。那你回忆一下，圆的面积公式我们是怎么推到的，还记得吗？对，把圆等分成若干个小扇形，然后把它们拼在一起，拼成了一个近似的长方形。我们还发现，长方形的长 其实就等于圆的周长的一半，长方形的宽就等于圆的半径。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆的面积 s 等于 pi r 的 平方，能不能将圆柱转化成学过的立体图形，再计算出它的体积呢？那么就仿照圆的面积推到来看。例五，把圆柱的底面分成许多相等的扇形， 然后把圆柱切开，再像这样拼起来，就得到一个近似的长方形。认真观察， 把它等分成若干份拼在一起。为了更加近似于长方体，我们把这边平移过去， 就拼成了一个近似的长方体，我们现在把它拼成了十六份，这个弧线还比较明显，那如果我们给它等分成更多的分数呢？我们会发现分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于 长方体。那么能不能根据长方体的体积推导出圆柱的体积呢？好了，接着大家来观察，把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？ 我们发现长方体的这个底面积是不是就等于圆柱的底面积？长方体的这个高等于圆柱的高。那么在转化的过程中，大家继续思考，什么变了？ 什么没变？对，虽然他们的形状发生了变化，但是他们的体积并没有变化，所以形状变了， 体积不变。这就是我们数学上经常用到的数学思想方法，叫等积变形。 长方体的体积我们已经学过了呀，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积。 长方体的高等于圆柱的高，所以我们推导出圆柱的体积也等于底面积乘高。那如果用 v 表示圆柱的体积， s 表示底面积， h 表示高，那么圆柱的体积计算公式怎么表示呢？对 v 等于 s h， 那 有的时候不直接告诉你底面积，比如，如果知道圆柱的底面半径 r 和高 h， 你 能写出圆柱的体积计算公式吗？ 对，那这时候要用到 v 等于 pi r 的 平方 h。 圆柱的体积公式推导啊，非常重要。孩子们，请你按下暂停键来说一遍它的推导过程，并且把这两个公式写一遍吧。 知道了圆柱的体积公式，那我们来看这道题。一个圆柱形木料底面积为七十五平方厘米，长为九十厘米，它的体积是多少？ 这个圆柱木料的长，那我们把它立起来，其实它就相当于圆柱的高。知道了底面积和高，能不能求出它的体积呢？根据位等于 s h， 所以 七十五乘九十等于六千七百五十立方厘米。注意 体积单位是立方厘米。答，它的体积是六千七百五十立方厘米。 那如果告诉圆柱的底面半径和高，你能求出圆柱的体积吗？那又该运用哪个公式呢？对 v 等于 pi r 的 平方 h 来计算。 好了，孩子们，我们来总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先，我们知道了圆柱体积计算公式的推导过程，并且在推导的过程当中，我们用到了一个非常重要的数学思想， 那就是转化的方法非常重要，我们把新知识转化成旧的知识来解决。在转化的过程中呢，我们还要找到图形之间的联系，更加便于进行推力。如果你也有收获，请在评论区打出六六六。

一起来看这道题，如图，把棱长为二十厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？那我们首先来观察这张图， 它是由一个正方体削成一个最大的圆柱体，那么我们从图中就可以看出这个圆柱的底面的直径，它就等于正方体的棱长， 也就是 d 会等于二十厘米。再来看圆柱的高，圆柱的高它也等于正方体的棱长，所以也就是 h 也等于二十厘米。 好，现在题目要求的是圆柱的表面积，那我们知道圆柱的表面积是由三个面组成的，也就是一个侧面再加上两个底面， 那么我们用字母来表示公式的话，也就是 s 表会等于 s 测测面积，再加上二 s、 d 两个底面积，那我们知道圆柱的侧面积展开，它是一个长方形， 长方形的长就是圆柱底面的周长，长方形的宽就等于圆柱的高，所以侧面积就等于底面周长乘高，那么底面周长也就是派 d， 再乘高 a 七，所以侧面积就等于派 d h 再加上两个底面积。题目已知的是直径，所以呢要求圆的面积就等于 它括号 d 除以二的平方，然后因为它是两个底面，所以我们还要再乘二， 然后我们把数值带进去，就等于三点一四乘二十，再乘高二十加上二乘三点一四乘括号 二十除以二的平方，计算出来就等于一千二百五十六，加上三百一十四，最后就等于一千五百七十平方厘米。