2026年苏教版数学三下学习角了吗

好，现在我们来学习角的认识和度量，我们来看例三，例三给了我们三个物品，分别是一把三角尺，一个练习本，还有一把扇子。那你能从这三个物品上分别找出一个角吗？好，我们一起来找一找。 好，三角尺上这里有一个角啊，练习本上 这里有一个角啊，在扇子上啊，这里还有一个角。好，有同学说，哎，老师，这里这个是不是也是一个角呀？啊，没问题，他是的哈，这里还有一个角，是吧？好， 当然这些物品上还有其他的角，我们只需要找出其中的一个就行了。好，那现在我们把这三个角分别给它抽象出来。好，得到了下面的这三个图形。 好，那我们说上面的这三个图形呢？它们都是角，那想一想，你还在哪里见过角呢？好，比如说我们的红领巾是吧？ 还有我们的数学书。 好，还有我们的黑板 等等等等。好，这些地方都有角的影子。好，那现在我们以三角尺上的这个角为例。 好，如果你用手去摸一摸它的这个部分， 老师把它画出来，好给他抽象下来呢，不就是这个角的这个部分吗？是吧？好，你会发现它是什么呀？它是尖尖的，我们把这个尖尖的部分呢，就叫做这个角的顶点。 好，如果你去用手摸一摸三角尺上的这两条边呢？好，你会发现这两条边是直直的，那么我们把从顶点引出的这两条边呢？好，就叫做这条，就叫做这个角的两条边。好，我们给它标注出来。 所以我们说什么样的图形是角呢？也就是由一个顶点和两条边所组成的图形就叫做角，或者你可以说，好，结合我们前面的知识，你可以说有 一个顶点引出的两条射线所组成的图形 叫作角。好，这就是角的定义。 好，或者说它的组成是什么啊？是由一个顶点和两条边所组成的一个图形，对不对？好，那请你比一比，说一说，角有什么样的特点呢？ 好，通过前面的探究，我们可以知道角有一个顶点和两条边。好，这就是它的特点。好，那我们接接下来继续看， 如果你把它的顶点和两条边所标注出来，那就是下面的这个图形的样子，那你怎么在图形上去表示出这个角呢？我们通常用一个小圆弧去连接角的这两条边。 好，并且在这个小圆弧的旁边写上一个数字。好，在这里它用数字一来表示这个角，那么角的符号我们通常用 这样的形式来表示。好，它就读作角，那像刚刚的这个角呢，我们就可以记作角一。好，那角一的顶点在哪呢？我们可以用一个小圆点给它表示出来它的两条边。 啊，那角的记法你知道了吗？那读法呢？好，它就读作 脚印。好，它的记法和读法我们写在这儿了。 好，那么现在我们来看一下意思，观察上面的三个滑梯，你能想到什么？好，现在我们来看一看。好，这三个滑梯，它们和草坪所形成的角，我们给它标出来。 好，通过观察呢，我们会发现中间的这个滑梯呢，它会抖一些，是吧？好，那右边的滑梯呢？ 好，比较平缓一些。好，那个时候，那这个时候我们来看一看，对于比较陡的这个滑梯，它斜坡的倾斜程度相对来说怎么样？更大一点对不对？好，那这个时候它和地面所形成的角就怎么样更大？ 好，那么看来，那么再来看比较平缓的这个滑梯呢？它斜坡的倾斜度呢？相对来说怎么样？要平缓一些对不对？那这个时候它和草坪所形成的这个夹角更怎么样？哦？更小一些。 那所以我们说滑梯越陡，斜坡的倾斜程度就越大，与地面所形成的角就越大。反之，滑梯它越平缓， 斜坡的倾斜程度就越怎么样？越小与地面所形成的角就越小。 那现在我们继续来看，你能在下图中画出比角一大或小的角吗？好，它给我们画出了一个角一，我们看图中是怎么画的？ 那我们来看书中是怎么画的？好，在左边这幅图中，我们把角一给标出来， 很明显，角二比角一怎么样？更大一点，对不对？好，我们再来看右边这幅图呢，角一在这儿 很明显，角二怎么样？比角一要小一些，是不是？好， 那我们给它表示出来，角二大于角一，这里呢是角二小于角一。好，注意，你要区分一下这个角，它和大于号、小于号的写法是不一样的，我们写的明显一点哈， 那我们来看它是怎么做的呢？它其实呀，是把它们的两个顶点分别给什么重合了，对不对？再把其中的一条边也给重合了， 那这个时候去观察它俩的另外一条边，是吧？明显在外面的这条边，它所属的角是不是更大一些？那因为角二它的另外一条边在外面，它这个角跟什么更大一点，对不对？ 好，我们来看右边这幅图呢，同样是把它们的顶点和边和一条边给重合了。好，那我们来看它们的另外一条边呢？角一，这条边它是不是在外面呀？好，那它所属的这个角角一呢，就更大一些，那我们把这样的方法呢叫做重叠法。 好，重叠法是怎么做的呢？把两个角的顶点 重合， 一条边也重合，观察 另一条变，另一条变， 如果在外面，则它所属的 角就越大。 好，另外一条边在外面的话，它所属的角就越大，反之呢，则越小。这个方法呢，我们叫做重叠法。那有没有更简单的方法呢？好，到目前为止呢，我们还有个方法，那很简单，就是嘛，观察法，也就是说你也看过去是吧？ 谁大谁小不就能看出来了吗？是不是是两种方法？好，好，接下来我们来看下，试一试，把两根硬纸条钉在一起，做成一个活动角，它是怎么做的呢？好， 现在把这两根硬纸条给它固定在一起啊，我们比如这个地方，就给它用一个什么图钉来钉起来，但做的时候注意安全啊。好，第一，转动活动角的一条边是角变大或变小，那么我们来看，比如说保持它的一条边不变，我们转动这条边啊，那这个时候给它转动在这儿。 好，那这个时候所形成的这个角是不是明显和原来的比变大了呀？好，再来看，你给它变小呢，那不就往里转吗？是不是把黄色的这条边给它往里转，那这个时候所形成的这个角，那是不是就更小了呀？ 好，那请问在转动的过程中， 这条转动的边，它的长度变了没有？那答案是什么呢？是没变的，对不对？好，边的 长度没变，但什么变大了或者变小了呀？脚的张开程度是不是 变了？是吧？要么变大，要么变小，那随着脚张开程度变大，那么脚就变大了，对不对？随着脚的张开程度变小了，那脚又自然跟着怎么样变小了？ 那想一想，角的大小与什么有关呢？与角的边的长度有关吗？那肯定是没关系的，对不对？因为转动的过程中，角它的边的长度是没变的，对不对？好，那么我们说它实际上角的大小与两条边的张开程度有关， 这个很关键。好，那角的两条边呢？那随着角的两条边张开的程度越大，那么这个角呢？它就越大小， 角的两条边张开程度越小，角就越小，这就是角的大小与角的张开程度之间的关系，这个也要掌握。 所以这个问题他的答案就在这里，角的大小与两边的张开程度有关，角的两边张开的越大，角就越大。好，这个地方你必须要掌握，这是一个重点，也是个难点，也就是角的大小与什么有关。好， 那么接下来我们来看下，想想做做。第一，下面的图形中，哪些是角，哪些不是角？好，是角的，请你指出它的顶点和两条边。好，第一个我们来看是不是角啊？ 肯定是，对不对？好，首先它有一个顶点，对不对？其次它有两条直直的边。好，这个就是一个角，那我们把它的顶点以及边给标出来。好，它是 第二个，是不是呢？第二个很明显它不是直的，对不对？第三个呢？第三个也是，对吧？好， 注意，我们给它标出来哈，是个角，这个是它的顶点，这是它的两条边。是哈，第四个是不是？第四个也是个角哈， 这是它的顶点和它两条直直的边。 好，这个是不是啊？这个很明显它不是，对不对？它不是因为什么？它没有满足角的一些特征嘛？是不是它没有角的一些特征？好，我们来看最后一个，是不是最后一个？是的，这是它的顶点， 这是它的两条边。好，它是。 好，来看第二题，下面图形中各有几个角？好，我们来一起数一数，第一个图形啊，一个、两个、三个。好，我们可以标一标，这是角一、角二、角三，所以它有三个角。好，第二个图形呢， 一个、两个、三个、四个。注意在数的时候要按一定的顺序数，不要重复，也不要漏掉哈。 四个来看，这个图形呢，一二三四五，是不？五个角啊？好，再继续。一二三四五六这几个角啊，六个角。这道题也是很简单的。 好，我们来看例三比一，比下面的角与三角板上的哪个角一样大？好，这个地方我们刚刚讲过了，怎么去判断两个角是否一样大，我们怎么做呀？可不可以用重叠法来做？ 也就是说啊，你用三角板上某一个角，它的顶点去和这个角的顶点重合，对不对？用另外一条边呢，去和这个角的这条边重合，看看它们的另外一条边是否重合，因此来判断它们是否一样大，是吧？好，这个自己下去比一比啊。 这到最后你会发现在三角板上都能找到这三个角啊，你看看，到底是你有两块三角板了，你看是哪块三角板啊？第四，找两幅形状相同，大小不同的三角板，向右图这样比一比，数一数你的发现。好，我们来看看图中 这两幅三角尺啊，我们可以发现，无论它们大小是否一样，只要它们怎么样形状相同，它们相应的角就一定能够重合，那就说明它们相应的角就一样大。 所以在两幅不同的三角板中，只要它们形状相同，那它们所对应的角就一样大，清楚了吗？所以我们说这个角和这个角一样大，这个角 和这个角一样大，这个角呢？和这个角是一样大的。到后面其实你会发现，这个角和这个角其实用这样的符号来表示哈， 这个角和这个角一样大，这个角和这个角一样大，这个角和这个角一样大。所以说只要这两幅三角尺的形状相同， 哪怕它们大小不同，它们所对应的角都能够重合好，也就是大小一样好。第五，用一张纸折出大小不同的角。好，你自己可以下去折一折。好，那我们可以看到这个角， 这个角以及这个角这个角咱们分别折出来的，对不对？一定要会标记，那么这个时候可以把它标成角一、角二，角三、角四。好， 我们来看下第六题，已知角一等于角四，把关键信息勾起来，角二大于角五，角三和角六比哪个大？你要比较角三和角六，先把它找出来吧，这角三好，这是角六好。现在我们来看看角三在第一幅图中，它等于什么？角一加角二、 角六呢？在第二幅图中，它等于角四加角五。又因为题目告诉我们角一等于角四，那这个时候我们是不可以把角六等于角四加角五换成角六等于角一加角五呢？现在我们来看第一个算式 和第二个算式。好，它们有一个角是相同的，都是角 e， 对 不对？好，又因为题目告诉你 角二是大于角五的，那这个时候说明什么？角一加角二是不大于角一加角五，所以我们说角三是不就大于角六啦？好，补充一点嘛，好，看看 角一加角二大于角一加角五，那因此角三是不就大于角六啦？ 好，所以我们说在比较的时候，你如果找不了这两个角的联系，你可以通过题目给的信息建立他们之间的联系，然后再进行比较。好，我们来看一下，动手做， 用一张长方形纸做一个纸扇，再说说纸扇上不同角的关系。好，这个自己下去做一下。好吧，那今天的课呢，就上到这里，同学们再见。

今天来到我们三下第三课，在这一课，我们要学会认识角，以及掌握如何比较角的大小。 请问小朋友们该图是什么图形？很好，是三角形，这个呢？ 哎，是五角星。这两个图形都有什么？哎，都有我们前两节课学的线段， 这里是不是一条线段？哎，这里也有条线段，这里一条线段三角形。有三条线段，那五角星，他的线段就非常多了，那么他们还有什么？看到我们标红的字了没？哎，他们都有角， 很好，这就是我们今天所学的脚，小朋友们来观察一下这三个物品，指一指他们的脚，第一个三角尺，他的脚在哪里呢？ 哎，这里有一个角，这里一个角，这里还有一个角。好，它里面其实还有三个角，很好练习本呢。哎，一个角，两个角，三个角，四个角， 这个扇子呢？扇子有点不好找哎，我们可以把这个地方看作一个角。 好， ppt 上给我们划出了三个角，我们把它抽出来，这就是我们所要学的角。那么角有什么特点呢？ 尖尖的，什么尖尖的？哎，他的头，你看看开始的这个地方是不是尖尖的？ 直直的，哪里直直的？他的两条边是直直的，没有曲线吧？很好，这就是他两个最显著的特点。那我们接下来看一看角是由什么组成的？ 顶点，好，这个名字叫顶点，人家的头头叫顶点。哦，两条边。 哎，顶点，两条边，顶点边，边。从一个点出发引出的两条射线可以组成角，它的符号，哎，是这样写的，我们回来看一看它是怎么运用角的。特征，一个顶点两条边， 一个顶点是尖尖的，两条边是直直的。嘿，哦，他标了一个小一，看到了没有？我们是不是要给他起名字了？ 我们记作角一，哎，读作角一就是用这个符号。我们以后在课本上、练习册上以及你的试卷上，我们看到的角，人家都是这么写的，动手折一折，用你手中的正方形纸来折角。 好，我们来记一记，脚的顶点是尖尖的，脚的两边是直直的，不尖不直，不是脚。好，想了这么多，我们要实战一下了，考验一下小朋友们，以下哪些是脚，哪些不是脚， 便指出他的顶点和两条边。第一个图是不是角？哎，他是角，是角，顶点和两条边没有问题。第二幅图是不是角呢？ 哎，他有一个尖尖的顶点，有一条直直的边，但是这条边不直呀，他还是角吗？哎，对，他不是角了。第三幅图呢， 很多小朋友会认为第三幅图他不是角，为啥觉得他缺了一截不好看，他不像角， 那我们要看看他符不符合角的特征。首先，他是不是有一个尖尖的顶点？嗯，其次有两条边，且都是直直的，哎，那他就是角，顶点两条边。第三幅图是不是角？ 哎，他有一个尖尖的顶点和两条直直的边完全符合。这个呢，这个是不是角？ 哎，对了，他不是角，他好像就是一个普普通通的曲线吧，他没有尖尖的角，也没有直直的边。最后一幅图是不是呢？ 哎，他有一个尖尖的点点和两条直直的边，非常好，他也是脚。大家喜不喜欢玩滑滑梯呀？我们看这三个滑滑梯，能不能说出哪个滑滑梯最抖？ 哎，聪明的你一定发现了，这个最抖，他越抖，我们是不是滑下去越快呀？那他跟我们今天学的脚有什么关系？ 哎，途中给我们标了三个角，分别都是滑滑梯与地面的夹角。你会发现这个最陡的滑滑梯，它的夹角好像最大吧，这个是不是非常平缓，它的夹角就很小？ 好小辣椒说了，中间的滑梯比较陡，右边的滑梯比较缓。聪明的小番茄说，滑梯越陡，斜坡的倾斜程度越大，与地面形成的角也越大。 哎，是不是角越大，他就越抖？角越小，滑滑梯就越缓？那么接下来请大家动手试一试，在图中画出比角一大或者比角一小的角，该怎样画呢？ 哎，小萝卜说，我画出的角二比角一大。我们来看看小萝卜是怎么画的，他在这个角的基础上， 是不是向外画了一条射线？哎，他把这个大的角哎命名为角二，确实比角一大。大出了这么多，是不是我们肉眼可见？好小蘑菇说了，我画出的角二比角一小， 他在图形的里面画了一条射线，标上这是角二。哎，这里的角二一定也比角一小，因为他还不到一整个角一。 接下来我们来探究一下脚的大小到底与什么有关。小朋友们可以准备两个纸条，将他们的一头固定住，然后旋转。 哎，我们在这个过程中发现，角变小、变大又变小，与长度有关吗？很明显是没有关系的，我们的纸条一直都是这么长，那它与什么有关呢？该怎么去描述？ 哎，角的大小与两条边张开的越大，角就越大。 好，接下来我们来做几道小练习。下面的图形各有几个角？第一个图形 三个角，很简单。第二个图形，哎，四个角，第三个图形五个角，最后一个，哎，有六个角，小朋友们数对了吗？ 找两幅形状相同，大小不同的三角板，向右图这样比一比，说说你的发现。 哎，我发现大三角尺和小三角尺的一个角重合了，他们的边与边重合，顶点与顶点重合。 哎，很好。所以角的大小跟图形的大小有关吗？跟他两条边长度有关吗？哎，没有关系的，只与两条边张开的程度有关。 好了，接下来我们该总结一下本节课的收获。首先，我们认识了什么样的是角？角有一个顶点，两条边，顶点是尖尖的，两条边是直直的。 第二个，我们学了角的大小与两边张开的程度有关，和边的长短无关。 好，本节课的内容就到这里了，下节课我们来学习锐角，钝角，直角，平角，还有周角。

角，嗯，是的。那他们有什么特点呢？他们都有一个点，两条边。 是这样一个点和这个点引出的两条直直的边吗？哦，原来角是由一个点和这个点引出的两条直直的边组成啊。 嗯，是的，并且这个点我们叫它顶点，这两条直直的边就叫边。 这个角可以用数字一做标记，读作角一，记作角一，现在我们开始一个智勇闯关大挑战。

你就对了。好，我们来看第四题，用一副三角板可以拼出哪些度数的角？拼一拼，画一画，并把它们从小到大盘一盘。好，我们先把我们手中的那副三角板给画出来。啊，大概长这个样子，是吧？ 好，你把这些角给它标出来，这个是九十度，要把它每个角的度数记下来哈。三十度，这是六十度，这个是四十五度，四十五度，这是九十度。好，我们来看看。你用三角板去拼啊，首先你可为你可以把两个角拼起来，对不对？这两个角 他拼起来的时候有两种情况，第一种情况他可以重叠，是吧？第二种情况呢？啊，他不重叠起来对不对？好，也就是一个拼左边，一个拼右边是吧？好，那我们来看，如果是你不重叠来拼，一个拼左边，一个拼右边，那这样子你拼出来的角是不是这两个角度数的和，那这个和有哪些情况呢？我们来看一看。 好，第一种，比如说你左边这个角啊，一号角，一号三角形，二号三角形，你一号三角形的这个三十度角 好为标准，我们来讲他可以和哪些组合呢？是不和二号图形的四十五度角，二号三角形的四十五度角， 这个算下来是多少呢？七十五度，也就你拼出来的这个角是七十五度，对吧？好，当然你也可以用这个三十度角和谁和九十度角来拼，对不对？和二号三角形的九十度三角板的九十度角来拼，那这样拼出来是一个一百二十度角，是吧？ 那左边这个还可以用六十度的角好，来和右边这个三角板的四十五度角来组合，这样折下来是一百零五度的角。好，接着还可以用六十度的角去和右边这个三角板的九十度的角拼下来。是一百五十度的角，没问题吧？ 还有没有左边的九十度的这个角，对吧？和右边的四十五度的这个角，是不是？好，那是多少呢？是一百三十五度，还可以用九十度的这个角， 这和谁九十度这个角，那这样 p 下是不是一百八十度？好，所以这样子是不是把他们拼出来的这个， 呃，角的这种和的这种情况，哈，是不是把所有的可能都立举出来了，对吧？好，当然还可以把他们的一条边重合。对，那这样是不是得到了这两个角的差好，比如怎么拼呢？你看像三十度的这个角，我们给它放到四十五度来 一条边重合，对，那另一条边就大概在这，是吧？这就是那个三十度。好，那这样剩下的这个角是不是就是十五度？看到没，你就得到了一个十五度的角，对吧？所以，好，我们可以用四十五度 减三十度，等于十五度。还可以，怎么着？你的六十度的角是不是也可以去？呃，减掉你右边这个三角板的四十五度角，对吧？所以得多少呢？得 十五度，对不对？好，当然你还可以用什么用九十度的这个角和右边这个三角板的四十五度角，那这样你是不是得到一个四十五度角，那这个四十五度角呢？因为这个三角板里面已经有了啊，这个地方我们就不列出来，我们列出的是一些没有， 就是原来三角板没有的这些度数。好，现在我们把得到的这些度数，我们先给它圈出来，用哪些？哈？它，是吧？好，圈出来 还有个十五度，下面十五度重合了。对，我们把这些度数的角给它，怎么样比较一比较啊，是吧？排个序。好，那这个时候最小的是多少？是不是十五度小于多少呢？七十五度小于一百零五度，小于一百二十度小于一百三十五度小于一百五十度小于一百八十度。 好，这样子这道题就完成了。好，我们来接着看第五题，三条线段， a、 b、 c 中 a 小 于 b 小 于 c 啊，这个很关键，我们来看。第一，如果 a、 b 等于 a 加 b， c、 d 等于 b 加 a， 那 么 a、 b 与 c、 d 的 长哪条线段长 好？那你看看，你不管把 a 排在前面，把 b 排在前面，你是不是都是求这两条线段的和呀，对吧？所以我们说 a、 b， 它一定是等于 c、 d 的， 这个没问题，很简单，对不对？好。第二，如果 a、 b 等于 a 加 b， c、 d 等于一加 c， 那 它们相差的是一个 b 和 c 啊，是吧？那 a、 b 和 c、 d、 b 哪条线段长？那 b 我 们像 a 都一样，对不对？好，它们有一条边是一样的，有一条线段是一样的，那另外一条线段呢？ b 和 c 怎么样？ b 小 于 c， 所以 我们的哈， a 加 b 是小于 a 加 c 的， 因此 a、 b 是 小于 c、 d 的 好，没问题吧？前面你补充补充嘛，这里是 a 和 b 交换位置，是吧？它们的这个线段长度和是不变的，是吧？ a 加 b 等于 b 加 a 好， 所以 a、 b 就 等于 c、 d 看到没有好。第三题，如果 a、 b 等于 b 减 a， c、 d 等于 c 减 a， 那 么 a、 b 与 c、 d 比哪条线段长好？那这个时候你看看他们减去的线段是不是长度一样 好，那么是不是只需要看他们去减 a 的 这条线段的长短对不对？如果 b 长的话，那么 b 减 a， 它剩下的这个线段长度是不是比 c 减 a 剩下的线段长度更长，对不对？好，那实际上就是比 b 和 c 的 大小对不对？好，那么 b 和 c 是 不是小于 c 啊？ 那所以我们说 b 减 a 是 小于 c 减 a 的 没问题吧？好，因此 ab 是 不小于 cd 啊。好，很简单哈。

接下来我们看一下，想想做做。第，下面的三个角都是由同样大的角拼成的，其中哪个角最大，哪个角最小？好，现在他用什么一小格一小格的这个，呃，格子作为标准对不对？好，那我们来数一数。好， 谁占的小格多谁就大呗，是不是？我们来数一下？好，第一个，第一个图放大哈，一二三四五六七八九十，那是不对？十个小格 来。第二个图呢？一二三四五六七八九啊，对的，是九个小格， 再继续第三个，一二三四五六七八九十十，一十一个小个。好，那很明显了，是吧？答案出来了，我们说角三最大， 角二最小啊，记得写个答案。好，第二题下面的角各是多少度？ 好，这个时候让你去读了，对不对？好，在量角器上去读好，一个角的度数。好，我们来看一看， 好，这个角，第一个角好，它的中心点是不是和这个角的顶点重合了？它这个是去量这个角的大小，对不对？我们来看看它用的是内圈的刻度还是用外圈的刻度 好，很明显，是不是用的内圈的刻度，因为它的一条边，这和谁重合？ 和零刻度线重合对不对？现在零刻度线是不是对应的是内圈的刻度是吧？它是内圈刻度的零刻度线，所以，好，我们读的时候读的是内圈刻度好， 一直往这边读，是吧？正好读到多少？二十，看到没有？过来就正好是二十，所以是二十度。好，再来第二个角，同样的角的顶点要和我们的两角器的中心点重合。好，那这个时候去看一看，它的一条边是不是也去和零刻度线重合了，对不对？好， 它重合的这个零刻度线是内圈刻度的零刻度线还是外圈刻度的零刻度线啊？是不是外圈刻度的零刻度线？所以我们要读的是外圈刻度。好，要清楚，所以读的是这这一圈，是吧？这个位置，所以一直读读，读过来，你看多少？是不是六十五？ 这里是六十五，所以这个角是六十五度。好，再来这个角，这个角你看一样的。好，它的中心点去和角的顶点重合， 其中的一条边呢？和零刻度线重合。好，那这个时候这条零刻度线对应的是不是内圈刻度的零刻度线？所以我们读的是内圈刻度，看到没有？好，读过来，正好是多少？这一百四十度。 好，那么现在我们来总结一下哈，你再用两脚去，去干嘛？去两脚的时候啊，这里提前讲一讲，你一定要用你的两脚气的中心点去和脚的顶点重合，这是第一点。第二点，你的零刻度线一定要和脚的一条边重合， 你看到没有？他们这三个图是不是都分别和角的一条边重合了？零刻度线对不对？好，第三，你要注意什么？你用的是内圈刻度的零刻度线去重合的，还是用外圈刻度的零刻度线去重合的？好，你要搞清楚你用的是哪一个的刻度线，你就去读哪一个的刻度值，听到没有？千万不要搞混哈。好， 第三点，在两角器上分别找出三十度、四十度、六十度、八十度、一百度、一百四十度，还有一百六十度的角，这个也很好找，是不是？好，我们来找一找，找三十度。好， 我们先把中心点标出来。好，那这个时候我们可以从内圈刻度线来找吧。好吧，好，这是零度，对不对？ 把零刻度线标出来，好，现在三十五度，那就读内圈刻度，不就在这吗？是吧？很简单，这是三十度，三十五度，好，再来四十度，还是以零刻度线开始，四十度， 是不是在这，对吧？这就是我们的四十度的角，对不对？好，六十度呢？还是从零刻度线开始读内圈刻度哈？好，换个颜色， 好，这就是六十度角，对不对？好，再来那八十度，一百度，一百四十度，一百六十度，自己下去找一找，好不好？好，一定要注意，你用的是内圈的刻度线，去重合的话，你就要读内圈刻度哈。 第四题，先和二十度的角比一比，再估计角一和角二各是多少度？好，角二，呃，这个二十度的角在这，好，角一明显比二十度角大。那大多少呢？是它的两倍吗？那也不一定对不对？好，我们可以把二十度的角大概换一换，对不对？ 大概长这个样子，你说这个大概就是二十度，对吧？那剩下的有二十度多吗？没有对不对？那说明没有两倍，也就是 大概是二十度的一半，你发现没有，那你可以估个多少？二十度的一半就是十五呗，十五或者十四，你可以读十五度，十四度都行哈。呃，你可以看到十五度，十四度都行哈。那这个时候是多少度？三十五度，那也就是你估下来你可以估多少 啊？三十二度呀，三十三度呀，三十四度呀，三十五度啊，三十六度啊，这些都对，都对，因为它让你估记嘛，估记并没有一个准确的值哈。好，再来，角二， 角二和二十度角比起来是不是要小一点呀？是吧？稍微小一点点对不对？好，那可以估多少呢？比如说十九度对不对？估个十九度也行，十八度也行啊，但你要估个二十一度也可以，只要接近它就行了，不要相差太大哈，这就是这道题。我们来看，动手做 好，用两根木条做一个活动角，并在两条边上分别定一枚图钉，是角的顶点到图钉之间的距离都是十厘米。好，再在两枚图钉之间系一根短的橡皮筋。好，我们来看看这个图，它说的意思呢？就说 这段是十厘米，对不对？这段也是十厘米。好，那这个就是我们的橡皮筋了啊。 我们来看，他说转动活动脚的一条边，使脚变大或变小，仔细观察橡皮筋长度的变化，你能发现什么？好，我们来先来看一下啊。首先它的意思就是说 这条边、这条边以及这条边不变，对不对？好，我们另外一条边在转，是吧？这条边在转啊，你来看看，在整个转动的过程当中， 我们的这个图钉是不是都在这个圆上，是吧？也就其实这枚图钉它在这条边，它在转，在这条边转动的过程中，它是不是形成了一个圆？看到没有，是吧？好，它都在这条边上，那这段永远都是多少十厘米，对不对？好，那我们的橡皮筋是不是永远都固定在这个圆上？ 这一这一点能理解，对不对？好，我们来看，当它到达这个位置的时候，我们的橡皮筋在这对不对？好，这个角这个时候是不是明显变成一个直角变大了？对，好，那现在这个橡皮筋它的长度是不是也在变大了？变长了，对不对？好，再来， 我们继续增加，你看现在这个角是不是成了一个钝角？那橡皮筋的长度 在这，对不对？这就橡皮筋的长度是不是在变长？好，再来，直到变成个平角线，这条橡皮筋是不是在这儿，对吧？它拉到了什么最长？所以在这个部分我们发现什么？随着 角在变大， 橡皮筋 长度也在变大，对不对？或者也在变长啊？好，那后半段呢？我们来看看这一条边一直在转，对不对？好，转到这，我们把橡皮筋 描出来，这就是它长度是不是好？和绿色这条边比明显变短了，对不对？那这个时候对它的角对不对？好，原来呢？最大的时候，这个什么角？是个平角，是不是？是个平角？好，现在在变小了，是不是？好，那橡皮筋也变短了？好，再来。 好，现在这个角是不是一个直角，对吧？好，现在我们来连一连橡皮筋，橡皮筋是不是在这儿？是不是更短了？好，那，一直在转过来，更短了，是不是？这时候角叶变小了，橡皮筋是不是也更短了？所以随着角在变小，橡皮筋的长度也在变短。 那我们整个旋转的过程中有个什么的规律呢？好，随着角在变大，橡皮筋的长度也在变长，反之，随着角在变小，橡皮筋的长度也在变短，这里自己写写啊。 变小，橡皮筋的长度也在变短。好，这就是我们发现的规律。好，我们来看，根据上面的发现，你能比较下面三个角的大小吗？好，那我们这个时候是不是根据橡皮筋的长度来判断角的大小，对吧？你看 把橡皮筋好长度给它描出来。好，我们先把角给标出来哈。这是角一。这是角二。 这是角三啊。很明显，角三所对应的橡皮筋是不是更长？好，所以这个角就更大，是吧？角二其次，角一是最小的，所以角三大于角二大于角一。 其实这个题就是通过橡皮筋的这个长短来判断角的大小，是吧？好，那这就是我们这节课的内容，今天的课就上到这里。好，再见。

好，我们再来看，想想，做做右图中的角，这是什么角？好，来看第一个，这是个什么角？哦？是个平角，对不对？第二个呢？第二个是个什么？是个周角，这是它的一个顶点，对不对？现在 这样过来，不就是一个周角吗？对不对？好，这是一个周角。 好，生活中还能找到这样的角吗？能不能啊？好，我们来举个例子，比如说平角， 生活中哪些地方能够见到我们的平角啊？好，比如我们说一个蛋糕，是吧？好，你给它从中间平均分开，那得到了这个半圆，是不是？还不就跟这个扇形一样，对不对？好，它就是个平角，是不是？还有没有？好？比如说我们的钟表上，当我们的什么 时针指向六，分针指向十二的时候，也就是六十的时候，这个时候你的分针和时针是不是形成了一个平角啊？因为这个时候分针和时针它们在同一条直线上，对不对？我们来画一画， 这是十二、三、四、五、六、 七、八十十一。好，你看这个时候我们的时针只在六的位置，那这个时候分针只在十二的位置，就是六十整的时候。好，这两根时针是不是在同一条直线上？所以这个时候它是一个平角，看到没有？好，周角呢？ 那钟表上依然有周角啊，是不是？好，也就是我们的十二时的时候，是吧？这个时候我们的时针正好是不是只要十二，分针也只在十二？所以我们的钟表 十二时。好，十二时的时候正好有一个周角，看到没有？好，这就是我们举的一些例子，你还可以举举其他的第二题，教室里哪些地方有直角？ 先讲好，我们讲到什么？国旗的四个角，对不对？还有窗户的四个角，是吧？等等等，这些地方有直角。好， 先找一找，再说说你是怎样判断的？好，我们可以怎么样？用我们三角尺上的那个角，就是我们手中那个三角尺，对不对？它可以长这个样子啊， 用这个角对不对？你去和四个角比一比，你会发现我们窗户上那四角也是直角，还有国旗的四个角也是直角，好， 就比一比就知道了，好。第三点，把一张圆形纸片照样子折一折，展开后，从折好的纸片上分别找出锐角、直角和钝角。会找吧，他说像图中我们的图在这啊，先把这图给画一画， 你来找呗。首先锐角，这是这个锐角，还有哪儿？这儿一个对，这儿一个这儿，你看这是不都是锐角？好，那钝角呢？ 这是不是还有吗？这呗，看到没？这还有，这还有这对不对？还有这，这都是蹲角。好，我们来看直角呢， 直角有哪些啊？这有一个，这一个，这一个，这一个是不是？是不是四个直角？好，还有没有呢？ 好，你去拿你三角尺上的直角去比啊，比了以后你会发现这个角是直角啊，还有这个角看到没？好，还有我们这个角以及我们的这个角， 这些角都是直角，有八个直角，看到没有？八个直角？好，自己下去找一找啊。第四题，下面的角各是什么角？把它们从小到大排一排好，首先第一个有个直角符号对不对？很明显它是一个直角。 第二题呢？好，它的两条边怎么样？在同一条直线上嘛，对不对？好，所以它是一个平角。平角的定义什么？两条边在同一条直线上，这样的一个图形，我们就叫作平角。好，第三个呢，它比直角干嘛？要小，所以它是一个锐角。 好，来看第四个。第四个的两条边，这个角，两条边是不是重合在一起，所以它是一个周角， 好，第五个呢？第五个很明显比我们的，是吧？你看，这是一个直角，对比直角大，又比我们的平角要小，所以它是一个什么？钝角？钝字不要写错了，再强调。好， 第五题，下面图形中各有几个角，分别是什么角？我们来看第一个，这一个对不对？两三个是吧？三个角，这里是三个好，三个好，这是一个正方形，对不对？正方形的四个角啊，我们说它都是直角。好， 你不信，你用你那个三角板上的好钢化这个三角板啊，用这个角啊，你去比比啊，它有四个角，好。再来看我们的 t 形， 是不是也是四个角啊？分别是什么角？好，那第一幅图，这三个角是不是都是锐角啊？这三个角呢，有两个锐角， 一个钝角，好。第三个呢，这是一个锐角，这也是一个锐角。好，这是一个钝角。第四个图呢，它们每个角都是什么？直角？ 好，最后一个图，你看这两个角是什么角？钝角啊，钝角， 这也是好，剩下两个角是锐角，其实这个我们一眼可以看出来啊， 第一个也标一标啊，这是锐角， 自己在书上标一标哈。第六题中面上的分针，从十二起走到一所形成的角，是什么角呢？我们看，原来这是十二，是，对吧？好，这个是我们的分针啊，从十二起，一直走走走，走到一的位置， 这样形成一个角，这是什么角？很明显，这是一个锐角啊。 好，走到三的时候呢？走到三，走到这儿，这个时候先想是个什么角？好，我们的分针在走，时针走不走？他肯定走，所以时针还在十二、十的位置嘛？ 还在十二的这个位置吗？那肯定不在了呀，对不对？他肯定会往边上挪一点点，对不对？挪一点点，是吧？比如挪到这位置是不是这些位置？好，所以这个时候它是一个锐角。 走到五呢？ 分针走到五的时候， 走到五的时候，是不是快接近我们的六的这个位置了？是不是就快走到一半了？是吧？你这个时候你的分针快走了一半了，你的时针是不是也要也快走了一个大个的一半， 大概在这些地方，对吧？这些地方，那你看，不管他怎么走，只要不超过一或者不到，这是吧？他依然是一个什么角？是一个钝角，是吧？所以他是一个钝角。 好，他如果走到六呢？走到六，是不是走了一半了呀？就走到这个位置，是不是？好，你走到这儿，请问时针还在十二了吗？那肯定不在了，对不对？他一定是走了十二，十到一，十二到一的。好，这个大格的一半，对不对？你看这是个什么角？现在 是不是一个钝角呀？对呀，它是个钝角。 好，那这个时候我们的分针继续走啊？走走走，走，一直回来，走到啥？走了一圈了，对不对？好，这个时候他走了一圈，我们的时针走了一圈。时针应该走什么？是不是走了一个大格？是不是走到一的位置了？所以这个时候他们所行的角是不是在这？是 吧？它是个什么角？是个锐角， 所以我们说这道题它是一个锐角。好，所以我们说这道题它是一个锐角。好，自己想一想， 来看一下，动手做，把一张纸按下面的要求折一折，再和同桌比一比，想一想，每次折出的角都一样大吗？为什么？好？我们来看第一种折法，它说折出一个锐角。 好，我们知道锐角，它是比直角要小的角，对不对？好，那也就是说，只要这个角比直角小，它都可以叫做锐角，那你能保证你每次和好同桌折出的这两个角都可以叫做锐角，那你能保证你每次和好同桌折出的这两个角都一样大吗？好，所以这个是不一定。 好。第二，折出一个直角，好，那你想一想，我们刚刚在学这个直角的时候，好，我们说你把一个圆形的纸片，你 连续对折两次，按照它的步骤，那你最后是不是得到了四个角？好，这四个角我们说都是直角，是吧？好，然后你再用你三角板上那个角去比，它们俩是不是一样大的呀？ 好，那也就是说啊，这个直角它肯定是什么啊？大小是固定的，对不对？因为你折出的那四个角，包括你三角板上那个角，它们大小都一样，它才可以称作什么直角。那也就是说，你和你的同桌不管怎么折，你只要折出一个直角， 它们肯定什么能够重叠在一起，所以你们的直角是一样大的。 好，折出一个钝角，好，那你想一想，我们说什么样的角叫钝角啊？比平角小，但是比直角大，对不对？好，这样的一个角叫做钝角，它是不是在一个范围里面呀？是吧？好，那你能保证你每次折出的这个 钝角都一样大吗？那不一定的，对不对？好，只要是这个角比直角大，比平角小，它都可以叫做钝角，是吧？所以它也是不一定。 我们再来看，折出一个平角，好，什么的角叫平角啊，也就是什么？它的两条边在同一条直线上，是不是？好，那这样的一个角叫做什么？叫做平角，对不对？ 好，但是它不能重合哈，不能重合，这两条边不能重合，这样，这两条边它重合了啊，虽然说在一条直线上，但是它重合了，那就是个周角，对不对？那比如说啊，你给你一个圆，对不对啊？你给它从中间分开，对不对？好，是不是得到一个平角啊？好， 那这个时候你就是你折出的平角，它肯定是一样大的，只要你的那个角，它的那两条边在同一条直线上，它一定就是一个平角。知道了，不？通过跟我们讨论呢？我们其实可以得到这样一个结论，所有的直角 都一样大。 还有呢？好，所有的平角都一样大。 好，当然以及我们的周角哈，所有的周角 都一样大。为什么？这个周角，为什么啊？它也都是一样大的，因为就像那个活动角，你把它其中的一条边给旋转过来，对不对？好，你只要是旋转了一周，正好和另外一条边重合，它是不是都是一个周角啊？它跟你的那个 活动角，它的长短，它的边的长短有关吗？是没有关系的，对不对？不管你那两条边长还是短，你只要把其中一条边旋转一周，好，和另外一条边重合。好，这样你就得到一个周角，清楚了吗？好，那今天的课呢？就上到这里。好，再见。

自从认识了脚，接下来我们干点啥呢？数学有一个更古不变的定律，无论什么，最后肯定得和数量扯上千丝万缕的关系，脚也不例外。今天我们就来看看如何判断脚的大小。 看这些脚哪个最大呢？这个，这个，还是这个，太难了，怎么量呢？用尺子这么量，这么量还是这么量？ 你可别忘了，脚的两边是射线，是可以无限延伸的。那我要是把两边都延长呢？呃，那就没法量了。哈哈，我知道，固定长度再量呗。哎呦，不错哦，两边各取一厘米， 这就简单了吧。但是你怎么说呢？你说这个角零点七厘米，那这个角二点六厘米，这种说法是不是听起来不得劲呢？那就对了，因为角度不同于长度，不是用直尺量出来的。那可怎么量呢？

同学们，你们知道吗？红领巾是红旗的一角，象征着革命的胜利。你们能找到红领巾上面的角吗？嗯，哎，你们看，这就是红领巾中的角。嗯，很好，其实在我们日常生活中也存在着许许多多的角，你们想一想。好啊，哎，看，钟表上有角，剪刀上的角藏在这里的了， 我的课桌面上也有角。哼，看来角在我们的生活中真是随处可见。嗯，现在我们把生活中的这些角用我们的数学符号表达出来，你们来看这些是不是刚才找到的角？嗯，是的，那他们有什么特点呢？ 他们都有一个点，两条边。是这样一个点和这个点引出的两条直直的边吗？哦，原来角是由一个点和这个点引出的两条直直的边组成啊。嗯，是的，并且这个点我们叫它顶点，这两条直直的边就叫边。这个角可以用数字一做标记，读作角一，气作角一。

好，同学们，那今天这堂课呢，我们一起来学习角的测量和认识量角器。 好，我们来看一下历期啊，历期给了我们两组图啊，这边是第一组啊，这边是第二组。好，我们来看第一组图，第一组图里面有两个中面啊，中面上的时针和分针呢，分别都形成了两个不同的角，对不对？好，那你能比较这两个角的大小吗？ 好，我们先把它给标出来是吧？这是角一，这是角二是吧？好，很明显，怎么样？角一是小于角二 的是吧？好，也就说我们通过观察好，能够直接比较这两个角的大小。好，这也是我们上节课讲过的哈，那我们来看一下。好，第二组呢？好，第二组也有两个角标出来，这角三， 这是角四，那你现在能直接判断出这两个角谁大谁小吗？ 那是不是判断不出来了呀？好，那角三和角四到底哪个大哪个小呢？好，这个时候我们在观察法好，是不能够做出准确的判断的。好，那也就是说我们这节课为什么要来学习角的测量和认识两角器？ 当我们用观察法不能判断两个角的大小的时候，我们就要选择用其他的方法了。好，那现在我们来看一看，这里有两个中面，这第一个，这是第二个， 他说怎样比较两个中面上分针旋转所形成的角的大小。好，那你来看看这两个角的大小能不能判断出来呢？ 那很明显是不是角二跟大呀？好，我们把这个叫做角二是吧？这个叫做角一，那是不是角二更大？好，所以我们说角一是小于角二的，那我们通过什么观察对不对？好，观察， 当两个角的大小差距比较大的时候，我们通过观察法是能够判断出它们的大小的。好，这是第一个方法。 好，我们再来看下面人家是怎么做的呢？好，他说用三角板上的这个角去比一比。好，你看我们手中有个三角板是吧？好，你自己可以拿来比一比啊，在这儿 这个角是吧？哎，你发现什么？三角板的这个角正好和角一一样大呀？好，三角板上这个角和角二比呢？怎么样？它小了对不对？这个角在这儿是吧？这是我们的 角二，对不对？好，它明显比我们的角二要小，那你看，既然角一等于三角板上的角，三角板上的角又小于角二，那说明什么？角一是不是小于角二的？好， 那我们这样做是通过什么的方法来比较的呢？想一下是不是选择了一个标准呀？对不对？好，我们说选择一个标准来比。 好，在这里我们这个三角板的它的这个角啊，它的这个角，也就是啊，这个角啊。 好，它就作为我，它就作为我们的什么标准。好，作为我们的标准。好，我们来看一下。 好，右边的做法是怎么做的呢？他说左边中面上分针走了十个小格，是不是走了十个小格呀？我们来看看左边的分针是不是这这一片对不对？好，一个大格是不是有五个小格啊？它这里占了两个大格，对不对？所以它是十个小格。 好，我们再来看右边中面上分针走了十八个大格，是不是十八个呢？我们自己数一数是吧？ 好，十二到一是五格是吧？好，这里是五格，这里是五格。好，这里是五格。三，五十五了，对不对？好，三之后呢？是不是有三个小格，对不对？所以总共多少？是不是十八个小格？ 好，那明显十是小于十八的。那所以我们右边的这个角，它占了十八个小格，那它更大，对不对啊？它大了多少个小格呢？大了八个小格。所以右边的这种方法同样可以比较出什么角一是小于角，二的，它是什么做的呢？ 它同样是不是选了一个标准呀？但是这个地方它选择的标准是什么？是不是中面上的一个小格？好， 选择中面上的一个小格作为标准？ 好，那现在我们来看法二和法三，也就方法二和方法三，它们哈相同的地方在哪里？不同的地方在哪里？ 他们相同的地方是不是都选择了一个适合的角度来作为标准呀？是不是不同的地方呢？也就角，也就我们的图二是怎么做的？ 我们的方法是怎么做的？他是选择了一个三角板上的一个角，对吧？作为标准。但是我们方法三呢，他是选择了一个小格，桌面上的一个小格来作为标准。好，这就是他们不同的地方。 好，这就说明什么？我们如果要更清楚的说明角的大小，当你用观察法是观察不出来的时候，你要更清楚的说明它大小，那你就要进行什么度量， 你度量角的大小，你就要选择一个什么合适的角，读单位看到没有？方法二是选择一个三角板上的一个角，那方法三呢？它是选择的中面上的一个小格来作为标准。 那接下来看，他说以中面上一个大格或一个小格所对的角好来作为标准，来说说下面的角 各有多大，并比较它们的大小。好，现在给了你三个中面，是吧？好，三个中面的时针和分针呢？分别形成了三个角，角一、角二，角三。好，现在要比较它们的大小。好，我们知道，根据前面的这个经验，我们知道，是吧？可以 选一个标准，是吧？选一个标准来进行比较。好，那这里我们所选的标准可以什么？选一个大格，也可以选一个小格，他们所对的角来作为标准，看到没有？好，假如我们选一个大格好来作为标准， 我们来看角一，它占了几个大格啊？很明显，是不是两个大格啊？这一个是吧？这一个，所以说它占了两个 大格。好，我们再来看角二呢？角二占了，你看从十二开始到一，是不是一个一到二是不是一个二到三？一个是不是三个？三个大格？好，但是这里这个地方是不是占了两个小格，所以它占了三个大格， 两个小格，对吧？好，我们再来看角三呢？好，角三来看，这是不是占了一个大格，两个小格，对不对？所以它是两个大格， 三个小格，那肯定啊，以大格来作为标准，谁占的格数更大，是吧？那谁的角度就更大，对不对？所以我们说角二是大于角三，大于角一的，对不对？好，接着选 一个小格作为标准呢？好，那我们的角一是不是占了十个小格啊？因为在我们的桌面上，一个大格里面是不是有五个小格？它既然占了两个大格，是不是就占了十个小格？那你也可以自己去数，对吧？好， 角二呢？角二占了三个大格和两个小格，那总共是不是就是三乘五等于十五个小格，再加两个小格啊？对不对？所以是十七个小格。 好，我们再来看角三，角三占了两个大格和三个小格，那总共就占了几个小格呢？是不是二乘五等于十十再加三个小格，对吧？是十三个小格， 那很明显是角二是最大的呀，角二大于角三大于角一。好，所以你不管以一个大格作为标准，还是以一个小格来作为标准啊？它所对的角哈来作为标准。好，你们最后比下来的这个结果，那肯定是一样的，除非你比错了，对不对？好， 他说通过测量你又想到了什么？好，你想一想，我们在刚才的这个整个过程当中，我们去比较角的大小，都是在选择不同的角来作为标准，对不对？ 好，那如果你要在生活中普及开来。好，我给你两个角，你能够马上告诉我他们两个谁大谁小，或者准确的知道他们的实际大小，然后再比较，那怎么办？那你是不是得统一标准呀？好，所以我们要统一标准。 好，那你想想这个标准该怎么定呢？好，我们书上已经告诉我们了，我们来看。好的，说将一个周角定为三百六十度，把它平均分成三百六十分。好，其中的一份就是一度的角。 好，那我们来看一看啊，这是一个周角，我们把它标出来。好，怎么标角？还记得吗？ 是不是这样子啊？用一个圆弧对不对？好，但这里它是个周角。哈，它的这个大小啊，它的这个张开程度有点特殊，是不是看起来有点特殊，对吧？但依然不影响它是个角。哈。好，那我们来看看，也就是把老师标出来的这部分， 这部分哈，给它平均分成三百六十分，那其中的一份是不是也是一个角？好，你要搞清楚，那这一份它就是一个角。 好，那这个角的大小是多少呢？因为我们讲了，你把这个周角的度数，是吗？定为三百六十度，那你平均分成三百六十份以后，一份是不是就是一度啊？好，这就是我们的一份。 好的大小，也就是说这个统一的标准我们找到了。好，就是一度，这就是我们统一的标准。好，标准找到了以后，现在我们来看一看， 这个时候它产生了一个什么？新的一个计量单位，看到没有？度，好，它和我们的分米、厘米、毫米一样，它也是一个计量单位，只不过我们的分米、毫米、厘米，它是长度计量单位，但是这里度，它是角的计量单位。 好，我们通常用符号度来表示，看到没有？是一个小圆圈。好，那一度我们可以记作一度。好，注意，你这个度一定要写在数字的哪里。右上角， 看到没有？好，那现在你看这样的一份，这不就是一度呀？你看，好，我们把它放大，这就是我们的一度角，看到没有？好，很小，对不对？很小哈，好，那我们先来继续看， 在上图中找，三十度、六十度、九十度啊，还有一百五十度的角。好，我们来找一找。找三十度的角怎么找呢？我们来看一下，从零度开始， 这是零度，对不对？好，零度。好，我们这个图好，它是十度，十度的数，你看到没有？这是十度，是吧？好，这是十度，这是十度，这是十度，是吧？好，后面的也是，它是十度，十度的来数。好，那我们三十度在哪里？是不对应的这根线看到没？ 这就是我们的三十度，对吧？好，那它所对的角在哪？好，我们，呃，换个红色吧。 好，这就是我们的三十度所对的角，是不是就是这个？是吧？这是三十度的角，所以你在旁边这里可以写上一个三十度，看到没？好，再来六十度，我们是不是还是从零开始好？十度，十度的数啊？一十、二十、三十、四十、五十、六十，是不是在这 看到没？好，你看，这就是我们的六十度角，看到没有？好，我们继续九十度。好，六十，往后再数，对不对？七十、八十、九十。 好，这就是我们的九十度角，看到没有？它是垂直的哈，它是垂直的，这个地方标直了，好，看到没有？好， 注意，直角，我们是不是用直角符号来表示啊？好，它是九十度。好，再来一百五十度的角，九十往后数。一百、一百、一十、一百二十、一百、三十、一百四十、一百五十，是不是对应的技巧可多？看到没有这根线，是吧？ 这就是一百五十度的角，看到没有？好，那你能把三百六十度的角找出来吗？三百六十度的角是不是在这？就刚画的？对，这样画一圈呗，是吧？ 这样一圈对不对？就得到了一个三百六十度的角，看到没有？好，也就是转到最后，我们的三百六十度是和我们的零度，他们所对应的这个线是不是同一根啊？看到没有？好， 那现在我们来看，想一想中面上的分针，从十二走到一，形成的角是多少度？好，这时候我们来画画图哈，这是一个中面。好，中面上一共有十二个大格。 好，我们先把这四个刻度先标出来哈，十、二、三、六、九，哈，那这个时候再给它分一分哈。 好，现在来看，总共得到了十二个大格。好，那现在我们，呃，在这里呢，就不画时针了哈，我们来看，这是分针，它首先指向十二十，好，再转过来指向一。 好，那先来看看题目问的是什么？它形成的角是多少度？好，形成的角在哪里？是不是就这个角对不对？好，这个角它是多少度？ 好，我们来看看，我们讲了一个周角是三百六十度，对不对？好，那现在十二到一，它所对的这个角所对应的这个角到底是多少度呢？好，我们来分一下。 好，如果说我们把这十二个大格所对应的角给画出来， 你看总共分成了多少份呢？是不是分成了十二份？看到没有？好，也就是把三百六十度平均分成了十二份，是吧？好，那一份是多少呢？是不是用除法来计算？好，所以我们用三百六十度去除，以十二 等于多少呢？等于三十度。好，那这个时候就得到了一个大格，它所对应的这个角，它的度数是三十度，那也就是说我们的分针从十二 走到一，也就也就是这短，是吧？好，它所对应的这个角呢？好，是三十度，现在清楚了吗？那同样的哈，从一到二是多少度呢？也是三十度，二到三呢，也是三十度，对不对？也就是我们 中面上一个大格哈，它所对应的这个角，它的度数就是三十度。好，那这里我们拓展一下，那一个小格呢？一个小格是多少？好，这一个大格啊， 那一个小格呢？好，我们知道钟面上它的刻度总共有十二个大格，有多少个小格啊？有六十个小格，对不对？那也就是说，如果我再把这些大格再分一分， 好，是不是分成了五个小格，对不对？每个大格都能分成五个小格，是不是？好，那现在我们知道一个大格是多少度呀？是三十度是吧？那如果平均分成五份呢？ 一份是多少呢？我们就用三十度去除，以看到没有。好，那就等于多少呢？ 六度对吧？五六三十吧。好，所以说桌面上一个大格对应的是三十度，一个小格对应的这个角是六十度。好，这个请大家记下来。这个是个重点啊，我们做题的时候经常会考到啊，经常会考到， 通过刚才的探求呢，我们已经找到了去度量一个角的大小的同一标准，对不对？也就是一度，那么先想 有没有工具能够帮助我们快速的去测量出一个角的大小呢？好，那肯定是有的。好，我们来看一看力霸，根据角的特点，人们设计量角器来度量角的大小。好，那接下来呢，我们就一起来认识量角器。 好，我们来看一下，量角器主要分为三个部分，首先是中心点 好，其次是刻度线好，最后是刻度值 好。中心点起到的作用是什么呢？好，我们说中心点，它主要是我们在两角 或者画角时，要和角的什么顶点对齐， 也就是重合。 好，这就是我们的中心点。看呐，好，这就是我们的中心点，树上已经给我们标出来了，是吧？好，那我们再来看刻度线。 好，我们的刻度线分为外圈刻度和内圈刻度。好，好， 我们的外圈刻度又对应了外圈刻度值， 内圈刻度呢，对应了内圈 刻度值。好，我们来看看，在两角器上，这就是它的外圈刻度和外圈刻度值。好， 我们绿色部分呢，对应的就是内圈刻度以及内圈的刻度纸。好，那我们在两角或者画角的时候，你在读数的时候哈，读这个角的度数，去判断它的时候，一定要注意，你用的是外圈的刻度线，你就要用的外圈的刻度纸，听到没有？ 好，你要用内圈的刻度线呢，你就要读内圈的刻度纸，或者看内圈的刻度纸哈，这个一定要一一对应，不能搞混了哈。好，再来看在两角器上，它的最大的刻度是多少度呢？ 最小的刻度是多少度呢？好，我们来看看，不管是外圈的刻度值还是内圈的刻度值，它们最小的刻度值都是零度，看到没有？好，我们找到零刻度线，先来看外圈的刻度，这就是它的零刻度线，看到没有 啊？零刻度线在这儿，人家已经已经给我们标出来了啊，那零刻度线对应的就是零度 好，最小零度好，那么最大呢？好，我们看外圈的刻度线，它从零度怎么样？顺时针是吧？顺时针一直走，走走走，增加到多少度？一百八十度 好，再到一百八十度，同样的内圈呢？好，内圈是从右开始，看到没有，内圈刻度线是从右开始，逆时针一直增大，增大到一百八十度，所以不管是外圈刻度值还是内圈刻度值，他们的最小的度数都是零度，最大是 一百八十度。好，那同样不管是内圈刻度还是外圈刻度好，他们所对应的最外围的这条刻度线啊，你看 这条刻度线哈，好，这些刻度线。好，他们都把这一百八十度平均分成了一百八十分。好，那就得到了什么？一份是一度，那也相当于是一百八十个小格，对不对？那一个小格就是多少度，就是一度。好，所以你要搞清楚。 好，我们的刻度值，两角器上一格表示多少度呢？好，表示一度，它总共有多少格呀？总共有一 百八十格，那就对应呢总共有一百八十度。 好，这就是我们两角器上的一些关键信息啊，你要清楚。好，那我们来看我们的中心和我们的什么零刻度线，看到没有？以及我们的一百八十度这个刻度线，他们所形成的这个角 就正好是一百八十度，这是不是正好是我们的平角呀？你看是不是一个平角？这个时候这个角的两边正好在一条直线上，看到没？而且它没有重合，是不是它正好是个平角？所以我们说我们的平角是多少度呢？ 是一百八十度，好，前面我们又知道一个周角是多少度？是三百六十度。 好，那你看平角是不是正好是周角的一半，对不对？正好是周角的一半。好，那这里补充一下，包括我们前面学的什么直角，是吧？直角是多少度？前面已经让你找直角了，对不对？我们找下来是不是发现它正好是九十度，是吧？好，所以我们直角是九十度。 好，这就是我们认识两角器有关的内容。好，那我们再来看，他说在两角器上，先从右边起，从右边起开始看的是内圈刻度还是外圈刻度？是不是内圈？搞清楚，是内圈刻度。 好，那从左边起呢？看的就是外圈刻度了哈。 好，我们先来看第一，他说从右边起，依次找出零度、二十度、九十度、一百三十五度和一百八十度。我们先来找零度，肯定好找，对不对？好，好，从右边开始，这边是右啊。 好，对应就是内圈刻度啊。现在找零度，零刻度线是不是在这，对吧？这就是我们的零刻度线，看到没有？好，你可以写上零度。好，再来二十度，注意，一定要对应的是内圈的刻度线哈。 好，再来九十度。九十度是不是在这儿，是吧？好，继续一百三十五度， 你看，这里是一百三，对不对？好，这里是一百四，是吧？好，他们中间是不是有有一个刻度，是吧？这个刻度把这段平均分成了两份，对不对？好，他们这段是十度，对吧？好，那平均分成两份，一份就是五度，所以一百三十五度，在这儿 看到没？好，这就是一百三十五度。好，给它标出来。好，继续一百八十度。好，内圈继续看过来，是不是在这？这就是我们一百八十度，对吧？好， 找完了，对吧？好，我们再来看一下，从左边起，左边起，是不是就对应的这边是左边，是吧？这左好，对应的就是外圈了哈，来看，从左边起，零刻度线 就在这里，对吧？好，给它盖住了哈。再来二十度，一定要对应的是外圈的刻度，看到没有？刻度值哈，在这儿看到没？这就是二十度。好，这有把它写上啊，这里是零度。好，好， 再来九十度， 是吧？这就是九十度。好，继续一百三十五度， 这一百三，对吧？这一百四，那中间这个是吧？不就是一百三十五度吗？同样是把这个一百三十度到一百四十度给它平均分成两份，对不对？好，那一份就是多少五度，是不是？那就是一百三十五度。好，再来一百八十度外圈刻度，哈，不要找错了， 在这对不对？好，我们来观察一下。好，不管是外圈刻度还是内圈刻度。好，来看看他们九十度是不同一根刻度线啊，没问题吧？好，但是我们来看，在这 外圈刻度的零刻度线是不对应的是内圈刻度的一百八十度的刻度线。好，再看右边呢？内圈刻度的零度刻度线对应的是外圈刻度的一百八十度刻度线，是不是？ 好，而且如果你观察的仔细一点，你会发现什么？你看它们二十度这根线 是不根据九十度的这根线是不是以这根线为这个对称轴的话，它们两个是对称的呀，是不是？是吧？好， 一百三十五度和这边的一百三十五度是不是也是以九十度的这根线？它们是对称的，是不是？好，如果你观察的再仔细一点，你会发现什么？内圈的刻度值和外圈的刻度值，如果对应的是一根刻度线的话，你看 好，比如再这样，是吧？对应的是内圈是十度，外圈是多少？一百七十度，是吧？合起来是多少度？是一百八十度，好，再找一个，你看 这是六十，对吧？外圈呢？一百二十合起来是多少？一百八十度，好，所以说如果一道题，他告诉你外圈的刻度值是一百二十度，问你此时这根刻度线对应的内圈的刻度值是多少？是用一百八十度减一百二十度等于六十度， 是吧？好，每一根刻度线他们对应的外圈的刻度值和内圈的刻度值的这个和正好是多少？正好是一百八十度。好，这个地方你要好清楚，要清楚。好，那我们再来， 你能在两角七上找到一个五十度的角吗？好，我们来看，可以从内圈的零刻度线起开始找。好，从内圈的话是不是从右边开始？ 好，那这个时候零度在这，对不对？零度的刻度线在这，那这个时候你找到五十度。好，我们十度，十度的数一十，是吧？二十、三十、四十、五十，是不是在这？好，所以 对，过去。好，这就是五十度的刻度线。好，那这个角其实就是多少度？就是五十度，看到没有？好，当然你也可以从什么外圈的零刻度线起开始找，那外圈的话，是不是对应的是左边，是吧？好，这个时候从中心点出发哈， 注意，一定要从中心点出发啊。零刻度线开始。好，这根线，好，我们还是十度，十度的数，对不对？但这个时候一定要数的是外圈的刻度值，听到没有？外圈的刻度值。好，也就是你看一十、二十、三十、四十、五十，是不是在这，所以在这。 好，这就是我们从外圈数五十度的刻度线在这里。好，那这个时候这个角是不是就是五十度？ 好，所以这样也能找到一个五十度的角，那还有没有其他的方法呢？好，除了从零刻度线，零度刻度线开始数十度，十度的数一直数到五十度，还可以怎么做？那想想我们讲了，两角七上一个小格表示多少度一度，对不对？好，那如果我从其他的 这个刻度值开始，我是不是往后数五十个角就能找到这个五十度角了， 是不是？好，所以你看，比如说他在这里哈，他从二十度开始，对吧？他把二十度作为起始点。好，那往后你要说五十个小格是不是对应到七十度，对不对？因为五十个小格是不是对应五十度嘛？好，那二十度再加五十度，是不是到七十度了？是不是在这， 对吧？那怎么数的？你看还是十个，十个的数，对不对？好，一时一时的数。好，那这里是多少？二十度对不对？过来三十、四十、五十、六十、七十，这里对应的是七十度，对吧？那他们中间产生的这个差值， 这就是五十度，那说明这个角也是多少，也是五十度。好，三种找法好，来看，在两角七上找角要注意什么？那刚才老师一直在强调你要用的外圈的刻度线的话，你就要干嘛读外圈的刻度值？用外圈的刻度值，如果你要 用内圈的刻度线，那你就要读内圈的刻度线所对应的刻度值，听到没有？好，好，这就是你要注意的哈，也就是内圈 刻度线对应的是内圈 刻度指好，外圈 刻度线呢？对应的是外圈刻度指好，这个是要注意的。好。

用没有刻度的直尺和圆规来画一条与线段 a、 b 同样长的线段，这个部分呢，也是初中的尺规作图，今天我们来学习一下画法。一、 准备一个三角尺和一个圆规，这个圆规有两个尖尖的部分是圆规的针尖，这个尖尖的部分是圆规的笔尖。 首先用圆规的针尖按在我们这个端点 a 上，把它按住了，然后调整笔尖的距离，这个笔尖是可以调整的，笔尖要调整到对准端点 b， 要对准它，对准端点 b， 固定针尖到笔尖的距离。 只要不把圆规这个角度分开，针尖到笔尖，它们之间的距离就是线段 a、 b 之间的一个长度。我们先把圆规放在一边，拿出一个尺子，画一条射线。 要求呢，用没有刻度的直尺来进行画图。这个三角尺，两条直角边都是有刻度的，我们可以用斜边这个部分来画一条射线， 射线的这个端点记作端点 c。 圆规的针尖按在端点 c 上，把圆规立起来，转动笔尖来画一条弧，这个笔尖是可以转动的， 这是一条弧，这个弧是弯曲的， 这条弧与我们的射线交于地点， 这时就画出了一条与线段 a、 b 同样长的线段 c、 d。 通过圆规来进行画图，也体现了圆规的一个特征，它可以量一些线段之间的距离。

我们前面已经学习了角的计量单位度啊，以及认识了量角器，那么这节课呢，我们就一起来学习用量角器量角和画角。 好，我们来看历久用量角器，分别量出角一和角二的度数，和同学交流，好，我们来看一下啊，角一和角二它们是怎么量的？哈。第一幅图，它把量角器的中心和我们角一的顶点重合了。 好，接着把两角器的零刻度线看到没有？这就是它的零刻度线 去和我们的角一的一条边重合，看到没有？好，所以我们第一步什么点点重合， 哎呀，边边重合 是吧？好，重合以后我们去看另外一条边，也就是这条边，它所指的刻度线在哪？你看到没有？就在这儿。这根刻度线对应的刻度是多少度呢？正好是三十度，好，所以第二步我们要看刻度 好，所以角一量出来就是多少度。三十度，好，所以第三步要标刻度 好，这就是我们好两角的三个步骤。好，再来角二， 用两角器的中心去和角二的顶点重合，看到没有？好，再用这个两角器的零刻度线去和角二的边重合，看到没？好，那这个时候看角二的另外一条边，它只在两角器的哪条刻度线上， 正好在五十和六十的中间，对不对？好，那正好是多少？五十五度，好，所以给它标出来五十五度，好，所以我们写上 角一等于三十度，角二等于五十五度。那么现在我们来看一看刚才的两种量角的方式，好，我们第一种， 我们的零刻度线去和角一的一条边重合，对不对？好，这条零刻度线是内圈刻度的零刻度线还是外圈刻度的零刻度线？是不是内圈刻度的零刻度线？所以我们在看刻度的时候，是不是看的内圈刻度，所以哈，你的零度刻度线 啊，如果是内圈刻度 的零度刻度线，那么你就要看 内圈刻度。 好，我们再来看二我们的这根零刻度线。零度刻度线， 它是内圈的零度刻度线还是外圈刻度的零度刻度线呢？很明显是外圈刻度的零度刻度线好，所以我们去看刻度的时候，一定要看外圈刻度好。同理哈，如果零度刻度线 是外圈 刻度的零度刻度线，那就要看外圈 刻度好。那所以啊，你在用两角器的时候一定要注意这两个点啊。 好，搞清楚了，我们用两脚气两脚的方法。好，那你还要搞清楚，是吧？你在用两脚气两脚的时候要注意哪些问题好， 当然这只是其中一个，对不对？好，那我们要具体要注意哪些呢？来看，第一，你的两脚气的中心肯定是要和脚的顶点重合，对不对？好，零度刻度线要与脚的一条边重合，这就是我们两脚的第一步，对不对？好，第二，从零度起 看另一条边所对的刻度是多少，那在这一步的时候一定要注意。我上面讲的好，你的零度的刻度线是内圈还是外圈的刻度啊？那你看的时候就要看对应的刻度好，所以两个要注意的点好。好， 接下来我们来看试一试，先估一估三角板上每个角的度数，再量一量。好，这块三角板是，我们有一副三角板是吧？一个三角板长这个样子 是吧？好，另一个三角板长这样子。 好，那我们来看这两块三角板。啊，这块三角板，这个角和这个角很明显它是一样的，对不对？它一样大的。好，那这个角是多少度呢？好，我们来看图三。 好，那你看这个角，它的顶点和两角器的中心对齐，重合了，对不对？好，一条边也和零刻度零度刻度线重合。好，那这个时候看另外一条边，看是不是内圈刻度正好是多少度，是不是九十度，所以这个角是一个直角。好， 这两个角这个角都是九十度。好，搞清楚以后再看。这个角， 这个角是多少呢？我们来看一看。好，它正好就是这个角，对不对？好，你可以估一下嘛，它是不是比我们的九十度要小呀？那肯定啊，它是个锐角。对，对，比九十度要小。好，那是多少呢？它有没有九十度角的一半呢？ 差不多，对不对？好，你比如你估个多少？三十五度，是吧？也行，对不对？好，那具体是多少？我们来量量。好，用量角器的中心去和这个角的顶点重合。那现在 零刻度线和这个角的一条边重合，看到没？好，另一条边正好对在这，对不对？好，下面给它放大看一看，是多少？十度，十度的数。对，一十，二十是三十，所以这个角是多少度？是三十度。 好，因此我们三角板上的这个角，它是三十度，你估的时候一定要估的和它差不多，是吧？那看来我们估了相差不大，是吧？ 好，继续。那这个角呢？这个角明显比三十度要大，对不对？好，比它大多少呢？大概有两倍吧，是吧，那比如我估个六十度，行吧，看估的对不对呢？好，这个角对应的是那个角，是不是这个角？好，我们来看看， 把这个角的中心，呃，它的顶点和两角器的中心重合。好，这个时候 好，它的一条边和零度刻度线重合，看它的另外一条边是不是在这。我们给它放大 看一下，这多少？这里是十，是吧？二十、三十、四十、五十，是不是六十？所以我们说这个角的度数是多少度？它是六十度。 哎，说明我们是不是估对了。好，那我们手中的这块三角板的这三个角的度数，你一定要把它记下来。好，它有一个直角，剩下的两个角，一个是三十度，另一个是六十度。好，再看另外一个三角板， 这个三角板呢，我们说他的这个角哈，正好和我们另外一块三角板和一号的这个三角板哈，他们的这个角的度数是一样的，是九十度。好，那剩下的这两个角呢？你自己下去可以去量一量哈，我告诉你它是多少度？是四十五度，这两个角的大小是相等的。 好，你把这两个三角板，他的每个角的度数给我记下来。听到没有？好，记下来， 为什么要记呢？因为后面我们会经常用到，包括你的初中啊，上初中的时候也要经常用到。好，那么接下来我们看画一个六十度的角。好，现在让你什么用两角器画角。 好，既然刚才我们知道我们手中的那块三角板有一个六十度角，是不是这个角啊？ 对吧？好，那你要画六十度的角，我们是不可以通过描一描的方式，对吧？直接把这个角放在你的纸上一描不就出来了吗？所以我们说可以用三角板上的六十度角来画。好，当然 我们说你可以用两角器两角，自然也可以用两角器来画角了。好，那我们这里重点讲一下用两角器是如何画角的，我们来看一看。首先我们知道我们的角是由什么一个顶点出发引出的两条射线 所形成的这样一个图形，对不对？那这样一个图形，我们把它叫做角，那你画角怎么画呢？首先你得画一条射线。第一步，画一条射线。 好，还记得什么样的线是射线吗？有一个端点对不对？再引出一条线，一条直直的线，是吧？好，这是我们的射线。好， 现在请你用两角器的中心点去和你这条射线的端点去重合，所以第二步， 这样点点重合，同样你要用你的两角器的零度刻度线去和你所画的这条射线的这条线啊，看到要重合 线重合是吧？点重合线重合啊，我们讲的简单一点。 好，那接下来怎么办呢？好，第三步，他不让你画六十度的角吗？好，那这个时候你的零度刻度线是不是在内圈啊？那你就从内圈去找，找到六十度，从这个啊，从内圈开始找，对吧？ 是不是在这儿？所以，好，这个时候把这根线给它对直过来看，正好在这里。好，找到以后干嘛？瞄点，所以第三步，瞄点， 找到六十度刻度线，给它延伸过来，然后在最外围的这个刻度线这里啊，瞄点对应的刻度线那里瞄点啊。第四步，连接你标的这个点和刚刚你画的这条射线的短点，所以第四步连线。 好，这样就得到了一个角，这个角的度数就是六十度，好，注意这条边是直的哈，好，我们第五步是什么？是画圆弧 标刻度或者标数值。好，这就是我们画一个角的好，五个步骤。好， 那看一下用量角器画角时要注意什么呢？好，首先你在量的时候一定要注意量角器的中心点，还有你的角的顶点，两点一定要重合，这是我们第一个要注意的，也就是点点 重合。好，还有你的脚的一条边一定要和两脚气的零度刻度线重合，是吧？那这里严格一点讲，叫什么边线重合， 那这一定要注意的好，继续好，你再用两脚气的零度刻度线去和脚的一条边重合的时候，你要注意你用的是内圈的刻度还是外圈的刻度，对不对？好，如果你用内圈的刻度的话，那你去 读数的时候啊，你要注意啊，你去读出这个数，或者是说你去找另外一条边，它所对的这个数值，所对的这个刻度的时候啊，你要用另一圈刻度，那这是第二点，零度刻度线 是内圈可读好，那么你就要照或者读，是吧？内圈可读 指好，那同理哈，如果的你的零度刻度线是外圈刻度，那你就要找或者读外圈 刻度指好，这是你第二点你要注意的好。还有当你的这个角的一条边聚合 量角器的零度刻度线重合以后，你的另外一条边要放在哪里？肯定要放在量角器的里面啊，要和量角器的某一个刻度线重合，对不对？好， 你如果放在外面是不是就量不出来了？好，这一点你要注意好，下面我们来看下，想想做做。

跟我学数学，让你疼的可怕，那自从周老师教了大家标数法手脚之后呢？这类问题应该说是我们特别擅长的了， so easy 了是不是？好，那今天这道题呢， 他又问你，其中有多少个锐角，多少个钝角，多少个直角？你知道多少个角可以，但是现在我要求你把它细分，分到每一个里面， ok 吗？那这道题呢？赵老师告诉大家啊，这个最下面这个，他不是一个平角啊。昨天晚上我们学霸上答疑的时候，有人问学霸上一道题是平角，那道题极其恶心啊，非常的恶心，不建议大家去学啊。所以这里面赵老师挑的 啊，不是平角啊，不是平角，然后这里面有两个角呢，他相对来说有一点隐蔽啊，画的不好，那一个直角在这里，还有一个直角在这里， 我给大家大一点啊，给大家看好，那一共有多少个角？对于我们来说，那简直是手拿把掐，直接零一二三四五是不就好了，对吧？所以一共有多少个角，就用五加四加三，加二加一，那 别硬算啊，我们有大手拉小手的好方法，五加一等于六，四加二等于六，二，六刚好十二，再加三刚好是十五个，所以这个一共有十五个角，那就是手拿把枪。而且你还要知道这十五个角，其中标的一二三四五的四是什么意思啊？ 二是什么意思啊？五是什么意思啊？你都得说的上来。好，这是我们前段时间的要求。好，下面问题来了，其中有多少个钝角，多少个直角， 老师，我要应付吗？哎，确实，孩子，你确实需要你去应付一下啊，但是数也是有技巧的，我就问你啊，锐角，钝角和直角，你能看出来哪个多哪个少啊？哪个多 是不是锐角多，哪个相对来说稍微少一点？钝角和直角是不是？那你说钝角和直角你更喜欢数哪一个就是哪一个，更容易一些呢？ 更容易些是什么？哎，对了，一定是直角呀，对吧？那这道题赵老师也说了，这边如果是一个平角的话，那这个是垂直，这边是不是也是垂直？但是这边不是平角啊，不是平角，所以他是垂直，有一个九十度，对吧？然后这边是不也有一个九十度？还有没有其他的了？还有没有？你能不能看出来？ 能不能看出来？看不出来了吧？那一共就是有两个直角，对吧？好，那直角我率先的就把它数出来了，完毕了，对吧？那直角数完之后，下面锐角和钝角你相对来说，你更想数哪一个？ 钝角吧，对吧？什么叫钝角？大于九十度，小于一百八十度的，它是不是就是钝角，对吧？好，那就钝角吧。那钝角不就是九大于九十，那我就 我不能在九十度上直接给他添一个角吗？行不行？行的吧。好，所以我有了，这不是直角吗？我要想让他变成钝角的话，我就给他再加一点点，可以吧？加一点点，加这个角， 哎，那这样子，这是不是就是一个钝角，对吧？那这道题还有一个好方法，我还能不能再加一点点？能吗？我再加这个，哎，那这个是不是第二个钝角了， 对不对？然后下面继续，哦，这个直角再加他的话，哦，又出现了第三个， 看没看到？看没看到，超级大的一个大钝角。我说了啊这个不是平角啊这边是翘翘的翘起来的啊。好，所以跟这个直角组组合的有一个有两个，是不是有这三个 对吧？好，已经找到三个了，那下面这个直角还没动呢是不是？那这个红这个直角主要是用红色的来弹啊那这个直角他跟谁能组合呢能不能跟下面这个组合 不能，为什么跟下面这个组合他不就是跟这个是完全一模一样的了吗对不对？所以你只能跟谁只能跟他这个角 是不是没数过没数过吧。好，那这个是不是就是第三个啊 sorry 第四个钝角啊是不是。所以钝角相对来说对于大家来说数起来是稍稍有那么一点点麻烦的 对吧？目前数到了四个了吧三个黑的一个红的那你说红的还能不能再往下再延伸再往下再延伸的话你看看呢 这个行不行有没有他到他他的没有所以这个是不是也能再算一个对吧？所以红色的又数了两个黑色的又数了三个一共是不是就是五个啊再找找还有没有。那我要是再往这边延伸的话哦那就跟这个一样的了那就不行了所以 黑色的有三个红色的有两个钝角一共就是有五个 ok 哎呀，第二难数的钝角总算也是给我们找出来了对吧哎呀那完了老师那下面还得数这个锐角那不是更多吗怎么办呢 要数要不要数要不要数。你糊涂啊宝贝我一共知道一共就十五个角对不对？我把直角去掉了我把钝角去掉了你说剩下的是什么角？ 什么角不就是锐角吗？所以锐角根本不用数，只要用十五，把两个直角去掉，把五个钝角去掉，就是剩下的八个钝角。那不就是八个吗？ 他没看懂，所以这道题这才是重点。我想告诉你的是，当他们细分的时候，第三个也就是最多的那个，我们根本不需要去数，而是把前面两个稍微少一点的数出来，第三个直接用减法就可以了， 明白吗？那不然这八个你数到天荒地老你也数不出来是不是？好，那这道题赵老师就过了啊， 直角还好，钝角最容易乱啊，这类题目需要大家啊，可以再稍微的找一个对应的题目去练一练。好吧，希望这道题能够帮助到大家。今天祝三月十二号，农历正月二十四的同学们，祝你们生日快乐！

今天来到我们三下第一单元第四课，直角、锐角、钝角、平角和周角。 在这节课之前，我们先回顾一下上节课的内容，屏幕前的小朋友们，还记得角的各部分名称吗？ 哎，很好，角是由一个顶点和两条边组成。接下来进入我们新课部分，把一张圆形纸片对折，再对折，然后展开比一比折出的四个角，它们的大小相等吗？ 好，我们把圆形纸片对折，再对折，展开之后，就形成了角一、角二、角三和角四。这四个角相等吗？请小朋友们思考一下。 a 是 相等的，为啥呢？对折后四个角重叠在一起，所以他们四个角的大小都相等。角一、角二、角三、角四是不是都重叠在这里了？好，第二种方法，我们拿直角尺去比对一下， 比对之后发现角一、角二、角三、角四都和直角尺的这个直角重叠， 所以角一等于角二等于角三等于角四。那么我们折出来的这四个角就是我们今天第一个要学的直角。直角可以用右边的图形来表示， 首先他有两条边和一个顶点，红色的地方，他就是我们的直角符号。小朋友们一定记住，我们画直角的时候一定要标注直角符号。 好，接下来请小朋友们找一找你身边的直角，可以拍照发在评论区。 那么我们接下来继续学习其他的角旋转活动角的一边，直到形成一个直角。把旋转过程中形成的角与直角对比，你有什么发现？ 哎，成了一个直角，我们把旋转过程中的角都抽离出来，哎，这两个角和直角相比，你发现什么了？ 都比直角小，哎，我们把比直角小的角叫做锐角。好，我们怎么理解这个锐角呢？大家想一想，锐可以怎么组词？ 尖锐，哎，尖锐，是不是角越小他越尖锐啊？所以我们把较小的角哎，叫做锐角，那么一定还有较大的角。比直角大的角，那我们叫什么呢？ 继续旋转好，旋转出来比直角大，哎，这个也比直角大，最后旋转成了一个平角，哎，他是平的，所以叫平角，这个名字非常好记。那么这两个角叫什么角呢？ 他们比直角大，但是又没有平角大，哎，我们叫钝角，比较钝角。 我们继续转动角，直到和另一边重合，哎，这时候我们就得到了周角，因为这条线是不是哎，转了一周，又和起始的那条线重合了，所以我们称作周角。 好，那直角、平角，周角之间有什么关系呢？我们用肉眼看一看，这个平角是不是应该有两个直角呀？ 我们把它切成一半，左边是不是一个直角，右边还有一个直角，他们俩一相加，组成了一个平角，很好。那周角呢？周角是不是也有两个平角啊？ 上面一个平角，下面一个平角，转一圈组成了周角。好，一个周角等于两个平角，两个平角等于四个直角，不要忘记二乘二，哎，得四。好，接下来请小朋友们指一指这些都是什么角吧。第一个 a 是 直角，第二个锐角，第三个钝角，第四个是平角，第五个是 a， 周角。非常好，你掌握了吗？ 好，那个角大小有什么关系呢？请你从大到小，或者从小到大来排一排顺序。 在这五个角里，最大的角是哪个角？哎，很好，是周角，因为他转了一圈。第二大呢？哎，第二大是平角，第三大， 第三大是钝角，第四大是直角，哎，最小的是锐角。好，我们的排序，那么从小到大就是倒过来，锐角最小，哎，周角最大。 今天的新课内容就到这里了，请你来总结一下我们今天所学的知识。 好，我们学的五大角，直角、锐角、钝角、平角、周角，以及它们的倍数关系，还有大小关系，你都掌握了吗？

第四，找两幅形状相同，大小不同的三角板，向右图这样比一比，数一数你的发现。好，我们来看看图中 这两幅三角尺啊，我们可以发现，无论它们大小是否一样，只要它们怎么样形状相同，它们相应的角就一定能够重合，那就说明它们相应的角就一样大。 所以在两幅不同的三角板中，只要它们形状相同，那它们所对应的角就一样大，清楚了吗？所以我们说这个角和这个角一样大，这个角 和这个角一样大，这个角呢，和这个角是一样大的。 到后面其实你会发现，这个角和这个角其实用这样的符号来表示啊，这个角和这个角一样大，这个角和这个角一样大， 这个角和这个角一样大。所以说只要这两幅三角尺的形状相同，哪怕它们大小不同，它们所对应的角都能够重合好，也就是大小一样。第五。

我们来看一下，想想做做一下面哪些量角方法不正确，可以怎样改正？好，我们来看看第一个图，好，第一个图，角的顶点并没有和量角器的中心点重合，对不对？好，量角器的中心点在这个位置好，所以这是错的。好，我们再来看第二个图， 好，第二个图，首先这个角的顶点是不和两角器的中心点是重合的，所以满足了点点重合好，边线重合没有呢？好，是重合的，角的一条边是和两角器的零度刻度线重合的。好，另外一条边呢？它在我们的两角器里面是不是？好，所以这种方法是对的。好，我们再来看第三个图，好， 首先脚的顶点和量角器的中心点重合了，对吧？顶点重合，边线呢？也重合了，但是我们的这个角，它的另外一条边在量角器里面没有，没有啊，对不对？所以这个时候是量不出来的，这是错的。 好，我们再来看第四个图，好，一开始他把脚的顶点放到哪里了？是不是两脚气最外面这条线的终点的位置，他并不是两脚气的中心点，你注意两脚气的中心点在哪里？在这看到没有，所以这个方法是错的， 是错的。好，接下来我们来看二、用量角器量出下面每个角的度数。好，我们来想想用量角器去量角的时候要干嘛？好，第一步，我们的点点重合，边界重合对不对？好，重合了以后再干嘛？ 去找另外一条边，它所对的这个刻度对不对？好，那读书的时候注意什么？你用的是内圈的刻度，那你就要读内圈刻度所对应的刻度值是不是？好，来看 两角器的中心点和我们角的顶点重合了。好，边线呢？好，角的一条边和两角器的零度刻度线重合了。注意，这个时候你用的是不是内圈的这个零度刻度线。好，那你就读内圈刻度好，所以读过来到这个位置是不是正好是七十度？好，所以我们给他标下来， 这个角是七十度，对不对？是七十度。好，继续角二，一样的角的顶点和两角器的中心点重合好，角的一条边和两角器的零度刻度线重合，对吧？好，这个时候用的什么？外圈的刻度？所以你在读数的时候要读外圈的刻度， 这个读过来是三十度，所以这个角是三十度，可以把它标注出来啊，继续角三。 好，这个时候还是用两角器的中心点去和角的零点重合好，然后角的一条边去和两角器的零度刻度线重合。好，你看这个时候用的什么外圈的刻度。好，所以一定要读外圈刻度，读过来在这，对不对？是多少？是一百三十，所以这个角是一百三十度。好， 好，我们继续。好。角四，一样的哈，点点重合，边界重合。好，你看这个时候看另外一条边，另外一条边是不是正好是在这个九十度的位置，看到没？好，所以这是个什么角？是一个直角，我们讲了直角是九十度，对吧？所以这里它是一个直角。好， 注意，直角的话，你要用直角符号哈，标出来九十度。好，好，第三，以下面的射线为边，用两角器分别画四十度、九十度和一百二十度的角。好，我们来看一看。 好，我们说你在画角的时候，首先你就要画一条射线出来，对吧？好，你的这个射线的方向啊，没有说固定，对吧？所以你看这里他给了你三个图啊，射线的方向都是不一样的啊。好，那么我们来看看画完射线以后，你第二步要做什么呢？是不是点点重合，边线重合好，所以现在用两角器的中心点和 这个射线的端点重合，也就是我们的这个一会要画出来这个角的，是吗？顶点重合对不对？好，重合以后用你的两角器的 零度刻度线去和你射线的这条线，是吧？去重合好，然后再做什么呢？第三步是不是瞄点了？好，瞄点，他让你画的是四十度的角，那你看你这里用的是内圈的刻度，你是不是找的内圈刻度好，所以四十度在哪？ 在这是吧？对，过来，是不就是这个点，是吧？可以把它给擦掉啊？好，现在确定了两个点以后，那我们用指尺一连不就出来了吗？是不是？好， 所以这个角画出来了，但是要注意，干嘛给它标出它的度数啊？要画小弧线，并标出它的度数，所以它是四十度。好，这就是我们所画的角。好，我们再来看画九十度的角，一样的，用两角七的中心点去和射箭的这个端点重合，对不对？好， 重合了以后还要怎么办？好，还去找刻度对不对？好，找，九十度，九十度不就在这吗？是吧？接下来我们直接连接这两个点，这样就得到一个直角好， 还要怎么样？给它标出来对不对？用直角符号并把数值写出来。九十度好，继续 画一百二十五度的角，还是用啊，点点重合是吧？两角器的中心点哈，去和射线的这个端点，也就一会，我们画出来这个角的顶点，对吧？重合，重合以后，好，依然刻度，是吧？这个时候你说你用的什么外圈的刻度，对不对？所以你是把读的这个外圈的这个刻度值啊，一百二十五，在哪呢？是不是在这？ 好，可以把这个擦掉哈，好，找，对，以后把两角器拿开，和你所找的这个点， 这样是不是就得到了一个角，这个角是多少度呢？一百二十五度，标出来，好，注意，你在画这个线的时候啊，一定要画出你描的这个点，这里要注意哈，要画出你所描的这个点，好， 这样就得到了三个角。好，接下来来看第四题，先说一说画下面的角各可以选择什么工具，再画一画。那首先我们知道两角器就是用来画角的，对不对？所以你的第一个组合是什么？用两角器 加什么芝士，对吧？好，还可以用什么方法来画呢？好，我们手中是不是有一副三角尺，我们再这样吧，是吧？ 其中有一把尺子哈，这角是九十度，这角是六十度，这个角是三十度，对吧？还有一把啊， 这个角是九十度，这个角是四十五度，这个角是四十五度，是吧？好，那想一想，我能不能用三角尺上这些已知的角来画出这些度数的角呢？当然可以，比如三十度。三十度是不是直接可以用 这个角来画，对吧？四十五度，用这个角是吧？七十五度呢？把三十度的角和四十五度的角是不是合起来， 对吧？一百一十五度呢？用谁和谁组合好？一百一十五度，这个角是组合不出来的，对不对？那这个时候只能用什么两角钱来画了，对不对？好，再来看一百八十度，一百八十度，你可以用两个九十度的角来画， 还可以用什么画？我们知道一百八十度的角是不是一个平角呀？平角不就是两条直角，呃，这个角的两条边在一条直线上吗？对不对？所以你可以用直尺直接画出一条直线，在上面再标注一个点，对不对？这样就得到了一个平角，是吧？也就是这样子， 那这个就是一百八十度，对吧？好，这个也很好画，那一百三十五度呢？一百三十五度，我们可以用九十度和四十五度组合，对吧？也就是用这把尺子的这个角加上另外一把尺子的四十五度角，是吧？这样合起来就是一百三十五度。 好，那一百零五度呢？我们可以用第一把尺子的六十度和第二把尺子的四十五度，对吧？好，所以我们可以选择三角尺来画，还有什么？直尺，对不对？还有直尺？好，所以首先都可以用两角七来画 好。其次三十度，四十五度，七十度，一百八十度，一百三十五度，一百零五度，我们都可以用三角尺来画，就用我们手中那幅三角尺啊，一百八十度呢，还可以用直尺来画，好，清楚了吗？好，我们来看下 第五题，先估一估每个图形中角的度数，再量一量。好，我们来看一看，第一个是个三角形，对不对？他每一个角是不看上去都一样啊，对不对？看上去都一样，而且他们都比九十度要 小，对不对？好，所以他们应该是个锐角，对吧？我们九十度角长这个样子，你看，如果你把九十度角平均分成三份，他大概是不是有两份呀？对吧？所以他一个角大概是多少度呢？六十度， 好，你可以去量一量，其实量下来，你会发现他们每个角都是六十度。好，第二个是个正方形，对吧？正方形的每一个角啊，每个角你可以用你的三角尺上的那个直角去比一比，你会发现其实它都是九十度。啊。那你不放心的话，你去啊量一量，或者用那个角去比一比，你会发现它都是九十度。 好，再来看第三个，是个几边形啊？是个五边形，对不对？好，这个五边形每个角是多少度呢？我们来看这样一个角，首先和直角比一比，我的直角大概是这个样子，对吧？ 所以他，他应该是比我们的直角要稍微大一点。好，大概大个十度吧，是吧？你可以估多少度？一百度，哈，你可以估一百度，好，但实际是多少呢？好，量下来呢？每个角都是一百零八度。好，我们再来看最后一个，这是一个六边形，对吧？好，我们来看这个图形。 好，来估一估他的一个角是多大？我们看这是一个直角，对不对？这样画下来，这是不是一个直角啊？这是九十度，那你看他的这个角 相当于他的多少呢？好，把，九十度如果平均分成三份，就相当于他其中的一份大概是三十度，大概是三十度。好，那这个时候一个角大概就是一百二十度。好，那实际是多少呢？好，我们可以去量一量，其实量下来呢，你会发现他每一个角他就是一百二十度，那么今天的课呢？就上到这里下课。