六年级下册萝卜圆柱体积推导过程

同学们好，今天我们接着预习六年级下册的第三单元，求圆柱的体积。在没有求它的体积之前，我们首先要知道圆柱的体积公式是什么？ v 等于 s h， s 代表的是它的底面积，也就是下方的圆的面积。圆的面积公式又可以写成 pi r 的 平方，所以它还等于 pi r 的 平方，乘以 h， h 就 相当于这个圆柱的高。 好，再看这道题目，圆柱的半径给我们了，是二，它的高是十，所以我就可以直接代公式了。 所以 v 等于 pi r 的 平方， h 就 等于三点一四。乘以 r 等于多少是二，所以乘以二的平方，再乘以高，高是十， 所以它就等于四十。乘以三点一四，也就等于一百二十五点六。单位是 厘米，所以说我们要写成立方厘米，因为它是体积单位，所以要带立方。所以像这样的圆柱的体积公式你要记清楚的情况下，下面的就比较好做了。假设给你一条直径的，我们也是先求出它的半 径。假设给你的是圆柱的底面周长，我们依然可以先求出半径，再求出它的面积。所以圆柱的体积你学会了吗？

这是一个圆柱体，它的底面半径是 r， 高是 h。 我 们把圆柱的底面平均分成十六份切开， 将切开的立体图形展开并交错拼合在一起，看，它变成了一个近似的长方体，分得越细越接近长方体。 长方体的底面积等于圆柱的底面积高，等于圆柱的高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。

如果你知道长方体的体积是长成宽成高，那么你一定知道圆柱的。

今天我们讲六年级数学简单的圆柱体积解决问题，如图，把圆柱底面平均分成若干个扇形后呢，沿高切开，拼成一个近似的长方体， 如果圆柱的高是五分米，长方体的长是六点二八分米，求这个圆柱的体积，这是一种必考题，我们一起来看一下。 在之前呢，我们就讲过了圆柱体积的一些公式推导啊，以及相关之间的一些联系。那其实这个题目我们只要把这个圆柱体和这个长方体之间的关系搞清楚以后，这个题目一点也不难，那我们一起来再看一下。 首先题目告诉我们圆柱的高是五分米，那我随便找一条高，对吧？然后呢，到了这个长方体以后呢，这条就是圆柱的高，这条就是圆柱的高，那高我们用 h 表示， 然后他是五分米呢，我们也可以用数据给他表示，上去写个五。好。再看长方形的长是六点二八，那我看长方形的长是就是这条红色的， 那这条红色的这条长跟圆柱体啊，哪个有关系呢？你可以暂停视频，自己思考一下，我们继续，你可以看这个阴影，对吧？你看一二三四五六七八，那你看就是这一条。 好，那圆周长的一半的话，我们是可以用 pi 二表示，那么这里的话它也是 pi 二，当然放到下面去的话，这条长也是 pi 二， 因此我们就知道什么呢？ pi 二是就是等于六点二八。好，根据这个等式，我们就可以把半径数等于六点二八，除以 pi 算出来是两分米。好，半径是哪一条呢？你要注意，你可以写在这里，也可以放到这个长方体里面，对吧？好，那么这个半径是两分米， 那这样一量的话，接下去我们体积怎么算呢？一种方法，我是不是求出圆柱的底面积啊？你看半径也知道了，对吧？那底面积那么再乘上圆柱的高，那其实我们也可以这样去思考， 这个圆柱体的体积是等于长方体体积的，那长方体积的长是六点二八，宽就是二，高就是五，所以是六点二八乘二乘五是对，六十二点八立方厘米。好，那今天这个题目我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第四课，是圆柱的体积。首先大家来回忆一下什么叫体积， 对，物体所占空间的大小叫做物体的体积。那大家继续思考，以前我们学习过哪些物体的体积呢？对，学习过长方形的体积， 正方体的体积，它们的体积计算公式是什么？还记得吗？它们的体积是多少，也就是看它包含多少个这样的体积单位。 一排摆了几个，摆了这样的几排，这表示一层摆了多少个，再乘这样的几层，就是它的体积。所以长方形的体积等于长乘宽乘高。那正方体呢？ 长宽高都相等，所以我们把它叫做棱长，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，长乘宽，求的是长方形的底面 积。棱长乘棱长呢，那也是正方体的底面积。所以呀，长方体和正方体可以用一个统一的公式，那就是底面积乘高。那如果用字母表示就是 v 等于 s h。 那 么大家想一想， 怎样计算圆柱的体积呢？圆柱的体积是不是也等于底面积乘高呢？我们该怎么样推导它的公式呢？那大家看一下圆柱的底面是什么形状？ 对，圆形。那你回忆一下，圆的面积公式我们是怎么推到的，还记得吗？对，把圆等分成若干个小扇形，然后把它们拼在一起，拼成了一个近似的长方形。我们还发现，长方形的长 其实就等于圆的周长的一半，长方形的宽就等于圆的半径。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆的面积 s 等于 pi r 的 平方，能不能将圆柱转化成学过的立体图形，再计算出它的体积呢？那么就仿照圆的面积推到来看。例五，把圆柱的底面分成许多相等的扇形， 然后把圆柱切开，再像这样拼起来，就得到一个近似的长方形。认真观察， 把它等分成若干份拼在一起。为了更加近似于长方体，我们把这边平移过去， 就拼成了一个近似的长方体，我们现在把它拼成了十六份，这个弧线还比较明显，那如果我们给它等分成更多的分数呢？我们会发现分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于 长方体。那么能不能根据长方体的体积推导出圆柱的体积呢？好了，接着大家来观察，把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？ 我们发现长方体的这个底面积是不是就等于圆柱的底面积？长方体的这个高等于圆柱的高。那么在转化的过程中，大家继续思考，什么变了？ 什么没变？对，虽然他们的形状发生了变化，但是他们的体积并没有变化，所以形状变了， 体积不变。这就是我们数学上经常用到的数学思想方法，叫等积变形。 长方体的体积我们已经学过了呀，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积。 长方体的高等于圆柱的高，所以我们推导出圆柱的体积也等于底面积乘高。那如果用 v 表示圆柱的体积， s 表示底面积， h 表示高，那么圆柱的体积计算公式怎么表示呢？对 v 等于 s h， 那 有的时候不直接告诉你底面积，比如，如果知道圆柱的底面半径 r 和高 h， 你 能写出圆柱的体积计算公式吗？ 对，那这时候要用到 v 等于 pi r 的 平方 h。 圆柱的体积公式推导啊，非常重要。孩子们，请你按下暂停键来说一遍它的推导过程，并且把这两个公式写一遍吧。 知道了圆柱的体积公式，那我们来看这道题。一个圆柱形木料底面积为七十五平方厘米，长为九十厘米，它的体积是多少？ 这个圆柱木料的长，那我们把它立起来，其实它就相当于圆柱的高。知道了底面积和高，能不能求出它的体积呢？根据位等于 s h， 所以 七十五乘九十等于六千七百五十立方厘米。注意 体积单位是立方厘米。答，它的体积是六千七百五十立方厘米。 那如果告诉圆柱的底面半径和高，你能求出圆柱的体积吗？那又该运用哪个公式呢？对 v 等于 pi r 的 平方 h 来计算。 好了，孩子们，我们来总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先，我们知道了圆柱体积计算公式的推导过程，并且在推导的过程当中，我们用到了一个非常重要的数学思想， 那就是转化的方法非常重要，我们把新知识转化成旧的知识来解决。在转化的过程中呢，我们还要找到图形之间的联系，更加便于进行推力。如果你也有收获，请在评论区打出六六六。

今天我们来推导圆柱的体积公式，我们知道物体所占空间的大小叫做物体的体积，那现在这一个圆柱在我的手上，我把它像这样子若干等份的去分开，只要我分的足够细，那么当我把它拼在一起的时候， 它就会非常接近于一个长方体，那这个圆柱变成了这个长方体，它只是形状改变， 但是它的体积不变，因此求圆柱的体积我就可以转化为求长方体的体积。那我们知道长方体的体积公式里面有长乘宽乘高，当然它也有底面积乘高， 那既然长方体的体积它会等于圆柱的体积，那我们来看一下底面积和高，它分别在圆柱当中是什么样的元素。我们看一下这个长方体它的底面积，比如说我们拿上面这个面来看，当我们把它还原回去的时候， 它其实就是我们圆柱当中的底面积，所以长方体的底面积实际就是圆柱的底面积， 而这个高呢？你看一下这个长方体它的高达，我给它拆开来还原回去的时候，它实际是不是相当于圆柱的高， 对吧？好，所以它就是圆柱的高，所以圆柱的体积就等于圆柱底面积。乘圆柱的高，那用字母表示就是 v， 圆柱会等于底面积，用 s 来表示高，用 h 来表示。 那如果题目当中已知的是半径和高，那么圆柱的体积我们先来求它的底面积，要底面积转化成 pi r 的 平方来计算，然后再乘高。那如果题目中已知的是直径和高，要求圆柱的体积，那这个直径我们就给它转化为半径，那就可以是 pi 乘直径除以二，得到半径平方再乘高。

圆柱的体积， 古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦。那圆柱体的体积应该怎么求呢？ 别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？我们学过长方体和正方体的体积都等于底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和它们有联系吗？圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。 我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、 六十四等分、 一百二十八等分 观察，发现越来越接近长方体了。观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？ 转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方体的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r， 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底，面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列示为。 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。

圆柱体积有两种推导方法，先看第一种，用无数个小圆片重叠 就形成了一个有高度的圆柱体，那么它的体积就等于一个圆的面积乘小圆片的数量，而这个数量就相当于圆柱的高度，所以圆柱的体积等于圆的面积乘高，也就是派二的平方乘 h。 再来看第二种推导方法， 方法二跟圆面积推导过程类似，将圆柱转化为长方体。别眨眼，精彩动画来了！ 长方体的长等于圆周长的一半，也就是派二，宽就是圆的半径，二高就是圆柱的高 h， 所以圆柱体积就等于长方体体积，也就是长乘宽乘高，即派二乘二乘 h。 再化简一下，就得到派二平方乘 h。 这就是圆柱的体积，你学会了吗？学会了，赶紧把这个知识运用到各种题中去吧！

今天让我们来推导圆柱体积的公式，那我们来看这就是一个圆柱，它是一个曲面图形， 它与我们之前学的长方体、正方体不同，正长方体、正方体是一个直面图形，可以直接根据长宽、高或者边长求出它们的体积。 但是这个圆柱呢？它的这一个面是曲面，不能直接求出来它的体积。 我们来想一下，在上一个学期圆的面积推导公式时，我们把圆平均分成若干份， 把它们拼成一个近似的长方形，再进行计算，分的分数越多， 这个长方形就越近似。那我们可以照着上个学期圆的面积推导公式的方法， 把这一个圆柱的底面平均分成若干份，再沿着这些线切开，也就变成了这样。我们再把它拼到一起， 把它拼到一起，就变成了一个近似的长方体。我们来看这个长方体，它的长这条边就等于这个圆柱底面周长的一半， 它的宽这一条边就相当于这个圆柱的底面半径。长方形长方体的这一条高就相当于圆柱的高。长方形的底面， 长方体的底面就相当于圆柱的底面。如果我们知道长方体的底面是 s， 知道它的高是 h， 那 我们就可以选写出一道计算公式， v 等于 s h。 那如果我们知道圆柱的底面半径是二，知道它的高是 h， 那 我们就可以写出 v 等于配二的平方 h。 我 们来看这个配二的平方，求的也就是这个底面的面积，配二也就是 这一个长派二的平方二，也就是派二乘以二，这个第二个二就是这个长方体的宽， 所以圆柱的体积计算公式有两种，第一个 v 等于 s h， 第二个 v 等于派二的平方 h。

今天我们把圆柱体积推导过程的知识考点进行归类总结，建议家长把这些知识点收藏起来。我们来看一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积， 体积单位有大到小是立方厘米，立方厘米， 这是第一小题，那么第二小题，把圆柱的底面分成相等的扇形，把圆柱切开拼起来，得到一个近似的。我们看把圆柱哎分成相等的扇形，拼起来，得到一个近似的长方体。 我们观察上面有圆柱体到长方体，这一个转化的过程中，我们知道物体的形状发生了改变，有圆柱体到长方体，但是物体的体积没有发生改变。 我们在观察，在这个转化的过程中，长方形的底面积就等于圆柱的底面积，长方形的高就等于圆柱的高。但是在这个转化的过程中，长方形的表面积增加了，增加的就是左右这两个侧面积， 左右这两个侧面积是增加的，表面积 增加的两个面积是长方形。我们通过观察图形，每个长方形这个长，它就是这个圆柱的高 h， 那 么这个长方形的宽就是圆柱的底面半径 r， 这时有圆柱体到长方体的转化过程。那么我们看第三小题，从圆柱到长方体形状变了，但是体积没有发生改变，因此长方体的体积就等于圆柱的体积， 长方体的高就等于圆柱的高，长方形的底面积就等于圆柱的底面积， 但是长方体的表面积增加了，增加了左右两个侧面积，每个侧面积的长，那就是圆柱的高。 h， 长方形的宽就是圆柱底面的半径 r， 通过这样的转化思想可以得到，圆柱的体积就等于底面积乘以高。 如果用字母表示圆柱的体积，那么 v 就 等于 s h， 这是圆柱体积推的过程比考的考点。

三十秒动画让你领悟圆柱圆锥倒置转换问题，此类问题重点抓住水的体积不变，圆柱和圆锥的底面积相等。先看第一想象，我们有魔法可以控制水静止不动。切开， 先让圆柱里的水下落体积不变，剩下高十八厘米是圆锥里的水。先来从公式理解一下圆锥与圆柱之间转换的关系。转化过程，体积不变，所以相等，别忘了这里的底面积也相等，所以柱体的高等于三分之一，锥体的高。 回到题目，这个锥体的水下落体积不变，转换成柱体，其高就是锥体的三分之一，等于六厘米， so easy！ 再看例二，倒立过来水不动，这里是柱体转化为锥体，那就先把锥体填满水。已知锥体的高度是十五厘米， 那他就只能装柱体里五厘米高的水，柱体还剩七厘米的水，下落填满高度还是七厘米，最后就是十五加七等于二十二厘米了，是不是 so easy 呢？

圆柱的体积， 古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦。那圆柱体的体积应该怎么求呢？ 别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？我们学过长方体和正方体的体积都等于底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和它们有联系吗？圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。 我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、 六十四等分、 一百二十八等分 观察，发现越来越接近长方体了。观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？ 转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方体的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r， 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底，面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列示为。 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。

我是汤汤，学习时间到，今天我们来继续学习圆柱与圆锥。好，今天要讲一个斜切圆柱的体积的问题，我们来看题，如图，一个圆柱，一个圆柱体，物体的底面直径是八分米啊，直径这个没标， 直径是八分米。好，最低处高是十啊，这是最低，最高处高是十五啊，这是高处最高处的高。被截后的物体体积是多少立方分米？那首先我们知道圆柱的体积公式，再次复习 v 圆柱等于 pi 二方 h 就是 底面积乘高， 那现在我们能看到的是它是一个不规则的，如果我们直接用底面唇膏肯定是行不通的，那么我们要讲一个方法，就是把它补相同，就是我们把它的另一半也补出来，那我们就可以拼一个完整的圆柱。好，我们来画一下 大概这个样子。好，嗯，大家可以想象着或者是一个甘蔗斜着切一下，或者是一个竹子，有那种形象的感，形象的感觉啊，那如果我知道这一个圆柱的整个体积的话，我们除以二是不是就可以得到原来的这个？你看让求的是被截后的，就是原来的这个好， 那么我们拼成一个相同的之后，那么这个是十，所以这个低的也是十分米，那这个最高处的高是十五，那它对应的这个也是十五，由此我们可以知道它是一个底面，直径是八分米，高是十加十五二十五分米的圆柱，那如果我们把它的体积求出来除以二，就可以得到答案。好，我们来算一下啊，那就是三点一四 乘以好，底面也半径的平方乘以八除以二的平方，好，派二方 h h 是 十五加十派二方 h， 对 吧？好，再别忘了，除以二，你要求的是这一半啊。求这一半，那么它等于三点一四乘以四的平方是十六，乘以二十五，再除以二三点一四十六。我们可以先用十六除以二，那可以乘八，再乘二十五， 结果等于六百二十八立方分米。好，这是这道题。

思南大人，中秋节快乐！但咱们遇到大麻烦了，皇上刚刚下旨，今晚中秋登会前，必须在芙蓉园中心建成那座望月台。 燕青莫慌，皇家工程快不在于手脚，而在于算计。 这望月台的图纸上留下了三个最难的工程谜题，解不开，咱们一块砖也砌不上去。这三个谜题分别是地基巨木、青铜漏壶和太湖奇石。时间紧迫，不管多难，今天这三个硬骨头咱们肯定了。 屏幕前的朋友们，大唐最聪明的工匠就是你们了吧？这中秋望月台的三道难关，你们敢不敢跟我燕青一起破解？ 第一关，做望月台的中心承重柱。这木头是个上下一样粗的圆柱，咱们要记录消耗了多少木料。 可这圆溜溜的柱子既没长也没宽，到底有多大？算方正的砖石，看长宽高即可。如果咱们能找个法子，把这根圆木头像切西瓜一样切开，再拼成咱们熟悉的方木头，是不是就能算出它的大小了？ 我明白了，只要算出这根原木的底面积，再乘以它的长短高，我就能知道用了多少木料，公式就是 v 等于 s h。 第二关，是给这计时的青铜漏壶注水。为了中秋夜计时准确，必须装入分毫不差的泉水。可这青铜铜这么深，外面这层铜壁又这么厚， 它里面到底能装多少水？要算这空桶里面能装多少水，和刚才算那根实心木柱子有多大，这两件事在算计上是不是藏着同一个道理？你可得留意这厚厚的铜壁啊！ 刚才算的是容积，如果是一根实心的青铜杆，不仅要算体积，还得知道它有多重，这就得用到周长和密度了。 第三关最离谱，要把这块太湖奇石嵌进木底座里，可是他全身上下坑坑洼洼全是窟窿，尺子根本量不了，我怎么算得出他到底占据了多大的地盘？ 石头形状古怪，不会说话，但水缸里的水是会动的，石头一进去水就涨了。咱们能不能借用这水，让他替太湖石说出自己的大小呢？ 不管石头长的多奇怪，只要把它扔进圆柱水桶里，算一算长高的那截水柱的体积就行了。这就叫排水测量法， 大功告成，承重柱分毫不差，漏壶蓄水精准，太湖石完美落座。思南大人，我们在中秋灯会前完成了 万丈高楼平地起，靠的是化繁为简的智慧，把原变方、以水测物这些看似不可能的奇迹，全靠咱们将未知变成已知的巧思。多亏了今天这些绝妙的换算大法，大楼建成了，大家准备好迎接下一个工程挑战了吗？ 经经历了大唐都造访这紧张刺激的一天，回头看看走过的路，这节课你有什么收获？

大家好，今天呢我要来讲一道题，我们先来读一下题，虽然说我已经写出了算式，不过没关系，我可以带大家一步一步的去理解。 小张要把一根圆柱形的木料削成一个圆锥，削成的圆锥的体积最大是多少呢？我们先看这个图，它是个圆柱，我们知道它的这个直径是两分米，高呢是三分米， 他说最大的圆锥，也就是跟他同底同高的圆锥。那么同底同高的圆锥的计算方式是怎样的呢？是用这个圆锥乘三分之一。 好，我们可以先求出这个圆柱的体积，再乘三分之一，就可以得到圆锥的体积啦。圆柱的体积怎么算呢？用底面积乘高来计算， 我们要知道底面积，就要知道它的半径，我们只知道直径，哎，半径怎么求呢？我们就可用直径除以二等于半径，半径呢，我算出来是一分米， 所以这个半径呢就是一分米啦。我们再来看，我们知道半径呢，我们就要算它的面积， 一乘一乘三点一四等于三点一四平方分米，我们知道了他的面积呢就是平方分米。我们再来看一下，我们再用面积底面积乘他的高，就知道了他的体积了，知道了他体 是九点四二立方分米，所以这个九点四二立方分米它代表的是什么呢？它代表的其实是这个圆柱的体积，那么圆锥就用九点四二乘三分之一了，那么九点四二乘三分之一等于的就是三点一四 立方分米。这里呢，我就不写算式了，所以大家听懂了吗？最终答案就是三点一四立方分米。谢谢你的观看，请关注与点赞哦！

那这节课我们就来探讨如何算出这个小圆柱的模型的体积好吗？你们每一组的桌子上都有一个这样的圆柱，请你拿出来，请思考。 好，请你来我们组的想法就是他一个我们之前学过的。嗯，长方体和正方的体的面积是底面积乘以高求出的第一体节。所以如果我们要求圆柱体的 圆柱体的体积，我们首先要知道它的底面积和它的高，然后用底面积乘高就能得出底。你听懂他的想法了吗？请他通过之前学的长方形和正方体的体积来推导圆柱的体积。 很好的想法，还有其他的呢？我们知道一个长方形能变成一个圆柱形，他长方体 这个长的里面的半径就等于长方体的宽和高，他的这个圆柱体的高就等于长方形的边长。长之后求出长方形的 长方体的体积，就能得出这个圆柱体的体积。好，我听懂他的意思了，也是把长方体来类比出圆柱体的体积，并且他还说出了各部分之间的关系， 还有不同的想法吗？我们大胆一点。好，请你来我，我们这组的想法是什么呢？ let's go， 把自己分成很多段，去把每个段再去求一下。好，请坐。他们这组的想法是把圆柱分成若干块，你怎么会想到分？我们之前有学过 其他的知识点分吗？你是怎么想的？因为我们之前我们对圆柱的体积我们不知道吗？我们就可以把它挂成我们知道的体积去求，那你知道的体积去求。好，请坐。我问你圆柱它的底面是一个什么图形？圆形，那我们之前还记得圆的面积怎么求的吗？ 三 d 推倒方才赢太二平方，那这个公式怎么来的？还记得推导过程吗？记得，首先把它分清楚， 将一个圆分成若干份，若干份一定要平均，把它们卡卡在一起，就可以拼成一个近似的长方体。 这次的长方形行行行行好，说的太好了，他强调了重点，分成若干份，并且要平均分。王老师也带来了一个视频，大家回忆一下，圆的面积也会变成圆形， 把圆平均分成若干份，能拼成一个平行四边形，当圆平均分成的倍数越多时，拼成的图形越接近一个长方形。好，从这个视频我们可以看到，圆 可以转化成一个近似的长方形，那圆柱可以转化成一个 长方形，那圆柱就可以转换成一个体的长方形。长方形好，请做具体怎么样操作，你觉得具体要怎么样操作？新元素，我觉得首先要把一个圆柱拿出来，再把它从中间切开， 啊，就成了两个半圆，把半圆平均分成若干份，然后再把它拼起来，就会拼成一个近似长方体的图形的体， 只要我们求出长方体的体积，就能得出圆柱的体积。说得非常好，请坐。所以你们都认为圆柱可以转化成一个近似的长方体，刚刚这位同学也说了他的想法，怎么样去操作，现在请组长拿出老师准备的教具， 以小组为单位来动手操作吧，给你们一分钟的时间就开始，时间到了，哪一个小组愿意来展示一下。好，请你们正视一下。好，请你说，这是我的展示。我们首先是有一个圆柱体，我们将其分成若干份，一定是平均的若干份， 把它拼拼在一起就成了一个长方形，正方形的长方形，说的非常好，还有哪一组愿意来呢？ 展示一下。好，请你来。你们这种可以分成若干份之后，就拼成了一个近似长方体的 图形，好近似的长方体的图形。刚刚因为这个道具的限制，我们这个圆柱都是平均分成了十六份，十几份。那现在请你想象一下， 我如果把它无限分下去，分的越小，分的越多，他会怎么样？请做那个女生， 他会，我认为如果他分数分的越小，他会更加的接近长方形。是吗？好，请坐。现在我们通过视频来了解一下。转化成长方形，计算体积，把圆柱体面平均分成若干份，切开后就能拼成一个近似的长方体。 把里面平均分成的倍数越多时，嗯，形成的图形就越接近长方。通过视频我们知道，把圆柱的底面无限的分下去，就能拼成一个 长方体，注意是无限的，分下去之后才能变成一个长方体，那转化之后 的图形有一个学习单，在你的抽屉里有一个学习单， 学习单上有这些题目，请小组之间合作讨论把。答题单请除了填写数字变的时候没变，下面的长方体和原来圆柱体各部分的对应关系，也请填写好长方体的 长方形的长，长方形的宽等于圆柱的圆。圆圆柱上下圆，圆柱上下圆的高与里面里面里面圆的都完成了吗？三、完成了。好，请两个小组来展示一下你们的 成果。好，请这边第二个小组，请大家听我说。第一题，我的想法是长方体转化成圆柱，或者圆柱转化成长方体之后，它的形状变了，但是它的体积没变。圆柱在转化成长方形的过程中， 他的体积没有增加，也没有减少，所以转换后的长方体，他的体积是跟圆柱是相等的。第二题，我的想法是，长方体的长在转换之后，他就等于圆柱的底面周长的一半。长方体的宽在转换成圆柱之后，是等于圆柱 里面的半径。长方体的高在转换成圆柱之后，他是等于圆柱的高。长方体的体积在转换成圆柱之后，他也就等于了圆柱的体积。因为长方体 他的面积体积计算公式是长乘宽乘高，所以圆柱的体积计算公式就是相应的。转换过来之后就是 pi r 乘 r 乘高。 说，好不好，我的表达完毕，说，好不好，看？好了，还有哪一组我又来分享了。好，请你来，请大家听我说。前面两题我跟他的想法是一样的，但是第一题我还要补充一点，他的面积也变了，然后 面积是指，面积是指他的表面面积，因为长方形的体积我们都知道等于底面积乘以高， 长方体的体积它等于圆柱的体积，所以我觉得圆柱的体积也等于底面积乘以高。我的表达完毕，谢谢两 位把你的学习单留给王先生好吗？他们两位同学说的太好了，我们再来看一下两个同两个小组的他们的学习单。第二个部分就是中间这个部分对应的各部分之间的对应关系。两个组写的是一样的， 就只有最后这个结论不一样，请你们观察一下，通过刚刚你们的发现，你们觉得都同意一个观点，就是长方体的体积是等于圆柱的体积，是吗？同意吗？同意。那你看他们的结果有什么联系？请你说，他们都乘以了高， 多乘以高，长乘宽就等于它的底面积。说得非常好，长方形的这个长乘宽实际上就等于底面积，所以我们说因为长方形的 底面，呃，体积等于底面积乘高，那圆柱的体积也等于底面积乘高，请做。 这两个同学其实表达的是同一个意思，因为这里长乘宽就是这个底面积，所以我们经过大家探讨，得出了一个共同的结论，因为长方体的我们一起来读一遍好不好？因为，因为，因为长方体的底筋等于底 面积乘高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。哪位同学还记得用字母来表示圆柱的体积，会用字母表示吗？底面积用什么字母，体积用什么字母， 记得吗？面积用 h， 体积呢？体积用 h， 所以 圆柱的体积 v 等于 x h， 也就等于底面面积乘以什么？你们怎么求呢？圆柱的底面积太二的 x h h， 你 们刚刚的探讨表现的太棒了，再次把掌声送给你们自己好吗？ 在这个过程当中，底面积一样高，也是一样的不变，所以都等于底面积乘高。推出来了 这个体积的公式了，我们能够解决这个模型的体积的吗？能算出来吗？可以，现在请你们 动手测量并计算出他的数。好，都算出来了吗？算了，请一个同学请来一组来分享一下你们的答案，好，请你来分享一下你的结果，请大家听我说。因为我们刚才学习到了，圆柱的 它的体积就等于 pi 的 二次方，再乘以高，所以说我们现在就要先求出它， 他的 r 是 多长，我们测量出他的 r 有 多长，我们量出的是二，再五厘米，二厘米，我们再把高也量出来，也就是五厘米，我们就可以先算出。我们这里因为怕大家看不懂这些吧， 高的我们先分布算了，我们先把这个圆的面积先求出来，再把它乘以这个高。圆的面积三点一次乘以二的二次方就等于十二点五六，我们这里算出来的就是我们把圆的面积求出来了，再乘以它的高就是十二点五六，乘以五等于六十二点八， 所以他算出来的答案，所以他算出来的答案是六十二点八立方厘米，你们的答案和他一样吗？一样一样答案的请举手。把手放下，我们来看一看，最初半径是两厘米，高是五厘米，再根据公式， 圆柱的体积等于底面积乘高算出结果，六十二点八立方厘米。好了，解决了那个小模型的 体积了，我们回到最开始同学，我们班上同学在课间发现的问题能帮助他解决了吗？数的体积 你需要知道哪些信息？请你来。我们首先要知道它底面积是多少，底面积，还有知道它的高是多少还是它的高多少，那底面积我们能求出来吗？ 不能能量出来吗？甜甜姐，可以可以，我们可以先求半，我们可以先求出它的周长，先求出周长除以三点一四等于直径， 利用周长求出直径，然后再用直径除以二求出半径，求出半径，再用 pi r 的 二次方求出半径，做的非常好，速度也很清晰。我们再看看这两个同学，把你们需要的信息已经测量出来了，通过测量我们知道了 里面周长是十八点八四分。通过测量我们知道了圆珠的里面周长是十八点八四分米，高是五十分米。周长和高都知道了，现在你们动手，现在我们就自己做自己的好不好，我们不再以小组的形式来讨论了。 好，我看大部分同学都已经做完了，而且做得特别好，请这位同学你来展示一下你的计算过程好吗？请大家听我说。我们知道了圆的周长是十八点八四分米，就可以求出它的直径。 直径等于周长，除以三点一四就是一十八点八四除以三点一四等于六分米。我们知道了直径是六分米，就可以求出它的半径，半径就是用直径除以二 就是六，除以二等于三分米。我们再利用求圆柱的体积的公式，就是用 pi r 的 平方乘以高，就是用三点一四乘以三的平方，再乘以五十等于十四点 一十。一千四百一十三平方分立方分米。好， 回答正确。来，我们把掌声送给他，我们一起来看一下他的体积的计算过程。你们和刚刚那位女生的结果一模一样，一千四百一十三立方分米，答案和他一样的请举手，把手放下。我们班的孩子真的太聪明了，经过这节课的学习，所有同学都学会了 圆柱的体积，并且能够计算正确，那这节课的学习你有什么收获呢？我知道了。怎么求圆柱的体积？圆柱的体积等于多少？ 等于迈尔的二次方，等于 h， 等于什么底面积？还记得它是怎么推断出来的吗？ 好，请你说一下过程。把圆柱把它分成若干份，拼插在一。呃，分成两半，分成若干份，拼插在一起，就能变成一个 近似的长方形。近似的长方体，用长方，用长方体求体积的公式来推导出圆柱的体积公式，这个非常清楚，请坐。 我们这节课学习了这么多的知识，现在请你想象一下一个圆柱，它的 圆柱，我们说它底面是什么图形？嗯，一个圆。如果现在我把这个圆慢慢的请想象，慢慢的越来越小，越缩越小，变成一个点，它会变成一个什么图形？会变成一个圆锥，变成一个圆锥。好。